cálculo 1 - notas de aulas

Calculo I

Notas de aulas

Andre Arbex Hallack

Julho/2007

Indice

0 Preliminares 1

0.1 Numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Relacao de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.4 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.5 Funcoes exponenciais e logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.6 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1 A Derivada 21

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3 Teoremas para (ajudar no) calculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5 A definicao da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.7 Regras de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.8 Derivacao implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 Aplicacoes da Derivada 65

2.1 Acrescimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2 A Derivada como razao de variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

i

2.5 Concavidade e pontos de inflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.6 Aplicacoes em problemas de maximos e/ou mınimos . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.7 Aplicacoes nos esbocos de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.8 Apendice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.9 Apendice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.10 Apendice C : Formas indeterminadas

e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.11 Apendice D: Aproximacoes via

Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3 A Integral Definida 123

3.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.2 Somas de Riemann e a definicao da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . 126

3.3 Propriedades da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.4 O Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.5 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.6 Mudanca de variavel na integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4 Tecnicas de integracao 145

4.1 Integracao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2 Algumas integrais trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.3 Substituicoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.4 Integrais de funcoes racionais (Fracoes Parciais) . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.5 Integrais improprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5 Aplicacoes geometricas

da Integral Definida 169

5.1 Areas de regioes planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.2 Volumes de (alguns) solidos de revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Referencias 185

Capıtulo 0

Preliminares

0.1 Numeros reais

Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos numeros reais, os

quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:

Vejamos agora alguns conjuntos de numeros reais nessa identificacao:

IN = 1, 2, 3, . . . (numeros naturais) ⊂ IR

∩

Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . (numeros inteiros) ⊂ IR

∩

Q = p/q ; p, q ∈ Z , q 6= 0 (numeros racionais) ⊂ IR

Temos ainda numeros reais que nao sao racionais. Sao os chamados numeros irracionais.

Alguns exemplos:

(A) Consideremos um triangulo retangulo cujos catetos medem 1:

Do Teorema de Pitagoras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .

Portanto a =√

2 (e√

2 nao e racional).

1

2 CAPITULO 0

(B) Outro numero irracional famoso:

FATO: A razao entre o comprimento e o diametro de qualquer circunferencia e constante.

Essa razao e um numero chamado π .

Assim, se C e qualquer circunferencia, l o seu comprimento e r seu raio, temos:

l

2r= π

π e um numero irracional ( π ≈ 3, 141592 )

Obs.: Existem muito mais numeros irracionais do que racionais !

Operacoes basicas em IR

Existem em IR duas operacoes basicas:

ADICAO: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a + b ∈ IR (soma)

MULTIPLICACAO: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a · b ∈ IR (produto)

Essas operacoes possuem as seguintes propriedades:

COMUTATIVIDADE: a + b = b + a

a · b = b · aquaisquer que sejam a, b ∈ IR.

ASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · cquaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.

EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a + 0 = a

a · 1 = a

para todo a ∈ IR.

EXISTENCIA DE INVERSOS:

Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a + (−a) = 0 .

Todo a 6= 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .

DISTRIBUTIVIDADE: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .

Preliminares 3

Consequencias: (das propriedades)

1) Duas novas operacoes:

Subtracao: Dados a, b ∈ IR, definimos: a− b = a + (−b) ;

Divisao: Dados a, b ∈ IR, com b 6= 0, definimos:a

b= a · b−1 .

2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .

3) Se a · b = 0 , entao a = 0 ou b = 0 .

4) Cada a ∈ IR possui um unico inverso aditivo −a ∈ IR.

Cada a 6= 0 em IR possui um unico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR .

5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.

6) a−1 =1

apara todo a 6= 0 em IR.

7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .

8) Se a2 = b2 entao a = ±b .

0.2 Relacao de ordem em IR

Podemos decompor a reta IR como uma uniao disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ 0 :

IR+ e o conjunto dos numeros reais POSITIVOS;

IR− e o conjunto dos numeros reais NEGATIVOS.

De modo que:

• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:

ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−

• a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ;

• A soma de dois numeros positivos e um numero positivo.

O produto de dois numeros positivos e um numero positivo.

4 CAPITULO 0

Dados numeros reais a e b, escrevemos a a ) e dizemos que a e menor do que

b (ou b e maior do que a ) quando b− a ∈ IR+ , ou seja, b− a e um numero positivo:

Propriedades da relacao de ordem:

1) Se a b .

3) Se a 0 ⇒ a · c b · c

5) Se a 0 entao1

a> 0 .

8) Se 0 < a < b entao 0 <1

b<

1

a.

Intervalos: Dados numeros reais a < b , definimos:

(a, b) = x ∈ IR ; a < x < b

[a, b] = x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b

(a, b] = x ∈ IR ; a < x ≤ b

[a, b) = x ∈ IR ; a ≤ x < b

Preliminares 5

(a, +∞) = x ∈ IR ; x > a

[a, +∞) = x ∈ IR ; x ≥ a

(−∞, b) = x ∈ IR ; x < b

(−∞, b] = x ∈ IR ; x ≤ b

(−∞, +∞) = IR

• Atencao: +∞ e −∞ nao sao numeros reais ! Sao apenas sımbolos !

Conjuntos limitados:

Um subconjunto X ⊂ IR e dito LIMITADO quando existem numeros reais a e b tais

que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b .

Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .

(Exemplos)

Observacoes:

(A) Todo conjunto finito e limitado.

(B) CUIDADO ! NAO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !

Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.

(C) FATO: O conjunto IN = 1, 2, 3, 4, . . . dos numeros naturais NAO E limitado.

Consequencias importantes deste fato:

(C.1) Propriedade arquimediana: Dados numeros reais a e b , com a > 0 , e possıvel obter

um numero natural n ∈ IN tal que n · a > b .

⇓

(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois numeros reais a e b quaisquer, com a < b , e

possıvel obter um numero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q 6= 0) tal que a < r < b

(por menor que seja a distancia entre a e b ).

6 CAPITULO 0

A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer numero real x

(mesmo irracional), e possıvel obter uma sequencia de numeros RACIONAIS que se aproximam

de x tanto quanto quisermos !!!

Exemplos:

1) π = 3, 141592 . . .

3 3, 1 =31

103, 14 =

314

1003, 141 =

3141

10003, 1415 =

31415

10000. . . −→ π

2) Tome um numero racional r1 > 0 e considere:

r2 =1

2

(r1 +

3

r1

)∈ Q (r2 > 0 , r2

2 > 3 )

↓

r3 =1

2

(r2 +

3

r2

)∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r2

3 > 3 )

↓

r4 =1

2

(r3 +

3

r3

)∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r2

4 > 3 )

↓...

↓

rn+1 =1

2

(rn +

3

rn

)∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , r2

n+1 > 3 )

↓...

Esta sequencia de racionais (r1, r2, r3, . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo

numero real. Qual ?

Tente generalizar esse processo !

0.3 Valor absoluto

Dado qualquer numero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MODULO

DE x ) da seguinte forma:

|x| =

x se x ≥ 0

−x se x < 0

Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um numero real x e a distancia de x ate

o 0 (zero). (Exemplos)

Preliminares 7

Propriedades:

1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max x,−x (o maior dos dois valores).

2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 .

3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .

4) |a + b| ≤ |a|+ |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .

5) Seja c > 0 : |x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c

|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c

0.4 Funcoes

• Definicao: Uma funcao f : X → Y e constituıda de:

(a) Um conjunto X chamado o DOMINIO da funcao (onde a funcao esta definida)

(b) Um conjunto Y chamado o CONTRA-DOMINIO da funcao (onde f “toma os valores”)

(c) Uma correspondencia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X

um UNICO elemento f(x) = y ∈ Y .

Obs.: Estaremos interessados em estudar funcoes tais que X e Y sao conjuntos de numeros

reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.

• Imagem: Dada uma funcao f : X → Y , sua IMAGEM e o conjunto

f(X) = f(x) ; x ∈ X ⊂ Y

• Os elementos do domınio sao representados por uma VARIAVEL INDEPENDENTE.

Os elementos da imagem sao representados por uma VARIAVEL DEPENDENTE.

• Grafico: O GRAFICO de uma funcao f : X → Y e o conjunto dos pontos (x, y) do

Plano Cartesiano tais que y = f(x) , com x ∈ X .

• Funcoes limitadas: Uma funcao f : X → Y e dita LIMITADA quando sua imagem

f(X) e um conjunto limitado. Em geral, e dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f(A) e um

conjunto limitado.

8 CAPITULO 0

• Funcoes crescentes ou decrescentes: Uma funcao f : X → Y e dita ...

... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) < f(x2) .

... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) > f(x2) .

(Obs.: o mesmo tipo de definicao se aplica tambem a subconjuntos do domınio - por exemplo,

podemos dizer que uma certa funcao e crescente ou decrescente em um determinado intervalo

dentro do domınio).

Exemplos:

(A) f1 : IR → IR dada por f1(x) = −x2 + 4 .

(B) f2 : [1, 3] → IR dada por f2(x) = −x2 + 4 .

(C) f3 : IR → IR dada por f3(x) = |x| .

(D) f4 : IR → IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .

(E) f5 : [−1, 1] → [0, +∞) dada por f5(x) =√

1− x2 .

(F) f6 : [−1, 1] → IR que associa x 7→ y tais que x2 + y2 = 1 NAO E UMA FUNCAO

BEM DETERMINADA.

(G) f7 : IR → IR dada por f7(x) =

1

xse x >

1

4

−3 se x ≤ 1

4

(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2] → IR dada por f8(x) = x .

(I) f9 : IR → IR dada por f9(x) = −2x + 1 .

(J) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10(x) = −√

x .

Preliminares 9

• Maximos e mınimos: Dizemos que uma funcao f : X → Y assume VALOR

MAXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f(x) ≤ f(c) para todo

x ∈ X . Neste caso f(c) e chamado VALOR MAXIMO ABSOLUTO DE f .

Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f(x) ≤ f(c) para todo

x ∈ (a, b) ∩X , entao c e dito um PONTO DE MAXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c)

e um VALOR MAXIMO RELATIVO DE f .

De modo analogo, definimos tambem MINIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MINIMOS

RELATIVOS (LOCAIS).

(Ilustracao)

Exemplo: f4 : IR → IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .

Observacoes:

(i) Todo maximo (mınimo) absoluto e maximo (mınimo) local.

(ii) Uma funcao PODE NAO ASSUMIR valores maximos ou mınimos.

Exercıcio: Para cada uma das funcoes dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), deter-

mine seus pontos e valores maximos e mınimos, se existirem.

• Construcao de funcoes atraves de operacoes: Sejam f, g : X → IR funcoes

definidas num mesmo domınio X ⊂ IR .

A partir de f e g vamos construir novas funcoes (f + g), (f − g), (f · g) :

(f + g) : X → IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f − g) : X → IR dada por (f − g)(x) = f(x)− g(x)

(f · g) : X → IR dada por (f · g)(x) = f(x) · g(x)

10 CAPITULO 0

Para ilustrar, consideremos a funcao indentidade f : IR → IR dada por f(x) = x e

funcoes constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc(x) = c (cada c e um numero real

qualquer, fixado).

Utilizando a funcao identidade e funcoes constantes, podemos construir (atraves das operacoes

de adicao e multiplicacao) um importante tipo de funcao p : IR → IR chamada FUNCAO

POLINOMIAL:

p(x) = anxn + an−xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0 para todo x ∈ IR

an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ IR , an 6= 0

(essa e dita uma funcao polinomial de grau n)

(Exemplos)

Se quisermos utilizar a operacao de divisao, temos que tomar o cuidado para evitar “divisoes

por 0 (zero)”.

Assim, dadas f, g : X → IR e sendo Z = x ∈ X ; g(x) = 0 , podemos definir:

(f/g) : X − Z → IR pondo (f/g)(x) =f(x)

g(x)

Para ilustrar, temos as chamadas FUNCOES RACIONAIS, dadas pelo quociente de funcoes

polinomiais:

p, q : IR → IR (polinomiais) , Z = x ∈ IR ; q(x) = 0

⇓

(p/q) : IR− Z → IR dada por (p/q)(x) =p(x)

q(x)

(Exemplos)

• Composicao de funcoes:

Sejam f : X → IR e g : Y → Z funcoes tais que f(X) ⊂ Y (a imagem de f esta

contida no domınio de g).

Preliminares 11

A cada elemento de X associamos um unico elemento de Z, aplicando inicialmente a funcao

f e depois a funcao g.

Podemos pensar entao em uma funcao de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X

um unico elemento g(f(x)) ∈ Z :

(g f) : X −→ Z

x 7−→ g(f(x))

(Exemplos)

• Inversao de funcoes:

Seja f : X → Y uma funcao. A cada x ∈ X esta associado um unico f(x) ∈ Y .

Nos interessa a situacao em que a associacao inversa f(x) 7→ x e uma funcao de Y em X.

Para isso, f devera possuir duas caracterısticas:

• f(X) = Y (a imagem de f e todo o conjunto Y );

• x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y .

Uma funcao f : X → Y e chamada SOBREJETORA quando f(X) = Y , ou seja, a

imagem de f e todo o contradomınio Y . (Exemplos)

Uma funcao f : X → Y e chamada INJETORA quando elementos distintos do domınio

tem sempre imagens distintas, ou seja, x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y . (Exemplos)

Uma funcao f : X → Y e INVERTIVEL quando ela e sobrejetora e injetora ao mesmo

tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNCAO g : Y → X que associa y 7→ g(y) e

tal que g(f(x)) = x ∀ x ∈ X e f(g(y)) = y ∀ y ∈ Y .

g e dita A INVERSA DA FUNCAO f e escrevemos g = f−1 .

(Exemplo)

12 CAPITULO 0

Exercıcio: Para cada uma das funcoes dadas posteriormente, faca o que se pede:

a) Faca um esboco do GRAFICO da funcao.

b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a funcao dada e LIMITADA ou nao.

c) Em que partes de seu domınio a funcao e CRESCENTE ou DECRESCENTE ?

d) Determine pontos e valores MAXIMOS ou MINIMOS (quando existirem).

e) A funcao e INJETORA ? Justifique.

f) A funcao e SOBREJETORA ? Justifique.

g) Se a funcao dada for INVERTIVEL, determine sua INVERSA e faca um esboco do

GRAFICO DA FUNCAO INVERSA.

1) f1 : IR → IR dada por f1(x) = 3x− 1 .

2) g1 : IR → IR+ ∪ 0 dada por g1(x) = |3x− 1| .

3) h1 : IR → IR dada por h1(x) = −x2 + 9 .

4) p1 : (0, 3] → (0, 6] dada por p1(x) = 2x .

5) q1 : (−∞, 5] → IR dada por q1(x) =

x2 se x < 1

−x + 2 se x ≥ 1.

6) r1 : [0, +∞) → IR+ ∪ 0 dada por r1(x) = |x2 − 3x| .

7) s1 : IR → IR dada por s1(x) = x2 + 2 .

8) u1 : [−2, 3] → IR dada por u1(x) = x2 + 2 .

9) v1 : IR+ → IR+ dada por v1(x) = x2 .

10) f2 : IR → IR dada por f2(x) = − |x| .

11) g2 : IR → IR dada por g2(x) = − x

3+ 1 .

Preliminares 13

12) h2 : (−3, +∞) → IR dada por h2(x) = − x

3+ 1 .

13) p2 : IR+ ∪ 0 → IR− ∪ 0 dada por p2(x) = −√

2x .

14) q2 : IR → IR dada por q2(x) =

1 se 1 ≤ x ≤ 3

0 se x < 1 ou x > 3.

15) r2 : IR → IR dada por r2 = q2.s1 .

16) s2 : IR → IR dada por s2(x) =

1/x se x 6= 0

0 se x = 0.

17) u2 : IR → [−1, +∞) dada por u2(x) =

√−x se x < 0

−1/2 se x = 0√

x− 1 se x > 0

.

18) v2 : (−∞,−1) ∪ [0, +∞) → IR dada por v2(x) =

−π se x < −1

x2 se x ≥ 0.

19) f3 : (−1, 1] → IR dada por f3(x) = 1−√

1− x2 .

0.5 Funcoes exponenciais e logarıtmicas

Revisao:

a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes).

a 6= 0 ⇒ a0 = 1 e a−n =1

an(n = 1, 2, 3, . . .) .

n PAR e a ≥ 0 : b = n√

a ⇔ bn = a , b ≥ 0 .

n IMPAR e a ∈ IR : b = n√

a ⇔ bn = a .

Definimos potencias RACIONAIS de numeros reais positivos do seguinte modo:

a > 0 , p, q inteiros , q 6= 0 ⇒ ap/q = q√

ap

Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1+r2 e ar > 0 .

14 CAPITULO 0

Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).

Para isso consideremos a > 0 .

Se x e racional, ja temos ap/q = q√

ap .

Se x e IRRACIONAL, sabemos que e possıvel obter uma sequencia de racionais r1, r2, r3, . . .

que se aproxima de x tanto quanto quisermos:

r1, r2, r3, . . . −→ x

FATO: A sequencia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um numero real, o qual DEFINI-

MOS como ax .

Temos entao a nossa funcao exponencial de base a:

• Fixado a > 0 em IR, a funcao fa : IR → IR+ dada por fa(x) = ax para todo x ∈ IR

e chamada FUNCAO EXPONENCIAL DE BASE a.

Propriedades:

ax · ay = ax+y , (ax)y = ax·y , (a · b)x = ax · bx , a0 = 1

Grafico:

Crescimento ou decrescimento: fa(x) = ax e

CRECENTE se a > 1

DECRESCENTE se a < 1

Inversa: Se a 6= 1 entao fa : IR → IR+

x 7→ ax

e SOBREJETORA e INJETORA, ad-

mitindo portanto uma funcao inversa f−1a : IR+ → IR

y 7→ f−1a (y)

.

Preliminares 15

f−1a e chamada FUNCAO LOGARITMICA DE BASE a e escrevemos f−1

a (y) = loga y .

Temos entao: y = ax ⇔ x = loga y .

xfa7−→ ax = y

f−1a7−→ x = loga y = loga ax

yf−1

a7−→ x = loga yfa7−→ y = ax = aloga y

• Fixado a > 0 , a 6= 1 em IR, temos a funcao f−1a : IR+ → IR dada por f−1

a (y) = loga y .

Propriedades:

loga(x · y) = loga x + loga y , loga(xy) = y · loga x , loga 1 = 0

Grafico:

Um numero especial

(A) Series numericas:

Uma SERIE NUMERICA e uma soma x1 +x2 +x3 + . . . com uma quantidade INFINITA

de parcelas.

ATENCAO: Uma serie pode representar ou nao um numero real bem definido !!!

Para vermos isso, precisamos observar o comportamento das chamadas somas parciais:

s1 = x1

s2 = x1 + x2

s3 = x1 + x2 + x3

...

16 CAPITULO 0

Quando a sequencia s1 , s2 , s3 , . . . se aproxima tanto quanto desejarmos de um numero

a ∈ IR a medida que n cresce, dizemos que a serie CONVERGE PARA a e escrevemos

x1 + x2 + x3 + . . . = a

Caso contrario a serie e chamada DIVERGENTE (a soma nao e um numero real bem

definido).

Exemplos:

1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . . e uma serie DIVERGENTE.

s1 = 1

s2 = 1 + 1 = 2

s3 = 1 + 1 + 1 = 3

...

sn = n

...

A sequencia s1, s2, s3, . . . nao se aproxima de nenhum numero real em particular. Por-

tanto a serie e divergente.

2) Se r ∈ IR e |r| < 1 , sabemos que 1 + r + r2 + r3 + . . . =1

1− r(CONVERGENTE!)

Em particular: 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . . =

1

1− 12

=112

= 2

3) 1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ . . . (serie harmonica) e uma serie DIVERGENTE.

4)π

2− 1

3!

(π

2

)3

+1

5!

(π

2

)5

− 1

7!

(π

2

)7

+ . . . = 1 (CONVERGENTE)

5) 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . e uma serie DIVERGENTE.

(B) Series de termos nao-negativos:

Vamos considerar series x1 + x2 + x3 + . . . tais que xn ≥ 0 para todo n ∈ IN .

FATO: Uma serie x1 + x2 + x3 + . . . de termos nao-negativos converge se, e somente se,

existe b ∈ IR tal que x1 + x2 + x3 + ... + xn ≤ b para todo n ∈ IN (“a soma e limitada”).

Preliminares 17

(C) O numero e :

Consideremos a serie 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+ . . .

E facil ver que

2 < 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+ . . . < 1 + 1 +

1

2+

1

22+

1

23+

1

24+ . . . = 3

Segue do FATO anterior que a serie 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+ . . . CONVERGE para um

numero real (entre 2 e 3), conhecido por CONSTANTE DE EULER e denotado por e .

O numero real e acima definido ira desempenhar um importante papel ao longo do nosso

curso de Calculo I, no que se refere as funcoes exponencial e logarıtmica, na base e :

Exponencial: ex e sua inversa, a funcao logarıtmica loge x (escrevemos log x ou ln x ).

Obs.: Outro modo de obter o numero e :(1 +

1

1

)1

,

(1 +

1

2

)2

,

(1 +

1

3

)3

,

(1 +

1

4

)4

. . . −→ e

0.6 Funcoes trigonometricas

• Medidas de angulos em radianos:

Um angulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferencia (centrada

no vertice do angulo) de comprimento igual ao raio da circunferencia considerada:

Assim, um angulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo

r o raio da circunferencia considerada:

θ

1=

l

r⇒ l = θ · r

Desta forma, e facil ver que a medida de “uma volta” em radianos e 2π rad :

2πr = θ · r ⇒ θ = 2π rad

18 CAPITULO 0

• Relacoes trigonometricas nos triangulos retangulos:

Consideremos 0 < θ <π

2e um angulo de θ rad em um triangulo retangulo:

sen θ =b

acos θ =

c

atg θ =

sen θ

cos θ=

b

ccos2 θ + sen 2θ = 1

• O cırculo trigonometrico:

Relacoes:

cos2 θ + sen 2θ = 1 , sec2 θ = 1 + tg 2θ , csc2 θ = 1 + ctg 2θ , ctg θ =1

tg θ( sen θ 6= 0)

• Angulos notaveis:

θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

sen θ 0 12

√2

2

√3

21 0 −1 0

cos θ 1√

32

√2

212

0 −1 0 1

tg θ 0√

33

1√

3 @ 0 @ 0

Preliminares 19

• Formulas de transformacao: cos(a + b) = cos a · cos b− sen a · sen b cos(a− b) = cos a · cos b + sen a · sen b

sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a sen (a− b) = sen a · cos b− sen b · cos asen 2a =

1− cos 2a

2

cos2 a =1 + cos 2a

2

cos a · cos b =1

2· cos(a + b) +

1

2· cos(a− b)

sen a · sen b =1

2· cos(a− b)− 1

2· cos(a + b)

sen a · cos b =1

2· sen (a + b) +

1

2· sen (a− b)

• Funcoes trigonometricas:

Funcao SENO:

sen : IR −→ IR

x 7−→ sen x

Grafico:

Im ( sen ) = [−1, 1]

sen (−x) = − sen x (e uma funcao IMPAR)

sen (x + 2π) = sen x (e uma funcao PERIODICA de perıodo T = 2π)

20 CAPITULO 0

A funcao SENO e ...

... CRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k PAR, k ∈ Z

... DECRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k IMPAR, k ∈ Z

Assume o VALOR MAXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k ∈ Z)

Assume o VALOR MINIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + 3π/2 (k ∈ Z)

Se sen x 6= 0 , entao temos csc x =1

sen x. Assim, nao e difıcil ver que a funcao

csc : IR− kπ , k ∈ Z → IR , que associa x 7→ csc x = 1/ sen x tem grafico:

A funcao SENO NAO E injetora e NAO E sobrejetora, mas

f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1]

x 7−→ sen xe BIJETORA

e tem portanto inversa

f−1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2]

y 7−→ f−1(y) = arc sen y

Exercıcio: Faca um estudo semelhante ao que fizemos com a funcao SENO, para as funcoes

COSSENO e TANGENTE.

Capıtulo 1

A Derivada

1.1 Motivacao

Seja dada uma funcao f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .

Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhanca de x por uma

funcao cujo grafico e uma reta e atraves da reta tangente ao grafico de f no ponto (x, f(x)) ,

se houver esta tangente.

Consequencia: Podemos relacionar uma serie de informacoes sobre o comportamento de

f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao grafico de f em cada ponto (onde existir).

Por exemplo:

(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.

21

22 CAPITULO 1

(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.

(C)f assumindo maximo ou mınimo local

no interior de um intervalo

⇒ mt = 0 no ponto de maximo ou mınimo.

(D)Concavidade do grafico de f

voltada para cima, em um intervalo

⇒ mt crescente neste intervalo.

(E)Concavidade do grafico de f

voltada para baixo, em um intervalo

⇒ mt decrescente neste intervalo.

Obtendo “mt” (coeficiente angular da reta tangente)

Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o

coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)) :

A Derivada 23

Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMACOES POR RETAS SECANTES”:

Para cada x 6= a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),

secante ao grafico de f , passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) :

Temos entao uma funcao msa : I − a → IR

x 7→ msa(x) =f(x)− f(a)

x− a

Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) (coeficiente angular das secantes)

quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x → a ).

O esperado e que, quando x → a , msa(x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum

numero real e teremos

msa(x) → mta ∈ IR , quando x → a

Neste caso, dizemos que a funcao f e derivavel no ponto a, existe a reta tangente ao grafico

de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular mta e chamado a derivada de f no ponto

a (escrevemos f ′(a) ).

Obs.: E fundamental, para fazermos x → a , que possamos aproximar o ponto a por uma

sequencia de pontos do domınio X de f , diferentes de a.

Exemplo:

24 CAPITULO 1

Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,

Dada uma funcao g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por

pontos x ∈ X , x 6= a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x → a

(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) → L ∈ IR quando

x → a .

1.2 Limites

Dada uma funcao f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando

x se aproxima de a , x 6= a .

Para isso, a nao precisa pertencer ao domınio de f , mas deve ser aproximado por pontos

do domınio:

Definicao 1.1. (Ponto de acumulacao): Um ponto a e chamado um PONTO DE ACUMULACAO

do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tao proximos de a

quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.

Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulacao de X.

Exemplos:

(A) A = [−1, 3)

O conjunto dos pontos de acumulacao de A e A′ = [−1, 3] .

(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)

Temos B′ = [0, 3] .

(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ 7

Neste caso C ′ = [1, 2] ∪ [3, 5] .

A Derivada 25

Consideremos agora, por exemplo, a funcao f : IR− 1 → IR dada por

f(x) =3x2 − 2x− 1

x− 1

1 nao pertence ao domınio de f , mas e ponto de acumulacao de IR − 1 . Podemos

entao observar o comportamento de f(x) quando x → 1 (x se aproxima de 1, x 6= 1)

Temos:

x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999

f(x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997

x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001

f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003

Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 a medida que x → 1 .

Dizemos entao que 4 e o limite de f(x) quando x tende a 1 (x → 1) e escrevemos:

limx→1

3x2 − 2x− 1

x− 1= 4 .

A definicao de limite

Definicao 1.2. Sejam f : X → IR uma funcao e a ∈ X ′ (a e ponto de acumulacao do

domınio - nao precisa pertencer a X).

Dizemos que um numero real L e o LIMITE de f(x) quando x tende a a , e escrevemos

limx→a

f(x) = L

quando ...

... podemos obter f(x) tao proximo de L quanto

desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-

lores (no domınio de f) diferentes de a .

m TRADUZINDO

... para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um

δ > 0 (em geral dependendo do ε) tal que :

se x ∈ X e 0 < |x− a| < δ entao |f(x)− L| < ε .

