cad/cam/cnc & rô-bốt

07/11/12

1

CAD/CAM/CNCCAD/CAM/CNC

Giới thiệu về CAD

• CAD (Computer-aided Design)

–Thiết kế có sự trợ giúp của máy tính

–Thiết kế ở đây được hiểu là vẽ chi tiết hoặc sản phẩm bằng máy vi tính dưới dạng 2D hoặc mô hình hóa ở dạng 3D

Định nghĩa khác về CAD

• Computer-aided design (CAD), còn được hiểu là computer-aided design and drafting(CADD) là việc sử dụng máy tính để hỗ trợ việc xây dựng (sáng tạo), chỉnh sửa, phân tích và tối ưu hóa thiết kế.

• Thiết kế có sự trợ giúp của máy tính là quá trình tạo ra các bản vẽ kỹ thuật bằng cách sử dụng các phần mềm máy tính.

Computer aided Design is a sub-process of Design process

CAD Technology = Design Techniques + Computers (HWare+SWare)

Mô hình hóa hình học

Đồ họa máy tính

Thiết kế kỹ thuật

CAD Systems

A CAD system consists of three major parts:

1. Hardware: computer and input/output devices.

2. Operating system software.

3. Application software: CAD package.

Application

software

Graphics

utility

Devices

drivers

Input-output

devices

User

interface

Database

(CAD

model)

Basic structure of a CAD system

07/11/12

2

Kết quả của CAD

• Sản phẩm hay còn gọi là đầu ra của CAD sẽ là các file bản vẽ điện tử chứa các dữ liệu về hình học để phục vụ cho việc in ấn bản vẽ hoặc phục vụ việc tạo ra dữ liệu cho quá trình gia công chế tạo

• CAD không chỉ bao gồm vấn đề mô tả hình học. Tương tự như các bản vẽ kỹ thuật vẽ bằng tay, đầu ra của CAD còn phải chuyển tải thêm các thông tin khác như vật liệu, kích thước và dung sai

Lợi ích của CAD1. Tăng năng suất thiết kế,

– Automation of repeated tasks

– Insert standard parts (e.g. fasteners) from database

2. Hỗ trợ việc sửa đổi thiết kế dễ dàng

3. Nâng cao chất lượng và độ chính xác bản vẽ

4. Cải hiện việc trao đổi thông tin,

– Giữa các nhóm (kỹ sư) thiết kế, chế tạo và nhà cung cấp

– Với các ứng dụng khác như CAM, FEM, CAE

– Marketting, trình bày sản phẩm

5. Tạo ra cơ sở dữ liệu phục vụ cho quá trình gia công chế tạo sau này.

Ứng dụng của CAD

1. CAD được sử dụng rộng khắp trong nhiều lĩnh vực công nghiệp, bao gồm công nghiệp ô-tô, tàu thủy, hàng

không, kiến trúc, y học, nha khoa v.v…

2. CAD cũng được sử dụng để sản xuất hoạt hình hoặc các hiệu ứng đặt biệt trong phim ảnh và quảng cáo.

Ví dụ về một bản vẽ CAD 2D

Ví dụ về các mô hình 3DCác mốc lịch sử quan trọng của các

phần mềm CAD thương mại hiện đại• 1981:

– Solid modelling packages -Romulus (ShapeData) and Uni-Solid (Unigraphics)

– Surface modeler CATIA (Dassault Systemes)

• 1982

– Autodesk was founded 1982 by John Walker, which led to the 2D system AutoCAD.

• 1988

– Feature-based modeling methods and parametric linking of the parameters of features Pro/ENGINEER

• Mid-range packages such as SolidWorks in 1995, Solid Edge(then Intergraph) in 1996 and Autodesk Inventor in 1999.

07/11/12

3

Các công cụ CAD hỗ trợ quá trình thiết kế

Giai đoạn (pha) thiết kế Các công cụ CAD yêu cầu

Thiết kế ý tưởng (phác thảo) Geometric modeling techniques;

Graphics aids; manipulations; and

visualization

Mô hình hóa và mô phỏng Same as above; animation; assemblies;

special modeling packages.

Phân tích Analysis packages; customized

programs and packages.

Tối ưu Customized applications; structural

optimization.

Đánh giá, thẩm tra Dimensioning; tolerances; BOM; NC.

Lập tài liệu (hồ sơ) thiết kế Drafting and detailing…

Quy trình chung khi mô hình hóa bằng CAD

Giới thiệu (định nghĩa) về CAM• CAM (Computer-aided Manufacturing) Gia công,

chế tạo, sản xuất có sự trợ giúp của máy tính

• Theo nghĩa hẹp và thông dụng nhất, CAM là sử dụng máy tính để điều khiển máy công cụ và các máy móc có liên quan nhằm gia công các chi tiết.

• Theo nghĩa rộng, CAM là sự sử dụng hệ thống máy tính để lập kế hoạch sản xuất, quản lý, và điều khiển hoạt động của một nhà máy SX bằng cách trực tiếp hoặc gián tiếp tác động lên các trang thiết bị máy móc trong nhà máy

Định nghĩa khác về CAM

• Nếu theo nghĩa hẹp, CAM là một quá trình tiếp nối sau CAD và đôi khi là CAE,

khi mà sản phẩm tạo ra từ CAD được phân tích, tính toán, kiểm tra rồi nhập vào các phần mềm CAM,

sau đó điều khiển máy công cụ CNC để gia công

Các bước trong CAM(theo nghĩa rộng)

Mô hình hóa hình học

Trao đổi dữ liệu

Lập kế hoạch sản xuất

Chương trình gia công

Kiểm tra

Lắp ráp Đóng gói

Một ứng dụng của CAM:Từ mô hình CAD đến sản phẩm trong công nghệ

khuôn mẫu

Mô hình CAD

Tạo lòng khuôn và Phân khuôn

Tao đường chạy dao và công ảo nhờ CAMGia công thật trên

máy phay CNC

07/11/12

4

Các phầm mềm CAM thuộc top 10 năm 2010

1. Cimatron (4.1%) with GibbsCAM

2. CNC Software (3.3%) with Mastercam

3. C&G Systems (3.7%)

4. Dassault Systèmes (18%) with CATIA

5. Delcam (7.5%) with PowerMILL

6. Open Mind (3.8%) with HyperMill

7. Planit (6.3%) with Edgecam

8. PTC (4.6%) with Pro/E

9. Siemens PLM Software (12.1%) with NX

10. Tebis AG (4.4%) with Tebis

11. Nguồn: http://www.cimdata.com/news_events/press_release.html?press_release_ID=99

Sự tích hợp của CAD/CAM

• Thiết kế và chế tạo có sự trợ giúp của máy tính CAD-CAM thường được gắn liền với nhau (tích hợp)

• The CAM Process is a subset of Manufacturing Process

• Integration of CAD and CAM leads to automation

Định nghĩa CAD/CAM dựa vào cấu thành

Mfg tools

Networking

Design tools

Geometric

modeling

Computer

graphics

concepts

CAD/CAM

tools Mô hình hóa hình học

Công cụ thiết kế

Đồ họa máy tính

Mạng truyền thông

Công cụ chế tạo

The Product Cycle and CAD/CAM

• Để hiểu rõ hơn về phạm vi ứng dụng và

định nghĩa của CAD/CAM trong môi

trường kỹ thuật, đồng thời xác định các

công cụ có liên quan

⇒ ta cần nghiên cứu một chu kỳ sản xuất

điển hình (Product cycle)

The Manufacturing Process

The Design Process

Synthesis Analysis The CAD Process

The CAM Process

Design

needs

Design

definitions,

specifications,

and requirements

Collecting

relevant design

information and

feasibility study

Design

conceptualization

Design

modeling and

simulation

Design

analysis

Design

optimization

Design

evaluation

Design

documentation and

communication

Process

planning

Order

materials

Design and

procurement of

new tools

Production

planning

NC, CNC, DNC

programming

ProductionQuality

control

Packaging

Marketing

Shipping

Typical Product Life Cycle Minh họa Quá trình thiết kế

07/11/12

5

Implementation of a Typical CAD Process on a

CAD/CAM system

Phác họa hình

dáng

Chuyển đổi phác

họa

Mô hình hình học

Phân tích

Bản vẽ chi tiết

Tài liệu thiết kế

To CAM Process


và giao tiếp giữa

các mô-đun

Thay đổi thiết kế

Implementation of a Typical CAM Process on a

CAD/CAM system

Mô hình hình học


và gia tiếp

Lập kế hoạch sản xuất

Kiểm tra

Lắp ráp

Đóng góp

Giao hàng đến thị trường

NC programs

Ưu điểm của các hệ thống CAD/CAM

1. Linh hoạt hơn

2. Rút ngắn thời gian thiết kế + chuẩn bị sản xuất + sản

xuất (lead time)

3. Giảm chi phí đầu tư

4. Tăng năng suất

5. Cải thiện dịch vụ khách

hàng

6. Tăng chất lượng SP

7. Cải thiện mối giao tiếp

với nhà cung cấp phụ tùng

8. Thiết kế SP tốt hơn

9. Điều khiển sản xuất

tốt hơn

10. Hỗ trợ tích hợp

11. Giảm giá thành

12. Giảm số lượng máy

công cụ13. Giảm không gian nhà

xưởng

Giới thiệu về sản xuất• Sản xuất là biến các chi tiết đã được thiết kế thành sản phẩm

vật lý (sản phẩm thật)

• Một số tiêu chí để đánh giá quá trình sản xuất:

– Chất lượng• Có đáp ứng yêu cầu kỹ thuật không?

– Năng suất• Bao nhiêu sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian?

– Giá thành• Giá của mỗi sản phẩm

• Số tiền đầu tư cho máy móc và trang thiết bị dụng cụ?

