JON ROGAWSKIUniversidad de California, Los ngeles

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Versin espaola traducida por: Gloria Garca Garca Doctora en Matemticas Revisada por: Martn Jimeno Jimnez Licenciado en Matemticas Profesor Asociado en la Universitat Politcnica de Catalunya

VARIAS VARIABLES Segunda edicin original

CONTENIDO RESUMIDO CLCULO

Captulo 1 REPASO DE CONCEPTOS PREVIOS 1Captulo 2 LMITES 40Captulo 3 DERIVACIN 101Captulo 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 175Captulo 5 LA INTEGRAL 244

Captulo 8 TCNICAS DE INTEGRACIN 413Captulo 9 OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL Y POLINOMIOS DE TAYLOR 478Captulo 10 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 513Captulo 11 SERIES INFINITAS 543Captulo 12 ECUACIONES PARAMTRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CNICAS 613

A1A27A99

A103I1

Captulo 7 FUNCIONES EXPONENCIALES 339Captulo 6 APLICACIONES DE LA INTEGRAL 296

UNA VARIABLE

APNDICESSOLUCIONES A LOS PROBLEMAS IMPARESREFERENCIASCRDITOS DE LAS FOTOSNDICE DE MATERIAS

Captulo 12 ECUACIONES PARAMTRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CNICAS 613Captulo 13 GEOMETRA VECTORIAL 663Captulo 14 CLCULO PARA FUNCIONES VECTORIALES 729Captulo 15 DIFERENCIACIN EN VARIAS VARIABLES 780Captulo 16 INTEGRACIN MLTIPLE 866

Captulo 18 TEOREMAS FUNDAMENTALES DE ANLISIS VECTORIAL 1009Captulo 17 INTEGRALES DE LNEA Y DE SUPERFICIE 945

VARIAS VARIABLES

A1A27A51A5

I1

APNDICESSOLUCIONES A LOS PROBLEMAS IMPARESREFERENCIASCRDITOS DE LAS FOTOSNDICE DE MATERIAS

2

CONTENIDO CALCULUS

Captulo 13 GEOMETRA VECTORIAL 663

13.1 Vectores en el plano 36613.2 Vectores en tres dimensiones 47613.3 Producto escalar y ngulo entre dos vectores 68413.4 496El producto vectorial13.5 Planos en tres dimensiones 50713.6 117

719

Un estudio de las cudricas13.7 Coordenadas cilndricas y esfricas

Captulo 12 ECUACIONES PARAMTRICAS,COORDENADAS POLARES YSECCIONES CNICAS

12.1 Ecuaciones paramtricas 31612.2 La longitud de arco y la velocidad 62612.3 Coordenadas polares 23612.4 El rea y la longitud de arco en coordenadas polares 64012.5 Secciones cnicas 746

613

Captulo 14 CLCULO PARA FUNCIONESVECTORIALES 729

14.1 Funciones vectoriales 92714.2 Clculo para funciones vectoriales 73714.3 Longitud de arco y celeridad 74714.4 257Curvatura14.5 Movimiento en el espacio tridimensional 26714.6 Movimiento planetario segn Kepler y Newton 771

Captulo 15 DIFERENCIACIN EN VARIASVARIABLES 780

15.1 Funciones de dos o ms variables 78015.2 Lmites y continuidad en varias variables 79215.3 008Derivadas parciales15.4 Diferenciabilidad y planos tangentes 81115.5 El gradiente y las derivadas direccionales 81915.6 La regla de la cadena 13815.7 Optimizacin en varias variables 83915.8 Multiplicadores de Lagrange:

optimizacin con restricciones 853

Captulo 16 INTEGRACIN MLTIPLE 866

16.1 Integracin en dos variables 66816.2 Integrales dobles sobre regiones ms generales 87816.3 Integrales triples 19816.4 Integracin en coordenadas polares, cilndricas

y esfricas 20916.5 Aplicaciones de las integrales mltiples 91316.6 Cambio de variables 629

Captulo 17 INTEGRALES DE LNEA Y DESUPERFICIE 945

17.1 549Campos vectoriales17.2 Integrales de lnea 25917.3 Campos vectoriales conservativos 96917.4 Superficies parametrizadas e integrales de superficie 98017.5 Integrales de superficie de campos vectoriales 995

Captulo 18 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEANLISIS VECTORIAL 1009

18.1 Teorema de Green 900118.2 1201Teorema de Stokes18.3 Teorema de divegencia 4301

APNDICES A1A. El lenguaje de las matemticas 1AB. 8APropiedades de los nmeros realesC. Induccin y el teorema del binomio A13D. Demostraciones adicionales 81A

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS IMPARES A27

REFERENCIAS A51

CRDITOS DE LAS FOTOS A5

NDICE DE MATERIAS I1

vi

VARIAS VARIABLES

2

SOBRE JON ROGAWSKI

Como reconocido profesor, con una trayectoria de mas de 30 anos, Jon Rogawski hatenido la oportunidad de escuchar y aprender de sus propios estudiantes. Estas valiosasensenanzas forman ya parte de su pensamiento, manera de escribir y de disenar un librode calculo innitesimal.

Jon Rogawski obtuvo su licenciatura y master en matematicas de forma simultanea porla Universidad de Yale y su doctorado en matematicas por la Universidad de Princeton,donde estudio con Robert Langlands. Antes de unirse al Departamento de Matematicasde la UCLA en 1986, donde actualmente es catedratico de matematicas, fue profesor visi-tante en el Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de Bonn y en la Universidadde Pars en Jussieu y Orsay.

Las areas de interes de Jon son teora de numeros, formas automorcas y el analisisarmonico sobre grupos semisimples. Ha publicado numerosos artculos de investigacionen revistas matematicas de primera lnea, incluyendo el monograco Automorphic Repre-sentations of Unitary Groups in Three Variables (Princeton University Press). Ha recibidouna Beca Sloan y es editor del Pacic Journal of Mathematics y del Transactions of theAMS.

Jon y su esposa, Julie, medico de familia, tienen cuatro hijos. Gozan de una vida fami-liar activa y, siempre que pueden, disfrutan de las vacaciones familiares en las montanasde California. Jon es un apasionado de la musica clasica y toca el violn y la guitarraclasica.

PREMBULO

SOBRE porCLCULO Jon Rogawski

Sobre la ensenanza de las matematicasEn los inicios de mi carrera como profesor, me gustaba ensenar pero no me di cuenta delo difcil que es comunicar con ecacia las matematicas. Al poco tiempo, en mi carreracomo docente, tuve que enfrentarme a una rebelion estudiantil cuando mis esfuerzos paraexplicar las demostraciones epsilon-delta no fueron recibidos con el entusiasmo que yoesperaba. Experiencias de este tipo me ensenaron dos principios basicos:

1. Se debe intentar ensenar a los estudiantes tanto como sea posible, pero no mas.2. Como profesores de matematicas, lo que decimos es tan importante como la maneraen que lo decimos.

El lenguaje formal de las matematicas puede intimidar a los no iniciados. Al presentar losconceptos mediante el lenguaje cotidiano, que es mas familiar aunque no menos preciso,se abre el camino para que los estudiantes entiendan las ideas fundamentales e integrarlasen su forma de pensar. Los estudiantes se encuentran entonces en una posicion mas favo-rable para apreciar la necesidad de las deniciones formales y las demostraciones, y paracomprender su logica.

Sobre la confeccion de un libro de calculoEmpece a escribir Calculo con el objetivo de crear un texto en el que la exposicion, losgracos y el diseno se unieran para mejorar el entendimiento del calculo para el estudian-te: el dominio de las destrezas basicas, la comprension conceptual y una apreciacion dela amplia gama de aplicaciones. Tambien quise que los estudiantes fueran conscientes, yadesde el inicio del curso, de la belleza de la materia y del importante papel que desem-penara, tanto en sus estudios como en su comprension del mundo en general. Preste espe-cial atencion a los siguientes aspectos del texto:

(a) Claridad, explicacion asequible que se anticipe y aborde las dicultades de los estu-diantes.(b) Diseno y guras que relacionen el ujo de ideas.(c) Elementos destacados en el texto que enfaticen los conceptos y el razonamiento ma-tematico: Apunte conceptual, Apunte graco, Las hipotesis son importantes, Recordatorioy Perspectiva historica.(d) Una amplia coleccion de ejemplos y ejercicios de dicultad gradual que ensenen lasdestrezas basicas y tecnicas de resolucion de problemas, refuercen la comprension con-ceptual, y motiven el calculo a traves de aplicaciones interesantes. Cada seccion contieneejercicios en que se tratan nuevas ideas y retos para los estudiantes que les ayuden adesarrollar sus capacidades.

Animado por la respuesta entusiasta a la primera edicion, en esta nueva edicion meplantee el objetivo de desarrollar aun mas estos puntos fuertes. Cada seccion del texto hasido revisada cuidadosamente. Durante el proceso de revision, preste especial atencion alos comentarios de los revisores y los estudiantes que han utilizado el libro. Sus ideas ycreativas sugerencias han dado lugar a numerosas mejoras en el texto.

El calculo innitesimal tiene un merecido papel central en la educacion superior. Nosolo es la clave para una amplia gama de disciplinas cuantitativas, sino que tambien esuna componente crucial en el desarrollo intelectual del estudiante. Espero que esta nuevaedicion continue siendo relevante en la apertura a los estudiantes al polifacetico mundodel calculo.

xi

xii PREAMBULO

Mi libro de texto sigue una organizacion mayormente tradicional, aunque con algunasexcepciones. Una de esas excepciones es la disposicion de los polinomios de Taylor en elCaptulo 9.

Disposicion de los polinomios de TaylorLos polinomios de Taylor se encuentran el el captulo 9, antes de las series innitas enel captulo 11. Mi objetivo es introducir los polinomios de Taylor como una extensionnatural de la aproximacion lineal. Cuando explico las series innitas, me centro en laconvergencia, un tema que muchos estudiantes encuentran estimulante. Despues de estu-diar los criterios de convergencia basicos y la convergencia de las series de potencias, losestudiantes se encuentran preparados para abordar las cuestiones derivadas de la represen-tacion de una funcion por su serie de Taylor. Pueden utilizar entonces sus conocimientosprevios sobre polinomios de Taylor y sobre la cota de error del captulo 9. Aun as, la sec-cion sobre los polinomios de Taylor se ha disenado de tal manera que se pueda tratar deforma conjunta con el material sobre series de potencias y series de Taylor del captulo 11si se preere este orden.

DESARROLLO ESMERADO Y METICULOSO

W. H. Freeman es conocida por sus libros de texto, y materiales adicionales, de grancalidad. Desde el inicio de este proyecto y a lo largo de su desarrollo y produccion, se hadado prioridad importante a la calidad y exactitud. Tenemos en marcha procedimientossin precedentes para garantizar la precision de todos los aspectos del texto:

Ejercicios y ejemplos Exposicion Figuras Edicion Composicion

En conjunto, estos procedimientos superan con creces los estandares previos de la indus-tria para salvaguardar la calidad y la precision de un libro de calculo.

Nuevo en la segunda edicionListas de problemas mejoradas... con aproximadamente un 25% de problemas nue-vos y de problemas revisados: Para matizar este destacado elemento del texto, las listasde problemas fueron revisadas extensamente por colaboradores externos. Basandose enparte en sus comentarios, el autor reviso cuidadosamente los problemas para mejorar sucalidad y cantidad. Esta segunda edicion presenta miles de nuevos y actualizados proble-mas.

Nueva y mayor variedad de aplicaciones: La segunda edicion contiene muchos ejem-plos y problemas nuevos centrados en aplicaciones innovadoras y contemporaneas de laingeniera, la biologa, la fsica, la administracion de empresas, la economa, la medicinay las ciencias sociales.

Cambios en el contenido en respuesta a los usuarios y revisores, incluyendo:

Captulo 2: el tema Lmites en el innito se ha movido del captulo 4 a la sec-cion 2.7.

