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2. Categora Administracin Algebra Anlisis Matemtico Anatoma Arquitectura Arte Artculos Astronoma Atlas AudioLibros Automatizacin Base de Datos Biblia Biologa Bioqumica Clculo Circuitos Ciruga Cocina Comic Computer Hoy Contabilidad De Todo Derecho Dermatologa Diarios Diccionario Diseo Grafico Diseo Web Documentales Dummies E-Books Ecografa Ecologa Economa Ecuacionesdiferenciales Educacin Primaria Ejemplos Electricidad Electrnica Enciclopedia Estadstica Filosofa Fsica Fisiologa Ganar dinero eninternet Geologa Geometra Ginecologa yObstetricia Guas HackCrack Hidrulica Historia Ingeniera Ingeniera ambiental Ingeniera Civil Ingeniera deMateriales Ingeniera de Minas Ingeniera Industrial Ingeniera Petrolera Ingles Integrales Inv. Operaciones Leer Online Libros Libros Copyleft Libros Unicef Liderazgo yMotivacin Linux Logstica Maestra Infantil Manga Manual Manualidades Marketing Matemtica Discreta Matemticas Mecnica Medicina Metalurgia Mi Novela Favorita Multimedia Noticias Odontologa Ofimtica Oftalmologa Pediatra Procesos Unitarios Programacin Psicologa Qumica Radiologa Recetas Redes Religin Revistas Rincn Literario Robtica Romntica Salud Seguridad Sexualidad Sistemas Operativos Sobre Escribir Soldadura Solucionario Termodinmica Tsis Topografa Transferencia deCalor Transferencia deMasa Tutorial TuxInfo VideoTutoriales Windows zoologa 3. Clculo 1 4. REVISORES TCNICOSMXICOJos de Jess ngel ngelUniversidad Anhuac NorteMiguel ngel Arredondo MoralesUniversidad Iberoamericana LenVctor Armando Bustos PeterInstituto Tecnolgico y de Estudio Superiores de Monterrey, Campus TolucaAureliano Castro CastroUniversidad Autnoma de SinaloaJavier Franco ChacnTecnolgico de Monterrey, Campus ChihuahuaSergio Fuentes MartnezUniversidad Anhuac Mxico NorteEnrique Gonzlez AcostaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Sonora NorteMiguel ngel Lpez MarioInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Central de VeracruzEleazar Luna BarrazaUniversidad Autnoma de SinaloaToms Narciso Ocampo PazInstituto Tecnolgico de TolucaVelia Prez GonzlezUniversidad Autnoma de ChihuahuaIgnacio Ramrez VargasInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus HidalgoHctor SelleyUniversidad Anhuac NorteJorge Alberto Torres GuillnUniversidad de GuadalajaraEnrique Zamora GallardoUniversidad Anhuac NorteCOLOMBIAPetr ZhevandrovUniversidad de La SabanaJorge Augusto Prez AlczarUniversidad EANLiliana Barreto ArciniegasPontificia Universidad JaverianaGustavo de J. Castaeda RamrezUniversidad EAFITJairo Villegas G.Universidad EAFITPERCarlos Enrique Peralta Santa CruzUniversidad Continental de Ciencias e Ingeniera 5. Clculo 1de una variableNovena edicinRon LarsonThe Pennsylvania State UniversityThe Behrend CollegeBruce H. EdwardsUniversity of FloridaRevisin tcnicaMarlene Aguilar AbaloInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus Ciudad de MxicoJos Job Flores GodoyUniversidad IberoamericanaJoel Ibarra EscutiaInstituto Tecnolgico de TolucaLinda M. Medina HerreraInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus Ciudad de MxicoMXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORKSAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREALNUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO 6. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezCoordinadora editorial: Marcela I. Rocha MartnezEditora de desarrollo: Ana L. Delgado RodrguezSupervisor de produccin: Zeferino Garca GarcaTraduccin: Joel Ibarra Escutia, ngel Hernndez Fernndez, Gabriel Nagore Czares, Norma Anglica Moreno ChvezCLCULO 1 DE UNA VARIABLENovena edicinProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin autorizacin escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS 2010, respecto a la novena edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.Edifi cio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa FeDelegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736ISBN 978-607-15-0273-5Traducido de la novena edicin en ingls de CalculusCopyright 2010 by Brooks/Cole, a Cengage Learning Company. All rights reserved.ISBN-13: 978-1-4390-3033-2TI es una marca registrada de Texas Instruments, Inc.Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research, Inc.Maple es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc.1234567890 109876543210Impreso en China Printed in China 7. C ontenidoUnas palabras de los autores ixAgradecimientos xCaractersticas xiiCAPTULO P Preparacin para el clculo 1P.1 Grficas y modelos 2P.2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio 10P.3 Funciones y sus grficas 19P.4 Ajuste de modelos a colecciones de datos 31Ejercicios de repaso 37SP Solucin de problemas 39CAPTULO 1 Lmites y sus propiedades 411.1 Una mirada previa al clculo 421.2 Clculo de lmites de manera grfica y numrica 481.3 Clculo analtico de lmites 591.4 Continuidad y lmites laterales o unilaterales 701.5 Lmites infinitos 83PROYECTO DE TRABAJO: Grficas y lmites de las funcionestrigonomtricas 90Ejercicios de repaso 91SP Solucin de problemas 93CAPTULO 2 Derivacin 952.1 La derivada y el problema de la recta tangente 962.2 Reglas bsicas de derivacin y ritmos o velocidades de cambio 1072.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior 1192.4 La regla de la cadena 1302.5 Derivacin implcita 141PROYECTO DE TRABAJO: Ilusiones pticas 1482.6 Ritmos o velocidades relacionados 149Ejercicios de repaso 158SP Solucin de problemas 161CAPTULO 3 Aplicaciones de la derivada 1633.1 Extremos en un intervalo 164v 8. vi Contenido3.2 El teorema de Rolle y el teorema del valor medio 1723.3 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primeraderivada 179PROYECTO DE TRABAJO: Arco iris 1893.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 1903.5 Lmites al infinito 1983.6 Anlisis de grficas 2093.7 Problemas de optimizacin 218PROYECTO DE TRABAJO: Ro Connecticut 2283.8 Mtodo de Newton 2293.9 Diferenciales 235Ejercicios de repaso 242SP Solucin de problemas 245CAPTULO 4 Integracin 2474.1 Antiderivadas o primitivas e integracin indefinida 2484.2 rea 2594.3 Sumas de Riemann e integrales definidas 2714.4 El teorema fundamental del clculo 282PROYECTO DE TRABAJO: Demostracin del teoremafundamental 2964.5 Integracin por sustitucin 2974.6 Integracin numrica 311Ejercicios de repaso 318SP Solucin de problemas 321CAPTULO 5 Funciones logartmica, exponencial y otras funcionestrascendentes 3235.1 La funcin logaritmo natural: derivacin 3245.2 La funcin logaritmo natural: integracin 3345.3 Funciones inversas 3435.4 Funciones exponenciales: derivacin e integracin 3525.5 Otras bases distintas de e y aplicaciones 362PROYECTO DE TRABAJO: Estimacin grfica de pendientes 3725.6 Funciones trigonomtricas inversas: derivacin 3735.7 Funciones trigonomtricas inversas: integracin 3825.8 Funciones hiperblicas 390PROYECTO DE TRABAJO: Arco de San Luis 400Ejercicios de repaso 401SP Solucin de problemas 403CAPTULO 6 Ecuaciones diferenciales 4056.1 Campos de pendientes y mtodo de Euler 4066.2 Ecuaciones diferenciales: crecimiento y decrecimiento 415 9. Contenido vii6.3 Separacin de variables y la ecuacin logstica 4236.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 434PROYECTO DE TRABAJO: Prdida de peso 442Ejercicios de repaso 443SP Solucin de problemas 445CAPTULO 7 Aplicaciones de la integral 4477.1 rea de una regin entre dos curvas 4487.2 Volumen: el mtodo de los discos 4587.3 Volumen: el mtodo de las capas 469PROYECTO DE TRABAJO: Saturno 4777.4 Longitud de arco y superficies de revolucin 4787.5 Trabajo 489PROYECTO DE TRABAJO: Energa de la marea 4977.6 Momentos, centros de masa y centroides 4987.7 Presin y fuerza de un fluido 509Ejercicios de repaso 515SP Solucin de problemas 517CAPTULO 8 Tcnicas de integracin, regla de LHpital e integralesimpropias 5198.1 Reglas bsicas de integracin 5208.2 Integracin por partes 5278.3 Integrales trigonomtricas 536PROYECTO DE TRABAJO: Lneas de potencia 5448.4 Sustituciones trigonomtricas 5458.5 Fracciones simples o parciales 5548.6 Integracin por tablas y otras tcnicas de integracin 5638.7 Formas indeterminadas y la regla de LHpital 5698.8 Integrales impropias 580Ejercicios de repaso 591SP Solucin de problemas 593CAPTULO 9 Series infinitas 5959.1 Sucesiones 5969.2 Series y convergencia 608PROYECTO DE TRABAJO: La mesa que desaparece 6189.3 Criterio de la integral y series p 619PROYECTO DE TRABAJO: La serie armnica 6259.4 Comparacin de series 626PROYECTO DE TRABAJO: El mtodo de la solera 6329.5 Series alternadas o alternantes 6339.6 El criterio del cociente y el criterio de la raz 6419.7 Polinomios de Taylor y aproximacin 650 10. viii Contenido9.8 Series de potencias 6619.9 Representacin de funciones en series de potencias 6719.10 Series de Taylor y de Maclaurin 678Ejercicios de repaso 690SP Solucin de problemas 693Apndice A Demostracin de algunos teoremas A-2Apndice B Tablas de integracin A-20Soluciones de los ejercicios impares S-1ndice de aplicaciones I-1ndice analtico I-5 11. Unas palabras de los autoresBienvenido a la novena edicin de Clculo! Nos enorgullece ofrecerle una nueva versinrevisada de nuestro libro de texto. Mucho ha cambiado desde que escribimos la primeraedicin hace ms de 35 aos. En cada edicin los hemos escuchado a ustedes, esto es,nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de sus sugerencias para mejorar el libro.A lo largo de los aos, nuestro objetivo ha sido siempre escribir con precisin y demanera legible conceptos fundamentales del clculo, claramente definidos y demostrados.Al escribir para estudiantes, nos hemos esforzado en ofrecer caractersticas y materiales quedesarrollen las habilidades de todos los tipos de estudiantes. En cuanto a los profesores, nosenfocamos en proporcionar un instrumento de enseanza amplio que emplea tcnicas pe-daggicasprobadas, y les damos libertad para que usen en forma ms eficiente el tiempoixen el saln de clase.Tambin hemos agregado en esta edicin una nueva caracterstica denominada ejerciciosPara discusin. Estos problemas conceptuales sintetizan los aspectos clave y proporcionana los estudiantes mejor comprensin de cada uno de los conceptos de seccin. Los ejerciciosPara discusin son excelentes para esa actividad en el saln de clase o en la preparacin deexmenes, y a los profesores puede resultarles valioso integrar estos problemas dentro de surepaso de la seccin. stas y otras nuevas caractersticas se unen a nuestra pedagoga pro-badaen el tiempo, con la meta de permitir a los estudiantes y profesores hacer el mejor usodel libro.Esperamos que disfrute la novena edicin de Clculo. Como siempre, sern bienveni-doslos comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra.Ron Larson Bruce H. Edwards 12. A gradecimientosNos gustara dar las gracias a muchas personas que nos ayudaron en varias etapas de esteproyecto a lo largo de los ltimos 35 aos. Su estmulo, crticas y sugerencias han sido in-valuables.Revisores de la novena edicinRay Cannon, Baylor UniversitySadeq Elbaneh, Buffalo State CollegeJ. Fasteen, Portland State UniversityAudrey Gillant, Binghamton UniversitySudhir Goel, Valdosta State UniversityMarcia Kemen, Wentworth Institute of TechnologyIbrahima Khalil Kaba, Embry Riddle Aeronautical UniversityJean-Baptiste Meilhan, University of California RiversideCatherine Moushon, Elgin Community CollegeCharles Odion, Houston Community CollegeGreg Oman, The Ohio State UniversityDennis Pence, Western Michigan UniversityJonathan Prewett, University of WyomingLori Dunlop Pyle, University of Central FloridaAaron Robertson, Colgate UniversityMatthew D. Sosa, The Pennsylvania State UniversityWilliam T. Trotter, Georgia Institute of TechnologyDr. Draga Vidakovic, Georgia State UniversityJay Wiestling, Palomar CollegeJianping Zhu, University of Texas at ArlingtonMiembros del Comit de Asesores de la novena edicinJim Braselton, Georgia Southern University; Sien Deng, Northern Illinois University;Dimitar Grantcharov, University of Texas, Arlington; Dale Hughes, Johnson CountyCommunity College; Dr. Philippe B. Laval, Kennesaw State University; Kouok Law,Georgia Perimeter College, Clarkson Campus; Mara D. Neusel, Texas Tech University;Charlotte Newsom, Tidewater Community College, Virginia Beach Campus; Donald W.Orr, Miami Dade College, Kendall Campus; Jude Socrates, Pasadena City College; BettyTravis, University of Texas at San Antonio; Kuppalapalle Vajravelu, University of CentralFloridaRevisores de ediciones anterioresStan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; SethG. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; MarcelleBessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; JamesBraselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College;Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg AreaCommunity College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University;x 13. Agradecimientos xiJim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusettsat Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of LaVerne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University;Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia;Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar,Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B.Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Nara-yan,Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; TerenceH. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers,Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mer-cerCounty Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College;Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arling-ton;Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community CollegeMuchas gracias a Robert Hostetler, de The Behrend College, en The Pennsylvania StateUniversity, y a David Heyd, de la misma institucin, por sus importantes contribuciones alas ediciones previas de este texto.Una nota especial de agradecimiento a los profesores que respondieron nuestra encues-tay a los ms de dos millones de estudiantes que han usado las ediciones anteriores de laobra.Tambin quisiramos agradecer al personal de Larson Texts, Inc., que apoy en lapreparacin del manuscrito, realiz el diseo editorial, levant la tipografa y ley las prue-basde las pginas y suplementos en la edicin en ingls.En el mbito personal, estamos agradecidos con nuestras esposas, Deanna GilbertLarson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Adems, una nota especial degratitud para R. Scott ONeil.Si usted tiene sugerencias para mejorar este texto, por favor sintanse con la libertadde escribirnos. A lo largo de los aos hemos recibido muchos comentarios tiles tanto delos profesores como de los estudiantes, y los valoramos sobremanera.Ron LarsonBruce H. Edwards 14. C aractersticasPARA DISCUSINNUEVO! Los ejercicios para discusin que aparecenahora en cada seccin sintetizan los conceptosprincipales de cada una y muestran a los estudiantescmo se relacionan los temas. A menudo constituyenproblemas de varias partes que contienen aspectosconceptuales y no computacionales, y que puedenutilizarse en discusiones de clase o en la preparacinde exmenes.xfPara discusinCCD EELos ejercicios de desarrollo de conceptos son preguntasdiseadas para evaluar la comprensin de los estudian-tesen torno a los conceptos bsicos de cada seccin.Estos ejercicios animan a los estudiantes a verbalizar yescribir respuestas, lo que promueve habilidades decomunicacin tcnica que sern invaluables en susfuturas carreras.Herramientas pedaggicas72. Utilizar la grfica para responder a las siguientes pre-guntas.AABBa) Entre qu par de puntos consecutivos es mayor la raznde cambio promedio de la funcin?b) La razn de cambio promedio de entre A y B es mayoro menor que el la razn de cambio instantneo en B?c) Trazar una recta tangente a la grfica entre los puntosC y D cuya pendiente sea igual a la razn de cambiopromedio de la funcin entre C y D.yDESARROLLO DE CONCEPTOSDesarrollo de conceptos11. Considerar la longitud de la grfica de f(x)5/x, desdex1122334455(1, 5)(5, 1)yx1122334455(1, 5)(5, 1)y(1, 5) hasta (5, 1):a) Estimar la longitud de la curva mediante el clculo dela distancia entre sus extremos, como se muestra en laprimera figura.b) Estimar la longitud de la curva mediante el clculo delas longitudes de los cuatro segmentos de recta, comose muestra en la segunda figura.c) Describir cmo se podra continuar con este procesoa fin de obtener una aproximacin ms exacta de lalongitud de la curva.AYUDAS DE ESTUDIOLas ayudas de estudio distinguen errores comunes, indican casos especialesque pueden provocar confusin, y amplan a conceptos importantes. Estasayudas proporcionan a los estudiantes informacin puntual, similar a loscomentarios del profesor en clase.AYUDA DE ESTUDIO Cuando se use ladefinicin para encontrar la derivada deuna funcin, la clave consiste en volvera expresar el cociente incremental(o cociente de diferencias), de maneraque $x no aparezca como factor deldenominador. AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3 tam-binse puede resolver sin hacer uso dela regla de la cadena, si se observa queyx63x43x21AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuentaque se puede comprobar la respuesta deun problema de integracin al derivar laC lj l 7A lo largo del texto, se trabajan ejemplos paso apaso, que muestran los procedimientos y tcnicaspara resolver problemas, y dan a los estudiantesuna comprensin amplia de los conceptos delclculo.xiiEJEMPLOSEJEMPLO 1 Levantamiento de un objetoDeterminar el trabajo realizado al levantar un objeto de 50 libras a 4 pies.Solucin La magnitud de la fuerza requerida F es el peso del objeto, como se muestra enla figura 7.48. As, el trabajo realizado al levantar el objeto 4 pies esTrabajo(fuerza)(distancia).Fuerza50 libras, distancia4 pies.WFD 50S4D 200 libras-pies. 15. Caractersticas xiiiEJERCICIOSLa prctica hace al maestro. Los ejerciciosson con frecuencia el primer lugar queconsultan los estudiantes en un libro detexto. Los autores han dedicado muchotiempo analizndolos y revisndolos; elresultado es un completo y slido conjuntode ejercicios de diferentes tipos y niveles dedificultad al final de cada seccin paraconsiderar todos los estilos de aprendizajede los estudiantes.En los ejercicios 13 a 22, formular una integral definida que pro-duceel rea de la regin. (No evaluar la integral.)f x 16. 5 f x 17. 63x13. 14.654321f SxD4x f SxDx215. 16.En los ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo paraevaluar el lmitelmnm@Oni1f Xci C $xisobre la regin delimitada por las grficas de las ecuaciones.1.2.f SxDx, y0, x0, x3ci3i 2Yn2.(Sugerencia: Sea )f SxD 3 x, y0, x0, x1(Sugerencia: Sea c ) ii 3n3.En los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral definida mediante ladefinicin de lmite.3. 4.115. x3 dx6.7. 8.8642y4 1.80.5 senPt321y4.3 Ejercicios21x21 18. dx628 dx3212x dx2x23 19. dx414x2 dx2 1 1 2 3 4 5xyx1 2 3 4 554321y63. Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmo-nesdurante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproximamediante el modelo V0.1729t0.1522t20.0374t3 dondet es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aireen los pulmones durante un ciclo.64. Promedio de ventas Una compaa ajusta un modelo a los datosde ventas mensuales de un producto de temporada. El modelo est46 ,SStD0 b t b 24donde S son las ventas (en miles) y t es el tiempo en meses.a) Utilizar una herramienta de graficacin para representar(t)0.5 sen(PtY6) para 0 b t b 24. Emplear la grficapara explicar por qu el valor medio de (t) es cero sobreel intervalo.b) Recurrir a una herramienta de graficacin para representarS(t) y la recta g(t)tY41.8 en la misma ventana deobservacin. Utilizar la grfica y el resultado del apartadoa) para explicar por qu g recibe el nombre recta de ten-dencia.65. Modelado matemtico Se prueba un vehculo experimental enuna pista recta. Parte del reposo y su velocidad v (metros por segun-do)se registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto.t 0 10 20 30 40 50 60v 0 5 21 40 62 78 83a) Emplear una herramienta de graficacin para determinar unmodelo de la forma vat3bt2ctd para los datos.APLICACIONESCundo usar esto?, los autores tratan de responder estapregunta de los estudiantes con ejercicios y ejemplos que seseleccionaron con todo cuidado. Las aplicaciones se toman dediversas fuentes: eventos actuales, datos de trabajo, tendenciasindustriales, y se relacionan con una amplia gama de intereses.Entender dnde se usa (o puede usarse) el clculo fomenta unacomprensin ms completa del material.EJERCICIOS DE REPASOLos ejercicios de repaso ubicados al final de cada captuloproporcionan a los estudiantes ms oportunidades parapracticar. Estos conjuntos de ejercicios constituyen unarevisin completa de los conceptos del captulo y son unmedio excelente para que los estudiantes preparen un examen.318 CAPTULO 4 Integracin4 Ejercicios de repasoEn los ejercicios 1 y 2, utilizar la grfica de fpara dibujar unagrfica de .1. 2.xf ayEn los ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indefinida. 4x2x3 dx3. 4.5. 6.7. 8.23 3xdxx44x21x2 dx9. Encontrar la solucin particular de la ecuacin diferenciala(x)6x cuya grfica pasa por el punto (1, 2).10. Encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencialaa(x)6(x1) cuya grfica pasa por el punto (2, 1) y estangente a la recta 3xy50 en ese punto.Campos de pendientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuacindiferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujar dossoluciones aproximadas de la ecuacin diferencial en el campode pendiente, una de las cuales pase a travs del punto indicado.b) Utilizar la integracin para encontrar la solucin particular dela ecuacin diferencial y utilizar una herramienta de graficacinpara representar la solucin.12 S4, 2D x22x, dy11. 12.xf ayuna distancia de 264 pies. Encontrar la distancia en la cualel automvil puede llegar al reposo a partir de una velocidadde 30 millas por hora, suponiendo la misma desaceleracinconstante.15. Velocidad y aceleracin Se lanza una pelota hacia arribaverticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicialde 96 pies por segundo.a) Cunto tardar la pelota en alcanzar su altura mxima?Cul es la altura mxima?b) Cundo la velocidad de la pelota es la mitad de la velocidadinicial?c) A qu altura est la pelota cuando su velocidad es la mitadde la velocidad inicial?16. Modelado matemtico La tabla muestra las velocidades (enmillas por hora) de dos carros sobre una rampa de acceso a unacarretera interestatal. El tiempo t est en segundos.a) Reescribir las velocidades en pies por segundo.b) Usar las capacidades de regresin de una herramienta degraficacin para encontrar los modelos cuadrticos para losdatos en el apartado a).c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias.En los ejercicios 17 y 18, utilizar la notacin sigma para escribirla suma.17.18.En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades de las sumas yel teorema 4.2 para calcular las sumas.19. 