– Độ linh hoạt• Chúng ta có thể sản xuất sản phẩm nào khác với trang thiết bị

hiện có?

• Mất bao nhiêu thời gian để tái cơ cấu lại quy trình sản xuất?

Sơ đồ của một nhà máy đơn giản

Nguyên vật liệu

Năng lượng

Phụ tùng cung cấp

Lao động

Vốn

Phế phẩm

Chất thải

Sản phẩm

đạt yêu cấu

07/11/12

1

ĐỒ HỌA VI TÍNHĐỒ HỌA VI TÍNH

Computer graphics

Khái niệm

1. Đồ họa máy tính (Computer Graphics ) là đồ họa được tạo bởi máy tính, nói cách khác là sự thao tác và biểu diễn dữ liệu ảnh bằng máy tính

2. Đồ họa máy tính là một khoa học liên ngành máy tính và các kỹ thuật khác cung cấp một phương thức tương tác giữa con người và máy tính thông qua màn hình.

3. Đồ họa máy tính liên quan đến việc tạo các mô hình 2 chiều, 3 chiều, phối cảnh và tô bóng để mang lại sự biểu diễn trực quan các vật thể, phong cảnh, hoạt hình, mô phỏng và thực tế ảo.

Các kỹ thuật đồ họa

• Đồ họa véc-tơ (vector graphics)

• Đồ họa mành (raster graphics)

Đồ họa véc-tơ• Đồ họa vector sử dụng các đối tượng hình học

cơ bản như điểm, đường thẳng, đường cong hoặc đa giác, đường tròn, elip dựa vào các công thức toán học để biểu diễn hình học.

• Đồ họa vector dựa trên các hình ảnh được tạo bởi các vector (còn được gọi là các đường hoặc nét) được định nghĩa bằng các điểm điều khiển. Mỗi điểm đều có tọa độ x và y trên mặt phẳng làm việc và hướng của vector (còn gọi là track). Mỗi track có thể được gán cả màu sắc, hình dáng, độ dày nét và nền tô bên trong hình.

Đồ họa véc-tơ

• Ảnh vector khi zoom to không bị nứt nét hoặc nhòe và không ảnh hưởng đến kích thước của file dữ liệu bởi vì các thông tin được lưu dưới dạng cấu trúc chứ không phải điểm ảnh như đồ họa mành (raster graphics)

• Khi in ấn, các file đồ họa vector được in dưới dạng ảnh bitmap sau khi chuyển từ dạng vector sang bitmap.

• Các phần mềm CAD đều dùng đồ họa vector

Ví dụ về thông tin để vẽ hình tròn

For example, consider a circle of radius r. The main pieces of information a program needs in order to draw this circle are

1. an indication that what is to be drawn is a circle

2. the radius r

3. the location of the center point of the circle

4. stroke line style and color (possibly transparent)

5. fill style and color (possibly transparent)

07/11/12

2

Đồ họa mành (raster graphics)

• Ảnh đồ họa mành, còn gọi là ảnh bitmap, là tập hợp một ma trận điểm biểu diễn trong khung lưới pixel hay còn gọi và các điểm ảnh trong một hình chữ nhật. Ảnh này có thể nhìn thấy được thông qua các thiết bị như màn hình, giấy hoặc các phương tiện biểu diễn hình ảnh khác.

• Ảnh vector chứa trong các file ảnh với rất nhiều định dạng khác nhau như bmp, jpeg, tga, tiff, png…

• Thuật ngữ raster xuất phát từ tiếng La-tinh có nghĩa là quét, có nguồn gốc áp dụng cho cách quét ảnh của ống phóngđiện tử CRT của màn hình CRT. Ảnh được vẽ bằng cách quét từng đường thẳng các chùm điện tử điều khiển (lái) bằng từ trường.

Ưu điểm của đồ họa vector so với đồ họa mành

1. Dung lượng của file ảnh vector nhỏ hơn dung lượng của file ảnh bitmap.

2. Khi zoom to ảnh với tỉ lệ rất lớn, độ nét và độ trơn tru của các đối tượng như đường thẳng, cung tròn vẫn được giữ nguyên. Độ dày nét của các đường không tăng lên một cách tỉ lệ khi zoom to

3. Các tham số của đối tượng ảnh có thể chỉnh sửa sau này (dễ dàng thực hiện các thao tác di chuyển, tỉ lệ, xoay và tô màu)

4. Với ảnh phối cảnh 3D, tô bóng bằng ảnh vector cho hình ảnh chân thực hơn

Phương pháp vẽ đường thẳng Phương pháp vẽ đường thẳng trong đồ họa máy tínhtrong đồ họa máy tính

Thuật toán đồ họa DDA(Digital differential analyzer)

• Trong đồ họa máy tính, phần cứng hoặc phần mềm thực hiện phép phân tích vi phân số DDA được dùng để nội suy tuyến tính và biểu diễn đoạn thẳng cho bởi điểm đầu và điểm cuối.

• Cách đơn giản nhất của thuật toán DDA nội suy tuyến tính các giá trị trong khoảng [(xstart, ystart), (xend, yend)] bằng cách tính xi trong phương trình xi

= xi−1+1/m, yi = yi−1 + m, trong đó Δx = xend − xstart

and Δy = yend − ystart và m = Δy/Δx

Thuật toán DDA

X

Y

Pend

Pstart

Xstart Xend

Ystart

Yend

∆X

∆Y

Một đường thẳng có thể biểu diễn bằng phương trình:y = mx + c (1)Trong đó hệ số góc (2)

Và hằng số c = ys – mxs (3) Trong thực tế nội suy sử dụng phần cứng, người ta không dùng 3 phương trình trên mà dùng thuật toán DDA. Thuật toán phân tích vi phân số DDA cho phép tốc độ tính toán rất nhanh

se

se

xx

yym

−

−=

Vi phân phương trình (1) ta được:dy = m dx, thuật toán DDA như sau:Xét đường thẳng có hệ số góc m dương và m<1. Chọn dx=1, lúc đó các giá trị của y được tính một cách tuần tự liên tiếp:yk+1 = yk +m (4)Nếu m >1, đảo ngược vai trò của x thành y, chọn dy=1, khi đóxk+1 = xk +1/mKhi tính toán, các giá trị của x và y được làm tròn thành số nguyên vì tọa độ pixel không thể là số lẻ thập phân.

Ví dụ DDA• Nội suy một đoạn thẳng có:

– Điểm bắt đầu (10,20)mm

– Điểm kết thúc (100,80) mm

Biểu diễn đoạn thẳng này trên một màn hình có kích thước 300x250mm có độ phân giải là 640x480 pixel

Giải:

Tính hệ số phóng đại (hoặc thu nhỏ) theo phương x và y:

xs= 640/300 = 2.133 pixel/mm

ys= 480/250 = 1.920 pixel/mm

Để biểu diễn được toàn bộ đường thẳng trong màn hình, chọn độ phóng đại bé 1.920 pixel/mm

- Chuyển tọa độ điểm đầu và điểm cuối của đoạn thẳng thành tọa độ pixel

- Điểm đầu: (10*1.92,20*1.92) = (19,38)

- Điểm cuối: (100*1.92,80*1.92) = (192,154)

- Tính ∆x = 192 -19 =173

- Tính ∆y = 154 -38 = 116

- Tính m = ∆y/∆x = 116/173 = 0.671

- Vì m < 1 nên chọn gia số dx =1 và áp dụng công thức yk+1 = yk +m

(Ta có thể lập bảng tính, cho x lần lượt tăng 1 đơn vị và tính lần lượt yk

07/11/12

3

Ví dụ tính toánx y tính toán y làm tròn

19 38.671 39

20 39.341 39

21 40.012 40

22 40.682 41

23 41.353 41

24 42.023 42

25 42.694 43

26 43.364 43

… … …

43

42

41

40

39

19 20 21 22 23 24 25 26

Lưới pixelĐoạn thẳng được biểu

diễn (đoạn đầu)

Các thuật toán đồ họa khác thay thế cho DDA

• Bresenham's line algorithm is an algorithm for line rendering.

• Xiaolin Wu's line algorithm is an algorithm for line anti-aliasing

Hiệu ứng bậc thang

Các thuật toán nội suy và điểm hóa tính toán vị trí các pixel theo cách làm tròn thành số nguyên. Do đó các đường nghiêng sẽ bị hiệu ứng bậc thang.

• Hiệu ứng càng rõ khi đường nghiêng có góc nghiêng bé.

• Độ phân giải màn hình càng lớn thì hiệu ứng càng ít.

Hiển thị đường thẳng theo pixel gây nên hiện tượng một đoạn thẳng có chiều dài bằng nhau có thể biểu diễn bằng số pixel khách nhau, hoặc ngược lại, với cùng một số lượng pixel có thể biểu diễn các đoạn thẳng có chiều dài khác nhau tùy theo góc nghiêng của chúng

Cách khử hiệu ứng bậc thang

• Nếu so sánh diện mạo của một đường thẳng như nhau vẽ trên AutoCAD và vẽ trên MS Word hoặc Power point thì chúng hoàn toàn khác hẳn về hiệu ứng bậc thang.

• Để làm giảm hiệu ứng bậc thang người ta dựa vào lý thuyết lấy mẫu và làm mờ một số pixel ở vùng biên tiếp giáp giữa màu nền và màu của đường.

Anti-Aliasing• Giả sử khi zoom to một đoạn thẳng,

độ rộng của nét cũng thay đổi. Hình dáng lý tưởng của đoạn thẳng là một hình chữ nhật hẹp nằm nghiêng như hình vẽ. Các pixel nào nằm trong hình chữ nhật ấy sẽ có màu đậm, cắt hình chữ nhật sẽ bị làm nhạt màu (thay đổi độ transparent) và ngoài hình chữ nhật thì không có màu (trùng màu nền)

• Làm giảm hiệu ứng bậc thang đòi hỏi việc tính toán nhiều hơn.