Captulo 3: diferenciacion se ha ampliado el tratamiento de los diferenciales. Captulo 8: se ha movido la integracion numerica al nal del captulo, despues de

tratar todas las tecnicas de integracion.

P R E A M B U L O xiii

Nueva seccion 8.7: Probabilidad e integracion. En esta seccion se presenta una apli-cacion basica de integracion, de suma importancia en las ciencias fsicas, as comoen la administracion de empresas y en las ciencias sociales.

Los captulos multivariables, elogiados por su intensidad en la primera edicion, sehan revisado y pulido.

Nueva seccion 16.5: Aplicaciones de las integrales multiples. Revision y mejora de los gracos en todo el libro.

MATERIAL COMPLEMENTARIO

La obra C ALCULO dispone de gran cantidad de recursos y materiales comple-mentarios (banco de imagenes, presentaciones para el aula, solucionarios de proble-mas, ...) para alumnos y profesores. Todos los materiales se encuentran disponiblesen su version original en ingles.

Para el profesor Los profesores que piensan utilizar este libro como texto para su asignatura, puedenacceder al material complementario registrandose en la siguiente pagina web:http:// www.reverte.com/microsites/rogawskio contactando con promocion@reverte.com

Para el estudiante Los alumnos que lo deseen, podran acceder mediante un simple registro on-line,a los complementos gratuitos y de libre acceso (Free & Open Resources) que laeditorial original W.H. Freeman ofrece a traves del portalhttp://bcs.whfreeman.com/calculus2e

xiv PREAMBULO

CARACTERSTICAS

Apuntes conceptuales fomentan lacomprensin conceptual del clculoexplicando ideas importantes demanera clara pero informal.

Cap. 3, p. 111

Apuntes grficos mejoran la comprensinvisual de los estudiantes poniendo demanifiesto las conexiones entre las propiedades grficas y los conceptossubyacentes.

Cap. 2, p. 95

Recordatorios son notas almargen que enlazan ladiscusin que se lleva acabo en ese momento conconceptos importantes quese han introducido previamente en el texto, para proporcionar a losestudiantes una revisinrpida y realizar conexionesentre ideas afines.

FIGURA 5

2

12

sen

rea OAB

12

rea del sector

12

sen

cos

rea OAC

3

sen

1 4

Cap. 2, p. 78

xc

mite

O A

B (cos , sen )

rea del tringulo sen rea del tringulorea del sector circular

tan

O A111

CB

O A

B

xxx

yyy

12 tan

11

12

12

r

2 r

2 12 r

2

RECORDATORIO Recuerde que elarea de un sector circular de angulo en una circunferencia de radio r es12 r

2 . La razon es la siguiente: un sectorcircular de angulo representa unafraccion de 2 de la circunferencia. Elarea de la circunferencia es 2, por loque el area del sector circular es

. Para la circunferenciaunitaria (r = 1), el area del sector es 12 .

r

Nota: La demostracion del teorema 3utiliza la formula 12 para el area de unsector circular, pero esta, a su vez,esta basada en la formula 2 para elarea de un crculo, cuya demostracioncompleta requiere del calculo integral.

< < 2Demostracion Suponga en primer lugar que 0 . La demostracion se va a basaren la siguiente relacion entre las

rea de OAB < area del sector circular BOA < area de OAC

A continuacion se van a calcular estas tres areas. En primer lugar, la base de OAB es 1 ysu altura es sen , por lo que su area es igual a 12 sen . Ahora, recuerde que el area de unsector circular de angulo es 12 . Finalmente, para calcular el area del triangulo OAC,observe que:

tan =cateto opuestocateto contiguo

=ACOA

=AC1

= AC

Por tanto, como la base del triangulo OAC es 1, y su altura es tan , su area sera 12 tan .De esta manera, se ha demostrado que:

>Segun la primera desigualdad sen y, como 0, se obtiene:

La notacin de Leibniz se usa por diferentes motivos. Enprimer lugar, recuerda que la derivada d f dx, aunque no es un cociente propiamentedicho, es un lmite de cocientes f x . En segundo lugar, esta notacin especi ca lavariable independiente. Esto resulta til cuando se emplean otras variables adems dex. Por ejemplo, si la variable independiente es t, se escribe d f dt . En tercer lugar, sesuele pensar en d dx como en un operador que aplica la operacin de derivacinsobre las funciones. En otras palabras, se aplica el operador d dx a f para obtenerla derivada df dx. Otras ventajas de la notacin de Leibniz se pondrn de mani estocuando se trate la regla de la cadena en la seccin 3.7.

UN APUNTE CONCEPTUAL

UN APUNTE GRFICO

P R E A M B U L O xv

exponenteexponented

dxx ( ) xexponente1

d

dxx3/5 3

5x8/5, d

dxx

2 2 x

21

Cap. 3, p. 112

Atencin estasanotaciones adviertena los estudiantes sobreescollos habituales conlos que se puedenencontrar en la comprensin del material.

Cap. 2, p. 41

Perspectivas histricasson breves vietas que sitan descubrimientos clave y avances conceptuales en su contexto histrico. Facilitan a los estudiantes un vistazo a algunos de los logros de los grandes matemticos y una apreciacin de su importancia.

ATENCIN La regla de la potencia sepuede aplicar unicamente a lasfunciones potenciales y = xn. No sepuede aplicar a las funcionesexponenciales como y = 2x. La derivadade y = 2x no es x2x1. Se estudiaran lasderivadas de las funcionesexponenciales en esta seccion, pero masadelante.

s d r, aq aAnte e continua he u lgunas observaciones:nvare s ayuda la regl e la a en p

baj e y (a Pued er de recordar a d potenci alabras: para deri x ,

e el exponent reste uno l exponente).

ya sea negativo, fraccio-potencia es valida para cualquier exponente, La regla de lanario, o irracional:

Esta estatua de Isaac Newton en laUniversidad de Cambridge se describeen El Preludio, un poema de WilliamWordsworth (1770-1850):Newton con su prisma y cara ensilencio, El exponente en marmol deuna mente Viajando para siempre atraves de los mares extranos delPensamiento, solo.

PERSPECTIVAHISTRICA

La losofa esta escritaen ese gran libro eluniverso que perma-nece abierto ante nues-

tros ojos, pero que no podremos entender hasta queno comprendamos el lenguaje... en el que esta escri-to: el lenguaje de las matematicas...

GALILEO GALILEI, 1623

La revolucion cientca de los siglos XVI yXVII alcanzo su punto culminante en la obra deIsaac Newton (1643-1727), el primer cientcoque demostro que el mundo fsico, a pesar de sucomplejidad y diversidad, esta regido por un pe-queno numero de leyes universales. Una de lasgrandes intuiciones de Newton fue que las le-yes del universo no describen el mundo tal co-mo es, ni en el momento actual ni en ningunotro, sino cmo el mundo cambia en el tiempoen respuesta a diversas fuerzas. Estas leyes seexpresan mejor en el lenguaje del calculo in-nitesimal, que son las matematicas del cambio.

Mas de cincuenta anos antes de los traba-jos de Newton, el astronomo Johannes Kepler(1571-1630) descubrio sus tres leyes del movi-miento planetario, una de las cuales postula quela trayectoria de cualquier planeta alrededor delSol es una elipse. Kepler encontro esas leyesdespues de un analisis minucioso de muchsi-mos datos astronomicos, pero no pudo expli-car por que se cumplan. Las leyes de New-ton explican el movimiento de cualquier objetodesde un planeta hasta una canica en termi-nos de las fuerzas que actuan sobre el.

Segun Newton, los planetas, si pudiesenmoverse libremente, lo haran en trayectoriasrectas. Puesto que sus trayectorias son en reali-dad elipses, debe existir alguna fuerza en estecaso, la atraccion gravitatoria del Sol que leshaga cambiar de direccion continuamente. Ensu obra magna Principia Mathematica, publi-cada en 1687, Newton demostro que las leyesde Kepler se deducan de sus propias leyes demovimiento y de gravitacion.

Por estos descubrimientos, Newton consi-guio fama generalizada a lo largo de su vida.Su fama siguio creciendo despues de su muerte,llegando a alcanzar una dimension casi mtica,y sus ideas tuvieron una profunda inuencia nosolo en la ciencia, sino tambien en las artes yla literatura, tal como lo expresa en su epitaoel poeta ingles Alexander Pope: La Naturalezay las leyes de la Naturaleza se escondan en laNoche. Dijo Dios, Sea Newton! y todo fue Luz.

Las hipotesis son importantes utiliza explicaciones cortas y contraejemplos bien esco-gidos para que los estudiantes valoren por que se necesitan las hipotesis en los teoremas.

Resumenes de la seccion resume los puntos clave de una seccion de manera concisay util para los estudiantes, y hace hincapie en lo que es mas importante en cada seccion.

Lista de problemas de la seccion proporcionan un amplio conjunto de ejercicios enestrecha coordinacion con el texto. Estos ejercicios varan en dicultad desde rutinarios,a moderados y a mas difciles. Tambien se incluyen iconos que indican los problemas querequieren respuesta por escrito o que hacen necesario el uso de tecnologa .

Problemas de repaso del captulo ofrecen un amplio conjunto de ejercicios en es-trecha coordinacion con el material del captulo para proporcionar mas problemas para elestudio personal, o para las asignaciones.

12 ECUACIONESPARAMTRICAS,COORDENADASPOLARES YSECCIONES CNICAS

La hermosa concha del nautilus pompiliuscrece con la forma de una espiralequiangular, una curva descrita encoordenadas polares por la ecuacionr = ea .

En este captulo se introducen dos nuevas herramientas importantes. En primer lugar, seEconsideran las ecuaciones parametricas, que describen las curvas de una manera espe-cialmente util para analizar el movimiento y que resultan imprescindibles en areas comolos gracos por ordenador y el diseno asistido por ordenador. A continuacion se estudianlas coordenadas polares, una alternativa a las coordenadas rectangulares que simplicalos calculos en muchas aplicaciones. Este captulo naliza con un estudio de las seccio-nes conicas (elipses, hiperbolas y parabolas).

12.1 Ecuaciones paramtricas

Se utilizara el termino partcula parareferirse a un objeto en movimiento, sintener en cuenta su estructura interna.

Considere una partcula que se desplaza describiendo una curva C en el plano, tal y comose ilustra en la gura 1. Se puede describir el movimiento de la partcula especicandolas coordenadas como funcion del tiempo t:

x = f (t) y = g(t) 1

Dicho de otro modo, en el instante t, la partcula se encuentra en el punto:

c(t) = ( f (t), g(t))

Las ecuaciones (1) se denominan ecuaciones parametricas y se dice que C es una curvaparametrica. Se dice que c(t) es una parametrizacion de parametro t.

FIGURA 1 Partcula que se desplaza alo largo de una curva C en el plano.

x

y

t = 0t = 4

Posicin en el instante t

( f (t), g(t))

Curva

Como x e y son funciones de t, a menudo se escribe c(t) = (x(t), y(t)) en lugar de( f (t), g(t)). Por supuesto, se puede utilizar cualquier otra variable para el parametro (co-mo s o ). En las representaciones gracas de curvas parametricas, se suele indicar ladireccion del movimiento mediante una echa, como en la gura 1.

613

614 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

EJEMPLO 1 Dibuje la curva de ecuaciones parametricas

x = 2t 4 y = 3 + t2 2Solucion En primer lugar, calcule las coordenadas x e y para diferentes valores de t,como se muestra en la tabla 1 y represente los correspondientes puntos (x, y), como en lagura 2. Despues, una los puntos por medio de una curva suave, indicando la direcciondel movimiento con una echa.

