calculo de varias variables

PROGRAMA DESARROLLADO Clculo de Varias Variables

Educacin Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas

1

Clculo de varias variables

4 cuatrimestre

Clave:

50920414

Octubre de 2011



2

INDICE

INFORMACIN GENERAL DE LA ASIGNATURA .... 3

FICHA DE IDENTIFICACIN ....................................................... 3

DESCRIPCIN ......................................................................... 3

PROPSITOS .......................................................................... 4

COMPETENCIA GENERAL ......................................................... 4

TEMARIO ................................................................................ 4

METODOLOGA DE TRABAJO .................................................... 5

EVALUACIN ........................................................................... 6

FUENTES DE CONSULTA BSICA ............................................... 7

UNIDAD 1. CONCEPTOS GENERALES .................... 8

UNIDAD 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES . 24

UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES .......... 69



3

Informacin general de la asignatura

Ficha de identificacin

rea Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologa

Nombre del curso o asignatura Clculo de varias variables

Clave de asignatura 50920414

Seriacin Clculo diferencial, clculo integral, lgebra

Cuatrimestre Cuarto

Horas contempladas 72

Descripcin

La asignatura de Clculo de varias variables perteneciente al cuarto cuatrimestre de la

carrera de Licenciatura en matemticas, busca reforzar los conocimientos adquiridos en

Clculo diferencial e Integral, lo cual le permitir al estudiante desarrollar las capacidades

requeridas para resolver problemas enfocados a la localizacin de reas, volmenes y

longitudes de superficies, emular situaciones reales mediante la construccin de modelos

matemticos y emplear las Tics para solucionar problemas de anlisis y modelos

matemticas.

En el campo laboral, esta asignatura le brindar las herramientas necesarias para el

clculo de superficies y volmenes aplicado al mbito de la ingeniera.

Los contenidos se encuentran organizados de la siguiente manera:



4

Propsitos

Los propsitos de esta asignatura son

Comprender la forma de derivacin e integracin a travs de la revisin y

discusin de la teora, para extender el estudio del clculo de una a ms variables.

Analizar espacios vectoriales y ecuaciones diferenciales a travs de la resolucin

de ejercicios para calcular distancias, reas y volmenes.

Utilizar el clculo integral a travs de la resolucin de problemas para determinar

valores de superficies y volmenes de figuras tridimensionales.

Competencia General

Emplear herramientas de Clculo Diferencial e Integral, para emular situaciones reales

mediante la construccin de modelos matemticos de vectores de una o varias variables.

Temario

1. Conceptos generales

1.1. La recta real y el plano complejo

1.1.1. Sucesiones, continuidad de funciones de variable real

1.1.2. Derivadas de funciones de variable real

unidad 1

Se mencionan los conceptos generales por medio de los cuales el estudiante resolver problemas de Clculo Diferencial e Integral.

unidad 2

Se abordan las funciones como un producto de varias variables, tomando como base el producto escalar de un vector, as como la distancia Euclidiana, y como herramientas los lmites y la continuidad.

unidad 3

Se presenta un enfoque relativo a las ecuaciones diferenciales, el estudiante conocer sus mtodos de integracin con una o varias variables separadas, as como su factores integrantes.



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1.2 Series

1.2.1 Series numricas

1.2.2 Series de potencias

1.2.3 Formula de Taylor

1.2.4 Series de potencias de las funciones elementales

1.3 Integracin rea e integral

1.3.1 Calculo de primitivas

1.3.2 Aplicaciones reas, longitudes de curvas, volumen y superficies

2 Funciones de varias variables

2.1 Plano y espacios Euclideos

2.1.1 Producto escalar

2.1.2 Distancia Euclidiana

2.1.3 Lmites y continuidad

2.2 Campos escalares y vectoriales

2.2.1 Derivadas parciales y direccionales

2.2.2 Vector gradiente y matriz jacobiana

2.2.3 Derivadas de orden superior

2.2.4 Derivacin implcita e inversa

2.3 Introduccin al anlisis vectorial

2.3.1 Curvas y superficies

2.3.2 Integral curvilnea y de superficies

2.3.3 Aplicaciones

3 Ecuaciones diferenciales

3.1 Mtodos elementales de integracin

3.1.1 Ecuaciones con variables separadas

3.1.2 Ecuaciones exactas

3.1.3 Factores integrantes

Metodologa de trabajo

En esta asignatura es fundamental la dedicacin en la resolucin de ejercicios y

problemas matemticos. Es posible que no logres los resultados al primer intento, sin

embargo no desesperes, ya que esto es parte de tu formacin. Cabe mencionar que es

indispensable que tengas una filosofa emprendedora proactiva hacia el aprendizaje.



6

La metodologa empleada en el curso es la de aprendizaje basado en ejercicios y

problemas matemticos. Por ello se te presentarn situaciones diversas con el propsito

de que apliques en ellas diversas frmulas y procedimientos, y pongas en prctica tus

conocimientos previos, resolviendo tus dudas y aplicando un aprendizaje significativo.

El proceso de aprendizaje se basa en el anlisis y utilizacin de los conceptos aprendidos

en Clculo Diferencial y Clculo Integral, por lo que ser necesario que verifiques tus

procedimientos. Por otro lado,es indispensable que trabajes de manera colaborativa con

otros de tus compaeros a travs de foros y wikis.

A travs de los foros se debatirn de forma conjunta los diferentes tpicos del curso. El

wiki propuesto permitir construir conocimientos a travs de la investigacin individual y

la participacin colectiva.

El Facilitador(a) te guiar a lo largo del curso. Evaluar y retroalimentar cada una de tus

tareas. La retroalimentacin tiene la finalidad de que perfecciones tu escritura, mtodo,

simbologa, orden y procedimiento, as como la coherencia con los contenidos estudiados.

Evaluacin

En el marco del Programa de la ESAD, la evaluacin se conceptualiza como un proceso

participativo, sistemtico y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante

ingresa al aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para aprobar la asignatura, se espera la participacin responsable y activa

del estudiante as como una comunicacin estrecha con su facilitador para que pueda

evaluar objetivamente su desempeo. Para lo cual es necesaria la recoleccin de

evidencias que permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos,

procedimentales y actitudinales.

En este contexto la evaluacin es parte del proceso de aprendizaje, en el que la

retroalimentacin permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y

reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las

tareas, actividades y evidencias as como la participacin en foros y dems actividades

programadas en cada una de las unidades, y conforme a las indicaciones dadas. La

calificacin se asignar de acuerdo con la rbrica establecida para cada actividad, por lo

que es importante que el estudiante la revise antes realizarla.

A continuacin presentamos el esquema general de evaluacin.

ESQUEMA DE EVALUACIN



7

Evaluacin

continua

Interacciones individuales y

colaborativas 10%

Tareas 30%

E-portafolio.

50%

Evidencias 40%

Autorreflexiones 10%

Examen 10%

CALIFICACIN

FINAL 100%

Cabe sealar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificacin mnima

indicada por la ESAD.

Fuentes de consulta bsica

Spiegel, Murray R. (1991). Clculo superior. Serie Schaums, Mxico: McGraw Hill

Ayres, F. (2008). Clculo diferencial e integral. McGraw-Hill. Serie Schaums, Mxico:

McGraw-Hill

Bruzual, Ramn, Domnguez Marisela (2005); Clculo diferencial en varias variables;

Universidad Central de Venezuela, Escuela de Matemtica; vnculo en la Web:

http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/an2/caldifvv.pdf



8

UNIDAD 1. Conceptos Generales

Presentacin de la unidad

En esta unidad adquirirs los fundamentos para identificar y comprender las sucesiones

como una herramienta para calcular grandes valores. Podrs analizar en qu consiste una

Variable real como parte de una funcin y posteriormente, considerar funciones de ms

de una variable. A travs de los ejercicios abordaremos las funciones elementales que

permiten desarrollar una funcin de Variable real para representarla dentro de un plano y

poder aproximar resultados de sucesiones mediante el uso de series numricas.

