calculo de una poligonal cerrada

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOUNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTAD DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILCURSOCURSO : TOPOGRAFÍA I: TOPOGRAFÍA I

““CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA”CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA”

DOCENTEDOCENTE : Ing. Ms. Sc. ANAXIMANDRO : Ing. Ms. Sc. ANAXIMANDRO VELÁSQUEZ DIAZVELÁSQUEZ DIAZ

TRUJILLO - PERÚTRUJILLO - PERÚ2013-12013-1

EJEMPLO DE CALCULO EJEMPLO DE CALCULO DE UNA POLIGONAL DE UNA POLIGONAL

CERRADACERRADA

Tipos de Precisión de la Poligonal

1’ 30”

Espec.1º Orden 2º Orden 3º Orden 4º Orden

Error angular

15” 30” 1´ 1´30”

Error relativo

No debe exceder de 1/10,000




Área: Máxima

Mayores de 500 has.

100-500 (Ha)

100 Has. 100 Ha.

lectura de aprox.

30” 30” Al minuto Al minuto

Se desprecia las pendientes menores de

Se observa m menores de 1%.

Se observa m menores del 2%.

2% 3%

Usos Plano de población.

-Plano de población.-Líneas jurisdiccionales

Trazo de carreteras.Vías férreas.

Ante proyectos.

nn n n

ANGULOS IINTERNOS:ANGULOS IINTERNOS:

NorteNorte

LONGITUD DE LOS LADOS, (m): LONGITUD DE LOS LADOS, (m):

Fig. Nº 1Fig. Nº 1

AzimutAzimut A B = 126º 12’ 30”A B = 126º 12’ 30”

CroquisCroquis Fig. Nº 1Fig. Nº 1

Coordenadas A =(5,000.00 , 10,000.00)Coordenadas A =(5,000.00 , 10,000.00)

Se desea: calcular las coordenadas de los vértices restantes, debiendo realizar la compensación de Se desea: calcular las coordenadas de los vértices restantes, debiendo realizar la compensación de proyecciones por la regla de la brújula.proyecciones por la regla de la brújula.

EJEMPLO:EJEMPLO:En la medición de una poligonal cerrada, se ha obtenido los siguientes En la medición de una poligonal cerrada, se ha obtenido los siguientes datos:datos:

VérticeVértice 1ra Medición 1ra Medición 4ta Medición 4ta Medición

AA 85º 12’ 35”85º 12’ 35” 340º 51’ 20”340º 51’ 20”

BB 119º 34’ 10”119º 34’ 10” 118º 17’ 12”118º 17’ 12”

CC 75º 35’ 00”75º 35’ 00” 302º 20’ 20”302º 20’ 20”

DD 79º 38’ 20”79º 38’ 20” 318º 33’ 32”318º 33’ 32”

LadoLado 1ra Medición 1ra Medición 2da Medición 2da Medición 3ra Medición 3ra Medición

A BA B 238.11238.11 238.16238.16 238.15238.15

B CB C 375.78375.78 375.72375.72 375.69375.69

C DC D 401.23401.23 401.30401.30 401.25401.25

D AD A 433.40433.40 433.42433.42 433.44433.44

Z = Z = 126º 12’ 30”126º 12’ 30”

A

B

C

D

SOLUCION:SOLUCION:

1º.- Calculo de los ángulos promedios:1º.- Calculo de los ángulos promedios:

A = A = 340º 51’ 20”340º 51’ 20” = = 85º 12’ 50” 85º 12’ 50”

44

B = B = 360º+118º17’12”360º+118º17’12” = 119º 34’ 18” = 119º 34’ 18”

44

C = C = 302º 20’ 20”302º 20’ 20” = = 75º 35’ 05” 75º 35’ 05”

44

D = D = 318º 33’ 32”318º 33’ 32” = = 79º 38’ 23” 79º 38’ 23”

4 _________4 _________

Suma 360º 00’ 36”Suma 360º 00’ 36”

2º.- Compensación de ángulos:2º.- Compensación de ángulos:

A = 85º 12’ 50” – 9” = 85º 12’ 41”A = 85º 12’ 50” – 9” = 85º 12’ 41”

B = 119º 34’ 18” – 9” = 119º 34’ 09”B = 119º 34’ 18” – 9” = 119º 34’ 09”

C = 75º 35’ 05” – 9” = 75º 34’ 56”C = 75º 35’ 05” – 9” = 75º 34’ 56”

D = 79º 38’ 23” – 9” = 79º 38’ 14”D = 79º 38’ 23” – 9” = 79º 38’ 14”

______________ = ________________________ = __________

360º 00’ 36” – 36” 360º 00’ 00”360º 00’ 36” – 36” 360º 00’ 00”

3º.- Calculo de longitud promedio de los lados:3º.- Calculo de longitud promedio de los lados:

A B = 238.00 + A B = 238.00 + _1__1_ (0.11+0.16+0.15) = 238.14 m (0.11+0.16+0.15) = 238.14 m

33

B C = 375.00 + B C = 375.00 + _1__1_ (0.78+0.72+0.69) = 375.73 m (0.78+0.72+0.69) = 375.73 m

33

C D = 401.00 + C D = 401.00 + _1__1_ (0.23+0.30+0.25) = 401.26 m (0.23+0.30+0.25) = 401.26 m

33

D A = 433.00 + D A = 433.00 + _1__1_ (0.40+0.42+0.44) = 433.42 m (0.40+0.42+0.44) = 433.42 m

33 _______ _______

1,448.55 m1,448.55 m

4º.- Calculo del azimut y rumbo:4º.- Calculo del azimut y rumbo:ZZ A B = 126° 12’ 30” +A B = 126° 12’ 30” + R A B = S 53°47’30” ER A B = S 53°47’30” E

180°180°Z B A = 306° 12’ 30” +Z B A = 306° 12’ 30” +

B = B = 119° 34’ 09”119° 34’ 09” 425° 46’ 39” –425° 46’ 39” –

360°360°ZZ B C = 65° 46’ 39” +B C = 65° 46’ 39” + R B C = N 65°46’39” ER B C = N 65°46’39” E

180°180°Z C B = 245° 46’ 39” +Z C B = 245° 46’ 39” +

C = C = 75° 34’ 56”75° 34’ 56”Z C D = 321° 21’ 35” +Z C D = 321° 21’ 35” + R C D = N 38°38’25” OR C D = N 38°38’25” O

180°180°Z D C = 141° 21’ 35” +Z D C = 141° 21’ 35” +

D = D = 79° 38’ 14”79° 38’ 14”ZZ D A = 220° 59’ 49” +D A = 220° 59’ 49” + R DA = S 40°59’49” OR DA = S 40°59’49” O

180°180°Z A D = 40° 59’ 49” +Z A D = 40° 59’ 49” +

A = A = 85° 12’ 41”85° 12’ 41”Z A B = 126° 12’ 30” (Comprobación)Z A B = 126° 12’ 30” (Comprobación)

5º.- Calculo de las proyecciones de los lados:5º.- Calculo de las proyecciones de los lados:

Empleando las formulas que dan los valores de las proyecciones Empleando las formulas que dan los valores de las proyecciones en cada eje y teniendo en cuenta el cuadrante que ocupa el rumbo, en cada eje y teniendo en cuenta el cuadrante que ocupa el rumbo, puede llegarse al siguiente cuadro:puede llegarse al siguiente cuadro:

LadoLado Longitud(m)Longitud(m) Rumbo ladoRumbo lado proyecc. X proyecc. X Proyecc. YProyecc. Y

A B 238.14 S 53º47’30” E + 192.15 m - 140.67 mA B 238.14 S 53º47’30” E + 192.15 m - 140.67 m

B C 375.73 N 65º46’39” E + 342.65 m + 154.15 mB C 375.73 N 65º46’39” E + 342.65 m + 154.15 m

C D 401.26 N 38º38’25” O - 250.56 m + 313.42 mC D 401.26 N 38º38’25” O - 250.56 m + 313.42 m

