cálculo con varias operaciones

CLCULO CON VARIAS OPERACIONES

En algunos clculos figuran varias operaciones:4 + 3 x 2 -7Para resolver estas operaciones hay que seguir un orden. Para ello vamos a distinguir entre:Operaciones sin parntesis: 4 - 2 x 3 + 2Operaciones con parntesis: ( 4 - 2 ) x 3 + 21.- Operaciones sin parntesisEn las operaciones sin parntesis el orden para su resolucin es: Primeroresolvemos lasmultiplicaciones / divisiones(da igual hacer primero la multiplicacin y luego la divisin, o viceversa) Luegoresolvemos lassumas / restas(da igual hacer primero la suma y luego la resta, o viceversa)Veamos algunos ejemplos:a)4 - 3 x 5 -1Primero resolvemos la multiplicacin:3 x 5 =15Luego resolvemos las sumas / restas:4 -15-1 =-12Elresultado:4 - 3 x 5 -1 =-12b)6 x 4 - 8 / 2Primero resolvemos las multiplicaciones /divisiones:6 x 4 =248 / 2 =4Luego resolvemos las sumas / restas:24-4=20Elresultado:6 x 4 - 8 / 2 =20c)3 + 12 / 4 - 3 x 2Primero resolvemos las multiplicaciones /divisiones:12 / 4 =33 x 2 =6Luego resolvemos las sumas / restas:3 +3-6=02.- Operaciones con parntesisEn las operaciones con parntesis el orden para su resolucin es: Primeroresolvemos losparntesis Luegoresolvemos elrestoVeamos algunos ejemplos:a)(3 -1) x 2Primero resolvemos el parntesis:(3-1) =2Luego el resto:2x 2 =4Elresultado:(3 -1) x 2 =4b)(12 - 4) / 2Primero resolvemos el parntesis:(12 - 4) =8Luego el resto:8/ 2 =4Elresultado:(12 - 4) / 2 =4Dentro del parntesis puede haber sumas/restas y multiplicaciones/divisiones, en su caso aplicaremos el mismo orden que vimos anterioremente: Primero: las multiplicaciones / divisiones Luego:las sumas / restasVeamos algunos ejemplos:1.-(8 - 3 x 2) - 1Primero resolvemos el parntesis:(8 - 3 x 2). Pero dentro del parntesis aplicamos el orden sealado:Primero la multiplicacin:3 x 2 =6Luego la resta:8 -6=2Ya hemos resuelto el parntesis:(8 - 3 x 2) =2Luego seguimos con el resto:2- 1 =1Elresultado:(8 - 3 x 2) - 1=12.-(14 - 8 / 2) x 3 - 5Primero resolvemos el parntesis:(14 - 8 / 2). Pero dentro del parntesis aplicamos el orden sealado:Primero la divisin:8 / 2 =4Luego la resta:14 -4=10Ya hemos resuelto el parntesis:(14 - 8 / 2) =10Luego seguimos con el resto:10x 3 - 5Volvemos a aplicar el mismo orden:Primero las multiplicaciones:10 x 3 =30Luego la resta:30- 5 =25Luego elresultado:(14 - 8 / 2) x 3- 5 =25

Ejercicios(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)1.- Resuelve las siguientes operaciones:

NMEROS DECIMALES

Hasta ahora hemos trabajado con nmeros enteros, cuya cifra ms pequea es la unidad:

Pero tambin hay nmeros que tienen una parte inferior a la unidad, estos se llaman nmeros decimales:

Laparte enterava a la izquierda de la coma y laparte decimala la derecha.Vamos a ver cada una de estas cifras decimales.a) La dcimaLa dcima es un valor ms pequeo que la unidad1 unidad = 10 dcimas.Es decir, si dividimos una unidad en 10 partes iguales, cada una de ellas es una dcima.Las dcimas van a la derecha de la coma.b) La centsimaEs un valor ms pequeo que la unidad y tambin que la dcima.1 unidad = 100 centsimas1 dcima = 10 centsimas.Es decir, si dividimos una unidad en 100 partes iguales, cada una de ellas es una centsima.Y si dividimos una dcima en 10 partes iguales, cada una de ellas es una centsima.c) La milsimaEs un valor ms pequeo que la unidad, que la dcima y tambin que la centsima:1 unidad = 1.000 milsimas1 dcima = 100milsimas1 centsima = 10milsimasEs decir, si dividimos una unidad en 1.000 partes iguales, cada una de ellas es una centsima.1.- Cmo se lee un nmero decimal?Por ejemplo:53,41se puede leer de varias maneras:"cincuenta y tres coma cuarenta y uno""cincuenta y tres con cuarenta y uno""cincuenta y tres unidades y cuarenta y una centsimas"2.- Comparacin de nmeros decimalesPara comparar nmeros decimales comenzamos comparando la parte entera: aqul que tenga la parte entera ms alta, es el mayor.234,65es mayor que136,76Si ambos tienen igual parte entera habra que comparar la parte decimal, comenzando por las dcimas, luego las centsimas y por ltimo las milsimas.Veamos algunos ejemplos:146,89es mayor que146,78(ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 8 dcimas mientras que el segundo tiene 7).357,56es mayor que357,53(ambos tienen igual parte entera y tambin las mismas dcimas, pero el primero tiene 6 centsimas y el segundo tan slo 3)634,128es mayor que634,125(ambos tienen igual parte entera y tambin las mismas dcimas y centsimas, pero el primero tiene 8 milsimas y el segundo tan slo 5)Veamos otros ejemplos:Vamos a comparar un nmero con parte decimal y otro sin parte decimal:207,12es mayor que207(ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 1 dcima mientras que el segundo no tiene ninguna).Vamos a comparar un nmero con dcimas y centsimas y otro slo con dcimas:43,28es mayor que43,2(ambos tienen igual parte entera y las mismas dcimas, pero el primero tiene 8 centsimas mientras que el segundo no tiene ninguna).Vamos a comparar un nmero con dcimas y otro slo con centsimas:72,1es mayor que72,09(ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 1 dcima y el segundo ninguna).

3.- Redondear nmeros decimalesLos nmeros decimales los podemos redondear a launidad, a ladcimao a lacentsima.a) Redondear a la unidadRedondear a la unidad implica sustituirlo por el nmero que ms se le aproxime sin decimales.Si la parte decimal es igual o inferior a 0,500 se redondea a la unidad inferior; si es mayor que 0,500 se redondea a la unidad superior.Veamos algunos ejemplos:43,5Este nmero se sita entre 43 y 44. Hay que ver a cual de ellos se redondea.La parte decimal es 0,5 (como no tiene centsimas ni milsimas equivale a 0,500). Al ser esta parte decimal igual o inferior a 0,500 redondeamos a la unidad inferior.Por lo tanto 43,5 lo redondeamos a 43.27,31Este nmero se sita entre 27 y 28.La parte decimal es 0,31 (como no tiene milsimas equivale a 0,310). Al ser esta parte decimal inferior a 0,500 redondeamos a la unidad inferior.Por lo tanto 27,31 lo redondeamos a 27.58,721Este nmero se sita entre 58 y 59.La parte decimal es 0,721. Al ser esta parte decimal superior a 0,500 redondeamos a la unidad superior.Por lo tanto 58,721 lo redondeamos a 59.b) Redondear a la dcimaRedondear un nmero a la dcima implica sustituirlo por el nmero que ms se le aproxime y que en la parte decimal tan slo tenga dcimas.Si la parte centesimal es igual o inferior a 0,050 se redondea a la dcima inferior; si es mayor que 0,050 se redondea a la dcima superior.Veamos algunos ejemplos:22,53Este nmero se sita entre 22,5 y 22,6.La parte centesimal es 0,03 (como no tiene milsimas equivale a 0,030). Al ser esta parte centesimal inferior a 0,050 redondeamos a la dcima inferior.Por lo tanto 22,53 lo redondeamos a 22,5.62,27Este nmero se sita entre 62,2 y 62,3.La parte centesimal es 0,07 (como no tiene milsimas equivale a 0,070). Al ser esta parte centesimal superior a 0,050 redondeamos a la dcima superior.Por lo tanto 62,27 lo redondeamos a 62,3.84,662Este nmero se sita entre 84,6 y 84,7.La parte centesimal es 0,062. Al ser esta parte centesimal superior a 0,050 redondeamos a la dcima superior.Por lo tanto 84,662 lo redondeamos a 84,7.c) Redondear a la centsimaRedondear un nmero a la centsima implica sustituirlo por el nmero que ms se le aproxime y que en la parte decimal tenga hasta centsimas.Si la parte milesimal es igual o inferior a 0,005 se redondea a la centsima inferior; si es mayor que 0,005 se redondea a la centsima superior.Veamos algunos ejemplos:17,124Este nmero se sita entre 17,12 y 17,13.La parte milesimal es 0,004. Al ser esta parte milesimal inferior a 0,005 redondeamos a la centsima inferior.Por lo tanto 17,124 lo redondeamos a 17,12.26,33Este nmero se sita entre 26,33 y 26,34.La parte milesimal es 0,000. Al ser esta parte milesimal inferior a 0,005 redondeamos a la centsima inferior.Por lo tanto 26,33 lo redondeamos a 26,33.77,258Este nmero se sita entre 77,25 y 77,26.La parte milesimal es 0,008. Al ser esta parte milesimal superior a 0,005 redondeamos a la centsima superior.Por lo tanto 77,258 lo redondeamos a 77,26.Ejercicios(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)1.- Ordena los siguientes nmeros de menor a mayor:

2.- Redondea los siguientes nmeros a la unidad:

3.- Redondea los siguientes nmeros a la dcima:

4.- Redondea los siguientes nmeros a la centsima:

SUMA Y RESTA CON DECIMALES

La suma y resta con nmeros decimales es exactamente igual que con nmeros enteros. Lo nico que hay que vigilar es que cada tipo de cifra vaya en su columna:Las centenas en la columna de centenas, las decenas en la de decenas, las unidades en la de unidades, las dcimas en la de dcimas, las centsimas en la de centsimas...Vamos a ver un ejemplo:234,43 + 56,7 + 23,145

Podemos ver que todas las cifras van en su columna correspondiente.Tambin lascomasvan todas en la misma columna.Un fallo que se suele cometer al operar con nmeros decimales es alinear todos los nmeros a la derecha:

Esta suma est mal escrita, ya que el3de la primera fila (centsima) lo estamos sumando con el7de la segunda fila (dcima) y con el5de la tercera fila (milsima).La operatoria, como hemos comentado, es exactamente igual que con nmeros enteros:...............Puede ocurrir, como en el ejemplo, que en la suma o en la resta haya algn nmero que no lleve todas las cifras decimales (por ejemplo, el tercer nmero del ejemplo no lleva centsimas), en este caso operamos como si en su lugar hubiera un 0.La resta, al igual que la suma, funciona exactamente igual que con nmeros enteros.

Como hemo indicado anteriormente, si algn nmero no lleva todas su cifras decimales (en este ejemplo, el primer nmero157,83no lleva milsimas) se opera como si en su lugar hubiera un 0.

MULTIPLICACIONES CON DECIMALESEn una multiplicacin pude haber decimales en cualquiera de los dos factores, o en los dos:

a) En primer lugar multiplicamos sin tener en cuenta que hay decimales:

b) A continuacin contamos los nmeros decimales que hay en ambos factores y sern las cifras decimales que lleve el resultado:b.1.- Empecemos por la primera multiplicacin,

Tiene una cifra decimal en el primer factor y ninguna en el segundo: en total1cifra decimal.El resultado de la multiplicacin (324.324) llevar 1 cifra decimal:

b.2.- Segunda multiplicacin,

Tiene dos cifras decimales en el segundo factor: en total2 cifras decimales.El resultado de la multiplicacin (527.814) llevar 2 cifras decimales:

b.3.- Tercera multiplicacin,

Tiene dos cifras decimales en el primer factor y una en el segundo: en total3 cifras decimales.El resultado de la multiplicacin (255.528) llevar por tanto 3 cifras decimales:

1.- Multiplicar por 10, 100, 1.000Por ejemplo:45,6 x 10235,6 x 10078,96 x 1.000Para calcular el resultado:a) Primero escribimos en el resultado el primer factor.b) Luego en el resultado desplazaremos la coma a la derecha tantas posiciones como ceros lleve el nmero por el que hemos multiplicado.Puede ocurrir que haya ms ceros que cifras decimales, por lo que no podamos desplazar a la derecha la coma tantas posiciones como ceros.Qu hacemos?Las posiciones que no hayamos podido desplazar la coma la completaremos con ceros:Veamos los ejemplos:a) 45,6 x 10Primeros repetimos en el resultado el primer factor.45,6 x 10 =45,6Luego desplazaremos la coma a la derecha una posicin ya que hemos multiplicado por 10 que lleva 1 cero:45,6 x 10 =456,(la coma a la derecha sin ninguna cifra decimal se puede quitar y escribir456)b)235,6 x 100Primeros repetimos en el resultado el primer factor.235,6 x 100 =235,6Luego desplazaremos la coma a la derecha dos posiciones ya que hemos multiplicado por 100 que lleva 2 ceros:Como 235,6 tan slo tiene un decimal y necesitamos desplazar la coma 2 posiciones, completaremos el movimento que nos falta poniendo 1 cero:235,6 x 100 =23.560c)78,96 x 1.000Primeros repetimos en el resultado el primer factor.78,96 x 1.000 =78,96Luego desplazaremos la coma a la derecha tres posiciones ya que hemos multiplicado por 1.000 que lleva 3 ceros.Como 78,96 tan slo tiene dos decimales y necesitamos desplazar la coma 3 posiciones, completaremos el movimento que nos faltaponiendo 1 cero:78,96 x 1.000 =78.960Ejercicios(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)1.- Realiza las siguientes operaciones:

2.- Realiza las siguientes operaciones:

3.- Realiza las siguientes operaciones:

DIVISIONES CON DECIMALES

1.- Divisin de un nmero decimalCuando el dividendo tiene decimales operaremos de la siguiente manera:a) Primero realizaremos al divisin como si el dividendo fuera un nmero entero, sin tener en cuenta que algunas cifras son decimales.b) Una vez resuelta la divisin, contaremoslas cifras decimales que tiene el dividendo y sern las que lleve el cociente.Veamos un ejemplo:

El dividendo tiene 2 cifras decimales.En principio dividimos sin tener en cuenta esto (como si el dividendo fuera un nmero entero)

Luego las cifras decimales que tiene el dividendo (2) sern las cifras decimales que tendr el cociente:

2.- Cociente con decimalesSi en una divisin eldividendo es menor que el divisorel cociente tendr decimales.Vamos a ver con un ejemplo como se hace esta divisin.

El dividendo (4) es menor que el divisor (8).Para poder realizar la divisinpondremos un0en el dividendo y otro0en el cociente seguido de coma.

Ahora seguimos como en una divisin normal:

Vamos a ver otro ejemplo:

Ponemos un0en el dividendo y un0en el cociente seguido de coma.

Seguimos como en una divisin normal:

Vamos a ver una peculiaridad de estas divisiones:Al no ser una divisin exacta, el resto es2, podemos ponerle un 0 a su derecha y seguir dividiendo.Y en los sucesisvos restos, mientras no sean 0, podemos seguir operando de esta manera, aadiendo cifras decimales al cociente.

3.- Dividir un nmero entero por un nmero decimalPara dividir por un nmero decimal:

Tenemos que hacer previamente una transformacin:a) Le quitamos los decimales al divisor4,25----> 425b) Al dividendo le aadimos tantos ceros como decimales le hayamos quitado al divisor.187 ----> 18700Ahora ya podemos dvidir:

4.- Dividir un nmero decimal por otro decimalPara dividir por un nmero decimal:

Tenemos que hacer previamente una transformacin:a) Le quitamos los decimales al divisor:4,25----> 425b) Al dividendo le desplazamos la coma tantas posiciones a la derecha como decimales le hayamos quitado al divisor.18,247 ----> 1824,7Hemos desplazado la coma 2 posiciones a la derecha.Supongamos que el dividendo tiene tan slo un decimal: 1824,7. Qu hacemos? Desplazaramos la coma una posicin y completaramos aadiendo un 0.1824,7 ---- > 182470Ahora ya podemos dvidir:

5.- Dividir un nmero decimal por 10, 100, 1.000Por ejemplo:32,7 : 10124,6 : 1.00014,81 : 1.000Para calcular el resultado:a) Primero escribimos en el resultado el dividendo.b) Luego en el resultado desplazaremos la coma hacia la izquierda tantas posiciones como ceros lleve el divisor.Veamos los ejemplos:a) 32,7 : 10Primeros escribimos en el resultado el dividendo.32,7 : 10 =32,7Luego desplazaremos la coma hacia la izquierda una posicin ya que hemos dividido por 10 que lleva 1 cero:32,7 : 10 =3,27b)124,6 : 1.000Primeros escribimos en el resultado el dividendo.124,6 : 1.000 =124,6Luego desplazaremos la coma hacia la izquierda tres posiciones ya que hemos dividido por 1.000 que lleva 3 ceros:124,6 : 100 =,1246Cuando la coma queda al principio de un nmero significa que ese nmero no tiene parte entera. Por eso delante de la coma se pone un 0:124,6 : 100 =0,1246Puede ocurrir que en el divisor haya ms ceros que cifras enteras en el dividendo, por lo que no podamos desplazar hacia la izquierda la coma tantas posiciones como ceros.Qu hacemos?Las posiciones que no podamos desplazar la coma la completaremos con ceros:Veamos un ejemplo:a)14,81 x 1.000Primeros escribimos en el resultado el dividendo.14,81 : 1.000 =14,81Luego desplazaremos la coma hacia la izquierda tres posiciones ya que hemos dividido por 1.000 que lleva 3 ceros:Como14,81 tan slo tiene dos cifras enteras tan slo podemos desplazar la coma hacia la izquierda 2 posiciones, por lo que completaremos el movimento que nos faltaponiendo 1 cero delante:14,81 : 1.000 =,01481Y como vimos antes, delante de la coma se pone otro 0:14,81 : 1.000 =0,01481Ejercicios(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)1.- Resuelve las siguientes operaciones:

2.- Resuelve las siguientes operaciones:

MNIMO COMN MLTIPLO y MXIMO COMN DIVISOR.1.- Mnimo comn mltiploLos mltiplos de un nmero se obtienen multiplicando el nmero por 1, 2, 3, 4, 5.....Por ejemplo: los mltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28....ElMnimo Comn Mltiplo(MCM) de 2 o ms nmero es el menor de lo mltiplos comunes a estos nmeros:Por ejemplo: Vamos a calcular el MCM de 3 y 4:Mltiplos de 3: 3, 6, 9,12, 15, 18, 21,24, ...Mltiplos de 4: 4, 8,12, 16, 20,24, 28, ...Vemos que12es un mltiplo de ambos nmeros y es el menor de los mltiplos comunes. Por lo tanto 12 es el Mnimo Comn Mltiplo.2.- Mximo comn divisorLos divisores de un nmero son aquellos que al dividir el nmero el resto es 0.Por ejemplo: Divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y 24Si se divide 24 por cualquiera de ellos el resto es 0.ElMximo Comn Divisor(MCD) de 2 o ms nmero es el mayor de los divisores comunes a estos nmeros:Por ejemplo: Vamos a calcular el MCD de 30 y 42:Divisores de 30: 1, 2, 3, 5,6, 10, 15 y 30Divisores de 42: 1, 2, 3,6, 7, 21 y 42Vemos que6es un divisor comn a ambos nmeros y es el mayor de los divisores comunes. Por lo tanto 6 es el Mximo Comn Divisor.

Ejercicios(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)1.- Calcula el MCM:

2.- Calcula el MCD:

NMEROS PRIMOS.

Elnmero primoes aqul que nicamente tiene como divisores exactos (al dividirlo por ellos el resto es igual a cero) el 1 y si mismo.En cambio, elnmero compuestoes aqul que tiene como divisores exactos, adems del 1 y de si mismo, otros nmeros.Por ejemplo:El nmero13esprimoporque slo tiene como divisores exactos el 1 y el 13.El nmero8escompuestoporque tiene otros divisores exactos: 1, 2, 4 y 8.Algunos nmeros primos son:1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...Algunos nmeros compuestos son:4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...REGLAS DE DIVISIBILIDADUn nmero es divisible por otro cuando el resto es cero.a) Un nmero es divisible por 2cuando termina en cifra par o en cero.Por ejemplo:42 : 2 = 21 (resto = 0)68 : 2 = 34 (resto = 0)126 : 2 = 63 (resto = 0)b) Un nmero es divisible por 3cuando la suma de sus cifras es 3 o mltiplo de 3.Por ejemplo:63 : 3 = 21 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 63 (6 +3) da 9 que es mltiplo de 3.138 : 3 = 46 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 138 (1+3+8) da 12 que es mltiplo de 3.564 : 3 = 188 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 564 (5+6+4) da 15 que es mltiplo de 3.c) Un nmero es divisible por 4cuando sus dos ltimas cifras son cero o son divisibles por 4.Por ejemplo:624 : 4 = 156 (resto = 0) Las dos timas cifras (24) son divisibles por 4.740 : 4 = 185 (resto = 0) Las dos timas cifras (40) son divisibles por 4.516 : 4 = 129 (resto = 0) Las dos timas cifras (16) son divisibles por 4.d) Un nmero es divisible por 5cuando termina en 0 o en 5.Por ejemplo:725 : 5 = 145 (resto = 0) Este nmero termina en 5.650 : 5 = 130 (resto = 0) Este nmero termina en 0.385 : 5 = 77 (resto = 0) Este nmero termina en 5.e) Un nmero es divisible por 9si al sumar sus cifras el resultado es mltiplo de 9.Por ejemplo:126 : 9 = 14 (resto = 0) La suma de sus cifras (1+2+6=9) es mltiplo de 9.369 : 9 = 41 (resto = 0) La suma de sus cifras (3+6+9=18) es mltiplo de 9.702 : 9 = 78 (resto = 0) La suma de sus cifras (7+0+2=9) es mltiplo de 9.

Ejercicios(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)1.- Indica cual de los siguientes nmeros es primo y cual es compuesto:

2.- Responde si es verdadero o falso:

FRACCIONES

La fraccin se utiliza para representar las partes que se toman de un objeto que ha sido dividido en partes iguales.Por ejemplo, dividimos una pizza en 8 partes iguales y cogemos tres. Esto se representa por la siguiente fraccin:

Los trminos de la fraccin se denominan: numerador y denominador.