Por ltimo, logrars habilidades para obtener la derivada de una funcin de variable real

mediante la utilizacin de frmulas de derivacin y aprenders a utilizar la frmula de

Taylor para determinar series de potencias tomando como herramienta las sucesiones

numricas.

Propsito de la unidad

Mediante el estudio de esta Unidad podrs:

Manejar series numricas

Identificar la relacin entre las funciones de Variable real y las series de Potencias

Representar funciones mediante Series y Polinomios de Taylor

Competencia especfica

Utilizar la recta y el plano complejo para crear sucesiones mediante la derivada de

funciones de variable real.

1.1. La recta real y el plano complejo

En este tema estudiars el concepto de sucesin y su relacin con las funciones

matemticas, as como la forma de representar una funcin en trminos de sucesiones y

su comportamiento convergente o divergente.

Tambin se analizar el concepto de derivada de orden superior, donde se muestra cmo

una funcin derivada puede tomarse para calcular su derivada.



9

1.1.1. Sucesiones. Continuidad de funciones de variable real

Una sucesin es una lista de nmeros a1,a2, a3, ,an , donde cada letra representa

un nmero.

Cada nmero es un elemento de la sucesin. Por ejemplo:

3,6,9,12,,3n

Los trminos pueden ser obtenidos por el trmino general del final de la expresin

anterior, donde n a su vez es una sucesin de uno en uno 1,2,3,n. Entonces, los

trminos a1, a2, a3, ,an se obtienen de 1(3), 23, 33,,n3

Tambin se puede ver una sucesin como una funcin, por ejemplo, en la expresin

anterior, existe una relacin de los valores 1 con 3, 2 con 6, y en general n(3) para cada

valor de n. En otras palabras:

an=3(n)

Las sucesiones pueden ser escritas por reglas, de la siguiente forma:

Una sucesin infinita de nmeros es una funcin donde el dominio

es el conjunto de los enteros positivos.



10

Analizando la ltima expresin, cuando n tiene un valor de 1, la

=1, en general

para valores de n: 1,2,3,4,,n los valores de la funcin sobre n son

1,3,6,10,,

respectivamente.

En ocasiones las sucesiones se aproximan a un valor especfico cuando el valor de n

se incrementa, por ejemplo

. Aqu el valor al que se aproxima la funcin

cuando n se incrementa, es 0.

Se dice entonces que la sucesin converge a 0. Se utilizan llaves para referirnos a los

trminos de la sucesin.

En otras ocasiones, el valor al que se aproxima una sucesin se hace ms grande

conforme el valor de n crece, o bien, flucta entre dos nmeros, como por ejemplo:

En este caso, los valores son 1 y -1 siempre aunque el valor de n se incremente. A

este comportamiento se le llama divergencia, es decir, los valores n se aproximan a

un valor nico.

La sucesin {an} converge a un nmero L si a todo nmero positivo le corresponde

un entero N tal que, para toda n:

n > N | an L| <

Si no existe tal nmero L entonces se dice que {an} diverge.

{ , , 3, 4,,

}

{ , , 3, 4,,

}

{1, -1, 1, -1, 1,,(-1)n+1}



11

Si {an} converge a L, escribimos

=L

o simplemente

{an}L,

Donde L es el lmite de la sucesin

1.1.2. Derivadas de funciones de variable real

Si una funcin es diferenciable, entonces podemos considerar su derivada para x en

el dominio M de f.

Si las funciones son derivables, es posible obtener la primera, segunda, tercer, etc.

derivadas. Esto se conoce como derivadas de orden superior.

Si una funcin en diferenciable entonces podemos considerar su derivada como

| para x en el dominio M de f.

Si existe el

para algunos valores de x M, entonces existe la

segunda derivada de la funcin f que se denota por o , que es la

segunda derivada de la funcin f.

Ejemplo:

Obtengamos la segunda derivada de la funcin que aparece a continuacin:

3

Primera derivada:

Segunda derivada:

Ahora obtengamos la segunda derivada de la funcin siguiente:



12

3

5

3 3

7

4 4

5 5

En general:

3 7 3

para

1.2 Series

El uso de las series en muchos problemas matemticos,

permite hacer un tratamiento sencillo y simplificado de

los problemas complejos.

Una serie infinita es la suma de una secuencia infinita

de nmeros:

Una serie finita solamente tiene n trminos:

Al hacer crecer el valor de n la suma tender a ser una suma infinita de trminos llegando

a ser una serie infinita la cual nos da un valor ms exacto que una serie con menor

cantidad de trminos.

Normalmente tenemos una expresin matemtica que representa al n-simo elemento de

una serie. Por ejemplo para saber cul es el n-simo trmino de la serie:



13

La expresin

nos da ese trmino.

La suma de los primeros k elementos se representa como:

Entonces tenemos las siguientes sumas parciales:

3

1.2.1 Series Numricas

Tal y como vimos anteriormente, una serie numrica es aquella que slo tiene valores

numricos como elementos de la sumatoria (suma de

todos los elementos). Ahora, podemos preguntarnos

cmo saber cul es el valor de la suma total o

sumatoria de una serie?

Algunas series pueden acercarse a un valor finito al ir

aumentando la cantidad de trminos de la suma. A esto

se le llama convergencia de la serie o que la serie

converge.

Cuando el nmero de trminos de la serie aumenta pero no se llega a ningn valor

definido o la sumatoria se va haciendo ms y ms grande, entonces decimos que la serie

no converge.

Cuando una serie es convergente, es posible obtener mediante una frmula el valor de la

sumatoria. As por ejemplo, supongamos que tenemos la serie:

Entonces, la suma parcial de los primeros k trminos de la serie est dada por la

expresin:



14

Si observas de manera adecuada te dars cuenta que conforme aumenta el nmero de

trminos de la serie, el valor de la sumatoria tiende a 2, pues el segundo trmino tiende a

0. Entonces escribimos la serie anterior y su valor exacto, al considerar todos los trminos

posibles (cuando k tiende a infinito) como:

Una serie en la cual los trminos van alternando de signo (positivo y negativo), se llama

serie alternante.

Veamos los siguientes ejemplos de series alternantes:

Actividad 1. Qu relacin hay entre la sucesin y las series numricas? A travs de esta actividad podrs: Identificar las sucesiones, las series y su relacin Expresar en una serie lo observado en un ejemplo concreto Discutir con argumentos los resultados obtenidos por su dems compaeros. Para ello:

1. Observa la animacin de la pelota de basquetbol que se encuentra en la pestaa de la unidad 1

2. Identifica la sucesin con una serie, la cual, proporciona la distancia de todos los rebotes.

3. Redacta tus conclusiones en el Foro y expresa la distancia total de los rebotes como una serie.

4. Comenta la respuesta de tres de compaeros argumentando la postura de tu respuesta. Consulta la rbrica general de la participacin en foros, que se encuentra en la seccin Material de apoyo.



15

1.2.2 Series de potencias

Cuando los trminos de una serie numrica tienen exponentes que se van modificando,

decimos que es una serie de potencias.

Es un ejemplo de una serie de potencias.

Observa la siguiente serie, que es un polinomio en la variable x.

Actividad 2. Representacin de Funciones de Variable real mediante el uso de series Al finalizar el ejercicio podrs:

Identificar las series como una forma de representar las funciones

Analizar el comportamiento de las series propuestas

Expresar una funcin en trminos de una serie

1. Resuelve el ejercicio que a continuacin se te presenta.

2. Expresa como una serie cada una de las funciones de los incisos del ejercicio.

a. b.

c.

3. Indica y fundamenta si las series son convergentes o divergentes.

4. Enva el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentacin.

1.2.3. Frmula de Taylor

En este tema se representar una funcin, que sea derivable n-veces, mediante una serie

de potencias, en donde suponemos que la funcin y todas sus derivadas existen en un

intervalo determinado.

El poder representar a una funcin en trminos de una aproximacin de tipo polinomial

(serie de potencias) llega a ser una herramienta muy til para resolver problemas de

funciones.

Sabemos que las series numricas pueden converger hacia un valor si cumplen con

determinadas condiciones. Una de ellas es que los valores de los trminos se encuentren

dentro de un rango o intervalo.



16

!