Khi nào pixel màu đậm nhất, khi nào

màu xám, khi nào nhạt nhất?

Phương pháp vẽ đường trònPhương pháp vẽ đường tròntrong đồ họa máy tínhtrong đồ họa máy tính

07/11/12

4

Đường tròn

• Đường tròn là một đối tượng quan trọng trong đồ họa vi tính không kém vai trò của đường thẳng

• Một số thuật toán để vẽ đường tròn:– Dựa theo công thức toán biểu diễn đường tròn

– Thuật toán Bresenham

Thuật toán dựa vào công thức toán của đường tròn, theo tọa độ Đề-các

2

c

2

c

cc

22

c

2

c

)x-(x-r±y=y

r+xdenr-xchay tu x cho

r=) y-(y +)x -(x

Gọi xc và yc là tọa độ của tâm của đường

tròn, phương trình đường tròn bán kính r là:

Công thức này sử dụng bình phương và căn bậc hai để tính tọa độ các điểm trên đường tròn.

Thuật toán dựa vào công thức toán của đường tròn, theo tọa độ cực

• Polar coordinates• Symmetry of circles

• Tất cả các thuật toán trên đòi hỏi thời gian tính toán lớn do các phép toán căn bậc hai hoặc lượng giác

sin(angle)r+ y=y

cos(angle)r+x =x

c

c

Thuật toán vẽ đường tròn Midpoint hoặc Bresenham

(born 11 October 1937 Clovis, New Mexico)

Nguyên lý của thuật toán midpoint hoặc thuật toán Bresenham là:

1. Vẽ đường tròn ở góc phần tám (octant) thứ nhất có tâm tại (0,0),

2. Sau đó tìm các góc phần tám còn lại bằng phép đối xứng

3. Cuối cùng dịch chuyển đường tròn đến (xc, yc).

The circle function is the decision parameter.

Calculate the circle function for the midpoint between two pixels.

Thuật toán Bresenham1. Nhập bán kính r, tâm (xc, yc), sau đó xác định một điểm

đầu tiên trên đường tròn có tọa độ (xo, y0) = (0, r).2. Calculate the initial value of the decision parameter as

p0 = 5/4 – r (1 – r if an integer) 3. Tại mỗi xk, từ k=0, thực hiện các phép thử sau:

- Nếu pk<0, điểm tiếp theo cần vẽ tiếp tục trên đường tròn có tâm đặt tại (0,0) là (xk + 1, yk) và pk+1 = pk + 2 xk+1+ 1- Nếu không (tức là pk>0), điểm tiếp theo cần vẽ là:(xk+ 1, yk - 1) và pk+1 = pk + 2 xk+1 + 1 - 2 yk+1

trong đó: 2 xk+1 = 2 xk + 2, và 2 yk+1 = 2 yk – 2

Ví dụ về thuật toánBresenham(thực hiện trên Matlab)

Xc=10; yc =5; r =30Xc=10; yc =5; r =50

07/11/12

5

Vẽ ellip

1. The ellipse is a variation of a circle. Stretching a circle in one direction produces an ellipse.

2. The polar equations for an ellipse with centre at XC, YC are:• X=XC + a * cos (θ)• Y=YC + b * sin (θ)

3. The above equations can be used to plot an ellipse in a manner similar to that of generating a circle.

Vẽ ellip

4. Determine symmetry points in the other seven octants.

5. Move each calculated pixel position (x, y) onto the circular path centered at (xc, yc) and plot the coordinate values:x = x + xc, y = y + yc

6. Repeat steps 3 through 5 until x >= y.

Các hệ tọa độ

• Hệ tọa độ toàn cục (world co-ordinate system -WCS)

• Hệ tọa độ người dùng (use co-ordinate system -UCS)

Hệ tọa độ toàn cục (World co-ordinate system –WCS)

1. Hệ tọa độ WCS được gọi là hệ tọa độ gốc dùng làm gốc vị trí cho tất cả các loại tọa độ khác. Đôi khi nó còn được gọi là hệ tọa độ mô hình (model co-ordinate system ).

2. Hệ tọa độ WCS là hệ tọa độ Đề-các.

3. Người sử dụng có thể dùng tọađộ cực, tọa độ trụ, tọa độ cầu. Tuy nhiên phần mềm sẽ chuyển các loại tọa độ này thành tọa độ Đề-các khi lưu dữ liệu.

Hệ tọa độ người dùng (use co-ordinate system –UCS)

• Ngoài hệ tọa độ toàn cục, các hệ thống CAD còn cho phép người dùng định nghĩa các hệ tọa độ người dùng để dễ dàng vẽ các mô hình mà không cần tính toán lại vị trí tọa độ so với hệ tọa độ toàn cục

• Ví dụ khi muốn vẽ một hình trụ có bán kính r và chiều cao trên một mặt bên của một hình khối lập phương, cách tiện lợi nhất là sử định nghĩa một hệ tọa độ người dùng có tâm nằm ở mặt bên, trục x và y nằm trong mặt phẳng đó

WCS

UCS

Cấu trúc cở sở dữ liệu cho đồ họa máy tính

1. Mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ

2. Mô hình cơ sở dữ liệu phân cấp

3. Mô hình cơ sở dữ liệu mạng

Ba mô hình cơ sở dữ liệu thông dụng nhất:

07/11/12

6

Cơ sở dữ liệu quan hệ

Dữ liệu biểu diễn quan hệ được lưu trữ trong các file truy xuất ở dạng tuần tự.

Ví dụ đối tượng trên hình bên được mô tả bằng ba quan hệ:

• Điểm (biểu diễn tọa độ các đỉnh)• Đường (chỉ ra nhưng đỉnh là điểm cuối của đường)• Mặt (chỉ ra các cạnh giới hạn một mặt)

Cơ sở dữ liệu phân cấp

• Là cấu trúc dạng cây gồm nhiều phần tử có thứ bậc gọi là nút.

• Đỉnh cây gọi là nút gốc, sự phân cấp tính từ nút này trở xuống tạo thành các mức khác nhau

Cơ sở dữ liệu mạng

• Có mối quan hệ many-to-many giữa các phần tử. Phần tử ở mức dưới có thể liên kết với nhiều phần tử ở mức trên

Cấu trúc dữ liệu cơ sở cho đồ họa

1. Các mảng tĩnh (static aray)

2. Các dạng dữ liệu có cấu trúc (struct của C, record của pascal)

3. Con trỏ (pointer)

4. Danh sách liên kết (cấu trúc dữ liệu động cho phép phát triển lớn thêm hoặc thu nhỏ)

5. Cấu trúc cây: cây tổng quát, cây nhị phân, cây tứ phân

Ví dụ về cấu trúc cây nhị phân trong mô tả hình học khối rắn cấu trúc CSG

07/11/12

7

Các tiêu chuẩn đồ họaGraphics Standards

Có rất nhiều tiêu chuẩn đồ họa được sử dụng. Vấn đề sử dụng tiêu chuẩn nào phụ thuộc vào tính tiện lợi và sự độc lập của thiết bị.

1. BGI (Borland graphics interface, 1987)

2. GKS (graphics kernel system, the first ISO standard for low-level computer graphics, introduced in 1977)

3. PHIGS (Programmer's Hierarchical Interactive Graphics System) is an API standard for rendering 3D computer graphics, at one time considered to be the 3D graphics standard for the 1990s)

4. OpenGL (Open Graphics Library developed by Silicon Graphics Inc. in 1992 and is widely used in CAD, virtual reality, scientific visualization, information visualization, flight simulation, and video games)

Tiêu chuẩn trao đổi dữ liệugraphics data exchange

• Để các phần mềm CAD khác nhau có thể giao tiếp và trao đổi dữ liệu hình học lẫn nhau, việc này đòi hỏi phải sử dụng các chương trình biên dịch giữa các phần mềm với nhau ⇒ sự phức tạp

⇒ Các phần mềm CAD hiện nay sử dụng các chương trình tiền xử lý (preprocessor) để chuyển dữ liệu CAD của mình thành các file trung hòa (neural file) và ngược lại cũng có thể chuyển các file trung hòa thành dạng dữ liệu CAD của mình

IGES

• The Initial Graphics Exchange Specification (IGES) (pronounced eye-jess) is a file format which defines a vendor neutral data format that allows the digital exchange of information among Computer-aided design (CAD) systems.

• The official title of IGES is Digital Representation for Communication of Product Definition Data, first published in January, 1980 by the U.S. National Bureau of Standards as NBSIR 80-1978. Many documents (like early versions of the Defense Standards MIL-PRF-28000[1] and MIL-STD-1840[2]) referred to it as ASME Y14.26M, the designation of the ANSI committee that approved IGES Version 1.0.

• Using IGES, a CAD user can exchange product data models in the form of circuit diagrams, wireframe, freeform surface or solid modeling representations. Applications supported by IGES include traditional engineering drawings, models for analysis, and other manufacturing functions.

History

• The IGES project was started in 1979 by a group of CAD users and vendors, including Boeing, General Electric, Xerox, Computervision and Applicon, with the support of the National Bureau of Standards (now known as NIST) and the U.S. Department of Defense (DoD). The name was carefully chosen to avoid any suggestion of a database standard that would compete with the proprietary databases then used by the different CAD vendors.

File format

• An IGES file is composed of 80-character ASCII records, a record length derived from the punched card era. Text strings are represented in "Hollerith" format, the number of characters in the string, followed by the letter "H", followed by the text string, e.g., "4HSLOT" (this is the text string format used in early versions of the Fortran language). Early IGES translators had problems with IBM mainframe computers because the mainframes used EBCDIC encoding for text, and some EBCDIC-ASCII translators would either substitute the wrong character, or improperly set the Parity bit, causing a misread.

