calculo completo edificio

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ES-013 Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado São Paulo agosto - 2001

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Page 1: Calculo Completo Edificio

ES-013

Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado

São Paulo agosto - 2001

Page 2: Calculo Completo Edificio

1 – Introdução, Critérios de Projeto, Concepção Estrutural e Carregamento Atuante

1.1 Introdução O presente curso tem por objetivo a elaboração do projeto completo de um edifício real construído em concreto armado. O edifício é composto por um térreo, 14 pavimentos tipo, cobertura, casa de máquinas e caixa d’água superior. O projeto de arquitetura original é de um edifício com oito pavimentos tipo, de autoria do Arq. Henrique Cambiaghi Filho, com desenhos de Paulo Kurihara. Este curso foi inicialmente apresentado na FDTE (Fundação para o Desenvolvimento Tecnológico da Engenharia), em São Paulo, pelos engenheiros: Lauro Modesto dos Santos (Coordenador); Ricardo Leopoldo e Silva França; Hideki Hishitani; Claudinei Pinheiro Machado;

e foi atualizado em 2001 pelos engenheiros: Ricardo Leopoldo e Silva França; Túlio Nogueira Bittencourt; Rui Nobhiro Oyamada; Luís Fernando Kaefer; Umberto Borges; Rafael Alves de Souza.

O conteúdo teórico deste curso foi desenvolvido com o objetivo de dar subsídios para o cálculo do edifício exemplo. Desta forma, abordaremos todos os tópicos sucintamente, considerando que os participantes do curso devem possuir outros conhecimentos para cursá-lo, adquiridos em outras cadeiras do programa de Especialização em Estruturas, ou possam adquiri-los consultando a bibliografia indicada. Além disso, será abordada apenas uma opção de estruturação do edifício, deixando para o aluno investigar outras hipóteses.

1.1.1 Forma de avaliação O sistema de avaliação será constituído por diversos exercícios relativos às várias etapas do projeto do edifício exemplo que deverão ser desenvolvidos em equipe. Desta forma, na primeira aula, os participantes do curso serão divididos em equipes de no máximo quatro integrantes.

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Os exercícios terão seu desenvolvimento iniciado em sala de aula, e deverão ser concluídos em horário extraclasse, devendo ser entregues no dia em que novo exercício, versando sobre etapa subseqüente do projeto, é distribuído. Portanto, a avaliação será efetuada por meio da realização de 4 exercícios relativos aos seguintes tópicos: 1 – Cálculo e detalhamento de lajes 2 – Cálculo e detalhamento de vigas 3 – Cálculo e detalhamento de pilares 4 – Cálculo e detalhamento da escada, caixa d’água e fundações

1.1.2 Corpo Docente do Curso Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França, D.Sc. EPUSP, (França e Associados, EPUSP) Prof. Túlio Nogueira Bittencourt, Ph.D. Cornell University, (EPUSP) Eng. Rui Nobhiro Oyamada, M.Sc. (doutorando EPUSP) Eng. Luís Fernando Kaefer, M.Sc. (doutorando EPUSP) Apoio: Eng. Umberto Borges, M.Sc. (doutorando EPUSP) Eng. Rafael Alves de Souza, M.Sc. (doutorando EPUSP)

1.1.3 Bibliografia Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR6118 – Projeto e Execução de Obras

de Concreto Armado. Rio de Janeiro, 1978. Associação Brasileira de Normas Técnicas. Projeto de Revisão da NBR6118. Rio de

Janeiro, 2001. Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR6120 – Cargas para o Cálculo de

Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro, 1980. Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR6123 – Forças Devidas ao Vento em

Edificações. Rio de Janeiro, 1988. Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR7480 – Barras e Fios de Aço

Destinados a Armaduras para Concreto Armado. Rio de Janeiro, 1996. FUSCO, P. B. Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto. São Paulo. Ed. Pini,

1995. FUSCO, P. B. Estruturas de Concreto: Solicitações Normais. Rio de Janeiro, Ed.

Guanabara Dois, 1986.

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LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de Concreto – vol. 1, 2 e 3. Ed. Interciência. Rio de Janeiro, 1978.

Apostilas das Disciplinas PEF311/PEF312 (Concreto I e II) da EPUSP. Notas de Aula da Disciplina ES-013.

1.2 Dados Gerais e Critérios de Projeto

1.2.1 Informações sobre o local de construção O local de construção deve ser indicado, para que levantemos as características do terreno, para a determinação do carregamento de vento atuante sobre o edifício. Local de Construção: Butantã – São Paulo – SP Terreno plano em local coberto por obstáculos numeroso e pouco espaçados. Agressividade do meio ambiente baixa.

1.2.2 Materiais estruturais utilizados O projeto de revisão da NBR6118 recomenda, tendo em vista questões referentes à durabilidade das estruturas de concreto, que se utilize sempre concretos com resistência característica à compressão (fck) superior a 20 MPa (concreto C20) para estruturas executadas em concreto armado e 25 MPa (C25) para estruturas protendidas. A escolha do fck do concreto depende também de uma análise de custo, escolhendo-se uma resistência que minimize o custo por MPa. Tendo-se em vista escolha do aço estrutural, segundo o projeto em discussão da NBR6118 não há mais a possibilidade de utilização dos aços classe B. Desta forma, utilizaremos o aço CA50A, doravante denominado CA50. Materiais Estruturais Utilizados: Concreto C25 Aço CA50

1.2.3 Propriedades do concreto

1.2.3.1 Massa específica A massa específica do concreto armado, para efeito de cálculo, pode ser adotada como sendo de 2500 kg/m3.

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Page 5: Calculo Completo Edificio

1.2.3.2 Coeficiente de dilatação térmica Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido como sendo igual a 10-5 /ºC.

1.2.3.3 Resistência à tração Na falta de ensaios, a resistência à tração pode ser avaliada por meio das equações ( 1.1 ) a ( 1.3 ) (NBR6118/2001).

32

ckctm f3,0f ⋅= (fctm, fck,inf, fctk,sup e fck em MPa) ( 1.1 )

ctminf,ctk f7,0f ⋅= ( 1.2 )

ctmsup,ctk f3,1f ⋅= ( 1.3 ) A NBR6118/78 prescreve o seguinte valor para fctk:

>+⋅≤⋅

=MPa18fpara7,0f06,0MPa18fparaf1,0

fckck

ckckctk (fctk e fck em MPa)

( 1.4 )

Para o concreto utilizado neste projeto, resultam os seguintes valores:

56,2fctm = MPa 79,1f inf,ctk = MPa 33,3f sup,ctk = MPa

20,2fctk = MPa

1.2.3.4 Módulo de elasticidade Na ausência de dados experimentais sobre o módulo de elasticidade inicial do concreto utilizado, na idade de 28 dias, o projeto de revisão da NBR6118 permite estimá-lo por meio da equação ( 1.5 ).

28000f5600E ckci =⋅= MPa ( 1.5 )

O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para a determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado por ( 1.6 ). Entretanto, na avaliação do comportamento global da estrutura permite-se utilizar em projeto o módulo inicial fornecido pela equação ( 1.5 ).

23800f4760E85,0E ckccs =⋅=⋅= MPa ( 1.6 )

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 5

Page 6: Calculo Completo Edificio

A NBR6118/78 prescreve outra expressão para o cálculo do módulo de elasticidade do concreto à compressão, no início da deformação efetiva, correspondente ao primeiro carregamento:

352345,3f6600E ckc =+⋅= MPa ( 1.7 )

Na flexão, quando a deformação lenta for nula ou desprezível (carregamento de curta duração), o módulo de elasticidade Ec a ser adotado pela NBR6118/78 é o módulo secante do concreto (Ecs), suposto igual a 0,9 do módulo na origem:

317105,3f5940E ckcs =+⋅= MPa ( 1.8 )

Em média, os módulos de elasticidade inicial e secante das novas estruturas de concreto estão, respectivamente, 20% e 25% menores que os módulos definidos pela NBR6118/78. Este fato se deve à evolução dos cimentos, que permitem que se obtenha concretos com grande resistência com teores menores de cimento, o que por outro lado torna a estrutura interna do material menos compacta e, conseqüentemente, as estruturas como um todo mais flexíveis.

1.2.3.5 Diagrama tensão-deformação (de cálculo) Para o cálculo das áreas de armadura necessárias será utilizado o diagrama retangular simplificado da NBR6118/78, o qual ilustrado na Figura 1.1, bem como uma deformação última de compressão de concreto igual a 3,5‰. 0,85 fcd

M

0,8 x

Figura 1.1 – Diagrama tensão-deformação (de cálculo) do concreto

1.2.3.6 Coeficiente de Poisson O coeficiente de Poisson adotado é igual a 0,2.

1.2.3.7 Diâmetro máximo do agregado e do vibrador O agregado graúdo utilizado tem diâmetro máximo de 19mm (brita 1) e o vibrador tem diâmetro máximo de 30 mm.

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Page 7: Calculo Completo Edificio

1.2.4 Propriedades do aço

1.2.4.1 Massa específica Pode-se assumir para a massa específica do aço o valor de 7850 kg/m3.

1.2.4.2 Coeficiente de dilatação térmica O coeficiente de dilatação térmica do aço vale 10-5/ºC para intervalos de temperatura entre -20oC e 150ºC.

1.2.4.3 Módulo de elasticidade Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, admite-se o módulo de elasticidade do aço igual a 210 GPa (NBR6118).

1.2.4.4 Diagrama tensão-deformação Para o aço utilizado, o diagrama tensão-deformação adotado é o mostrado na Figura 1.2.

σsd

10‰

arctg Es

diagrama de cálculo

εyd

fyk fyd εsd

Figura 1.2 – Diagrama tensão-deformação do aço

1.2.4.5 Características de ductilidade Admite-se que a tensão de ruptura fstk do aço utilizado seja no mínimo igual a 1,10 fyk, atendendo aos critérios de ductilidade da NBR7480.

1.2.4.6 Coeficiente de conformação superficial O coeficiente de conformação superficial ηb é considerado igual a 1,5.

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Page 8: Calculo Completo Edificio

1.2.5 Cobrimento da armadura Para este edifício, serão seguidas as recomendações do projeto de revisão da NBR6118 para a escolha da espessura da camada de cobrimento da armadura. A Tabela 1.1 apresenta os cobrimentos nominais (cobrimento mínimo + tolerância de execução = 10mm) a serem exigidos para diferentes tipos de elementos estruturais, visando a garantir um grau adequado de durabilidade para a estrutura. Tabela 1.1 - Classes de agressividade e cobrimento nominal segundo o texto de revisão da NBR6118

O edifício exemplo deste curso encontra-se em uma classe de agressividade ambiental do tipo I (ver Tabela 1.1). Desta forma, adota-se um cobrimento mínimo de 2,0cm para as lajes e 2,5cm para as vigas e os pilares.

1.3 Projeto Arquitetônico A seguir apresentamos as elevações, cortes e plantas baixas que compõem o projeto arquitetônico do edifício. Os desenhos estão fora de escala.

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Figura 1.3 – Elevação frontal

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Figura 1.4 – Elevação lateral

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300

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

275

175

275

200

Figura 1.5 – Corte B-B

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Figura 1.6 – Corte A-A

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Proj

eção

do

Edifí

cio

Esta

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cion

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2420

1155

50

260

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120

110

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171

8

171

15

455 50 63515

251205512015

33515

16515

457241457

47014051515

15

A

B B

3 Figura 1.7 – Térreo

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2420

65

120

100

1510

120

130

1540

180

401510

120

40

15

350

15

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120

10

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1015

100

120

40

25

260

15

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15

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15

170

15

120

110

120

15

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25

457241457

1155

60 48

25

48 60

30715

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1205512015

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152100

79

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35.5

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rio

HAL

LA

B B

Figura 1.8 – Pavimento-Tipo

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 14

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79

1515165 185

100

35.5

35.5

10015135

152

12015

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15

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25

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25

241

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15

260

25

A

B B

Figura 1.9 – Cobertura

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 15

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Casa de Máquinas

Caixa D´Água

171165

1515185

171

8

15135 120

15

15

120

110

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15

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865

380

2529515

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15

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15

15

15

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10

10

6010 10

380

20

20

AA

A

320

15

515

15

B B

B B

B B

Cobertura da Caixa D´Água

Figura 1.10 – Ático

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Page 17: Calculo Completo Edificio

1.4 Lançamento da Estrutura O lançamento dos elementos estruturais é realizado sobre o projeto arquitetônico. Ao lançar a estrutura devemos ter em mente vários aspectos: Estética: devemos sempre procurar esconder ao máximo a estrutura dentro das

paredes; Economia: deve-se lançar a estrutura pensando em minimizar o custo da

estrutura. A economia pode vir da observação de vários itens: o Uniformização da estrutura, gerando fôrmas mais simples, menor número de

reformas das fôrmas (o que reduz o custo com fôrmas e maior velocidade de execução);

o Compatibilidade entre vãos, materiais e métodos utilizados (ex.: o vão econômico para estruturas protendidas é maior do que o de estruturas de concreto armado);

o Caminhamento o mais uniforme possível das cargas para as fundações. Apoios indiretos, de vigas sobre vigas e transições devem ser evitadas ao máximo, pois acarretam um maior consumo de material.

Funcionalidade: um aspecto funcional importante é o posicionamento dos pilares

na garagem. Em virtude da necessidade crescente de vagas para estacionamento, deve ser feita uma análise minuciosa nos pavimentos de garagem, de modo a aumentar ao máximo a quantidade de vagas, sempre procurando obter vagas de fácil estacionamento (considerando vagas com 2,50x5,50m, um bom aproveitamento pode ser obtido espaçando os pilares a cada 4,80 ou 5,0m, ou a cada 7,2 a 7,5m, evitando posicioná-los nas extremidades das vagas);

Resistência quanto aos esforços horizontais: ao lançarmos a estrutura

devemos procurar estabelecer uma estrutura responsável por resistir aos esforços horizontais atuantes na estrutura (vento, desaprumo, efeitos sísmicos). Esta estrutura pode ser composta por um núcleo estrutural rígido, composto por pilares de grande inércia das caixas de escadas e elevadores, ou por pórticos (planos ou espaciais) formados pelas vigas (ou às vezes lajes) e pilares do edifício.

Neste curso, foi adotada inicialmente a opção de fôrmas mostrada na Figura 1.11. Os pilares obedecem a uma disposição econômica visando à obtenção de vãos entre 4m e 6m para as vigas, respeitando as condições de arquitetura, tanto no pavimento-tipo quanto no andar térreo. Se necessário, esta planta inicial pode ser ligeiramente alterada em função da análise do carregamento devido ao vento e a conseqüente verificação da estabilidade global do edifício. A Figura 1.12 mostra um corte esquemático com as dimensões (em cm) entre pisos e as espessuras adotadas para as camadas de revestimento das lajes.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 17

Page 18: Calculo Completo Edificio

Figura 1.11 – Fôrmas do pavimento-tipo (planta inicial)

P18

P13P7P1

P2

P19

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0

P3P4

P11

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P5P6

V1(1

9/55

)V2

(19/

55)

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V6(1

2/55

)

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/55)

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2-19

/55)

V7(1

2/55

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55)

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5)

V12(

19/5

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V14(19/55)V15(19/55)

V16(12/55)

V17(12/55)

V18(12/55)

V19(10/40)

V20(12/55)

V21(12/55)

V23(19/55)V24(19/55)

(19/

40)

(40/

19)

(20/

40)

(20/

40)

(40/

19)

(19/

40)

(19/

40)

(20/

40)

(20/

40)

(20/

40)

(20/

40)

(20/

40)

(20/

40)

(40/

19)

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40)

(19/

40)

(40/

19)

(19/

40)

(19/

40)

(19/

40)

(20/

40)

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10cm

L2h=

10cm

L3h=

10cm

L5h=

7cm

L7h=

10cm

L6h=

7cm

L8h=

10cm

L9h=

10cm

LE

L10

h=10

cmL1

1h=

10cm

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19/5

5)VE

(19/

55)

V22(12/55)L4h=

10cm

357,0373,0

468,0

357,0

468,0

551,0

Y

X

280,0

271,0

157,0

200,0

138,0

280,0

271,0

178,5

178,5

P17

P8'

P8

P20

P21

P22

P14

P15

P12

(20/

40)

(20/

40)

P11'

(20/

40)

470,0

541,0

470,0

541,0

411,0287,0411,0

411,0287,0411,0

478,0

541,0

478,0

541,0

155,0

236,0 318,5

442,5245,0442,5

551,0

266,0288,5

442,5245,0435,0

288,5 318,5166,0 100,0 236,0

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Page 19: Calculo Completo Edificio

Figura 1.12 – Corte esquemático entre dois pisos consecutivos

1.5 Pré-Dimensionamento da Estrutura do Edifício

o dimensionamento das estruturas temos um paradoxo: a geometria dos elementos

esta forma, precisamos estabelecer um pré-dimensionamento da estrutura, ou seja,

efinido o esquema estrutural, procedemos ao pré-dimensionamento dos elementos da

Pré-dimensionamento das lajes; com base nas cargas verticais).;

lvenaria, cargas

s cargas verticais provenientes do ático; s verticais);

o vento e do

ximada) da estrutura (parâmetros α e γz);

ior rigidez, caso necessário, tendo como base as duas análises anteriores.

Nestruturais é definida para suportar os esforços solicitantes, entretanto, só podemos obter os esforços solicitantes após definirmos a geometria da estrutura, determinando seu peso próprio e a rigidez dos diversos elementos estruturais. Ddeterminar a geometria aproximada dos elementos estruturais, que será utilizada numa análise preliminar, quando então seremos capazes de efetuar os ajustes necessários, determinando a geometria final e conseqüentemente o carregamento real que nos permite o dimensionamento das armaduras. Dseguinte maneira:

Pré-dimensionamento das vigas ( Estimativa do carregamento vertical (peso próprio, revestimento, a

acidentais decorrentes da utilização da estrutura), distribuído pela área de laje dos pavimentos; Estimativa da

Pré-dimensionamento dos pilares (com base nas carga Estimativa dos carregamentos horizontais devidos à ação d

desaprumo global do edifício; Determinação da rigidez (apro

Determinação da flecha (aproximada) do edifício sob cargas de serviço; Correção do pré-dimensionamento da estrutura para provê-la de ma

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 19

Page 20: Calculo Completo Edificio

1.5.1 Pré-dimensionamento das lajes A altura útil d da laje pode ser estimada pMACHADO:

ela expressão empírica sugerida por

( ) ( )memcom),cm(n1,05,2d ** ll−≅

nde, o n = número de bordas engastadas da laje

* = o menor dos dois valores , sendo l0

y

x

7, l

lyx ll ≤

( 1.9 )

ou ainda p la exp

e ressão:

l

40h x= , com yx ll ≤ ( 1.10 )

O pré-dimensionamento deve respeitar as espessuras mínimas definidas na NBR6118 e expressas na Tabela 1.2.

inalidade Espessura mínima

Tabela 1.2 – Espessuras mínimas de lajes (segundo a NBR6118/78)

Flajes de cobertura não em balanço 5 cm lajes de piso e lajes em balanço 7 cm lajes destinadas à passagem de veículos 12 cm

1.5.1.1 Aplicação ao edifício exemplo

Para estruturas convencionais de edifícios residenciais, podemos considerar que o vão das vigas que as apóiam. Desta forma,

eterminamos os vãos l e l e procedemos ao pré-dimensionamento das lajes, cujas

aje lx (m) ly (m) 0,7 ly (m) l* (m) n(*) d (cm) h (cm)

teórico das lajes se prolonga até o eixod x ydimensões adotadas estão mostradas na Tabela 1.3.

Tabela 1.3 – Pré-dimensionamento das lajes

LL1=L4=L8=L11 4,32 5,55 3,89 3,89 1 9,4 10 L2=L3=L9=L10 4,60 5,65 3,96 3,96 9,2 10 2 L5=L6 2,73 2,75 1,93 1,93 3 4,2 7 L7 3,50 3,65 10

(*) a determinação d ição oio da de u je se disc no ca ulo ajes.

mente, avaliando as cargas atuantes.

a cond de ap borda ma la rá utida pítde l As lajes da caixa d´água e da casa de máquinas devem ser pré-dimensionadas separada

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 20

Page 21: Calculo Completo Edificio

1.5.2 Pré-dimensionamento das vigas A altura das vigas pode ser calculada pela expressão:

llh a=5,1210

, com hmín = 25cm ( 1.11 )

onde l é o vão da viga (normalmente, igual à distância entre os eixos dos pilares de apoio).

ara vigas contínuas com vãos adjacentes de dimensões comparáveis (2/3 a 3/2),

largura da viga é em geral definida pelo projeto arquitetônico e pelos materiais e

pre que possível levar em conta o tipo de tijolo de revestimento utilizado e a espessura final definida pelo arquiteto.

) Definição da altura das vigas Seguindo a expressão ( 1.11 ) obteríamos vigas com 40 a 45cm de altura. Entretanto,

m v pórticos de contraventamento, é necessário ue elas possuam uma inércia maior. Desta forma, padronizaremos a altura de todas as

cm de largura e revestimento em argamassa com 3cm de espessura em ada face da parede e que as paredes com 15cm sejam construídas com blocos com

rgamassa com 1,5cm de espessura em cada face.

Espessura da Parede Largura da viga

Pcostuma-se uniformizar a altura das vigas. Atécnicas utilizados pela construtora. Desta forma, quando a viga ficar “embutida” em paredes de alvenaria, sua largura deve seme

1.5.2.1 Aplicação ao edifício exemplo a

tendo e ista que as vigas participarão deqvigas em 55cm. b) Definição da largura das vigas Admite-se que as paredes com 25cm de espessura sejam executadas com blocos cerâmicos de 19c12cm de largura e revestimento em a Assim sendo:

Tabela 1.4 – Largura das vigas

25cm 19cm 15cm 12cm

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 21

Page 22: Calculo Completo Edificio

1.5.3 Estimativa das cargas verticais para o pré-dimensionamento

a) Peso Próprio

r da somatória do volume de concreto de todos os elementos estruturais do pavimento

lares) pela área do pavimento.

O peso próprio pode ser estimado multiplicando o peso específico do concreto a mado pela espessura média do pavimento, que é obtida a partir da divisão

(lajes, vigas e pi

cpav,médiaepp γ⋅= ( )

pavlajes,concrpilares,concrvigas,concr VVVe

K+++=

( 1.12 )

pavpav,média A

Para edifícios residenciais, esta espessura média pode ser estimada em 17cm para as dependências e 20cm para as escadas.

b) Revestimento

essura dos revestimentos pelos valores tabelados na norma NBR6120/80 – Cargas para o Cálculo de Estruturas de

c) Carga Acidental

nciais (para efeito de pré-dimensionamento) podemos utilizar

d)

o peso de todas as paredes do pavimento pela área do pavimento.

e) rminação do carregamento do ático, devemos considerar o carregamento

evido à água armazenada na caixa d´água, a carga acidental introduzida pelos levadores e o peso próprio da estrutura (pilares, lajes, vigas, caixa d´água).

O peso próprio do revestimento das lajes (piso, contra-piso, reboco, etc) pode ser obtido de maneira exata multiplicando a esp

Edificações. Considerando revestimentos convencionais podemos, para fins de pré-dimensionamento, estimar a carga devida ao revestimento entre 0,5 e 1,0 kN/m2.

O carregamento acidental é tabelado na NBR6120/80 conforme a utilização da edificação e da finalidade do compartimento.

Em edifícios reside1,5 kN/m2 para todas as lajes, excetuando-se as lajes do fundo da caixa d’água e da casa de máquinas.

Alvenaria O carregamento distribuído devido às paredes de alvenaria pode ser obtido da divisão da somatória d

Para edifícios residenciais, com alvenaria de blocos cerâmicos e espessura de parede de 15cm, podemos estimar o valor deste carregamento entre 3,0 e 5,0 kN/m2. Ático Na detede

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 22

Page 23: Calculo Completo Edificio

1.5.3.1 a) Pa

Aplicação ao edifício exemplo

vimento Tipo

2mkN

d,méd

k,méd

1,1575,104,1p75,10p

0,45,1

25,42517,0pp

=⋅==∴

==

=⋅=

0,1rev ==qalv ==

b) Ático Cobertura da Caixa D´Água

Caixa D´Água

kN1,2762,1974,1pkN2,197p

0gua

kN7,65kN9,32kN6,98pp

d,água´d.cx.cob

k,água´d.cx.cob

=⋅==∴==

=====

rev =q

0alv ==á

Casa de Máquinas

kN2,11824,8444,1pkN4,844pkN6,516gua

000rev

kN8,327pp

d,água´d.cx

k,água´d.cx

=⋅==∴=========

qalv =á

kN8,8787,6274,1pkN7,627p

0guakN5,131kN9,298

kN9,32revkN4,164pp

d.,máqdecasa

k.,máqdecasa

=⋅==∴=========

qalv =á

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 23

Page 24: Calculo Completo Edificio

Carga Total do Ático

nte, o ático será sustentado por 6 pilares (P9=P10, P15=P16 e 21=P22), regularmente espaçados. Desta forma, para efeito de pré-dimensionamento,

distribuiremos o carregamento do ático uniformemente nos 6 pilares.

kN0,23373,16694,1pkN3,1669p

kN7,627MáquinasdeCasakN4,844Água´D.CxkN2,197Água´D.Cx.Cob

d,ático

k,ático

=⋅==∴======

omo veremos adiaC

P

kN2,2786

3,1669p k,pilar/ático ==

kN5,3896

2,16694,1p d,pilar/ático =⋅

=

1.5.4 Determinação do carregamento horizontal

1.5.4.1 Vento

determinação do carregamento proveniente da ação do vento pode ser feita por rmulas aproximadas ou por meio da metodologia da NBR6123/88.

.1

ados:

Afó

1.5.4.1 Aplicação ao edifício exemplo D

→ São Paulo/SP) 1 = 1,00 (terreno plano ou fracamente acidentado)

(Subúrbio densamente construído de grandes cidades e dimensão da 0 e 50m)

3 = 1,00 (edificação para residências)

v0 = 40 m/s (localidade s

= 85,0b

== 80Fs r2 edificação compreendida entre 2

= 13,0p9,

s

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 24

Page 25: Calculo Completo Edificio

Coeficiente de Arrasto (Ca) Vento n d

Vento na direção paralela ao eixo y:

(para o cálculo de Ca, desconsideramos a presença do ático) A Tabelas 1.5 e 1.6 mostram a determinação das forças devidas ao vento no edifício.

zontais de vento atuantes na direção x

Andar Cota Piso

Cota Média 2

vk (m/s)

wk (kN/m2)

A,exp (m2)

Wk,médio (kN)

Mbase (kNm)

Wk (kN)

a ireção paralela ao eixo x:

0,1Cm14,24Im49,11I

a2

1

=⇒

=

=

m48h =

36,1Cm49,11I a2 =⇒=

m50,41h

=

s

m14,24I1 =

Tabela 1.5 – Cálculo das forças hori

Cob Cx D´Água 48,00 47,00 1,011 40,43 1,002 17,21 17,25 827,8 8,62 Cx D´Água 46,00 44,63 1,004 40,17 0,989 23,66 23,41 1076,7 20,33 Cob C 0 635,9 19,06 Máq 43,25 42,38 0,998 39,91 0,976 15,06 14,7Cob 41,50 40,13 0,991 39,64 0,963 31,60 30,44 1263,1 22,57 14o 38,75 37,38 0,982 39,29 0,946 31,60 29,90 1158,6 30,17 13o 36,00 34,63 0,973 38,92 0,928 31,60 29,33 1056,0 29,62 12o 29,03 33,25 31,88 0,963 38,52 0,909 31,60 28,73 955,411o 30,50 0,952 38,08 0 ,60 ,09 ,8 28,41 29,13 ,889 31 28 856

26,38 ,940 37,61 0,867 31,60 27,40 760,5 27,75 09 o 25,00 23,63 0,928 37,10 0,844 31,60 26,66 666,5 27,03 08 o 22,25 20,88 0,913 36,53 0,818 31,60 25,85 575,1 26,25 07 o 19,50 18,13 0,897 35,89 0,790 31,60 24,95 486,5 25,40 06 o 16,75 15,38 0,879 35,16 0,758 31,60 23,95 401,1 24,45 05 o 14,00 12,63 0,858 34,31 0,721 31,60 22,79 319,1 23,37 04 o 11,25 9,88 0,832 33,27 0,678 31,60 21,44 241,2 22,12 03 o 8,50 7,13 0,798 31,94 0,625 31,60 19,76 167,9 20,60 02 o 5,75 4,38 0,751 30,05 0,553 31,60 17,49 100,6 18,62 01 o 3,00 1,50 0,657 26,29 0,424 34,47 14,60 43,8 16,04 T 0,00 M 1base,tot= 1592,7 7,30

10o 27,75 0

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 25

Page 26: Calculo Completo Edificio

Tabela 1.6 – Cálculo das forças horizontais de vento atuantes na direção y

Andar Cota Piso

Cota Média s2

vk (m/s)

wk (kN/m2)

A,exp (m2)

Wk,médio (kN)

Mbase (kNm)

Wk (kN)

Wk/2 (kN)

Cob Cx D´Água 48,00 47,00 1,011 40,43 1,002 7,2 9,81 471,0 4,91 2,45 Cx D´Água 46,00 44,63 1,004 40,17 0,989 9,9 13,32 612,6 11,57 5,78 Cob C Máq 43,25 42,38 0,998 39,91 0,976 38,1 50,64 2190,4 31,98 15,99Cob 41,50 40,13 0,991 39,64 0,963 66,4 86,96 3609,0 68,80 34,4014o 38,75 37,38 0,982 39,29 0,946 66,4 85,43 3310,5 86,20 43,1013o 36,00 34,63 0,973 38,92 0,928 66,4 83,82 3017,4 84,62 42,3112o 33,25 31,88 0,963 38,52 0,909 66,4 82,10 2729,8 82,96 41,4811o ,18 40,5930,50 29,13 0,952 38,08 0,889 66,4 80,27 2448,2 8110o 0,940 3 0 2172,9 79,2927,75 26,38 7,61 ,867 66,4 78,30 39,64

23,63 37,10 0,844 66,4 76,18 1904,4 77,24 38,6208o 22,25 20,88 0,913 36,53 0,818 66,4 73,86 1643,3 75,02 37,5107o 19,50 18,13 0,897 35,89 0,790 66,4 71,29 1390,2 72,57 36,2906o 16,75 15,38 0,879 35,16 0,758 66,4 68,42 1146,0 69,86 34,9305o 14,00 12,63 0,858 34,31 0,721 66,4 65,13 911,8 66,78 33,3904o 11,25 9,88 0,832 33,27 0,678 66,4 61,25 689,1 63,19 31,6003o 8,50 7,13 0,798 31,94 0,625 66,4 56,45 479,8 58,85 29,4302o 5,75 4,38 0,751 30,05 0,553 66,4 49,97 287,3 53,21 26,6101o 3,00 1,50 0,657 26,29 0,424 72,4 41,71 125,1 45,84 22,92T 0,00 M base,tot= 29139,0 20,86 10,43

1.5.4.2 Co r das p õ ns vas

terminaçã m p e d rum bal ru o r conforme c e e d ad nest o, ç rminação d ar e a s

.5.4.2.1 Aplicação ao edifício exemplo

o edifício, considerando para nto a altura total do edifício e o menor número de pilares em uma fileira (na direção Y:

nside ação im erfeiç es co truti A de o do carrega ento roveni nte do esap o glo da est tura p de sefeita oo pr edim nto qu será escrito mais iante e text na se ão dedete as c gas v rticais tuante .

09o 25,00 0,928

1

Apresentamos a seguir o cálculo da inclinação acidental dtapilares P2, P8, P18). Verifica-se que se deve usar a inclinação mínima para a consideração do desaprumo nas direções x e y.

)sdeslocáveiestruturasara16931

m481001

3n1

1a

1

=θ=

==

=

=

θ

p(30011

mín,aa =θ=θ→+

l

8482

θ

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 26

Page 27: Calculo Completo Edificio

Tabela 1.7 – Cálculo das forças horizontais equivalentes à inclinação acidental global

Direção Y Direção X Andar Cota Piso Pd,andar/2 Fi/2 Md,base/2 Fi Md,base

Cob Cx D´Água 48,00 138,0 0,46 22,1 0,92 44,2 Cx D´Água 46,00 591,1 1,97 90,6 3,94 181,3 Cob C Máq 43,25 439,4 1,46 63,3 2,93 126,7 Cob 41,50 714,4 2,38 98,8 4,76 197,7 14o 38,75 952,6 3,18 123,0 6,35 246,1 13o 36,00 952,6 3,18 114,3 6,35 228,6 12o 33,25 952,6 3,18 105,6 6,35 211,2 11o 30,50 952,6 3,18 96,8 6,35 193,7 10o 27,75 952,6 3,18 88,1 6,35 176,2 09o 25,00 952,6 3,18 79,4 6,35 158,8 08o 22,25 952,6 3,18 70,7 6,35 141,3 07o 19,50 95 ,6 3,18 9 6,35 ,8 2 61, 123

952,6 3,18 53,2 106,4 05o 14,00 952,6 3,18 44,5 6,35 88,9 04o 11,25 952,6 3,18 35,7 6,35 71,4 03o 8,50 952,6 3,18 27,0 6,35 54,0 02o 5,75 952,6 3,18 18,3 6,35 36,5 01o 3,00 952,6 3,18 9,5 6,35 19,1 T 0,00 952,6 3,18 0,0 6,35 0,0 M M d,total= 1202,9 d,total= 2405,8

do a ior e c arando om a bela e 1. erceb glob muito rior introdu

est onside mos as feito ven na e8/20 de Re o).

Pré ame dos res

e e s ma ira a resis à ca as ver

06o 16,75 6,35

Analisan tabela anter omp -a c s Ta s 1.5 6, p emos que o esforço introduzido pela inclinação acidental al é infe ao zido pelo vento. D a forma, c rare apen o e do to dificação (NBR611 01 – Projeto visã

1.5.5 -dimension nto pila Os pilar s devem ser dim nsionado de ne tir s rg ticais da edificação e, junto com as vigas, formar pór os de contraventamento capazes a resistir

seguida calcular a deformabilidade da estrutura e eu comportamento sob cargas de serviço.

ara o pré-dimensionamento dos pilares, levando-se em consideração as cargas verticais, a área da seção transversal Ac,pilar pode ser pré-dimensionada por meio da carga

,to do:

ticaos esforços horizontais. Desta forma, em primeiro lugar, devemos determinar a seção dos pilares, levando em consideração as cargas verticais e em s P

total Pd tal/pilar prevista para o pilar no nível considera

( )[ ]pilar/áticopilar/coberturapilar/tipoacimaandaresfpilar/total,d PPPnP ++⋅⋅γ=

( 1.13 )

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 27

Page 28: Calculo Completo Edificio

O quinhão de carga correspondente a cada pilar, por andar, pode ser estimado multiplicando-se a carga média (por m2) para o andar pela área de influência do pilar em questão, Ainfl, de acordo com a Figura 1.13. No caso de um andar tipo, temos:

s geométricas que envolvem os ilares formadas por retas que passam pela mediatriz dos segmentos de reta que unem

pilares adjacentes e pelo contorno do pavimento. Costuma-se não descontar furos e o oço dos elevadores.

k,médpilar/.linfpilar/tipo pAP ⋅= ( 1.14 )

A área de influência de um pilar é obtida a partir das figurap

p

P1 P3P2 P4 P5 P6

6,31m211,66m2

4,02m2

16,80m2

7,48m2

6,43m2

6,31m2

17,63m2

11,79m2

P17 P19P18 P20 P21 P22

P13 P8´

P14 P15

P11´ P16

P9 P10

6,43m2 17,63m2

10,81m2

P7 P8 P11 P12

Figura 1.13 – Determinação das áreas de influência dos pilares

A carga da laje de cobertura do edifício, em geral, pode ser estimada como uma fração do carregamento dos andares tipo:

( 1.15 ) O procedimento para o cálculo do carregamento do ático é o mesmo utilizado para a determinação de pméd,k, levando em consideração as cargas pertinentes ao ático. Tendo obtido a c ão:

pilar/tipopilar/cobertura P75,0P ⋅≅

arga total no pilar, obtemos sua área por meio da express

adm

pilar/total,dpilar,c

PA

σ=

( 1.16 )

onde admite-se uma tensão admissível no pilar em torno de ckadm f5,0 ⋅≅σ . Para determinar as dimensões dos pilares, devemos seguir as prescrições da NBR6118 quanto à dimensão mínima dos lados de pilares e pilares parede:

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 28

Page 29: Calculo Completo Edificio

Tabela 1.8 – Dimensões mínimas de pilares, γn

evisão) NBR6118/78 NBR6118/2001 (Projeto de Rb γn b γn

≥ 20cm 1,0 ≥ 19cm 1,0 12 ≤ b ≤ 20cm

4,1b05,04,2

n−

=γ 12 ≤ b ≤ 19cm 4,1

b07,073,2n

−=γ

pilares de canto com tensões um pouco menores, em virtude dos efeitos de flexão que serão introduzidos nestes

O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais d pe cálculo nos ilares, quando e seu dimensionamento. d

1.5.5.1 Aplicação a Abaixo apresentamos a planilha de pré-dimensionamento dos pilares, os quais foram dimensionados com dimensão constante até o seu topo visando um melhor reaproveitamento das fôrmas. Entretanto, pode-se optar por efetuar uma redução no tamanho dos pilares. Dimensionamos os pilares P19 e P20 com uma carga um pouco maior em virtude da maior espessura média das escadas. Procuramos também deixar os

pilares e de uma carga um pouco mais elevada de alvenaria. lém disso, juntamos os pilares P8-P8’ e P11-P11’ (ver Figura 1.13), uma vez que as

dimensões necessárias para estes pilares, segundo o pré-dimensionamento, resultariam ndo preferível uni-los num só pilar. A planta

e fôrmas final do pavimento-tipo está mostrada na Figura 1.14.

o edifício exemplo

A

numa distância muito próxima entre eles, sed

Tabela 1.9 – Pré-dimensionamento dos pilares

Pilar ntipo Ainfl (m2)

Ainfl,tot (m2)

pd (kN/m2)

Pd,tipo (kN)

Pd,ático (kN) Pd,tot (kN) sadm

(kN/cm2) A (cm2) b (cm) h (cm) hfinal (cm)

σf (kN/cm2)

14 6,31 93,07 15,05 1400,74 0,00 1400,74 1,30 1077,49 19 56,71 65 1,131=P6=P17=22

8 6,31 55,21 15,05 830,95 0,00 830,95 1,30 639,19 19 33,64 65 0,6714 11,79 173,90 15,05 2617,23 0,00 2617,23 1,30 2013,26 19 105,96 110 1,252=P5=P18=

21 8 11,79 103,16 15,05 1552,60 0,00 1552,60 1,30 1194,30 19 62,86 110 0,74

3=P4 14 4,02 59,30 15,05 892,39 0,00 892,39 1,30 686,45 20 34,32 40 1,128 4,02 35,18 15,05 529,38 0,00 529,38 1,30 407,22 20 20,36 40 0,66

14 6,43 94,84 15,05 1427,38 0,00 1427,38 1,30 10977=P12=P13=16

PP PP P

,98 19 57,79 65 1,16PP 8 6,43 56,26 15,05 846,75 0,00 846,75 1,30 651,35 19 34,28 65 0,69P8=P11 14 35,26 520,09 15,05 7827,28 0,00 7827,28 1,30 6020,9

3 15,05 4643,30 0,00 4643,30 1,30 3571,78 20 301,05 285 1,37

8 35,26 308,5 7 20 178,59 285 0,81P9=P10 14 13,99 20 ,36 5 15,05 3105,61 389,50 3495,11 1,30 2688,54 20 134,43 140 1,25 P14=P15 14 6,80 47,80 15,05 3729,39 9,50 4118,89 1,30 3168,38 20 58,42 60 1,29 8 6,80 47,00 15,05 212,35 9,50 601,85 1,30 001,42 20 00,07 60 0,81P19=P20 14 7,48 110,33 16,10 1776,31 9,50 2165,81 1,30 1666,01 20 83,30 90 1,20 8 7,48 65,45 16,10 1053,75 9,50 1443,25 1,30 1110,19 20 55,51 90 0,80

8 13,99 122,41 15,05 1842,31 389,50 2231,81 1,30 1716,78 20 85,84 140 0,80

21 11 1

382 38 2

3838

1 21 1

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 29

Page 30: Calculo Completo Edificio

P17

P18

P13P7

P8

P1P2

P19

P20

P21

P9P1

0

P14

P15

P3P4

P11

P16

P5V1

(19/

55)

V2(1

9/55

)

V3(1

2/55

)

V6(1

2/55

)

V4(1

9-12

/55)

V5(1

2-19

/55)

V7(1

2/55

)V8

(12/

55)

V9(1

9-12

/55)

V10(

12-1

9/55

)

V11(

12/5

5)

V12(

19/5

5)

V14(19/55)V15(19/55)

V16(12/55)

V17(12/55)

V18(12/55)

V19(10/40)

V20(12/55)

V21(12/55)

35)5)

(19/

65)

(110

/19)

(20/

40)

(20/

40)

(110

/19)

(20/

285)

(20/

140)

(20/

140)

(20/

160)

(20/

160)

(20/

90)

(20/

90)

(110

/19)

(19/

65)

(110

/19)

(19/

65)

(19/

65)

(19/

65)

(20/

285)

L1h=

10cm

L2h=

10cm

L3h=

10cm

L5h=

10cm

L7h=

10cm

L6h=

10cm

L8h=

10cm

L9h=

10cm

LE

L10

h=10

cmL1

1h=

10c

V13(

19/5

5)VE

(19/

55)

V22(12/55)

L4h=

10cm

506,0

513,0

357,0

513,0

506,0

386,0312,0386,0

506,0

505,0

373,0

505,0

506,0

386,0 312,0 386,0

565,0565,0

338,5 353,5

551,0

468,0

357,0

468,0

551,0

338,5 353,5

577,6 559,8

Y

X

280,0

271,0

157,0

200,0

138,0

,0

271,0

147,0178,5

178,5

216,0 176,0

116,0 276,0

P22

P12P6

V2(19/5V

5)

24(19/5

(19/

65)

(19/

6 (19/

65)

m

280

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 30

Figura 1.14 – Fôrmas do pavimento-tipo (final)

Page 31: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 31

Os pilares foram dimensionados com dimensão constante até o seu topo visando a um melhor reaproveitamento das fôrmas. Entretanto, pode-se optar por efetuar uma redução no tamanho dos pilares. Dimensionamos os pilares P19 e P20 com uma carga um pouco maior em virtude da maior espessura média das escadas. Procuramos também deixar os pilares de canto com tensões um pouco menores, em virtude dos efeitos de flexão que serão introduzidos nestes pilares e de uma carga um pouco mais elevada de alvenaria.

