các khái niệm mở đầu về vectơ

DANAMATH

www.toanhocdanang.com

www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

HÌNH HỌC 10

GV:Phan Nhật Nam

KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ

http://www.toanhocdanang.com/


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ

I. Cơ sở lý thuyết :

Các định nghĩa :

ĐN 1: Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng.

Có một điểm đầu và một điểm cuối.

Hướng từ điểm đầu đến điểm cuối là hướng của vectơ

Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của vectơ

Ký hiêu : AB : A-điểm đầu, B-điểm cuối. AB : Độ dài của AB

a : là vectơ tự do (Chỉ biết được chiều và độ lớn) .

ĐN 2: Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Độ dài bằng 0.

Hướng tùy ý.

Ký hiệu : 0 ví dụ : AA = 0

ĐN 3: Hai vectơ cùng phướng : CD và AB cùng phương thì

AB cùng phương CD

CDAB

CDAB //

ĐN 4: Hai vectơ cùng hướng :CD và AB cùng hương thì

uêchicùngCDABtiahai

CDABCDAB

`,

//

ĐN 5: Hai vectơ ngược hướng :CD và AB ngược hương thì

/ /

, ùng `

AB CDAB CD

hai tia AB CD không c chi êu

ĐN 6: Hai vectơ bằng nhau :CD và AB bằng nhau thì

CDAB

CDABCDAB




ĐN 7: Hai vectơ đối nhau :CD và AB đối nhau thì

CDAB

CDABCDAB

ĐN 8: Góc của hai vectơ : Góc của CD và AB là góc tạo bởi 2 tia Ox

và Oy lần lượt cùng hướng với hai vectơ trên )180),(0( oo CDAB

Chú ý : Chứng minh 2 vectơ bằng nhau, thông thường ta sử dụng các mệnh đề sau:

1. ABCD là hình bình hành AB DC

AD BC

AB CD

2. M là trung điểm AB AM MB MA MB

3. 1 2

1 1 2

1 1 2

, ,...,...

...

n

n

n

M M M ABAM M M M B

AM M M M B

II. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác nhau ?

Ví dụ 2: Cho 2 vectơ 0AB và 0AC cùng phương nhau. Kết luận gì về 3 điểm A, B, C.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AC.

a. Ta có AB AC đúng hay sai ?

b. Chỉ ra các vectơ cùng hướng với AB ? Các vectơ ngược hướng với BC ?

c. Chỉ ra tất cả các cặp vectơ bằng nhau ?

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên

đoạn CD sao cho AM = CN. Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau ?giải thích ?

Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và DC.

AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F.

Chứng minh rằng : DE EF FB

Ví dụ 6: Cho điểm A. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a. 4AM cm

b. AM cùng phương với 0a cho trước.




Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D.

Chứng minh rằng : AE BD

Ví dụ 8: Cho nữa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và đường

kính AD. Chỉ ra các vec tơ bằng với BC

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC và M thuộc miền trong của tam giác ABC đó.

Gọi A’, B’, C’lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt

là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’.

a. Chứng tỏ: AQ CN và AM PC

b. Chứng tỏ ba đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy.

Ví dụ 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC.

Chứng minh rằng nếu MN AB

MN DC

thì ABCD là hình bình hành.

Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD bất kỳ . Chứng minh rằng: AB DC AD BC

Ví dụ 12: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O :

a. Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA

b. Tìm các vectơ bằng vectơ AB , OE

Ví dụ 13: Cho tam giác đều ABC. Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?

a. AB BC b. AB AC c. AB AC

Ví dụ 14: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của

BC và AD. Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN.

Chứng minh rằng: AM NC và DK NI

Ví dụ 15: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.

Chứng minh rằng: MN QP và NP MQ

Ví dụ 16: Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi B’

là điểm đối xứng của B qua O. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm

của cạnh BC.

a. Chứng minh rằng : 'AH B C

b. Chứng minh rằng : AI OM




Hướng dẩn giải các ví dụ :

Ví dụ 1:Cho hai điểm A, B. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác nhau ?

Giải:có 2 vectơ là AB và BA

Ví dụ 2:Cho 2 vectơ 0AB và 0AC cùng phương nhau.

Kết luận gì về 3 điểm A, B, C.

Giải:

AB và AC cùng phương nhau/ / ( )

, ,AB AC loai

A B CAB AC

thẳng hàng

Ví dụ 3:Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm BC

và N là trung điểm AC.

a. Ta có AB AC đúng hay sai ?

b. Chỉ ra các vectơ cùng hướng với AB ? Các vectơ ngược hướng với BC ?

c. Chỉ ra tất cả các cặp vectơ bằng nhau ?

Giải:

a. AB AC sai (vì AB và AC không cùng chiều)

b. NM cùng hướng với AB . CB ngược hướng với BC

c. AN NC (hay NA CN ), BM MC (hay MB CM )

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N

trênđoạn CD sao cho AM = CN. Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau ?giải thích ?

ABCD là hình bình hanh

AB DC hay BA CD

AD BC hay DA CB

/ /

AM CNgt

AM CN

AMCN là hình bình hành

AM NC hay MA CN

AN MC hay NA CM

/ /

BM DNgt

BM DN

AMCN là hình bình hành

BM ND hay MB DN

BN MD hay NB DM

A B

C D

M

N




Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F.

