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  • Borrador con posibles errores y posibles modificaciones. Mg. Ing. Manuel L. Gonzlez

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    SISTEMAS LINEALES

    INTRODUCCION Un sistema puede verse como un proceso que produce una transformacin de seales. Para ello, un sistema tendr una seal de entrada y otra de salida, la cual esta relacionada con aquella a travs de la transformacin del sistema. El inters desde el punto de vista de las mediciones se centra tanto en sistemas de tiempo continuo como en sistemas de tiempo discreto. Un sistema de tiempo continuo es un sistema que es posible representarlo como en la Figura 1, donde x(t) es la entrada e y(t) la salida. Un sistema en tiempo discreto es un sistema que transforma entrada en tiempos discretos en salida en tiempos discretos Fig. 1b. x(t) y(t) x(n) y(n)

    Fig. 1a Fig. 1b Para estudiar el comportamiento de los sistemas se modela matemticamente cada uno de los elementos y despus se considera la interconexin entre dichos elementos. El resultado puede expresarse matemticamente tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. Dependiendo de cmo el sistema interactu con la seal de entrada se clasifica el tipo de sistema, los cuales pueden ser lineales y no lineales, variantes con el tiempo o invariantes, con memoria o sin memoria, causal, estable o inestable, determinstico y no determinstico.

    Se dice que un sistema es lineal cuan se puede aplicar el principio de superposicin y por ser de gran importancia en las mediciones se tratar mas en profundidad posteriormente. Por contrapartida el Sistema ser no lineal cuando no pueda aplicarse el principio de superposicin.

    Se dice que un sistema es invariante con el tiempo si un desplazamiento temporal de la seal de entrada causa un desplazamiento temporal idntico en la seal de salida, por consiguiente para una salida y(t-to) le corresponde una entrada x(t-to).

    Se dice que un sistema es sin memoria si su salida para cada valor de la variable independiente depende solo de la entrada en ese instante de tiempo, y(t) = Fx(t) x{n} = y{n}. Un sistema se considera con memoria cuando la seal de salida depende de los valores pasados de la seal de entrada y(t) = x (t-1) y{n} = x(k) para valores de k entre - y n.

    Un sistema se dice causal (conocido tambin por fsica mente realizable), si la salida en cualquier instante t0 depende solo de los valores de la entrada para t < t0.

    Se dice que un sistema es estable de entrada acotada salida acotada (BIBO) si y solo si toda entrada acotada origina una salida acotada. La salida de tal sistema no diverge si la entrada no diverge.

    SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

    Sistema tiempo continuo

    Sistema tiempo discreto

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    Si bien enunciamos una serie de caractersticas que definen a un sistema, hay dos que nos interesa en forma especial por jugar un papel fundamental en el anlisis de sistemas: la linealidad y la invarianza en el tiempo. Esto se debe a que muchos procesos fsicos pueden ser modelados como sistemas lineales invariantes en el tiempo y porque tales sistemas pueden ser analizados con gran detalle. En muchos sistemas electrnicos estas caractersticas son muy deseadas dado que todo sistema que no produzca distorsin lineal a la seal de entrada debe primero ser lineal como condicin necesaria pero no suficiente.

    Por lo tanto en sistemas donde se utilizan seales analgicas o discretas que sufren tratamientos de amplificacin transmisin, deteccin, etc, es importante que sean lineales o pueden suponerse lineales dentro de cierto entorno. Cuando hablamos de sistemas discretos hablamos del comportamiento lineal del sistema y no del comportamiento de sus elementos digitales aislados que son sistemas alinales. En este captulo lo que se har es dar los conceptos fundamentales de las mediciones, tanto desde el punto de vista matemtico como funcional, en el dominio del tiempo y la frecuencia, que permitan caracterizar un sistema lineal invariante el tiempo. CONCEPTO GENERAL DE LINEALIDAD La linealidad de un sistema puede ser verificada mediante diferentes formas. Una de ellas es la aplicacin de ecuaciones integro diferenciales con coeficientes constantes para aquellos sistemas en las cuales las entradas y salidas estn relacionadas por dichas ecuaciones, incluyendo aquellas que representan la energa almacenada para las condiciones iniciales; xi(t) e yi(t) es la solucin que satisface la aplicacin de dichas seales a los diferentes nodos del circuito que conforman el sistema. La respuesta de un circuito RLC se puede describir en trminos de una ecuacin diferencial, as como la respuesta de un sistema mecnico que contiene fuerzas de restauracin y amortiguamiento.

