bolum17-modelleme ve sistem tanılama (sayfa 692-762)

MODELLEME VE SİSTEM TANILAMA

Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya

692

Otonom Bisiklet Modellenmesi ve Kontrolü

Ömer Faruk Argın1, Zeki Yağız Bayraktaroğlu2

1Mekatronik Mühendisliği Anabilim Dalı

İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul

[email protected]

2Makina Mühendisliği Bölümü

İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul

[email protected]

Özetçe

Bu çalışmada iki tekerlekli insansız bir bisikletin

modellenmesi, kontrol sisteminin tasarlanması ve sistemin

dinamik davranışının benzetimi konuları ele alınmıştır.

Nonholonomik bir sistem olan bisikletin doğrusal olmayan

matematik modeli, literatürde mevcut çalışmalardan farklı

olarak, basitleştirici varsayımlar yapılmaksızın korunmuş ve

benzetimlerde kullanılmıştır. Otonom (insansız) hareketin

sağlanması amacıyla gerekli donanım değişiklikleri ve kapalı

çevrim kontrol sistemi tasarlanmıştır. Üretilen yörüngeler

üzerindeki hareket, yazılan hareket denklemleri ve kapalı

çevrim kontrol sisteminin kullanıldığı dinamik benzetimlerle incelenmiştir.

1. Giriş

Bisikletin matematik modeli ile ilgili ilk çalışmalar 19.yy

sonlarına dayanmaktadır. Hareket denklemleri yüksek

mertebeden nonlineer olup, tekerleklerin kaymadan

yuvarlanması da nonholonomik bağ denklemleri ile ifade

edilebilmektedir. İlgili literatür incelendiğinde, önerilen

hareket denklemlerinde, matematik modelleri basitleştirmek

amacıyla çok sayıda varsayım ve kabuller yapıldığı

görülmektedir. Bu durum matematik modellerin fiziksel

bisiklet davranışından sapmasına yol açmakta ve yapılan

analizler ancak bisiklet hareketinin bazı özel halleri için geçerli olabilmektedir.

Bisiklet modeli ile ilgili ilk çalışmalara 19.yy sonu, 20.yy

başlarında, Sharp’ın [1] , Rankine [2] ve Bourlett [3] nun

çalışmalarında rastlanmaktadır. Carvalho, Lagrange dinamiği

ile düşey denge konumu etrafında doğrusallaştırılarak bisiklet

basit hareket denklemlerini elde etmiştir [4]. 20. yy ikinci

yarısıyla birlikte bilgisayar teknolojisindeki gelişmeler ve

dinamik olarak benzer özellikler taşıyan motosiklet ve

motosiklet yarışlarının popülerliğine de bağlı olarak çeşitli

bisiklet modelleri önerilmiştir. Neimark ve Fufaev, Lagrange

mekaniğini kullanarak, bisiklet tekerleğinin rijit disk, torus ve

pnömatik tekerlek olma durumlarını da göz önüne alarak

oldukça ayrıntılı bir doğrusal bisiklet modeli ortaya koymuştur [5].

Bisikletle ilgili ilk bilgisayar benzetimi Roland’ın

çalışmasında yapılmıştır [6]. 1990lı yıllarla birlikte belirli

kabullerle bisiklet doğrusal olmayan modelleri ortaya

çıkmıştır [7],[8]. Gidon kafa açısı (head tube angle) ()

bisiklet dengesini ve manevra kabiliyetini etkileyen önemli

parametrelerden birisidir. Modelleme esnasında açısının 0

derece kabul edilmesi modeli basitleştirmektedir [9].

Özellikle son yirmi yılda bisiklet denge kontrolü ve

yörünge takibi ile ilgili çalışmalar artmıştır. Bisiklet dengesi

kontrolü ile ilgili ilk defa 1994 yılındaki çalışmasında

doğrusal olmayan model ve hızın sıfır olmadığı durum için

Getz uygulamıştır [8]. Belirli hız şartları sağlandığında bisiklet

dengesi gidon pozisyonu ile kontrol edilebilmektedir [10].

Bisiklet dengesini sağlamak için gerekli harici kuvvet, bisiklet

kullanan insanı modelleyen bir ters sarkaç yardımıyla elde edilebilir [11].

Bu çalışmada model oluşturulurken açısı da göz önüne

alınmıştır. Model elde edilirken herhangi bir kabul

yapılmamış; insansız bisikletin doğrusal olmayan kapsamlı

modeli elde edilmiştir. Bisiklet dengesi için gerekli kuvvet

bisiklet ana çerçevesi üzerine eklenen dönen diskin oluşturduğu jiroskopik kuvvet yardımıyla sağlanmıştır.

İkinci bölümde iki tekerlekli insansız bir bisikletin

dinamik davranış modeli Euler-Lagrange denklemleri

yazılarak elde edilmiştir. Üçüncü bölümde sistemin kapalı

çevrim kontrolü için gerekli kontrol sistemi tasarlanmıştır.

Dördüncü bölümde yazılan matematik model ve tasarlanan

kapalı çevrim kontrol sistemi dinamik benzetimlerle

incelenmiştir. Son bölümde elde edilen sonuçlar irdelenmiş ve gelecek çalışmalarla ilgili bilgi verilmiştir.

2. İnsansız Bisiklet Modeli

Bu çalışmada bisiklet dinamik modeli Euler-Lagrange

denklemleri kullanılarak elde edilmiştir. Ele alınan bisiklet,

ana çerçeve, gidon, arka ve ön tekerlekler ile denge diskinden meydana gelmektedir (Şekil 1).

Şekil 1: Bisiklet katı modeli.


693

Şekil 2: Eksen takımları, sistemin değişkenleri ve parametreleri.

Bisiklet gövdesine ve yere sabit koordinat eksen takımları

Şekil 2’de görüldüğü gibi kütle merkezlerine yerleştirilmiştir.

Kütle merkezleri haricinde yere sabit bir eksen takımı ve

bisiklet konumunu gözlemlemek amacıyla arka tekerlek yere temas noktasına birer eksen takımı ilave edilmiştir (Tablo 1).

Tablo 1: Eksen takımları

Koordinat Eksen

Takımları

Konumu

R0 : x0, y0, z0 Yere sabit eksen takımı

R1 : x1, y1, z1 Arka tekerlek yere temas noktası

R2 : x2, y2, z2 Arka tekerlek kütle merkezi

R3 : x3, y3, z3 Çerçeve(kadro) kütle merkezi

R4 : x4, y4, z4 Gidon kütle merkezi

R5 : x5, y5, z5 Ön tekerlek kütle merkezi

R6 : x6, y6, z6 Denge diski kütle merkezi

Tablo 2’de kullanılan sabit parametreler belirtilmektedir.

Tablo 2: Sabit parametreler

Parametre Açıklaması

m2 Arka tekerlek kütlesi

m3 Çerçeve (kadro) kütlesi

m4 Gidon kütlesi

m5 Ön tekerlek kütlesi

m6 Denge diski kütlesi

g Yer çekimi ivmesi

R Bisiklet arka ve ön tekerlek yarıçapı

h3 R3 ün R1 e göre z1 doğrultusundaki koordinatı

(yükseklik)

h4 R4 ün R1 e göre z1 doğrultusundaki koordinatı

(yükseklik)

h5 R5 in R4 e göre z4 doğrultusundaki koordinatı

(yükseklik)

h6 R6 nın R1 e göre z1 doğrultusundaki

koordinatı (yükseklik)

l3 R3 ün R1 e göre y1 doğrultusundaki koordinatı

l4 R4 ün R1 e göre y1 doğrultusundaki koordinatı

l5 R5 in R4 e göre y1 doğrultusundaki koordinatı

l6 R6 nın R1 e göre y1 doğrultusundaki

koordinatı

Gidon dönme ekseni ile ön tekerlek kütle

merkezinin ön tekerlek yere temas noktası

ekseni arasındaki açı

2I Arka tekerlek atalet matrisi

3I Ana Çerçeve atalet matrisi

4I Gidon atalet matrisi

5I Ön tekerlek atalet matrisi

6I Denge diski atalet matrisi

Tablo 3’ de modelde kullanılan genelleştirilmiş koordinatlar belirtilmektedir.

Tablo 3: Genelleştirilmiş koordinatlar

Parametre Açıklaması

x R1 in x0 doğrultusundaki koordinatı

y R1 in y0 doğrultusundaki koordinatı

R1 in z1 eksenine göre açısal konumu

(Bisiklet yönelim açısı)

R1 in y1 eksenine göre açısal konumu

(Bisiklet yatma açısı)

R4 ün z4 eksenine göre açısal konumu

(Gidon açısı)

1 R2 nin x2 eksenine göre açısal konumu

(Arka tekerlek dönme konumu)

2 R5 in x5 eksenine göre açısal konumu

(Ön tekerlek dönme konumu)

R6 nın y6 eksenine göre açısal konumu

(Denge diski dönme konumu)

Modelde, bisikletin eğimsiz bir düzlemde hareket edeceği

ve tekerleklerin düzlem üzerinde kaymadan yuvarlanacağı

varsayılmaktadır. Yazılan bu ilk modelde tekerlekler ile yer

arasında noktasal temas olduğu kabul edilmiştir.

Koordinat eksenleri arasındaki transformasyon matrisleri

aşağıdaki gibi elde edilir.


694

1000

0

010

00

,

1000

cs0

sc0

0001

)1(,

1000

cs0

sc-

ssc

,

1000

100

010

0001

,

1000

cs0

0s0

0001

,

1000

0c0s

ssccs

scscc

6

616

5522

552245

4

434

3

313

11

1112

01

hcs

l

sc

Tslch

shclT

h

lcss

xcs

Th

lT

R

cT

y

x

T

(1)’de bulunun transformasyon matrisleri kullanılarak,

eksen takımlarının konumları yere sabit eksen takımına göre

yazılabilir. Bulunan konumların zamana göre türevleri

alınarak kütle merkezlerinin çizgisel hızları ve yine transformasyon matrisleri yardımıyla açısal hızları bulunur.

Açısal ve çizgisel hızları hesapladıktan sonra sistemin toplam kinetik enerji ifadesi (2) denklemi ile elde edilir;

iiT

iiT

ii IωvvmT 2

1

2

1 . (2)

Transformasyon matrisi kullanılarak elde edilen, kütle

merkezlerinin referans eksen takımına göre yükseklikleri

yardımıyla, toplam potansiyel enerji ifadesi aşağıdaki gibi yazılır;

.iighmV (3)

(2) ve (3) eşitlikleri yardımıyla Euler-Lagrange fonksiyonu

aşağıdaki denklem gibi elde edilir.

.VTL (4)

Genelleştirilmiş koordinatların sayısının serbestlik

derecesi sayısından fazla olduğu durumlarda, fazladan tanımlı

koordinatlar diğer koordinatlardan bağımsız değildir. Bu

bağıntılarda genelleştirilmiş koordinatların türevlerini içeren

ve entegre edilemeyen bağ denklemlerine nonholonomik

denklemler adı verilir [12]. Otonom bisiklet modelinde 8 adet

genelleştirilmiş koordinat olmasına rağmen bunların 4 adedi

diğer değişkenlerden hesaplanabilmekte, kalan 4 adedinin ise

bağımsız olduğu görülmektedir. Nonholonomik bağ denklemlerinin genel formu aşağıdaki denklem gibidir;

klqaq

m

j

jljlm ,.....1,0

1

. (5)

Burada k bağ denklemlerinin sayısı m bağımsız

genelleştirilmiş koordinat sayısıdır. Sistemin nonholonomik bağ denklemleri (6)-(9) deklemleri olarak yazılır;

sin1 Rx , (6)

cos1 Ry , (7)

)8()cossin(

)sin)costan((cos54

541

54

ll

lh

ll

R

12)coscos(

cos

. (9)

Euler- Lagrange denklemlerinde bağ kuvvetlerinide göz

önüne alabilmek için Voronec hareket denklemleri

kullanılabilir [13]. Öncelikle indirgenmiş Euler- Lagrange

fonksiyonu ( L ), bağ denklemlerinin, Euler- Lagrange

fonksiyonunda ( L ) yerlerine yazılmasıyla elde edilir ve

nonholonomik bağları da içeren hareket denklemleri elde edilir. Voronec hareket denklemi [5];

)10(.,...1,

1 11

miqbq

La

q

L

q

L

q

L

dt

dj

k m

j

ijm

i

k

mi

ii

Burada;

k

im

jj

m

i

i

j

j

iij a

q

aa

q

a

q

a

q

ab

1

)(

(11) olur.

Bisikletin doğrusal olmayan modeli (10) denklemi ile elde

edilmiş olur. Model dört adet ikinci mertebeden diferansiyel

denklem ile dört adet nonholonomik bağ denkleminden

oluşmaktadır. İkinci merteben diferansiyel denklemlerden,

denklemi 1162, denklemi 6375, 1 denklemi 7061 ve

denklemi 4 terimden oluşmaktadır. Hareket denklemleri Mathematica® yazılımı kullanılarak elde edilmiştir.

3. Kontrol Sistemi Tasarımı

Modellenen bisikletin otonom hareketi için, izlenmesi gereken

referans yörüngelerin üretilmesi gerekmektedir. Referans

yörüngelerin nasıl üretildiği Bölüm 3.1’de açıklanmaktadır.

Üretilen referans yörünge konumlarına ulaşabilmek için

gerekli gidon açısının bulunması Bölüm 3.2’de, kapalı çevrim

kontrolcünün tasarımı ve uygulanışı Bölüm 3.3’de açıklanmaktadır.

3.1. Yörünge Üretimi

Yörünge planlamasında, bisikletin fiziksel olarak

gerçekleştirilebilir yörüngeler üzerinde hız sürekliliğini de

sağlayarak hareket etmesi esas alınmıştır. Hareketin süresince

arka tekerleğin yere temas ettiği nokta için konum referansları,

arka tekerleğin açısal hızı için ise hız referansları üretilmiştir.