20.21. 22.23. Escribir en notacin sigma a) la suma de los primeros diez en-terosimpares positivos, b) la suma de los cubos de los primerosn enteros positivos y c) 6101418 42.24. Calcular cada suma para x12, x21, x35, x43 y7xy1 56S6, 2D dydxyx61 72dx 2x4, 5 cos x2 sec2 x dxx48x3 dx2x9 sen x dxt 0 5 10 15 20 25 30v1 0 2.5 7 16 29 45 65v2 0 21 38 51 60 64 653n11n 2 3n21n 2 . . .3nn1n 2131 132 133. . . 1310 20i1i12 20i12i 12i1ii 21 20i14i11. Seaa) Encontrar L(1).b) Encontrar La(x) y La(1).c) Utilizar una herramienta de graficacin para aproximar el va-lorde x (hasta tres lugares decimales) para el cual L(x)1.d) Demostrar que L(x1 x2)L(x1)L(x2) para todos losvalores positivos de x1 y x2.2. Seaa) Utilizar una herramienta de graficacin para completar latabla.xFXxCxb) Sea FSxD 1%xx2GSxDsen t2 dt.21x2Utilizar unaherramienta de graficacn para completar la tabla y estimarlmGSxD.xm2xc) Utilizar la definicin de la derivada para encontrar el valorexacto del lmite lmxm2GSxD.En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el rea bajo la grfica de lafuncin dada definida sobre el intervalo indicado como un lmite.Despus b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el lmitetili d l lt d d l t d b)6. La aproximacin gaussiana de dos puntos para f esa) Utilizar esta frmula para aproximar % 11cos x dx . Encontrarel error de la aproximacin.b) Utilizar esta frmula para aproximar % 1111x2 dx.c) Probar que la aproximacin gaussiana de dos puntos esexacta para todos los polinomios de grado 3 o menor.7. Arqumedes demostr que el rea de un arco parablico es iguala 2 del producto de la base y la altura (ver la figura).ha) Graficar el arco parablico delimitado por y9x2 yel eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar elrea A.b) Encontrar la base y la altura del arco y verificar la frmulade Arqumedes.c) Demostrar la frmula de Arqumedes para una parbolageneral.8. Galileo Galilei (1564-1642) enunci la siguiente proposicinrelativa a los objetos en cada libre:El tiempo en cualquier espacio que se recorre por un cuerpoacelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual esemismo espacio se recorrera por el mismo cuerpo movin-SxDx0. %x11tdt,FSxD%x2sen t2 dt.0 1.0 1.5 1.9 2.02.1 2.5 3.0 4.0 5.0FXxC1.9 1.95 1.99 2.01 2.1GXxC%11f SxD dxf 13f13.bSP Solucin de problemasSOLUCIN DE PROBLEMASEstos conjuntos de ejercicios al final de cada captulo prueban las habilidadesde los estudiantes con preguntas desafiantes que retan su pensamiento. 20. xiv CaractersticasClculos clsicos con relevancia contemporneaTEOREMA 4.9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOSi una funcin es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de en el intervalo [a, b], entonces%baf SxD dxFSbDFSaD.DEFINICIN DE LONGITUD DE ARCOSea la funcin dada por yf(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b].La longitud del arco de f entre a y b ess%ba1F fSxDG2 dx.Similarmente, para una curva suave dada por xg(y), la longitud de arco de g entrec y d ess%dc1FgSyDG2 dy. La regla de LHpital tambin puede aplicarse a los lmites unilaterales, como se de-muestraen los ejemplos 6 y 7.EJEMPLO 6 Forma indeterminada 00Encontrar lmx0sen xx.Solucin Porque la sustitucin directa produce la forma indeterminada 00, proceder comose muestra abajo. Para empezar, asumir que el lmite existe y es igual a y.Forma indeterminada 00.Tomar un logaritmo natural de cada lado.Continuidad.Forma indeterminada 0 (@).Forma indeterminada @Y@.Regla de LHpital.Forma indeterminada 0Y0.Regla de LHpital.ln ylnlmx0 lmx0sen xx2xsec2xAhora, porque ln y0, concluir que ye01, y se sigue quelmx0sen xx1. 0 lmx0x2tan x lmx0cot x1x2 lmx0lnsen x1x lmx0x lnsen x lmx0lnsen xxylmx0sen xxAl aplicar la frmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que laNOTAcurva se recorra una sola vez en el intervalo de integracin. Por ejemplo, el crculo dado pory ysen t, recorre una sola vez el intervalo pero recorre dos veces el inter-valo0t2, xcos t 0t4.TEOREMASLos teoremas proporcionan elmarco conceptual del clculo;se enuncian claramente y sedistinguen del resto del textopor medio de recuadros paratener una rpida referenciavisual. Las demostracionesms importantes muchasveces siguen al teorema, y seproporcionan otras ms en unapndice.DEFINICIONESAl igual que con losteoremas, las definiciones seenuncian claramenteutilizando palabras sencillasy precisas; tambin seseparan del texto medianterecuadros para tener unarpida referencia visual.PROCEDIMIENTOSLos procedimientos aparecenseparados del texto para brindar unareferencia fcil. Estas lneas propor-cionana los estudiantes instruccio-nespaso a paso que les ayudarn aresolver problemas de manera rpiday eficiente.NOTASLas notas proporcionan detalles adicionales acerca de losteoremas, definiciones y ejemplos. Ofrecen una profundiza-cinadicional o generalizaciones importantes que los estu-diantespodran omitirinvoluntariamente. Al igualque las ayudas de estudio,las notas resultan invalua-blespara los estudiantes. 21. Caractersticas xvAmpliar la experiencia del clculoEcuacionesdiferenciales6En este captulo se estudiar una de lasms importantes aplicaciones del clculo:las ecuaciones diferenciales. El lectoraprender nuevos mtodos para resolverdiferentes tipos de ecuaciones diferen-ciales,como las homogneas, lineales deprimer orden y de Bernoulli. Posterior-menteaplicar esas reglas para resolverecuaciones diferenciales en problemasde aplicacin.En este captulo, se aprender:n Cmo generar un campo dependientes de una ecuacindiferencial y encontrar una solucinparticular. (6.1)n Cmo usar una funcin exponencialpara modelos de crecimiento ydecrecimiento. (6.2)n Como usar el mtodo de separacinde variables para resolver ecuacionesdiferenciales. (6.3)n Cmo resolver ecuacionesdiferenciales lineales de primerorden y la ecuacin diferencial deBernoulli. (6.4)Dr. Dennis Kunkel/Getty ImagesSegn el tipo de bacteria, el tiempo que le toma duplicar su peso al cul-tivopuede variar mucho, desde varios minutos hasta varios das. Cmousara una ecuacin diferencial para modelar la tasa de crecimiento delpeso del cultivo de una bacteria? (Vea la seccin 6.3, ejercicio 84.)Una funcin yf(x) es una solucin de una ecuacin diferencial, si la ecuacin se satisface cuando y y sus derivadasse remplazan por f(x) y sus derivadas. Una manera de resolver una ecuacin diferencial es mediante los campos dependientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones de una ecuacin diferencial. (Ver seccin 6.1)405Las entradas de captulo proporcionan motivacin inicialpara el material que se abordar en el captulo. Adems delos objetivos, en la entrada de cada captulo un conceptoimportante se relaciona con una aplicacin del mundo real.Esto motiva a los estudiantes a que descubran la relevanciadel clculo en la vida.E X P L O R A C I NConverso del teorema 4.4 Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, siuna funcin es integrable, tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y pro-porcionarejemplos.Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. Cules la condicin ms fuerte? Cul es la ms dbil? Qu condiciones implican otrascondiciones?E X P L O R A C I NSuponer que se pide encontrar unade las siguientes integrales. Culelegira? Explicar la respuesta.a)b)oo%x31 dx%x2x31 dx%tanS3xD sec2S3xD dx%tanS3xD dxPreparacin del examen Putnam133. Cul es mayornn1 o n1ndonde n8?134. Demostrar que si x es positivo, entoncesloge 1 x 111x.Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competi-tion. The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.11001012991011001012398101 5 050The Granger CollectionUtilizar una herramienta de graficacin para representar la funciny1sen2t en el intervalo 0 b t b P. Sea F(x) la siguiente funcinde x.FSxD%x0sen2 t dta) Completar la tabla. Explicar por qu los valores de estn cre-ciendo.. . .. . .. . .b) Utilizar las funciones de integracin de una herramienta de gra-ficacinpara representar F.c) Emplear las funciones de derivacin de una herramienta de gra-ficacinpara hacer la grfica de F(x). Cmo se relaciona estagrfica con la grfica de la parte b)?d) Verificar que la derivada de y(1Y2)t(sen 2t)Y4 es sen2t.Graficar y y escribir un pequeo prrafo acerca de cmo estagrfica se relaciona con las de los apartados b) y c).PROYECTO DE TRABAJODemostracin del teorema fundamentalx0PY6 PY3 PY2 2PY3 5PY6 P FXxCLA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROSEl maestro de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pidi a sus alumnos que sumarantodos los enteros desde 1 hasta 100. CuandoGauss regres con la respuesta correcta muypoco tiempo despus, el maestro no pudoevitar mirarle atnito. Lo siguiente fue loque hizo Gauss:Esto se generaliza por medio del teorema4.2, donde1001101O100t 1i 100S101D2 5 050.BLAISE PASCAL (1623-1662)Pascal es bien conocido por suscontribuciones a diversas reas de lasmatemticas y de la fsica, as como porsu influencia con Leibniz. Aunque buenaparte de su obra en clculo fue intuitiva ycarente del rigor exigible en las matemticasmodernas, Pascal anticip muchosresultados relevantes.ENTRADAS DE CAPTULOEXPLORACIONESLas exploraciones proporcionan a losestudiantes retos nicos para estudiarconceptos que no se han cubiertoformalmente. Les permiten aprendermediante el descubrimiento e introdu-centemas relacionados con los queestn estudiando en el momento. Alexplorar temas de esta manera, seestimula a que los estudiantes piensende manera ms amplia.NOTAS HISTRICAS Y BIOGRAFASLas notas histricas proporcionan a los estudiantesinformacin sobre los fundamentos del clculo; lasbiografas les ayudan asensibilizar y a ensearlesacerca de las personas quecontribuyeron a la creacinformal del clculo.DESAFOS DEL EXAMEN PUTNAMLas preguntas del examenPutnam aparecen en algunassecciones y se toman de losexmenes Putnam reales.Estos ejercicios extendernlos lmites del entendimientode los estudiantes en relacincon el clculo y brindarndesafos adicionales paraaquellos ms interesados.PROYECTOS DE SECCINLos proyectos aparecen en algunas secciones y exploran amayor profundidad las aplicaciones relacionadas con lostemas que se estn estudiando. Proporcionan una formainteresante y entretenida para que los estudiantes trabajene investiguen ideas de manera conjunta. 