borrador con posibles errores y posibles modificaciones. mg. ing

Borrador con posibles errores y posibles modificaciones. Mg. Ing. Manuel L. González

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SISTEMAS LINEALES

INTRODUCCION Un sistema puede verse como un proceso que produce una transformación de señales. Para ello, un sistema tendrá una señal de entrada y otra de salida, la cual esta relacionada con aquella a través de la transformación del sistema. El interés desde el punto de vista de las mediciones se centra tanto en sistemas de tiempo continuo como en sistemas de tiempo discreto. Un sistema de tiempo continuo es un sistema que es posible representarlo como en la Figura 1ª, donde x(t) es la entrada e y(t) la salida. Un sistema en tiempo discreto es un sistema que transforma entrada en tiempos discretos en salida en tiempos discretos Fig. 1b. x(t) y(t) x(n) y(n)

Fig. 1a Fig. 1b Para estudiar el comportamiento de los sistemas se modela matemáticamente cada uno de los elementos y después se considera la interconexión entre dichos elementos. El resultado puede expresarse matemáticamente tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. Dependiendo de cómo el sistema interactué con la señal de entrada se clasifica el tipo de sistema, los cuales pueden ser lineales y no lineales, variantes con el tiempo o invariantes, con memoria o sin memoria, causal, estable o inestable, determinístico y no determinístico.

• Se dice que un sistema es lineal cuan se puede aplicar el principio de superposición y por ser de gran importancia en las mediciones se tratará mas en profundidad posteriormente. Por contrapartida el Sistema será no lineal cuando no pueda aplicarse el principio de superposición.

• Se dice que un sistema es invariante con el tiempo si un desplazamiento temporal de la señal de entrada causa un desplazamiento temporal idéntico en la señal de salida, por consiguiente para una salida y(t-to) le corresponde una entrada x(t-to).

• Se dice que un sistema es sin memoria si su salida para cada valor de la variable independiente depende solo de la entrada en ese instante de tiempo, y(t) = Fx(t) ó x{n} = y{n}. Un sistema se considera con memoria cuando la señal de salida depende de los valores pasados de la señal de entrada y(t) = x (t-1) ó y{n} = ∑x(k) para valores de k entre - ∞ y n.

• Un sistema se dice causal (conocido también por física mente realizable), si la salida en cualquier instante t0 depende solo de los valores de la entrada para t < t0.

• Se dice que un sistema es estable de entrada acotada – salida acotada (BIBO) si y solo si toda entrada acotada origina una salida acotada. La salida de tal sistema no diverge si la entrada no diverge.

SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

Sistema tiempo continuo

Sistema tiempo discreto


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Si bien enunciamos una serie de características que definen a un sistema, hay dos que nos interesa en forma especial por jugar un papel fundamental en el análisis de sistemas: la linealidad y la invarianza en el tiempo. Esto se debe a que muchos procesos físicos pueden ser modelados como sistemas lineales invariantes en el tiempo y porque tales sistemas pueden ser analizados con gran detalle. En muchos sistemas electrónicos estas características son muy deseadas dado que todo sistema que no produzca distorsión lineal a la señal de entrada debe primero ser lineal como condición necesaria pero no suficiente.

Por lo tanto en sistemas donde se utilizan señales analógicas o discretas que sufren tratamientos de amplificación transmisión, detección, etc, es importante que sean lineales o pueden suponerse lineales dentro de cierto entorno. Cuando hablamos de sistemas discretos hablamos del comportamiento lineal del sistema y no del comportamiento de sus elementos digitales aislados que son sistemas alinéales. En este capítulo lo que se hará es dar los conceptos fundamentales de las mediciones, tanto desde el punto de vista matemático como funcional, en el dominio del tiempo y la frecuencia, que permitan caracterizar un sistema lineal invariante el tiempo. CONCEPTO GENERAL DE LINEALIDAD La linealidad de un sistema puede ser verificada mediante diferentes formas. Una de ellas es la aplicación de ecuaciones integro – diferenciales con coeficientes constantes para aquellos sistemas en las cuales las entradas y salidas están relacionadas por dichas ecuaciones, incluyendo aquellas que representan la energía almacenada para las condiciones iniciales; xi(t) e yi(t) es la solución que satisface la aplicación de dichas señales a los diferentes nodos del circuito que conforman el sistema. La respuesta de un circuito RLC se puede describir en términos de una ecuación diferencial, así como la respuesta de un sistema mecánico que contiene fuerzas de restauración y amortiguamiento.

Si las señales excitación tienen la forma jwtjj eAa = , la derivada n tendrá

la forma (jw)n.aj(t) y la integral n será aj(t)/(jw)n. O sea que la diferenciación equivale a multiplicar la señal por (jw)n y la integral a dividir la señal por (jw)n. De esta forma. Las ecuaciones lineales se transforman en ecuaciones lineales algebraicas, las que pueden resolverse por medio de determinantes u otra forma similar. El factor aj es una constante compleja a la cual se le modifica la fase y la amplitud de la señal en cada nodo “n” del sistema. x1(t), x2(t), x3(t)…., xn(t) y(t)