İstenen başlangıç ve son konumları arasında bisikletin geçmesi

tasarlanan ara noktalar seçilmiştir. Bu şekilde oluşturulan

ardışık konum referansları arasında üçüncü mertebe eğriler

uydurulmuştur. Ara noktalarda hız sürekliliği sınır koşul

olarak belirlenmiştir.

Şekil 3: Yörünge planlaması ve sınır şartları.

Şekil 2’de belirtilen sınır şartları sağlayan, kübik

polinomlarla splinelar oluşturularak yörüngeler üretilmiştir [14]. Bisiklet referans konum, hız ve ivme denklemleri;

y

x

2222 ,,, yxyx

1111 ,,, yxyx

0000 ,,, yxyx


695

.62

,62

,32

,32

,

,

32

32

2321

2321

33

2210

33

2210

saay

saax

sasaay

sasaax

sasasaay

sasasaax

yy

xx

yyy

xxx

yyyy

xxxx

(12)

Bisiklet referans açısı aşağıdaki denklem ile

hesaplanabilir;

.32

32tantan

2321

232111

sasaa

sasaa

dtdx

dtdy

xxx

yyy (13)

Bisiklet arka tekerlek hız referansı da bisiklet arka

tekerlek yere temas noktasının çizgisel hızından yola çıkarak (14) denklemi ile elde edelir;

.1 22

1 yxR

(14)

3.2. Yönlendirme Algoritması

Yörünge takibinde en çok kullanılan yöntem geometrik

yörünge takipçileridir[15]. Bu çalışmada da bu metodlardan saf takip (pure pursuit) algoritması kullanılmıştır.

Şekil 4: Yörünge planlaması.

Saf takip algoritması Şekil 3’ de görüldüğü gibi arka

tekerlek yere temas noktasıyla hedef nokta arasındaki

geometrik bir dairesel yay hesaplanmasına dayanmaktadır.

Bisiklet gidon açısı, arka tekerlek temas noktası ile hedef

nokta arasındaki en yakın uzaklık (ld), bisiklet yönelimindeki

hata (), ve bisiklet boyu (L=l4+l5) yardımıyla

hesaplanabilmektedir [14]. Saf takip kontrol algoritması

aşağıda görülmektedir.

)sin(2

dl

L . (15)

3.3. Kapalı Çevrim Kontrol

Bölüm 3.1’de bisiklet hareketi için yörünge üretilmiş ve bu

yörünge için gerekli referans konum ( refref yx , ), referans

yönelim ( ref ) ve referans açısal hız ( ref1 ) değerleri elde

edilmişti.

Bölüm 3.2’ de bu referans yörüngede hareketi sağlamak

için bisikletin bulunduğu konumun bir fonksiyonu olarak gidon açısı referansı hesaplanmıştı.

Bisiklet hareketi esnasında yatma açısı () hareketin

kararlığını etkileyen önemli bir değişkendir. Bisiklet yatma

açısı () sabit sıfır derece referansı etrafında kontrol

edilmektedir. Yatma açısı kontrolü için denge diskinin açısal

hızı, bisikletin hız kontrolü için arka tekerlek açısal hızı ve

bisikletin yönelimi için gidon konumu kontrol girişleri olarak uygulanmıştır.

Kullanılan PD kontrolörlerin katsayıları yapılan benzetimler sonucu deneme yanılma yöntemiyle bulunmuştur.

Şekil 5: Kapalı çevrim kontrol şeması.

4. Dinamik Benzetim

İ.T.Ü. Makina Fakültesine bu proje kapsamında alınan bisiklet

parametreleri kullanılarak hazırlanan modelin benzetimi yapılmıştır (Şekil 6).

Şekil 6: Elektrikli bisiklet.

y ref

-

-

-

+

+

+

ref refx

ref1

ref

1

x

refy

PD

Kontrolör

1

Bisiklet

Modeli PD

Kontrolör

PD

Kontrolör

Yönlendirme

Algoritması Yörünge

Üreteci

y

x

L

Hedef nokta

Dairesel yay

yörünge

ld


696

Bisiklet demonte edilerek (Şekil 6) kütle ve ağırlık

merkezi parametreleri ölçülmüştür. SolidWorks® yazılımında

bisiklet modeli oluşturulmuş ve yazılım tarafından hesaplanan

atalet momenti değerleri benzetimlerde kullanılmıştır. Elde edilen parametre değerleri Tablo 4’de belirtilmektedir.

Tablo 4: Parametreler

Parametre

m2=5.75 kg, m3=11.5 kg, m4=1.95 kg,

m5=2.3 kg, m6= 7.5 kg

R= 0.33 m, h3=0.54 m, h4=0.75 m,

h5=-0.42 m, h6=0.45 m

l3=0.32 m, l4=0.89 m, l5=0.20 m, l6=0.55 m

2I =

22.000

022.00

0044.0

kg.m2, 3I =

99.004.00

04.032.00

0029.1

kg.m2

4I =

03.000

019.00

0017.0

kg.m2, 5I =

10.000

010.00

0021.0

kg.m2

6I =

109.000

0218.00

00109.0

kg.m2, =21o, g=9.81 m/s2

Benzetimler Matlab® yazılımı ile yapılmıştır.

Diferansiyel denklemlerin çözümü için Runge-Kutta(ode4)

çözücüsü, 0.01 saniyelik örnekleme periyodu ile

uygulanmıştır. Bu örnekleme zamanı deneme yanılma yöntemiyle bulunmuştur.

Şekil 7’ de üretilen bir referans yörünge (kesikli eğri) ile

dinamik benzetim sonucunda elde edilen bisiklet hareketinin

izi (sürekli eğri) görülmektedir. Bu benzetimde, bisikletin ilk

ve son konumlarındaki hızları sıfırdır. Toplam 20m lik bir yer

değiştirme için bisikletin son konumu referans yörüngeden yaklaşık 0.5m lik bir sapma göstermiştir.

Şekil 7: Referans yörünge takibi.

Yönlendirme algoritması tarafından üretilen gidon açısı

referansına ref (kırmızı eğri) karşılık modelin yanıtı (mavi

eğri) Şekil 8’da görülmektedir. Gidon açısı hareketi -45,+45

derece aralığında sınırlandırılmıştır. Açı sınırlandırılmasının

olduğu yerlerde hesap hatalarından kaynaklanan ani değişimler görülmektedir.

Şekil 8: Gidon açısı.

Şekil 9’da bisikletin referans yönelim açısı ref (kırmızı

eğri) ve benzetimde hesaplanan (mavi eğri) görülmektedir.

Şekil 9: Bisiklet yönelimi.

Yörünge üreteci tarafından üretilen arka tekerlek hız

referansı 1 (kırmızı eğri) ve modelin yanıtı (mavi eğri) Şekil

10’ da görülmektedir. Arka tekerlek hız takibi sırasında

gerçek sistemde mümkün olamayacak hesap hatası kaynaklı ani değişimler gözlenmektedir.

Şekil 10: Arka tekerlek açısal hızı.

-10 -5 0 5 10

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x (Konum)(metre)

y (

Ko

nu

m)(

metr

e)

Arka Teker Yere Temas Noktası Konumu

olculen

referans

0 5 10 15 20 25 30-60

-40

-20

0

20

40

60

zaman(sn)

Psi

(G

ido

n a

cis

i)(d

ere

ce)

Gidon Acisi

hesaplanan

referans

0 5 10 15 20 25 30-200

-150

-100

-50

0

50

100

zaman(sn)

The

ta (

Bis

ikle

t Y

önü

)(de

rece

)

Bisiklet Referans Eksene Göre Yönü

hesaplanan

referans

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

zaman(sn)

Nu1

dot

(Ark

a T

eker

Dön

me H

ızı)

(ra

d/s

n)

Arka Teker Dönme Hızı

hesaplanan

referans


697

Şekil 11’ de hareket esnasında bisikletin yatma açısı

referansı 0 derece (kırmızı eğri) ve modelin yanıtı (mavi

eğri) görülmektedir. Bisiklet yönünün değiştiği noktalarda

sıfır yatma açı referansından sapmalar oluşmuştur. Hesap hatası kaynaklı ani değişimler de mevcuttur.

Şekil 11: yatma açısı.

Bisiklet denge diskinin istenen yörünge hareketi

esnasında hız grafiği de Şekil 12’ de görülmektedir.

Şekil 12: Denge diski hızı.

5. Sonuçlar

Bu çalışmada öncelikle insansız bisikletin doğrusal olmayan

modeli elde edilmiştir. Modelin hareketinin incelendiği

dinamik benzetimlerde, tasarlanan kontrolcü ile üretilen

yörüngelerin takip edilebildiği görülmektedir. Yörünge

takibindeki hataların kontrolcü katsayılarının benzetimler

sonucu elde edilmiş olmasından ve bisiklet hız referansının

üretilen yörünge için elde edilmiş olup pozisyon hataları

karşısında yeni hız referansı üretilmemesinden

kaynaklanmaktadır. Yatma dengesi kontrolü hareket süresince

istenilen aralıkta sağlanabilmektedir.

Bu çalışmanın devamında, İ.T.Ü. Makina Fakültesi

laboratuvarında bulunan bisiklet (Şekil 6) üzerinde gerekli

donanım değişiklikleri yapılacak ve tasarlanan kontrol sistemi

deneysel hareket kontrolü için uygulanacaktır. Bisiklet arka

tekerlekte bulunan hub motor ile tahrik edilecektir. Gidonun

açısal konumu ile denge diskinin açısal hızı ise birer elektrik

motoru ile sağlanacaktır. Gidon konumu mutlak enkoderle,

bisikletin yatma açısı ise çerçeveye sabitlenecek bir IMU ile

ölçülecektir. Kapalı çevrim kontrol sistemi bisiklet çerçevesi

üzerine monte edilmiş bir gömülü bilgisayar vasıtasıyla gerçekleştirilecektir.

Kaynakça

[1] A. Sharp “Bicycles & Tricycles: A Classic Treatise on

Their Design and Construction”, New York: Dover,

2003.

[2] W.J.M. Rankine, “On the dynamical principles of the

motion of velocipedes,” Engineer, vol. 28, pp. 79, 129,

153, 175, 1869.

[3] C. Bourlett, Traité des Bicycles et Bicyclettes. Paris:

Gauthier-Villars,1898.

[4] E. Carvallo, “Théorie du mouvement du monocycle et de

la bicyclette,’’J. de L’Ecole Polytechnique, vol. 5, pp.

119–188, 1900.

[5] I.U.I. Neˇımark and N.A. Fufaev, Dynamics of

Nonholonomic Systems.Providence, Rhode Island:

American Mathematical Society, 1972.

[6] R.D. Roland, Computer Simulation of Bicycle Dynamics.

New York:ASME, 1973.

[7] G. Franke, W. Suhr, and F. Rieβ, “An advanced model of

bicycle dynamics,’’ Eur. J. Phys., vol. 11, no. 2, pp. 116–

121, 1990.

[8] N.H. Getz, “Control of balance for a nonlinear

nonholonomic nonminimum phase model of a bicycle,’’

in Proc. Amer. Control Conf.,Baltimore, MD, 1994, pp.

148–151.

[9] N.H. Getz and J.E. Marsden, “Control for an autonomous

bicycle,’’in Proc. IEEE Conf. Robotics Control, Nagoya,

Japan, 1995, pp.1397–1402.

[10] M.Yamakita a nd A.Utano, “Automatic Control of

Bicycles with a Balancer”, Proc. of Int. IEEE Conf.

Advanced Industrial Mechatronics,pp.1245-1250,2005

[11] G.FROSALI, F.RICCI, “A nonlinear mathematical model

for a bicycle”, XIX Congresso AIMETA, 0035-

6298, XIX Congresso AIMETA - Ancona, pp. 1-10, 14-

17 settembre , 2009

[12] Fuat Pasin,”Mekanik Sistemler Dinamiği”,İstanbul,1994

[13] N.A. Lemos,Rev.bras.Ens.F\’is.25,25.28 (2003)

[14] Waheed, Imran,” Trajectory and temporal planning of a

wheeled mobile robot ” Phd thesis,Canada,2006

[15] Jarrod M. Snider, “Automatic Steering Methods for

Autonomous Automobile Path Tracking”,2009

0 5 10 15 20 25 30-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

zaman(sn)

Kap

a (

Ya

tma

acis

i)(d

ere

ce)

Bisiklet Yatma Acisi

hesaplanan

referans

0 5 10 15 20 25 30-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

Zaman (sn)

Den

ge D

iski(

dev/d

k)


698

Güdümlü Bir Sistem için Fırçasız DC Motorun Modellenmesi,

Simülasyonu ve Uygulanması

Burak Kürkçü, Mehmet Çelik, Sabri Çetin, İhsan Özsoy

1MGEO Grubu, MOTM

Aselsan A.Ş [email protected]

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Özet

Fırçasız DC Motorlar yüksek verimlilik, yüksek güç faktörü,

yüksek tork, temel kontrol ve düşük bakım maliyetleri

nedeniyle askeri uygulamalarda tercih sebebi olmaktadır. Bu

makalede, askeri güdümlü sisteme ait bir fırçasız DC Motorun,

MATLAB/Simulink aracılığı ile değişken çevresel dinamik

şartlar altında modellenmesi ve uygulanması çalışılmıştır.

Bunlara ek olarak, hız kontrol bloğu, histeresis akım kontrol

bloğu, akım referans bloğu ve çevirici bloğu detaylı

modellenmiş ve simüle edilmiştir. Modeller de sensörlu bir

fırçasız DC motorun, akım kontrolcüsü ve hız kontrolcüsünün

performansını ve bunların sürücü yapısı ile ilişkileri

incelenmektedir. Geliştirilmiş olan bu modellerin değişken

bozucu etkiler ve değişken hız girdileri için çeşitli simülasyon

sonuçları sunulmuş ve testlerle karşılaştırılarak irdelenmiştir.