26 CAPITULO 1

Alguns limites fundamentais

• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = c ∀ x ∈ IR (funcao constante).

Para cada a ∈ IR temos:

limx→a

f1(x) = limx→a

c = c

• Seja f2 : IR → IR dada por f2(x) = x ∀ x ∈ IR (funcao identidade).

Para cada a ∈ IR temos:

limx→a

f2(x) = limx→a

x = a

• Seja f3 : IR → IR dada por f3(x) = sen x ∀ x ∈ IR .

Temos:

limx→0

sen x = 0

• Seja f4 : IR → IR dada por f4(x) = cos x ∀ x ∈ IR .

Temos:

limx→0

cos x = 1

• Seja f5 : IR− 0 → IR dada por f5(x) =sen x

x∀ x 6= 0 .

Temos:

limx→0

sen x

x= 1

• Seja f6 : IR− 0 → IR dada por f6(x) =cos x− 1

x∀ x 6= 0 .

Temos:

limx→0

cos x− 1

x= 0

• Seja f7 : IR− 0 → IR dada por f7(x) =ex − 1

x∀ x 6= 0 .

Temos:

limx→0

ex − 1

x= 1

A Derivada 27

1.3 Teoremas para (ajudar no) calculo de limites

Teorema 1.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Temos:

limx→a

f(x) = L ⇔ limx→a

(f(x)− L) = 0 ⇔ limx→a

|f(x)− L| = 0

Em particular, considerando L = 0 , temos: limx→a

f(x) = 0 ⇔ limx→a

|f(x)| = 0 .

Exemplo: Sabemos que limx→0

x = 0 . Entao segue que limx→0

|x| = 0 .

Teorema 1.2. (Sanduıche) Sejam f , g , h funcoes tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo

x 6= a em um intervalo aberto contendo a .

Se limx→a

f(x) = L = limx→a

h(x) , entao limx→a

g(x) = L .

Exemplo: Vamos mostrar que limx→0

sen x = 0 .

28 CAPITULO 1

Teorema 1.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X ′ e limx→a

f(x) = L , limx→a

g(x) = M . Entao:

limx→a

[f(x)± g(x)] = L±M ;

limx→a

f(x) · g(x) = L ·M ;

limx→a

f(x)

g(x)=

L

Mse M 6= 0 ;

limx→a

n√

f(x) =n√

L

se n e IMPAR e L e qualquer real

se n e PAR e L > 0

Exemplos:

(A) Seja p : IR → IR dada por p(x) = cnxn + cn−1x

n−1 + . . . + c1x + c0 ,

com cn, cn−1, . . . , c1, c0 ∈ IR (constantes) e cn 6= 0 ( p e uma funcao polinomial de grau n).

A Derivada 29

(B) Funcoes racionais (quocientes de funcoes polinomiais)

(C) limx→0

cos x = 1

30 CAPITULO 1

(D) limx→0

sen x

x= 1

(E) limx→0

cos x− 1

x= 0

A Derivada 31

Teorema 1.4. Se limx→a

f(x) = 0 e g e limitada num intervalo aberto contendo o ponto a

(sem precisar estar definida em a), entao limx→a

f(x) · g(x) = 0 .

(Exemplo)

Teorema 1.5. (Troca de variaveis) Se limu→b

f(u) = L , limx→a

u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e

x 6= a ⇒ u 6= b , entao

limx→a

f(u(x)) = limu→b

f(u) = L

Exemplos:

(A) limx→0

sen 4x

4x

(B) limx→0

sen 3x

x

(C) Seja f uma funcao definida num intervalo contendo um ponto a. Vamos observar o que

ocorre com o limite limx→a

f(x)− f(a)

x− aquando fazemos a mudanca de variaveis h = x− a :

(D) limx→0

5x − 1

x

32 CAPITULO 1

Exercıcios:

1) Prove que se limx→a

f(x) = L 6= 0 e limx→a

g(x) = 0 entao @ (nao existe) limx→a

f(x)

g(x).

Sugestao: Suponha que exista limx→a

f(x)

g(x)= M e considere lim

x→af(x) = lim

x→a

[f(x)

g(x)· g(x)

].

2) Calcule os limites abaixo, justificando:

a) limx→3

x2 − 9

x− 3b) lim

x→1/2

3 + 2x

5− xc) lim

x→0

√x + 2−

√2

xSugestao: racionalize o numerador

d) limx→2

x− 2

x4 − 16Sugestao: use que (an − bn) = (a− b).(an−1 + an−2b + . . . + abn−2 + bn−1)

e) limx→−3

x + 3

(1/x) + (1/3)f) lim

x→0

|x|√x4 + 7

g) limx→−3

x2 + 5x + 6

x2 − x− 12h) lim

u→1

1√5− u

i) limx→0

x3 sen

(13√

x

)j) lim

h→0

4−√

16 + h

hk) lim

x→3

3

√2 + 5x− 3x3

x2 − 1l) lim

y→−2

y3 + 8

y + 2

m) limt→0

1− cos t

sen tn) lim

x→2

x2 − x− 2

(x− 2)2o) lim

x→4

3x2 − 17x + 20

4x2 − 25x + 36p) lim

w→0

sen 3w

sen 5w

q) limh→0

3√

h + 1− 1

hr) lim

x→0

1 + tg x

sen xs) lim

t→0

sen 22t

t2t) lim

x→π

sen x

x− πu) lim

x→0

x

cos x

v) limx→0

1− cos x

x2w) lim

x→0

3x − 1

xx) lim

x→0

3x2

1− cos2(x/2)

Teoremas adicionais sobre limites

Teorema 1.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .

O limx→a

f(x) , quando existe, e unico.

Teorema 1.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Se existe L = limx→a

f(x) entao a funcao f e

LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.

Exemplo: Seja f : IR− 0 → IR dada por f(x) =1

x∀ x 6= 0 .

0 e ponto de acumulacao do domınio IR− 0 .

Podemos afirmar que NAO EXISTE o limx→0

1

x, pois f nao e limitada em nenhum

intervalo aberto contendo 0 .

A Derivada 33

Teorema 1.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X ′ e L = limx→a

f(x) .

Se L > M entao f(x) > M para todo x 6= a do domınio em um intervalo aberto

contendo o ponto a .

Em particular, se limx→a

f(x) > 0 entao f(x) > 0 para todo x 6= a do domınio em um

intervalo aberto contendo a .

Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso limx→a

f(x) = L < M .

Teorema 1.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .

Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X

menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :

limx→a+

f(x)

(limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto e, por valores x ∈ X, com x > a)

limx→a−

f(x)

(limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto e, por valores x < a em X)

Temos, neste caso, que existe L = limx→a

f(x) se, e somente se, existem e sao iguais a L

ambos os limites laterais, ou seja: limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) .

Exemplo: Seja f : IR− 0 → IR dada por f(x) =|x|x

.

Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBEM PARA LIMITES LATERAIS,

COM AS DEVIDAS ADAPTACOES !

34 CAPITULO 1

Exercıcios:

1) Sejam f, g : IR → IR dadas por:

f(x) =

x3 + 3 se x ≤ 1

x + 1 se x > 1g(x) =

x2 se x ≤ 1

2 se x > 1

Faca um estudo sobre os limites: limx→1

f(x) limx→1

g(x) limx→1

(f.g)(x)

2) Mostre que limx→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

h→0

f(a + h)− f(a)

h(se existirem)

3) Para cada funcao f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩X ′ (a e ponto do domınio e

ponto de acumulacao do domınio), tambem fornecido, obtenha

mta = coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)).

(a) f1 : IR → IR dada por f1(x) = 3x− 1 e a = −5 .

(b) f2 : IR → IR dada por f2(x) = −x2 e a = 3 .

(c) f3 : IR → IR dada por f3(x) = sen x e a = π/6 .

(d) f4 : IR → IR dada por f4(x) = cos x e a = π/6 .

(e) f5 : IR → IR dada por f5(x) = ex e a = 2 .

(f) f6 : (0, +∞) → IR dada por f6(x) = 1/x e a =√

2 .

Faca ainda um esboco e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboco.

Sugestoes:

Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa(x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)),

fazendo x → a.

Para as letras (c),(d) e (e), use tambem o exercıcio anterior.

Pode tentar tambem fazer antes o Exercıcio 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e-

xercıcio se torna um caso particular.

4) Para cada funcao f : X → IR do exercıcio anterior, tente generalizar o resultado, obtendo

mta para um a ∈ X qualquer !

A Derivada 35

1.4 Continuidade

Definicao 1.3. Consideremos uma funcao f : X → IR tal que X ⊂ X ′ (todo ponto do

domınio e ponto de acumulacao).

Dado um ponto a , dizemos que f E CONTINUA NO PONTO a quando as seguintes

condicoes sao satisfeitas:

1) Existe f(a) (ou seja, a ∈ X);

2) Existe limx→a

f(x) ;

3) limx→a

f(x) = f(a) .

Se f nao e contınua em um ponto a, dizemos que f E DESCONTINUA EM a, ou que f

TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.

Dizemos que f : X → IR e uma FUNCAO CONTINUA EM X quando ela e contınua em

todos os pontos de seu domınio.

Exemplos: (e contra-exemplos)

(A) Toda funcao polinomial e contınua !

(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :

(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVIVEL:

36 CAPITULO 1

(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:

Continuidade e operacoes entre funcoes

Teorema 1.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X ′ e a ∈ X .

Se f e g sao contınuas no ponto a ∈ X , entao:

(f ± g) sao contınuas em a ;

(f · g) e uma funcao contınua em a ;

(f/g) e contınua em a se g(a) 6= 0 .

Teorema 1.11. (Composicao) Sejam f : X → IR (X ⊂ X ′) e g : Y → IR (Y ⊂ Y ′) de

forma que a composta g f : X → IR esta bem definida

Se f e contınua em a ∈ X e g e contınua em b = f(a) ∈ Y entao a composta

g f : X → IR e contınua no ponto a ∈ X .

Exercıcios:

1) Seja f : [0, +∞) → IR dada por f(x) =√

x .

(i) Mostre que limx→0

√x = 0 (Sugestao: Considere apenas o limite lateral lim

x→0+

√x - pois 0

A Derivada 37

so pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare√

x com 3√

x para 0 < x < 1 )

(ii) Conclua que f e contınua (em todos os pontos de seu domınio).

(iii) Mostre que @ limx→0

√x

x(racionalize).

(iv) Generalize para g : [0,∞) → IR dada por g(x) = n√

x , n = 2, 4, 6, 8, . . .

2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f e contınua ou nao),

justificando:

(a) f : (−∞, 16] → IR dada por f(x) =√

16− x .

(b) f : [0, +∞) → IR dada por f(0) = 0 e f(x) =1

x2se x 6= 0 .

(c) f : IR → IR dada por f(x) =

x + 1

x3 + 1se x 6= −1

3 se x = −1

.

Funcoes contınuas em intervalos

• Quando estudamos problemas sobre maximos e mınimos, podemos ter funcoes que nao

assumem valores maximos e/ou mınimos.

Por exemplo:

f : IR → IR dada por f(x) = x NAO ASSUME MAXIMO NEM MINIMO !

g : (−1, 2) → IR dada por g(x) = x NAO ASSUME MAXIMO NEM MINIMO !

38 CAPITULO 1

Existe uma situacao (envolvendo continuidade) na qual estes problemas nao ocorrem:

Teorema 1.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b] → IR e uma funcao contınua (em todos os pontos do

intervalo limitado e fechado [a, b]), entao f assume valores maximo e mınimo neste intervalo

[a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que

f(cM) ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b]

f(cm) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]

• Outra boa propriedade das funcoes contınuas e a “PROPRIEDADE DO VALOR IN-

TERMEDIARIO”:

Teorema 1.13. (Teorema do valor intermediario) Se f : X → IR e contınua no intervalo

[a, b] ⊂ X e f(a) 6= f(b) , entao f assume todos os valores entre f(a) e f(b) , ou mellhor,

dado qualquer d entre f(a) e f(b) , existe x entre a e b tal que f(x) = d .

(Ilustracao)

(Exemplo)

1.5 A definicao da Derivada

Definicao 1.4. Consideremos uma funcao f : X → IR , com X ⊂ X ′ (todo ponto do

domınio e ponto de acumulacao do domınio).

Dizemos que f e DERIVAVEL em a ∈ X quando existe o limite

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

h→0

f(a + h)− f(a)

h

O numero f ′(a) ∈ IR e chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.

A Derivada 39

Observacoes:

• Em nossas aplicacoes, o domınio X sera sempre um intervalo (e ja teremos X ⊂ X ′ );

• Outras notacoes para f ′(a) :

f ′(a) = Dxf(a) =df

dx(a) =

df

dx

∣∣∣∣x=a

ou ainda f ′(a) = y′(a) =dy

dx(a) , se y = f(x)

• Podemos considerar a funcao f ′ : x 7→ f ′(x) definida em todos os pontos x ∈ X onde

existir f ′(x) . f ′ e chamada a FUNCAO DERIVADA DE f .

Interpretacao geometrica

Ja vimos, como motivacao para o estudo de limites, que se f : X → IR e derivavel em

a ∈ X , entao f ′(a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao grafico

de f no ponto (a, f(a)) :

Vimos tambem que o conhecimento de f ′(a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos

trazer uma serie de informacoes sobre o comportamento da funcao f .

Primeiros exemplos:

(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR → IR dada por f(x) = c ∀ x ∈ IR .

40 CAPITULO 1

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g′(2) , por exemplo:

Exercıcio:

(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 entao g′(x) = 3x2 ∀ x ∈ IR .

(ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) entao f ′(x) = nxn−1 .

(C) Seja f : IR → IR dada por f(x) = sen x .

Exercıcio: Obtenha a derivada de g : IR → IR dada por g(x) = cos x .

(D) Seja u : IR → IR dada por u(t) = et (funcao exponencial na base e).

A Derivada 41

(E) Seja f : IR → IR dada por f(x) = |x| .

(F) Seja g : IR− 0 → IR dada por g(x) =1

x4= x−4 .

Exercıcio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .)

entao g′(x) = −nx−n−1 ∀x 6= 0 .

(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR → IR dada por u(t) = at (funcao exponencial na base a).

42 CAPITULO 1

1.6 Derivadas e continuidade

Teorema 1.14. Se f : X → IR e DERIVAVEL em a ∈ X , entao f e CONTINUA em a.

De fato:

Se f e derivavel em a ∈ X , entao existe o limite limx→a

f(x)− f(a)

x− a= f ′(a) .

Existe f(a) (pois a ∈ X).

Se x 6= a , temos: f(x)− f(a) =

[f(x)− f(a)

x− a

]· (x− a) .

Como limx→a

f(x)− f(a)

x− a= f ′(a) e lim

x→a(x− a) = 0 , segue que

limx→a

f(x)− f(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a· lim

x→a(x− a) = f ′(a) · 0 = 0

Logo limx→a

f(x) = f(a) e portanto f e contınua no ponto a .

Algumas consequencias:

• Sao contınuas em todos os pontos de seus domınios as funcoes:

f : IR− 0 → IR dada por f(x) =1

xn(n = 1, 2, 3. . . .) ,

g1 : IR → IR dada por g1(x) = sen x , g2 : IR → IR dada por g2(x) = cos x ,

u : IR → IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois sao todas derivaveis em todos os pontos de

seus domınios.

• Se uma determinada funcao e descontınua

em algum ponto de seu domınio, entao ela nao e

derivavel neste ponto de descontinuidade.

• CUIDADO! Nao podemos garantir a recıproca do teorema anterior, ou seja, podemos

ter uma funcao que e contınua mas nao e derivavel em determinados pontos.

Exemplo: f(x) = |x| e contınua no ponto 0 ( limx→0

|x| = 0 = f(0) ), mas ja vimos que @ f ′(0) .

A Derivada 43

1.7 Regras de derivacao

Teorema 1.15. Se f , g : X → IR sao derivaveis em a ∈ X , entao:

(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf) : X → IR e derivavel em a e (cf)′(a) = c · f ′(a) ;

(b) f ± g sao derivaveis em a e (f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a) ;

(c) (f · g) e derivavel em a e (f · g)′(a) = f ′(a).g(a) + f(a).g′(a) ;

(d) (f/g) e derivavel em a se g(a) 6= 0 e (f/g)′(a) =f ′(a).g(a)− f(a).g′(a)

[g(a)]2.

Exemplos:

(A) Para cada funcao f dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada)

1) f : IR → IR dada por f(x) = 6x3 − 3x2 − x + 7 .

2) f : IR → IR dada por f(t) =6t− 10

t2 + 5.

3) f : IR− Z → IR , Z = x ∈ IR ; cos x = 0 , dada por f(x) = tg x .

Exercıcio: Obtenhad

dxctg x ,

d

dxsec x ,

d

dxcsc x

4) f : IR → IR dada por f(u) = eu(u3 + 3 cos u) .

44 CAPITULO 1

5) f : IR → IR dada por f(t) = sen 2t .

6) f : IR− 0 → IR dada por f(x) =1

xn= x−n (n = 1, 2, 3, . . .) .

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = 4− x2 .

1) Obtenha as equacoes das retas tangentes ao grafico de g e que passam pelos pontos:

A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .

2) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de g e que e paralela a reta y = 2x .

A Derivada 45

3) Obtenha a equacao da reta normal ao grafico de g no ponto A(1, 3) .

4) Em que ponto a tangente ao grafico e “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)

5) Onde o coeficiente angular da tangente e positivo ?

6) Onde o coeficiente angular da tangente e negativo ?

A Regra da Cadeia - Derivadas de funcoes compostas

Teorema 1.16. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e

a composta (g u) : X → IR esta bem definida:

Dado a ∈ X , se u e derivavel em a (existe u′(a)) e g e derivavel em b = u(a) (existe

g′(b) = g′(u(a)) ), entao a composta (g u) : X → IR e derivavel em a ∈ X em temos ainda:

(g u)′(a) = g′(b) · u′(a) = g′(u(a)) · u′(a)

Quanto a funcao derivada (gu)′ : x 7→ (gu)′(x) , escrevemos (gu)′(x) = g′(u(x))·u′(x)

para todo x onde existirem as derivadas.

46 CAPITULO 1

Exemplos:

Para cada funcao f : IR → IR dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada):

(A) f dada por f(x) = cos(x3 + 1) .

(B) f dada por f(t) = (4t3 − t2 + 3t− 2)2 .

(C) f dada por f(x) = (5x2 − 2x + 1)−3 .

(D) f dada por f(w) = (2w2 − 3w + 1)(3w + 2)4 .

(E) f dada por f(t) = ekt , k 6= 0 (constante).

A Derivada 47

(F) f dada por f(t) = sen 2t .

(G) f dada por f(t) = cos5 t .

(H) f dada por f(x) = e(x2) .

(I) f dada por f(w) = (ew − sen w)2 .

(J) f dada por f(t) = eπ cos(2t3) .

48 CAPITULO 1

Derivadas de funcoes inversas

Teorema 1.17. Seja f : I (intervalo) → J (intervalo) uma funcao INVERTIVEL (bijetora

= injetora e sobrejetora) e CONTINUA (em todos os pontos de seu domınio I).

Sua inversa g : J → I e contınua em todos os pontos de J .

Mais ainda:

Se f e derivavel em a ∈ I e f ′(a) 6= 0 , entao g e derivavel em b = f(a) e podemos

obter g′(b) atraves da Regra da Cadeia.

Exemplos:

(A) Derivada da funcao logarıtmica na base e:

Exercıcio: Fixado a > 0 , a 6= 1 , obtenha g′(x) se g : (0, +∞) → IR e dada por

g(x) = loga x

Resposta: g(x) = loga x , x ∈ (0, +∞) ⇒ g′(x) =1

x ln a∀ x > 0 .

A Derivada 49

(B) Raızes:

(C) Funcoes trigonometricas e suas inversas:

Exercıcio:

(a) Se g : [−1, 1] → [0, π] e dada por g(x) = arc cos x , mostre que

g′(x) = − 1√1− x2

∀ x ∈ (−1, 1)

50 CAPITULO 1

(b) Se h : IR → (−π/2, π/2) e dada por h(x) = arc tg x , mostre que

h′(x) =1

1 + x2∀ x ∈ IR

1.8 Derivacao implıcita

Seja f : [−1, 1] → IR a funcao dada por f(x) =√

1− x2 para todo x ∈ [−1, 1] .

Pondo y = f(x) , temos:

y =√

1− x2

⇓

y2 = 1− x2 , y ≥ 0

⇓

(∗) x2 + y2 = 1 (y ≥ 0)

A equacao (*) acima estabelece uma relacao entre x e y = f(x) . Juntamente com a

restricao y ≥ 0 ela define bem a funcao f . Por isso dizemos que f ESTA IMPLICITAMENTE

DEFINIDA POR (*).

Tendo em mente que y = f(x) , ou seja, y e funcao de x , e facil ver que a equacao (*)

estabelece a igualdade entre x2 + f(x)2 e a funcao constante e igual a 1. Podemos pensar

portanto em DERIVAR EM RELACAO A VARIAVEL x.

Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) e derivavel e tomando o cuidado de lembrar

que y = f(x) , ou seja, y2 e uma composicao de funcoes e DEVEMOS USAR A REGRA

DA CADEIA:

x2 + y2 = 1

⇓

2x + 2yy′ = 0

⇓

(∗∗) y′ = − x

y(y 6= 0)

Lembrando que y = f(x) =√

1− x2 , temos:

f ′(x) = y′ = − x√1− x2

, x ∈ (−1, 1)

A Derivada 51

Possıveis vantagens da derivacao implıcita:

• Derivar a equacao (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar

obter a derivada atraves da expressao explıcita de f .

• Uma equacao em x e y pode definir implicitamente varias funcoes e, caso isto ocorra,

a derivacao implıcita serviria para todas elas.

Exemplos:

(A) Admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f(x) = ln x e derivavel, obtenha f ′(x) por

derivacao implıcita.

(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f(x) = xα seja

derivavel, use logarıtmos para obter f ′(x) por derivacao implıcita.

(C) Obtenha a equacao da reta tangente a curvax2

4+ y2 = 1 no ponto (1, −

√3 /2) .

(D) Seja g : (0, +∞) → IR dada por g(x) = loga x (a > 0, a 6= 1) . Admitindo que g e

derivavel, obtenha g′(x) via derivacao implıcita.

52 CAPITULO 1

(E) Se y = 3

√x

x3 + 1, obtenha y′(x) por derivacao implıcita.

Exercıcios:

1) O objetivo deste exercıcio e observar a naturalidade da medida de angulos em radianos,

no seguinte sentido: alguns calculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao

inves de graus como unidades de medida.

Quando lidamos com as funcoes trigonometricas, por exemplo, quase todos os resultados

decorrem do seguinte limite:

limx→0

sen x

x= 1 (Limite Trigonometrico Fundamental)

Ajuste a demonstracao que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a

medida dos angulos em GRAUS.

Calcule tambemd sen x

dxquando x e medido em graus.

2) Para cada funcao dada abaixo (por questoes de economia de espaco, estamos cometendo

um abuso ao omitir os domınios e contra-domınios), calcule sua derivada (onde existir):

a) f(x) = 10x2 + 9x− 4 b) h(x) = (2x2 − 4x + 1)(6x− 5) c) f(w) =2w

w3 − 7

d) f(x) =1

1 + x + x2 + x3e) g(x) = (8x−7)−5 f) s(t) =

(3t + 4

6t− 7

)3

g) h(z) =9z3 + 2z

6z + 1

h) H(x) =2x + 3√4x2 + 9

i) f(x) = 5√

1/x j) f(x) = 6x2 − 5

x+

23√

x2k) f(w) =

3√

3w2

A Derivada 53

l) f(t) = (t6 − t−6)6

m) f(x) = xm/n m, n 6= 0 ∈ Z n) h(s) = ln(5s2+1)3 o) f(x) = x ln x

p) g(x) =x2

ln xq) f(u) = ue−u r) h(s) = s2e−2s s) f(x) = ex ln x t) g(w) = ln

(ew + 1

ew − 1

)u) f(x) = ecos 2x v) g(x) = x sen x w) h(x) = ln tg x x) f(w) = ln cos2 3w

y) f(x) =arc tg x

x2 + 1z) f(x) =

e2x

arc sen 5x

3) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de y = 2x3 + 4x2 − 5x − 3 no ponto

P (−1, 4).

4) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de y = 3x2 + 4x− 6 e tal que:

(a) Essa tangente seja paralela a reta 5x− 2y − 1 = 0 ;

(b) Seja tangente ao grafico no ponto P (1, 1) .

5) Obtenha a equacao da reta que passa por P (3, 1) e e tangente ao grafico de

y =4

x

6) Obtenha a equacao da reta normal ao grafico de f(x) = (x− 1)4 no ponto P (2, 1) .

7) Determine as equacoes da tangente e da normal ao grafico de y = 8 sen 3x no ponto

P (π/6, 1) .

54 CAPITULO 1

Coletanea de provas anteriores (1):

Questao 1: (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI-

CANDO:

(a) limx→1/

√2

x5 − (1/√

2)5

x− (1/√

2)(b) lim

x→−2

(x− 1)(x + 2)

x2 + 4x + 4(c) lim

x→3

√x2 − 9

x− 3

(d) limy→0

e7y − 1

sen y(e) lim

x→0

(1− sec x). ctg x. cos x

x

Questao 2: (10 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) =

x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0

−x + 2 se x ≥ 0

(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .

(b) A equacao f(x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.

(c) Responda se f e derivavel em x = 0. Se for, obtenha a derivada f ′(0). Se nao for,

justifique.

Questao 3: (10 pts) Faca UM dos ıtens abaixo:

(a) Se f(x) = cos x ∀x ∈ IR , mostre (via definicao) que f ′(x) = − sen x ∀x ∈ IR .

(b) Se g(x) = 5x ∀x ∈ IR , mostre (via definicao) que g′(x) = 5x. ln 5 ∀x ∈ IR .

Questao 4: (40 pts) Para cada funcao dada abaixo (por questoes de economia de espaco,

estamos cometendo um abuso ao omitir os domınios e contra-domınios), calcule sua derivada

(onde existir a derivada), indique onde existe e forneca ainda, quando solicitado, a derivada

nos pontos solicitados:

(a) f(x) = (3x− 1).(2x + 1)5 .

(b) g(w) = 3√

3w − 1 = (3w − 1)1/3 . Obtenha ainda, em particular, g′(3).

(c) h(s) = π. sec s =π

cos s. Obtenha ainda, em particular, h′(0).

(d) f(t) = e(3t2−t) . Obtenha ainda, em particular, f ′(1/3).

(e) f(x) = ln( sen 42x) .

Questao 5: (10 pts) Obtenha a equacao da reta tangente ao grafico de f : IR → (−2π, 2π)

dada por f(x) = 4. arc tg x no ponto A(1, π) .

A Derivada 55


Questao 1: (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI-

CANDO:

(a) limx→3

x2 − 6x + 9

(x + 1)(x− 3)(b) lim

x→√

3

π√

3− πx

x3 − 3√

3(c) lim

x→π/2

x− π/2

cos x

(d) limx→0

sen 3x

5x(1− cos x)(e) lim

y→0

3

√1− e2y

y


x3 − x− 3 se x < 2

5− x se x ≥ 2

(a) Onde f e contınua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)

(b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe

x tal que f(x) = 0 ? JUSTIFIQUE.

(c) Responda se f e derivavel em a = 2. Se for, obtenha a derivada f ′(2). Se nao for,

justifique.


(a) Seja f(x) = sen x ∀x ∈ IR . Obtenha (via definicao) f ′(2π/3) .

(b) Se g(x) = arc tg x ∀x ∈ IR , prove que g′(x) =1

1 + x2∀x ∈ IR .

