calcul algÉbrique -...

LES EXPRESSIONS

LITTÉRALES

CALCUL ALGÉBRIQUE

Dossier n°3 Juin 2005

Conçu et réalisé par :

Marie-Christine LIEFOOGHE

Bruno VANBAELINGHEM Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Annie VANDERSTRAELE

CALCUL ALGÉBRIQUE - Les expressions littérales - Dossier n° 3 1

C. D. R. CALCUL ALGÉBRIQUE

Apprentissage AGRIMEDIA Les expressions littérales

Objectifs :

- Lire et écrire une expression littérale - Développer, réduire et ordonner une expression littérale

Contenu :

- Rappel du vocabulaire relatif aux opérations - Vocabulaire relatif à l’algèbre - Simplification d’une expression littérale - Développement et réduction d’une expression littérale - Exercices d’application et correction


LIRE ET ÉCRIRE UNE EXPRESSION LITTÉRALE

I - Rappel : VOCABULAIRE RELATIF AUX OPÉRATIONS

Nom de l’opération Signe de l’opération Nom du résultat

ADDITION + Somme des termes

Exemple : dans l’addition suivante : 7 + 12,5 + 3 = 22,5

22,5 est la somme de 7 ; 12,5 et 3 7 ; 12,5 et 3 sont les termes de la somme

SOUSTRACTION - Différence des termes

Exemple : dans la soustraction suivante : 28 - 12 = 16

16 est la différence de 28 et 12 28 et 12 sont les termes de la différence

MULTIPLICATION x ou Produit des facteurs

Exemple : dans la multiplication suivante : 2 x 12 x 4 = 96

96 est le produit de 2 ; 12 et 4 2 ; 12 et 4 sont les facteurs de ce produit

DIVISION ou ÷ ou / Quotient du dividende par le diviseur

Exemple : dans la division suivante : 45 ÷ 9 = 5

5 est le quotient de 45 par 9 45 est le dividende et 9 est le diviseur

Définition : On appelle EXPRESSION LITTÉRALE une suite d’opérations comportant

une ou plusieurs LETTRES (associées ou non à des nombres).

Travailler avec des expressions littérales, c’est faire de l’ALGÈBRE !!!

Exemples : a + b ; 4 y ; 9 + c ; a ( 5 - d ) ; u 2 ; 3 + x …

Chapitre 1


II - VOCABULAIRE RELATIF À L’ALGÈBRE

Découvrons ce vocabulaire.

Exemples d’expressions Écritures littérales correspondantes

La somme de a et b

a augmenté de b a + b

La différence de c et e

c diminué de e c - e

Le produit de f et de g

f facteur de g f x g f . g f g

Le quotient de a par h

a sur h h

a ou a ÷ h

Le double de b 2 x b 2 . b 2 b

Le triple de c 3 x c 3 . c 3 c

La moitié de y 2

1 y

2

y

Le tiers de m 3

1 m

3

m

5 facteur de « a plus deux c » 5 ( a + 2c )

Le carré de d

d au carré d 2

Le cube de w

w au cube w 3

s à la puissance quatre s 4

L’inverse de b b

1

La racine carrée de t t

La racine cubique de n n 3

Le double du carré de r 2 x r 2 2 r 2

Abécédaire


Maintenant à vous ! Exercice 1 Lorsque cela est possible, reliez les expressions données aux écritures littérales correspondantes comme dans l’exemple proposé.

c augmenté de 4 3 g h

Le triple de b t

1

L’inverse de t c + 4

Le double de k diminué de y 3 n + 3

1 t

La différence de la racine carrée de b et de s

3

b a

Le tiers du produit de a et b 3 b

Le double du carré de d s - b

Le triple du produit de g et h 2 k - y

La somme du cube de n et du tiers de t

b - s

La racine carrée de la différence de b et s

2 d 2

Voir réponses page suivante


RÉPONSES Exercice 1 Lorsque cela est possible, reliez les expressions données aux écritures littérales correspondantes comme dans l’exemple proposé.

c augmenté de 4 3 g h

Le triple de b t

1

L’inverse de t c + 4

Le double de k diminué de y 3 n +

3

1 t

La somme du triple de n et du tiers de t

La différence de la racine carrée de b et de s

3

b a

Le tiers du produit de a et b 3 b

Le double du carré de d s - b

Le triple du produit de g et h 2 k - y

b - s

La somme du cube de n et du tiers de t

n

3 + t

La racine carrée de la différence de b et s

2 d 2

1 3


Exercice 2 Complétez le tableau suivant comme dans l’exemple proposé.