Cmo se leen las fracciones? Se leen en funcin de cul es su denominador:1 / 2: un medio1 / 3: un tercio1 / 4: un cuarto1 / 5: un quinto1 / 6: un sexto1 / 7: un sptimo1 / 8: un octavo1 / 9: un noveno1 / 10: un dcimo1 / 11: un onceavo1 / 12: un doceavo1 / 13: un treceavoVeamos algunos ejemplos:

A cuantas unidades equivale una fraccin?Para calcularlo se divide el numerador entre el denominador:Por ejemplo:

Para ver a cuantas unidades equivale esta fraccin dividimos: 2 : 8 = 0,25Equivale a0,25 unidadesSi una fraccin tiene igual numerador y denominador representa la unidad.Por ejemplo, divido una tarta en 4 partes y me tomo las cuatro partes:

Qiere decir que me he tomado la totalidad de la tarta. (4 / 4) equivale a la unidad (a la tarta). Si dividimos4 : 4 =11.- Fracciones equivalentesDos fracciones son equivalentes cuando equivalen a las mismas unidades.Por ejemplo:

Estas dos fracciones son equivalente ya que equivalen a las mismas unidades:4 : 8 =0,5 unidades1 : 2 =0,5 unidadesCmo sabemos cuando dos fracciones son equivalentes?Para ello dividimos sus numeradores y sus denominadores, si guardan la misma proporcin es que son equivalente:Veamos un ejemplo:

Dividimos sus numeradores: 6 : 2 =3Dividimos sus denominadores: 9 : 3 =3Guardan la misma proporcin (3) luego estas dos fracciones son equivalentes.Podemos comprobarlo.Laprimera fraccinequivale a 6 : 9 =0,66 unidadesLasegunda fraccinequivale a 2 : 3 =0,66 unidadesVeamos ahora un ejemplo de dos fracciones que no son equivalentes:

Dividimos sus numeradores: 2 : 3 =0,66Dividimos sus denominadoress: 4 : 9 =0,44No guardan la misma proporcin luego estas dos fracciones no son equivalentes.Podemos comprobarlo.Laprimera fraccinequivale a 2 : 4 =0,50 unidadesLasegunda fraccinequivale a 3 : 9 =0,33 unidades2.- Comparacin de fraccionesCmo puedo saber si una fraccin es mayor o menor que otra?Para ello vamos a distinguir:Comparar fracciones con el mismo denominadorComparar fracciones con distinto denominadora) Comparar fracciones con el mismo denominadorEs mayor la fraccin que tenga mayor el numerador.

Podemos comprobar que 2 / 4 = 0,5 mientras que 1 / 4 = 0,25, luego la primera fraccin es mayor.Tambin podemos comprobar que 5 / 9 = 0,55 mientras que 3 / 9 = 0,33, luego la primera fraccin es mayor.b) Comparar fracciones con distinto denominadorEn este caso puede ocurrir que tengan el mismo numerador o no.b.1.-Si tienen el mismo numeradores mayor la que tenga menor denominador.

En este caso comprobamos que 8 / 3 = 2,66 mientras que 8 / 5 = 1,60, luego la primera fraccin es mayor.Tambin podemos ver que 6 / 2 = 3,00 mientras que 6 / 4 = 1,50, luego la primera fraccin es mayor.b.2.-Si tienen distinto numeradorentonces para poder comparalas hay que expresarlas con el mismo denominador:Si los dos trminos de una fraccin se multiplican por el mismo nmero la fraccin resultante es equivalente.Y por qu nmero multiplicamos cadafraccin? la primerafraccinla multiplicamos por el denominador de la segunda, y la segunda por el denominador de la primera.Veamos un ejemplo:

Para comparar estas dos fracciones, vamos a multiplicar los dos trminos de la primera fraccin por2(denominador de la segunda).

Podemos comprobar que al multiplicar numerador y denominador por el mismo nmero la fraccin no cambia: 3 / 7 = 0,428 mientras que 6 / 14 = 0,428.Y vamos a multiplicar los dos trminos de la segunda fraccin por7(denominador de la primera).

