Lie2020 6 12

BV19321 Yuto Toyoshima

———————————————————————————–[1] Loring W.Tu, , , 2019.

[2] , , , 1988.

———————————————————————————–

1 16

2 16

3 16

4 16

5 16

6 16

7 1 16

8 16

9 Lie Lie 16

———————————————————————————–♣ 1———————————————————————————–♦

X , X Rn f :O→O′ O , (O, f) .*1, X n (topological manifold) .

1) X Hausdorff . 2) X .*2

(O1, f) (O2, g) , (O1, f) x, (O2, g) yy=g(f−1(x)) , g◦f−1 : f(O1∩O2)→g(O1∩O2) (O1, f) (O2, g) (coordinate transformation) ., Cr Cr , Cr .*3

( ) Rn C∞ .R2 {(x, y) | xy=1} 1 C∞ .Rn+1 n Sn≡{(x1, · · ·, xn+1) | x12+· · ·+xn+12=1} C∞ .

, Ui+={(x1, · · ·, xn+1)∈Sn | xi>0} Ui−={(x1, · · ·, xn+1)∈Sn | xi

———————————————————————————–♣ 2———————————————————————————–♦

C∞ .y= tx t∈R× x, y∈Rn+1−{0} , RPn (real projective space) .

(a0, · · ·, an) [a0, · · ·, an] , RPn (homogeneous coordinate) .

x=±y x, y∈Sn R , f̄([x])≡ [x/‖x‖] f̄ :RPn→Sn/R .*8, f(x)≡x/‖x‖ f :Rn+1−{0}→Sn f̄ .

—————————————————————————————————————————————————————————————–π1 :Rn+1−{0}→RPn π2 :Sn→Sn/R , π2◦f f̄ .

, g(x)≡x g :Sn→Rn+1−{0} ḡ([x])≡ [x] ḡ :Sn/R→RPn .f̄ ḡ .

—————————————————————————————————————————————————————————————–

( ) RP 1 S1/R , RP 1 S1 .RP 2 S2/R , .

, H2≡{(x, y, z)∈R3 | x2+y2+z2=1, z≥0} D2≡{(x, y)∈R2 | x2+y2≤1} φ(x, y, z)≡(x, y) φ :H2→D2, a=±b a, b∈{(x, y, z)∈H2 | z=0} R′, a=±b a, b∈{(x, y)∈D2 | x2+y2=1} R′′

, φ̄ :H2/R′→D2/R′′ ., RPn,S2/R,H2/R′,D2/R′′ D2/R′′ RPn .

, RPn .—————————————————————————————————————————————————————————————–Rn+1−{0} U π−1(π(U))=∪{tu | t∈R−{0}, u∈U} , t∈R−{0} Rn+1−{0} ,π−1(π(U)) Rn+1−{0} .

, π .—————————————————————————————————————————————————————————————–

, Rn+1−{0} 2 , RPn 2 .

, RPn Hausdorff .—————————————————————————————————————————————————————————————–

R (x, y) , R rank(xy)≤1 (x, y)∈(Rn+1−{0})×(Rn+1−{0}) .(xy) 2×2 0 , R (Rn+1−{0})×(Rn+1−{0}) .

—————————————————————————————————————————————————————————————–

RPn [a0, · · ·, an] Ui≡{[a0, · · ·, an]∈RPn | ai .=0} , π−1(Ui) Rn+1−{0} Ui RPn.

φ0([a0, · · ·, an])≡(a1/a0, · · ·, an/a0) φ0 :U0→Rn , ψ0(a0, · · ·, an)≡(a1/a0, · · ·, an/a0) ψ0 :π−1(U0)→Rn, (b1, · · ·, bn) /→ [1, b1, · · ·, bn] φ0 φ0 .

φi :Ui→Rn {(Ui,φi)} RPn , (standard atlas) .C∞ .

—————————————————————————————————————————————————————————————–[a0, · · ·, an](a0 .=0, a1 .=0) U0 x1, · · ·, xn, U1 y1, · · ·, yn , U0 U1 (φ1◦φ−10 )(x)=(1/x1, x2/x1, · · ·, xn/x1) , φ0(U0∩U1) x1 .=0 C∞ .—————————————————————————————————————————————————————————————–

*8 .

———————————————————————————–♣ 3———————————————————————————–♦

Cr f :X→Y f(O)⊂O′ X (O,ϕ) Y (O′,ψ) ψ◦f ◦ϕ−1 f ,Cs f Cs .*9

, 1 f Cs Cs .*10

.—————————————————————————————————————————————————————————————–1 (U,ϕ) (V,ψ) f Cs , (U ′,ϕ′) (V ′,ψ′) f Cs .

(U ′,ϕ′) (V ′,ψ′) f ψ′◦f ◦ϕ′−1=(ψ′◦ψ−1)◦(ψ◦f ◦ϕ−1)◦(ϕ◦ϕ′−1) ,ϕ◦ϕ′−1 (U ′,ϕ′) (U,ϕ) , ψ′◦ψ−1 (V,ψ) (V ′,ψ′) , ψ◦f ◦ϕ−1 (U,ϕ) (V,ψ) f

ψ′◦f ◦ϕ′−1 Cs .*11—————————————————————————————————————————————————————————————–

Cs f Cs (mapping of class Cs) .*12

, Cs Cs .—————————————————————————————————————————————————————————————–f :X→Y g :Y →Z Cs , g◦f :X→Z Cs (s≥1) . (s=0 .)

g(V )⊂W f(p) (V,ψ) g(f(p)) (W, ξ) g ξ◦g◦ψ−1 Cs , ff(U)⊂V p (U,ϕ) , (U,ϕ) (V,ψ) f ψ◦f ◦ϕ−1 Cs .

