busca de soluções -...

Busca de Soluções

• Uma solução é uma sequencia de ações

• Algoritmos de busca consideram várias

sequencias de ações possíveis.

• As sequencias de ações possíveis que

começam a partir do estado inicial formam

uma árvore de busca

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Sair de Arad e chegar a Bucarest

Gerando sequencia de ações

• Começa-se pelo estado inicial.

• Em cada ponto, deve-se testar para checar se a solução foi encontrada.

• Se não for o caso, deve-se aplicar os operadores e gerar novos estados: expansão de estados.

• Se há somente um caminho, ele deve ser tomado.

• Se há múltiplos caminhos, deve-se escolher uma opção a ser considerada primeiro.

• Busca: escolhe-se uma opção e deixa-se as demais para serem consideradas posteriormente, se a escolhida não levar à uma solução.

Gerando sequencia de ações

• Qual estado expandir primeiro?

• Processo de busca: uma árvore de busca é colocada sobre o espaço de estados: – Raiz: estado inicial

– Folhas: estados sem sucessores: • Por não terem sucessores, ou

• Por não terem sido expandidos ainda.

• OBS: Espaço de estados árvore de busca

Sequência de árvores de busca gerada pela busca em grafo no problema da Romênia

Infraestrutura para algoritmos de busca

Para cada nó n da árvore tem-se:

• n. ESTADO: o estado no espaço de estado a que o nó corresponde.

• n.PAI: o nó na árvore de busca que gerou esse nó.

• n.AÇÃO: a ação que foi aplicada ao pai para gerar o nó.

• n . CUSTO DO CAMINHO: o custo, denotado por g(n), do caminho do estado inicial até o nó.

Estrutura de dados do nó

• Um nó é uma anotação da estrutura de dados usada para representar a árvore na busca.

• Um estado corresponde a uma configuração do mundo. • Os nós estão em caminhos particulares (definidos por

ponteiros NÓ-PAI), enquanto os estados não estão.

Infraestrutura para algoritmos de busca

• Nó: Estrutura de dados usada para representar a árvore de busca para uma instancia particular de um problema, gerada por um algoritmo específico.

• Estado: configuração ou conjunto de configurações do mundo.

• Borda: conjunto de todos os nós folhas disponíveis para expansão em um dado ponto.

• OBS: Dois nós diferentes podem conter o mesmo estado, se tiverem sido gerados por meio de duas sequencias diferentes de ações

Critérios para avaliar o desempenho do algoritmo de busca

• Completeza: O algoritmo oferece a garantia de encontrar uma solução quando ela existir?

• Otimização: A estratégia encontra a solução ótima (tem o menor custo de caminho entre todas as soluções)?

• Complexidade de tempo: Quanto tempo ele leva para encontrar uma solução?

• Complexidade de espaço: Quanto de memória é necessário para executar a busca?

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• A complexidade de tempo e de espaço de memória são considerados em relação a alguma medida da dificuldade do problema.

• Para o problema representado por grafos, a medida é o

tamanho do grafo do espaço de estados, |V|+|E| onde: – |V| conjunto de vértices (nós) do grafo – |E| conjunto de arestas (arcos) do grafo

• Em IA, o grafo é representado de forma implícita pelo estado inicial e pela função sucessor e com frequência é infinito.

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• A complexidade para IA é expressa em termos de três quantidades:

– b: o fator de ramificação ou número máximo de

sucessores de qualquer nó. – d: a profundidade do nó objetivo menos profundo

(número de passos do estado raiz até o estado objetivo mais próximo).

– m: comprimento máximo de qualquer caminho no espaço

de estados.

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• O tempo é medido em termos do número de nós gerados durante a busca.

• O espaço é medido em termos do número

máximo de nós armazenados na memória. • Para avaliar a efetividade de um algoritmo de

busca pode-se considerar: – Custo de busca – Custo total

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• Custo de busca: – Depende da complexidade de tempo

– Pode incluir um termo para uso da memória

• Custo total: – Combina custo de busca e o custo de caminho de

solução encontrada

– Exemplo: rota Arad-Bucarest, custo de busca é o tempo exigido pela busca; custo de caminho é o comprimento total em km da solução encontrada.