Questao 4: (12 pts) Considere f : IR → IR dada por f(x) = e−2x .

(a) Qual a equacao da reta tangente ao grafico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ?

(b) Qual a equacao da reta tangente ao grafico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ?

Questao 5: (40 pts) Para cada funcao dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao

omitir os domınios e contra-domınios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneca

ainda, quando solicitado, a derivada nos pontos solicitados:

(a) f(x) =2x2

(x− 4)2. Obtenha ainda, em particular, f ′(2).

(b) h(s) =ctg s√

2=

cos s√2 · sen s

. Obtenha ainda, em particular, h′(π/4).

(c) g(t) = (2t− 1)3 · e(t2+2t) . Obtenha ainda, em particular, g′(0).

(d) f(w) = ln (5w2 + 2 + cos w) . Obtenha ainda, em particular, f ′(0).

(e) g(y) = arc tg (√

y − 1 ) .

56 CAPITULO 1


Questao 1: (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE):

(a) limx→

√2

3x− 3√

2

x6 − 8(b) lim

y→0

√sen πy

y(c) lim

x→1

x2 − 1

(1− x)3

(d) limx→−π

1 + cos x

x + π(e) lim

x→0

ex + sen 2x− 1

x


2x + 1 se x ≤ 3

−x2 + 8x− 8 se x > 3

(a) Responda se f e contınua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).

(b) f e derivavel em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(2). Se nao for, justifique.

(c) Sabendo que f e crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10, +∞) , podemos

afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f(xM) ≥ f(x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)


(a) Seja f(x) =1

x3∀x 6= 0 . Obtenha, via definicao, f ′(1) .

(b) Se g(x) = arc cos x ∀x ∈ [−1, 1] , prove que g′(x) = − 1√1− x2

∀x ∈ (−1, 1) .

Questao 4: (12 pts) Considere f : IR → IR dada por f(x) =arc tg x

π.

(a) Qual a equacao da reta tangente ao grafico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ?

(b) Qual a equacao da reta normal ao grafico de f no ponto B(√

3 , 1/3) ?



ainda, quando solicitado, o que se pede:

(a) f(x) =x3

e2x. Responda: Para quais valores de x temos f ′(x) = 0 ?

(b) h(s) = sen (3s2 − s) + 2(s2+3s) . Obtenha ainda, em particular, h′(0).

(c) g(w) = tg w · ln(3− w2) . Obtenha ainda, em particular, g′(0).

(d) v(t) =s(t)2

3t(existe s′(t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s′(1) = 2, obtenha v′(1) .

(e) u(y) = 4√

2y2 + 5 + 4 cos y = (2y2 + 5 + 4 cos y)1/4 .

A Derivada 57



(a) limx→3

3

√x− 3

27− x3(b) lim

x→−1

x3 + 2x2 + x

x + 1(c) lim

x→0

e sen x − 1

2x

(d) limy→0

sen 7y + cos πy − 1

y(e) lim

x→0

1− cos x√5 · x · sen x


x + 1 se x < −1

1 + sen (x + 1) se x ≥ −1

(a) Responda se f e contınua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).

(b) f e derivavel em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(−1). Se nao, justifique.

(c) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , e possıvel afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre

a e b com f(c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.

Questao 3: (8 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) = 5√

x ∀ x ∈ IR .

Mostre, via definicao, que @ (nao existe) f ′(0) .

Prove (podendo usar que existe f ′(x) para todo x 6= 0 ) que f ′(x) =1

55√

x4∀ x 6= 0 .

Questao 4: (12 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) = e(2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se

existir, a equacao da reta tangente ao grafico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)



ainda, quando solicitado, o que se pede:

(a) h(s) =3

√s2

1 + s2. Obtenha ainda, em particular, h′(1).

(b) v(t) = ln 2 · log 12(3t2 + 1) . v′(1) e positivo, negativo ou zero ? Obtenha v′(1) para

justificar.

(c) f(x) = x2 · ln x− x2

2. Responda: Para quais valores de x temos f ′(x) = x ?

(d) g(w) = csc2 w =1

sen 2w. Obtenha ainda, em particular, g′(π/4).

(e) u(y) = tg

[arc tg

(1

y

)]. Obtenha ainda, em particular, u′(

√3 ) .

58 CAPITULO 1



(a) limx→

√3

x3 − 3√

3

4x− 4√

3(b) lim

y→0

e2y − 1

sen (3y)(c) lim

x→−1

x3 + x2 − x− 1

x3 − x(d) lim

x→π/2

1− sen x

x− (π/2)

Questao 2: (12 pts)

(a) Seja f : IR → IR uma funcao tal que f(x) =sen [π(x− 1)]

x− 1∀ x 6= 1 . f pode ser

contınua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se

nao, JUSTIFIQUE.

(b) Seja g : IR → IR uma funcao tal que g(x) =|x− 1|x− 1

∀ x 6= 1 . g pode ser contınua

em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se nao,

JUSTIFIQUE.

Questao 3: (12 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) = 3 · 3√

x ∀ x ∈ IR

Mostre, VIA DEFINICAO, que @ (nao existe) f ′(0) e que f ′(a) =1

3√

a2∀ a 6= 0 .

Questao 4: (12 pts) (a) A reta 3y+8x+1 = 0 e NORMAL ao grafico de uma certa funcao

f : IR → IR no ponto A(1,−3) (pertencente ao grafico de f). Obtenha (JUSTIFICANDO)

f ′(1) .

(b) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao grafico de

g(x) = e(x2+6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao grafico de g) ? (JUSTIFIQUE)

Questao 5: (40 pts) Para cada funcao dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir

os domınios e contra-domınios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneca ainda

o que se pede:

(a) f(x) = x · (ln 5− 1 + ln x) . Obtenha ainda, em particular, f ′(2) .

(b) h(θ) = ( tg θ + 1)2 . Obtenha ainda, em particular, h′(π/3).

(c) g(w) = ln(w2 − w) +3(3w2−w3)

ln 3. Obtenha ainda, em particular, g′(2).

(d) v(t) =sen [s(t)]

t(existe s′(t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = π/2 e s′(2) = e, obtenha v′(2) .

(e) u(y) = 3 · 3√

arc tg y . Obtenha ainda u′(1) e responda se u′(1) e maior ou menor

que 1 (mostre as contas).

A Derivada 59

Respostas de exercıcios• Pagina 32:

Exercıcio 2)

a) 6 b)8

9c)

√2

4d)

1

32e) −9 f) 0 g)

1

7h)

1

2i) 0 j) − 1

8

k) −2 l) 12 m) 0 n) @ (nao existe) o) 1 p)3

5q)

1

3r) @

s) 4 t) −1 u) 0 v)1

2w) ln 3 x) 12

• Pagina 34:

Exercıcio 1) @ limx→1

f(x) , @ limx→1

g(x) , limx→1

(f.g)(x) = 4

Exercıcio 2) Faca a mudanca de variaveis x− a = h e aplique o Teorema sobre limites

de funcoes compostas !

Exercıcio 3)

(a) f ′1(−5) = mt−5 = 3

(b) f ′2(3) = mt3 = −6

(c) f ′3(π/6) = mtπ/6=

√3

2

(d) f ′4(π/6) = mtπ/6= − 1

2

(e) f ′5(2) = mt2 = e2

(f) f ′6(√

2) = mt√2= − 1

2

Exercıcio 4)

(a) f ′1(a) = 3

(b) f ′2(a) = −2a

(c) f ′3(a) = cos a

(d) f ′4(a) = − sen a

(e) f ′5(a) = ea

(f) f ′6(a) = − 1

a2

60 CAPITULO 1

• Paginas 36-37:

Exercıcio 2) Contınua em...

a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos: limx→16−

√16− x = 0 = f(16)

b) ... (0, +∞) . Em a = 0 temos: @ limx→0+

f(x)

c) ... IR− −1 . Em a = −1 temos: ∃ limx→−1

f(x) = 1/3 6= f(−1)

• Paginas 52-53:

Exercıcio 1) limx→0

sen x

x=

π

180e

d sen x

dx=

π cos x

180(se x e dado em GRAUS).

Exercıcio 2) a) f ′(x) = 20x + 9 ∀ x ∈ IR b) h′(x) = 36x2 − 68x + 26 ∀ x ∈ IR

c) f ′(w) =−4w3 − 14

(w3 − 7)2∀ w 6= 3

√7 d) f ′(x) = − (3x2 + 2x + 1)

(1 + x + x2 + x3)2∀ x 6= −1

e) g′(x) = −40(8x− 7)−6 ∀ x 6= 7

8f) s′(t) = −135(3t + 4)2

(6t− 7)4∀ t 6= 7

6

g) h′(z) =108z3 + 27z2 + 2

(6z + 1)2∀ z 6= − 1

6h) H ′(x) =

18− 12x√(4x2 + 9)3

∀ x ∈ IR

i) f ′(x) = − 1

5x 5√

x∀ x 6= 0 j) f ′(x) = 12x +

5

x2− 4

3x3√

x2∀ x 6= 0

k) f ′(w) =2

3√

9w∀ w 6= 0 l) f ′(t) = 6(t6 − t−6)5.(6t5 + 6t−7) ∀ t 6= 0

m) f ′(x) =m

n· x

m

n− 1

∀ x > 0 se n e par

∀ x 6= 0 se n e ımparn) h′(s) =

30s

5s2 + 1∀ s ∈ IR

o) f ′(x) = ln x + 1 ∀ x > 0 p) g′(x) =2x ln x− x

(ln x)2∀ x > 0

q) f ′(u) = (1− u) · e−u ∀ u ∈ IR r) h′(s) = (s− s2) · 2e−2s ∀ s ∈ IR

s) f ′(x) = xx(ln x + 1) ∀ x > 0 t) g′(w) =−2ew

e2w − 1∀ w 6= 0

u) f ′(x) = −2ecos 2x · sen 2x ∀ x ∈ IR v) g′(x) = x sen x(cos x ln x +

sen x

x

)∀ x > 0

w) h′(x) =1

sen x cos xse tg x > 0 x) f ′(w) = −6 tg 3w se cos 3w 6= 0

y) f ′(x) =1− 2x arc tg x

(x2 + 1)2∀ x ∈ IR

A Derivada 61

z) f ′(x) =2e2x · arc sen 5x ·

√1− 25x2 − 5e2x

√1− 25x2 · ( arc sen 5x)2

∀ x ∈(− 1

5,

1

5

)

Exercıcio 3) y = −7x− 3

Exercıcio 4) a) y =5

2x− 99

16b) y = 10x− 9

Exercıcio 5) y = −x + 4 ou y =−1

9x +

4

3

Exercıcio 6) y = − x

4+

3

2

Exercıcio 7) tangente: y = 3√

3 x +

(1− π

√3

2

)

normal: y = −√

3

9x +

(1 +

π√

3

54

)

• Pagina 54: Coletanea 1

Questao 1) (a) 5/4 (b) @ (c)√

6 (d) 7 (e) −1/2

Questao 2) (a) f e contınua em todo a 6= 0 e nao e contınua em a = 0 .

(b) Como a funcao f e contınua no intervalo [−2,−1] e f(−2) < 0 < f(−1) , temos

entao pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIARIO que existe x entre −2 e −1 tal que

f(x) = 0 .

(c) f nao pode ser derivavel em x = 0 pois f nao e contınua neste ponto.

Questao 4) (a) f ′(x) = (2x + 1)4(36x− 7) ∀ x ∈ IR

(b) g′(w) =1

3√

(3w − 1)2∀ w 6= 1/3 e g′(3) = 1/4

(c) h′(s) = π. tg s. sec s se cos s 6= 0 e h′(0) = 0

(d) f ′(t) = e3t2−t · (6t− 1) ∀ t ∈ IR e f ′(1/3) = 1

(e) f ′(x) = 8 ctg 2x se sen 2x 6= 0

Questao 5) y = 2x + (π − 2)

62 CAPITULO 1


Questao 1) (a) 0 (b) − π

9(c) −1 (d)

2

5(e) − 3

√2

Questao 2) (a) f e contınua em todo a ∈ IR .

(b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a funcao e contınua e “muda de sinal”.

O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIARIO nos garante que sob estas condicoes a funcao

assume o valor 0 (zero) nestes intervalos.

(c) f nao e derivavel em a = 2 (apesar de ser contınua neste ponto).

Questao 4) (a) y = −2x + 1 (b) y = − 1

2x +

(1 + ln 4

4

)

Questao 5) (a) f ′(x) =−16x

(x− 4)3∀ x 6= 4 e f ′(2) = 4

(b) h′(s) = −csc2 s√2

se sen s 6= 0 e h′(π/4) = −√

2

(c) g′(t) = (2t− 1)2 · et2+2t · [6 + (2t− 1)(2t + 2)] ∀ t ∈ IR e g′(0) = 4

(d) f ′(w) =10w − sen w

5w2 + 2 + cos w∀ w ∈ IR e f ′(0) = 0

(e) g′(y) =1

2y√

y − 1se y > 1


Questao 1) (a)

√2

16(b)

√π (c) @ (d) 0 (e) 1

Questao 2) (a) f e contınua em a = 3 (verificados tambem os limites laterais).

(b) ∃ f ′(3) = limx→3

f(x)− f(3)

x− 3= 2 ( f e derivavel em a = 3 ).

(c) SIM! f e contınua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume aı

maximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se entao (com as outras hipoteses)

que f(xM) ≥ f(x) ∀ x ∈ IR .

Questao 4) (a) y =1

πx (b) y = −4π x +

(12π

√3 + 1

3

)

Questao 5) (a) f ′(x) =x2(3− 2x)

e2x∀ x ∈ IR . f ′(x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2 .

A Derivada 63

(b) h′(s) = cos(3s2 − s).(6s− 1) + 2(s2+3s). ln 2.(2s + 3) ∀ s ∈ IR . h′(0) = 3 ln 2− 1 .

(c) g′(w) =ln(3− w2)

cos2 w− 2w tg w

3− w2∀ cos w 6= 0 e −

√3 < w <

√3 . g′(0) = ln 3 .

(d) v′(t) =2t · s(t) · s′(t)− s(t)2

3t2∀ t 6= 0 . v′(1) = 1 .

(e) u′(y) =y − sen y

4√

(2y2 + 5 + 4 cos y)3∀ y ∈ IR .


Questao 1) (a) − 1

3(b) 0 (c)

1

2(d) 7 (e)

1

2√

5

Questao 2) (a) f nao e contınua em a = −1 (@ limx→−1

f(x) ).

(b) f nao e derivavel em a = −1 (pois nao e contınua neste ponto).

(c) NAO PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [−2,−1] . Temos:

−1 = f(−2) < 1/2 < f(−1) = 1 mas nao existe nenhum c ∈ [−2,−1] tal que f(c) = 1/2 .

Questao 4) y = 2e2 x− 2e2 .

Questao 5) (a) h′(s) =2 3√

(1 + s2)2

3(1 + s2)2. 3√

s∀ s 6= 0 . h′(1) =

3√

4

6.

(b) v′(t) =−6t

3t2 + 1∀ t ∈ IR . v′(1) = − 3

2< 0 .

(c) f ′(x) = 2x ln x ∀ x > 0 . x = f ′(x) quando x =√

e .

(d) g′(w) =−2 cos w

sen 3w∀ sen w 6= 0 . g′(π/4) = −4 .

(e) u′(y) = − 1

y2∀ y 6= 0 . u′(

√3 ) = − 1

3.


Questao 1) (a)9

4(b)

2

3(c) 0 (d) 0

Questao 2) (a) SIM! f(1) = π para que f seja contınua em x = 1 .

(b) NAO ! g nao pode ser contınua em x = 1 , qualquer que seja o valor de g(1) .

64 CAPITULO 1

Questao 4) (a) f ′(1) =3

8(b) b = 3e .

Questao 5) (a) f ′(x) = ln x + ln 5 ∀ x > 0 . f ′(2) = ln 10 .

(b) h′(θ) = 2( tg θ + 1). sec2 θ ∀ cos θ 6= 0 . h′(π/3) = 8(√

3 + 1) .

(c) g′(w) =2w − 1

w2 − w+ (6w − 3w2) · 3(3w2−w3) ∀ w < 0 ou w > 1 . g′(2) =

3

2.

(d) v′(t) =cos[s(t)] · s′(t) · t− sen [s(t)]

t2∀ t 6= 0 . v′(2) = − 1

4.

(e) u′(y) =1

3√

( arc tg y)2· 1

1 + y2∀ y 6= 0 . u′(1) = 3

√2

π2< 1 .

Capıtulo 2

Aplicacoes da Derivada

2.1 Acrescimos e diferenciais

Consideremos uma funcao f : X → IR derivavel em pontos x ∈ X . Podemos escrever:

f ′(x) = lim∆x→0

f(x + ∆x)− f(x)

∆x(para cada x onde f for derivavel)

∆x e chamado ACRESCIMO DE x e representa a variacao na variavel independente x.

Pondo y = f(x) como variavel dependente, temos que ∆y = f(x+∆x)−f(x) representa

a VARIACAO DA FUNCAO f (devida ao acrescimo ∆x ) e

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x

Os limites acima significam que, quando ∆x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores

diferentes de 0), ∆y/∆x se aproxima cada vez mais de f ′(x) .

Entao podemos dizer que ∆y/∆x e uma boa aproximacao para f ′(x) quando ∆x e

pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever

∆y

∆x≈ f ′(x) quando ∆x e pequeno

ou entao, de modo equivalente,

(∗) f(x + ∆x)− f(x) = ∆y ≈ f ′(x) ·∆x quando ∆x e pequeno

A relacao (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximacoes para a variacao da

funcao, ∆y = f(x + ∆x)− f(x) , atraves de f ′(x) ·∆x , com ∆x pequeno !!!

65

66 CAPITULO 2

Por exemplo, vamos obter uma aproximacao para (0, 98)4

Portanto, f ′(x) ·∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) desempenha esse

importante papel de ser uma boa aproximacao para a variacao da funcao f quando ∆x e

pequeno.

f ′(x) · ∆x sera denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo

com x e ∆x).

Escrevemos tambem dx = ∆x para a chamada diferencial de x.

dy = f ′(x) ·∆x

dx = ∆x

Geometricamente, temos:

Aplicacoes da Derivada 67

Exemplos:

(A) Use diferenciais para obter aproximacoes para:

(a) 3 · (2, 001)2 − 5 · (2, 001) + 3 (b) 4√

82

(B) A medida de um lado de um cubo e encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade

de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro maximo no calculo do volume do

cubo.

68 CAPITULO 2

(C) A Lei da Gravitacao de Newton afirma que a forca F de atracao entre duas partıculas de

massas m1 e m2 e dada por F =g ·m1 ·m2

s2onde g e uma constante e s e a distancia entre

as partıculas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variacao de

s que aumente F em 10% .

(D) A medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha conica cuja

altura e sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio e de 10 cm, use diferenciais para

aproximar a variacao do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.


Exercıcios:

1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01)4−3(2, 01)3 +4(2, 01)2−5 ,

3√

65 ,√

37 , 3√

0, 00098 ,√

0, 042 , 5(0, 99)3/5 − 3(0, 99)1/5 + 7 ,1

4√

15.

2) Considerando ln 2 ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) .

3) Use diferenciais para obter uma aproximacao para ctg 46 .

4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da area de uma esfera, quando o raio

varia de 2 a 2, 02 pes.

5) Os lados oposto e adjacente a um angulo θ de um triangulo retangulo acusam medidas

de 10 pes e 8 pes, respectivamente, com erro possıvel de 1,5 polegada na medida de 10 pes.

Use a diferencial de uma funcao trigonometrica inversa para obter uma aproximacao do erro

no valor calculado de θ . (Obs.: 1 pe = 12 polegadas)

6) A altura de um cone circular reto e duas vezes o raio da base. A medida encontrada da

altura e de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado

no calculo do volume do cone.

7) Se l (em metros) e o comprimento de um fio de ferro quando esta a t graus de tem-

peratura, entao l = 60e0,00001. t . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l

quando t cresce, de 0 a 10 graus.

8) Em um ponto situado a 20’ (pes) da base de um mastro, o angulo de elevacao do topo

do mastro e de 60, com erro possıvel de 0, 25 . Obtenha, com auxılio de diferenciais, uma

aproximacao do erro no calculo da altura do mastro.

9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm3. Os seis

lados da caixa vao ser feitos de metal com 1/4 cm de espessura. Se o preco do metal que vai

ser usado na fabricacao da caixa e de R$ 0,80 por cm3, use diferenciais para encontrar o preco

aproximado de todo o metal necessario.

10) A resistencia eletrica R de um fio e proporcional ao seu comprimento l e inversamente

proporcional ao quadrado de seu diametro d. Suponha que a resistencia de um fio, de compri-

mento dado (fixo), seja calculada a partir do diametro com uma possibilidade de erro de 2%

na medida do diametro

(∆d

d· 100 = 2

). Encontre a possıvel porcentagem de erro no calculo

do valor da resistencia.

70 CAPITULO 2

2.2 A Derivada como razao de variacao

Variacao media:

Sejam f : X → IR e y = f(x) .

A variavel y representa uma quantidade de “alguma grandeza” (distancia, volume, area,

etc.) que depende da variavel independente x, a qual por sua vez representa tambem uma

quantidade de alguma grandeza.

Ja vimos que ∆y = f(x1 + ∆x) − f(x1) e a variacao da funcao, correspondente a uma

variacao de x1 a x1 + ∆x (∆x e o chamado acrescimo em x).

Entao∆y

∆x=

f(x1 + ∆x)− f(x1)

∆xe a chamada VARIACAO MEDIA de y por unidade

de variacao de x, quando x varia de x1 a x1 + ∆x.

Exemplo: Seja S (em centımetros quadrados) a area de um cubo de aresta x (centımetros).

Encontre a razao de variacao media da area por unidade de variacao no comprimento da aresta

quando x varia de ... (a) ... 3 a 3, 2 cm (b) ... 3 a 3, 1 cm

Variacao instantanea:

Quando fazemos ∆x → 0 no quociente ∆y/∆x

(lim

∆x→0

∆y

∆x

), o limite (quando existir)

sera a RAZAO (TAXA) DE VARIACAO INSTANTANEA de y por unidade de variacao de x

em (no INSTANTE em que) x = x1 .

Mas lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(x1 + ∆x)− f(x1)

∆x= f ′(x1) (se existir o limite).

Portanto a derivada f ′(x1) representa a razao (taxa) de variacao instantanea de y = f(x)

por unidade de variacao de x no instante em que x = x1 .


Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a razao de variacao da area do cubo por

variacao de centımetro no comprimento da aresta quando x = 3 ?

Definimos ainda a taxa (razao) de VARIACAO RELATIVA de y por unidade de variacao

de x em x1 como sendof ′(x1)

f(x1)(proporcao da variacao instantanea em relacao a quantidade

f(x1) em x = x1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIACAO PERCENTUAL,

dada porf ′(x1)

f(x1)· 100 .

Exemplos:

(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm3 e o

volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre:

(a) A razao de variacao media do volume por unidade de variacao do raio, quando r varia

de 5 a 5, 1 cm.

(b) A razao de variacao instantanea do volume , por unidade de variacao do raio, quando

r = 5 e quando r = 5, 1 cm.

(c) As taxas de variacao relativas do volume, por unidade de variacao do raio, quando r = 5

e quando r = 5, 1.

72 CAPITULO 2

(B) O lucro de um deposito de retalhos e de 100y reais quando x reais sao gastos diariamente

em propaganda e y = 2500 + 36x− 0, 2x2 . Use a derivada para determinar se seria vantajoso

que o orcamento diario de propaganda aumentasse, nos seguintes casos:

(a) O orcamento atual e de 60 reais diarios;

(b) O orcamento atual e de 100 reais diarios.

(C) Em um circuito eletrico, se E e a forca eletromotriz, R ohms e a resistencia e I amperes

e a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .

Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma razao que e proporcional

ao inverso do quadrado de I.

Se E = 100 volts, qual a taxa de variacao de I por unidade de variacao de R quando

R = 20 ohms ?

(D) A temperatura T (em graus Celsius) de uma solucao no instante t (minutos) e dada por

T (t) = 10 + 4t− 3

t + 1, com 1 ≤ t ≤ 10 .

Qual a taxa de variacao de T por unidade de variacao de t quando t = 2 , t = 5 , ou t = 9 ?


(E) A Lei de Boyle para os gases afirma que p · V = c , onde p e a pressao, V e o volume e

c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a pressao seja dada por 20 + 2t

u.p., com 0 ≤ t ≤ 10 . Se em t = 0 o volume e de 60 cm3, determine a taxa de variacao do

volume por unidade de variacao do tempo quando t = 5.

Um caso particular: interpretacao cinematica da Derivada

Suponhamos agora que s = s(t) represente a posicao de um objeto ao longo de uma linha

reta, como funcao do tempo t:

Se em t1 o objeto estava em s(t1) e em t1 + ∆t estava em s(t1 + ∆t) , a variacao total da

posicao do objeto entre os instantes t1 e t1 + ∆t e dada por

∆s = s(t1 + ∆t)− s(t1)

A taxa de variacao media de s por unidade de variacao de tempo, entre o t1 e t1 + ∆t e

s(t1 + ∆t)− s(t1)

∆t

Essa e a VELOCIDADE MEDIA com que o objeto se movimentou de s(t1) ate s(t1 +∆t)

entre os instantes t1 e t1 + ∆t.

A razao de variacao instantanea da posicao s do objeto por unidade de variacao do tempo,

no instante t1 e dada por

s′(t1) = lim∆t→0

s(t1 + ∆t)− s(t1)

∆t

Essa e a VELOCIDADE INSTANTANEA do objeto no instante t = t1 .

74 CAPITULO 2

Se s′(t1) > 0 entao a taxa de variacao em t1 e positiva, ou seja, s esta aumentando em t1,

ou melhor, o objeto esta se movimentando no sentido adotado como positivo.

Se s′(t1) < 0 , o movimento em t1 e contrario ao sentido positivo.

Se s′(t1) = 0 entao o objeto esta parado no instante t1.

Exemplos:

(A) Um foguete e lancado verticalmente para cima e esta a s m do solo t s apos ter sido lancado

(t ≥ 0), sendo s(t) = 160t− 5t2 (o sentido positivo e para cima). Determine:

(a) A velocidade media entre os instantes t = 0 e t = 4 s.

(b) A velocidade instantanea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s.

(c) Em t = 20 s, o foguete esta subindo ou caindo ?

(d) Quanto tempo leva o foguete para alcancar a sua altura maxima ?

(e) Qual a altura maxima atingida pelo foguete ?

(B) Uma pedra e solta de um edifıcio de 80 m de altura e a equacao do movimento e dada por

s(t) = −5t2 (t em segundos, t ≥ 0, orientacao positiva para cima).

(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo apos ser lancada ?

(b) Quanto tempo leva a pedra para alcancar o solo ?

(c) Qual a velocidade (instantanea) da pedra ao atingir o solo ?

(d) Qual a velocidade media entre os instantes t = 0 e o choque com o solo ?


Obs.: Assim como definimos a velocidade como variacao da posicao por unidade de variacao

do tempo, definimos a ACELERACAO como sendo a variacao da velocidade (olhando v = v(t))

por unidade de variacao do tempo.

(C) A posicao s de um objeto em movimento retilıneo e dada por s(t) = 2t3−15t2 +48t−10 ,

com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a aceleracao quando a velocidade e

de 12 m/s. Determine a velocidade quando a aceleracao e de 10 m/s2.

(D) Um bombardeiro esta voando paralelo ao chao a uma altitude de 2 km e a uma veloci-

dade constante de 4, 5 km/min. A que razao varia a distancia entre o bombardeiro e o alvo

exatamente 20 segundos apos o bombardeiro passar sobre o alvo ?