Expressions Écritures littérales correspondantes

Le carré de c diminué du double de a c 2 - 2 a

n ( b + 8 )

La différence de b et du double de c

3

c 2 + 8

Le carré de c augmenté du triple de a

3 a - 2 b

La somme de a au cube et de b

3 a c d

L’inverse de la différence de d et j

d

1 + c 3

Trois facteur de « a moins g »

4 m 2 - 3 c

Le quart du produit de a au carré et de b

2

b + 5

La racine carrée du produit de d par g au cube



RÉPONSES Exercice 2

Expressions Écritures littérales correspondantes

Le carré de c diminué du double de a c 2 - 2 a

n facteur de «n facteur de «n facteur de «n facteur de « b plus huitb plus huitb plus huitb plus huit »»»» n ( b + 8 )

La différence de b et du double de c b - 2 c Le tiers du carré de c augmenté de huitLe tiers du carré de c augmenté de huitLe tiers du carré de c augmenté de huitLe tiers du carré de c augmenté de huit ouououou

la somme du tiers du carré de c et de huitla somme du tiers du carré de c et de huitla somme du tiers du carré de c et de huitla somme du tiers du carré de c et de huit 3

c 2 + 8

Le carré de c augmenté du triple de a c 2 + 3 a

La différence du triple de a et du double de bLa différence du triple de a et du double de bLa différence du triple de a et du double de bLa différence du triple de a et du double de b 3 a - 2 b

La somme de a au cube et de b a 3 + b

Le triple du produit de a, c et dLe triple du produit de a, c et dLe triple du produit de a, c et dLe triple du produit de a, c et d 3 a c d

L’inverse de la différence de d et j j - d

1

La somme de l’inverse de d et du cube de cLa somme de l’inverse de d et du cube de cLa somme de l’inverse de d et du cube de cLa somme de l’inverse de d et du cube de c d

1 + c 3

Trois facteur de « a moins g » 3 ( a - g )

La différence du quadruple du carré de mLa différence du quadruple du carré de mLa différence du quadruple du carré de mLa différence du quadruple du carré de m

et du triple de cet du triple de cet du triple de cet du triple de c

4 m 2 - 3 c

Le quart du produit de a au carré et de b 4

1 a 2 b ou

4

b a 2

La somme deLa somme deLa somme deLa somme de

la racine carrée de la moitié de b et de cinqla racine carrée de la moitié de b et de cinqla racine carrée de la moitié de b et de cinqla racine carrée de la moitié de b et de cinq

2

b + 5

La racine carrée du produit de d par g au cube g d 3


CALCULS RELATIFS AUX EXPRESSIONS LITTÉRALES

Prenez connaissance des quelques conventions d’écriture suivantes :

2 multiplié par a ou 2 x a s’écrit 2a

a x b s’écrit ab

3 x ( c + d ) s’écrit 3 ( c + d )

( z + t ) x ( u - v ) s’écrit ( z + t ) ( u - v )

I - SIMPLIFIER UNE EXPRESSION LITTÉRALE

Simplifier une expression littérale c’est : regrouper les termes de même nature et calculer leur résultat, à savoir :

• regrouper et calculer les « nombres » avec les « nombres »,

• regrouper et calculer les termes en « xxxx » avec les termes en « xxxx »,

• regrouper et calculer les termes en « a b » avec les termes en « a b »,

• regrouper et calculer les termes en « c2 » avec les termes en « c2 »,

• regrouper et calculer les termes en « g d3 » avec les termes en « g d3 » etc…

Exemples :

Expressions littérales Regroupement des termes de

même nature (écrits dans la même couleur)