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Solução para o Problema

• Um problema pode ser visto como uma tripla: {I,O,B} – I = estado ou estados iniciais – O = conjunto de operações – B = estado ou estados objetivo

• Sair do estado inicial e através de uma sequencia de operações chegar ao estado final

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I B O

Estratégias de Busca

• Busca Cega (Sem informação/Não informada) – Não tem informação sobre qual sucessor é mais promissor

para atingir a meta.

• Busca Heurística (Busca Informada/Com Informação) – Possui informação (estimativa) de qual sucessor é mais

promissor para atingir a meta.

– É uma busca cega com algum guia ou orientação.

• Todas as estratégias de busca se distinguem pela ordem em que os nós são expandidos.

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Estratégias de Busca Cega

• Busca em Largura

• Busca de Custo Uniforme

• Busca em Profundidade

• Busca em Profundidade Limitada

• Busca em Profundidade Iterativo

• Busca Bidirecional

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Busca em Largura ...

• BFS – Breadth-first search

• Ordem de expansão dos nós:

1. Nó raiz

2. Todos os nós de profundidade 1

3. Todos os nós de profundidade 2, etc …

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• Faz uma busca sistemática examinando primeiro os módulos próximos à raiz.

• Exemplo: Caminho para encontrar o nó G, usando a Busca em Largura: Caminho = { B, F, D, A, C, E, G }

Avaliação da Busca em Largura...

• A busca é completa se o nó objetivo mais raso estiver em alguma profundidade finita d (desde que o fator de ramificação b seja finito).

• A busca será ótima se o custo do caminho for uma função não-decrescente da profundidade do nó (todas as ações têm o mesmo custo).

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Observação: se a função for decrescente, o nó mais raso não será o ótimo pois não terá o menor custo caminho

Avaliação da Busca em Largura ...

Supor uma árvore binária

• O nó raiz cria no espaço de estados 2 sucessores, no nível seguinte 4, e assim por diante

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Complexidade do tempo e do espaço:

• Se cada nó no espaço de estados tem b sucessores: o número de nós gerados no nível 1 é b, no nível 2 é b2...

• Supondo que a solução esteja na profundidade d. Então, o número total de nós gerados é:

b + b2 + b3 .... + bd = O(bd)

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• Se a aplicação do teste de objetivo para nós for ao serem selecionados para a expansão, em vez de ao serem gerados, toda a camada de nós na profundidade d seria expandida antes que o objetivo fosse detectado então no nível d+1 seriam gerados bd+1-b nós:

b + b2 + b3 .... + bd + (bd +1-b) = O(bd +1)

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• A complexidade de espaço será O(bd) ou O(bd +1), será dominada pelo tamanho da borda.

• A complexidade de espaço é igual à complexidade de tempo (mais um nó para a raiz).

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Busca em largura para vários valores de profundidade d com fator de ramificação b =10;

1.000.000 nós/segundo e 1.000 bytes/nó

Busca de Custo Uniforme • No lugar de expandir o nó mais raso, expande o nó n com o

custo de caminho g(n) mais baixo:

Busca de Custo Uniforme

• Esta busca não se importa com o número de passos que um caminho tem, mas apenas com seu custo total.

• Pode ficar pressa a um laço infinito se existir um caminho com sequencia infinita de ações a custo zero.

Avaliação da Busca de Custo Uniforme

• A completeza será garantida se o custo de cada passo exceder uma constante positiva pequena (o custo de uma ação não é zero ).

• Devido aos custos de passo serem não negativos, o custo de

um caminho sempre aumenta à medida que se percorre o caminho (nós são adicionados).

• Assim, a busca de custo uniforme expande os nós na ordem

de seu custo de caminho ótimo. • Portanto, o primeiro nó objetivo que foi selecionado para

expansão deverá ser a solução ótima.

Verificando a Busca de Custo Uniforme • O teste objetivo é aplicado a um nó quando ele é selecionado

para a expansão e não quando é gerado pela primeira vez.

• Sempre que seleciona um nó para expansão, o caminho ideal para esse nó foi encontrado.

• É adicionado um teste, caso seja encontrado um caminho melhor para um nó atualmente na borda.

(1)80 (3) 99

(2) 80+97

(3) 99+211

(4) 80+97+101

Avaliação da Busca de Custo Uniforme

• Esta busca esta orientada por custos de caminho e não em profundidades, sua complexidade não esta caracterizada por b e d, senão por C* e :

– C* é o custo da solução ótima.