76 CAPITULO 2

Exercıcios:

1) O volume de um balao esferico (em pes cubicos) t horas apos 13:00 e dado pela equacao

V (t) =4

3π(9−2t)3 , com 0 ≤ t ≤ 4. Qual a variacao media do volume por unidade de variacao

de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de variacao do volume por unidade de variacao de

tempo as 16:00 ?

2) Suponha que, t segundos apos ter comecado a correr, o pulso de um indivıduo tenha

sua taxa dada por P (t) = 56 + 2t2 − t (batimentos por minuto), com 0 ≤ t ≤ 7 . Determine a

variacao media de P por unidade de variacao de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha

a taxa de variacao de P por unidade de variacao de t em t = 2, t = 3, t = 4.

3) O iluminamento I (em u.i. - “unidades de iluminamento” ) de uma fonte de luz e

diretamente proporcional a intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado

da distancia d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distancia de 2 pes,

determine a taxa de variacao de I por unidade de variacao de d, quando d = 20 pes.

4) A relacao entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala

Celsius, e dada por C = 5/9(F − 32). Qual a taxa de variacao de F em relacao a C ?

5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de

largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto

e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em funcao de s e determine a taxa

de variacao de V em relacao a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume possıvel,

responda se e conveniente ou nao aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm.

Obs.: Lembremos que a ACELERACAO de um objeto em movimento retilıneo e a taxa

de variacao da velocidade v por unidade de variacao do tempo t.

6) Para cada uma das situacoes abaixo, define-se a posicao s de um objeto em movimento

retilıneo como funcao do tempo t. Determine a velocidade e aceleracao em cada instante

t e tente descrever o movimento (posicao inicial, velocidade inicial, direcoes do movimento,

quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados:

(a) s(t) = 3t2−12t+1 , t ∈ [0, 5] (b) s(t) = t+4/t , t ∈ [1, 4] (c) s(t) = 24+6t−t3 , t ∈ [−2, 3]

(d) s(t) =1− e−3t

3, t ∈ [0, 2] (e) s(t) = 3 cos πt , t ∈ [0, 2] (f) s(t) = t2−4 ln(t+1) , t ∈ [0, 4]

7) Lanca-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pes apos t segs

dada por s(t) = 144t− 16t2 . Obtenha a velocidade e a aceleracao iniciais e no instante t = 3

s (descreva o que ocorre). Qual a altura maxima atingida ? Quando o objeto atinge o solo ?


2.3 Taxas relacionadas

Em alguns problemas, podemos ter varias grandezas relacionadas atraves de equacoes.

Exemplos:

(A) Uma escada com 5 m de comprimento esta inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua

base, apoiada no chao, esta sendo empurrada na direcao da parede a uma velocidade de 0,5

m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a

base esta a 4 m da parede ?

(B) Infla-se um balao esferico de tal modo que seu volume aumenta a razao de 5 dm3/min. A

que razao o diametro do balao cresce quando o diametro e de 12 dm ?

78 CAPITULO 2

(C) Um tanque de agua com a forma de cone invertido e altura igual ao diametro esta sendo

enchido a razao de 3 m3/s. Qual a velocidade com que o nıvel de agua sobe, quando a parte

cheia com agua tem 2 m de altura ?

(D) Um farol, situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta esta girando com uma

velocidade de 3 rpm (rotacoes por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na regiao

costeira quando o angulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol a praia e de π/4 rad ?


Exercıcios:

1) Um papagaio de papel esta voando a uma altura de 40m. Um garoto esta empinando

o papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma razao de 3m/seg. Se a linha

esta esticada, com que razao deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta e

50m ?

2) Um carro que viaja a razao de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o

carro esta a 120m do cruzamento, um caminhao que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento.

O carro e o caminhao estao em estradas que formam angulos retos uma com a outra. Com

que rapidez separam-se o carro e o caminhao 2 segundos depois que o caminhao passou pelo

cruzamento ?

3) De um orifıcio em um recipiente vaza areia, que forma um monte conico cuja altura e

sempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta a razao de 6 pol/min, determine a taxa de

vazamento da areia quando a altura da pilha e 10 pols.

4) Uma lampada colocada em um poste esta a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura

caminha afastando-se da lampada a razao de 1m/seg, com que rapidez se move a extremidade

de sua sombra no instante em que ele esta a 4m do poste ? Com que rapidez se alonga sua

sombra neste instante ? Qual velocidade e a maior, a da extremidade da sombra ou a de

alongamento da sombra ? O que ocorre em outros instantes ?

5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p e a pressao, v e o volume e c

uma constante. Em certo instante, o volume e de 75 pols3, a pressao 30 lbs/pol2 e a pressao

decresce a razao de 2 lbs/pol2 por minuto. Qual a taxa de variacao do volume neste instante ?

6) Um ponto P (x, y) se move sobre o grafico da equacao y = ln(x3) (x > 0) e sua abscissa

x varia a razao de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y tambem varia a uma razao fixa ?

Qual a taxa de variacao da ordenada no ponto (e, 3) ?

7) Quando duas resistencias eletricas R1 e R2 sao ligadas em paralelo, a resistencia total

R e dada por 1/R = (1/R1) + (1/R2). Se R1 e R2 aumentam a razao de 0,01 ohms/s e 0,02

ohms/s, respect., qual a taxa de variacao de R no instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90

ohms ?

8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seu

comprimento aumenta a taxa de 0,005 cm/min e seu diametro cresce a razao de 0,002 cm/min.

Qual a taxa de variacao do volume quando o comprimento e 40 cm e o diametro e 3 cm ?

9) Uma escada com 6 m de comprimento esta apoiada em um dique inclinado a 60 em

relacao a horizontal. Se a base da escada esta sendo movida horizontalmente na direcao do

80 CAPITULO 2

dique a razao de 1 m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no

dique), quando a base estiver a 4 m do dique ?

10) Um aviao voa a uma altura constante de 5000 pes ao longo de uma reta que o levara

diretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador

nota que o angulo de elevacao do aviao e de 60 e aumenta a razao de 1 por segundo, determine

a velocidade do aviao neste instante.

11) Um triangulo isosceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o angulo entre

os lados iguais varia a razao de 2 por min, com que velocidade varia a area do triangulo

quando θ = 30 ?

12) A luz de um farol localizado a 1/8 de milha do ponto mais proximo P de uma estrada

retilınea esta sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora,

se afastando de P. Determine a taxa de rotacao do farol no instante em que o carro esta a 1/4

de milha do farol.

13) Uma escada de 5 m de altura esta apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior

da escada e puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada

escorrega a razao de 3 m/s, com que velocidade esta variando a medida do angulo entre a

escada e o solo quando a parte inferior da escada esta a 3 m da parede ?

14) Um homem num cais esta puxando um bote a razao de 2 m/s por meio de uma corda

(esta e a velocidade com que puxa a corda). As maos do homem estao a 30 cm do nıvel do

ponto onde a corda esta presa no bote. com que velocidade varia a medida do angulo de

deflexao da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda e

de 50 cm ?

15) Um quadro de 40 cm de altura esta colocado numa parede, com sua base a 30 cm

acima do nıvel dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede a razao

de 4 m/s, com que velocidade varia a medida do angulo subtendido pelo quadro a seus olhos,

quando o observador estiver a 1 m da parede ?

16) Despeja-se agua num recipiente de forma conica a razao de 8 cm3/min. O cone tem

20 cm de profundidade e 10 cm de diametro em sua parte superior. Com que velocidade deve

aumentar a profundidade da agua no recipiente quando a agua estiver a 16 cm do fundo ?

Suponhamos agora que se tenha a informacao adicional de que existe um furo no fundo, pelo

qual a agua escoa, e que a agua esta subindo a razao de 1/8π cm/min neste instante (quando

a agua esta a 16 cm do fundo). Com que velocidade a agua esta escoando ?


2.4 Alguns resultados importantes

Pontos crıticos, maximos e mınimos:

Definicao 2.1. Um ponto c ∈ X e um PONTO CRITICO de f : X → IR quando f ′(c) = 0

ou nao existe f ′(c) .

Exemplos:

(A) Seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = x3 − 12x .

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .

(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = ex .

(D) Seja s : IR → IR dada por s(x) = cos x .

(E) Seja f2 : IR → IR dada por f2(x) = (x + 5)2 3√

x− 4 .

82 CAPITULO 2

Teorema 2.1. Seja f : X → IR uma funcao. Se c e um ponto de maximo ou mınimo local

de f e c ∈ I (intervalo aberto)⊂ X entao c e um ponto crıtico de f , ou seja, f ′(c) = 0 ou

@ f ′(c) .

Consequencia importante do Teorema 2.1: Se f : [a, b] → IR e uma funcao contınua,

sabemos (ver Teorema 12 do Capıtulo 1) que f assume maximo e mınimo absolutos neste

intervalo, ou seja, existem cM e cm em [a, b] tais que f(cM) ≥ f(x) e f(cm) ≤ f(x) para

todo x ∈ [a, b] .

O Teorema 2.1 nos diz que os candidatos a cM e cm sao os pontos crıticos de f em (a, b)

juntamente com os extremos a e b do intervalo [a, b] .

Exemplos:

(A) f : [−3, 5] → IR dada por f(x) = x3 − 12x .


(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .

Obs.: Este exemplo mostra que nao vale a recıproca do Teorema 2.1

(C) (Aplicacao) Um fabricante de caixas de papelao deseja fazer caixas abertas de pedacos

quadrados de 12 dm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados.

Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo

volume seja maximo.

84 CAPITULO 2

O Teorema do Valor Medio para Derivadas:

Teorema 2.2. (Rolle) Se f e contınua em um intervalo limitado e fechado [a, b] , derivavel

no intervalo aberto correspondente (a, b) e f(a) = f(b) , entao existe (pelo menos um)

c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0 .

⇓

Teorema 2.3. (Teorema do Valor Medio, de Lagrange) Se f e contınua em um intervalo

limitado e fechado [a, b] e derivavel no intervalo aberto correspondente (a, b) entao existe

(pelo menos um) c ∈ (a, b) tal que f(b)−f(a) = f ′(c) ·(b−a) , ou seja, f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Principais consequencias do Teorema do Valor Medio:

Teorema 2.4. (Sobre crescimento e decrescimento) Seja f contınua em um intervalo limitado

e fechado [a, b] e derivavel no intervalo aberto correspondente (a, b) .

(i) Se f ′(x) > 0 para todo x em (a, b), entao f e CRESCENTE em [a, b] .

(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x em (a, b), entao f e DECRESCENTE em [a, b] .

Teorema 2.5. (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma funcao contınua em [a, b] e derivavel

em (a, b), exceto possivelmente em um ponto crıtico c ∈ (a, b) .

(i) Se f ′(x) > 0 ∀ x ∈ (a, c) e f ′(x) < 0 ∀ x ∈ (c, b) , entao c e ponto de maximo local de f .

(ii) Se f ′(x) < 0 ∀ x ∈ (a, c) e f ′(x) > 0 ∀ x ∈ (c, b) , entao c e ponto de mınimo local de f .

(iii) Se f ′(x) > 0 ∀ x 6= c em (a, b) ou se f ′(x) < 0 ∀ x 6= c em (a, b) entao c nao e nem

maximo nem mınimo local de f .

Exemplos:

(A) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR . Obtenha maximos ou mınimos

locais de g e onde g e crescente ou decrescente.

86 CAPITULO 2

(B) Seja f : IR → IR dada por f(x) = x4 − 4x2 ∀ x ∈ IR .

(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = x1/3(8− x) ∀ x ∈ IR .

(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = (x + 5)2 3√

x− 4 ∀ x ∈ IR .

2.5 Concavidade e pontos de inflexao

Derivadas de ordem superior:

Consideremos, POR EXEMPLO, f : IR → IR dada por f(x) = 2x3 − 5x2 + x + 2 .

Para todo x ∈ IR existe f ′(x) = 6x2 − 10x + 1 .

Podemos considerar portanto a funcao f ′ : IR → IR dada por f ′(x) = 6x2 − 10x + 1

e indagar se ela e derivavel ou nao, ou seja, se existe limx→a

f ′(x)− f ′(a)

x− a= f ′′(a) para cada

a ∈ IR (existindo, f ′′(a) e chamada a derivada segunda de f em a).

Como f ′ (neste exemplo) e polinomial, sabemos que existe, ∀ x ∈ IR, f ′′(x) = 12x− 10

e temos portanto uma nova funcao f ′′ : IR → IR dada por f ′′(x) = 12x− 10 ∀ x ∈ IR (f ′′ e

a funcao derivada segunda de f .

Podemos pensar (novamente) em derivar f ′′ e assim por diante...

(Exemplos)

Obs.: (A) Ja interpretamos f ′ como taxa de variacao instantanea de y = f(x) por unidade

de variacao de x.

Como f ′′ e a derivada de f ′, entao f ′′ e a taxa de variacao instantanea de y = f ′(x) por

unidade de variacao de x.

Em resumo: f ′ mede a variacao de f ;

f ′′ mede a variacao de f ′ ;

f ′′′ mede a variacao de f ′′ e assim por diante ...

(B) Vimos tambem que se s = s(t) representa a posicao s de um objeto ao longo de uma

linha reta, como funcao do tempo t, chamamos de VELOCIDADE (INSTANTANEA) a taxa

de variacao instantanea de s por unidade de variacao de t, ou seja, v(t) = s′(t) .

Derivando novamente, temos a variacao da velocidade v′(t) = s′′(t) (derivada segunda de

s), a qual chamamos de ACELERACAO no instante t.

Testes de concavidade:

Teorema 2.6. (Sobre concavidade) Seja f derivavel em um intervalo aberto contendo c .

(i) Se existe f ′′(c) > 0 entao no ponto ponto (c, f(c)) o grafico de f tem a concavidade

voltada para cima.

(ii) Se existe f ′′(c) < 0 entao no ponto ponto (c, f(c)) o grafico de f tem a concavidade

voltada para baixo.

Exemplos:

(A) Seja f : IR → IR dada por f(x) = x3 ∀ x ∈ IR .

(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = ex ∀ x ∈ IR .

88 CAPITULO 2

(C) Seja h : (0, +∞) → IR dada por h(x) = ln x ∀ x > 0 .

(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = sen x ∀ x ∈ IR .

(E) Seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR .

Definicao 2.2. (Ponto de inflexao) Um ponto (c, f(c)) do grafico de uma funcao f , f contınua

em c, e chamado um PONTO DE INFLEXAO quando neste ponto a concavidade “muda

de sentido” , ou seja, existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que uma das seguintes

situacoes ocorre:

(i) f ′′(x) > 0 se x ∈ (a, c) e f ′′(x) < 0 se x ∈ (c, b) ;

(ii) f ′′(x) < 0 se x ∈ (a, c) e f ′′(x) > 0 se x ∈ (c, b) .

Teorema 2.7. (Teste da Derivada Segunda) Se f e derivavel em um intervalo aberto contendo

c e f ′(c) = 0, temos:

(i) Se f ′′(c) < 0 entao f tem maximo local em c ;

(ii) Se f ′′(c) > 0 entao f tem mınimo local em c .

Obs.: Se f ′′(c) = 0 nada podemos concluir (tente o Teste da Derivada Primeira).

Exemplo: Seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = x3 − 12x .

Resumindo:

• f ′ mede a variacao de f ; Sinal de f ′: crescimento e decrescimento de f ;

Teste da Derivada Primeira: maximos e/ou mınimos.

• f ′′ mede a variacao de f ′; Sinal de f ′′: concavidade do grafico de f ;

Teste da Derivada Segunda: maximos e/ou mınimos.

2.6 Aplicacoes em problemas de maximos e/ou mınimos

(A) Determine as dimensoes do retangulo de area maxima que pode ser inscrito num triangulo

equilatero de lado a, com dois dos vertices sobre um dos lados do triangulo.

90 CAPITULO 2

(B) Os pontos A e B sao opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de

largura. O ponto C esta na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma com-

panhia telefonica deseja estender um cabo de A ate C. Se o custo por km do cabo e 25% mais

caro sob a agua do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia ?

(C) Um cartaz de 20 pes de altura esta localizado no topo de um edifıcio de tal modo que

seu bordo inferior esta a 60 pes acima do nıvel do olho de um observador. Use funcoes

trigonometricas inversas para determinar a que distancia de um ponto diretamente abaixo

do cartaz o observador deve se colocar para maximizar o angulo entre as linhas de visao do

topo e da base do cartaz.


Exercıcios:

1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 pes cubicos,

determine as dimensoes que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e

aperda de material). Refaca o problema considerando o caso de uma caixa coberta.

2) Determine as dimensoes do cone circular reto de volume maximo que pode ser inscrito

numa esfera de raio a.

3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser utilizada para

formar uma calha, dobrando-se em angulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas

polegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja maxima ? Refaca o

problema considerando que os lados da calha devam fazer um angulo de 2π/3 rad com a base.

4) Encontre as dimensoes do retangulo de maior area que tem 200 cm de perımetro.

5) Determine o ponto do grafico de y = x3 mais proximo do ponto (4, 0).

6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$20,00 por unidade para pedidos

de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (ate 600), o preco unitario

tem um desconto igual a US$0,02 vezes o numero de encomendas. Qual volume de encomendas

proporciona maior receita para o fabricante ?

7) As 13:00 horas um navio A esta a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte

a 15 mph (milhas por hora). Se o navio B esta navegando rumo oeste a 10 mph, determine o

instante em que a distancia entre os dois navios e mınima.

8) Uma ilha esta num ponto A, a 6 km do ponto B mais proximo numa praia reta. Um

armazem esta num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar a razao de 4

km/h e caminhar a razao de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armazem

no menor tempo possıvel ?

9) Encontre as dimensoes do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito

num cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm.

10) Jose comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir a Copa do Mundo. A TV tem

uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distancia dos olhos de Jose, quando ele estiver

sentado confortavelmente em seu sofa, xingando aqueles milionarios que estao jogando ε vezes

o que deveriam para ganhar a Copa (ε → 0). Sabendo que os olhos de Jose, ao sentar-se, estao

a 1,5 m de altura do solo e num nıvel entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura

do solo deve ser colocada a TV para que o angulo de visao de Jose seja maximo ?

92 CAPITULO 2

11) Corta-se um pedaco de arame de 2 m de comprimento em duas partes. Uma parte

sera dobrada em forma de cırculo e a outra em forma de quadrado. Como devera ser cortado

o arame para que: (a) a soma das areas das duas figuras seja tao pequena quanto possıvel; (b)

a soma das areas das duas figuras seja a maior possıvel.

12) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margens

opostas e um rio retilıneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto sera construıda sob a

agua, de A ate um ponto C na margem oposta, e o restante a superfıcie, de C ate B. Se o

custo de construcao do oleoduto sob a agua e quatro vezes o custo da construcao a superfıcie e

sabendo que a regiao onde esta sendo construıdo o oleoduto nao pertence a Bolıvia, determine

a localizacao de C que minimize o custo de construcao.

13) O proprietario de um pomar estima que, plantando 24 arvores por are, cada arvore

produzira 600 macas por ano. Para cada arvore adicional plantada por are, havera uma reducao

de 12 macas por pe por ano. Quantas arvores deve plantar por are para maximizar o numero

de macas (por are por ano) ?

14) Um piloto de testes da Formula 1 percorre um circuito elıptico plano, de forma que

sua posicao, apos t vezes 10-segundos, e dada por s(t) = (x(t), y(t)) = (2 cos t, sen t) (faca um

esboco da trajetoria percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t

e dado por v(t) = s′(t) = (−2. sen t, cos t) (tente fazer um esboco). A velocidade (tangencial)

escalar e dada pelo modulo do vetor velocidade: |v(t)|. Supondo que o piloto nao e o Rubinho

Barrichello e portanto deve completar pelo menos uma volta no circuito, calcule os pontos

onde o piloto alcanca as velocidades maximas e mınimas. (Sugestao: maximizar e minimizar

|v(t)|2)

2.7 Aplicacoes nos esbocos de graficos

Dada uma funcao f : X → IR , nos interessa utilizar nossos estudos sobre derivadas para

fazer um esboco do grafico de f .

Algumas dicas:

1) Obter a derivada primeira f ′ e os pontos crıticos (onde f ′ se anula ou nao existe);

2) Estudando o sinal de f ′, obter informacoes sobre o crescimento/decrescimento de f ;

3) Obter a derivada segunda f ′′ e estudar o seu sinal para obter informacoes sobre a

concavidade do grafico de f ;

4) Usar o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir


maximos ou mınimos locais;

5) Obter alguns pontos do grafico para ajudar no esboco (pontos de maximo ou mınimo,

pontos de intersecao com os eixos coordenados, etc.);

6) Observar o comportamento de f(x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) -

busca de assıntotas horizontais (*);

7) Observar o comportamento de f proxima as descontinuidades - busca de assıntotas

verticais (*).

(*) Veremos estes dois ultimos ıtens com mais detalhes nas proximas aulas.

Exemplo: Seja f : IR → IR dada por f(x) = 5x3 − x5 .

Exercıcio: Faca um esboco do grafico de g : [−2, 2] → IR dada por g(x) = e−x2.

94 CAPITULO 2

2.8 Apendice A : Limites no infinito

Nocao basica:

Dada f : X → IR, nos interessa investigar (se possıvel) o comportamento de f(x) quando

x → ±∞ .

Dizemos que um numero real L e o limite de f(x) quando x → +∞ e escrevemos

limx→+∞

f(x) = L

quando f(x) se aproxima tanto quanto quisermos de L a medida que x cresce indefinidamente,

ou seja, quando x → +∞ .

Neste caso, a reta y = L e chamada uma ASSINTOTA HORIZONTAL do grafico de f .

Analogamente, escrevemos limx→−∞

f(x) = M ∈ IR quando f(x) se aproxima tanto

quanto quisermos de M a medida que x → −∞ .

Neste caso tambem y = M e assıntota horizontal do grafico de f .

Exemplos:

(A) f : [2, +∞) → IR dada por f(x) =1

x.

(B) g : (−∞, 3) → IR dada por g(x) =

4 +1

xse x ≤ −1

6 se −1 < x < 3

(C) u : IR → IR dada por u(x) = sen x .

Teoremas sobre limites no infinito:

Valem os mesmos teoremas vistos no estudo de limites, com as devidas adaptacoes.

Por exemplo: Se limx→+∞

f(x) = L e limx→+∞

g(x) = M , entao podemos comcluir que

limx→+∞

f(x)± g(x) = L±M , limx→+∞

f(x) · g(x) = L ·M , limx→+∞

f(x)/g(x) = L/M se M 6= 0

(analogamente para x → −∞ )

Alguns limites basicos no infinito:

1) limx→±∞

c = c

2) Se k ∈ Q, k > 0 e c 6= 0 entao limx→±∞

c

xk= 0 (se fizerem sentido)

3) limx→+∞

(1 +

1

x

)x

= e 4) limx→+∞

ln x

x= 0

5) limx→−∞

ex = 0 6) limx→+∞

1

ex= 0 7) lim

x→+∞

1

ln x= 0

96 CAPITULO 2

Exemplos:

(A) limx→+∞

−5x3 + 2x

x3 − 4x2 + 3

(B) limx→−∞

3x− 4

5x2

(C) limx→+∞

√5x2 − 6

4x + 3

(D) limx→−∞

sen x

x

(E) (Exercıcio) Use seus conhecimentos sobre derivadas para mostrar que ex > x sempre

que x ≥ 1 (Sugestao: Mostre que f(x) = ex − x e crescente em [1, +∞) e f(1) > 0 ) e

conclua que limx→+∞

1

ex= 0 .

(F) (Exercıcio) Mostre que limx→+∞

e−x2

= 0 (Sugestao: Mostre que 0 < e−x2=

1

ex2 <1

ex

quando x → +∞ e aplique o Sanduıche).


2.9 Apendice B : Limites infinitos

Dada f : X → IR e a ∈ X ′ , vamos estudar agora, para auxılio no esboco do grafico de f ,

a situacao na qual NAO EXISTE o limx→a

f(x) (portanto f e descontınua em a) e, AINDA

ASSIM, f(x) tem um comportamento especial quando x se aproxima de a (e x 6= a).

Escrevemos limx→a

f(x) = +∞ quando f(x) → +∞ a medida que x → a (x 6= a) .

Neste caso, a reta x = a e chamada uma ASSINTOTA VERTICAL do grafico de f :

Analogamente, limx→a

f(x) = −∞ quando f(x) → −∞ a medida que x → a (x 6= a) .

Neste caso tambem dizemos que x = a e uma assıntota vertical do grafico de f :

Observacoes:

1) Temos conceitos semelhantes quando analisamos os limites laterais limx→a+

f(x) ou limx→a−

f(x) .

2) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o limite limx→a

f(x) NAO EXISTE (nao e um numero

real). Apenas escrevemos limx→a

f(x) = ±∞ para descrever um comportamento especial de

f(x) quando x se aproxima de a.

98 CAPITULO 2

Exemplos:

(A) limx→−3

1

(x + 3)2= +∞

(B) limx→2+

1

(x− 2)3= +∞

limx→2−

1

(x− 2)3= −∞

(C) Em geral:

Se n e PAR: limx→a

1

(x− a)n= +∞

Se n e IMPAR: limx→a+

1

(x− a)n= +∞ e lim

x→a−

1

(x− a)n= −∞

(D) limx→0+

ln x = −∞

(E) limθ→π/2−

tg θ = +∞

Proposicao 2.1. (Para ajudar no calculo de alguns limites infinitos)

Sejam limx→a

f(x) = +∞ , limx→a

g(x) = c ∈ IR , limx→a

h(x) = −∞ . Temos:

1) limx→a

[f(x) + g(x)] = +∞ , limx→a

[h(x) + g(x)] = −∞ .

2) limx→a

g(x)

f(x)= 0 , lim

x→a

g(x)

h(x)= 0 .

3) c > 0 ⇒ limx→a

f(x) · g(x) = +∞ , limx→a

h(x) · g(x) = −∞ , limx→a

f(x)

g(x)= +∞ ,

limx→a

h(x)

g(x)= −∞ .

c < 0 ⇒ limx→a

f(x) · g(x) = −∞ , limx→a

h(x) · g(x) = +∞ , limx→a

f(x)

g(x)= −∞ , lim

x→a

h(x)

g(x)= +∞

Obs.: Valem resultados analogos para limites laterais.


Exemplos:

(A) f(x) =2x2

x2 − 9

(B) limx→−π/2+

sen x tg x

(C) limx→0+

x4 +√

2

ln x

100 CAPITULO 2

Observacao: De modo inteiramente analogo ao que fizemos para limx→a

f(x) = ±∞ ,

podemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e resultados como a proposicao anterior

continuam validos! (apenas nao temos mais as assıntotas verticais nestes casos)

(D) limx→+∞

x = +∞ , limx→−∞

x = −∞

(E) limx→+∞

ex = +∞ (F) limx→+∞

ln x = +∞

(G) limx→+∞

−5x4 + 3x + 2

Observacao: As conclusoes que nao podemos (e as que podemos) tirar quando lidamos

com limites infinitos:

Devemos sempre tomar cuidado com operacoes entre funcoes que tem LIMITES INFINI-

TOS, pois podem surgir as chamadas INDETERMINACOES, que sao as formas cujos com-

portamentos NAO PODEMOS PREVER A PRIORI.