07/11/12

8

• The file is divided into 5 sections: Start, Global, Directory Entry, Parameter Data, and Terminate indicated by the characters S, G, D, P, or T in column 73. The characteristics and geometric information for an entity is split between two sections; one in a two record, fixed-length format (the Directory Entry, or DE Section), the other in a multiple record, comma delimited format (the Parameter Data, or PD Section), as can be seen in a more human-readable representation of the file.[

STEP (ISO 10303)

• ISO 10303 is an ISO standard for the computer-interpretable representation and exchange of product manufacturing information. Its official title is: Automation

systems and integration — Product data

representation and exchange. It is known informally as "STEP", which stands for "Standard for the Exchange of Product model data". ISO 10303 can represent 3D objects.

• The International standard's objective is to provide a mechanism that is capable of describing product data throughout the life cycle of a product, independent from any particular system. The nature of this description makes it suitable not only for neutral file exchange, but also as a basis for implementing and sharing product databases and archiving.

• Typically STEP can be used to exchange data between CAD, Computer-aided manufacturing, Computer-aided engineering, Product Data Management/EDM and other CAx systems. STEP is addressing product data from mechanical and electrical design, Geometric dimensioning and tolerancing, analysis and manufacturing, with additional information specific to various industries such as automotive, aerospace, building construction, ship, oil and gas, process plants and others.

History of STEP

• The evolution of STEP can be divided into four release phases. The development of STEP started in 1984 as a successor of IGES, SET and VDA-FS.[1] The initial plan was that "STEP shall be based on one single, complete, implementation-independent Product Information Model, which shall be the Master Record of the integrated topical and application information models".[2] But because of the complexity, the standard had to be broken up into smaller parts that can be developed, balloted and approved separately.[3] In 1994/95 ISO published the initial release of STEP as international standards (IS) with the parts 1, 11, 21, 31, 41, 42, 43, 44, 46, 101, AP 201 and AP 203.[4] Today AP 203 Configuration controlled 3D design is still one of the most important parts of STEP and supported by many CAD systems for import and export.

Danh sách file format của các phần mềm CAD thông dụng

1. 3dxml – Dassault Systemes graphic representation2. ART – ArtCAM model3. ASC – BRL-CAD Geometry File (old ASCII format)4. ASM – Solidedge Assembly, Pro/ENGINEER Assembly5. BIN, BIM – Data Design System DDS-CAD6. CATDrawing – CATIA V5 Drawing document7. CATPart – CATIA V5 Part document8. CATProduct – CATIA V5 Assembly document9. CATProcess – CATIA V5 Manufacturing document10. DWG – AutoCAD and Open Design Alliance

applications

07/11/12

9


11. DFT – Solidedge Draft12. DGK – Delcam Geometry13. DMT – Delcam Machining Triangles14. DXF – ASCII Drawing Interchange file format –

AutoCAD15. DWF – AutoDesk's Web Design Format; AutoCAD &

Revit can publish to this format; similar in concept to PDF files; AutoDesk Design Review is the reader

16. FM – FeatureCAM Part File17. GLM – KernelCAD model


18. IAM – Autodesk Inventor Assembly file19. IDW – Autodesk Inventor Drawing file20. IGES – Initial Graphics Exchange Specification21. IPN – Autodesk Inventor Presentation file22. IPT – Autodesk Inventor Part file23. model – CATIA V4 part document24. PAR – Solidedge Part25. PRT – NX (recently known as Unigraphics),

Pro/ENGINEER Part, CADKEY Part26. PSM – Solidedge Sheet27. PSMODEL – PowerSHAPE Model


28. RLF – ArtCAM Relief29. SLDASM – SolidWorks Assembly drawing30. SLDDRW – SolidWorks 2D drawing31. SLDPRT – SolidWorks 3D part model32. STEP – Standard for the Exchange of Product model data33. STL – Stereo Lithographic data format used by various CAD

systems and stereo lithographic printing machines.34. TCW – TurboCAD for Windows 2D and 3D drawing35. UNV – I-DEAS I-DEAS (Integrated Design and Engineering Analysis

Software)36. WRL – Similar to STL, but includes color. Used by various CAD

systems and 3D printing rapid prototyping machines. Also used for VRML models on the web.

07/11/12

1

Các kỹ thuật mô hình hóa hình học(geometric modeling techniques)

•Mô hình khung dây (wire frame)

•Mô hình mặt (surface model)

•Mô hình khối rắn (solid model)

Mô hình khung dây

• Mô hình chỉ được biểu diễn bằng các cạnh viền

• Mô hình này thường xuất hiện trong các phần mềm CAD thế hệ đầu

• Khó quan sát và dễ nhầm lẫn đối với các chi tiết phức tạp

Mô hình mặt• Mô hình mặt được sử dụng phổ biến trong thiết kế các

sản phẩm thuộc ngành hàng không và ô-tô.

• Mô hình được biểu diễn bằng các bề mặt, và mặt được biểu diễn bằng các cạnh (edges) và các đỉnh (vertex)

Surface Representation

Các loại mô hình mặt

1. Mô hình mặt sơ cấp (primitive)

2. Mô hình mặt cơ bản (basic surface)

3. Mô hình mặt phức tạp (advanced surface)

4. Mô hình mặt ghép từ các ô lưới tam giác hoặc tứ giác (facets)

Mô hình mặt sơ cấp• Các loại mặt sơ cấp trong mô hình mặt là: (box,

pyramid, wedge, dome, sphere, cone, torus, dish and mesh)

• Các mặt sơ cấp có thể dễ dàng mô tả bằng các công thức toán học sơ cấp cơ bản

Phương trình toán của một số mặt sơ cấp

• Mặt cầu

Với mặt cầu có tâm tại gốc, phương trình tham số là:

(0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ 2π và a là khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm mặt cắt)

• Mặt xuyến:

• Mặt côn: , dạng tham số

2222)()()( Rzzyyxx ccc =−+−+−

=

=

=

θ

θϕ

θϕ

cos

sinsin

cossin

az

ay

ax

=

+=

+=

ϕ

θϕ

θϕ

sin

sin)cos(

cos)cos(

bz

bay

bax

02

2

2

2

2

2

=−+c

z

b

y

a

x

=

=

=

uz

auy

aux

ν

ν

sin

cos

07/11/12

2

Plane• A plane is an infinite surface that is perfectly flat. Can be infinite or a

bounded region

• A plane is defined by a point and a normal vector. The parameterization of a plane is defined by two additional parameters: a vector perpendicular to the normal that specifies the u-parameter direction and scaling, and a flag that specifies whether the parameterization of the plane is right-handed or left-handed.

Torus (mặt xuyến)

• Torus is a surface of revolution generated by revolving a circle in three dimensional space about an axis coplanar with the circle.

Mặt Cone

• Trong trường hợp tổng quát, mặt cơ sở của mặt côn là một ellipse, trường hợp đặc biệt là đường tròn.

• The geometry of a cone is defined by a base ellipse and the sine and cosine of the major half-angle of the cone.

• The normal of the base ellipse represents the axis of the cone.

• Mặt trụ là một trường hợp đặc biệt của mặt côn.

Mô hình mặt cơ bản

1. Là các mô hình mặt được tạo ra bằng các phép quét hình cơ bản như phép xoay (revolve), phép đùn (extrude, rule) và quét (sweep) theo đường dẫn. Đối tượng 2D được quét theo một quỹ đạo nào đó không trùng mới mặt phẳng chứa đối tượng 2D

Mô hình mặt cơ bản 2. Mô hình mặt có thể được tạo ra bằng các

ghép các mặt đa giác

3. Hoặc dùng các kỹ thuật mô hình sử dụng các đường cong phức tạp như B-splines hoặc NURBS (sẽ học sau)

Các phép quét hình để tạo mô hình mặt cơ bản

1. Phép xoay (revolve)

2. Phép đùn (extrude)

3. Quét theo đường dẫn (sweep)

AutoCAD

Pro/Engineer

07/11/12

3

Vẽ mô hình mặt cơ bản trong Pro/E

Mặt đùn (Extrude)

Mặt tròn xoay (Revolve)

Trục quay

Đối tượng 2D

Đối tượng 2D

Hướng đùn

Vẽ mô hình mặt trong Pro/Engineer

Mặt quét theo đường dẫn

Đường dẫn

Đường dẫn

Mặt cắt 2D

Kết quả

Đường dẫn

Mặt cắt 2D

Vẽ mô hình mặt trong ProE

Mặt trùm (Blend)

Mặt trùm từ các tiết diện nằm trong các mặt phẳng song song

Truïc Z

R1=100

R2=120

R3=140R4=160 600

600

50x50

60x60

70x70

80x80

Goác xoay

Sau khi

Smooth

Mặt trùm từ các tiết diện xoay

Không làm trơn

Làm trơn Không làm trơn

Làm trơn

Mô hình mặt nâng cao (mặt phức tạp)

• Mô hình mặt nâng cao dựa

trên các phép quét hình phức

tạp hoặc tạo các mặt cong

Bezier, mặt cong B-Spline, mặt

cong NURBS từ các ma trận

điểm.

Boundaries blendBlended Surf

Datum point

Datum curve 1

Datum curve 2

120

60

Datum curve 3

Datum curve 4

Datum curve 4

Datum curve 5

Conic Surf (mặt conic)

Datum curve 1

Datum curve 3

Datum curve 2

Duøng ñeå taïo ra maët cong ñi qua hai ñöôøng bieân ñoái dieänvaø moät ñöôøng ñieàu khieån ôû giöõa.

