STATISTIK BOSE-EINSTEIN

1.1 Sifat Dasar Boson

Sifat sistem sub atomic yang tidak dapat dibedakan dapat dipahami dari

konsep gelombang sistem. Panjang gelombang de Broglie sistem-sistem tersebut

memenuhi λ=h /mω dengan m massa sistem dan υ laju sistem. Karena m untuk

sistem sub atomic sangat kecil maka panjang gelombang λ cukup besar. Panjang

gelombang yang besar menyebabkan fungsi gelombang dua sistem yang

berdekatan menjadi tumpang tindih.Kalau dua fungsi gelombang tumpang tindih

maka kita tidak dapat lagi membedakan dua sistem yang memiliki fungsi-fungsi

gelombang tersebut.

Kondisi sebaliknya dijumpai pada sistem klasik seperti molekul-molekul

gas.massa sistem sangat besar sehingga λ sangat kecil. Akibatnya tidak terjadi

tumpang tindih fungsi gelombang sistem-sistem tersebut, sehingga secara prinsip

sistem-sistem tersebut dapat dibedakan.

Pada suhu yang sangat tinggi sistem sub atomic dapat berperilaku seperti

sistem klasik. Pada suhu yang sangat tinggikecepatan sistem sangat besar

sehingga panjang gelombangnya sangat kecil.Akibatnya, tumpang tindih

gelombang sistem-sistem menjadi hilang dan sistem menjadi terbedakan.

Sistem kuantum yang akan kita bahas ada dua macam yaitu boson dan

fermion.Boson adalah sistem yang memiliki spin kelipatan bulat dari ℏ. Sistem ini

tidak memenuhi prinsip eksklusi Pauli sehingga satu tingkat energi dapat

ditempati oleh sistem dalam jumlah berapa pun. Sebaliknya, fermion memiliki

spin yang merupakan kelipatan ganjil dari ℏ /2. Sistem ini memenuhi prinsip

eksklusi Pauli. Tidak ada dua sistem atau lebih yang memiliki keadaan yang sama.

1

1.2 Konfigurasi Boson

Statistik untuk menurunkan boson dinamakan statistik Bose-

Einstein.Untuk menentukan fungsi distribusi Bose-Einstein, kita terlebih dahulu

harus menentukan konfigurasi dengan probabilitas paling besar.Konfigurasi ini

memiliki probabilitas yang jauh lebih besar daripada konfigurasi-konfigurasi

lainnya sehingga hampir seluruh waktu sistem boson membentuk konfigurasi

tersebut. Sifat rata-rata assembli dapat dianggap sama dengan sifat pada

konfigurasi maksimum tersebut.Kita tetap membagi tingkat energi sistem-sistem

dalam assembli atas M kelompok sebagai berikut :

Kelompok-1 memiliki jumlah keadaan g1 dan eneri rata-rata E1

Kelompok-2 memiliki jumlah keadaan g2 dan energi rata-rata E2

-

-

Kelompok-s memiliki jumlah keadaan gs dan energi rata-rata E s

-

-

-

Kelompok-M memiliki jumlah keadaan gM dan energi rata-rata EM

Kita akan menentukan berapa cara penyusunan yang dapat dilakukan jika :

Terdapat n1 sistem di kelompok-1

Terdapat n2 sistem di kelompok-2

-

-

-

2

Terdapat ns sistem dikelompok-s

-

-

-

Terdapat nM sistem di kelompok-M

Jika ditinjau kelompok-1 di mana terdapat g1 keadaan dan n1 sistem. Mari

kita analogikan satu keadaan sebagai sebuah kursi dan satu sistem dianalogikan

sebagai sebuah benda yang akan diletakkan dikursi tersebut. Satu kursi dapat saja

kosong atau menampung benda dalam jumlah beberapa saja. Untuk menghitung

jumlah penyusun benda, dapat dilakukannya sebagai berikut :

Gambar 1.1Penyusunan benda dan kursi analog dengan penyusunan boson dalam tingkat-tingkat energi.Untuk merepresentasikan sistem boson, bagian paling bawah harus selalu kursi.

3

Dari gambar 1.1, apa pun cara penyusunan yang dilakukan, yang berada di ujung

bawah selalu kursi karena benda harus disangga oleh kursi (sistem harus

menempati tingkat energi). Oleh karena itu, jika jumlah total kursi adalah g1maka

jumlah total kursi dapat dipertukarkan dengan harga g1−1 karena salah satu kursi

harus tetap di ujung bawah. Bersama dengan sistem banyak n1, maka jumlah total

benda yang dipertukarkan dengan tetap memenuhi sifat boson adalah (

g1−1¿+n1=g1+n1−1. Akibatnya, jumlah cara penyusunan yang dapat dilakukan

adalah (g1+n1−1)!.

Karenna sistem boson tidak dapat dibedakan satu degan lainnya, maka

pertukaran sesame sistem dan sesame kursi tidak menghasilkan penyusunan yang

berbeda. Jumlah penyusunan sebanyak (g¿¿1+n1−1)¿! Secara emplisit

memperhitungkan jumlah pertukaran antara sistem dan antar kursi. Jumlah

pertukaran antar sistem adalah n1 ! dan pertukaran jumlah antar kursi adalah g1 ! .

Oleh karena itu, jumlah penyusunan yang berbeda untuk n1 boson di dalam g1

keadaan hanyalah

(g1+n1−1)!n1 ! g1!

(1.1)

Hal yang sama berlaku untuk kelompok-2 yang mengandung g2 keadaan

dengan populasi n2 sistem. Jumlah cara penyusunan yang berada sistem-sistem, ke

dalam keadaan-keadaan tersebut adalah

(g2+n2−1)!g2 !n2!

(1.2)

Terakhir hingga kelompok energi ke-M, jumlah cara penyusunan yang berbeda

untuk nM sistem dalam gM keadaan adalah

(gM +nM−1)!gM !nM !

(1.3)

Akhirnya jumlah total cara penyusunan yang berbeda secara bersamaan n1 sistem

di dalam g1 keadaan, n2 sistem di dalam g2 , …., nM sistem dalam gM keadaan

4

adalah

(g1+n1−1)!n1 ! g1!

×(g2+n2−1)!

g2! n2!× …×

(gM+nM−1)!gM !nM !

=∏s=1

M (gs+ns−1) !ns! gs!