TABLA 1

t x = 2t 4 y = 3 + t2

2 8 70 4 32 0 74 4 19 408 4

y

x

t = 0(4, 3)

t = 2(8, 7)

t = 2(0, 7)

t = 4(4, 19)

FIGURA 2 La curva parametricax = 2t 4, y = 3 + t2.

y

22x

FIGURA 3 La curva parametricax = 5 cos(3t) cos( 23 sen(5t)),y = 4 sen(3t) cos( 23 sen(5t)).

UN APUNTE CONCEPTUAL La graca de una funcion y = f (x) siempre se puede para-metrizar, de manera sencilla, como:

c(t) = (t, f (t))Por ejemplo, la parabola y = x2 se parametriza como c(t) = (t, t2) y la curva y = etcomo c(t) = (t, et). Una ventaja de las ecuaciones parametricas es que permiten des-cribir curvas que no son gracas de funciones. Por ejemplo, la curva de la gura 3 noes de la forma y = f (x) pero se puede expresar de forma parametrica.

Tal y como se acaba de mencionar, una curva parametrica c(t) no tiene por que ser lagraca de una funcion. Sin embargo, si lo fuera, es posible hallar la funcion f (x) elimi-nando el parametro como en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 2 Eliminando el parametro Describa la curva parametrica

c(t) = (2t 4, 3 + t2)del ejemplo previo, en la forma y = f (x).Solucion Se elimina el parametro aislando y como funcion de x. En primer lugar, ex-prese t el terminos de x: como x = 2t 4, se obtiene que t = 12 x + 2. Ahora, sustituya eny:

y = 3 + t2 = 3 +(12x + 2

)2= 7 + 2x +

14x2

Por tanto, c(t) describe la graca de f (x) = 7 + 2x + 14 x2 que se muestra en la gura 2.

1000 2000 3000

t 20,4

t 40,8

t 0 x (m)

y (m)

2000

1000t 5

FIGURA 4 Trayectoria de una bala.

EJEMPLO 3 La trayectoria de una bala, hasta el instante en el que toca el suelo, es:

c(t) = (80t, 200t 4,9t2)con t expresado en segundos y la distancia en metros (gura 4). Halle:(a) La altura de la bala en el instante t = 5 s. (b) Su altura maxima.

S E C C I O N 12.1 Ecuaciones parametricas 615

ATENCIN La graca de la alturarespecto al tiempo de un objeto que selanza al aire es una parabola (segun laformula de Galileo). Pero recuerde quela gura 4 no es una graca de la alturarespecto al tiempo. Muestra latrayectoria real de la bala (que presentaun desplazamiento vertical y unohorizontal).

Solucion La altura de la bala en el instante t es y(t) = 200t 4,9t2.

(a) La altura en t = 5 s es:

y(5) = 200(5) 4,9(52) = 877,5 m

(b) La altura maxima tiene lugar en el punto crtico de y(t):

y(t) = ddt (200t 4,9t2) = 200 9,8t = 0 t = 2009,8 20,4 s

La altura maxima de la bala es y(20,4) = 200(20,4) 4,9(20,4)2 2041 m.A continuacion se consideran la parametrizacion de rectas y de circunferencias. En los

ultimos captulos, ambas apareceran con frecuencia.

TEOREMA 1 Parametrizacion de una recta(a) La recta que pasa por P = (a, b) y tiene pendiente m se parametriza mediante:

x = a + rt y = b + st < t < + 3

para cualquier r y s (con r 0) tales que m = s/r.(b) La parametrizacion de la recta que pasa por P = (a, b) y Q = (c, d) es:

x = a + t(c a) y = b + t(d b) < t < + 4

El segmento que va de P a Q corresponde a 0 t 1.

a a + 1 a + 2

t = 1

t = 0, P = (a, b)

t = 1

t = 2

x

b

b + m

b + 2m

b m

y

a 1

FIGURA 5 La parametrizacion de larecta y a = m(x b) es:c(t) = (a + t, b + mt). Corresponde ar = 1, s = m en la ec. 3.

Solucion (a) Asle t como funcion de x en x = a + rt: se obtiene t = (x a)/r. Entonces:

y = b + st = b + s(x ar

)= b + m(x a) o y b = m(x a)

Se trata de la ecuacion de la recta que pasa por P = (a, b) y tiene pendiente m. Para r = 1y s = m se obtiene la parametrizacion de la gura 5.

La parametrizacion de (b) dene una recta que verica (x(0), y(0)) = (a, b) y (x(1),y(1)) = (c, d). Por tanto, parametriza la recta que pasa por P y por Q y describe el seg-mento que va de P a Q cuando t vara de 0 a 1.

EJEMPLO 4 Parametrizacion de una recta Parametrice la recta que pasa porP = (3,1) y tiene pendiente m = 4.

Solucion Se puede parametrizar esta recta considerando r = 1 y s = 4 en la ec. (3):

x = 3 + t, y = 1 + 4t

que se puede expresar como c(t) = (3 + t,1 + 4t). Otra parametrizacion de esta recta esc(t) = (3 + 5t,1 + 20t), correspondiente a r = 5 y s = 20 en la ec. (3).

La parametrizacion de la circunferencia centrada en el origen y de radio R es:

x = R cos , y = R sen

618 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

Etapa 2. Estudie x(t), y(t) como funciones de tSe tiene que x(t) = t2 + 1 y que y(t) = t3 4t. La coordenada x, x(t) = t2 + 1, tiendea + cuando t +. Para examinar la coordenada y, se representa y(t) = t3 4t == t(t 2)(t + 2) como funcion de t (no como funcion de x). Como y(t) es la alturapor encima del eje x, la gura 9(A) muestra que:

y(t) < 0 para 0 < t < 2 curva por debajo del eje xy(t) > 0 para t > 2 curva por encima del eje x

As, la curva empieza en c(0) = (1, 0), cae por debajo del eje x y vuelve al eje xen t = 2. Tanto x(t) como y(t) tienden a + cuando t +. La curva es convexaporque y(t) aumenta mas rapidamente que x(t).

Etapa 3. Represente los puntos y unalos con un arcoSe han representados los puntos c(0), c(1), c(2), c(2,5), vea la tabla 3, y unido me-diante un arco para obtener la representacion para t 0 de la gura 9(B). La re-presentacion graca se complementa realizando una reexion respecto al eje x, taly como se ilustra en la gura 9(C).

TABLA 3

t x = t2 + 1 y = t3 4t

0 1 01 2 32 5 02.5 7,25 5,625

y

t = 2,5

t = 1

t = 2t = 2t = 0t = 2t = 0

t = 2,5

t = 1

(C) Complete la representacingrfica usando la propiedad de simetra.

10

8

8

3

3

x

y

33 11 22t

y

t = 2,5

t = 1

y = t3 4t

(B) Grfica para t 0(A) Grfica de la coordenada y(t) = t3 4t

5 510

8

8

3

3

x

FIGURA 9 La curva c(t) = (t2 + 1, t3 4t).

Una cicloide es una curva descrita por un punto sobre una circunferencia en una ruedaen movimiento, tal y como se muestra en la gura 10. Las cicloides son famosas por supropiedad braquistocrona (vea la nota la margen, mas abajo).

FIGURA 10 Una cicloide. 1

y

x0 2 3 4

Destacados matematicos (incluyendo aGalileo, Pascal, Newton, Leibniz,Huygens y Bernoulli) estudiaron lacicloide y descubrieron muchas de susimportantes propiedades. La curva quedescribe la cada de un cuerpo que debellegar al punto inferior en el menortiempo posible (suponiendo que noexiste friccion) debe tener la forma deuna cicloide invertida. Esta es lapropiedad braquistocrona, un terminoque deriva del griego brachistos, mascorto, y chronos, tiempo.

EJEMPLO 8 Parametrizacion de una cicloide Halle ecuaciones parametricas parauna cicloide generado por un punto P sobre la circunferencia unitaria.

Solucion El punto P se encuentra en el origen en t = 0. En el instante t, la circunferenciase ha desplazado t radianes sobre el eje x con lo que el centro C de la circunferenciatendra coordenadas (t, 1), como se puede observar en la gura 11(A). La gura 11(B)muestra que para pasar de C a P hay que desplazarse cos t unidades hacia abajo y sen t ala izquierda, dando lugar a las siguientes ecuaciones parametricas:

x(t) = t sen t, y(t) = 1 cos t 5

S E C C I O N 12.1 Ecuaciones parametricas 619

x

1

11

y

O

sen tx

y

t

P

(A) P tiene las coordenadasx = t sen t, y = 1 cos t

(B)

1

1cos ttt

y

C = (t, 1)P

C

t xO x

Posicin de P en el instante t

FIGURA 11

De manera similar a como se ha procedido en el ejemplo 8, es posible demostrar quela cicloide generada por una circunferencia de radio R, tiene ecuaciones parametricas:

x = Rt R sen t, y = R R cos t 6

NOTACIN En esta seccion, se denotaf (t), x(t), y(t), y as sucesivamente,como la derivada respecto a t.

ATENCIN No debe confundir dy/dxcon las derivadas dx/dt y dy/dt, queson las derivadas respecto al parametrot. Unicamente dy/dx es la pendiente dela recta tangente.

A continuacion, se considera el problema de hallar las rectas tangentes a curvas pa-rametricas. La pendiente de la recta tangente es la derivada dy/dx, pero se debe utilizarla regla de la cadena para determinarla, porque y no se encuentra denida explcitamentecomo funcion de x. Exprese x = f (t), y = g(t). Entonces, segun la regla de la cadena enla notacion de Leibniz:

g(t) = dydt =dydx

dxdt =

dydx f

(t)

Si f (t) 0, se puede dividir por f (t) con el resultadodydx =

g(t)f (t)

Esta operacion es factible si f (t) y g(t) son derivables, f (t) es continua y f (t) 0. Ental caso, la inversa t = f 1(x) existe y la funcion compuesta y = g( f 1(x)) es una funcionderivable de x.

TEOREMA 2 Pendiente de la recta tangente Sea c(t) = (x(t), y(t)), donde x(t) e y(t)son derivables. Suponga que x(t) es continua y que x(t) 0. Entonces:

dydx =

dy/dtdx/dt =

y(t)x(t) 7

105x

y

t = 3

t =

5

10

15

51015

t = 23

t = 3

23

FIGURA 12 Rectas tangenteshorizontales para c(t) = (t2 + 1, t3 4t).

EJEMPLO 9 Sea c(t) = (t2 + 1, t3 4t). Determine:(a) Una ecuacion de la recta tangente en t = 3.(b) Los puntos en que la recta tangente sea horizontal (gura 12).Solucion Se tiene:

dydx =

y(t)x(t) =

(t3 4t)(t2 + 1) =

3t2 42t

S E C C I O N 12.1 Ecuaciones parametricas 621

12.1 RESUMEN

Una curva parametrica c(t) = ( f (t), g(t)) describe el camino de una partcula que sedesplaza sobre una curva, como funcion del parametro t. Las parametrizaciones no son unicas: cada curva C se puede parametrizar de innitasmaneras. Ademas, el camino c(t) puede recorrer toda o parte de C mas de una vez. Pendiente de la recta tangente en c(t):

dydx =

dy/dtdx/dt =

y(t)x(t) (valida si x

(t) 0)

No confunda la pendiente de la recta tangente dy/dx con las derivadas dy/dt y dx/dt,respecto a t. Parametrizaciones estandar:

Recta de pendiente m = s/r que pasa por P = (a, b): c(t) = (a + rt, b + st). Circunferencia de radio R centrada en P = (a, b): c(t) = (a + R cos t, b + R sen t). Cicloide generada por una circunferencia de radio R: c(t) = (R(tsen t),R(1cos t)).

12.1 PROBLEMAS

Ejercicios preliminares11. Describa la forma de la curva x = 3 cos t, y = 3 sen t.12. Cual es la diferencia entre la curva x = 4 + 3 cos t, y = 5 + 3 sen ty la del problema anterior?13. Cual es la altura maxima de una partcula cuya trayectoria quedadescrita por las ecuaciones parametricas x = t9, y = 4 t2?14. Se puede representar la curva parametrica (t, sen t) como una gra-ca y = f (x)? Y la curva (sen t, t)?