Bu sonuçlardan model performansının tatmin edici olduğu

anlaşılmaktadır.

1. Giriş

Askeri sistemlerde, güdümlü bombalar belirli bir hedefe

yönelmeyi sağlayan güdüm sistemleriyle donatılmıştır. Bu

silahların yüzgeçlerinde ya da kanatlarında, güdüm sisteminin

verdiği komutlara göre hareket eden kontrol yüzeyleri vardır

(Şekil 1). Genellikle silahın ön bölümüne yerleştirilen güdüm

sistemi laserli, kızılötesi ışınlı ya da elektroptik bir donanıma

sahip olabilir. Örneğin elektroptik sistemlerde alıcı organlar

hedef bölgenin resimlerini bombayı yöneten görevliye

göndermekte, görevli de silahı hedefe kilitlemektedir.

Şekil 1: Güdümlü bir bombanın bileşenleri

Güdümlü bombalar, yerdeki askeri bir birlik, bir kurtarma

uçağı ya da bir hedef kontrol uçağı gibi kendi dışındaki bir

kaynaktan hedefe ışınlar gönderildikten sonra yansıyan ışın

demetini izlemektedir. Kızılötesi ışınların güdümündeki

silahlar ise hedefin yaydığı ısı yardımıyla yönlendirilmektedir.

Bu silahların daha karmaşık olanları güdümlü füze olarak

adlandırılmaktadır.

Güdümlü sistemin hedefe yönelmesini sağlayan kanatçıklar

pnömatik veya DC motorlarla yönlendirilmektedir. Elektrikli

motorların hız ve konumlama hassasiyetlerindeki verimlilikleri

nedeniyle diğer eyleyicilere göre tercih edilmektedir.

Fırçasız DC motorlar, fırçalı DC motorlara göre daha iyi hız-

tork karakteristiğine, yüksek dinamik performansa, yüksek

verimliliğe, uzun operasyon ömrüne, gürültüsüz operasyona

ve yüksek hız limitlerine sahiptir. Bunlara ek olarak Fırçasız

DC Motorlar daha güvenlidir, temel kontrole sahiptir ve daha

ucuzdurlar [1]. Bu sebeplerden ötürü, kalıcı mıknatıslı fırçasız

DC motorlar artan bir şekilde uzay/havacılık, askeri, otomotiv

ve endüstriyel ürünlerde kullanılmaya başlanmıştır [2-4].

Özellikle askeri uygulamalar için kırılma toleransı en önemli

özelliklerden birisidir. Birden fazla fazlı motorlarda ise,

kırılma toleransı, diğer tek fazlı motorlara göre daha yüksektir

[5].

Geçtiğimiz seneler içerinde, Fırçasız DC Motor analizi ve

modellemesi için birçok farklı yöntem önerilmiştir. Durum-

Uzayı, Fourier serisi, d-q eksenleri modeli ve abc faz

değişkenleri modeli bunlardan bazılarıdır. Bu modellerden

yaygın olarak kullanılanlar abc faz değişkenleri ve d-q

eksenleri modelleridir.

Fırçasız DC Motor trapezoit yapıdadır ve bu yüzden kalıcı

mıknatıslı senkron motorlarda yaygın kullanılan d-q referans

eksenleri özel olarak bir avantaj sağlamadığı gibi, fırçasız DC

motorların modellemesinde kullanılması çok uygun değildir

[6-7].

Bu makalede askeri bir uygulamada kullanılan 3 fazlı fırçasız

bir DC motor, faz değişkenleri yöntemi ile mosfet sürücü

yapısı ise gerçekle tutarlı bir şekilde modellenmiş, iç içe hız ve

akım kontrol döngüleri tasarlanmıştır. Oluşturulan bütün

model ise değişken tork profilleri altında, değişken hızlarla

denenmiştir ve gerçek durumla karşılaştırılmıştır.


699

mailto:[email protected]




2. Fırçasız DC Motorun Matematiksel Modeli

Fırçasız bir DC motorun (Şekil 2) matematiksel modelini

oluşturmadan önce sistemi ideal hala getirebilmek için çeşitli

varsayımlar yapılmalıdır.

Şekil 2: Fırçasız Bir DC Motorun Sürücü Şeması.

Denklemlerin ve bütün modelin çözümlemesinin

basitleştirilebilmesi için aşağıdaki varsayımlar yapılmıştır:

Manyetik devrenin saturasyonu ihmal edilmiştir.

Bütün stator dirençleri, bütün faz indüktansları eşit

ve sabit kabul edilmiştir.

Bütün yarıiletkenler ideal kabul edilmiştir.

Fırçasız DC motorun matematiksel modeli aşağıdaki şekilde

elde edilmektedir.

(1)

Bu denklemde Vas, Vbs, Vcs üç faz terminal voltajlarını, İas,

İbs, İcs ise faz akımlarını, ise diferansiyel operatörü ifade

etmektedir.

Elektro-manyetik tork ise;

(2)

şeklindedir.

Anlık Geri-EMK (elektromotor kuvvet) ise üç faz için;

(3)

(4)

(5)

şeklinde yazılabilir. ise her faz için geri-EMK ları

göstermektedir.

Burada , , fonksiyonları ±1 değeri ile

sınırlandırılmış olup fonksiyonlarıyla aynı şekil ve

yapıdadırlar. Ayrıca rotorun pozisyonuna bağlı birer

fonksiyonlardır. Denklem (2) ise;

(6)

şeklinde yeniden düzenlenebilir.

Fırçasız DC motorun mekanik kısmının matematiksel modeli

ise;

(7)

(8)

şeklinde yazılabilir.

= Her faz için direnç değeri

= Her faz için İndüktans değeri

= Elekro-manyetik tork

= Flux Linkage

= Açısal hız

= Mekanik rotor açısal pozisyonu

= Kutup sayısı

= Rotor ataleti

Bütün motor modeli, yukarıda ki eşitliklere göre durum-uzayı

formatında ifade edilirse;

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Şeklinde yazılabilir. Yukarıda ki eşitliklerle bir fırçasız DC

motor matematiksel olarak modellenebilmektedir.

3. Fırçasız DC Motor Simulink Modeli

Bu çalışmada, yukarıda verilen matematiksel modele

dayanarak hazırlanmış fırçasız bir DC motorun

Matlab/Simulink modeli oluşturulmuş ve incelenmiştir (Şekil

3). Bu simülasyonda iç-içe kontrol yapısı uygulanmıştır.

Bunlardan ilki hız kontrol döngüsü, ikincisi ise akım kontrolü

döngüsüdür. Fırçasız DC motorun kullanıldığı sistemde

öncelikli tasarım kriteri, hızlı cevap olduğu için motorun

mümkün olan en hızlı şekilde isterlere cevap verebilecek

şekilde çalışması göz önünde bulundurulmuştur. Bu sebeple,

çok hızlı dinamik bir cevaba sahip olan histeresis akım kontrol

diğer kontrol metotlarına göre tercih edilmiştir. Aynı şekilde

hız kontrolcüsü de hızlı bir dinamik cevap verebilecek bir

yapıda oluşturulmuştur.


700

Şekil 3: Fırçasız DC Motorun Simulink Modeli.

Fırçasız DC motor modelini birçok alt model

oluşturmaktadır. Bunlar başlıca, BLDC (Brushless DC)

bloğu, çevirici bloğu, akım kontrol bloğu, akım referans bloğu

ve hız kontrol bloğudur. Bu blokların mantık işlemleri

çerçevesinde çalışmalarıyla Fırçasız DC Motor Simülasyonu

elde edilmiştir.

3.1. BLDC Bloğunun Modeli

BLDC Bloğunun Modeli, fırçasız DC motor simülasyonunun

çekirdek kısmıdır (Şekil 4). Genel olarak motorun mekanik ve

elektrik kısmının yaptığı işler ile Geri-EMK modellenmesini

içermektedir. Elektrik kısmı modellenirken yukarıda belirtilen

matematik modelden (Denklem 1-3-4-5) faydalanılmış ve üç

faz için ayrı elektrik modeli oluşturulmuştur. Mekanik kısım

da hız, pozisyon ve tork hesabı için matematiksel modelden

(Denklem 6-7-8) faydalanılarak gerekli olan yapı kurulmuştur.

Şekil 4: BLDC Bloğu Simulink Modeli

Ayrıca simülasyonun çalışabilmesi için gerekli olan Geri-

EMK yapısı ise detaylı olarak oluşturulmuştur. Bu yöntemle

sonuçlar daha yavaş elde edilmesine rağmen daha güçlü elde

edilmiştir.

3.1.1. Geri-EMK Alt Bloğu

Fırçasız DC motoru senkron motor ve diğerlerinden ayıran en

önemli özelliği Geri-EMK’nın yapısıdır. Fırçasız DC motor da

Geri-EMK trapezoit şeklindedir ve rotor pozisyonu ve hızına

bağlı olarak şekillenir. Trapezoit yapıda olan Geri-EMK ların

(Denklem 3-4-5) çözümlenmesi zor ve karmaşıktır.

Günümüzde bu yapıyı çözümleyebilmek için çeşitli metotlar

kullanılmaktadır. Bunlardan bazıları sonlu elemanlar yöntemi,

Fourier dönüşümü, parçalı lineer metot vb. [8] olmaktadır.

Bu çalışmada, trapezoit Geri-EMK dalga formunu,

simülasyon ortamında, üretebilmek için parçalı lineer metot

kullanılmıştır. Bu metotta , , fonksiyonlarının

yapısı ve çözümlenmesi en kritik noktadır. Motor rotorunun

açısal hızı ve pozisyonuna bağlı olarak değişen bu

fonksiyonlar için, rotorun 0-360˚ arasında ki bir dönme

periyodu 6 komütasyon basamağına bölünmektedir (Şekil 5).

Şekil 5: A Fazı için Geri-EMK Simulink Modeli

Her bir komütasyon basamağı rotor pozisyonunu ve hızını

gösteren sinyallere göre tanımlanmakta ve tanımlanan bu

basamaklar parçalı lineer metoda göre çözümlenmektedir.

Tablo 1 bu basamaklara ayırma şeklini tanımlamak için

kullanılmaktadır. Parçalı lineer metot çözümlemesiyle çok

kesin Geri-EMK hesaplaması elde edilmektedir.

Tablo 1 Rotor Pozisyonu Fonksiyonu


701

3.2. Akım Kontrolü Bloğu

Bu bloğun amacı verilen referanslara göre faz akımlarını

kontrol etmektir. Sistemde ki en temel ihtiyaç sistemin hızıdır.

Bu sebepten dolayı akım kontrolcüsü olarak görev yapan

kontrolcünün dinamik cevabının çok hızlı olması

gerekmektedir. Bu gereksinimi karşılayacak en uygun

kontrolcü olarak histeresis kontrolcüsü belirlenmiştir (Şekil 6).

Bu kontrolcü belirlenen bir aralık için referans akım ile gerçek

akımın farkını alır ve gerçek akımın belirlenen bir aralıkta

kalmasını sağlar. Bu aralık belirlenirken sistemin

çalışabileceği ve toleransın çok düşük olduğu bir bölge

tanımlanmıştır.

Şekil 6: Akım Kontrolcüsü Bloğu

3.2. Hız Kontrolcüsü Bloğu

Birçok alanda yaygın olarak kullanılan PI kontrolcüsü, hız

kontrolü için sistemde görevlendirilmiştir (Şekil 7). PI

kontrolörde ki integral terimi statik hatayı sıfırlamak üzere

kullanılmaktadır. Bunu da biriktirme, hafızalama ve gecikme

özellikleri sayesinde yapmaktadır. Hız kontrolöründe ki çıktı

referans akım bloğuna giriş olarak kullanılmaktadır ve bu

çıktının sınırlandırılması ile sistemin mekanik olarak

gerçekleştiremeyeceği torklarda çalışmasının önüne geçilmiş

olur. Sistem hız isteri girişlerine dinamik olarak çok hızlı

cevap verecek şekilde belirlenmiştir.

Şekil 7: Hız Kontrolcüsü Bloğu

3.3. Akım Referans Bloğu

Bu bloğun amacı üç faz için gereken akım referanslarını

oluşturmaktır (Şekil 8). Bu işlem hız kontrol bloğundan gelen

sinyalin genliğiyle ilişkilidir.

Şekil 8: Referans Akım Bloğu

Bu blok işlev olarak hız kontrolcüsünden gelen tork komutunu

akım komutuna çevirir ve pozisyona göre değişen bir

fonksiyonla yeniden şekillendirir. Yeniden şekillenen bu

komut üç faz için referans girişler niteliğindedir.

3.4. Çevirici Blok

Voltaj çevirici bloğu 3 faz tam köprüdür. Altı adet mosfet

kullanılarak modellenmektedir. Kullanılan mosfetlerin ideal

davrandığı varsayımı yapılmıştır (Şekil 9). Akım kontrol

bloğunda oluşturulan PWM’ler aracılığı ile bu mosfetler

anahtarlanarak fırçasız DC motora üç faz için gereken

gerilimler oluşturulmaktadır.

Şekil 9: Çevirici Bloğu

4. Simülasyon Sonuçları ve Doğrulanması

Bu çalışmada çift geri beslemeli bir fırçasız DC motor sistemi

için bazı sonuçlar aşağıda gösterilmiştir. Modellemesi yapılan

motorun özellikleri;

R=0.7 ohm

L=5.21e-3 Henry

J=0.00022 kgm^2

B=0

P=4

Kb=0.0523 V/rad/sec

olarak verilmiştir.

Simülasyon sonuçları gerçek sonuçlarla karşılaştırıldığı zaman

hatanın çok düşük olduğu tespit edilmiştir (Şekil 10). Test

sonuçları gerçek sistem üzerinden alınan örneklerin en küçük

kareler yöntemi kullanılarak bir eğri üzerine oturtulmasıyla

elde edilmektedir.