ξ◦(g◦f)◦ϕ−1=(ξ◦g◦ψ−1)◦(ψ◦f ◦ϕ−1) Cs .*13—————————————————————————————————————————————————————————————–

( ) X Cs f :X →R Cs , Cs (function of class Cs) .Cs Cs , X Cs , X .

, Cs .R (a, b) Cr X Cs Cs (Cs curve) , .Cr X X′ Cr .Cr Cs f :X→Y X , f Cs .Cr X,Y π :X×Y →X Cr .

, (p, q)∈X×Y (U,ϕ) (V,ψ) p q , ϕ◦π◦(ϕ×ψ)−1(x1, . . ., xm, y1, · · ·, yn)=(x1, · · ·, xm)π Cr .

Cr Cs Cs Cs (Cs diffeomorphism) , Cs

(Cs diffeomorphic) ..

n Cr X O Rn O′ f , (O, f) Cr f Cr.

—————————————————————————————————————————————————————————————–( ) f , f−1 Cr .( ) X Cr S={(Uα,ϕα)} , ϕα Cr , (O, f) (Uα,ϕα)

Cr .—————————————————————————————————————————————————————————————–

*9 O (x1, · · ·, xm), O′ (y1, · · ·, yn) yi(x1, · · ·, xm) Cs .*10 O′ f f(O)⊂O′ O , .*11 ϕ◦ϕ′−1 x′i xi , ψ′◦f ◦ϕ−1 xi yi , ψ◦ψ−1 yi y′i .*12 , Cs Cs .*13 ψ◦f ◦ϕ−1 yi xi , ξ◦g◦ψ−1 zi yi .

———————————————————————————–♣ 4———————————————————————————–♦

p∈X Cr p (point-derivation) .*141) p φ=ψ , v(φ)=v(ψ) .2) p φ, ψ v(aφ+bψ)=av(φ)+bv(ψ) (a, b∈R) , v(φψ)=v(φ)ψ(p)+φ(p)v(ψ) .

p Drp(X) u+v(φ)≡u(φ)+v(φ), av(φ)≡v(aφ) (u, v∈Drp(X), a∈R) R .*15, X U Cr , U ( Cr ) Cr(U)→Cr(U)

U (derivation) . ( R .)

p Cr φ :X→R ∂φ/∂xi(p)( ) (∂/∂xi)p p , 1.

(∂/∂xi)p Tp(X) p X (tangent vector space) , .*16

—————————————————————————————————————————————————————————————–p (U,ϕ) xi (V,ψ) yi , .*17

∂φ

∂xi(p)=

∂(φ◦ϕ−1)∂xi

(p)=∂((φ◦ψ−1)◦(ψ◦ϕ−1))

∂xi(p)=

n∑

j=1

∂(yj ◦ϕ−1)∂xi

∂(φ◦ψ−1)∂yj

(p)=n∑

j=1

∂yj∂xi

∂φ

∂yj(p)

(∂/∂x1)p, · · ·, (∂/∂xn)p (∂/∂y1)p, · · ·, (∂/∂yn)p , .—————————————————————————————————————————————————————————————–

f(0)=p Cr f :R→X , φ φ◦f(t) t=0 vf p ,f t=0 .

, .1) f .2) X (t=0 ) Cr g :R→X (g(0)=p) .

—————————————————————————————————————————————————————————————–1) p (O,ϕ) p Cr φ .

vf (φ)=d(φ◦f)

dt(0)=

n∑

i=1

dxidt

(0)∂(φ◦ϕ−1◦ϕ◦f)

∂xi(p)=

n∑

i=1

dxidt

(0)∂(φ◦ϕ−1)

∂xi(p)

2) p (x1, · · ·, xn) v=∑

vi(∂/∂xi)p , g(t)=(a1+v1t, · · ·, an+vnt) g .—————————————————————————————————————————————————————————————–

, .1) C∞ Tp(X)=D∞p (X) . 2) C

r Tp(X)!Drp(X) .—————————————————————————————————————————————————————————————–1) , v∈D∞p (X) 0 . ( , f(x)≡1 f :X→R v(f)=v(ff)=2v(f) v(f)=0 ,g(x)≡a g :X→R v(g)=v(af)=av(f)=0 .)

, p (U,ϕ) ϕ(p)=(0, · · ·, 0) , Taylor p C∞ f :X→R .f(x1, · · ·, xn)=f(0, · · ·, 0)+

∑∂f/∂xi(0, · · ·, 0)·xi+

∑gij(x1, · · ·, xn)xixj (gij p C∞ )

, .v(f) =

∑∂f/∂xi(0, · · ·, 0)v(xi)+v(

∑gijxixj) =

∑∂f/∂xi(0, · · ·, 0)v(xi)+

∑(v(gijxi)xj+gijxiv(xj)) =

∑∂f/∂xi(0, · · ·, 0)v(xi)

, v=∑

v(xi)(∂/∂xi)p , D∞p (X)⊂Tp(X) .—————————————————————————————————————————————————————————————–

( ) Rn (∂/∂xi)p (∂/∂xi)p /→ei Rn∑

ci(∂/∂xi)p (c1, · · ·, cn)∈Rn, f vf =

∑dxi/dt(∂/∂xi)p (dx1/dt, · · ·, dxn/dt)∈Rn .

( , Euclid .)p (O;x1, · · ·, xn) p (a1, · · ·, an) , fi(t)≡(a1, · · ·, ai+t, · · ·, an) fi :R→X

O i , (∂/∂xi)p .

*14 .

p U Cr φ (U,φ) , W φ=ψ W ⊂U∩V (U,φ) (V,ψ) ,(U,φ) φ (germ) , C∞p (X) .