15. Relacione las derivadas con la descripcion verbal:

(a) dxdt (b)dydt (c)

dydx

ii(i) Pendiente de la recta tangente a la curva.i(ii) Tasa de cambio vertical respecto al tiempo.(iii) Tasa de cambio horizontal respecto al tiempo.

Problemas11. Halle las coordenadas en los instantes t = 0, 2, 4 de una partculacuya trayectoria es x = 1 + t3, y = 9 3t2.12. Halle las coordenadas en t = 0, 4 , de una partcula que se muevedescribiendo la trayectoria c(t) = (cos 2t, sen2 t).13. Pruebe, eliminando el parametro, que la trayectoria descrita por labala del ejemplo 3 es una parabola.14. Use la tabla de valores para dibujar la curva parametrica (x(t), y(t)),indicando la direccion del movimiento.

t 3 2 1 0 1 2 3x 15 0 3 0 3 0 15y 5 0 3 4 3 0 5

15. Represente las siguientes curvas parametricas. Incluya echas queindiquen la direccion del movimiento.

(a) (t, t), < t < + (b) (sen t, sen t), 0 t 2(c) (et, et), < t < + (d) (t3, t3), 1 t 1

16. Proporcione dos parametrizaciones diferentes de la recta que pasapor (4, 1) y tiene pendiente 2.En los problemas 7-14, elimine el parametro para conseguir expresary = f (x).17. x = t + 3, y = 4t 18. x = t1, y = t2

19. x = t, y = tan1(t3 + et) 10. x = t2, y = t3 + 1

11. x = e2t, y = 6e4t 12. x = 1 + t1, y = t2

13. x = ln t, y = 2 t 14. x = cos t, y = tan tEn los problemas 15-18, represente la curva y dibuje una echa queindique la direccion del movimiento.

15. x = 12 t, y = 2t2 16. x = 2 + 4t, y = 3 + 2t

17. x = t, y = sen t 18. x = t2, y = t3

19. Relacione las parametrizaciones (a)-(d) que se encuentran a conti-nuacion con sus gracas de la gura 14 y dibuje una echa que indiquela direccion del movimiento.

622 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

2

xx

yy

1555

(II) (III)(I)

x x

10205

yy

(IV)

FIGURA 14

(a) c(t) = (sen t,t) (b) c(t) = (t2 9, 8t t3)(c) c(t) = (1 t, t2 9) (d) c(t) = (4t + 2, 5 3t)20. Una partcula describe la trayectoria:

x(t) = 14t3 + 2t, y(t) = 20t t2

donde t se expresa en segundos y la distancia se expresa en centmetros.

(a) Cual es la altura maxima de la partcula?(b) En que momento y a que distancia del origen llega la partcula alsuelo?

21. Halle un intervalo de valores de t para el que c(t) = (cos t, sen t)describa la parte inferior de la circunferencia unidad.

22. Halle un intervalo de valores de t para el que c(t) = (2t + 1, 4t 5)parametrice el segmento que va de (0,7) a (7, 7).En los problemas 23-38, halle ecuaciones parametricas para la curvadada.

23. y = 9 4x 24. y = 8x2 3x

25. 4x y2 = 5 26. x2 + y2 = 49

27. (x + 9)2 + ( y 4)2 = 49 28.( y12

)2= 1

29. Recta de pendiente 8 que pasa por (4, 9).30. Recta que pasa por (2, 5) y es perpendicular a y = 3x.31. Recta que pasa por (3, 1) y por (5, 4).32. Recta que pasa por ( 13 , 16 ) y por ( 76 , 53 ).33. Segmento que une (1, 1) y (2, 3).34. Segmento que une (3, 0) y (0, 4).35. Circunferencia de centro (3, 9) y radio 4.36. Elipse del problema 28, con su centro trasladado a (7, 4).37. y = x2, a la que se ha aplicado una traslacion de manera que elmnimo se de en (4,8).38. y = cos x, a la que se ha aplicado una traslacion de manera que elmaximo se de en (3, 5).En los problemas 39-42, halle una parametrizacion c(t) de la curva,que cumpla la condicion indicada.

39. y = 3x 4, c(0) = (2, 2)

40. y = 3x 4, c(3) = (2, 2)41. y = x2, c(0) = (3, 9)42. x2 + y2 = 4, c(0) = ( 12 ,

3

2)

43. Describa c(t) = (sec t, tan t) para 0 t < 2 de la forma y = f (x).Especique el dominio de x.

44. Halle una parametrizacion de la rama derecha (x > 0) de la hiperbo-la: (

x

a

)2( yb

)2= 1

usando las funciones cosh t y senh t. Como puede parametrizar la ramax < 0?

45. En la gura 15(A) se muestran las gracas de x(t) y de y(t) comofunciones de t. Cual de las representaciones gracas (I)-(III) corres-ponde a la graca de c(t) = (x(t), y(t))? Justique su respuesta.

yyyyx(t)

y(t)xxxt

(A) (III)(II)(I)

FIGURA 15

46. Cual de las representaciones gracas (I) o (II), corresponde a lagraca de x(t) y cual es la graca de y(t) para la curva parametrica de lagura 16(A)?

y y

(A)

x

(I)

t

y

(II)

t

FIGURA 16

47. Dibuje c(t) = (t3 4t, t2) siguiendo los pasos del ejemplo 7.48. Dibuje c(t) = (t2 4t, 9 t2) para 4 t 10.En los problemas 49-52, use la ec. (7) para hallar dy/dx en el puntoque se indica.

49. (t3, t2 1), t = 4 50. (2t + 9, 7t 9), t = 151. (s1 3s, s3), s = 1 52. (sen 2 , cos 3 ), = 6En los problemas 53-56, halle una ecuacion y = f (x) para la curvaparametrica y calcule dy/dx de dos maneras: usando la ec. (7) y deri-vando f (x).53. c(t) = (2t + 1, 1 9t)54. c(t) = ( 12 t, 14 t2 t)55. x = s3, y = s6 + s3

S E C C I O N 12.1 Ecuaciones parametricas 623

56. x = cos , y = cos + sen2

57. Halle los puntos de la curva c(t) = (3t2 2t, t3 6t) en los que larecta tangente tiene pendiente igual a 3.

58. Halle la ecuacion de la recta tangente a la cicloide generada por unacircunferencia de radio 4, en t = 2 .

En los problemas 59-62, sea c(t) = (t2 9, t2 8t) (vea la gura 17).

60

40

20

604020x

y

FIGURA 17 Representacion graca de c(t) = (t2 9, t2 8t).

59. Dibuje una echa que indique la direccion del movimiento y deter-mine el intervalo de valores de t que corresponden a la porcion de lacurva que se encuentra en cada uno de los cuatro cuadrantes.

60. Halle la ecuacion de la recta tangente en t = 4.

61. Halle los puntos en que la pendiente de la recta tangente sea iguala 12 .

62. Halle los puntos en que la recta tangente es horizontal y aquellosen que la recta tangente es vertical.

63. Sean A y B los puntos en los que la semirrecta de angulo cortalas dos circunferencias concentricas de radios r < R y centradas enel origen (gura 18). Sea P el punto de la interseccion entre la rectahorizontal que pasa por A y la recta vertical que pasa por B. Exprese lascoordenadas de P como funcion de y describa la curva trazada por Ppara 0 2.

x

y

B

P

Rr

A

FIGURA 18

64. Una escalera de 10 pies se desliza por una pared cuando se desplazasu extremo inferior B, alejandolo de la pared (gura 19). Usando elangulo como parametro, encuentre las ecuaciones parametricas delcamino seguida por (a) la parte superior de la escalera de A, (b) la parteinferior de la escalera de B y (c) el punto P que se encuentra a 4 pies dela parte superior de la escalera. Pruebe que P describe una elipse.

y

B

P = (x, y)

6

4

x

A

FIGURA 19

En los problemas 65-68, se hace referencia a la curva de Bezier denidapor las ecs. (8) y (9).

65. Pruebe que la curva de Bezier de puntos de control:

P0 = (1, 4), P1 = (3, 12), P2 = (6, 15), P3 = (7, 4)

tiene parametrizacion

c(t) = (1 + 6t + 3t2 3t3, 4 + 24t 15t2 9t3)

Compruebe que la pendiente en t = 0 es igual a la pendiente del seg-mento P0P1.

66. Halle una ecuacion de la recta tangente a la curva de Bezier delproblema 65 en t = 13 .

67. Encuentre y represente la curva de Bezier c(t) que pasa por los pun-tos de control:

P0 = (3, 2) P1 = (0, 2) P2 = (5, 4) P3 = (2, 4)

68. Pruebe que una curva cubica de Bezier es tangente al segmentoP2P3 en P3.

69. Una bala disparada desde una pistola sigue la trayectoria:

x = at, y = bt 16t2 (a, b > 0)

Pruebe que la bala sale del arma con un angulo = tan1 ( ba ) y quellega al suelo a una distancia ab/16 del origen.

70. Represente gracamente c(t) = (t3 4t, t4 12t2 + 48) para3 t 3. Halle los puntos en que la recta tangente es horizontal overtical.

71. Represente gracamente el astroide x = cos3 , y = sen3 y halle la ecuacion de la recta tangente en = 3 .

72. Halle la ecuacion de la recta tangente en t = 4 a la cicloide gene-rada por la circunferencia unidad con ecuacion parametrica (5).

73. Halle los puntos sobre la cicloide de ecuacion parametrica (5) enque la recta tangente sea horizontal.

S E C C I O N 12.1 Ecuaciones parametricas 625

89. Area por debajo de una curva parametrizada Sea c(t) == (x(t), y(t)), donde y(t) > 0 y x(t) > 0 (gura 24). Pruebe que elarea A por debajo de c(t) para t0 t t1 es:

A = t1

t0y(t)x(t) dt 12

Indicacion: como es estrictamente creciente, la funcion x(t) admite in-versa t = g(x) y c(t) es la graca de y = y(g(x)). Aplique la formula delcambio de variable a A =

x(t1)x(t0) y(g(x)) dx.

yc(t)

x(t1)x(t0)xx

FIGURA 24

90. Calcule el area por debajo de y = x2 en [0, 1] utilizando la ec. (12)y con las parametrizaciones (t3, t6) y (t2, t4).

91. Que dice la ec. (12) para c(t) = (t, f (t))?

92. Dibuje la graca de c(t) = (ln t, 2 t) para 1 t 2 y calcule elarea por debajo de la graca aplicando la ec. (12).

93. Galileo intento, sin exito, hallar el area por debajo de una cicloide.Sobre el 1630, Gilles de Roberval demostro que el area por debajo de unarco de la cicloide c(t) = (RtR sen t,RR cos t) generado por una cir-cunferencia de radio R es igual al triple del area del crculo (gura 25).Compruebe el resultado de Roberval usando la ec. (12).

x

y

R

RR 2

FIGURA 25 El area de un arco de la cicloide es igual al triple del areadel crculo correspondiente a la circunferencia que lo genera.

Problemas avanzados

94. Demuestre la siguiente generalizacion del problema 93: para todot > 0, el area del sector de la cicloide OPC es igual al triple del area delsegmento circular limitado por la cuerda PC de la gura 26.

RtP

O C = (Rt, 0)x

y

Rt

(B)(A) Sector de la cicloide OPC

P

O C = (Rt, 0)x

y

Segmento circular limitadopor la cuerda PC

FIGURA 26

95. Obtenga la formula para la pendiente de la recta tangente auna curva parametrica c(t) = (x(t), y(t)) mediante un metodo diferente alque se ha considerado en este libro. Suponga que x(t0) e y(t0) existeny que x(t0) 0. Pruebe que:

limh0

y(t0 + h) y(t0)x(t0 + h) x(t0) =

y(t0)x(t0)

A continuacion, explique por que este lmite es igual a la pendientedy/dx. Dibuje una gura que muestre que la razon en el lmite es lapendiente de una recta secante.

