2.7 Superficies Cuadráticas en R3 1

Paraboloide:

Si en la fórmula general uno de los coeficientes de los términos

cuadráticos puros A, B o C es cero y los otros dos, que no son cero, son iguales o

diferentes, de tal forma que la variable que no tiene término cuadrático puro pueda

despejarse en función de las

otras dos variables y escribirse

de la forma:

1. 2

2

2

2 )()(

b

ky

a

hxz

−+

−=

para C = 0

2. 2

2

2

2 )()(

c

lz

a

hxy

−+

−=

para B = 0

3. 2

2

2

2 )()(

c

lz

b

kyx

−+

−=

para A = 0

Entonces la función

cuadrática representa un

paraboloide con vértice en el

punto )0,,( kh para el primer caso, ),0,( lh para el segundo caso, ),,0( lk para el

tercer caso. La dirección del eje de simetría lo da la variable cuyo coeficiente del

término cuadrático puro es cero: eje “Z” para el primer caso, eje “Y” para el segundo

caso y eje “X” para el tercer caso.

Si a = b, en el primer, caso se trata de un paraboloide de revolución si son

diferentes es un paraboloide elíptico. Si a = c, en el segundo caso, se trata de un

paraboloide de revolución si son diferentes es un paraboloide elíptico. Si b = c, en el

tercer caso, se trata de un paraboloide de revolución si son diferentes es un paraboloide

elíptico.

Si el vértice esta en origen y se trata de un paraboloide de revolución, para los

tres casos la ecuación es de la forma:

1. 22 yxz +=

2. 22 zxy +=

3. 22 zyx +=

Figura 2-23

2.7 Superficies Cuadráticas en R3 2

La figura 2-23 representa de estos últimos el primer caso.

Si las expresiones anteriores tuvieran un término independiente, sucedería que

el vértice del paraboloide se desplazaría en cualquiera de los dos sentidos sobre el eje

de simetría.

Sus curvas de nivel tomando, ),( yxfz = , primer caso, ),( zxfy = ,

segundo caso y ),( zyfx = , tercer caso, son elipses o circunferencias si el

paraboloide es de revolución, en cambio los cortes con planos paralelos a los planos

coordenados son parábolas, de ahí su nombre de paraboloide.

Paraboloide Hiperbólico:

Si en los tres casos anteriores del paraboloide, las ecuaciones, no son

sumas sino, diferencias de la forma:

1. 2

2

2

2 )()(

b

ky

a

hxz

−−

−= para C = 0

2. 2

2

2

2 )()(

c

lz

a

hxy

−−

−= para B = 0

2.7 Superficies Cuadráticas en R3 3

3. 2

2

2

2 )()(

c

lz

b

kyx

−−

−= para A = 0

Entonces la función cuadrática representa un paraboloide hiperbólico o también

llamada “silla de montar” con vértice en el punto )0,,( kh para el primer caso,

),0,( lh para el segundo caso, ),,0( lk para el tercer caso, al igual que para el

paraboloide, la dirección del eje de simetría lo da la variable cuyo coeficiente del

término cuadrático puro es cero: eje “Z” para el primer caso, eje “Y” para el segundo

caso y eje “X” para el tercer caso.

Si a = b, en el primer caso, se trata de un paraboloide hiperbólico simétrico si

son diferentes no es simétrico. Si a = c, en el segundo caso, se trata de un paraboloide

hiperbólico simétrico si son diferentes no es simétrico. Si b = c, en el tercer caso, se

trata de un paraboloide hiperbólico simétrico si son diferentes no es simétrico.

Si el vértice esta en origen y se trata de un paraboloide hiperbólico simétrico,

para los tres casos, la ecuación es de la forma:

1. 22 yxz −=

2. 22 zxy −=

3. 2

2 zyx −=

La figura 2-24 representa de

estos últimos el primer caso.