1.5.6 Determinação da rigidez (aproximada) da estrutura Determinado o pré-dimensionamento da estrutura, devemos verificar se a estrutura é capaz de suportar os esforços horizontais a que ela está submetida (no nosso caso as forças introduzidas pela ação do vento), verificando se os efeitos de 2a ordem não são muito pronunciados e se as deformações sob cargas de serviço são compatíveis.

1.5.6.1 Aplicação ao edifício exemplo Para tanto, estabeleceremos um conjunto de pórticos planos em direções ortogonais (x e y). Poderíamos utilizar também o modelo de pórtico espacial, mas como a estrutura é bastante simétrica, não havendo efeitos de torção da estrutura pronunciados, a utilização do modelo de pórticos planos é uma aproximação simples e eficiente. Para simular o efeito de chapa das lajes, solidarizando os pórticos em cada pavimento, unimos os pórticos da estrutura com barras rígidas bi-rotuladas, como esquematizado na Figura 1.14. O modelo ilustrado nesta figura foi processado em um programa de análise estrutural de pórticos planos para a obtenção dos esforços globais devidos à carga de vento.

Figura 1.14 – Modelo utilizado – direção y

Page 32: Calculo Completo Edificio

1.5.6.1.1 Parâmetro α As expressões para a determinação do parâmetro α e seu significado são apresentadas no procedimento descrito no item 1.8.

)4n(6,0 ≥=α≤ ( 1.9 ) α pav1

Tabela 1.10 mostra os valores obtidos. A

Tabela 1.10 – Determinação do parâmetro α

Caso de Carregamento

Htot (m)

Nk,edifício (kN) Ecs (GPa) Ieq (m4) α

direção x 48 21742 23,8 6,88 0,55 direção y 48 10871 23,8

) Nk,edifício/2 (*) 5,21 0,45

(*

ressões para a determinação do parâmetro γz e seu significado são apresentadas no procedimento descrito no item 1.8. As Tabelas 1.11 e 1.12 mostram, respectivamente, a determinação do parâmetro γz nas direções x e y.

Para o cálculo do parâmetro α, igualamos o deslocamento na cobertura do edifício, submetido ao carregamento de vento, ao mesmo nível da cobertura do exemplo, de um pilar equivalente, ao qual aplicamos o mesmo carregamento de vento.

1.5.6.1.2 Parâmetro γz As exp

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 32

Page 33: Calculo Completo Edificio

Tabela 1.11 – Determinação do parâmetro γz – direção x

Andar Cota Piso Wd M1 Pd,andar d(m) dM Cob Cx D´Água 48,00 12,07 579,4 276 0,081 22,1 Cx D´Água 46,00 28,46 1309,0 1182 0,080 93,4 Cob C Máq 43,25 26,68 1153,8 879 0,079 68,2 Cob 41,50 31,60 1311,3 1429 0,073 103,9 14o 38,75 42,23 1636,6 1905 0,071 134,5 13o 36,00 41,46 1492,7 1905 0,068 129,7 12o 33,25 40,65 1351,5 1905 0,065 123,8 11o 30,50 39,78 1213,2 1905 0,062 117,2 10o 27,75 38,85 1078,0 1905 0,057 109,4 09o 53 100,4 25,00 37,85 946,1 1905 0,008o 22,25 36,76 817,8 1905 0,048 90,7 07 19 3 3, 0,042 80,0 o ,50 5,56 69 4 1905 06o

o ,00 ,72 4 190 0,030 o ,25 0,96 34 190 0,023

16,75 34,23 573,3 1905 0,036 68,6 05 14 32 58,1 5 56,4 04 11 3 8,3 5 43,4 03o 8,50 28,84 245,1 1905 0,016 30,1 02o 5,75 26,07 149,9 1905 0,009 17,1 01o 3,00 22,46 67,4 1905 0,003 6,1 T 0,00 10,22 0,0 1905 0,000 0,0 15425,1 1395,0 γz = 1,10

Observando as Tabelas 1.11 e 1.12, verificamos que não há necessidade de se efetuar

estrutura (análise não-linear, processo P-∆), pois os efeitos e 2 ordem são pouco significativos para a estrutura.

zdo todos os pilares isolados (unidos apenas por

uma análise mais rigorosa daad

Para efeito de ilustração, na Tabela 1.13 apresentamos a determinação do parâmetro γ a estrutura na direção y, considerand

barras rígidas bi-rotuladas). Podemos verificar que a consideração dos pórticos de contraventamento é fundamental para garantir a estabilidade da estrutura.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 33

Page 34: Calculo Completo Edificio

Tabela 1.12 – Determinação do parâmetro γz – direção y

A C W ) ndar ota Piso d/2 M1 Pd,andar/2 d(m dMob Cx D´Água 8,00 ,43 164,8 138 0,111 15,3x D´Água 6,00 ,10 372,4 591 0,110 64,7ob C Máq 3,25 2,39 968,2 439 0,107 47,1

1998,7 714 0,106 75,54o 8,75 2338,1 953 0,101 95,83o 6,00 2132,5 953 0,095 90,42o 3,25 1930,8 953 0,089 84,51o 0,50 1733,3 953 0,082 78,00o 7,75 1540,1 953 0,074 70,99o 5,00 953 0,066 63,38o 2,25 953 0,058 55,17o 9,50 990,6 953 0,049 46,76o 6,75 819,1 953 0,040 38,05o 4,00 654,4 953 0,031 29,34o 1,25 497,6 953 0,022 21,13o ,50 350,2 953 0,014 13,42o ,75 214,2 953 0,007 7,01o ,00 96,3 953 0,002 2,3

0,0 953 0,000 0,019321,6 898,4

γz = 1,05

C 4 3 C 4 8 C 4 2 Cob 41,50 48,16 1 3 60,34 1 3 59,24 1 3 58,07 1 3 56,83 1 2 55,50 0 2 54,07 1351,7 0 2 52,51 1168,4 0 1 50,80 0 1 48,90 0 1 46,74 0 1 44,23 0 8 41,20 0 5 37,25 0 3 32,09 T 0,00 14,60

d,andar/2 d(m) dM

Tabela 1.13 – Determinação do parâmetro γz (direção y, pilares isolados)

Andar Cota Piso Wd/2 M1 PCob Cx D´Água 48,00 3,43 164,8 138 0,907 125,2 Cx D´Água 46,00 8,10 372,4 591 0,857 506,6 Cob C Máq 43,25 22,39 968,2 439 0,789 346,7 Cob 41,50 48,16 1998,7 714 0,746 533,0 14o 38,75 60,34 2338,1 953 0,678 645,9 13o 36,00 59,24 2132,5 953 0,611 582,0 12o 33,25 58,07 1930,8 953 0,544 518,2 11o 30,50 56,83 1733,3 953 0,477 454,4 10o 27,75 55,50 1540,1 953 0,413 393,4 09o 25,00 54,07 1351,7 953 0,349 332,5 08o 22,25 52,51 1168,4 953 0,289 275,3 07o 19,50 50,80 990,6 953 0,231 220,0 06o 16,75 48,90 819,1 953 0,178 169,6 05o 14,00 46,74 654,4 953 0,129 122,9 04o 11,25 44,23 497,6 953 0,087 82,9 03o 8,50 41,20 350,2 953 0,052 49,5 02o 5,75 37,25 214,2 953 0,025 23,8 01o 3,00 32,09 96,3 953 0,007 6,8 T 0,00 14,60 0,0 953 0,000 0,0 19321,6 5388,5 γz = 1,39

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 34

Page 35: Calculo Completo Edificio

1.5.7 Cálculo da flecha (aproximada) do edifício sob cargas de serviço

Parâmet e Referênciros d a:

no

en

0:ifício

100:s lpavim

a) Edifício

la 1.14 – Veri da do sob c de s Dir Y

vel Co amáx (

ase cm) Tabe ficação flecha edifício argas erviço – eção

Ní ta (m) cm) rviço (

48 2 1,421,34

cálc a so cargas serv i efe o util do-s

pavimentos

170ed

0entotre i

l

Cob. Cx. Dágua 2,8 Cobertura 41,5 2,44

Obs: O ulo da flech b de iço fo tuad izan e 30% do carregamento de vento. b) Entre

Tabela ção Y

Andar Co(

Piso) a (cm (cm adm )

1.15 – Verificação da flecha entre pavimentos sob cargas de serviço – Dire

ta Piso m)

Piso a (m ) ∆a ) ∆a (cm

D´Água ,00 2, 0,0500 ua ,00 2,7 0 0 275 áq. ,25 1,7 1 0,0400

,50 2,7 1,34 0,1400 ,75 2,7 1,27 0,1400 ,00 2,7 1,20 0,1600 ,25 2,7 1,13 0,1700 ,50 2,7 1,04 0,1800 ,75 2,7 0,95 0,2000 ,00 2,7 0,85 0,2000 ,25 2,7 0,2200 ,50 2,7 0,2200 ,75 2,7 0,2200 ,00 2,7 0,2100 ,25 2,7 0,2000 50 2,7 0,1700 75 2,7 0,1300

0

Cob. Cx. 48 00 1,42 0,2 OK Cx. D´Ág 46 5 1,40 ,080 0, OK Cob. C. M 43 5 ,36 0,175 OK Cob. 41 5 0,275 OK 14o 38 5 0,275 OK 13o 36 5 0,275 OK 12o 33 5 0,275 OK 11o 30 5 0,275 OK 10o 27 5 0,275 OK 09o 25 5 0,275 OK 08o 22 5 0,75 0,275 OK 07o 19 5 0,64 0,275 OK 06o 16 5 0,52 0,275 OK 05o 14 5 0,41 0,275 OK 04o 11 5 0,30 0,275 OK 03o 8, 5 0,20 0,275 OK 02o 5, 5 0,11 0,275 OK 01o 3,00 3,00 ,04 0,0700 0,3 OK T 0,00 0,00

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 35

Page 36: Calculo Completo Edificio

1.6 Determinação do Carregamento Vertical

1.6.1 Cargas atuantes em estruturas de edificações (NBR6120/80) O quadro a seguir apresenta valores de carga a serem adotados em estruturas de edificações segundo a NBR6120/80 (Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações).

) Cargas permanentes:

a Peso específico de alguns materiais de construção: Material Peso específico nte apare kN/m3 ton/m3 concreto simples 24 2,4 concreto armado 25 2,5 argamassa de cimento e areia 21 2,1 argamassa de cal, cimento e areia 19 1,9 alvenaria de tijolo maciço 18 1,8 de tijolo furado (cerâmico) 13 1,3 de blocos de concreto 13 1,3 material de enchimento entulho 15 ,5 1

terra 18 1,8 madeira pinho, cedro 5 0,5 lo ro,u imbuia 0,65 6,5 an ig co, cabriúva, ipê ró 1,0 seo 10 M ta erial Peso específico / área kN gf/m2/m2 k revestimentos de pisos 100 1 telhados de te lha de barro 700 0,7 de telha de fibrociment 400 o 0,4 de telha de alumínio 300 0,3 im ep rmeabilização de p 100 isos 1,0 divisória de madeira 200 0,2 caixilhos de

argila expandida 9 0,9

ferro 0,3 300 de alumínio 0,2 200

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 36

Page 37: Calculo Completo Edificio

Paredes divisórias sem posição determinada: carga uniformemente distribuída não menor ue 1/3 do peso linear de parede pronta e maior que 1,00 kN/m2. q

b) Cargas variáveis ou acidentais: Peso específico / área kN/m2 kgf/m2

dormitórios, salas, cozinhas e banheiros 1,5 150 despensas, áreas de serviço e lavanderias 2,0 200 forros sem acesso a pessoas 0,5 50 escadas sem acesso ao público 2,5 250 garagens (sem consideração de ψ) 2,0 200 ed

ifíci

os

resi

denc

iais

2,0 200 terraços sem acesso ao público salas de uso geral e banheiros 2,0 200 escadas com acesso ao público 3,0 300

300terraços com acesso ao público 3,0 0 30forros sem acesso a pessoas 0,5 5 0,garagens (sem consideração de ψ) 2,0 200 ed

ifíci

os d

e es

critó

rios

restaurantes 3,0 0 30300

auditórios 5,0 0 50escadas e corredores 4,0 0 40

esco

las

outras salas 2,0 0 20

25salas para depósito de livros 4,0 0 40

60

bibl

iote

cas

escritórios e banheiros 2,0 0 20salas de diretorias 1,5 0 15ba

ncos

corredores com acesso ao público 3,0

salas de aula 3,0

salas de leitura 2,5 0

sala com estantes de livros 6,0 0

palco 5,0 500 platéia com assentos fixos 3,0 300

400

cine

mas

e ro

s te banheiros

at

2,0 0 20salas de assembléias com assentos fixos 3,0 0 30salas de assembléias com assentos móveis 4,0 0 40salão de danças ou esporte 5,0 0 50banheiros 2,0 0 20cl

ubes

ginásio de esportes 5,0 0 50 dormitórios, enfermarias e banheiros 2,0 0 20

20corredores 3,0 300 ho

spita

is

platéia com assentos móveis 4,0

salas de cirurgia 2,0 0

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 37

Page 38: Calculo Completo Edificio

c) Cargas acidentais em balcões (parapeitos):

d) Cargas verticais especiais: Peso específico / área kN/m2 kgf/m2 casa de máquinas e poço dos elevadores laje sobre a caixa dos elevadores v ( cida 30 30000 velo de) ≤ 1 m/s

adja te à caixa dos elevadores

da a de máquinas

) Co ficie te de impacto:

,1= quando l

≤l

quando 0ll ≤ m50 =l para vigas

f) Escadas (

degraus isolados): Apli carg ais desfavorável g) Redução das cargas acidentais (pilares e fundações) para edifícios residenciais,

car a concentrada de 2,5 kN na posição m .

v > 1 m/s 50 50000 laje cen v (velocidade) ≤ 1 m/s 5 5000 v > 1 m/s 7 7000 forro cas 10 10000 poço de molas dos elevadores (laje inferior) 20 20000 e e n

0ϕ 0l≥

43,10=ϕl

m30 =l para lajes (menor vão)

comerciais, residências e casas comerciais não destinados a depósitos:

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 38

Page 39: Calculo Completo Edificio

N de pisos que atuam sobre o elementoo Redução percentual das cargas acidentais (%)

1, 2 e 3 0 4 20 5 40

6 ou mais 60 Obs: O forro deve ser considerado como piso.

1.6.2 Revestimento das lajes Para o cálculo das cargas permanentes devidas ao revestimento das lajes (piso, camada de regularização e forro), foram definidas as espessuras mostradas na Figura 1.151.

dotou-se piso de taco de ipê róseo (γ = 10 kN/m3), camada de regularização de rgamassa de cimento e areia (γ = 21 kN/m3) e revestimento de forro de argamassa de imento, cal e areia (γ = 19 kN/m3).

Aac

Figura 1.15 – Camadas de revestimento das lajes

carga total de revestimento por m2 de laje é dada pelo produto dos pesos específicos s pelas suas respectivas espessuras.

1.6.3 Paredes sobre lajes

Ados revestimentos adotado

Utilizou-se para as paredes do edifício exemplo blocos cerâmicos vazados (γ = 13 kN/m3) revestimento de argamassa de cimento e areia (γ = 21 kN/m3). A espessura do vestimento resultou 3 cm para as paredes internas e 6 cm para as paredes externas,

ererespectivamente.

1 No edifício exemplo, a espessura da camada de regularização foi adotada como sendo de 3cm.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 39

Page 40: Calculo Completo Edificio

Para obtermos o peso por metro linear de parede, multiplicamos o peso específico do bloc pelas elo pé direito. O peso total da parede é dado pelo produto da carga por metro linear pelo comprimento da par Nas lajes armadas em duas direções, divide-se o peso total da parede pela área da laje, obtendo-se uma ca suposta uniformemente distribuída. É uma simplificação de erto modo grosseira, porém justificável pelas pequenas dimensões dos vãos das lajes de

Nas lajes armadas numa só direção, a simplificação precedente pode fugir muito da elas seguintes regras práticas:

Tabela 1.17 apresenta os valores das cargas de parede sobre as lajes e a Tabela 1.18 mostra o carregamento final obtido.

Tabela 1.17 – Cargas de parede sobre as lajes do edifício exemplo

Comprimento de Parede Pé-direito Área da laje Carga Parede Total

o e do revestimento de parede adotado suas respectivas espessuras e p

ede.

rga por m2

cedifícios.

realidade, sendo preferível substituí-la p

a) se a parede é paralela ao lado lx (lado menor da laje), supõe-se que a faixa resistente tenha largura 2/3 lx; b) se a parede é paralela ao lado ly, considera-se a carga distribuída linearmente. A

Laje (m) (m) (m²) (kN/m²) (kN/m²) 1=4=8=11 6,82 2,585 21,77 2,19 1,77 2=3=9=10 8,85 2,585 24,22 2,19 2,07

5=6 2,60 2,585 6,75 2,19 2,18 7 1,83 2,585 9,68 2,19 1,07

Características da Parede: Bloco cerâmico vaza γ = 13 kN/m³Revestimento de argamassa de cimento e areia γ = 21 kN/m³

do com largura de 12 cm

Tabela 1.18 – Carga total distribuída nas lajes do pavimento-tipo

e (kN/m²)

imento tal

(kN/m²)

Paredes sobre Laje

(kN/m²)

Cargas Permanentes

(kN/m²)

Cargas Acidentais

(kN/m²)

Total (kN/m²)

Laj

h(cm)

Peso Próprio

RevestTo

L1 10 2,5 1,12 1,77 5,39 1,5 6,89 L2 10 2,5 1,12 2,07 5,69 1,5 7,19 L3 10 2,5 1,12 2,07 5,69 1,5 7,19 L4 10 2,5 1,12 1,77 5,39 1,5 6,89 L5 7 1,75 1,12 2,18 5,05 1,5 6,55 L6 7 1,75 1,12 2,18 5,05 1,5 6,55 L7 10 2,5 1,12 1,07 4,69 3,0 7,69 L8 10 2,5 1,12 1,77 5,39 1,5 6,89 L9 10 2,5 1,12 2,07 5,69 1,5 7,19

L10 10 2,5 1,12 2,07 5,69 1,5 7,19 L11 10 2,5 1,12 1,77 5,39 1,5 6,89

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 40

Page 41: Calculo Completo Edificio

1.6.4 Cálculo das reações nas vigas Para o cálculo das reações das vigas, isto é, para calcular a carga que a laje transmite às igas que a sustentam, o v critério mais prático é o indicado na Figura 1.16. Supõe-se que a

as adjacentes serem uma engastada e a outra apoiada, alguns autores comendam que se faça o desenho do “telhado” com retas que formem ângulos de 30o e

as nas vigas do avimento-tipo do edifício exemplo, segundo o processo referido, é ilustrada na Figura .17. É importante salientar que na Figura 1.17 já estão incluídas as cargas de parede

Figu 1.16 – Esquema de dis ribuição d cargas das ajes para as igas

borda maior ly receba a carga existente na área Ay, enquanto que Ax corresponde à borda menor lx. As áreas Ax e Ay são formadas pelas bissetrizes tiradas de cada canto da laje. É, portanto, um cálculo simples, baseado na teoria das charneiras plásticas. No caso de duas bordre60o (e não dois ângulos de 45o). Em tal caso, 60o para o lado do engastamento. Esta foi a hipótese adotada neste edifício exemplo. A distribuição de cargp1sobre as lajes.

ra t e l v

l

Ay

l

Ay

Ax Ax

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 41

Page 42: Calculo Completo Edificio

5.64

m2

4.65

m2

7.86

m2

5.64

m2

3.87

m2

5.64

m2

9.

6.71

m2

2.28

m2

1.86

m2

1.06

m2

1.68

m23.

65m

2 3.45

m2

1.48

m2

6.71

m2

3.87

m2

5.64

m2

3.87

m2

5.64

m2

6.71

m2

6.71

m2

5.64

m2

3.87

m2

7.86

m2

4.65

m25.

64m

2

5.64

m2

2.28

m2

V2

V4 V12

16

V7

V11

V6V3

V18

V17

V20

V23

V8V5

0

V19

V15 V14

9.

9. 9.7

V13

15.1

2 +

1.52

V1

.68

+ 1.

2614

.68

+ 1.

26

5.66

+ 0

15.1

2 +

1.52

15.3

2 +

2.77

5.66

+ 0

10.3

5 +

3.00

10.3

5 +

3.00

26 +

4.3

822

.26

+ 4.

38

15.1

2 +

1.52

15.3

2 +

2.77

5.66

+ 2

.23

9.15

+ 2

.23

15.1

2 +

1.52

68 +

1.2

614

.68

+ 1.

26

15.44 + 1.6115.44 + 1.61

.62 + 0.58

25.39 + 5.3525.39 + 5.35

11.34 + 1.5015.28 + 4.0211.34 + 1.50

5.66 + 0

11.34 + 1.5019.45 + 2.9811.34 + 1.50

15.44 + 1.6115.44 + 1.61

X

Y

VELE

L1

L2L3

L7

L10

L8L9

L5

Figura 1.17 – Determinação das reações das lajes nas vigas de apoio

V24

4.65

m2

5.64

m2

5.64

m2

7.86

m2

2.28

m2

2.28

m2

1.86

m2

1.06

m2

5.64

m24.

65m

2

5.64

m2

7.86

m2

V21

V22

V1

77m

2

7m2

15.1

2 +

1.52

15.3

2 +

2.77

15.1

2 +

1.52

15.3

2 +

2.77

15.1

2 +

1.52

15.1

2 +

1.52

25.39 + 5.3525.39 + 5.35

7.62 + 0.58L4 L11

L6

77m

2

77m

2

14

22. 14

.

7V

V9

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 42

Page 43: Calculo Completo Edificio

1.6.5 Esquemas de distribuição de cargas nas vigas Seguindo o procedimento descrito anteriormente, resultam os esquemas de distribuição de cargas nas vigas conforme a Tabela 1.19.

Tabela 1.19 – Distribuição de cargas nas vigas

Viga (Tramo) Carga Permanente (kN/m) Carga Variável (kN/m) V1a 15,12 1,52 V1b 14,68 1,26 V2a 14,68 1,26 V2b 15,12 1,52 V3 5,66 0,00

V4a 15,12 1,52 V4b 15,32 2,77 V5a 15,32 2,77 V5b 15,12 1,52 V6a 10,35 3,0 V6b 10,35 3,0 V7 22,26 4,38 V8 22,26 4,38

V9a 15,12 1,52 V9b 15,32 2,77 V10a 15,32 2,77 V10b 15,12 1,52 V11a 5,66 2,23 V11b 9,15 2,23 V12a 15,12 1,52 V12b 14,68 1,26 V13a 14,68 1,26 V13b 15,12 1,52 V14 15,44 1,61 V15 15,44 1,61 V16 7,62 0,58 V17a 25,39 5,35 V17b 25,39 5,35 V18a 11,34 1,50 V18b 15,28 4,02 V18c 11,34 1,50 V19 5,66 0,00 V20a 11,34 1,50 V20b 19,45 2,98 V20c 11,34 1,50 V21a 25,39 5,35 V21b 25,39 5,35 V22 7,62 0,58 V23 15,44 1,61 V24 15,44 1,61

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 43

Page 44: Calculo Completo Edificio

1.7 Carregamento Horizontal

1.7.1 Procedimento para o cálculo das forças devidas ao vento nas edificações (segundo a NBR6123/88)

A consideraç projeto de revisão da NBR6118. O carregamento de vento, um carregamento acidental, pode ser calculado de acordo com a NBR6123/88 (Forças Devidas ao Vento em Edificações). Neste trabalho, adotaremos o vento como um carregamento estático, considerando a estrutura já concluída, e o conjunto global de suas partes.

1.7.1.1 Determinação da velocidade básica do vento (v0) A velocidade básica do vento, v0, é a velocidade de uma rajada de 3s, excedida em média uma vez em 50 a a 10m acima d no, em campo abe lano (NBR6123/88). A velocidade básica do vento é obtida a partir do gráfico de isopletas, em função da localização geográfica da edificação (Figura 1.18).

ão do efeito do vento nas edificações é obrigatória, segundo o

nos, o terre r pto e

Figura 1.18 – Isopletas da velocidade básica (v0)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 44

Page 45: Calculo Completo Edificio

1.7.2 Determinação da Velocidade Característica (vk) A velocidade característica é obtida da multiplicação da velocidade básica pelos fatores

s s1, s2 e 3:

( ) 0321k vsss ⋅⋅⋅= v a) Fator Topográfico, s1 Considera as variações do relevo do terreno: Relevo s1 Terreno plano ou fracamente acidentado 1,0

Pontos A e C 1,0

Taludes e morros alongados, nos

:1760,1:3

o

o

≤θ≤

≤θ

quais pode ser admitido um fluxo de ar bidimensional.

Entre os Pontos A e B

( )

0,131,0dz5,20,1S

:45

0,13tandz5,20,1S

1

o

o1

−+=

≥θ

≥−θ

−+=

deve-se interpolar linearmente para as outras inclinações

Vales profundos, protegidos de ventos de qualquer direção

0,9

b) Rugosidade do Terreno, Dimensões da Edificação e Altura sobre o Terreno, s2 O fator s2 considera a rugosidade do terreno (categoria), as dimensões da edificação (classe) e altura sobre o terreno (z) e é calculado pela expressão:

p

r2 10zFbs

=

onde b, Fr e p são determinados pela categoria de rugosidade e classe da edificação.

Tabela 1.20 – Categoria do relevo

Categoria Relevo I Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5 km de extensão. II Terrenos abertos com poucos obstáculos isolados. III Terrenos planos ou ondulados com obstáculos. IV Terrenos com obstáculos numerosos e pouco espaçados. V Terrenos com obstáculos numerosos, grandes, altos e pouco espaçados.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 45

Page 46: Calculo Completo Edificio

Tabela 1.21 – Classe da edificação

Classe Tamanho da Edificação A Maior dimensão horizontal ou vertical < 20m. B Maior dimensão horizontal ou vertical entre 20 e 50m. C Maior dimensão horizontal ou vertical > 50m.

Tabela 1.22 – Parâmetros meteorológicos

Classes Categoria Parâmetro A B C I b 1,10

0,06 1,11 0,065

2 7 p

1,10,0

II b p

1,00 0,08

1,00 0,09

0 0 5

1,00,1

V b p

0,74 0,1

0,73 0,16

0,71 0,175 5

I a V Fr 1,00 0,98 0,95

III b p

0,94 0,10

0,94 0,105

0,93 0,115

IV b p

0,86 0,12

0,85 0,125

0,84 0,135

c) Fator Estatístico, s3

Tabela 1.23 – Fator estatístico

s3 Responsabilidade da Edificação 1,10 Edificações onde se exige maior segurança. 1,00 Edificações em geral. 0,95 Edificações com baixo fator de ocupação. 0,88 Vedações. 0,83 Edificações temporárias.

1.8 Verificação da estabilidade global do edifício

1.8.1 Deslocabilidade

Consid ando horizontais, elas podem ser classificadas como de nós fixos ou de nós deslocáveis:

er o deslocamento dos nós das estruturas reticuladas perante cargas

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 46

Page 47: Calculo Completo Edificio

Estruturas de nós fixos: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e por de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1 ordem); nestas estruturas basta consider it ª

Estruturas nó

corrência, os efeitos globais deª

ar o efes os locais e localizados de 2 ordem;

de s móveis: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2a ordem são importantes

uperiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nestas estruturas devem ser brigatoriamente considerados os esforços globais, locais e localizados de 2ª ordem

(NBR6118/2001).

1.8.2 Rigidez Mínima das Estruturas Indeslocáveis

(so

Dois proce s aproxima são indicad lo projeto isão da N 18 (e são transcritos a seguir) para garantir a rigidez mínima das estruturas de nós fixos. Lembramos que a avaliação da deslocabilidade da estrutura deve ser feita para todas as combinações de carga ap das à estrutu a) Parâmetro de Instabilidade (α)

sso dos os pe de rev BR61

lica ra.

sim á ser a com de nósdefinid r:

Uma estrutura reticulada étrica poder considerad o sendo fixos se seu parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1 o a segui

(1.10)

1α≤

ccstot IE

H=

n1,02,01 ⋅+=α6,01 =α

α

kNα (1.11)

se n (1.12)

onde: n - número eis d ndação ou de um nível pouc locáHtot - altura to estr topo da fundação ou de um nível pouco deslo do

k - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do ível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico.

considerada. No pilares de rigidez

ariável ao longo da altura, permite-se considerar produto de rigidez Ecs Ic de um pilar equivalente de seção constante. Para Ec permite-se adotar, nessa

s de estabilidade global, o valor do módulo de lasticidade inicial. O valor de Ic é calculado considerando as seções brutas dos

cs c adas, rocede-se da seguinte maneira:

≤ 3 se n ≥ 4

de nív e barras horizontais (andares) acima da fuolo; o des vel do subs

tal da cável

utura, medida a partir do subsolo;

NnEcs Ic - somatória da rigidez de todos os pilares na direçãocaso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com v

expressão e em todas as análiseepilares.

ara determinar a rigidez equivalente (E I ) em pórticos planos e estruturas treliçPp

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 47

Page 48: Calculo Completo Edificio

calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal característico;

calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot, tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo da estrutura de

ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído xclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver

pórticos.

) Coeficiente γ

contraventamento. O valor limite α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Vale para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilares-parede. Ele pode e

b z

ordem, adotando-se os valores de rigidez dicados nas equações (1.13), que estimam o efeito da não-linearidade física.

ara lajes :

É possível determinar de forma aproximada o coeficiente γz de majoração dos esforços globais finais com relação aos de primeira ordem. Essa avaliação é efetuada a partir dos resultados de uma análise linear de primeirain

( ) ccsec IE3,0EI ⋅=

sec

( ) ccsec IE8,0EI ⋅=

( ) ccsec IE7,0EI ⋅=

ppara vigas : ( ) ccsec IE4,0EI ⋅= para A’s ≠ As e ( ) ccIE5,0EI ⋅= para A’s = As para pilares : para estruturas de contraventamento compostas exclusivamente por vigas e pilares, pode-se considerar para ambas: sendo Ec : o módulo de elasticidade inicial do concreto

: o momento de inércia da seção bruta de concreto

(1.13)

Ic O valor de γz é:

M d,tot,1

−M

1

1d,tot

z ∆=γ

(1.14)

sendo: M1,tot,d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura;∆Mtot,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem;

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 48

Page 49: Calculo Completo Edificio

Considque neste 2ª ordem. Solução aproximada para aconsiste n0,95 γz do1,3 é necessária a análise de 2ª ordem adequada, permitindo-se a adoção do processo P-

para a avaliação da não-linearidade geométrica em conjunto com os valores de rigidez

dos no item 1.5.4.

era-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz ≤ 1,1, sendo caso é possível desconsiderar os efeitos de

determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas regulares a avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) pela multiplicação por s momentos de 1ª ordem, desde que γz ≤ 1,3. Para valores de γz maiores que

∆dados pela Equação 1.13 representativos do efeito da não-linearidade física. O procedimento apresentado nesta seção foi aplicado ao edifício exemplo para a determinação do carregamento horizontal devido ao vento, resultando nos valores apresenta

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 49

Page 50: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 2

2 – Lajes de Concreto Armado

2.1 Lajes Maciças de Concreto Armado

2.1.1 Introdução Lajes são elementos estruturais bidimensionais planos com cargas preponderantemente normais ao seu plano médio. Considerando uma estrutura convencional, as lajes transmitem as cargas do piso às vigas, que as transmitem, por sua vez, aos pilares, através dos quais são as cargas transmitidas às fundações, e daí ao solo.

Figura 2-1 – Representação de uma laje [FUSCO]

O comportamento estrutural primário das lajes é o de placa, que por definição, é uma estrutura de superfície caracterizada por uma superfície média (S) e uma espessura (h), com esforços externos aplicados perpendicularmente a S. As lajes possuem um papel importante no esquema resistente para as ações horizontais, comportando-se como diafragmas rígidos ou chapas, compatibilizando o deslocamento dos pilares em cada piso (contraventando-os).

Figura 2-2 – Comportamento das placas [FUSCO]

Page 51: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 3

As estruturas de placas (lajes) podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses [ABNT-2]: Manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente

estreitas; Representação dos elementos por seu plano médio.

Os apoios das lajes são em geral constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o cálculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas. Em geral, podem ser desprezados os efeitos da interação com as vigas. De fato, normalmente as flechas apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das lajes, justificando a consideração dos apoios como irrecalcáveis. Além disso, também a rigidez à torção das vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje, permitindo-se, em geral, desprezar-se a solicitação resultante desta interação. É obrigatória, entretanto, a consideração de esforços de torção inseridos nas vigas por lajes em balanço, aonde a compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga é responsável pelo equilíbrio da laje [ISHITANI-1]. As cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das alvenarias e dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações acidentais.

2.1.2 Classificação As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma única direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária (maiores detalhes podem ser encontrados em [ABNT-1], item 3.3.2.6). Já as lajes armadas em duas direções, podem ser analisadas utilizando o modelo elástico-linear, com elementos de placa, utilizando o coeficiente de Poisson ν = 0,2 para o material elástico linear. Dentro desta sistemática, inicialmente as lajes são calculadas isoladamente, observando-se as condições de apoio de bordo engastado ou de charneira, conforme haja continuidade ou não entre as lajes. Posteriormente é feita a compatibilização entre os momentos de bordo de lajes contíguas. Os valores dos momentos fletores máximos no vão e de engastamento para as formas e condições de apoio mais comuns encontram-se tabelados, existindo tabelas publicadas por diversos autores (Kalmanock, Barès, Czèrny, Timoshenko). A diferenciação entre as lajes armadas em uma e duas direções é realizada comparando-se a relação entre os vãos (dimensões) da laje. Desta forma, temos:

lajes armadas em cruz, quando 2x

y ≤l

l, e

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Figura 2-3 – Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direções)

lajes armadas numa só direção, quando 2x

y >l

l.

Figura 2-4 – Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direções)

Lembramos que nas “lajes armadas em uma direção” sempre existe uma armadura perpendicular à principal, de distribuição.

2.1.3 Ações a considerar As cargas verticais que atuam sobre as lajes são consideradas geralmente uniformes, algumas o são de fato, outras, como o caso de paredes apoiadas em lajes armadas em cruz, são transformadas em cargas uniformes utilizando hipóteses simplificadoras. Referimo-nos sempre às lajes de edifícios residenciais ou comerciais; no caso de lajes de pontes, por exemplo, o cálculo deve ser mais preciso. As principais cargas a se considerar são: Peso próprio da laje; Peso de eventual enchimento; Revestimento; Paredes sobre lajes; Carregamento acidental.

O método para o levantamento destas cargas é indicado no Capítulo 1.

V

V1 P1 P2

P P4

lx B B

A

A ly

flecha a

flecha a

C

lx D

C ly ≤ 2 lx

D

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2.1.4 Pré-dimensionamento (Aplicação ao Edifício Exemplo) O pré-dimensionamento das lajes já foi realizado no capítulo anterior e desta forma, apenas transcrevemos os resultados:

Tabela 2-1 – Pré-dimensionamento das lajes (cópia da Tabela 1.3)

Laje lx (m) ly (m) 0,7 ly (m) l* (m) n(*) d (cm) h (cm) L1=L3=L8=L10 4,31 5,59 3,91 3,91 1 9,4 10 L2=L4=L9=L11 4,60 5,69 3,98 3,98 2 9,2 10 L5=L6 2,75 2,76 1,93 1,93 3 4,2 7 L7 3,60 3,80 10

2.1.5 Vãos Teóricos O item 3.3.2.3 da NB-1 ensina a calcular os vãos teóricos de uma laje. Em edifícios, as vigas são geralmente de pequena largura, como no edifício exemplo. Neste caso, pode-se adotar sempre como vão teórico a distância entre os eixos das vigas de apoio.

Por convenção, suporemos sempre

==

maiorvãomenorvão

y

x

l

l

2.1.6 Determinação das Condições de Apoio das Lajes Admitem-se três tipos de apoio para as lajes: Bordo livre: quando não há suporte (Ex.: laje em balanço);

Figura 2-5 – Corte de uma laje em balanço (bordo livre)

Bordo apoiado: quando não há restrição dos deslocamentos verticais, sem

impedir a rotação das lajes no apoio (Ex.: laje isolada apoiada por vigas);

Figura 2-6 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas (bordos apoiados)

Bordo engastado: quando há impedimento do deslocamento vertical e rotação da

laje neste apoio (Ex.: lajes apoiadas por vigas de grande rigidez).

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Figura 2-7 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas de grande rigidez (bordos engastados)

2.1.6.1 Lajes Isoladas Para lajes isoladas, admite-se que se utilize: Bordo engastado, quando tivermos vigas de apoio com grande rigidez; Bordo apoiado, quando tivermos vigas de apoio com rigidez normal; Bordo livre, quando não existirem vigas de apoio.