Expressions littérales simplifiées

3 x + 7 x + 8 3 x + 7 x + 8 10 x + 8

a - 5 + 6 a + 2 a + 6 a - 5 + 2 7 a - 3

4 b 2 + 9 - 7 b Pas de termes de même

nature Pas de simplification

possible

5 h 3 - 7 a h + 3 h 2 - 2 h 3 5 h 3 - 2 h 3 - 7 a h + 3 h 2 3 h 3 - 7 a h + 3 h 2

14 a c - 8 c - a c + 2 a + c 14 a c - a c - 8 c + c + 2 a 13 a c - 7 c + 2 a

- 5 g s 3 + s 3 - 6 g s 2 + 3 g s 3 - 5 g s 3 + 3 g s 3 + s 3 - 6 g s 2 - 2 g s 3 + s 3 - 6 g s 2

-12 - u + 5 u v + 7 v + 20 -12 + 20 - u + 5 u v + 7 v + 8 - u + 5 u v + 7 v

9 x 2 y + 5 x y 2 - 7 y 2 + 4 x 2 Pas de termes de même

nature Pas de simplification

possible

6 x 2 y + 3 x y 2 + 2 x 2 - x y 2 6 x 2 y + 3 x y 2 - x y 2 + 2 x 2 6 x 2 y + 2 x y 2 + 2 x 2

Chapitre 2


Maintenant à vous ! Complétez le tableau suivant comme dans l’exemple précédent :

Expressions littérales Regroupement des

termes de même nature Expressions littérales

simplifiées

4 x + 10 x + 15

a m - 3 a q + 6 a + 2 q m

4 b z + 3 c z - 2 b z + z

- 4 a 3 - 7 a h + 3 a 2 - 2 a 3

2 a + 8 y - a y + y - 14 a y

- 2 s 3 - 8 b d 3 + 16 b d 2 + b d 3

- 2 u - u 2 + 5 u v + 7 u + 20 u v 2

9 x 2 + 5 x - 7 d 2 + 4 a x 2

5 x 2 y + 8 x 2 y 2 + 12 a x 2 - a - x 2



RÉPONSES

Expressions littérales Regroupement des termes de

même nature (écrits dans la même couleur)

Expressions littérales simplifiées

4 x + 10 x + 15 4 x + 10 x + 15 14 x + 15

a m - 3 a q + 6 a + 2 q m Pas de termes de même nature Pas de simplification

possible

4 b z + 3 c z - 2 b z + z 4 b z - 2 b z + 3 c z + z 2 b z + 3 c z + z

- 4 a 3 - 7 a h + 3 a 2 - 2 a 3 - 4 a 3 - 2 a 3 - 7 a h + 3 a 2 - 6 a 3 - 7 a h + 3 a 2

2 a + 8 y - a y + y - 14 a y 2 a + 8 y + y - a y - 14 a y 2 a + 9 y - 15 a y

- 2 s 3 - 8 b d 3 + 16 b d 2 + b d 3 - 2 s 3 - 8 b d 3 + b d 3 + 16 b d 2 - 2 s3 - 7 bd 3 + 16 bd 2

- 2 u - u 2 + 5 uv + 7u + 20 uv 2 - 2 u + 7 u - u 2 + 5 uv + 20 uv 2 5 u - u 2 + 5 uv + 20 uv 2

9 x 2 + 5 x - 7 d 2 + 4 a x 2 Pas de termes de même nature Pas de simplification

possible

5 x 2 y + 8 x 2 y 2 + 12 a x 2 - a - x 2 Pas de termes de même nature Pas de simplification

possible

Très bien ! Passons à la suite !!


II - DÉVELOPPER ET RÉDUIRE UNE EXPRESSION LITTÉRALE

Développer et réduire une expression littérale c’est : effectuer les produits de facteurs indiqués puis simplifier les résultats obtenus.

Exemple 1 :

Développons l’expression suivante : 2 ( 3 + 4b ) elle se lit deux facteur de « trois plus quatre b » elle se calcule en multipliant 2 par ( 3 + 4b ) ou ( 3 + 4b ) par 2

Posons l’opération : 3 + 4 b

x 2 ____________________

6 + 8 b D’où : 2 ( 3 + 4 b ) = 6 + 8 b En résumé :

Pour multiplier une somme algébrique par un nombre, on multiplie chaque terme de cette somme algébrique par ce nombre et on additionne les résultats obtenus.