D A 433.42 S 40º59’49” O - 284.33 m - 327.12 mD A 433.42 S 40º59’49” O - 284.33 m - 327.12 m

__________ __________ ____________________

Suma - 0.09 m - 0.22 mSuma - 0.09 m - 0.22 m

Proyección en X = Lado x Sen RumboProyección en X = Lado x Sen Rumbo

Proyección en Y = Lado x Cos RumboProyección en Y = Lado x Cos Rumbo

6º.- Calculo de errores en los ejes, error de cierre y error relativo:6º.- Calculo de errores en los ejes, error de cierre y error relativo:

Los errores en los ejes se obtienen por suma algebraica de las Los errores en los ejes se obtienen por suma algebraica de las proyecciones, siendo para el caso, los siguientes :proyecciones, siendo para el caso, los siguientes :

ExEx = - 0.09 m = - 0.09 m Ey = - 0.22 mEy = - 0.22 m

error de cierre o error absoluto, será error de cierre o error absoluto, será

el error relativo, será el error relativo, será

Er = Er = 0.250.25 = = 1 1 , tomándose 1/5,500 , tomándose 1/5,500

1,448.551,448.55 5,794 5,794

7º.- Calculo de las correcciones de las proyecciones:7º.- Calculo de las correcciones de las proyecciones:

LadoLado Corrección en eje X Corrección en eje X Corrección en eje Y Corrección en eje Y

A BA B 0.09 x 238.140.09 x 238.14 = + 0.01m = + 0.01m 0.22 x 238.140.22 x 238.14 = + 0.04 m = + 0.04 m

1,448.551,448.55 1,448.55 1,448.55

B CB C 0.09 x 375.730.09 x 375.73 = + 0.02 m = + 0.02 m 0.222x 375.730.222x 375.73 = + 0.05 m = + 0.05 m

1,448.551,448.55 1,448.55 1,448.55

C DC D 0.09 x 401.260.09 x 401.26 = + 0.03 m = + 0.03 m 0.22 x 401.260.22 x 401.26 = + 0.06 m = + 0.06 m

1,448.551,448.55 1,448.55 1,448.55

D AD A 0.09 x 433.420.09 x 433.42 = + 0.03 m = + 0.03 m 0.22 x 433.420.22 x 433.42 = + 0.06 m = + 0.06 m

1,448.551,448.55 1,448.55 1,448.55

______________ ________________

+ 0.09 m+ 0.09 m + 0.22 m + 0.22 m

8º.- Calculo de las proyecciones compensadas:8º.- Calculo de las proyecciones compensadas:

EjeEje XX EjeEje YY

A B: + 192.15 + 0.01 = + 192.16 - 140.67 + 0.04 = - 140.63A B: + 192.15 + 0.01 = + 192.16 - 140.67 + 0.04 = - 140.63

B C: + 342.65 + 0.02 = + 342.67 + 154.15 + 0.06 = + 154.21B C: + 342.65 + 0.02 = + 342.67 + 154.15 + 0.06 = + 154.21

C D: - 250.56 + 0.03 = - 250.53 + 313.42 + 0.06 = + 313.46C D: - 250.56 + 0.03 = - 250.53 + 313.42 + 0.06 = + 313.46

D A: - 248.33 + 0.03 = - 284.30 - 327.12 + 0.06 = - 327.06D A: - 248.33 + 0.03 = - 284.30 - 327.12 + 0.06 = - 327.06

______________ ______________

0.000.00 0.00 0.00

9º.- Calculo de las coordenadas de las estaciones:9º.- Calculo de las coordenadas de las estaciones:

Estaciones Estaciones xx yy

A A 5,000.00 +5,000.00 + 10,000.00 -10,000.00 -

192.16192.16 140.63 140.63

B B 5,192.16 +5,192.16 + 9,859.37 + 9,859.37 +

342.67342.67 154.21 154.21

C C 5,534.83 -5,534.83 - 10,013.58 +10,013.58 +

250.83250.83 313.48 313.48

D D 5,284.30 -5,284.30 - 10,327.06 -10,327.06 -

284.30284.30 327.06 327.06

A A 5,000.00 5,000.00 10,000.00 10,000.00

EJEMPLO DE CALCULO EJEMPLO DE CALCULO DE UNA POLIGONAL DE UNA POLIGONAL

CERRADACERRADA(libro: Feliz García)(libro: Feliz García)

1º CASO1º CASO: FALTAN LA LONGITUD Y RUMBO DE UN LADO: FALTAN LA LONGITUD Y RUMBO DE UN LADO

Lado Longitud n Rumbo

A B 195.62 N 75º 16’ 30” O

B C 290.15 N 45º 30’ 28” E

C D 252.47 S 32º 17’ 45” E

D A No medido Desconocido

Ejemplo:

Calcular los valores desconocidos para la siguiente poligonal cerrada.

SOLUCIÓNSOLUCIÓN::Con los datos, puede calcularse:Con los datos, puede calcularse:

Lado Proyección X Proyección Y

AB - 189.20 m + 49.72 m

BC + 206.98 m + 203.34 m

CD + 134.89 m - 213.41 m

Suma: + 152.67 m + 39.65 n

En consecuencia, si la propiedad es cerrada, necesariamente se tendrá que:

(D A)x = - 152.67m y (D A)y = -39.65 m

Entonces:D A = = 157.73 m

22 (39.65)(152.67)

Rumbo D A = Arc Tg =

= Arc Tg = Arc Tg 3.8504413

Rumbo D A = Sur 75º 26’ 29” Costo

Observación:

Los signos de las propiedades, son los que dan el cuadrante donde se ubica el rumbo.

y

x

A)(DA)(D

39.65-152.67-

2º CASO2º CASO: FALTA LA LONGITUD DE DOS LADOS (Consecutivos : FALTA LA LONGITUD DE DOS LADOS (Consecutivos o no)o no)

Ejemplo:Calcular los valores de las longitudes de los lados: BC y DE, para la poligonal cerrada de la Fig. Nº 31, siendo los datos:


A B 248.16 N 29º 30’ 15” O

BC No medida N 76º 54’ 13” O

CD 250.32 S 36º 13’ 24” O

DE No medida S 21º 18’ 30” E

EA 389.77 N 70º 04’ 43” E


A B 248.16 N 29º 30’ 15” O

BC No medida N 76º 54’ 13” O

CD 250.32 S 36º 13’ 24” O

DE No medida S 21º 18’ 30” E

EA 389.77 N 70º 04’ 43” E

Gráfico: Fig. Nº 31

A

D

B

C

FIG. Nº 31

E

SOLUCIÓN:Con los datos, puede calcularse:

Lado Proyección X

Proyección Y

A B - 122.22 m + 215.98 m

C D - 147.92 m - 201.94 m

E A + 366.45 m + 132.81 m

Suma: + 96.31 m + 146.85 m

En consecuencia, es factible formular las siguientes ecuaciones:

- B C Sen 76º 54’ 13” + D E Sen 21º 18’ 30” = - 96.31 m+ B C Cos 76º 54’ 13” - D E Cos 21º 18’ 30” = - 146.85 m

Tomando los valores de las funciones trigonométricas, se tendrá:

- B C (0,9739902) + DE (0.3633867) = - 96.31 m+ B C (0,2265899) + DE (0.9316384) = - 146.85 m

Sistema de ecuaciones que al ser resuelto, da como valores:B C = 173.43 mD E = 199.81 m

3º CASO3º CASO: FALTA LA LONGITUD DE UN LADO Y EL : FALTA LA LONGITUD DE UN LADO Y EL RUMBO DEL LADO CONSECUTIVORUMBO DEL LADO CONSECUTIVO

Lado

Longitud

Rumbo

A B 91.82 S 34º 30’ 15” E

B C 103.54 S 82º 51’ 18” E

C D 133.68 N 30º 10’ 20” E

D A No med. N 62º 43’ 37” O

E A 146.55 Desconocido

Este caso es posible resolverlo cuando una línea auxiliar de cálculo tal como se observa en el ejemplo que a continuación se detalla.