07/11/12

4

Approx Blend (mặt xấp xỉ)

Datum curve 1

Datum curve 3

Datum curve 2

Approx curve 3

R1.5

R5

ứng dụng mặt nâng cao để mô hình hóa một sản phẩm PET đựng nước giải khát

Mặt cong tự do (sculptured)

Mặt cong tự do được xây dựng trên cơ sở của các đường cong tự do như Spline, Bezier, NURBS (sẽ học sau)

Mặt ô lưới đa diện (facets)• Facets Versus NURBS

• Faceted models consist of groups of

polygons (often triangles). In contrast,

most Computer-Aided Engineering

(CAE) models originate from Computer-

Aided Design (CAD) systems which

typically use continuous surface and

edge definitions based on NURBS.

CAE simulations then break down this NURBS representation into facets by a process known as meshing. The mesh (or grid) is then used as the basis to perform simulations such as Computational Fluid Dynamics (CFD) and finite element analysis (FEA).

Facets modeling

Lưới thô (coarse mesh) Lưới mịn (fine mesh)Lưới trung bình (medium mesh)

Trong công nghệ tạo mẫu nhanh, dạng chuẩn của file CAD được định dạng ở dạng STL (stereo lithography), để kết nối giữa phần mềm CAD và máy tạo mẫu 3D.

Các file STL xấp xỉ các bề mặt của vật thể (thường được vẽ bằng mô hình mặt cong NURBS) thành các lưới tam giác hoặc tứ giác. Độn mịn của lưới càng cao thì độ chính xác so với mô hình gốc càng cao.

Ưu nhược điểm của mô hình mặt• Ưu điểm

1. Trực quan hơn mô hình khung dây.2. Có thể tô bóng.3. Có thể phân biệt được các phần tử đặc biệt trên mặt như các

lỗ trống.4. Xác định được giao của các bề mặt.5. Có thể thực hiện các phép tính toán về diện tích.6. Có thể dùng làm dữ liệu để lập trình CAM thực hiện gia công

phay mặt cong đó bằng máy CNC.

• Nhược điểm1. Chỉ mô tả lớp biên của đối tượng, không có thuộc tính bên

trong.2. Nếu dùng mô hình mặt để vẽ tất cả các mặt bao của vật thể

rồi tạo thành khối rắn thì tốn nhiều thời gian hơn so với sử dụng mô hình khối rắn.

3. Phức tạp hơn mô hình khung dây, lượng dữ liệu lớn hơn.

07/11/12

5

Mô hình khối rắn

• Phần lớn các phần mềm CAD sử dụng 2 phương pháp mô hình hóa khối rắn:

1. Mô hình khối rắn theo phép đại số Boole (CSG – Contructive solid geometry)

2. Mô hình khối rắn theo mặt biên kín (Boundary representation)

3. Mô hình Hybrid (dùng cả CSG và B-rep)

Mô hình khối rắn theo phép đại số Boole (CSG)

• Vật thể được xây dựng trên cơ sở phối hợp các khối rắn cơ bản như hộp, cầu, xuyến, tứ diện, chêm, côn…

• Các phép toán đại số Boole như phép hội (∪), giao (∩) và phép trừ (-) được dùng để thao tác loại mô hình này

Mô hình khối rắn theo CSGPhép hội (∪), tức

phép cộng

Phép trừ (-)

Phép trừ (-)

Phép giao(∩) để lấy phần chung của 2 vật thể

Đặc tính và ứng dụng của CSG

1. CSG được dùng khi mô tả các mô hình khi mà độ chính xác của mô hình là yêu cầu quan trọng.

2. CSG rất phổ biến vì khá đơn giản khi xây dựng mô hình, một mô hình phức tạp có thể được xây dựng từ các vật thể đơn giản.

3. Nếu các vật thế được tham số hóa (có thể thay đổi kích thước và vị trí), người thiết kế dễ dàng thay đổi vị trí, kích thước và các phép toán đại số Boole để có được mô hình mới.

Đặc tính và ứng dụng của CSG

4. Ưu điểm của CSG là luôn luôn đảm bảo mô hình thực sự là đặc (solid), hay còn được hiểu là “kín nước”. Điều này quan trọng đổi với một số yêu cầu trong chế tạo và phân tích tính toán mô hình

5. Ưu điểm nữa của CSG là dễ dàng xác định một điểm bất kỳ cho trước có nằm trong hay nằm ngoài khối rắn. Điều này rất cần thiết đối với các bài toán về kiểm tra sự va chạm của các vật thể.

Cấu trúc của mô hình khối rắn theo CSG

•Các vật thể CSG thường được cấu trúc theo mô hình cây nhị phân

•Các lá là các khối rắn cơ sở và các nút là các phép toán đại số Boole

07/11/12

6

Mô hình CSG trong Auto CADMenu vẽ các khối rắn cơ bản

Các phép toán thao tác trên khối rắn

Mô hình khối rắn theo mặt biên kín (Boundary representation B-rep)

• Vật thể được xây dựng từ tập hợp các mặt biên tạo thành một không gian kín

• Các đối tượng tạo nên B-rep bao gồm:

– Các đối tượnghình học

– Các đối tượng topology

Hình học tô-pô (topology)• Hình học tô-pô là một nhánh của

lĩnh vực toán học nghiên cứu về tính bảo toàn các thuộc tính của đối tượng khi làm biến dạng, xoắn hoặc kéo dãn đối tượng.

• A circle is topologically equivalent to an ellipse (into which it can be deformed by stretching) and a sphere is equivalent to an ellipsoid

Một số phần tử thuộc topology

Element DefinitionBody Bậc cao nhất của mô hình vật thể

FaceLà một phần của surface được bao quanh bởi một tập hợp các loop.

LoopLà một chuỗi các coedge nối với nhau. Nói chung, loop làkín, không có khái niệm điểm đầu điểm cuối.

Coedge Đại diện cho cách dùng của một edge của một faceEdge Là một phần của curve giới hạn bởi các vertices.

VertexLà biên của một edge. A Vertex tương ứng với một pointtrong không gian 3D.

Face

• A face is a region on a single geometric surface.

• Multiple faces can exist on the same surface.

Topology element Surface

• Surfaces can be planar, cylindrical, conical, spherical, toroidal, or sculptured. Cylindrical and conical surfaces can be circular or elliptical.

07/11/12

7

Edge (cạnh)

• Edge là một phần tử topology 1-D có thể dùng để tạo thành đường bao của face. Edge do curve tạo thành và bị giới hạn bởi 2 vertex

• Nhiều edge có thể tồn tại trên cùng một curve, tuy nhiên hai edge trên cùng một body không thể được chồng lên nhau.

Topology element Edges trong khối rắn

vertex

• Vertex là thực thể topology (entity) không có chiều (0-dimensional) dùng để giới hạn các edge. Nói chung, một edge được giới hạn bởi 2 vertex như hình vẽ bên.

• Nếu edge kín, cả hai đầu của edge bị giới hạn bởi cùng mộ vertex.

• Cũng có trường hợp một edge có chiều dài bằng không, gọi là null edge, chỉ bị chặn bởi một vertex

Topology element

Khái niệm về manifold và non-manifold

• Mỗi điểm trên biên của một khối rắn manifold solid sẽ chia không gian mô hình ra hai phần: miền trong khối rắn và miền ngoài khối rắn. Nếu tồn tại một điểm trên biên không thỏa mãn điều kiện này thì khối rắn đó được coi là non-manifold tại điểm đó.

• Nói cách dễ hiểu hơn: Manifold có nghĩa là vật rắn đó có thể gia công chế tạo được. Ngược lại, Non-Manifold thì không

A non-manifold object

Một số ví dụ về non-manifold Lịch sử của mô hình B-rep

• The basic method for BREP was developed independently in the early 1970s by both Ian C. Braid in Cambridge (for CAD) and Bruce G. Baumgart at Stanford (for computer vision).

• Braid continued his work with the research solid modeller BUILD which was the forerunner of many research and commercial solid modellingsystems. Braid worked on the commercial systems ROMULUS, the forerunner of Parasolid, and on ACIS. Parasolid and ACIS are the basis for many of today's commercial CAD systems.

07/11/12

8

So sánh CSG và B-REP

• So với CSG, phương pháp chỉ sử dụng các vật thể cơ bản và phép toán đại số Boole để phối hợp, mô hình B-rep linh hoạt hơn và có nhiều phép thao tác hơn.

• CSG chỉ được dùng ở các phần mềm CAD thế hệ đầu vì nó dễ thực hiện hơn. Ngày nay, B-rep được xem là lựa chọn tốt nhất cho các hệ thống CAD hiện đại.

• B-rep cũng sử dụng các phép toán đại số Boole, ngoài ra còn sử dụng các phép đùn (extrusion ) hoặc quét (sweeping), vát cạnh (chamfer), bo góc (fillet), tạo mặt nghiêng (drafting), xoắn (tweaking ), tạo vỏ mỏng (shelling)… để xây dựng các mô hình phức tạp

Ưu điểm của B-rep

• Dễ dàng biểu diễn được các mô hình khối rắn phức tạp thân xe hoặc vỏ máy bay mà chúng không thể tạo ra bằng các phối hợp các khối rắn cơ bản như cách của CSG

• Dễ dàng chuyển đổi mô hình khối rắn B-rep sang mô hình khung dây vì biên của B-rep có định nghĩa tương tự như khung dây

• Các thuật toán của B-rep tin cậy và mạnh hơn các thuật toán dựa trên CSG

Nhược điểm của B-rep

• Đòi hỏi nhiều không gian nhớ thì nó phải chứa các phương trình tường minh biểu diễn lớp biên

• Dong dài và phức tạp hơn CSG

• B-rep xấp xỉ (gần đúng) (Faceted B-rep) tạo từ các mặt phẳng không thích hợp cho việc chế tạo

Exact Vs Faceted B-rep Schemes

• Exact B-rep: If the curved objects are represented by way of equations of the underlying curves and sufacesthen the scheme is Exact B-rep.

• Approximate or faceted B-rep :In this scheme of boundary representation any curved face divided into planar faces.