, Leipniz D :C∞p (X)→R p .*15 p X U , Drp(X)=D

rp(U) .

*16 Rn n .*17 , ∂(yj ◦ϕ−1)/∂xi yj ψ U∩V .

———————————————————————————–♣ 5———————————————————————————–♦

Cr f :X→Y p∈X Cr g :R→X , f ◦g :R→Y f(p)∈Y Cr ., p X O f(p) Y O′ f yi=fi(x1, · · ·, xm) Cr , ( O

g ) .

vg=∑ dxi

dt(0)

(∂

∂xi

)

p

vf◦g=∑(∑ ∂fj

∂xi(p)

dxidt

(0)

)(∂

∂yi

)

f(p)

, n×m (Jf)p p f Jacobi .

(∂/∂y1)f(p)...

(∂/∂yn)f(p)

=

∂f1/∂x1(p) · · · ∂f1/∂xm(p)...

. . ....

∂fn/∂x1(p) · · · ∂fn/∂xm(p)

(∂/∂x1)p...

(∂/∂xm)p

, f :X→Y p (∈X) (differential) .*18(df)p :Tp(X)→Tf(p)(Y ) :X v v=vg Cr g :R→X vf◦g

, Jacobi (∂/∂xi)p (∂/∂yi)f(p) .

, v f(p) Cr ξ :Y →R ((df)p(v))(ξ)=v(ξ◦f) .—————————————————————————————————————————————————————————————–v Cr g :R→X .

((df)p(v))(ξ)=vf◦g(ξ)=d(ξ◦f ◦g)/dt(0)=vg(ξ◦f)=v(ξ◦f)—————————————————————————————————————————————————————————————–

( ) (df)p((∂/∂xi)p)=∑∂fj/∂xi(p)(∂/∂yj)f(p) (yj =fj(x1, · · ·, xn)) .

Cr f :Rn→R V (f)≡df(p+tv)/dt|t=0=∑

vi ·∂f/∂xi(p) p∈Rn v , V p.*19

, (df)p(V )=∑

vi(df)p((∂/∂xi)p)=∑

vi(∂f/∂xi(p)(d/dy)f(p))=V (f)(d/dy)f(p) f ,

f .Cr f :R→Rn (df)p((d/dt)p)=

∑dxi/dt(p)(∂/∂xi)f(p) , f

.

X,Y, Z l , m , n Cr , f :X→Y g :Y →Z d(g◦f)p=(dg)f(p)◦(df)p . ( )—————————————————————————————————————————————————————————————–v∈Tp(X) t=0 Cr ϕ :R→X , .

d(g◦f)p(v)=d(g◦f ◦ϕ)/dt|t=0=(dg)f(p)(d(f ◦ϕ)/dt|t=0)=(dg)f(p)◦(df)p(v)—————————————————————————————————————————————————————————————–

, Jacobi J(g◦f)p=(Jf)p◦(Jg)f(p) .

, Cr f :X→Y ( ) , (df)−1p =(df−1)f(p) .—————————————————————————————————————————————————————————————–Jacobi X Tp(X) (df−1)f(p)◦(df)p= idTp(X), (df)p◦(df

−1)f(p)= idTf(p)(Y ) .—————————————————————————————————————————————————————————————–

, .1) p∈X , J(idX)p=E .2) Cr , (Jf)p (Jf−1)f(p)=(Jf)

−1p .

3) Cr .

( ) f :Rm→Rn A x∈Rm Jacobi .f C∞ A .

*18 t=0 f◦g t=0 g Jacobi , .*19 Rn f v .

———————————————————————————–♣ 6———————————————————————————–♦

p∈X Cr f :X→Y p (immersion) , Cr p (submersion). , .

, , dimX≤dimY ,dimX≥dimY .

, p∈X f (rank) , (rank f)(p) ., .

1) f , dimX≥dimY f dimY .2) f , dimX≤dimY f dimX .

, Jacobi , Jacobi .*20

, Jacobi (dimY ×dimX) .1) f dimY Jacobi 0 (dimY ×dimY ) .*212) f dimX Jacobi 0 (dimX×dimX) .

( ) Euclid , .X U U→X . ( , .)

Sn→Rn+1 ., Sn (U+n+1,φ

+n+1) i :S

n→Rn+1 (x1, · · ·, xn) /→(x1, · · ·, xn,√

1−(x21+· · ·+x2n))(di)p :Tp(Sn)→Ti(p)(Rn+1) .f(θ)≡(cos θ, sin θ) f :R→R2 .g(t)≡(t2(1−t)/(t3+(1−t)3), t(1−t)2/(t3+(1−t)3)) g :R→R2 , Descartes .

♦

f :X→Y (regular point) , (critical point) .*22, f (critical value) , Y (regular value) .*23

, Cr f :X→R p∈X f ∂f/∂xi(p)=0 (i=1, · · ·, n) p.

—————————————————————————————————————————————————————————————–f R 0 1 . ( , .)

, Jacobi , 0 .—————————————————————————————————————————————————————————————–

♦

n Cr X S k Cr (submanifold) .*24

p∈S S∩U k+1 0 p (U,φ) . ( {(U,φ)}.)

k Cr .—————————————————————————————————————————————————————————————–k

♦

f−1(y)≡{x∈X | f(x)=y} f :X→Y y∈Y (level set) , .*26

( ) S2 f(x, y, z)≡x2+y2+z2−1 f :R3→R 0 ., f (0, 0, 0) S2 f .

, .1) C∞ g :X→R g−1(c) , f(x)≡g(x)−c f :X→R f−1(0) .2) C∞ g :X→R g−1(c) X n−1 .