Fig. 2

Otra forma de corroborar que un sistema es lineal, que será el que más nos ocupe desde el punto de vista de mediciones, es el cumplimiento del principio de superposición e invarianza en el tiempo. Es decir, la respuesta de un sistema lineal a una suma ponderada de señales de entrada es igual a la misma suma ponderada de las señales de salida individual para cada entrada, siendo asociada cada señal de salida con una señal de entrada particular que actúa sobre el sistema independiente de todas las demás entradas y que por otro lado un retraso de

Sistema con operaciones integro diferenciales


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tiempo o un adelanto de tiempo de la señal de entrada lleva a un corrimiento en el tiempo idéntico en la señal de salida. Al apelar a estas dos propiedades, el análisis de sistemas lineales e invariantes con el tiempo se vuelve matemáticamente manejable así como se puede comprender el uso de distintos tipos de mediciones. A partir de una determinada excitación y su correspondiente respuesta, tomado el sistema como un cuadripolo, es posible deducir las características del sistema tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. Por lo expuesto ambas propiedades pueden ser expresadas de la siguiente manera: Superposición

)(2)(1)(2)(1 tttt yyxx +⇒+ (1)

)(1)(1 tt ayax ⇒ )(2)(2 tt ayax ⇒ (2) a : constante compleja Invarianza h(t-τ) : solo depende de t-τ en el tiempo H(w)= solo depende del valor de w en la frecuencia Una de las propiedades de un sistema que más interesa en algunas aplicaciones de Ingeniería Electrónica es la que el mismo no produzca distorsión lineal Para que ello no ocurra el sistema no debe agregar nuevas componentes en la señal de salida a la señal de entrada. Un sistema sin distorsión se define como aquel para el cual un ingreso f(t) entregará a la salida una señal g(t) = a f(t-to) donde a y t0 son constantes que representan el cambio de escala y el retraso. A la expresión anterior, representada en el dominio del tiempo, es posible representarla en el dominio de la frecuencia. Para ello aplicamos la transformada de Fourier, obteniendo:

)()(0

wjwt

w FaeG −= (3) de lo que se deduce que, la función transferencia del sistema lineal sin distorsión en el dominio de la frecuencia es:

0)(

jwtw aeH −= (4)

para el rango de w para el cual |F(w) | > 0 Un circuito sin distorsión su función transferencia en el dominio de la frecuencia, tiene un espectro cualitativamente igual con una amplitud constante “a” y una fase lineal φ = wto sobre todo el rango de frecuencia de interés. En el dominio del tiempo, un sistema sin distorsión, es aquel en el cual la señal de excitación, a la salida, no se ve afectada en su forma; solamente su amplitud se verá afectada por un factor a y su presentación retrasada en to con respecto a la excitación. Los circuitos lineales que no cumplan con los criterios antedichos se dice que introducen distorsión lineal , la cual se diferencia de la distorsión no lineal en que esta introduce nuevas componentes a la señal de salida debido a alinealidades en el circuito.


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En resumen, el análisis de un sistema para obtener su característica de transferencia se puede realizar tomando a este como un cuadripolo y realizar el análisis tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia. ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA En el análisis de sistemas lineales invariantes en el dominio de la frecuencia nosotros hacemos uso del principio de superposición expresando a la señal de entrada como la suma de sinusoides de diferentes frecuencias. De este modo al sistema básico de la Fig. , tendremos para la señal de entrada x(t) y(t)

Fig. Nº 3

tjw

wt ex 0

0 ),( = (5) wo = número real arbitrario con una señal de salida y(t,wo)

A la señal x(t) de entrada si le aplicamos la transformada de Fourier, si a esta la consideramos transformable, tendremos

∫∞

∞−

−= dtexX jwttw )( (6) y su correspondiente antitransformada

∫∞

∞−= dweXx jwt

wt π21

)( (7) a esta expresión se la puede considerar como la

expansión de x(t) en una suma de sinusoides. Aplicando el principio de superposición, podemos inferir que la salida será la suma de las sumas individuales de las senoides de entrada. El principio de invarianza esta aplicado en el entendimiento que los efectos para cada señal sinusoidal dependerá solo de la frecuencia. Por lo tanto la salida estará configurado por cada una de las sinusoides en la cual se descompuso la señal de entrada afectadas por la función transferencia del sistema al impulso unitario en su amplitud y retardo. Por lo tanto

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

∞

∞dweHXy jwt

wwt π21

)( (8) y dado que

∫∞

∞−= dweYy jwt

wt π21

(9) de donde se desprende que

)()()( www XHY = (10) Teniendo presente que a la señal excitación la consideramos como una sumatoria de sinusoides, la expresión genérica para una frecuencia wn será

( )nw wwX −= δ)( (11) Sinusoide en wn

Sistema lineal invariante en el tiempo


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y )()( nww wwHY −= δ (12) y por la 11. Esta expresión no es otra cosa que la sinusoide de entrada multiplicada por H(w). lo que nos da otra sinusoide afectada solamente en su amplitud y retardo por el sistema. Si deseamos conocer la expresión de la salida en el dominio del tiempo, a la se le aplica la función antitransformada de Fourier.