Figura 2-8 – Convenção utilizada para a representação dos apoios

2.1.6.2 Painéis de Lajes Para os painéis de lajes de edifícios, quando houver lajes contíguas no mesmo nível, o bordo poderá ser considerado perfeitamente engastado para o cálculo da laje, como mostra a próxima figura:

Figura 2-9 – Lajes contíguas

Casos Particulares

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Figura 2-10 – Lajes em níveis diferentes

Figura 2-11 – Lajes com inércias muito diferentes

Figura 2-12 – Lajes com vãos muito diferentes

→<

→≥

maiormenor

maiormenor

32

32

ll

ll

Figura 2-13 – Condição de apoio parcial de lajes

Após o cálculo das lajes de maneira isolada deve ser feita a compatibilização dos esforços de engastamento.

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2.1.7 Cálculo das Solicitações (Cálculo Elástico) Para o cálculo dos esforços atuantes nas lajes, admitimos as seguintes hipóteses: Separação virtual entre lajes e vigas, permitindo seu cálculo separadamente; Consideração das vigas como sendo apoios indeslocáveis; Consideração das reações das lajes sobre as vigas, uniformemente distribuída.

2.1.7.1 Lajes Armadas em Uma Direção a) Lajes Isoladas

Figura 2-14 – Determinação de esforços em lajes isoladas armadas em uma direção

b) Lajes Contínuas

Figura 2-15 – Laje armada em uma direção contínua

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2.1.7.2 Lajes Armadas em Duas Direções Pelo fato de apresentarem dimensões de seus lados comparáveis, as lajes armadas em cruz apresentam curvaturas comparáveis segundo os dois cortes (AA e BB indicados na figura), indicando a presença de momentos fletores comparáveis, mx e my. mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx;

my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly.

Figura 2-16 – Lajes armadas em cruz

Considerando o corte genérico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se, de novo, a presença de curvatura e, portanto, de momento fletor (mα = momento por unidade de largura atuando segundo o corte CC). O arranjo usual das armaduras da laje é composto de armadura paralela ao lado lx, para resisitir a mx, e armadura paralela a ly, para resistir a my. Os ensaios mostram que a resistência segundo o corte CC pode ser expresso por: mα = mx cos2 α + my sen2 α ( 2.1 ) Em geral, estas armaduras (determinadas para resistir aos momentos máximos paralelos aos lados lx e ly) são suficientes para garantir a segurança da laje. A determinação dos momentos fletores numa placa, pela Teoria da Elasticidade, é bastante trabalhosa. Entretanto, há tabelas com as quais o cálculo torna-se expedito. Dentre as diversas tabelas existentes na literatura técnica, escolhemos as de Czerny, com coeficiente de Poisson ν = 0,20. Estas tabelas trazem a solução para as lajes isoladas. Dentro do contexto de um pavimento, após a determinação dos esforços nas lajes isoladas, devemos fazer a compatibilização dos momentos de engastamento das lajes adjacentes, como veremos no item b.

B

A

C

α

lx ≤ ly

ly A

B

C

α

lx

ly ao

ao ao

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a) Lajes Isoladas As tabelas do tópico 2.2 reproduzem os casos de carga uniformemente distribuída em lajes retangulares. O lado lx é sempre o menor. A notação m significa momento fletor por unidade de largura (por metro) de laje. O cálculo é imediato:

x

2x

xpmα

=l

y

2x

ypmα

=l

x

2x

bxpmβ

=l

y

2x

bypmβ

=l

onde, αx, αy, βx e βy são coeficientes tabelados p é a carga atuante; mx e my são os momentos positivos, mx na direção x e my na direção y; mbx e mby são os momentos negativos de borda, mbx na direção x e mby na direção y.

( 2.2 )

Observa-se que as tabelas enfrentam o problema também quando K > 2. Podemos, portanto, calcular todas as lajes retangulares como lajes em cruz.

Figura 2-17 – Distribuição de esforços (pela Teoria da Elasticidade) [FUSCO]

b) Lajes Contíguas O momento em um bordo comum a duas lajes deve ser determinado a partir da compatibilização dos momentos negativos mb1 e mb2 das lajes isoladas:

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⋅⋅

+

2b

1b

2b1b

12b

m8,0m8,02

mm

m

( 2.3 )

Ao compatibilizarmos os momentos negativos sobre os apoios, devemos corrigir o momento positivo da laje que tiver o seu momento fletor de bordo diminuído:

( )12bbiifinal,i12bbi mm5,0mmmmse −+=→< ( 2.4 ) O momento aplicado no bordo de uma laje em balanço não pode ser reduzido.

2.1.8 Dimensionamento à Flexão (Estado Limite Último – E.L.Últ.) O dimensionamento é feito para uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e altura igual à espessura total da laje, h. a) Altura útil A armadura de flexão será distribuída na largura de 100 cm. Em geral, tem-se nos vãos, num mesmo ponto, dois momentos fletores (mx e my, positivos) perpendiculares entre si. Desta forma, a cada um desses momentos corresponde uma altura útil; dx para o momento fletor mx e dy para o momento fletor my. Normalmente, mx é maior do que my; por isso, costuma-se adotar dx > dy; para isto, a armadura correspondente ao momento fletor my (Asy) é colocada sobre a armadura correspondente ao momento fletor mx (Asx), fig. 2.7.

Figura 2-18 – Altura útil

Conforme a figura, tem-se: dx = h - c - φx / 2 dy = h - c - φx - φy / 2

( 2.5 )

onde

φy φx c

h dy

dx dy dx

100 cm

Asy

Asx

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c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes protegidas com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR-6118)

φx = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx φy = diâmetro da armadura Asy correspondente a my . Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), pode-se adotar aproximadamente: dx ≅ h - c - 0,5 cm dy ≅ h - c - 1 cm

( 2.6 )

b) Cálculo das Armaduras Tem-se uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e altura h, sujeita a momento fletor m (mx ou my ) em valor característico. A altura d é igual a dx para o momento fletor mx e, dy para o momento fletor my. O momento fletor de cálculo é dado por: md = γf mk = 1,4 mk ( 2.7 )

Figura 2-19 – Armadura de flexão

Nas lajes, normalmente, a flexão conduz a um dimensionamento como peça sub-armada com armadura simples (x ≤ x34). Assim, conforme a fig. 2.8, a equação de equilíbrio conduz a: 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = md ( 2.8 ) resultando, para a altura da zona comprimida o valor

−−=

cd2

d

fbd425,0m11d25,1x (x ≤ x34)

( 2.9 )

e a armadura

)x4,0d(fmA

yd

ds −

= ( 2.10 )

onde As = Asx , para m = mx e

100 cm

h d 0,8

md

0,85fc

Rcd Rsd

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As = Asy para m = my. Normalmente, utilizam-se as unidades kN e cm resultando m e md em kN.cm/m, x em cm e As em cm2 / m.

2.1.9 Cálculo das Reações de Apoio Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme, permite-se que as reações em cada apoio correspondam às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados por meio das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os critérios do item 14.6.5 – Análise Plástica [ABNT-2]. Estas charneiras podem ser (de maneira aproximada) representadas por retas inclinadas, a partir dos vértices da laje, com ângulos de: 45o entre dois apoios de mesmo tipo; 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado

simplesmente apoiado; 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre (NBR6118).

Outra forma de representar estas charneiras, utilizada pelo prof. Lauro Modesto, é a de traçar sempre as charneiras pelas bissetrizes entre as arestas das lajes. Os resultados para o edifício exemplo já foram apresentados no Capítulo 1.

Figura 2-20 – Charneiras plásticas [FUSCO]

2.1.10 Esbeltez das Lajes

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Um estado limite de utilização que não pode ser esquecido nas lajes é o de deformação excessiva. A flecha da laje não pode exceder a flecha máxima admissível. Segundo o item 4.2.3.1 da NB-1/78, o cálculo das flechas nas lajes pode ser feito no Estádio I de comportamento do concreto (seção não fissurada) com:

5,3f66009,0E ckcs +⋅= (MPa) ckcs f560085,0E ⋅= ( 2.11 )

Desta forma, as expressões para o cálculo das flechas (elásticas ⇔ Estádio I) são:

a) Para as lajes armadas em uma direção: as mesmas equações para o cálculo de deformações elásticas na viga de largura unitária;

b) Para as lajes armadas em cruz: valores tabelados nas tabelas de Czerny .

23

cs

4x

hEpa

α=

l , onde α2 é um valor tabelado ( 2.12 )

As deformações devem ser verificadas para cargas de curta e longa duração:

Curta duração:

→≤

balançospara250

500ax

x

1 l

l

Longa duração:

→≤

balançospara150

300ax

x

2 l

l

onde lx é o vão teórico menor.

( 2.13 )

No mesmo artigo, a NB-1/78 dispensa o cálculo da flecha desde que uma determinada condição seja verificada. Para isto, fornece coeficientes ψ2 e ψ3. Não recomendamos tal verificação. É igualmente simples e geralmente mais econômico calcular as flechas a1 e a2, para as cargas acima referidas, e verificar diretamente as condições (2.11) e (2.12). Para o cálculo da flecha proveniente do carregamento de curta duração deve-se considerar q7,0p* = , de acordo com o item 5.4.2.2 da NB-1. Para a estimativa da flecha de longa duração, sob carregamento total, é necessário levarmos em conta o efeito da fluência. Considerando o item 4.2.3.1 da NB-1/78, temos:

( )( ) sc

scinicial

inicialr1

finalr1

inicial3aafinalflecha

ε+εε+ε

== (εc e εs em valor absoluto) ( 2.14 )

Para a compatibilidade das deformações:

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dxk;

k1k

xdx

xx

x

s

c =−

=−

=εε

( 2.15 )

de modo que, ( )( ) x

inicialr1

finalr1

k21+= ( 2.16 )

e desta forma,

( )xinicialfinal k21aa += ( 2.17 ) A expressão acima foi mostrada por MOREIRA DA ROCHA [7]. MACHADO [1] retomou o problema e mostrou que, no estádio I (lajes), um valor razoável de kx é igual a 0,7. Sendo assim, pela (2.17):

( ) inicialinicialfinal a4,27,021aa ⋅=⋅+= no caso de lajes. ( 2.18 ) MACHADO sugere então, para o cálculo de afinal, que se trabalhe com Ecs inicial constante (2.12), mas que se adote:

q7,0g4,2p* += para o cálculo de a2. ( 2.19 )

2.1.11 Cisalhamento em Lajes: Verificação (ELÚlt.) A NBR6118/78 permite a dispensa da armadura de cisalhamento para lajes pouco solicitadas, o que é o caso usual de lajes de edifícios. Para dispensarmos a armadura de cisalhamento, devemos verificar duas condições: a) Verificação da resistência do concreto

wuwd τ≤τ ( 2.20 ) onde,

bdv

bdv kfd

wd⋅γ

==τ ( 2.21 )

e

MPa5,4f25,0 cdwu ≤⋅β=τ com β = 0,5 (considerando lajes e peças lineares com bw > 5h, sem toda a armadura transversal inclinada a 45o)

( 2.22 )

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b) Verificação da dispensa da armadura transversal de cisalhamento Para que possamos dispensar a armadura transversal em lajes, devemos verificar:

1wuwd τ≤τ ( 2.23 ) com

ck41wu fψ=τ (em MPa) ( 2.24 )

sendo,

414 60,0 ρ=ψ para cm15h ≤ ( 2.25 )

Onde ρ1 é a taxa de armadura longitudinal a 2h do apoio.

2.1.12 Escolha das Barras e Espaçamentos Dimensionadas as armaduras e feitas todas as verificações necessárias, resta-nos detalhar as armaduras. Para a correta escolha de bitolas e de espaçamento, é preciso lembrar de algumas prescrições normativas: a) Bitola máxima das barras A bitola máxima, definida pela NB-1, é:

10h

máx =φ ( 2.26 )

Recomenda-se utilizar como bitola mínima φ = 4mm e utilizar para a armadura negativa, no mínimo φ = 6,3mm, para evitar que esta se amasse muito (pelo peso de funcionários) antes da concretagem, o que reduz a altura útil da laje. Desta forma, devemos respeitar:

10h

)(mm3,6)(mm4

≤φ≤

−+

( 2.27 )

b) Taxas de armadura mínimas de flexão Utilizando aços CA-40, 50 ou 60, devemos respeitar: Armadura Negativa: bhde%15,0A mín,s = ( 2.28 )

para lajes armadas em 2 direções Armadura Positiva:

=bhde%15,0bhde%10,0

A mín,s para lajes armadas em 1 direção

( 2.29 )

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Comentários: O valor mínimo da armadura principal positiva em lajes armadas numa só direção é: As,mín = 0,9 cm2/m, para não chocar com a exigência d). Seria estranho que a armadura “principal” fosse menor que a de distribuição. A armadura negativa mínima é 1,5 cm2/m (item 6.3.1.2 da NB-1/78), a menos que haja estribos com ramos horizontais prolongados nas mesas das vigas T. c) Espaçamento das barras Lajes armadas em cruz: O espaçamento máximo da armadura principal positiva

é 20cm. Lajes armadas em 1 direção: O espaçamento máximo da armadura principal positiva

é 20 cm ou 2h. Para facilitar a concretagem de uma laje, costuma-se utilizar o espaçamento s, entre as barras de no mínimo 8cm. d) Armadura de distribuição Nas lajes armadas numa só direção, a armadura de distribuição deve: Ser ≥ 20% da área da armadura principal; Ser ≥ 0,9 cm2/m; Ter espaçamento s ≤ 33cm.

Utiliza-se também a armadura de distribuição para apoiar a armadura negativa das lajes. e) Definição das barras e espaçamentos

Bitolas comerciais

φ = diâmetro nominal da barra em mm As1 = área da seção transversal de uma barra em cm2 m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m

Figura 2-21 – Escolha das barras (bitola x espaçamento)

φ(mm) As1(cm2) m1(kg/m) 4 0,125 0,1 5 0,2 0,16

6,3 0,315 0,25 8 0,5 0,4 10 0,8 0,63

12,5 1,25 1,0

100 cm

h

s s

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Calculada a área de aço As por metro de laje, e conhecendo a área da seção transversal de uma barra (As1) de uma determinada bitola (Figura 2-21), determinamos a quantidade mínima de barras necessária em 1m de laje:

1s

s

AAn =

( 2.30 )

Com a quantidade de barras, determinamos o espaçamento entre as barras:

( )cmemn

100s = ( 2.31 )

Para escolher as barras e espaçamentos, podemos fazer também uso de tabelas:

Tabela 2-2 - Área da seção da armadura por metro de laje (cm2/m)

Espaç. Bitola cm 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 7 1,14 1,79 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86 28,57 8 1,00 1,56 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63 25,00 9 0,89 1,39 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89 22,22 10 0,80 1,25 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 20,00 11 0,73 1,14 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 18,18 12 0,67 1,04 1,67 2,63 4,17 6,67 10,42 16,67 13 0,62 0,96 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 15,38 14 0,57 0,89 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 14,29 15 0,53 0,83 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 13,33 16 0,50 0,78 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 12,50 17 0,47 0,74 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 11,76 18 0,44 0,69 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 11,11 19 0,42 0,66 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 10,53 20 0,40 0,63 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 10,00

2.1.13 Detalhamento das Armaduras a) Armadura Positiva É estendida, a favor da segurança até os apoios, penetrando no mínimo 10φ ou 6cm no apoio. Para garantir o comportamento de chapa, deve ser ancorada nas vigas. Alguma economia pode ser conseguida utilizando barras alternadas, que podem ter seu comprimento reduzido de 0,2 lx.

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Figura 2-22 – Armadura positiva – barras alternadas

b) Armadura Negativa Devem cobrir o diagrama de momento fletor negativo. Em geral, utiliza-se uma extensão lx/4 para cada lado do apoio (para vãos diferentes, adota-se lx = l>vão). Deve ser utilizada uma “armadura de borda” ao longo dos apoios livres, para combater a eventual fissuração decorrente do engaste parcial. Costuma-se adotar barras com comprimento de lx/5 com porcentagem de armadura igual à mínima, restringindo o espaçamento entre as barras a 2h, devendo-se lembrar da armadura de distribuição associada.

Figura 2-23 – Armadura de borda

Para as lajes em balanço, é usual prolongar a armadura do balanço, sobre a laje adjacente, com extensão de lbalanço. Alguma economia pode ser feita utilizando barras alternadas:

Figura 2-24 – Armadura negativa – barras alternadas

Quando não houver viga em algum bordo de uma laje, deve ser feito um “gancho” com a armadura positiva ou negativa para proteger a borda da laje.

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Figura 2-25 – Armadura de proteção (bordos sem vigas)

Figura 2-26 – Armadura de proteção (furo em laje – bordos sem vigas)

2.1.14 Desenho das Armaduras Determinados a bitola e o espaçamento das barras pode ser feito nos “croquis” das fôrmas um desenho esquemático das armaduras. O esquema mais importante é o da armadura negativa, onde aparecem os detalhes: comprimento da barra sem considerar os ganchos e dimensões de um lado e de outro do eixo da viga.

2.1.15 Tabela de Ferros e Tabela Resumo Fica por conta do desenhista, com fiscalização do engenheiro calculista, os detalhes restantes, como por exemplo, número da barra (ou posição número tal), número de barras, comprimento total da barra incluindo ganchos, etc. No fim, o desenho deve apresentar a “tabela de ferros”:

Comprimento (m) No. φ (mm) Quant. Unitário Total

... ... ... ... ...

Figura 2-27 – Tabela de Ferros

Seguida da “tabela-resumo”:

20φ

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φ (mm) C. Total (m)

Peso (kg)

... ... ...

Figura 2-28 – Tabela Resumo

Com as tabelas-resumo, o construtor encomenda o aço necessário à obra. A coluna “kg” pode incluir um peso adicional de 10% como previsão para as perdas inevitáveis no corte das barras.

2.1.16 Funcionamento Global das Lajes As lajes possuem grande capacidade de acomodação plástica, permitindo o cálculo na ruptura em regime rígido plástico, sem maiores indagações sobre a capacidade de rotação das charneiras plásticas. Entretanto, quando precisarmos que a laje funcione também como chapa: Deveremos admitir uma redistribuição máxima de 15% dos momentos negativos

calculados em regime elástico, evitando a formação de charneiras plásticas; A laje não deve ser calculada pelo método das charneiras plásticas.

Trabalhando como chapa, as lajes contraventam a estrutura, ajudando a garantir a integridade estrutural tridimensional da estrutura como um todo. A garantia do comportamento de chapa das lajes decorre do detalhamento adequado das ancoragens, conforme mostram as próximas figuras.

Figura 2-29 – Ancoragens das armaduras das lajes para o seu funcionamento como chapa

Page 70: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 22

2.1.17 Aplicação ao Edifício Exemplo Neste item serão apresentados os cálculos das lajes L1 e L7 do edifício exemplo, tomando como base a teoria apresentada anteriormente. Inicialmente, será feito o cálculo da laje L7 e posteriormente será apresentado o cálculo da laje L1. a) Laje L7 A laje 7 é uma laje de tipo especial: em forma de L, com duas bordas livres. Dificilmente encontraremos tabelas para tais casos. O cálculo “exato”, pela Teoria da Elasticidade ou utilizando um programa de elementos finitos, como já dissemos, é bastante trabalhoso e não se justifica pela dimensão do problema. Faremos, então, um cálculo aproximado bem simples, a favor da segurança. Hipótese Simplificadora: A faixa com 1,97m de largura apóia-se nas vigas V6 e V11 e a faixa com 2,00m de largura apóia-se nas vigas V18 e V20, conforme ilustra a Figura 2-30.

L7

Pd=10,77 kN/m

mx

myV6

V11

V18

V20

Figura 2-30 – Simplificação adotada para o cálculo da laje L7

A laje L7 apresenta carregamento permanente de 4,69 kN/cm² e carregamento variável de 3,0 kN/cm², o que resulta em um carregamento total de 7,69 kN/cm². Dessa maneira, o valor de cálculo do carregamento é igual a : pd = 1,4.pk = 1,4.7,69 = 10,77 kN/cm²

Page 71: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 23

Sabendo-se os carregamentos e os vãos podemos calcular os momentos nas direções x e y. Assim, temos:

cm.kN5,16488

5,3.77,108lpm

22xd

x ===

cm.kN9,17928

65,3.77,108lp

m22

ydy ===

A altura da laje L7 e o cobrimento de armadura adotado baseado no Projeto de Revisão da NBR6118 são ilustrados na Figura 2-31.

Figura 2-31 – Altura e cobrimentos de armaduras das lajes com h=10cm

Conhecidos os momentos atuantes nas duas direções é possível calcular a armadura necessária. O cálculo é feito da seguinte maneira: Direção x mx = 1648,5 kN.cm (valor de cálculo) dx = 6,5 cm

²cm/kN786,14,15,2fcd ==

²cm/kN48,4315,150fyd ==

!OKcm08,4d628,0xcm46,2x

786,1.5,6.100.425,05,164811.5,7.25,1

f.d.b.425,0m11d25,1x

34

2cd

2d

→==<=

−−=

−−⋅=

²cm87,6)46,2.4,05,7.(48,43

5,1648)x.4,0d(f

mAyd

ds =

−=

−=

Direção y my = 1792,9 kN.cm(valor de cálculo) dy = 7,5 cm

Page 72: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 24

²cm/kN786,14,15,2fcd ==

²cm/kN48,4315,150fyd ==

!OKcm08,4d628,0xcm24,2x

786,1.5,7.100.425,09,179211.5,6.25,1

f.d.b.425,0m11d25,1x

34

2cd

2d

→==<=

−−=

−−⋅=

²cm24,6)24,2.4,05,6.(48,43

9,1792)x.4,0d(f

mAyd

ds =

−=

−=

b) Laje L1 A laje L1 possui continuidade com as lajes adjacentes L2 e L5. Dessa maneira, os momentos negativos devem ser calculados de maneira isolada para cada laje e então compatibilizados. A correção do momento positivo sempre deve ser feita no lado em que o momento negativo atuante é menor que o momento negativo compatibilizado. A Figura 2-32 ilustra a denominação adotada para os momentos atuantes nas lajes de maneira isolada e compatibilizada.

L1L2

L5

my1

mx1

mby1 mbx2

mbx

5

mb12

mb1

5

Figura 2-32 – Momentos atuantes nas lajes adjacentes a L1

Conhecidos os carregamentos, os vãos e as condições de vinculação das lajes isoladas pode-se obter os esforços solicitantes por meio da utilização das Tabelas de Czerny, fornecidas no item 2.2. A laje L1 possui três bordas livremente apoiadas e uma borda menor engastada, dessa maneira, trata-se de uma laje do Tipo 2A. A partir da relação entre os vãos da laje é possível entrar na tabela citada anteriormente e obter os coeficientes para o cálculo dos esforços solicitantes. Assim, temos que:

Page 73: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 25

=β=α=α

→== −

7,97,235,19

28,1432555

ll

y

y

xA2TipoTabela

x

y

²m/kN65,989,6.4,1p.4,1pd ===

cm.kN2,923m.kN23,95,1932,4.65,9lx.pmx

2

x

2d

1 ===α

=

cm.kN9,759m.kN60,77,2332,4.65,9lx.pmy

2

y

2d

1 ===α

=

cm.kN6,1856m.kN56,187,932,4.65,9lx.pmby

2

y

2d

1 ===β

=

A laje L2 possui duas bordas adjacentes engastadas e duas bordas livremente apoiadas. Dessa maneira, temos uma laje do Tipo 3.

7,1123,1460565

ll

x3TipoTabela

x

y =β →== −

²m/kN07,1019,7.4,1p.4,1pd ===

cm.kN2,1821m.kN2,187,11

6,4.07,10lx.pmbx2

x

2d

2 ===β

=

A Laje L5, por sua vez, possui 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e outra livremente apoiada. Dessa maneira, trata-se de uma laje do Tipo 5B.

2,1601,1273275

ll

xB5TipoTabela

x

y =β →== −

²m/kN17,955,6.4,1p.4,1pd ===

cm.kN9,421m.kN2,42,1673,2.17,9lx.pmbx

2

x

2d

5 ===β

=

Após calcular os momentos negativos atuantes na laje 1 e nas lajes adjacentes é necessário então fazer a compatibilização dos momentos fletores negativos. O momento compatibilizado é o maior valor entre a média dos momentos negativos e 80% do maior momento negativo. Dessa maneira, temos na continuidade das lajes L1 e L2 a seguinte compatibilização:

Page 74: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 26

==

=+

=+

≥cm.kN3,14856,1856.8,0mby.8,0

cm.kN9,18382

2,18216,18562

mbxmby

mb

1

21

12

Na continuidade existente entre as lajes L1 e L5 o momento compatibilizado é dado por:

==

==

≥cm.kN5,3379,421.8,0mbx.8,0

cm.kN2112

9,4212

mbx

mb

5

5

15

Feita a compatibilização dos momentos negativos é necessário corrigir os momentos positivos da laje L1. Isto é feito da seguinte maneira:

cm.kN8,7682

9,18386,18569,7592

mbmbymymymbymb 12111112 =

−+=

−+=→<

cm.kN2,923mx0mbxmb 1115 =→=> Uma vez obtidos os esforços finais (momentos corrigidos e compatibilizados), podemos então calcular as armaduras necessárias. A rotina de cálculo para o cálculo das armaduras é a mesma apresentada para a laje L7. Dessa maneira, temos: mx1 = 923,2 kN.cm (valor de cálculo) d = 7,5 cm

²cm/kN786,14,15,2fcd ==

²cm/kN48,4315,150fyd ==

!OKcm7,4d628,0xcm1,1x

786,1.5,7.100.425,02,92311.5,7.25,1

f.d.b.425,0m11d.25,1x

34

2cd

2d

→==<=

−−=

−−=

²cm0,3)1,1.4,05,7.(48,43

2,923)x.4,0d(f

mAyd

ds =

−=

−=

Realizando os mesmos cálculos descritos anteriormente para os vários momentos atuantes na laje L1, chega-se as armaduras apresentadas na Tabela 2-3. Deve-se observar que a altura da laje L5 é igual a 7cm, e por isso, a altura útil (d) é igual a 4,5 cm. Essa condição foi utilizada no cálculo da armadura necessária para vencer o momento negativo mb15.

Tabela 2-3 – Armaduras necessárias para a laje L1

Page 75: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 27

As (cm²/m) d(cm) mx1 3,00 7,5 my1 2,91 6,5 mb12 6,43 7,5 mb15 1,83 4,5

Após calculadas as armaduras resistentes é necessário verificar a flecha da laje satisfaz os valores limites. Da Tabela 2A temos que 9,172 =α , tal que:

23

4x

Ehpa

α=

l

Do Projeto de Revisão da NBR6118 temos que:

²cm/kN2380MPa2380025.5600.85,0f.5600.85,0EE ckcs ===== lx = 4,32 m h = 10 cm

=+=+==

=)final(²cm/kN99,135,1.7,039,5.4,2q7,0g4,2

)inicial(²cm/kN05,15,1.7,0q7,0p

!OKcm86,0500

cm09,0a xinicial →=<=

l

!OKcm44,1300

cm14,1a xfinal →=<=

l

Dessa maneira, as flechas da laje L1 estão dentro dos limites estabelecidos por norma. Finalmente, é preciso fazer a verificação da laje quanto ao cisalhamento junto aos apoios. O primeiro passo é a verificação do concreto:

wud

wd bdV

τ≤=τ

m/kN04,40)9,49,23.(4,1V max,d =+=

²cm/kN04,0100.1004,40

wd ==τ

²cm/kN223,0f.25,0.5,0 cdwu ==τ !OKwuwd →τ≤τ

Como a tensão de cisalhamento atuante é menor que o valor último de cisalhamento do concreto utilizado pode-se garantir que não haverá ruptura do concreto nas regiões de apoio da laje L1. No entanto, deve ser feita uma nova verificação, para avaliar se a laje L1 precisará de armadura transversal. Esse cálculo segue a seguinte rotina:

Page 76: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 28

²cm/kN04,0wd =τ

00643,0100.1043,6

h.bA existente,s

1 ===ρ

17,000643,060,060,0 4414 ==ρ=ψ

²cm/kN085,02517,0fck41wu ==ψ=τ Como 1wuwd τ<τ não é necessário dispor armadura transversal. Calculadas as armaduras deve-se então fazer o detalhamento final da laje L1. A escolha das barras e os espaçamentos máximos são feitos utilizando os critérios abaixo:

Escolha da bitola → mm1010h

mm3,6mm4

=≤φ≤

Escolha do espaçamento → cm20scm8 ≤≤ As armaduras mínimas calculadas para a laje L1 são dadas abaixo:

m/²cm110.10,0A min,s ==+ m/²cm5,110.15,0A min,s ==−

O cálculo do número de barras para o momento negativo mb12 é apresentado abaixo: As = 6,43 cm²/m As1= 0,8 cm² (φ10 mm)

m/barras04,88,043,6

AAn

1s

s ===

12cmc/10 - N1cm12s4,1204,8

100s φ→=→==

N1 - φ10 c/12 cm Do mesmo modo, procede-se para as demais armaduras, de maneira que é possível montar a Tabela 2-4.

Tabela 2-4 – Bitolas e espaçamentos de armaduras para a laje L1

As (cm²/m) Bitolas e Espaçamento mx1 3,00 φ6,3 c/10 cm my1 2,91 φ6,3 c/10 cm mb12 6,43 φ10 c/12 cm mb15 1,83 φ6,3 c/17 cm

Calculadas as armaduras, resta-nos determinar os desenhos de armação e as tabelas resumo:

Page 77: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 29

Figura 2-33 – Armaduras positivas

Figura 2-34 – Armaduras negativas

V9(19-12/55)P13(19/65) V1

5(12

/55)

L5h=7cm

V7(12/55)

P14(20/160) V11(12/55)

L7h=10cm

V4(19-12/55)

V14(

19/5

5)

(19/65)P7

(19/65)P1

V1(19/55)

h=10cm

(20/285)P8

L1

(110/19)P2

(20/140)h=10cmL2 P9

V5(12/55) V18(

10/4

0)

V3(12/55)

(20/40)P3

P15(20/160)

V8(12/55)

(20/140)P10

P4(20/40)

42 N1 - 0 6,3 c/ 10 - c= 569

54 N

2 - 0

6,3

c/ 1

0 - c

= 44

6

19 N3 - 0 10 c/ 11 - c= 379

13 N

5 - 0

10

c/ 1

2 - c

= 23

1

17 N

6 - 0

10

c/ 1

2 - c

= 36

4

13 N4 - 0 10 c/ 11 - c= 236

V4(19-12/55)

V9(19-12/55)

P7

P13(19/65)

(19/65)

V14(

19/5

5)

P1(19/65) V1(19/55)

V18(

10/4

0)

V15(

12/5

5)

L8

h=7cmL5

V7(12/55)

P8(20/285)

(20/160)P14

L9h=10cm

V11(12/55)

h=10cmL7

V5(12/55)

L1h=10cm

P2(110/19)

(20/140)h=10cmL2 P9 V3(12/55)

P3(20/40)

(20/160)P15

(20/140)P10

P4(20/40)

108

108

115115

32 N7 - 0 5 c/ 13 - c= 99

42 N

7 - 0

5 c

/ 13

- c=

99

35 N8 - 0 10 c/ 12 - c= 242

16 N

9 - 0

6,3

c/ 1

7 - c

= 22

5

21 N

7 - 0

5 c

/ 13

- c=

99

15 N10 - 0 5 c/ 13 - c= 236

15 N

12 -

0 5

c/ 1

3 - c

= 18

8

11211215 N10 - 0 5 c/ 13 - c= 236

27 N

11 -

0 5

c/ 1

3 - c

= 83

88

112 112

88

70

Page 78: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 30

Comprimento No. φ (mm) Quant. Unitário (cm) Total (m) 1 6,3 42 569 239 ... ... ... ... ...

φ (mm) C. Total (m)

Peso (kg)

6,3 239 59,75 ... ... ...

2.1.18 Referências Bibliográficas [1] MACHADO, Claudinei Pinheiro – Fixação prática e econômica das espessuras de lajes usuais maciças e nervuradas de concreto armado. [2] FUSCO, P. B. – Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto.

Page 79: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 31

2.2 Tabelas de Czerny

TABELA 1 - TIPO 1

Laje com as 4 bordas livremente apoiadas (carga uniforme)

TABELA 2 - TIPO 2A Laje com 3 bordas livremente apoiadas e

uma borda menor engastada (carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

wp

Ehmaxx=l 4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y

βx βy

α2

1,00 22,7 22,7 21,4 1,05 20,8 22,5 19,4 1,10 19,3 22,3 17,8 1,15 18,1 22,3 16,5 1,20 16,9 22,3 15,4 1,25 15,9 22,4 14,3 1,30 15,2 22,7 13,6 1,35 14,4 22,9 12,9 1,40 13,8 23,1 12,3 1,45 13,2 23,3 11,7 1,50 12,7 23,5 11,2 1,55 12,3 23,5 10,8 1,60 11,9 23,5 10,4 1,65 11,5 23,5 10,1 1,70 11,2 23,5 9,8 1,75 10,8 23,5 9,5 1,80 10,7 23,5 9,3 1,85 10,4 23,5 9,1 1,90 10,2 23,5 8,9 1,95 10,1 23,5 8,7 2,00 9,9 23,5 8,6 >2 8,0 23,5 6,7

mp

xx

x

=l

2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m py

x

y

l2

β

wp

Ehmax

x

=l

4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y

βx βy

α2

1,00 32,4 26,5 11,9 31,2 1,05 29,2 25,0 11,3 27,6 1,10 26,1 24,4 10,9 24,7 1,15 23,7 23,9 10,4 22,3 1,20 22,0 23,8 10,1 20,3 1,25 20,2 23,6 9,8 18,7 1,30 19,0 23,7 9,6 17,3 1,35 17,8 23,7 9,3 16,1 1,40 16,8 23,8 9,2 15,1 1,45 15,8 23,9 9,0 14,2 1,50 15,1 24,0 8,9 13,5 1,55 14,3 24,0 8,8 12,8 1,60 13,8 24,0 8,7 12,2 1,65 13,2 24,0 8,6 11,7 1,70 12,8 24,0 8,5 11,2 1,75 12,3 24,0 8,45 10,8 1,80 12,0 24,0 8,4 10,5 1,85 11,5 24,0 8,35 10,1 1,90 11,3 24,0 8,3 9,9 1,95 10,9 24,0 8,25 9,6 2,00 10,8 24,0 8,2 9,4 >2 8,0 24,0 8,0 6,7

mx

mx

my

my

ly

ly

lx

lx

m’y

Page 80: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 32

TABELA 3 - TIPO 2B Laje com 3 bordas livremente apoiadas e

uma borda maior engastada (carga uniforme)

TABELA 4 - TIPO 3 Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e

as outras duas livremente apoiadas (carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m px

x

x

l2

β

wp

Ehmaxx=l 4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y

βx βy

α2

1,00 26,5 32,4 11,9 31,2 1,05 25,7 33,3 11,3 29,2 1,10 24,4 33,9 10,9 27,4 1,15 23,3 34,5 10,5 26,0 1,20 22,3 34,9 10,2 24,8 1,25 21,4 35,2 9,9 23,8 1,30 20,7 35,4 9,7 22,9 1,35 20,1 37,8 9,4 22,1 1,40 19,7 39,9 9,3 21,5 1,45 19,2 41,1 9,1 20,9 1,50 18,8 42,5 9,0 20,4 1,55 18,3 42,5 8,9 20,0 1,60 17,8 42,5 8,8 19,6 1,65 17,5 42,5 8,7 19,3 1,70 17,2 42,5 8,6 19,0 1,75 17,0 42,5 8,5 18,7 1,80 16,8 42,5 8,4 18,5 1,85 16,5 42,5 8,3 18,3 1,90 16,4 42,5 8,3 18,1 1,95 16,3 42,5 8,3 18,0 2,00 16,2 42,5 8,3 17,8 >2 14,2 42,5 8,0 16,7

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m px

x

x

l2

β

′ = −m

py

x

y

l2

β

wp

Ehmax

x

=l

4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y

βx βy

α2

1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1 1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5 1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7 1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9 1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2 1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8 1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5 1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5 1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5 1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7 1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1 1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5 1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0 1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5 1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1 1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7 1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4 1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0 1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8 2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5 >2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7

mx

mx

my

my

ly

ly

lx

lx

m’x

m’x

m’y

Page 81: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 33

TABELA 5 - TIPO 4A Laje com 2 bordas maiores livremente apoiadas e duas bordas

menores engastadas (carga uniforme)

TABELA 6 - TIPO 4B Laje com 2 bordas maiores engastadas e duas bordas menores

livremente apoiadas (carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m

py

x

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l 4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y

βx βy

α2

1,00 46,1 31,6 14,3 45,3 1,05 39,9 29,8 13,4 39,2 1,10 36,0 28,8 12,7 34,4 1,15 31,9 27,7 12,0 30,4 1,20 29,0 26,9 11,5 27,2 1,25 26,2 26,1 11,1 24,5 1,30 24,1 25,6 10,7 22,3 1,35 22,1 25,1 10,3 20,4 1,40 20,6 24,8 10,0 18,8 1,45 19,3 24,6 9,75 17,5 1,50 18,1 24,4 9,5 16,3 1,55 17,0 24,3 9,3 15,3 1,60 16,2 24,3 9,2 14,4 1,65 15,4 24,3 9,05 13,7 1,70 14,7 24,3 8,9 13,0 1,75 14,0 24,3 8,8 12,4 1,80 13,5 24,3 8,7 11,9 1,85 13,0 24,3 8,6 11,4 1,90 12,6 24,3 8,5 11,0 1,95 12,1 24,3 8,4 10,6 2,00 11,8 24,3 8,4 10,3 >2 8,0 24,3 8,0 6,7

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m px

x

x

l2

β

wp

Ehmaxx=l 4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y

βx βy

α2

1,00 31,6 46,1 14,3 45,3 1,05 29,9 46,4 13,8 43,2 1,10 29,0 47,2 13,5 41,5 1,15 28,0 47,7 13,2 40,1 1,20 27,2 48,1 13,0 39,0 1,25 26,4 48,2 12,7 37,9 1,30 25,8 48,1 12,6 37,2 1,35 25,3 47,9 12,4 36,5 1,40 24,8 47,8 12,3 36,0 1,45 24,4 47,7 12,2 35,6 1,50 24,2 47,6 12,2 35,1 1,55 24,0 47,6 12,1 34,7 1,60 24,0 47,6 12,0 34,5 1,65 24,0 47,6 12,0 34,2 1,70 24,0 47,4 12,0 33,9 1,75 24,0 47,3 12,0 33,8 1,80 24,0 47,2 12,0 33,7 1,85 24,0 47,1 12,0 33,6 1,90 24,0 47,1 12,0 33,5 1,95 24,0 47,1 12,0 33,4 2,00 24,0 47,0 12,0 33,3 >2 24,0 47,0 12,0 32,0

mx

mx

my

my m’x

ly

ly

lx

lx

m’y

m’y

m’x

Page 82: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 34

TABELA 7 - TIPO 5A Laje com 2 bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e

outra livremente apoiada (carga uniforme)

TABELA 8 - TIPO 5B Laje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e

outra livremente apoiada (carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m

px

x

x

l 2

β

′ = −m

py

x

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l 4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y

βx βy

α2

1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4 1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7 1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8 1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7 1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7 1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1 1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6 1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5 1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5 1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6 1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8 1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1 1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5 1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0 1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5 1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1 1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7 2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3 >2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m px

x

x

l2

β

′ = −m

py

x

y

l2

β

wp

Ehmax

x

=l

4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y

βx βy

α2

1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4 1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1 1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5 1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2 1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9 1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9 1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0 1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2 1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5 1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0 1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4 1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0 1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6 1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4 1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2 1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9 1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8 2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7 >2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0

mx

mx

my

my m’x

ly

ly

lx

lx

m’y

m’y

m’x

m’x

m’y

Page 83: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 35

TABELA 9 - TIPO 6 Laje com as 4 bordas engastadas

(carga uniforme)

TABELA 10 Laje com 3 bordas engastadas e uma livre

(carga triangular)

TABELA 11 Laje com 3 bordas engastadas e uma livre

(carga triangular)

mp

xx

x

=l2

α

m p

yx

y

=l2

α

′ = −m

px

x

x

l 2

β

′ = −m

py

x

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l 4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y

βx βy

α2

1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4 1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3 1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0 1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5 1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5 1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4 1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6 1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9 1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3 1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8 1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4 1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1 1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7 1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,5 2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,3 >2 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0

l ly x/ α x α y

βx βy

α2

1,00 85,5 80,5 29,0 34,5 118

1,10 73,5 78,1 25,3 32,1 94,7

1,20 65,2 77,7 22,9 30,3 79,5

1,30 57,6 78,2 21,1 29,2 69,0

1,40 52,4 80,8 19,6 28,5 61,3

1,50 48,2 83,2 18,8 28,2 55,7

2,00 37,8 94,6 16,6 27,3 43,0

>2 33,5 94,6 15,0 26,0 34,9

l ly x/ α x

α y

βx βy

α2

1,00 80,5 85,5 34,5 29,0 118

1,10 70,3 82,9 31,1 26,9 103

1,20 62,8 80,7 28,7 25,8 92,2

1,30 57,7 78,9 26,7 24,9 85,4

1,40 54,3 77,5 25,3 24,1 80,1

1,50 51,5 76,4 23,7 23,8 76,6

2,00 45,2 73,3 20,2 21,9 70,9

>2 40,0 70,0 16,0 20,0 68,0

mx

mx

my

my

mx my

ly

ly

lx

lx

m’y

ly

m’y

m’y

lx

m’x

m’x

m’x

Valem as mesmas fórmulas das tabelas anteriores.