Destacamos aqui as PRINCIPAIS INDETERMINACOES:

0

0,

∞∞

, 0 · ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ , ∞−∞

Em qualquer um destes casos, devemos trabalhar com as funcoes dadas de modo que

possamos ELIMINAR AS INDETERMINACOES. (EXEMPLOS)


2.10 Apendice C : Formas indeterminadas

e a Regra de L’Hopital

As formas0

0,

∞∞

, 0 · ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ , ∞−∞ sao todas consideradas

INDETERMINACOES.

Alem de tentarmos trabalhar com as expressoes que geram as indeterminacoes visando

ELIMINA-LAS, veremos a seguir alguns metodos para atacar estes problemas.

C.1) Indeterminacoes do tipo0

0ou

∞∞

:

Uma ferramenta muito util e a ...

Regra de L’Hopital:

Suponhamos quef(x)

g(x)tome a forma indeterminada

0

0ou

∞∞

quando x → c ou

x → ±∞ . Sef ′(x)

g′(x)tem limite (ou tende a ±∞ ) quando x → c (ou x → ±∞ ), entao

limf(x)

g(x)= lim

f ′(x)

g′(x)

Exemplos:

(A) limx→0

3− 2x− 3 cos x

5x

(B) limx→+∞

ln x

x

102 CAPITULO 2

(C) limx→+∞

e2x

x2

Obs.: CUIDADO! Nao saia aplicando a Regra de L’Hopital antes de verificar que realmente

se tem uma indeterminacao do tipo 0/0 ou ∞/∞ .

C.2) Indeterminacoes do tipo 0 · ∞ :

Escrevendo-se f(x) · g(x) =f(x)

1/g(x)ou f(x) · g(x) =

g(x)

1/f(x)recai-se numa forma do tipo

0/0 ou ∞/∞ .

Exemplos:

(A) limx→0+

x · ln x

(B) limx→+∞

(arc tg x− π

2

)· x


C.3) Indeterminacoes do tipo 00 , ∞0 ou 1∞ :

O roteiro abaixo pode ser util nestes casos:

0) Seja f(x)g(x) a expressao que gera a indeterminacao;

1) Tome y = f(x)g(x) ;

2) Tome logarıtmos: ln y = ln f(x)g(x) = g(x) · ln f(x) (e recaia em casos ja vistos);

3) Determine lim ln y (se existir);

4) Se lim ln y = L entao lim y = eL . (Atencao: Nao pare em 3)

Exemplos:

(A) limx→+∞

x1/x

(B) limx→+∞

(1 +

1

x

)x

(C) limx→+∞

x1/ ln x

104 CAPITULO 2

C.4) Indeterminacoes do tipo ∞−∞ :

Trabalhe com a expressao para cair em casos conhecidos !

Exemplos:

(A) limx→π/2−

(sec x− tg x)

(B) limx→0+

(1

ex − 1− 1

x

)

Exercıcio:

1) APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, faca um esboco do grafico de cada

funcao f dada abaixo:

SUGESTAO:

1. Obtenha a derivada primeira f ′ e os pontos crıticos de f .

2. Estudando o sinal de f ′, obtenha informacoes sobre o crescimento/decrescimento de f .

3. Obtenha a derivada segunda f ′′ e estude seu sinal para obter informacoes sobre a concavi-

dade do grafico de f .

4. Use o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir maximos

ou mınimos locais.

5. Obtenha alguns pontos do grafico de f para ajudar no esboco (pontos de maximo ou

mınimo, pontos de intersecao com os eixos coordenados, etc.).

6. Observar o comportamento de f(x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) - busca

de assıntotas horizontais.

7. Observar o comportamento de f proxima as descontinuidades - busca de assıntotas verticais.


a) f(x) = 4− x2 b) f(x) = x3 c) f(x) = x3 − 9x d) f(x) = x4 − 6x2

e) f(x) = 1− 3√

x f) f(x) =x2

1 + x2g) f(x) = 10x3(x− 1)2 h) f(x) = 3

√x (8− x)

i) f(x) = (x + 5)2 3√

x− 4 j) f(x) = x2/3(x2 − 8) k) f(x) = x3 +3

x(x 6= 0)

l) f(x) =1

x(x− 3)2(x 6= 0, 3) m) f(x) =

2x2

1− x2(x 6= ±1) n) f(x) =

3x2

(x− 9)2(x 6= 9)

o) f(x) = ex p) f(x) = e−x q) f(x) = ex − x r) f(x) = e−x2s) f(x) = ln x (x > 0)

t) f(x) = e1/x (x 6= 0) u) f(x) =x

exv) f(x) =

ln x

x(x > 0)

w) cosh x =ex + e−x

2senh x =

ex − e−x

2tgh x =

ex − e−x

ex + e−xx) f(x) = arc tg x

y) f(x) = e−x sen x (x ∈ [0, 4π] ) z) f(x) = 2 cos x + sen 2x (x ∈ [0, 2π] )

2.11 Apendice D: Aproximacoes via

Polinomios de Taylor

Recordando...

Quando estudamos acrescimos e diferenciais, vimos que se f : X → IR e derivavel em

x ∈ X, ou seja, se existe f ′(x) = lim∆x→0

f(x + ∆x)− f(x)

∆x, entao a variacao da funcao y = f(x),

dada por ∆y = f(x + ∆x) − f(x) , pode ser aproximada por f ′(x) ·∆x quando ∆x esta

proximo de 0:

∆y = f(x + ∆x)− f(x) ≈ f ′(x) ·∆x = dy quando ∆x → 0

Isto e o mesmo que

f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′(x) ·∆x .

106 CAPITULO 2

Geometricamente:

A ideia e aproximar o grafico de f por uma reta numa vizinhanca em torno de x. A reta que

melhor cumpre esse papel e a reta tangente ao grafico de f em (x, f(x)), cujo coeficiente

angular e f ′(x) . Quando fazemos essa aproximacao, cometemos um erro r = r(∆x) .

Quanto menor e |∆x| , ou seja, quanto mais proximos estao ∆x e 0, melhor a aproximacao

obtida e menor e o erro cometido.

Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproximacoes cada vez melhores ?

Resposta: SIM ! (sob certas condicoes)

Um passo adiante:

Se f : I (intervalo aberto) → IR e duas vezes derivavel em um ponto x ∈ I entao, se

x + ∆x ∈ I , temos

f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′(x) ·∆x +f ′′(x)

2!· (∆x)2 (∆x pequeno)

Da mesma forma que antes, quanto menor |∆x| , melhor e a aproximacao.

Porem, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinomio do 2o grau, ou

seja, geometricamente, o grafico de f e aproximado por um arco de parabola e a expectativa

e que isto funcione melhor como aproximacao do que uma reta:


Generalizando:

Se f : I (intervalo aberto) → IR e n−vezes derivavel em um ponto x ∈ I entao, se

x + ∆x ∈ I , temos:

f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′(x) ·∆x +f ′′(x)

2!· (∆x)2 +

f ′′′(x)

3!· (∆x)3 + . . . +

f (n)(x)

n!· (∆x)n

e quanto menor |∆x|, melhor e a aproximacao.

Obs.:

1) Como o ponto x ∈ I, onde a funcao e n−vezes derivavel, esta fixo e ∆x varia (∆x → 0),

vamos adotar uma NOVA NOTACAO:

f : I → IR n−vezes derivavel em um ponto a ∈ I . Se a + h ∈ I , temos:

f(a + h) ≈ f(a) + f ′(a) · h +f ′′(a)

2!· h2 +

f ′′′(a)

3!· h3 + . . . +

f (n)(a)

n!· hn

e quanto menor |h| , melhor e a aproximacao.

2) Se f : I → IR e n−vezes derivavel em um ponto a ∈ I , definimos o POLINOMIO DE

TAYLOR DE GRAU n DA FUNCAO f NO PONTO a:

Pn,f(a)(h) = a0 + a1 · h + a2 · h2 + . . . + an · hn

sendo a0 = f(a) , a1 = f ′(a) , a2 =f ′′(a)

2!, . . . , an =

f (n)(a)

n!, ou seja,

ai =f (i)(a)

i!i = 1, 2, . . . , n

Neste caso temos:

f(a + h) ≈ Pn,f(a)(h)

Exemplos:

(A) f(x) = ex , a = 0 , n = 5 .

108 CAPITULO 2

(B) g(x) = sen x , a = 0 , n = 7 .

(C) h(x) = cos x , a = 0 , n = 10 (Exercıcio)

Buscando estimativas: A Formula de Taylor:

Teorema 2.8. (Formula de Taylor)

Se uma funcao f e n + 1 vezes derivavel em um intervalo aberto I contendo x = a entao,

se a + h ∈ I, temos:

f(a + h) = f(a) + f ′(a) · h +f ′′(a)

2!· h2 + . . . +

f (n)(a)

n!· hn +

f (n+1)(z)

(n + 1)!· hn+1

com z = z(n, h) entre a e a + h.

• Continuamos tendo f(a + h) ≈ Pn,f(a)(h) quando h esta proximo de 0.

• Rn(h) =f (n+1)(z)

(n + 1)!· hn+1 e o erro cometido na aproximacao f(a + h) ≈ Pn,f(a)(h)

(quanto menor |h|, menor o erro).

• A Formula de Taylor nos permite, alem de aproximar f(a + h) por Pn,f(a)(h) , tentar

obter estimativas para o erro cometido.

(Exemplo)


Indo um pouco mais alem: A Serie de Taylor:

Uma funcao f : I (intervalo aberto)→ IR e chamada ANALITICA quando para cada a ∈ I

admite o desenvolvimento em Serie de Taylor numa vizinhanca em torno de a:

f(a + h) = f(a) + f ′(a) · h +f ′′(a)

2!· h2 +

f ′′′(a)

3!· h3 + . . .

Quando a + h esta proximo de a (o quanto, depende de f e sua Serie) a soma a direita,

chamada a SERIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de)

f(a + h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f(a + h).

Obs.:

1) Uma funcao analıtica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos.

2) As funcoes classicas p(x) = a0+a1x+. . .+anxn , ex, sen x, cos x, ln x sao todas analıticas.

Exemplos:

(A) f : IR → IR dada por f(x) = ex em torno de a = 0 .

(B) g : IR → IR dada por g(x) = sen x em torno de a = 0 .

Exercıcio: Obtenha a Serie de Taylor de f(x) = ln x em torno do ponto a = 1 .

110 CAPITULO 2

Coletanea de provas anteriores (1)

Questao 1: (20 pts) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacessıvel)

em relacao ao seu nıvel, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicial-

mente um sofisticado aparelho baseado num feixe de laser e obteve√

17 km como medida da

distancia de B ao ponto A . Porem, para medir o angulo θ da linha BA com o horizonte foi

utilizado um outro aparelho, nao tao preciso, e obtida a leitura de θ = π/3 rad, com possibili-

dade de erro igual a ∆θ = ±0, 01 rad.

(a) Obtenha a equacao que expressa o desnıvel h(θ) entre A e B, como funcao do angulo θ.

(b) Baseado na leitura de θ = π/3 rad, qual o desnıvel h(θ) calculado pelo explorador ?

(USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado).

(c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproximacao para o erro h(θ + ∆θ)−h(θ) no calculo

do desnıvel.

Questao 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito

pela equacao s(t) = [ln(1 + t)] − t/4 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) = posicao ao

longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade media entre os

instantes t = 0 e t = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e

t = 2. (c) Em que instante o objeto para ? Em que posicao isto ocorre ? Qual a aceleracao

neste instante ?

Questao 3: (20 pts) Uma escada de 5 m de comprimento esta apoiada em uma parede

vertical. Sua base, que esta apoiada no chao, esta sendo empurrada na direcao da parede a

uma velocidade constante de 1 m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se

desloca nao e constante. (b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando

a base esta a 3 m da parede ? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca

quando o angulo da escada com o chao e de π/4 rad ?

Questao 4: (20 pts) Uma ilha esta num ponto A, a 3√

3 km do ponto B (localizado no

continente), o mais proximo numa praia reta. Um armazem esta num ponto C a 7 km de B

na praia. Se um homem pode remar a razao de 2 km/h e caminhar a razao de 4 km/h, onde

ele deveria desembarcar, para ir da ilha ao armazem no menor tempo possıvel ?

Questao 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das funcoes abaixo e faca um estudo completo da

funcao escolhida: pontos crıticos, cresc./decresc., maximos ou mınimos, concavidade, assıntotas

horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esboco do grafico da funcao esco-

lhida.

(a) f : IR− 4 → IR dada por f(x) =2x2

(x− 4)2(b) g : IR → IR dada por g(x) =

3x

ex



Questao 1: (20 pts) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproximacao para a VARIACAO

da area de uma esfera quando seu raio aumenta de5

πcm para

(5

π+ 0, 005

)cm.

b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento ∆r do raio que, aplicado a esfera de

raio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume?

Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua area e 4πr2 cm2 e seu volume e4

3πr3 cm3


pela equacao s(t) =10 ln(2t + 1)

(2t + 1)(t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posicao ao longo

de um eixo orientado, medida em metros).

(a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade

nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto esta parado ?

(d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 ate t → +∞ .

Questao 3: (20 pts) A luz de um farol que gira a taxa de 1,5 rpm (rotacoes por minuto)

esta iluminando (acompanhando) um carro que passa numa estrada retilınea. (Obs.: O farol

esta distante da estrada)

No momento em que o angulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol a estrada

e de π/3 rad, a distancia do farol ao carro e de 250 m = 1/4 km. Obtenha a velocidade do

carro neste instante, em km/h.

A velocidade de rotacao do farol e constante. Responda se a velocidade do carro tambem

e constante e justifique.

Questao 4: (20 pts) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm,

sua area total e S = (2πr2 + 2πrh) cm2 e seu volume e V = πr2h cm3 . DENTRE TODOS

OS CILINDROS DE AREA TOTAL S = 12π cm2 , obtenha as dimensoes (r e h) daquele que

tem o maior volume possıvel e forneca o maior volume que pode ser obtido.



horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esboco do grafico da funcao esco-

lhida.

(a) f : IR → IR dada por f(x) =x2

ex(b) g : IR− ±2 → IR dada por g(x) =

x2

4− x2

112 CAPITULO 2


Questao 1: (20 pts) a) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diametro, voce

recebe a oferta de pagar 10% a mais por um acrescimo de 3 cm no diametro. Sem calcular

areas, USE DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou nao a oferta.

(Sugestao: Calcule aproximadamente o aumento percentual na area devido ao acrescimo

∆d = 3 cm)

Para qual diametro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diametro com um

aumento de 10% no preco seria justa para ambas as partes (voce e o vendedor) ?

b) Use diferenciais para aproximar 3√

0, 065 .


pela equacao s(t) =2t2

et(t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posicao ao longo de um

eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0

e t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas e a maior (mostre as contas).

(b) O que ocorre com s(t) quando t → +∞ ? (c) Qual a maior distancia da posicao inicial

que e atingida pelo objeto ?

Questao 3: (20 pts) Uma escada de 4 m esta apoiada numa parede vertical. Se a base da

escada (apoiada no chao) e empurrada na direcao da parede a razao (constante) de 2 m/s, com

que velocidade esta variando a medida do angulo (agudo) entre a escada e a parede vertical

quando a base da escada esta a 2 m da parede ? A velocidade de variacao deste angulo e

constante ? (Justifique)

Questao 4: (20 pts) Quando duas resistencias eletricas R1 e R2 sao ligadas em paralelo, a

resistencia total R e dada por1

R=

1

R1

+1

R2

.

Se R1 > 0, R2 > 0 e R1 +R2 = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R1 e R2 tais que R

seja maxima. (Sugestao: Exprima R como funcao de uma unica variavel para entao resolver o

problema)

E se fossem pedidos R1 e R2 tais que R seja mınima ? Justifique a resposta.



horizontais/verticais, etc. Use o estudo para fazer um esboco do grafico da funcao escolhida.

(a) f : IR− 1 → IR , f(x) =−3x

(1− x)2. (b) g : IR− 0 → IR , g(x) = x · ln(x2) .



Questao 1: (20 pts) a) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde

sera constuıda a ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens sao desniveladas. Mede-se

entao o angulo de inclinacao que a ponte tera e obtem-se a medida de 30o, com possibilidade

de erro de 1o. Use diferenciais para obter uma aproximacao do erro no calculo do comprimento

da ponte.

b) Se ln 4 ≈ 1, 3863 , use diferenciais para aproximar ln(3, 99) .


pela equacao s(t) = t · ln(1 + 2t) (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posicao ao longo

de um eixo orientado, medida em metros).

(a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0 e t =e3 − 1

2. (b) Obtenha a veloci-

dade nos instantes t = 0 e t =e3 − 1

2. (c) Obtenha a aceleracao no instante t = 0 .

(d) O que ocorre com a velocidade e com a aceleracao quando t → +∞ ?

Questao 3: (20 pts) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto as 8 horas da manha, um

viajando para leste, a 15 km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora.

(a) Como estara variando a distancia entre eles quando for meio-dia ?

(b) Como estara variando a area do triangulo formado pelo ponto de partida e as posicoes

dos ciclistas ao meio-dia ?

Questao 4: (20 pts) Um fazendeiro dispoe de 1km de cerca. Uma parte da cerca sera uti-

lizada para cercar uma area circular e o restante para cercar uma area quadrada. Ele tambem

pode utilizar toda a cerca para cercar uma unica area (circular ou quadrada). Como ele deve

proceder para que: (a) A area total cercada seja a menor possıvel; (b) A area total cercada

seja a maior possıvel.



horizontais/verticais, etc. Use o estudo para fazer um esboco do grafico da funcao escolhida.

(a) f : IR− 0 → IR dada por f(x) =ex

x3(b) g : IR → IR dada por g(x) = 3

√1− x2

114 CAPITULO 2


Questao 1: (20 pts) a) Um empresario fabrica tanques com a forma de cones “invertidos”

nos quais a altura e sempre igual ao diametro da base. Sem calcular volumes, USE DIFE-

RENCIAIS para obter (JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade

(volume) dos tanques se o raio da base e aumentado em 3, 333 . . . % .

b) Se ln 8 ≈ 2, 0794 , use diferenciais para aproximar ln(8, 1) .


pela equacao s(t) = 3− e−t2 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posicao ao longo de um

eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade media entre os instantes t = 0

e t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas e a maior (mostre as contas).

(b) O que ocorre com a velocidade instantanea v(t) quando t → +∞ ? (c) O que ocorre

com s(t) quando t → +∞ ? Qual a maior distancia da posicao inicial que e atingida pelo

objeto (se existir)?

Questao 3: (20 pts) Um homem num cais esta puxando um bote a razao de 1 m/s por

meio de uma corda (esta e a velocidade do bote). As maos do homem estao a 1 m acima do

nıvel do ponto onde a corda esta presa no bote. Com que velocidade varia a medida do angulo

de deflexao da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o bote esta a√

3 m de

distancia (“medidos na horizontal”) do homem ?

Questao 4: (20 pts) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR

RETO de VOLUME MAXIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio3

2m.

Questao 5: (25 pts) Faca um estudo completo da funcao dada abaixo: pontos crıticos,

cresc./decresc., maximos ou mınimos, concavidade, assıntotas horizontais/verticais, etc. Uti-

lize este estudo para fazer um esboco do grafico da funcao.

f : IR → IR dada por f(x) =2x2

1 + x2∀ x ∈ IR .



1) a) Expressao ≈ 3, 12 b) 3√

65 ≈ 4 + 1/48 = 193/48 c)√

37 ≈ 6 + 1/12 = 73/12

d) 3√

0, 00098 ≈ 1

10− 2

3 · 103e)√

0, 042 ≈ 0, 205 f) Expressao ≈ 9− 3

125=

1122

125= 8, 976

g)1

4√

15≈ 65

128

2) ln(2, 01) ≈ 0, 6981 3) ctg 46 ≈ 1− π

904) S(2, 02)− S(2) ≈ 8π

25pes2

5) ∆θ ≈ ± 1

164rad 6) ∆V ≈ ±9π

50cm3 7) ∆l ≈ 0, 6 cm 8) ∆h ≈ ±4π

3pols

9) ≈ R$19,20 10) Erro ±2% em d ⇒ Erro no calculo de R ≈ ∓4%

• Pagina 76:

1)∆V

∆t= −728π

3pes3/hora ; V ′(3) = −72π pes3/hora.

2)∆P

∆t= 11 bpm/s ; P ′(2) = 7 bpm/s ; P ′(3) = 11 bpm/s ; P ′(4) = 15 bpm/s.

3) I ′(20) = −0, 12 u.i./pe 4) F ′(C) =9

5F/C

5) V (s) = 4s3 − 200s2 + 2400s ; V ′(s) = 12s2 − 400s + 2400 ;

V ′(5) = 700 cm3/cm ⇒ e conveniente aumentar s quando s = 5;

V ′(10) = −400 cm3/cm ⇒ nao e conveniente aumentar s quando s = 10.

6)

(a) s(0) = 1 ; v(t) = s′(t) = 6t− 12 ⇒ v(0) = −12 ; a(t) = v′(t) = 6 ;

v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = −11 ; v(5) = 18 ; s(5) = 16 .

(b) s(1) = s(4) = 5 ; v(t) = 1− 4/t2 ; v(1) = −3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t3 ;

v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = 4 .

(c) s(−2) = 20 ; s(3) = 15 ; v(t) = 6− 3t2 ; v(−2) = −6 ; v(3) = −21 ; a(t) = −6t ;

v(t) = 0 ⇒ t = ±√

2 ⇒ s(−√

2) ≈ 18, 3 , s(√

2) ≈ 29, 7 .

(d) s(0) = 0 ; s(2) ≈ o, 33 ; v(t) = e−3t > 0 ; v(0) = 1 ; v(2) ≈ 0, 0025 ; a(t) = −3e−3t .

116 CAPITULO 2

(e) s(0) = s(2) = 3 ; v(t) = −3π sen (πt) ; v(0) = v(2) = 0 ; a(t) = −3π2 cos(πt) ;

v(1) = 0 ; s(1) = −3 .

(f) s(0) = 0 ; s(4) ≈ 9, 5 ; v(t) = 2t− 4

t + 1; v(0) = −4 ; v(4) = 7, 2 ;

a(t) = 2 +4

(t + 1)2; v(t) = 0 ⇒ t = 1 ⇒ s(1) = 1− 4 ln 2 .

7) v(0) = 144 pes/s ; a(0) = −32 (pes/s)/s ; v(3) = 48 pes/s ; a(3) = −32 (pes/s)/s ;

Em t = 3s, o objeto esta a 288 pes de altura, subindo e perdendo velocidade ;

Altura maxima: 324 pes (em t = 9/2s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos.

• Paginas 79-80:

1)9

5m/s 2) 14 m/s 3) 600π pol3/min

4) Extremidade:5

3m/s ; Alonga:

2

3m/s (menor). Outros inst.: mantem velocidades

5) 5 pol3/min 6)3

2eu/s 7)

11

1600Ω/s 8)

21π

160cm3/min 9)

2 +√

6

4m/s

10) −1000π

27pes/s 11)

π√

3

10pol2/min 12) 100 rad/hora =

5

6πrpm

13) -1 rad/s 14) 3 rad/s 15)≈ 0, 778 rad/s 16)1

2πcm/min , 6cm3/min (escoando)

• Paginas 91-92:

1) Aberta: b = 2 pes, a = 1 pe; Coberta: b = a = 3√

4 pes 2) h =4a

3, r =

2a√

2

3

3) Angulo reto: d = 3 pols ; Angulo 2π/3 : d = 4 pols 4) a = b = 50 cm

5) P (1, 1) 6) 500 unidades 7) t = 18/13 horas apos 13:00

8) a 8 km de B, entre B e C 9) h = r = 4 cm 10) a 1,25m do solo

11) (a) Menor:2π

4 + πm para o cırc. e

8

4 + πm para o quad.; (b) Maior: 2m para o cırc.

12) a1√15

milhas de B, entre B e C 13) 37 arvores por are

14) Maxima em: s(π/2) e s(3π/2) ; Mınima em: s(0) e s(π)



Questao 1) (a) h(θ) =√

17 · sen θ km (b) h(π/3) ≈ 25

7= 3, 571... km

(c) h(θ + ∆θ)− h(θ) ≈ ±√

17

200km (com θ = π/3 , ∆θ = ± 1

100)

Questao 2) (a) vm[0, 2] =1

2

(ln 3− 1

2

)m/s (b) v(0) =

3

4m/s ; v(2) =

1

12m/s

(c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln 4− 3

4m e a(3) = − 1

16(m/s)/s

Questao 3) x(t) = dist. da base da escada a parede ; y(t) = dist. do topo ate o chao

(a) y′ =x

y(b) quando x = 3 m : y′ =

3

4m/s (c) quando θ = π/4 rad : y′ = 1 m/s

Questao 4) x = distancia de onde vai desembarcar ate B ( x ∈ [0, 7] )

T = T (x) = tempo gasto para ir de A ate C ⇒ T (x) =

√27 + x2

2+

7− x

4

Apos testar os candidatos (x = 3 , x = 0 , x = 7), temos que x = 3 km minimiza T .

Questao 5) (a) f(x) =2x2

(x− 4)2

Pontos crıticos: x = 0 (f ′(0) = 0) , x = 4 (nao existe f ′(4) - descontinuidade);

Decresc. em (−∞, 0] e (4, +∞) . Cresc. em [0, 4). Mınimo em x = 0 .

Concav. para cima em (−2, +∞) . Para baixo em (−∞,−2) . Inflexao em P (−2, f(−2)) .

Assıntota horizontal: y = 2 , pois limx→±∞

f(x) = 2 .

Assıntota vertical: x = 4 , pois limx→4

f(x) = +∞ .

(b) g(x) =3x

ex. Ponto crıtico: x = 1 (g′(1) = 0) ;

Crescente em (−∞, 1] . Decresc. em [1, +∞). Maximo em x = 1 .

Concav. para baixo em (−∞, 2) . Para cima em (2, +∞) . Inflexao em P (2, g(2)) .

Assıntota horizontal: y = 0 , pois limx→+∞

g(x) = 0 . limx→−∞

g(x) = −∞

Nao possui assıntotas verticais.

118 CAPITULO 2


Questao 1) (a) S(r + ∆r)− S(r) ≈ S ′(r) ·∆r = 1/5 cm2 (b) ∆r = 0, 5 cm.

Questao 2) (a) vm[0, 3] =10 ln 7

21m/s (b) v(0) = 20 m/s ; v(3) =

20− 20 ln 7

49m/s

(c) v = 0 em t =e− 1

2s (d) s(0) = 0 m , v(0) = 20 m/s (inicialmente) ;

s

(e− 1

2

)=

10

em (objeto parado) ; lim

t→+∞s(t) = 0 (se aproxima da posicao 0 qdo t → +∞).

Questao 3) x(t) = dist. do carro a (perp. ∩ estrada) ; θ(t) = angulo feixe-perpendicular

Quando θ = π/3 rad : x′ = 90π km/h ; x′ nao e constante

(x′ =

45π sec2 θ

2

)

Questao 4) h =6− r2

r(relacao entre h e r nos cilindros de area total 12π cm2)

⇒ V = V (r) = π(6r − r3) , 0 < r <√

6 ⇒ Ponto crıtico: r =√

2 .

Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume e maximo quando

r =√

2 e h = 2√

2 e temos V (√

2 ) = 4π√

2 cm2 .

Questao 5) (a) f(x) =x2

ex

Pontos crıticos: x = 0 (f ′(0) = 0) , x = 2 (f ′(2) = 0) ;

Decresc. em (−∞, 0] e [2, +∞) . Cresc. em [0, 2] ; Mınimo local em x = 0 e maximo

local em x = 2 .

Concav. para cima em (−∞, 2−√

2) e (2+√

2, +∞) . Para baixo em (2−√

2, 2+√

2) .