(1.4)

Harus juga diperhitungkan jumlah cara membawa N sistem dari luar untuk

didistribusikan ke dalam tingkat-tingkat energi di atas. Jumlah cara pengambilan

N sistem adalah N! cara. Karena sistem tidak dapat dibedakan maka jumlah

tersebut harus dibagi dengan N!,sehingga jumlah total cara membawa N sistem ke

dalam tingkat-tingkat energi di dalam assembli adalah N!/N!=1.Akhirnya, kita

dapatkan jumlah penyusunan sistem-sistem dalam assembli boson adala

W =∏s=1

M (gs+ns−1)!ns !gs !

(1.5)

1.3 Konfigurasi Maksimum

Selanjutnya kita akan menentukan konfigurasi dengan peluang

kemunculan paling besar. Ambil logaritma ruas iri dan kanan persamaan (1.5)

ln W =ln∏s=1

M (gs+ns−1)!ns ! gs !

=¿∑s=1

M

ln [ (gs+ns−1)!ns! gs! ]=ln∑

s=1

M

ln ( gs+ns−1 ) !−ln ns!−ln gs! (1.6)¿

Kemudian kita gunakan pendekatan Stirling untuk melakukan

penyederhanaan sebagai berikut :

ln ( gs+ns−1 )!≅ ( gs+ns−1 ) ln ( gs+ns−1 )−(gs+ns−1) ln gs !≅ gs ln gs−gs

ln ns!≅ ns ln ns−ns

Dengan pendekatan tersebut maka persamaan (1.6) menjadi :

ln W =∑s=1

M

[ ( gs+ns−1 ) ln ( gs+ns−1 )−(gs+ns−1)]−gs ln gs+¿ gs¿

−ns ln ns+ns(1.7)

Jumlah total sistem serta energi total assembli memenuhi

5

N=∑s=1

M

ns dan U=∑s=1

M

ns E s

Untuk assembli yang terisolasi sehingga tidak ada pertukaran sistem

maupun energi antara assembli dan lingkungan.Jumlah sistem maupun energi

assembli constant.

Pembatasan ini dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial berikut ini :

δN=∑s=1

M

δ ns=0(1.8)

δU=∑s=1

M

E s δns=0 (1.9)

Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan

memaksimumkan ln W. Dengan memperhatikan konstrain pada persamaan (1.8)

dan (1.9) maka konfigurasi dengan probabilitas maksimum memenuhi

δ ln W +αδN +βδU=0 (1.10)

Selanjutnya dengan mengambil diferensial persamaan (1.7) diperoleh

δ ln W=¿∑s=1

M

[ δ ( gs+ns−1 ) ln ( gs+ns−1 )−δ(gs+ns−1)−δgs ln gs+δ gs−δ ns ln ns+δ ns ](1.11)¿

Hitung suku per suku yang terkandung dalam persamaan (1.11)

i) δ ( gs+ns−1 ) ln ( gs+ns−1 )= ∂∂ n1

( gs+ns−1 ) ln ( gs+ns−1 ) δns

¿ [ ln ( gs−1+ns )+( gs+ns−1 )× 1

( gs+ns−1 ) ]δns

¿ [ ln ( gs−1+ns )+1 ] δns

ii) δ ( gs+ns−1 )= ∂∂ ns

( gs+ns−1 ) δ ns=δ ns

iii) δgs ln gs=∂

∂ ns

gs ln gs δ ns=0

6

iv) δns ln ns=∂

∂ ns

ns ln ns δ ns=[ ln ns+ns ×1ns ]δ ns=[ ln ns+1 ] δ ns

Persamaan (1.11) selanjutnya menjadi

δ ln W ≅∑s=1

M

[ ln ( gs+ns−1 )+1 ] δ ns−δ ns−0+0− [ ln ns+1 ]δ ns+δ ns=∑s=1

M

[ ln ( gs+ns−1 )−ln ns ] δ ns

¿∑s=1

M

ln [ gs+ns−1

ns]δ ns(1.12)

Karena gs ≫1 dan ns≫1 maka gs+ns−1≅ gs+ns sehingga persamaan (1.12) dapat

disederhanakan lebih lanjut menjadi

δ ln W=∑s=1

M

ln [ gs+ns

ns]δ ns(1.13)

Subtitusikan persamaan (1.8), (1.9), dan (1.13) ke dalam persamaan (1.10)

diperoleh

∑s=1

M

ln [ gs+ns

ns]δ ns+α∑

s=1

M

δ ns+β∑s=1

M

E sδns=0

Atau

∑s=1

M {ln [ gs+ns

ns]+α+ β E s}δ ns=0 (1.14)

Kesamaan di atas harus berlaku untuk semua variasi δ ns. Ini dijamin ika bagian di

dalam kurung selalu nol, yaitu

ln [ gs+ns

ns]+α+ β E s=0

gs+ns

ns

=exp (−α−β E s )

gs+ns=ns exp (−α−β Es )

gs=ns [exp (−α−β E s )−1 ]

7

Dan akhirnya ungkapan untuk jumlah populasi pada tiap-tiap tingkat energi

sebagai berikut

ns=gs

exp (−α−β Es )−1(1.15)

Ternyata untuk assembli boson, parameter β juga berbentuk β=−1kT

. Dengan

demikian, bentuk lengkap fungsi Bose-Einstein untuk assembli boson adalah

ns=gs

exp (−α +Es /kT )−1(1.16)

1.4 Parameter α untuk foton dan fonon

Parameter α pada persamaan (1.16).ada satu kekhususan untuk assembli

foton (kuantisasi gelombng elektromagnetik) dan fonon (kuantitasi getaran atom

dalam Kristal) dan ini berimplikasi pada nilai parameter α . Dalam suatu kotak,

foton bias diserap atau diciptakan oleh atom-atom yang berada pada dinding

kotak. Akibatnya, jumlah foton dalam satu assembli tidak harus tetap. Jumlah

foton bias bertambah, jika atom-atom di dinding memancarkan foton dan bias

berkurang jika atom-atom di dinding menyerap foton. Untuk sistem semacam ini

pembatasan bahwa jumlah total sistem dalam assembli konstan sebenarnya tidak

berlaku. Pada penurunan fungsi distribusi Bose-Einstein kita telah

mengamsusikan bahwa jumlah sistem dalam assembli selalu tetap, yaitu δN=0.