Si existen las derivadas de todos los rdenes de una funcin de variable real dentro de un

intervalo, se podr expresar a dicha funcin como una serie de potencias dentro de ese

intervalo? y entonces cules seran los coeficientes de los trminos de la serie?

Supongamos que podemos representar a f(x) como una serie de potencias de la

siguiente forma:

Y supongamos tambin que la serie converge dentro de un intervalo y obtenemos las

diferentes derivadas de todos los rdenes:

3

3 4

3 4 5

La n-sima derivada tiene la siguiente expresin:

! una suma de trminos con como factor

Ya que todas estas expresiones se cumplen para cuando , entonces tenemos que:

3

Y en general tenemos:

Si observa el desarrollo anterior podemos distinguir un patrn en los coeficientes de la

serie original de . Si existe la convergencia de esta serie dentro del intervalo en donde

est a, entonces cada uno de los coeficientes de la serie estn dados por la siguiente

expresin:

!

Y entonces la funcin quedara expresada, por medio de su serie:



17

!

!

Podemos ver entonces que si una funcin es derivable n veces dentro de un

intervalo centrado en y que su serie de potencias es convergente para ese valor de

a, entonces la funcin se puede representar por medio de la serie mostrada en la

ecuacin anterior.

En el caso muy particular en el que , tenemos que la Serie de Taylor toma la forma:

!

!

!

A esta forma particular de la serie de Taylor se le llama Serie de Maclaurin.

1.2.4. Series de potencias de las funciones elementales

Este subtema vers cmo aplicar las series de Taylor para representar en forma de un

polinomio de Taylor (serie de potencias) algunas funciones que aparecen frecuentemente

en los problemas matemticos. Esto nos permite tener un manejo ms eficaz de dichas

funciones para su uso y anlisis dentro de los problemas en donde aparecen dichas

funciones.

Consideremos en primer lugar la funcin exponencial y vamos a ver cul es su

representacin polinomial o en una serie de potencias en el punto .

Esta funcin tiene sus k derivadas, dadas por:

,

Tenemos que en

,

Por lo tanto, la Serie de Taylor generada en est dada por:

!

!

!

!

Esta serie es llamada Serie de Taylor de la funcin en .



18

!

En particular esta representacin es la Serie de Maclaurin para

Ahora, para un nmero finito de trminos N de la Serie de Taylor, tenemos que el

Polinomio de Taylor para la funcin en es:

!

!

En la grfica siguiente notars que se muestran varios Polinomios de Taylor para la

funcin y la propia funcin. Nota como al ir aumentando el valor de N, las curvas se

van pareciendo ms a la funcin original.

Grfica de la funcin y sus Polinomios de Taylor

(

! )

(

! ) ( 3

! )

Actividad 3. Derivadas de una funcin y su representacin por medio de la Serie de Taylor Al finalizar este ejercicio podrs:

Identificar las variables de una funcin

Analizar y aplicar las frmulas de las derivadas

Expresar la funcin en Series y Polinomios de Taylor. Para ello:



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1. Resuelve los dos problemas que a continuacin se plantean

a. Considera la funcin cos(x) y desarrolla su representacin en Series y Polinomio

de Taylor alrededor del punto x=0. b. Obtn la representacin en trminos de los Polinomios de Taylor, para la funcin

log(x) alrededor del punto x=1 usando la metodologa vista en esta leccin.

2. Enva el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentacin.

1.3. Integracin rea e integral

Durante este tema vers la relacin que existe entre una funcin y la derivada de otra, es

decir del clculo de primitivas. Cuando existe esta relacin, las funciones que con

primitivas de otra tienen algo en comn, la diferencia es una constante. Tambin se ver

cmo realizar el clculo de longitudes de curvas, volmenes y superficies a travs de

ejercicios de integracin.

1.3.1. Clculo de primitivas

Se dice que una funcin F(x) es una primitiva de otra funcin sobre un intervalo (a,b)

si para todo x de (a, b) se tiene que .

Como ejemplo considera la funcin es una primitiva de en todo

ya que .

A continuacin se presenta un teorema que es consecuencia del teorema del valor medio

de LaGrange.

Teorema:

Sean F1(x) y F2(x) dos primitivas de la funcin f(x) en (a, b). Entonces, para todo x de (a,

b), En otras palabras, dada una funcin , sus primitivas

difieren en una constante.

El conjunto de todas las primitivas de una funcin definida en (a,b) se denomina

Integral Indefinida de

y se denota por

de forma tal que si es una primitiva de ,

Entonces

Donde C es una constante.



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Por ejemplo, si tomamos la funcin y la representamos con , la

derivada de , es

Como vimos anteriormente, si dos funciones son primitivas de otra funcin, entonces

deber suceder que la diferencia entre ambas es una constante, es decir, si F y G son

primitivas de f, entonces:

As comprobamos que y son primitivas de .

La derivada de la funcin f es .

Como la derivada de la primera funcin es y la derivada de la segunda es

podemos ver que la diferencia entre estas dos derivadas es la constante 5.

Por lo tanto, podemos concluir que las funciones F y G son primitivas de f.

1.3.2. Aplicaciones reas, longitudes de curvas, volumen y superficies

El clculo diferencial e integral con una variable, nos permiti resolver una amplia gama

de problemas matemticos sobre distintas reas del conocimiento humano.

Ahora, cuando consideramos ms de una variable podremos tratar y analizar un espectro

muchsimo ms amplio de problemas de todo tipo, en particular, podremos considerar

problemas tridimensionales, tales como: trayectorias, superficies y volmenes en tres

dimensiones.

En las siguientes figuras se muestran ejemplos:

Trayectorias Superficies Volmenes



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Autoevaluacin Felicidades, Haz llegado al final de la Unidad. Para terminar resuelve la actividad de autoevaluacin que corresponde a un conjunto de reactivos en forma de relacin de columnas.

Instrucciones: anota en parntesis de la pregunta, la opcin que corresponda a la respuesta de la pregunta planteada.

1.- ( ) Cual es la condicin para que una F(x) sea una primitiva de f(x)

a.

b.

c. d. 2.- ( ) Se le denomina al conjunto de todas las primitivas de una funcin f(x) en un intervalo (a,b) a. Derivada de una funcin

b. Funcin primitiva

c. Primitiva

d. Integral indefinida de la funcin

3.- ( ) Es el resultado de obtener la primitiva de la funcin f(x)=6x

a.

b. c. +4 d. 3 4.- ( ) Representa la funcin para la siguiente serie 1+2+..+n a. 2n

b.

c. 2n+1

d.

5.- ( ) Es una caracterstica de dos funciones que son primitivas de f(x) en un intervalo (a,b). a. Su suma es igual a

b. La diferencia entre las los funciones es una constante

c. La diferencia entre las dos funciones es cero

d. La suma de las dos funciones es una constante

Retroalimentacin 1-3 Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad 4-5 Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.

Evidencia de aprendizaje. Representaciones de funciones por medio de Series de Taylor Al finalizar sers capaz de:

Comprender que una funcin que tiene todas sus derivadas dentro de un intervalo, se puede representar como una serie de potencias llamada Polinomios de Taylor.



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Analizar el comportamiento de las funciones expresado por medio de series.

Resolver problemas complejos donde las funciones matemticas se pueden representar por medio de Polinomios, reducindolos a una forma ms simple de manejar. Para ello:

1. Calcula los cinco primeros polinomios de Taylor de la funcin en el punto x=0

2. Grafica cada uno de los Polinomios anteriores en el mismo sistema de coordenadas.

3. Observa la forma que van teniendo los Polinomios

4. Qu conclusin puedes obtener cuando el grado de los Polinomios va aumentando?

5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV_U3_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

6. Enva tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentacin de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenva la nueva versin de tu evidencia.

7. Consulta la Escala de Evaluacin para conocer los criterios con que ser evaluado tu trabajo.

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexin para realizar el ejercicio y enviarlo a travs de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que tambin se toman en cuenta para la calificacin final.

Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexin para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a travs de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que tambin se toman en cuenta para la calificacin final.

Cierre de la unidad.