—————————————————————————————————————————————————————————————–1) p∈X g(p)=c f(p)=0 , f g .

g−1(c) g f−1(0) f .2) f(x)≡g(x)−c f :X→R , p∈g−1(c) f p (U,φ) (∂f/∂xi)(p) .=0 i. ( , i=1 .)

ψ(p)≡(f(p), x2(p), · · ·, xn(p)) ψ :U→Rn (∂f/∂x1)(p) .=0 , (Up,ψ)p Up ., {(Up,ψ) | p∈g−1(c)} , g−1(c) X n−1 .

—————————————————————————————————————————————————————————————–

.: C∞ f :X→Y f−1(c) X (dimX−dimY ) .*27

—————————————————————————————————————————————————————————————–Y (V,ψ)=(V ; y1, · · ·, ym) ψ(c)=0 , f−1(V ) f−1(c) X , f−1(c)=(ψ◦f)−1(0) .

, fi≡yi◦f fi :X→R , p∈f−1(c) X U⊂f−1(V ) (U,ϕ)=(U ;x1, · · ·, xn) , p fJacobi (∂fi/∂xj(p)) dimY .

, (dimY ×dimY ) (∂fi/∂xj(p))1≤i,j≤m , p (Up; f1, · · ·, fm, xm+1, · · ·, xn) X. ( , p Jacobi 0 , .)

, {(Up; f1, · · ·, fm, xm+1. · · ·, xn)} .—————————————————————————————————————————————————————————————–

( ) S≡{(x, y, z)∈R3 | x3+y3+z3=1} R3 2 ., f(x, y, z)≡x3+y3+z3 f :R3→R S=f−1(1) , f (0, 0, 0).

S≡{(x, y, z)∈R3 | x3+y3+z3=1, x+y+z=0} R3 1 ., f(x, y, z)≡(x3+y3+z3, x+y+z) f :R3→R2 S=f−1(1, 0) , f (0, 0, 0)

.SLn(R) GLn(R) n2−1 .

, f(A)≡detA f :GLn(R)→R SLn(R)=f−1(1) , f.

, .Sard : C∞ f :X→Y Lebesgue 0 .

♦

, .: f :X→Y p∈X k , (ψ◦f ◦ϕ−1)(x1, · · ·, xm)=(x1, · · ·, xk, 0, · · ·, 0) , p 0

X (U,ϕ) f(p) 0 Y (V,ψ) .—————————————————————————————————————————————————————————————–p X (Ū , ϕ̄) f(p) Y (V̄ , ψ̄) ψ̄◦f ◦ϕ̄−1 Euclid , ψ̄ ϕ̄

, Ũ ψ̄◦ϕ̄−1 k ϕ̄(p)∈Rm Ũ ., Euclid (F ◦ψ̄◦f ◦ϕ̄−1◦G−1)(x1, · · ·, xm)=(x1, · · ·, xk, 0, · · ·, 0) Ũ G ,

(ψ̄◦f)(p)∈Rn Ṽ F ., U= ϕ̄−1(Ũ), V = ϕ̄−1(Ṽ ), ϕ=G◦ϕ̄, ψ=F ◦ψ̄ .

—————————————————————————————————————————————————————————————–

, .: C∞ f :X→Y f−1(c) f k , f−1(c) X (dimX−k)

.—————————————————————————————————————————————————————————————–p∈f−1(c) (ψ◦f ◦ϕ−1)(x1, · · ·, xm)=(x1, · · ·, xk, 0, · · ·, 0) p 0 X (U,ϕ) c

0 Y (V,ψ) .ϕ(f−1(c))=ϕ(f−1(ψ−1(0)))=(ψ◦f ◦ϕ−1)−1(0) ϕ f−1(c) (0, · · ·, 0, xk+1, · · ·, xm) .

, {(U,ϕ)} f−1(c) (dimX−k) .—————————————————————————————————————————————————————————————–

( ) On(R) GLn(R) ., f(A)≡ tAA f :GLn(R)→GLn(R) On(R)=f−1(E) , A∈GLn(R) B∈GLn(R)

lB , rB , f ◦rB= ltB◦rB◦f (df)AB◦(drB)A=(dltB)tAAB◦(drB)tAA◦(df)A ., ., (rank f)(AB)=(rank f)(A) A AB GLn(R) .

, f p , p∈X (U,ϕ) f(p)∈Y (V,ψ), f p∈U U .

, Jacobi k×k 0 , .

*26 f :X→Y , f .*27 . f(x, y)≡y2 f :R2→R f−1(0) R2 , f

f−1(0) .

, .1) C∞ f :X→Y p∈X , f dimX p .2) C∞ f :X→Y p∈X , f dimY p .

, .*28

: p∈X f :X→Y , (ψ◦f ◦ϕ−1)(x1, · · ·, xm)=(x1, · · ·, xm, 0, · · ·, 0) , p 0 X(U,ϕ) f(p) 0 Y (V,ψ) .

: p∈X f :X→Y , (ψ◦f ◦ϕ−1)(x1, · · ·, xn, xn+1, · · ·, xm)=(x1, · · ·, xn) , p 0X (U,ϕ) f(p) 0 Y (V,ψ) .

, , .

, .—————————————————————————————————————————————————————————————–

f :X→Y , , X O O p∈O Uf(U)(⊂f(O)) .

, f(O) Y .—————————————————————————————————————————————————————————————–

♦

f(X) f :X→Y (imbedding) ., Y .