– é o custo de toda ação.

Avaliação da Busca de custo uniforme

• A complexidade de tempo e espaço do pior caso é O(b 𝐶∗/ε ) que pode ser maior que bd

• Pode explorar grandes árvores de pequenos passos antes de explorar caminhos envolvendo passos grandes.

• Quando todos os custos de passos forem iguais b 𝐶∗/ε será bd.

Obs:Função chão: 𝑥 = o maior inteiro que é menor ou igual a 𝑥

Avaliação da Busca de custo uniforme

• Quando o custos de passos forem iguais: – A Busca em largura pára logo que gerar um

objetivo, enquanto que a busca de custo uniforme examina todos os nós à profundidade do objetivo para verificar se algum deles tem custo mais baixo.

– A busca de custo uniforme tem mais trabalho, expandindo os nós à profundidade d desnecessariamente.

Busca em Profundidade ...

• DFS - Depht-first search

• Ordem de expansão dos nós:

1. Nó raiz

2. Primeiro nó de profundidade 1

3. Primeiro nó de profundidade 2, etc …

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Busca em Profundidade ...

• Começa na raiz e avança para baixo em níveis cada vez mais profundos.

• Um operador é aplicado a um nó para gerar o próximo nó mais profundo na sequência.

• O processo continua até que uma solução é encontrada ou um retrocesso é forçado ao atingir-se um nó terminal que não é solução.

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Busca em profundidade: Os nós explorados sem descendentes na borda são removidos da memória. Os nós na profundidade 3 não têm sucessores e M é o único nó objetivo.

Busca em Profundidade ... • Busca em profundidade com uma função recursiva incluindo um limite de

profundidade

Avaliação da Busca em Profundidade..

• Problema:

Garante uma solução, mas a busca pode ser muito demorada.

• Motivo:

muitas ramificações diferentes podem ter que ser consideradas até o nível mais profundo antes de uma solução ser atingida.

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• Busca em profundidade depende se é utilizada a busca em grafos ou a busca em árvore.

• A busca em grafos que evita estados repetidos e caminhos redundantes, é completa em estados finitos porque acabará por expandir cada nó.

• A busca em árvore não é completa, pode entrar em laços.

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• A busca em árvore modificada pode evitar laços em espaço de estados finitos, mas não evita a proliferação de caminhos redundantes.

• A complexidade temporal da busca em profundidade em grafo é limitada pelo tamanho de espaços de estado.

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• A busca em profundidade em árvore poderá gerar todos os nós O(bm) na árvore de busca (m é a profundidade máxima de qualquer nó) e isso pode ser muito maior do que o tamanho do espaço de estados.

• m pode ser maior que d (a profundidade da solução mais rasa) e é infinito se a árvore for ilimitada.

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• Para um espaço de estados com fator de ramificação b e profundidade máxima m, a busca exige o armazenamento de O(bm) nós.

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Observações ...

• As buscas em profundidade e em largura não precisam ser realizadas em uma ordem específica.

• Em se tratando de memória utilizada, na busca em

profundidade é preciso armazenar todos os filhos não visitados de cada nó entre nó atual e nó inicial.

• Na busca em largura, antes de examinar nó a uma

profundidade d, é necessário examinar e armazenar todos os nodos a uma profundidade d – 1.

• Quanto ao tempo, a busca em profundidade é geralmente

mais rápida.

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Busca em profundidade limitada

• O problema de caminhos infinitos da busca em profundidade pode ser atenuada pela busca em profundidade com um limite predeterminado l

• Dificuldades na escolha do l : – Se l < d (o objetivo mais raso esta além do limite de

profundidade)

– Se l > d , a busca não será ótima.

– A complexidade de tempo é O(bl) e de espaço O(bl)

– A busca em profundidade é um caso particular de busca em profundidade limitada com l =

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• Os limites de profundidade podem se basear no conhecimento que se tem do problema.

• Mapa da Romênia: 20 cidades. A solução pode ter o comprimento 19 no caso mais longo, então l = 19.

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• Verifica-se no mapa que uma cidade ‘a’ qualquer pode ser alcançada de outra cidade ‘b’ qualquer em no máximo nove passos.....

• O número 9 é conhecido como diâmetro do

espaço de estados e fornece um limite de profundidade para uma busca mais eficiente.

