GEOMETRIA ANALITICA

Brenda Alexandra gallegos “brikita”

5°B

ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUACIONES DE LA RECTAUna recta queda determinada si conocemos

-Un punto y un vector director

- Dos puntos.- Un punto y su pendiente.

A) DADOS UN PUNTO Y UN VECTOR

Dado el punto A(xo, yo) y el vector direccional de la recta v=(v1,v2) y un punto desconocido X(x,y) de la recta

Nos fijamos

vtOAOX

),(),(),( 21 vvtyxyx oo

Ec. vectorial de la rectaOperamos y obtenemos

),(),(

),(),(),(

),(),(),(

21

21

21

tvytvxyx

tvtvyxyx

vvtyxyx

oo

oo

oo

Es decir

2

1

tvyy

tvxx

o

o

Ec. paramétricas de la recta

Ahora despejamos la t en las dos ecuaciones

11 v

xxtxxtv o

o

22 v

yytyytv o

o

Igualando obtenemos

21 v

yy

v

xx oo

La ec. continua de la recta

Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores

oo yvyvxvxv 1122 Pasamos al primer miembro y cambiamos las letras

02112 oo xvyvyvxv

A B C

0 CByAx

Ec general, implícita o cartesiana de la recta

Ahora vamos a despejar la y para obtener otra ecuación

CAxBy

B

Cx

B

Ay

m n

nmxy

Ec. explícita de la recta

Al número m = -A/B se le llama pendiente y nos indica la inclinación de la recta

y al número n= -C/B ordenada en el origen indica el punto de corte con el eje Y

tgv

v

B

Am

1

2

2) Dibujar las rectas:

r: 2x – y – 3 = 0

s: y = 2x + 1

t: 2x - 3y + 6 = 0

1) Encontrar todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene de vector director (1,-1)

3) La siguiente gráfica muestra una recta.

a) Escribe la ecuación continua de la recta

b) ¿Pertenece el punto (-6,4) a la recta?

Ejemplos

2.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Dadas las rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A’x + B’y + C’ = 0 para averiguar su posición resolvemos el sistema formado por ellas y puede suceder:

'' B

B

A

A ''' C

C

B

B

A

A ''' C

C

B

B

A

A

r sr=s

r

s

Ejemplo - Halla la posición relativa de la recta y = 3x - 1 con cada una de las siguientes. A) y = -3x + 2 B) -15x + 5y + 1 = 0

82

643

yx

yx

82

42

yx

yx

42

842

yx

yx

3.- RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación, es decir

mr = ms

Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es paralela a la recta x + 2y – 4 = 0

Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando cuatro ángulos rectos, además se cumple

mr · ms = -1

Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es perpendicular a la recta x + 2y – 4 = 0

ECUACIÓN DE LA

CIRCUNFERENCIA

QUE ES UNA CIRCUNFERENCIA

Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es

siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

Elementos de la circunferencia

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);

Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los

diámetros)Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Ángulos en una circunferencia

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados

contienen a dos radios.La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. (Véase:

arco capaz.)Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y

sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que

abarcan sus prolongaciones.Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

FORMULA PARA SACAR LA CIRCUNFERENCIA

Longitud de la circunferenciaLa longitud de una circunferencia es:

donde es la longitud del radio.Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de

la circunferencia y el diámetro..

Ecuación vectorial de la circunferenciaLa circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene

por ecuación vectorial: . Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir

fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas

deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como

resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.

CircunferenciaCircunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro.

donde P, es un punto cualesquiera perteneciente a la circunferenciaC, es el centro de la circunferencia r, es el radio de la circunferencia. Elementos de la circunferencia

d(P,C)=r

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ( C(a , b)) :

),(

),(

baC

yxP

......

)()(),( 22

ecuaciónlandodesarrolla

rbyaxCPd

222

22222

,2,2:

22

rbaCbBaAllamando

rbybyaxax

Ecuación general de la circunferencia

rCPd ),(

022 CByAxyx

Desa

rrollo

de la e

cuaci

ón

ECUACIÓN DE LA PARABOLA

Parábola:Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano P que no pasa por el vértice y que corta a e bajo el mismo ángulo α.

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

d(P,F)=d(P,s)

Elementos de la parábolaLa directriz que es la recta s. El vértice V. El foco F. Se llama eje de la parábola a la recta perpendicular al eje que pasa por el foco. La distancia entre el foco y la directriz es el parámetro p

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA (Vértice (0,0)):

2,0

),(

pF

yxP

......

2)(

2),(

)(),(22

22

ecuaciónlandodesarrolla

pyycxp

ysPd

ycxPFFPd

pypyx 2

pyx 22

Ecuación de la parábola

),(),( sPdFPd

Desa

rrollo

de la e

cuaci

ón

•DEFINICIÓN DE PARÁBOLA.Se llama parábola a la curva plana, abierta, y de una sola rama,

que determina el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F llamado foco, y de una recta fija llamada d, llamada directriz.

PM=PFSi el plano secante es paralelo a una sola generatriz de la superficie,

a esta generatriz no la cortará y la curva será abierta con un punto en el infinito; la sección que se produce es una parábola.

•ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.•F es el foco de la parábola y s es la directriz. •A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p.•La reta e que pasa por F y es perpendicular a s es el eje.•El vértice es el punto V, que es la intersección del eje con la parábola.•Si situamos la parábola en unos ejes cartesianos, •con vértice en el origen de coordenadas y cuyo eje es el eje Y, se cumple que:

PARÁMETROS DE LA PARÁBOLA.La parábola solo tiene un parámetro, “P” que configura y da forma a la

curva.p = FD

•PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA.

Como hemos visto, la parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Dicha parábola, tiene un vértice v y un eje de simetría que pasa por v y por el foco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice de la curva es paralela a la directriz.

La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz, que contiene al foco F y al vértice V. El eje de la curva es a su vez eje de simetría.

El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, por lo tanto estará colocado en el punto medio del segmento AF.

La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada una de las tangentes de la parábola. La directriz d de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito.

La tangente en el vértice, que es una recta, hace de circunferencia principal y se define como en las curvas anteriores.

El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde ésta corta al eje de la curva

LA ELIPSE• Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P (x,y),

cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (focos)es constante.

• Para su construcción manual, se toma un segmento de longitud 2a y se sujetan sus extremos en F y F’, los datos, si se mantienen el segmento tirante y se va girando se obtiene el gráfico de la elipse.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE.

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ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE.

Elipse - ejemplos•

Elipse - excentricidad

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Elipse - excentricidad

• Mide el grado de achatamiento de la elipse:

Elipse – cambio de centro

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