—————————————————————————————————————————————————————————————–, p∈X (ψ◦f ◦ϕ−1)(x1, · · ·, xm)=(x1, · · ·, xm, 0, · · ·, 0) , p 0 X (U,ϕ) f(p)

0 Y (V,ψ) ., f(U) V ∩f(X) {(V,ψ)} , V (x1, · · ·, xm, 0, · · ·, 0)

f(p) ., f(X) X f(U) f(X) , V ′∩f(X)=f(U) Y V ′ ., V ∩V ′∩f(X)=f(U) {(V ∩V ′,ψ)} .

—————————————————————————————————————————————————————————————–, X U , i :U→X .

—————————————————————————————————————————————————————————————–p∈U X (V,ϕ) , U (V ∩U,ϕ′) X (V,ϕ) (x1, · · ·, xm) /→(x1, · · ·, xm, 0, · · ·, 0) . , .

, U X , i :U→ i(U) .—————————————————————————————————————————————————————————————–

, , (imbedded submanifold).

( ) Sn→Rn+1 .f(θ)≡(cos θ, sin θ) S1 R , f .Descartes g(0)=g(1) .

f(X) , f(X) X .X Y (immersed submanifold) . ( ,

.)*29

( ) f(t)≡(cos t, sin 2t) f : (−π/2, 3π/2)→R2 8 , R2 ,.

, g(t)≡(cos t,− sin 2t) g : (−π/2, 3π/2)→R2 8 ,.

, C∞ f :X→Y Y S , f̄ :X→S C∞ .—————————————————————————————————————————————————————————————–p∈X f(p)∈S (V,ψ)=(V ; y1, · · ·, yn) , f f(U)⊂V p U .

f(U)⊂V ∩S , q∈U (ψ◦f)(q)=(y1(f(q)), · · ·, ys(f(q)), 0, · · ·, 0) ., ψS :V ∩S→Rs , ψS ◦f̄=(y1◦f, · · ·, ys◦f) U C∞ .

—————————————————————————————————————————————————————————————–

( ) GLn(R) C∞ , SLn(R) C∞ ., SLn(R)×SLn(R) GLn(R)×GLn(R) , i :SLn(R)×SLn(R)→GLn(R)×GLn(R) C∞ () .

, GLn(R) µ µ◦i C∞ , SLn(R) C∞ .

*28 , ,

. ( .)*29 , ( ) .

———————————————————————————–♣ 7 1———————————————————————————–♦

X {x∈X | f(x) .=0} f :X→R (support) , suppf ., x∈X U , ρ :X→R U x (bump function) .

1) suppρ⊂U . 2) ρ 1 x .

( ) f(x)≡tan(πx/2) f : (−1, 1)→R (−1, 1) .

f(x)≡

0 (x≤−1, 1≤x)2x+2 (−10 f(t)+f(1−t) C∞, g(t) C∞ .

—————————————————————————————————————————————————————————————–, b>a(>0) x /→(x−a2)/(b2−a2) [a2, b2] [0, 1] , h(x)≡g((x−a2)/(b2−a2)) h :R→ [0, 1]

x≤a2 0 , x≥b2 1 C∞ ., k(x)≡h(x2) k :R→ [0, 1] −a≤x≤a 0 , x≤b b≤x 1 C∞

, ρ(x)≡1−k(x) ρ :R→ [0, 1] 0 C∞ , suppρ=[−b, b] .( , ρ(x−r) r∈R C∞ .)

Rn ., σ(x)≡ρ(‖x‖) σ :Rn→R 0 C∞ , {x∈Rn | ‖x‖≤b} .

X U C∞ X , 1 X ., p∈X U C∞ f :U→R , p V (⊂U) f C∞ f̄ :X→R .

—————————————————————————————————————————————————————————————–U C∞ ρ :X→R p∈X V 1 .

, f̄(q)≡{ρ(q)f(q) (q∈U)0 (q /∈U) f̄ U C

∞ , q /∈U suppρ q f̄ 0

. ( , f̄ q /∈U C∞ .), V f̄=f .

—————————————————————————————————————————————————————————————–

♦ 1

X {Ui} , suppρi⊂Ui∑ρi(x)=1 (x∈X) ρi :X→R {Ui} C∞ 1 (partition of

unity) . ( Ui x∈X ({Ui} ) . ,{supρi} .)

( ) R {(r−1/n, r+1/n) | r∈Q, n∈Z+} .R U≡(−∞, 2) V ≡(−1,∞) , C∞ ρ suppρ⊂V , supp(1−ρ)⊂U , {1−ρ, ρ}

R {U, V } 1 .

———————————————————————————–♣ 8———————————————————————————–♦

2 (object) A, B A B (morphism) Mor(A,B) , f ∈Mor(A,B) g∈Mor(B,C)g◦f ∈Mor(A,C) .*30*31

1) : A 1∈Mor(A,A) , B f ∈Mor(A,B) g∈Mor(B,A) f ◦1=f , 1◦g=g .2) : f ∈Mor(A,B) g∈Mor(B,C) h∈Mor(C,D) h◦(g◦f)=(h◦g)◦f .

, (category) .

( ) , ., .

R , ., .

Cr Cr , .X x∈X (X,x) , 2 (X, x), (Y, y) Cr f(x)=y

, .

A, B g◦f=1A, f ◦g=1B f ∈Mor(A,B) g∈Mor(B,A) (isomorphism) , A B .*32

C, D C A D F (A) , C f :A→B D F (f) :F (A)→F (B)(covariant functor) .*33

1) F (1A)=1F (A) 2) F (f ◦g)=F (f)◦F (g), F :C→D , f :A→B C F (f) :F (A)→F (B) D .

( ) ., Cr , .

, C, D C A D F (A) , C f :A→B D F (f) :F (B)→F (A)(contravariant functor) .