Konstrain ini dimasukkan dalam persamaan dengan memperkenalkan faktor

pengali Langrange α . Oleh karena itu, agar konstrain ini tidak diberlakukan untuk

assembli dengan jumlah sistem tidak tetap, seperti foton dan fonon maka nilai α

harus diambil nol. Dengan nilai ini maka fungsi distribusi untuk sistem semacam

ini menjadi

ns=gs

exp ( E s/kT )−1(1.17)

8

APLIKASI STATISTIK BOSE-EINSTEIN

2.1 Radiasi Benda Hitam

Teori tentang radiasi benda hitam menandai awal lahirnya mekanika kuantum dan

fisika modern.Benda hitam merupakan penyerap sekaligus pemancar kalor

terbaik.Benda hitam dapat dianalogikan sebagai kotak yang berisi gas

foton.Jumlah foton dalam kotak tidak selalu konstan.Ada kalanya foton diserap

9

oleh atom-atom yang berada di dinding kotak dan sebaliknya atom-atom di

dinding kotak dapat memancarkan fotonn ke dalam ruang kotak. Karena jumlah

foton yang tidak konstan ini maka faktor Bose-Einstein untuk gas foton adalah

1

eEkT−1

Yang diperoleh dengan menggunakan α=0

Foton adalah kuantum gelombang elektromagnetik.Ekstensi foton

direspresentasikan oleh keberadaan gelombang berdiri dalam kotak. Karena

gelombang elektromagnetik memiliki dua kemungkinan arah osilasi (polarisasi)

yang saling bebas, maka kerapatan keadaan foton dalam kotak merupakan dua

kali kerapatan gelombang stasioner, yaitu :

g ( λ ) dλ=8 π

λ4dλ(1.18)

Dengan demikian, jumlah foton dengan panjang gelombang antara λ sampai λ+dλ

adalah

n ( λ )dλ=g ( λ ) dλ

eE−kT−1(1.19)

Karena energi satu foton adalah E=hc / λ maka energy foton yang memiliki

panjang gelombang antara λ sampai λ+dλ adalah

E ( λ )dλ=hcλ

n ( λ )dλ

¿ 8 πhc

λ5

dλ

eE / kT−1(1.20)

2.1.1 Hukum Pergeseran Wien

Gambar 1.2 adalah plot E(λ¿ sebagai fungsi λpada berbagai suhu. Tampak bahwa

E(λ¿ mula-mula naik, kemudian turun setelah mencapai nilai maksimum pada

10

panjang gelombang λm. Kita dapat menentukan λm dengan mendiferensial E(λ¿

terhadap λ dab menyamakan λ dengan

dE(λ)dλ |

λm

=0(1.21)

Gambar 1.2Spektrum radiasi benda hitam pada berbagai suhu

Berdasarkan persamaan (1.20) maka

E ( λ )=8 πhc

λ5

dλ

eEkT −1

(1.22)

Untuk memudahkan diferensial persamaan (1.22) persamaan diatas kita misal

x=λkT /hc. Dengan pemisalan tersebut maka dapat ditulis

E λ=8 πhc( kThc )

5 1

x5(e1x−1)

(1.23)

dE( λ)dλ

=dE (λ)

dxdxdλ

= kThc

dE(λ)dx

11

¿( kThc )8 πhc ( kT

hc )5 d

dx ( 1

x5 (e1/ x−1 ) )(1.24)

Agar terpenuhi dEdλ

=0 maka pada persamaan 1.24 harus memenuhi

ddx ( 1

x5 ( e1 / x−1 ) )=0(1.25)

Jika didiferensiasi secara seksama akan dapat hubungan berikut

(1−5 x ) e1 / x−5=0(1.26)

Nilai x pada persamaan (1.26)dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Jika

menggunakan instruksi Wolfram Research, maka solusi untuk x yang

memenuhipersamaan 91.26) adalah 0,194197. Dengan demikian, λm memenuhi

hubungan

λm kT

hc=0,194197

Atau

λmT=0,194197hck

(1.27)

dengan menggunakan nilai konstanta k=1,38x10−23J / K ,h= 6,625 x10−34 Js, dan

c=3× 108 m /s maka kita peroleh

λmT=2,8 × 10−3 mK (1.28)

12

Gambar 1.3 Spektrum energi radiasi matahari berdasarkan hasil pengukurandan prediksi dengan persamaan radiasi matahari (gari).

Gambar 1.4Warna bintang menunjukan suhu bintang. Semakain menuju kewarna biru suhu bintang semakin tinggi. Sebaliknya suhu bintang semakin rendah apabila menuju ke warna merah.

13

Persamaan (1.28) tidak lain daripada ungkapan hukum pergeseran Wien. Hukum

ini menjelaskan hubungan antara suhu benda dengan gelombang dan intensitas

maksimum yang dipancarkan benda tersebut.Makin tinggi suhu benda maka

makin pendek gelombang yang dipancarkan benda tersebut, atau warna benda

bergeser kea rah biru.Ketika pandai besi memanaskan logam maka warna logam

berubah secara terus menerus dari semula merah, kuning, hijau dan selanjutnya ke

biru-biruan.Ini akibat suhu benda yang semakin tinggi.Hukum pergeseran Wien

telah dipakai untuk memperkirakan suhu benda berdasarkan spectrum

elektromagnetik yang dipancarkan.Energi yang dipancarkan benda diukur pada

berbagai panjang gelombang.Kemudian intensitas tersebut diplot terhadap

panjang gelombang sehingga diperoleh selanjutnya diterapkan pada hukum

pegeseran Wien guna memprediksi suhu benda.Pada astronom memperkirakan

suhu bintang-bntang, berdasarkan spectrum energy yang dipancarkan oleh

bintang-bintang tersebut.

2.1.2 Persamaan Stefan-Boltzmann

Sebuah benda hitam memancarkan gelombang, elektromagnetik pada semua

jangkauan frekuansi dari nol sampai tak berhingga.Hanya intensitas gelombang

yang dipancarkan berbeda-beda.Ketika panjang gelombang menuju nol, intensitas

yang dipancarkan menuju nol. Juga ketika panjang gelombang menuju tak

berhingga, intensitas yang dipancarkan juga menuju tak berhingga. Intensitas

gelombang yang dipancarkan mencapai maksimum pada saat λ=λm.

Energy total yang dipancarkan oleh benda hitam diperoleh dengan

mengintegralkan persamaan (1.20) dari panjang gelombang nol sampai tak

berhingga, yaitu

E=∫0

E ( λ ) dλ

¿8 πhc∫0

1λ5

dλehc / λkT−1

(1.29)

14

Untuk menyelesaikan persamaan integral (1.29) misalkan y=hc / λkT . Dengan

pemisalan tersebut maka diperoleh ungkapan-ungkapan berikut ini :

1λ= kT

hcy

1λ5 =( kT

hc )5

y5

λ= hckT

1y

dλ=−hckT

1

y2dy

Syarat batas yang berlaku bagi y. saat λ=0 maka y=~ dan saat λ= maka y=0.