702

Şekil 10: Donanım vs Simülasyon karşılaştırması

Simülasyon için kurulan dinamik şartlarda değişken hız profili

uygulanmıştır (Şekil 11). Ani değişen ve yüksek genlikte

değişen hız profileri için kontrolörler yeterli hızda cevap

vermekte ve nihai sistem hareketi tatmin edici bir performans

sergilemektedir.

Şekil 11: Hız ve referans hız karşılaştırması

Simülasyon ortamında hız değişimleri sırasında dışarıdan

gelen bozucu kuvvetlerde de değişiklik olduğu için (Şekil 12)

sistemin hız profilini takibi sırasında yerel aşımlar meydana

gelmektedir. Ancak sistem yapısı gereği bu aşımlar bir

problem yaratmamakta ve sistemin tasarım kriterlerini yerine

getirmesine engel olmamaktadırlar. Çok fazlı yapısı gereği

fırçasız DC motor, kalıcı durum performansında salınımlar

yapmakta ancak bu salınımlar kontrolörlerle istenilen

mertebelere indirilmektedir.

Şekil 12: Elektro-manyetik Tork vs Bozucu etkiler

Değişken dinamik şartlar altında fırçasız DC motorun akım

cevapları da istenilen seviyede olmaktadır(Şekil 13). Motorun,

genel yapının korunması ile istenilen şartlarda çalışması

sağlanmıştır. Toleransların ve bazı aralıkların ayarlanması ile

çok hızlı cevaplar elde edilmiş ve bu sayede mümkün olan en

yüksek akım döngüsü kapatma frekanslarına çıkılabilmiştir.

Şekil 13: A fazı için referans akım vs gerçek akım

5. Sonuç ve Değerlendirme

Bu çalışmada fırçasız bir DC motorun simülasyonu ve

geliştirilmiş kontrol sistemleri sunulmuştur. Kontrol

sistemlerinin kararlı çalıştığı, dinamik ve statik cevaplarının

iyi bir karakteristiğe sahip olduğu ortaya konulmuştur.

Donanım ve simülasyon karşılaştırılması sonuçları tutarlığı

göstermekle beraber, aralarında belirli zamanlarda farklılıklar

görülmektedir. Bu farklılıkların modele yansıtılamayan ve

öngörülemeyen bozucu etkiler nedeni ile ortaya çıktığı

anlaşılmaktadır. Devam etmekte olan çalışmalarda bu tür

etkiler çeşitli metotlarla incelenmektedir. Tespit edilecek

etkilerin daha sonra oluşturulan simülasyon ortamına

yansıtılmasına çalışılacaktır. Bu çalışmanın fiziksel sistemle

uyum içinde çalışmasına yönelik tasarlanan kontrolcüler

doğrudan simülasyon ortamında denenebilmekte ve proje

takviminde çok önemli bir zaman kazancı sağlanmaktadır.


703

Kaynakça

[1] P.Yedamale, Brushless DC (BLDC) Motor Fundamental.

Chandler, AZ: Microchip Technology, Inc., March 15

2009.

[2] B.K. Lee and M. Ehsani, Advanced Simulation Model

for Brushless DC Motor Drives, Electric Power

Components and Systems 31, 841-868, 2003.

[3] W.Hong, W. Lee, and B.K. Lee, Dynamic Simulation of

Brushless DC Motor Drives Considering Phase

Commutation for Automotive Applications, Electric

Machines & Drives Conference, IEMDC’07, 2007.

[4] R. Akkaya, A.A. Kulaksız, and O. Aydogdu, DSP

implementation of a PV system with GA-MLP-NN based

MPPT controller supplying BLDC motor Drive, Energy

Conv. And Management 48, 210-218,2007.

[5] T.Y. Kim, B.K. Lee, and C.Y. Won, Modelling and

Simulation of Multiphase BLDC Motor Drives Systems

for Autonomous Underwater Vehicles, IEEE’07, 1366-

1371,2007

[6] R. Krishnan, Permanent Magnet Synchronous and

Brushless DC Motor Drives, Taylor and Francis Group,

2010

[7] M. Naseeruddin, A.M. Mallikarjuna, Analysis of the

Speed Control of BLDC Motor on Matlab/Simulink,

National Conference on Electrical Science, 220-224,

2012

[8] J.Hua, L. Zhiyong, Simulation of Sensorless Permanent

Magnet Brushless DC Motor Control System,

International Conference on Automation and Logistics

Qingdao, 2847-2581, 2008


704

Taylor Serisi ve Parametrik Fonksiyonlar Kullanarak Yük-

bağımlı Memindüktör Histeresiz Eğrisinin Açıklanması

Süleyman Abdullah Aytekin1, Reşat Mutlu2

Biyomedikal Mühendisliği Bölümü1

Namik Kemal Üniversitesi, Tekirdağ

[email protected]

Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümü2

Namik Kemal Üniversitesi, Tekirdağ

[email protected]

Özetçe

Memindüktör (Hafızalı-indüktör) belleğe sahip iki uçlu doğrusal olmayan bir devre elemanıdır. AC akım veya gerilim etkisi altında bir sıfırdan geçen akım-akı histerezis eğrisi vardır. Memindüktör histerezis eğrisi, bu alanda çalışmak isteyen mühendislik öğrencileri ya da mühendisler için kolay anlaşılır bir şekilde öğretilmelidir. Bu çalışmada, Taylor seileri ve parametrik fonksiyonlar kullanarak yük-bağımlı memindüktör histerezis eğrisinin açıklaması kapsamlı bir şekilde verilmiştir.

1. Giriş

1971 de Dr. Chua memristör adlı bir temel devre elemanı bulunması gerektiğini iddia etmiştir, 1976 da

Chua ve Kang memristörlerin oluşuna benzer özellikte

memristif sistemler olduğunu ve bu sistemlerin sıfır-

geçiş akım-gerilim histerezis eğrisine sahip olduğunu

iddia etmiştir [1-2]. 2008 de HP araştırmacıları kayıp devre elemanını bulduklarını açıklamışlardır [3]. [4]’te

memristör ve uygulamaları üzerine bir inceleme

makalesi bulunabilir. 2009 yılında, Ventra, Pershin ve

Chua “Bellekli Devre Elemanları” adlı bir makale

kaleme almış ve memristörlere ve memristif sistemlere benzer olarak memindüktör ve memkapasitör olarak

adlandırılan hafızaya sahip kapasitör ve indüktörlerin

olması gerektiğini ortaya attılar [5]. Memindüktör

terminal denklemi ve akım-akı histerezis eğrisi onlar

tarafından verilmiştir [5]. Memristörün devre elemanı olarak gerçekleştirilmesi 37 yıl almıştır. Memindüktör

henüz gerçekleştirilmedi ve bunu gerçekleştirmek

biraz daha zaman alabilir [1,3]. Ancak memindüktör

henüz mevcut olmasa da, memindüktörün

simülasyonu, modellenmesi ve kaotik devre uygulamaları üzerinde bazı araştırmalar yapılmıştır [6-

12].

[13]’te, Taylor serisi ve parametrik fonksiyonları kullanılarak bir memristörün histeriz eğrisinin çizimi

ve açıklaması yapılmıştır . [14]’te de memkapasitör

histerezis eğrisinin çizimi ve izahı için aynı metod

kullanılmıştır. AC uyarı altında, memindüktör akı-

akım eğrisi sıfır-geçiş histerezis eğrisine sahiptir [5]. Bildiğimiz kadarıyla, literatürde memindüktör

histerezis eğrisinin çizimi ve izahı için hiçbir metod

yoktur. Böyle bir metod, bu devre elemanı öğretimi

için yararlı olacaktır. [13-14]’te kullanılan metod memindüktör için de kolayca uygulanabilir ve bu

metod bu çalışmada memindüktörün küçük sinyal

histerezis eğrisinin izahında kullanılacaktır.Bu yazı

takip eden şekilde düzenlenmiştir. İkinci bölümde, bir

meminduktif sistemin genel tanımı verilmiş ve yük-bağımlı memindüktör tanıtılmıştır [5]. Üçüncü

bölümde, Taylor serisi açılımı kullanılarak

memindüktör histerezis eğrisi incelenmiş, açıklanmış

ve çizilmiştir. Dördüncü bölümde, memindüktörün

frekans davranışı açıklanmaktadır. Gerilim-akım ilişkisi ayrıca çizilerek gösterilmiştir. Sonuç

bölümüyle çalışma tamamlanmıştır.

2. Memindüktif Sistemler ve Akı-bağımlı Memindüktör Sistemler veya Memindüktörler

Ventra ve arkadaşları n. dereceden akım bağımlı memindüktif sistemi şu şekilde tanımladı;

(1)

(2)

t t zamanındaki indüktör akısını, I(t) indüktör

akımını, x n’inci dereceden dahili durum değişkenleri

vektörünü ve L de sistem durum değişkenlerine ve

akımına bağlı memindüktansı temsil etmektedir.

Bir memindüktif sistem için bilinen yaygın bir örnek

olarak, mekanik rölelerde bulunan konum bağımlı

indüktörler verilebilir. Ayrıca, memindüktif

sistemlerin bir alt sınıfı olarak, akım-kontrollü, sırf

memindüktör yükünün (devreden geçen yükün) bir fonksiyonu olan memindüktansa sahip sistemler

memindüktörler olarak tanımlanmış ve

adlandırılmışlardır. Denk. (1) ve (2) memindüktör için yazılırsa,

(3)

veya


705


(4)

Elde edilir. Burada q(t) memindüktörün yükü yani

zamana bağlı memindüktör akımının integralidir, I(t)

memindüktör akımıdır ve L(q) yük-bağımlı

memindüktör memindüktansıdır.

Memindüktör sembolü Şekil 1’de gösterilmiştir ve

Şekil 2’de Ventra ve arkadaşları tarafından verilen

simülasyon ile elde edilen onun sıkışmış akı-akım

histerezis eğrisi gösterilmiştir[5].

Şekil 1: Memindüktor Sembol.

Şekil 2: Memindüktörün Sıkışmış Akım-akı Histerezis

Eğrisi.

3. Taylor Serisi ve Parametrik Fonksiyonlar Kullanarak Memindüktörün Sıkışmış Histerezis

Eğrisinin İzahı ve Yük-bağımlı Memindüktör

Histerezis Eğrisinin Çizimi

Önceden belirtildiği gibi memindüktörün

çimdiklenmiş histerezis eğrisinin çizimi için bir metod gereknektedir. Memindüktans fonksiyonu kapalı bir

fonksiyondur ve anlaşılması zordur. Memindüktör

yükünün (devreden geçen yükün) bir fonksiyonu

olduğundan, memindüktör memindüktansı yüke bağlı

olarak Taylor serisine açılabilir:

1

k

oo

k

ok!

)-()()()L(

k

qq

q

qLqLq

(5)

Memindüktöre küçük sinyal uygulandığı varsayılırsa,

ikinci veya daha yüksek mertebeden terimler ihmal

edilebilir ve memindüktans yaklaşık olarak

1!

)-()()()L(

1

ooo

qq

q

qLqLq

(6)

şeklinde yazılabilir.

Denk. (6)’da

Kq

L

,

(7)

ve

L0=L(q0)-K q0

olarak adlandırırılırsa memindüktör memindüktansı

HP memristör memristansına benzer olarak lineer fonksiyon olarak yazılabilir. Böylece memindüktans

olarak ifade edilebilir.

(8)

Histerezis eğrisi elde etmek için

(9)

sinusoidal akımı memindüktöre uygulanırsa, memindüktör yükü

(10)

Olur. q0 , memindüktör ortalama yükü

(11)

olarak hesaplanabilir. q(t) ve I(t) Denk. (4)’te yerine

konarak, memindüktör akısı

(12)

(13)

olarak bulunur. Elektrik açısı t belirlenerek,

memindüktör akım ve akısı

(14)

ve

(15)

olarak yazılabilir. Burada

ve olarak verilmiştir.

Denk. (14) ve (15) parametresine bağlı parametrik

denklemlerdir.

Denk. (14) ve (15) e dikkatli bakıldığında

0 da her iki parametrede sıfırdır. Bu orijinden


706

geçen akım-akı histerezis eğrisi olarak kolayca

yorumlanabilir. Memindüktör akısı ve akımının

elektrik açısına göre periyodu 2 radyandır. Ayrıca

bu fonksiyonlar tek fonksiyonlardır ve eğri orijine

göre simetriktir. Bu nedenle eğri [0, ] aralığında

çizilebilir ve bu fonksiyonların tanımladığı eğri

(histerezis eğrisi) orijine göre simetrisi alınıp eğrinin

tamamı elde edilmiş olur. Çizimler için Matlab paket

programı kullanılmıştır.

Eğer elektrik açıs ına, ’ya göre memindüktör akı

ve akımının parametrik fonksiyonlarının türevleri

alınırsa,

(16)

ve

(17)

elde edilir. Histerezis eğrisinin eğimi

(18)

olarak bulunur. Eğrinin eğiminin sıfır olduğu noktalar

ekstremum noktalardır. Ekstremum noktaları

denk.(18)’in sıfıra eşit veya tanımsız olduğu

noktalarda bulunmaktadır.

22 2 1cos cos

(19)

yarım açı formülünü kullanılırsa ve Denk. (18) sıfır

yapılırsa ve Denk. (19), Denk. (18)’de yerine konursa;

(20)

denklemi elde edilir. Bu denklemin iki kökü mevcuttur

ve bu kökler

82

4

1

8

2

1

D

C

D

C ,

(21)

ve

82

4

1

8

2

2

D

C

D

C ,

(22)

değerlerine eşittir. Bu değerler ve ayrıca eğimin

tanımsız olduğu + /2 ve - /2 asimptot değerleri

kullanılarak histerezis eğrisi çizdirilebilir. Histerezis

eğrisinin çizimi için gerekli parametrik

fonksiyonlarının [0, ] aralığındaki spesifik değerleri

Tablo 1 de verilmiştir. Bu değerler kullanılarak (14)

ve (15) parametrik eşitiliğinin histerezis eğrisi tek bir

alternans için çizdirilir ve orijine göre simetriği alınır, Şekil 3’de gösterildiği gibi tam bir periyot için

histerezis eğrisi elde edilir.