Valem as mesmas fórmulas das tabelas anteriores.

m’y

m’y

m’x m’x

p

p

Page 84: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 36

2.3 Lajes Nervuradas

2.3.1 Generalidades Lajes nervuradas são lajes cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais podem ser postos materiais inertes, de modo a tornar plana a superfície externa (laje mista). Ainda que o material colocado entre as nervuras tenha certa resistência, não se conta com ela (caso contrário, teremos as lajes mistas, objeto da norma NB-4). As lajes nervuradas podem ser armadas em uma só direção, ou em cruz. Para realizar uma laje nervurada, há vários tipos de materiais de enchimento ou de técnicas de execução: “caixão perdido”, tijolos furados, blocos de concreto, de pumex, de isopor, etc. As nervuras podem ficar também aparentes, não havendo o material inerte entre nervuras, sem ou com forro falso (placas de gesso, “duratex”, etc.). As lajes maciças cobrem em geral vãos de até 6m, e possuem grande peso próprio. Já com as lajes nervuradas, aumentamos sua altura útil sem aumentar em demasia seu peso próprio.

2.3.2 Disposições construtivas específicas das lajes nervuradas: (Item 6.1.1.3 da NBR6118/78)

Figura 2-35 – Laje nervurada

( ) cm100a 0 ≤= l (distância entre as faces das nervuras);

bwbw

Page 85: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 37

cm4bw ≥ (largura das nervuras);

≥15

cm4h 0f l (altura da mesa);

Para lajes armadas em 1 direção, deve-se dispor de:

>>

m6paraasdistribuídnervuras2m4paraadistribuídnervura1

l

l;

Nervuras com bw < 8cm não podem ter A´s no lado oposto à mesa.

As lajes nervuradas podem ser calculadas como se fossem maciças ( )cm50a ≤ , segundo o item 3.3.2.10 da NBR6118/78. A determinação dos esforços solicitantes pode ser feita no regime elástico. Seja a ou l0 a distância livre entre nervuras. A resistência da mesa à flexão deve ser verificada quando: cm500 >l ; Houver carga concentrada.

As nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento sempre. O valor último τwu será o de vigas quando cm500 >l e o de laje quando cm500 ≤l . A armadura mínima de distribuição é a mesma das lajes maciças armadas numa só direção (Item 6.3.1.1 da NB1/78). Os estribos das nervuras, quando necessários, devem ter espaçamento cm20s ≥ (Item 6.3.2.1 da NB1/78).

2.3.3 Verificação de flechas A norma (NBR6118/78) é incompleta neste ponto (Item 4.2.3.1.c). De qualquer maneira, não usaremos os coeficientes ψ2 e ψ3. Ao invés disto, utilizaremos a verificação de flechas no Estádio II.

Page 86: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 1

3 – Cálculo das Vigas

3.1 Introdução Dando seqüência ao projeto do edifício exemplo, partiremos agora para o cálculo e dimensionamento das vigas.

3.1.1 Ações As ações geram solicitações nas estruturas. Estas solicitações são determinadas através de teorias de cálculo estrutural. No caso geral, tem-se: F = Fk → Fd = γf Fk → Sd ou, em estruturas de comportamento linear, F = Fk → Sk → Sd = γf Sk . No caso da flexão simples, tem-se: Fd → Md.

3.1.2 Resistências As resistências são determinadas através de teorias apropriadas, a partir dos dados da seção transversal e das características mecânicas dos materiais. No caso da flexão simples tem-se, como dados: fck (resistência do concreto); fyk (resistência da armadura); e dimensões relativas da seção transversal (concreto e armadura). Através de teoria apropriada determina-se o momento resistente último, Mu

3.1.3 Verificações de Segurança Existe segurança adequada quando é verificada a condição: Md ≤ Mu. Por razões de economia, faz-se Md = Mu.

Page 87: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 2

3.1.4 Tipos de Ruptura na Flexão Em geral, tem-se o seguinte tipo de ruptura:

se As = 0, ou muito pequena ⇒ ruptura frágil (brusca) por tração no concreto; se As for muito grande (pequena deformação εs)⇒ ruptura frágil (brusca) por

esmagamento do concreto comprimido; e se As for “adequada” ⇒ ruptura dúctil (com aviso), com escoamento da

armadura e acompanhada de intensa fissuração da zona tracionada

3.2 Hipóteses de Cálculo na Flexão Para o dimensionamento usual das vigas em concreto armado, deve-se respeitar as seguintes hipóteses de cálculo: a) Manutenção da seção plana ; As seções A e B passam para A’ e B’, quando fletidas, permanecendo planas conforme a figura a seguir:

b) Aderência perfeita entre concreto e armadura; Inexiste qualquer escorregamento entre os materiais, em outras palavras, a deformação da armadura εs é admitida igual à deformação da fibra de concreto εc , junto a esta armadura. c) Tensão no concreto nula na região da seção transversal sujeita a deformação de

alongamento; d) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no aço

aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento conforme a figura d1.

Page 88: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 3

Figura d.1 Es = 21.000 kN/cm2 fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento (resistência característica no escoamento) γs = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura) fyd = fyk / γs = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento εyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de escoamento Os aços desta categoria são os seguintes: TIPO fyk (kN/cm2) fyd (kN/cm2) εyd CA25 25 21,74 0,00104 CA32 32 27,83 0,00132 CA40A 40 34,78 0,00166 CA50A 50 43,48 0,00207 Os aços são designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistência característica no escoamento em kN/cm2. aço encruado (CA50B e CA60B)

Figura d.2 Até o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear; entre A e B, admite-se diagrama em parábola do 2o grau; e, além do ponto B, um patamar. Admite-se que o diagrama tensão-deformação na armadura seja o mesmo, na tração e na compressão.

σsd fyk fyd

εyd 0,010 εsd

arctg Es diagrama de

σsd fyk fyd

εyd 0,010 εsd

arctg Es diagrama de

0,002

A B

Page 89: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 4

e) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no concreto diagrama parábola-retângulo

Figura e.1 γc = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto) fcd = fck / γc 0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistência do concreto para cargas de longa duração (efeito Rusch) diagrama retangular simplificado

Figura e.2 x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimida k = 0,85 , quando a largura da zona comprimida não diminui em direção à borda comprimida (seção retangular); em caso contrário usar 0,80. f) Domínios de Deformação, O estado limite último convencional ocorre quando o diagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B, na fig. f1).

Figura f.1

σcd

0,85fcd

0,002 0,0035

εc t t )

parábola do 2o

patamar

As

Mud x

k fcd

0,8x

deformação de estado limite

h

d

As

0,0035

εyd 0,010

A

B

x34 x23

D4 D3

D2

4 3

2 Mud

Page 90: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 5

Sendo: d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida x = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida) Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2 quando a altura da zona comprimida obedece à condição:

x ≤ x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d Por sua vez, o diagrama de deformação encontra-se no domínio 3 de deformação quando a altura da zona comprimida obedece à condição:

x23 ≤ x ≤ x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd) Analogamente, o diagrama de deformação está no domínio 4 quando:

x34 ≤ x ≤ d. A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D2 e D3 é dita sub-armada ou normalmente armada. Quando o ELUlt. é atingido no D4, a seção é dita superarmada. Trata-se de situação antieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar o dimensionamento neste domínio.

3.3 Dimensionamento à Flexão

3.3.1 Seção Retangular à Flexão A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma: a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular; a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e

pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade Resultantes das tensões:

no concreto: Rcd = 0,85⋅fcd⋅b⋅0,8⋅x = 0,68⋅b⋅x⋅fcd na armadura: Rsd = As⋅σsd

h d

b

x 0,8x 0,85fcd

Rc

Rsd

0,4

d - 0,4x Mud

As εu

σsd

Page 91: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 6

Equações de equilíbrio:

Força: Rcd = Rsd ou 0,68⋅b⋅x⋅fcd = As⋅σsd (1) Momento: Mud = Rcd ⋅ (d-0,4⋅x) ou Mud = Rsd ⋅ (d - 0,4⋅x) Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem:

Mud = 0,68⋅b⋅x⋅fcd⋅(d - 0,4⋅x) (2)

Ou Mud = As⋅σsd⋅(d - 0,4⋅x) (3)

Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletor solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d ≅ 0,9 h. Dessa forma, a equação (2) nos fornece o valor de x:

x dM

bd fd

cd

= − −

1 25 1 1

0 425 2,,

Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer as seguintes situações: I) domínio 2, onde x≤ x23 = 0,259 d; e σsd = fyd II) domínio 3, onde x23 ≤ x ≤x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd); e σsd = fyd III) domínio 4, se x ≥ x34; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça superarmada; esta alteração pode ser obtida da seguinte forma: ⇒ aumentando-se h (normalmente, b é fixo pois depende da espessura da parede onde a viga é embutida); ⇒ adotando-se armadura dupla. Obs.: o aumento da resistência do concreto (fck), também permitiria fugir do domínio 4. Para a situação adequada de peça sub-armada tem-se, σsd = fyd . Assim, a equação (3) nos fornece

)x4,0d(fM

)x4,0d(MA

yd

d

sd

ds −

=−σ

=

3.3.2 Seção “T” Para o cálculo de uma viga de seção “T,” deve-se inicialmente determinar uma largura que contribui para resistir ao esforço solicitante. Esta largura de contribuição da mesa, bf, mostrada na figura a seguir.

Page 92: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 7

Figura 3.3.2.1 Onde:

/2ba/10

balanco) em laje para (6h h 8b

2

ff

1

onde

=

contínua viga de interno vao em 0,6contínua viga de extremo vao em 0,75

isostatica viga em a

l

l

l

sendo l o vão correspondente da viga. Se a altura comprimida (0,8 x) for menor ou igual à espessura da laje (hf), tem-se uma seção retangular com armadura simples, já vista. Quando x for maior do que hf, a forma da zona comprimida (sujeita à tensão 0,85fcd) tem a forma de um “T”. A análise da seção pode ser feita como se indica a seguir. Figura 3.3.2.2 O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1 e 2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem: Resultante do concreto na aba colaborante: Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf (1) Resultante do concreto na alma: Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x) (2)

bf

bw

Rsd

d

hf Mud

1 1 2

x 0,8x

0,85fcd Rcfd

Rcwd

εu As

As

bf

b1 bw

hf 0,8

εu

0,85fc0,85fcd

Mud

Page 93: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 8

A equação de equilíbrio de momento fornece: Mud = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd (d - hf / 2) + Mcwd ou Mcwd = Md - Rcfd (d - hf / 2) Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retangular bw por d. Portanto

−−=

cd2

w

cwd

fdb425,0M

11d25,1x

Com a posição da linha neutra, obtém-se a resultante do concreto na alma, Rcwd, através de (2). A equação de equilíbrio de força permite escrever: Rsd = As fyd = Rcfd + Rcwd De onde se obtém a área de aço, As, necessária para resistir ao esforço solicitante.

3.3.3 Seção Retangular com Armadura Dupla Quando se tem, além da armadura de tração As , outra A’s posicionada junto à borda oposta comprimida, diz-se que se tem seção com armadura dupla. Normalmente, ela é empregada para se conseguir uma seção sub-armada sem alterar as dimensões da seção transversal. A armadura comprimida A’s introduz uma parcela adicional na resultante de compressão permitindo, assim, aumentar a resistência da seção. Seja o esquema de cálculo mostrado a seguir: Figura 3.3.3.1 Equilíbrio de força: Rsd = Rcd + R’sd As σsd = 0,68 b x fcd + A’sd σ’sd (a)

h d

d’

A’s

As

b

x ε’s

εc

0,4 d’ Rcd R’sd

Rsd

Md

Page 94: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 9

Equilíbrio de momento: Md = Rcd (d - 0,4 x) + R’sd (d - d’) Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) + A’sd σ’sd (d - d’) (b) Tem-se duas equações, (a) e (b) e três incógnitas: x, As e A’s (pois, as tensões nas armaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor de x (naturalmente, menor ou igual a x34), por exemplo, x = d/2. Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As e A’s como se indica a seguir. As equações (a) e (b) sugerem a decomposição mostrada na figura seguinte. Figura 3.3.3.2 Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momento resistente, designada por Mwd: Mwd = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) e Rsd1 = Mwd / (d - 0,4 x). Como σsd = fyd (peça sub-armada), tem-se

As1 = Rsd1 / fyd. Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente

∆Md = Md - Mwd. Também, ∆Md = R’sd (d - d’) = A’sd σ’sd (d - d’) e ∆Md = Rsd2 (d - d’) = As2 σsd (d - d’) que permitem determinar as áreas restantes de armadura, As2 e A’s. R’sd = Rsd2 = ∆Md / (d - d’) e As2 = Rsd2 / fyd. O cálculo de A’s, requer a determinação da tensão σ’sd.

x

εc

0,4x d’ Rcd R’sd

Rsd1

Mwd d

b

d

d’

A’s

As

Rsd2

x ε’s ∆Md

εc

As1 d- d-d’

Page 95: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 10

Com x = x, tem-se, no domínio 3, εc = 0,0035 e no domínio 2: εc = 0,010 x / (d – x) (por semelhança de triângulos). Logo:

ε’s = εc (x - d’) / x que permite obter σ’sd (no diagrama σ x ε da armadura). Finalmente: A’s = R’sd / σ’sd e As = As1 + As2.

3.4 Dimensionamento ao Cisalhamento

3.4.1 Modelo Simplificado para o Comportamento da viga (treliça básica de Mörsch)

O panorama de fissuração, que se implanta na viga por ocasião da ruptura, sugere um modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente (fig. 3.4.1.1). Esta treliça é constituída de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de concreto, e banzo inferior tracionado correspondente à armadura longitudinal de flexão), diagonais comprimidas de concreto inclinadas de 45o (bielas diagonais) e pendurais correspondentes à armadura transversal. Esta armadura é, em geral, constituída de estribos distanciados de s e posicionados ao longo da viga, perpendicularmente ao seu eixo. As cargas atuantes na viga são substituídas por forças concentradas equivalentes aplicadas aos “nós” da treliça. viga real modelo Figura 3.4.1.1

s s

45 z

Rcd

Rsd

pd pd . s

Page 96: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 11

Os esforços na treliça múltipla podem ser estimados através de uma treliça mais simples, isostática, fig. 3.4.1.2, dita treliça clássica ou treliça de Mörsch. Cada pendural nesta treliça representa (z/s) estribos, da treliça original, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida. Figura 3.4.1.2 Do equilíbrio do ponto J, fig. 3.4.1.3, tem-se: Rswd = Vd e R Vcwd d= 2 Figura 3.4.1.3 a) Tensão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto)

Figura 3.4.1.4

z

J

Rsd1 Rsd

Rswd=Vd Rcw

Rcd

RcwVd Rsd Rcw Rswd=Vd

Rsd1 Rsd

z

45 z=d/1,1

Rcd

Rsd

z

z

bw h1

Page 97: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 12

Conforme a figura acima (Figura 3.4.1.4), pode-se escrever que a tensão média na biela comprimida é dada através de:

σ τcwdcwd

w

d

w

d

wo

Rb h

V

b zV

b z= = = =

1

2

2

22 , sendo τo

d

w

Vb z

= .

Como z ≅ d/1,15, tem-se, também:

σ τcwdcwd

w

d

w

d

w

d

w

d

wwd

Rb h

V

b zV

b zV

b dV

b d= = = ≅ = =

1

2

2

2 2

115

2 3 2 3

,

, ,

onde

τ wdd

w

Vb d

= .

b) Tensão média no estribo Figura 3.4.1.5 Sendo Asw a área total correspondente a um estribo, tem-se para o estribo usual de 2 ramos: Asw = 2 As1 (As1 = área da seção da armadura do estribo). Conforme a fig. 3.4.1.5, tem-se:

στρswd

swd

sw

d

sw w

w

d

wsw

w

o

w

Rzs

A

Vz A

sbb

V

b z Ab s

= =⋅

=⋅

=

ou

σ

τρ

swdswd

sw

d

sw

d

sw

d

sw w

w

d

wsw

w

wd

w

Rzs

A

Vd A

s

Vd A

s

Vd A

sbb

V

b d Ab s

= ≅⋅

= ⋅⋅

= ⋅⋅

=⋅

=

115

115 115

115 115

,

, ,

, ,

z

z

s

φt As1

estrib

Page 98: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 13

onde: z / s = número de estribos no comprimento z de viga e

ρww

w

Ab s

= = taxa geométrica de armadura transversal.

3.4.2 Dimensionamento a) Verificação do Concreto Admite-se que a segurança de uma viga ao cisalhamento esteja devidamente atendida quando τ τwd wu cdf≤ = ⋅0 3, (não maior do que 4,5 MPa)

Com, db

V

w

dwd =τ (Vd = γf V)

De resultados de análises experimentais, permite-se considerar na flexão simples:

τ c ckf= 0 15, (em MPa).

b) Cálculo dos Estribos Dessa forma, atribuindo à tensão de tração nos estribos o valor fywd, eles podem ser quantificados através da expressão:

ρτ τ

wwd c

ywdf=

−115,

Onde fywd = 43,48 kN/cm2 para os aços CA50.

3.4.3 Arranjos das armaduras Também para o dimensionamento ao cisalhamento deve-se respeitar as seguintes condições: a) Armadura transversal mínima (estribo mínimo)

ρw

para o CA CApara o CAmin

, /,

=−−

0 14% 50 600 25% 25

Page 99: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 14

A este estribo mínimo corresponde uma força cortante V*.

V*b d (f )

1,61w ywd wmin c=

⋅ ⋅ ⋅ +ρ τ.

b) Tipo de estribo Normalmente, utiliza-se estribo de 2 ramos (para bw ≤ 40 cm) e estribos de 4 (ou mais) ramos se bw > 40 cm. c) Diâmetro dos estribos (φt)

512

mmb

tw≤ ≤φ

d) Espaçamento dos estribos (s) Recomenda-se obedecer às seguintes condições:

s

cmd

CACA

302

21 2512 50 60

/( )( / )

φφ

As duas últimas condições são aplicadas quando se tem armadura comprimida de flexão (A’s). e) Cobertura do diagrama de força cortante Costuma-se garantir a resistência ao cisalhamento, adotando-se estribos uniformes por trechos de viga. Desta forma, resulta a “cobertura em degraus” do diagrama de força cortante; cada degrau correspondendo a um trecho de estribo constante. A fig. 3.4.3.1 ilustra este procedimento. Para vigas usuais de edifícios, pode-se adotar, em cada vão, 3 trechos: um central correspondente à armadura mínima (ρwmin e V*), e mais dois trechos, adjacentes aos apoios do vão com estribos calculados para as respectivas forças cortantes máximas.

Page 100: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 15

Fig. 3.4.3.1 Seções próximas aos apoios Nas proximidades dos apoios, a quantidade de armadura de cisalhamento pode ser menor do que aquele indicado pelo cálculo usual. Este fato ocorre porque parte da carga (próxima aos apoios) pode se dirigir diretamente aos apoios, portanto, sem solicitar a armadura transversal. A NBR-6118 propõe as regras seguintes para o cálculo da armadura transversal, quando a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a: no trecho entre o apoio e a seção situada à distância h/2 da face deste apoio, a

força cortante oriunda de carga distribuída poderá ser considerada constante e igual à desta seção (fig. 3.4.3.2);

Figura 3.4.3.2

h/2 h/2 h/2

h

diagrama de V

diagrama deV “corrigido”

p

V*

V*

trecho com ρwmin

Page 101: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 16

a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a (a ≤ 2 h) do centro do apoio poderá, neste trecho de comprimento a, ser reduzida

multiplicando-se por ah2 ⋅

, fig. 3.4.3.3.

Figura 3.4.3.3 Convém frisar que estas reduções só podem ser feitas para o cálculo da armadura transversal. A verificação do concreto (τwd) deve ser feita com os valores originais, sem redução.

3.4.4 Armadura de Costura nas Abas das Seções Transversais Normalmente, as abas das seções transversais estão submetidas a solicitações tangenciais. Junto à ligação (aba-alma) das seções das vigas esta solicitação atinge o valor máximo. Esta solicitação exige, no concreto armado, uma armadura de costura. Em vigas usuais de edifícios, podem ocorrer duas situações onde estas armaduras são necessárias, fig. 3.4.4.1. A primeira situação corresponde às seções dos vãos com abas comprimidas de seções T (flexão nos vãos das vigas normais) e, a outra, às seções de apoios internos das vigas contínuas, onde a armadura de flexão é distribuída também nas lajes (abas tracionadas).

Figura 3.4.4.1 - Situações usuais

bf

armaduras área comprimida naflexão

Seção 1 - Vão

área comprimidana flexão

armaduras de flexão

Seção 2 - Apoio Seção 1 - Vão

Seção 2 - Apoio

p

P a

h

V Vred = V [a / (2 h)]

Page 102: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 17

a) Aba comprimida

A fig. 3.4.4.2 apresenta a situação típica correspondente à seção T submetida à flexão. Fig. 3.4.4.2 - Aba comprimida Considere-se a aba lateral de dimensão b’, fig. 3.4.4.3. Figura 3.4.4.3 A força cortante para determinação da armadura transversal da aba necessária é dada por:

V bb

Vfdf

d=′

Da expressão de cisalhamento, tem-se que:

τ fof

d

f

fd

f

fd

f

bb

V

h zVh z

Vh d

=

= =115, (a)

bf

d ε

Rcd

Rsd

z

x 0,85 fcd

As

b’ bf

b’

Rcd

Rcd+dRc

Rfd

Rfd+dRfd

τfo hf

Page 103: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 18

Comparando-se a expressão do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliça clássica):

τ od

w

Vb d

=115, ,

com a expressão (a), pode-se concluir que ela permite imaginar a força cortante Vfd atuando na seção fictícia de dimensões hf x d. Logo, a armadura transversal, necessária no modelo da treliça clássica, é dada por:

ρτ

ffo

ywdf=

onde ρ fsf

f

Ah

=

sendo A sf a área total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidade de comprimento, fig. 3.4.4.4. Figura 3.4.4.4 Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente para garantir a segurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Por fim, deve-se também verificar:

1) Vh d

ffd

fcd≤ 0 3, (verificação da compressão na biela diagonal)

2) ρf ≥ 0,14% (taxa mínima de armadura transversal para o CA50/60). b) Aba tracionada A fig. 3.4.4.5. apresenta a situação usual, correspondente a seções de apoio interno de vigas contínuas (momento fletor tracionando a borda superior), com armadura tracionada de flexão distribuída, também, nas abas.

1

hf

Asf

Page 104: Calculo Completo Edificio

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Figura 3.4.4.5 - Aba tracionada Considere-se a aba indicada na fig. 3.4.4.6. Figura 3.4.4.6 - Aba lateral A cortante de cálculo resultante na aba considerada é dada pela expressão mostrada a seguir:

VAA

Vfdsf

sd=

onde: Asf = área da seção de armadura de flexão contida na aba. Analogamente ao caso anterior, tem-se que:

τ fo

sf

sd

f

fd

f

fd

f

AA

V

h zVh z

Vh d

= = =115, (b)

Comparando-se a expressão do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliça clássica) com a expressão (b), pode-se concluir que ela permite imaginar a força cortante Vfd atuando na seção fictícia de dimensões hf x d. Logo, a armadura transversal, necessária no modelo da treliça clássica, é dada por:

área comprimida na flexão armaduras deflexão (As)

parte da armadura de flexão,posicionada numa aba lateral (Asf)

0,8

z

Rsd

Rcd

Md

armaduras de costura

Rsd

Rsd+dRs

Rsf

Rsfd+dRsf

τfo hf

Rcd

z

Page 105: Calculo Completo Edificio

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ρτ

ffo

ywdf=

onde ρ fsf

f

Ah

=

sendo A sf a área total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidade de comprimento. Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente para garantir a segurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Deve-se, também, verificar

1) Vh d

ffd

fcd≤ 0 3, (verificação da compressão na biela diagonal)

e 2) ρf ≥ 0,14% (taxa mínima de armadura transversal para o CA50/60).

3.4.5 Armadura de Suspensão Normalmente, os apoios das vigas são constituídos pelos pilares. Neste caso, diz-se que os apoios são do tipo direto. Algumas vezes as vigas se apóiam em outras vigas; constituem os apoios do tipo indireto. Quando as reações são aplicadas junto à face superior da viga de apoio, não existe a necessidade de armadura de suspensão. Esta situação é ilustrada na 3.4.5.1. Figura 3.4.5.1 - Viga de pequena altura apoiada sobre uma viga de grande altura A fig. 3.4.5.2 mostra, para o caso de viga de altura (h) maior do que a da viga de apoio (ha), a necessidade de armadura de suspensão para a reação total, isto é, Zd = Rd.

ha h

viga de

viga i d

Page 106: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 21

Figura 3.4.5.2 - Vigas altas. Numa situação intermediária, ilustrada na fig. 3.4.5.3, observa-se à necessidade de suspender apenas parte da reação, uma vez que o restante pode ser transferido para a treliça, que simula a viga de apoio, através do esquema usual. Figura 3.4.5.3 - Vigas de altura intermediária Sendo Rd a reação de apoio, a força de suspensão pode ser estimada em Zd = Rd (h / ha) ≤ Rd Onde: h = altura da viga apoiada ha = altura da viga de apoio. A armadura de suspensão será dada por Asusp = Zd / fywd. A armadura de suspensão Asusp pode ser distribuída na zona de suspensão, junto ao cruzamento das vigas, conforme a figura 3.4.5.4.

ha h

viga de apoio

viga

ha h

Page 107: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 22

Figura 3.4.5.4 - Zona de suspensão Deve-se observar que a zona de suspensão já contém alguns estribos normais das vigas. Estes estribos podem ser contados na armadura de suspensão.

3.5 Dimensionamento à Torção

3.5.1 Torção de Equilíbrio e Torção de Compatibilidade O momento torçor em vigas usuais de edifícios pode ser classificado em dois grupos: momento torçor de equilíbrio (fig. 3.5.1.1) e momento torçor de compatibilidade (fig. 3.5.1.2).

Figura 3.5.1.1 - Torção de equilíbrio

ha / 2 ha / 2 viga de apoio

h / 2

viga apoiada

a b l = a+b

A

B

P c

P P.c

TA=P.c.b / l

TB=P.c.a / l

l

A

B

c

TA=m l / 2 TB=m.l / 2

p

m=p.c2/2

Page 108: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 23

Figura 3.5.1.2 - Torção de compatibilidade

3.5.2 Torção de Saint Venant Considere-se um trecho de viga de seção retangular sujeito a momento torçor T (fig.3.5.2.1). As extremidades A e B apresentam rotações em sentidos opostos e as seções transversais deixam de ser planas. Diz-se que há empenamento da seção devido à torção. Quando a torção ocorre com empenamento livre tem-se o que se chama torção de Saint Venant e aparecem tensões de cisalhamento na seção transversal que, naturalmente, equilibram o momento torçor aplicado. Figura 3.5.2.1 Normalmente, as vigas estão sujeitas a restrições parciais ao livre empenamento por causa das interferências das lajes, outras vigas e pilares de apoio, Desse modo, aparecem tensões normais (longitudinais) adicionais que se somam às tensões devidas à flexão. Nas vigas de concreto armado, essas tensões adicionais costumam ser pequenas e tendem a diminuir com a fissuração do concreto (estádio II). Essas restrições ao empenamento provocam, também, pequenas alterações nas tensões de cisalhamento de Saint Venant. Normalmente, desprezam-se essas alterações provenientes do impedimento parcial do empenamento. Assim, o dimensionamento à torção pode ser feito conforme a teoria de torção de Saint Venant.

A

B P A

B P

TA

TB

R T

R

a

b

TA=T.b / l TB=-T.a / l

T T

T T

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ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 24

3.5.3 Arranjo Usual das Armaduras Usualmente, adota-se a disposição das armaduras compostas de estribos e barras longitudinais que, além da facilidade construtiva, se mostrou bastante adequada para resistir à torção. Os estribos devem apresentar espaçamentos pequenos e as barras longitudinais devem ser distribuídas uniformemente ao longo do perímetro da seção transversal. Também devem ser observadas as seguintes recomendações: a) armadura longitudinal • diâmetro da armadura longitudinal maior ou igual ao diâmetro do estribo (não menor do que 10 mm); • garantir uma ancoragem efetiva das barras longitudinais, junto às extremidades do trecho sujeito à torção, pois a tração é constante ao longo da barra; • distribuição uniforme da armadura longitudinal no perímetro da seção. b) armadura transversal (estribos)

sbh

cmt ≤

//

23

20

3.5.4 Dimensionamento A viga de concreto armado deve ser dimensionada para resistir integralmente ao momento torçor de equilíbrio. O momento torçor de compatibilidade que aparece junto ao cruzamento das vigas (apoios indiretos) é, normalmente, pequeno e pode ser ignorado. a) Verificação do concreto Deve-se ter τtd ≤ τtu = 0,22 fcd (não maior do que 4 MPa). Na presença simultânea de força cortante deve-se verificar também: ττ

ττ

wd

wu

td

tu

+ ≤ 1.

b) Estribos As f

TA f

s

t

d

yd

d

e yd

1

2= =

φ .

Page 110: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 25

c) Armadura longitudinal

yde

d

yd

ds

fA2T

fuA

=l

3.6 Verificação em Serviço Todos os cálculos e verificações dos estados limites de serviço devem ser efetuados no Estádio II. Portanto, faz-se necessário determinar o produto de rigidez como também o momento de inércia nesse Estádio, conforme é apresentado a seguir: a) Seção Retangular com Armadura Simples

Seja :

c

se E

E=α ,

Onde o módulo de deformação do aço (Es) fixado em 210.000 Mpa e o módulo de deformação do concreto tomado através da expressão a seguir:

)MPa(5,3f66009,0E ckc +×= . A posição da linha neutra resultante é calculada através de:

xA

bbd

As e

s e

=⋅

− + +

αα

1 1 2

Em seções retangulares com armadura simples, o produto de rigidez EIII é calculado através de:

E I A E d x zc II s s= −( )

Onde z = d - 3x , de acordo com a figura a seguir:

��������

b

h d

Rc

Rs

xσc

σs

εc

εsAs

������

M

x/3

z=d-x/3

Figura 3.6.1

Page 111: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 26

Dividindo ambos os termos por Ec, tem-se que:

)3/xd)(xd(AI esII −−α⋅=

b) Seção Retangular com Armadura Dupla Na condição de armadura dupla, tem-se o seguinte panorama mostrado na figura a seguir:

����b

h d

Rc

Rs

x

σc

σs

εc

εsAs

���������

M

x/3

z=d-x/3

A's d' ε's

R's

Figura 3.6.2

A posição da linha neutra é determinada através de:

( )x dd

d ondeAbde d d

e d d

d d

d dd

s= ⋅ + − + ++

+

+

=α ρ ρα ρ ρ

ρ ρ

ρ ρρ'

'

' '

''

'1 1 2 1

Com ela, obtém-se as seguintes expressões:

Produto de rigidez à flexão no Estádio II:

E I A E d x d x A E x d x dc II s s s s= − − + − −( )( / ) ' ( / ' )( ' )3 3

Momento de Inércia no Estádio II:

I bx A d x A x dII s e s e= + − + ′ − ′3

2 2

3α α( ) ( )

c) Seção “T” com Armadura Simples A equação de equilíbrio nos leva à seguinte expressão da posição da linha neutra:

[ ]b xb b h A x b b

hA dw

f w f s e f wf

s e

2 2

2 20+ − + − − − =( ) ( )α α

Page 112: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 27

Com ela, podemos também determinar o momento de inércia no Estádio II, através de:

Ib x b b x h

A d xIIf f w f

s e= −− −

+ −3 3

2

3 3( )( )

( )α

3.6.1 Verificação das Flechas a) Flecha de carga de curta duração (aq)

q* = 0,7 q Por exemplo, para carga distribuída uniforme, a flecha no meio do vão é dada por:

IIc

4

q IE*q

3845a l

=

Em demais situações (carga concentrada, estrutura em balanço, etc.) podem ser obtidas através das referências bibliográficas adotadas neste curso, lembrando que o produto de rigidez deve ser aquele calculado no Estádio II. O mesmo deve ser considerado constante em todo o vão, e igual ao valor correspondente no ponto de momento fletor máximo. b) Flecha de carga de longa duração (ag)

)21(aa gog ξ+= , com ago igual à flecha imediata para a carga g calculada conforme escrito

acima, e dx=ξ .

As flechas, assim determinadas, devem ser limitadas a: aq ≤ l / 500; ag + aq ≤ l / 300. Conforme a NBR-6118, para as vigas usuais de edifícios de seção retangular e T, consideram-se atendidas as verificações de flecha quando

d ≥⋅l

ψ ψ2 3

(altura útil)

onde ψ2 = 1,0 nas vigas biapoiadas, 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5 nos balanços. ψ3 = 17 para o aço CA50, 25 para o aço CA25.