96. Compruebe que la curva tractriz ( > 0):

c(t) =(t tanh t

, sech t

)

tiene la siguiente propiedad: para todo t, el segmento que va de c(t) a(t, 0) es tangente a la curva y su longitud es (gura 27).

y

t

c(t)

x

FIGURA 27 Tractriz c(t) =(t tanh t

, sech t

).

97. En el problema 54 de la seccion 9.1, se describio la tractriz median-te la ecuacion diferencial:

dydx =

y2 y2

Pruebe que la curva c(t) identicada como la tractriz en el problema 96cumple esta ecuacion diferencial. Observe que la derivada a la izquierdase considera respecto a x, no respecto a t.

En los problemas 98 y 99, se hace referencia a la gura 28.

98. En la parametrizacion c(t) = (a cos t, b sen t) de una elipse, t no esun parametro angular salvo si a = b (es decir, cuando la elipse es unacircunferencia). Sin embargo, se puede interpretar t en terminos de unarea: pruebe que si c(t) = (x, y), entonces t = (2/ab)A, donde A es elarea de la region sombreada de la gura 28. Indicacion: Use ec. (12).

638 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

(a)(2,

2

)(b)

(2,

72

)

(c)(2,3

2

)(d)

(2, 7

2

)

(e)(2,

2

)(f)

(2,7

2

)

17. Describa cada sector sombreado de la gura 17 mediante desigual-dades en r y .

(A) (B) (C)

x x x

y y y

3 5 3 5 3 5

45

FIGURA 17

18. Halle la ecuacion en coordenadas polares de la recta que pasa porel origen y tiene pendiente 12 .

19. Cual es la pendiente de la recta = 35 ?10. Cual de las siguientes ecuaciones r = 2 sec y r = 2 csc deneuna recta horizontal?En los problemas 11-16, convierta a una ecuacion en coordenadas rec-tangulares.11. r = 7 12. r = sen

13. r = 2 sen 14. r = 2 csc

15. r = 1cos sen 16. r =

12 cos

En los problemas 17-20, convierta a una ecuacion en coordenadas rec-tangulares.17. x2 + y2 = 5 18. x = 5

19. y = x2 20. xy = 1

21. Relacione cada ecuacion con su descripcion.(a) r = 2 (i) Lnea vertical(b) = 2 (ii) Lnea horizontal(c) r = 2 sec (iii) Circunferencia(d) r = 2 csc (iv) Recta que pasa por origen22. Halle los valores de en la graca de r = 4 cos correspondientesa los puntos A, B, C, D de la gura 18. A continuacion, indique la por-cion de la graca descrita cuando vara en los siguientes intervalos:

(a) 0 2 (b) 2 (c) 32

x

y

2

2

2 4C A

B

D

FIGURA 18 Representacion graca de r = 4 cos .

23. Suponga que las coordenadas polares de P = (x, y) son (r, ). Hallelas coordenadas polares para los puntos:

(a) (x,y) (b) (x,y) (c) (x, y) (d) ( y, x)24. Relacione cada ecuacion en coordenadas rectangulares con su ecua-cion en coordenadas polares.

(a) x2 + y2 = 4 (i) r2(1 2 sen2 ) = 4(b) x2 + ( y 1)2 = 1 (ii) r(cos + sen ) = 4(c) x2 y2 = 4 (iii) r = 2 sen (d) x + y = 4 (iv) r = 225. Cuales son las ecuaciones polares de las rectas paralelas a la rectar cos

( 3

)= 1?

26. Pruebe que la circunferencia de centro ( 12 , 12 ) de la gura 19 tieneecuacion polar r = sen + cos y halle los valores de entre 0 y correspondientes a los puntos A, B, C, y D.

A D

B C x

y

12

12( ),

FIGURA 19 Representacion graca de r = sen + cos .

27. Dibuje la curva r = 12 (la espiral de Arqumedes) para entre 0 y2 representando los puntos correspondientes a = 0, 4 ,

2 , . . . , 2.

28. Dibuje la curva r = 3 cos 1 (vea el ejemplo 8).29. Dibuje la curva cardioide r = 1 + cos .30. Muestre que la cardioide del problema 29 tiene ecuacion:

(x2 + y2 x)2 = x2 + y2

en coordenadas rectangulares.

31. La gura 20 muestra las gracas de r = sen 2 en coordenadas rec-tangulares y en polares, donde se trata de una rosa con cuatro petalos.Identique:

(a) Los puntos en (B) que corresponden a los puntos A-I en (A).(b) Las partes de la curva en (B) que corresponden a los angulos en losintervalos

[0, 2 ], [2 ,], [, 32 ] y [ 32 , 2].

23 22

A C E IG

B F

D H

x

ry

(A) (B)Grfica de como unarfuncin de , donde r = sen 2

Grfica de = sen 2ren coordenas polares.

FIGURA 20

S E C C I O N 12.3 Coordenadas polares 639

32. Dibuje la curva r = sen 3 . En primer lugar, obtenga los valores der para la tabla que se encuentra a continuacion y represente los corres-pondientes puntos de la curva. Observe que los tres petalos de la curvacorresponden a los angulos en los intervalos [0, 3 ], [3 , 23 ] y [3 ,].Despues represente r = sen 3 en coordenadas rectangulares y etiquetelos puntos en esta graca correspondientes a los (r, ) de la tabla.

0 126

4

3

512 1112

r

33. Represente gracamente la cisoide r = 2 sen tan y prue-be que su ecuacion en coordenadas rectangulares es

y2 =x3

2 x34. Demuestre que r = 2a cos es la ecuacion de la circunferencia dela gura 21 usando unicamente el hecho que un triangulo inscrito enuna circunferencia, de manera que un lado de este sea igual al diametrode la circunferencia, es un triangulo rectangulo.

x

y

r

2a0

FIGURA 21

35. Pruebe que:

r = a cos + b sen

es la ecuacion de una circunferencia que pasa por el origen. Exprese elradio y el centro (en coordenadas rectangulares) en terminos de a y deb.

36. Use el problema previo para expresar la ecuacion de una circun-ferencia de centro (3, 4) y radio 5 de la forma r = a cos + b sen .37. Use la identidad cos 2 = cos2 sen2 para hallar una ecuacionpolar de la hiperbola x2 y2 = 1.38. Halle una ecuacion en coordenadas polares para la curva r2 == cos 2 .

39. Pruebe que cos 3 = cos3 3 cos sen2 y use esta identidadpara hallar una ecuacion en coordenadas rectangulares de la curva r == cos 3 .

40. Use la formula de adicion para el coseno para probar que la rectaR de ecuacion polar r cos( ) = d tiene ecuacion en coordenadasrectangulares (cos)x + (sen)y = d. Pruebe que la pendiente de R esm = cot y la ordenada en el origen es d/sen.En los problemas 41-44, halle una ecuacion en coordenadas polares dela recta R a la que se hace referencia.41. El punto de R que se encuentra mas cercano al origen tiene coor-denadas polares (2, 9 ).

42. El punto de R que se encuentra mas cercano al origen, tiene coor-denadas rectangulares (2, 2).43. R es tangente a la circunferencia r = 210 en el punto de coorde-nadas rectangulares (2,6).44. La pendiente de R es 3 y es tangente a la circunferencia unidad enel cuarto cuadrante.

45. Pruebe que cualquier recta que no pase por el origen tiene ecuacionpolar de la forma:

r =b

sen a cos donde b 0.

46. Segun el teorema del coseno, la distancia d entre dos puntos (gura22) de coordenadas polares (r, ) y (r0, 0) es:

d2 = r2 + r20 2rr0 cos( 0)

Use esta formula de la distancia para probar que:

r2 10r cos(

4

)= 56

es la ecuacion de la circunferencia de radio 9 y centro (en coordenadaspolares) (5, 4 ).

x

y

(r0, 0)r0

r

d

0

(r, )

FIGURA 22

47. Para a > 0, una curva lemniscata es el conjunto de puntos P talesque el producto de las distancias de P a (a, 0) y a (a, 0) es a2. Pruebeque la ecuacion de la lemniscata es:

(x2 + y2)2 = 2a2(x2 y2)

A continuacion, halle la ecuacion de la lemniscata en coordenadas po-lares. Para obtener la ecuacion en su forma mas simple, use la identidadcos 2 = cos2 sen2 . Represente la lemniscata para a = 2, si dis-pone de un programa informatico de calculo simbolico.

48. Sea c una constante jada. Explique la relacion entre lasgracas de:

(a) y = f (x + c) e y = f (x) (rectangulares)(b) r = f ( + c) y r = f ( ) (polares)(c) y = f (x) + c e y = f (x) (rectangulares)(d) r = f ( ) + c y r = f ( ) (polares)49. La derivada en coordenadas polares Muestre que una curva po-lar r = f ( ), tiene ecuaciones parametricas:

x = f ( ) cos , y = f ( ) sen

640 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

A continuacion, aplique el teorema 2 de la seccion 12.1 para demostrarque:

dydx =

f ( ) cos + f ( ) sen f ( ) sen + f ( ) cos 2

donde f ( ) = d f /d .

50. Use la ec. (2) para hallar la pendiente de la recta tangente ar = sen en = 3 .

51. Use la ec. (2) para hallar la pendiente de la recta tangente a r = en = 2 y en = .

52. Halle la ecuacion en coordenadas rectangulares de la recta tangentea r = 4 cos 3 en = 6 .

53. Halle las coordenadas polares de los puntos de la lemniscata r2 == cos 2t de la gura 23 en los que la recta tangente sea horizontal.

y

x1 1

r2 = cos (2t)

FIGURA 23

54. Halle las coordenadas polares de los puntos de la cardioide r == 1 + cos en que la recta tangente sea horizontal (vea la gura 24).

55. Use la ec. (2) para probar que para r = sen + cos , se verica:

dydx =

cos 2 + sen 2cos 2 sen 2

A continuacion, calcule las pendientes de las rectas tangentes a los pun-tos A, B,C de la gura 19.

Problemas avanzados

56. Sea f (x) una funcion periodica de periodo 2, es decirf (x) = f (x + 2). Explique de que manera se reeja esta periodicidaden la graca de:

(a) y = f (x) en coordenadas rectangulares(b) r = f ( ) en coordenadas polares

57. Utilice un programa informatico de representacion gracapara convencerse de que las ecuaciones polares r = f1( ) = 2 cos 1y r = f2( ) = 2 cos + 1 tienen la misma graca. A continuacion ex-plique la razon. Indicacion: muestre que los puntos ( f1( + ), + )y ( f2( ), ) coinciden.58. En este problema se va a analizar como la forma del caracolde Pascal r = b + cos depende de la constante b (vea la gura 24).(a) Siga los pasos del problema 57 para mostrar que las constantes b yb dan lugar a la misma curva.(b) Represente el caracol de Pascal para b = 0, 0,2, 0,5, 0,8, 1 y describael cambio que observa en la forma de las curvas.

(c) Represente el caracol de Pascal para 1,2, 1,5, 1,8, 2, 2,4 y describael cambio que observa en la forma de las curvas.

(d) Use la ec. (2) para demostrar que:

dydx =

(b cos + cos 2

b + 2 cos

)csc

(d) Halle los puntos en los que la recta tangente sea vertical. Observeque hay tres casos: 0 b < 2, b = 1 y b > 2. Reejan estos resultadoslos gracos que ha obtenido en (b) y (c)?