Chứng minh rằng : DE EF FB

Ta có :/ /

AM CNAMCN

AM CN

là hình bình hành

Theo gt ta có: N là trung điểm DC và NE // FC NE là đường trung bình của DFC

E là trung điểm của DF (1)DE EF

Tương tự ta cũng có : F là trung điểm của BE nên (2)EF FB

Vậy từ (1) và (2) ta có: DE EF FB (đpcm)

Ví dụ 6: Cho điểm A. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a. 4 4AM cm AM cm M luôn cách điểm A cố định một khoảng không

đổi 4cm Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A bán kính R = 4cm.

b. AM cùng phương với 0a giá của AM là đường thẳng d cùng phương

với 0a (với d là đường thẳng luôn đi qua A và M)

Do đó tập hợp tất cả các điểm M là đường thẳng d đi qua A và song song với

giá của a

Ví dụ 7:Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D.

Chứng minh rằng : AE BD

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có : (1)BA CD

Ta có: E đối xứng của C qua D D là trung điểm của CE (2)CD DE

Từ (1) và (2) ta có: BA DE ABDE là hình bình hành AE BD (đpcm)

A B

C D

M

N

E F

A

B C

D

E




Ví dụ 8:Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và đường

kính AD. Chỉ ra các vec tơ bằng với BC

Giải:

Với những điểm cho trong giả thiết thì ta có:

ABCO là hình bình hành BC AO

BCDO là hình bình hành BC OD

Vậy chỉ có hai vec tơ bằng BC là AO và OD

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC và M thuộc miền trong của

tam giác ABC đó. Gọi A’, B’, C’lần lượt là

trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt

là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’.

a. Chứng tỏ: AQ CN và AM PC

b. Chứng tỏ ba đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy.

Giải:

a. Từ giả thiết ta có:

C’ đồng thời là trung điểm của AB và MQ

AMBQ là hình bình hành (1)AQ MB

A’ đồng thời là trung điểm của BCvà MN

BMCN là hình bình hành (2)MB CN

Từ (1) và (2) ta có: AQ CN (đpcm)

B’ đồng thời là trung điểm của AC và MP

AMCP là hình bình hành AM PC (đpcm)

b. Theo câu a ta có: AQ CN ACNQ là hình bình hành

Gọi I AN CQ .

Khi đó I đồng thời là trung điểm của AN và CQ.

Ta có AMBQ là hình bình hành nên AM QB

mà ta lại có AM PC QB PC BCPQ là hình bình hành

Do đó I là trung điểm của BP (vì I là trung điểm của CQ)

A D

B

O

C

A

B C

M

A

’

B

’ C

’

N

P Q




Vây AN, BP và CQ đồng quy tại I (với I là trung điểm của mỗi đoạn )

Ví dụ 10:MN AB

AB DCMN DC

ABCD là hình bình hành.

Ví dụ 11: AB DC ABCD là hình bình hành AD BC

Ví dụ 12:Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O :

a. Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA

b. Tìm các vectơ bằng vectơ AB , OE

Giải:

a. các vectơ khác 0 và cùng phương với OA là : , , , , , ,AO BC CB EF FE OD DO

b. Có 3 vectơ bằng AB là , ,FO OC ED

Có 3 vectơ bằng OE là , ,AFBO CD

Ví dụ 13:Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Gọi I là trung điểm của AH,

M là trung điểm của cạnh BC.



Giải:

a. AB BC (sai vì 2 vec tơ không cùng phương)

b. AB AC (sai vì 2 vec tơ không cùng phương)

c. AB AC (đùng vì AB AC AB AC và ABC là tam giác đều)

Ví dụ 14:Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm

của BC và AD. Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN.

Chứng minh rằng: AM NC và DK NI

Theo giả thiết ta có: MC // AN và MC = AN

AMCN là hình bình hành AM NC (đpcm)

A

D

B

C

M N

I K




Ta có : AN BM ANMB là hình bình hành I là trung điểm của AM

Tương tự ta cũng có K là trung điểm của DM

Do đó IK là đường trung bình của AMD / /IK ND

IK ND

IKDN là hình bình hành DK NI (đpcm)

Ví dụ 15:Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB,

BC, CD, DA. Chứng minh rằng: MN QP và NP MQ

Giải:

Ta có : M, N lần lượt là trung điểm BA và BC

nến MN là đường trung bình của ABC

Do đó :1

2

/ /

MN AC

MN AC

(1)

Tương tự ta cũng có 1

2

/ /

PQ AC

PQ AC

(2)

Từ (1) và (2) ta có: / /MN PQ

MN PQ

MNPQ là hình bình hành MN QP

NP MQ

(đpcm)

Ví dụ 16:Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Gọi I là trung điểm của AH, M

là trung điểm của cạnh BC.



Giải:

a. Vì H là trực tâm của tam giác ABC

AH BC

Ta lại có BB’ là đường kính của đường tròn (O)

0' 90 'BCB AB BC

Suy ra AH // B’C (1)

Tương tự ta có: '

CH AB

AB AB

CH // AB’ (2)

D

A

B

C

M

N

Q

P

A

.

B

B

’

C

H

M

O

I




Từ (1) và (2) ta có: AHCB’ là hình bình hành 'AH B C

b. Ta có O và M lần lượt là trung điểm của BB’ và BC nên OM là đường trung bình

của tam giác BB’C

/ / '

1'

2

OM B C

OM B C

(3)

Lại có: I là trung điểm của AH

/ /

1

2

AI BC

AI BC

(4) (vì AHCB’ là hình bình hành)

Từ (3) và (4) ta có: / /AI OM

AI OM

AIMO là hình bình hành AI OM


các khái niệm mở đầu về vectơ

Education