1) F (1A)=1F (A) 2) F (f ◦g)=F (g)◦F (f)

♦

X TX X (tengent bundle) , π(v)≡p (v∈Tp(X)) π :TX→X .*34*35.

X (U,φ) U v=∑

ci(∂/∂xi)p , φ̄(v)≡(x1(p), · · ·, xn(p), c1, · · ·, cn)φ̄ :TU→φ(U)×Rn .

φ̄ TU φ(U)×Rn .*36*37*38X {(Ui,φi)} TUi B .

1) B TX .2) TU A TV B (U V X ) , A∩B T (U∩V ) .

—————————————————————————————————————————————————————————————–1) TX=∪T (Ui)⊂∪B⊂TX .2) T (U∩V ) TU A∩T (U∩V ) B∩T (U∩V ) T (U∩V ) .

A∩B⊂TU∩TV =T (U∩V ) A∩B=A∩B∩T (U∩V )=(A∩T (U∩V ))∩(B∩T (U∩V )) T (U∩V ) .—————————————————————————————————————————————————————————————–

, B TX .

, X .—————————————————————————————————————————————————————————————–X B={Bi} p∈Ui p∈Bp,i(⊂Ui) Bp,i∈B , {Bp,i}(⊂B) .

X U p∈U p∈Ui(⊂U) Ui , p∈Bp,i(⊂U) {Bp,i} X .—————————————————————————————————————————————————————————————–

, .1) 2 . 2) Hausdorff .

—————————————————————————————————————————————————————————————–1) X {Ui} Ui φi TUi R2n φi(Ui)×Rn ,(Euclid 2 ) TUi 2 .

TX .—————————————————————————————————————————————————————————————–

*30 Mor(A,B) , .*31 f ∈Mor(A,B) f :A→B .*32 , .*33 .*34 X .*35 .*36 U V TV φ̄|TV :TV →φ(V )×Rn .*37 TU . , U ψ φ̄◦ψ̄−1 : ψ̄(TU)→ φ̄(TU) R2n

. , TU W ψ φ̄(W )=(φ̄◦ψ̄−1)(ψ̄(W )) φ ,.

*38 (dφ)p(v)=∑

ci(∂/∂ri)φ(p) (c1, · · ·, cn)∈Rn .

, X Cr {(Ui,φi)} {(TUi, φ̄i)} TX Cr , Cr Cr .—————————————————————————————————————————————————————————————–(TUi, φ̄i) (TUj , φ̄j) φ̄j ◦φ̄−1i :φi(Ui∩Uj)×Rn→φj(Ui∩Uj)×Rn v∈Tp(X) v=

∑ai(∂/∂xi)p=

∑bi(∂/∂yi)p

(φi(p), a1, · · ·, an) /→(φ̄j ◦φ̄−1i (φi(p)), b1, · · ·, bn) .bj =(

∑bi(∂/∂yi)p)yj =

∑ai∂yj/∂xi(p)=

∑ai∂(φj ◦φ−1i )j/∂ri(φi(p)) (ri Rn ) φj ◦φ

−1i C

r .—————————————————————————————————————————————————————————————–

♦

f :X→Y f−1(y)≡{x∈X | f(x)=y} y∈Y (fiber) , f :X→Y g :X′→Y φ(f−1(y))⊂g−1(y)φ :X→X′ .*39

C∞ f :X→Y n .1) f . 2) n .3) y∈Y , y U φ :f−1(U)→U×Rn , φ|f−1(u) :f−1(u)→{u}×Rn (u∈U)

. (U , φ U X (trivialization) .)*40*41

n f :X→Y (X,Y, f) n C∞ (vector bundle) , X , Y ., Y S (f−1(S), S, f |f−1(S)) n C∞ , X S .

( X Y , .)

( ) X π :X×Rn→X (X×Rn, X,π) n , X (product bundle) .*42( , S1×R S1 1 .)

C∞ f :X→Y Y (U,ψ)=(U ; y1, · · ·, yn) , X U φ(x)=(f(x), c1(x), · · ·, cr(x)) .(ψ×1)(u, c1, · · ·, cr)≡(ψ(u), c1, · · ·, cr) ψ×1 , (ψ×1)◦φ :f−1(U)→ψ(U)×Rr X .

y1, · · ·, yn (f−1(U),ψ(U)×Rr) , c1, · · ·, cr .*43*44

( ) (X,Y, f) (M,N, g) φ :Y →N ψ :X→M (X,Y, f) (M,N, g)(bundle map) . ( , .)

1) . ( g◦ψ=φ◦f .) 2) y∈Y ψ :f−1(y)→g−1(φ(y)) .

( ) Cr Cr φ :X→Y ψ(p, v)≡(φ(p), (dφ)p(v)) (v∈Tp(X)) ψ :TX→TY φ ., .

X M Y , X M Y .Y C∞ Y , Y Y ×Rn Y .

♦

f :X→Y f ◦g= idY g :Y →X f (section) , Cr Cr .*45

Cr f :X→Y Cr φ, ψ Cr g :Y →R .1) (φ+ψ)(y)≡φ(y)+ψ(y)(∈f−1(y)) φ+ψ :Y →X f Cr .2) (gφ)(y)≡g(y)φ(y)(∈f−1(y)) gφ :Y →X f Cr .

—————————————————————————————————————————————————————————————–1) y∈Y U , U X Cr h :f−1(U)→U×Rn .

u∈U (h◦ϕ)(u)=(u, a1(u), · · ·, an(u)), (h◦ψ)(u)=(u, b1(u), · · ·, bn(u)) ai :U→R bi :U→R Cr , h(h◦(ϕ◦ψ))(u)=(u, a1(u)+b1(u), · · ·, an(u)+bn(u)) ϕ◦ψ Cr .