22. Tecnologa integrada para el mundo actualEJEMPLO 5 Cambio de variablesEncontrar %x2x1 dx.Solucin Como en el ejemplo previo, considerar que u2x1 para obtener dx duY2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que despejar x en trminos deu, como se muestra.u2x1 xSu1DY2 Resolver para x en trminos de u.Despus de esto, utilizando la sustitucin, se obtiene%x2x1 dx%u11102u1Y2 du2 S2x1D5Y2 16S2x1D3Y2C.14 u5Y25Y2u3Y23Y2C14%Su3Y2u1Y2D duINVESTIGACIONES CON SISTEMASALGEBRAICOS POR COMPUTADORARazonamiento grfico En los ejercicios 55 a 58, a) usar unaherramienta de graficacin para representar grficamente lafuncin, b) representar su funcin inversa utilizando la herramien-tade graficacin y c) determinar si la grfica de la relacin inver-saes una funcin inversa. Explicar la respuesta.55. f SxDx3x4 56. hSxDx4x2TECNOLOGATECNOLOGA La regla de Simpson puede usarse para dar una buena aproximacindel valor de la integral en el ejemplo 2 (para n10, la aproximacin es 1.839). Al usarla integracin numrica, sin embargo, se debe estar consciente de que la regla de Simp-sonno siempre da buenas aproximaciones cuando algunos de los lmites de integracinestn cercanos a una asntota vertical. Por ejemplo, usando el teorema fundamental delclculo, se obtieneAplicando la regla de Simpson (con n10) para esta integral se produce una aproxi-macinde 6.889.%1.990x34x2dx6.213.EJERCICIOS CON HERRAMIENTAS DE GRAFICACINCampos de pendientes En los ejercicios 67 a 72, usar un sistemaalgebraico por computadora para a) trazar la grfica del campode pendientes para la ecuacin diferencial y b) trazar la grfica dela solucin que satisface la condicin inicial especificada.67.68.69.70.71.dydxy06y0172. y0212ex8 seny4,dydx 0.4y3x,y09dydx 0.2x2y,y02dydx 0.02y10y,dydx 4y,y04dydx 0.25y,CASEn los ejercicios 33 a 40, usar un sistema algebraico por computado-rapara determinar la primitiva que atraviesa el punto dado. Usarel sistema para hacer la grfica de la antiderivada resultante.6x21x2x136, 0 dx,33. 34.35. 36.3, 4 x2x2x3dx,0, 1 x222 dx,x2422, 15xx210x25dx,CAS-aEn los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por compu-tadorapara encontrar la integral. Usar el sistema algebraico porcomputadora para hacer la grfica de dos antiderivadas. Describirla relacin entre las grficas de las dos antiderivadas.79. 80.81. 82.%x2x24x13dxCAS%1x24x13dx%11sen UdU % exex2 3dxxvi CaractersticasLos ejemplos a lo largo del libro seacompaan de investigaciones queemplean un sistema algebraico porcomputadora (por ejemplo, Maple)para explorar de manera adicional unejemplo relacionado en el libro.Permiten a los estudiantes explorar elclculo manipulando funciones,grficas, etc., y observar los resultados.La comprensin con frecuencia mejora utilizandouna grfica o visualizacin. Los ejercicios detecnologa de graficacin piden a los estudiantesrecurrir a una herramienta de graficacin paraayudar a encontrar una solucin.A lo largo del libro, los recuadrosde tecnologa dan a los estudiantesuna visin de cmo la tecnologapuede usarse para ayudar a resolverproblemas y explorar los conceptosdel clculo. No slo proporcionandiscusiones acerca de dnde latecnologa tiene xito, sino tambinsobre dnde puede fracasar.EJERCICIOS CON SISTEMASALGEBRAICOS POR COMPUTADORANUEVO! De igual manera que los ejercicios conherramientas de graficacin, algunos ejerciciospueden resolverse mejor utilizando un sistemaalgebraico por computadora. Estos ejercicios sonnuevos en esta edicin. 23. Jeremy Walker/Getty ImagesPreparacinpara el clculoEn este captulo se revisan varios concep-tosque lo ayudarn a prepararse para elestudio del clculo. Estos conceptos in-cluyenel dibujo de grficas y funcionesas como el ajuste de modelos matemti-cosa conjuntos de datos. Es importanterepasar estos conceptos antes de adentrar-seen el clculo.En este captulo, se aprender:n Cmo identificar las caractersticas delas ecuaciones y dibujar sus grficas.(P.1)n Cmo encontrar y graficar ecuacionesde rectas, incluidas rectas paralelas yperpendiculares, utilizando el concep-tode pendiente. (P.2)n Cmo evaluar y graficar funciones ysus diferentes transformaciones. (P.3)n Cmo ajustar modelos matemticos aconjuntos de datos encontrados en lavida real. (P.4)En 2006, China rebas a Estados Unidos como el mayor emisor de dixido decarbono del mundo, el principal gas del efecto invernadero. Dadas las concen-tracionesde dixido de carbono en la atmsfera durante varios aos, puedenlos viejos modelos matemticos predecir con exactitud las futuras concentra-cionesatmosfricas en comparacin con modelos ms recientes? (Ver la seccinP.1, ejemplo 6.)Los modelos matemticos se usan generalmente para describir conjuntos de datos y pueden representarse por diferen-testipos de funciones tales como las lineales, cuadrticas, cbicas, racionales y trigonomtricas. (Ver la seccin P.4.)1P 24. 2 CAPTULO P Preparacin para el clculoP.1 Grficas y modelosREN DESCARTES (1596-1650)Archive PhotosDescartes hizo numerosas contribuciones ala filosofa, la ciencia y las matemticas. Ensu libro La Gomtrie, publicado en 1637,describi la idea de representar los puntosdel plano por medio de pares de nmerosreales y las curvas en el plano medianteecuaciones.(1, 4)(2, 1)4 6 88642 2 4 62Procedimiento grfico: 3xy7Figura P.1 Trazar la grfica de una ecuacin. Encontrar las intersecciones de una grfica con los ejes. Analizar las posibles simetras de una grfica con respecto a un eje y el origen. Encontrar los puntos de interseccin de dos grficas. Interpretar modelos matemticos con datos de la vida real.La grfica de una ecuacinEn 1637, el matemtico francs Ren Descartes revolucion las matemticas al unir sus dosramas principales: lgebra y geometra. Con ayuda del plano coordenado de Descartes, losconceptos geomtricos se pudieron formular de manera analtica y los algebraicos visuali-zarsede forma grfica. La potencia de este mtodo es tal que durante un siglo se consiguidesarrollar la mayor parte del clculo.Las posibilidades de xito en el clculo aumentarn siguiendo el mismo mtodo. Esdecir, realizar el clculo desde mltiples perspectivas grfica, analtica y numricaincrementar la comprensin de los conceptos fundamentales.Considerar la ecuacin 3x + y7. El punto (2, 1) es un punto solucin de la ecuacinpuesto que esta ltima se satisface (es verdadera) cuando se sustituye x por 2 y y por 1. Estaecuacin tiene muchas otras soluciones, como (1, 4) y (0, 7). Para encontrarlas de manerasistemtica, despejar y de la ecuacin inicial.y73x Mtodo analtico.Ahora, elaboramos una tabla de valores dando valores de x.0 1 2 3 4xy 7 4 1 2 5Mtodo numrico.A partir de la tabla, puede verse que (0, 7), (1, 4), (2, 1), (3, 2) y (4, 5) son solucionesde la ecuacin inicial 3x + y7. Al igual que muchas ecuaciones, sta tiene una cantidadinfinita de soluciones. El conjunto de todos los puntos solucin constituye la grfica de laecuacin, como ilustra la figura P.1.NOTA Aunque se mencione el dibujo de la figura P.1 como la grfica de 3x + y7, en realidad slorepresenta una porcin de la misma. La grfica completa se extendera fuera de la pgina.En este curso se estudiarn varias tcnicas para la representacin grfica. La ms simpleconsiste en dibujar puntos hasta que la forma esencial de la grfica se haga evidente.EJEMPLO 1 Dibujo de una grfica mediante el trazado de puntosDibujar la grfica de yx22.Solucin Primero construimos una tabla de valores. A continuacin, marcamos los puntosdados en la tabla.0 1 2 3x 2 1y 2 1 2 1 2 7Por ltimo, unir los puntos con una curva suave, como se muestra en la figura P.2. Esta grficaes una parbola. Se trata de una de las cnicas que se estudiarn en el captulo 10.7654321yLa parbola yx22Figura P.2x(3,2)(4,5)(0, 7)3xy7yyx2 2x 432 2 3 4 25. SECCIN P.1 Grficas y modelos 3Uno de los inconvenientes de la representacin mediante el trazado de puntos radica enque la obtencin de una idea confiable de la forma de una grfica puede exigir que se marqueun gran nmero de puntos. Utilizando slo unos pocos, se corre el riesgo de obtener unavisin deformada de la grfica. Por ejemplo, suponiendo que para dibujar la grfica dey130 xS3910x2x4Dse han marcado slo cinco puntos: (3, 3), (1, 1), (0, 0), (1, 1) y (3, 3), como semuestra en la figura P.3a. A partir de estos cinco puntos, se podra concluir que la grfica esuna recta. Sin embargo, esto no es correcto. Trazando varios puntos ms puede verse quela grfica es ms complicada, como se observa en la figura P.3b.x321(0, 0)(3, 3)(1, 1)y 321 1 2 3( 1,1) Si se marcan 1 2 3( 3,3)pocos puntos,puede obtenerseuna grficaincorrecta321a) b)TECNOLOGA La tecnologa moderna ha simplificado el dibujo de grficas. Noobstante, incluso recurriendo a ella, es posible desfigurar una grfica. Por ejemplo, laspantallas de una herramienta de graficacin de la figura P.4 muestran una porcin de lagrfica deyx3x225.La pantalla de la izquierda puede inducir a pensar que la grfica es una recta. Sin embar-go,la de la derecha muestra que no es as. Entonces, cuando se dibuja una grfica ya seaa mano o mediante una herramienta de graficacin, debe tenerse en cuenta que las dife-rentesventanas de representacin pueden dar lugar a imgenes muy distintas de la gr-fica.Al elegir una ventana, la clave est en mostrar una imagen de la grfica que seadecue al contexto del problema.yx 321 1 2 3 1 2 3yx(39 10x2x4)Figura P.3E X P L O R A C I NComparacin de los mtodosgrfico y analtico Utilizar unaherramienta de graficacin pararepresentar cada una de las siguientesecuaciones. En cada caso, encontraruna ventana de representacin quemuestre las principales caractersticasde la grfica.a) yx33x22x5b) yx33x22x25c) yx33x220x5d) y3x340x250x45e) y(x12)3f) y(x2)(x4)(x6)Resolver este problema usandoslo mtodos grficos conllevarauna estrategia simple de intuicin,comprobacin y revisin. Qutipo de aspectos podra involucrarun planteamiento analtico? Porejemplo, tiene simetras la grfica?,tiene inflexiones? Si es as, dndeestn?A medida que se avance por loscaptulos 1, 2 y 3 de este texto, seestudiarn muchas herramientasanalticas nuevas que sern de ayudapara analizar grficas de ecuacionescomo stas. 1010 1010 5 35Visualizaciones en la pantalla de una herramienta de graficacin de yx3x225Figura P.455NOTA En este libro, el trmino herramienta de graficacin se refiere a una calculadora graficadorao a un programa graficador como Maple, Mathematica o a la calculadora TI-89. 26. 4 CAPTULO P Preparacin para el clculoIntersecciones de una grfica con los ejesDos tipos de puntos solucin tiles al representar grficamente una ecuacin son aquellosen los que la coordenada x o y es cero. Tales puntos se denominan intersecciones con losejes porque son los puntos en que la grfica corta (hace interseccin con) el eje x o el eje y.Un punto del tipo (a, 0) es una interseccin en x de la grfica de una ecuacin si es unpunto solucin de sta. Para determinar las intersecciones en x de una grfica, igualar y acero y despejar x de la ecuacin resultante. De manera anloga, un punto del tipo (0, b) esuna interseccin en y de la grfica de una ecuacin si es un punto solucin de la misma.Para encontrar las intersecciones en y de una grfica, igualar x a cero y despejar y de laecuacin resultante.NOTA En algunos textos se denomina x interseccin a la coordenada x del punto (a, 0) en lugardel propio punto. Salvo que sea necesario distinguirlos, se usar el trmino interseccin para denotartanto al punto de interseccin con el eje x como a su abscisa.Es posible que una grfica carezca de intersecciones con los ejes, o que presente variasde ellas. Por ejemplo, considerar las cuatro grficas de la figura P.5.EJEMPLO 2 Determinacin de las intersecciones con los ejes x y yEncontrar las intersecciones con los ejes en la grfica de yx34x.Solucin Para determinar las intersecciones en x, hacer y igual a cero y despejar x.x34x0 y se iguala a cero.x(x2) (x2)0 Factorizar.x0, 2 o 2 Despejar x.Puesto que esta ecuacin admite tres soluciones, se puede concluir que la grfica tiene tresintersecciones en x:(0, 0), (2, 0) y (2, 0) Intersecciones en x.Para encontrar las intersecciones en y, igualar x a cero. Resulta entonces y0. Por tanto,la interseccin en y es(0, 0) Interseccin en y.