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Calcolo delle probabilità
Progetto lauree scientifiche
Università dell’Insubria
Facoltà di Matematica
Como
Paola BertoncelloNatalina Drappo
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Introduzione
alla probabilitàdefinizioni
Probabilità discreta
Variabile aleatoria
Evento elementare
Spazio campionario
in cui l’insieme dei valori assumibili dai risultati sia finito o numerabile
Analisi degli esiti di esperimenti aleatori
Grandezza i cui valori siano i possibili esiti di un esperimento
Risultato del lancio
Mano di poker
Esito di un esperimento aleatorio
Insieme degli eventi elementari
EventoSottoinsieme dello spazio
campionario
testa testa TT
TT, TC, CT, CC
TT, TC, CT
di due monete
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Probabilità classica di un evento E
_____________P(E)= Casi favorevoliCasi possibili
Proprietà
E = esce almeno una testa IEI = 3
Ω = spazio campionario del lancio di due
I Ω I = 4
P(E) = ¾monete
0≤P(E) ≤1
P(Ec)=1-P(E)
Ec= non esce alcunatesta
IEcI = 1 P(Ec) = 1/4
E כ F → P(E) > P(F)
F= esce una testa = TC, CT
IFI=2 P(F)=1/2TTCC TC
CT
ΩE
F
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Strumenti matematici per lo studio della probabilità
Disposizione semplice
Selezione ordinata di k elementi di un insieme finito di dimensione n
Elenco degli studenti seduti nella prima fila
Primi tre classificati di una gara
Problema: quante disposizioni si presentano nell’estrazione di due palline da un sacchetto che ne contiene 4 diverse?
Soluzione: 4 possibilità per la prima pallina
per ogni scelta della prima ci sono 3 possibilità per la seconda
per ogni scelta delle precedenti ci sono 2 possibilità per la terza
Numero di disposizioni semplici: 4 ·3 · 2 = 24
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Regola:
Altri esempi e relative soluzioni:
• Il numero di modi in cui disporre 4 alunni in prima fila in una classe di 25 studenti è 25 · 24 · 23 · 22 = 303600
• le possibili disposizioni dei numeri della prima cinquina della tombola sono 90 · 89 · 88 ·87 · 86 > 5 1010
Il numero di k-disposizioni semplici di n elementi è n · (n-1) ·… · (n-k+1)
Usando il fattoriale di n, definito come n!=n · (n-1) · (n-2) · ….. · 1 ottengo:
D k,n =_____n!
(n-k)!
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Disposizione con ripetizione
Elenco di k elementi ordinati di un insieme di dimensione n per cui è prevista la ripetizione
Pin del telefonoLancio di tre dadi
Problema: quanti prefissi telefonici si possono scrivere con tre cifre?
Soluzione:
9 possibilità per la prima cifra
Per ogni scelta della prima cifra ho 9 possibilità per la seconda
Per ogni scelta delle prime due cifre ho 9 possibilità per la terza
Disposizioni con ripetizione: 9 · 9 · 9 = 93
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Altri esempi e relative soluzioni:
Regola:
• Il numero di colonne possibili del totocalcio è 313 = 1594323
• il numero di targhe che si può ottenere con 4 numeri e 2 cifre finali è 104 · 262 = 6760000
Il numero di k-disposizioni con ripetizione di n elementi è D k,n = nk
… nota
• il numero di password di 8 cifre che si possono scrivere con cifre alfanumeriche maiuscole e minuscole senza caratteri speciali è (10+26x2)8
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Permutazione (semplice)
Possibile ordinamento di un insieme finito di elementi
È una n-disposizione semplice di n elementi
Ordine di arrivo ad una garaPosizione dei libri in una libreria
Problema: in quanti modi posso distribuire i 25 studenti di una classe?
Soluzione: partendo dal primo banco, per il quale ho 25 possibilità, ad ogni scelta successiva ho uno studente in meno a disposizione, per cui ho
25 · 24 · 23 · …..2 · 1 = 25!
RegolaLe permutazioni di n elementi sono Pn = n!
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Estrazioni del lotto
Combinazioni
Raggruppamenti di k elementi di un insieme di dimensione n
= possibili sottoinsiemi
Studenti interrogati
Problema: quante scelte ha un professore se interroga 4 persone in una classe di 25?