Exemple : 6 ( 3 a - 5 b + 1 ) = 18 a - 30 b + 6

Multiplier par


Maintenant à vous !

EXERCICE Développez les expressions littérales suivantes :

Expressions littérales

à développer développées

4 ( 2 a - g + 7 z )

3 a ( t + 5 h - 4 j )

- 5 ( 2 k - t + 4 y )

x ( 2 + 3 x - 5 y - 8 k )

- 6 c ( 4 q + 12 a b - 8 )



RÉPONSES Développez les expressions littérales suivantes :


à développer développées

4 ( 2 a - g + 7 z )

2 a - g + 7 z

x 4 8 a - 4 g + 28 z

4 ( 2 a - g + 7 z ) = 8 a - 4 g + 28 z

De même pour les exercices suivants :

3 a ( t + 5 h - 4 j ) 3 a ( t + 5 h - 4 j ) = 3 a t + 15 a h - 12 a j

- 5 ( 2 k - t + 4 y ) - 5 ( 2 k - t + 4 y ) = - 10 k + 5 t - 20 y

x ( 2 + 3 x - 5 y - 8 k ) x ( 2 + 3 x - 5 y - 8 k ) = 2 x + 3 x 2 - 5 x y - 8 k x

- 6 c ( 4 q + 12 a b - 8 ) - 6 c ( 4 q + 12 a b - 8 ) = - 24 c q - 72 a b c + 48 c

Très bien ! Passons à la suite !!


Exemple 2 : Développons l’expression suivante : ( b - 5 ) ( 3 a - 2 ) elle se lit « b moins cinq » facteur de « trois a moins deux » elle se calcule en multipliant ( b - 5 ) par ( 3 a - 2 ) ou ( 3 a - 2 ) par ( b - 5 ) Posons l’opération sur ce parchemin :

3 a - 2

X b - 5 _______________________________________

- 15 a + 10

3 a b - 2 b _______________________________________

3 a b - 2 b - 15 a + 10 D’où : ( b - 5 ) ( 3 a - 2 ) = 3 a b - 2 b - 15 a + 10 En résumé :

Pour multiplier entre elles deux sommes algébriques, on multiplie chaque terme de la 1ère par chaque terme de la seconde

et on additionne les résultats obtenus.

Exemple :

( 6 - 2 c ) ( 3 a - 5 b ) = 18 a - 30 b - 6 a c + 10 b c


Exemple 3 : Développons l’expression suivante : ( 4 a - 1 ) ( 5 a + 4 ) elle se lit « quatre a moins un » facteur de « cinq a plus quatre » elle se calcule en multipliant ( 4 a - 1 ) par ( 5 a + 4 ) ou ( 5 a + 4 ) par ( 4 a - 1 ) Posons l’opération sur ce parchemin :

4 a - 1

X 5 a + 4 __________________________________

16 a - 4

20 a 2 - 5 a

__________________________________

20 a 2 + 11 a - 4 D’où : ( 4 a - 1 ) ( 5 a + 4 ) = 20 a 2 + 11 a - 4 En résumé :

Pour multiplier entre elles deux sommes algébriques, on multiplie chaque terme de la 1ère par chaque terme de la seconde,

puis on additionne et on réduit les résultats obtenus.

Exemple :

( 6 - 2 c ) ( 3 c - 5 ) = 18 c - 30 - 6 c 2 + 10 c

= 18 c + 10 c - 30 - 6 c 2

= 28 c - 30 - 6 c 2

On écrit habituellement : ( 6 - 2 c ) ( 3 c - 5 ) = - 6 c 2 + 28 c - 30


Maintenant à vous !