Im=0.5 A, C=0.8 ve D=0.4 değerleri için memindüktör histerezis eğrisi çizilmiş ve Şekil 4’de gösterilmiştir.

Tablo 1: Parametrik Fonksiyonların [0, ]

Aralığındaki Spesifik Değerleri.

Şekil 3: Parametrik Fonksiyonlar Kullanarak Memindüktör Histerezis Eğrisi.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

meminductor current

mem

inducto

r flux

Şekil 4: Memindüktör Histerezis Eğrisi (Im=0.5 A, C=0.8 ve D=0.4).

4. Memindüktör Frekans Cevabı

Kullanılan metod ile frekans etkisini araştırmak

mümkündür. Denk.(13) kullanılırsa, memindüktör

akısı

(23)

olarak yazılabilir. Eğer elektrik açısal hız( ) veya

elektrik frekansı çok fazla artırılırsa Denk. (23) şu

şekle dönüşür;


707

. (24)

Bu doğrusal zamanla değişmeyen indüktör şebeke

denklemidir. Denk. (24) frekans çok arttığında memindüktörün doğrusal zamanla değişmeyen

indüktör gibi davranmaya başladığını gösterir. Şekil

5’de gösterildiği gibi frekansın artması ile

memindüktör histerezis eğrisi daralmaktadır.Yüksek

frekanslardaki memindüktör histerezis eğrisi ile doğrusal zamanla değişmeyen (DZD) L(q0) indüktans

değerine sahip eğri aynı besleme için birbirinin

aynıdır.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

meminductor current

mem

inducto

r flux

Şekil 5: Farklı Frekanslarda Memindüktör Akı-akım Eğrileri.

Memindüktör akım-gerilim eğrisini görmek için,

memindüktör gerilimi denk. (24) de verilen

memindüktör akısının zamana göre türevi alınarak hesaplanır;

,

(25)

)2cos()cos( 2 tKItKqLv mOO . (26)

)2cos(2)cos( DCv .

(27)

Denk. (9) ve (27) kullanılarak, AC uyarı altında

Şekil 6’da gösterildiği gibi simüle edilmiştir. Doğrusal

zamanla değişmeyen indüktör geriliminden farklı

olduğu görülmüştür. DZD indüktörlerde eğri elips şeklindedir. Ancak, memindüktör gerilim kaynağının

frekansı arttırıldığında akım-gerilim eğrisi Şekil 7 ve

8’de gösterildiği gibi elips şeklini almıştır. Bunun

sebebi frekans arttırılırken fundamental gerilimin

artması ve ikinci harmonik geriliminin ise aynı kalmasıdır.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

mem

inducto

r curr

ent

meminductor voltage

Şekil 6: Memindüktör Akımı ile Memindüktör Gerilimi (C=0.75, D=-0.2, Im=0.3 A ve ω=1 rad/s).

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

mem

inducto

r curr

ent

meminductor voltage

Şekil 7: Memindüktör Akımı ile Memindüktör Gerilimi (C=1.75, D=-0.1, Im=0.3 A ve ω=5 rad/s).

-300 -200 -100 0 100 200 300

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

mem

inducto

r curr

ent

meminductor voltage

Şekil 8: Memindüktör Akımı ile Memindüktör Gerilimi (C=6, D=-0.15, Im=0.3 A ve ω=50 rad/s).


708

5. Sonuç

Taylor serisi ve parametric fonksiyonlar kullanarak

küçük sinyal için memindüktör histerezis eğrisi

kolayca izah edildi. Akı-akım histerezis eğrisinin sıfır-

geçiş özelliği görüldü. Ayrıca bu metod ile yük-bağımlı memindüktör frekans davranışı da

açıklanabilir. Yüksek frekanslarda, daralan histerezis

eğrisi memindüktörün doğrusal indüktörden bir farkı

olmadığını gösterir. Parametrik memindüktör

histerezis eğrisi [5]’te verilenle tamamen benzerdir. Ayrıca, memindüktörün akım-gerilim eğrisi çizilmiş

ve DZD indüktörden farklı olduğu görülmüştür.

Ayrıca frekans arttırıldığında akım-gerilim eğrisi DZD

indüktörde olduğu gibi elipse dönüşmüştür.

Memristör, memkapasitif ve memindüktör gibi hafızaya sahip devre elemanları bugünün öğrencilerine

yarının mühendislerine diğer devre elemanlarının

öğretildiği kadar öğretilmelidir. Bunların etkili ve

kolay bir şekilde öğretilmesi için yeni metodlar

gereklidir. Bu çalışmada memindüktör histerezis eğrisi öğretilmesi amacıyla bu metod verilmiştir.

Kaynakça

[1] L. O. Chua, ”Memristor - The Missing Circuit

Element,” IEEE Trans. Circuit Theory, vol. 18,

pp. 507-519, 1971.

[2] L. O. Chua ve S. M. Kang, ”Memristive

devices and systems,” Proc.IEEE, vol. 64, pp.

209-223, 1976.

[3] D. B. Strukov, G. S. Snider, D. R. Stewart, ve

R. S. Williams, ”The missing memristor found,”

Nature (London), vol. 453, pp. 80-83, 2008.

[4] Kavehei, Omid, et al., "The fourth element:

characteristics, modelling and electromagnetic

theory of the memristor." Proceedings of the

Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Science 466.2120 (2010): 2175-

2202.

[5] M. Di Ventra ,Yu. V. Pershin ve L. O. Chua, “Circuit Elements With Memory: Memristors,

memcapacitors and meminductors,” Proc. IEEE,

vol. 97, pp. 1717–1724, 2009.

[6] Dalibor Biolek, Zdenek Biolek, and Viera Biolkova. "SPICE modeling of memristive,

memcapacitative and meminductive

systems." European Conference on Circuit

Theory and Design (ECCTD 2009),’’ IEEE,

2009.

[7] Yu. V. Pershin, M. Di Ventra, “Memristive

circuits simulate memcapacitors and

meminductors,” Electronics letters, vol. 46, pp. 517– 518, 2010.

[8] Biolek, Dalibor, Viera Biolková, and Zdeněk

Kolka, "Mutators simulating memcapacitors and meminductors." Asia Pacific Conference on

Circuits and Systems (APCCAS)’’, IEEE, 2010.

[9] Z. Hu, Y. Li, L. Jia, ve J. Yu, “ Chaos in a

charge-controlled memcapacitor circuit,”

International Conference on Communications,

Circuits and Systems (ICCCAS), Chengdu, pp.

828–831, IEEE, 2010.

[10] Z. Biolek, D. Biolek ve V. Biolková,

"PSPICE modeling of meminductor," Analog

Integrated Circuits and Signal Processing, 66.1, pp. 129-137, 2011.

[11] D. Biolek, V. Biolková ve Z. Kolka, "SPICE modeling of meminductor based on its

constitutive relation," Proceedings of the 10th

international conference on instrumentation,

measurement, circuits and systems (IMCAS’11),

2011.

[12] Z. Hu, Y. Li, L. Jia, J. Yu, "Chaotic

oscillator based on current-controlled

meminductor," International Conference on Communications, Circuits and Systems

(ICCCAS), IEEE, 2010.

[13] R. Mutlu, “Taylor Serisi ve Kutupsal Fonksiyonlar Kullanarak Memristorün (Hafızalı

Direncin) Histeresis Eğrisinin Açıklanması”, 3.

Ileri Muhendis lik Teknolojileri Sempozyumu, 29-

30 Mayis 2010, Cankaya Universitesi, Ankara.

[14] E. Karakulak ve R. Mutlu, Explanation of

Hysteresis Curve of a Fluxdependent

Memcapacitor (Memory-capacitor) Using Taylor

Series and Parametric Functions", 6th International Advanced Technologies Symposium

(IATS 11), 16-18 May 2011, Elazığ, Turkey.


709

http://ieeexplore.ieee.org/search/searchresult.jsp?searchWithin=Authors:.QT.Pershin,%20Y.V..QT.&newsearch=partialPref

Dairesel Dort Esnek Bacaklı Robotun Dinamik Modeli

Yasemin Ozkan Aydın1, Afsar Saranlı2, Kemal Leblebicioglu3

1Elektrik ve Elektronik Muhendisligi BolumuOrta Dogu Teknik Universitesi, Ankara

{yasemino}@eee.metu.edu.tr2Elektrik ve Elektronik Muhendisligi Bolumu

Orta Dogu Teknik Universitesi, Ankara{afsars}@metu.edu.tr

3Elektrik ve Elektronik Muhendisligi BolumuOrta Dogu Teknik Universitesi, Ankara

{kleb}@metu.edu.tr

Ozetce

Bu calısmada oncelikle esnek dort yarım daire bacaklı robo-tun hareket denklemleri kuvvet-tork esitliklerinden faydala-narak elde edilmistir. Robotun yerden kalkma hareketi farklıbaslangıc pozisyon ve acıları icin gerceklestirilmis ve bacaklaruzerindeki kuvvetlerin ve uygulanan torkların degisimi analizedilmistir. Dort bacaklı robotların kullandıgı temel yuruyussekillerinden bahsedilmis ve bunlardan butun bacakların aynıanda yere temas edip, yerden ayrıldıgı sıcrayarak kosma (pronk-ing) hareketinin denetim sisteminden bahsedilmis ve bu kosmamodeli benzetim ortamında gerceklestirilmistir.

1. GirisBacaklı robotlar, puruzlu ve engebeli yuzeylerde daha ko-lay hareket edebilmeleri ve enerji acısından daha verimli ol-maları nedeniyle tekerlekli ve paletli robotlara gore ustunluksaglamakla beraber [1], insan ve hayvanların hareket sis-temlerinin yapısının anlasılmasına katkıda bulunmaktadır [2].Bacaklı robotların icinde dort bacaklı robotlar, iki ve altıbacaklı robotlara gore yuk tasıma kapasiteleri, mekaniktasarım kolaylıgı, hareket kabiliyetleri ve hareket esnasındakikararlılıkları acısından daha avantajlı olmaları nedeniyle bircokarastırmacının ilgi odagı olmustur.

Insan, hayvan ve robotların agırlık merkezinin hareketininmodellenmesinde yay destekli ters sarkac sablonu SLIP (SpringLoaded Inverted Pendulum) kullanılmaktadır [2, 3]. Bu entemel sablon, agırlık merkezinin hareketini elastik sopa seklindebir bacak uzerinde zıplayan kutle ile modellemektedir [4].Dort bacaklı robotların agırlık merkezinin hareketinin model-lenmesinde yay destekli tek bir sanal bacak kullanıldıgı gibibutun bacakların SLIP ile modellendigi dort bacaklı robot mo-deli de kullanılmaktadır. SLIP modeli, cogu robot ve bacaklıhayvanların agırlık merkezinin hareketini ve yer temas kuvvet-lerini basarıyla modellese de [5], kosma basarımına dogrudankatkısı bulunan eklem esneklikleri, dogrusal olmayan bacak es-nekligi [6] ve ayak yuvarlanması [7] gibi bazı kritik ozelliklerigoz ardı etmektedir.

Bu calısmada, dort esnek yarım daire bacaga sahip robo-tun duzlemdeki dinamik modeli Newton-Euler yontemi ileelde edilecek ve model benzetim ortamında dogrulacaktır.Calısmada kullanılan robotun bacakları kompozit malzeme-den yapılmıs olup, kuvvet altında esneme ve bukulme gibiozelliklere sahiptir. Bacak yapısı ve geometrisi, fiziksel yapısıve denetim sisteminin esnekligi ile merdiven cıkmadan, taklaatmaya kadar bircok dinamik hareketi gerceklestiren [8, 9]RHex turu robotların bacakları ile aynı ozelliklere sahiptir[10, 11]. Ilk uretiminden itibaren RHex robotu uzerindesopa, dort cubuk ve yarım daire seklinde bacaklar denenmisve bunların icinde en basarılı olanın esnek yarım daire ba-cak oldugu gorulmustur [12]. RHex robotunun hareketininmodellenmesinde SLIP modeli sıklıkla kullanılmaktadır. Fakatbu modelin yukarıda anlatıldıgı bir takım eksiklikleri bulun-maktadır. Saygıner, SLIP modelinin goz ardı ettigi, esnekdairesel bacak yapısından dolayı meydana gelen dogrusal ol-mayan bacak esnekligini Castigliano Teoremi [13] ile hesapla-yarak bacak acısına gore degisen yeni bir esneklik modeliolusturmustur [14]. Ayrıca Yalancı Katı Cisim (Pseudo RigidBody) modeli kullanılarak gelistirilen diger bir bacak modelinin[15, 16], RHex gibi dairesel bacak yapısına sahip robotların veinsan ayagı gibi yuvarlanma ile hareket edebilen diger canlıorganizmaların hareketinin modellenmesinde SLIP sablonunagore daha basarılı oldugu gorulmustur. Onceki calısmalardadairesel esnek bacak modelini kullanan tek bacaklı robotunyurume, kosma ve engel atlama gibi bir takım davranıslarınınuzerinde durulmustur [17, 18, 19, 20]. Bu calısmada ise ba-cak sayısı dorde cıkartılmıs ve govdenin acısı ile ilgili denk-lemler modele eklenmistir. Bir sonraki bolumde robotun di-namik denklemlerinin nasıl elde edildigi anlatılacaktır. Dahasonra dort bacaklı robotun yanal duzlemdeki yerden kalkmahareketi farklı baslangıc bacak acıları icin benzetim ortamındagerceklestirilecektir. Ayrıca robotun kosma hareketinin dene-tim yapısı anlatılacak ve bu harekete ait benzetim sonucları in-celenecektir.