(Ver la figura P.6.)TECNOLOGA En el ejemplo 2 se utiliza un mtodo analtico para determinar lasintersecciones con los ejes. Cuando no es posible tal enfoque analtico, se puede recu-rrira mtodos grficos, buscando los puntos donde la grfica toca los ejes. Utilizar unaherramienta de graficacin para aproximar las intersecciones.xyxyxyxyNo hay intersecciones con el eje x Tres intersecciones con el eje xUna interseccin con el eje xNo hay interseccionesUna interseccin con el eje yUna interseccin con el eje yDos intersecciones con el eje yFigura P.543yx3 4xy 431 1 3 4 1 2 3 4Intersecciones de una grficaFigura P.6x( 2, 0) (0, 0) (2, 0) 27. SECCIN P.1 Grficas y modelos 5Simetras de una grficaEs til conocer la simetra de una grfica antes de intentar trazarla, puesto que slo se ne-cesitarnla mitad de los puntos para hacerlo. Los tres tipos siguientes de simetras puedenservir de ayuda para dibujar la grfica de una ecuacin (ver la figura P.7).1. Una grfica es simtrica respecto al eje y si, para cada punto (x, y) de la grfica, el punto(x, y) tambin pertenece a la grfica. Esto significa que la porcin de la grfica situadaa la izquierda del eje y es la imagen especular de la situada a la derecha de dicho eje.2. Una grfica es simtrica respecto al eje x si, para cada punto (x, y) de la grfica,el punto (x, y) tambin pertenece a la grfica. Esto quiere decir que la porcin dela grfica situada sobre el eje x es la imagen especular de la situada bajo el mismo eje.3. Una grfica es simtrica respecto al origen si, para cada punto (x, y) de la grfica, elpunto (x, y) tambin pertenece a la grfica. Esto significa que la grfica permaneceinalterada si se efecta una rotacin de 180 respecto al origen.CRITERIOS DE SIMETRA1. La grfica de una ecuacin en x y y es simtrica respecto al eje y si al sustituir xpor x en la ecuacin se obtiene una ecuacin equivalente.2. La grfica de una ecuacin en x y y es simtrica respecto al eje x si al sustituir ypor y en la ecuacin resulta una ecuacin equivalente.3. La grfica de una ecuacin en x y y es simtrica respecto al origen si al sustituirx por x y y por y en la ecuacin se obtiene una ecuacin equivalente.La grfica de un polinomio es simtrica respecto al eje y si cada uno de los trminostiene exponente par (o es una constante). Por ejemplo, la grfica de y2x4x22 essimtrica respecto al eje y. La grfica de un polinomio es simtrica respecto al origen si cadauno de los trminos tiene exponente impar, como se ilustra en el ejemplo 3.EJEMPLO 3 Comprobacin de la simetraVerificar si la grfica de y2x3x es simtrica respecto al eje y y respecto al origen.SolucinSimetra respecto al eje y:y2x3x Escribir ecuacin original.y2(x)3(x) Sustituir x por x.y2x3 x Simplificar. No es una ecuacin equivalente.Simetra respecto al origen:y2x3 x Escribir ecuacin original.y2(x)3(x) Sustituir x por x y y por y.y2x3x Simplificar.y2x3x Ecuacin equivalente.Puesto que la sustitucin x por x y y por y produce una ecuacin equivalente, se con-cluyeque la grfica de y2x3 x es simtrica con respecto al origen, como se muestra enla figura P.8.Figura P.7x( x, y) (x, y)Simetra conrespecto aleje yyx(x, y)ySimetra con (x,y)respecto aleje xx( x,y)(x, y)Simetra conrespecto alorigenyx21 21 1 2 1 2(1, 1)( 1,1)y = 2x3 x ySimetra con respecto al origenFigura P.8 28. 6 CAPTULO P Preparacin para el clculoEJEMPLO 4 Uso de las intersecciones y de las simetraspara representar una grficaDibujar la grfica de xy21.Solucin La grfica es simtrica respecto al eje x porque al sustituir y por y se obtieneuna ecuacin equivalente.xy21 Escribir ecuacin original.x(y)21 Sustituir y por y.xy21 Ecuacin equivalente.Esto significa que la porcin de la grfica situada bajo el eje x es una imagen especular dela porcin situada sobre el eje. Para dibujar la grfica, graficar primero la interseccin conel eje x y la porcin sobre el eje x. Despus, reflejar el dibujo en el eje x y obtener la grfi-cacompleta, como se muestra en la figura P.9.TECNOLOGA Las herramientas de graficacin estn diseadas para dibujar con mayorfacilidad ecuaciones en las que y est en funcin de x (ver la definicin de funcin en laseccin P.3). Para representar otro tipo de ecuaciones, es necesario dividir la grfica endos o ms partes, o bien, utilizar un modo grfico diferente. Por ejemplo, la grfica de laecuacin del ejemplo 4, puede dividirse en dos partes:y1 x 1 Porcin superior de la grfica.y2 x 1 Porcin inferior de la grfica.Puntos de interseccinSe llama punto de interseccin de las grficas de dos ecuaciones a todo punto que satisfa-gaambas ecuaciones. Los puntos de interseccin de dos grficas se determinan al resolversus ecuaciones de manera simultnea.EJEMPLO 5 Determinacin de los puntos de interseccinCalcular los puntos de interseccin de las grficas de x2y3 y xy1.Solucin Comenzar por representar las grficas de ambas ecuaciones en el mismo sistemade coordenadas rectangulares, como se muestra en la figura P.10. Hecho esto, resulta evi-denteque las grficas tienen dos puntos de interseccin. Para determinarlos, se puedeproceder como sigue.Despejar y de la primera ecuacin.Despejar y de la segunda ecuacin.Igualar los valores obtenidos de y.Escribir la ecuacin en la forma general.Factorizar.Despejar x.yx23yx1x23x1x2x20Sx2DSx1D0Los valores correspondientes de y se obtienen sustituyendo x2 y xl en cualquierade las ecuaciones originales. Resultan as los dos puntos de interseccin:(2, 1) y (1, 2) Puntos de interseccin.Figura P.9x2 o 1x y21 (5, 2)2 3 4 521 1 2x(1, 0)(2, 1)Interseccinen xyx y121Dos puntos de interseccinFigura P.10x 21 1 2 1( 1,2)2(2, 1)x2 y3yAYUDA DE ESTUDIO Verificar lospuntos de interseccin del ejemplo 5sustituyndolos en la ecuacin originalo usando la funcin de interseccinde su herramienta de graficacin ocomputadora. 29. SECCIN P.1 Grficas y modelos 7Modelos matemticosAl aplicar las matemticas en la vida real con frecuencia se usan ecuaciones como modelosmatemticos. Si se desarrolla un modelo matemtico con el fin de representar datos reales,debe esforzarse por alcanzar dos objetivos a menudo contradictorios: precisin y sencillez.Es decir, el modelo deber ser lo bastante sencillo como para poder manejarlo, pero tambinpreciso como para producir resultados significativos. En la seccin P.4 se tratan estos obje-tivoscon ms detalle.EJEMPLO 6 El aumento de dixido de carbono atmosfricoEl observatorio de Mauna Loa, Hawai, registra la concentracin de dixido de carbono (enpartes por milln) en la atmsfera terrestre. En la figura P.11 se muestran los registros co-rrespondientesal mes de enero de varios aos. En el nmero de julio de 1990 de ScientificAmerican, se utilizaron esos datos para pronosticar el nivel de dixido de carbono en laatmsfera terrestre en el ao 2035, utilizando el modelo cuadrtico:y316.20.70t0.018t2 Modelo cuadrtico para los datos de 1960 a 1990.donde t0 representa a 1960, como se muestra en la figura P.11a.Los datos que se muestran en la figura P.11b representan los aos 1980 a 2007, y puedenmodelarse mediantey304.1l.64t Modelo lineal para los datos de 1980 a 2007.donde t0 representa a 1960. Cul fue el pronstico dado en el artculo de ScientificAmerican de 1990? Dados los datos ms recientes de los aos 1990 a 2007, parece exactaesa prediccin para el ao 2035?385380375370365360355350345340335330325320385380375370365360355350345340335330325320Solucin Para responder a la primera pregunta, se sustituye t75 (para el ao 2035) enel modelo cuadrtico.y316.20.70(75)0.018(75)2469.95 Modelo cuadrtico.De tal manera, el pronstico establecido en el artculo de Scientific American deca que laconcentracin de dixido de carbono en la atmsfera terrestre alcanzara alrededor de 470partes por milln en el ao 2035. Utilizando el modelo lineal con los datos de los aos 1980a 2007, el pronstico para el ao 2035 esy304.11.64(75)427.1 Modelo lineal.Por tanto, de acuerdo con el modelo lineal para los aos 1980 a 2007, parece que el prons-ticode 1990 fue demasiado elevado. JG Photography/AlamyEl observatorio de Mauna Loa enHawai ha medido el incremento en laconcentracin de dixido de carbonoen la atmsfera terrestre desde 1958.El dixido de carbono es el principalgas causante del efecto invernaderoresponsable directo del calentamientoglobal.NOTA Los modelos del ejemplo 6 sehan elaborado usando un mtododenominado ajuste por mnimoscuadrados (ver la seccin 13.9). Elmodelo lineal tiene una correlacin dadapor r20.997 y el modelo cuadrticopor r20.994. Cuanto ms prximo esr2 a 1, mejor es el modelo.Figura P.11ty3155 10 15 20 25 30 35 40 45 502!O (0 1960)CO (en partes por MILLN)ty3155 10 15 20 25 30 35 40 45 502 CO (en partes por MILLN)!O (0 1960)a) b) 30. 8 CAPTULO P Preparacin para el clculoEjerciciosEn los ejercicios 1 a 4, relacionar cada ecuacin con su grfica.a) b)x21y1 1 1c) d)1.3.xy3211 1 2 3 11 221 1 2 2xyx42y 2 2 2y3 2.y9x22 x3y3x2 4. yx3xEn los ejercicios 5 a 14, elaborar la grfica de la ecuacin medianteel trazado de puntos.y1 y52x2 x25. 6.7. 8.9. 10.11. 12.y4x2 yx32yx2 yx1yx6 yx23x13. 14. y 1x2y En los ejercicios 15 y 16, describir las ventanas de la figura.15. 16.yx34x23 yxx16En los ejercicios 17 y 18, utilizar una herramienta de graficacinpara representar la ecuacin. Desplazar el cursor a lo largo dela curva para determinar de manera aproximada la coordenadadesconocida de cada punto solucin, con una exactitud de dosdecimales.17. y5x a) S2, yD b)Sx, 3D18. a) b)yx55x S0.5, yD Sx, 4DEn los ejercicios 19 a 28, encontrar todas las intersecciones conlos ejes.y2x5 y4x2319. 20.21. 22.23. 24.yx2x2 y2x34xyx16x2 yx1x21y 2x25. 26.y x23x3x125x27. x2yx24y0 28. y2xx21En los ejercicios 29 a 40, buscar si existe simetra respecto a cadauno de los ejes y respecto al origen.yx26 yx2x29. 30.31. 32.33. 34.35. 36.y 2x38x yx3xxy4 xy210y4x3 xy4x20y x37. 38.y x2x21x2139. yx3x 40. yx3En los ejercicios 41 a 58, trazar la grfica de la ecuacin. Iden-tificartodas las intersecciones con los ejes y determinar si existesimetra.y 2x623x41. 42.43. 44.45. 46.47. 48.49. 50.51. 52.53. 54.y 3y9x2 yx23yx32 y2x2xyx32 yx34xyxx5 y25x2xy3 xy2455. 56.57. y6x 58. y6xy2x9 x24y2459. 60.61. x3y26 62. 3x4y28xy8 3x2y463. 64.4xy7 4x2y10x2y6 x3y265. 66.xy4 yx1x2y25 x2y225El smbolo seala los ejercicios donde se pide utilizar tecnologa grfica o un sistema de lgebracomputacional. La resolucin de los dems ejercicios tambin puede simplificarse mediante el usode la tecnologa adecuada.y 10x21y 8xy2y 3 x112 x4En los ejercicios 59 a 62, utilizar una herramienta de graficacinpara dibujar la grfica de la ecuacin. Identificar toda intersec-cincon los ejes y determinar si existe simetra.En los ejercicios 63 a 70, encontrar los puntos de interseccin delas grficas del par de ecuaciones.67. 68.xy1 3xy15P.1 31. SECCIN P.1 Grficas y modelos 9yx3 yx34x69. 