Ahora las dos fracciones ya tienen el mismo denominador, luego podemos compararlas:

Vemos que la segunda fraccin es mayor que la primera porque su numerador es mayor.b.3.-Si tienen distinto numeradortambin se pueden calcular fraciones con el mismo denominador utilizando el mtodo del Mnimo Comn Mltiplo.Vamos a verlo con un ejemplo:

Calculamos los mltiplos de cada denominador:Mltiplos de 10: 10, 20,30, 40, 50, 60, 70...Mltiplos de 15: 15,30, 45, 60, 75, 90...Hemo sealado en rojo el nmero 30 porque es un mltiplo comn de ambos nmeros y es el menor de los mltiplos comunes(por ejemplo, 60 tambin es un mltiplo comn pero es mayor que 30).Utilizaremos este Mltiplo Comn Mltiplo como denominador comn de ambas fracciones, pero para que las nuevas fracciones sean equivalentes a las anteriores tenemos que ajustar los numeradores Cmo lo hacemos?En la primera fraccin vamos a sustituir su denominador 10 por 30, en definitiva, vamos a multiplicar por 3 su antiguo denominador, luego para que la fraccin sea equivalente a la original tendremos tambin que multiplicar por 3 su numerador.En la segunda fraccin vamos a sustituir su denominador 15 por 30, por lo que vamos a multiplicarlo por 2, luego tendremos tambin que multiplicar por 2 su numerador.

Ya podemos comparar ambas fracciones:

Ejercicios(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)1.- Calcula las unidades a las que equivalen las siguientes fracciones:

2.- Indica si los siguientes pares de fracciones son equivalentes o no:

3.- Compara los siguientes pares de fracciones e indica cual es mayor y cual es menor:

OPERACIONES CON FRACCIONES.

1.- Fracciones de una cantidadPara calcular la fraccin de una cantidad se multiplica la cantidad por el numerador y se divide por el denominador.Veamos un ejemplo:

Multiplicamos 20 por el numerador:20 x 5 =100El resultado lo dividimos por el denominador:100 : 6 =16,66Luego:

2.- Suma y resta de fraccionesPara sumar y restar fracciones hay que distinguir entre:Fracciones con igual denominadorFracciones con distinto denominadora) Fracciones con igual denominadorEn este caso para sumar o restar fracciones se mantiene constante el denominador y se suman o restan sus numeradores.Veamos un ejemplo:

Sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

Veamos otro ejemplo:

Restamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

b) Fracciones con distinto denominadorEn este caso para sumar o restar fracciones:Lo primero que hay que hacer es buscar undenominador comna todas ellas.Luegosustituir las fracciones originales por fracciones equivalentescon este denominador comn.Ycmo se calcula este denominador comn?utilizaremos el mtodo delmnimo comn mltiplo(MCM).Una vez obtenido el denominador comn hay quecalcular las fracciones equivalentes. Para cada fraccin haremos lo siguiente.Sustituimos sudenominadorpor eldenominador comn.Calculamos sunumeradorde la siguiente manera:dividimos el denominador comn por el denominador originalde cada fraccin.El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original,obteniendo el numerador de la fraccin equivalente.Es ms fcil ver todo esto con un ejemplo:

Vamos a calcular las fracciones equivalentes:Primero calculamos eldenominador comn: si calculamos los mltiplos de 4, de 3 y de 5 vemos que el MCM es60.Ahora vamos a calcular el numerador equivalente de cada fraccin:Primera fraccin:Dividimos el denominador comn entre su denominador: 60 : 4 =15Multiplicamos este resultado por su numerador: 15 x 2 =30Segunda fraccin:Dividimos el denominador comn entre su denominador: 60 : 3 = 20Multiplicamos este resultado por su numerador: 20 x 6 =120Terecra fraccin:Dividimos el denominador comn entre su denominador: 60 : 5 =12Multiplicamos este resultado por su numerador: 12 x 3 =36Ya podemos sustituir las fracciones originales por sus fracciones equivalentes:

Y procedemos a la suma:

Ejercicios(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)1.- Resuelve la siguientes operaciones:

2.- Resuelve la siguientes operaciones:

PERACIONES CON FRACCIONES (cont.)

1.- Multiplicacin de fracciones.Para multiplicar fracciones:

Se multiplican sus numeradores y sus denominadores:

Vamos a ver otros ejemplos:

2.- Divisin de fracciones.Cuando se dividen 2 fracciones:

La fraccin resultante tendr:Comonumerador: el resultado de multiplicar elnmeradorde la primera por eldenominadorde la segunda.Comodenominador: el resultado de multiplicar eldenominadorde la primera por elnumeradorde la segunda.

Vamos a ver otros ejemplos:


2.- Resuelve las siguientes operaciones:

CUADRADO Y CUBO DE UN NMERO.

1.- El cuadrado.Elevar un nmero al cuadrado es multiplicarlo por s mismo.