Inflexao em P (2−√

2, f(2−√

2)) e Q(2 +√

2, f(2 +√

2)) .

Assıntota horizontal: y = 0 , pois limx→+∞

f(x) = 0 . limx→−∞

f(x) = +∞ .

Nao possui assıntotas verticais.

(b) g(x) =x2

4− x2. Ponto crıtico: x = 0 (g′(0) = 0) ;

Decrescente em (−∞,−2) e (−2, 0] . Cresc. em [0, 2) e (2, +∞) . Mınimo em x = 0 .

Concav. para baixo em (−∞,−2) e (2, +∞) . Para cima em (−2, 2) .

Assıntota horizontal: y = −1 , pois limx→±∞

g(x) = −1 .

Assıntotas verticais em x = ±2 , pois limx→−2−

g(x) = −∞ , limx→−2+

g(x) = +∞ , etc.



Questao 1) (a) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diametro gera um aumento aproxi-

mado de 12% na area da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos.

(b) 3√

0, 065 ≈ 193

480.

Questao 2) (a) vm[0, 2] =4

e2m/s, v(1) =

2

em/s e v(1) > vm[0, 2] . (b) lim

t→+∞s(t) = 0 .

(c) A maior distancia e atingida em t = 2 (justifique) e s(2) =8

e2m.

Questao 3) A velocidade de variacao do angulo nao e constante (depende de θ ) e temos

θ′ = −√

3

3rad/s quando x = 2 m.

Questao 4) R e MAXIMA quando R1 = 25 ohms e R2 = 25 ohms.

R NAO ASSUME MINIMO.

Questao 5) (a) f(x) =−3x

(1− x)2

Ponto crıtico: x = −1 (f ′(−1) = 0) ;

Cresc. em (−∞,−1] e (1, +∞) . Decresc. em [−1, 1) ; Maximo local em x = −1 .

Concav. para cima em (−∞,−2) . Para baixo em (−2, 1) e (1, +∞) . Inflexao em

P (−2, f(−2)) .

Assıntota horizontal: y = 0 , pois limx→±∞

f(x) = 0 .

Assıntota vertical: x = 1 , pois limx→1

f(x) = −∞ .

(b) g(x) = x · ln(x2)

Pontos crıticos: x = −1/e ou x = 1/e (onde g′ = 0 );

Crescente em (−∞,−1/e] e [1/e, +∞) . Decrescente em [−1/e, 0) e (0, 1/e] . Maximo

local em x = −1/e e mınimo em x = 1/e .

Concavidade para baixo em (−∞, 0) e para cima em (0, +∞) .

Assıntotas horizontais: nao possui ( limx→+∞

g(x) = +∞ e limx→−∞

g(x) = −∞ ).

Assıntotas verticais: nao possui ( limx→0

g(x) = 0 ).

120 CAPITULO 2


Questao 1) (a) ∆l ≈ ±π/90 m. (b) ln(3, 99) ≈ 1, 3838 .

Questao 2) (a) vm[0,e3 − 1

2] = 3 m/s (b) v(0) = 0 m/s ; v(

e3 − 1

2) =

4e3 − 1

e3m/s

(c) a(0) = 4 (m/s)/s. (d) limt→+∞

v(t) = +∞ e limt→+∞

a(t) = 0 .

Questao 3) (a) d′ = 25 km/h ao meio-dia. (b) S ′ = 1200 km2/h ao meio-dia.

Questao 4) (a) A area total cercada e a menor possıvel quando y =4

4 + πe o perımetro

da area quadrada e x =π

4 + πe o perımetro da area circular.

(b) A area total cercada e a maior possıvel quando toda a cerca e utilizada para cercar

uma unica area circular.

Questao 5) (a) f(x) =ex

x3

Ponto crıtico: x = 3 (f ′(3) = 0) ;

Decresc. em (−∞, 0) e (0, 3] . Crescente em [3, +∞) ; Mınimo local em x = 3 .

Concavidade para baixo em (−∞, 0) e para cima em ; (0, +∞) .

Assıntota horizontal: y = 0 , pois limx→−∞

f(x) = 0 . limx→+∞

f(x) = +∞ .

Assıntota vertical: x = 0 , pois limx→0+

f(x) = +∞ e limx→0−

f(x) = −∞ .

(b) g(x) = 3√

1− x2

Pontos crıticos: x = 0 (g′(0) = 0) , x = −1 (@ g′(−1) ) ou x = 1 (@ g′(1) ) .

Decrescente em [0, +∞) e crescente em (−∞, 0] . Maximo em x = 0 .

Concavidade para baixo em (−1, 1) e para cima em (−∞,−1) e (1, +∞) .

Inflexoes em P (−1, 0) e Q(1, 0) .

Assıntotas horizontais: nao possui ( limx→±∞

g(x) = −∞ ).

Assıntotas verticais: nao possui (g e contınua em toda a reta).

Questao 1) (a) 10% (aumento percentual aproximado no volume) (b) ln(8, 1) ≈ 2, 0919 .

Questao 2) (a) vm[0, 2] =e4 − 1

2e4m/s e v(1) =

2

em/s. vm[0, 2] < v(1) .

(b) limt→+∞

v(t) = 0 . (c) limt→+∞

s(t) = 3 . A maior distancia do objeto a posicao inicial

NAO E ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 ∀ t e limt→+∞

s(t) = 3 .

Questao 3) θ′ =1

4rad/s quando x =

√3 m.

Questao 4) h =

√3

2m e r =

√6

2m para que o volume do cilindro seja maximo.

Questao 5) (a) f(x) =2x2

1 + x2

Ponto crıtico: x = 0 (f ′(0) = 0) ;

Decrescente em (−∞, 0] e crescente em [0, +∞) . Mınimo local (absoluto) em x = 0 .

Concavidade para baixo em (−∞,−√

3/3) e (√

3/3, +∞) .

Concavidade para cima em (−√

3/3,√

3/3) .

Inflexoes em P (−√

3/3, f(−√

3/3)) e Q(√

3/3, f(√

3/3)) .

Assıntota horizontal: y = 2 pois limx→±∞

f(x) = 2 .

Assıntotas verticais: nao possui (f e contınua em toda a reta).

122 CAPITULO 2

Capıtulo 3

A Integral Definida

3.1 Motivacao

Consideremos o problema geometrico de obter area de figuras nao tao regulares como os

polıgonos da geometria classica, por exemplo. Vamos considerar inicialmente o seguinte caso:

Seja f : [a, b] → IR uma funcao contınua, com f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] .

Vamos tentar obter a area S da regiao delimitada pelas retas x = a e x = b , pelo eixo

das abscissas e pelo grafico de f :

Uma primeira estimativa (e bem “grosseira”) :

Se m e o valor mınimo absoluto de f em [a, b] e M e o valor maximo absoluto de f em

[a, b], temos:

123

124 CAPITULO 3

Refinando nossas estimativas:

Fixemos n ∈ IN . Vamos agora subdividir nosso intervalo [a, b] em n sub-intervalos de

comprimento ∆x =(b− a)

ncada um.

Para cada i = 1, 2, . . . , n , sejam mi e Mi o mınimo e o maximo absoluto de f no

i-esimo intervalo. Temos entao:

E claro que

m(b− a) ≤ m1∆x + . . . + mn∆x︸︷︷︸ ≤ S ≤ M1∆x + . . . + Mn∆x︸︷︷︸ ≤ M(b− a)

n∑i=1

mi∆xn∑

i=1

Mi∆x

(Soma inferior) (Soma superior)

Quanto maior o nosso numero n de divisoes, melhores sao as aproximacoes de S “POR

FALTA” , dadas porn∑

i=1

mi∆x , ou “POR EXCESSO” , dadas porn∑

i=1

Mi∆x .

⇓

IDEIA: fazer n →∞ (ou seja, ∆x =b− a

n→ 0 )

⇓

A expectativa e que

lim∆x→0

n∑i=1

mi∆x = S = lim∆x→0

n∑i=1

Mi∆x

A Integral Definida 125

Exemplo: Vamos calcular a area sob a curva f(x) = x2 + 1 entre x = 0 e x = 3 :

126 CAPITULO 3

3.2 Somas de Riemann e a definicao da Integral Definida

Iniciamos com a definicao de particao de um intervalo:

Definicao 3.1. Uma PARTICAO P de um intervalo fechado [a, b] e qualquer decomposicao

de [a, b] em intervalos [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], . . . , [xn−1, xn] com n ∈ IN e

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b

∆xi = xi − xi−1 e o comprimento do i-esimo intervalo [xi−1, xi] (i = 1, 2, . . . , n) .

A NORMA da particao P e o maior dos numeros ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn, indicado por ‖P‖ .

Vamos agora generalizar FORTEMENTE as ideias anteriores (repare que nao pedimos

mais que a funcao seja contınua, ou que ela seja positiva e vamos tomar uma

especie de media entre as soma inferior e a soma superior) :

Definicao 3.2. (Somas de Riemann)

Sejam f : [a, b] → IR uma funcao e P uma particao de [a, b] .

Uma SOMA DE RIEMANN de f em relacao a P e qualquer soma R(f ; P ) da forma:

R(f ; P ) =n∑

i=1

f(wi) ·∆xi = f(w1)∆x1 + f(w2)∆x2 + . . . + f(wn)∆xn

com wi ∈ [xi−1, xi] para todo i = 1, 2, . . . , n .

Definicao 3.3. (Integral Definida)

Uma funcao f : [a, b] → IR e dita INTEGRAVEL NO INTERVALO [a, b] quando existe

o limite

lim‖P‖→0

∑i

f(wi) ·∆xi

Isto significa que quando fazemos as normas das particoes tenderem a 0, as Somas de

Riemann correspondentes se aproximam tanto quanto quisermos de um numero real bem de-

terminado (o limite acima).

Este limite, quando existe, e denotado por∫ b

a

f(x) dx

e chamado a INTEGRAL DEFINIDA DE f , DE a ATE b.

Observacoes:

(A) Se c < d entao definimos:

∫ c

d

f(x) dx = −∫ d

c

f(x) dx (quando existir).

(B)

∫ a

a

f(x) dx = 0 .

(C) Mais a frente em nossos estudos, sera de FUNDAMENTAL IMPORTANCIA desen-

volvermos um sistema qua nos permita CALCULAR as integrais de uma maneira mais simples,

direta e precisa, evitando assim aproximacoes tao trabalhosas como a do exemplo anterior.

Teorema 3.1. Se f : [a, b] → IR e contınua, entao f e integravel em [a, b] .

Obs.: Funcoes descontınuas podem ser integraveis (veremos mais tarde). Apesar disso, es-

tudaremos prioritariamente o calculo de integrais definidas de funcoes contınuas nos intervalos

[a, b] de integracao.

3.3 Propriedades da Integral Definida

• Se f e integravel em [a, b] e k ∈ IR (constante), entao k · f e integravel em [a, b] e temos:∫ b

a

k · f(x) dx = k ·∫ b

a

f(x) dx

• Se f e g sao integraveis em [a, b] entao f + g e integravel em [a, b] e temos:∫ b

a

[f(x) + g(x)] dx =

∫ b

a

f(x) dx +

∫ b

a

g(x) dx

128 CAPITULO 3

• Se f e integravel em um intervalo fechado contendo a, b e c, entao:∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx +

∫ b

c

f(x) dx

• Se f e integravel em [a, b] e f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] entao∫ b

a

f(x) dx ≥ 0

Consequencia: Se f e g sao integraveis em [a, b] e f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b] entao∫ b

a

f(x) dx ≥∫ b

a

g(x) dx

• Se f (limitada) e integravel em [a, b] entao |f | e integravel em [a, b] e temos:∣∣∣∣ ∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)| dx

• Destacamos uma ultima propriedade sob a forma de um importante Teorema:

Teorema 3.2. (Teorema do Valor Medio para Integrais)

Se f e contınua em um intervalo [a, b], entao existe um numero z no intervalo aberto (a, b)

tal que ∫ b

a

f(x) dx = f(z) · (b− a)


3.4 O Teorema Fundamental do Calculo

Primitivas (Antiderivadas):

Definicao 3.4. Dada uma funcao f , uma funcao F e chamada uma PRIMITIVA (ou ANTI-

DERIVADA) DE f EM X quando F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ X .

Exemplos:

(A) f : IR → IR dada por f(x) = x .

Obs.: Se F1 e F2 sao duas primitivas para f EM UM INTERVALO, entao F1 − F2 e

constante NESTE INTERVALO.

(B) g : IR → IR dada por g(x) = x2 .

130 CAPITULO 3

(C) h : IR → IR dada por h(x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) .

(D) f : IR → IR dada por f(x) = ex .

(E) g : (0, +∞) → IR dada por g(x) =1

x.

Exercıcio: Mostre que G(x) = ln |x| e primitiva de g(x) = 1/x em IR− 0 .

(F) h : (0, +∞) → IR dada por h(x) = ln x .

(G) f : IR → IR dada por f(x) = sen x .

(H) g : IR → IR dada por g(x) = cos x .

(I) h : IR → IR dada por h(x) =1

1 + x2.

(J) f : IR → IR dada por f(x) = 2 cos 5x .

(K) g : IR− 0 → IR dada por g(x) = x2 − 3x +1

x− sen 2x .

(L) h : IR → IR dada por h(x) = e5x − 3 cos 3x .


O Teorema Fundamental do Calculo (TFC) :

Teorema 3.3. (Teorema Fundamental do Calculo - TFC) Seja f contınua no intervalo [a, b] .

PARTE I: Se a funcao G : [a, b] → IR e definida por

G(s) =

∫ s

a

f(x) dx

entao G e uma primitiva de f em [a, b].

PARTE II: Se F e uma primitiva de f em [a, b], entao∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a)

Observacoes:

• De agora em diante, vamos adotar a seguinte notacao:

F (x)]b

a= F (b)− F (a)

• O TFC e o principal resultado do nosso curso, pois constitui-se em uma “ponte” que

liga fortemente os dois assuntos estudados: derivadas e integrais.

Sua segunda parte e a FERRAMENTA que nos ajudara a calcular as integrais definidas

de uma maneira mais objetiva.

Por exemplo:

∫ 3

0

x2 + 1 dx

Demonstracao do TFC:

132 CAPITULO 3


Exemplos:

(A)

∫ 2

0

4x3 − 5 dx

(B)

∫ 3

0

|2x− 1| dx

(C)

∫ 3

1

1

x2dx

(D)

∫ e

1

1

tdt

(E)

∫ 3

1

2x3 − 4x2 + 5

x2dx

(F)

∫ π

0

sen x dx

(G)

∫ 1

0

4

1 + x2dx

(H)

∫ π

0

sen 2x dx

(I)

∫ π/3

π/4

1 + sen x

cos2 xdx

(J)

∫ −1

−5

− 2

xdx

(K)

∫ 1

0

5x dx

(L)

∫ 2

−1

e3x dx

134 CAPITULO 3

3.5 Integrais Indefinidas

O Teorema Fundamental do Calculo relaciona o calculo de integrais definidas com a busca

de primitivas (antiderivadas) de uma funcao dada.

Vamos aproveitar essa relacao para definir, de modo natural, uma nova NOTACAO para

primitivas: ∫f(x) dx = F (x) + C quando F ′(x) = f(x)

∫f(x) dx e chamada INTEGRAL INDEFINIDA DE f(x) e representa a primitiva

(antiderivada) mais geral de f .

Exemplos:

(A)

∫3x dx =

3x2

2+ C

(B)

∫1

x2dx = − 1

x+ C

(C)

∫sen x dx = − cos x + C

(D)

∫1

xdx = ln |x|+ C , x 6= 0

Observacoes:

• NAO CONFUNDA:

A integral INDEFINIDA de f(x) = F ′(x) e uma funcao:

∫f(x) dx = F (x) + C .

A integral DEFINIDA de f(x) = F ′(x) de a ate b e um numero:

∫ b

a

f(x) dx = F (b)−F (a) .

Se F ′(x) = f(x) em [a, b] temos:∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a) =

∫f(x) dx

]b

a

• Dx

(∫f(x) dx

)= f(x) e

∫Dx [F (x)] dx = F (x) + C .


3.6 Mudanca de variavel na integracao

Teorema 3.4. (Mudanca de variavel)

Se f e contınua em I ( intervalo)⊃ g ( [a, b] ) e g′ e contınua em [a, b] , temos:∫ b

a

f(g(x)) · g′(x) dx =

∫ g(b)

g(a)

f(u) du onde u = g(x)

Observacoes:

• Este resultado e aplicavel quando queremos integrar uma funcao que e a composta de

uma funcao f com uma g, multiplicada (a menos de uma constante) pela derivada de g. Sua

utilizacao esta ligada a nossa habilidade em reconhecer essa situacao !

• A notacao dx que aparece nas integrais

∫f(x) dx e justificada quando utilizamos

este Teorema no seu formato mais “pratico”.

• Este resultado tem um analogo para calculo de integrais indefinidas.

136 CAPITULO 3

Exemplos:

(A)

∫ 1

0

(x4 − 1)3x3 dx

(B)

∫ 0

−2

x2

(x3 − 2)2dx

(C)

∫ 4

1

1√x · e

√x

dx


(D)

∫2ex

1 + exdx

(E)

∫ √2/2

0

x√1− x4

dx

(F)

∫tg x dx

(G)

∫ex(1 + cos ex) dx

(H)

∫ 1

0

x · 4x2

dx

(I)

∫e1/x

x2dx

138 CAPITULO 3

Exercıcios:

A) Interpretando a integral definida como area sob o grafico de uma funcao, determine di-

retamente quais devem ser os valores das integrais definidas abaixo, sem utilizar o Teorema

Fundamental do Calculo (TFC) ou a propria definicao de integral (dada por limite de somas

de Riemann): ∫ 2

−3

(2x + 6) dx

∫ 3

0

√9− x2 dx

Faca tambem um esboco grafico de cada caso.

Obs.: Pode (e deve) “considerar” que a area de um cırculo de raio r e πr2 .

B) Pense na area sob o grafico da curva y = x2, entre x = 1 e x = 4 (faca um esboco),

ou seja,

∫ 4

1

x2 dx . Nao temos mais “figuras” tao regulares como no exercıcio anterior !

Calcule essa area de duas maneiras distintas: (i) “No braco”: dividindo o intervalo em n partes

iguais e usando retangulos inscritos ou circunscritos para aproximar a area e depois fazendo

n →∞ ; (ii) Via TFC ; Que tal ?

C) Mostre que a area sob a curva y =1

xentre x = 1 e x = e2 (faca um esboco) e igual a 2 (u.a.).

D) Calcule a area sob o grafico de f(x) =x

(x2 + 1)2entre x = 1 e x = 2.

E) Usando uma propriedade da integral definida e SEM CALCULAR as integrais, mostre que∫ 1

0

x3dx ≤∫ 1

0

x2dx e

∫ 2

1

x3dx ≥∫ 2

1

x2dx

Ilustre com um esboco e por ultimo confirme as desigualdades acima calculando as integrais.

F) OBTENHA (SEM DERIVAR a integral indefinida)

∫sec x dx = ln | sec x + tg x|+ C

Sugestao:

∫sec x dx =

∫sec x ·

[sec x + tg x

sec x + tg x

]dx e aplique uma mudanca de variaveis.

G) Mostre (de alguma forma) que temos

∫sen x cos x dx =

1

2sen 2x + C e que, por outro

lado, tambem temos

∫sen x cos x dx = −1

2cos2 x + D .

Explique como isto nao representa incoerencia alguma.


H) Uma funcao f : [−a, a] → IR e dita...

... PAR quando f(−x) = f(x) ∀x ∈ [−a, a] .

Exemplos: cos nx (n = 0, 1, 2, . . .), −3x6 + x2 − 5 ,1

1 + x2, e−x2

, etc.

... IMPAR quando f(−x) = −f(x) ∀x ∈ [−a, a] .

Exemplos: sen nx (n = 1, 2, . . .), x3 + 2x ,x

1 + x2, e−x2

sen x , etc.

Alguma observacoes e propriedades interessantes:

(1) O produto/quociente de duas funcoes pares (ou duas ımpares) e uma funcao PAR;

(2) O produto/quociente de uma funcao par por uma funcao ımpar (ou vice-versa) e uma

funcao IMPAR;

(3) O grafico de uma funcao par e simetrico em relacao ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);

(4) O grafico de uma funcao ımpar e simetrico em relacao a origem O(0, 0) (ilustre);

(5) E obvio que existem funcoes que nao sao pares nem sao ımpares: ex, x2 + x, etc.

(6) Toda funcao f : [−a, a] → IR pode ser escrita como a soma de uma funcao par com uma

funcao ımpar (tente provar).

Consideremos agora f : [−a, a] → IR , contınua (portanto integravel).

Mostre que se f e IMPAR, entao

∫ a

−a

f(x) dx = 0 .

Mostre que se f e PAR, entao

∫ a

−a

f(x) dx = 2

∫ a

0

f(x) dx .

Sugestao: Em cada caso, separe em duas integrais, faca a mudanca de variaveis y = −x

em

∫ 0

−a

f(x) dx e aplique propriedades da integral definida.

Ilustre geometricamente os resultados obtidos, relacionando-os com as propriedades (3) e

(4) acima.

Calcule:∫ π/2

−π/2

sen x cos x dx ;

∫ 1

−1

∣∣x3∣∣ dx ;

∫ 1

−1

e|x| dx ;

∫ 3

−3

x5 − 4x dx ;

∫ π/4

−π/4

sen x

cos4 xdx ;

140 CAPITULO 3

I) Calcule:

1)

∫ 3

−2

(5 + x− 6x2) dx 2)

∫ 9

1

√2r + 7 dr 3)

∫(2x + 1)2

2xdx 4)

∫sec2 5x dx

5)

∫ 1/2

−1/2

1√1− x2

dx 6)

∫ 1

0

ex

1 + e2xdx 7)

∫(e2x + e3x)2

e5xdx 8)

∫ 3

1

e−4x dx

9)

∫(3x + 1)4 dx 10)

∫ 4

−4

t5 + 2t3 dt 11)

∫x2 ctg x3 csc x3 dx 12)

∫ln x

xdx

13)

∫1

4 + 9x2dx 14)

∫ 4

1

√16x5 dx 15)

∫ 5

1

3√

2x− 1 dx 16)

∫(4t+1)(4t2+2t−7)2 dt

17)

∫xex2

dx 18)

∫1

x log10 xdx 19)

∫sen (3− 5x) dx 20)

∫ π/4

0

tg x sec2 x dx

21)

∫1

ex√

1− e−2xdx 22)

∫sec2

√x√

xdx 23)

∫x csc2(3x2+4) dx 24)

∫1− sen x

x + cos xdx

25)

∫ex

(ex + 1)2dx 26)

∫ 6

−3

|x− 4| dx 27)

∫e2x

√1− e2x

dx 28)

∫cos x√

9− sen 2xdx

29)

∫1

cos 2xdx 30)

∫x

x4 + 2x2 + 1dx 31)

∫x− 2

x2 − 4x + 9dx 32)

∫(2 + ln x)3

xdx

33) Dz

∫ z

0

(x2+1)10 dx 34)

∫x2 + x

(4− 3x2 − 2x3)4dx 35)

∫ 5

−5

x3 |x| dx 36)

∫ 2

1

s2 + 2

s2ds

37)

∫sen 2x

sec xdx 38)

∫1√

x(1 + x)dx 39)

∫ctg 6x sen 6x dx 40)

∫ 4

0

x√x2 + 9

dx

41)

∫ 5

−1

|2x− 3| dx 42)

∫ex − e−x

ex + e−xdx 43)

∫sec(1/x)

x2dx 44)

∫ π

π/6

sen x cos x dx

45)

∫(x + e5x) dx 46)

∫ π/2

0

cos x

1 + sen 2xdx 47)

∫ −1

0

x3 + 8

x + 2dx 48)

∫ex

cos exdx

49)

∫sen 2x tg 2x dx 50)

∫ 2

1

4u−5+6u−4 du 51)

∫sen xecos x+1 dx 52)

∫2x2 − 5x− 7

x− 3dx

53)

∫(csc2 x)2 ctg x dx 54)

∫sen 4x

tg 4xdx 55)

∫(1+e−3x) dx 56)

∫ 3

1

2x3 − 4x2 + 5

x2dx

57)

∫ 4

1

1√x(√

x + 1)3dx 58)

∫x22x3

dx 59)

∫sec x tg x

1 + sec2 xdx 60)

∫1

x ln xdx

61)

∫x(1− 2x2)3 dx 62)

∫ 2

3

x2 − 1

x− 1dx 63)

∫ 1

−1

(t2 − 1)3t dt 64)

∫ex tg ex dx


65)

∫1

x(ln x)2dx 66)

∫103x dx 67)

∫ 1

−1

x2 tg x dx 68)

∫2 sen x

1 + 3 cos xdx

69)

∫x√

36− x2dx 70)

∫ 4

0

√3t(√

t +√

3) dt 71)

∫e√

x

√x

dx 72)

∫tg 22x

sec 2xdx

73)

∫1√

9− 4x2dx 74)

∫x√

9− 4x2dx 75)

∫1√

e2x − 25dx 76)

∫ π/3

−π/3

ctg x dx

77)

∫xe dx 78)

∫2x

2x + 1dx 79)

∫ 1

0

e2x+3 dx 80)

∫sec2 x(1 + tg x)2 dx

81)

∫ 1

0

(2x−3)(5x+1) dx 82)

∫(ex + 1)2

exdx 83)

∫ π/2

π/6

cos2 x

sen xdx 84)

∫ 8

−8

3√

s2 +2 ds

85)

∫ 1

0

1

(3− 2v)2dv 86)

∫ex

ex + 1dx 87)

∫x2 + 1

x + 1dx 88)

∫sen x

cos2 x + 1dx

89)

∫1

x√

x4 − 1dx 90)

∫tg e−3x

e3xdx 91)

∫10x + 10−x

10x − 10−xdx 92)

∫ 2

0

x2√

x3 + 1 dx

93)

∫sen x + 1

cos xdx 94)

∫(t4−t2)(10t3−5t) dt 95)

∫(y+y−1)2 dy 96)

∫ 1

−2

1

2x + 7dx

97)

∫Dx(3x

5−7x4+2x−8) dx 98)

∫5xex dx 99)

∫sec2 x

2 tg x + 1dx 100)

∫x− 1

3x2 − 6x + 2dx

101)

∫(1+cos2 x) sen x dx 102)

∫(x+csc 8x) dx 103)

∫3√

5t + 1 dt 104)

∫ 4

0

1

x2 + 16dx

105)

∫ 2

1

x2 + 1

x3 + 3xdx 106)

∫3x

√3x + 4

dx 107)

∫ π/4

0

(1+sec x)2 dx 108)

∫ 2

2/√

3

1

x√

x2 − 1dx

109)

∫x ctg x2 dx 110)

∫1

x2 + 2x + 1dx 111)

∫ecos x

csc xdx 112)

∫1

x√

x6 − 4dx

142 CAPITULO 3


G) ex + sen ex + C H)3

2 ln 4I) −e1/x + C

• Paginas 138-141:

A)

∫ 2

−3

(2x+6) dx = 25 (area de um triangulo)

∫ 3

0

√9− x2 dx =

9π

4(1/4 de cırculo)

B) (i)n∑

i=1

(1 +

3i

n

)2

· 3

n

n→∞−→ 21 (ii)

∫ 4

1

x2 dx =x3

3

]4

1

=64− 1

3= 21

C)

∫ e2

1

1

xdx = ln |x|

]e2

1= ln e2 − ln 1 = 2 D)

∫ 2

1

x

(x2 + 1)2dx =

3

20

E) Se x ∈ [0, 1] entao x3 ≤ x2 ⇒∫ 1

0

x3 dx ≤∫ 1

0

x2 dx

Se x ∈ [1, 2] entao x3 ≥ x2 ⇒∫ 2

1

x3 dx ≤∫ 2

1

x2 dx

F)

∫sec x dx =

∫sec x ·

[sec x + tg x

sec x + tg x

]dx =

∫sec2 x + sec x tg x

sec x + tg xdx =

∫1

udu = . . .