Dengan demikian, dalam variable y integral (1.29) menjadi

E=8 πhc∫0

( kThc )

5

y5 (−hc /kT y2 ) dy

e− y−1

¿8 πhc( kThc )

5

( hckT )∫

0− y5 dye y−1

¿8 πhc( kThc )

4

∫0− y5 dye y−1

(1.30)

Persamaan (1.30) merupakan kerapatan energy foton di dalam kotak. Hubungan

antara kerapatan energy yang diradiasi dengan energy foton dalam kotak adalah

Erad=cE /4

¿2 πh c2( kThc )

4

∫0

y3 dye y−1

¿ [2 πh c2( khc )

4

∫0

y3 dye y−1 ]T 4 (1.31)

Persamaan (1.31) sangat mirip dengan persamaan Stefan-Boltzman. Jadi pada

persamaan (1.31) kita dapat menyamakan

15

σ=2πh c2( khc )

4

∫0

y3 dye y−1

(1.32)

Dengan menggunakan instruksi matematika sederhana kita dapatkan

∫0

y3 dye y−1

=6,49394

Selanjutnya dengan memasukkan nilai konstanta-konstanta lain

k=1,38 x10−23J / K ,h=6,625 x10−34 Js ,dan c=3× 108 m /s kita dapatkan nilai

konstanta Stefan-boltzman.

σ=5,65×10−8W /m2 K4

2.1.3 Cosmic Microwave Background (CMB)

Salah satu gejala penting sebagai hasil peristiwa Big bang adalah

keberadaan radiasi yang bersifat isotropic (sama ke segala arah) di alam semesta

dalam panjang gelombang mikro. Gejala ini selanjutnya dikenal dengan icosmic

microwave background (CMB). Radiasi ini benar-benar isotropic.Penyimpangan

dari sifat isotropic hanya sekitar seper seribu.Dua astronom muda, Arno Penzias

dan Robert Wilson yang pertama kali mengidentifikasi gejala ini tahun 1965

dengan menggunakan antene horn yang dikalibrasi dengan teliti.Dengan

anggapan bahwa alam semesta berupa benda hitam sempurna dan setelah

dilakukan pengukuran yang teliti intensitas radiasi gelombang mikro ini pada

berbagai panjang gelombang yang mungkin, selanjutnya hasil pengukuran di-fit

dengan persamaan radiasi benda hitam (1.4) disimpulkan bahwa suhu rata-rata

alam semesta sekarang adalah 2,725 K.

16

Gambar 1.5CMB dengan persamaan radiasi benda hitam

Gambar 1.6Variasi suhu alam semesta berdasarkan posisi

Ada sekitar variasi suhu pada arah yang berbeda seperti ditunjukkan dalam

gambar diatas. Bagian berwarna merah sedikit lebih panas dan bagian berarna biru

sedikit lebih dingin dengan penyimpangan 0,0002 derajat.

2.2 Kapasitas kalor Kristal

17

Dalam Kristal-kristal atom bervibrasi.Jika diselesaikan dengan mekanika

kuantum maka energy vibrasi atom-atom dalam Kristal terkuantisasi.Kuantisasi

getaran atom tersebut disebut fonon. Energy fonon dengan bilangan kuantum n

adalah En=(n+ 12) ωℏ . Karena jumlah fonon tidak konstan maka fungsi distribusi

untuk fonon diperoleh dengan mengambil α=0. Fungsi distribusi tersebut persis

sama dengan fungsi distribusi untuk foton.

Karena frekuensi fonon umumnya merupakan fungsi bilangan gelombang,

κ , maka secara umum energy toal yang dimiliki fonon dalam Kristal dapat ditulis

U=∑ ωℏ (κ)exp [ ωℏ (κ )/kT ]−1

(1.33)

Jika fonon memiliki sejumlah polarisasi dan polarisasi kep memiliki frekuensi

ω p ( κ ) ,maka energy total fonon setelah memperhitungkan polarisasi tersebut

adalah

U=∑p∑

κ

ℏω p(κ )exp [ℏωp(κ)/kT ]−1

(1.34)

Penjumlahan terhadap κ dilakukan engan asumsi bahwa κ adalah integer. Tetapi

jika κ adalah variable kontinu maka penjumahan terhadap κ dapat diganti dengan

integral dengan melakukan transformasi berikut ini

∑κ

→∫ gp (κ )dκ (1.35)

Tetapi karena ω merupakan fungsi κ maka kita dapat mengubah integral terhadap

κ menjadi integral terhadap ω dengan melakukan transformasi

∑κ

→∫ gp (κ )dκ →∫ gp (ω ) dω(1.36)

Akhirnya kita dapat menulis menulis ulang persamaan (1.34) menjadi

U=∑p∫ g p(ω) ωℏ

exp [ ωℏ / kB T ]−1dω (1.37)

18

Dari definisi energy dalam persamaan (1.37) maka kita dapat menentukan

kapasitas panas yang didefinisikan sebagai berikut

C v=dUdT

¿ ddT ∑

p∫ gp(ω) ωℏ

exp [ ωℏ /kB T ]−1dω

¿∑p∫ gp (ω ) d

dT { ωℏexp [ ωℏ /kT ]−1 } ωdωℏ (1.38)

Untuk menyederhanakan persamaan (1.38) mari kita lihat suku diferensial dalam

persamaan tersebut. Untuk mempermudah kita misalkan y= ωℏ /kT . Dengan

pemisalan tersebut maka

ddT

= ddy

dydT

=− ωℏk T2

ddy

ddT { ωℏ

exp [ ωℏ /kT ]−1 }= ddT { 1

e y−1 }=− ωℏk T 2

ddy { 1

e y−1 }− ωℏk T2 { 1

(e y−1 )2 }= ωℏk T2

e y

(e y−1 )2

¿ ωℏk T2

exp [ ωℏ /kT ](exp [ ωℏ /kT ]−1 )2

Dengan demikian, kapasitas kalor dapat ditulis

C v=∑p∫ gp (ω ){ ωℏ

k T2

exp [ ωℏ /kT ](exp [ ωℏ /kT ]−1 )2 } ωdωℏ

¿ ωℏk T2 ∑

p∫ g p (ω ) exp [ ωℏ /kT ]

(exp [ ωℏ /kT ]−1 )2ω2 dω(1.39)

2.2.1 Model Einstein

19

Untuk mencari kapasitas kalor Kristal, Einstein mengusulkan model

bahwa semua fonon berisolasi dengan frekuensi karakteristik yang sama, ω0 ,

dengan asumsi ini maka dapat ditulis

gp (ω )=Nδ ( ω−ω0 ) (1.40)