70.yx yx2En los ejercicios 71 a 74, utilizar una herramienta de graficacinpara encontrar los puntos de interseccin de las grficas. Verificarlos resultados de manera analtica.yx32x2x1 yx42x2171. 72.yx23x1 y1x2yx6 y2x3673. 74.yx24x y6x75. Modelado matemtico En la tabla se muestra el ndice dePrecios al Consumidor (IPC) para una seleccin de varios aos.(Fuente: Bureau of Labor Statistics.)1975 1980 1985 1990 1995 2000 200553.8 82.4 107.6 130.7 152.4 172.2 195.3a) Utilizar una herramienta de graficacin para el clculo deregresin con el fin de encontrar un modelo matemtico dela forma yat2btc para los datos. En este modelo,y representa el IPC y t representa el ao, donde t5 co-rrespondea 1975.b) Representar el modelo en la calculadora y comparar losdatos.c) Utilizar el modelo para predecir el IPC del ao 2010.76. Modelo matemtico La siguiente tabla muestra el nmero deusuarios de telfonos mviles (en millones) en Estados Unidosen los aos mostrados. (Fuente: Cellular Telecommunicationsand Internet Association.)a) Utilizar la funcin de regresin de una herramienta de gra-ficaciny encontrar as un modelo matemtico de la formayat2btc de los datos. En este modelo, y representael nmero de usuarios y t representa el ao, donde t0corresponde a 1990.b) Utilizar una herramienta de graficacin para colocar los datosy graficar el modelo. Comparar los datos con el modelo.c) Utilizar el modelo para predecir el nmero de usuarios detelfonos mviles en Estados Unidos en el ao 2015.77. Punto de equilibrio Calcular las ventas necesarias para alcan-zarel punto de equilibrio (RC), si el costo* C de producir xunidades es:C5.5 x 10 000 Ecuacin de costo.y los ingresos R por vender x unidades son:R3.29x. Ecuacin de ingresos.78. Alambre de cobre La resistencia y en ohms** de 1 000 piesde alambre de cobre a 77 F admite el modelo matemtico10 770x2y5 b x b 100 0.37,!OIPC1990 1993 1996 1999 2002 20055 16 44 86 141 208!O.MERO* En Espaa se le denomina coste.** En Espaa las siguientes unidades de medicin se denominan: volts voltios; amperesamperios; ohmsohmios; henryshenrios; decibeles decibelios; wattswatios.donde x es el dimetro en milsimas de pulgada. Representar elmodelo en la herramienta de graficacin. Si se duplica el dime-trodel hilo, en qu factor aproximado vara la resistencia?Desarrollo de conceptosEn los ejercicios 79 y 80, escribir una ecuacin cuya grficatenga la propiedad que se indica (puede existir ms de unarespuesta correcta).79. La grfica tiene intersecciones enx4, x3 yx3 x4,x8.80. La grfica tiene intersecciones en 2,y81. a) Comprobar que si una grfica es simtrica con respectoal eje x y al eje y, entonces es simtrica con respecto alorigen. Dar un ejemplo que muestre que lo contrario noes cierto.b) Comprobar que si una grfica es simtrica con respectoa cualquiera de los ejes y al origen, entonces es simtricacon respecto al otro eje.Para discusin82. Relacionar la ecuacin o ecuaciones con las caractersticasdadas.i) ii) iii)iv) v) vi)a) Simtrica con respecto al eje yb) Tres intersecciones con el eje xc) Simtrica con respecto al eje xd) (2, 1) es un punto de la grficae) Simtrica con respecto al origenf) La grfica pasa por el origeny3x3yx3y3x33xyx32Verdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determinar cundola afirmacin es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qu oproporcionar un ejemplo que demuestre que es falsa.83. Si ( 4, 5) es el punto de una grfica simtrica con respecto aleje x, entonces (4, 5) tambin es un punto de dicha grfica.84. Si ( 4, 5) es el punto de una grfica simtrica con respecto aleje y, entonces (4, 5) tambin es un punto de dicha grfica.85. Si b24ac0 y a p0, entonces la grfica de yax2bx c tiene dos intersecciones con x.86. Si b24ac0 y a p0, entonces la grfica de yax2bx c slo tiene una interseccin con x.En los ejercicios 87 y 88, encontrar una ecuacin de la grficaque se compone de todos los puntos (x, y) que tienen la distanciadada respecto al origen (repasar la frmula de la distancia en elapndice C).87. La distancia respecto al origen es el doble de la distancia quehay desde (0, 3).88. La distancia respecto al origen se obtiene al multiplicar la dis-tanciaque hay desde el punto (2, 0) por K (K p 1).x52.y 3 xy3x2373. 32. Encontrar la pendiente de una recta que pasa por dos puntos. Escribir la ecuacin de una recta dados un punto y su pendiente. Interpretar la pendiente como razn o ritmo en aplicaciones cotidianas. Trazar la grfica de una ecuacin lineal en la forma pendiente-interseccin. Escribir las ecuaciones de rectas que son paralelas o perpendiculares a una recta dada.La pendiente de una rectaLa pendiente de una recta no vertical es una medida del nmero de unidades que la rectaasciende (o desciende) verticalmente por cada unidad de variacin horizontal de izquierdaa derecha. Considerar los dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) de la recta de la figura P.12. Al des-plazarsede izquierda a derecha por la recta, se produce una variacin vertical de$yy2y1 Cambio en y.unidades por cada variacin horizontal de$xx2x1 Cambio en x.unidades. ($ es la letra griega delta mayscula y los smbolos $y y $x se leen delta de yy delta de x.)DEFINICIN DE LA PENDIENTE DE UNA RECTALa pendiente m de una recta no vertical que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) esmyxy yx xx xx$$2 12 11 2 , .La pendiente no est definida por rectas verticales.NOTA Al aplicar la frmula de la pendiente, observar quey yx xy yx xy yx x2 12 11 21 21 21 2( )( ).Por tanto, no importa el orden en que se reste, siempre que sea coherente y las dos coordenadasrestadas provengan del mismo punto.En la figura P.13 se muestran cuatro rectas con pendiente: una positiva, otra cero, otranegativa y otra indefinida. En general, cuanto mayor sea el valor absoluto de la pendientede una recta, mayor es su inclinacin. Por ejemplo, en la figura P.13, la recta con pendiente5 est ms inclinada que la de pendiente(3, 4)ym4 estindefinidaSi m es indefinida, la recta esverticalym1 = 15Si m es positiva, la recta subede izquierda a derechaFigura P.13xx2y2x1y1$x x2 x1$y y2 y1(x2, y2)(x1, y1)$yy2y1cambio en y$xx2x1cambio en xFigura P.12x 21 11 2 34321( 2, 0)(3, 1)yx 21 11 2 3431m20y( 1, 2) (2, 2)x 1 1m3 2 3 44321(0, 4)(1,1)yx 1 11 2 44321 (3, 1)Si m es negativa, la recta bajade izquierda a derechaSi m es cero, la recta es hori-zontal15.10 CAPTULO P Preparacin para el clculoP.2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio 33. SECCIN P.2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio 11Ecuaciones de las rectasPara calcular la pendiente de una recta pueden utilizarse dos de sus puntos cualesquiera. Estopuede verificarse con ayuda de los tringulos semejantes de la figura P.14. (Recordar que loscocientes de los lados correspondientes de dos tringulos semejantes son todos iguales.)y2* y1*x2* x1*Se puede escribir la ecuacin de una recta si se conocen su pendiente y las coordenadasde uno de sus puntos. Dada la pendiente m y un punto (x1, y1). Si (x, y) denota cualquier otropunto de la recta, entoncesy yx xm1 1.Esta ecuacin, que involucra las dos variables x y y, se puede escribir de la forma yy1 m(xx1), la cual es conocida como ecuacin punto-pendiente de una recta.ECUACIN PUNTO-PENDIENTE DE UNA RECTALa ecuacin de la recta con pendiente m que pasa por el punto (x1, y1) est dadaporyy1m(xx1).EJEMPLO 1 Determinacin de la ecuacin de una rectaEncontrar la ecuacin de la recta con pendiente 3 que pasa por el punto (1, 2).Solucinyy1m(xx1) Forma punto-pendiente.y(2)3(x1) Sustituir y1 por 2, x1 por l y m por 3.y23x3 Simplificar.y3x5 Despejar y.(Ver la figura P.15.)NOTA Recordar que la pendiente puede usarse slo para describir una recta no vertical. De tal ma-nera,las rectas verticales no pueden expresarse mediante ecuaciones punto-pendiente. Por ejemplo,la ecuacin de la recta vertical que pasa por el punto (1, 2) es x1.E X P L O R A C I NEstudio de ecuaciones de rectasUtilizar una herramienta de grafi-cacinpara dibujar cada una de lassiguientes ecuaciones lineales. Qupunto es comn a las siete rectas?Qu nmero determina la pendien-tede la recta en cada ecuacin?a)b)c)d)e)f)g)Utilizar los resultados paraconstruir la ecuacin de una rectaque pase por (1, 4) con unapendiente de m.Cualquier par de puntos de unarecta determina su pendienteFigura P.14xmy2 y1x2 x1(x1*, y1*)(x2*, y2*)(x1, y1)(x2, y2)yx1 1 2 3 4 5y42Sx1Dy41Sx1Dy412Sx1Dy40Sx1Dy412Sx1Dy41Sx1Dy42Sx1Dy3x 51 3 4$x1 34. $y3yLa recta de pendiente 3 que pasa por elpunto (1, 2)Figura P.15 35. 12 CAPTULO P Preparacin para el clculoRazones y ritmos o velocidades de cambioLa pendiente de una recta puede interpretarse ya sea como una razn o como una propor-cin,o bien como una tasa, ritmo o velocidad de cambio. Si los ejes x y y tienen la mismaunidad de medida, la pendiente no tiene unidades y es una razn o proporcin. Si los ejesx y y tienen distintas unidades de medida, la pendiente es una tasa, ritmo o velocidad decambio. Al estudiar clculo, se encontrarn aplicaciones relativas a ambas interpretacionesde la pendiente.EJEMPLO 2 Crecimiento de poblaciones y diseo tcnicoa) La poblacin de Colorado era de 3 827 000 habitantes en 1995 y de 4 665 000 en 2005.Durante este periodo de 10 aos, el ritmo o velocidad de cambio promedio de la po-blacinfue:Ritmo o velocidad de cambio =cambio en poblacincambio en aos4 665 000 3 827 0002005 1995 83 800 personas por ao.Si la poblacin de Colorado contina creciendo a este ritmo durante los prximos 10aos, en 2015 alcanzar 5 503 000 habitantes (ver la figura P.16). (Fuente: U.S. CensusBureau.)b) En un torneo de saltos de esqu acutico, la rampa se eleva hasta una altura de 6 piessobre una balsa de 21 pies de largo, como se ilustra en la figura P.17. La pendientede la rampa de esqu es el cociente entre su altura (ascenso) y la longitud de su base(avance).Pendiente de la rampa =ascensoavance6 pies21 pies 27Observar que, en este caso, la pendiente es una proporcin y se expresa sin unidades.El ritmo o velocidad de cambio calculado en el ejemplo 2a es un ritmo o velocidad decambio medio. Un ritmo o velocidad de cambio medio siempre se calcula con respecto a unintervalo que en este caso es [1995, 2005]. En el captulo 2 se estudiar otro tipo de ritmo ovelocidad de cambio, denominado ritmo o velocidad de cambio instantnea.10838 0001995 2005 2015654321!O0OBLACINENMILLONESPoblacin de Colorado en el censoFigura P.16Ascenso es el cambio vertical,avance es el cambio horizontal.Dimensiones de una rampa de esqu acuticoFigura P.1721 pies6 pies 36. SECCIN P.2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio 13Representacin grfica de modelos linealesMuchos de los problemas de geometra analtica pueden clasificarse en dos categoras bsicas:1) dada una grfica, cul es su ecuacin?, y 2) dada una ecuacin, cul es su grfica? Laecuacin punto-pendiente de una recta puede emplearse para resolver ciertos problemas dela primera categora. No obstante, esta forma no resulta til para resolver problemas de lasegunda categora. La forma que mejor se adapta al trazado de la grfica de una recta es laforma pendiente-interseccin de la ecuacin de una recta.ECUACIN PENDIENTE-INTERSECCIN DE UNA RECTALa grfica de la ecuacin linealymxbes una recta que tiene pendiente m y una interseccin con el eje y en (0, b).EJEMPLO 3 Trazado de rectas en el planoDibujar la grfica de cada una de las siguientes ecuaciones.a) y2x1 b) y2 c) 3yx60Solucina) Puesto que b1, la interseccin en y es (0, 1). Como la pendiente es m2, se sabeque la recta asciende dos unidades por cada unidad que se mueve hacia la derecha,como se muestra en la figura P.18a.b) Dado que b2, la interseccin en y es (0, 2). Como la pendiente es m0, se sabeque es horizontal, como se ilustra en la figura P.18b.c) Comenzar por escribir la ecuacin en forma pendiente-interseccin.Ecuacin original.Despejar el trmino en y.Forma pendiente-interseccin.3yx6De esta forma, puede verse que la interseccin en y es (0, 2) y la pendiente m. Estoquiere decir que la recta desciende una unidad por cada tres unidades que se mueve haciala derecha, como se muestra en la figura P.18c.3y2x13(0, 2)3$x3a) m2; la recta sube b) m0; la recta es horizontal c) m; la recta bajaFigura P.18x1 2 32(0, 1)$x1$y2yxy21 2 31yx1 2 3 4 5 61(0, 2)$y 1x2 y13yy13x23yx60 37. 