En esta unidad revisamos como una serie numrica nos permite calcular nmeros en

posiciones exactas, nos adentramos al clculo de la derivada y la integral por medio de

las diferentes tcnicas que se nos presento en la siguiente unidad. Se determino la

diferencia entre una sucesin y una serie numrica, la relacin que existen entre ellas y

como identificarlas para determinar un resultado especifico.

En adelante te invito a que sigas con la segunda unidad donde todos los conocimientos

obtenidos hasta ahora sern aplicados para reforzar los conocimientos que hasta ahora

has obtenido, veremos como obtener resolver ejercicios de integrales con varias

variables, su representacin grafica y su cambio respecto al cambio de variables.

As pues te invito a que contines esforzndote con la ayuda de tu facilitador que es un

medio importante para poder obtener un conocimiento integral.



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Para saber ms

Ver el video Sucesiones y progresiones en la direccin:

http://www.youtube.com/watch?v=cMDIXK9W7zo

Referencias Bibliograficas

Bosch, C. (2006). Clculo diferencial e integral. Mxico: Publicaciones cultural S.A.

Picn, P. E. (2006). Anlisis conjunto. Mxico: Porra.

Thomas (2006). Clculo de varias variables. Mxico: Pearson.



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UNIDAD 2. Funciones de varias variables

Presentacin de la unidad

En esta unidad aprenders a utilizar algunas herramientas de integracin para representar

reas, volmenes y superficies mediante el uso de integracin de primitivas. Se abordarn

los conceptos de producto escalar y vector(es) para determinar el producto escalar y

realizar operaciones de proyeccin de distancias.

Ejecutars procedimientos en donde utilices las reglas y frmulas de integracin para

determinar primitivas, lmites y continuidad, as como las frmulas para obtener las

derivadas de orden parcial y superior de funciones implcitas e inversas.

Tambin analizaremos los espacios euclidianos y su relacin con el clculo de varias

variables. Abordaremos las propiedades principales de los espacios eucldeos, notacin

vectorial y su representacin en al mbito de varias variables. Trataremos los puntos

referentes a las funciones derivadas y su relacin con los campos vectoriales.

Propsito de la unidad

Mediante el estudio de esta Unidad podrs:

Identificar las funciones como producto de varias variables, tomando como base el

producto escalar de un vector.

Emplear la distancia Euclidiana tomando como herramienta los lmites y la continuidad.

Competencia especfica

Utilizar las herramientas de integracin para representar reas, volumen y superficies

mediante el uso de integracin de primitivas.

2.1. Plano y espacios Euclideos

El desarrollo de la geometra Euclidiana tiene su principal momento en

los siglos XIX y XX, tras la aparicin del clculo vectorial. El nombre lo

recibe en honor del matemtico Euclides quien vivi en los aos 300

A.C., y que estudi los principios bsicos de la geometra plana, o en

dos dimensiones.



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Los espacios vectoriales se pueden combinar con nociones de geometra como lo es la

ortogonalidad, distancias, ngulos, etc. Estos conceptos se pueden introducir en los

espacios vectoriales a travs del producto escalar.

En otras palabras se trata de una funcin que relaciona a cada o vector de

componentes reales , con nmero real , escribindose como se muestra

a continuacin:

Para la notacin vectorial es:

Hay que precisar que a los elementos del vector se les llama variables

independientes y al nmero real , variable dependiente.

2.1.1. Producto escalar

Para comenzar a comprender el concepto de geometra Euclidiana en relacin con el

clculo vectorial, consideremos el siguiente producto de dos vectores:

El resultado de esta operacin es un escalar, por eso a ste se le denomina producto

escalar y permite conocer algunas de las propiedades de los vectores, por ejemplo

aquellos que tienen ngulo recto (tambin llamados ortogonales), los cuales tienen

producto escalar igual a cero, como se muestra a continuacin:

Las propiedades del producto escalar en cualquier espacio son las siguientes:

Se le denomina funcin real de a toda relacin que contenga

valores reales y su dominio sea un conjunto en el espacio euclidiano de

dimensin , .



26

.

De esta manera:

Al producto escalar tambin lo conocemos como producto interno y como se mostrar a

continuacin,

Consiste en una operacin sobre dos vectores. As tenemos que para en donde

, , se define:

|

En donde:

=2: = |

=3: = |

Ahora consideraremos las propiedades del producto escalar y, aunque existen algunas

otras propiedades, principalmente se mencionan dos:

Cuando el producto escalar es simtrico o conmutativo:

Cuando el producto escalar es lineal respecto a la primera variable:

| | |

Ejemplos:

El producto escalar, en , puede considerarse

como una multiplicacin de dos matrices, la

primera con un rengln y la segunda con una

columna nicamente.

(

)

< >

Un espacio Euclidiano es un espacio vectorial con un producto escalar.

Denotamos al producto escalar con pero tambin lo podemos utilizar como:



27

La multiplicacin de matrices en el espacio

no es un producto escalar.

En el espacio para matrices de en

podemos definir el producto escalar como

sigue:

( ) (

*

Sea | el

espacio de todos los polinomios de grado ,

entonces podemos definir el producto escalar.

2.1.2. Distancia Euclidiana

En la interpretacin geomtrica del espacio eucldeo, se encuentran dos elementos de

estudio:

Puntos

Generacin de los nmeros reales en diferentes representaciones del espacio.

Anlogamente que representado geomtricamente en una recta, tenemos que:

Vectores

La regla del paralelogramo responde a la suma de vectores, en donde cada n-upla son

el vector, o tambin llamado segmento orientado, que une el punto de coordenadas

con el origen .

Tambin habr que considerar a los vectores de la base estndar , se ubican

en las direcciones de los ejes de las coordenadas; luego entonces, los elementos del

vector segn dichos ejes son:

Puede resultar til tomar en cuenta los segmentos orientados con origen arbitrario, sin

embargo, habr que identificar a los dos segmentos que se obtengan recprocamente

aplicando exactamente la misma traslacin a su extremo y a su origen. As tenemos que

Nmero Elementos Representacin

Plano en el que corresponde a las abcisas e a las

ordenadas en un sistema de coordenadas

cartesianas

Espacio tridimensional en el que una -upla es un

punto en el espacio tambin de dimensiones



28

el extremo en = y el segmento con origen en un punto = le

corresponde el siguiente vector:

De manera recproca = , es decir, cada uno de los vectores de =

pueden ser representados por un segmento con origen en cualquier punto =

. Con lo que se concluye que la interpretacin grfica de la suma de vectores

es: , cualesquiera que sean los punto

Con referencia a la desigualdad de Cauchy-Schwartz, para se tiene que:

| | |

Dndose la igualdad si y slo si

Ahora bien, en cuanto a la desigualdad triangular, para se tiene que:

Dndose la igualdad si y slo si

| /

+

/

La norma euclidea es una norma asociada al producto escalar , en donde para:

Se define:

Con lo que tenemos que:

con o .

con o .



29

El significado geomtrico es un espacio mtrico es un par donde es un conjunto y

es una funcin tal que:

De la definicin anterior podemos desprender las siguientes propiedades:

Con lo que se concluye que dado que es la distancia que hay del origen al punto ,

es la distancia entre los puntos e .

Nota: La funcin se llama mtrica o distancia y los elementos de se denominan

puntos.

2.1.3. Lmites y continuidad

En el clculo de variables tomaremos funciones definidas en un conjunto y que

adquieren valores en , donde Al conjunto se le denomina dominio de la

funcin y lo representaremos mediante .

Sea y una funcin que va de a) Si , la funcin se denomina funcin real de una variable real. b) Si > , a la funcin se le llama funcin vectorial de una variable real. c) Si > , se conoce como una funcin real de una variable vectorial o

campo escalar. d) Si > > , es una funcin vectorial de una variable vectorial o campo

vectorial.