Di mana δ ( ω−ω0 ) merupakanfungsi data dirac. Dengan model ini kita dapatkan

kapasitas kalor Kristal untuk satu macam polarisasi saja sebesar

C v=ℏ2

k T2∫ g (ω ) exp [ ωℏ /kT ](exp [ ωℏ /kT ]−1 )2

ω2 dω

¿ ℏ2

k T2∫Nδ (ω−ω0 ) exp [ ωℏ /kT ](exp [ ωℏ /kT ]−1 )2

ω2 dω

¿ Nℏ2

k T 2

exp [ ωℏ /kT ](exp [ ωℏ /kT ]−1 )2

ω02(1.41)

Untuk Kristal 3 dimensi, terdapat tiga arah polarisasi fonon yang mungkin (arah

sumbu x, y, dan z).dengan menganggap bahwa ke tiga polarisasi tersebut

memberikan sumbangan energy yang sama besar maka kapasitas kalor total

menjadi tiga kali dari yang tampak dalam persamaan (1.41), yaitu menjadi

C v=3Nℏ2

k T 2

exp[ ωℏkT ]

(exp[ ωℏkT ]−1)

2 ω02 (1.42 )

Tinjau kasus-kasus khusus, yaitu ketika T→ 0 dan T→ .dalam kondisi T→ 0 maka

exp [ℏω0/kT ¿≫1 sehingga exp [ℏω0/kT ¿−1 ≈ exp[ ℏω0

kT ] akibatnya

C v=3Nℏ2

k T 2

exp [ℏω0

kT ](exp[ ℏω0

kT ])2 ω0

2

20

3 Nℏ2 ω02

kT 2 e−ℏω0

kT (1.43)

Perhatikan suku pembilang danpenyebut pada persamaan (1.43).jika T→ 0 maka

suku penyebut T 2→ 0 dan suku pembilang exp [− ωℏkT ]→ 0 sehingga kita dapat

mengaproksimasi

exp [ℏω0

kT ]≈ 1+ℏω0

kT

Dengan aproksmasi ini maka persamaan (1.42) dapat ditulis menjadi

C v=3Nℏ2

k T 2

1+exp [ℏω0

kT ](1+[ℏω0

kT ]−1)2 ω0

2

≈3 Nℏ2

k T 2 (ℏω0

kT )2

ω02

¿3 Nk=3 (n N A ) k

¿3 n ( N A k )=3 nR (1.44)

Dengan N Abilangan Avogadro, n jumlah mold an R=N A k konstanta gas umum.

Hasil ini persis sama dengan teori klasik dari dulong-petit bahwa kapasitas kalor

persatuan mol semua padatan adalah konstan, yaitu 3R.

Gambar 1.7 adalah perbandingan hasil pengamatan kapasitas kalor

intan (symbol) dan prediksi dengan model Einstein. Terdapat kesesuaian yang

baik antara prediksi model tersebut dengan pengamatan, khususnya nilai kapasitas

kalor yang menuju nol jika suhu menuju nol dan nilai kapasitas kalor menuju

konstanta dulong-petit pada suhu tinggi.

21

Gambar 1.7Kapasitas panas intan yang diperoleh dari pengamatan (simbol) dan prediksi menggunakan model kapasitas panas Einstein.

Model Einstein dapat menjelaskan dengan baik kebergantugan kapasitas panas

terhadap suhu. Sesuai dengan pengamatan experiment bahwa pada suhu menuju

nol kapasitas panas menuju nol dan pada suhu tinggi kapasitas panas menuju nilai

yang diramalkan Dulong-petit.Akan tetapi, masih ada sedikit penyimpangan

antara data eksperimen dengan ramalan Einstein.Pada suhu yang menuju nol, hasil

eksperimen memperlihatkan bahwa kapasitas panas berubah sebagai fungsi kubik

9pangkat tiga) dari suhu, bukan seperti pada persamaan (1.42).oleh karena itu

perlu penyempurnaan pada model Einstein untuk mendapatkan hasil yang persis

sama dengan eksperimen.

2.2.2 Model Debeye

Salah satu masalah yang muncul dalam model Einstein adalah asumsi

bahwa semua fonon bervibrasi dengan frekuensi yang sama. Tidak ada justifikasi

untuk asumsi ini.Asumsi ini digunakan semata-mata karena kemudahan

mendapatkan solusi.Oleh karena itu hasil yang lebih tepat diharapkan muncul jika

dianggap frekuensi fonon tidak seragam.Asumsi ini digunakan oleh Debeye untuk

membangun teori kapasitas panas yang lebih teliti. Namun, sebelum masuk ke

22

teori Debeye kita akan terlebih dahulu membahas kerapatan keadaan untuk kisi

dalam usaha mencari ekspresi yang tepat untuk g (ω ) .

Frekuensi getaran kisi dalam Kristal secara umum tidak konstan, tetapi

bergantung pada bilangan gelombang. Persamaan yang menyatakan

kebergantungan frekuensi dengan bilangan gelombang dinamakan persamaan

dispersi, ω=ω (κ). Dari persamaan dispersi tersebut dapat diturunkan persamaan

kerapatan keadaan sebagai berikut

g (ω )= V2 π2

κ2

dω /dκ(1.45)

Kebergantungan ω terhadap κ kadang sangat kompleks. Sebagai contoh, untuk

Kristal satu dimensi, kita peroleh persamaan dispersi ¿¿, dengan m massa atom, C

konstanta pegas getaran kisi, dan a jarak antar atom dalam kisi (periodisitas).

Namuun, jika κ sangat kecil, atau panjang gelombang yang besat (κ=2 π / λ¿, jika

dapatkan sebuah persamaan aproksimasi

ω=vg κ (1.46)

Dengan vg disebut kecepatan grup. Dalam membangun model kapasitas panas,

Deybe mengambil asumsi sebagai berikut :

i. Frekuensi getaran kisi memenuhi persamaan dispersi ω=vg κ

ii. Ada sebuah frekuensi maksimum,ωm yang boleh dimiliki fonon dalam

kristal sehingga tidak ada fonon yang dimiliki frekuensi di atas ωm.