∫∞

∞−= dweYy jwt

wt )()( 21π (13) la que como vimos podemos interpretarla

como una sucesión de sinusoides. Como resumen importante a lo visto en esta última parte, podemos decir que todo sistema lineal invariante en el tiempo puede ser analizado en el dominio de la frecuencia, partiendo de señales temporales, utilizando la transformada de Fourier. Por otro lado nos indica que todo sistema lineal invariante en el tiempo, a una excitación senoidal responde con una señal senoidal de igual frecuencia solo afectada en amplitud y con un retardo. Esto nos dice que las señales sinusoidales son muy convenientes para analizar el sistema teniendo acceso, en forma simultanea, a la entrada y salida. De todas las señales posibles, solamente la sinusoide no se ve afectada en su forma por un sistema lineal. MEDICIONES DE UN SISTEMA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Volviendo a las ecuaciones (3) y (4) vemos que las características de transferencia de un

sistema lineal sin distorsión es 0

)(jwt

w aeH −= y demostramos que puede ser analizado sus características de amplitud y fase utilizando señales senoidales. En la práctica, las condiciones de un proceso sin distorsión que describe la ecuación (4) solo pueden satisfacerse en forma aproximada. Lo que sucede en realidad es que siempre se presenta cierta cantidad de distorsión en la señal de salida de un sistema LIT físico, sea con señales continuas o discretas, debido a las desviaciones en la respuesta en frecuencia del sistema con respecto a las condiciones ideales descritas en la ecuación (4). En particular podemos distinguir dos componentes de la distorsión lineal producida por el proceso que el sistema realiza sobre la señal de entrada: Distorsión por amplitud y Distorsión por fase Distorsión por amplitud: Cuando la respuesta en magnitud del sistema no es constante dentro de la banda de interés, los componentes de frecuencia de la señal de entrada se transmiten a través del sistema con diferentes cantidades de ganancia o atenuación. Este efecto se conoce como distorsión de amplitud. La forma mas común de distorsión de amplitud es el exceso de la ganancia o de la atenuación de uno o ambos extremos de la banda de frecuencia de interés. Distorsión de fase: La segunda forma de distorsión lineal surge cuando la respuesta en fase del sistema no es lineal con la frecuencia dentro de la banda de frecuencia de interés. Si la señal de entrada se divide en un conjunto de componentes, cada una de las cuales ocupa una banda estrecha de frecuencia, encontramos que todas sufren un retardo diferente al pasar a través del sistema, con el resultado de que la señal de salida emerge con una forma diferente a la señal de entrada. Esta forma de distorsión lineal recibe el nombre de distorsión o retardo de fase Debemos remarcar la distinción entre un retardo de fase y un corrimiento de fase constante. En el caso de un sistema LIT en tiempo continuo, el retardo constante significa una respuesta de fase lineal, es decir arg. {H(jw)} = -tow, donde to es el retardo constante. Por otra parte, el corrimiento de fase constante significa que {H(jw)} es igual a alguna constante para


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todas w. Estas dos condiciones tienen implicaciones diferentes. El retardo constante es un requerimiento en la transmisión sin distorsión. El corrimiento de fase constante, por otro lado, ocasiona la distorsión de la señal. Algunos autores definen a un sistema LIT que experimenta distorsión como dispersivo, en el sentido de que las componentes de frecuencia en la señal de entrada surgen con características de amplitud y fase distintas de la señal de entrada original después de la transmisión a través del sistema. El canal telefónico es un ejemplo de un sistema dispersivo.

Para compensar una distorsión lineal, podemos usar una red conocida como un ecualizador conectado en cascada con el sistema en cuestión. El ecualizador se diseña de manera tal que, dentro de la banda de frecuencia de interés, las respuestas totales en magnitud y en fase de esta conexión en cascada se aproxima a las condiciones de transmisión sin distorsión hasta dentro de los límites preestablecidos. Medición de las características de amplitud Las características de amplitud se expresan en ganancia o atenuación dentro del rango de interés. La forma de medir puede ser a partir de un banco de las siguientes características:

Fig. Nº 4

La ganancia o atenuación para cada frecuencia entregada por el oscilador estará dada, para una única indicación en el detector, por la diferencia entre los atenuadores (1) y (2). Este método si bien es sumamente exacto, dado que la misma depende de la exactitud de los atenuadores y de la precisión del detector, puede llegar a ser una medición sumamente tediosa. Si la exactitud requerida esta dentro de los valores propios del oscilador y de la precisión del detector y si a su vez el primero tiene la posibilidad de correrse en frecuencia tendremos un banco como el de la Fig. Nº 5, el cual permite realizar mediciones en tiempos breves; al mismo tiempo con el agregado de un registrador, una graficación de la características de la atenuación o ganancia en función de la frecuencia puede ser realizada como lo indica la Fig. Nº6

Atenuador 2

Oscilador

Atenuador 1

Sistema LIT

Detector

Sistema LIT

Detector

Sistema LTI

Graficador x-y ó Monitor

Generador Barredor

Generador Barredor


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Fig. Nº 5 y Fig. Nº6

Como dijimos al definir un sistema sin distorsión, la característica de amplitud debería ser constante, esto normalmente no es logrado por cual, a partir de una distorsión admisible para deferentes señales se deducen criterios de tolerancia para la función transferencia H(w). Por ejemplo, en sistemas de transmisión se puede definir una variación permitida de ± 1 db dentro de un ancho específico, que en el caso de telefonía es de 300 a 3.400 Hz, en televisión de 60 a 5,5 106 Hz, etc