Ejemplos:

Sea una funcin, tal que:

Donde son funciones escalares. Estas funciones se llaman funciones escalares de . Es comn utilizar la notacin abreviada

y est definida por para todo

El volumen de un cubo de medidas es la funcin dada por la funcin



30

. Si consideras la funcin , las funciones escalares de son:

Ejemplo:

Considera la funcin El dominio de es el conjunto

Si tomamos el valor para entonces para tenemos que: y

La nocin de lmite y continuidad la podemos ampliar a funciones entre dos espacios

mtricos. Conocemos que con la mtrica euclidiana es un espacio mtrico en el que

|| || o en otros trminos:

(( ) )

Consideramos la norma euclidiana || || en y la denotaremos simplemente como || ||.

Por lo expresado hasta aqu, podemos considerar tambin los conceptos de lmite y

continuidad en las funciones .

Ejemplo:

El lmite de para este caso es igual a 2 y el de es igual a 10.

Probaremos esto considerando que:

Dado un > existe un > tal que si | | < entonces se cumple que | | tal que si | | < entonces | | < /

Ahora tomemos a y a tal que < || || < entonces

tenemos que:

< < || || || || <

y adems:



31

< < || || || || <

y finalmente, de esto se desprende:

| | | | | | | | | | <

2.2. Campos escalares y vectoriales

El concepto de Campo, proviene originalmente del estudio de fenmenos fsicos. Por

ejemplo, si pensamos en una de las habitaciones de nuestra casa, que tiene una puerta

que da al pasillo u otra habitacin contigua o al bao y una ventana por donde entra la luz

del sol en la maana. Si tomamos la temperatura en distintos puntos de la habitacin, en

la ventana, en la puerta, cerca de la lmpara de la habitacin, etc., tendremos diversas

lecturas en el termmetro.

Ahora consideremos otro ejemplo, una cisterna profunda, o una fosa de clavados o una

alberca, un tinaco de agua, etc. Si medimos la presin del agua a distintas alturas de los

envases anteriores, obtendremos tambin diferentes valores de la presin hidrulica.

En el primer ejemplo tendramos un conjunto de valores de temperatura de la habitacin,

el cual conforma un campo de valores de temperatura y en el segundo ejemplo

tendramos un campo de valores de presin. En ambos casos, los diferentes valores

solamente dependen de la posicin espacial en donde se tomaron las mediciones y nada

ms.

Cuando tenemos un campo de valores, que solamente tienen una magnitud o valor de

medida, entonces decimos que se trata de un Campo Escalar.

En cambio si ahora medimos la velocidad de algn vehculo en movimiento o

si dejamos caer una pelota desde la azotea de un edificio y medimos la

posicin, la velocidad de la pelota, en ambos casos, tenemos que decir cul

es el valor de la velocidad, pero tambin tenemos que decir en qu direccin

se mueve el objeto y hacia qu lado. En el primer caso, el automvil se mueve

hacia la derecha con una velocidad de 20 km/hr. En el segundo caso, decimos

que la pelota cae con una velocidad de 5 m/s.

Si tuviramos que levantar un objeto pesado que se encuentra en el piso, utilizando una

polea y una cuerda para ello. Tendramos que aplicar una cantidad de fuerza determinada

sobre la cuerda para levantar el objeto del piso a una altura dada, tal y como se muestra

en la figura



32

En todos estos ejemplos, las cantidades que medimos no solamente

tienen un valor numrico, como en los campos escalares, sino que

ahora tenemos una direccin sobre la cual est tomando la medicin.

As, al mediar la velocidad de alguno de los objetos, tenemos que

decir cul es la direccin y el sentido en el cual se est moviendo el

objeto. En el caso del levantamiento del objeto, adems de decir el

valor de la cantidad de fuerza que se debe aplicar, tambin est

involucrada la direccin y el sentido en los cuales debe aplicarse la fuerza.

As pues, cuando tenemos entidades que tienen una magnitud, pero adems tienen

asociada una direccin y un sentido, decimos que se trata de un vector y al conjunto de

vectores considerados dentro de un problema o escenario determinado lo llamamos

Campo Vectorial.

En los ejemplos dados, tendramos un campo de velocidades y un campo de fuerzas,

ambos son ejemplos de campo vectoriales.

2.2.1. Derivadas Parciales y direccionales

Hemos aprendido hasta aqu que el Clculo de varias variables, es similar al clculo de

una variable, simplemente aplicando varias variables.

Derivadas parciales con funciones de dos variables.

Considere como un

punto en el dominio de una

funcin , el plano vertical

, que corta la superficie

en la curva

, como se indica en la

figura siguiente. En este plano,

es la coordenada horizontal y

es la vertical, mientras que es

una constante.

Fig. Interseccin en el plano en la superficie .

Definicin. Derivada parcial con respecto a .

0 0

La derivada parcial de con respecto a en el punto es la siguiente:



33

Ejemplo 1

Calcule la derivada parcial,

encontrando los valores

y

en el punto (4,-5) en la

funcin

Solucin:

Para resolver este problema, consideramos a como una constante

y derivamos con respecto a . Por lo tanto:

Para el punto (4,-5), el valor de

es .

Ahora, para encontrar

tomamos a como una constante y

derivamos con respecto a .

(

Evaluando

en el punto (4,-5), quedara as: 3(4)+1=13.

Ejemplo 2

Encontrar y si

tenemos que:

Solucin:

Tomaremos a como un cociente y a como una constante:

(

*

Tomamos a como una constante, tenemos que:

(

*

Ejemplo 3

Para este ejemplo debemos encontrar

en la ecuacin . Esta ecuacin

tiene a como una funcin con dos variables independientes y existe la derivada

parcial.

Solucin: Debemos derivar ambos lados de la ecuacin con respecto a . Tomaremos a

como una constante y como una funcin derivable de .



34

(

*

Ejemplo 4

Considere el plano toca al paraboloide en una parbola. Determinar la

pendiente de la tangente a la parbola en la direccin (1,2,5) como se muestra en la

figura:

Fig. Tangente a la curva de interseccin en la superficie del plano , en el

punto (1, 2,5).

|

Ejemplo:

Considere ahora una funcin de tres variables independientes:

Encontrar

.

Solucin:

[ ]



35

Ejemplo:

Considera la siguiente funcin:

{

Determine el lmite de como en el punto (0,0) alrededor de la lnea . Probar

que es discontinua en el punto (0,0) y muestre que existen las derivadas parciales

y

en el punto (0,0).

Solucin:

Como tiene un valor de 0 a lo largo de la lnea (excepto en el origen),

tenemos que:

Por otra parte, como el lmite de , como se puede ver en el punto anterior,

entonces se demuestra que la funcin no es continua en el punto (0,0).

Por ltimo, si queremos encontrar

en el punto (0,0) y tomamos a , entonces el

valor de para todo . Podemos ver la grafica de , en la figura. Podemos ver

que la pendiente de en cualquier , es

, en particular en el punto (0,0). De igual

forma

es la pendiente de en la figura y podemos ver que

en el punto (0,0).

Fig. Grfica de la funcin {



36

Derivadas parciales de segundo orden

A continuacin se presentan la nocin de funciones de dos variables con derivadas de

segundo orden.

Denotamos a la derivada de segundo orden para una funcin de dos variables como:

1.-

3.-

2.-

4.-

Utilizando esta notacin las ecuaciones quedaran as:

(

*

(

*

Note que se deriva primer con respecto a y luego con respecto a .

O bien, esto mismo podramos representarlo como: ( ) .

Ejemplo:

Encontrar las derivadas parciales de segundo orden para la funcin

Solucin:

Entonces:

Entonces:

(

*

(

)

(

*

(

)

Teorema de las derivadas mixtas

Las derivadas parciales de segundo orden mixtas del ejemplo anterior son iguales, lo cual

no es una coincidencia, ya que deben ser iguales siempre que .



37

Este teorema es conocido como el teorema de Clairaut en honor al matemtico francs

Alexis Clairaut quien lo descubri. Este teorema muestra que para calcular una derivada

de segundo orden mixto podemos derivar en cada uno de los rdenes verificando que se

cumplan las condiciones de continuidad.

Ejemplo:

Determinar / considerando que

Solucin:

Podemos ver que la expresin / nos

indica que primero debemos derivar con

respecto a y despus con respecto a . Sin

embargo podemos hacer ms rpido el

procedimiento si derivamos primero con

respecto a , como veremos a continuacin:

Por supuesto, si derivamos primero con

respecto a obtenemos el mismo resultado.

