c · web viewsoal-soal kerjakan soal berikut sebagai latihan bentuk integral yang integrannya...

65
BAB II METODE INTEGRASI Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Metode-metode yang digunakan tersebut semata-mata bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan antiturunan fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah integran dari bentuk integral yang diberikan. Selanjutnya dalam bab ini disajikan 6 metode yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode mempunyati sifat-sifat tertentu. Metode dalam integrasi tersebut adalah: Substitusi, 1) Integral Fungsi Trigonometri, 2) Teknik Subtitusi Fungsi Trigonometri, 3) Integral Parsial 4) Integral Fungsi Rasional, dan 5) Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri 1. Metode Substitusi Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Teknik ini pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu; Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 28

Upload: others

Post on 06-Sep-2020

21 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

BAB II

METODE INTEGRASI

Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Metode-

metode yang digunakan tersebut semata-mata bertujuan untuk memudahkan

dalam menentukan antiturunan fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah

integran dari bentuk integral yang diberikan. Selanjutnya dalam bab ini disajikan

6 metode yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode

mempunyati sifat-sifat tertentu. Metode dalam integrasi tersebut adalah:

Substitusi,

1) Integral Fungsi Trigonometri,

2) Teknik Subtitusi Fungsi Trigonometri,

3) Integral Parsial

4) Integral Fungsi Rasional, dan

5) Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri

1. Metode Substitusi

Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Teknik ini pada umumnya

digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus

integral tak tentu, yaitu;

a. asalkan n -1 atau

b. asalkan n -1

Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan jika

integrannya berbentuk funsi berpangkat yaitu atau bentuk lain

yang tidak sejenis dengan tanda integrasinya, misalnya ,

atau yang lainnya.

Jika integrannya maka yang disubstitusi adalah

dan jika integrannya maka yang disubstitusi adalah

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-28

Page 2: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Setelah substitusi dilakukan selanjutnya masing-masing bagian

didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan rumus umuma. Untuk lebih

jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut:

Tentukan integral fungsi-fungsi berikut:

1.

Jawab

Substitusikan

Substitusi bentuk terakhir ke , diperoleh

Dengan rumus dasar di dapat

Akhirnya diperoleh

2.

Jawab

Substitusi

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-29

Page 3: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Sehingga

Akhirnya diperoleh

3.

Jawab

Substitusi

Sehingga

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-30

Page 4: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Akhirnya diperoleh

4.

Jawab

Substitusikan

Sehingga

Akhirnya diperoleh

5.

Jawab

Substitusikan

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-31

Page 5: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Sehingga

Akhirnya diperoleh

6.

Jawab

Substitusi Misal

Sehingga

Akhirnya diperoleh

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-32

Page 6: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

7.

Jawab

Substitusi

Sehingga

Akhirnya diperoleh

8.

Jawab

Substitusikan

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-33

Page 7: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Sehingga

Akhirnya diperoleh

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-34

Page 8: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

B. Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih

mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang

menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan

antiturunannya. Bentuk dasar integral fungsi trigonometri tersebut adalah:

1)

2)

3)

4)

5)

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-35

Page 9: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

6)

Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas,

selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-

masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di

bahas adalah:

a. Bentuk dengan m bilangan ganjil atau genap positip

Kasus 1: m adalah bilangan ganjil

Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m

digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan

identitas dan diferensial atau

. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara

integran dengan tanda integrasinya, sehingga pengintegralan mudah diselesaikan.

Contoh:

1.

Jawab

Sehingga

2.

Jawab

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-36

Page 10: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Sehingga

3.

Jawab:

Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka gunakan

substitusi terlebih dahulu. Substitusikan dan atau

Sehingga

Akhirnya diperoleh

Kasus 2 m adalah bilangan ganjil

Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan

menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

Kasus 1: m adalah bilangan ganjil

sehingga atau

Contoh:

Tentukan pengintegralan berikut ini.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-37

Page 11: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

1.

Jawab

Akhirnya diperoleh

2.

Jawab

Akhirnya diperoleh

3.

Jawab

Substitusikan Misal diperoleh atau , sehingga

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-38

Page 12: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Akhirnya diperoleh

Soal-soal

Tentukan pengintegralan berikut ini.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-39

Page 13: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

8)

9)

10)

b. Bentuk

Terdapat dua kasus pada pengintegralan .

Kasus 1 : m atau n ganjil

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, pilih salah satu m atau n. Jika

dipilih m, ubah m menjadi (m-1)+1 demikian pula jika yang dipilih n, ubah n

menjadi (n-1)+1. Pemilihan tidak boleh sekaligus. Selanjutnya gunakan kesamaan

identitas dan sifat diferensial dan

dan akhirnya pengintegralan dapat dilakukan dengan cara

sebelumnya.

Contoh

1.

Jawab

Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi

(3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-40

Page 14: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Akhirnya diperoleh

2.

Jawab

Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi

(3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh

Akhirnya diperoleh

3.