Medición de las características de fase Siempre que una señal se transmite a través de un sistema dispersivo (es decir, selectivo en frecuencia), tal como un canal de comunicaciones, se presenta cierto retardo en la señal de salida con respecto a la señal de entrada. El retardo se determina por medio de la respuesta en fase del sistema. Por conveniencia de la presentación, dejamos que φ(w) denote la respuesta en fase de un canal de comunicaciones dispersivo considerado LIT dentro del entorno de frecuencia de interés. φ(w) = arg. {H(jw)} (14) Donde H(jw) es la respuesta en frecuencia del canal. Suponga que una señal senoidal a la frecuencia wc se transmite a través del canal. La señal recibida en la salida del canal está retrasada de la señal transmitida por φ(wc) radianes. El retardo de tiempo correspondiente a este retraso de fase es simplemente igual a - φ(w)/wc, donde el signo menos toma en cuenta el retraso de fase. Este retraso de tiempo recibe el nombre de retardo de fase del canal. El retardo de fase, denotado por τp, se define formalmente como

c

wp w

c )(ϕτ −= (15)

Es importante observar, sin embargo que el retardo de fase no es necesariamente el retardo real de la señal. Esto se deduce del hecho de que una señal senoidal tiene duración infinita, con cada ciclo exactamente igual al ciclo precedente. Tal señal no lleva información excepto por el hecho de que está ahí, hasta que se muestra. En consecuencia, sería incorrecto deducir del razonamiento anterior que el retardo de fase es el retardo verdadero de la señal. En realidad, como hemos visto en anteriores asignaturas, la información sólo puede transmitirse a través de un canal aplicando alguna forma de modulación a una portadora. Suponga que tenemos una señal transmitida que consta de una onda modulada de DSB-SC con frecuencia de portadora wc y frecuencia de modulación senoidal wo, de acuerdo a como indica

)cos()cos()( twtwAs oct = (16) la cual corresponde a una señal senoidal modulada por otra señal senoidal. Al expresar la señal modulada s(t)en términos de sus frecuencias laterales superior e inferior, es posible escribir

)cos(21)cos(

21

21)( twAtwAs t += (17) donde

w1 = wc + wo (18) y w2 = wc - wo (19)


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A continuación dejamos que la señal s(t) se transmita a través del canal con respuestas en fase φ(w). Con fines ilustrativos, suponemos que la respuesta en magnitud del canal es esencialmente constante (igual a la unidad) sobre al rango de frecuencia de w1 a w2. Por consiguiente, la señal recibida en la salida del canal es

))(cos(21))(cos(

21

2211)( wtwAwtwAy t ϕϕ +++= (20)

donde φ(w1) y φ(w2) son los corrimientos de fase producidos por el canal a las frecuencias w1 y w2, respectivamente. De manera equivalente podemos expresar y(t) como

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+=2

)()(cos2

)()(cos 210

21)(

wwtwwwtwAy ctϕϕϕϕ

(21)

donde hemos recurrido a las definiciones de w1 y w2 dadas las ecuaciones 18 y 19 respectivamente. Al comparar la portadora senoidal y las componentes del mensaje de la señal recibida y(t) en la ecuación 20 con la señal transmitida s(t) en la ecuación 16 podemos establecer los siguientes dos enunciados:

1 La componente de la portadora a la frecuencia wc en y(t) está retrasada de su contraparte en s(t) por ½ (φ(w1 + φ(w2)), lo cual representa un retardo de tiempo igual a

21

2121 )()(2

)()(ww

www

ww

c ++

−=+

−ϕϕϕϕ

(22)

2 La componente del mensaje en la frecuencia w0 en y(t) esta retrasada de su contraparte en s(t) por ½ (φ(w1) – φ(w2)), lo cual representa un retardo de tiempo igual a

21

21

0

21 )()(2

)()(ww

www

ww−−

−=−

−ϕϕϕϕ

(23)

Suponga que la frecuencia de modulación w0 es pequeña comparada con la frecuencia de portadora wc, lo que implica que las frecuencias laterales w1 y w2 están bastante próximas entre sí y con wc. Se dice que una señal modulada de este tipo es una señal de banda estrecha. En este caso es posible aproximar la respuesta en fase φ(w) en la vecindad de w = wc, utilizando la expansión mediante la serie de Taylor de los términos de las ecuaciones 22 y 23.

)()()()( cww

c wwdw

wdwwc

−+==

ϕϕϕ (24)

Al usar esta expansión para evaluar φ(w1) y φ(w2) por sustitución en la ecuación (22), veremos que el retardo de la portadora es igual a –φ(wc)/wc , que es idéntica a la fórmula dada en la ecuación para el retardo de fase.

c

cc w

w )(ϕτ −= (25)

Tratando la ecuación ( 23) de manera similar, encontramos que el retardo de tiempo en el que incurre la señal del mensaje( es decir, la “envolvente” de la señal modulada) está dado por

cwwg dw

wd

=

−=)(ϕτ (26)


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El retardo de tiempo τg recibe el nombre de retardo de la envolvente o retardo de grupo. Este retardo de grupo se define como el negativo de la derivada de la respuesta en fase de φ(w) del canal con respecto a w, evaluada a la frecuencia de la portadora wc. En general, encontramos de este modo que cuando una señal modulada se transmite a través de un canal de comunicación hay dos retardos diferentes que considerar:

1. Retardo de la portadora o de fase,τp, definido por la ecuación (25) 2. Retardo de envolvente o de grupo, τg, definido por la ecuación (26)