Page 113: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 28

3.6.2 Verificação da Fissuração Segundo a NBR-6118, a fissuração é considerada nociva quando a abertura das fissuras na superfície do concreto ultrapassa os seguintes valores (wlim): a) 0,1 mm para peças não protegidas (peças sem revestimento), em meio agressivo; b) 0,2 mm para peças não protegidas, em meio não agressivo; c) 0,3 mm para peças protegidas (peças revestidas). Supõe-se que, com razoável probabilidade, a condição acima ocorra quando se verificam simultaneamente as seguintes desigualdades:

wEb

s

s r

=−

+

110 2 0 75

4 45φη

σρ,

> wlim

e

σφ⋅

−η=

s

2s

tkb Ef3

75,021

101w >wlim

Com:

cr

sr A

A=ρ ;

)3/xd(A

M

ss −

=σ , com x calculado no Estádio II;

ηb = coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas e entre 1,5 a 1,8 nas barras de alta aderência)

Define-se Acr (área crítica) a área equivalente de concreto tracionado envolvido na fissuração conforme ilustra a figura a seguir:

Determinação da Área Crítica

7,5φ

7,5φ

7,5φ

7,5φ 7,5φ

7,5φ 7,5φ

7,5φ

c < 7,5φ

c < 7,5φ

a (a < 15 φ)

Acr

Page 114: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 29

3.7 Arranjo das Armaduras

3.7.1 Aderência, Ancoragem e Emendas 3.7.1.1 Introdução Considere-se a armadura mergulhada na massa de concreto, conforme mostra a fig. 1.1. Figura 1.1 Se o comprimento mergulhado no concreto lb for pequeno, a barra poderá ser extraida do concreto por tração; se este comprimento for superior a um valor particular lb1 , será possível elevar a força de tração até escoar esta armadura. Diz-se que a armadura está ancorada no concreto. Este valor lb1 é chamado de comprimento mínimo de ancoragem reto sem gancho de extremidade. O fenômeno envolvido na ancoragem de barras é bastante complexo e está ligado à aderência, entre o concreto e a armadura, em uma região micro-fissurada do concreto vizinho à barra. O efeito global da aderência é composto por: a) adesão (efeito de cola); b) atrito de escorregamento e c) engrenamento mecânico entre a superfície (irregular) da armadura com o concreto. O escorregamento envolvido em b) ocorre junto às fissuras, digamos numa visão microscópica e, portanto, localizada. Numa visão macroscópica, como na teoria usual de flexão, admite-se a aderência perfeita entre os dois materiais. Esta consideração torna-se razoável pois ao longo da distância envolvida na análise de uma seção, da ordem da dimensão da seção transversal da peça, incluem-se várias fissuras que acabam mascarando os escorregamentos localizados junto às fissuras individuais. 3.7.1.2 Modelo para determinação do comprimento de ancoragem lb1 Para a avaliação de lb1 , costuma-se utilizar o modelo indicado na figura 2.1. Assim,

Z A f fd s yd yd bu b= = = ⋅ ⋅ ⋅πφ

τ π φ2

14l

resultando

lbyd

bu

f1 4

= ⋅φ

τ

Z

Zd = As fyd τb

lb

lb1

Page 115: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 30

Figura 2.1 A tensão última de aderência τ bu é função da posição da armadura ao longo da altura de concretagem da peça; da inclinação desta armadura; da sua conformação superficial (barras lisas e barras de alta aderência com mossas e saliências); e da resistência do concreto (fck). A consideração das duas primeiras variáveis é feita através do conceito de zonas de aderência: zona de boa aderência (zona I) e zona de aderência prejudicada (zona II). 3.7.1.2.1 Zonas de aderência A figura 2.2 apresenta as situações correspondentes às zonas I e II. Figura 2.2

α > 45o

h ≤ 30 cm h

30 cm

h > 30 cm h ≤ 60 30 cm

h > 60

Zona I

Zona II

lb1 Zd = As fyd

τbu

Page 116: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 31

A aderência depende, principalmente, de um bom envolvimento da armadura pelo concreto. A vibração do concreto provoca a movimentação da água, em excesso na mistura, para as partes superiores da peça. Esta água tende a ficar presa, em forma de gotículas, junto às faces inferiores das armaduras (partes sólidas em geral). Com o tempo aparecem no seu lugar vazios que diminuem a área de contato da barra com o concreto. Isto justifica o fato das barras horizontais posicionadas nas partes superiores das peças estarem em condições prejudicadas de aderência (zona II, ou de aderência prejudicada); em contraposição, as partes inferiores das peças constituem zonas de boa aderência (zona I). Quando a espessura da peça é pequena (h ≤ 30 cm, para finalidade prática) a quantidade de água de exudação é pequena, e não chega a reduzir em demasia a aderência. Figura 2.3 3.7.1.2.2. Valores de τ bu a) Zona I (de boa aderência) - barras lisas: τ bu cdf MPa= 0 28, ( ) - barras de alta aderência: τ bu cdf MPa= 0 42 23, ( ) Alguns valores de lb1:

fck (MPa) CA25 (lisa) CA50 (a. ader.) 13,5 63 φ 58 φ 15 59 φ 54 φ 18 55 φ 47 φ 20 ### 44 φ

b) Zona II (zona de aderência prejudicada) Estimam-se os comprimentos de ancoragem para a zona II como sendo 50% superiores aos correspondentes à zona I.

armadur

gotas deágua acumuladas

vazio deixado pelas gotas d á

Page 117: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 32

Nota 1: normalmente, a armadura efetivamente utilizada (As,ef) é maior do que a calculada (As,calc ou simplesmente, As). Neste caso, o comprimento de ancoragem pode ser reduzido como se indica a seguir:

l l

l

b bs calc

s ef

bAA

cm= ≥

1

1 31010

,

,

Nota 2: nas barras comprimidas, o comprimento mínimo de ancoragem lb c1 pode ser estimado através da expressão adotada para as barras tracionadas; para este cálculo, deve-se utilizar a tensão efetiva de compressão. O valor obtido deve, ainda, obedecer às seguintes condições:

l

l

b c

b

cm1

10 61015

≥⋅

3.7.1.3 Utilização de ganchos padronizados nas extremidades da barra tracionada Os ganchos permitem reduzir o comprimento de ancoragem. Pode-se adotar as seguintes reduções sobre os valores de lb1 (sem ganchos): a) barras lisas: 15 φ → l lb c gancho b1 1 15, / = − φ b) barras de alta aderência:10 φ → l lb c gancho b1 1 10, / = − φ . Figura 3.1 Nota 1: as barras lisas tracionadas de diâmetro φ > 6,3 mm devem ser utilizadas sempre

com ganchos de extremidade. Nota 2: as barras comprimidas devem ser utilizadas sem ganchos de extremidade. 3.7.1.4 Comprimentos de ancoragem de feixes de barras As armaduras de concreto armado podem ser agrupadas em feixes de 2 ou 3 barras. Pode-se estimar o comprimento de ancoragem de um feixe de barras, com base nas expressão utilizada para barras isoladas, substituindo-se o diâmetro da barra pelo diâmetro equivalente do feixe (φe). O valor obtido deve ser aumentado de 20% no caso de feixe de duas barras e, de 33% para mais de duas barras.

lb1

lb1 - 15 φ - bar. lisas lb1 - 10 φ - bar. de alta

Page 118: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 33

φ φe n= n =2 n=3 n = número de barras no feixe. 3.7.1.5 Armadura transversal nas ancoragens No comprimento de ancoragem de uma barra (ou feixe), deve ser disposta armadura transversal de costura ao longo do terço extremo deste trecho, capaz de resistir a esforço igual a 40% do esforço transmitido pela barra ancorada; todas as barras que cruzam o plano de possível fissuração, no trecho de ancoragem, poderão ser consideradas naquela armadura. Em geral, esta armadura transversal é constituída pelos ramos horizontais dos próprios estribos da viga. Além disso, logo depois das extremidades das ancoragens de barras comprimidas deverá haver armadura transversal destinada a proteger o concreto contra os efeitos do esforço concentrado na ponta, a qual será dimensionada para resistir a um quinto do esforço ancorado, podendo nela ser incluídos os estribos aí existentes. 3.7.1.6 Armaduras mergulhadas no concreto Quando a armadura mergulhada na massa de concreto for solicitada à deformação maior ou igual a ε yd (através da aderência), pode-se imaginar o diagrama de tensão mostrado na figura 6.1. Assim, a tensão cresce desde 0, junto à extremidade da barra, até fyd na seção distante lb1 daquela extremidade. Figura 6.1

lb1

σs fyd

1 barra 1

diagrama de tensão admitida para barra 1

lb1

lb1 3/

Ast

Page 119: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 34

3.7.1.7 Emendas por traspasse A necessidade de emendas pode ocorrer, por exemplo, em peças de grande vão que ultrapassa o comprimento máximo (de fabricação) das armaduras de concreto armado. Em geral, estas emendas podem ser feitas por: traspasse, solda ou luva prensada. É muito utilizada a emenda por traspasse por ser simples e dispensar a utilização de equipamentos especiais. Consiste em superpor as extremidades, a serem emendadas, em uma extensão dita comprimento de emenda ( lv ). Conforme a NBR-6118, o comprimento de emenda pode ser definido em função do comprimento de ancoragem lb através da seguinte expressão: l lv b= ψ5 . onde ψ 5 depende da distância transversal (a) entre eixos de emendas mais próximas na mesma seção e da proporção de barras emendadas na mesma seção. Os valores de ψ 5 são definidos no ítem 6.3.5.2 da citada Norma. Consideram-se como na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 0,2 lv . Ao longo do comprimento de emenda devem ser dispostas as armaduras transversais de costura, previstas junto às ancoragens de barras. Os ramos horizontais dos estribos podem servir para esta finalidade.

lv

< 0,2 lv

l lv b= ⋅ψ5

lv / 3 lv / 3 Ast Ast

lv lv

Figura 7.2 - emendas consideradas na mesma seção

Figura 7.2 – Emendas por traspasse

Page 120: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 35

Valores de ψ5:

ψ5 Distância transversal Proporção de barras emendadas na mesma seção

transversal entre emendas (a) ≤ 1/5 > 1/5

≤ 1/4 > 1/4 ≤ 1/3

> 1/3 ≤ 1/2

> 1/2

a ≤ 10 φ a > 10 φ

1,2 1,0

1,4 1,1

1,6 1,2

1,8 1,3

2,0 1,4

Proporção de barras emendadas na mesma seção

Bitola Sgk > Sqk Sgk ≤ Sqk φ ηb ≥ 1,5 ηb < 1,5 ηb ≥ 1,5 ηb < 1,5

≤ 12,5 todas 1/2 1/2 1/4 > 12,5 todas (*)

1/2 (**) 1/4 1/2 1/4

(*) - Se houver só uma camada de armadura (**) - Se houver mais de uma camada de armadura As barras comprimidas podem todas ser emendadas na mesma seção.

3.7.2 Alojamento das Armaduras A área As da armadura necessária para resistir a um momento fletor M, numa dada seção de viga, é conseguida agrupando-se barras conforme as bitolas comerciais disponíveis. Geralmente, adotam-se barras de mesmo diâmetro φ. Uma das hipóteses básicas do dimensionamento de peças submetidas a solicitações normais é a da aderência perfeita. Para a garantia desta aderência é fundamental que as barras sejam perfeitamente envolvidas pelo concreto; por outro lado, a armadura deve ser protegida contra a sua corrosão; para isso adota-se um cobrimento mínimo de concreto para estas armaduras. A figura 3.7.2.1. mostra a disposição usual com armaduras isoladas entre si. Eventualmente, pode-se adotar armadura formada por feixes de 2 ou 3 barras.

a

≥ φ

≥ 2 φ

Page 121: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 36

Figura 3.7.2.1

A tabela 3.7.2.1 apresenta as bitolas usuais de armaduras de concreto armado.

Tabela 3.7.2.1 φ = diâmetro nominal (mm) As1 = área nominal da seção transversal de uma barra em cm2 Os valores de cobrimento mínimo recomendado pela NBR-6118 são os seguintes: a) concreto revestido com argamassa de pelo menos 1 cm de espessura:

c(cm) elemento estrutural 0,5 lajes no interior de edifícios 1,0 paredes no interior de edifícios 1,5 pilares e vigas no interior de edifícios 1,5 lajes e paredes ao ar livre 2,0 pilares e vigas ao ar livre

φ (mm) 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 20 25 32 As1(cm2) 0,08 0,125 0,2 0,31

5 0,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5,0 8,0

As 3a camada 2a

estribo armaduras de pele

porta estribos

c φt

eh

ev

c

φ

c = cobrimento mínimo da armadura

Page 122: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 37

b) concreto aparente

c(cm) elemento estrutural 2,0 interior de edifícios 2,5 ao ar livre

c) concreto em contato com o solo: c = 3 cm Nota: em solo não rochoso recomenda-se um lastro (camada adicional em contato com o

solo) de pelo menos 5 cm de espessura com consumo de 250 kg de cimento por m3. d) peça de concreto em ambiente fortemente agressivo: c = 4 cm. e) quando, por qualquer razão, c > 6 cm, deve-se utilizar uma rede complementar dentro

dos limites anteriormente indicados. Para alojamento das armaduras, sem emendas, deve-se procurar proceder conforme indicado abaixo:

e cmh

agr

φ

φ21 2,

; e cmv

agr

φ

φ20 5,

onde φ = diâmetro da barra φagr = diâmetro máximo do agregado Figura 3.7.2.2

Brita φagr brita 1 9,5 a 19 mm brita 2 19 a 25 mm

bw

c φt bs φt c φ

ev eh

c

Page 123: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 38

Na ocasião de emendas, deve-se procurar alojar as armaduras como mostrado na figura abaixo (figura 3.7.2.3): Figura 3.7.2.3 Quando ocorrer uma distribuição em mais de três camadas, deve-se prever a partir da quarta camada, espaço adequado para a passagem do vibrador (figura 3.7.2.4). Figura 3.7.2.4 Nota: se bw > 60 cm, prever mais acessos para o vibrador (admitindo-se a eficiência do vibrador dentro de um raio de aproximadamente 30 cm). Para alojar barras em feixes de 2, 3 ou 4 barras, deve-se proceder de acordo com as regras do item 4, substituindo-se o diâmetro das barras φ pelo diâmetro equivalente ao feixe de barras n = 2 n = 3 n = 4 φ φeq n= onde n = no de barras no feixe.

> 2 φ

> φ > φ > 2 φ

φvibr + 1 cm

acesso p/vibrador

4a

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ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 39

Detalhes complementares: a) armadura de flexão alojada junto à face superior da seção (figura 3.7.2.5) Figura 3.7.2.5 Nota: prever espaço para passagem do vibrador. b) armadura junto à borda com abas tracionadas (figura 3.7.2.6) Recomenda-se distribuir parte da armadura de tração nas abas tracionadas devidamente ligadas à alma da viga através de armaduras de costura. Figura 3.7.2.6 c) vigas altas (h > 60 cm) Posicionar as armaduras de pele (Asl) conforme indicado na figura 3.7.2.7. Figura 3.7.2.7

d / 3 ≤ 30 cm

entre 6 e 20

Asl = 0,05% bw h (de cada lado)

φvib + 1

φvib + 1 cm

Asw

Asf2 ,φf2 ≤ hf /10

As = Asw + Asf1 + Asf2

Asf1 ,φf1 ≤ hf /10

Page 125: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 40

3.7.3 Decalagem Devido à fissuração diagonal, existe, então, uma translação (decalagem) para o lado desfavorável. Em particular, na seção sobre o apoio extremo, fica evidenciada a presença de força de tração na armadura, apesar de ser nulo o momento fletor. Este efeito explica a possibilidade de ocorrência de ruptura por escorregamento da armadura sobre os apoios extremos da viga. A figura a seguir nos fornece um exemplo de um diagrama decalado. Figura 3.7.3.1 A NBR6118 usa a seguinte expressão: al (1,5 –1,2η)x d ≥ 0,5x d

onde η é a “taxa de cobertura”; η = 1 - d0

c

ττ = 1 -

wd

c

15,1 ττ

Na prática, em vigas, podemos adotar al = 0,75 d

3.7.4 Ancoragem nos Apoios Admite-se que a segurança esteja garantida pela verificação das duas condições seguintes: a) A armadura deve estar devidamente ancorada para garantir, junto à face interna do

apoio, a resultante de tração igual a:

R + 5,5 φ ≥ 6cm

Rs,apo,d

Vd

Md/z diagrama de força resultanteno banzo

i d

pd

al

al

al

Rs,apo,d = Vd (al / d) ≥ Vd / 2;

Page 126: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 41

b) Na ocasião de gancho de extremidade as barras devem estender-se, a partir da face interna do apoio, por um comprimento igual a (r + 5,5 φ) ≥ 6 cm, onde φ é o diâmetro da barra e r o seu raio de dobramento padronizado (para o aço CA50: r = 2,5 φ quando φ <20; e r = 4 φ para φ ≥ 20); neste caso, quando o cobrimento lateral das barras na região do apoio for maior ou igual a 7 cm e a carga acidental q não for freqüente, é suficiente verificar apenas esta condição.

3.7.5 Cobertura do Diagrama de Md Transladado O trecho da extremidade da barra de tração, considerado como de ancoragem, tem início na seção teórica onde sua tensão σs começa a diminuir (o esforço da armadura começa a ser transferido para o concreto). Deve prolongar-se pelo menos 10φ além do ponto teórico de tensão σs nula, não podendo em nenhum caso ser inferior ao comprimento necessário estipulado no capítulo referente à ancoragem das barras. Assim, na armadura longitudinal de tração das peças solicitadas por flexão simples, o trecho de ancoragem da barra tem início no ponto A (figura 3.7.5.1) do diagrama de forças Rst = M / Z, deslocado do comprimento al. Se a barra não for dobrada, o trecho de ancoragem deve prolongar-se além de B, no mínimo 10φ. Se a barra for dobrada, o início do dobramento pode coincidir com o ponto B. (ver figura 3.7.51).

Figura 3.7.5.1

Page 127: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 42

3.8 Esquemas Estruturais

3.8.1 Esforços Finais de Dimensionamento em Vigas de Edifícios Os esforços finais de dimensionamento devem conter as envoltórias de solicitações. A “distância” entre as envoltórias, máxima e mínima, depende, basicamente, do valor relativo da carga acidental. Em vigas de edifícios, normalmente, a parcela variável das cargas representa menos de 30 % do total. Nestas condições, em geral, não há necessidade de se determinar às envoltórias de solicitações porque seus valores se aproximam daqueles obtidos para a carga total; é suficiente, pois, a determinação dos diagramas de estado correspondente à carga total atuante na viga. Por outro lado, como se admite o comportamento elástico linear, pode-se determinar primeiro as solicitações correspondentes aos valores característicos das cargas, que multiplicados pelos coeficientes de ponderação das ações (γf ) permitem definir as solicitações em valores de cálculo utilizadas nos dimensionamentos e nas verificações.

3.8.2 Vãos Teóricos da Viga Os vãos teóricos são utilizados no cálculo dos esforços solicitantes. Quando as larguras dos pilares de apoio forem menores do que PD / 5 (PD = pé direito), o vão teórico pode ser tomado como a distância entre os centros dos apoios, não sendo necessário adotar valores maiores que: a) em viga isolada: 1,05 lo ; b) em vão extremo de viga contínua: o vão livre acrescido da semi-largura do apoio

interno e de 0,03 lo , Sendo lo o vão livre (distância entre as faces internas dos apoios). Quando a largura do pilar de apoio for maior do que PD/5 pode-se engastar o vão, num ponto interno ao pilar, à distância h/2 ≥ 10 cm da face. Nas vigas em balanço, o vão teórico é o comprimento que vai da extremidade até o centro do apoio, não sendo necessário considerar valores superiores a 1,03 vezes o comprimento livre.

3.8.3 Efeito do Pilar de extremidade – Aproximações permitidas pela NBR-6118

O efeito do pilar de extremidade pode ser estimado através do modelo constituído de três barras convergentes (vão de extremidade da viga e lances adjacentes, superior e inferior, do pilar) considerados todos eles engastados nas extremidades opostas.

Page 128: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 43

Quando não se fizer o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios externos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado por:

supinfvig

supinf

rrrrr++

+ (na viga)

supinfvig

sup

rrrr

++ (no tramo superior do pilar)

supinfvig

inf

rrrr

++ (no tramo inferior do pilar)

onde ri é a rigidez do elemento i no nó considerado. Os pilares internos são, normalmente, pouco solicitados à flexão. Em certas situações (de vãos e carregamentos, significativamente, diferentes entre vãos adjacentes), o modelo primário, de articulação perfeita junto aos pilares internos, pode superavaliar o efeito de um vão carregado sobre os demais, aliviando em demasia os momentos positivos nestes vãos. Pilares internos relativamente rígidos atenuam estes efeitos e devem ser devidamente considerados. Para este efeito, no processo usual de cálculo, costuma-se comparar os momentos positivos nos vãos, determinados sob a hipótese dos pilares internos serem rígidos à flexão, com aqueles correspondentes ao modelo primário, adotando-se o que for maior. Dessa forma, admite-se que esteja “coberta” a situação real.

3.8.4 Considerações do Projeto de Revisão da NBR-6118/200 O projeto de revisão da norma sugere que o vão efetivo de uma viga seja calculado como:

lef = l0 + a1 + a2

Os parâmetros a1 e a2 podem ser calculados conforme o esquema mostrado abaixo:

lo

t t

h

lo

Page 129: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 44

a) Apoio de vão extremo: ai = o menor de

h2/1t2/1

b) Apoio de vão intermediário: ai = 1/2 t

3.8.5 Esquema Estrutural para o Edifício Exemplo Para o cálculo das vigas do edifício exemplo, será usado o esquema estrutural mostrado a seguir. A análise consiste em considerar trechos de elementos lineares pertencentes à região comum ao cruzamento de dois ou mais elementos como elementos rígidos (nós de dimensões finitas), da maneira como se ilustra na figura seguinte (3.5.8.1).

Figura 3.8.5.1

Detalhe I:

Trecho livre

Trecho rígido h1

h2

h1/2 h2/2

Ver detalhe I

Pé direito

Pé direito

L eixo do pilar L eixo do pilar

Page 130: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 45

3.9 Aplicação ao Edifício Exemplo

3.9.1 Cálculo da V1 3.9.1.1. Esquema Estrutural

0.2750 0.27504.7754.785

2.7500

2.7500

( 2 )

3

2

( 1 )

1

( 7 ) 10

( 4 )

( 9 )( 8 )

( 3 )

( 10 )

( 6 )

( 5 )

6

5

4 7

8

9

11

Barra A (m2) I (m4) 1 0,1235 3,715E-4 2 0,1235 3,715E-4 3 0,2090 2,107E-4 4 0,2090 2,107E-4 5 0,0800 2,667E-4 6 0,0800 2,667E-4 7 0,1404 4,000E-3 8 10,000 10,000 9 10,000 10,000

10 0,1403 4,000E-3 Cálculo da mesa colaborante:

- V1a: 3,589m 4,785x 43 l

43 a ===

b1 < 0,10 a = 0,359m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 0,5 x 4,32 = 2,16m Portanto, b1 = 0,359m

Page 131: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 46

- V1b: 3,581m 4,775x 43 l

43 a ===

b1 < 0,10 a = 0,358m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 0,5 x 5,645 = 2,823m Portanto, b1 = 0,358m 3.9.1.2. Carregamentos Verticais

1.52 kN/m

15.12 kN/m 14.68 kN/m

1.26 kN/m

3.9.1.3. Esforços devido ao Vento

+36.42 kN.m

+47.725 kN.m

+44.859 kN.m

+31.201 kN.m

3.9.1.4. Envoltória de Esforços Para a envoltória de esforços, consideramos a seguinte combinação:

Fd = 1,4 Fg + 1,4 Fq + 1,4*0,8*Fvento

Page 132: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 47

Viga V1

x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2

0,000 -7,100 -0,700 -36,420 36,420 -51,710 29,870 29,400 3,000 15,610 62,843 27,877

0,479 5,200 0,500 -28,463 28,463 -23,898 39,858 22,200 2,200 15,610 51,643 16,677

0,957 14,100 1,400 -20,506 20,506 -1,266 44,666 14,900 1,500 15,610 40,443 5,477

1,436 19,500 2,000 -12,548 12,548 16,046 44,154 7,700 0,800 15,610 29,383 -5,583

1,914 21,500 2,200 -4,591 4,591 28,038 38,322 0,500 0,100 15,610 18,323 -16,643

2,393 19,900 2,000 3,366 -3,366 34,430 26,890 -6,800 -0,700 15,610 6,983 -27,983

2,871 15,000 1,500 11,323 -11,323 35,782 10,418 -14,000 -1,400 15,610 -4,077 -39,043

3,350 6,500 0,700 19,280 -19,280 31,674 -11,514 -21,200 -2,100 15,610 -15,137 -50,103

3,828 -5,400 -0,500 27,238 -27,238 22,246 -38,766 -28,500 -2,900 15,610 -26,477 -61,443

4,307 -20,700 -2,100 35,195 -35,195 7,498 -71,338 -35,700 -3,600 15,610 -37,537 -72,503

4,785 -39,500 -3,900 43,152 -43,152 -12,430 -109,090 -42,900 -4,300 15,610 -48,597 -83,563

5,060 -51,900 -5,200 47,725 -47,725 -26,488 -133,392 -47,100 -4,700 15,610 -55,037 -90,003

5,060 -51,300 -4,400 -44,859 44,859 -128,222 -27,738 46,200 4,000 14,214 86,200 54,360

5,335 -39,200 -3,400 -40,717 40,717 -105,243 -14,037 42,100 3,600 14,214 79,900 48,060

5,813 -20,700 -1,800 -33,525 33,525 -69,048 6,048 35,100 3,000 14,214 69,260 37,420

6,290 -5,600 -0,500 -26,333 26,333 -38,034 20,954 28,100 2,400 14,214 58,620 26,780

6,768 6,200 0,500 -19,142 19,142 -12,059 30,819 21,100 1,800 14,214 47,980 16,140

7,245 14,600 1,200 -11,950 11,950 8,736 35,504 14,100 1,200 14,214 37,340 5,500

7,723 19,600 1,700 -4,758 4,758 24,491 35,149 7,100 0,600 14,214 26,700 -5,140

8,200 21,300 1,800 2,434 -2,434 35,066 29,614 0,100 0,000 14,214 16,060 -15,780

8,678 19,700 1,700 9,626 -9,626 40,741 19,179 -6,900 -0,600 14,214 5,420 -26,420

9,155 14,700 1,300 16,817 -16,817 41,235 3,565 -13,900 -1,200 14,214 -5,220 -37,060

9,633 6,400 0,500 24,009 -24,009 36,550 -17,230 -20,900 -1,800 14,214 -15,860 -47,700

10,110 -5,300 -0,400 31,201 -31,201 26,965 -42,925 -28,000 -2,400 14,214 -26,640 -58,480

3.9.1.5. Dimensionamento à Flexão

a) Md = -51,710 kNm bw = 19 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 5,75 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 2,44 cm2 (4Φ10) lb = 34 Φ = 34 cm OBS: O cálculo de lb será mostrado adiante. b) Md = -133,392 kNm bw = 19 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 16,24 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 6,89 cm2 (4Φ16) lb = 38 Φ = 61 cm

Page 133: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 48

c) Md = -42,925 kNm bw = 19 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 4,74 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 2,01 cm2 (3Φ10) lb = 37 Φ = 37 cm d) Md = 44,666 kNm bw = 19 cm d = 51 cm bf = 54,9 cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 1,66 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 2,04 cm2 (3Φ10) lb = 37 Φ = 37 cm e) Md = 35,782 kNm bw = 19 cm d = 51 cm bf = 54,9 cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 1,33 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 1,63 cm2 (3Φ10) lb = 30 Φ = 30 cm

f) Md = 35,504 kNm bw = 19 cm d = 51 cm bf = 54,9 cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 1,32 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 1,62 cm2 (3Φ10) lb = 30 Φ = 30 cm

g) Md = 41,236 kNm bw = 19 cm d = 51 cm bf = 54,9 cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 1,54 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm

Page 134: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 49

As = 1,88 cm2 (3Φ10) lb = 34 Φ = 34 cm

Asmín = 1,57 cm2

Resumo

Md (kNm) bw (cm) d (cm) bf (cm) hf (cm) x (cm) As (cm2) lb (cm) -51,710 19 51 0 0 5,75 2,44 34 -133,392 19 51 0 0 16,24 6,89 61 -42,925 19 51 0 0 4,74 2,01 37 44,666 19 51 54,9 10 1,66 2,04 37 35,782 19 51 54,9 10 1,33 1,63 30 35,504 19 51 54,9 10 1,32 1,62 30 41,236 19 51 54,9 10 1,54 1,88 34

3.9.1.6. Dimensionamento ao Cisalhamento

a) Vd = 62,84 kN bw = 19 cm Ast = 1,73 cm2 / m Astmín = 2,66 cm2 / m (Φ6,3 c/23) b) Vd = 90,00 kN bw = 19 cm Ast = 3,14 cm2 / m (Φ6,3 c/20)

Astmín = 2,66 cm2 / m

c) Vd = 86,20 kN bw = 19 cm Ast = 2,95 cm2 / m (Φ6,3 c/21)

Astmín = 2,66 cm2 / m

d) Vd = 58,48 kN bw = 19 cm Ast = 1,51 cm2 / m Astmín = 2,66 cm2 / m (Φ6,3 c/23)

Resumo

Vd (kN) bw (cm) Ast (cm2/m) Ast mín (cm2/m) 62,84 19 1,73 2,66 90,00 19 3,14 2,66 86,20 19 2,95 2,66 58,48 19 1,51 2,66

Page 135: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 50

3.9.1.7. Cobertura do Diagrama de Momento Transladado al = 0,75 d = 0,75 x 51 = 38,25 cm

efs,

cals,

bu

ydb A

Afl

τφ

=4

2,47MPaf , cdbu ==τ 3 2420

435MPa,

fyd ==151

500

sef

scalb A

A l φ= 44

4 Ø 16

4 Ø 103 Ø 10

3 Ø 10 3 Ø 10

Page 136: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 51

3.9.1.8. Detalhamento

Page 137: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 52

Page 138: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 53

3.9.2 Cálculo da V17 3.9.2.1. Esquema Estrutural

Barra A (m2) I (m4) 1 0,1335 3,4E-3 2 0,2090 0,6E-3

Cálculo da mesa colaborante:

m 3,375 4,5x 43 l

43 a ===

b1 < 0,10 a = 0,3375 m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80 m 0,5 b2 = 0,5 x 2,775 = 2,16 m 0,5 b2 = 0,5 x 4,6 = 2,30 m Portanto, b1 = 0,3375 m

Barra 1

Barra 2

Barra 2

Page 139: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 54

3.9.2.2. Carregamentos Verticais

3.9.2.3. Esforços devido ao Vento

25,39 KN5,35 KN

±43,7 KN m

±41,7 KN m

Page 140: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 55

3.9.2.4. Envoltória de Esforços Para a envoltória de esforços, consideramos a seguinte combinação:

Fd = 1,4 Fg + 1,4 Fq + 1,4*0,8*Fvento Viga V1

X Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2

0 -16,00 -3,40 41,70 -41,70 19,54 -73,86 48,20 10,10 -15,10 64,71 98,53

0,45 2,90 0,70 33,16 -33,16 42,18 -32,10 36,77 7,70 -15,10 45,35 79,17

0,9 17,10 3,60 24,62 -24,62 56,55 1,41 25,34 5,30 -15,10 25,98 59,81

1,35 27,60 5,50 16,08 -16,08 64,35 28,33 13,91 2,90 -15,10 6,62 40,45

1,8 29,50 6,20 7,54 -7,54 58,42 41,54 2,48 0,50 -15,10 -12,74 21,08

2,25 28,10 5,90 -1,00 1,00 46,48 48,72 -8,95 -1,90 -15,10 -32,10 1,72

2,7 21,50 4,50 -9,54 9,54 25,72 47,08 -20,38 -4,30 -15,10 -51,46 -17,64

3,15 9,60 2,10 -18,08 18,08 -3,87 36,63 -31,81 -6,70 -15,10 -70,83 -37,00

3,6 -7,30 -1,50 -26,62 26,62 -42,13 17,49 -43,24 -9,10 -15,10 -90,19 -56,36

4,05 -27,40 -4,63 -35,16 35,16 -84,22 -5,46 -54,67 -11,50 -15,10 -109,55 -75,73

4,5 -53,40 -8,11 -43,70 43,70 -135,06 -37,17 -66,10 -13,90 -15,10 -128,91 -95,09 3.9.2.5. Dimensionamento à Flexão

a) Md = -73,86 kNm bw = 12 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 13,95 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 3,74 cm2 (3Φ12,5) lb = 44 Φ = 55 cm b) Md = 19,54 kNm bw = 12 cm d = 51 cm bf = 79,5cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 0,49 cm < hf As = 0,97 cm2 c) Md = 64,35 kNm bw = 12 cm d = 51 cm bf = 79,5cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 1,65 cm < hf As = 2,94 cm2 (4Φ10)

Page 141: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 56

lb = 40 Φ = 40 cm d) Md = 48,72 kNm bw = 12 cm d = 51 cm bf = 79,5 cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 1,25 cm < hf As = 2,22 cm2 (3Φ10) lb = 31 Φ = 31 cm

e) Md = - 135,06 kNm bw = 12 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 29,58 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm

As = 7,93 cm2 (4Φ16) lb = 44 Φ = 70 cm

Md(kNm) bw(cm) d(cm) bf (cm) hf (cm) x (cm) As(cm2) lb (cm) -73,86 12 51 0 0 13,95 3,74 55 19,54 12 51 80 10 0,45 0,97 40 64,35 12 51 80 10 1,44 2,94 40 48,72 12 51 80 10 1,25 2,22 31

-135,06 12 51 0 0 29,58 7,93 70 3.9.2.6. Dimensionamento ao Cisalhamento

a) Vd = 128,91 kN bw = 12 cm Ast = 5,73 cm2 / m (Φ6,3 c/11)

Astmín = 1,68 cm2 / m (Φ5 c/20) b) Força cortante de cálculo correspondente à armadura mínima:

V*= KN 648611

x (f db c min wywd w ,,

)=

τ+ρ

c) Vd = 98,53 kN bw = 12 cm Ast = 4,15 cm2 / m (Φ6,3 c/15)

Page 142: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 57

Resumo

Vd (kN) bw (cm) Ast (cm2/m) Ast mín (cm2/m) 128,91 12 5,73 1,68 98,53 12 4,15 1,68

3.9.2.7. Cobertura do Diagrama de Momento Transladado al = 0,75 d = 0,75 x 51 = 38,25 cm

3.9.2.8. Detalhamento

4φ16

4φ10 3φ10

3φ12,5

Page 143: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 58

Page 144: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 59

3.9.3 Cálculo da V16 3.9.3.1. Esquema Estrutural

2.73

1 2( 1 )

Barra A (m2) I (m4) 1 0,0933 2,700E-3

Cálculo da mesa colaborante: - m 2,730 l a == b1 < 0,10 a = 0,273m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 0,5 x 2,71 = 1,355 m Portanto, b1 = 0,273m 3.9.3.2. Carregamentos Verticais

0.58 kN/m

7.62 kN/m

3.9.3.3. Reações

10.4 kN0.8 kN 0.8 kN

10.4 kN

Page 145: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 60

3.9.4 Cálculo da V4 3.9.4.1. Esquema Estrutural

Barra A (m2) I (m4)

1 0,1596 4,50E-3 2 0,1762 3,80E-3

Cálculo da mesa colaborante: - V4a: m 5,51 l a == b1 < 0,10 a = 0,551m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 0,5 x 4,32 = 2,16m Portanto, b1 = 0,551m - V4b: 5,51m l a == b1 < 0,10 a = 0,551m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 2,16m Portanto, b1 = 0,551m

Barra 1 Barra 2

Page 146: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 61

b1 < 0,10 a = 0,551m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 1,365m Portanto, b1 = 0,551m 3.9.4.2. Carregamentos Verticais

3.9.4.3. Esforços devido ao Vento

+14.31 kN.m

+15.17 kN.m

Var: 1,52 KN/mPer: 15,12 Kn/m

Var: 2,77 KN/mPer: 15,32 KN/m

Var: 0,8 KNPer: 10,4 KN

Page 147: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 62

3.9.4.4. Envoltória de Esforços

Viga V4

x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2

0,000 -16,900 -2,100 14,310 -14,310 -10,573 -42,627 46,800 5,400 5,362 79,085 67,021

0,280 -4,400 -0,700 12,812 -12,812 7,209 -21,489 42,500 4,900 5,362 72,365 61,001

0,560 6,900 0,600 11,314 -11,314 23,172 -2,172 38,300 4,500 5,362 65,925 55,121

0,840 17,000 1,900 9,816 -9,816 37,454 15,466 34,100 4,100 5,362 59,485 49,241

1,120 26,000 2,900 8,318 -8,318 49,776 31,144 29,800 3,700 5,362 52,905 43,221

1,400 33,800 3,900 6,820 -6,820 60,418 45,142 25,600 3,200 5,362 46,325 37,341

1,680 40,300 4,700 5,322 -5,322 68,960 57,040 21,400 2,800 5,362 39,885 31,461

1,960 45,700 5,500 3,823 -3,823 75,962 67,398 17,100 2,400 5,362 33,305 25,441

2,240 49,900 6,100 2,325 -2,325 81,004 75,796 12,900 2,000 5,362 26,865 19,561

2,520 52,900 6,600 0,827 -0,827 84,227 82,373 8,700 1,500 5,362 20,285 13,681

2,800 54,800 6,900 -0,671 0,671 85,629 87,131 4,400 1,100 5,362 13,705 7,661

2,8 54,800 6,900 -0,671 0,671 85,629 87,131 -6,000 0,300 5,362 -1,975 -6,899

3,071 52,600 6,900 -2,121 2,121 80,925 85,675 -10,100 -0,400 5,362 -8,695 -12,639

3,342 49,300 6,700 -3,571 3,571 74,401 82,399 -14,300 -1,200 5,362 -15,695 -18,519

3,613 44,900 6,300 -5,021 5,021 66,057 77,303 -18,400 -1,900 5,362 -22,415 -24,259

3,884 39,300 5,600 -6,470 6,470 55,613 70,107 -22,600 -2,700 5,362 -29,415 -30,139

4,155 32,600 4,800 -7,920 7,920 43,489 61,231 -26,700 -3,400 5,362 -36,135 -35,879

4,426 24,800 3,800 -9,370 9,370 29,545 50,535 -30,900 -4,200 5,362 -43,135 -41,759

4,697 15,900 2,500 -10,820 10,820 13,641 37,879 -35,000 -4,900 5,362 -49,855 -47,499

4,968 5,800 1,100 -12,270 12,270 -4,083 23,403 -39,200 -5,700 5,362 -56,855 -53,379

5,239 -5,400 -0,600 -13,720 13,720 -23,766 6,966 -43,300 -6,500 5,362 -63,715 -59,119

5,510 -17,700 -2,400 -15,170 15,170 -45,130 -11,150 -47,500 -7,200 5,362 -70,575 -64,999

3.9.4.5. Dimensionamento à Flexão

a) Md = 87,131 kNm bw = 12 cm d = 51 cm bf = 74,1 cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 2,42 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 4,00 cm2 (2Φ16) lb = 44 Φ = 70 cm

Asmín = 1,57 cm2

b) Md = -45,13 kNm bw = 12 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 8,11 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm

Page 148: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 63

As = 2,17 cm2 (3Φ10) lb = 60 cm

c) Md = -42,67 kNm bw = 12 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 4,71 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 2,00 cm2 (3Φ10) lb = 55 cm

Asmín = 0,99 cm2 (2Φ8)

Resumo

Md (kNm) bw (cm) d (cm) bf (cm) hf (cm) x (cm) As (cm2) lb (cm) 87,13 19 51 74,1 10 2,42 4,00 70 -45,13 19 51 0 0 8,11 2,17 60 -42,67 12 51 0 0 4,71 2,00 55

3.9.4.6. Dimensionamento ao Cisalhamento

a) Vd = 79,09 kN bw = 19 cm Ast = 2,58cm2 / m Astmín = 2,66cm2 / m (Φ6,3 c/23)

b) Vd = 70,58 kN bw = 12 cm Ast = 2,70 cm2 / m (Φ6,3 c/23) Astmín = 1,68 cm2 / m (Φ6,3 c/25)

Resumo

Vd (kN) bw (cm) Ast (cm2/m) Ast mín (cm2/m) 79,23 19 2,58 2,66 70,16 12 2,70 1,68

3.9.4.7. Cobertura do Diagrama de Momento Transladado

Page 149: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 64

3.9.4.8. Detalhamento

2φ16

3φ10 3φ10

Page 150: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 65

3.9.4.9. Flecha Estádio II:

- esforço solicitante = g + 0,7 q M = 54,8 + 0,7 (6,90 + 0,67) = 60,1 kNm Para o trecho a, temos: - posição da linha neutra MPa 28795 3,5f * 6600 * 0,9E ckc =+=

29728795

210000 ,EE

c

se ===α

001105174,1x

4,00d b

A s

d ,===ρ

fdef

es h cm925 2 1 1-

b A

x ≤=

ρα++

α= ,

- tensão máxima de compressão no concreto

Page 151: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 66

2

f

c kN/cm560

35,92 - 51 x 5,92 x 74,1

6010 x 2

3x - d x b

M 2 ,=

=

- tensão na armadura

2

s

s 30,65kN/cm

35,92 - 51 4

6010

3x - d A

M=

=

- produto de rigidez a flexão no estádio II Ec III = AsEs(d – x)(d-x/3) = 4x21000x(51-5,92)x(51 – 5,92/3)=18565,03x104 kN cm2 = 18,57 x107 kN cm2

- para os dados adotados tem-se: Ic = 4,5 x 10-3 m4 = 4,5 x 105 cm4 Ec Ic = 4,5 x 105 x 28,8 x 102 = 129,6 x 107 kN cm2

Ec III = 0,143 Ec Ic Para o trecho b, temos:

- posição da linha neutra MPa 28795 3,5f * 6600 * 0,9E ckc =+=

29728795

210000 ,EE

c

se ===α

00064051122,2x

4,00d b

A s

d ,===ρ

fdef

es h cm704 2 1 1-

b A

x ≤=

ρα++

α= ,

- tensão máxima de compressão no concreto

2

f

c kN/cm 420

34,70 - 51 x 4,70 x 122,2

6010 x 2

3x - d x b

M 2 ,=

=

- tensão na armadura

2

s

s kN/cm 3903

34,7 - 51 4,0

6010

3x - d A

M ,=

=

- produto de rigidez a flexão no estádio II Ec III= AsEs(d – x)(d-x/3)= 4,0x21000x(51-4,7)x (51 – 4,7/3)= 19,23x107 kN cm2

- para os dados adotados tem-se: Ic = 3,8 x 10-3 m4 = 3,8 x 105 cm4 Ec Ic = 3,8 x 105 x 28,8 x 102 = 109,44 x 107 kN cm2

Page 152: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 67

Ec III = 0,18 Ec Ic

a) flecha de carga de curta duração (aq) q* = 0,7 q q* = 0,7 x 1,52 = 1,064 kN/m (trecho a) q* = 0,7 x 2,77 = 1,939 kN/m (trecho b) Q* = 0,7 x 0,8 = 0,56 kN Ec III = 18,57 x 107 kN cm2 (trecho a) III = 0,6448 x 105 cm4 = 0,6448 x 10-3 m4

Ec III = 19,23 x 107 kN cm2 (trecho b) III = 0,6677 x 105 cm4 = 0,6677 x 10-3 m4

Utilizando o ftool, temos:

aq = 0,2 mm = 0,0002 m < )(OK! 0,0110m5005,51

500l

==

b) flecha de carga de longa duração (ag) ago = 1,5 mm = 0,0015 m

( ) 0,001847m515,921 0,00152ξ1 aa gog =

+=+=

ag + aq = 0,001847 + 0,0002 = 0,002047 m < )(OK! 0,018m300

l=

3.9.4.10. Fissuração Considerando ηb = 1,5, c = 2,5 cm, φt = 6,3 mm e Wlim = 0,3 mm.

a) determinação da tensão σs:

0010605174,1x

4,00d b

A s

d ,===ρ

Portanto, no estádio II:

fes

f

f

es h cm 5,9 A

d2b 1 1- b A

x ≤=

α++

α=

2

s

s kN/cm 30,6

35,9 - 51 4,00

6010

3x - d A

M=

=

Page 153: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 68

b) avaliação da abertura da fissura

02202185

004r ,

,,

==ρ

+

ρσ

−ηφ

= 454E0,75 210

1Ws r

s

b1

=

+

−= 45

0,0224

2100030,6

0,75 x1,5216

101W1 0,24 mm < Wlim = 0,3 mm (OK!)