, f .—————————————————————————————————————————————————————————————–

, X C∞ Γ(X) R , Y C∞ C∞(Y ) ., Y U X U C∞ Γ(U,X) R , C∞(U) .

( Γ(X)=Γ(Y,X) , (global section) .)

f :X→Y U(⊂Y ) g1, · · ·, gn f (X,Y, f) U (frame). , U Cr U Cr .

( ) X Rn e1, · · ·, en ēi(p)≡(p, ei) ēi :X→X×Rn (i=1, · · ·, n) C∞ .n f :X→Y X U(⊂Y ) φ :f−1(U)→U×Rn ti(p)≡φ−1(ēi(p))

ti :U→φ−1(U×Rn) X U C∞ , U φ C∞ .

φ :f−1(U)→U×Rn C∞ t1, · · ·, tn X U s≡∑

biti C∞ bi C∞

.—————————————————————————————————————————————————————————————–( ) φ◦s(p)=

∑bi(p)φ(ti(p))=

∑bi(p)(p, ei)=(p,

∑bi(p)ei) bi(p) φ s(p) .

, φ◦s C∞ bi C∞ .—————————————————————————————————————————————————————————————–

*39 f g φ ( g=f ◦φ−1 ) .*40 f :f−1(U)→U g :U×Rn→U φ .*41 {U} Y {(U,φ)} (local trivialization) . ({U} X Y .)*42 .*43 (f−1(U),ψ(U)×Rr) X .*44 φ .*45 , f , .

, Y .

♦

X F :X→TX X (vector field) , ., Cr Cr .

( ) F (x, y)≡−y(∂/∂x)(x,y)+x(∂/∂y)(x,y) F R2 .*46R3 p /→(∂/∂x)p, p /→(∂/∂y)p, p /→(∂/∂z)p R3 .

, C∞ .F :X→TX C∞ (X U ) F =

∑ai(∂/∂xi) ai :U→R C∞

.—————————————————————————————————————————————————————————————–( ) U φ , TX (TU, φ̄)=(TU ; x̄1, · · ·, x̄n, c1, · · ·, cn) F (p)=

∑ci(F (p))(∂/∂xi)p

ai=ci◦F ci :TU→R C∞ .( )—————————————————————————————————————————————————————————————–

, f ∈C∞(X) (Ff)(p)≡F (p)f Ff ∈C∞(X) X , X. ( , C∞(X) , Leibniz .)*47

, F :X→TX C∞ , C∞ f :X→R Ff :X→R C∞ .—————————————————————————————————————————————————————————————–( ) X (U,φ) F =

∑ai(∂/∂xi) ai :U→R C∞ , f C∞ Ff U C∞

.( ) X (U,φ) F =

∑ai(∂/∂xi) , xi :U→R p∈U V C∞ x̄i :X→R

, V F x̄k=(∑

ai(∂/∂xi))x̄k=ak ak C∞ F C∞ .—————————————————————————————————————————————————————————————–

C∞ , p∈X U C∞ F :U→TU , p V (⊂U) F XC∞ F̄ :X→TX .—————————————————————————————————————————————————————————————–p V 1 U C∞ ρ :X→R , F̄ (x)≡ρ(x)F (x) (x∈U), 0 (x /∈U) F̄(C∞ ) C∞ .—————————————————————————————————————————————————————————————–

♦

C∞ F :X→TX c′(t)=F (c(t)) C∞ c : (a, b)→X F (integral curve) .((a, b) 0 c(0)=p p∈X .)

, (maximal integral curve) .

( ) F (x, y)≡(−y, x) F :R2→R2 (x0, y0) c(t)=(x0 cos t−y0 sin t, x0 sin t+y0 cos t), (x20+y

20)

1/2 .c(t) R2→R2 , c(−t) .

X Diff(X) , c :R→Diff(X) X 1(one-parameter group) .

, R2 1 .F (x)≡x2 F :R→R x=2 x(t)=2/(1−2t) , (0 )(−∞, 1/2) .

C∞ F :X→TX p∈X ., p (U,φ) F (c(t))=

∑ai(c(t))(∂/∂xi)c(t) c

′(t)=∑

dci/dt(t)(∂/∂xi)c(t) (ci≡xi◦c)dci/dt(t)=ai(c(t)) (ci(0)=pi) .

, X (U,φ) C∞ F :U→TU p∈U , G(t, q) (q∈U ′) q F pU ′(⊂U) C∞ G : (−ε, ε)×U ′→U .*48

G F (local flow) , q∈U ′ q (flow line) ., R×X (global flow) , (complete vector field) .

, G(t, q) Gt(q) .t+t′∈(−ε, ε) t, t′∈(−ε, ε) Gt(G0(q))=Gt(q) Gt(Gt′ (q))=Gt+t′ (q) .

G Gt◦G−t=G−t◦Gt=G0= idX Gt :X→X . ( X X1 .)

F :U→TU G(t, q) ∂G/∂t(0, q)=F (G(0, q))=F (q) , .( ) G(t, (x, y))≡(x cos t−y sin t, x sin t+y cos t) G :R×R2→R2 F (x, y)=(−y, x) .*49

*46 F :R2→TR2 G(x, y)≡(−y, x) G :R2→R2 , −y(∂/∂x)(x,y)+x(∂/∂y)(x,y)∈ ImF (−y, x)∈ ImG, F G .

, Euclid .*47 Ff f .*48 G(0, q)=q .*49 Euclid .

♦ Lie Lie

X U C∞ F, F ′ U , FF ′ :C∞(U)→C∞(U), FF ′(φψ)=F ((F ′φ)ψ+φ(F ′ψ))=(FF ′φ)ψ+(F ′φ)(Fψ)+(Fφ)(F ′ψ)+φ(FF ′ψ) .