Sus curvas de nivel

tomando, ),( yxfz = , primer

caso, ),( zxfy = , segundo caso

y ),( zyfx = , tercer caso, son

hipérbolas o hipérbolas equiláteras

si el paraboloide hiperbólico es simétrico, en cambio los cortes con planos paralelos a

los planos coordenados son parábolas, de ahí su nombre de paraboloide.

Cono:

Si en la fórmula general los coeficientes A, B y C son iguales o

diferentes, uno de ellos negativo y la fórmula general puede escribirse igualando a cero

de la forma:

Figura 2-24

2.7 Superficies Cuadráticas en R3 4

0)()()(

2

2

2

2

2

2

=−

−−

+−

c

lz

b

ky

a

hx

Entonces la función cuadrática representa una superficie cónica de centro en el

punto ),,( lkh , la dirección del eje

de simetría lo da la variable cuyo

coeficiente lleva el signo negativo

(en este caso el eje de simetría es

paralelo al eje “Z”).

Si el centro esta en origen el

cono es de la forma

02

2

2

2

2

2

=−+c

z

b

y

a

x, la figura 2-25

representa este caso.

Sus curvas de nivel, tomando ),( yxfz = , son elipses o circunferencias si la

superficie cónica es de revolución, en cambio los cortes con planos paralelos a los

planos coordenados son rectas en forma de una V en un sentido y en sentido opuesto.

Cilindro:

Si la fórmula general de la ecuación cuadrática carece de una de las tres

variables, entonces el gráfico de esta superficie en R3 es un cilindro o superficie

cilíndrica y puede escribirse de la forma:

)(),(),( yfzxfzxfy ===

Por ejemplo la ecuación, 2xz =

representa la superficie de la figura

2-26.

La Variable faltante da la dirección

del eje de simetría de la superficie

cilíndrica. También puede estar

desplazada con respecto a los ejes

coordenados si su centro o vértice no

esta en el origen.

Figura 2-25

Figura 2-26

2.7 Superficies Cuadráticas en R3 5

222 ryx =+ representa una superficie

cilíndrica tradicional de radio r como lo

indica la figura 2-27

El eje de simetría del cilindro de la figura

2=26 es el eje “Y” y de la figura 2=27 es

el eje “Z”.

Las curvas de nivel son parábolas 2xz = , para la superficie cilíndrica de

la figura 2-26 y circunferencias 222 ryx =+ , para la superficie

cilíndrica de la figura 2-27, los cortes con

planos paralelos a los otros ejes

coordenados serán siempre rectas paralelas.

Ejemplo 2-14 Analizar el gráfico y las curvas de nivel del campo escalar 22 23),( yxyxf +=

Solución: El gráfico es el paraboloide elíptico.

22 23 yxz += , ver figura 2-28

Figura 2-28

z

y

x

y

y

Figura 2-27

2.7 Superficies Cuadráticas en R3 6

Las curvas de nivel son elipses concéntricas de centro en el origen,

de la forma kyx =+ 22 23 , en la figura 2-29 se aprecian

algunas de ellas para tres valores de k.

�

2.7 COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS

La manera usual de representar un punto en el plano R2 es mediante coordenadas

rectangulares (x, y), también debe de haber visto el lector que el mismo punto puede

estar representado por la pareja polar (r,θ ) y estas se relacionan unas con otras, como

podemos ver los puntos en el plano pueden estar perfectamente representados por estas

dos maneras, lo mismo sucede en el espacio R3, existen dos formas mas, de representar

puntos en R3, aparte de la usual que es la cartesiana y estas son los dos tipos de

coordenadas nuevas que estudiaremos.