Dari persamaan dispersi (1.46) kita dapatkan bahwa untuk ω ≤ ωm, k= ωvg

dan

dωdk

=vgsehingga kerapatan keaadaan pada persamaan (1.45) menjadi

g (ω )= Vω2

2 πvg3 . Akhirnya jika gabung dengan asumsi kedua tentan adanya

frekuensi maksimum getaran fonon diperoleh ungkapan umum untuk kerapatan

keadaan sebagai berikut :

23

g (ω )={ V

2 πv g3 ω2 ,ω≤ ωm

0ω>ωm

(1.47)

Gambar 1.8Kurva kerapatan keadaan sebagai fungsi pada model Einstein dan Debeye

Perbedaan kurva kerapatan keadaan sebagai fungsi pada model Einstein dan

Deybe diperlihatkan pada gambar 1.8. Berapa nilai ωm pada model Debye? Untuk

menentukan ωm kita kembali pada defenisi bahwa g (ω ) adalah jumlah keadaan per

satuan frekuensi. Karena frekuensi maksimum fonon adalah ωm maka integral

g (ω ) dari frekuensi 0 sampai ωm memberikan jumlah total keadaan yang dimiliki

fonon, dan itu sama dengan jumlah atom, N . Jadi,

∫0

ωm

g (ω)dω=N

∫0

ωm

V

2 πgg3

ω2

dω=N

V

2 πvg3∫

0

ωm

ω2dω=N

V2 πvg

3

ωm3

3=N

Yang memberikan ungkapan untuk frekuensi maksimum

24

ωm3 =

6πv g3 N

V(1.48 )

Untuk kemudahan mari kita didefenisikan suhu Debye, ΘD, berdasarkan

hubungan ini

K BΘD=ћωm(1. 49)

Dengan definisi di atas didapatkan

ΘD=ћvg

KB

3√ 6 π2 NV

(1.50)

Kita asumsikan bahwa kapasitar kalor kisi yang dihasilkan oleh tiap polarisasi

fonon sama besarnya. Karena terdapat tiga polarisasi getaran yang mungkinan

maka penjumlahan terhadap indeks p dalam persamaan (1.39) mengahasilakan

tiga kali nilai per polarisasi. Akibatnya, tanda sumasi dapat diganti dengan tiga

dan kita peroleh kapasitas panas yang disumbangkan oleh semua polarisasi

menjadi,

C v=3ћ2

kT 2∫0

∞

g ( ω) eћωkT

¿¿ ¿

¿ 3 ћ2

kT 2∫0

ωm

( V

2 π v g3 ) eћω /kT

(e¿¿ ћω/kT−1)2 ω2 dω+ ћ2

kT 2∫ωm

∞

(0 ) eћω/ kT

¿¿ ¿

¿ 3 ћ2 V

2 π v g3 kT2∫

0

ωm

eћω/ kT

(e¿¿ћω /kT−1)2ω4 dω (1.51)¿

Untuk menyelesaikan integral pada persamaan (1.51) kita misalkan

x= ωℏ /kT . Dengan permisalan tersebut maka

ω= kTℏ

x

dω= kTℏ

dx

25

Selanjutnya, syarat batas untuk x ditentukan sebagai berikut. Jika ω=0 maka x=0

dan jika ω=ωm maka x=ℏωm

kT=

k ΘD

kT=ΘD /T . Dengan demikian, bentuk integral

untuk kapasitas panas menjadi

C v=3ℏ2 V

2π v g3 kT 2 ∫

0

ΘD /Tex

(ex−1 )2 ( kTℏ

x)4 kTℏ

dx

¿ 3ℏ2 V

2 π v g3 kT2 ∫

0

Θ D /Tex x4

(ex−1 )2dx (1.52)

Berdasarkan definisi ΘD pada persamaan (1.50) maka dapat ditulis

ΘD3=6 π2ℏ3 vg

3 /k3V atau V k 4T 3

2 π v g3ℏ3=3 Nk (T /ΘD )3. Subtitusikan hubungan ini ke

dalam persamaan (1.52) maka diperoleh ungkapan kapasitas kalor dalam bentuk

yang lebih sederhana sebagai berikut

C v=9 Nk ( TΘD

)3

∫0

Θ D /Tex x 4

( ex−1 )2dx(1.53)

Selanjutnya integral tidak bergantung lagi pada T dan hasil integral adalah sebuah

bilangan. Jika menggunakan program Mathematic, maka diperoleh hasil integral

pada persamaan (1.53) adalah

∫0

ex x4

(ex−1 )2dx=¿ π2

15(1.54)¿

Dengan demikian, untuk T→ 0 diperoleh

C v ≈9 π2 Nk

15 ( TΘD )

3

¿ A T 3(1.55)

Dengan

A ≈9 π2 Nk15 ΘD

3 (1.56)

26

Persamaan (1.56) sangat sesuai dengan hasil eksperimen.Sebaliknya, untuk T →

maka penyebut pada persamaan (1.52) dapat diaproksmasi ex−1 ≈ x dan pada

pembilang dapat diaproksimasi ex ≈ 1 sehingga

C v=9 Nk ( TΘD

)3

∫0

Θ D /Tx4

(x )2dx

C v=9 Nk ( TΘD

)3

∫0

Θ D /T

x2dx=9 Nk ( TΘD

)3 1

3 (ΘD

T )3

¿3 Nk (1.53)

Yang juga persis sama dengan ramalan Dulong-Petit.

Gambar 1.9 Kapasitas kalor argon padat diukur pada suhu jauh di bawah suhu Debeye. Garis adalah hasil perhitungan menggunakan teori Debeye (kittel, hal 125)

Gambar diatas adalah hasil pengukuran kapasitas panas argon padat (titik-titik)

beserta kurva yang diperoleh menggunakan model Deybe. Tampakbahwa ramalan

Deybe tentang kebergantungan kapasitas kalor pada pangkat tiga suhu sangat

sesuai dengan hasil pengamatan. Teori Deybe dan Einstein hanya berbeda pada

suhu rendah. Pada suhu agak tinggi, kedua teori tersebut memprediksi hasil yang

27

sangat mirip dan pada suhu yang sangat tinggi ke dua teori memberikan prediksi

yang sama persis sama dengan hukum Dulong-Petit.

2.3 Kondensasi Bose-Einstein

Gambar 1.10Salah satu hasil pengukuran yang membuktikan fenomena kondensasi Bose-Einstein.

Kita kembali melihat bentuk fungsi distribusi Bose-Einstein. Jumlah sistem yang

menempati keadaan dengan energi En pada suhu T adalah

N ( En , T )= 1

expEn−μ

kT−1

Tampak jelas dari ungkapan di atas bahwa pada suhu yang sangat rendah sistem-

sistem akan terkonsentrasi di keadaan-keadaan dengan energi sangat rendah. Jika

T→ 0 maka jumlah sistem yang menempati tingkat energi paling rendah, tingkat

energi kedua, ketiga, dan seterusnya makin dominan. Jumlah sistem yang

menempati keadaan-keadaan dengan nilai energi tinggi makin dapat diabaikan.

Hampir semua sistem akan berada pada tingkat energi terendah jika suhu

didinginkan hingga dalam orde 10−14 K . Gambar diatas memperlihatkan evolusi

populasi boson pada tingkat energi terendah (bagian tengah kurva). Pada suhu

T<<Tc hampir semua boson berada pada tingkat energi paling rendah.