EXERCICES Exercice 1 : Développez et réduisez les expressions littérales suivantes :


à développer développées et réduites

A = ( a + 4 ) ( b - 3 )

B = ( 6 c - 1 ) ( 2 - d )

C = ( 6 a + 8 ) ( 2 - 3 a )

D = ( 3 + 2 x ) ( - 4 x - 5 + 2 b )

E = ( 6 a 2 + 8 a ) ( 5 a - 8 )



RÉPONSES Exercice 1 : Développez et réduisez les expressions littérales suivantes :


à développer développées et réduites

A = ( a + 4 ) ( b - 3 )

A = a b - 3 a + 4 b - 12

A = - 3 a + 4 b + a b - 12

Convention 1 : on écrit les termes en suivant l’ordre

alphabétique des lettres, puis on écrit les nombres.

B = ( 6 c - 1 ) ( 2 - d ) B = 12 c - 6 c d - 2 + d

B = 12 c + d - 6 c d - 2

C = ( 6 a + 8 ) ( 2 - 3 a )

C = 12 a - 18 a 2 + 16 - 24 a

C = - 18 a 2 - 12 a + 16

Convention 2 : on écrit les termes par ordre

décroissant des puissances des lettres (ici : d’abord

les « a 2 », puis les « a », puis les nombres).

D = ( 3 + 2 x ) ( - 4 x - 5 + 2 b )

D = - 12 x - 15 + 6 b - 8 x 2 - 10 x + 4 b x

D = - 22 x - 15 + 6 b - 8 x 2 + 4 b x

D = - 8 x 2 + 6 b - 22 x + 4 b x - 15

E = ( 6 a 2 + 8 a ) ( 5 a - 8 ) E = 30 a 3 - 48 a 2 + 40 a 2 - 64 a

E = 30 a 3 - 8 a 2 - 64 a

Remarque : Ordonner une expression littérale c’est écrire cette expression en

respectant les deux conventions citées ci-dessus. Très bien ! Passons à la suite !!


Exercice 2 : Développez, réduisez et ordonnez les expressions littérales suivantes :

A = 6 x 2 + ( 3 - 2 x ) ( x - 1 ) + 2 x - 14 B = ( 9 b + 7 c - 7) ( 3 - b ) + 13 c 2 + 9 b 2 - b c + 22 C = a 2 ( 5 a + 8 ) - ( 4 a - 5 ) ( a 2 + 2 a ) + 6 a ( a 2 - 9 )

D = - 3 (- 2 x + 7 ) ( 4 x 2 + x - 1 ) - 24 x 3 + 12 x 2 - ( 50 x + 21 )

E = ( 2 x - y ) ( 5 x y - 13 ) + ( 9 x y - 1 ) ( x + 2 y ) + x 2 + 56 x 2 y 2 - 6 x 2 y

F = x + 5 ( 5 x + 3 ) ( - x + 9 ) - 6 ( x + 7 ) ( x - 7 ) + 31 x 2 - 14 x + 7

Voir réponses pages 19 et 20


RÉPONSES Exercice 2 : Développez, réduisez et ordonnez les expressions littérales suivantes :

A = 6 xxxx 2 + ( 3 - 2 xxxx ) ( xxxx - 1 ) + 2 xxxx - 14

1) développons les produits de facteurs : A = 6 x 2 + 3 x - 3 - 2 x 2 + 2 x + 2 x - 14

2) regroupons les termes de même nature : A = 6 x 2 - 2 x 2 + 3 x + 2 x + 2 x - 3 - 14

3) réduisons et ordonnons l’expression littérale : A = 4 x 2 + 7 x - 17

A = 6 x 2 + ( 3 - 2 x ) ( x - 1 ) + 2 x - 14 = 4 x 2 + 7 x - 17

Appliquons les mêmes règles pour les expressions littérales suivantes.