Coordenadas Cilíndricas:

Es una combinación de las coordenadas polares y cartesianas, en la figura 2-30

podemos apreciar la terna cartesiana y la terna cilíndrica de un punto P en R3.

cartesianaTernazyx →),,(

Rzr

cilíndricaTernazr

∈≤≤≥

→

,20,0

,),,(

πθ

θ

6=k

12=k

24=k

Figura 2-29

2.8 Coordenadas cilíndricas y esféricas 7

r es el alejamiento de la proyección del punto P en el plano “XY” al orígen, θ

es el ángulo que forma este alejamiento con el sentido positivo del eje “X”, sus

equivalencias son:

zz

rseny

rx

=

=

=

θ

θcos

( )zz

tg

yxr

x

y

=

=

+=

−1

22

θ

Por ejemplo el

cilindro 222 Ryx =+ en

coordenadas cilíndricas esta

dado por la expresión:

Rr =

Ejemplo 2-15 Encontrar la terna cilíndrica del punto )6,3,3( y graficarlo, de

igual forma encontrar la terna cartesiana del punto )3,,2(4π .

Solución:

Figura 2-30

θ r

(x, y, z)

(r, θ, z) P:

x

y

z

X

Z

Y

X

Z

Y

π/6

3

32

( )6,3,3

3

6

Figura 2-31

2.8 Coordenadas cilíndricas y esféricas 8

( ) )6,,32(

6

3239

)6,3,3(663

31 ππθ ⇒

=

==

=+=

⇒ −

z

tg

r

)3,1,1(

3

12

1cos2

)3,,2(4

4

4⇒

=

==

==

⇒

z

seny

x

π

π

π

En la figura 2-31 esta graficado el primer punto. �

Coordenadas Esféricas:

En la figura 2-32 podemos apreciar la terna cartesiana y esférica del punto P

en R3.

ρ es el alejamiento del

origen al punto P, θ es el mismo

ángulo que usamos en

coordenadas cilíndricas y φ es el

ángulo que forma el alejamiento

del punto con el sentido positivo

del eje “Z”, sus equivalencias son

fáciles de determinar con un poco

de trigonometría y estas son:

φρ

φθρ

φθρ

cos

.

.cos

=

=

=

z

senseny

senx

( )

++=

=

++=

−

−

222

1

1

222

coszyx

z

tg

zyx

x

y

φ

θ

ρ

Figura 2-32 X

Z

Y

θ

φ

ρρρρ

(x, y, z)

(ρ, θ, φ) P:

x

y

z

cartesianaTernazyx →),,(

πφπθρ

φθρ

≤≤≤≤≥

→

0,20,0

,),,( esféricaTerna

2.8 Coordenadas cilíndricas y esféricas 9

Figura 2-33 X

Z

Y

π/3

1

3

2

( )2,3,1

π/4

22

Por ejemplo la esfera 2222 Rzyx =++ en coordenadas esféricas esta dada

por la expresión: R=ρ

Las coordenadas esféricas suelen ser útiles para representar expresiones donde

hay una simetría esférica ( simetría alrededor de un punto ), en cambio las coordenadas

cilíndricas suelen ser útiles para representar expresiones donde hay una simetría

cilíndrica ( simetría alrededor de un eje ).

Ejemplo 2-16 Encontrar la terna esférica del punto )2,3,1( y graficarlo.

Solución: ( )( )

),,22(

cos22

2cos

3

22431

)2,3,1(43

42

211

3

1 ππ

π

π

φ

θ ⇒

==

=

==

=++=

⇒

−−

−tg

r

El punto esta graficado en la figura 2-33

�

A continuación adjuntamos una tabla resumen de las características más

relevantes de las superficies cuádricas para el caso de centros y vértices en el origen e

intersecciones con los planos coordenados.