Não será necessário verificar pela segunda expressão da norma.

3.10 Recomendações do Projeto de Revisão da NBR6118 (2001) Apresenta-se neste item algumas recomendações do Projeto de Revisão da nova NBR6118 (2000). Resistência à tração

ctmctk

ctmctk

ckctm

ffff

MPaff

.3,1.7,0

)(.30,0

sup,

inf,

3/2

=

==

Módulo de Elasticidade

ccs

ckc

EEfE

.85,0

.5600 2/1

==

Imperfeições Geométricas

2/11

1001

1n

l

a

S

+=

=

θθ

θ

Onde n = número total de elementos verticais contínuos

2001

max1 =θ

Entre o vento e o desaprumo pode ser considerado apenas aquele mais desfavorável.

).03,0015,0( hNM dsd +=

Page 154: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 69

Estados Limites de Serviço Combinações de Serviço: a) Quase-Permanente Podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura. São normalmente utilizadas para a verificação do estado limite de deformação Excessiva. b) Frequentes Repetem-se muitas vezes durante o período de vida da estrutura. São normalmente utilizadas para a verificação dos estados limites de formação de fissuras, aberturas de fissuras e vibrações excessivas. c) Raras Podem atuar no máximo algumas vezes durante o período de vida útil da estrutura. São eventualmente utilizadas para a verificação do estado limite de formação de fissuras. Combinações Últimas Normais

eqkoeeq

n

aqikojkqqegkeggkgd FFFFFF ψγψγγγ +

+++= ∑1.

Combinações de Serviço a) Combinação Quase-Permanente:

∑ ∑= =

+=m

i

n

jqikjgikserviçod FFF

1 22, ψ

b) Combinação Frequente

∑ ∑= =

++=m

i

n

jqikjkqgikserviçod FFFF

1 2211, ψψ

c) Combinação Rara

∑ ∑= =

++=m

i

n

jqikjkqgikserviçod FFFF

1 211, ψ

Page 155: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 70

Armadura Mínima de Tração

)(.30,0

.3,1

..8,0

3/2

sup,

sup,0min,

MPaff

fffWM

ckctm

ctmctk

ctkd

=

=

=

Seção Retangular:

cdc

yds

fAfA

w..

0035,0 ==

Seção T:

cdc

yds

fAfA

w..

0024,0 ==

faceporAA almacpeles ,, %.10,0=

Espaçamento < 20 cm Para ∅ < 8,0mm(aço liso) adotar o dobro da armadura Armadura de Cisalhamento Modelo de Cálculo I: a) Verificação da compressão diagonal do concreto

)(250

1

....27,02

2

MPafdbwfV

VV

ckV

cdVRd

Rdsd

−=

=≤

α

α

b) Cálculo da armadura

4,1.30,0.7,0

.7,0

.3,130,0

...6,0

3/2

inf,

sup,

3/2

3

ckctd

ctmctk

ctmctk

ckctm

ctdc

swcRdsd

ff

ffffff

dbwfVVVVV

=

=

==

=+=≤

Page 156: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 71

o90/..9,0. == αapdfsAV ywdsw

sw

c) Decalagem

)(2

cot)cot1().(2

cd

d

cd

d

VVVdal

ggVV

Vdal

−=

−+

−= αα

Modelo de Cálculo II:

oo 4530 ≤≤ θ a) Verificação da compressão diagonal do concreto

θθαθθα

sen.cos.....54,0sen.cot.....54,0

2

22

2

dbwfVgdbwfV

VV

cdVRd

cdVRd

Rdsd

==

b) Cálculo da armadura

4,1.30,0.7,0

.7,0

.3,130,0

...6,0

3/2

inf,

sup,

3/2

3

ckctd

ctmctk

ctmctk

ckctm

ctdc

swcRdsd

ff

ffffff

dbwfVVVVV

=

=

==

=+=≤

θgdfsAV ywdsw

sw cot...9,0.=

c) Decalagem

θgdal cot..5,0= Armadura mínima de cisalhamento:

yk

ctmswsw f

fsbw

A .2,0.min, ≥=ρ

Page 157: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 72

Determinação de Deslocamentos Combinação Quase-Permanente:

∑ ∑+=i j

qikjgikd FFF 2ψ

→= 2,02ψ Em locais sem cargas de equipamentos ou grandes concentrações de

pessoas →= 4,02ψ Em locais com cargas de equipamentos ou grandes concentrações de

pessoas →= 6,02ψ Bibliotecas, garagens, etc.

Flecha Imediata:

ocIIa

ro

a

rceq IEI

MMI

MMEEI ≤

−+

=

33

1)(

=rM Momento de fissuração

3/2.30,0

.

ckctm

ctmr

ffWfM

=

=

=W Módulo de resistência relativo à fibra mais tracionada =aM Momento fletor na seção crítica do vão

=oI Momento de inércia da seção bruta =III Momento de inércia do Estádio II puro

Flecha Diferida: Flecha Diferida = αf. Flecha Imediata

'.501 ρξα

+∆

=f

dbA s

.'

'=ρ

onde sA' = Armadura de compressão no trecho considerado

)()( ott ξξξ −=∆ t = tempo em meses na data em que se calcula a flecha to = tempo em meses na data do carregamento

Page 158: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 73

>≤

=mesestpara

mesestparatt

t

70270.996,0.68,0

)(32,0

ξ

Page 159: Calculo Completo Edificio

4 – Pilares de Edifícios

4.1 Introdução As funções dos pilares são as de conduzir as cargas verticais dos pavimentos para as fundações, donde decorre seu comportamento primário de barra comprimida, e de fornecer estabilidade ao edifício quanto aos esforços horizontais (vento e terremotos). Os pilares podem ser dimensionados para fornecer estabilidade às estruturas isoladamente (pilares de grande rigidez, como os das caixas de escada e elevadores) ou participando de pórticos de contraventamento (associação de pilares e vigas). Neste capítulo apresentaremos um procedimento para o cálculo de pilares de edifícios baseado no texto do projeto de revisão da NBR6118 publicado em agosto de 2001, que doravante chamaremos de NB1/2001. Neste capítulo, em muitas ocasiões, apresentaremos apenas os dispositivos da NB1/2001 necessários para o entendimento e dimensionamento do edifício exemplo, permanecendo como referência básica o texto da NB1/2001.

4.2 Análise Local e Global A NB1/2001 define dois níveis de análise para os pilares:

global e; local.

Deve ser realizada a análise global, considerando o carregamento proveniente do vento, desaprumo e efeitos de 2a ordem globais para todos os elementos responsáveis pelo contraventamento do edifício, ou seja, os elementos responsáveis pela resistência aos esforços horizontais atuantes. Todos os elementos, considerados isolados (trechos do pilar entre os pisos do edifício) devem ser verificados localmente, considerando os momentos iniciais aplicados em suas extremidades, momentos devidos à excentricidade acidental local e quando necessário, efeitos localizados de 2a ordem.

4.3 Cargas e Ações Consideradas

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 2

Page 160: Calculo Completo Edificio

Considerando o arranjo tradicional, com lajes apoiando-se em vigas que por sua vez se apóiam em pilares, temos que os esforços atuantes em uma determinada seção do pilar decorrem do momento fletor introduzido pelas vigas, das cargas verticais que se somam a cada pavimento e dos esforços transversais provenientes da ação do vento e da consideração do desaprumo global da estrutura, além dos efeitos globais e locais de 2a ordem.

4.3.1 Cargas Verticais As cargas verticais são determinadas segundo o procedimento apresentado no capítulo 1, utilizando os valores de carga prescritos pela NBR6120/1980 – Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações.

4.3.2 Ação do Vento A consideração do efeito do vento nas edificações é obrigatória segundo a NB1/2001. Este efeito deve ser determinado de acordo com o prescrito pela NBR6123/1988 – Forças Devidas ao Vento em Edificações, permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em normas brasileiras específicas (NB1/2001 11.4.1.2). O procedimento simplificado para a obtenção do carregamento de vento segundo a NBR6123 é apresentado no capítulo 1.

4.3.3 Imperfeições Geométricas Globais Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 4-1 (NB1/2001).

lθa

n prumadas de pilares Figura 4-1– Consideração das imperfeições geométricas globais (NB1/2001)

Aonde:

1001

1l

=θ ( 4.1 )

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 3

Page 161: Calculo Completo Edificio

21 n

1

1a+

θ=θ ( 4.2 )

tal que, l é a altura da estrutura em metros; n é o número total de elementos verticais contínuos.

3001

4001

min1 para estruturas de nós fixos;

para estruturas de nós móveis e imperfeições locais. ( 4.3 )

2001

máx1 =θ

Ainda segundo a NB1/2001, o desaprumo mínimo (θ1mín) não deve necessariamente ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido como o que provoca o maior momento total na base da construção. Deve-se ainda considerar o efeito de imperfeições locais (entre pisos). Tal procedimento será discutido quando da modelagem dos pilares isolados.

4.3.4 Efeitos de 2a Ordem Na análise estrutural de estruturas de nós móveis devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física e, portanto, no dimensionamento, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem. Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γz. Esse processo só é válido para γz ≤ 1,3 (NB1/2001). Acima deste limite, devemos utilizar métodos mais exatos para a determinação dos esforços, como a análise não-linear física e geométrica utilizando programas de elementos finitos, ou para casos mais simples, o processo P-∆. A análise global de 2ª ordem em geral fornece apenas os esforços nas extremidades das barras. Desta forma, quando não tivermos os esforços de 2a ordem no meio dos pilares, provenientes da análise global, devemos realizar uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de acordo com o prescrito no item 15.8 da NB1/2001. Quando realizarmos uma análise global com discretização conveniente das vigas e pilares, utilizando uma formulação para os elementos que leve em consideração a não-linearidade física e geométrica, podemos considerar que os efeitos de 2a ordem já são automaticamente captados pelos elementos.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 4

Page 162: Calculo Completo Edificio

4.4 Combinações de Carregamento (ELU) O valor de cálculo das ações para a combinação última, Fd, é determinado por (NB1/2001 11.8.2):

( ) qk0qqjkj0k1qqgkggkgd FFFFFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ ( 4.4 ) ou, mais especificamente para as ações presentes neste edifício exemplo:

( )∑ψ+γ+γ= qjkj0k1qqgkgd FFFF ( 4.5 ) Tomando os coeficientes de ponderação das ações no estado limite último (ELU) (NB1/2001 11.7.1), temos as seguintes combinações de cálculo para o edifício exemplo: Tabela 4-1 – Combinações de carregamento para o cálculo dos pilares do edifício exemplo para cada

direção

Combinação Descrição 1 Carga acidental vertical como

ação principal. Vento (+). ( )( )vento,qvertical,qgk

qjkj0k1qqgkgd

F6,0F4,1F4,1FFFF

++=ψ+γ+γ= ∑

2 Carregamento de vento como

ação principal. Vento (+). ( )( )vertical,qvento,qgk

qjkj0k1qqgkgd

F5,0F4,1F4,1FFFF

++=ψ+γ+γ= ∑

3 Carga acidental vertical como

ação principal. Vento (–). ( )( )vento,qvertical,qgk

qjkj0k1qqgkgd

F6,0F4,1F4,1FFFF

++=ψ+γ+γ= ∑

4 Carregamento de vento como

ação principal. Vento (–). ( )( )vertical,qvento,qgk

qjkj0k1qqgkgd

F5,0F4,1F4,1FFFF

++=ψ+γ+γ= ∑

Desta forma, a rigor, para o edifício exemplo, teríamos 8 combinações de carregamento, o que obviamente torna o cálculo manual muito extenso. Com o objetivo de manter a simplicidade, utilizaremos o dispositivo apresentado no livro de comentários da NB1/2001, que permite a substituição das combinações de carregamento acima por apenas uma em cada direção, se o edifício apresentar 1,1z ≤γ (a definição de γz é apresentada no capítulo 1). Tabela 4-2 – Combinação de carregamento para o cálculo dos pilares do edifício exemplo para cada

direção (processo simplificado ( 1,1z ≤γ ) )

Combinação

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 5

Page 163: Calculo Completo Edificio

1 ( )( )vento,qqkgk

vento,qqkgkgd

F8,0FF4,1F8,0FFF⋅++=

⋅++γ=

Para paredes estruturais com espessura inferior a 19cm e não interior a 12cm, e para os pilares com dimensão interior a 19cm, as ações Fd devem ser majoradas pelo coeficiente de ajustamento γn (NB1/2001 13.2.3). Esta correção se deve ao aumento da probabilidade de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção.

b γn ≥ 19cm 1,0

12 ≤ b ≤ 19cm 4,1

b07,073,2n

−=γ

( 4.6 )

4.5 Definições

4.5.1 Esbeltez As simplificações possíveis (tanto do seu comportamento, como do método de modelagem) de serem adotadas no projeto dos pilares isolados estão diretamente relacionadas com o índice de esbeltez λ do pilar.

iel=λ ( 4.7 )

c

c

AIi = ( 4.8 )

onde le = comprimento de flambagem i = raio de giração da seção geométrica da peça (seção de concreto não

se considerando a presença da armadura) Ic = momento de inércia da seção transversal do pilar em relação ao eixo

principal de inércia na direção considerada Ac = área da seção transversal do pilar

Nas estruturas de edifícios consideradas indeslocáveis, o comprimento de flambagem le dos pilares é determinado conforme a Figura 4-2 e a equação ( 4.9 ). Nas estruturas de nós móveis, rigorosamente o comprimento de flambagem é medido entre pontos de inflexão da configuração deformada do pilar. Entretanto, uma boa aproximação é considerar o mesmo critério adotado para os pilares de estruturas indeslocáveis.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 6

Page 164: Calculo Completo Edificio

h0

Figura 4-2 – Determinação do comprimento de flambagem nos casos usuais de estruturas de

edifícios

O comprimento equivalente le do elemento comprimido suposto simplesmente apoiado em ambas extremidades é o menor dos seguintes valores:

+

≤l

ll

h0e ( 4.9 )

Na próxima figura apresentamos o comprimento de flambagem para outras condições de vinculação e na Figura 4-4 a situação real e a de projeto.

le = l

le = 0,5l le = 2/3 l

Figura 4-3 – Comprimentos de Flambagem

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 7

Page 165: Calculo Completo Edificio

Figura 4-4 – Situação de Cálculo x Situação de Projeto

4.5.2 Excentricidade Em algumas ocasiões é conveniente saber transformar os momentos fletores aplicados a excentricidades equivalentes:

Figura 4-5 – Equivalência entre os pares N-M e N-e

Utilizando a convenção da Figura 4-5, temos:

yy

xx

eNMeNM

⋅=⋅=

( 4.10 )

4.6 Classificação dos Pilares

4.6.1 Introdução

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 8

Page 166: Calculo Completo Edificio

Tradicionalmente temos a classificação dos pilares baseada em sua esbeltez, em sua posição relativa no pavimento e quanto ao fato dele pertencer ao sistema de contraventamento do edifício. Entretanto, sabemos que tais classificações tem apenas o objetivo de permitir o cálculo mais simplificado para alguns tipos de pilares, pois se adotarmos a modelagem global da estrutura, todos os pilares podem ser tratados da mesma forma.

4.6.2 Classificação quanto à Resistência dos Esforços Transversais Os pilares de um edifício podem pertencer ou não ao seu sistema de contraventamento, responsável por resistir aos esforços transversais. Desta forma, temos: Pilares de Contraventamento: são responsáveis pela estabilidade global da

estrutura e devem ser dimensionados para resistir aos esforços globais de vento, desaprumo, etc. e aos esforços provenientes da análise local (esforços introduzidos pelas vigas dos pavimentos, momentos de 2a ordem localizados).

Pilares Contraventados: são contraventados pelos primeiros. É necessário apenas efetuar sua análise local.

Percebe-se que o procedimento de dimensionamento é o mesmo, mudando apenas os esforços para dimensionamento.

4.6.3 Classificação quanto a sua Posição no Pavimento Quanto a sua localização no pavimento, os pilares são usualmente classificados em: Pilares Centrados Pilares de Extremidade Pilares de Canto

O objetivo principal desta classificação é simplificar o procedimento de cálculo, excluindo as excentricidades iniciais nas duas direções para os pilares centrados e a excentricidade inicial numa direção para os pilares de extremidade. Sob o nosso ponto de vista, tais simplificações são muito grosseiras e podem desconsiderar excentricidades iniciais importantes. Por exemplo, um pilar centrado pode apresentar excentricidades iniciais importantes decorrentes de vãos desiguais de vigas, carregamentos de lajes e vigas muito diferentes, vinculação excêntrica de viga ao pilar, que podem ser esquecidas. Desta forma, adotaremos o procedimento de determinar os momentos iniciais nas direções principais para todos os pilares e sempre dimensionar os pilares à flexão normal oblíqua.

4.6.4 Classificação quanto a sua Esbeltez

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 9

Page 167: Calculo Completo Edificio

Tradicionalmente, os pilares são classificados, quanto a sua esbeltez em: Pilares Curtos Pilares Medianamente Esbeltos Pilares Esbeltos Pilares muito Esbeltos

Esta classificação é realizada para que possamos simplificar o tratamento dos pilares. Conforme o pilar se torna mais esbelto, os efeitos de 2a ordem e decorrentes da fluência tornam-se mais importantes e desta maneira, passamos a utilizar modelos menos simplificados e mais confiáveis. A NB1/2001 introduziu várias mudanças na avaliação da esbeltez dos pilares que conseqüentemente altera os limites que separam os tipos de pilares, além de novos métodos para a avaliação dos efeitos de 2a ordem e da fluência. Um resumo sobre estas mudanças pode ser visto no tópico 4.9.

4.7 Dimensionamento à Flexão Normal Composta

4.7.1 Processo Geral a) Definição

G

Plano de Simetria e Plano de Solicitação

N

M

b) Construção de Curvas de Interação(Mu, Nu)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 10

Page 168: Calculo Completo Edificio

G

L N

x

εc

εs

Nc

Ns

σc σsi.Asi

Concreto Aço

ac

as

Dados: Seção, armaduras, materiais(fck,fyk) Escolhe-se x → Domínios de ELU sai a deformação correspondente → Com as

deformações entra-se no diagrama dos materiais para retirar as tensões no aço e no concreto.

Nc → Resultante de tensões no concreto ac → Dstância da resultante de tensões no concreto ao C.G. da seção transversal Ns → Resultante das forças nas barras de aço as → Distância da resultante das forças no aço ao C.G. da seção transversal Domínios do Estado Limite Último “Lugar Geométrico” das Deformações Últimas

Deduz-se: Nu = Nc + Ns Mu = Ncac + Nsas Nu e Mu formam um par de valores que levam a peça ao E.L.U Portanto: Correspondência Biunívoca x ↔ (Nu,Mu)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 11

Page 169: Calculo Completo Edificio

Variando x obtém-se pares (Nu,Mu) c) Aspecto Geral das Curvas de Interação

Nu

Mu

Compressão

TraçãoD

C

B

A

As dado

Pontos Característicos A → Compressão Simples B → Máximo Mu C → Flexão Simples D → Tração Simples Trecho AC → Flexo-Compressão Trecho CD → Flexo-Tração d) Verificação da segurança da peça, dada a armadura, para os esforços Nd e Md

Nu

Mu

Boa Segurança

Nd

Md

As dado Nd

Mu

SegurançaDeficiente

Md

As dado

Nu

Marca-se no gráfico o ponto(Nd , Md) Se o ponto é interno à curva → Segurança Boa Se o ponto é externo à curva → Segurança deficiente

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 12

Page 170: Calculo Completo Edificio

Ábacos de Interação para Dimensionamento Escolhidos seção transversal e disposição da armadura e categoria do aço Curvas interação, função de variáveis adimensionais do tipo:

cdc

d

.fAN

.h.fAMµ

cdc

d=

armadura)degeométrica(taxaAAρ

c

s=

armadura)demecânica(taxa.fA.fA

cdc

yds=ω

υ

µ

υ

µ

ω = 0

ω = 1Retira-se o ω

desejado

4.7.2 Processo Simplificado Nas situações de cálculo de flexão composta normal de seções retangulares ou circulares com armadura simétrica em que a força normal reduzida (ν) for maior ou igual a 0,7, permite-se a transformação deste caso de dimensionamento em um de compressão centrada equivalente (NB1/2001). Tal processo é conveniente para a estimativa da armadura, que posteriormente será verificada por métodos mais rigorosos.

7,0≥ν

0Mhe1NN

eq,Sd

real,Sdeq,Sd

=

β+=

(4.11)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 13

Page 171: Calculo Completo Edificio

onde

cdc

Sd

fAN

⋅=ν ,

hNM

he

real,Sd

real,Sd

⋅= e

( )hd́8,001,039,0

1

⋅−α⋅+=β

e

circularesseçõespara46se61se

1se1

s

ss

ss

−=α>α=α≥αα=α

<αα

−=α

considerando 2A

AA

lateral,s

eriorinf,seriorsup,ss

==α , conforme a figura abaixo:

Figura 4-6 – Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro αs

4.7.3 Ábacos Adimensionais para Dimensionamento

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 14

Page 172: Calculo Completo Edificio

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Page 173: Calculo Completo Edificio

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Page 175: Calculo Completo Edificio

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ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 22

Page 180: Calculo Completo Edificio

4.8 Dimensionamento à Flexão Oblíqua

4.8.1 Processo Geral Superfície de Interação ( Para um dado As)

Figura 4-7 – Diagrama de Interação

4.8.2 Processo Simplificado A NB1/2001 permite o cálculo simplificado e aproximado, nas situações de flexão simples ou composta oblíqua, pela expressão de interação:

1 = MM

+ MM

yy,Rd

y,Rd

xx,Rd

x,Rd

αα

onde:

( 4.12 )

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 23

Page 181: Calculo Completo Edificio

MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd. Estes são os valores que se deseja obter; MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Estes valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo;

α é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em geral pode ser adotado α = 1,0 a favor da segurança. No caso de seções retangulares poder-se adotar α = 1,2. Os momentos MRdxx e MRdyy são extraídos dos diagramas de interação para a flexão normal nas direções x e y da seção. O diagrama de interação é construído arbitrando-se valores para MRdx e determinando o momento:

yy,Rdxx,Rd

x,Rdy,Rd M

MM

1M α

α

−= ( 4.13 )

Figura 4-8 – Aproximação dos diagramas de interação para a flexão oblíqua

Observação: Horowitz apresenta uma expressão para a melhor avaliação de α:

+=α

máx,Rd

Sd

NNb5,0

=A50CA/p60,1B50CA/p50,1

b ( 4.14 )

4.8.3 Ábacos Adimensionais para Dimensionamento

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ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 27

Page 185: Calculo Completo Edificio

4.9 Pilares Contraventados (Cálculo dos Pilares Isolados)

4.9.1 Introdução A próxima figura mostra os critérios para a modelagem dos pilares isolados em função de seu índice de esbeltez.

Consideração dos efeitos de 2 ordema

Consideração da Fluência

Método Geral

Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada

Método do Pilar Padrão com rigidez aproximadaΚ

Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r

λ1 90 140 2000

Figura 4-9 – Critérios para a modelagem dos pilares isolados conforme o índice de esbeltez

As duas primeiras barras indicam o intervalo onde há obrigatoriamente a necessidade da consideração dos efeitos de 2ª ordem e de fluência e nas quatro barras seguintes o intervalo de validade de cada método de solução recomendado pela NB1/2001. Devemos ainda complementar que o valor λ1 é um valor que determina o início da consideração dos efeitos de 2ª ordem e será discutido com mais detalhe no tópico 4.9.2 e que não são permitidos pilares usuais com índice de esbeltez maior que 200.

4.9.2 Critério para a Dispensa dos Efeitos de 2ª Ordem A NB1/2001 estabelece novos critérios para a dispensa dos efeitos de 2ª ordem. Ela estabelece que os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 (ao invés do valor fixo de 40 utilizado anteriormente). O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; a vinculação dos extremos da coluna isolada; a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem.

Desta forma, são estabelecidas expressões que visam levar em conta a influência de cada um dos fatores citados acima. Assim sendo, o valor de λ1 é calculado pela expressão:

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 28

Page 186: Calculo Completo Edificio

α≥

α+

bb

11 35

90 /h)e 12,5 ( 25 ( 4.15 )

O parâmetro αb é determinado em função da vinculação dos extremos da coluna e da forma do diagrama de momentos de 1ª ordem: a) Para pilares biapoiados

40,0M

M 40,060,0 A

Bb ≥+=α para pilares biapoiados sem cargas transversais ( 4.16 )

αb = 1,0 para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da altura.

Sendo, MA e MB os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, tomando-se para MAo maior valor absoluto ao longo do pilar e adotando para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário.

b) Para em pilares em balanço

85,0M

M 20,080,0 A

Cb ≥+=α ( 4.17 )

Sendo, MA o momento de 1ª ordem no engaste, e MC o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço.

c) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento

mínimo Deve-se tomar αb = 1 se o maior momento ao longo da coluna for menor que o momento mínimo definido em (4.19).

4.9.3 Solicitações Iniciais A solicitação inicial é composta pela força normal de cálculo (Nd) no elemento e pelos momentos iniciais de cálculo (M1d,A e M1,B) aplicados às extremidades das barras. Os esforços atuantes iniciais nos pilares são provenientes das combinações de carregamento utilizadas, devendo-se ressaltar que os momentos iniciais nas extremidades podem ser oriundos de uma análise de 1ª ordem ou de 2ª ordem global. O momento inicial deve ainda respeitar um momento mínimo inicial decorrente da consideração de imperfeições construtivas conforme será visto no item 4.9.4.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 29

Page 187: Calculo Completo Edificio

4.9.4 Momento Decorrente de Imperfeições Construtivas A NB1/2001 recomenda que sejam considerados os efeitos decorrentes da falta de retilinidade e de desaprumo no pilar (item 11.3.3.4), conforme as figuras abaixo.

l2

θ1

Figura 4-10– Falta de retilinidade no pilar [ABNT-2]

lθ1

Figura 4-11 – Desaprumo do pilar [ABNT-2]

admitindo-se nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja suficiente. Desta forma temos:

add,ae1a eNMe ⋅=∴⋅θ= l com θ1 determinado pela expressão ( 4.1 ).

( 4.18 )

O momento total M1d,mín de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem acrescido dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por:

( )h03,0015,0NeNM dmín,admín,d1 +⋅=⋅= h = dimensão do pilar na direção considerada, em metros.

( 4.19 )

Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente.

4.9.5 Métodos para a avaliação dos Momentos de 2a ordem dos Pilares Isolados

A NB1/2001 estabelece alguns métodos que podem ser utilizados para a obtenção de esforços utilizados para o dimensionamento de pilares. A seguir apresentamos a transcrição destes métodos.

4.9.5.1 Método Geral

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 30

Page 188: Calculo Completo Edificio

Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção e consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada, sendo obrigatório para λ >140.

4.9.5.2 Métodos Aproximados A determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado.

4.9.5.2.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada É permitido para λ ≤ 90, em pilares de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. O momento total máximo na coluna é dado por:

A1d,

2e

dA 1d,btot ,d M r1

10 . N M M ≥+α=l ( 4.20 )

sendo 1/r a curvatura, que na seção crítica pode ser avaliada pela expressão aproximada:

h0,005

0,5) ( h0,005

r1

≤+ν

= ( 4.21 )

onde, h = altura da seção na direção considerada;

ν = força normal adimensional, dada pela expressão f A

N cdc

Sd=ν

M1d,A deve respeitar o valor mínimo estabelecido em ( 4.19 ) (M1d,A ≥ M1d,min). O momento M1d,A e o coeficiente αb têm as mesmas definições do item 4.9.2, sendo M1d,A o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA.

4.9.5.2.2 Método do Pilar Padrão com rigidez Κ (kapa) aproximada É permitido para λ ≤ 90, nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do eixo. A não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez. O momento total máximo na coluna é dado por:

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 31

Page 189: Calculo Completo Edificio

M M

/ 1201

M M min1d,A1d,2

A1d,btot,d ≥≥

νκλ

α=

( 4.22 )

sendo o valor da rigidez adimensional Κ (kapa) dado aproximadamente por:

ν

+=Κ

h.NM

. 5 1 32 d

totd, ( 4.23 )

As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas no item anterior e o processo é iterativo, sendo usualmente 2 ou 3 iterações suficientes.

4.9.5.2.3 Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com λ ≤ 140 pode ser feita pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando para a curvatura da seção crítica valores obtidos de diagramas M – N – 1/r específicos para o caso.

4.10 Pilares de Contraventamento A determinação da rigidez mínima já foi discutida no capítulo 1.

4.11 Detalhamento As exigências deste tópico referem-se a pilares cuja maior dimensão da seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão (que devem ser tratados como pilares parede), e não são válidas para as regiões especiais.

4.11.1 Diâmetro Mínimo da Armadura Longitudinal (NB1/2001 18.4.2) O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da menor dimensão transversal.

4.11.2 Taxa Mínima de Armadura

cyd

dmín,s A%40,0

fN15,0A ⋅≥⋅= ( 4.24 )

4.11.3 Taxa Máxima de Armadura

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 32

Page 190: Calculo Completo Edificio

cmáx,s A%)8(A ⋅≤ ( 4.25 )inclusive nas regiões de emenda.

4.11.4 Proteção contra Flambagem das Barras (NB1/2001 18.2.4) Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para evitá-la. Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20φt do canto, se nesse trecho de comprimento 20φt não houver mais de duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares. Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à mesma extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em ponto junto a uma das barras (como na ilustração da direita da Figura 4-12), o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado (ver Figura 4-12).

Figura 4-12 – Proteção contra flambagem das barras

No caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto (por exemplo, colunas com seção transversal circular), não há necessidade de estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal.

4.11.5 Disposição da Armadura sobre a Seção Transversal (NB1/2001 18.4.2.2)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 33

Page 191: Calculo Completo Edificio

As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro.

Figura 4-13 – Disposição das barras da armadura longitudinal

O espaçamento livre entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 40 mm; quatro vezes o diâmetro da barra ou duas vezes o diâmetro do feixe ou da luva; no mínimo 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado, inclusive nas emendas.

Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder 40 cm. Para as condições usuais dos edifícios, temos:

Figura 4-14 – Espaçamentos convencionais entre barras da armadura longitudinal

4.11.6 Armadura Transversal (NB1/2001 18.4.3) A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 34

Page 192: Calculo Completo Edificio

Figura 4-15 – Colocação da armadura transversal ao longo de um pavimento

O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal. O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: 200 mm; menor dimensão da seção; 24φ para CA-25, 12φ para CA-50.

Pode ser adotado o valor φt < φ /4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação:

yk

2t

máx f19000s

φφ

= ( 4.26 )

Quando houver necessidade de armaduras transversais para cortantes e torção, esses valores devem ser comparados com os mínimos especificados para vigas, adotando-se o menor dos limites especificados.

4.12 Ancoragem As armaduras dos pilares são consideradas em boa situação quanto à aderência, pois possuem inclinação maior que 45° sobre a horizontal.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 35

Page 193: Calculo Completo Edificio

A ancoragem das armaduras dos pilares nas emendas é usualmente feita por aderência (quando há congestionamento da seção transversal pode-se usar outro tipo de solução, como a soldagem, ou emenda com luvas), e como os apoios são diretos, não há necessidade do confinamento da ancoragem, seja utilizando armadura transversal ou cobrimento suficiente de concreto. Como as barras de aço nos pilares no caso geral estão comprimidas, devem ser ancoradas sem ganchos.

4.12.1 Comprimento Básico de Ancoragem (NB1/2001 – item 9.4.2.4) Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite As fyd nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd (resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto). O comprimento de ancoragem básico é dado por:

bd

ydb f

f4φ

=l ( 4.27 )

onde, a resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas (fbd) deve ser obtida pela seguinte expressão:

ctd321bd f f ηηη= ( 4.28 )

sendo:

c

inf,ctkctd

ff

γ= ( 4.29 )

e

η1 = 1,0 para barras lisas η1 = 1,4 para barras dentadas η1 = 2,25 para barras nervuradas η2 = 1,0 para situações de boa aderência (ver item 9.3.1) η2 = 0,7 para situações de má aderência (ver item 9.3.1) η3 = 1,0 para φ < 32 mm η3 = (132 − φ)/100 , para φ > 32 mm,

onde φ é o diâmetro das barras longitudinais.

4.12.2 Comprimento de Ancoragem Necessário (NB1/2001 – item 9.4.2.5)

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 36

Page 194: Calculo Completo Edificio

O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

min,bef,s

calc,sb1nec,b A

Alll ≥α= ( 4.30 )

sendo:

α1 = 1,0 para barras sem gancho; α1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do

gancho ≥ 3φ; lb calculado conforme o tópico anterior;

φ≥mm100

103,0 b

mín,b

l

l

Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem necessário.

4.13 Disposições Construtivas Mudança de seção em pilares (excêntrica e centrada)

Figura 4-16 - Mudança de seção de pilar

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 37

Page 195: Calculo Completo Edificio

Figura 4-17 - Mudança de seção de pilar

Figura 4-18 - Mudança de seção de pilar

4.14 Pilares-Parede Apresentamos a transcrição do tópico 15.9 da NB1/2001 que trata da análise de pilares parede.

4.14.1 Generalidades

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 38

Page 196: Calculo Completo Edificio

Para que os pilares parede possam ser incluídos como elementos lineares no conjunto resistente da estrutura deve-se garantir que sua seção transversal tenha sua forma mantida por travamentos adequados nos diversos pavimentos, e que os efeitos de 2ª ordem localizados sejam convenientemente avaliados.

4.14.2 Dispensa da análise dos efeitos localizados de 2ª ordem Os efeitos localizados de 2ª ordem de pilares parede podem ser desprezados se, para cada uma das lâminas componentes do pilar parede, forem obedecidas as seguintes condições:

a) A base e o topo de cada lâmina devem ser convenientemente fixadas às lajes do edifício que conferem ao todo o efeito de diafragma horizontal;

b) A esbeltez λi de cada lâmina deve ser menor que 35, podendo, o cálculo desta esbeltez λi ser efetuado através das expressões dadas a seguir.

i

eii h

46,3 l=λ ( 4.31 )

onde, para cada lâmina:

λei é o comprimento equivalente; hi é a espessura.

O valor de le depende dos vínculos de cada uma das extremidades verticais da lâmina, conforme Figura 4-19.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 39

Page 197: Calculo Completo Edificio

Figura 4-19 – Comprimento equivalente le

Se o topo e a base forem engastados e β ≤ 1, os valores de λ podem ser multiplicados por 0,85.

4.14.3 Processo aproximado para consideração do efeito localizado de 2ª ordem

Nos pilares parede simples ou compostos, onde a esbeltez de cada lâmina que o constitui for menor que 90, pode ser adotado o procedimento aproximado descrito a seguir para um pilar parede simples. O efeito localizado de 2ª ordem deve ser considerado através da decomposição do pilar parede em faixas verticais, de largura ai que devem ser analisadas como pilares isolados, submetidos aos esforços Ni e Myid, sendo: ai = 3h ≤ 100 cm

Myid = m1yd . ai ≥ M1dmin ( 4.32 )

onde:

ai é a largura da faixa i; Ni é a força normal na faixa i, calculada a partir de nd (x) conforme Figura 4-20; M1d,min tem o significado e valor estabelecidos no tópico ( 4.9.4 ).

Figura 4-20 – Avaliação aproximada do efeito de 2ª ordem localizado

O efeito de 2ª ordem localizado na faixa i é assimilado ao efeito de 2ª ordem local do pilar isolado equivalente a cada uma destas faixas.

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 40

Page 198: Calculo Completo Edificio

4.15 Exemplo de Dimensionamento: Pilar P7

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 41

Page 199: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 42

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ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 1

5 – Caixas D’água em Concreto Armado

5.1 Introdução Na maioria dos edifícios e residências as formas usuais das paredes das caixas d’água são retangulares. Nos reservatórios elevados isolados são utilizadas as cilíndricas. Em relação ao nível do solo, os reservatórios podem ser enterrados, semi-enterrados e elevados. Assim, temos os seguintes exemplos de caixa d’água:

5.1.1 Reservatórios elevados apoiados nos pilares

5.1.2 Reservatórios enterrados apoiados diretamente no solo

Obs: Se a pressão vertical devido ao peso do reservatório for maior do que a taxa admissível do solo, devemos apoiar as paredes da caixa d’água em estacas ou nos pilares da própria estrutura do edifício, caso seja possível.

Page 207: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 2

5.2 Cargas a serem consideradas

5.2.1 Carga sobre a tampa Peso próprio do concreto da laje → concvhg γ⋅=1 (kN/m2) Peso adotado da impermeabilização → 0,12 =g (kN/m2) Peso da terra, se existir → solotg γ⋅=3 (kN/m2) Sobrecarga sobre a tampa → q

CARGA TOTAL → ∑+= igqp (kN/m2)

Obs: vh , t em metros.

5.2.2 Carga sobre a laje de fundo Peso próprio da laje → conchg γ⋅=1 (kN/m2) Peso da impermeabilização → 0,12 =g (kN/m2) Sobrecarga devido à pressão d’água → águaa aq γ⋅=

CARGA TOTAL → ai qgp += ∑1 (kN/m2)

Notas: Se a caixa d’água for elevada, consideraremos somente o efeito da carga vertical

máxima:

amáx qggp ++= 21 (kN/m2)

Page 208: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 3

Se a caixa d’água for enterrada ou semi-enterrada, apoiada em estaca ou pilares, consideraremos dois casos de cargas:

1º Caso: carga vertical máxima

amáx qgggp +++= 321 2º Caso: carga vertical mínima, quando o nível do lençol freático do solo estiver acima do nível da laje de fundo, de modo a produzir pressões negativas.

Sgggpmín −++= )( 321 Se a caixa d’água for enterrada ou semi-enterrada, apoiada diretamente no solo,

também devemos considerar dois casos de cargas: 1º Caso: carga vertical máxima, com a caixa totalmente cheia e sobrecarga máxima sobre a tampa. Determinaremos assim a pressão vertical máxima sobre o solo da fundação, dada por:

=<⋅

= ∑s

imáxs ba

Vσσ , taxa admissível do solo

onde: ∑ iV = somatória de todas as cargas verticais acima do nível inferior do lastro, inclusive peso das paredes; ba ⋅ = área da laje de fundo em contato com o solo.

2º Caso: carga vertical mínima, com caixa totalmente vazia e sob carga máxima sobre a tampa. Para caixas d’água usuais podemos admitir uma distribuição de pressão uniforme do solo sobre a laje de fundo, dada por:

sbaV

p i +⋅

= ∑

onde: ∑ iV = somatória de todas as cargas acima do nível superior da laje de fundo (laje de tampa, sobrecarga máxima + paredes); ba ⋅ = área da laje de fundo em contato com o solo;

s = sub-pressão d’água, se existir.

Page 209: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 4

5.2.3 Carga sobre a parede

5.2.3.1 Carga vertical máxima Reação máxima da laje de tampa → 1r (kN/m2) Reação máxima da laje de fundo → 2r (kN/m2) Peso próprio da parede → concthbg γ⋅⋅= )( (kN/m2)

CARGA TOTAL → grrp ++= 21 (kN/m2)

5.2.3.2 Carga horizontal máxima 1º Caso: Reservatório elevado A única pressão a considerar é devida à água.

aKP águaaa ⋅⋅= γ

Page 210: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 5

Obs: Se existirem 2 compartimentos, considerar o caso de um deles cheio e o outro vazio. 2º Caso: Reservatório enterrado Neste caso devemos considerar dois casos:

a) Caixa d’água cheia + empuxo ativo da terra nulo + nível d’água do lençol freático abaixo do nível da laje de fundo. Recaímos no caso de carga horizontal máxima do reservatório elevado, já visto.

b) Caixa d’água vazia + empuxo ativo da terra + nível freático máximo.