El retardo de grupo es el retardo verdadero de la señal. ALGUNAS CONSIDERACIONES PRACTICAS Habiendo establecido que el retardo de grupo es el verdadero retardo de la señal cuando una señal modulada se transmite a través de un canal de comunicaciones, ahora necesitamos enfocarnos en la siguiente pregunta: ¿cuál es la importancia práctica del retardo de grupo?. Para abordar esta pregunta primero tenemos que darnos cuenta de que la forma de la ecuación 26 para determinar el retardo de grupo se aplica estrictamente a señales moduladas que son de banda estrecha, es decir, el ancho de banda de la señal del mensaje es pequeño comparado con la frecuencia de la portadora. Sólo cuando se satisface esta condición se puede justificar el uso de la aproximación de los términos de la ecuación 24 para la respuesta en fase φ(w), con base en la cual se obtuvo la ecuación 26. Sin embargo, hay muchas situaciones prácticas en las que esta suposición de banda estrecha no se satisface debido a que el ancho de banda del mensaje es comparable con la frecuencia de la portadora. En situaciones de este tipo, el retardo de grupo se formula como un parámetro dependiente de la frecuencia, lo cual se indica mediante

dwwdwg

)()( ϕτ −= (26)

que incluye a la ecuación 26 como un caso especial. Después de esto empezamos a ver la importancia real del retardo de grupo. Específicamente, cuando una señal modulada de banda ancha se transmite por un canal dispersivo, las componentes de frecuencia de la señal del mensaje están retardadas por distintas cantidades de la salida del canal. En consecuencia, la señal del mensaje experimenta una forma de distorsión lineal, conocida como distorsión de retardo. Para reconstruir una versión exacta de la señal del mensaje original en el receptor, tenemos que usar un ecualizador de retardo. Este ecualizador tiene que diseñarse de modo tal que cuando se conecte en cascada con el canal, el retardo completo de grupo sea constante (es decir, la fase completa es lineal con la frecuencia).

Fig.7 Respuesta de retardo de grupo de un canal de teléfono de grado voz


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Como un ejemplo ilustrativo, considere la ubicuidad de todos lados presente del canal telefónico, cuya banda de frecuencia útil se extiende de 0,1 a 3,1 KHz. Sobre esta banda de frecuencias, la respuesta en magnitud del canal se considera esencialmente constante, de modo que hay poca distorsión de amplitud. En contrate, el retardo de grupo del canal depende en gran medida de la frecuencia, como se indica en la figura 7 . En cuanto a lo que tiene que ver con la comunicación telefónica, la variación del retardo de grupo en el canal con la frecuencia no es de consecuencia real, debido a que nuestros oídos son relativamente insensibles a la distorsión del retardo. Sin embargo, la historia es drásticamente diferente cuando se trasmiten datos de banda ancha sobre un canal telefónico. Por ejemplo, para una velocidad de datos de 16 kilobits por segundo, la duración del bit es de casi 60 μs. De la figura 7 vemos que sobre la banda de frecuencia útil del canal de teléfono, el retardo del grupo varía de cero a varios milisegundos. Por consiguiente, la distorsión de retardo es sumamente peligrosa para la transmisión de banda ancha sobre un canal telefónico. En una aplicación de este tipo, la ecualización del retardo es esencial para una operación satisfactoria. MEDICION DEL RETARDO DE FASE

Fig. Nº 8

Mediante el banco de la Fig. Nº 8 se podrá graficar la curva φ(w) en función de ww, la cual presenta generalmente una forma como la indicada en la Fig. Nº 9

Fig. Nº 9

El retardo de fase τp para una frecuencia w0 determinada , estará dado por:

Generador Barredor

Sist. LIT Bajo Prueba

Carga

A B Voltímetro Vectorial φ

X Registrador x-y

y


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0

0)0(

)(ww

wpϕτ =− (27)

MEDICION DE RETARDO DE GRUPO Existen dos maneras para calcular el retardo de grupo, uno indirecto y otro directo.

• Método directo De acuerdo a lo oportunamente expresado, el retardo de grupo se define para una dada w0 como:

0

0)(

)(ww

wog ΔΔ

=−ϕ

τ lo que corresponde a la derivada de la curva φ(w) en función de w

para el punto w = w0. Para la obtención de la curva del retardo de grupo en función de la frecuencia deberá calcularse la derivada de la curva φ(w) punto a punto.

• Método indirecto Para realizar la medición del retardo de grupo en función de la frecuencia en forma directa deberá armarse el banco de la Fig. Nº

Fig. Nº 10

En este caso el retardo de grupo estará dado por )(2)()(

0

0)0( mf

mww

wp πϕϕτ ==− (28)

De la Ecuación 28 se deduce que en la medida que la frecuencia modulante sea menor, tendremos mas resolución de la curva de retardo de grupo. EJEMPLO 1 Consideremos la respuesta al impulso de un sistema pasa todo con un retardo de grupo que varía con la frecuencia. La respuesta en frecuencia H(jw) para nuestro ejemplo es el producto de tres factores, es decir:

)()(3

1jwHjwH ii=

Π= donde

Generador Barredor

Modulador

Sistema LIT

Detector Carga

f(m) Oscilador de audio Voltímetro

A B Vectorial φ(m)Registrador

X o Y Monitor


12

)/(2)/(1)/(2)/(1

)(2

iii

iiii wwjjwjw

wwjwjwjwH

ζζ

++−+

= (29)