Soluzione:
Il numero di 4-disposizioni di 25 elementi è 25!/21!
Le disposizioni con gli stessi elementi in cui cambia solo l’ordine corrispondono alla stessa composizione
Il loro numero corrisponde al numero di permutazioni: sono 4!
Le combinazioni sono 25!____
21!4!
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Altri esempi e relative soluzioni:
Regola:
• Il numero di combinazioni vincenti del SuperEnalotto è
Il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di dimensione n è n!
(n-k)!k!C k,n =
______
______ 90!
84!6!
Definisco coefficiente binomiale il valore
( )n k (n-k)!k!
______n!=
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Probabilità compostadefinizioni
X, Y variabili indipendenti
A, B eventi indipendenti
I Ωx J Ωy si ha
A ∩ ∩A
P(I J) = P(I) · P(J)∩
P(A B) = P(A) · P(B)∩
Dico due variabili o due eventi indipendenti se il verificarsi del primo non influenza il verificarsi del secondo.
Ossia se tutti i possibili eventi della prima sono indipendenti dai possibili eventi della seconda
A =TT, TC B = TC, CC
X = esito lancio del primo dado Y = esito lancio del secondo dado
TT TCCCCT
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Regole
con E ∩ F = Φ ho
Dati due eventi E e F
P(E F) = P(E) + P(F) - P(E∩F)
∩
P(E F) = P(E) + P(F)
∩
TTTTTC
TCC
CCC
CTT
TCT
CTC
CCT
E
FΩ
E = esattamente due teste
F = la prima è testa
E = esattamente due teste
F = esattamente una testa
CTC
CCT
TCC
TTT
CCCCTT
TCT
TTC
Ω
FE
Nota: nel caso di tre eventi
P(E F G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E∩F) - P(E∩G) - P(F∩G) +
∩ ∩
+ P(E∩F∩G)
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Diagramma ad albero
struttura di oggetti (foglie) e collegamenti (rami) orientati
Ogni foglia può discendere da un solo predecessore(padre)
Ad ogni foglia possono seguire diversi oggetti (figli)
Lancio di tre dadiT C
T CT C
VV
T C
V V V V
T C T C T C
I possibili esiti si trovano percorrendo tutti i rami dalla radice alla cima
Si consideri un evento costituito da eventi elementari che siano fasi successive di un esperimento
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Principio di moltiplicazione
Sia E l’evento che si ottiene percorrendo un ramo dell’albero dalla radice alla cima ed ei gli eventi elementari corrispondenti alle foglie del percorso di E
P(E) = P(ei)
Probabilità di un codice alfanumerico del tipo aabc con a:±1 b:cifra c:lettera
1 -1 ½
1 -1 -1 1 ½
0 1 2 3 … 9 1/10
a b … yw z 1/26
P(-1,1,9,y)= ½ ½ 1/10 1/26
=
···
__1
1040
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Probabilità condizionata
e inversaP(F|E) = Probabilità che l’evento F si realizzi nell’ipotesi
che l’evento E si sia già realizzato
F = due esiti su tre sono testaE = il primo esito è testa
P(F)=3/8 P(F|E)=2/4
TTTTTC
TCC
CCC
CTT
TCT
CTC
CCT
E
FΩ
TTCTCT
E
F
= Ω
TCC
TTT
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RegolaP(F|E)=
P(F∩E)P(E)
_______
Nota:
F è indipendente da E se (def.) P(F|E) = P(F)
se sostituisco trovo P(E) · P(F) = P(E∩F)
P(F∩E)=2
Riferendosi all’esercizio precedente
P(E)= 4 P(F|E)= 2/4
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Problema della probabilità inversa
Problema:
L’urna I contiene 3 palline rosse e 2 blu, l’urna II contiene 1 pallina rossa e 1 blu. Pesco ad occhi chiusi una pallina rossa: Quale è la probabilità che provenga dall’urna 1?
Soluzione Uso il diagramma ad albero:r
b
Evento elem.