1 2 33

1

r = 1,5 + cos r = 2,3 + cos r = 1 + cos

13 2

1

1 2

1x

y

x

y

x

y

FIGURA 24

12.4 El rea y la longitud de arco en coordenadas polaresLa integracion en coordenadas polares no tiene como objetivo hallar el area por debajode una curva sino el area de un sector limitado por una curva, tal y como se muestra enla gura 1(A). Considere la region limitada por la curva r = f ( ) y las dos semirrectas = y = con < . Para deducir una formula para el area, divida la regionen N sectores estrechos de angulo = ( )/N correspondientes a una particion delintervalo [,]:

0 = < 1 < 2 < < N =

S E C C I O N 12.4 El area y la longitud de arco en coordenadas polares 641

FIGURA 1 Area limitada por la curvar = f ( ) y las dos semirrectas = y = .

r = f ( )

x

y

(A)

x

y

(B) Regin dividida en estrechos sectores

N =

rNrj rj1

r0

j

1j1

0 =

Regin

Recuerde que el area de un sector circular de angulo y radio r es 12 r2 (gura 2).

Si es pequeno, el sector j-esimo (gura 3) es practicamente un sector circular deradio r j = f ( j), por lo que su area es aproximadamente 12 r2j . El area total se puedeaproximar por la suma:

Area de la region N

j=1

12

r2j =12

Nj=1

f ( j)2 1

Se trata de una suma de Riemann para la integral 12

f ( )2 d . Si f ( ) es continua,

entonces la suma tiende a la integral cuando N + y se obtiene la siguiente formula.

x

y

r

FIGURA 2 El area de un sector circulares exactamente 12 r

2 .

x

y

rjrj 1

j

j1

FIGURA 3 El area del sector j-esimo esaproximadamente 12 r

2j .

TEOREMA 1 Area en coordenadas polares Si f ( ) es una funcion continua, enton-ces el area limitada por una curva en forma polar r = f ( ) y las semirrectas = y = (con < ) es igual a:

12

r2 d = 12

f ( )2 d 2

Tal y como se ha visto, r = R dene una circunferencia de radio R. Segun la ec. (2),el area del crculo que delimita es igual a 1

2

20

R2 d = 12R2(2) = R2, como caba

esperar.

RECORDATORIO En la ec. (4), seutiliza la identidad:

sen2 =12(1 cos 2 ) 3

EJEMPLO 1 Aplique el teorema 1 para calcular el area limitada por la semicircunfe-rencia derecha de ecuacion r = 4 sen .

Solucion La ecuacion r = 4 sen dene una semicircunferencia de radio 2 tangente aleje x en el origen. La region limitada por la semicircunferencia derecha queda barridacuando va de 0 a 2 , como en la gura 4(A). Segun la ec. (2), el area de esta region es:

12

/20

r2 d = 12

/20

(4 sen )2 d = 8 /2

0sen2 d = 4

= 8 /2

0

12(1 cos 2 ) d =

= (4 2 sen 2 )/2

0= 4

(

2

) 0 = 2

642 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

ATENCIN Recuerde que con laintegral 12

r2 d no se calcula pordebajo de una curva, como en la gura4(B), sino que se calcula el areabarrida por un segmento radial cuando va de a , como en la gura 4(A).

x

y

2

x

y

2

3

4

6

2 125

(A) La integral polar calcula el rea barrida por un segmento radial.

(B) La integral ordinaria en coordenadasrectangulares calcula el rea pordebajo de una curva.

FIGURA 4

EJEMPLO 2 Dibuje r = sen 3 y calcule el area de un petalo.Solucion Para dibujar la curva, represente en primer lugar r = sen 3 en coordenadasrectangulares. En la gura 5 se muestra que el radio r va de 0 a 1 y que vuelve hacia 0cuando vara de 0 a 3 . As se obtiene el petalo A de la gura 6. El petalo B se describecuando va de 3 a

23 (con r 0) y el petalo C se dibuja para 23 . Se obtiene

que el area del petalo A (usando la ec. (3) que se encuentra en el margen de la paginaprevia para evaluar la integral) es igual a:

12

/30

(sen 3 )2 d = 12

/30

(1 cos 6

2

)d =

(14 1

24sen 6

) /3

0=

12

CA

B

r

32 3

FIGURA 5 Graca de r = sen 3 como funcionde .

y

x

q =r = 1

B

C Aq =r = 1

q =r = 1

3

2

6

32

65

FIGURA 6 Graca de la curva polarr = sen 3 , una rosa con tres petalos.

x

y

r = f1( )

r = f2( )

FIGURA 7 Area entre dos curvaspolares en un sector.

El area entre dos curvas polares r = f1( ) y r = f2( ) con f2( ) f1( ), para , es igual a (gura 7):

Area entre dos curvas = 12

( f2( )2 f1( )2) d 5

EJEMPLO 3 Area entre dos curvas Halle el area de la region dentro de la circunfe-rencia r = 2 cos pero fuera de la circunferencia r = 1 [gura 8(A)].Solucion Las dos circunferencias se cortan en los puntos (r, 2 cos ) = (r, 1) o, dicho deotro modo , cuando 2 cos = 1. As cos = 12 , que tiene como solucion = 3 .

S E C C I O N 12.4 El area y la longitud de arco en coordenadas polares 643

FIGURA 8 La region (I) es la diferenciaentre las regiones (II) y (III).

y

x2

(I)

(A) (B)

1

y

x2

(II)

y

x21

(III)

(C)

3

3r = 1

r = 2 cos

RECORDATORIO En la ec. (6), seutiliza la identidad:

cos2 =12

(1 + cos 2 )

En la gura 8 se observa que la region (I) es la diferencia entre las regiones (II) y (III)de las guras 8(B) y (C). Por tanto:

Area de (I) = area de (II) area de (III) =

=12

/3/3

(2 cos )2 d 12

/3/3

(1)2 d =

=12

/3/3

(4 cos2 1) d = 12

/3/3

(2 cos 2 + 1) d = 6

=12

(sen 2 + )/3

/3=

3

2+

3 1,91

Se naliza esta seccion deduciendo una formula para la longitud de arco en coorde-nadas polares. Observe que una curva polar r = f ( ) admite una parametrizacion con como parametro dada por:

x = r cos = f ( ) cos , y = r sen = f ( ) sen

Utilizando la prima para denotar la derivacion respecto a , se obtiene:

x( ) = dxd = f ( ) sen + f( ) cos

y( ) = dyd = f ( ) cos + f( ) sen

Recuerde, de la seccion 12.2, que la longitud de arco se obtiene integrandox( )2 + y( )2. Mediante manipulaciones algebraicas elementales resulta que

x( )2 + y( )2 = f ( )2 + f ( )2 y, por tanto:

Longitud de arco s =

f ( )2 + f ( )2 d 7

y

xa 2a

= 0 o =

2

=

=

4

34

FIGURA 9 Graca de r = 2a cos .

EJEMPLO 4 Halle la longitud total de la circunferencia r = 2a cos para a > 0.

Solucion En esta situacion, f ( ) = 2a cos y se tiene:

f ( )2 + f ( )2 = 4a2 cos2 + 4a2 sen2 = 4a2

La longitud total de esta circunferencia de radio a es el valor que caba esperar:

0

f ( )2 + f ( )2 d =

0

(2a) d = 2a

Observe que el lmite superior de integracion es y no 2, porque la circunferenciacompleta se genera cuando va de 0 a (vea la gura 9).

644 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

12.4 RESUMEN

Area del sector limitado por una curva polar r = f ( ) y dos semirrectas = y = (gura 10):

Area =12

f ( )2 d

Area entre r = f1( ) y r = f2( ), donde f2( ) f1( ) (gura 11):

Area =12

( f2( )2 f1( )2) d

r = f ( )

x

y

FIGURA 10 Region limitada por la curva polarr = f ( ) y las semirrectas = , = .

x

y

r = f1( )

r = f2( )

FIGURA 11 Region comprendida entre doscurvas polares.

Longitud de arco de una curva polar r = f ( ) para :

Longitud de arco =

f ( )2 + f ( )2 d

12.4 PROBLEMAS

Ejercicios preliminares11. Las coordenadas polares son adecuadas para hallar el area (selec-cione una):(a) por debajo de una curva, entre x = a y x = b.(b) limitada por una curva y dos semirrectas por el origen.12. Si f ( ) es negativa, es valida la formula para el area en coordena-das polares?13. La ecuacion polar de la recta horizontal y = 1 es r = csc .

Que area representa la integral 12

/2/6

csc2 d (gura 12)?

(a) ABCD (b) ABC (c) ACD

y

xA

D

B

C y = 11

3

FIGURA 12

Problemas11. Dibuje la region limitada por la circunferencia r = 5 y las semirrec-tas = 2 y = y calcule su area como una integral en coordenadaspolares.

12. Dibuje la region limitada por la recta r = sec y las semirrectas = 0 y = 3 . Calcule su area de dos maneras: como una integral yaplicando geometra plana.

13. Calcule el area encerrada por la circunferencia r = 4 sen comouna integral en coordenadas polares (vea la gura 4). Tenga presente elseleccionar correctamente los lmites de integracion.14. Halle el area del triangulo sombreado de la gura 13 como unaintegral en coordenadas polares. A continuacion, halle las coordenadasrectangulares de P y de Q y calcule el area aplicando geometra plana.

S E C C I O N 12.4 El area y la longitud de arco en coordenadas polares 645

P

Q

r = 4 sec( ) 4

x

y

FIGURA 13

15. Halle el area de la region sombreada de la gura 14. Observe que va de 0 a 2 .

16. Que intervalo de valores de corresponde a la region sombreadade la gura 15? Halle el area de la region.

x

y

r = 2 + 48

1 2

FIGURA 14

3

2

y

x

r = 3

FIGURA 15

17. Halle el area total limitada por la cardioide de la gura 16.

y

x12

FIGURA 16 La cardioide r = 1 cos .

18. Halle el area de la region sombreada de la gura 16.

19. Halle el area de una hoja de la rosa de cuatro petalos r = sen 2(gura 17). A continuacion demuestre que el area total de la rosa esigual a la mitad del area del crculo limitado de la circunferencia cir-cunscrita.

y

x

r = sen 2

FIGURA 17 Rosa de cuatro petalos r = sen 2 .

10. Halle el area limitada por un bucle de la lemniscata de ecuacionr2 = cos 2 (gura 18). Seleccione sus lmites de integracion con cui-dado.

y

x1 1

FIGURA 18 La lemniscata r2 = cos 2 .

11. Dibuje la espiral r = para 0 2 y halle el area limitada porla curva y el primer cuadrante.

12. Halle el area comprendida entre las circunferencias r = sen yr = cos .

13. Halle el area de la region A de la gura 19.

r = 4 cosy

x1 41 2

Ar = 1

FIGURA 19

14. Halle el area de la region sombreada de la gura 20, limitada porla circunferencia r = 12 y un petalo de la curva r = cos 3 . Indicacion:Calcule tanto el area del petalo como la de la region dentro del petalo ypor fuera de la circunferencia.

r = cos 3

r = 12

y

x

FIGURA 20

15. Halle el area del bucle interior del caracol de Pascal con ecuacionpolar r = 2 cos 1 (gura 21).

646 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

16. Halle el area de la region sombreada de la gura 21 entre los buclesinterior y exterior del caracol de Pascal r = 2 cos 1.

21

1

1

y

x

FIGURA 21 El caracol de Pascal dado por r = 2 cos 1.

17. Halle el area de la porcion del crculo de circunferencia r = sen +cos , que se encuentra en el cuarto cuadrante (vea el problema 26 de laseccion 12.3).18. Halle el area de la region que se encuentra en el interior de la cir-cunferencia r = 2 sen

( + 4

)y por encima de la recta r = sec ( 4 ).