28

Namun, ada fenomena yang menarik di sini. Ternyata untuk boson,

keadaan dengan energi terendah dapat ditempati oleh sistem dalam jumlah yang

sangat besar pada suhu yang jauh lebih tinggi dari 10−14 K . Dengan kata lain,

boson tidak perlu menunggu suhu serendah 10−14 K untuk mendapatkan

sistemdalam jumlah yang sangat besar pada tingkat energi terendah. Pada

beberapa material, seperti helium, jumlah sistem yang sangat besar pada tingkat

energi terendah dapat diamati pada suhu setinggi 3K. Jadi terjadi semacam

kondensasi boson pada suhu yang jauh lebih tinggi dari prediksi klasik. Fenomena

ini dikenal dengan kondensai Bose-Einstein.

2.3.1 Kebergantungan Potensial Kimia Pada Suhu

Mari kita tengok kembali fungsi distribusi Bose-Einstein. Untuk

mudahnya kita gunakan skala energi sehingga tingkat terendah memiliki energi

E0=0. Populasi keadaan dengan tingkat energi sembarang diberikan oleh

persamaan (1.53). Jumlah populasi yang menempati tingkat energi terendah (

E0=0¿ adalah

N (0 , T )= 1

exp (−μkT )−1

(1.54)

Pada suhu T→ 0 hampir semua sistem menempati keadaan dengan energi

terendah. Dengan demikian, jumlah populasi pada tingkat ini memiliki orde kira-

kira sama dengan jumlah total sistem, atau

N ≈ limT → 0

N (0 ,T )=limT →0

1

exp (−μkT

¿)−1(1.55)¿

Karena nilai N sangat besar (dalam orde 1023 ¿ maka ketika T→ 0 penyebut pada

1/[exp (−μkT

¿)−1¿ harus menuju nol. Jika tidak maka 1/[exp (−μkT

¿)−1¿ tidak

akan menghasilkan nilai N yang snagat besar. Nilai [exp (−μkT

¿)−1¿ akan menuju

29

nol hanya jika exp (−μkT

¿)¿ menuju satu. Dari sifat fungsi eksponensial bahwa

exp [x ] mendekati 1 jika x→ 0. Jadi disimpulan bahwa pada T→ 0 akan berlaku

μkT

→ 0 maka dapat dilakukan aproksimasi

exp (−μkT )≈ 1−¿ μ

kT(1.56)¿

Jadi dapat diaproksimasikan sebagai berikut ini

N ≈ limT → 0

1

exp(−μkT

¿)−1=1

(1− μkT )−1

=−kT

μ

¿

Atau

μ=−kTN

(1.57)

Hubungan pada persamaan (1.57) menyatakan bahwa pada suhu T menuju 0 maka

μ berharga negatif dan merupakan fungsi linear dari suhu. Sebagai ilustrasi, pada

T=1 K dan N= 1022 maka μ=−1,4 ×10−38erg. Ini adalah nilai yang sangat kecil.

Bahkan nilai ini jauh lebih kecil daipada jarak antar dua tingkat energi terdekat

dalam assembli atom helium di alam kubus dengan sisi 1 cm. Kebergantungan μ

pada suhu itulah yang menyebabkan peristiwa kondensasi Bose-Einstein.

Agar lebih memahami fenomena kondensasi Bose-Einstein, perhatikan

sistem-sistem yang berada dalam kubus dengan sisi L. Tingkat-tingkat energi

yang dimiliki assembli memenuhi

E (nx ny nz )= ℏ2

2 M( π / L )2 (nx

2+ny2 +nz

2 )(1.58)

Tingkat energi terendah bersesuaian dengan nx=n y=nz=1, yaitu

E (111 )= ℏ2

2 M ( πL )

2

(1+1+1 )

30

Salah satu tingkat energi berikutnya bersesuaian dengan nx=n y=1 dan nz=2 yaitu,

E (112)= ℏ2

2 M ( πL )

2

(1+1+4 )

Selisih tingkat energi terendah dan tingkat energi berikutnya adalah

∆ E=E (111 )−E (112 )=3×ℏ2

2M ( πL )

2

Jika assembli tersebut adalah atom helium (M=6,6 × 10−24 g) dalam kubus

dengan sisi 1 cm makan ∆ E≅ 2,48× 10−30 erg.

Apabila kita prediksi populasi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama

dan tingkat energi terendah dengan menggunakan statistik Maxwell-Boltzman

adalah

N1

N 0

=exp (−∆ EkT

)

Pada suhu T = 1 mK maka

N1

N 0

=exp(−2,48 ×10−30ergk ×10−3 K )≅ 1

Hasil diatas berarti bahwa pada suhu 1 mk, tingkat energi terendah dan eksitansi

pertama memiliki populasi yang hampir sama. Namun, dengan statistik Bose-

Einstein didapatkan hasil yang sangat berbeda. Dnegan asumsi N= 1020 dan suhu

T= 1 mK maka kita peroleh

μ=−kTN

=−k ×10−3

1022 =−1,4 ×10−41erg

Jumlah populasi yang menempati tingkat energi eksitasi pertama (tepat di atas

tingkat energi paling rendah) adalah

N ( E1 ,T )= 1

expE1−μ

kT−1

31

Karena E0=0 maka E1=∆ E. Lebih lanjut, mengingat |μ|≪∆ E maka

E1−μ≈ E1=∆ E. Dengan demikian

N ( E1 ,T )= 1

exp∆ EkT

−1

1

exp( 2,48×1030

k ×10−3 )−1

=5× 1010

Dengan demikian, fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama adalah

N (E1)N

=5×1010

1022 =5 ×10−12

Tampak bahwa fraksi sistem pada tingkat energi eksitasi pertama amat kecil. Ini

berarti bahwa sebagian besar sistem berada pada tingkat energi terendah.

2.3.2 Suhu Kondensasi Einstein

Kerapatan keadaan kuantum untuk sistem dengan spin nol dapat ditulis dengan

D ( E )= V4 π 2 ( 2 M

ℏ2 )3/2

E1 /2(1.59)

Pada suhu T menuju 0 sebagian sistem menempati tingkat energi terendah dengan

jumlah yang sangat signifikan. Jumlah total sistem dalam assembli dapat ditulis

N=∑ N ( En )=¿ N 0 (T )+∑n ≠0

N (En)¿

¿ No (T )+∫0

D ( E ) f (E ,T ) dE=¿N o (T )+N e (T ) (1.60 ) ¿

Dengan No (T ) adalah jumlah sistem pada tingkat energi terendah dan

N e (T )=∫D ( E ) f ( E ,T ) dE dan jumlah total sistem yang menempati tingkat-

tingkat energi lainnya.