P(e1)
½
½
I
IIr
b
2/5
3/5
½
½
3/10
1/5
1/4
1/4
P(b)=9/20
P(r)=11/20
Costruisco il diagramma inverso:
P(e2) P(Ei) i=1…4
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b
r
I
II
II
I
9/20
11/20
x = 4/9
5/9
6/11
5/11
Come trovare x : la probabilità dei rami equivalenti dei due alberi è uguale, quindi:
9/20 · x = P(E2) = 1/5
3/10
1/5
1/4
1/4
P(b∩I)P(b) P(I|b)
Il problema corrisponde alla ricerca della probabilità dell’urna I condizionata all’aver pescato b
P(II|r) = 5/11
P(I|r) = 6/11
P(II|b) = 5/9
P(I|b) = 4/9
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Formula di Bayes
Problema:
Si consideri un esperimento in due fasi e si voglia calcolare la probabilità di un evento elementare Hi al primo stadio nota la probabilità dell’evento E al secondo stadio
Regola
P(Hi|E) = ________________P(E|Hi) · P(Hi)
Σ P(E|Hk) · P(Hk)
m
k 1
= __________P(E|Hi) · P(Hi)
P(E)
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Probabilità discreta
e continuadefinizioni
Dato uno spazio campionario discreto Ω
def. probabilità su Ω una qualsiasi funzione
P : Ω [0,1]
che soddisfi
P(Ω) = 1
P( Ak) = P(Ak)
1kUk
1
*
* Finito o numerabile
1)
2)
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Probabilità classica Ω finito o numerabile con Ω = wi
IΩI = dimensione (o la cardinalità) di Ω
P(E) = IEIIΩI___ E Ω
Aכ
definizione equivalente alla probabilità classica:
Sia m(x) una funzione m : Ω [0,1]
con
P(Ω) = 1
x
m(x) =1
detta funzione di distribuzione di Ω
Sia E un sottoinsieme di Ω
definisco P(E) := m(x) Ex
P : Ω [0,1]
con
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Le proprietà sono quelle già viste
. le trasmettiamo dagli insiemi agli elementi
per il caso numerabile le somme diventano serie
studio della convergenza
(esistenza di una somma finita)
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X = lunghezza della corda di una circonferenza unitaria
Ω = ( 0,2] Si voglia P(E) con E = ( ,2]3
Scelgo un sistema di coordinate per il punto medio: rettangolari del con origine nel centro della circonferenza
M: (x,y) (x,y) [-1,1] x [-1,1] con x2 +y2 ≤ 1
L’Hp corrisponde a X ≥ lato del triangolo equilatero .
M è interno alla circonferenza di raggio ½
Caso continuo
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Nota:
Se ho uno spazio campionario sottoinsieme di IR2 e ipotizzo che tutti i suoi punti siano equiprobabili
posso associare ad una superficie una probabilità equivalente alla sua area
P(E) = =1/4 ______π(½)2
π(1)2
Paradosso di Bertrand:
P(E) =
1/4
1/2
1/3
M:(ρ;θ)
M:(x;y)
A:(1;α) B:(1;β)
Nota: Area e integrale
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definizione F(x) funzione di distribuzione cumulativa di X se
)),((:)(:)( xPxXPxFX IRIRxFX :)(
Proprietà
)(xFX è monotona non decrescente
0)(lim
xFx X 1)(
lim
xF
x X
)(xFX è continua da destra:
)()(lim
tFxFtx XX
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definizione
f(x) funzione di densità di X se f: IR IR e vale
P(a ≤ x ≤ b) =b
a
dxxf )( ba, IR
Scelta la variabile X non è detto che esista f(x)
+
f(x) non è una probabilità.
P(X E) = E
dxxf )( purché l’integrale esista
Proprietà
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Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(x)
Teorema
Rappresenta la funzione di distribuzione cumulativa di X,
x
dttfxF )()(
e si ha )()( xfxFdx
d
Da ciò potremmo introdurre un diversa
definizione di funzione densità: f: IR IR +
x
xFdttf )()( 1)(
dxxf
t.c.
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Esempi significativi di distribuzioni e densità
Distribuzione uniforme discreta
Sia X una variabile aleatoria con spazio campionario Ω di dimensione n
La distribuzione è rappresentata dalla funzione m(x) = 1/n = costante
continuaDistribuzione uniforme
Attenzione!
Sia Ω numerabile e m(x) = costante
E
dxxm )( diverge
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Funzione di densità gaussiana
fx =______1
2
2
2
2
)(
x
e
012
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FINE