14 CAPTULO P Preparacin para el clculoDado que la pendiente de una recta vertical no est definida, su ecuacin no puedeescribirse con la forma pendiente-interseccin. Sin embargo, la ecuacin de cualquier rectapuede escribirse en la forma general:AxByC0 Forma general de la ecuacin de una recta.donde A y B no son ambos cero. Por ejemplo, la recta vertical dada por xa puede repre-sentarsepor la ecuacin general xa0.Resumen de ecuaciones de las rectas1. Forma general: AxByC0, (A, B p 0)2. Recta vertical: xa3. Recta horizontal: yb4. Forma punto-pendiente: yy1m(xx1)5. Forma pendiente-interseccin: ymxbRectas paralelas y perpendicularesLa pendiente de una recta es til para determinar si dos rectas son paralelas o perpendi-culares,como se muestra en la figura P.19. En especfico, dos rectas no verticales con lamisma pendiente son paralelas, y dos rectas no verticales cuyas pendientes son recprocasnegativas son perpendiculares.Rectas paralelas Rectas perpendicularesFigura P.19RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES1. Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y slo si sus pendientes soniguales, es decir, si y slo si m1m2.2. Dos rectas no verticales son perpendiculares si y slo si sus pendientes sonrecprocas negativas, es decir, si y slo sim1.m12AYUDA DE ESTUDIO En matemticas, laexpresin si y slo si es una manerade establecer dos implicaciones en unamisma afirmacin. Por ejemplo, la pri-meraafirmacin de la derecha equivalea las dos implicaciones siguientes:a) Si dos rectas no verticales distintasson paralelas, entonces sus pen-dientesson iguales.b) Si dos rectas no verticales distintastienen pendientes iguales, entoncesson paralelas.xm1m2m1m2yxm1m2m1m2y 38. SECCIN P.2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio 15EJEMPLO 4 Rectas paralelas y rectas perpendicularesHallar la forma general de las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, 1) ysona) paralela a la recta 2x3y5 b) perpendicular a la recta 2x3y5.(Ver la figura P.20.)Solucin Al escribir la ecuacin lineal 2x3y5 en forma punto-pendiente, yx,se ve que la recta dada tiene pendiente m.a) La recta que pasa por (2, 1) y es paralela a la recta dada tiene tambin pendientede .yy1m(xx1) Forma punto-pendiente.y(1)23(x2) Sustituir.3(y1)2(x2) Simplificar.2x3y70 Forma general.Observar la similitud con la ecuacin original.b) Calculando el recproco negativo de la pendiente de la recta dada, se determina que lapendiente de toda recta perpendicular a la inicial es . Por tanto, la recta que pasapor el punto (2, 1) y es perpendicular a la recta dada tiene la siguiente ecuacin.y y1m(xx1) Forma punto-pendiente.y(1)(x2) Sustituir.2(y1)3(x2) Simplificar.3x2y40 Forma general.CONFUSIN TECNOLGICA La pendiente de una recta aparece distorsionada si seutilizan diferentes escalas en los ejes x y y. Por ejemplo, las dos pantallas de calculadoragrfica de las figuras P.21a y P.21b muestran las rectas dadas por y2x y yx3.Puesto que las pendientes de estas rectas son una el negativo del inverso de la otra, lasrectas son perpendiculares. Sin embargo, en la figura P.21a no lo parecen, debido a quela escala del eje x no es la misma que la escala del eje y. En la figura P.21b aparecenperpendiculares debido a que la escala utilizada del eje x es igual a la empleada para eleje y. Este tipo de ventanas se denominan ventanas cuadradas.213x2y4Rectas paralela y perpendicular a2x3y5Figura P.20a) La escala del eje x no es la mismaque la del eje yFigura P.21b) La escala del eje x es la mismaque la del eje yx 11 4(2,1)2x 3y72x 3y5y 10 101010 9 696 39. 16 CAPTULO P Preparacin para el clculoEn los ejercicios 1 a 6, calcular la pendiente de la recta a partirde su grfica.1. 2.x1 2 3 4 5 6 77654321y3. 4.5. 6.2870En los ejercicios 7 y 8, trazar las rectas que pasan por el puntodado con la pendiente indicada. Dibujar en un mismo sistema decoordenadas.Punto Pendientes7. (3, 4) a) 1 b) 2 c) N d) indefinida8. (2, 5) a) 3 b) 3 c) , d) 0En los ejercicios 9 a 14, dibujar el par de puntos y calcular lapendiente de la recta que pasa por ellos.9. S3, 4D, S5, 2D 10.S1, 1D, S2, 7D11. S4, 6D, S4, 1D 12.S3, 5D, S5, 5D13. 14.14S , 54782D, S, DS, 3D, SD 163434, 12En los ejercicios 15 a 18, utilizar el punto de la recta y su pendientepara determinar otros tres puntos por los que pase la recta (hayms de una respuesta correcta).Punto Pendi e n te Punto Pendi e n t eindefinida15. 16.17. 18.S6, 2D m0 S4, 3D mS1, 7D m3 S2, 2D m2x1 2 3 4 5 6 77654321yx1 2 3 4 5 6 7765321yx1 2 3 4 5 6654321yx1 2 3 5 6 72420161284yx1 2 3 4 5 6 7605040302010y19. Diseo de una cinta Se est construyendo una cinta trans-portadorade manera que se eleve 1 metro por cada 3 metros deavance horizontal.a) Calcular la pendiente de la cinta.b) Suponer que la cinta corre entre dos pisos de una fbrica.Calcular la longitud de la cinta si la distancia vertical entreambos pisos es de 10 pies.20. Ritmo de cambio Cada uno de los siguientes datos es la pen-dientede una recta que representa los ingresos diarios y en tr-minosdel tiempo x en das. Utilizar la pendiente para interpretarla variacin en los ingresos correspondiente a un incremento deun da.a) m800 b) m250 c) m021. Modelo matemtico La siguiente tabla muestra las poblacionesy (en millones) de Estados Unidos durante 2000-2005. La va-riablet representa el tiempo en aos, t0 corresponde a 2000.(Fuente: U.S. Bureau of the Census.)t 0 1 2 3 4 5y 282.4 285.3 288.2 291.1 293.9 296.6a) Dibujar los datos a mano y unir los puntos adyacentes conun segmento de lnea.b) Utilizar la pendiente de cada segmento de lnea con objetode determinar en qu ao se increment la poblacin conmenor rapidez.22. Modelo matemtico La siguiente tabla muestra el ritmo ovelocidad r (en millas por hora) al que se est moviendo unvehculo transcurridos t segundos.a) Dibujar la grfica a mano y unir los puntos adyacentes conun segmento de lnea.b) Utilizar la pendiente de cada segmento de lnea con objetode determinar en qu intervalo cambi ms rpidamente elritmo o velocidad del vehculo. Cmo cambi el ritmo ovelocidad?En los ejercicios 23 a 28, calcular la pendiente y la interseccin eny (si es posible) de la recta.23. y4x 3 24. x y125. x5y20 26. 6x5y1527. x4 28. ylEn los ejercicios 29 a 34, encontrar la ecuacin de la recta que pasapor el punto y tiene la pendiente indicada. Trazar la recta.Punto Pendi ente Punto Pendi e n t emS5, 2D m 34S0, 3D29. 30.31. 32.33. 34.indefinidamS0, 4D m0 23m35S0, 0DS3, 2D m3 S2, 4DP.2 Ejerciciost 5 10 15 20 25 30r 57 74 85 84 61 43 40. SECCIN P.2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio 17En los ejercicios 35 a 44, encontrar la ecuacin de la recta quepasa por los puntos y trazar la recta.35. 0, 0, 4, 8 36.0, 0, 1, 537. 2, 1, 0, 3 38.2, 2, 1, 739. 2, 8, 5, 0 40.3, 6, 1, 241. 6, 3, 6, 8 42.1, 2, 3, 243. 44.14, , 0, , , , 543478347212 45. Determinar la ecuacin de la recta vertical con interseccin en46. Demostrar que la recta con intersecciones con los ejes en (a, 0)En los ejercicios 47 a 50, utilizar el resultado del ejercicio 46 paraescribir la ecuacin de la recta.47. interseccin en x: (2, 0) 48. interseccin en x: 23y3 x4y2x1 x132y 13y2y13x4Xmn = 6Xmx = 6Xscl = 1Ymn = 4Ymx = 4Yscl = 1x en 3.y (0, b) tiene la siguiente ecuacin.x y 1, a x 0, b x 0abx1Xmn = 5Xmx = 5Xscl = 1Ymn = 5Ymx = 5Yscl = 1, 0interseccin en y: (0, 3) interseccin en y: (0, 2)49. Punto de la recta: (1, 2) 50. Punto de la recta: (3, 4)interseccin en x: (a, 0) interseccin en x: (a, 0)interseccin en y: (0, a) interseccin en y: (0, a)(a p 0) (a p 0)En los ejercicios 51 a 58, trazar la grfica de la ecuacin.51. 52.53. 54.55. 56.57. 58.59. Configuracin cuadrada Utilizar una herramienta de gra-ficacinpara dibujar ambas rectas en cada ventana de visor.Comparar las grficas. Las rectas aparecen perpendiculares?Lo son? Explicar la respuesta.a) b)60. Una recta est representada por la ecuacin axby4.a) Cundo la recta es paralela al eje x?b) Cundo la recta es paralela al eje y?c) Dar valores para a y b de manera que la recta tenga unapendiente de @ .d) Dar valores para a y b de manera que la recta sea per-pendiculara la recta y .Kx 3.e) Dar valores para a y b de manera que la recta coincidacon la grfica de 5x6y8.En los ejercicios 61 a 66, escribir la ecuacin de la recta que pasepor el punto y que sea: a) paralela a la recta dada, y b) perpen-diculara la recta dada.Punto ,NEA Punto ,NEA7, 2 x1 1, 0 y361.62.63.2, 1 4x2y3 64.3, 2 xy765.3 4, 7 85x 3y0 66. 4, 5 3x4y7Ritmo o velocidad de cambio En los ejercicios 67 a 70, se da elvalor de un producto, en dlares, durante 2004 y el ritmo o velo-cidadal que se espera que vare su valor durante los prximos 5aos. Utilizar esta informacin para escribir una ecuacin linealque proporcione el valor en dlares V del producto en trminosdel ao t. (Sea t0 representativo del ao 2000.)Valor en 2008 Ritmo o velocidad67. $1 850 $250 aumento anual68. $156 $4.50 aumento anual69. $17 200 $1 600 reduccin anual70. $245 000 $5 600 reduccin anualEn los ejercicios 71 y 72, utilizar una herramienta de grafica-cinpara representar las parbolas y encontrar sus puntos deinterseccin. Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por lospuntos de interseccin y dibujar su grfica en la misma ventanade representacin.71. 72.yx2 yx24x3y4xx2 yx22x3En los ejercicios 73 y 74, determinar si los puntos son colineales.(Se dice que tres puntos son colineales si pertenecen a una mismarecta.)73. 2, 1, 1, 0, 2, 2 74.0, 4, 7, 6, 5, 11Desarrollo de conceptosEn los ejercicios 75 a 77, encontrar las coordenadas del puntode interseccin de los segmentos dados. Explicar el razona-miento.(b, c)75. 76.( a, 0) (a, 0)(b, c)( a, 0) (a, 0)Bisectrices perpendiculares Medianas77.(b, c)( a, 0) (a, 0)Alturas78. Demostrar que los puntos de interseccin en los ejercicios75, 76 y 77 son colineales.79. Conversin de temperaturas Encontrar la ecuacin lineal queexprese la relacin que existe entre la temperatura en gradosPara discusinRecta Recta2xy30 x2y60 41. 