Ejercicios 10

Esfera 2222 rzyx =++

centro en (0, 0, 0)

“XY” Z=0 (circunferencia)

222 ryx =+

“XZ” Y=0 (circunferencia) 222 rzx =+

“YZ” X=0 (circunferencia) 222 rzy =+

Elipsoide

12

2

2

2

2

2

=++c

z

b

y

a

x

centro en (0, 0, 0)

“XY” Z=0 (elipse)

12222 =+ byax

“XZ” Y=0 (elipse)

12222 =+ czax

“YZ” X=0 (elipse)

12222 =+ czby

Hiperboloide de una hoja

12

2

2

2

2

2

=−+c

z

b

y

a

x

centro en (0, 0, 0)

Eje de simetría, eje “Z”

“XY” Z=0 (elipse)

12222 =+ byax

“XZ” Y=0 (hipérbola)

12222 =− czax

“YZ” X=0 (hipérbola)

12222 =− czby

Hiperboloide de dos hojas

12

2

2

2

2

2

−=−+c

z

b

y

a

x

centro en (0, 0, 0)

Eje de simetría, eje “Z”

“XY” Z=0 ( ∅ )

12222 −=+ byax

“XZ” Y=0 (hipérbola)

12222 −=− czax

“YZ” X=0 (hipérbola)

12222 −=− czby

Cono

02

2

2

2

2

2

=−+c

z

b

y

a

x

centro en (0, 0, 0)

Eje de simetría, eje “Z”

“XY” Z=0 (punto)

02222 =+ byax

“XZ” Y=0 (rectas)

czax ±=

“YZ” X=0 (rectas)

czby ±=

Paraboloide

02

2

2

2

=−+c

z

b

y

a

x

centro en (0, 0, 0)

Eje de simetría, eje “Z”

“XY” Z=0 (elipse)

02222 =+ byax

“XZ” Y=0 (parábola)

czax =22

“YZ” X=0 (parábola)

czby =22

Paraboloide Hiperbólico

02

2

2

2

=−−c

z

b

y

a

x

centro en (0, 0, 0)

“XY” Z=0 (rectas)

byax ±=

“XZ” Y=0 (parábola)

czax =22

“YZ” X=0 (parábola) czby =− 22

Ejercicios 11

EJERCICIOS 1. Encontrar los vectores unitarios normales a los planos

a) 2x + y + 2z – 8 = 0 b) 4x – 4z = 0

c) -y + 6z = 0 d) x = 5

2. Encuentre las ecuaciones de los planos que pasan por el punto (-5, 7,-2) y

que satisfacen individualmente las siguientes condiciones:

a.- Paralelo al plano “XZ”.

b.- Perpendicular al eje de las “X”.

c.- Paralelo tanto al eje de las “X”como al de “Y”.

d.- Paralelo al plano 3x - 4y + z = 7.

3. Encontrar la ecuación del plano cuyas intersecciones con los ejes

coordenados son: α, β y γ respectivamente.

4. Considere los puntos P = ( 2, -1, 3 ); Q = ( 3, 2, 1 ). Hallar la ecuación del

plano:

a) que pasa por P y tiene a N = P + Q por vector normal.

b) que pasa por Q y tiene a N = 3Q - P por vector normal

5. Encontrar la ecuación del plano perpendicular a 10i -10j + 5k y que pase

el punto (1, 1, -3)

6. Obtenga un plano que pase por (1, 3, 3) y sea paralelo al plano

83 =−+ zyx

7. Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a los planos

0=+− zyx y 0542 =−−+ zyx , y que pasa por el punto (4, 0, 2).

8. Calcule la distancia del punto (-1, 3, -1) a la recta

=−

=

72

1

zx

y

9. Hallar las ecuaciones de la recta que contienen el punto (3, 6, 4),

intercepta al eje “Z” y es paralela al plano x - 3y + 5z – 6 = 0.