32

Dengan mengambil skala energi E0=0 maka jumlah sistem pada tingkat energi

terendah dapat ditulis

N0 (T )= 1

exp(−μkT )−1

Jumlah sistem yang menempati semua tingkat energi lainnya adalah

N e (T )= V4π 2 ( 2 M

ℏ2 )3/2

∫0

E1 /2

expE−μkT

−1dE

V4 π2 (2 M

ℏ2 )3 /2

∫0

E1/2

exp (−μkT

)expE

kT−1

dE(1.61)

Misalkan E/kT=x. Dengan demikian

√ E=√kT √ x ,exp( EkT )=¿exp ( x ) ,dan dE=( kT ) dx .¿

Selanjutnya integralnya dapat ditulis

∫0

E1 /2

expE−μkT

−1dE= 3√kT∫

0

√ xexp ( x )−1

dx=1,03 π2 kT 3/2

Akhirnya didapatkan

N e (T )= V4π 2 ( 2 M

ℏ2 )3/2

×1,03 π2 kT 3/2

¿2,612 nQ V (1.62)

Dengan nQ=¿ dinamakan konsentrasi kuantum.

Kita definisikan suku kondensasi Bose-Einstein, T E , sebagai suhu ketika jumlah

sistem pada keadaan terkesitasi persis sama dengan jumlah total sistem. Jadi pada

33

T= T E , terpenuhi N e T E,=N . Dengan menggunakan persamaan (1.62) didapatkan

bahwa pada suhu kondensasi Bose-Einstein terpenuhi

N= V4 π 2 ( 2 M

ℏ2 )3/2

× 1,03 π2 kT 3/2

Yang memberikan

T E=2ℏ2 πMk ( N

2,612 V )2 /3

(1.63)

Gambar 1.11Fraksi superfluida (sistem yang menempati keadaan dasar) dan fluida normal (sistem yang menempati keadaan eksitasi) dalam assembli boson sebagai fungsi suhu ketika suhu berada di bawah suhu kondensasi Bose-Einstein.

Pada sembarang suhu yang mendekati nol derajat, fraksi jumlah sistem pada

keadaan tereksitasi adalah

N e(T )N

=( TT E

)3/2

(1.64)

Berarti pula bahwa fraksi jumlah sistem pada keadaan paling rendah adalah

N 0(T )N

=1−N e (T )

N=1−( T

T E )32 (1.65)

34

Gambar 1.11 adalah fraksi boson yang mempunyai keadaan energi

terendah N0 dan boson yang menempati keadaan terkesitasi N e sebagai fungsi

suhu. Boson yang terkodensasi membentuk fase yang dinamakan superfluida dan

boson yang menempati keadaan tereksitasi dinamakan fluida normal. Superfluida

hanya dijumpai ketika suhu T lebih rendah dari T E.

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

1. Perlihatkan menggunakan definisi entropi bahwa ¿1

kT !

Penyelesaian :

Entropi, secara mikroskopik didefinisikan sebagai

S=k ln Ω

35

Variasi kecil, menggunakan variasi

δS=kδ ln Ω=¿k∑s=1

ln( gs+ns

ns)δ ns ¿

Karena itu, derivative terhadap energi dalam hubungan

∑s=1

M

δ ns {ln (ns+gs )−ln ns+α +β εs }=0

Memberikan

∂ S∂ u

=k∑s=1

M

ln( gs+ns

ns) ∂ ns

∂ u

¿k∑s=1

M

( α+β εs )∂ ns

∂ u

¿kα∑s=1

M ∂ ns

∂u+kβ∑

s=1

M

εs

∂ns

∂u

Dengan menggunakan batasan n1+n2+…+ns+…=N dan

n1 ε1+n2ε 2+…+ns ε s+…=E

Maka

∑s=1

M ∂ ns

∂ u=∂ N

∂u=0

Dan

∑s=1

M

εs

∂ ns

∂ u= ∂

∂u (∑s=1

M

ns ε s)=∂u∂u

=1

Sedangkan

dU =TdS−pdV

36

Yang berarti pada volume tetap

∂ S∂ u

= 1T

Dengan demikian

∂ S∂ u

= 1T

=kα∑s=1

M ∂ ns

∂u+kβ∑

s=1

M

εs

∂ ns

∂u

1T

=0+kβ

Atau

β= 1kT

Daftar Pustaka

Abdullah, Mikrajuddin. 2009. Pengantar Fisika Statistik. Bandung. ITB.

Cahn, Sidney B., Mahan, Gerald D., Nadgorny Boris E. A Guide to Physics

Problem Part 2 Thermodynamics, Statistical Physics, and Quantum

Mechanics. New York. Kluwer Academic Publishers.

37

Purwanto, Agus. 2007. Fisika Statistik. Yogyajakarta. Gava Media.

http://schools-wikipedia.org/wp/t/Thermodynamic_temperature.htmdiakses

tanggal 15 april 2012 ( gambar 1.2 )

http://www.howtopowertheworld.com/what-is-solar-energy.shtmldiakses tanggal

15 april 2012 ( gambar 1.3)

http://launch.yousaytoo.com/?lrRef=Ye6Ax

diakses tanggal 15 april 2012 ( gambar 1.4 )

http://koestoer.wordpress.com/2011/03/22/kronologi-alam-semesta/diakses

tanggal 15 april 2012 ( gambar 1.5 )

http://www.faktailmiah.com/2010/08/28/materi-gelap-dan-terang.htmldiakses

tanggal 15 april 2012 ( gambar 1.6 )

http://cua.mit.edu/ketterle_group/popular_papers/

ultralow_temperatures.htmdiakses tanggal 15 april 2012 ( gambar 1.10 )

FORMAT PENILAIAN KEGIATAN TATAP MUKA MATA KULIAH FISIKA STATISTIK

Penilaian Kelompok/Individu :

Judul materi ajar :

38

No Pembuatan SAP Skor(70,80,90,100)

Penyampaianmateri

Skor(70,80,90,100)

Skor

1 Identitas

Tujuan mata kuliah

Standar kompetensi

Kompetensi dasar

Indikator

Materi pembelajaran

Kegiatan

Pembelajaran :

- Pembukaan

- Kegiatan Inti

- Penutup

Alat/media/sumber

Penilaian

Narasi/kalimat

Urutan materi

Kemampuan

menjelaskan

Kemampuan

tanya jawab

Contoh soal

Media Power

point

2 Penilaian Individu

Nama :

1.2.

Kognitif Afektif Psikomotor Rata-rata

Hari/tanggal :

Dosen Penilai :

39