Derivadas parciales de mayor orden

En ocasiones podemos encontrarnos con problemas que requieran derivadas parciales de

un orden mayor a dos. Para estos casos no debe existir limitacin sobre el nmero de

veces que podemos derivar una funcin.

Ejemplo:

Calcular las derivadas parciales de cuarto orden

para la funcin

Solucin:

El orden en que derivaremos la funcin es:

y por ltimo .

Teorema. Si y sus derivadas parciales se definen en una regin

que contiene un punto y son todas continuas en el punto , entonces

tenemos que:

3

4

Las derivadas de orden mayor a dos, podemos representarlas como:



38

=-

=-4

Diferenciabilidad

Recordemos que para funciones de una sola variable si es derivable en

entonces el cambio en el valor de se obtiene del resultado de del cambio de a

y se expresa con la ecuacin siguiente:

Donde

Este concepto se puede extender para funciones de ms de una variable.

Teorema. Incremento para funciones de dos variables:

Consideremos que la primera derivada de una funcin a lo largo de una regin

conteniendo el punto ( y tambin que y son continuas en dicho punto.

Por lo tanto, el incremento

en el valor de la funcin resulta del

movimiento desde a otro punto

)

en R, satisface la ecuacin siguiente:

Una funcin es diferenciable en si y existen y satisface la ecuacin de la forma siguiente:

Donde y

Llamaremos a una funcin diferenciable si es diferenciable en todo punto de su dominio.



39

Definicin. Funcin diferenciable.

Una funcin es diferenciable en si y existen y

satisface la ecuacin de la forma siguiente:

Donde y

Llamaremos a una funcin diferenciable si es diferenciable en todo punto de su dominio.

Corolario del teorema de del incremento para funciones de dos variables.

Si existe continuidad en las derivadas parciales y en una funcin a travs de

una regin , entonces es diferenciable en cualquier punto de .

Regla de la cadena para funciones de varias variables

La regla de la cadena para funciones de una sola variable establece que cuando

es una funcin derivada de y adems es una funcin derivada de , entonces

se es una funcin diferenciable de y

Para funciones de varias variables la regla de la cadena presenta varias formas y cada

una de ellas depende de cuantas variables estn consideradas.

Funciones de dos variables

Para una funcin donde y donde ambas son funciones

diferenciables de , la frmula para la regla de la cadena est expresada en por el

teorema siguiente.

TEOREMA. Regla de la cadena para funciones de dos variables independientes.

Si tiene derivadas parciales continuas y y adems si

son funciones diferenciables de , entonces la composicin de funciones

( ) es una funcin diferenciable de y podemos expresar que:

( )

( )

o bien,



40

Prueba. La prueba del teorema anterior consiste en mostrar que si y son funciones

diferenciables en cuando es diferenciable en y adems

(

* 0

(

* 0

(

* 0

(

* 0

(

* 0

donde y los subndices indican que las derivadas han sido evaluadas.

Consideremos ahora lo siguiente, sea y , y incrementos derivados del cambio de

por . Sabemos que es diferenciable, por lo que

(

) 0 (

) 0

Donde y y tambin .

Dividiremos esta ecuacin por para encontrar

, con lo cual obtenemos:

(

* 0

(

* 0

Haciendo que , tenemos que:

(

* 0

(

* 0

(

* 0

(

* 0

(

* 0

(

* 0

Ejemplo:

Encontrar la derivada de con respecto a , utilizando la regla de la cadena, donde

y . Calcular el valor de la derivada en

.

Para encontrar / aplicamos la regla de la cadena de la forma siguiente:



41

(

) /

(

)

Funciones de tres variables

Lo visto anteriormente se puede extender para el clculo con tres variables. A

continuacin se muestra un teorema que hace referencia a esto.

Teorema. Regla de la cadena para funciones de tres variables independientes.

Consideremos como una funcin diferenciable y son a su vez,

funciones diferenciables de u, por lo tanto es una funcin diferenciable en .

Ejemplo:

Calcular / si .

Calcule la derivada para

(

)

(

) .

2.2.2. Vector gradiente y matriz jacobiana

A continuacin se aborda el concepto de matriz jacobiana y vector gradiente en el clculo

de varias variables.

Matriz jacobiana

Definicin. Sea una funcin tal que diferenciable en a. Cuando se fijan

, la matriz que corresponde a la aplicacin lineal se le denomina

matriz jacobiana de en . Esta matriz jacobiana se denota por:



42

(

,

Considere la funcin . Esta funcin es diferenciable en si y solo si

existe el lmite

Para este caso, se denota , donde el apostrofe representa a la derivada

de la funcin. es el vector tangente a la curva en .

Ejemplo: Consideremos el valor de y representa, para una partcula mvil, el

vector de posicin en el espacio. Entonces es el vector velocidad y su mdulo

|| || es la velocidad.

Vector gradiente

Definicin. El vector gradiente de , cuando existen las derivadas

parciales, se define como .

De acuerdo a lo anterior podemos sacar las siguientes conclusiones:

< >

Por lo tanto una funcin escalar diferenciable tiene una direccin mxima de variacin

dada por su vector gradiente.

Por otra parte, el vector gradiente no nulo, es ortogonal a los llamados conjuntos de nivel.

Como ejemplo considere y obtenemos las ecuaciones de la recta tangente y

del plano tangente de la forma siguiente:

Recta tangente a la curva en el punto .

< >

En cuanto al plano tangente a la superficie en el punto , tenemos que

< >



43

Hay que hacer notar que si la superficie viene dada de manera explcita por ,

donde como hemos visto es una funcin diferenciable en , entonces el plano

tangente es:

Ya que si y solo si .

2.2.3. Derivadas de orden superior

Las derivadas de orden superior de funciones de varias variables, estn relacionadas con

las derivadas parciales de dichas funciones. Por ejemplo, suponga que tenemos la

funcin , de dos variables, sabemos que las derivadas parciales de dicha

funcin son:

A estas derivadas se les llama las derivadas parciales de primer orden.

Si ahora volvemos a obtener las derivadas parciales de las funciones que representan las

derivadas parciales de primer orden, obtendremos las derivadas parciales de segundo

orden de la funcin Estas derivadas se representan como:

(

*

(

*

(

*

(

*

Algunas propiedades de las derivadas parciales

Si las derivadas parciales son funciones continuas, entonces las derivadas cruzadas son

idnticas

Si las derivadas parciales son funciones continuas entonces no importa el orden en el que

se realicen las derivadas, sino del nmero de veces que se derive con respecto a cada

una de las variables. Esto es muy importante tomarlo en cuenta ya que aunque el



44

resultado final sea el mismo, el proceso de clculo puede ser ms tedioso y difcil si se

lleva a cabo en un orden que en otro.

Para calcular las derivadas parciales de tercer orden o superiores, se procede de la

misma manera que se hizo anteriormente.

Ejemplo 1.

Obtener la derivada parcial de segundo orden de la funcin .

Para empezar, calculamos las primeras derivadas parciales de la funcin :

Ahora volvemos a derivar las primeras derivadas parciales para obtener las derivadas

parciales de segundo orden:

3

3

4

Observe que las derivadas parciales cruzadas son idnticas, ya que las funciones de las

derivadas parciales de primer orden son continuas.

Si seguimos derivando una vez ms el resultado anterior (la derivada parcial de segundo

orden),

Obtendremos la derivada parcial de tercer orden de la funcin y as

sucesivamente, las de orden superior.

Las derivadas parciales de tercer y cuarto orden de la funcin se escriben como:

3

4

Ejemplo 2.

Calcular la derivada parcial de cuarto orden de la funcin



45

Para calcular esta derivada de cuarto orden, primero tenemos que derivar a con

respecto a la variable luego con respecto a luego con respecto a y finalmente con

repecto a

2.2.4. Derivacin implcita e inversa

En esta seccin veremos el concepto de funciones implcitas y cmo calcular sus

derivadas parciales. Tambin estudiaremos la forma para obtener las derivadas parciales

de una funcin inversa.