710

2. Dinamik ModelBu bolumde, esnek yarım daire seklinde dort bacagı olan robo-tun dinamik modeli anlatılacaktır. Robot, bir govde ve dortyarım daire seklindeki esnek bacaktan olusmaktadır. Agırlıkmerkezi govdenin geometrik merkezinde konumlanmıstır.Robotun agırlıgı, bacaklara yer tarafından uygulanan kuvvetile dengelenmektedir. Robotun govdesinin agırlıgı bacak-ların agırlıgına oranla cok fazla oldugundan bacaklar agırlıksızkabul edilmistir. Robot modeli hareket dogrultusunda simetrikoldugundan robotun hareketi yanal duzleme indirgenmistir.

Yer fazındaki hareket denklemleri

Fx1 + Fx2 = mxg

Fy1 + Fy2 −mg = myg

T1 + T2 + Fy2b2 cosα+ Fx1b1 sinα− Fx2b2 sinα

−Fy1b1 cosα = Iαg

−T1 + Fx1(y1 − y1c) + Fy1(x1c − x1) = Ihip1 θ1

−T2 + Fx2(y2 − y2c) + Fy2(x2c − x2) = Ihip2 θ2

(1)

seklinde yazılabilir. Robotun bacaklarının yere degipdegmemesine gore ilgili bacak ucus ya da yer fazınagecmektedir. Yer fazında bacak yer ile temas halindedir vesanal bacak uzunlugu olarak tanımladıgımız bacagın govdeyebaglı oldugu kalca eklemi ile yere degdigi nokta arasındakimesafe bacak acısına gore degismektedir. Ayrıca bacak-lar esnek oldugundan bacak yarıcapı sıkısmaya baglı olarakdegismektedir. Robotun ucus fazındaki, yani butun bacaklarınyer ile teması kesildigi durumda yerden uygulanan kuvvetlersıfırdır ve dinamik denklemleri

xg = 0

yg = −g(2)

seklinde yazılır.Robotun agırlık merkezinin konumu, bacakların acısı

ve bunların turevlerinden olusan durum degiskenleri[xg, xg, yg, yg, α, α, θ1, θ1, θ2, θ2] seklinde tanımlanmıstır.Sekil 1’de verilen serbest cisim diyagramı (SCD) ve robotun ge-ometrisi kullanılarak, bacaga uygulanan bilinmeyen kuvvetler,govdenin agırlık merkezinin x ve y yonundeki ivmeleri,govdenin ve bacakların acısal ivmesi hesaplanmaktadır. T1

ve T2 torkları bacagın govdeye baglandıgı kalca eklemindenuygulanmaktadır. Kalca eklemlerinin koordianatları agırlıkmerkezinin koordinatından hesaplanmaktadır. Bacaklarınesneme miktarı ise uzerine herhangi bir kuvvet uygulanmamısbacak ile kuvvet uygulanarak sekli bozulmus bacak arasındakifarktan hesaplanmaktadır. Bilinmeyen yer etkilesim kuvvetlerionceki calısmada elde edilen [19] esneme matrisi kullanılarakhesaplanır. Bacagın yere degme noktası bacakların daireselseklini korudugu varsayılarak, kalca eklem noktasında ve yeredegme noktasında bacaga teget olan cizgilerin arasına dairecizilerek elde edilir.

Robota uygulanan kuvvet ve momentler esitlenerek Denk-lem 1 seti elde edilmistir. Modelde bacaklar agırlıksız kabuledildiginden yatay ve dikey yondeki ivmelenmeye etkileri ih-mal edilmistir. Fakat bacakların donme hareketinin robot di-namiginin uzerindeki etkisi denklemlere katılmıstır.

Geometrik iliskileri kullanarak (bkz. Sekil 3), kalca eklem-leri ve bacakların yere degme noktası koordinatlarının agırlık

T1

1xF

1yF

2xF

2 yF1T

2T

mg

1b

2b

1yF

1xF

1xF

1yF

1T

1 1( , )x y

1 1( , )C Cx y

2 yF

2xF2 2( , )x y

2 2( , )C Cx y

2T2 yF

2xF

Sekil 1: Robotun Serbest Cisim Diyagramı (SCD)

Tablo 1: Dinamik denklemlerdeki bilinmeyen kuvvetler veivmeler

Degisken Tanım

Fx1 , Fy1 1. bacaga uygulanan dıs kuvvetin x ve ybileseni

Fx2 , Fy2 2. bacaga uygulanan dıs kuvvetin x ve ybileseni

xg Agırlık merkezinin ivmesinin x bileseniyg Agırlık merkezinin ivmesinin y bileseniαg Agırlık merkezinin acısal ivmesiθ1 1. bacagın acısal ivmesiθ2 2. bacagın acısal ivmesi

T1

1b2b

1 1( , )x y

1 1( , )C Cx y

2 2( , )x y

2 2( , )C Cx y

( , )g gx y

x

y

1

2

ur

ur

Sekil 2: Robotun yere temas noktaları, kalca eklemi ve agırlıkmerkezinin konumları. Govde acısı α kalca eklem noktalarınıbirlestiren dogru ile yere paralel olan dogru arasındaki acıyaesittir. Bacak acıları θ1 ve θ2 ilgili bacaga kalca ekleminde tegetolan dogru ile yere paralel dogru arasındaki acıdır.

merkezinin koordinatı cinsinden yazılırsa

x1 = xg − b1 cosα, y1 = yg − b1 sinα,x2 = xg + b2 cosα, y2 = yg + b2 sinα,

x1C = x1 + y1(1− cos θ1sin θ1

), y1C = 0,

x2C = x2 + y2(1− cos θ2sin θ2

), y2C = 0

(3)


711

Tablo 2: Denklem 1 ve 2’de kullanılan parametreler

Parametre Tanım

m Govdenin kutlesiI Govdenin eylemsizlik momentib1, b2 Agırlık merkezi ile kalca eklemleri

arasındaki mesafe

Ihip1 , Ihip2 1. ve 2. bacagın kalca eklemi etrafındakieylemsizlik momenti

g Yer cekimi ivmesi

denklem seti elde edilir.Elastik bacaklara uygulanan dıs kuvvetin meydana getirdigi

sehim, bacagın sekil degistirdikten sonraki yere degme nok-tasının koordinatları ile aynı bacak acısında bacagı serbestbıraktıgımızda (kalca ekleminin sabit nokta kabul ederek) aynınoktanın koordinatları arasındaki farktan hesaplanmaktadır.Bacakların sehim miktarını

δx1 = x1U − x1C = x1 + ru sin θ1 − x1Cδy1 = y1U − y1C = y1 − ru(1 + cos θ1)− y1Cδx2 = x2U − x2C = x2 + ru sin θ2 − x2Cδy2 = y2U − y2C = y2 − ru(1 + cos θ2)− y2C

(4)

denklemlerinden elde edebiliriz. Bu denklemlerde ru ba-cakların kuvvet uygulanmadıgı zamanki yarıcapıdır. Bacak-lara, dolayısıyla govdeye uygulanan dıs kuvvetleri hesaplamakicin oncelikle sekil degistirme enerjisinin hesaplanması gerek-mektedir. Castigliano Teoremi’ne gore sekil degistirme ener-jisinin dıs kuvvetlere gore turevi, kuvvetin etkidigi noktadakive kuvvet yonundeki yer degistirmeyi vermektedir [21, 22, 13].Yarım daire seklindeki elastik bacak uzerinde etki eden kuvvet-lerin hesaplanması icin [19] ayrıntılı bir sekilde anlatılan es-neme matrisi kullanılacaktır. Bu matris hesaplanırken onceliklebacaklara uygulanan degeri bilinmeyen bir dıs kuvvetin uygu-landıgı noktadan kalca eklemine kadar olan kısımda meydanagetirdigi toplam sekil degistirme enerjisi hesaplanır. Dahasonra bu enerjinin uygulanan kuvvetlere gore turevi alınır. Eldeedilen denklemler dıs kuvvetlerin dogrusal bir islevi olarakyazıldıgında esneme matrisi elde edilir. Elemanları bacakacısının islevi olan bu esneme matrisinin tersi ile Denklem 4setinde elde edilen sehimler carpılarak bilinmeyen dıs kuvvetlerbulunur.

Robotun zamana baglı durumunu elde etmek icin,yukarıda verilen Denklem 1 seti MATLAB ode45 kullanılarakcozulmustur. Ilgili bacagın yere degip degmemesine, yanihavada veya yerde olmasına gore uygulunan dıs kuvvetler sıfıraesit olmaktadır. Benzetimin baslangıcında robotun hızı ve ba-caklara uygulanan kuvvetler sıfırdır. Verilen baslangıc bacakacılarına gore robotun baslangıc pozisyonu [14]’de verilen kine-matik denklemler kullanılarak elde edilmektedir.

3. Dort Bacaklı Yuruyus CesitleriKararlılık, enerji tuketimi ve hız kriterleri ile adım uzunlugu,suresi, bacak uzunlugu ve acıları gibi degiskenlere baglı olarakdort bacaklı hayvanların kullandıgı farklı yuruyus sekillerivardır [23]. Bunlardan capraz koselerdeki bacakların aynı

( , )x y

( , )U Ux y

( , )C Cx y

ur

Sekil 3: Bacak yere degdiginde temas noktasındaki sehimmiktarı, sıkısmıs bacak (koyu cizgi) uzerindeki kuvvetlerkaldırıldıgında temas noktası (xc, yc)’nin yer degistirmesindenhesaplanır. Bacak acısı θ bacaga kalca ekleminde teget olandogru ile yere paralel dogru arasındaki acıya esittir. ru serbesthaldeki bacagın yarıcapıdır.

T1

T1

T1

I. Uçuş Fazı II. Arka Bacak Yerde

IV. İki Bacak Yerde

T1

III. Ön Bacak Yerde

Sekil 4: Zıplama (bounding) yuruyus seklinde robot hareke-tinin fazları. Bu fazlardan II ve III. faz kaldırıldıgında sıcrama(pronking) yuruyus sekli elde edilir. Burada I. faz her ikibacagın yere temas etmedigi ucus fazıdır. Ucus fazında robotegik atıs seklindeki yorungeyi takip eder. Diger fazlar bacaklar-dan en az birinin yere temas ettigi ve Denklem 1 setinin gecerlioldugu yer fazlarıdır.

anda yerde veya havada oldugu ve ozellikle atların kosma es-nasında kullandıkları yuruyus sekli (trot), aynı kenardaki ba-cakların es zamanlı hareketi ile gerceklesen tempolu yuruyus(pacing), on iki veya arka iki bacagın aynı anda yere degipkalkması ile gerceklesen zıplama (bounding) ve butun bacak-ların aynı anda havada oldugu genellikle keseli antiloplarınkullandıgı sıcrama (pronking) (Sekil 4) uzerinde en cok du-rulan dinamik yuruyus sekilleridir. Bunların dısında her birbacagın sırasıyla hareket ettirildigi, robotun agırlık merkeziningovdeyi destekleyen uc bacagın olusturdugu ucgen arasındakaldıgı statik yuruyus (crawl) sekli de vardır [24, 25]. Dahahızlı ve enerji acısından daha verimli olması nedeniyle dort ba-caklı robotlar uzerinde calısan arastırmacılar ozellikle yukarıdabahsedilen dinamik yuruyus sekilleri uzerinde durmuslardır.

4. Benzetim SonuclarıBu calısmada oncelikle esnek yarım daire bacaklı robo-tun yerden kalkma esnasındaki hareketi, benzetim ortamında


712

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Sekil 5: Bacakların baslangıc bacak acılarının 80o oldugu durum icin yerden kalkma hareketi.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Sekil 6: Bacakların baslangıc bacak acılarının on bacak 80o ve arka bacak 60o oldugu durum icin yerden kalkma hareketi.

gerceklestirilecektir. Farklı bacak acıları icin bacaklarda olusansıkısma miktarı ve buna baglı olarak uygulanan kuvvet miktar-ları karsılastırılacaktır. Daha sonra, robotun sıcrama (pronking)yuruyus hareketinin benzetimi yapılacaktır.

4.1. Yerden Kalkma Hareketi

Sekil 5-6’da robotun yerden kalkma hareketinin asamalarıgorulmektedir. Bacak torkları asagıda verilen

T = −kp(θ − θref )− kdθ, (5)

PD denetleyici ile denetlenmektedir [2]. Denklemdeki kp ve kdsırasıyla oransal ve turevsel kazanc katsayıları, θ bacak acısı, θbacak acısal hızı ve θref referans bacak acısıdır. Bu problemicin θref = 0 (rad) alınmıstır yani denetimci bacagın acısınısıfıra getirmeye calısmaktadır. Bacakların donme esnasındakienerji miktarları E1 = T1θ1 ve E2 = T2θ2 dir. Sekil 7a-7b’de E1 enerjisinin zamana baglı grafikleri verilmistir. Bugrafiklerde θ1 30 ve 90 derecede sabit tutularak θ2 acısı 30-90derece aralıgında degistirilmistir. Sonuclardan goruldugu uzerehareket esnasında bacaklar oncelikle sıkısarak enerji toplamaktave daha sonra bu enerjiyi govdeyi ileri hareket ettirmek icin kul-lanmaktadır. Birinci bacagın acısı 30o’de sabitlenip digerininacısı 30o’den itibaren arttırılarak 90o’ye getirildiginde birincibacagın maksimum enerji miktarı aynı kalmakla beraber, bubacagın yerle temas suresi yani depolanan enerjinin harcanmasuresi uzamaktadır (bkz. Sekil 7a). Fakat ikinci bacagınsahip oldugu maksimum enerji miktarı ve bu enerjinin har-canma suresi bacak acısı ile dogru orantılı olarak artmaktadır

(bkz. Sekil 7c). Birinci bacagı acısını 90o’ye arttırılıp bu acıdasabitlendiginde ikinci bacagın acısının degisimi birinci bacagınenerji degisimini etkilememekle beraber (bkz. Sekil 7b) ikincibacagın enerjisi zamanla artmaktadır (bkz. Sekil 7d); fakat e-nerjinin harcanma suresi ilk bacagın acısının 30o olmasına goredaha fazladır.