Ejercicios 12

10. Encontrar la ecuación del plano equidistante de los puntos (-2, 1, 4) y

(6, 1, -2)

11. Cual es la distancia del punto (3, 8, 9) al plano x + z = 1

12. Encontrar la distancia del plano 423 =+− zyx a la recta

=−−

=+−

043

0224

zy

yx

13. Encontrar la distancia del plano 3x + 2y – z + 4 = 0 al punto (0, 1, -1)

14. Escribir las ecuaciones de la recta que pasa por cada par de puntos. a) (2, 3, 1); (4, 6, 9) b) (1, 5, 1); (1, -5, -1)

15. Encuentre dos vectores unitarios paralelos a la recta

3332 +=−= zyx

16. Encuentre las ecuaciones de la recta que pasa por el origen y es paralela a

la recta 1

1

4

23

−

−=

+=−

zyx

17. Escriba la ecuación de la recta que pasa por los puntos; P1(1, 0, -1),

P2(-1, 2, 1) y es paralela a la recta :

=+−

=−+

034

623

zyx

zyx

18. Encontrar la ecuación del plano que contiene a la recta

tztytx 2,1,3 =+== , y que es paralelo a la intersección de los

planos 01,02 =++=+− zyzyx .

19. Encontrar ,de ser posible, la ecuación del plano que contiene a las rectas:

.

41

22

54

:

74

1

2

: 21

−=

−=

+−=

+=

+=

+=

tz

ty

tx

l

tz

ty

tx

l

20. Hallar una ecuación para el plano que contiene a la recta

)4,2,3()2,1,1()( tt +−=σ y es perpendicular al plano

0432 =+−+ zyx

Ejercicios 13

21. Dada la recta

−=

+−=

+=

3

42

13

tz

ty

tx. Encontrar la ecuación del plano que

contiene la recta y al punto ( )2,0,5:P .

22. Hallar la ecuación para el plano que contiene al punto (3, -1, 2) y la recta

r(t) = (2, -1, 0) + t(2, 3, 0)

23. Hallar la altura de la pirámide que se forma al interceptar los planos

coordenados con el plano 1=++ zyx

24. Los planos: π1: 2x + y + z = 2, π2: 3x – y + 2z = -6, π3: x + 2y + z = -4,

forman las caras laterales de una pirámide triangular cuya base está en el

plano π: x + 4y - 5z = 5, determinar la altura de esta pirámide.

25. Encontrar la ecuación del Plano que contiene a la recta

)1,2,3()( +−= ttttσ y al punto (1, 2, -3)

26. Encontrar la ecuación de Plano que contiene a la recta

=−+−

=−++

072

013

zyx

zyx y al punto )2,1,1( −

27. Encuentre una ecuación del plano que pase por el punto ( )3,2,1 − y

contenga a la recta que es la intersección de los planos:

06;1053 =+−=−+ zyxzyx

28. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta

+=

+=

+−=

tz

ty

tx

42

21

31

y es

perpendicular al plano 2x + y - 3z + 4 = 0

29. Halle las ecuaciones de la recta que pasa por el punto ( )5,4,3 −− y que

corta las rectas alabeadas.

2

3

3

1

1

2

3

1

2

2

5

1 +=

−

+=

−

−

+=

−

−=

− zyxzyx

30. Hallar la distancia entre las rectas:

Ejercicios 14

( ) ( ) ( )1

1

1

4

1

1;

321

+=

−=

−

−==

zyxzyx

31. Dadas las rectas :

+=

−=

+=

tz

ty

tx

L

22

1

3

:1

=

+=

−=

tz

ty

tx

L

3

32:2

a) Determinar si las rectas L1 y L2 son Alabeadas.

b) En caso de ser afirmativo el literal a) encontrar la distancia entre las

rectas.

32. Hallar la distancia entre la recta

+=

+−=

−=

tz

ty

tx

26

45

37 y la esfera

ϕρ cos4=

.

33. Encontrar la distancia entre las rectas:

34. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas:

tz

ty

tx

43

21

2

−=

+−=

+=

tz

ty

tx

−=

+−=

−=

3

41

32

.

35. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 1, 1) y que

intercepta al plano “XY” en la misma recta que el plano 3x + 2y – z = 6.

36. Considere la ecuación de la superficie esférica x2 +y

2 + z

2 – 2z=0 y el

plano de ecuación 2x + y + z + 2 = 0. Hallar la distancia mínima entre el

plano y la superficie esférica.