• Infelizmente, na maioria dos problemas, não se

conhece um bom limite de profundidade antes de se resolver o problema.

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• A busca em profundidade limitada pode ser implementada como uma modificação simples do algoritmo geral de busca em árvore ou em grafos.

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Busca em profundidade iterativa

• IDS - Iterative Deepening Search

• Busca que encontra o melhor limite de profundidade, usada com frequência em combinação com a busca em profundidade em árvore.

• O limite de profundidade (d) aumenta gradualmente até encontrar um objetivo.


• Esta busca combina os benefícios da busca em profundidade e da busca em largura.

• Requisitos de memória é O(bd), equivalente à busca em profundidade.

• Como a busca em largura é completo quando o fator de ramificação é finito, e ótimo quando o custo de caminho é uma função não decrescente da profundidade do nó.


• Nesta busca, os nós no nível inferior (d) são gerados uma vez, no penúltimo nível inferior duas vezes, ...., até os filhos da raiz, que são gerados d vezes. O número total de nós gerados é:

N(IDS) = (d)b + (d – 1)b2 +…+ (1)bd


• Se b=10 e d=5, o número de nós gerados para este tipo de busca e para a busca em largura será:

N(IDS) = 50 + 400 + 3.000 + 20.000 + 100.000 = 123.450

N(BFS) = 10 + 100 + 1.000 + 10.000 + 100.000 = 111.100.

• Em geral, o aprofundamento iterativo é o método de busca sem informação preferido quando o espaço de busca é grande e a profundidade da solução não é conhecida.

Busca bidirecional

• Duas buscas simultâneas:

– Uma direta, a partir do estado inicial, e

– Outra inversa, a partir do objetivo.

Espera-se que as duas buscas se encontrem em um ponto intermediário.

Busca bidirecional

• A motivação é que bd/2 + bd/2 é muito menor que bd.

• A área dos dois círculos pequenos é menor que a área do único círculo grande com centro no início e que chega até o objetivo.

Busca bidirecional

• Na busca bidirecional substitui-se o teste de objetivo por uma verificação para ver se as bordas das duas buscas se cruzam, se isso ocorre, foi encontrada uma solução.

• Se um problema tem solução à profundidade d = 6 e cada direção executa a busca em largura de um nó por vez, no pior caso, as duas buscas se encontram quando tiverem gerado todos os nós à profundidade 3, para b = 10 tem-se: – Busca bidirecional 2.220 gerações de nós. – Busca em largura 1.111.110 gerações de nós.

Busca bidirecional

• A complexidade de tempo da busca bidirecional usando a busca em largura nas duas direções é O(bd/2). A complexidade do espaço é também O(bd/2).

• A redução da complexidade de tempo torna a busca bidirecional atraente, mas como realizaremos a busca inversa?

Busca bidirecional

• A busca inversa não é tão fácil quanto parece: – Sejam os predecessores de um estado x todos

aqueles estados que têm x como sucessor.

– A busca bidirecional requer um método de cálculo dos predecessores.

– Quando todas as ações no espaço de estados forem reversíveis, os predecessores de x serão apenas seus sucessores.

Outros casos podem exigir uma engenhosidade substancial.

Busca bidirecional

• No caso da localização de uma rota na Romênia, existe apenas um estado objetivo; assim, a busca inversa é muito semelhante à busca direta.

• Se houver vários estados objetivos, p.e., os dois estados objetivo livres de sujeira (aspirador de pó), pode-se construir um novo estado objetivo fictício cujos predecessores imediatos serão todos os estados objetivo reais.

Avaliação de estratégias de busca

b - fator de ramificação; d - profundidade da solução mais "rasa"; m - profundidade máxima da árvore de busca; l - limite de profundidade.

Anotações sobrescritas: a - completa se b é finito; b - completa se o custo do passo é ≥ para positivo; c - ótima se os custos dos passos são todos idênticos; d - se ambos os

sentidos utilizam busca em largura.

Observações ...

• Métodos de busca cega:

– Não examinam a árvore de forma ótima, o que poderia minimizar o tempo gasto para resolver o problema.

– Não fazem uso de nenhum conhecimento para encontrar sua solução, fazendo uma busca exaustiva dentro do seu espaço.

• Para contornar estes problemas, podem-se usar os métodos heurísticos.

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