4.2. Sıcrama (Pronking) Yuruyusu Denetimi

On ve arka bacak ciftlerinin aynı anda hareketi seklindegerceklesen zıplama (bounding) hareketinin denetimi ile il-gili bircok calısma [24, 26, 27, 28] olmakla beraber sıcrama(pronking) davranısı ile ilgili cok fazla calısma bulunmamak-tadır. Butun bacakların aynı anda hareket ettirildigi sıcramayuruyus sekli yavas, fakat ucus fazının uzun olması nedeniyleenerji acısından verimli bir yuruyus seklidir [29]. Ayrıca ba-caklar simetrik hareket ettiginden model yanal duzleme in-dirgenebilmektedir. Sıcrama hareketinin denetimi genellikleacık cevrim olarak yapılmaktadır; yani bacaklar yerde oldugusurece sabit bir tork uygulanmakta ya da onceden belirlenmisbir tork yorungesi takip edilmektedir [30, 31, 32]. Bunlarındısında, altı bacaklı bir robotun agırlık merkezinin SLIP ben-zeri bir yorungede hareket etmesini saglayacak bacak torklarınıureten, geri beslemeli denetim sistemini kullananlar olmustur[33]. Bu bolumde, literaturde onceki yapılan calısmalardanfarklı olarak bacaklar sopa seklinde degil esnek yarım daireseklindedir ve bacagın yere degme noktasına gore pasif olarakbacak esnekligi degismektedir. Sekil 8’de dort esnek yarımdaire bacaklı robotun sıcrama yuruyus sekli gorulmektedir.


713

0 0.01 0.02 0.03−6

−4

−2

0

2

t

E1 θ

2

(a)

0 0.01 0.02 0.03−60

−40

−20

0

20

40

t

E1

θ2

(b)

0 0.01 0.02 0.03−40

−20

0

20

40

t

E2

θ2

(c)

0 0.01 0.02 0.03−60

−40

−20

0

20

40

t

E2

θ2

(d)

Sekil 7: (a) E1’in zamana gore degisimi θ1 = 30o ve θ2 ok yonunde 30− 90o arasında degismektedir. (b) E1’in zamana gore degisimiθ1 = 90o ve θ2 ok yonunde 30 − 90o arasında degismektedir. (c) E2’in zamana gore degisimi θ1 = 30o ve θ2 ok yonunde 30 − 90o

arasında degismektedir. (d) E2’in zamana gore degisimi θ1 = 90o ve θ2 ok yonunde 30− 90o arasında degismektedir

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

Sekil 8: Sıcrama yuruyus sekli ile kosma benzetimi. Kesik cizgiler robotun agırlık merkezinin yorungesini gostermektedir.

Robot belli bir yukseklikten yere bırakılmakta ve ucus fazıboyunca dort bacak da daha onceden belirlenmis bacak acısınagetirilmektedir. Bacaklar aynı anda yere temas etmekte ve yerfazına gectikten sonra bacak torkları denklem 5’de verilen PDdenetleyici ile sıfır bacak acısına getirilmeye calısılmaktadır.Govdenin yuksekligi bacakların baslangıc yarıcapının iki katınageldiginde ya da bacaklara uygulanan yer kuvvetleri sıfıra esitoldugunda robot yer fazından ucus fazına gecmekte ve dongudevam etmektedir.

5. Sonuc

Bu calısmada dairesel esnek dort bacaklı robotun hareket denk-lemleri, dairesel bacak geometrisi goz onunde bulundurularakelde edilmistir. Daha sonra robotun yerden kalkma hareketibenzetim ortamında, bacak baslangıc acıları degistirilerekgerceklestirilmis ve bu hareket esnasında bacaklarda de-polanan enerji miktarları ve bu enerjinin harcanma surelerikarsılastırılmıstır. Dort bacaklı esnek yarım daire bacak robotmodeli su ana kadar ilk defa kullanılmıstır. Esnek tek yarımdaire bacaklı robotun denetim sistemi uzerinde calısmalaryapılmıs olmakla beraber dort bacaklı model uzerinde bizimbilgimiz dahilinde herhangi bir calısma yapılmamıstır. Dort ba-caklı robotun sıcrama yuruyus sekilleri icin denetim sistemi-nin tasarlanması ve esnek, yarım daire bacakların dort bacaklıyurume uzerine etkisinin incelenmesi gelecekte yapılacak islerarasındadır.

6. Tesekkur

Yasemin Ozkan Aydın, Turkiye Bilimsel ve Teknik ArastırmaKurumu (TUBITAK) 2210 ”Yurtici doktora burs programı”tarafından desteklenmistir.

7. Kaynakca[1] M. G. Bekker, Off-the-road locomotion; research and de-

velopment in terramechanics. Ann Arbor, MI: Universityof Michigan Press, 1960.

[2] M. H. Raibert, Legged Robots That Balance. Cambridge,MA: The MIT Press, 1986.

[3] P. Holmes, R. J. Full, D. Koditschek, and J. Gucken-heimer, “The dynamics of legged locomotion: models,analyses, and challenges,” SIAM Review, vol. 48, no. 2,pp. 207–304, Jan. 2006.

[4] R. Full and D. Koditschek, “Templates and anchors: Neu-romechanical hypotheses of legged locomotion on land,”in The Journal of Experimental Biology, vol. 202, 1999,pp. 3325–3332.

[5] R. Blickhan and R. Full, “Similarity in multilegged loco-motion: Bouncing like a monopode,” Journal of Compar-ative Physiology A, vol. 173, no. 5, pp. 509–517, 1993.

[6] J. Rummel and A. Seyfarth, “Stable running with seg-mented legs,” Int. J. Rob. Res., vol. 27, no. 8, pp. 919–934,Aug. 2008.

[7] B. R. Whittington and D. G. Thelen, “A simple mass-spring model with roller feet can induce the ground reac-tions observed in human walking,” Journal of Biomechan-ical Engineering, vol. 131, no. 1, pp. 011 013+, 2009.

[8] E. Z. Moore, D. Campbell, F. Grimminger, andM. Buehler, “Reliable stair climbing in the simple hexa-pod ’rhex’,” in Robotics and Automation, 2002. Proceed-ings. ICRA ’02. IEEE International Conference on, vol. 3,2002, pp. 2222–2227.

[9] U. Saranli and D. E. Koditschek, “Design and analysis ofa flipping controller for rhex,” UM, Ann Arbor, MI, Tech.Rep. CSE-TR-452-02, 2002.


714

[10] U. Saranli, M. Buehler, and D. E. Koditschek, “RHex: Asimple and highly mobile robot,” International Journal ofRobotics Research, vol. 20, no. 7, pp. 616–631, July 2001.

[11] R. Altendorfer, N. Moore, H. Komsuoglu, M. Buehler,H. B. Brown Jr., D. McMordie, U. Saranli, R. J. Full, andD. E. Koditschek, “RHex: A biologically inspired hexa-pod runner,” Autonomous Robots, vol. 11, no. 3, pp. 207–213, 2001.

[12] E. Z. Moore, “Leg design and stair climbing control forthe RHex robotic Hexapod,” Ph.D. dissertation, McGillUniversity, Montreal, Canada, 2002.

[13] R. Budynas and K. Nisbett, Shigley’s Mechanical Engi-neering Design. New York,NY: McGraw-Hill, 2008.

[14] E. Sayginer, T. Akbey, Y. Yazicioglu, and A. Saranli,“Task oriented kinematic analysis for a legged robot withhalf-circular leg morphology,” in Robotics and Automa-tion, 2009. ICRA ’09. IEEE International Conference on,2009, pp. 4088–4093.

[15] J. Y. Jun, D. Haldane, and J. E. Clark, “Compliant LegShape , Reduced-Order Models and Dynamic Running,”in System, pp. 1–15.

[16] J. Y. Jun and J. E. Clark, “Effect of rolling on runningperformance,” in 2011 IEEE International Conference onRobotics and Automation. Ieee, May 2011, pp. 2009–2014.

[17] Y. Ozkan Aydın and K. Leblebicioglu, “Esnek tek ba-caklı robot icin en iyi denetimci tasarımı,” in TOK 2011,Otomatik Kontrol Turk Milli Komitesi, Izmir, Turkiye,2011.

[18] Y. Ozkan Aydın and K. Leblebicioglu, “Single step op-timal control of the half circular legged monopod,” in12th International Workshop on Research and Educationin Mechatronics, Kocaeli, Turkiye, 2011.

[19] Y. Ozkan Aydın, A. Saranlı, Y. Yazıcıoglu, U. Saranlı,and K. Leblebicioglu, “Optimal control of a half-circularcompliant legged monopod,” 2013, basılmamıs dergimakalesi.

[20] Y. Ozkan Aydın and K. Leblebicioglu, “Tek bacaklırobotla engel atlama,” in TOK 2012, Otomatik KontrolTurk Milli Komitesi, Nigde, Turkiye, 2012.

[21] H. Langhaar, Energy Methods in Applied Mechanics.New York: John Wiley, 1962.

[22] R. Budynas, Advanced Strength and Applied Stress Anal-ysis. New York,NY: McGraw-Hill, 1998.

[23] H. Kimura, I. Shimoyama, and H. Miura, “Dynamicsin the dynamic walk of a quadruped robot,” AdvancedRobotics, vol. 4, no. 3, pp. 283–301, 1989.

[24] M. H. Raibert, “Trotting, pacing and bounding by aquadruped robot,” Journal of Biomechanics, vol. 23, Sup-plement 1, no. 0, pp. 79 – 98, 1990.

[25] M. Raibert, M. Chepponis, and J. Brown, H.B., “Runningon four legs as though they were one,” Robotics and Au-tomation, IEEE Journal of, vol. 2, no. 2, pp. 70–82, 1986.

[26] S.-H. Hyon, X. Jiang, T. Emura, and T. Ueta, “Passiverunning of planar 1/2/4-legged robots,” in IROS. IEEE,pp. 3532–3539.

[27] N. Cherouvim and E. Papadopoulos, “Pitch control forrunning quadrupeds using leg positioning in flight,”in Proceedings of the 15th Mediterranean Conferenceon Control and Automation, Cambridge, Massachusetts,USA, 2007.

[28] A. Nikolakakis and N. Cherouvim, “Implementation of aquadruped robot pronking/bounding gait using a multipartcontroller,” in Proceedings of the ASME 2010 DynamicSystems and Control Conference DSCC2010, Cambridge,Massachusetts, USA, 2010, pp. 1–8.

[29] T. Caro, “The functions of stotting in thomson’s gazelles:some tests of the predictions,” Animal Behaviour, vol. 34,no. 3, pp. 663 – 684, 1986.

[30] D. McMordie and M. Buehler, “Towards pronking with ahexapod robot,” in 4th Int. Conf. on Climbing and WalkingRobots, 2001, pp. 659–666.

[31] M. D. Berkemeier and P. Sukthankar, “Self-organizingrunning in a quadruped robot model,” in ICRA. IEEE,2005, pp. 4108–4113.

[32] P. Chatzakos and E. Papadopoulos, “A parametric studyon the rolling motion of dynamically running quadrupedsduring pronking,” in Proceedings of the 2009 17thMediterranean Conference on Control and Automation,ser. MED ’09. Washington, DC, USA: IEEE ComputerSociety, 2009, pp. 754–759.

[33] M. Ankaralı and U. Saranlı, “Control of underactuatedplanar pronking through an embedded spring-mass hoppertemplate,” Autonomous Robots, vol. 30, no. 2, pp. 217–231, 2011.


715

Endüstriyel Robot Kolu Dinamik Modelinin Destek Vektör Makinesi

Kullanılarak Elde Edilmesi

Emre SARIYILDIZ1, Kemal UÇAK

1,Gülay ÖKE

1, Hakan TEMELTAŞ

1

1 Kontrol Mühendisliği Bölümü

İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul [email protected]

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Özetçe

Bu makalede Yapay Zeka (YZ) tabanlı yöntemler kullanılarak

endüstriyel robot kollarının ileri dinamik benzetimi elde

edilmiştir. Dinamik benzetim, robotikte çok sık karşılaşılan

oldukça zor bir problemdir. Bunun temel nedeni dinamik

hareketlerin oldukça karmaşık doğrusal olmayan hareket

denklemleri ile ifade edilebilmesidir. Ayrıca, ileri dinamik

probleminin çözümü ters dinamik çözüme göre daha zordur ve

genel olarak kapalı formda dinamik denklemlerinin elde

edilmesiyle çözülebilir. Bu nedenlerden dolayı, YZ tabanlı

çözümlemeler endüstriyel robot kollarının dinamik

benzetimlerinin elde edilmesinde çok yararlıdırlar. Kullanılan

YZ yöntemlerinden ilki robot uygulamalarında çok sık

kullanılan Yapay Sinir Ağları (YSA) ve ikincisi Destek Vektör

Makinesi (DVM) yöntemidir. DVM yönteminin temel

üstünlükleri bölgesel minimum noktalarına takılmaması ve az

veri kullanarak güçlü genelleştirme yeteneğine sahip olmasıdır.

Bu sayede DVM tabanlı ileri robot dinamik problemi

çözümünün klasik YSA tabanlı çözüme olan üstünlükleri

gösterilmiştir. Önerilen yapay zekâ tabanlı çözümlerin en

önemli avantajlarından bir tanesi robotikte temel bir problem

olan tekil nokta probleminden etkilenmemeleridir.

