Hallar la ecuacin de la recta tangente a la elipse en el punto de ordenada 1 y abscisa positiva

Halla la ecuacin de la recta tangente a la elipse: en el punto de ordenada 1 y abscisa positiva.

SOLUCIN:

Sustituyendo en la ecuacin de la elipse la y por 1 se obtiene: x2 = 2, x = .Llamando P al punto de tangencia tenemos: P(, 1)Una recta que pase por P ser de la forma: y - 1 = m(x - ) . La ecuacin de la elipse se puede escribir tambin: x2 + 2y2 = 4.El sistema formado por las ecuaciones de la elipse y la recta ha de tener solucin nica si han de tener un solo punto de contacto.Resolviendo el sistema: x2 + 2[1 + m(x - )]2 - 4 = 0.Operando y agrupando:(1 + 2m2)x2 - 4(m2 - m)x + (4m2 - 4m - 2) = 0Para que la solucin sea nica el discriminante ha de ser igual a 0. = 16(m2 - m)2 - 4(1 + 2m2)(4m2 - 4m - 2) = 016m2 + 16m + 8 = 0, cuya nica solucin es: m = - . La recta tangente es: y - 1 = - (x - ) , o bien, x + 2y - 4 = 0.