Ưu điểm của mô hình khối rắn1. Xác định đầy đủ các thuộc tính khối lượng2. Mô hình thiết kế rõ ràng, trực quan, đặc biệt cho

những người không quen với bản vẽ 2D3. Dễ dàng phân biệt vùng bên trong, trên mặt và bên

ngoài vật thể4. Đảm bảo tự động xóa các đường khuất5. Dễ tự động xây dựng các hình chiếu khi muốn trình

bày bản vẽ6. Thay đổi thiết kế dễ dàng hơn7. Dễ dàng chuyển dữ liệu hình học sang các phần mềm

phân tích bằng FEM8. Dễ dàng trong lắp ráp và mô phỏng chuyển động, tính

toán động lực học

Nhược điểm của mô hình khối rắn

1. Tiêu tốn nhiều bộ nhớ và đòi hỏi cấu hình máy tính mạnh,

2. Thao tác và tính toán chậm,

3. Khó trao đổi dữ liệu giữa các file CAD 3D tham số từ các phần mềm CAD khác nhau.

02/04/13

1

Các phép biến đổi hình họcCác phép biến đổi hình học

Mở đầuĐể thực hiện việc biến đổi hình học một các dễ

dàng, người ta sử dụng tọa độ đồng nhất (homogeneous coordinate)

Khi sử dụng tọa độ đồng nhất để biểu diễn tọa độ của n điểm trong không gian 2 chiều, ta sử dụng ma trận có kích thước [n × 3]. Ví dụ, khi biểu diễn 4 đỉnh của một tứ giác trong không gian 2 chiều, ta dùng ma trận sau:

1 1

2 2

3 3

4 4

1

1[ ]

1

1

tugiac

x y

x yP

x y

x y

=

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 5

1

1[ ]

1

1

tugiac

x y z

x y zP

x y z

x y z

=

Không gian 3 chiều

Các phép biến đổi thông dụng

1. Phép tỉ lệ (Scale)

2. Phép tịnh tiến (translate, bao gồm move và copy)

3. Phép quay (Rotate)

4. Phép đối xứng (Mirror)

5. Phép biến dạng (Shear)

6. Phép biến đổi tổng hợp•Phân nhóm, mỗi nhóm trình bày một phép biến đổi.•Nếu nhóm sau có dùng kiến thức nằm ở nhóm trước thì không cần giải thích lại kiến thức của nhóm trước• Cho ví dụ minh họa, tính kết quả bằng Excel hoặc Matlab• Dùng Solidworks hoặc phần mềm CAD khác để kiểm tra phép biến đổi đó

Phép tỉ lệ

Ở dạng toán học, phép biến tỉ lệ của một điểm P(x, y) thành điểm P(x*, y*) được viết như sau:

x* = x.Sx

y* = y.Sy

hoặc ở dạng ma trận trong hệ tọa độ đồng nhất:

[ ][ ]*P P S =

* *

0 0

1 1 0 0

0 0 1

x

y

S

x y x y S

=

Phép tỉ lệ trong 3D

* * *

0 0 0

0 0 01 1

0 0 0

0 0 0 1

x

y

z

S

Sx y z x y z

S

=

[ ][ ]*P P S = S được gọi là ma trận biến hình

Trong hệ tọa độ đồng nhất của không gian 3 chiều, ma trận biến hình là một ma trận 4×4 có dạng:

0

0

0

A B C

D E F

G H I

J K L S

3 3 1 3

1 3 1 1

× × × ×

⇒ Có dạng

Phép tịnh tiến 2D• Dạng toán học của phép tịnh tiến như sau:

x* = x + Tx

y* = y + Ty

• hoặc ở dạng ma trận trong hệ tọa độ đồng nhất:

[ ][ ]*P P T =

[ ]* *

1 0 0

1 1 0 1 0

1x y

x y x y

T T

=

Nếu không dùng hệ tọa độ thuần nhất, không biểu diễn được công

thức tịnh tiến bằng ma trận

[ ][ ]*P T P =

[ ]* *

1 0

1 0 1 1

0 0 1

x

y

T

x y T x y

=

Chú ý: Khi hoán vị phép nhân, ma trận biến hình bị thay đổi

02/04/13

2

Phép quay 2 chiều

P(x,y)

P*(x*,y*)

x

y

R

θ

φ

x= R.cos φy= R.sin φx*= R.cos (φ+θ) = R(cos φ cos θ - sin φ sin θ)y*= R.sin (φ+θ) = R(sin φ cos θ + cos φ sin θ)Viết dưới dạng ma trận ta có:

* *

os sin 0

1 1 sin os 0

0 0 1

c

x y x y c

θ θθ θ

− =

[ ][ ]*P P T =

Phép quay trong không gian 3 chiều

* * *

os sin 0 0

sin os 0 01 1

0 0 1 0

0 0 0 1

c

cx y z x y z

θ θθ θ

− =

1. Quay quanh trục Z

2. Quay quanh trục y

3. Quay quanh trục x

[ ]

os 0 sin 0

0 1 0 0

sin 0 os 0

0 0 0 1

Y

c

Rc

θ

θ θ

θ θ

− =

[ ]

1 0 0 0

0 os sin 0

0 sin os 0

0 0 0 1

X

cR

cθ θ θ

θ θ

=

−

Phép quay quanh một trục bất kỳ

1. Tịnh tiến trục sao cho điểm đầu của nó trùng với gốc tọa độ,

2. Thực hiện phép quay quanh trục x một góc α để đưa nó về mặt phẳng XZ,

3. Thực hiện phép quay quanh trục y một góc ϕ để đưa trục bất kỳ về trùng với trục z,

4. Quay quanh trục z một góc θ mong muốn,

5. Áp dụng phép quay ngược lại quanh trục y,

6. Áp dụng phép quay ngược lại quanh trục x,

7. Áp dụng phép tịnh tiến ngược lại để dời trục bất kỳ về vị trí ban đầu của nó trong không gian.

Giả sử cần quay quanh một trục được xác định bằng một véc-tơ đi qua hai điểm (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2). Trình tự thực hiện như sau:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1

x y z y xH T R R R R R T

α φ θ φ α− − −=

Phép quay quanh một trục bất kỳ

x

y

z

(0,0,0)

(a,b,c)

l

l

α α

d(0,b,c)

Điểm chiếu

Điểm sau khi quay

x

y

z

(0,0,0)

(a,b,c)l

lϕ

d

(0,0,l) (a, 0 ,d)

Điểm chiếu

Tính góc α quay quanh trục x Tính góc ϕ quay quanh trục y

2 2sin

b b

db cα = =

+

2 2os

c cc

db cα = =

+

sin

os

a

ld

cl

φ

φ

=

=

2 2 2 2

2 2 2

l a b c

d b c

= + += +

Bài tập• Quay một hình hộp chữ nhật có cạnh là a, có tâm nằm trùng gốc tọa độ

toàn cục, các cạnh song song với hệ trục tọa độ Oxyz, một góc 45 độ quanh một trục được xác định bằng một véc-tơ đi qua hai điểm (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2),

• trong đó x1 = 10, x2 = 10– Y1=15+0.5*số thứ tự trong danh sách môn học– Y2=25+0.5*số thứ tự trong danh sách môn học– z1=5+0.5*số thứ tự trong danh sách môn học– z2=20+0.5*số thứ tự trong danh sách môn học– a = 50+0.5*số thứ tự trong danh sách môn học

• Vẽ và ghi kích thước hình hộp chữ nhật đó tại vị trí ban đầu bằng phần mềm Solidworks, vẽ trục quay và vẽ hình hộp chữ nhật đó sau khi quay đến vị trí mới. Dùng Measure để xác định tọa tọa độ 8 đỉnh của hình chữ nhật tại vị trí mới (khi measure mỗi đỉnh (vertex), hãy copy màn hình sang file MS Word)

• Sử dụng công thức của phép quay để tính tọa độ của 8 đỉnh của hình hộp tại vị trí mới (Viết phương trình, sau đó dùng MS Excel hoặc Matlab để thao tác nhân các ma trận)

Phép đối xứng

Dạng tổng quát của phép đối xứng qua trục x, y hoặc gốc tọa độ như sau:

Trong đó:

• Nếu đối xứng qua trục x thì a = 1, b = -1 (vì chỉ có tọa độ theo trục y là đổi dấu)

• Nếu đối xứng qua trục y thì a = -1, b = 1

• Nếu đối xứng qua gốc tọa độ thì a = -1, b = -1

[ ]0 0

0 0

0 0 1

a

M b

=

02/04/13

3

Phép đối xứng qua đường thẳng 2D bất kỳ

1. Tịnh tiến đường thẳng một đoạn C để đưa đó đi qua gốc tọa độ

2. Quay đường thẳng một góc θ để nó trùng với trục x

3. Lấy đối xứng đối tượng qua trục x

4. Quay ngược đường thẳng một góc -θ về vị trí ban đầu

5. Tịnh tiến đường thẳng về vị trí ban đầu

1 0 0 cos sin 0 1 0 0 cos sin 0 1 0 0

[ ] 0 1 sin cos 0 0 1 0 sin cos 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

T C C

θ θ θ θθ θ θ θ

− = − − −

[ ][ ]*P T P = Chú ý: Ma trân biến hình [T] đang viết theo dạng công thức

Sau khi nhân các ma trận thành phần ta được:

os2 sin 2 sin 2

[T]= sin 2 os2 (cos2 1)

0 0 1

c C

c C

θ θ θθ θ θ

− − +

Phép biến dạng

• Phép biến dạng thay đổi giá trị các tọa độ bằng cách thêm vào một hàm tuyến tính. Ma trận biến hình tổng quát có dạng sau:

[ ]1 0

1 0

0 0 1sh

b

T c

=

Xét trường hợp đặc biệt: biến dạng theo trục x (chỉ ảnh hưởng đến tọa độ x), một điểm P(x, y, 1) sẽ trở thành P*(x+shx*y, y, 1). Biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:

Tương tự, nếu biến dạng theo trục y, điểm P(x, y, 1) sẽ trở thành P*(x, y+shy*x, 1)

[ ]1 0 0

1 0

0 0 1sh xx

T sh

=

[ ]1 0

0 1 0

0 0 1

y

sh y

sh

T

=

Phép quay gốc tọa độ dùng ma trận

• Xét hai hệ tọa độ XYZ và UVW chuyển động quay tương đối quanh gốc O trùng nhau.