=−−

=−++=

02

091

zyx

zyxL

=−+−

=+−+=

0432

0122

zyx

zyxL

Ejercicios 15

37. Demostrar que las rectas

=+++

=++

08128

05

zyx

zyx y

=+++

=+−

0884

422

zyx

zyx

no son paralelas y hallar la ecuación del plano que las contiene.

38. Si los vectores ( )2,1,1 −− y ( )1,3,2 pertenecen al plano 1π y los vectores

( )1,2,3− y ki +6 que pertenecen a otro plano 2π . Encontrar las

ecuaciones de una recta paralela a la recta intersección de los planos 1π y

2π , que pase por el punto ( )5,3,7 − .

39. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas:

( ) ( )

=−−

=−+

−==+

025

522:

4/13/2/3:

2

1

zyx

zyxl

zyxl

40. Para el siguiente par de rectas encontrar los vectores directrices y la

distancia entre ellas; o el punto de corte y ángulo agudo de intersección.

tz

ty

tx

+−=

−=

+−=

4

43

22

tz

ty

tx

34

23

2

+−=

+=

−−=

41. Encontrar la distancia del punto (3, 1, -2) a la recta

=−+

=+−

52

532

zyx

zyx

42. Escriba la ecuación de la esfera centrada en el punto (2, 3, 4) y que tiene

radio 3.

43. Escribir la ecuación de la recta, en forma paramétrica, que se obtiene

al proyectar la recta “l” sobre el plano “π ”.

.1:;

1

3

21

: =+

+=

=

−=

yx

tz

ty

tx

l π

Ejercicios 16

44. Sea la recta 13

1

2

1:

zyxl =

−

+=

− y el plano 2342: =−+ zyxπ ,

hallar el punto de intersección de la recta l con el plano así como la

ecuación que determine la proyección de la recta sobre el plano π .

45. Sean P, Q los puntos de intersección del paraboloide hiperbólico

zxy =− 22 con la recta 31

2

2

2 zyx=

−

−=

−. Hallar la proyección del

vector PQ sobre el vector V = -i + j + k.

46. Hallar la distancia entre las rectas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/32/45/3;42/15/2 −−=+=−−+=−−=+ zyxzyx , interpretar

el resultado.

47. Calcular el radio de la circunferencia en R3 que resulta de la intersección

de la esfera 16462222 =+−−++ zyxzyx con el plano que

contiene las rectas:

+=

=

+=

=

24

2

13

1

tz

y

tx

l y

−=

=

=

1

2

2

2

tz

y

tx

l

48. Hallar la naturaleza de las siguientes superficies:

a) 138126243 222 =+−+−+ zyxzyx

b) 13861223 22 =+−−+ yxzyx

c) 0=φ

d) 4=r

e) 6/πφ =

f) 122 =+ zr

g) θcos4=r

h) 12 += zy

i) 10253 =+− zyx

j) 042 222 =−+ yzx

k) 0108614222 =+−+−++ zyxzyx

l) 44 222 =−− yxz

Ejercicios 17

m) 04222 =+++ zyx

n) 132 222 =+− yzx

o) ( )xseny =

p) 03 2 =+ zx

q) kz =

r) 163623 222 =−−−+ yxzyx

s) 92582 22 =−+−+ zyxyx

t) 0132865 22 =+−+− yxzx

u) 01728623 222 =++−−++ zyxzyx

v) 0444 222 =−+− yzyx

49. Identificar las siguientes superficies:

a) 136422 222 −=+++++ zyxzyx

b) 022 222 =+−− zyx

c)

4

πφ ±=

d) 042 22 =++ zyx

e) 22 1 rz =+

f) φρ sec4=

g)

4

πθ =

h) 0432 22 =−+ zyx

i)

4

2rz =

j) 0363216916 222 =−−++ yxzyx