Jawab

Karena kedua pangkatnya 3 (ganjil), pilihu salah satu dan diubah menjadi

(3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas diperoleh

Atau

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-41

Page 15: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Kasus 2 : m dan n genap sekaligus.

Jika m dan n genap sekaligus, digunakan kesamaan setengah sudut

dan . Selanjutnya substitusikan kesaman

pada integran dan akhirnya diperoleh hasil pengintegralannya.

1.

Jawab

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

Akhirnya diperoleh

2.

Jawab

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya

gunakan kesamaan setengah sudut sin = dan .

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-42

Page 16: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Akhirnya diperoleh

c.

Bentuk integral fungsi trigonometri dibedakan dalam

dua kasus.

Kasus 1: n bilangan ganjil

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-43

Page 17: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan atau

dan gunakan sifat diferensial atau

Contoh

Tentukan integral berikut ini

1.

Jawab

Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan

kesamaan identitas dan

Sehingga diperoleh

2.

Jawab

Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan

kesamaan identitas dan

Sehingga diperoleh

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-44

Page 18: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Kasus 2: n bilangan genap

Jika n bilangan genap, maka digunakan kesamaan identitas dan

. Selanjutnya dengan menggunakan sifat diferensial

atau

Perhatikan contoh berikut:

1.

Jawab

=

=

=

=

=

d. , dan

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n

sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan atau

Contoh

1.

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan

identitas 1+tan , sehingga diperoleh

=

=

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-45

Page 19: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

=

=

2.

Jawab

=

=

=

=

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan

substitusi kesamaan identitas 1 + tan atau 1 + cot = csc .

Contoh:

1. =

=

=

=

=

2. =

=

=

= + C

e. ,

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus

kesamaan hasil kali, yaitu:

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-46

Page 20: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

sin mx cos nx =

sin mx sin nx =

cos mx cos nx =

Contoh

1. 3x cos 4x dx = dx

= + sin (-x) dx

= - x + C

2. dx = dx

=

= 5x + x + c

3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y] dy

= dy

=

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-47

Page 21: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri

Metode substitusi fungsi trigonometri

digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-

bentuk:

a. , a Real

b. = , a Real

c. , a Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

=

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-48

Page 22: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

=

= atau yang dapat diubah menjadi bentuk

kuadrat sempurna.

Bentuk integral yang integrannya memuat atau bentuk lain yang dapat

diubah menjadi sejenisnya. Selesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t atau

sin t = dengan - .

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena x = a sin t maka =

=

= a cos t

dx = a cos t dt.

Selanjutnya bentuk dan substitusikan ke dalam

integral semula.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

dx

Jawab

Misal x = 2 sin t sin t =

dx = 2 cos t dt

=

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-49

Page 23: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Sehingga

=

= 4 = 4 = 2 + 2 dt

=

= +c

Atau 4 = 4 ( + )

= 2 sint cost + 2t + C

= 2 + 2 arc sin + C

=

2.

Jawab

=

Misal (x-2) = 2 sin t, sin t =

dx = 2 cos t dt

, sehingga

=

=

= t + C

= arc sin + C

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-50

Page 24: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

3.

Jawab

=

Misal (x-3) = 5 sin t,

dx = 5 cos t dt

= 5 cos t, sehingga

=

=

= t + C

= arc sin + C

Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca

dx

Jawab

Substitusi x =

dx =

= , sehingga

dx =

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-51

Page 25: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

= 9

= 9

=

=

=

=

=

=

= + C

=

Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk atau bentuk lain yang

dapat diubah sejenisnya, selesaiannya menggunakan

substitusi x = a tan t atau dan dx = a sec , dengan -

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-52

Page 26: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Karena x = a tan t maka =

=

= a sec t

Selanjutnya bentuk dan dx = a sec .substitusikan ke dalam

integral semula.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.

1.

Jawab

Misal x = 3 tan t

dx = 3 sec t2 dt

3 sec t, sehingga

=

=

= ln

= ln + C

= ln

2.

Jawab

=

=

Misal (x+2) = tan t

x = (tan t) - 2

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-53

Page 27: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

dx = sec t dan

= sec t, sehingga

=

= - dt

= 2 sec t – 5 ln

= 2

Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan

Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya

menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec t tan t dt,

- .

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-54

Page 28: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Karena x = a tan t maka =

=

= a

Selanjutnya bentuk = a dan dx = a substitusikan ke

dalam integral semula.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.

Jawab

Misal x = 3 sec t

dx = 3 sec t tan t dt

= 3 tan t, sehingga

=

= 3

= 3

= 3 tan t – 3 t + C

= 3

2.

Jawab

=

Misal (x-1) = 3 sec t,

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-55

Page 29: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

dx = 3 sec t tgn t dt

= 3 tgn t, sehingga

=

=

= ln

= ln

Soal-soal

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.