19. Halle el area comprendida entre las dos curvas de la gura 22(A).20. Halle el area comprendida entre las dos curvas de la gura 22(B).

y y

x x

(A) (B)

r = 2 + cos 2r = sen 2

r = sen 2

r = 2 + sen 2

FIGURA 22

21. Halle el area entre las dos curvas de la gura 23.

22. Halle el area de la region que se encuentra dentro de una pero no delas dos curvas de la gura 23.

y

x

2 + sen 2

2 + cos 2

FIGURA 23

23. Calcule la longitud total de la circunferencia r = 4 sen como unaintegral en coordenadas polares.

24. Dibuje el segmento r = sec para 0 A. A continuacion,calcule su longitud de dos maneras: como una integral en coordenadaspolares y aplicando trigonometra.

En los problemas 25-30, calcule la longitud de la curva polar.

25. La longitud de r = 2 para 0 .26. La espiral r = para 0 A.27. La espiral equiangular r = e para 0 2.28. El bucle interior de r = 2 cos 1 de la gura 21.29. La cardioide r = 1 cos de la gura 16.30. r = cos2

En los problemas 31 y 32, exprese la longitud de la curva como unaintegral, pero no la evalue.

31. r = (2 cos )1, 0 2.32. r = sen3 t, 0 2.En los problemas 33-36, use un programa informatico de calculosimbolico para calcular la longitud total con dos decimales de preci-sion.

33. La rosa de tres petalos r = cos 3 de la gura 20.

34. La curva r = 2 + sen 2 de la gura 23.

35. La curva r = sen de la gura 24 para 0 4.y

x5 5

5

10

FIGURA 24 r = sen para 0 4.

36. r = , 0 4.

Problemas avanzados

37. Suponga que las coordenadas en el instante t de una partcula enmovimiento son (r(t), (t)). Demuestre que la celeridad de la partculaes igual a:

(dr/dt)2 + r2(d/dt)2.

38. Calcule la celeridad en el instante t = 1 de una partculaen movimiento cuyas coordenadas polares en el instante t son r = t, = t (aplique el problema 37). A que sera igual la celeridad si lascoordenadas rectangulares de la partcula fueran x = t, y = t? Porque la celeridad aumenta en un caso y es constante en el otro?

S E C C I O N 12.5 Secciones conicas 647

12.5 Secciones cnicas

Las conicas fueron estudiadas porprimera vez por los matematicos de laAntigua Grecia, empezandoprobablemente con Menecmo (380-320AC) e incluyendo a Arqumedes(287-212 AC) y Apolonio (262-190 AC).

Hay tres conocidas familias de curvas (elipses, hiperbolas y parabolas) de relevancia en lasmatematicas y en diferentes aplicaciones. Son las secciones conicas: se llaman as porquese obtienen por la interseccion de un cono con un plano apropiado (gura 1). El objetivode esta seccion es deducir ecuaciones para las secciones conicas a partir de sus denicio-nes geometricas en el plano.

FIGURA 1 Las secciones conicas seobtienen por la interseccion de unplano y un cono.

Se supone siempre que K es mayor quela distancia F1F2 entre los focos, porquela elipse consiste en el segmentorectilneo F1F2 si K = F1F2 y nocontiene ningun punto cuandoK < F1F2.

Una elipse es una curva con forma ovalada [gura 2(A)] formada por todos los puntosP tales que la suma de las distancias a dos puntos jos F1 y F2 es una constante K > 0:

PF1 + PF2 = K 1

Los puntos F1 y F2 son los focos de la elipse. Observe que si los focos coinciden, entoncesla ec. (1) se reduce a 2PF1 = K y se obtiene una circunferencia de centro F1 y radio 12K.

Se usara la siguiente terminologa:

el punto medio de F1F2 es el centro de la elipse la recta que pasa por los focos es el eje focal la recta que pasa por el centro y que es perpendicular al eje focal es el eje conjugado

Se dice que una elipse esta en posicion estandar si el eje focal y el conjugado son el ejex y el y, tal y como se muestra en la gura 2(B). En tal caso, las coordenadas de los focosson F1 = (c, 0) y F2 = (c, 0) para algun c > 0. A continuacion se va a demostrar que laecuacion de esta elipse es especialmente simple e igual a

(x

a

)2+

( yb

)2= 1 2

donde a = K/2 y b =a2 c2.

Segun la formula de la distancia, P = (x, y) se encuentra sobre la elipse de la gu-ra 2(B) siempre que:

PF1 + PF2 =

(x + c)2 + y2 +

(x c)2 + y2 = 2a 3Pase el segundo termino de la izquierda a la derecha, y eleve al cuadrado a ambos ladosde la igualdad:

(x + c)2 + y2 = 4a2 4a

(x c)2 + y2 + (x c)2 + y2

4a

(x c)2 + y2 = 4a2 + (x c)2 (x + c)2 = 4a2 4cx

0ARBOLA

%LIPSE

#IRCUNFERENCIA RBOL(IPR A

648 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

PF1 + PF2 = K.(B) Elipse en posicin estndar:

(xa)2 + (yb)2 = 1

y

x

Eje conjugado

Eje focalCentro F1F2 Centro

Semiejemenor

Semieje mayor

(c, 0)(c, 0)A' = (a, 0)

P

A = (a, 0)

B = (0, b)

B' = (0, b)

P = (x, y)

(A) La elipse est formada por todos los puntos P tales que

FIGURA 2

Estrictamente hablando, es necesarioprobar que si P = (x, y) cumple laec. (4), entonces tambien cumple laec. (3). Si empieza a trabajar con laec. (4) e invierte los pasos algebraicosrealizados, el proceso de considerar laraz cuadrada da lugar a la relacion:

(x c)2 + y2 (x + c)2 + y2 = 2a

Sin embargo, esta ecuacion no tienesentido, salvo que ambos signos seanpositivos, pues a > c.

Ahora, divida por 4, eleve al cuadrado y simplique:

a2(x2 2cx + c2 + y2) = a4 2a2cx + c2x2

(a2 c2)x2 + a2y2 = a4 a2c2 = a2(a2 c2)x2

a2+

y2

a2 c2 = 1 4

Se trata de la ec. (2) con b2 = a2 c2, tal y como se quera demostrar.La elipse corta los ejes en cuatro puntos A, A, B y B, llamados vertices. Los vertices

A y A, que se encuentran sobre el eje focal, son los vertices focales. Los numeros a yb son conocidos como el semieje mayor y el semieje menor (aunque en realidad sonnumeros y no ejes).

TEOREMA 1 Elipse en posicion estandar Sean a > b > 0 y c =a2 b2. La

ecuacion de la elipse PF1 + PF2 = 2a de focos F1 = (c, 0) y F2 = (c, 0) es:(x

a

)2+

( yb

)2= 1 5

Ademas, la elipse tiene

semieje mayor a, semieje menor b. vertices focales (a, 0), vertices menores (0,b).

Si b > a > 0, entonces ec. (5) dene una elipse de focos (0,c), donde c = b2 a2.

EJEMPLO 1 Halle la ecuacion de la elipse de focos (11, 0) y semieje mayor a = 6.A continuacion, halle el semieje menor y dibuje su graca.Solucion Los focos son (c, 0), siendo c = 11, y el semieje mayor es a = 6, por lo quese puede utilizar la relacion c =

a2 b2 para hallar b:

b2 = a2 c2 = 62 (11)2 = 25 b = 5

As, el semieje menor es b = 5 y la ecuacion de la elipse es(x

6

)2+

( y5

)2= 1. Para dibujar

la elipse, represente los vertices (6, 0) y (0,5) y unalos, como en la gura 3.

S E C C I O N 12.5 Secciones conicas 653

TEOREMA 5 Denicion foco-directriz Para todo e > 0, el conjunto de puntos quecumplen la ec. (10) es una seccion conica de excentricidad e. Ademas:

Elipse: sean a > b > 0 y c = a2 b2. La elipse(x

a

)2+

( yb

)2= 1

cumple la ec. (10) con F = (c, 0), e = ca

y directriz vertical x = ae.

Hiperbola: sean a, b > 0 y c = a2 + b2. La hiperbola(x

a

)2( yb

)2= 1

cumple la ec. (10) con F = (c, 0), e = ca

y directriz vertical x = ae.

y

xF = (c, 0)

d

Directriz x = ae

FIGURA 13

Demostracion Suponga que e > 1 (el caso e < 1 es similar, vea el problema 66). Sepuede escoger un sistema de ejes de manera que el foco F se encuentre sobre el eje x y ladirectriz sea vertical, quedando a la izquierda de F, como en la gura 13. Anticipandonosal resultado nal, sea d la distancia desde el foco F a la directriz D y sea:

c =d

1 e2 a =c

eb =

c2 a2

Puesto que se tiene la libertad de desplazar el eje y a conveniencia, elija un eje y tal quelas coordenadas del foco sean F = (c, 0). Entonces la directriz es la recta:

x = c d = c c(1 e2) =

= c e2 = ae

Ahora, se puede escribir la ecuacion PF = ePD para un punto P = (x, y) como:

(x c)2 + y2PF

= e

(x (a/e))2

PD

Por manipulacion algebraica se llega a:

(x c)2 + y2 = e2(x (a/e))2 (eleve al cuadrado)x2 2cx + c2 + y2 = e2x2 2aex + a2

x2 2aex + a2e2 + y2 = e2x2 2aex + a2 (use que c = ae)(e2 1)x2 y2 = a2(e2 1) (agrupe)

x2

a2 y

2

a2(e2 1) = 1 (divida)

Se trata de la ecuacion del enunciado, pues a2(e2 1) = c2 a2 = b2.

654 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

( 8, 0) 10

6

6

10F = (8, 0)

x = 12,5Directrizy

x

P

FIGURA 14 Elipse de excentricidade = 0,8 y foco en (8, 0).

d r cos

Directriz

Foco F

y

xO d

r

P

FIGURA 15 Denicion foco-directrizde la elipse en coordenadas polares.

EJEMPLO 5 Halle la ecuacion, focos y directriz de la elipse estandar de excentricidade = 0,8 y vertices focales (10, 0).Solucion Los vertices son (a, 0) con a = 10 (gura 14). Segun el teorema 5:

c = ae = 10 0,8 = 8 b =

a2 c2 =102 82 = 6

Por tanto, la ecuacion de la elipse del enunciado es:(

x

10

)2+

( y6

)2= 1

Los focos son (c, 0) = (8, 0) y la directriz es x = ae= 100,8 = 12,5.

En la seccion 14.6, se examino la famosa ley de Johannes Kepler que establece que laorbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse con un foco en el sol. Ahora, tendremosque escribir la ecuacion de una elipse en coordenadas polares. Para obtener las ecuacionespolares de las secciones conicas, es conveniente utilizar la denicion foco-directriz confoco F en el origen O y recta vertical x = d como directriz D (gura 15). De la gura,observe que si P = (r, ), entonces:

PF = r PD = d r cos Por tanto, la denicion foco-directriz de la elipse PF = ePD resulta ser r = e(d r cos ),o r(1 + e cos ) = ed. Se ha demostrado as el siguiente resultado, que tambien es ciertopara la hiperbola y la parabola (vea el problema 67).

TEOREMA 6 Ecuacion polar de una seccion conica La ecuacion polar de la seccionconica de excentricidad e > 0, con foco en el origen y directriz x = d es:

r =ed

1 + e cos 11

Foco

FIGURA 16 La forma parabolica deeste radio-telescopio dirige la senalentrante al foco.

EJEMPLO 6 Halle la excentricidad, directriz y foco de la seccion conica:

r =24

4 + 3 cos

Solucion En primer lugar, escriba la ecuacion en la forma estandar:

r =24

4 + 3 cos =6

1 + 34 cos

Comparando con la ec. (11), se tiene que e = 34 y ed = 6. As, d = 8. Como e < 1, laconica es una elipse. Segun el teorema 6, la directriz es la recta x = 8 y el foco es elorigen.

Propiedades de reexion de las secciones conicasLas secciones conicas cumplen numerosas propiedades geometricas. Son especialmenteimportantes las propiedades reexivas, que se utilizan en optica y en las comunicaciones(por ejemplo, en el diseno de antenas y de telescopios; gura 16). A continuacion sedescriben estas propiedades de forma breve y sin demostracion (pero puede consultardemostraciones para las propiedades de reexion de las elipses en los problemas 68-70 yel problema 71).