18 CAPTULO P Preparacin para el clculoCelsius C y la temperatura en grados Fahrenheit F. Utilizarel hecho de que el agua se congela a 0 C (32 F) y hierve a 100C (212 F) para convertir 72 F a grados Celsius.80. Reembolso de gastos Una compaa reembolsa a sus repre-sentantesde ventas $175 diarios por alojamiento y comidas ms48 por milla recorrida. Escribir una ecuacin lineal que expreseel costo diario C para la compaa en trminos de x, el nmerode millas recorridas. Cunto le costar a la empresa que unode sus representantes de ventas recorra 137 millas?81. Eleccin profesional Un empleado tiene dos opciones a pues-tosen una gran corporacin. En un puesto le pagan $14.50 porhora ms un bono de $0.75 por unidad producida. En el otro,$11.20 por hora ms un bono de $1.30.a) Representar grficamente las ecuaciones lineales corres-pondientesa los salarios por hora W en trminos de x, elnmero de unidades producidas por hora, para cada una delas opciones.b) Representar con una heramienta de graficacin las ecua-cioneslineales y encontrar el punto de interseccin.c) Interpretar el significado del punto de interseccin de lasgrficas del apartado b). Cmo usara esta informacinpara seleccionar la opcin correcta si su objetivo fueraobtener el mayor sueldo por hora?82. Depreciacin lineal Un pequeo negocio adquiere un equipode $875. Transcurridos 5 aos el equipo ser obsoleto, carentede valor.a) Escribir una ecuacin lineal que proporcione el valor y delequipo en trminos del tiempo x, 0x5.b) Encontrar el valor del equipo cuando x2.c) Calcular el momento en que el valor del equipo es $200(con una precisin de dos cifras decimales).83. Alquiler de apartamentos Una agencia inmobiliaria manejaun complejo de 50 apartamentos. Cuando el alquiler es de $780mensuales, los 50 apartamentos estn ocupados. Sin embargo,cuando el alquiler es de $825, el nmero promedio de aparta-mentosocupados desciende a 47. Suponer que la relacin entreel alquiler mensual p y la demanda x es lineal. (Nota: Aqu se usael trmino demanda para referirse al nmero de apartamentosocupados.)a) Escribir una ecuacin lineal que proporcione la demandax en trminos del alquiler p.b) Extrapolacin lineal Utilizar una herramienta de grafica-cinpara representar la ecuacin de la demanda y emplearla funcin trace para pronosticar el nmero de apartamentosocupados si el alquiler aumenta a $855.c) Interpolacin lineal Pronosticar el nmero de apartamentosocupados si el alquiler baja a $795. Verificar el resultadogrficamente.84. Modelo matemtico Un profesor pone cuestionarios de 20puntos y exmenes de 100 puntos a lo largo de un curso de ma-temticas.Las calificaciones promedio de seis estudiantes, dadascomo pares ordenados (x, y), donde x es la calificacin media enlos cuestionarios y y la calificacin media en los exmenes, son(18, 87), (10, 55), (19, 96), (16, 79), (13, 76) y (15, 82).a) Empleando una herramienta de graficacin con programapara el clculo de regresiones, encontrar la recta de regre-sin,por mnimos cuadrados, para los datos.b) Utilizar una herramienta de graficacin para trazar los pun-tosy graficar la recta de regresin en una misma ventana.c) Utilizar la recta de regresin para pronosticar la calificacinpromedio en los exmenes de un estudiante cuya califica-cinpromedio en los cuestionarios es 17.d) Interpretar el significado de la pendiente de la recta deregresin.e) Si el profesor aade 4 puntos a la calificacin promedioen los exmenes de cada alumno, describir el cambio deposicin de los puntos trazados y la modificacin de laecuacin de la recta.85. Recta tangente Encontrar la ecuacin de la recta tangente alcrculo x2y2169 en el punto (5, 12).86. Recta tangente Encontrar la ecuacin de la recta tangente alcrculo (x1)2(y1)225 en el punto (4, 3).Distancia En los ejercicios 87 a 92, calcular la distancia que exis-teentre el punto y la recta o entre las rectas, utilizando la frmulapara la distancia entre el punto (x1, y1) y la recta AxByC0.87. Punto: (0, 0) 88. Punto: (2, 3)Recta: 4x3y10 Recta: 4x3y1089. Punto: (2, 1) 90. Punto: (6, 2)Recta: xy20 Recta: x191. Recta: xy1 92. Recta: 3x4y1Recta: xy5 Recta: 3x4y1093. Demostrar que la distancia que existe entre el punto (x1, y1) y larecta AxByC0 esDistanciaAx194. Escribir la distancia d entre el punto (3, 1) y la recta ymx4en trminos de m. Emplear una herramienta de graficacin pararepresentar la ecuacin. Cundo es 0 la distancia? Explicar elresultado de manera geomtrica.95. Demostrar que las diagonales de un rombo se cortan perpen-dicularmente.(Un rombo es un cuadriltero con lados de iguallongitud.)96. Demostrar que la figura que se obtiene uniendo los puntos me-diosde los lados consecutivos de cualquier cuadriltero es unparalelogramo.97. Demostrar que si los puntos (x1, y1) y (x2, y2) pertenecen a lamisma recta que (x*1, y*1) y (x*2, y*2), entonces:Px1 PSuponer que x1 p x2 y x*1p x*2.98. Demostrar que si las pendientes de dos rectas son recprocasnegativas de la otra, entonces las rectas son perpendiculares.Verdadero o falso? En los ejercicios 99 y 100, determinar si laafirmacin es verdadera o falsa. Si no lo es, explicar por qu oproporcionar un ejemplo que muestre su falsedad.99. Las rectas de ecuaciones axbyc1 y bxayc2 sonperpendiculares. Suponer que a p 0 y b p 0.100. Dos rectas con pendientes positivas pueden ser perpendicularesentre s. By1 CA2B2.DistanciaAx1By1CA2B2y2 P y1 Px2y2 y1x2 x1. 42. P.3SECCIN P.3 Funciones y sus grficas 19Funciones y sus grficas Usar la notacin de funcin para representar y evaluar funciones. Encontrar el dominio y recorrido o rango de una funcin. Trazar la grfica de una funcin. Identificar los diferentes tipos de transformaciones de las funciones. Clasificar funciones y reconocer combinaciones de ellas.Funciones y notacin de funcionesUna relacin entre dos conjuntos X y Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de laforma (x, y), donde x es un elemento de X y y un elemento de Y. Una funcin de X a Y esuna relacin entre X y Y con la propiedad de que si dos pares ordenados tienen el mismovalor de x, entonces tambin tienen el mismo valor de y. La variable x se denomina variableindependiente, mientras que la variable y se denomina variable dependiente.Muchas situaciones de la vida real pueden describirse mediante funciones. Por ejemplo,el rea A de un crculo es una funcin de su radio r.AP r2 A es una funcin de r.En este caso, r es la variable independiente y A, la variable dependiente.DEFINICIN DE FUNCIN REAL DE UNA VARIABLE REALSean X y Y conjuntos de nmeros reales. Una funcin real f de una variable real x deX a Y es una regla de correspondencia que asigna a cada nmero x de X exactamenteun nmero y de Y.El dominio de f es el conjunto X. El nmero y es la imagen de x por f y se denotamediante f(x), a lo cual se le llama el valor de f en x. El recorrido o rango de f sedefine como el subconjunto de Y formado por todas las imgenes de los nmeros deX (ver la figura P.22).Las funciones pueden especificarse de muchas formas. No obstante, este texto seconcentra fundamentalmente en funciones dadas por ecuaciones que contienen variablesdependientes e independientes. Por ejemplo, la ecuacinx22y1 Ecuacin en forma implcita.define y, la variable dependiente, como funcin de x, la variable independiente. Para evaluaresta funcin (esto es, para encontrar el valor de y correspondiente a un valor de x dado)resulta conveniente despejar y en el lado izquierdo de la ecuacin.12yx(1 2 ) Ecuacin en forma explcita.Utilizando f como nombre de la funcin, esta ecuacin puede escribirse como:f SxD 12S1x2D. Notacin de funciones.La ecuacin original x22y1 define implcitamente a y como funcin de x. Cuando sedespeja y, se obtiene la ecuacin en forma explcita.La notacin de funciones tiene la ventaja de que permite identificar claramente la variabledependiente como f(x), informando al mismo tiempo que la variable independiente es x yque la funcin se denota por f . El smbolo f(x) se lee f de x. La notacin de funcionespermite ahorrar palabras. En lugar de preguntar cul es el valor de y que corresponde ax3? se puede preguntar cunto vale f(3)?RangoxDominiofyf (x)YUna funcin real f de una variable realFigura P.22NOTACIN DE FUNCIONESGottfried Wilhelm Leibniz fue el primeroque utiliz la palabra funcin, en 1694, paradenotar cualquier cantidad relacionadacon una curva, como las coordenadas deuno de sus puntos o su pendiente. Cuarentaaos ms tarde, Leonhard Euler emple lapalabra funcin para describir cualquierexpresin construida con una variable yvarias constantes. Fue l quien introdujo lanotacin yf (x).X 43. 20 CAPTULO P Preparacin para el clculoEn una ecuacin que define a una funcin, el papel de la variable x es simplemente elde un hueco a llenar. Por ejemplo, la funcin dada porf(x)2x24x1puede describirse comof 22 41donde se usan parntesis en lugar de x. Para evaluar f(2), basta con colocar 2 dentro decada parntesis.f(2)2(2)24(2)1 Sustituir x por 2. 2(4)81 Simplificar. 17 Simplificar.NOTA Aunque es frecuente usar f como un smbolo adecuado para denotar una funcin y x para lavariable independiente, se pueden utilizar otros smbolos. Por ejemplo, todas las ecuaciones siguientesdefinen la misma funcin.f(x)x24x7 El nombre de la funcin es f, el de la variable independiente es x.f(t)t24t7 El nombre de la funcin es f, el de la variable independiente es t.g(s)s24s7 El nombre de la funcin es g, el de la variable independiente es s.EJEMPLO 1 Evaluacin de una funcinPara la funcin f definida por f(x)x27, calcular:),a) f(3a) b) f(1) c) e ( xx ) e ( xbxx$$$ p 0Solucinf 3a3a27a) Sustituir x por 3a.Simplificar. 9a27f b1b127b) Sustituir x por b1.Desarrollar el binomio.Simplificar.c) b22b17 b22b8xx27x27xx22xxx27x272xxx2xx2xxxx 2xx, x0f xxf xxNOTA La expresin del ejemplo 1c se llama cociente incremental o de diferencias y tiene un sig-nificadoespecial en el clculo. Se ver ms acerca de esto en el captulo 2.AYUDA DE ESTUDIO En clculo, esimportante especificar con claridad eldominio de una funcin o expresin.Por ejemplo, en el ejemplo 1c, lasexpresionesf xxf xx0 xy 2xx,son equivalentes, ya que $x0 seexcluye del dominio de la funcin oexpresin. Si no se estableciera esarestriccin del dominio, las dos expre-sionesno seran equivalentes. 44. SECCIN P.3 Funciones y sus grficas 21Dominio y recorrido o rango de una funcinEl dominio de una funcin puede describirse de manera explcita, o bien de manera im-plcitamediante la ecuacin empleada para definir la funcin. El dominio implcito es elconjunto de todos los nmeros reales para los que est definida la ecuacin, mientras queun dominio definido explcitamente es el que se da junto con la funcin. Por ejemplo, lafuncin dada pore (x) , b b xx144 5 2tiene un dominio definido de manera explcita dado por {x: 4x5}. Por otra parte, lafuncin dada porg xx( )12 4 tiene un dominio implcito: es el conjunto {x: x p 2}.EJEMPLO 2 Clculo del dominio y del recorrido de una funcina) El dominio de la funcine(x)x1es el conjunto de los valores de x tales que x10; es decir, el intervalo [1, d). Paraencontrar el recorrido o rango, se observa que e(x)x1 nunca es negativo. Por ende,el recorrido o rango es el intervalo [0, d), como se seala en la figura P.23a.b) Como se muestra en la figura P.23b, el dominio de la funcin tangentef(x)tan xes el conjunto de los valores de x tales quePx xnP2, con n entero. Dominio de la funcin tangente.El recorrido o rango de esta funcin es el conjunto de todos los nmeros reales. Pararepasar las caractersticas de sta y otras funciones trigonomtricas, ver el apndice C.EJEMPLO 3 Una funcin definida por ms de una ecuacinDeterminar el dom