En un nmero elevado al cuadrado se pueden distinguir:baseyexponente

La base es el nmero que se va a multiplicar por s mismo.El exponente es2e indica el nmero de veces que se repite la base en la multiplicacin.Veamos algunos ejemplos:

2.- El cubo.Elevar un nmero al cubo es multiplicar ese nmero 3 veces:

En un nmero elevado al cubo el exponente es 3:

Veamos otros ejemplos:


POTENCIA DE UN NMERO

Ya vimos en la leccin anterior el cuadrado y el cubo de un nmero. Se trata de dos casos particulares depotencia.Pero lo mismo que se puede elevar un nmero al cuadrado o al cubo, tambin se puede elevar a 4, a 7, a 10....Potencia de un nmeroes multiplicar dicho nmero por s mismo tantas veces como indique el exponente.

La potencia se lee "base elevado al exponente". Los 3 ejemplos anteriores se leen:2 elevado a 53 elevado a 45 elevado a 6Potencia en base 10Un caso particular de potencia es cuando la base es 10.

Como se puede apreciar en los ejemplos anteriores, en la potecia en base 10 el reultado siempre es igual a 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente.En el primer ejemplo un 1 seguido de 5 cerosEn el segundo ejemplo un 1 seguido de 4 cerosEn el tercer ejemplo un 1 seguido de 6 ceros


LA RAZ CUADRADA.

La raz cuadrada viene a ser la operacin contrara a elevar un nmero al cuadrado.Si elevar un nmero al cuadrado es multiplicarlo por si mismo, calcular la raz cuadrada de un nmero A es hallar aquel otro nmero B que al elevarlo al cuadradado da como resultado el primer nmero A.Todo esto quedar ms claro con un ejemplo:Si elevamos 7 al cuadrado:

La raz cuadrada de 49 es aquel nmero que al multiplicarlo por si mismo da como resultado 49, y ese nmero es 7.

Como se puede ver en el ejemplo, el smbolo que representa la raz cuadrada es parecido a la "V" y se pone delante del nmero.Vamos a practicar un poco:

Los ejemplos anteriores son de races cuadradas exactas, porque los resultados son nmeros enteros sin decimales.Pero aunque no lo vamos a estudiar en este curso, tambin hay races cuadradas cuyo resultado es un nmero con decimales.


EL PORCENTAJE.

El pocentaje nos dice qu parte de un total representa una cantidad. Y lo hace representando el total por el valor 100 y calculando de esos 100 cuanto correspondera a la cantidad que estamos analizando.Por ejemplo:Si hay 10 coches aparcados y 3 son de colo amarillo, Qu porcentaje (que parte del total) representan estos 3 coches?El total (los 10 coches aparcados) se considera que es el 100 por cien (se representa por 100 %).Para calcular el porcentaje que representan los 3 coches amarillos:Se divide el nmero de cohes amarillos entre el total de coches y se multiplica por 100 (para expresarlo en porcentaje):3 : 10 = 0,30,3 x 100 =30 %Los 3 coches amarillos representan el30%de los coches aparcados.Veamos otros ejemplos:En una familia de 6 hermanos 4 son rubios Qu porcentaje representan del total de los hermanos?4 : 6 = 0,6660,66 x 100 =66,6 %Un equipo ha jugado 15 partidos y ha ganado 6 Qu porcentaje representan los partidos ganados sobre el total6 : 15 = 0,40,4 x 100 =40%1.- Calcular el porcentaje de una cantidadPara calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica dicha cantidad por el porcentaje y se divide por 100.El 20% de 50 = (50 x 20) / 100 =10Veamos otros ejemplos:Calcular el 15% de 200:(200 x 15) / 100 =30Calcular el 25% de 8:(8 x 25) / 100 =2Calcular el 60% de 120:(120 x 60) / 100 =722.- Aumentar / disminuir una cantidad en un porcentajePara aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje se calcula cuanto representa dicho porcentaje de esa cantidad y se le suma o resta a la cantidad inicial.Por ejemplo: aumentar 60 en un 20%.1.- Calculamos cuanto representa el 20%:(60 x 20) / 100 =122.- Se lo sumamos al importe inicial:60 + 12 =72Veamos otros ejemplos:Disminuir 50 en un 10%.1.- Calculamos cuanto representa el 10%:(50 x 10) / 100 =52.- Se lo restamos al importe inicial:50 - 5 =45Aumentar 120 en un 30%.1.- Calculamos cuanto representa el 30%:(120 x 30) / 100 =362.- Se lo restamos al importe inicial:120 + 36 =156

Ejercicios(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)1.- Calcula los siguientes porcentajes:

2.- Resuelve los siguientes problemas:

3.- Resuelve los siguientes problemas:

cálculo con varias operaciones

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