• Gọi ix, jy, kz và iu, jv, kw lần lượt là các véc tơ đơn vị trên các trục của hai hệ tọa độ XYZ và UVW. Nếu một điểm M trong hệ tọa độ XYZ được biểu diễn bằng véc-tơ

thì trong hệ tọa độ UVW được biểu diễn bằng véc-tơ

( , , )Txyz x y zr r r r r=

w( , , )Tuvw u vr r r r r=

Phép quay gốc tọa độ dùng ma trận

• Nếu viết dưới dạng ma trận

w

w

w w

.x x u x v x u

y y u y v y v

z z u z v z

r i i i j i k r

r j i j j j k r

r k i k j k k r

=

[ ]w

w

w

x u x v x

y u y v y

z u z v z

i i i j i k

R j i j j j k

k i k j k k

=

[ ]os( , ) os( , ) os( ,w)

os( , ) os( , ) os( ,w)

os( , ) os( , ) os( ,w)

c x u c x v c x

R c y u c y v c y

c z u c z v c z

=

[ ] 1

w

.u x

v y

z

r r

r R r

r r

− =

⇒

02/04/13

1

Mô tả đường congMô tả đường cong

Các phương pháp biểu diễn hình học đường cong

1. Biểu diễn bằng ma trận các điểm (chuỗi điểm)

2. Sử dụng các phương trình giải tích dạng đa thức bậc n

11 1 0

0

( ) ...n

n n nn n i

i

p x a x a x a x a a x−−

=

= + + + + =∑

Hàm đa thức rất thuận lợi cho việc tính toán bằng máy tính, dễ dàng vi phân hay tích phân

Các dạng phương trình đường cong1. Phương trình tường minh; y =f(x,y,z)

2. Phương trình ẩn: f(x,y) =0 (xét đường cong 2D)

3. Phương trình tham số: x=x(t), y=y(t), z=z(t)

Về mặt lý thuyết có thể sử dụng bất kỳ dạng toán học nào của đường cong để mô tả đường cong trong công nghệ CAD. Dạng phương trình tham số được dùng nhiều nhất. Mỗi dạng có một số thuận lợi và khó khăn trong một số trường hợp:

- Dạng nào nào dễ xác định một điểm có nằm trên đường cong không?

- Dạng nào cho phép nhanh chóng xác định tọa độ các điểm trên đường cong?

Biến đổi dạng tham số sang dạng ẩn

Giả sử phương trình tham số của một phân đoạn đường cong có dạng:

x=x(t); (a) y=y(t) (b)

được biến đổi sang dạng ẩn f(x,y) = 0

• Cách 1: Sử dụng phương pháp thế đối với trường hợp đơn giản (bậc nhất hoặc bậc 2)

• Cách 2: Sử dụng phương pháp trong đó có sử dụng tích chập hai đa thức (áp dụng cho bậc 3 hoặc bậc 4)

Phân loại đường cong

Phân loại theo phương pháp xây dựng:

1. Đường cong chính xác (các đường cong conic)

2. Đường cong nội suy (interpolation)

3. Đường cong xấp xỉ (approximation)

Phân loại theo tên gọi:

1. Đường cong tham số bậc 3 (Đường cong Ferguson )

2. Đường cong Spline3. Đường cong Bezier4. Đường cong B-spline5. Đường cong hữu tỉ

(NURBS)

Đường cong conic

Dạng đường conic

Dạng tham số Dạng ẩn

Đường tròn

Elip

Parapol

Hypepol

cosx r θ=siny r θ=

2 2 2x y r+ =

cosx a θ=siny b θ=

2 2

2 21

x y

a b+ =

2x aθ=2y aθ=

2 4y ax=coshx a θ=sinhy b θ=

2 2

2 2 1x y

a b− =

02/04/13

2

Đường cong đa thức tham số bậc 3

• Đường cong tham số bậc 3 có dạng:

Trong đó P(t) là một điểm trên đường cong.Khai triển và tách ra thành 3 thành phần

trong không gian ta có:

x(t) = a3xt3 + a2xt2+ a1xt + a0x

y(t) = a3yt3 + a2yt2+ a1yt + a0y

z(t) = a3zt3 + a2zt2+ a1zt + a0z

3

0

( ) ii

i

P t a t=

=∑

P(t)

x

y

y

O


• Phương trình trên có 4 hệ số a cần xác định, có thể tìm bằng cách dùng các điều kiện biên:

• Đi qua hai điểm cho trước (2 phương trình)

• Các vec-tớ tiếp tuyến tại điểm đầu và điểm cuối xác định (2 phương trình)

3

0

( ) ii

i

P t a t=

=∑

P1

P0

Tiếp tuyến tại P1

Tiếp tuyến tại P0


• Dạng ma trận

• Sau khi sử dụng điều kiện biên, tìm được:

3

23 2

1

0

( ) [ 1]

a

aP t t t t

a

a

=

0

1

2

3

(0)

'(0)

3 (0) 3 (1) 2 '(0) '(1)

2 (0) 2 (1) '(0) '(1)

a P

a P

a P P P P

a P P P P

= = = − + − − = − + +

Suy ra: 3 2

2 2 1 1 (0)

3 3 2 1 (1)( ) [ 1]

0 0 1 0 '(0)

1 0 0 0 '(0)

P

PP t t t t

P

P

− − − − =

Vẽ đường cong tham số bậc 3 bằng cách nào?

• Cho tham số t chạy từ 0 đến 1

3 2

2 2 1 1 (0)

3 3 2 1 (1)( ) [ 1]

0 0 1 0 '(0)

1 0 0 0 '(0)

P

PP t t t t

P

P

− − − − =

Ma trận Hermite (không đổi)

Ma trận hệ số

hình học (G)

Đường cong Spline bậc 3

• Đường cong Spline bậc được biểu diễn bằng một đa thức bậc 3 có đạo hàm bậc 2 liên tục tại các điểm nối chung giữa các phân đoạn

• Phương trình tham số của đường Spline bậc 3 cho mỗi phân đoạn có dạng như phương trình tham số bậc 3 chính tắc

3 2

2 2 1 1 (0)

3 3 2 1 (1)( ) [ 1]

0 0 1 0 '(0)

1 0 0 0 '(0)

P

PP t t t t

P

P

− − − − =

Đường cong Spline bậc 3

• Đường cong spline phải thỏa mãn tính liên tục của đạo hàm bậc hai

⇒ Đạo hàm bậc hai của điểm cuối phân đoạn trước phải bằng đạo hàm bậc hai của phân đoạn sau.

⇒ Nhờ ràng buộc này, người ta xác định được các tiếp tuyến tại các điểm nút của đường Spline

Phân đoạn i-1

Phân đoạn iPi

P’iP’’i

Pi+1

P’i+1

P’’i+1

Pi-1

P’i-1P’’i-1

02/04/13

3

Đường cong Spline, xác định các tiếp tuyến

• Sau khi xác định được các tiếp tuyến P’ i tại các điểm nút, thay các giá trị này vào phương trình tham số trên từng phân đoạn

3 2

2 2 1 1 (0)

3 3 2 1 (1)( ) [ 1]

0 0 1 0 '(0)

1 0 0 0 '(0)

P

PP t t t t

P

P

− − − − =

1

0 0

1 2 0

2 3 1

2 1 3

1 1

' '1 0 . . . .

' 3( )1 4 1 0 . .

' 3( )0 1 4 1 0 .

. .. . . . . .

' 3( ). . 0 1 4 1

' '. . . . 0 1m m m

m m

P P

P P P

P P P

P P P

P P

−

− − −

− −

−

− =

−

Sau khi xác định được các tiếp tuyến P’ i tại các điểm nút, thay các giá trị này vào phương trình tham số trên từng phân đoạn

Trường hợp đường cong Spline tự nhiên(hai tiếp tuyến tại hai điểm đầu và cuối P’0 và P’m-1 bằng 0)

1

0 1 0

1 2 0

2 3 1

2 1 3

1 1 2

' 3( )2 1 . . . .

' 3( )1 4 1 0 . .

' 3( )0 1 4 1 0 .

. .. . . . . .

' 3( ). . 0 1 4 1

' 3( ). . . . 1 2m m m

m m m

P P P

P P P

P P P

P P P

P P P

−

− − −

− − −

− −

− =

− −

3 2

2 2 1 1 (0)

3 3 2 1 (1)( ) [ 1]

0 0 1 0 '(0)

1 0 0 0 '(0)

P

PP t t t t

P

P

− − − − =

Sử dụng Excel để tính toán và xây dựng đường cong Spline

1. Nhập ma trận tọa độ các điểm nút

2. Nhập ma trận hệ số của phương trình xác định tiếp tuyến

3. Tính ma trận cột ở vế phải của phương trình tính tiếp tuyến

4. Tính ma trận cột các tiếp tuyến bằng lệnh nhân ma trận Mmult(Array1, Array2)



5. Tính tọa độ của của các phân đoạn spline


6. Vẽ đồ thị (vẽ đường Spline)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 2 4 6 8

Ví dụ đường cong Spline tự do đi qua 4 điểm nút cho trước

02/04/13

4

Đường cong Bezier

• Đường cong Bezier là là đường cong xấp xỉ các điểm cho trước chứ không đi qua chính xác các điểm này như cách của các đường con nội suy

• ⇒ Cho phép người thiết kế mềm dẻo hơn.