Pressão devido à terra “seca”: Adotaremos a teoria de Coulomb para determinação do empuxo ativo da terra sobre a parede, desprezando o atrito entre a parede e o solo – coeficiente de empuxo ativo da terra = aK

Pressão horizontal do solo devido à sobrecarga vertical:

Pressão devido à terra submersa em água:

ZKP águaaa ⋅⋅= γ

Page 211: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 6

ZKP assolo ⋅⋅′=′ γ onde: sγ ′ = submersoγ

)( saaáguasoloa KKZPPP γγ ′⋅+⋅=′+=

5.3 Disposições construtivas a) Espessuras mínimas a serem adotadas • Laje da tampa: 7 cm • Laje de fundo e parede: 10 cm (18 cm no caso de parede circular, com uso de fôrmas

deslizantes) • Mísulas horizontais e verticais: melhoram a concretagem e dão maior rigidez às

ligações • Abertura para inspeções e limpeza: 60 cm x 60 cm (no mínimo) • Espaçamento dos ferros: o mais uniforme possível, 10 a 15 cm entre barras, de modo

a facilitar a montagem e a concretagem dos mesmos, podendo adotar ferragem superior à exigida pelo cálculo.

b) Impermeabilização A superfície do concreto em contato com a água deverá ser obrigatoriamente impermeabilizada.

5.4 Cálculo dos esforços solicitantes

5.4.1 Esquema de cálculo

5.4.1.1 Caixa d’água enterrada

Page 212: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 7

Regra: Quando dois nós giram no mesmo sentido: articulação Quando dois nós giram em sentido contrário: engaste a) Caixa vazia Laje da tampa – Engastada Laje do fundo – Engastada Paredes – Engastadas b) Caixa cheia Laje da tampa – Articulada Laje do fundo – Engastada Paredes

5.4.1.2 Caixa d’água elevada

Laje tampa – Articulada

Laje fundo – Engastada

Entre si – Engastadas

Page 213: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 8

Laje da tampa – Articulada Laje do fundo – Engastada Paredes

5.4.2 Devido às cargas verticais e horizontais

5.4.2.1 Caixa d’água elevada armada em “cruz”

Laje tampa – Articulada

Laje fundo – Engastada

Entre si – Engastadas

Page 214: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 9

Obs: Os elementos acima representados estão sujeitos a forças normais de tração devido às reações de apoio. Laje da tampa: Conforme item 5.4.1.2 → Articulada

a) Momentos nos vãos

x

xkx

lPmα

21 ⋅

=

y

xky

lPmα

21 ⋅

=

b) Reações de apoio

41

1x

xlPr ⋅

=

)2(11y

xxy l

lrr −=

Laje de fundo: Conforme item 5.4.1.2 → Engastada

Page 215: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 10

a) Momentos nos vãos

x

xkx

lPmα

22 ⋅

=

y

yky

lPm

α

22 ⋅

=

b) Momentos nos apoios

x

xkx

lPmβ

22 ⋅

−=′

y

yky

lPm

β

22 ⋅

=′

Obs: Face à existência de momentos fletores nas paredes laterais, devido ao empuxo d’água, haverá uma compensação dos momentos entre paredes e a laje do fundo.

c) Momentos finais Nos apoios:

≥′km Nos vãos:

≥km

0km = momento no vão da laje simplesmente apoiada

km = momento no vão da mesma laje

km′ = momento final de apoio da laje

Média (parede e laje do fundo)

0,8 maior

kk mm ′− 5,00

km

Page 216: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 11

d) Reações de apoio

42

2x

xlPr ⋅

=

)2(22y

xxy l

lrr −=

Cálculo das paredes: Conforme item 5.4.1.2 → Adotaremos como carregamento a carga linear triangular de valor máximo aP .

a) Momentos nos vãos

x

xakx

lPmα

2⋅=

y

yaky

lPm

α

2⋅=

b) Momentos nos apoios

x

xakx

lPmβ

2⋅−=′

y

xaky

lPmβ

2⋅=′

c) Momentos finais

Laje tampa – Articulada

Laje fundo – Engastada

Entre si – Engastadas

Page 217: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 12

Nos apoios: Direção y → ≥′km Direção x → ≥′km Nos vãos:

≥km

5.4.2.2 Caixa d’água elevada armada em uma direção principal a) Caixa d’água armada horizontalmente

Se a relação entre a altura e a largura da caixa for maior do que 2 teremos o caso da caixa d’água armada horizontalmente, ou seja, h/b>2 ou 2h/b>2 (se a borda superior da parede for livre). Neste caso, calcula-se as paredes como pórtico de largura unitária e sujeito a uma pressão unitária. Uma vez obtidos os esforços para a carga unitária multiplica-se pela pressão p1, p2,..., pn correspondente às faixas de cálculo. Quadro ABCD de largura unitária = 1,00 m

Média (entre parede)

0,8 maior

kk mm ′− 5,00

km

Média (parede e laje do fundo)

0,8 maior

Page 218: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 13

Devemos considerar como mínimo no vão o correspondente ao engaste perfeito, por exemplo, na barra BD biengastada, se M’

2 < M2 devemos adotar M2.

Pressãot/m² vão 1 vão 2 apoio vão 1 vão 2

1 M’1 M’2 X N’1 N’22 2 M’1 2M’2 2X’ 2N’1 2N’2

n nM’ nM’2 nX’ NN’1 nN’2

Momento Fletor(tf.m) Ftração(tf)

Na direção vertical adotaremos uma armadura de distribuição As, dist. mínima de 1/5 da correspondente armadura principal As, princ.

As, distribuição ≥ 1/5 As,principal

Momento fletor na direção vertical junto a laje de fundo

comprimento da zona de perturbação: xl83

b) Caixa d’água armada verticalmente

Page 219: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 14

Pe: a/b > 2 e a/h > 2 ( ou a/2h>2 no caso da borda superior da parede for livre) Devemos calcular a caixa como um pórtico ABCD de largura unitária conforme o esquema abaixo:

Determinamos assim os esforços principais na direção vertical. A ferragem correspondente na direção horizontal; adotaremos a armadura mínima de distribuição.

As, distribuição ≥ 1/5 As,principal

Momento fletor na direção horizontal junto à parede de tampa: (PAR 1=2)

Comprimento da zona de perturbação: h83

5.4.2.3 Caixa d’água enterrada armada em uma direção principal a) Caixa d’água armada horizontalmente

Page 220: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 15

Cálculo análogo ao da caixa elevada, porém devemos calcular o quadro ABCD de largura unitária com dois casos de cargas: 1°caso) caixa d’água cheia + empuxo nulo da terra 2°caso) caixa d’água cheia + empuxo máximo da terra b) Caixa d’água armada verticalmente

Analogamente calcula-se como quadro de largura unitária, devendo também considerar dois casos de cargas: 1°caso) caixa d’água cheia + empuxo nulo da terra

2°caso) caixa d’água vazia + empuxo máximo da terra

5.5 Flexão Composta Em estruturas como caixa d’águas, muros de arrimo e escadas aparecem esforços de tração nas paredes de magnitudes consideráveis, o que implica em um dimensionamento que leve em conta uma flexão composta normal com grande excentricidade.

Page 221: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 16

Nela, tem-se sempre a armadura tracionada As; a armadura comprimida A's é empregada para se conseguir maior dutilidade da seção. Normalmente, dispensa-se A's quando se pode ter seção subarmada só com As. Através de um artifício, o dimensionamento à flexão composta com grande excentricidade (tanto na flexo-compressão, quanto na flexo-tração) pode ser feito através da análise de uma flexão simples. a) flexo-compressão Figura 1 - Flexo-compressão - Grande excentricidade Conforme a fig. 1, a resultante de tração para equilibrar o momento Msd é igual a (Rsd + Nd). Dessa forma, obtém-se a armadura final, subtraindo-se o valor (Nd / fyd) da armadura que equilibra Msd à flexão simples. Procedimento para cálculo: Sejam: b; h; d'; fck; CA50A; Nd (compressão); Md Tem-se:

Msd = Md + Nd (d - h/2)

Com a hipótese de que se tem solução em seção subarmada com A's = 0, tem-se:

simples armadurad6280x xParafbd4250

M11d251xMx40dbxf680

34

cd2

sdsdcd

→=<

−−=→=−

,,

,),(,

h/2

Rsd + Nd - Nd

0,8xRcd

Msd

Nd

Rsd

Md

≡ ≡

h

d’

As’

dNd

RsdAs d’

Msd +Rsd’ Rcd

Rsd + Nd

Rsd’

Rcd

Nd -Nd

Msd = Md + Nd (d - h/2)

Page 222: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 17

e: ydsdsd

sdsd

dsd fANx40d

MR

x40dM

NR =−−

=→−

=+,,

O dimensionamento pode ser feito, também, através das equações de equilíbrio:

−+−==+

)/(),/( 2hdRx402hRMRRN

sdcdd

cdsdd

Admitindo-se peça subarmada com armadura simples vem:

−+−=

=+

)/(),/(,,

2hdfAx402hbxf680Mbxf680fAN

ydscdd

cdydsd

Para x > x34 → armadura dupla; adotando-se, por exemplo, 34xx = , vem:

dsdd

cdd

MMMx40dfxb680M

−=∆

−= ),(,

ddd

ydssddd

dsd Ndd

Mx40d

MfAR

ddM

x40dM

NR −−

∆+

−==→

−∆

+−

=+',',

)'(''

''' ,

ddM

A

fx

dx

sd

ds

ydsdyds 00350

−σ∆

=

=σ→ε>⋅−

O dimensionamento pode ser feito, também, através das equações de equilíbrio:

−+−+−=+=+

)'/(')'/(),/('

d2hRd2hRx402hRMRRRN

sdsdcdd

sdcdsdd

O sistema é resolvido adotando-se, por exemplo, 34xx = . b) Flexo-tração Valem as expressões utilizadas na flexo-compressão, utilizando-se (-Nd) no lugar de Nd .

h/2 0,8xRcd

Rs

Md h

d’ As’

d Nd

RsdAs d’ Msd = Md - Nd (d - h/2)

Page 223: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 18

Figura 2 - Flexo-tração. Grande excentricidade Procedimento para Cálculo: Sejam: b; h; d'; fck; CA50A; Nd (tração); Md Tem-se:

Msd = Md - Nd (d - h/2) Para x < x34:

ydsdsd

sdsd

dsd fANx40d

MR

x40dM

NR =+−

=→−

=−,,

5.6 Vigas Paredes

5.6.1 Generalidades a) Vão teórico l

l = distância entre os eixos dos apoios ( ≤ 115, lo ), sendo lo o vão livre (distância entre as faces internas dos apoios), fig. 1.1.

Figura 1.1 b) Definição

Vigas-parede são vigas retas cuja relação l / h é inferior a 2 (em vigas sobre dois apoios), ou a 2,5 (em vigas contínuas), onde h é a altura da seção.

Rsd - Nd + Nd

Msd Nd

≡ ≡ Msd +Rsd’

Rcd

Rsd - Nd

Rsd’

Rcd

Nd -Nd

lo

hl

Page 224: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 19

c) Altura efetiva he A altura efetiva he é definida como o menor valor, entre o vão teórico l e a altura da

seção h: hhe ≤

l

5.6.2 Esforços Solicitantes Normalmente, os esforços solicitantes podem ser estimados como se fossem vigas usuais. Apenas as reações dos apoios extremos devem ser majorados de cerca de 10%.

5.6.3 Armadura Principal de Tração 5.6.3.1. Determinação da armadura A resultante de tração na armadura é determinada por

R A fMzsd s yd

d= =

sendo z, o braço de alavanca efetivo valendo: z he= ⋅ +0 2 2, ( )l para vigas-parede sobre dois apoios; z he= ⋅ +0 2 15, ( , )l para vigas-parede contínuas (nos apoios internos, l pode ser tomado como a média dos vãos adjacentes). 5.6.3.2. Arranjo da armadura principal longitudinal c) Vigas-parede sobre dois apoios, fig. 3.2.1.

Figura 3.2.1 Esta armadura deve ser distribuida na faixa de altura ( a hs e= −0 25 0 05, , l ), medida a partir da face inferior da viga, e mantida constante em todo o vão. A ancoragem junto à face interna dos apoios deve garantir a resultante de tração igual a 0,8 Rsd .

As

a hs e= −0 25 0 05, , l

Page 225: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 20

d) Vigas-parede contínuas

A armadura de vão deve ser distribuida da mesma forma que no caso a). Quanto à armadura sobre os apoios contínuos, a metade da mesma deve ser prolongada por toda extensão dos vão adjacentes na faixa de altura igual a (0,25 he – 0,05 l ), contada a partir da borda superior; o restante da armadura pode ser interrompido às distâncias 0,4he das respectivas faces do apoio, obedecendo a distribuição em três faixas, conforme mostrado na fig. 3.2.2:

• ( )[ ] se A2501h50 ⋅≥−⋅ ,/, l na faixa superior de altura 0,2 he; • restante da armadura total na faixa intermediária de altura 0,6 he; • nada (0) na faixa inferior de altura 0,2 he.

Figura 3.2.2

5.6.4 Verificações de Concreto

Deve-se verificar: Vb h

fd

w ecd

,max ,≤ 0 10 .

5.6.5 Armaduras de alma e) Caso de carga aplicada na parte superior da viga-parede, fig. 5.1.

Figura 5.1

Asv1 Ash1

0,25he-0,05 l

bw

sh

sv

0,2he

0,6he

0,2he

0,4he 0,4he 0,4he 0,4he

Page 226: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 21

Deve-se dispor armaduras em malha ortogonal (barras horizontais e verticais) nas faces da viga com taxa mínima de 0,1% (aços de alta aderência) em cada face, e em cada direção.

Se Ash1 for a área de uma barra horizontal da malha, deve-se ter:

Ash1 = 0,001 bw sv ;

do mesmo modo, Asv1 = 0,001 bw sh ,

para uma barra vertical da malha.

Em vigas contínuas, a armadura de flexão sobre os apoios pode ser considerada como pertencente às armaduras horizontais da malha. Nas vizinhanças dos apoios, recomenda-se introduzir armadura complementar, de mesmo diâmetro que a armadura de alma, conforme indicado na fig. 5.2.

Figura 5.2 f) Caso de carga aplicada na parte inferior da viga parede Neste caso, além da malha prevista no ítem a), convém incorporar estribos suplementares que garantam a suspensão da totalidade das cargas, do seu ponto de aplicação para a região superior da viga. Esses estribos devem abraçar as armaduras principais de tração e devem atingir pelo menos a altura he, fig. 5.3.

Figura 5.3

Asv1

Asv1

Ash1

Ash1

a1

as a2

b1

b2

he

a1 ≅ b1 = 0,2 he a2 = 0,3 he b2 = 0,5 he

Page 227: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 22

g) Caso de cargas indiretas Este caso que se refere às vigas-parede carregadas ao longo de toda a sua altura, por exemplo, através de um septo, necessita de armadura de suspensão nos moldes vistos no ítem anterior. Se a carga for particularmente importante, pode-se suspender parte da carga (<60%) por intermédio de barras dobradas, fig. 5.4.

Figura 5.4 h) Caso de apoios indiretos Quando as vigas-parede apoiam-se, em toda a sua altura, em apoios rígidos (parede, pilar de forte seção, laje transversal), tem-se os apoios indiretos. Neste caso, a transferência das cargas para os apoios é garantida através de armaduras constituindo malhas ortogonais, dispostas na região indicada na fig. 5.5; as barras verticais devem garantir a resultante Vd e as horizontais, 0,8 Vd (as armaduras de alma que se acham posicionadas no interior da referida zona podem ser consideradas no cálculo).

Figura 5.5 Quando Vd ultrapassa o valor (0,75 Vd,lim), onde Vd,lim = 0,1 fcd bw d, recomenda-se o emprego de barras dobradas a 45o, fig. 5.6, equilibrando a resultante 0,8 Vd, em sua direção.

Figura 5.6

0,4 he

0,6 he

0,5 he

he

0,4 he

Vd

Page 228: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 23

5.6.6 Dimensionamento das Zonas de Apoio a) Limites para o valor da reação de apoio Quando a região do apoio não é enrigecida por nervura ou pilar, o valor da reação deve ser limitada a: 0,8 bw (c + ho) fcd , no caso de um apoio extremo; e 1,2 bw (c + 2 ho) fcd , no caso de um apoio intermediário. bw = espessura da viga-parede c = largura do apoio considerado menor ou igual a l / 5 (nos apoios intermediários, toma-se o menor dos vãos adjacentes como o valor de l ). ho = altura do enrijecimento junto à parte inferior da viga (nervura ou laje eventual)

Figura 6.1

b) Caso de cargas concentradas junto aos apoios Quando a viga-parede é submetida a uma carga concentrada Qd junto de um de seus apoios, deve-se acrescentar armaduras complementares horizontais, distribuidas em duas faixas, suficientes para equilibrar a resultante de tração igual a Qd / 4 em cada faixa, conforme indica a fig. 6.2; além disso, deve-se considerar a força cortante acrescida do valor Vqd dado por:.

V Q h chqd

d e

e

= ⋅−

22 para apoios internos;

V Q h chqd d

e

e

= ⋅− para apoios extremos.

Figura 6.2

h

c c

0,3he 0,3h 0,3h

0,1he

0,4he

0,4h

0,1h

Qd Qd

c + ho c + 2ho

c c

ho

bw

0,5h

Page 229: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 24

5.7 Formas, Cortes e Consideração de Cálculo para o Edifício Exemplo A seguir, são apresentados a forma e um corte genérico da caixa d’água do edifício exemplo, bem como o esquema de cálculo utilizado.

As lajes de tampa encontram-se apoiadas nas paredes externas e apresentam continuidade sobre a parede 2, devendo, para tanto, serem dimensionadas para o momento negativo neste apoio. As duas lajes de fundo encontram-se engastadas em seus quatro cantos. Os eixos das paredes delimitam os vãos de cálculo das lajes de tampa e de fundo, conforme é mostrado a seguir:

Page 230: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 25

As paredes, por sua vez, apresentam-se engastadas na laje de fundo e nas paredes adjacentes, e apoiadas na laje da tampa da caixa d’água.

5.8 Carregamentos Na laje da tampa da caixa d’água, será considerado um carregamento composto pelo peso próprio da laje,revestimento e sobrecarga. Na laje de fundo, não será considerado sobrecarga, o carregamento da desta corresponde ao peso próprio da laje de fundo, ao revestimento e a altura de lâmina d’água. Será considerado ainda, o efeito de tração nas duas lajes e nas paredes devido ao empuxo d’água (carregamento horizontal). Este efeito será melhor detalhado adiante. Assim sendo, tem-se: Laje de tampa (h=10cm)

Peso Próprio: 2,50 KN/m2

Revestimento: 1,00 KN/m2

Sobrecarga: 0,50 KN/m2

Total: 4,00 KN/m2

Laje de fundo (h=15cm)

Peso Próprio: 3,75 KN/m2

Revestimento: 1,00 KN/m2

Sobrecarga: 19,00 KN/m2

Total: 23,75 KN/m2

lx = 3,65m

ly = 3,65m

ly =

5,3

0 m

lx

= 3

,185

m

Page 231: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 26

5.9 Solicitações de Cálculo

5.9.1 Esforços de Tração Para determinação dos esforços de tração, convém primeiro dividir a parede em sub-regiões como é mostrado na figura abaixo.

As regiões 1 e 3 apresentam a mesma resultante, assim como as regiões 5 e 7, e 4 e 8. A resultante é calculada através do “volume” compreendido em cada região. Assim: A resultante na laje da tampa é o volume compreendido nas regiões 1, 2 e 3; A resultante na laje de fundo é o volume compreendido nas regiões 5, 6 e 7; A resultante na parede lateral é o volume compreendido na região 4 ou 8

Para as paredes PAR1, PAR2 e PAR3, temos as seguintes resultantes:

Reação na laje de Fundo (RF):

KN 2143091x2

11,6x1,28 7,41,09x1,28x 47x2

1,28 281x611x3

1,282x R2

F ,,,,, =++

+=

Reação na laje da Tampa (RT):

325091x2

740x472

740x281x3

7,42x RT ,,,,,,=

+

= KN

45o

45o

11,6 KN/m2

7,4 KN/m2 1 2 3

5

4

7 6

8

19 KN/m2

7,4 KN/m2

11,6 KN/m2

74 c

m

128

cm

128 cm 128 cm109 cm

Page 232: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 27

Reação em cada uma das Paredes Laterais (RL):

57112

281x281x3

6112

281x281x4747x281x3

0,74 RL ,,,,,,,,, =++= KN

Deve-se proceder da mesma maneira para o cálculo das reações nas paredes PAR4A, PAR4B, PAR5A, PAR5B. O resultado é mostrado na tabela a seguir:

Parede RF (KN) RT (KN) RL (KN) PAR 1/2/3 43,21 5,32 11,57 PAR 4A/5A 35,42 4,05 11,57 PAR 4B/5B 71,28 9,86 11,57

Estas resultantes obtidas devem ser então divididas pelos vãos das paredes a fim de se obter um carregamento distribuído (por metro). Os carregamentos sobre as lajes de fundo e de tampa também acarretam em reações de tração nas paredes. Para a sua determinação, procede-se como no cálculo de reações das lajes usuais, ou seja, a carga atuante na laje é subdividida em partes proporcionais da laje a partir das bissetrizes dos ângulos. O carregamento da laje da tampa acarreta,ainda, em uma reação de compressão nas paredes e este efeito será aqui desprezado por estar a favor da segurança. A tabela a seguir apresenta os valores obtidos.

LF1 (KN/m) LF2 (KN/m) LT1 (KN/m) LT2 (KN/m)

px 4lp x× 21,67 18,91 3,65 3,19

py

y

x x

ll-2x p 28,42 21,32 4,79 3,59

5.9.2 Esforços de Laje Para o cálculo das lajes da tampa e do fundo, serão utilizadas as tabelas de Czerny, conforme é mostrado a seguir:

Page 233: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 28

Laje da tampa LT1: Laje com 3 bordas livremente apoiadas e uma borda menor engastada (carga uniforme)

Laje da tampa LT2: Laje com 3 bordas livremente apoiadas e uma borda maior

engastada (carga uniforme)

mp

xx

x

=l2

α

m py

x

y

=l2

α

′ = −m py

x

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l4

32α

ν = 0 2, Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y βx

βyα 2

1,00 32,4 26,5 11,9 31,2 1,05 29,2 25,0 11,3 27,6 1,10 26,1 24,4 10,9 24,7 1,15 23,7 23,9 10,4 22,3 1,20 22,0 23,8 10,1 20,3 1,25 20,2 23,6 9,8 18,7 1,30 19,0 23,7 9,6 17,3 1,35 17,8 23,7 9,3 16,1 1,40 16,8 23,8 9,2 15,1 1,45 15,8 23,9 9,0 14,2 1,50 15,1 24,0 8,9 13,5 1,55 14,3 24,0 8,8 12,8 1,60 13,8 24,0 8,7 12,2 1,65 13,2 24,0 8,6 11,7 1,70 12,8 24,0 8,5 11,2 1,75 12,3 24,0 8,45 10,8 1,80 12,0 24,0 8,4 10,5 1,85 11,5 24,0 8,35 10,1 1,90 11,3 24,0 8,3 9,9 1,95 10,9 24,0 8,25 9,6 2,00 10,8 24,0 8,2 9,4 >2 8,0 24,0 8,0 6,7

mp

xx

x

=l2

α

m py

x

y

=l2

α

′ = −m px

x

x

l2

β

wp

Ehmaxx=l4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y βx βy

α 2

1,00 26,5 32,4 11,9 31,2 1,05 25,7 33,3 11,3 29,2 1,10 24,4 33,9 10,9 27,4 1,15 23,3 34,5 10,5 26,0 1,20 22,3 34,9 10,2 24,8 1,25 21,4 35,2 9,9 23,8 1,30 20,7 35,4 9,7 22,9 1,35 20,1 37,8 9,4 22,1 1,40 19,7 39,9 9,3 21,5 1,45 19,2 41,1 9,1 20,9 1,50 18,8 42,5 9,0 20,4 1,55 18,3 42,5 8,9 20,0 1,60 17,8 42,5 8,8 19,6 1,65 17,5 42,5 8,7 19,3 1,70 17,2 42,5 8,6 19,0 1,75 17,0 42,5 8,5 18,7 1,80 16,8 42,5 8,4 18,5 1,85 16,5 42,5 8,3 18,3 1,90 16,4 42,5 8,3 18,1 1,95 16,3 42,5 8,3 18,0 2,00 16,2 42,5 8,3 17,8 >2 14,2 42,5 8,0 16,7

mx

my ly

lx

m’y

mx

my ly

lx

m’x

Page 234: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 29

Lajes do Fundo LF1 e LF2: Laje com as 4 bordas engastadas (carga uniforme)

Para o cálculo das paredes, serão utilizadas as tabelas de Montoya/ Meseguer/ Morán para carregamento triangular1, conforme é mostrado a seguir:

ly/ lx αx αy βx βy α2

0,5 10 26 36 62 24

0,6 11 23 36 57 21

0,7 12 20 35 51 17

0,8 13 16 33 45 14

0,9 13 14 31 39 11

1,0 12 11 29 34 9

xp0010mx l2y α⋅⋅⋅= , yp0010my l2y α⋅⋅⋅= ,

xp0010xm l2y β⋅⋅⋅= ,' yp0010ym l2y β⋅⋅⋅= ,'

)/(, 34y hE2p0010w l ⋅α⋅⋅⋅=

1 Outras fontes de consulta poderão ser utilizadas como, por exemplo, as tabelas de R.Bares

mp

xx

x

=l2

α

m py

x

y

=l2

α

′ = −m

px

x

x

l 2

β

′ = −m py

x

y

l2

β

wp

Ehmaxx=l4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ α x α y βx

βyα 2

1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4 1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3 1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0 1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5 1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5 1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4 1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6 1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9 1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3 1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8 1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4 1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1 1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7 1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,5 2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,3 >2 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0

mx

my ly

lx

m’y

m’y

m’x m’x

Page 235: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 30

Do apresentado acima, tem-se:

LT1 LT2 LF1 LF2 PAR1/2/3 PAR4A/5A PAR4B/5Blx (cm) 3,65 3,19 3,65 3,19 2,03 2,03 2,03 ly (cm) 5,30 3,65 5,30 3,65 3,57 3,19 5,30 ly/ lx 1,45 1,15 1,45 1,15 0,57 0,64 0,38

mx 338 174 1106 646 82 90 78 my 223 118 561 499 191 168 203 m’x 0 387 2361 1478 280 421 281

m (K

Nxc

m)

m’y 592 0 1808 1331 464 277 483 Prossegue agora com a análise dos momentos negativos. Como apresentado nos capítulos anteriores, o momento negativo de dimensionamento será o maior entre a média ou 0,8 do menor (em valor absoluto, ou 0,8 do maior em módulo). Ou seja:

≥ '',

' mm80

m menor

Do exposto, tem-se:

m’a (KNcm) m’b (KNcm) 0,8 m’> (KNcm) m’médio (KNcm) m’ (KNcm) LT1 LT2 592 387 474 490 490

LF1 LF2 1808 1478 1446 1643 1643

PAR1/PAR2 PAR4B/PAR5B 280 281 224 281 281

PAR1/PAR2 LF1 464 1808 1446 1136 1446

PAR2/PAR3 PAR4A/PAR5A 280 277 224 279 279

PAR2/PAR3 LF2 464 1478 1182 971 1182

PAR4A/PAR5A LF2 421 1331 1065 876 1065

PAR4B/PAR5B LF1 483 2361 1889 1422 1889

5.9.3 Combinações e Dimensionamento LT1 (b=100 cm, h=10 cm, m=338 KNcm/m, n=1,86 KN/m)

Msd= 1,4 x338 -1,4 x1,86 x(7-2

10 ) = 468 KNcm

Page 236: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 31

X = 1,25 x7 x

−−

412x7x100x4250

468112

,,

=0,72 cm

As=

+720x407

468861x41x4843

1,,

,,,

= 1,66 cm2/m

Armadura mínima: h = 10 cm: Asmin = 0,15%bh = 1,50 cm2/m h = 12 cm: Asmin = 0,15%bh = 1,80 cm2/m h = 15 cm: Asmin = 0,15%bh = 2,25 cm2/m

Local L (cm)

m (KN cm)

R (KN) (tração) L

Rn =

(KN/m)

Msd (KN cm)

x (cm)

As (cm2) Bitola

530 mx 338 9,86 1,86 468 0,72 1,66 φ6.3c/19 365 my 223 5,32 1,46 308 0,47 1,09 (φ6.3c/20)

LT1 (h=10cm)

365 LT2 -490 5,32 1,46 682 1,07 2,43 365 mx 174 5,32 1,46 240 0,36 0,85 (φ6.3c/20)319 my 118 4,05 1,27 162 0,24 0,58 (φ6.3c/20)

LT2 (h=10cm)

365 LT1 -490 5,32 1,46 682 1,07 2,43 φ6.3c/13 530 mx 1106 71,28 13,45 1464 1,31 3,37 φ8c/14 365 my 561 43,21 11,84 711 0,62 1,77 (φ6.3c/14)365 LF2 -1643 43,21 11,84 2226 2,05 4,96

PAR1/ 365 PAR2

-1446 43,21 11,84 1950 1,78 4,35 PAR4B/

LF1 (h=15cm)

530 PAR5B

-1889 71,28 13,45 2560 2,39 5,76

365 mx 646 43,21 11,84 830 0,73 2,01 (φ6.3c/14)319 my 499 35,42 11,10 629 0,55 1,58 (φ6.3c/14)365 LF1 -1643 43,21 11,84 2226 2,05 4,96 φ8c/10

PAR2/ 365 PAR3

-1182 43,21 11,84 1580 1,42 3,56 PAR4A/

LF2 (h=15cm)

319 PAR5A

-1065 35,42 11,10 1421 1,27 3,20

203 mx 82 11,57 5,70 91 0,10 0,42 (φ6.3c/17) my 0,31 0,69 (φ6.3c/17) LF1 -1446 21,67 1933 2,49 4,54 φ8c/11

PAR4B/

PAR1/ PAR2 (h=12cm)

530 PAR5B

-281 11,57 2,18 384 0,45 1,07

203 mx 82 11,57 5,70 91 0,10 0,42 (φ6.3c/17) my 0,31 0,69 (φ6.3c/17) LF2 -1182 21,32 1565 1,96 3,74 φ8c/13

PAR4A/

PAR3/ PAR2 (h=12cm)

203 PAR5A

-279 11,57 5,70 367 0,43 1,14

Page 237: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 32

203 mx 90 11,57 5,70 102 0,12 0,45 (φ6.3c/17) my 0,27 0,61 (φ6.3c/17) LF2 -1065 18,91 1412 1,75 3,35 φ8c/15

PAR2/

PAR4A/ PAR5A (h=12cm)

203 PAR3

-279 11,57 5,70 367 0,43 1,14 (φ6.3c/17)

203 mx 78 11,57 5,70 85 0,10 0,40 (φ6.3c/17) my 0,33 0,74 (φ6.3c/17) LF1 -1889 28,42 2525 3,40 6,03 φ10c/13

PAR1/

PAR4B/ PAR5B (h=12cm)

203 PAR2

-281 11,57 5,70 369 0,43 1,15 (φ6.3c/17)

5.9.4 Cálculo como Viga Parede Distribuição das cargas: Determinação das reações nos pilares

LF1 (KN/m) LF2 (KN/m) LT1 (KN/m) LT2 (KN/m)

px =4

lp x× 21,67 18,91 3,65 3,19

py =

y

x x

ll-2x p 28,42 21,32 4,79 3,59

PAR1 (12x215)

Peso Próprio: 6,45 KN/mLT1: 3,65 KN/mLF1: 21,67 KN/mTotal: 31,77 KN/m

Reações nos Pilares: R9 = 56,71 KN R10 = 56,71 KN PAR2 (12x215)

Peso Próprio: 6,45 KN/mLT1: 3,65 KN/mLF1: 21,67 KN/mLT2: 3,59 KN/mLF2: 21,32 KN/mTotal: 56,68 KN/m

Reações nos Pilares: R14 = 101,17 KN R15 = 101,17 KN

Page 238: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 33

PAR3 (12x215) Peso Próprio: 6,45 KN/mLT1: 3,59 KN/mLF1: 21,32 KN/mTotal: 31,36 KN/m

Reações nos Pilares: R19 = 55,98 KN R20 = 55,98 KN PAR4 e PAR5 (12x215)

“A”AAA “B”BBBPeso Próprio: 6,45 KN/m 6,45 KN/mLT1: 4,79 KN/m LF1: 28,42 KN/m LT2: 3,19 KN/mLF2: 18,91 KN/mTotal: 39,66 KN/m 28,55 KN/m

Reações nos Pilares: R19 / R20 = 13,90 KN R14 / R15 = 201,1 KN R9 / R10 = 86,10 KN As reações dos apoios extremos devem ser majorados de cerca de 10%: R19 / R20 = 15,30 KN R9 / R10 = 94,71 KN ΣFy = 0 ⇒ R14 / R15 = 191 KN 5.9.4.1 - Viga Parede PAR1

m571zhe2lx20z

m152helh

he

Parede Vigade Caso 271hl

3,57mlm152h

,)(,

,

,,

=⇒+=

=⇒≤

∴<=⇒==

==8

plx4,1Md2

71 KNm

==2plx4,1Vd 79 KN

Page 239: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 34

==z

MdRsd 45 KN

Rsd=As x fyd ⇒ As = 1,04 cm2 Ancoragem junto aos apoios:

=apoiosR 0,8 x Rsd = 36 KN

adisp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm tensão de aderência: 23/2

cdbu cm/KN247,0MPa 47,2xf42,0 ===τ

=apoiosR adisp x(perímetro) x buτ ⇒ (perímetro) = 15,3 cm

(2x2φ125 = 15,7 cm e 5 cm2) as = 0,25 he – 0,05 l = 35 cm

Verificação ao Cisalhamento: 0,10 fcd = 0,14 KN/cm2 > =bxheVd 0,03 KN/cm2

Carga a suspender: 28,12 KN

As susp. = =ydf

Nd 0,65 cm2/m; atendida pela armadura proveniente do cálculo como placa.

5.9.4.2 – Viga Parede PAR2

m571zhe2lx20z

m152helh

he

Parede Vigade Caso 271hl

3,57mlm152h

,)(,

,

,,

=⇒+=

=⇒≤

∴<=⇒==

==8

plx4,1Md2

126 KNm

==2plx4,1Vd 142 KN

==z

MdRsd 81 KN

Page 240: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 35

Rsd=As x fyd ⇒ As = 1,85 cm2 Ancoragem junto aos apoios:

=apoiosR 0,8 x Rsd = 65 KN

adisp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm tensão de aderência: 23/2

cdbu cm/KN247,0MPa 47,2xf42,0 ===τ

=apoiosR adisp x(perímetro) x buτ ⇒ (perímetro) = 27 cm

(2x3φ16 = 30 cm e 12 cm2) as = 0,25 he – 0,05 l = 35 cm

Verificação ao Cisalhamento: 0,10 fcd = 0,14 KN/cm2 > =bxheVd 0,06 KN/cm2

Carga a suspender: 49,44 KN

As susp. = =ydf

Nd 1,14 cm2/m; atendida pela armadura proveniente do cálculo como placa.

5.9.4.3 – Viga Parede PAR3

m571zhe2lx20z

m152helh

he

Parede Vigade Caso 271hl

3,57mlm152h

,)(,

,

,,

=⇒+=

=⇒≤

∴<=⇒==

==8

plx4,1Md2

69,94 KNm

==2plx4,1Vd 78,37 KN

==z

MdRsd 44,55 KN

Rsd=As x fyd ⇒ As = 1,02 cm2

Page 241: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 36

Ancoragem junto aos apoios:

=apoiosR 0,8 x Rsd = 35,64 KN

adisp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm tensão de aderência: 23/2

cdbu cm/KN247,0MPa 47,2xf42,0 ===τ

=apoiosR adisp x(perímetro) x buτ ⇒ (perímetro) = 15,2 cm

(2x2φ125 = 15,7 cm e 5 cm2) as = 0,25 he – 0,05 l = 35 cm

Verificação ao Cisalhamento: 0,10 fcd = 0,14 KN/cm2 > =bxheVd 0,03 KN/cm2

Carga a suspender: 27,8 KN

As susp. = =ydf

Nd 0,64 cm2/m; atendida pela armadura proveniente do cálculo como placa.

5.9.4.4 – Viga Parede PAR4 e PAR5 Paredes contínuas, logo:

m 711zhe51lx20z

m152helh

he

Parede Vigade Caso 52462hl

m305lm152h

,),(,

,

,,,,

=⇒+=

=⇒≤

∴<=⇒==

Md+ = 131 KNm Md– = 141 KNm Vd max= 124,10 KN

==+

+

zMdRsd 77 KN

==−

zMdRsd 83 KN

Rsd+ = As x fyd ⇒ As+ = 1,77 cm2

Page 242: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 37

Rsd– = As x fyd ⇒ As– = 1,91 cm2 (2φ125) Ancoragem junto aos apoios (As+):

=apoiosR 0,8 x Rsd = 62 KN

adisp = h-c = 12-2,5 = 9,5 cm tensão de aderência: 23/2

cdbu cm/KN247,0MPa 47,2xf42,0 ===τ

=apoiosR adisp x(perímetro) x buτ ⇒ (perímetro) = 26 cm

(2x3φ16 = 30 cm e 12 cm2) as = 0,25 he – 0,05 l = 30 cm

Verificação ao Cisalhamento: 0,10 fcd = 0,14 KN/cm2 > =bxheVd 0,05 KN/cm2

Carga máxima a suspender: 34,9 KN

As susp. = =ydf

Nd 0,80 cm2/m; atendida pela armadura proveniente do cálculo como placa.

Armadura Complementar:

==

face)(por sb 001,0face)(por sb 001,0

hw

vw

AsvAsh

⇒ ==s

Ashs

Asv 1,2 cm2/m

Figura 5.2 5.9.4.4 – Limites para as Reações de Apoio As regiões do apoio possuem nervuras de enrijecimento (mísulas) o que implica na não necessidade de verificar os valores das reações.

Asv1 Ash1

a1 = 45

as

a2 = 65

b1 = 45

b2 = 110

a1 ≅ b1 = 0,2 he = 0,43 m (adotado 45 cm) a2 = 0,3 he = 0,65 m b2 = 0,5 he = 1,08 m (adotado 110 cm)

Page 243: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 38

5.9.5 Detalhamento

Page 244: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 39

Page 245: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 40

Page 246: Calculo Completo Edificio

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Page 247: Calculo Completo Edificio

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Page 249: Calculo Completo Edificio

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Page 250: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 1

6 – Escadas

6.1 Introdução As escadas são elementos estruturais que servem para unir, através degraus sucessivos, os diferentes níveis de uma construção.