058,0/1888033,0/943066,0/315

33

22

11

======

ζζζ

segyradwsegyradwsegyradw

Con frecuencia es útil expresar las frecuencias wi, medidas en radianes por segundo, en términos de las frecuencias fi medidas en Hertz, donde wi=2πfi en este caso: f1 ≈ 50Hz f2 ≈ 150Hz f3 ≈ 300Hz Debido a que el numerador de cada factor Hi(jw) es el conjugado complejo del denominador correspondiente, se desprende que |Hi(jw)| = 1. En consecuencia, también podemos concluir que |H(jw)| = 1 La fase para cada Hi(jw) se puede determinar a partir de la ecuación 29

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=∠ 2)/(1)/(2

arctan2)(i

iii ww

wwjwH

ζ y ∑

=

∠=∠3

1

)()(i

i jwHjwH (30)

Si restringimos los valores de <H(jw) a que caigan entre –π y +π, obtenemos la función de fase principal ( es decir, el módulo de fase 2π), como se muestra en la figura 11 a donde hemos trazado la fase en función de la frecuencia medida en Hertz. Observe que esta función contiene discontinuidades de tamaño 2π en varias frecuencias, lo cual hace que la función de fase resulte no diferenciables en esos puntos. Sin embargo, la adición o sustracción de cualquier múltiplo entero de 2π al valor de la fase en cualquier frecuencia deja a la respuesta en frecuencia original sin cambio. Por lo tanto, sumando o restando adecuadamente tales múltiplos enteros de 2π desde varias porciones de la fase principal, obtenemos la fase extendida en la figura 6.5b . El retardo de grupo como una función de la frecuencia puede ahora calcularse como

dwjwHd

w})({

)(∠

−=τ (31)

donde |<H(jw)| representa la función de fase extendida correspondiente a H(jw) . En la Figura 11c se muestra una gráfica de τ(w). Observe que las frecuencias cercanas a 50 Hz experimentan un retardo mayor que las frecuencias en la vecindad de 150 Hz o 300Hz. El efecto de este retardo de grupo no constante también puede oabservarse de manera cualitativa en la respuesta del sistema LIT al impulso(vease a la Figura 6.5d). Recuerde que ₣{δ(t)} = 1. Las componentes de frecuencia del impulso están todas alineadas en el tiempo de tal forma que, combinadas, forman el impulso, el cuál está, por supuesto, bien localizado en el tiempo. Ya que el sistema pasa todo tiene un retardo de grupo no constante, las diferentes frecuencias presentes en la entrada están retrasadas en diferentes cantidades a la salida. Este fenómeno se conoce como dispersión . En el presente ejemplo, el mayor retardo de grupo ocurre a 50 Hz. Esto resulta evidente en la figura 6.5d


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Fig. Nº 11 Fase, retardo de grupo y respuesta al impulso para el sistema pasa todo del ejmplo:

(a) fase principa; (b) fase no extendida; (c) retardo de grupo; (d) repuesta al impulso. Cada una de estas cantidades está bosquejada contra la frecuencia en hertz.

EJEMPLO 2 El retardo no constante de grupo está entre los factores considerados como importantes para la evaluación del desempeño de transmisión de las redes conmutadas de telecomunicaciones. En un estudio que involucra diferentes localidades en un país, reportó características de retardo de grupo para diversas categorías de llamadas de larga distancia. La Figura 12 presenta algunos de los resultados de este estudio para dos clases de llamadas. En particular, lo que está trazado en cada curva en la Fig 12 a es la porción no constante del retardo


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de grupo para una categoría específica de llamada de larga distancia. Esto es, para cada categoría , se ha sustraído del retardo de grupo un retardo constante común que corresponde al mínimo del retardo de grupo sobre todas las frecuencias y la diferencia resultante está trazada en la Fig 12 a.

Fig. Nº 12 (a) la porción no constante del retardo de grupo y (b) la magnitud de la respuesta en frecuencia, ambas funciones de la frecuencia para llamadas de larga distancia de corta y media

distancia en redes de telecomunicaciones conmutadas.

En consecuencia, cada curva en la figura 12 a representa el retardo adicional (superior a este retardo constante común) que experimentan las componentes de frecuencia diferentes de las llamadas de larga distancia dentro de cada categoría. Las curvas marcadas como CORTA y MEDIA representan respectivamente los resultados para las llamadas de distancias cortas ( 0 – 300 Km en líneas aéreas) y distancias media ( 300 – 1.200 Km. en línea aérea). Podemos apreciar que el valor más bajo del retardo de grupo como una función de la frecuencia está a 1.700 Hz y se incrementa de manera nomo tónica conforme se aleja de ese valor en cualquiera de las dos direcciones. Cuando las características de retardo de grupo ilustradas en la figura 12 a se combinan con las características de la magnitud de la respuesta en frecuencia mostradas en la figura 12 b , obtenemos las respuestas al impulso mostradas en la figura 13. La respuesta al impulso en la figura 13 a corresponde a la categoría de distancia corta. Las componentes de muy baja y muy alta frecuencia de la respuesta ocurren primero que las componentes en el intervalo de frecuencia media. Esto es compatible con las características correspondientes de retardo de grupo en la figura 12 a. De manera similar, la figura 13 b ilustra el mismo fenómeno para la respuesta al impulso correspondiente a llamadas de distancia media.