, p∈U Lie (Lie bracket) [F, F ′]p(φ)≡(F (p)F ′−F ′(p)F )φ p .U ( ) Lie (Lie bracket) .

, C∞ Lie C∞ , Lie X C∞ ( ) L(X).*50

, .1) [F, F ′]=−[F ′, F ] 2) [F, [F ′, F ′′]]+[F ′, [F ′′, F ]]+[F ′′, [F, F ′]]=0 (Jacobi )

.[ , ] :V ×V →V K V K Lie (Lie algebra) .*51

1) : [ax+by, z]=a[x, z]+b[y, z], [z, ax+by]=a[z, x]+b[z, y] 2) : [x, y]=−[y, x]3) Jacobi : [x, [y, z]]+[y, [z, x]]+[z, [x, y]]=0 (x, y, z∈V, a, b∈K), D[x, y]=[Dx, y]+[x,Dy] D :V →V K Lie V (derivation) .

( ) V [x, y]=0 (x, y∈V ) V Lie , Lie .X C∞ L(X) , Lie Lie .

A,B∈Matn×n(K) [A,B]≡AB−BA Matn×n(K) Lie .K Lie V , adx(y)≡ [x, y] adx :V →V Jacobi V .

♦

C∞ f :X→Y F :X→TX , (df)p(F (p))∈Tf(p)(Y ) F (p)∈Tp(X) (pushforward) .f(p)=f(q)=y F (p) F (q) y , .

f ((df)(F ))(f(p))≡(df)p(F (p)) , Y .(df)(F ) :Y →TY F :X→TX .

( ) 1 f :R2→R F :R →TR2 .

C∞ f :X→Y F :X→TX , p∈X (df)p(F (p))= F̄ (f(p)) F̄ :Y →TY f.*52

( ) f :X→Y , F :X→TX (df)p(F ) :Y →TY f .

, C∞ f :X→Y F :X→TX F̄ :Y →TY , F F̄ f , C∞ g :Y →RF (g◦f)=(F̄ g)◦f .

—————————————————————————————————————————————————————————————–( ) g :Y →R p∈X (df)p(F (p))g=F (p)(g◦f)=(F (g◦f))(p) , F̄ (f(p))g=(F̄ g)(f(p)) .( ) .—————————————————————————————————————————————————————————————–

C∞ f :X→Y , C∞ F :X→TX F̄ :Y →TY f , G :X→TX Ḡ :Y →TY f ,[F,G] [F̄ , Ḡ] f .—————————————————————————————————————————————————————————————–C∞ g :X→R .[F,G](g◦f)=FG(g◦f)−GF (g◦f)=F ((Ḡg)◦f)−G((F̄ g)◦f)=(F̄ Ḡg)◦f−(ḠF̄ g)◦f=((F̄ Ḡ−ḠF̄ )g)◦f=([F̄ , Ḡ]g)◦f—————————————————————————————————————————————————————————————–

*50 X C∞ φ [F, F ′]φ C∞ .*51 Lie Lie (Lie ring) , Lie .*52 f , Y .

———————————————————————————–♣ 9 Lie Lie———————————————————————————–♦ Lie

C∞ C∞ Lie (Lie group) .*53*54

, Lie G lg(x)≡g ·x lg :G→G g∈G , C∞ .

( ) Euclid Lie .C× Lie .Lie Lie .

GLn(R) Lie .SLn(R) Lie .*55

On(R) GLn(R) , On(R).

Lie G1, G2 C∞ f :G1→G2 Lie .*56

H(⊂G) Lie (Lie subgroup) .*571) H . 2) H G . 3) H C∞ .

, µ◦(i×i) :H×H→G C∞ , G G Lie ., Lie (imbedded Lie subgroup) .

, . ( .): Lie Lie .

( ) R2 L R2/Z2 Lie ..

♦ Lie Lie

Lie G g∈G lg :G→G , (dlg)e :Te(G)→Tg(G) ., .

Lie F :G→TG (dlg)(F ) :G→TG ,(left constant vector field) .*58

, F (g)=((dlg)(F ))(g)=(dlg)e(F (e)) , ., v∈Te(G) F :G→TG F (g)≡(dlg)e(v) , ((dlg)(F ))(gh)=(dlg)h(F (h))=

(dlg)h((dlh)e(v))=d(lg◦lh)e(v)=(dlgh)e(v)=F (gh) (h∈G) .v∈Te(G) .

G L(G) ., F ∈L(G) F (e)∈Te(G) , v∈Te(G), L(G) Te(G) .*59

, Lie C∞ . , L(G) G C∞ .

[ , ] :V ×V →V K V K Lie (Lie algebra) .1) : [ax+by, z]=a[x, z]+b[y, z], [z, ax+by]=a[z, x]+b[z, y] 2) : [x, y]=−[y, x]3) Jacobi : [x, [y, z]]+[y, [z, x]]+[z, [x, y]]=0 (x, y, z∈V, a, b∈K)

, Lie Lie Lie (Lie subalgebra) .*60

( ) Lie G L(G) Lie , G C∞ Lie.*61

, v, w∈Te(G) ϕ V,W ∈L(G) , [v, w]≡ϕ−1([V,W ])=[V,W ](e) Lie Te(G)Lie .

Lie G Lie (Lie algebra on Lie group) .*62

*53 , C∞ .*54 , (topological group) .*55 SLn(C) .*56 Lie , .*57 Lie , .*58 , G lg(g∈G) .*59 , Lie , .*60 , Lie .*61 F ∈L(G) F ′∈L(G) lg , [F, F ′] lg .*62 G Lie g . ( Lie gln(R) .)