    Si las seales excitacin tienen la forma jwtjj eAa = , la derivada n tendr la forma (jw)n.aj(t) y la integral n ser aj(t)/(jw)n. O sea que la diferenciacin equivale a multiplicar la seal por (jw)n y la integral a dividir la seal por (jw)n. De esta forma. Las ecuaciones lineales se transforman en ecuaciones lineales algebraicas, las que pueden resolverse por medio de determinantes u otra forma similar. El factor aj es una constante compleja a la cual se le modifica la fase y la amplitud de la seal en cada nodo n del sistema. x1(t), x2(t), x3(t)., xn(t) y(t)

    Fig. 2

    Otra forma de corroborar que un sistema es lineal, que ser el que ms nos ocupe desde el punto de vista de mediciones, es el cumplimiento del principio de superposicin e invarianza en el tiempo. Es decir, la respuesta de un sistema lineal a una suma ponderada de seales de entrada es igual a la misma suma ponderada de las seales de salida individual para cada entrada, siendo asociada cada seal de salida con una seal de entrada particular que acta sobre el sistema independiente de todas las dems entradas y que por otro lado un retraso de

    Sistema con operaciones integro diferenciales

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    tiempo o un adelanto de tiempo de la seal de entrada lleva a un corrimiento en el tiempo idntico en la seal de salida. Al apelar a estas dos propiedades, el anlisis de sistemas lineales e invariantes con el tiempo se vuelve matemticamente manejable as como se puede comprender el uso de distintos tipos de mediciones. A partir de una determinada excitacin y su correspondiente respuesta, tomado el sistema como un cuadripolo, es posible deducir las caractersticas del sistema tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. Por lo expuesto ambas propiedades pueden ser expresadas de la siguiente manera: Superposicin

    )(2)(1)(2)(1 tttt yyxx ++ (1)

    )(1)(1 tt ayax )(2)(2 tt ayax (2) a : constante compleja Invarianza h(t-) : solo depende de t- en el tiempo H(w)= solo depende del valor de w en la frecuencia Una de las propiedades de un sistema que ms interesa en algunas aplicaciones de Ingeniera Electrnica es la que el mismo no produzca distorsin lineal Para que ello no ocurra el sistema no debe agregar nuevas componentes en la seal de salida a la seal de entrada. Un sistema sin distorsin se define como aquel para el cual un ingreso f(t) entregar a la salida una seal g(t) = a f(t-to) donde a y t0 son constantes que representan el cambio de escala y el retraso. A la expresin anterior, representada en el dominio del tiempo, es posible representarla en el dominio de la frecuencia. Para ello aplicamos la transformada de Fourier, obteniendo:

    )()(0

    wjwt

    w FaeG= (3)

    de lo que se deduce que, la funcin transferencia del sistema lineal sin distorsin en el dominio de la frecuencia es:

    0)(

    jwtw aeH

    = (4) para el rango de w para el cual |F(w) | > 0 Un circuito sin distorsin su funcin transferencia en el dominio de la frecuencia, tiene un espectro cualitativamente igual con una amplitud constante a y una fase lineal = wto sobre todo el rango de frecuencia de inters. En el dominio del tiempo, un sistema sin distorsin, es aquel en el cual la seal de excitacin, a la salida, no se ve afectada en su forma; solamente su amplitud se ver afectada por un factor a y su presentacin retrasada en to con respecto a la excitacin. Los circuitos lineales que no cumplan con los criterios antedichos se dice que introducen distorsin lineal , la cual se diferencia de la distorsin no lineal en que esta introduce nuevas componentes a la seal de salida debido a alinealidades en el circuito.

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    En resumen, el anlisis de un sistema para obtener su caracterstica de transferencia se puede realizar tomando a este como un cuadripolo y realizar el anlisis tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA En el anlisis de sistemas lineales invariantes en el dominio de la frecuencia nosotros hacemos uso del principio de superposicin expresando a la seal de entrada como la suma de sinusoides de diferentes frecuencias. De este modo al sistema bsico de la Fig. , tendremos para la seal de entrada x(t) y(t)

    Fig. N 3

    tjw

    wt ex 00 ),( = (5) wo = nmero real arbitrario con una seal de salida y(t,wo) A la seal x(t) de entrada si le aplicamos la transformada de Fourier, si a esta la consideramos transformable, tendremos

    = dtexX jwttw )( (6) y su correspondiente antitransformada

    = dweXx jwtwt 2

    1)( (7) a esta expresin se la puede considerar como la

    expansin de x(t) en una suma de sinusoides. Aplicando el principio de superposicin, podemos inferir que la salida ser la suma de las sumas individuales de las senoides de entrada. El princi