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Figura Nº 13 Respuesta al impulso asociadas con el retardo de grupo y las características de

magnitud en la figura 12 a: (a) la respuesta al impulso correspondiente a la categoría de distancia corta de llamadas de larga distancia; (b) respuesta al impulso para la categoría de

distancia media.

EXTREMOS NO CERCANOS Existen situaciones que aparecen en forma habitual en sistemas de comunicaciones en los cuales no se tiene en forma física acceso simultáneo a la salida y entrada del mismo. Para estos casos la medición del retardo de grupo se vale de algunos métodos uno de los cuales tiene un banco de medición como el mostrado en la figura 14 La idea consiste en transmitir dos pares de frecuencia moduladas por una misma señal. Las componentes de ambas señales moduladas estarán de su portadora separadas un igual valor de frecuencia y tendrán la misma fase relativa. El espectro se vería según la gráfica de la figura 15. Las salidas de cada oscilador será

twEe

wEewEe

2cos

)cos()cos(

2222

1111

Δ=

+=+=

ΔΔ

αα


16

Figura Nº 14

Figura Nº 15

La salida correspondiente al modulador balanceado 1 será: e1a + e1b

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

Δ+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

Δ−=

111

111

)2

(cos

)2

(cos

α

α

twwEe

twwEe

b

a

(32)

de igual forma la salida del modulador balanceado 2 será: e2a + e2b

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

Δ+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

Δ−=

222

222

)2

(cos

)2

(cos

α

α

twwEe

twwEe

b

a

(33)

Si las señales 32 y 33 las hacemos pasar a través de un sistema que tenga una característica de fase φ(w), las componentes se verán afectadas por la misma. Haremos el análisis detallado para el modulador balanceado 1, dado que para el 2 será exactamente igual.

w1 w2

Modulador Balanceado

Modulador Balanceado

Oscilador ∆w/2 Sistema

LIT A Amp Det.

Oscilador W2

Oscilador W1

w1-∆w/2 w1+∆w/2

w2-∆w/2 w2+∆w/2


17

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

Δ+′=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

Δ−′=′

Δ+

Δ−

)2

1(111

)2

1(111

)2

(cos

)2

(cos

wwb

wwa

twwEe

twwEe

ϕα

ϕα

(34)

a la salida del sistema la señal es introducida a un detector, obteniéndose a su salida una frecuencia suma y otra diferencia La frecuencia suma es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+′=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

Δ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

Δ−′

Δ+

Δ−

Δ+

Δ−

)2

1()2

1(11

)2

1(11)2

1(11

22(cos

})2

(cos)2

({cos

wwww

wwww

twE

twwetwwE

ϕϕα

ϕαϕα

(35)

y la frecuencia diferencia es:

)cos(cos

)2

()2

(cos

1)2

1()2

1(

)2

1(11)2

1(11

wwwww

wwww

wtEwtE

twwtwwE

ϕϕϕ

ϕαϕα

Δ+Δ−′=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+Δ−′=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

Δ+−++

Δ−′

Δ+

Δ−

Δ+

Δ−

(36)

la frecuencia suma puede ser eliminada con un filtro pasa bajos, por lo cual me queda solamente la frecuencia diferencia.

De igual forma para la señal del modulador balanceado 2 tendremos a la salida una señal diferencia;

)cos( 2wwtE ϕΔ+Δ−′ (37) teniendo presente la serie de Taylor podemos decir generalizando que:

( )i

i

wwiww

i www

dw ττϕϕ Δ=−Δ−=Δ≈Δ=

(38) para nuestro caso:

222

111

coscos)cos(coscos)cos(

www

www

wtsensenwtwtEwtsensenwtwwtE

ττττττ

Δ+Δ=Δ+Δ−′Δ+Δ=Δ+Δ−′

(39)

Ambas señales se encuentran sumadas a la salida, por lo que en realidad tenemos: [ ] [ ]

4444 34444 21444444 3444444 21b

ww

a

ww wwwtE )(2/1cos)(22/1cos2 2121 ττττ −Δ+Δ+Δ−′ (40)

En la Ecuación 40 tendremos un cos de frecuencia 2∆w (a) que puede ser eliminada por medio de un filtro y una señal coseno (b) cuyo valor esta dado por la diferencia de los retardos de grupo correspondientes a las frecuencias w1 y w2. Si mantenemos constante una de las frecuencias w1 u w2 y variamos la otra, en el extremo receptor podremos medir las variaciones del retardo de grupo en la zona donde se varía una de las frecuencias. En el caso ideal la diferencia de retardo se mantendría


18

constante, por lo cual no se vería ninguna variación mientras se mueve una de las frecuencias. Este valor coseno será un valor relativo y no el valor absoluto de los retardos de grupo. La anterior medición puede ser justificada matemáticamente de la siguiente forma:

∫ ∫Δ+

Δ−

Δ+

Δ−==Δ

2/

2/

2/

2/)()(wwi

wwi

wwi

wwii dwwidww

wd τϕϕ (41)

a esta expresión la podemos ver como una convolución donde una ventana ∆w barre una respuesta del retardo de grupo del sistema. Como una derivación del método anteriormente visto es posible desarrollar otro en el cual se utiliza una única señal, la cual no solo esta modulada si no también barrido en frecuencia.