S E C C I O N 12.5 Secciones conicas 655

FIGURA 18 La cupula elipsoidal de laSala de las Estatuas en el edicio delCapitolio de Washington crea unacamara de susurro. La leyenda diceque John Quincy Adams se situaba enun foco para poder escuchar lasconversaciones que tenan lugar en elotro foco.

(A) Elipse (B) Hiprbola

F1 F1F2 F2

PP

FP

(C) Parbola

FIGURA 17

Elipse: Los segmentos F1P y F2P forman angulos iguales con la recta tangente aun punto P cualquiera sobre la elipse. Por tanto, un rayo de luz que se origine en unfoco F1 se reeja en la elipse hacia el segundo foco F2 [gura 17(A)]. Vea tambienla gura 18.

Hiperbola: La recta tangente en un punto P cualquiera de la hiperbola parte elangulo formado por los segmentos F1P y F2P en dos angulos iguales. Por tanto, unrayo de luz que se dirija a F2 se reeja en la hiperbola hacia el segundo foco F1[gura 17(B)].

Parabola: El segmento FP y la recta que pasa por P paralela al eje forman el mismoangulo con la recta tangente a un punto P cualquiera de la parabola [gura 17(C)].Por tanto, un rayo de luz que se dirija a P desde arriba en la direccion axial se reejaen la parabola hacia la direccion del foco F.

Ecuaciones generales de grado 2

Eje focalEje conjugadoy

x3

3

FIGURA 19 La elipse de ecuacion6x2 8xy + 8y2 12x 24y + 38 = 0.

y

x3

4

FIGURA 20 La elipse de ecuacion4x2 + 9y2 + 24x 72y + 144 = 0.

Las ecuaciones de las secciones conicas estandar son casos particulares de la ecuaciongeneral de grado 2 en x e y:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 12Aqu a, b, e, d, e, f son constantes tales que a, b, c no son simultaneamente cero. De estamanera, se observa que esta ecuacion general de grado 2 no da lugar a nuevos tipos decurvas. Aparte de ciertos casos degenerados, la ec. (12) dene una seccion conica queno necesariamente se encuentra en una posicion estandar: no tiene por que estar centradaen el origen y sus ejes focal y conjugado pueden haber sido rotados respecto a los ejes decoordenadas. Por ejemplo, la ecuacion:

6x2 8xy + 8y2 12x 24y + 38 = 0dene una elipse de centro (3, 3) cuyos ejes estan rotados (gura 19).

Se dice que la ec. (12) es degenerada si el conjunto de soluciones es un par de rectasque se cortan, un par de rectas paralelas, una unica recta, un punto o el conjunto vaco.Por ejemplo: x2 y2 = 0 dene un par de rectas que se cruzan, y = x e y = x. x2 x = 0 dene un par de rectas paralelas, x = 0 y x = 1. x2 = 0 dene una unica recta(el eje y). x2 + y2 = 0 tiene solo una solucion (0, 0). x2 + y2 = 1 no tiene soluciones.

Suponga ahora que la ec. (12) es no degenerada. El termino bxy se denomina terminocruzado. Cuando el termino cruzado es cero (es decir, cuando b = 0), se pueden comple-tar cuadrados para probar que la ec. (12) dene una traslacion de la conica en posicionestandar. Dicho de otro modo, los ejes de la conica son paralelos a los ejes de coordenadas.Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

656 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

y'

y x

x'

y

x

P = (x, y)

FIGURA 21

EJEMPLO 7 Completando cuadrados Pruebe que:

4x2 + 9y2 + 24x 72y + 144 = 0dene una traslacion de una seccion conica en posicion estandar (gura 20).Solucion Como no hay termino cruzado, se pueden completar los cuadrados de los termi-nos que involucran a x y a y separadamente:

4x2 + 9y2 + 24x 72y + 144 = 04(x2 + 6x + 9 9) + 9( y2 8y + 16 16) + 144 = 0

4(x + 3)2 4(9) + 9( y 4)2 9(16) + 144 = 04(x + 3)2 + 9( y 4)2 = 36

Por tanto, esta ecuacion cuadratica se puede reescribir como:(x + 33

)2+

(y 42

)2= 1

Cuando el termino cruzado bxy es diferente de cero, la ec. (12) dene una conicacuyos ejes son una rotacion de los ejes coordenados. La nota al margen explica como sepuede vericar esta armacion en general. Se ilustra en base al siguiente ejemplo.

Si (x, y) son las coordenadas respectoa los ejes rotados en un angulo , comoen la gura 21, entonces:

x = x cos y sen 13

y = x sen + y cos 14Vea el problema 75. En el problema 76,se prueba que el termino cruzadodesaparece cuando la ec. (12) sereescribe en terminos de x e y para elangulo:

=12

cot1a c

b 15

EJEMPLO 8 Pruebe que 2xy = 1 dene una seccion conica cuyos ejes focal y conju-gado son una rotacion de los ejes coordenados.Solucion La gura 22(A) muestra unos ejes etiquetados como x e y que son una rotacionde 45 de los ejes coordenados. Un punto P de coordenadas (x, y) se puede describir tam-bien mediante coordenadas (x, y) respecto a estos ejes rotados. Aplicando las ecs. (13)y (14) con = 4 , se obtiene que (x, y) y (x, y) se encuentran relacionadas mediante lasformulas:

x =x y

2y =

x + y2

Por tanto, si P = (x, y) se encuentra en la hiperbola, es decir si 2xy = 1, entonces:

2xy = 2(x y

2

) (x + y

2

)= x2 y2 = 1

As, las coordenadas (x, y) cumplen la ecuacion de la hiperbola estandar x2 y2 = 1cuyos ejes focal y conjugado son los ejes x e y respectivamente.

FIGURA 22 Los ejes x e y son unarotacion de 45 de los ejes x e y.

y y

y' x'

2xy = 1

y'

y'

x'

P = (x, y)

x'

45 x x

11

1

1

(B)(A) El punto P=(x,y) puede tambin serdescrito por medio de las coordenadas(x', y') respecto a los ejes rotados.

La forma de la hiprbola2xy = 1 respecto a losejes x' e y' es x2y2 =1.

Este estudio de las conicas naliza enunciando el criterio del discriminante. Supongaque la ecuacion:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

S E C C I O N 12.5 Secciones conicas 657

es no degenerada y que, por tanto, dene una seccion conica. Segun el criterio del discri-minante, el tipo de conica queda determinado por el discriminante D:

D = b2 4acSe tienen los siguientes casos:

D < 0: Elipse o circunferencia D > 0: Hiperbola D = 0: Parabola

Por ejemplo, el discriminante de la ecuacion 2xy = 1 es:D = b2 4ac = 22 0 = 4 > 0

Segun el criterio del discriminante, 2xy = 1 dene una hiperbola. Esta armacion esta enconsonancia con la conclusion en el ejemplo 8.

12.5 RESUMEN

Una elipse de focos F1 y F2 es el conjunto de puntos P tales que PF1 + PF2 = K,donde K es una constante tal que K > F1F2. La ecuacion en posicion estandar es:(

x

a

)2+

( yb

)2= 1

Los vertices de la elipse son (a, 0) y (0,b).

Ejes focales Focos Vertices focales

a > b eje x (c, 0) siendo c = a2 b2 (a, 0)a < b eje y (0,c) siendo c = b2 a2 (0,b)

Excentricidad: e = ca

(0 e < 1). Directriz: x = ae

(si a > b). Una hiperbola de focos F1 y F2 es el conjunto de puntos P tales que:

PF1 PF2 = Kdonde K es una constante tal que 0 < K < F1F2. La ecuacion en posicion estandar es:(

x

a

)2( yb

)2= 1

Ejes focales Focos Vertices focales Asntotas

eje x (c, 0) siendo c = a2 + b2 (a, 0) y = ba

x

Excentricidad: e = ca

(e > 1). Directriz: x = ae.

Una parabola de foco F y directriz D es el conjunto de puntos P tales que PF = PD.La ecuacion en posicion estandar es:

y =14c

x2

Foco F = (0, c), directriz y = c, y vertice en el origen (0, 0).

658 C A P I T U L O 1 2 ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES Y SECCIONES CONICAS

Denicion foco-directriz de una conica de foco F y directriz D: PF = ePD. Para trasladar una seccion conica h unidades horizontalmente y k unidades verticalmen-te, sustituya x por x h e y por y k en la ecuacion. Ecuacion polar de una conica de excentricidad e > 0, foco en el origen, directriz x = d:

r =ed

1 + e cos

12.5 PROBLEMAS

Ejercicios preliminares11. Cual de las siguientes ecuaciones dene una elipse? Cual de ellasno dene una seccion conica?(a) 4x2 9y2 = 12 (b) 4x + 9y2 = 0(c) 4y2 + 9x2 = 12 (d) 4x3 + 9y3 = 1212. Para que secciones conicas los vertices se encuentran entre losfocos?

13. Cuales son los focos de(

x

a

)2+

( yb

)2= 1 si a < b?

14. Cual es la interpretacion geometrica de b/a en la ecuacion de lahiperbola en posicion estandar?

ProblemasEn los problemas 1-6, halle los vertices y focos de la seccion conica.

11.(

x

9

)2+

( y4

)2= 1 12. x

2

9 +y2

4= 1

13.(

x

4

)2( y

9

)2= 1 14. x

2

4 y

2

9 = 36

15.(

x 37

)2(

y + 14

)2= 1

16.(

x 34

)2+

(y + 1

7

)2= 1

En los problemas 7-10, halle la ecuacion de la elipse obtenida por latraslacion indicada de la elipse

(x 8

6

)2+

(y + 4

3

)2= 1.

17. Trasladada con centro en el origen.

18. Trasladada con centro en (2,12).19. Trasladada a la derecha en seis unidades.

10. Trasladada hacia abajo en cuatro unidades.En los problemas 11-14, halle la ecuacion de la elipse.

11. Vertices (5, 0) y (0,7).12. Focos (6, 0) y vertices focales (10, 0).13. Focos (0,10) y excentricidad e = 35 .14. Vertices (4, 0), (28, 0) y excentricidad e = 23 .En los problemas 15-20, halle la ecuacion de la hiperbola.

15. Vertices (3, 0) y focos (5, 0).

16. Vertices (3, 0) y asntotas y = 12 x.17. Focos (4, 0) y excentricidad e = 2.18. Vertices (0,6) y excentricidad e = 3.19. Vertices (3, 0), (7, 0) y excentricidad e = 3.20. Vertices (0,6), (0, 4) y focos (0,9), (0, 7).En los problemas 21-28, halle la ecuacion de la parabola con las pro-piedades que se indican.

21. Vertice (0, 0), foco ( 112 , 0).22. Vertice (0, 0), foco (0, 2).23. Vertice (0, 0), directriz y = 5.24. Vertice (3, 4), directriz y = 2.25. Foco (0, 4), directriz y = 4.26. Foco (0,4), directriz y = 4.27. Foco (2, 0), directriz x = 2.28. Foco (2, 0), vertice (2, 0).En los problemas 29-38, halle los vertices, focos, centro (si se tratara deuna elipse o una hiperbola) y las asntotas (en el caso de la hiperbola).29. x2 + 4y2 = 16 30. 4x2 + y2 = 16

31.(

x 34

)2(

y + 57

)2= 1 32. 3x2 27y2 = 12

33. 4x2 3y2 + 8x + 30y = 21534. y = 4x2 35. y = 4(x 4)2

36. 8y2 + 6x2 36x 64y + 134 = 0

S E C C I O N 12.5 Secciones conicas 659

37. 4x2 + 25y2 8x 10y = 2038. 16x2 + 25y2 64x 200y + 64 = 0En los problemas 39-42,