Ejemplo:

AD

B

E’

C

E

Lado auxiliar

FIG. Nº 32

Ángulo interno en E: mayor que 90º

SOLUCIÓN:

Como se observa en la Fig. Nº 32, este caso tiene dos posibilidades de solución, por lo cual debe tomarse una referencia adicional en el campo y que para nuestro caso es que el ángulo interno en el vértice es mayor que 90º, lo cual concretiza el caso.Con los datos, es posible calcular:


A B + 52.01 m - 75.67 m

B C + 102.74 m - 12.88 m

C D + 67.19 m + 115.57 m

Suma: + 221.94 m + 27.02 m

Entonces:(D A) x n – 221.94 n y (D A) y n – 27.02 m

Valores con los cuales puede calcularse:

D A = 223.58 <m>Rumbo D A = Sur 83” 03’ 31” OesteAzimut D A = 263º 03’ 31”

Tomando el triángulo: A D E, puede calcularse:

Ángulo D = Z D E – Z D A = 297º 16’ 23” – 263º 03’ 31”= 34º 12’ 52”

Son E = = 0.8578451

Ángulo E = 120º 55’ 28”

Ángulo A = 180º - (34º 12’ 52” + 120º 55’ 28”)

= 24º 51’ 40”

146.5552"12'34ºSen233.58

Entonces:

Azimut B A = Z B D + Ángulo D = 117º 16’ 23” + 120º 55’ 28” = 238º 11’ 51”

Rumbo E A = Sur 58º 11’ 51” Oeste

Asimismo:D E = = 109.57m

52"12'34ºSen40"51'24ºSen146.55

4º CASO: FALTA EL RUMBO DE DOS LADOS CONSECUTIVOS

Este caso, con el anterior, se soluciona tomando una línea auxiliar de cálculo. Asimismo, tiene la posibilidad de encontrarse dos soluciones, por lo cual debe tomarse alguna referencia adicional en el campo para que concretice el caso.Ejemplo:Calcular los valores desconocidos, para la poligonal de la Fig. Nº 33, si:


A B 89.15 S 49º 35’ 00” E

B C 91.92 N 78º 10’ 30” E

C D 89.98 N 18º 24’ 10” O

D A 75.57 Desconocido

E A 70.32 Desconocido

A

D

B

B’

C

E

FIG. Nº 33

El ángulo interno de la poligonal en el vértice E es mayor que 180º

SOLUCIÓN:


A B + 67.87 m - 57.80 m

B C + 89.97 m + 18.84 m

C D - 28.41 m + 85.38 m

Suma: + 129.43 m + 46.42 m

Entonces:(D A)x = – 129.43 <m>(D A)y = – 46.42 <m>

Valores con los cuales se puede obtener:

D A = 137.50 mRumbo D A = Sur 70º 16’ 11” Oeste

Se conocen las longitudes de sus tres (3) lados es posible calcular:

Cos E = = - 0.7762886

E = 140º 55’ 19”

Cos D = = + 0.946608

D = 18º 48’ 26”

Cos A = = + 0.9380663

A = 20º 16’ 15”

Con la cual es posible calcular las orientaciones de los lados: D E y E A

Azimut D E = Azimut D A – Ángulo D= 250º 16’ 11” – 18º 48’ 26” = 231º 27’ 45”

Rumbo D E = Sur 51º 27’ 45” Oeste

Azimut E A = Azimut E D + Ángulo E (poligonal)= 51º 27’ 45” + 219º 04’ 41” = 270º 32’ 26”

Rumbo E A = Norte 89º 27’ 34” Oeste

70.32)x75.57x(2-75.5770.32137.50 222

75.67)x137.50x(2-75.57137.5070.32 222

70.32)x137.50x(2-70.32137.50-75.57 222

calculo de una poligonal cerrada

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