2.4 Integral Parsial (Integral Bagian)

Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral yang

integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dan u = f(x), v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv

diperoleh

dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-56

Page 30: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan

dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi

udv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih

sulit dibandingkan dengan tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Tentukan integral persial berikut ini

1.

Jawab

Bentuk diubah menjadi

Misal dan = x sehingga

dan

Akibatnya

Dengan rumus integral parsial

, diperoleh

Akhirnya diperoleh

2. dx

Bentuk diubah menjadi

Misal dan sehingga

dan

Sehingga dx =

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-57

Page 31: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Berdasarkan rumus integral parsial

, diperoleh

dx =

= -

= -

= -

= -

3. e dx

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx

dv = , v = = , sehingga:

e dx = sin x d(

=

=

Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode parsial

Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx

dv = , v = = , sehingga:

e dx = cos x d(

=

=

=

Akhirnya diperoleh

e dx =

=

e dx =

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-58

Page 32: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.

dx

e dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-59

Page 33: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) =

, dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) 0.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f(x) = a + a x + a x + a x + … + a x , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional

adalah fungsi berbentuk yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Contoh

f(x) = …………….fungsi rasional sejati

f(x) = …………….fungsi rasional tidak sejati)

f(x) = .............fungsi rasional tidak sejati)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang

lebih kecil dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional

tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat

penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati,

maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian

panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

f(x) =

= x +

F(x) = , g(x) 0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-60

Page 34: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = sampai tidak dapat

difaktorkan lagi.

Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:

fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)

fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax +bx + c)

fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax px + qx + c)

fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax dan seterusnya.

Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga

integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal :

(Penyebut kombinasi liner berbeda)

(kombinasi lenear berulang)

(kombinasi kuadrat berbeda)

(kombinasi linear dan kuadrat)

Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan

hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A , A ,

…A dan B , B , …B .

Berdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada integran, maka hasil integralnya

dapat ditentukan dengan menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh

masing-masing konstanta.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh : (Faktor linear berbeda)

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-61

Page 35: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

1. Tentukan

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

dx =

=

=

=

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

dx =

= -

= ln

= ln

2. integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

=

=

=

3.

Jawab

=

=

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-62

Page 36: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

=

=

Diperoleh A + B + C = 0

A + 3B – 2C = 1

-6A = 1

Atau A = - , B = , C =

Sehingga =

=

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut:

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)

1. ,

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-63

Page 37: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Jawab

Karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:

=

=

=

=

= dx

Sehingga diperoleh

A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga

= dx

=

= ln

2.

Jawab

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi

fungsi rasional sejati. Sehingga:

=

=

Selanjuntnya

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-64

Page 38: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

=

=

=

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:

dx

= 5 ln

3.

Jawab

Integran fungsi rasional sejati, sehingga:

=

=

=

=

Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga

=

=

= ½ ln

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-65

Page 39: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

4. dx

Jawab

Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari pembilang

integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati)

dx =

= +

= +

Selanjutnya dicari =

=

=

=

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4,

atau A = -1, B = , C =

Hasil akhir pengintegralan

-

Soal-soal

Tentukan

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-66

Page 40: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda

dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya

penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau

kuadrat dengan kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B,

dan C.

Contoh

1.

Karena integran fungsi rasional sejati maka

=

=

=

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

=

=

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-67

Page 41: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

=

2.

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

=

=

=

=

Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:

=

=

= arctg x +

3.

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat

(x , sehingga:

=

=

=

Maka diperoleh

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-68

Page 42: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau

A = 2, B = -1, C = 0, D = -1

=

=

=

=

Jadi =

4.

Jawab

=

=

=

=

Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1

=

=

= ln + ½ arc tan

5.

Jawab:

=

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-69

Page 43: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

=

= ½ x2 - 5

= x2 – 5.

= ½ x2 -

= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C

= ½ x2 – ln + C

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri

Fungsi F(x) = dan g(x) mememuat fungsi

trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak

dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) =

cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial.

Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE SUBSTITUSI.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan

penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

F(x) =

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-70

Page 44: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

F(x) =

F(x) =

F(x) =

F(x) =

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan

penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

dx

dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

x = 2 arc tan z sehingga dx = .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.

Karena x = 2 arc tan z maka:

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

1 + tan = sec

1 + z

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-71

Page 45: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

sin

, sehingga didapat

sin

=

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

cos 2x = cos sin x

=

Dengan rumus jumlah sinus didapat:

sin 2x = 2 sin x cos x

sin x = 2 sin cos

= 2

=

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat

diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tan z, sin x = , cos x =

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Tentukan selesaian dari

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-72

Page 46: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

1.

Jawab

=

=

=

=

= + C

=

2.

Jawab =

=

=

=

=

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-73

Page 47: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

=

=

3. =

Jawab

=

=

=

=

=

=

=

=

Soal-soal

Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!

2.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-74

Page 48: C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec

= ln

dx = -ln

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-75