(Mudanca de variavel: u = sec x + tg x )

G)d

dx

(1

2sen 2x + C

)=

1

2· 2 · sen x · cos x = sen x · cos x

d

dx

(− 1

2cos2 x + D

)= − 1

2· 2 · cos x · (− sen x) = sen x · cos x

Nao ha incoerencia alguma, pois funcoes deste tipo diferem por uma constante:(1

2sen 2x + C

)−(− 1

2cos2 x + D

)=

1

2

(sen 2x + cos2 x

)+ C −D =

1

2+ C −D

H)

∫ π/2

−π/2

sen x cos x dx = 0

∫ 1

−1

∣∣ x3∣∣ dx = 2

∫ 1

0

∣∣ x3∣∣ dx = 2

∫ 1

0

x3 dx =1

2

∫ 1

−1

e|x| dx = 2

∫ 1

0

ex dx = 2(e− 1)

∫ 3

−3

x5 − 4x dx = 0

∫ π/4

−π/4

sen x

cos4 xdx = 0


I) 1) − 85

22)

98

33)

2x − 2−x + 2x ln 2

ln 2+ C 4)

tg 5x

5+ D 5)

π

3

6) arc tg e− arc tg 1 7) ex +2x− e−x +C 8)e8 − 1

4e129)

(3x + 1)5

15+D 10) 0 (zero)

11) − 1

3csc x3 + C 12)

(ln x)2

2+ D 13)

1

6arc tg

(3x

2

)+ E 14)

1016

7

15)3(9 3√

9 − 1)

816)

(4t2 + 2t− 7)3

6+ C 17)

ex2

2+ D 18) ln 10 · ln |log10 x|+ E

19)cos(3− 5x)

5+ C 20)

1

221) arc cos e−x + D 22) 2 tg

√x + E

23) − 1

6ctg (3x2 + 4) + C 24) ln |x + cos x|+ D 25) − 1

ex + 1+ E 26)

53

2

27) −√

1− e2x + C 28) arc sen( sen x

3

)+ D 29)

1

2ln |sec 2x + tg 2x|+ E

30) − 1

2(x2 + 1)+ C 31)

1

2ln∣∣x2 − 4x + 9

∣∣+ D 32)(2 + ln x)4

4+ E 33) (z2 + 1)10

34)1

18(4− 3x2 − 2x3)3+ C 35) 0 (zero) 36) 2 37)

sen 3x

3+ D 38) 2 arc tg

√x + E

39)sen 6x

6+C 40) 2 41)

37

242) ln

∣∣ex + e−x∣∣+D 43) − ln |sec(1/x) + tg (1/x)|+E

44) − 1

845)

x2

2+

e5x

5+ C 46)

π

447) − 16

348) ln |sec ex + tg ex|+ D

49)1

2ln |sec 2x + tg 2x|− sen 2x

2+C 50)

43

1651) −ecos x+1+D 52) x2+x−4 ln |x− 3|+E

53) − 2 ctg x

ln 2+ C 54)

sen 4x

4+ D 55) x− e−3x

3+ E 56)

10

357)

5

36

58)2x3

3 ln 2+ C 59) arc tg (sec x) + D 60) ln |ln x|+ E 61) − (1− 2x2)4

16+ F

62) − 7

263) 0 (zero) 64) − ln |cos ex|+ C 65) − 1

ln x+ D 66)

103x

3 ln 10+ E

67) 0 (zero) 68) − 2

3ln |1 + 3 cos x|+ C 69) −

√36− x2 + D 70) 8(2 +

√3 )

71) 2e√

x + C 72)1

2ln |sec 2x + tg 2x| − sen 2x

2+ D 73)

1

2arc sen

(2x

3

)+ E

74) − 1

4

√9− 4x2 + C 75)

1

5arc sec

(ex

5

)+ D 76) 0 (zero) 77)

xe+1

e + 1+ E

144 CAPITULO 3

78)1

ln 2ln |2x + 1|+C 79)

e5 − e3

280)

(1 + tg x)3

3+D 81) − 37

682) ex+2x−e−x+E

83) −ln(2−√

3 )−√

32

84)352

585)

1

386) ln(ex+1)+C 87)

x2

2−x+2 ln |x + 1|+D

88) − arc tg (cos x)+C 89)1

2arc sec(x2)+D 90)

ln |cos e−3x|3

+E 91)ln |10x − 10−x|

ln 10+F

92)52

993) ln

∣∣∣∣sec x + tg x

cos x

∣∣∣∣+ C 94)5(t4 − t2)2

4+ D 95)

y3

3+ 2y − 1

y+ E

96)ln 3

297) 3x5 − 7x4 + 2x− 8 + C 98)

5xex

1 + ln 5+ D 99)

1

2ln |2 tg x + 1|+ E

100)1

6ln∣∣3x2 − 6x + 2

∣∣+C 101) −cos x−cos3 x

3+D 102)

x2

2+

1

8ln |csc 8x− ctg 8x|+E

103)3

20(5t + 1)4/3 + C 104)

π

16105)

ln 7− ln 2

3106)

2

ln 3

√3x + 4 + D

107)π

4+ 1 + ln(3 + 2

√2) 108)

π

6109)

1

2ln∣∣ sen x2

∣∣+ C 110) − 1

x + 1+ D

111) − ecos x + C 112)1

6arc sec

(x3

2

)+ D

Capıtulo 4

Tecnicas de integracao

4.1 Integracao por partes

Aplicavel quando temos produtos de funcoes “bem conhecidas” :

Teorema 4.1. Sejam f e g funcoes com derivadas contınuas em [a, b]. Temos:∫ b

a

f(x).g′(x) dx = f(x).g(x)]b

a−∫ b

a

f ′(x).g(x) dx

Demonstracao:

Para todo x ∈ [a, b] , temos (da Regra do Produto para derivadas):

(f.g)′(x) = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x)

Isto significa que f.g e uma primitiva para f ′.g + f.g′ em [a, b] .

Segue portanto do TFC (Parte II) que∫ b

a

[f ′(x).g(x) + f(x).g′(x)] dx = f(x).g(x)]b

a

Das propriedades da integral, temos:∫ b

a

[f ′(x).g(x) + f(x).g′(x)] dx =

∫ b

a

f ′(x).g(x) dx +

∫ b

a

f(x).g′(x) dx

Portanto: ∫ b

a

f(x).g′(x) dx = f(x).g(x)]b

a−∫ b

a

f ′(x).g(x) dx

145

146 CAPITULO 4

Observacoes:

1) De um modo “pratico”, fazemos u = f(x) e dv = g′(x) dx

(dv

dx= g′(x) ⇒ v = g(x)

)e usamos: ∫

u dv = u.v −∫

v du

2) O mesmo processo tambem funciona para integrais indefinidas.

Exemplos:

(A)

∫ 1

0

x.e2x dx

(B)

∫ln x dx

(C)

∫x2.ex dx

Tecnicas de integracao 147

(D)

∫ π

0

ex. sen x dx

(E)

∫sec3 x dx

(F)

∫ π/4

π/6

x. sec2 x dx

(G)

∫ 1

0

x3.e−x dx

(H)

∫e4x. sen 5x dx

(I)

∫ π/2

0

x. sen 2x dx

(J)

∫x.2x dx

(K)

∫ π2

0

sen√

x dx (Sugestao: faca antes a mudanca de variavel z =√

x )

(L)

∫(x + 1)10.(x + 2) dx

148 CAPITULO 4

4.2 Algumas integrais trigonometricas

Integrais imediatas:

∫sen u du = − cos u + C

∫cos u du = sen u + C

∫sec2 u du = tg u + C

∫csc2 u du = − ctg u+C

∫sec u. tg u du = sec u+C

∫csc u. ctg u du = − csc u+C

∫tg u du = − ln |cos u|+ C

∫ctg u du = ln | sen u|+ C

∫sec u du = ln |sec u + tg u|+ C

∫csc u du = ln |csc u− ctg u|+ C

(A) Potencias ımpares de sen ou cos :

- Isolamos um fator, que fica entao multiplicado por uma potencia PAR;

- Usando a relacao sen 2 + cos2 = 1 , desenvolvemos a potencia par em funcao do outro

tipo de funcao trigonometrica;

- Aplicamos uma mudanca de variavel (imediata).

Exemplos:∫cos3 x dx

∫sen 5x dx

∫cos5 3x dx

∫sen 32x dx


(B) Potencias pares de sen ou cos :

- Utilizamos as formulas sen 2x =1− cos 2x

2ou cos2 x =

1 + cos 2x

2para simplificar.

Exemplos:∫sen 4x dx

∫cos2 2x dx

∫cos6 x dx

(C) Integrais da forma

∫sen mx. cosn x dx :

- Utilizamos as (duas) tecnicas anteriores para resolver o problema.

Exemplos:∫sen 3x. cos4 x dx

∫sen 2x. cos2 x dx

∫cos4 x. sen 2x dx

150 CAPITULO 4

(D) Integrais das formas:∫sen mx. cos nx dx ,

∫cos mx. cos nx dx ,

∫sen mx. sen nx dx

- Utilizamos as conhecidas (?) formulas de transformacao de produtos em somas:

sen a. cos b =sen (a + b) + sen (a− b)

2

cos a. cos b = ? (Exercıcio)

sen a. sen b = ? (Exercıcio)

Exemplos:∫sen 3x. cos 2x dx

∫sen 5x. sen 3x dx

∫cos 2x. cos 3x dx

(E) Integrais da forma

∫tg mx. secn x dx :

- n par: tg mx. secn x = tg mx. secn−2 x. sec2 x , sec2 = 1 + tg 2 em secn−2 x e a mudanca

de variavel u = tg x ;

- m ımpar: tg mx. secn x = tg m−1x. secn−1 x. sec x. tg x , sec2 = 1 + tg 2 em tg m−1x e a

mudanca de variavel u = sec x ;

- m par e n ımpar: Tentar outras coisas, como integracao por partes, etc.

- Obs.: Tratamento analogo para integrais da forma

∫ctg mx. cscn x dx .

Exemplos:∫tg 3x. sec3 x dx

∫sec4 x dx

∫tg 3x. sec4 x dx

∫ctg 3x. csc3 x dx

∫tg 4x dx

Algumas integrais trigonometricas para exercitar:

∫ √sen x cos3 x dx

∫tg 5x. sec x dx

∫ 1

0

tg 2(πx

4

)dx

∫( tg x + ctg x)2 dx

∫sen 5x. sen 3x dx

∫tg 2x− 1

sec2 xdx

∫ π/4

0

sen 3x dx

∫sec2 x

(1 + tg x)2dx

∫sec x

ctg 5xdx


∫tg 6x dx


4.3 Substituicoes trigonometricas

Aplicaveis sobretudo a integrais envolvendo expressoes como

√a2 − x2 ,

√a2 + x2 ,

√x2 − a2 (a > 0)

Expressao envolvida Substituicao Variacao de θ (∗) Lembrete

trigonometrica

√a2 − x2 x = a. sen θ −π/2 ≤ θ ≤ π/2 cos2 = 1− sen 2

√a2 + x2 x = a. tg θ −π/2 < θ < π/2 sec2 = 1 + tg 2

√x2 − a2 x = a. sec θ θ ∈ [0, π/2) ∪ [π, 3π/2) tg 2 = sec2−1

(∗) Se a expressao envolvida esta no denominador de um quociente, devemos evitar “di-

visao por 0” .

152 CAPITULO 4

Exemplos:

(A)

∫1

x√

4− x2dx

(B)

∫1√

9 + x2dx


(C)

∫ √x2 − 1

xdx

Observacoes:

1) Podem surgir situacoes com√

a2 − x2 ,√

a2 + x2 ,√

x2 − a2 nas quais outras tecnicas

sejam mais diretas.

Exemplo: Calcule

∫x√

1 + x2dx (Sugestao: Faca a mudanca u = 1 + x2 )

2) Esta tecnica de substituicao trigonometrica tambem e usada em situacoes nas quais

aparecem a2 − x2 , a2 + x2 ou x2 − a2 .

Exemplo: Calcule

∫1

(x2 + 1)2dx (Sugestao: x = tg θ )

Exercıcio: Calcule

∫x2

√4− x2

dx

∫x√

9 + x2 dx

∫ √x2 + 1

xdx

∫1

x4√

x2 − 4dx

154 CAPITULO 4

4.4 Integrais de funcoes racionais (Fracoes Parciais)

Caso (A): Integrais da forma

∫A

(px + q)mdx (m = 1, 2, 3, . . .)

- Basta fazer a mudanca de variavel u = px+q e resolver a integral mais simples resultante.

Exemplos:∫3

(2x + 5)2dx

∫1

x− 4dx

Obs.: Nestas integrais, estamos sempre considerando valores de x tais que as funcoes

estejam bem definidas (denominadores nao-nulos, logarıtmos de numeros positivos, etc.)

Caso (B): Integrais da forma

∫Ax + B

(ax2 + bx + c)ndx (n ∈ IN), com

ax2 + bx + c irredutıvel, ou seja, sem raızes reais (∆ = b2 − 4ac < 0)

- “Completar quadrados” no denominador e obter

1

K

∫Ax + B

((αx + β)2 + γ)ndx , γ > 0

- Fazer a mudanca de variavel u = αx + β e “cair” numa integral da forma∫A′u + B′

(u2 + γ)ndu , γ > 0 ,

a qual pode ser resolvida com tecnicas anteriores.

Exemplo:∫x + 5

x2 + 6x + 13dx

Obs.: Se n ≥ 2 pode ser necessaria uma substituicao trigonometrica para resolver∫A′u + B′

(u2 + γ)ndu

Ex.:

∫1

(4x2 − 4x + 2)2dx

Caso (C): (Fracoes parciais) Integrais da forma

∫f(x)

g(x)dx , sendo

f e g polinomios tais que grau (f) < grau (g)

- Fatorando o denominador g(x) , obtemos sua decomposicao como produto de fatores dos

tipos px+ q e/ou ax2 + bx+ c (irredutıveis). Qualquer polinomio pode ser decomposto desta

forma.

- Agrupam-se os fatores repetidos, obtendo-se assim uma decomposicao em fatores dos

tipos (px + q)m e/ou (ax2 + bx + c)n .

- A cada fator do tipo (px + q)m , m ≥ 1 , correspondera uma soma de m FRACOES

PARCIAIS da forma:A1

px + q+

A2

(px + q)2+ . . . +

Am

(px + q)m

156 CAPITULO 4

- A cada fator do tipo (ax2 + bx + c)n , n ≥ 1 , ∆ = b2 − 4ac < 0 , correspondera uma

soma de n FRACOES PARCIAIS da forma:

A1x + B1

ax2 + bx + c+

A2x + B2

(ax2 + b + c)2+ . . . +

Anx + Bn

(ax2 + bx + c)n

- Desta forma, podemos decompor o quociente f(x)/g(x) numa soma de fracoes parciais

tıpicas dos casos (A) e (B) vistos anteriormente e podemos entao resolver as integrais resul-

tantes.

Exemplos:

(A)

∫6x− 9

x2 − 1dx

(B)

∫x2 + x + 2

(x + 3)(x + 1)2dx

(C)

∫5x3 − 3x2 + 7x− 3

(x2 + 1)2dx

Caso (D): Integrais da forma

∫f(x)

g(x)dx , sendo f e g polinomios

tais que grau (f) ≥ grau (g)

- Decompor f da seguinte forma: f(x) = h(x).g(x) + r(x) , com grau (r) < grau (g) .

(esta decomposicao e obtida dividindo f por g: r e o resto)

- Temos entaof(x)

g(x)=

h(x).g(x) + r(x)

g(x)= h(x) +

r(x)

g(x)

h(x) e polinomio (facil de integrar) e

∫r(x)

g(x)dx e o caso (C), pois grau (r) < grau (g) .

Exemplos:

(A)

∫x3 + 3x− 2

x2 − xdx

(B)

∫x5

(x2 + 4)2dx

(C)

∫x6 − x3 + 1

x4 + x2dx

158 CAPITULO 4

Exercıcio: Calcule∫5x− 12

x(x− 4)dx

∫2x2 − 12x + 4

x3 − 4x2dx

∫9x4 + 17x3 + 3x2 − 8x + 3

x5 + 3x4dx

∫x4 + 2x2 + 4x + 1

(x2 + 1)3dx

∫2x3 + 10x

(x2 + 1)2dx

∫x3 − 6x2 + 5x− 3

x2 − 1dx

4.5 Integrais improprias

Ate agora temos calculado integrais definidas de funcoes contınuas em intervalos limitados.

Veremos a seguir duas situacoes extraordinarias, as quais caracterizam as chamadas INTE-

GRAIS IMPROPRIAS.

1a Situacao: Integrais com limites de integracao INFINITOS:

• Seja f uma funcao contınua em [a, +∞) . Definimos∫ +∞

a

f(x) dx = limt→+∞

∫ t

a

f(x) dx (desde que exista o limite)

• Se f e contınua em (−∞, a] . Definimos∫ a

−∞f(x) dx = lim

t→−∞

∫ a

t

f(x) dx (desde que exista o limite)

Em cada um dos casos acima, as expressoes a esquerda sao chamadas INTEGRAIS IMPROPRIAS.

Quando os limites existem, dizemos que as integrais CONVERGEM. Caso contrario, dize-

mos que elas DIVERGEM.

Exemplos:

(A)

∫ +∞

1

1

x2dx


(B)

∫ +∞

1

1

xdx

(C)

∫ 0

−∞ex dx

• Se f e contınua em toda a reta, definimos:∫ +∞

−∞f(x) dx =

∫ a

−∞f(x) dx +

∫ +∞

a

f(x) dx (a ∈ IR)

dizemos que esta integral impropria CONVERGE quando ambas as integrais a direita

convergem. Caso contrario (ou seja, se qualquer uma divergir), diremos que

∫ +∞

−∞f(x) dx

DIVERGE.

Obs.: A verificacao da convergencia ou nao de

∫ +∞

−∞f(x) dx nao depende do numero a

escolhido.

CUIDADO:

∫ +∞

−∞f(x) dx nao e o mesmo que lim

t→+∞

∫ t

−t

f(x) dx !!!

Exemplos:

(A)

∫ +∞

−∞

1

1 + x2dx

160 CAPITULO 4

(B)

∫ +∞

−∞ex dx

Exercıcio: Verifique a convergencia das seguintes integrais improprias:

∫ +∞

1

1

x4/3dx

∫ 0

−∞

1

(x− 1)3dx

∫ +∞

0

x

1 + x2dx

∫ +∞

−∞

x

x4 + 9dx

∫ +∞

0

x.e−x dx

∫ +∞

1

ln x

xdx

2a Situacao:

∫ b

a

f(x) dx , f com descontinuidade infinita em [a, b] :

• Se f e contınua em [a, b) e se torna infinita em b, definimos∫ b

a

f(x) dx = limt→b−

∫ t

a

f(x) dx

• Se f e contınua em (a, b] e se torna infinita em a, definimos∫ b

a

f(x) dx = limt→a+

∫ b

t

f(x) dx

Em cada um destes casos, as expressoes a esquerda tambem sao INTEGRAIS IMPROPRIAS.

Dizemos que elas CONVERGEM quando os limites existem. Caso contrario elas DI-

VERGEM.

Exemplos:

(A)

∫ 1

0

1

xdx


(B)

∫ 1

0

1

x2dx

(C)

∫ 2

0

13√

2− xdx

(D)

∫ 1

0

ln x dx (Exercıcio)

• Se f e contınua em [a, b]− c , c ∈ (a, b) , definimos∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx +

∫ b

c

f(x) dx

Esta integral, tambem IMPROPRIA, CONVERGE quando ambas as integrais a direita

convergem. Caso contrario (ou seja, se qualquer uma divergir), diremos que

∫ b

a

f(x) dx

DIVERGE.

Obs.: CUIDADO! Nao saia aplicando diretamente o TFC se houver descontinuidade no

(interior do) intervalo de integracao!

Exemplos:

(A)

∫ 2

−2

1

(x + 1)3dx

162 CAPITULO 4

(B)

∫ 1

−1

x−2/3 dx (Exercıcio)

Exercıcio: Verifique a convergencia (e calcule o valor, quando convergir) das seguintes

integrais improprias:∫ 8

0

13√

xdx

∫ 1

−3

1

x2dx

∫ π/2

0

sec2 x dx

∫ 1

0

x. ln x dx

∫ 1

−1

x−4/3 dx

∫ 1

0

e√

x

√x

dx

∫ 2

1

x

x2 − 1dx

∫ π

0

cos x√1− sen x

dx

∫ 4

2

x− 2

x2 − 5x + 4dx

Exercıcio: Calcule:

1)

∫x sen x dx 2)

∫sec6 x dx 3)

∫1

x√

9 + x2dx 4)

∫2x4 − 2x3 + 6x2 − 5x + 1

x3 − x2 + x− 1dx

5)

∫1

x + x3dx 6)

∫ +∞

1

1

x3/4dx 7)

∫ 2

0

x

(x2 − 1)2dx 8)

∫x2e3x dx

9)

∫tg x sec5 x dx 10)

∫ 9

0

x3√

x− 1dx 11)

∫ex√

1− ex dx 12)

∫5x2 − 10x− 8

x3 − 4xdx

13)

∫x sec x tg x dx 14)

∫1

x3√

x2 − 25dx 15)

∫ +∞

−∞cos2 x dx 16)

∫x(ln x)2 dx

17)

∫cos7 x dx 18)

∫e1+ln 5x dx 19)

∫x3

√16− x2

dx 20)

∫ π/2

0

tg x dx

21)

∫ √x ln x dx 22)

∫5x2 + 11x + 17

x3 + 5x2 + 4x + 20dx 23)

∫e3x

1 + exdx 24)

∫x

(16− x2)2dx

25)

∫ +∞

3

1

x2 − 1dx 26)

∫cos3 2x sen 22x dx 27)

∫ 1

0

ln x

xdx 28)

∫e−x sen x dx

29)

∫e tg x

cos2 xdx 30)

∫4x3 − 3x2 + 6x− 27

x4 + 9x2dx 31)

∫csc4 x ctg 4x dx 32)

∫ 9

0

1√x

dx

33)

∫x

25− 9x2dx 34)

∫tg 2x sec x dx 35)

∫(ln x)2 dx 36)

∫1

x2√

x2 + 9dx

37)

∫ +∞

0

e−2x dx 38)

∫ex sec2(ex) dx 39)

∫x2 + 3x + 1

x4 + 5x2 + 4dx 40)

∫ +∞

4

1

x√

xdx

41)

∫sen 2x cos5 x dx 42)

∫arc tg x dx 43)

∫(x2 + 1) cos x dx 44)

∫ e

1/e

1

x(ln x)2dx


45)

∫sen 3x cos2 x dx 46)

∫x arc sen x dx 47)

∫1

x√

25x2 − 16dx 48)

∫x5√

x3 + 1 dx

49)

∫cos

√x dx 50)

∫ 0

−∞

1

x2 − 3x + 2dx 51)

∫x2e−4x dx 52)

∫3x3 − 12x2 − 37x− 34

(x− 6)(x− 2)dx

53)

∫ +∞

−∞

1

ex + e−xdx 54)

∫ 2

−2

1

(x + 1)3dx 55)

∫sen 2x cos x dx 56)

∫e3x cos 2x dx

57)

∫4x

(x2 + 1)3dx 58)

∫1√

4x2 − 25dx 59)

∫cos3 x√sen x

dx 60)

∫1

x ln x(ln x− 1)dx

61)

∫x3

x3 − 3x2 + 9x− 27dx 62)

∫sen (ln x) dx 63)

∫ +∞

0

cos x dx 64)

∫3

x2 − 6x + 18dx

65)

∫ 2

1

1

x√

x2 − 1dx 66)

∫x3 + 3x2 + 3x + 63

(x2 − 9)2dx 67)

∫ 1

0

x3

√x2 + 1

dx 68)

∫ π

−π

x sen 2x dx

69)

∫1

(x2 − 1)3/2dx 70)

∫2x + 3

x2 + 4dx 71)

∫ π/2

0

1

1− cos xdx 72)

∫ 2

0

1− x

x2 + 3x + 2dx

73)

∫(1+

√cos x )2 sen x dx 74)

∫tg 3x sec2 x dx 75)

∫x arc tg x dx 76)

∫ √4− x2

x2dx

77)

∫ π

0

∣∣cos3 x∣∣ dx 78)

∫ +∞

1

x

1 + x2dx 79)

∫ctg 2(3x) dx 80)

∫37− 11x

(x + 1)(x− 2)(x− 3)dx

81)

∫x(2x+3)99 dx 82)

∫(x2 − 1)2

xdx 83)

∫ 4

0

1

x2 − x− 2dx 84)

∫ π/4

−π/4

sec x tg x dx

85)

∫x4 + 2x2 + 3

x3 − 4xdx 86)

∫x2(8−x3)1/3 dx 87)

∫12x3 + 7x

x4dx 88)

∫arc sen x dx

89)

∫ 1

0

ln(1 + x) dx 90)

∫x

csc(3x2)dx 91)

∫ √9− 4x2 dx 92)

∫ +∞

1

x

(1 + x2)2dx

93)

∫x3 + 1

x(x− 1)3dx 94)

∫1

(x− 7)5dx 95)

∫sen x ln(cos x) dx 96)

∫ 1

−1

e3|x| dx

97)

∫ −1

−2

1

(x + 2)5/4dx 98)

∫ 1

0

e√

x dx 99)

∫x5 − x3 + 1

x3 + 2x2dx 100)

∫x2 ln x dx

101)

∫ π/4

0

cos x cos 5x dx 102)

∫(4 + x2)2

x3dx 103)

∫ 0

−∞xex dx 104)

∫e2x

1 + e4xdx

105)

∫ +∞

−∞xe−x2

dx 106)

∫ 1

−1

x2 sen x dx 107)

∫ 1

0

x3e−x2

dx 108)

∫sen x10cos x dx

109)

∫tg 4x cos 4x dx 110)

∫ 4

0

1

(4− x)3/2dx 111)

∫4x3 + 2x2 − 5x− 18

(x− 4)(x + 1)3dx

164 CAPITULO 4


E)sec x tg x + ln |sec x + tg x|

2+ C F)

π

4− π

√3

18+

1

2(ln 2− ln 3) G)

6e− 16

e

H)4 sen 5xe4x − 5 cos 5xe4x

41+ C I)

π

4J)