Derivadas implcitas

Una funcin implcita es aquella en la que las variables de la funcin estn relacionadas

de tal manera que no es posible despejar a todas y cada una de las variables en trminos

de las otras. Por ejemplo, si tuviramos la funcin podemos

despejar, ya sea a en trminos de o viceversa como se muestra a continuacin:

Pero si la funcin fuera: 3 cmo despejara a o a ?

Por qu nos interesara despejar una variable en trminos de las otras? Pues para

obtener la derivada de una de las variables con respeto a las otras.

Regla de la cadena

Del clculo de una variable, tenemos la Regla de Cadena, que nos dice que si tenemos

una funcin de igualada a y es una funcin de entonces la derivada de

con respecto de se calcula de la siguiente manera:



46

Para el caso de dos ms variables la regla de la cadena tiene varias formas

dependiendo del nmero de variables involucradas. Por ejemplo si tenemos que

, y tanto como dependen de la variable entonces la derivada de con

respecto a la variable viene dada por:

Ejemplo 3. Vamos a usar la regla de la cadena para calcular la derivada de con

respecto a suponiendo que y que Calcule el valor de la derivada en

/

Sabemos por la regla de la cadena que la derivada de

est dada por la expresin:

Evaluando la derivada en el punto

tenemos que (

)

(

)

En trminos generales podemos decir que una funcin implcita la podemos representar,

en el caso de dos variables como:

En la parte izquierda de la ecuacin aparecen todos los trminos en y mezclados en

diferentes expresiones matemticas. Por ejemplo:

En el caso de 3 variables lo escribimos as: Un ejemplo sera:



47

Si queremos calcular la derivada parcial de segundo orden de alguna de las funciones

anteriores, por ejemplo

, procedemos de la siguiente manera:

Sea entonces tenemos que:

( )+

Derivadas parciales de funciones inversas

Caso de una variable

Para el caso de funciones de una sola variable, de la forma es fcil demostrar

que la derivada de primer orden de la funcin inversa de , viene dada por la

expresin:

Suponiendo que

Ejemplo 4. Calcular la derivada de primer orden de la funcin inversa

de la siguiente

ecuacin:

Calculemos la derivada

. Para ello derivamos implcitamente la ecuacin dada.

(

*



48

6

Por lo tanto, la derivada de la funcin inversa

es:

Las derivadas de rdenes superiores de funciones inversas, se obtienen de la misma

manera, llegando a las siguientes expresiones:

(

* 3

3

3 [

3

3

] (

* 5

Caso de varias variables

Cuando tenemos ms de una variable y una funcin de dos ms variables como por

ejemplo y tenemos una transformacin dada por es decir que

existe una funcin inversa, tal que:

Tal que podemos representar a ( ) usando la regla de la cadena

podemos derivar con respecto a para obtener:

Que tambin podemos escribir como:



49

Dado que sabemos que entonces podemos calcular las

siguientes derivadas parciales:

y

. Las otras derivadas parciales pertenecen a

las funciones inversas:

y

, las cuales podemos obtener derivando

implcitamente:

Primero, derivemos las expresiones

Este es un sistema de ecuaciones simultneas, que podemos resolver fcilmente para

y

:

Ahora derivamos pero con respecto a para obtener, despus de

la misma serie de pasos anteriores:

Como se puede ver, los denominadores de las expresiones anteriores, son el Jacobiano

de la transformacin de , dada por , que es precisamente el

determinante:

|

|

De la misma manera tenemos que:



50

|

|

Usando las expresiones calculadas anteriormente y substituyendo en este ltimo

Jacobiano tenemos:

|

|

|

|

Que es la generalizacin en varias variables del caso la derivada de una funcin inversa

de una variable.

2.3. Introduccin al anlisis vectorial

Considera que un objeto, trtese de un punto, una pelota, un insecto, un helicptero, etc.,

se mueve en un espacio tridimensional y te interesa saber cules son los ejes de ese

objeto en un sistema de coordenadas, ya sea cartesiano, esfrico o cilndrico.

Si consideras un sistema cartesiano, entonces las coordenadas de dicho objeto estaran

representadas como una triada de valores .

Figura representativa de las coordenadas cartesianas

Si quisieras utilizar un sistema esfrico, entonces necesitaras un sistema coordenado con

valores .



51

Figura representativa de las coordenadas esfricas

Si decides emplear un sistema cilndrico, entonces usaramos un sistema coordenado con

valores .

Figura representativa de las coordenadas cilndricas

Ahora bien, dado que los objetos considerados cambian de posicin constantemente, es

decir, se mueven, de tal manera que las coordenadas en cualquiera de los sistemas van a

estar tambin cambiando. As pues, si se piensa en un sistema cartesiano, cada una de

las tres coordenadas estaran cambiando con el tiempo, es decir, seran funciones

dependientes del tiempo, ms que valores constantes.

La representacin matemtica de las tres coordenadas cartesianas de un punto en

movimiento en el espacio, estara dada por la expresin , en donde

representa al tiempo siendo una variable independiente, quedando representada de la

siguiente manera:

Entonces para un punto , movindose en el espacio, su posicin estara descrita por la

expresin:



52

La posicin de un punto en el espacio, se puede representar por medio de un vector .

Por lo tanto el vector que representa la posicin del punto se denota como:

Tambin lo podemos representar utilizando los vectores los unitarios de la

siguiente manera:

Grficamente el vector de posicin se muestra en la siguiente figura:

Figura que representa un vector

Si el objeto se moviera exclusivamente en el plano x-y, la componente en sera

idnticamente cero, es decir, , para todo valor de .

2.3.1. Curvas y superficies

Sabemos que el vector de posicin genera una lnea curva cuando la variable

independiente toma valores reales.

Ahora sabemos que el vector de posicin puede representarse por medio de la triada:

( )

En donde y son funciones cualesquiera de . A manera de ejemplo vamos a asignar

algunas definiciones a estas funciones y luego ver sus representaciones grficas.



53

Ejemplo

1

Sean las funciones

Si graficamos la

curva generada

por al darle

valores a ,

tendramos que el

vector de posicin

generara la

siguiente figura:

Ejemplo

2

Sean las funciones

Entonces la

grfica generada

por se vera

como se muestra

en la siguiente

figura:

Ejemplo

3

Sean las funciones

( )

( )

Entonces la

grfica generada

por se vera

como se muestra

en la siguiente

figura:

Mediante el uso de vectores tambin se puede representar una superficie en tres

dimensiones. Esto se logra si se considera nuevamente un punto sobre la superficie, el

cual est descrito por un vector de dos variables, que en realidad son funciones de dos

variables , como se muestra en la siguiente expresin:

Supongamos adems que esta funcin vectorial es continua en el plano y que es una

funcin uno a uno dentro de una regin de dicho plano. Esta regin es el rango o

dominio de la funcin vectorial que representa la superficie .



54

Regin R Superficie S

De la misma manera que podemos representar las curvas en diversos sistemas

coordenados, tambin las superficies las podemos representar ah.

Vamos a suponer que la regin est delimitada de la siguiente manera:

Sea |

La suposicin de que es una funcin vectorial uno a uno dentro de la regin ,

garantiza que la superficie no se cruza con ella misma.

Observa que para la funcin vectorial , las coordenadas cartesianas estn

representadas por las tres funciones paramtricas siguientes:

Ejemplo 1.

Consideremos que las variables

estn relacionadas mediante la

siguiente expresin:

Podemos identificar que dicha

expresin representa a una superficie

cnica, como se muestra en la siguiente

figura.

Si consideramos un sistema de coordenadas cilndrico, apoyados en la figura anterior

podemos ver que las coordenadas estn dadas por las siguientes expresiones:



55

En donde y . Si hacemos el siguiente cambio de variables: ,

tendremos que la representacin vectorial de la superficie est dada por:

Ejemplo 2.

Consideremos ahora la ecuacin de

una esfera de radio la cual est

representada por la expresin

La grfica se muestra en la siguiente

figura.

Un punto sobre la superficie de la esfera se puede representar en coordenadas

esfricas de la siguiente manera:

Con . Si hacemos el siguiente cambio de variables: ,

entonces obtenemos la representacin vectorial de la superficie esfrica:

Ejemplo 3.