6.2 Terminologia dos Elementos Constituintes A linha de plano horizontal é a projeção sobre um plano horizontal do trajeto seguido por uma pessoa que transita pela escada. Em geral, esta linha ideal se situa na parte central dos degraus quando a largura da escada é inferior ou igual a 110 cm. Quando esta última grandeza excede 110 cm a linha dos planos horizontais se traça a 50 ou 55 cm do bordo interior. Esta é a distância de circulação de uma pessoa que se apóia com a mão no corrimão lateral. O conjunto de degraus compreendidos entre dois patamares ou descansos sucessivos chama-se lance. Recomenda-se que um lance não tenha mais do que 20 ou 22 degraus. Se o número de degraus exceder este valor é preciso intercalar um descanso intermediário, cuja largura deverá ser de uns três planos horizontais, mas com um mínimo de 85 cm a fim de oferecer uma interrupção cômoda e agradável do lance. Em cada piso a escada termina em um descanso que se chama meseta, patamar do piso ou descanso de chegada. Tem largura igual ou às vezes maior que a de dois degraus. A inclinação de uma escada deve ser constante em um mesmo lance. O valor do plano horizontal e da altura ou plano vertical não devem variar jamais de um descanso a outro. Contudo, é aceitável uma exceção quando se trata do degrau de saída. Este último pode ter um plano horizontal de 2 a 5 cm superior aos outros degraus. O local cujo interior se encontra a escada denomina-se caixa. O espaço ou vazio situado entre um ou dois lances, na parte central da escada(na projeção horizontal) chama-se olho ou vão. Quando essa parte é cheia ou maciça chama-se eixo ou árvore da escada. Rebordo é o nome que se dá à borda que limita a escada pela parte do olho(ou do eixo). A escapada é a altura vertical disponível entre a borda de um degrau e o teto existente. Normalmente, para deixar passagem suficiente quando se transporta móveis, a escapada deve estar compreendida entre 200 a 400 cm.

6.3 Dimensões Usuais

Page 251: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 2

As dimensões a (altura do degrau, espelho) e b (passo, pisada) e são variáveis segundo o tipo de utilização da escada. Em geral, para escadas interiores, adota-se b = 25 cm e a = 18 cm. Escadas mais abruptas podem ter b = 25 cm e a = 20 cm e escadas mais confortáveis podem ter b =28 cm e a = 16 cm. Para uma boa funcionabilidade é necessário que sejam observadas as seguintes condições:

a) cm65ba260 <+<

=→=→

→=cm19máxprivativousocm18máxcoletivouso

espelhodoalturaa

=→=→

→=cm25mínprivativousocm27míncoletivouso

mar)passo(patab

b)

==

=

m1,50reuniãodelocaishospitais,m1,20geralem coletivo uso

m0,80privativo usolmín

c) As escadas de uso comum ou coletivo deverão ter patamar intermediário quando

mudarem de direção ou vencerem desníveis superiores a 2,90 m.

Page 252: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 3

6.4 Classificação

6.4.1 Escadas em Laje A grande maioria das escadas existentes são armadas em uma direção e são calculadas como lajes armadas em uma só direção. a) Escada armada transversalmente

b) Escada armada longitudinalmente

c) Escada armada em cruz

d) Escada helicoidal(em balanço, engastada em uma coluna circular)

Page 253: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 4

e) Escada em balanço, engastada em uma viga reta

6.4.2 Escadas em Viga a) Vigas retas com degraus em balanço

b) Vigas retas, com 3 eixos retos em “U”( viga balcão especial)

c) Vigas helicoidais com degraus em balanço

Page 254: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 5

d) Vigas helicoidais com duplo balanço

6.4.3 Outros Tipos a) Escadas em cascatas

b) Escada auto-portante com patamar

6.5 Carregamentos As cargas geralmente atuantes nas escadas são o peso próprio, os revestimentos, a sobrecarga acidental(em projeção horizontal) e a carga de parapeito segundo a NB-5 A sobrecarga de utilização é tomada como carga vertical por metro quadrado de projeção horizontal da escada, podendo-se adotar os seguintes valores:

Tabela 1 – Sobrecarga de Utilização em Escadas Escadas Secundárias 3.0 kN/m² Escadas de Edifícios Residenciais 2.5 kN/m²

Page 255: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 6

O peso do revestimento geralmente varia de 0,50 a 1,0 kN/m² e também é considerado como carga vertical por metro quadrado de projeção horizontal. A carga em parapeito segundo a NB-5 é calculada conforme a figura abaixo: O peso próprio das lajes das escadas também podem ser avaliadas por metro quadrado de projeção horizontal, sendo que para isso calcula-se a espessura média da escada segundo a vertical. Espessura Média: hm = h + a/2 Onde h = altura da laje e a = altura do espelho Obtido o valor de hm , o peso por metro quadrado (P) de projeção será: P= γconcreto.hm = 25.hm (kN/m²)

0,8 kN/m

2 kN/m

Page 256: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 7

6.6 Cálculo dos Esforços Solicitantes e Dimensionamento

6.6.1 Esquema Estrutural e Justificativa O esquema estrutural usual é admitir como viga simplesmente apoiada com o apoio deslocável.

2PlRRVerticalReação V2v1 === (altura perpendicular ao eixo da barra)

8

2PlMmáx =

2P.l.cosαVV BA == (Força cortante no apoio)

6.6.1.1 Justificativa do esquema estrutural exposto

Page 257: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 8

Resumindo:

6.6.2 Escadas armadas longitudinalmente (esquemas estruturais) sem patamar

com patamar superior

Page 258: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 9

com patamar interno

tipo sanfonado

lances inclinados

Page 259: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 10

com dois lances retos(em L)

escada com lances retos em “U”

Page 260: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 11

6.6.3 Detalhes das Armaduras Escada sem patamar

Escada com patamar superior (1°Caso)

Escada com patamar superior (2°Caso)

Page 261: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 12

Obs: Não é permitido o seguinte detalhe da armadura:

Escada com patamar intermediário

Page 262: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 13

6.7 Cálculo da escada do edifício exemplo

Page 263: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 14

Page 264: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 15

Page 265: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 16

Dimensionamento das escadas: a) Escadas dos níveis +0,516 a +1,375 e +1,891 a +2,75

60,75 110 60,75

12

85,94

• Cálculo das cargas:

pp1 = 25 x 0,12 = 3,0 kN/m2

pp2 = 2kN/m 3,8)38 cos

0,12( x 25 =

degrau = 2kN/m 1,9)2

0,1719( x 22 =

revestimento = 1,0 kN/m2 sobrecarga = 2,5 kN/m2

acidental no corrimão = 2 kN/m = 2kN/m 1,651,215

2=

• Esquema estrutural:

85,94 R1

R2

60,75137,533,25

6,5 kN/m10,85 kN/m

6,5 kN/m

Page 266: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 17

• Dimensionamento

R1 = 10,9 kN/m R2 = 10,2 kN/m M = 6,54 kNm/m h = 12 cm d = 9 cm x = 1,10 cm As = 2,46 cm2 / m Asmín = 0,15% b h = 1,8 cm2 / m Asec = 0,2 As = 0,2 x 2,46 = 0,49 cm2 / m

b) Escadas dos níveis 0 a +0,516 e +1,375 a +1,891

12 121,5 55 123 19

51,56

• Cálculo das cargas:

pp1 = 25 x 0,12 = 3,0 kN/m2

pp2 = 2kN/m 3,8)38 cos

0,12( x 25 =

degrau = 2kN/m 1,9)2

0,1719( x 22 =

revestimento = 1,0 kN/m2 sobrecarga = 2,5 kN/m2

acidental no corrimão = 2 kN/m = 2kN/m 1,651,215

2=

R1 = 10,9 kN/m = 10,9/1,215 = 8,97 kN/m2

R2 = 10,2 kN/m = 10,2/1,215 = 8,40 kN/m2

Page 267: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 18

• Esquema estrutural:

R4

R3

100 82,5 132,5

51,56

8,40 kN/m6,50 kN/m 10,85 kN/m

8,97 kN/m6,50 kN/m

• Dimensionamento

R3 = 21,5 kN/m R4 = 22,4 kN/m M = 15,89 kNm/m h = 12 cm d = 9 cm x = 2,92 cm As = 6,53 cm2 / m

c) VE (19/55)

Page 268: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 19

• Cálculo das cargas:

pp1 = 25 x 0,19 x 0,55 = 2,6 kN/m

pp2 = kN/m 3,3)38 cos

0,55( x 0,19 x 25 =

alv = 13 x 2,2 x 0,25 = 7,15 kN/m R4 = 22,4 kN/m R3 = 21,5 kN/m

• Esquema estrutural:

85,94

126,5 137,5 93

22,4 kN/m 21,5 kN/m9,75 kN/m 9,75 kN/m10,45 kN/m

• Dimensionamento

M = 30,29 kNm h = 55 cm d = 51 cm x = 4,68 cm As = 1,98 cm2 Asmín = 1,57 cm2

V = 43,46 kN Ast = 1,64 cm2/m Astmín = 2,66 cm2/m

Page 269: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 20

d) Detalhamento

Page 270: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 21

Page 271: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 22

Page 272: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 1

7 – Fundações

7.1 Sapatas

7.1.1 Sapatas Corridas

7.1.1.1 Introdução A sapata corrida é normalmente utilizada como apoio direto de paredes, muros, e de pilares alinhados, próximos entre si. Figura 1.1 Os esforços solicitantes na sapata são considerados uniformes, mesmo para o caso da fig.1.1.b onde, de maneira aproximada, a carga do pilar dividida por a, pode ser considerada como carga uniformemente distribuída na sapata corrida. Desta forma, a análise principal consiste em estudar uma faixa de largura unitária sujeita a esforços n, m e v, respectivamente, força normal, momento fletor e força cortante, todos eles definidos por unidade de largura. A fig. 1.2. mostra a seção transversal do muro. As abas podem ter espessura constante h, ou variável (de ho a h). Figura 1.2

a) apoio de parede em alvenaria

b) apoio de pilares alinhados e próximos entre si

pilares

viga de rigidezsapata corrida

a

a

a

h hv

ho

α

solicitações distribuídas uniformesn

v m v

n

m

h cm

hcm

h

hh

o

o

vb

2520

3

30

0 8

(*)

/

,

α

l

l b = comprimento de ancoragem da armadura da parede ou do pilar (quando for o caso)

c

c = (a - ap) / 2

Page 273: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 2

As sapatas podem ser classificadas em blocos, sapatas rígidas (incluindo as semi-rígidas) e sapatas flexíveis. Para carga centrada e solos deformáveis, os diagramas de tensão na interface sapata/solo apresentam o aspecto mostrado na fig. 1.3. a) sapata rígida b) sapata flexível Figura 1.3 Na prática, costuma-se relacionar esta classificação com a espessura relativa de suas abas. Assim, se ( )h c a ap> = −2 tem-se uma sapata muito rígida ou um bloco;

se ( )h c a a

e

h ca a

p

p

≤ = −

> =−

2

23 3

tem-se uma sapata rígida;

se

h ca a

e

h c a a

p

p

< =−

≥ =−

23 3

2 4

tem-se uma sapata semi-rígida; e

se h c a ap< =−

2 4 tem-se uma sapata flexível.

Normalmente, as sapatas utilizadas no projeto de fundações são do tipo rígido. Costuma-se admitir o diagrama linearizado de tensão normal na interface sapata/solo (diagrama retangular para carga centrada - fig. 1.3.a - e diagrama trapezoidal ou triangular para carga excêntrica - fig. 1.4).

tensões normais no solo(σsolo)

Page 274: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 3

a) e ≤ a / 6 b) e > a / 6 Figura 1.4

7.1.1.2 Tensão na interface sapata/solo Figura 2.1 Quando e ≤ a / 6 tem-se:

−=σ

+=σ

ae61

an;

ae61

an b

bb

a

e, deve-se verificar

admb

c ae31

an

σ≤

+=σ .

a / 2

1m

nb

a

mb

σaσb

σa

Caso em que e ≤ a / 6

Caso em que e > a / 6

nb

nb

e

e

nb mb

Ponto

e = mb / nb

v n

m v

nm

a a

gb gb

tensões normais no solo (σsolo)

hv

nb = n + gb + gs mb = m + v . hv e = mb / nb gb = peso da sapata gs = peso do solo sobre a sapata

solo sobre a sapata

Page 275: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 4

Quando e > a / 6, a máxima tensão é dada por:

e2/a

n32 b

a −⋅=σ

devendo ser limitada a [ 1,3 σadm ], isto é: adma 3,1 σ≤σ .

Obs.: neste caso, para a atuação da carga permanente, a base deve estar inteiramente comprimida, isto é: eg ≤ a/6; adicionalmente, para a situação mais desfavorável, deve se ter pelo menos a metade da base comprimida: e ≤ a/3.

7.1.1.3 Estabilidade da sapata (caso de muro)

a) tombamento (rotação em torno do ponto A) momento estabilizante: mest = nb . (a / 2) momento desestabilizante: mdesest = mb

5,1m

mFSdesest

est ≥= .

b) deslizamento força estabilizante = (atrito) + (coesão) = nb . tg [(2 / 3) φ] + a . (2 / 3) c

φ = angulo de atrito interno do solo c = coesão do solo

força desestabilizante = vb

5,1v

c32a

32tgn

FSb

b≥

⋅+

φ⋅

= .

7.1.1.4 Verificações de concreto armado (sapata rígida) 7.1.1.4.1. flexão A flexão pode ser verificada na seção de referência S1 de largura unitária, conforme mostra a fig. 4.1. O momento fletor (m1) na seção S1 contem três parcelas: devido à tensão no solo ( σsolo ); Devido ao peso da aba (gbf); e Devido ao peso do solo sobre a aba (gsf).

Page 276: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 5

Figura 4.1 As duas últimas parcelas são negativas e, eventualmente, podem ultrapassar o valor da primeira parcela (positiva) tornando necessária a presença de armadura de flexão junto à face superior das abas. A armadura principal pode ser quantificada de maneira aproximada através da seguinte expressão:

yd1

d1s f)d8,0(

mA

⋅⋅= → (armadura para a faixa de largura unitária)

Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar ou parede. Convém observar ρ = ≥A

b ds

1 1

0 15%, ,

onde b1é a largura unitária da seção. As barras que compõem a armadura principal de flexão de sapatas devem cobrir toda a extensão a da base e ter ganchos de extremidade. Pode-se adotar φ ≥ 10 mm e espaçamento s ≤ 20 cm. Para a armadura secundária pode-se adotar φmin = 6,3 mm e smax = 30 cm. 7.1.1.4.2. cisalhamento A resistência ao esforço cortante pode ser verificada na seção S2 de largura unitária definida na fig. 4.2. A força cortante (v2) na seção S2 contem três parcelas:

Devido à tensão no solo ( σsolo ); O peso da aba (gbf2) além da seção S2; e O peso do solo sobre a aba (gsf2) além da seção S2.

tensões normais no solo (σsolo)

a a

c ap c 0,15a0,15a

S

gsf

gb d1≤1,5c

c ap c

0,15ap0,15ap

S

gsf

gbf d1≤1,5c

gsf

gbf

gsf

gbf

Page 277: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 6

Figura 4.2 A tensão de cisalhamento deve ser limitada a τ2u .

u222

d2d2 db

vτ≤

⋅=τ

onde b2 é a largura unitária da seção. Para sapatas corridas rígidas:

γ⋅=τ

c

cku2

f63,0 ou cdu2 f15,0=τ ;

Para sapatas corridas semi-rígidas pode-se admitir:

c

cku2

f)

hc945,0048,2(

γ⋅⋅−=τ .

Obs.: pode ser dispensada a armadura transversal para sapata corrida flexível quando

c

ckd2

f158,0

γ⋅≤τ (valores em MPa).

7.1.2 Sapatas Isoladas

7.1.2.1 Introdução A sapata isolada é utilizada como apoio direto de pilares. Geralmente, tem forma retangular ou circular centrada no pilar.

tensões normais no solo (σsolo)

a a

c ap c d1/2

S2

gsf2

gbf2 d1≤1,5c

c2

d2≤1,5c

c ap cd1/2

gsf2

gbfd1≤1,5c

c2

d2

S2

Page 278: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 7

Figura 1.1 A fig. 1.2. mostra seções transversais usuais de sapatas de base retangular. As abas podem ter espessura constante h, ou variável (de ho a h). Figura 1.2 É desejável, também, que ca ≅ cb para equalizar a resistência das abas à flexão. Costuma-se admitir o diagrama linearizado de tensão normal na interface sapata/solo (diagrama retangular para carga centrada - fig. 1.3.a - e diagrama trapezoidal ou triangular para carga excêntrica - fig. 1.4).

hcm

hcm

h

ca a

cb b

b

o

ao

bo

ap

bp

=−

=−

250 8

203

3030

2

2

,

/

l

α

α

l b = comprimento de ancoragem da armadura do pilar

a

b

ap

bp

pilar

N Ma

Va

Mb N

Vb

a

h ho

αa

Solicitações junto à base do pilar

Va N MaVa N

Ma

a ca a ca

a

b

h ho

αbVb N Mb VbN Mb

b cb b cb

b

Page 279: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 8

a) 61

be

ae ba ≤+ b)

61

be

ae ba ≥+

Figura 1.4

7.1.2.2 Tensão na interface sapata/solo a) Base retangular

Quando 61

be

ae ba ≤+ tem-se:

−−

⋅=σ

++

⋅=σ

be6

ae6

1ba

N;

be6

ae6

1ba

N babasb

babasa .

Quando 61

be

ae ba ≥+ , a máxima tensão é dada por:

ba

Nbasa ⋅

⋅η=σ (η na tab.2.1), ou

bakN

1

bas1a ⋅⋅

=σ=σ e

144b k σ⋅−=σ=σ (fictício) (k1 e k4 no ábaco da fig. 2.1).

Va N

Ma VbN

Mb

a b

h

Nbas = N + Gbas + Gs Ma,bas = Ma + Va . h Mb,bas = Mb + Vb . h ea = Ma / Nbas eb = Mb / Nbas Gbas = peso da sapata Gs = peso do solo sobre a sapata

Gbas Gbas

solo sobrea sapata

ea

eb

Nba

b

a

ea

eb Nba

b

a tensões normais no solo

σa σa

σb

Page 280: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 9

Num ponto (x,y) a tensão é dada por: α⋅+

α⋅⋅+

⋅σ−σ+σ=σtg

ab1

tgab

by

ax

)( 414

A tensão σa deve ser limitada a [ 1,3 σadm ], isto é: adma 3,1 σ≤σ .

ey / b 5,55 0,24 Área comprimida maior do que 4,77 5,15 5,57 0,22 50% da área da base 4,14 4,44 4,79 5,19 5,66 0,20 3,61 3,86 4,15 4,47 4,84 5,28 0,18 3,17 3,38 3,62 3,88 4,18 4,53 4,94 5,43 0,16 2,79 2,97 3,17 3,39 3,64 3,92 4,24 4,63 5,09 0,14 2,48 2,63 2,80 2,98 3,18 3,41 3,68 3,98 4,35 4,78 0,12 2,20 2,34 2,48 2,63 2,80 2,99 3,20 3,46 3,74 4,08 4,49 4,99 0,10 Base totalmente 1,96 2,08 2,21 2,34 2,48 2,64 2,82 3,02 3,25 3,52 3,84 4,23 4,70 0,08 comprimida 1,72 1,84 1,96 2,08 2,21 2,34 2,49 2,66 2,84 3,06 3,32 3,62 3,98 4,43 0,06 1,48 1,60 1,72 1,84 1,96 2,08 2,21 2,35 2,50 2,68 2,88 3,13 3,41 3,75 4,17 0,04 1,24 1,36 1,48 1,60 1,72 1,84 1,96 2,08 2,21 2,36 2,53 2,72 2,95 3,22 3,54 3,93 0,02 1,00 1,12 1,24 1,36 1,48 1,60 1,72 1,84 1,96 2,08 2,22 2,38 2,56 2,78 3,03 3,33 3,70 0,00 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 ex / b

Tabela 2.1 - Valores de η para base retangular

Figura 2.1

Page 281: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 10

Observação: neste caso, para a atuação da carga permanente, a base deve estar

inteiramente comprimida, isto é: 61

be

ae gbga ≤+ ;

adicionalmente, para a situação mais desfavorável, deve se ter pelo menos a metade da base comprimida (que garante uma segurança contra tombamento

maior do que 1,5); esta condição é verificada quando 91

be

ae 2

b2

a ≤

+

;

b) Base circular

Para base circular, cheia ou oca, tem-se: )rr(

Nk

2i

2bas

ra−π

⋅=σ (kr na tab. 2.2).

ri / r e / r 0,00 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,05 1,20 1,16 1,15 1,13 1,12 1,11 1,10 0,10 1,40 1,32 1,29 1,27 1,24 1,22 1,20 0,15 1,60 1,64 1,59 1,54 1,49 1,44 1,40 0,20 1,80 1,64 1,59 1,54 1,49 1,44 1,40 100% 0,25 2,00 1,80 1,73 1,67 1,61 1,55 1,50 0,30 2,23 1,96 1,88 1,81 1,73 1,66 1,60 0,35 2,48 2,12 2,04 1,94 1,85 1,77 1,70 0,40 2,76 2,29 2,20 2,07 1,98 1,88 1,80 0,45 3,11 2,51 2,39 2,23 2,10 1,99 1,90 0,50 3,55 2,80 2,61 2,42 2,26 2,10 2,00 0,55 4,15 3,14 2,89 2,67 2,42 2,26 2,17 0,60 4,96 3,58 3,24 2,92 2,64 2,42 2,26 >50% 0,65 6,00 4,34 3,80 3,30 2,92 2,64 2,42 0,70 7,48 5,40 4,65 3,86 3,33 2,95 2,64 0,75 9,93 7,26 5,97 4,81 3,93 3,33 2,89 0,80 13,9 10,1 8,80 6,53 4,93 3,96 3,27 0,85 21,1 15,6 13,3 10,4 7,16 4,90 3,77 <50% 0,90 38,3 30,8 25,8 19,9 14,6 7,13 4,71 0,95 96,1 72,2 62,2 50,2 34,6 19,8 6,72 área comprimida

Tabela 2.2 - Valores de kr para base circular, cheia ou oca

7.1.2.3 Estabilidade da sapata

a) tombamento

momento estabilizante = Mest momento desestabiliz. = Mdesest

5,1M

MFSdesest

est ≥= .

b) deslizamento

força estabilizante = Rest força desestabilizante = Rdesest

5,1R

RFSdesest

est ≥= .

ri

r

e Nbas

Page 282: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 11

7.1.2.4 Verificações de concreto armado (sapata rígida) 1.1.2.4.1. flexão A flexão pode ser verificada nas seções de referência S1 (S1a e S1b), conforme mostra a fig. 4.1: O momento fletor (M1) na seção S1 contem três parcelas: devido à tensão no solo ( σsolo ); devido ao peso da aba; e devido ao peso do solo sobre a aba. M1a = momento na seção S1a (CG) provocado pelas cargas atuantes na área (CDFG) M1b = momento na seção S1b (AE) provocado pelas cargas atuantes na área (ABDE) Figura 4.1 As duas últimas parcelas são negativas e, eventualmente, podem ultrapassar o valor da primeira parcela (positiva) tornando necessária a presença de armadura de flexão junto à face superior das abas. Quando a solicitação da sapata for excêntrica, pode-se admitir uma tensão uniforme σref dado por:

σ

σ=σ≥σ

med

maxaref 3

232

(σmed = média dos valores extremos)

A armadura principal pode ser quantificada através da seguinte expressão:

yda1

ad1sa f)d8,0(

MA

⋅⋅= e

ydb1

bd1sb f)d8,0(

MA

⋅⋅=

c ap ca 0,15a0,15ap

S1

d1a≤1,5c

a

S1b

S1a

A

B C D

E

F G

cb

bp

cb 0,15b

0,15b

S1b

d1b≤1,5cb

b

Page 283: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 12

Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar. Convém observar ρ = ≥A

b hs

1 1

0 10%, .

1.1.2.4.2. cisalhamento A resistência ao esforço cortante pode ser verificada na seção S2 (S2a e S2b) definidas na fig. 4.3. A força cortante (V2) na seção S2 contém três parcelas:

Devido à tensão no solo ( σsolo ); O peso da aba (além da seção S2); e Peso do solo sobre a aba (além da seção S2).

V2a = resultante sobre a área A2a V2b = resultante sobre a área A2b Figura 4.3 A determinação das forças cortantes pode ser feita admitindo-se tensão uniforme no solo igual a σref, definida anteriormente. A tensão de cisalhamento deve ser limitada a u2τ .

u222

d2d2 db

Vτ≤

⋅=τ .

Para sapatas rígidas:

γ⋅=τ

c

cku2

f63,0 ou cdu2 f15,0=τ ;

Para sapatas isoladas semi-rígidas pode-se admitir:

))(3hc2( flex,u2u2u2semi,u2 τ−τ−⋅−τ=τ .

Obs.: pode ser dispensada a armadura transversal para sapata isolada flexível (ap <bp) quando

c

ck

c

ck

p

pflex,u2d2

f315,0

f)

ba

5,0(315,0γ

≤γ

⋅+⋅=τ≤τ (valores em MPa).

b

cb

bp

cb

d1b/2

d1b≤1,5c

c2b

d2b

S2

a

c ap ca

S2

d1a≤1,5c

d1a/2 c2

d2a≤1,5c

A2b

A2a d1b/2

d1a/2

Page 284: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 13

7.2 Blocos sobre Estacas Para fundações profundas é comum a utilização de estacas, geralmente constituindo um grupo, capeado por blocos rígidos de concreto. É fundamental para o dimensionamento, conhecer os esforços atuantes em cada estaca do grupo. Nos casos correntes, os estaqueamentos são simétricos com estacas atingindo a mesma profundidade. Admite-se que o bloco seja rígido e costuma-se considerar a hipótese das estacas serem elementos resistentes apenas a força axial (elemento de treliça), desprezando-se os esforços de flexão.

7.2.1 Determinação das Reações nas Estacas

7.2.1.1 Bloco simétrico sujeito a cargas atuando segundo um plano de simetria Sejam: Nbas (força vertical), Mbas (momento), e Vbas (força horizontal) Os esforços atuantes no centro do grupo de estacas junto à base (topo das estacas), fig. 1.1. Figura 1.1 a) Bloco com estacas verticais iguais (nv estacas) sujeitas a carga vertical Nbas , fig. 1.2 Neste caso, como todas as estacas ficam sujeitas ao mesmo encurtamento (u), a força normal numa estaca é dada por: Rvert = Nbase / nv , Pois: ∑ ∑ =⋅=⋅⋅=⋅= basvertvvvert NRn)uk(n)uk(R

Nbas Mbas Vbas

α

Page 285: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 14

sendo k = coeficiente de rigidez axial da estaca (=l

AE ⋅ ), onde l é a profundidade

atingida pelas estacas. Figura 1.2 b) Bloco com estacas verticais (np,vert pares) e estacas inclinadas de α (np,incl pares)

sujeitas a carga vertical Nbas , fig. 1.3 Figura 1.3 A força normal na estaca vertical é dada por:

)cosnn(2

NR 3incl,ppv

basevert

α+= ;

e na estaca inclinada, por:

)cosnn(2

cosNR 3incl,ppv

2base

ncliα+

α⋅= .

Nbas

α

u uu.cos

Rincl

l l cosαα

Nbas

u

Page 286: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 15

De fato, devido à simetria, ocorre um recalque vertical constante (u). A reação numa estaca vertical é dada por:

uAEukRvert ⋅⋅

=⋅=l

.

A reação em uma estaca inclinada vale

α⋅=α⋅⋅=α⋅⋅

α

⋅=⋅= 2

vert2

inclinclincl cosRcos)uk()cosu(cos

AEukRl

.

Portanto,

vert

3incl,ppv

inclincl,pvertpvinclvertbas

R)cosnn(2

)cosR(n2Rn2)cosR(RN

⋅α+=

α⋅+=α⋅+= ∑ ∑

c) Bloco com estacas verticais (np,vert pares) e estacas inclinadas de α (np,incl pares,

distribuídos em duas linhas) sujeitas a carga vertical Nbas, a momento (Mbas) e a força horizontal (Vbas), fig. 1.4.a.

(a) (b) (c) Figura 1.4 A força normal na estaca vertical genérica k é dada por:

+α+

=

vert

2i

k03

incl,pvert,p

bask,vert

aaM

)cosnn(2NR ;

Nbas Mba Vbas

α

O

ho

80 40 40 80

ak1 2 3 4

M0

Vbas

a a

θ

Page 287: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 16

E na estaca inclinada genérica (i), por:

α

±α+

α=

senn2V

)cosnn(2cosNR

incl,p

bas3

incl,pvert,p

2bas

i,incl

sendo obasbaso hVMM ⋅−= = momento em relação ao ponto O. De fato, as parcelas devidas a Nbas já são conhecidas. Os demais efeitos resultam como se mostra a seguir. Efeito isolado de Vbas aplicado em O, fig. 1.4.b: as estacas verticais não são

solicitadas, pois o momento é nulo, ocorrendo uma translação do bloco; a força Vbas é simplesmente decomposta segundo as direções das estacas inclinadas resultando, assim, o segundo termo de Rincl.i, pois:

Vbas = 2.np,incl.senα;

Efeito de Mo , fig. 1.4.c: provoca uma rotação do bloco em torno do ponto O de modo

que as estacas inclinadas não são solicitadas; o equilíbrio é garantido pelos binários correspondentes a cada par de estacas verticais; tem-se:

kk au ⋅θ= ; kkk,v akukR ⋅θ⋅=⋅=

∑ ∑ ⋅θ⋅=⋅= 2iii,vo a)k()aR(M →

∑=⋅θ

2i

o

a

Mk e, portanto

k2i

ok,v a

aMR ⋅=

∑ (segundo termo de Rvert,k).

7.2.1.2 Bloco simétrico sujeito a cargas atuando segundo os dois planos de simetria Sejam: Nbas (força vertical), Mbas,a e Mbas,b (momentos), e Vbas,a e Vbas,b (forças horizontais) Os esforços atuantes no centro do grupo de estacas junto à base (topo das estacas), fig. 2.1. Sejam, ainda, np,vert pares de estacas verticais, np,incl,a pares de estacas inclinadas segundo a direção a, np,incl,b pares de estacas inclinadas segundo a direção b

Page 288: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 17

Figura 2.1 Aplicando as idéias desenvolvidas nos itens anteriores, tem-se a reação na estaca vertical genérica, k, dada por:

[ ]

∑ ∑∑ ∑ ++

++

α++⋅=

vert a,incl

2i

32i

kb0

vert b,incl

2i

32i

ka0

3b,incl,pa,incl,pvert,p

bask,vert

bcosbbM

acosaaM

cos)nn(n2NR

e nas estacas inclinadas (k), por:

[ ]

∑∑ ⋅α+

⋅α+

α±

α++

α=

a,incl

2i

3

vert

2i

k2

ob

a,incl,p

a,bas3

b,incl,pa,incl,pvert,p

2bas

k,a,incl

bcosbbcosM

senn2V

cos)nn(n2cosNR

[ ]

∑∑ ⋅α+

⋅α+

α±

α++

α=

b,incl

2i

3

vert

2i

k2

oa

b,incl,p

b,bas3

b,incl,pa,incl,pvert,p

2bas

k,b,incl

acosaacosM

senn2V

cos)nn(n2cosNR

Nbas Mbas,a Vbas,a

α

b Mbas,b

Vbas,b

α

a

hob

Ob

Oa

hoa

ak

bk

80 80 8080

120

Page 289: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 18

sendo: oaa,basa,basoa hVMM ⋅−= = momento em relação ao ponto Oa obb,basb,basob hVMM ⋅−= = momento em relação ao ponto Ob.

7.2.2 Verificações de Concreto Armado Geralmente, os blocos têm forma retangular ou poligonal em planta, fig 3.1. Figura 3.1 As abas podem ter espessura constante h, ou variável (de ho a h), fig. 3.2. Figura 3.2

hcm

hcm

hc a a

ca

ca a

cb b

b

o

est est

oest

s

ao

bo

ap

bp

= ⋅

=−

=−

300 8

303

2 5 3

25

3030

2

2

,

/( , )

l

φ

α

α

a

b ap cao

bp

cbo cb ca

co

co

aes

ces

cest

h ho

αaa ca a ca

a a

cao co cao co

h ho

αbb cb b cb

b b

cbo co cbo co

Page 290: Calculo Completo Edificio

ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 19

Costuma-se fixar a altura do bloco rígido (h) obedecendo as seguintes relações

geométricas: ii c2hc32

≤≤ ; sendo ci igual ao maior valor entre cao e cbo .

7.2.2.1 Flexão Em geral, a flexão pode ser verificada nas seções de referência S1 (S1a e S1b), conforme mostra a fig. 3.3. M1a = momento na seção S1a (CG) provocado pelas estacas posicionadas na área (CDFG) M1b = momento na seção S1b (AE) provocado pelas estacas posicionadas na área (ABDE) Figura 3.3 Obs.: no cômputo dos momentos M1a e M1b pode-ser desprezada a inclinação das estacas, (cosα ≅ 1); normalmente, pode-se adotar d1 ≅ h - aest/4. A armadura principal pode ser quantificada através da seguinte expressão:

yd1

ad1sa f)d8,0(

MA⋅⋅

= e yd1

bd1sb f)d8,0(

MA

⋅⋅=

Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar. Convém observar %10,0hb

A

11

s ≥=ρ .

As barras que compõem as armaduras principais de flexão devem cobrir toda a extensão da base e ter ganchos de extremidade. Pode-se adotar φ ≥ 10 mm e espaçamento s ≤ 20 cm. Normalmente, estas armadura podem ser distribuidas de maneira uniforme por toda a base.

cb

bp

cb 0,15b

0,15b

S1b

d1b≤1,5c

ca ap ca 0,15a0,15a

S1 d1a≤1,5

a

bS1b

S1a

A

B C D

E

F G

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ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 20

7.2.2.2 Cisalhamento Em geral, a resistência ao esforço cortante pode ser verificada nas seções S2 (S2a e S2b) definidas na fig. 3.4. V2a = soma das reações das estacas posicionadas na área A2a V2b = soma das reações das estacas posicionadas na área A2b Figura 3.4 Obs.: quando uma ou mais estacas estiverem situadas a distâncias inferiores a d1 /2 da face do pilar, a seção S2 deve ser tomada junto à face deste pilar com largura b2 e altura útil d1; e no cômputo das forças cortantes, pode-se desprezar a inclinação das estacas (admitir cos α ≅ 1) A tensão de cisalhamento deve ser limitada a τ2u .

u222

d2d2 db

Vτ≤

⋅=τ .

onde

γ⋅=τ

c

cku2

f63,0 ou cdu2 f15,0=τ .

A resistência ao esforço cortante deve ser verificada, também, junto às estacas de canto, fig. 3.5. Deve-se verificar:

u2c2c2

fdbR

τ≤γ .

b

cb

bp

cb

d1b/2

d1b≤1,5c

c2b

d2b

S2

a

c ap ca

S2d1a≤1,5c

d1a/2 c2

d2a≤1,5c2

A2b

A2a

d1b/2

d1a/2

bp +

ap + d1

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Figura 3.5 7.2.2.3 Observações a) em blocos com estacas alinhadas, fig. 3.6, convêm adotar estribos com ρwmin , porta

estribos de mesmo diâmetro e armaduras de pele; Figura 3.6 b) em blocos com estacas em disposição poligonal, as armaduras de tração podem ser

posicionadas segundo os lados do polígono; em geral, a quantidade de armadura As,l sobre cada par de estacas adjacentes pode ser estimada como segue, fig. 3.7:

d1c

aestd1c /2

d2c

b2c = aest + d1c

R

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M1 = Ri . c1

Z = M1 /(0,8 d1) Zp = (Z/2) / cos α Asl = γn.γf Zp / fyd γn = 1,1

Figura 3.7

c) neste caso, (fig. 3.8), quando cest > 3 aest, convém utilizar armadura de suspensão

(estribos) enfeixando as barras de tração posicionadas sobre cada par de estacas; a força suspender pode ser estimada em

nd

d n5,1N

Z γ⋅= com γn = 1,1 (aplicar γn, também, ao cálculo da armadura de tração).

Figura 3.8

Asl

Asl

Asl

c1

α

Z Zp

S1

Z

Ri

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7.2.3 Blocos sobre duas Estacas pelo modelo Biela-Tirante a) Verificação do concreto:

Fixação das dimensões:

tanθ = d / ( 3l /2 - a/4) (45o ≤ θ ≤ 55o) dmin = 0,5 ( l - a/2); dmax = 0,71 ( l - a/2) Compressão nas bielas:

cd2

p

dpbiel,cd, f 1,4

θsenAQσ ≤=

cd2

est

destbiel,cd, f 85,0

θsen2AQσ ≤=

c) Armadura: Estribos: (Asw/s)min = 0,15 %

8cm ≤ s ≤ 15cm “Pele”: (As/s) = 0,075% (cada face)

10cm ≤ s ≤ 20cm

ae bp

a ae

b

h

ao ao

d

l

Qd

h

ao ao

d

l

Qd

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7.2.4 Blocos sobre três Estacas a) Verificação do concreto Fixação das dimensões:

tanθ ≅ d / ( 3l /3 - 0,3a) (45o ≤ θ ≤ 55o) dmin = 0,58 ( l - a/2); dmax = 0,83 ( l - a/2) Compressão nas bielas:

fcd 75,1

θ2senpAdN

pbiel,cd,σ ≤=

fcd 0,85θsen3A

Nestbiel,cd,σ 2

est

d ≤=

b) Armadura

Estribos: (Asw/s)min = 0,15 % 8cm ≤ s ≤ 15cm

h

ao ao

d

l

Qd

ae

a

a

Rest

θ

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7.2.5 Blocos sobre quatro Estacas – Aplicação ao Edifício Exemplo Solução para a fundação do pilar P7: quatro estacas pré-moldadas φ40 para 700KN cada.

7.2.5.1 Formas:

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7.2.5.2 Esforços Solicitantes: Peso Próprio do Bloco: 25x(1,80x2,10x0,70)=71 KN

7.2.5.3 Reações nas Estacas:

KN 5722x00,1

67,212x30,1

96,644

712358 R1 =−−+

=

KN 6222x00,1

67,212x30,1

96,644

712358 R2 =−++

=

KN 5932x00,1

67,212x30,1

96,644

712358 R3 =+−+

=

KN 6432x00,1

67,212x30,1

96,644

172358 R4 =+++

=

Segue que RMAX = 643 KN < Ru,estaca = 700 KN OK!

Mx = 21,67 KNm

My = 64,96 KNm

Nk = 2358,3 KN

1 2

3 4

Mx

My

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7.2.5.4 Determinação da altura d:

oo 55θ45 ;xdarctgθ ≤≤=

Para θ = 45o ⇒ d = 66,5 cm; adotado d = 70 cm ⇒ θ = 46,5o

7.2.5.5 Verificação junto ao pilar

OK! KN/m 37500 4,1

x250001.2KN/m 138535,46xsin65,0x19,0

4,1x643

f 1,2Apxsin

d,Neq

222

d,bp

cd2

d,bp

=<==σ

≤θ

7.2.5.6 Verificação junto à estaca

OK! KN/m 15179 4,1

x2500085,0KN/m 136225,46xsin

440,0x

4,1x643

f 85,0Aexsin

d,Neq

22

22

be

cd2

be

=<=π

≤θ

Rsθ

Biela comprimida

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7.2.5.7 Determinação das Armaduras

KN 415cosxtgRe1Rs =β

θ=

KN 447senxtgRe2Rs =β

θ=

2ykn KN/cm 48,34

1,15fσsd ;

σsddxRs,As ==

γ=

As1 = 2cm7,1448,43 x4154,1x 1,1

=

As2 = 2cm 8,1548,43 x4474,1x 1,1

= (adotado 8φ16 (16 cm2))

Será adotado a mesma armadura para ambas direções dos blocos. Ancoragem: φ= 10-lb 0,8l nec,a

Onde lb = lb1 yd

ef, sdf

σ

Para fck = 25 MPa e fyk = 500 MPa tem-se que lb1 = 38φ

Portanto: 2ef, sd cmKN/ 3916

8,15x15,1x1,1

50==σ

E cm 7,273,1710-

1,15503938 0,8l nec,a =φ≈φ

φ= (existente: φe – 3cm = 37cm ok!)

Rs1

Rs2 θ

Re

β = 47,1o

β

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7.2.5.8 Detalhamento

Corte A

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Corte B