• Thường được ứng dụng trong thiết kế vỏ ô-tô, máy bay và tàu thủy.

• Đường cong này do P. Bezier làm việc cho công ty xe hơi Citroen nghiên cứu từ những năm 1960

V0

V1

V2

V3

Đường cong Bezier

• Phương trình tổng quát của đường cong Bezier có n+1 điểm điều khiển (V0, V1,…, Vn) như sau:

• Trong đó Vi là các điểm điều khiển

• Hàm Bi,n gọi là hàm cơ sở của đường cong Bezier, còn gọi là đa thức Bernstein

• Trong đó n là bậc của đa thức và

,0

( ) ( )n

i i ni

P t V B t=

=∑

1, ( ) (1 )i i n

i n nB t C t t −= −

!

!( )!ni

nC

i n i=

−

Đường cong Bezier bậc 2 và bậc 3

• Bậc 2 đi qua 3 điểm điều khiển

P(t) = (1-t)2 V0 +2t(1-t)V1 + t2V2

• Bậc 3 đi qua 4 điểm điều khiển

P(t) = (1-t)3 V0 +3t(1-t)2V1+3t2(1-t)V2 + t3V3

02

1

2

1 2 1

( ) [ 1] 2 2 0

1 0 0

V

P t t t V

V

− = −

0

13 2

2

3

1 3 3 1

3 6 3 0( ) [ 1]

3 3 0 0

1 0 0 0

V

VP t t t t

V

V

− − − = −

Dạng ma trận

Dạng ma trận

Tính chất của đường cong Bezier

1. Đi qua điểm điều khiển đầu và cuối

2. Tiếp tuyến với hai đoạn thẳng nối hai điểm đầu tiên và cuối cùng


3. Nằm hoàn toàn trong đa giác tạo bởi các đỉnh của các điểm điều khiển


4. Đường cong Bezier thay đổi theo vị trí một điểm điều khiển cục bộ

02/04/13

5


5. Đường cong Bezier thiếu sự điểu khiển cục bộ (tức là có sự điều khiển toàn cục)

Tính chất của đường cong Bezier6. Bậc của đường cong Bezier phụ thuộc vào số

điểm điều khiển

⇒ Để giữa bậc của đường cong thấp, có thể liên kết nhiều phân đoạn lại với nhau

Đường cong B-spline

Khắc phục được 2 nhược điểm của đương cong Bezier (bậc cao và tính điều khiển toàn cục)

1. Hàm cơ sở để tạo ra đường cong đa thức tham số từng đoạn riêng lẻ thông qua một số điểm điều khiển

2. Bậc của đa thức được chọn độc lập với số lượng các điểm điều khiển (bằng chính bậc của hàm cơ sở), nó quyết định bậc của đường cong B-spline

3. Các đường cong B-spline có thể điều khiển cục bộ (chỉ một vài phân đoạn bị ảnh hưởng)


• Phương trình tổng quát của đường cong B-spline có n+1 điểm điều khiển (V0, V1,…, Vn) như sau:

• Trong đó Vi là các điểm điều khiển

• Hàm Ni,k gọi là hàm cơ sở bậc k-1

• K là cấp và k-1 là bậc của đường B-spline

,0

( ) ( )n

i k ii

P t N t V=

=∑

1,1

, , 1 1, 11 1

1 if t t( )

0

( ) ( ) ( )

i ii

i i ki k i k i k

i k i i k i

tN t

nguoc lai

t t t tN t N t N t

t t t t

+

+− + −

+ − + +

≤ ≤=

− −= +− −

Dạng ma trận của đường cong B-spline

• Đường B-spline bậc 2 đều (sử dụng 3 điểm điều khiển)

• Đường B-spline bậc 3 đều (4 điểm điều khiển được

nhân với hàm cơ sở, mỗi phân đoạn có chung 3 điểm điều khiển với phân đoạn kế tiếp)

12

1

1 2 11

( ) [ 1] 2 2 02

1 1 0

i

i i

i

V

P t t t V

V

−

+

− = −

1

3 2

1

2

1 3 3 1

3 6 3 01( ) [ 1]

3 0 3 06

1 4 1 0

i

ii

i

i

V

VP t t t t

V

V

−

+

+

− − − = −

Tính chất của đường cong B-spline

• Đường cong B-spline có thể thay đổi hình dáng cục bộ khi thay đổi điểm điều khiển

• Hình dáng của đường cong B-spline còn phụ thuộc và các vec-tơ nút t trong hàm cơ sở (đều/tuần hoàn và không đều/không tuần hoàn)

• Đường cong Beizer là một trường hợp con của đường cong B-spline không đều khi các véc-tơ nút = [0 0 … 0 1 1… 1]

02/04/13

6


Đường cong thay đổi thi thay đổi véc-tơ nút

Đương cong Bezier là trường hợp đặc biệt của đường cong

B-spline không đều

Đường cong B-Spline không đều với sự thay đổi cục bộ

Đường cong hữu tỉ• Phương pháp để nội suy, xấp xỉ và phối hợp cả

đường cong tự do và các đường conic là sử dụng các hàm đa thức hữu tỉ (rational)

• Nhờ vào các trọng số w, có thể chỉnh dạng đường cong theo mong muốn

Bezier B-spline

Không hữu tỉ

Hữu tỉ

,0

( ) ( )n

i n ii

P t B t V=

=∑ ,0

( ) ( )n

i k ii

P t N t V=

=∑

,0

,0

( )( )

( )

n

i n i ii

n

i n ii

B t wVP t

B t w

=

=

=∑

∑

,0

,0

( )( )

( )

n

i k i ii

n

i k ii

N t wVP t

N t w

=

=

=∑

∑

Đường cong Bezier hữu tỉ

• Trong biểu thức hữu tỉ nói trên, nếu các trọng số đều bằng một thì đường cong trở thành không hữu tỉ.

,0

,0

( )( )

( )( ) ( )

n

i n i iwi

n

i n ii

B t wVP t

P tw t B t w

=

=

= =∑

∑

• Các trọng số cung cấp thêm một bậc tự do cho việc thiết kế đường cong (Khi trọng số wi lớn thì đường cong bị kéo về điểm Vi )

Đường cong B-spline hữu tỉ không đều(NURBS – Non uniform Rational B-spline)

• NURBS là đường cong được sử dụng phổ biến vì nó bao gồm cả đường cong Bezier và đường cong B-spline

• NURBS biểu diễn nhiều dạng đường cong khác nhau trong đó có cả các đường conic

,0

,0

( )( )

( )

n

i k i ii

n

i k ii

N t wVP t

N t w

=

=

=∑

∑

Ưu điểm của đường cong NURBS

• Để điều chỉnh hình dạng của đường cong, ngoài việc điều chỉnh tọa độ các điểm điều khiển, có thể thể thay đổi trọng số wi

• Các đường conic có thể được biểu diễn chính xác bằng phương trình đường cong NURBS

⇒ các đường cong conic, Bezier và B-spline đều có thể chuyển về đường cong NURBS tương ứng.

Ví dụ vẽ đường tròn bằng cách sử dụng đường cong NURBS

• Cấp đường cong: k=3• Số điểm điều khiển: 9 (tức n =8)• Các điểm điều khiển tương ứng (ví dụ) là: V0(1,0),

V1(1,1), V2(0,1), … như hình vẽ• Các trọng số tương ứng với các điểm điều khiển: w

={1,√2/2,1, √2/2,1, √2/2,1}• Các véc-tơ nút: m= n+k = 8+3 =11

t = [0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4]

02/04/13

7

Phân cấp đường cong trong phần mềm Maxsurf

Tùy chọn đường cong trong phần mềm Maxsurf

Nội suy Lagrange

• Cho một dãy các điểm trên mặt phẳng (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2),… (xn, yn), đường cong nội suy bậc n-1 đi qua n điểm như sau:

• Trong đó

,0

n

n i i ni

f y L=

=∑

0 1 1 1,

0 1 1 1

( )( )...( )( )...( )( )

( )( )...( )( )...( )i i n

i ni i i i i i i n

x x x x x x x x x xL x

x x x x x x x x x x− +

− +

− − − − −=− − − − −

Bài tập nhóm• Chia lớp thành 5 nhóm:1. Nhóm 1 xây dựng và vẽ đường cong tham số bậc 3 đi qua 2 điểm có

2 ràng buộc tiếp tuyến ở hai đầu (sử dụng excel hoặc matlab). Số liệu cụ thể tự cho.

2. Nhóm 2 xây dựng đường cong Spline tự nhiên đi qua 4 điểm (sử dụng excel hoặc matlab). Số liệu cụ thể tự cho.

3. Nhóm 3 xây dựng và vẽ đường cong Bezier bậc 3 theo 4 điểm control (sử dụng excel hoặc matlab). Số liệu cụ thể tự cho. Điều chỉnh vị trí của 1 trong 2 điểm giữa, tính toán lại đường cong và so sánh 2 đường cong đó trên cùng một đồ thị

4. Nhóm 4 xây dựng đường cong B-Spline bậc 3 theo 4 điểm control (sử dụng excel hoặc matlab). Số liệu cụ thể tự cho.

5. Nhóm 5 xây dựng và vẽ đường nội suy Lagrange đi qua 5 điểm tự cho (sử dụng excel hoặc matlab).

6. Nhóm 6: Vẽ đồ thị nội suy spline bậc 3 của đường cong y=sin(x) đi qua 5 điểm x=0, x= π /2, x= π, x= 3π/2 và x=2 x= π, sau đó so sánh với kết quả nội suy của excel trên cùng một đồ thị. Lập bảng tính sai số giữa nội suy và kết quả chính xác của hàm tại 50 điểm chia đều trong khoảng [0,2π]

cad/cam/cnc & rô-bốt

Documents