(x ln 2− 1)2x

(ln 2)2+ D K) 2π

L)(11x + 23)(x + 1)11

132+ C

• Pagina 148:∫sen 5x dx = − cos x +

2 cos3 x

3− cos5 x

5+ C

∫cos5 3x dx =

sen 3x

3− 2 sen 33x

9+

sen 53x

15+ C

∫sen 32x dx = −cos 2x

2+

cos3 2x

6+ C

• Pagina 149:∫cos2 2x dx =

x

2+

sen 4x

8+ C

∫cos6 x dx =

5x

16+

sen 2x

4+

3 sen 4x

64− sen 32x

48+ C

∫sen 2x cos2 x dx =

x

8− sen 4x

32+ C

∫cos4 x sen 2x dx =

x

16− sen 4x

64+

sen 32x

48+ D

• Pagina 150:∫sen 3x sen 5x dx =

sen 2x

4− sen 8x

16+ C

∫cos 2x cos 3x dx =

sen 5x

10+

sen x

2+ D

∫sec4 x dx = tg x +

tg 3x

3+ C

∫tg 3x sec4 x dx =

tg 4x

4+

tg 6x

6+ D

∫ctg 3x csc3 x dx =

csc3 x

3− csc5 x

5+ C

∫tg 4x dx = x− tg x +

tg 3x

3+ C


• Pagina 151:∫ √sen x cos3 x dx =

2√

sen 3x

3− 2

√sen 7x

7+ C

∫tg 5x sec x dx =

sec5 x

5− 2 sec3 x

3+ sec x + C

∫ 1

0

tg 2(πx

4

)dx =

4− π

π∫( tg x + ctg x)2 dx = tg x− ctg x + C

∫sen 5x sen 3x dx =

sen 2x

4− sen 8x

16+ D

∫tg 2x− 1

sec2 xdx = − sen 2x

2+ C

∫ π/4

0

sen 3x dx =8− 5

√2

12∫sec2 x

(1 + tg x)2dx = − 1

1 + tg x+ D

∫sec x

ctg 5xdx =

sec5 x

5− 2 sec3 x

3+ sec x + C

∫sen 4x cos2 x dx =

x

16− sen 4x

64− sen 22x

48+ C

∫sen 5x cos2 x dx = −cos3 x

3+

2 cos5 x

5− cos7 x

7+ D

∫tg 6x dx = −x + tg x− tg 3x

3+

tg 5x

5+ C

• Pagina 153:∫x2

√4− x2

dx = 2 arc sen( x

2

)− x

√4− x2

2+ C

∫x√

9 + x2 dx =

√(9 + x2)3

3+ D

∫ √x2 + 1

xdx = ln

∣∣∣∣ x√x2 + 1 + 1

∣∣∣∣+√x2 + 1 + C

∫1

x4√

x2 − 4dx =

(x2 + 2)√

x2 − 4

24x3+ D

• Pagina 158:∫5x− 12

x(x− 4)dx = 3 ln |x|+ 2 ln |x− 4|+ C

∫2x2 − 12x + 4

x3 − 4x2dx = −3 ln |x− 4|

4+

11 ln |x|4

+1

x+ C

∫9x4 + 17x3 + 3x2 − 8x + 3

x5 + 3x4dx = 4 ln |x + 3|+ 5 ln |x| − 2

x+

3

2x2− 1

3x3+ C

166 CAPITULO 4

∫x4 + 2x2 + 4x + 1

(x2 + 1)3dx = arc tg x− 1

(x2 + 1)2+ C

∫2x3 + 10x

(x2 + 1)2dx = ln(x2 + 1)− 4

x2 + 1+ C

∫x3 − 6x2 + 5x− 3

x2 − 1dx =

x2

2− 6x +

15 ln |x + 1|2

− 3 ln |x− 1|2

+ C

• Pagina 160:∫ +∞

1

1

x4/3dx = 3 (converge)

∫ 0

−∞

1

(x− 1)3dx = − 1

2(converge)

∫ +∞

0

x

1 + x2dx diverge

∫ +∞

−∞

x

x4 + 9dx = 0 (converge)

∫ +∞

0

xe−x dx = 1 (converge)

∫ +∞

1

ln x

xdx diverge

• Paginas 161-162:

161-D)

∫ 1

0

ln x dx = −1 (converge)

162-B)

∫ 1

−1

x−2/3 dx = 6 (converge)

• Pagina 162:∫ 8

0

13√

xdx = 6 (converge)

∫ 1

−3

1

x2dx diverge

∫ π/2

0

sec2 x dx diverge

∫ 1

0

x. ln x dx = − 1

4(converge)

∫ 1

−1

x−4/3 dx diverge

∫ 1

0

e√

x

√x

dx = 2(e− 1) (converge)

∫ 2

1

x

x2 − 1dx diverge

∫ π

0

cos x√1− sen x

dx = 0 (converge)

∫ 4

2

x− 2

x2 − 5x + 4dx diverge


• Paginas 162-163:

1) sen x− x cos x + C 2) tg x +2 tg 3x

3+

tg 5x

5+ D 3)

1

3ln

∣∣∣∣∣√

9 + x2 − 3

x

∣∣∣∣∣+ E

4) x2 +3 ln(x2 + 1)

2+ ln |x− 1|+C 5) − ln(x2 + 1)

2+ ln |x|+D 6) diverge 7) diverge

8)x2e3x

3− 2xe3x

9+

2e3x

27+ C 9)

sec5 x

5+ D 10)

243

10(converge) 11) − 2(1− ex)3/2

3+ E

12) 2 ln |x|+ 4 ln |x + 2| − ln |x− 2|+ C 13) x sec x− ln |sec x + tg x|+ D

14)1

250

(arc sec

( x

5

)+

5√

x2 − 25

x2

)+C 15) diverge 16)

2(x ln x)2 − 2x2 ln x + x2

4+D

17) sen x− sen 3x +3 sen 5x

5− sen 7x

7+ C 18)

5ex2

2+ D 19) − (x2 + 32)

√16− x2

3+ E

20) diverge 21)(6 ln x− 4)x3/2

9+ C 22) ln(x2 + 4) +

1

2arc tg

( x

2

)+ 3 ln |x + 5|+ D

23)(1 + ex)2

2− 2(1 + ex) + ln(1 + ex) + C 24)

1

2(16− x2)+ D 25)

ln 2

2(converge)

26)sen 32x

6− sen 52x

10+ C 27) diverge 28)

−e−x( sen x + cos x)

2+ D 29) e tg x + E

30)2 ln |x|

3+

3

x+

5 ln(x2 + 9)

3+ C 31) − ctg 5x

5− ctg 7x

7+ D 32) 6 (converge)

33) − ln |25− 9x2|18

+ C 34)sec x tg x

2− ln |sec x + tg x|

2+ D 37)

1

2(converge)

35) x(ln x)2 − 2x ln x + 2x + C 36) −√

x2 + 9

9x+ D 38) tg (ex) + E 40) 1 (converge)

39)1

2

[ln

(x2 + 1

x2 + 4

)+ arc tg

( x

2

)]+ C 41)

sen 3x

3− 2 sen 5x

5+

sen 7x

7+ D

42) x arc tg x− ln(1 + x2)

2+ C 43) (x2 − 1) sen x + 2x cos x + D 44) diverge

45)cos5 x

5− cos3 x

3+ C 46)

(2x2 − 1

4

)arc sen x +

x√

1− x2

4+ D 50) ln 2 (converge)

47)1

4arc sec

(5x

4

)+C 48)

2(x3 + 1)5/2

15− 2(x3 + 1)3/2

9+D 49) 2(

√x sen

√x+cos

√x)+E

51)(−8x2 − 4x− 1)

32e−4x + C 52)

3x2

2+ 12x− 10 ln |x− 6|+ 33 ln |x− 2|+ D

168 CAPITULO 4

53)π

2(converge) 54) diverge 55) − cos 3x

6− cos x

2+C 56)

e3x(3 cos 2x + 2 sen 2x)

13+D

57) − 1

(x2 + 1)2+ C 58)

ln∣∣2x +

√4x2 − 25

∣∣2

+ D 59) 2√

sen x− 2( sen x)5/2

5+ E

60) ln

∣∣∣∣1− 1

ln x

∣∣∣∣+ C 61) x +3 ln(x2 + 9)

4− 3

2arc tg

( x

3

)+

3 ln |x− 3|2

+ D 63) diverge

62)x( sen (ln x)− cos(ln x))

2+ C 64) arc tg

(x− 3

3

)+ D 65)

π

3(converge) 67)

2−√

2

3

66)5 ln |x + 3|

6− 3

2(x + 3)+

ln |x− 3|6

− 7

2(x− 3)+ C 68) 0 (zero) 69) − x√

x2 − 1+ D

70) ln(x2 + 4) +3

2arc tg

( x

2

)+ C 71) diverge 72) 2 ln 3− 3 ln 2 74)

tg 4x

4+ D

73) − cos x− 4(cos x)3/2

3− cos2 x

2+ C 75)

1

2

((x2 + 1) arc tg x− x

)+ D 77)

4

3

76) −√

4− x2

x− arc sen

( x

2

)+ C 78) diverge 79) − x− ctg 3x

3+ D 83) diverge

80) ln

∣∣∣∣(x + 1)4(x− 3)

(x− 2)5

∣∣∣∣+ C 81)(200x− 3)(2x + 3)100

40400+ D 82)

x2

4− x2 + ln |x|+ E

84) 0 (zero) 85)x2

2− 3 ln |x|

4+

27 ln |x2 − 4|8

+ C 86) − (8− x3) 3√

8− x3

4+ D

87) 12 ln |x| − 7

2x2+ C 88) x arc sen x +

√1− x2 + D 89) ln

(4

e

)90) − cos(3x2)

6+ E

91)9

4arc sen

(2x

3

)+

x√

9− 4x2

2+C 92)

1

2(converge) 93) ln

∣∣∣∣(x− 1)2

x

∣∣∣∣− x

(x− 1)2+D

94) − 1

4(x− 7)4+ C 95) cos x− cos x ln(cos x) + D 96)

2(e3 − 1)

397) diverge

98) 2 99) − ln |x|4

− 1

2x− 23 ln |x + 2|

4+ C 100)

x3(3 ln x− 1)

9+ D 101) − 1

12

102) − 8

x2+ 8 ln |x|+ x2

2+ C 103) − 1 (converge) 104)

arc tg (e2x)

2+ D 105) 0 (zero)

106) 0 (zero) 107)e− 2

2e108) − 10cos x

ln 10+ C 109) − cos 4x

4+ D 110) diverge

111) ln [(x− 4)2(x + 1)2]− 3

2(x + 1)2+ C

Capıtulo 5

Aplicacoes geometricas

da Integral Definida

5.1 Areas de regioes planas

E a aplicacao mais direta (imediata), pois esta diretamente relacionada com a propria

definicao da integral definida:

Problema: Seja f : [a, b] → IR contınua, com f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] .

Como calcular a area sob o grafico de f , entre x = a e x = b ?

Solucao: (Recordando...)

Iniciamos fazendo uma aproximacao atraves das Somas de Riemann.

Fazemos uma particao P do intervalo [a, b], dividindo-o em varios intervalos

[x0, x1] , [x1, x2] , . . . , [xn−1, xn]

169

170 CAPITULO 5

∆xi e o comprimento de cada intervalo [xi−1, xi] e ‖P‖ = maxi

∆xi .

Tomamos entao um ponto wi em cada intervalo [xi−1, xi] e consideramos (em cada

intervalo) o retangulo de base ∆xi e altura f(wi) , de area f(wi).∆xi .

A soma das areas desses retangulos e uma Soma de Riemann de f com relacao a P .

R(f ; P ) =n∑

i=1

f(wi).∆xi representa uma aproximacao da area A que desejamos calcular.

A area A e o limite das Somas de Riemann quando refinamos a particao P , ou seja, tomamos

mais divisoes ainda, de modo que ‖P‖ → 0 .

A = lim‖P‖→0

n∑i=1

f(wi).∆xi =

∫ b

a

f(x) dx

Exemplos:

(A) Vamos obter a area de um cırculo de raio r :

Aplicacoes geometricasda Integral Definida 171

Obs.: Se f, g : [a, b] → IR sao contınuas e f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b], a integral nos

permite calcular a AREA ENTRE OS DOIS GRAFICOS, de x = a ate x = b :

A =

∫ b

a

[f(x)− g(x)] dx

(mesmo que f ou g sejam negativas, o que importa e que f(x) ≥ g(x) em [a, b])

(B) Calcule a area delimitada pelos graficos das funcoes f(x) = x e g(x) = x2 entre x = 0

e x = 1 :

Obs.: Raciocınio semelhante pode ser feito para se obter areas delimitadas por graficos de

equacoes onde x e dado como funcao de y ( x = f(y) ).

172 CAPITULO 5

(C) Calcule a area delimitada pela curva x = −y2 + 3y e o eixo Oy das ordenadas.

(D) Refaca o exemplo (B) anterior usando o raciocınio da ultima observacao. (Exercıcio)

Exercıcios:

1) Se f(x) =2x2

(x− 4)2∀ x 6= 4 , calcule a area sob o grafico de f entre x = 0 e x = 2.

2) Se g(x) =3x

ex∀ x ∈ IR , calcule a area sob o grafico de g entre x = 0 e x = 2.

3) Qual o valor de a (a > 1) para que a regiao sob o grafico de y = 1/x entre x = 1 e x = a

tenha area igual a 5 u.a. ?

4) Mostre que, para qualquer a > 1, a area sob a curva y = 1/x2 entre x = 1 e x = a e sempre

menor do que 1 u.a.

5) Faca um esboco e calcule as areas das regioes delimitadas pelos graficos das seguintes

equacoes:

(a) y = 1/x2 , y = −x2 , x = 1 , x = 2 ;

(b) y = x2 + 1 ; y = 5 ;

(c) x = y2 ; x = 2y2 − 4 ;

(d) y = cos x ; y = sen x ; x = −π/2 ; x = π/6 ;

(e) y = e2x ; y =x

x2 + 1; x = 0 ; x = 1 ;

(f) y =x

1 + x4; x = 1 ; y = 0 ;

6) Prove que as curvas de equacoes y = x2 e x = y2 dividem o quadrado de vertices

(0, 0) , (1, 0) , (0, 1) e (1, 1) em 3 regioes de mesma area. Faca tambem um esboco.


5.2 Volumes de (alguns) solidos de revolucao

Problema: Seja f : [a, b] → IR contınua ( f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] ).

Como calcular o volume do solido de revolucao gerado quando rodamos a regiao sob o

grafico de y = f(x), entre x = a, x = b e o eixo Ox, em torno do eixo Ox ?

Solucao: Iniciamos (novamente) com uma particao P do intervalo [a, b]

Em cada intervalo [xi−1, xi] da particao, escolhemos um ponto wi e consideramos o

retangulo de base ∆xi e altura f(wi) .

Girando este retangulo (de base ∆xi e altura f(wi) ) em torno do eixo Ox, obtemos um

cilindro de volume π.f(wi)2. ∆xi :

Somando os volumes desses cilindros, temos uma aproximacao para o volume que desejamos

calcular.

174 CAPITULO 5

n∑i=1

π.f(wi)2. ∆xi = R(πf 2; P )

O volume V procurado e o limite desta soma quando ‖P‖ → 0 , ou seja, quando refinamos

a particao P :

V = lim‖P‖→0

n∑1=1

πf(wi)2∆xi =

∫ b

a

πf(x)2 dx

Obs.: Raciocınio analogo para girar x = f(y) em torno do eixo Oy !

Exemplos:

(A) Vamos obter o volume da “bola” de raio r :

Obs.: Se f, g : [a, b] → IR sao contınuas e f(x) ≥ g(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b], a integral nos

permite calcular o volume do solido obtido quando giramos a regiao entre os graficos de f e g

em torno do eixo Ox :

V =

∫ b

a

π[f(x)2 − g(x)2] dx


(B) Calcule o volume do solido de revolucao obtido quando giramos a regiao entre os graficos

de f(x) =√

x e g(x) = x (entre x = 0 e x = 1) em torno do exo Ox .

Obs.: E se quisermos girar y = f(x) em torno do eixo Oy ?

Neste caso temos um novo problema...

Problema: Seja f : [a, b] → IR contınua ( f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] ).

Como calcular o volume do solido de revolucao gerado quando rodamos a regiao sob o

grafico de y = f(x), entre x = a, x = b e o eixo Ox, em torno do eixo Oy ?

Solucao: (Metodo das cascas cilındricas)

Consideremos, como sempre, uma particao P do intervalo [a, b].

Em cada intervalo [xi−1, xi] da particao, fixemos seu ponto medio di e consideramos o

retangulo de base ∆xi e altura f(di) .

176 CAPITULO 5

Girando este retangulo (de base ∆xi e altura f(di) ) em torno do eixo Oy, obtemos uma

CASCA CILINDRICA

de volume

πx2i · f(di)− πx2

i−1 · f(di) = π(xi − xi−1) · (xi + xi−1) · f(di) = π∆xi · 2xi + xi−1

2· f(di) =

= 2π di f(di) ·∆xi

Somando os volumes dessas cascas cilındricas, temos uma Soma de Riemann da funcao

g(x) = 2πx.f(x) , a qual representa uma aproximacao para o volume que desejamos calcular.

n∑i=1

2π di f(di) ·∆xi = R(2πxf(x); P )

O volume V procurado e o limite desta soma quando refinamos a particao P , de modo que

‖P‖ → 0 :

V = lim‖P‖→0

n∑1=1

2π di f(di) ·∆xi =

∫ b

a

2πxf(x) dx

Exemplo: Calculemos o volume do solido obtido quando giramos a regiao delimitada pelo

grafico de y = f(x) =2

x, x = 1 , x = 2 e o eixo Ox , em torno do eixo Oy :


Exercıcios:

1) Utilize a integral definida para deduzir (faca um esboco) a formula do volume de um cone

circular reto com raio da base r e altura h.

2) Giramos em torno do eixo Ox a regiao delimitada por y = sec x ; x = −π/3 ; x = π/3 ;

y = 0 . Faca um esboco e calcule o volume do solido de revolucao obtido.

3) Giramos em torno do eixo Ox a regiao delimitada por y =1√x

; x = 1 ; x = 4 ; y = 0 .

Faca um esboco e calcule o volume do solido de revolucao obtido.

4) Seja R a regiao delimitada por y =1

(x− 1)(4− x); x = 2 ; x = 3 ; y = 0 .

Faca um esboco e calcule o volume do solido de revolucao obtido quando...

...giramos R em torno do eixo Ox;

...giramos R em torno do eixo Oy;

5) Giramos em torno do eixo Oy a regiao do plano delimitada por y = ln x ; y = 0 ; x = e .

Faca um esboco e calcule o volume do solido de revolucao obtido.

6) Fazemos girar em torno do eixo Ox a regiao do plano delimitada por y = tg x ; y = 0 ;

x = π/6 ; x = π/4 . Faca um esboco e calcule o volume do solido de revolucao obtido.

7) Seja S a regiao delimitada por y = sen x ; x = 0 ; x = π ; y = 0 .

Faca um esboco e calcule o volume do solido de revolucao obtido quando...

...giramos S em torno do eixo Ox;

...giramos S em torno do eixo Oy;

8) Fazemos girar em torno do eixo Ox a regiao do plano delimitada por y =1

1 + x2; y = 0 ;

x = 0 ; x = 2 . Faca um esboco e calcule o volume do solido de revolucao obtido.

9) Giramos em torno do eixo Oy a regiao do plano delimitada por y = e−x2; y = 0 ; x = 0 ;

x = 1 . Faca um esboco e calcule o volume do solido de revolucao obtido.

178 CAPITULO 5


Questao 1: (45 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:

(a)

∫ 1

0

(3x2 + 1)ex dx

(b)

∫ e

1/e

ln x cos(ln x)

xdx (c)

∫ π/3

π/6

tg θ

cos2 θdθ

(d)

∫ 1

0

2x4 − 4x3 − x2 + 3x− 7

x3 − 2x2 + x− 2dx

Questao 2: (25 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:

(a)

∫x3

√9− x2

dx (b)

∫2 sen 3θ sen 2θ dθ

Questao 3: (15 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais improprias abaixo con-

vergem ou nao e obtenha os valores das que convergirem:

(a)

∫ +∞

1

ln x

x2dx

(b)

∫ 1

0

1

x(x2 + 1)2dx

Questao 4: (15 pts) Considere a regiao R delimitada por y = 2x2 , x = 1 e y = 0 .

(a) Faca um esboco da regiao R e calcule a sua area;

(b) Faca um esboco e calcule o volume do solido de revolucao Sx obtido quando giramos a

regiao R em torno do eixo Ox ;

(c) Faca um esboco e calcule o volume do solido de revolucao Sy obtido quando giramos a

regiao R em torno do eixo Oy ;

(d) Responda: Qual dos dois solidos de revolucao (Sx ou Sy) tem o maior volume ?




(a)

∫ π/2

0

4 · e2+ln(2x+π sen x+1)

πdx (b)

∫ π/4

π/6

tg θ

sen 2θdθ

(c)

∫ (5+π)2

(5−π)2

(√

x− 5) sen (√

x− 5)

2√

xdx

(d)

∫ 1

0

2x5 + 3x4 + 2x3 + 2x2 + 2x− 1

x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1dx (Obs.: x4+2x3+2x2+2x+1 = (x+1)2(x2+1) )


(a)

∫1

(4− x2 )3/2dx (b)

∫(2 cos2 θ − 1) cos 5θ dθ



(a)

∫ 3

2

ln(3− x) dx (b)

∫ +∞

0

e−r2

r dr

Questao 4: (16 pts) Considere a regiao R delimitada por y = 2√

x , x = 1 , x = 2 e

y = 0 .






(d) Responda (mostre as contas): Qual destes solidos de revolucao (Sx ou Sy) tem o maior

volume ?

180 CAPITULO 5



(a)

∫ 1

0

[cos(πx)− 3x2 + 5 + e(2x−1)

]dx

(b)

∫ 4

1

e(√

x +1) dx (c)

∫ π/3

π/4

(1 + tg θ)2 dθ

(d)

∫ 1

0

x4 − 2x3 + 3x2 + 3

−x3 + 2x2 − x + 2dx (Obs.: −x3 + 2x2− x + 2 = x2(−x + 2) + (−x + 2) = . . . )


(a)

∫9

(x2 − 9)3/2dx (b)

∫sen 2θ · sen 2θ · cos θ

2dθ



(a)

∫ 1

0

ln x

x3dx

(b)

∫ +∞

e

1

x(ln x)3/2dx

Questao 4: (16 pts) Considere a regiao R delimitada por y = cos x , x = 0 , x =π

2e

y = 0 .







volume ?




(a)

∫ −1/e2

−1

(3− 1

x+

1

x2

)dx (b)

∫ π/3

π/6

1− sen θ

cos2 θdθ (c)

∫ 3√4

0

3

8(x3 − 2)6x2 dx

(d)

∫ 2

1

3x5 + 12x4 + 8x3 − 3x2 + 2x + 3

x3 + 4x2 + 3xdx (Obs.: x3 +4x2 +3x = x(x2 +4x+3) = . . . )


(a)

∫(1− 2 sen 2θ) cos 4θ dθ (b)

∫ √x2 + 1

(x2 + 1)3dx



(a)

∫ +∞

0

( sen t) · e−st dt (s > 0, constante)

(b)

∫ π

0

tg

(θ

2

)dθ

Questao 4: (16 pts) Considere a regiao R delimitada por y = ln x , x = 1 , x = e e

y = 0 .







volume ?

182 CAPITULO 5



(a)

∫ −1

−2

(2(x+2) − 1

x

)dx (b)

∫ π/6

π/4

cos2 θ + tg 2θ

tg θdθ

(c)

∫ √3

1

2x5 + x4 + 14x3 + 15x− 3

x4 + 3x2dx (d)

∫ e

1

x3 · ln x dx


(a)

∫2 · cos 2θ · sen 33θ dθ (b)

∫1

(1− x2)5/2dx



(a)

∫ +∞

0

t2 · e−st dt (s > 0, constante)

(b)

∫ √2

1

x

2 3√

x2 − 1dx

Questao 4: (16 pts) Considere o retangulo R delimitado pelas retas x = 0 , x = 2 ,

y = 0 , y = e2 .

(a) A curva y = ex divide R em duas regioes R1 e R2 , sendo R1 adjacente ao eixo Ox e

R2 adjacente ao eixo Oy . Faca um esboco com essas tres regioes.

(b) Qual das regioes ( R1 ou R2 ) tem a maior area ? (mostre as contas)

(c) Obtenha o volume do solido S1 obtido quando giramos a regiao R1 em torno do eixo

Ox . Faca um esboco.

(d) Obtenha o volume do solido S2 obtido quando giramos a regiao R2 em torno do eixo

Oy . Faca um esboco.

(e) Responda (mostre as contas): Qual destes solidos de revolucao (S1 ou S2) tem o maior

volume ?

1) 12− 16 ln 2 2)3e2 − 9

e23) a = e5 4)

∫ a

1

1

x2dx = 1− 1

a< 1

(1

a> 0

)

5) a)17

6b)

32

3c)

32

3d)

3 +√

3

2e)

e1 − 1− ln 2

2f)

π

8

6) A area de cada regiao e de1

3u.a.

• Pagina 177:

1) V =πr2h

3u.v. 2) V = 2π

√3 3) V = 2π ln 2

4) V0x =(3 + 4 ln 2)π

27, V0y =

10 ln 2π

35) V0y =

(e2 + 1

2

)π

6) V0x =(12− 4

√3− π)π

127) V0x =

π2

2, V0y = 2π2

8) V0x =π

2

(arc tg 2 +

2

5

)9)

(e− 1)π

e


Questao 1) a) 4e− 7 b) 0 (zero) c)4

3d) 1 +

3π

4

Questao 2) a)(9− x2)3/2

3− 9(9− x2)1/2 + C b)

cos 5θ

10− cos 3θ

3+

cos 2θ

2+ D

Questao 3) a) 1 (converge) b) diverge

Questao 4) a) AR =2

3u.a. b) VSx =

4π

5u.v. c) VSy = π u.v. d) Adivinhe !


Questao 1) a) e2(π + 6) b)ln 3

2c) 2π d)

π − 2

4

Questao 2) a)x

4√

4− x2+ C b)

sen 7θ

14+

sen 3θ

6+ D

184 CAPITULO 5

Questao 3) a) −1 (converge) b)1

2(converge)

Questao 4) a) AR =4(2

√2− 1)

3u.a. b) VSx = 6π u.v.

c) VSy =8π(4

√2− 1)

5u.v. d) VSy > VSx


Questao 1) a)e2 + 8e− 1

2eb) 2e3 c)

√3 + ln 2− 1 d)

7 ln 2− 1

2

Questao 2) a) − x√x2 − 9

+ C b)cos5 θ

5− cos3 θ

3+ D

Questao 3) a) diverge b) 2 (converge)

Questao 4) a) AR = 1 u.a. b) VSx =π2

4u.v. c) VSy = π2− 2π u.v. d) VSy > VSx


Questao 1) a)e4 + 4e2 − 3

e2b)

4√

3 − 6

3c)

32

7d)

12 + 3 ln 2 + ln 3− ln 5

2

Questao 2) a)sen 6θ

12+

sen 2θ

4+ D b)

2x3 + 3x

(x2 + 1)3/2+ C

Questao 3) a)1

1 + s2(converge) b) diverge

Questao 4) a) AR = 1 u.a. b) VSx = π(e− 2) u.v. c) VSy = π

(e2 + 1

2

)u.v.

d) VSy > VSx


Questao 1) a)1

ln 2+ ln 2 b) − ln 3

2+

1

8c)

4√

3

3+4 ln 3− 3

2ln 2+

π√

3

18d)

3e4 + 1

16

Questao 2) a)sen 2θ

2− sen 8θ

16− sen 4θ

8+ D b)

3x− 2x3

3(1− x2)3/2+ C

Questao 3) a)2

s3(converge) b)

3

8(converge)

Questao 4) b) AR1 < AR2 c) VS1 =π(e4 − 1)

2u.v. d) VS2 = π(2e2 − 2) u.v.

e) VS1 > VS2

Referencias

[1] Swokowski, Earl W., Calculo com geometria analıtica, vol. 1. Makron Books.

[2] Leithold, Louis, Calculo com geometria analıtica. Makron Books.

[3] Simmons, George F., Calculo com geometria analıtica. Makron Books.

[4] Munem, Mustafa e Foulis, David J., Calculo. Editora Guanabara Dois.

[5] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de calculo, vol. 1. Editora LTC.

185

cálculo 1 - notas de aulas

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