Fig. 16

Si a la señal transmitida se la hace pasar por un detector y filtro como en el caso anterior, a la salida tendremos una señal de la forma

))(cos( tww &ϕ+Δ (42) Donde w& expresa la velocidad de barrido. Si esta señal coseno la ingresamos a un lazo de fijación de fase, el cual posé un oscilador local de frecuencia ∆w(el doble de la existente en el transmisor) tal como se muestra en la Fig. 16. La señal de salida del oscilador tendrá una forma tal como:

)( ϕ+Δwsen (43)

donde ϕ es el valor promedio de )( tw&ϕ y la salida del detector de fase tendrá una señal de la forma:

))(( ϕϕ −twsen & (44) si el argumento es mantenido dentro de pequeños valores, el mismo es una representación lineal de ττ −)( tw& . La gráfica del retardo de grupo en función de la frecuencia variará de acuerdo al seno de la diferencia de dos ángulos y es una muestra dinámica y relativa del comportamiento del retardo de grupo dentro del entorno de barrido de frecuencia.

VCO

∆w

Detector De

Fase

Filtro Pasa Bajo

cos(∆wt+φ( w& t)) Sen(φ( w& t)- ϕ )

Sen(∆w+ϕ)


19

Todo lo expresado es válido si la velocidad de barrido es superior a la velocidad de respuesta del lazo de fijación de fase. Para cualquiera de los métodos vistos es importante que la señal transmitida no posea modulación de FM; si lo tuviera debería eliminarse. Para sistemas que trabajan en FM se podrán utilizar este método si las desviación de frecuencia es chica, de modo de tener un espectro similar a AM. En este caso debe verificarse que no haya modulación de AM. PRECAUCIONES EN LOS ENSAYOS CON ONDAS SENOIDALES A pesar de la aparente simplicidad en las mediciones con señales senoidales, pueden cometerse errores que invalidan totalmente los datos obtenidos. Para evitar algunos tipos de errores típicos, deben verificarse y tomarse dos recaudos básicos:

• La lectura realizada es una respuesta obtenida solo por la señal de ingreso x(t) • El sistema opera en su región lineal

Generalmente los instrumentos utilizados en este tipo de mediciones responden a un rango de banda ancha, por lo que se ve afectado por el ruido, interferencias, zumbidos o armónicas con bastante facilidad. Un detector sintonizado resuelve este problema pero hace largas y tediosas las mediciones; igualmente no resuelve el problema de cargar al sistema. Para que las dos pautas enunciadas se cumplan, deben tomarse algunas precauciones como las indicadas a continuación:

1. Observar la salida en un osciloscopio y asegurarse que la salida es senoidal o que no hay señales extrañas apreciables y que la señal esta muy por encima del ruido. Se puede alternar con los ensayos 2 y 3.

2. Asegurarse que no hay salida sin ingreso: Retirar la señal de ingreso y observar que la salida cae a valores despreciables.

3. Asegurarse que al duplicar la señal de entrada se duplica la de salida. Con esto nos aseguramos que el sistema tiene por lo menos un rango dinámico de 6 db sin que se sobrecargue el circuito a medir.

4. Ensayar para respuestas espurias. Se debe hacer mediciones interponiendo filtros a la entrada y salida o en su defecto realizar las mismas con instrumentos selectivos, tales como analizador de ondas ó analizador de espectro.

5. Cargar el sistema correctamente: Muchas mediciones en estado estacionario, como son las que utilizan señales senoidales, tienen errores de 6 db o mucho más al no tener presente el hecho de cargar correctamente el generador y los sistemas bajo prueba. Debe prestarse atención a la adaptación de los distintos componentes del banco de mediciones.

INCONVENIENTES DEL ANALISIS CON ONDAS SENOIDALES Cuando se analiza un sistema en el dominio de la frecuencia con el uso de barrido de frecuencia de una señal senoidal, debemos tener presente las limitaciones del método. Al barrer en frecuencia, nosotros estamos entregando al sistema instante a instante una única señal senoidal y esa misma señal luego es también analizada independientemente del resto. Por consiguiente, el ensayo realizado es de carácter estacionario y se desconoce el comportamiento del sistema en régimen transitorio, hecho este que en algunos casos es de suma importancia. Para poder estudiar el régimen transitorio es necesario el ingreso en forma simultanea de un conjunto de frecuencias que abarque el ancho de bande de interés. Para estos


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casos se ingresará al sistema con señales compuestas que tienen formas diferentes ( determinísticas o aleatorias). Las señales determinísticas más utilizadas para el análisis de los transitorios son las pulsadas, escalón o cuadradas. Todas ellas posen un espectro de componentes importantes, cada una con particularidades que la hacen interesantes para deferentes ensayos. Como estas señales no posen componentes de igual amplitud dentro de un rango importante de frecuencia, es más conveniente hacer su análisis de los efectos que sobre la forma de la misma produce el sistema que las variaciones de amplitud y fase en forma individual para cada frecuencia. En consecuencia el estudio se hace en el dominio del tiempo y por lo tanto la matemáticas que permiten este estudio será revisada.

borrador con posibles errores y posibles modificaciones. mg. ing

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