Vamos a encontrar la representacin

vectorial de una superficie cilndrica,

cuya ecuacin en coordenadas

cartesianas est dada por la ecuacin:

con

Su grafica se muestra en la siguiente

figura.



56

Un punto con coordenadas cartesianas se puede representar en coordenadas

cilndricas, considerando los siguientes cambios: . Por lo

tanto los puntos sobre la superficie cilndrica, tendran su representacin vectorial como:

Esto es , con

Un punto sobre la superficie del cilindro tiene las siguientes representaciones en

cada una de sus coordenadas:

Si hacemos el cambio de variables: y se obtiene la representacin vectorial

de la superficie cilndrica:

Actividad 1. Curvas de nivel

A travs de esta actividad podrs, identificar que es una curva de nivel de una funcin, como se

obtienen, representan y como se usan.

Instrucciones:

1. Desarrolla en colaboracin con tus compaeros el concepto de curva de nivel, el

contenido debe tener las siguientes condiciones:

a. Concepto de curvas de nivel

b. Como se obtienen las curvas de nivel

c. Como se representa una curva de nivel

d. En qu reas del mbito profesional y social se pueden aplicar

e. Ejemplifica graficas de curvas de nivel.

2. Recuerda que el contenido deber ser verdico y correspondiente a lo solicitado



57

3. Utiliza herramientas y recursos que permitan que la informacin mostrada en el wiki sea

til para tus compaeros.

2.3.2. Integral curvilnea y de superficies

Ahora veremos cmo realizar integrales de funciones vectoriales. Esto lo usan los

ingenieros, los fsicos y matemticos para analizar fluidos, disear cables submarinos,

fenmenos de trasferencia de calor, campos elctricos con diversas geometras, entre

otras muchas ms aplicaciones.

En particular, las integrales curvilneas se usan para calcular el trabajo hecho por un

campo de fuerzas sobre una partcula para moverla de un punto a otro a lo largo de una

trayectoria dentro del campo.

Por otra parte, las integrales de superficie te ayudan a medir la cantidad de flujo que pasa

a travs de una determinada superficie. Los flujos pueden ser elctricos, magnticos, de

radiaciones en general, fluidos como lquidos, gases, plasma, partculas, etc.

La integral definida de una funcin dentro de un intervalo cerrado [ ], en el eje de las

, que se representa como

, te puede ayudar a resolver una gran cantidad de

problemas matemticos y de la vida real, por ejemplo, puedes calcular la masa de una

varilla recta o el trabajo hecho por un campo de fuerza alineado a lo largo del eje-x.

Ahora bien, con la integral curvilnea o tambin llamada integral de lnea, puedes calcular

la masa de una varilla o cables que tengan un forma caprichosa en dos o en tres

dimensiones. Tambin es posible que calcules el trabajo hecho por un campo de fuerza

(elctrico, magntico, gravitacional, etc.) sobre una partcula a lo largo de una trayectoria

curva en dos tres dimensiones.



58

Ahora, tendremos que considerar en lugar del eje-x, una curva general (en dos en tres

dimensiones) que designaremos con la letra

Si se tiene la funcin y queremos integrarla, no a lo largo del eje-x, del eje-y o del

eje-z, sino a lo largo de una curva tridimensional, descrita por el vector de posicin

con dentro del dominio de la funcin ,

entonces los valores que toma la funcin a lo largo de la curva vienen dados por

( )

Para encontrar la integral de la funcin a lo largo de recordaremos el concepto de

sumas de Riemann y para ello se parte la curva en pequeos arcos, desde el punto

hasta el punto y luego hacemos la suma de los valores de la funcin evaluada en cada

uno de esos pequeos arcos y multiplicada por la longitud del pequeo arco, como se

indica en la siguiente expresin:

Suponiendo que las funciones tienen, cada una de ellas, su primera derivada

continua a lo largo de la curva y dentro del intervalo [ ] cuando la

sumatoria tiende al lmite que llamaremos integral de lnea o curvilnea de la funcin a lo

largo de en el intervalo de a Esto lo denotamos con la expresin:

Que se lee como La integral de sobre .

Pasos para calcular la integral de lnea de una funcin

en donde

Calcule la integral como:

Determine la forma vectorial de la curva



59

Revisa los siguientes ejemplos de la integral de lnea para diferentes curvas C.

Ejemplo 1.

Sea la funcin f(x, y, z) = 1

es una funcin constante

La integral de la funcin f es

Ejemplo 2

Sea f(x, y, z) = 3x2-

2y+z

Primer paso:

Calculamos la integral sobre la curva C

representada por la lnea recta que va

del origen al punto (1, 1, 1) como se

muestra en la grafica

Segundo paso.

El vector de posicin que

representa al segmento de la

curva viene dado por

Por lo tanto, la longitud de este

vector es

| | | |

Tercer paso.

Calculando la integral de f sobre la curva c es:

* 3

+

(

*

Una propiedad importante y til que se utiliza en las integrales curvilneas es llamada

aditividad que se define de la siguiente manera



60

Ejemplo 1

1. Calcular la integral de lnea de la funcin

sobre la curva formada

por los dos sub-segmentos de curva, tal

y como se muestran la siguiente figura.

2. Sean los dos sub-segmentos las lneas dadas

por:

| |

| |

3. la integral de es:

Cuando se desea calcular la integral de una funcin sobre una superficie curva en tres

dimensiones, como la que se muestra en la siguiente figura

Si una curva se puede descomponer en un conjunto finito de sub-segmentos de curva,

de tal manera que al unirlos todos, se forma la curva original entonces la

integral curvilnea de una funcin es la suma de las integrales curvilneas sobre cada uno

de los sub-segmentos:



61

La integral sobre la superficie curva es una integral doble evaluada sobre la superficie

representada por la proyeccin (o sombre) de la superficie curva sobre el plano (X, Y).

Estos se usan para calcular los flujos de lquidos , electrnicos, magnticos etc..

rea de una superficie

Cmo se puede calcular el rea de la superficie S si conocemos la funcin (x, y, z)? Para

contestar esta pregunta se debe hacer la siguiente suposicin.

La funcin f(x, y, z) es una funcin suave, es decir que no cuenta con picos ni quiebres,

esto se representa como continua la cual no se desvanece sobre la superficie S. De

esta manera se puede calcular como la integral doble sobre la sombra R. para llevar a

cabo esto, debemos suponer que la proyeccin de la superficie sobre su sombra es

uno a uno, esto es, cada punto de corresponde con uno y solo un punto de .

Para ejemplificar esta situacin se muestra algunos ejemplos donde se demuestra el

clculo de reas de superficies.

Vamos a considerar una superficie general para

modelar la forma en la cual calcular el rea de la

superficie

En la figura se muestra una superficie general

con las condiciones indicadas anteriormente.

Tomemos un pequeo cuadrado sobre la

superficie que llamaremos , que

representa un rea infinitesimal. sta

pequea rea la vamos a aproximar por el

valor que es el pedazo de plano

tangencial a la curva en ese punto.

La proyeccin del cuadrado sobre la

regin , es un pequeo rectngulo . En

la siguiente figura tenemos una vista ampliada

de la figura anterior, para poder visualizar los

distintos elementos involucrados en el anlisis

del clculo de la integral de superficie.



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En esta figura observamos el vector que es normal a la superficie . El punto es la

proyeccin sobre R del punto sobre la superficie , en donde se est evaluando la funcin . El

rectngulo formado por los vectores es el plano tangente a la superficie en el punto . El

vector perpendicular a este plano es el vector formado por el producto cruz de los vectores

que se denota por .

La pequea rea infinitesimal est dada por la expresin

| |

El rea del cuadrado es precisamente | |.

De esto tenemos que

| | suponiendo que Esto sucede si no es paralelo

al plano del piso y si As pues, al hacerse ms pequeos los rectngulos tienden a

ser casi igual a los rectngulos y si hacemos la suma de estos elementos, en el lmite tender

al valor real de la superficie

|

calculo de varias variables

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