B = ( 9 b + 7 c - 7) ( 3 - b ) + 13 c 2 + 9 b 2 - b c + 22 B = 27 b - 9 b 2 + 21 c - 7 b c - 21 + 7 b + 13 c 2 + 9 b 2 - b c + 22 B = - 9 b 2 + 9 b 2 + 13 c 2 + 27 b + 7 b + 21 c - 7 b c - b c - 21 + 22 B = 13 c 2 + 34 b + 21 c - 8 b c + 1

B = ( 9 b + 7 c - 7) ( 3 - b ) + 13 c 2 + 9 b 2 - b c + 22 = 13 c 2 + 34 b + 21 c - 8 b c + 1

C = a 2 ( 5 a + 8 ) - ( 4 a - 5 ) ( a 2 + 2 a ) + 6 a ( a 2 - 9 ) C = 5 a 3 + 8 a 2 - ( 4 a 3 + 8 a 2 - 5 a 2 - 10 a ) + 6 a 3 - 54 a C = 5 a 3 + 8 a 2 - ( 4 a 3 + 3 a 2 - 10 a ) + 6 a 3 - 54 a C = 5 a 3 + 8 a 2 - 4 a 3 - 3 a 2 + 10 a + 6 a 3 - 54 a C = 5 a 3 - 4 a 3 + 6 a 3 + 8 a 2 - 3 a 2 + 10 a - 54 a C = 7 a 3 + 5 a 2 - 44 a

C = a 2 ( 5 a + 8 ) - ( 4 a - 5 ) ( a 2 + 2 a ) + 6 a ( a 2 - 9 ) = 7 a 3 + 5 a 2 - 44 a


D = - 3 (- 2 xxxx + 7 ) ( 4 xxxx 2 + xxxx - 1 ) - 24 xxxx 3 + 12 xxxx 2 - ( 50 xxxx + 21 )

D = - 3 ( - 8 x 3 - 2 x 2 + 2 x + 28 x 2 + 7 x - 7 ) - 24 x 3 + 12 x 2 - 50 x - 21

D = 24 x 3 + 6 x 2 - 6 x - 84 x 2 - 21 x + 21 - 24 x 3 + 12 x 2 - 50 x - 21

D = 24 x 3 - 24 x 3 + 6 x 2 - 84 x 2 + 12 x 2 - 6 x - 21 x - 50 x + 21 - 21

D = - 66 x 2 - 77 x

D = - 3 (- 2 x + 7 ) ( 4 x 2 + x - 1 ) - 24 x 3 + 12 x 2 - ( 50 x + 21 ) = - 66 x 2 - 77 x

E = ( 2 xxxx - y ) ( 5 xxxx y - 13 ) + ( 9 xxxx y - 1 ) ( xxxx + 2 y ) + xxxx 2 + 56 xxxx 2 y 2 - 6 xxxx 2 y

E = 10 x 2 y - 26 x - 5 x y 2 + 13 y + 9 x 2 y + 18 x y 2 - x - 2 y + x 2 + 56 x 2 y 2 - 6 x 2 y

E = x 2 + 56 x 2 y 2 + 10 x 2 y + 9 x 2 y - 6 x 2 y - 5 x y 2 + 18 x y 2 - 26 x - x + 13 y - 2 y

E = x 2 + 56 x 2 y 2 + 13 x 2 y + 13 x y 2 - 27 x + 11 y

E = x 2 + 56 x 2 y 2 + 13 x 2 y + 13 x y 2 - 27 x + 11 y

F = xxxx + 5 ( 5 xxxx + 3 ) ( - xxxx + 9 ) - 6 ( xxxx + 7 ) ( xxxx - 7 ) + 31 xxxx 2 - 14 xxxx + 7

F = x + 5 ( - 5 x 2 + 45 x - 3 x + 27 ) - 6 ( x 2 - 7 x + 7 x - 49 ) + 31 x 2 - 14 x + 7

F = x + 5 ( - 5 x 2 + 42 x + 27 ) - 6 ( x 2 - 49 ) + 31 x 2 - 14 x + 7

F = x - 25 x 2 + 210 x + 135 - 6 x 2 + 294 + 31 x 2 - 14 x + 7

F = - 25 x 2 - 6 x 2 + 31 x 2 + x + 210 x - 14 x + 135 + 294 + 7

F = 197 x + 436

F = x + 5 ( 5 x + 3 ) ( - x + 9 ) - 6 ( x + 7 ) ( x - 7 ) + 31 x 2 - 14 x + 7 = 197 x + 436

Fin

calcul algÉbrique -...

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