1. Giriş

Endüstriyel robotlar yüksek hareket kabiliyetleri, farklı

uygulamalara kolay adapte olabilmeleri, düşük hata değerleri,

yüksek hızları v.b. özelliklerinden dolayı son 30-40 yılda

endüstriyel uygulamalarda çok sık bir şekilde kullanılmaya

başlamışlardır [1, 2 ve 3]. Endüstriyel robotlar genel olarak

robotların çevre ile etkileşime girmeden sadece pozisyon

kontrolünün kullanıldığı uygulamalarda, örneğin otomasyon

sistemlerinde parça yerleştirme işlemi, aktif bir şekilde

kullanılmaktadırlar [4]. Bunun temel nedeni endüstriyel

robotların dinamik benzetimlerinde ki belirsizlikler ve dinamik

kontrolünün kinematik kontrole göre oldukça zor olmasıdır.

Dinamik kontrolde ki yetersizlikler endüstriyel robotların

hareket kabiliyetlerini kısıtlamakta ve endüstriyel

uygulamalarda robot kolların gerçek potansiyellerinin

kullanılmasını engellemektedir [4 ve 5]. Bu nedenle endüstriyel

robotların dinamik benzetimleri ve kontrolü üzerine yapılacak

çalışmalar günümüzde oldukça önem taşımaktadır.

Kinematik ve dinamik, robotiğin başlıca araştırma

alanlarını oluşturmaktadırlar. Kinematik, bir hareketi o hareketi

meydana getiren kuvvetleri göz ardı ederek inceleyen bilim

dalıdır [6]. Dinamikte ise hareketi meydana getiren kuvvetlerde

göz önüne alınarak hareket incelenir [4]. Bu nedenle,

tanımlardan da anlaşılacağı üzere dinamik kinematiği de içerir

ve kinematikten çok daha karmaşıktır. Dinamik tabanlı

çözümleme ve kontrol yalnızca düşük serbestlik dereceli

robotlara belirli laboratuar ortamlarında uygulanabilmektedir [7].

Robot dinamik denklemlerinin elde edilmesinde genel

olarak enerji tabanlı Lagrangian yöntemi ve kuvvet tabanlı

Newton-Euler yöntemi kullanılır [3, 8 ve 9]. Lagrangian

yönteminde kinetik ve potansiyel enerji denklemleri kullanılarak

robotun kapalı formda ki dinamik modeli elde edilir. Fakat,

kapalı formda ki dinamik model robotun serbestlik derecesinin

artmasıyla birlikte karmaşıklaşmaya başlar. Bu nedenle yüksek

serbestlik dereceli robotlarda Lagrangian yöntemi kullanılarak

dinamik model elde etmek oldukça zordur. Altı serbestlik

dereceli endüstriyel robot kolları otomasyon sistemlerinde çok

sık bir şekilde kullanılırlar ve bu sistemlerin oldukça karmaşık

yapıda kapalı form dinamik denklemleri bulunur. Robot

dinamiğini elde etmede kullanılan bir diğer yöntem olan

Newton-Euler yöntemi, Lagrangian yönteminin aksine, kuvvet

tabanlı bir yaklaşımdır ve bu yöntemde robot dinamik

denklemleri ardışık adımlarla elde edilir [8]. Bu nedenle, kapalı

formda dinamik model doğrudan Newton-Euler yöntemi

kullanılarak elde edilemez. Kapalı form dinamik model için

literatürde bazı algoritmalar Newton-Euler yöntemi ile birlikte

sunulmuştur [10]. Newton-Euler yönteminin temel avantajı

yüksek serbestlik dereceli robotlara kolay bir şekilde sistematik

olarak uygulanabilmesidir.

Dinamik benzetim, kinematik benzetimde olduğu gibi, ileri

ve ters dinamik benzetim olmak üzere ikiye ayrılır [3 ve 8]. Ters

dinamik benzetim de verilen eklem ivmeleri için her bir ekleme

uygulanması gereken tork değerleri hesaplanır. İleri dinamik

benzetimde ise, ters dinamik benzetimin aksine, verilen eklem

torkları için üretilecek eklem ivmeleri hesaplanır. Ters dinamik

ileri dinamiğe göre daha kolay bir şekilde hesaplanabilir.

Örneğin, Newton-Euler yöntemi ile yüksek serbestlik dereceli

bir robotun ters dinamiği kolay bir şekilde elde edilebilirken,

ileri dinamik çözümleme için kapalı form dinamik model ya da

farklı algoritmalar gerekmektedir. Ters dinamik motor

sürücülerine uygulanacak torkların referanslarının

hesaplanmasında, ileri dinamik ise gerek robotların benzetim


716

çalışmalarında, gerekse de kontrolör tasarımlarında büyük önem

taşımaktadır.

Enerji ve kuvvet tabanlı dinamik benzetim yaklaşımlarının

kendi içlerinde avantaj ve dezavantajları bulunmaktadır. Bu

nedenle robot dinamik probleminin çözümünde YZ tabanlı

çözümler son yıllarda sık bir şekilde kullanılmaya başlanmıştır

[11, 12 ve 13]. YZ tabanlı çözümlerin temel avantajları her türlü

robot koluna basit bir şekilde uygulanabiliyor olmaları ve tekil

nokta probleminden etkilenmiyor olmalarıdır. YSA bu

yöntemler içinde robot dinamik çözümleme için en sık

kullanılan yöntemdir. YSA’da kullanılan amaç fonksiyonu

konveks olmadığı için yerel minimum noktalara takılma

problemleri olabilmektedir. Bu nedenle bu çalışmada YSA

yöntemi yerine Destek Vektör Regresyonu (DVR) tabanlı ileri

dinamik probleminin çözümü önerilmiştir. DVR’lerde birincil

formda konveks olmayan amaç fonksiyonu, ikincil bir form

kullanılarak konveks amaç fonksiyonuna sahip kısıtlı bir

optimizasyon problemine dönüştürülmektedir [14-18]. Böylece,

DVR'nin çözümü yerel minimuma takılmamakta ve global

minimumu garanti etmektedir [14-18]. DVR'nin dezavantajı ise

eğitim sürelerinin YSA modellerine göre daha uzun olmasıdır.

Son yıllarda, global minimumu garanti etmeleri ve modelin daha

basit olmasından dolayı, YSA tabanlı tanılama yöntemleri

yerine DVM teorisi sıklıkla kullanılmaktadır. Bu çalışmada,

YSA ve DVR tabanlı modeller, 6 serbestlik dereceli endüstriyel

robot kolunun ileri dinamik probleminin çözümü için

kullanılmışlardır.

Bu çalışmada sırasıyla ikinci bölümde Newton-Euler

yöntemi kullanılarak ters dinamik modelin elde edilmesi,

üçüncü bölümde sistem tanımlamada kullanılan YZ yöntemleri

(YSA ve DVM), dördüncü bölümde 6 serbestlik dereceli

endüstriyel robot kolunun YZ yöntemleri kullanılarak ileri

dinamik çözümü ve beşinci bölümde benzetim sonuçları

verilmiştir. Çalışmanın son bölümünde ise çalışmanın sonuçları

tartışılmıştır.

2. Endüstriyel Robotların Dinamik Modeli

Yüksek serbestlik dereceli robotların dinamik modelinin

kapalı formda elde edilmeleri oldukça güçtür. Kapalı form

dinamik modelin genel yapısı denklem (1) de verilmiştir.

,M C G (1)

Burada M kütle matrisi; ,C Coriolis ve merkezcil

kuvvetleri; G yerçekimi vektörünü; ise eklem torklarını

göstermektedir. Tanımdan da anlaşılacağı üzere kapalı form

dinamik model doğrudan ters dinamik çözümlemeyi verir. İleri

dinamik çözümleme ise denklem (2) kullanılarak elde edilir.

1,M C G

(2)

Kütle matrisinin tersi alınabilir özelliğinden dolayı, kapalı form

dinamik model elde edilebilirse, ileri ve ters dinamik

çözümlemeler elde edilebilir. Fakat, kapalı formda dinamik

modelin elde edilmesi her zaman mümkün değildir. Bu durumda

kuvvet tabanlı Newton-Euler yöntemi yaygın bir şekilde

kullanılmaktadır. Newton-Euler ardışık bir algoritma olup ters

dinamik çözümlemenin elde edilmesinde kullanılır.

Newton-Euler Algoritması:

İleri Adımlar: :0i n

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1

1 1

i i i i

i i i i i

i i i i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i

i i i i i i i i

i i i i i i i

i i i i i i i

i i

i i

w R w z

w R w R w z z

v R w p w w p v

vc w pc w w pc v

F m

1

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

i

i i i i i i

i i i i i i

vc

N Ic w w Ic w

(3)

Geri Adımlar: : 1i n

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1 1 1

i i i i

i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i

i i

i i i

f R f F

n N R n pc F p R f

n z

(4)

Burada i i

i iw ve w : i. eklemin açısal hız ve ivme vektörlerinin

i. koordinat eksenine göre ifadesi; 1

1

i i T

i iR R

: i. ve i+1.

koordinat eksenleri arasında tanımlı dönme transformasyon

operatörü;i ive : i. eklemin hız ve ivmesini; 0,0,1

Ti

iz : i.

koordinat eksenindeki dönme doğrultusunun i. koordinat

sisteminde ifadesi; i

iv : i. eklemin doğrusal hız vektörünün i.

koordinat eksenine göre ifadesi;1

i

ip : i. eklem ile i+1. eklem

arasındaki vektörün i. koordinat eksenine göre ifadesi;i

ivc : i.

koordinat eksenine bağlı bağlamın kütle merkezinin i. koordinat

sistemine göre ifadesi; i

ipc : i. koordinat eksenine bağlı

bağlamın kütle merkezinin i. koordinat sisteminin merkezine

olan uzaklığının i. koordinat sistemine göre ifadesi; i

iF : i.

koordinat eksenine bağlı bağlamın kütle merkezine etkiyen

kuvvet vektörünün i. koordinat sistemine göre ifadesi;i

iN : i.

koordinat eksenine bağlı bağlamın kütle merkezine etkiyen tork

vektörünün i. koordinat sistemine göre ifadesi; im : i. bağlamın

kütlesi; i

iI : i. bağlamın atalet momentinin i. koordinat

sistemindeki ifadesi; i

if : i. ekleme etkiyen kuvvet vektörünün i.

koordinat sistemine göre ifadesi; i

in : i. ekleme etkiyen tork

vektörünün i. koordinat sistemine göre ifadesi;i : i. ekleme

dönme ekseni doğrultusunda etkiyen tork olarak ifade edilir.

Denklem (3) ve (4) bize Newton-Euler algoritmasını

göstermektedir. Burada, ileri adımlarda, denklem (3), her bir

eklemin ve bağlamın hızlarının etkileri bir sonraki eklem ve

bağlama aktarılarak tabandan uç noktaya kadar eklemlerin ve

bağlamların kütle merkezlerinin açı, hız ve ivmeleri ile kütle

merkezlerine etkiyen kuvvet ve momentler hesaplanır. Geri

adımlarda ise, denklem (4), uç noktadan tabana doğru her bir

ekleme etkiyen torklar hesaplanır. Tanımından da anlaşılacağı

üzere, verilen ivme değerleri için gereken torkların hesaplandığı

bu işlem ters dinamik çözümlemesidir [8].


717

3. Yapay Zekâ Yöntemleri

Robot manipülatörlerindeki lineer olmayan dinamiklerin

tanılanması probleminde YSA ve DVR olarak adlandırılan

yapay zekâ tekniklerinden yararlanılmıştır. YSA ve DVR

yapılarının temelleri, sırasıyla bölüm 3.1 ve 3.2 de sunulmuştur.

3.1. Yapay Sinir Ağları

Şekil 1'de çok katmanlı YSA ağ yapısı verilmiştir. Ağ yapısı

3 temel katmandan oluşmaktadır. Bunlar giriş, gizli ve çıkış

katmanlarıdır. Problemin karmaşıklığına bağlı olarak gizli

katman sayısı artırılabilmektedir. Burada ,

h

j iw j. nöron ile i. giriş

arasındaki ağırlık, h

jb ise gizli katmandaki j. nöronun biası,

1,

o

jw ise j.

nöron ile çıkış arasındaki ağırlıktır ve çıkış

katmanının biası 1

ob ile gösterilmektedir [12]. YSA regresyon

fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmektedir:

0

1, , 1

1

, ,

1

ˆ ( )

So

n j j n

j

kh

j n j i i

i

y w h d b

d w x

(4)

burada (.)h aktivasyon fonksiyonunu göstermektedir. Gizli

katmanda aktivasyon fonksiyonu olarak “tan-sigmoid”

fonksiyonu kullanılmıştır. Katmanlardaki ağırlıklar ve biaslar,

lineer olmayan tanılama problemleri için uyarlanması gereken

parametrelerdir. Bu parametreler, öğrenme algoritması olarak,

Levenberg Marquard algoritması kullanılarak aşağıdaki gibi

uyarlanabilirler: 1( )yeni eski T TW W J J I J e (5)

burada e eğitim hatası vektörü ve W ise YSA da uyarlanması

gereken bütün parametreleri içeren parametre vektörüdür.

Amaç fonksiyonu olarak, karesel hatanın toplamı(6)

kullanılmıştır:

2

1

[ ]N

n n

n

F y y

(6)

3.2. Destek Vektör Regresyonu (DVR)

Şekil 2’de DVR’nin ağ yapısı gösterilmiştir. Bu ağ yapısından

görüldüğü gibi DVR’nin üç temel katmandan oluştuğu

düşünülebilir. Bunlar giriş katmanı, çekirdek ve çıkış katmanıdır.

Giriş vektörleri giriş katmanını oluşturmaktadır. Çekirdek

katmanında giriş vektörünün destek vektörlere benzerliği

belirlenmektedir. Çekirdek katmanındaki benzerliklerin lineer

birleşimi ağın çıkış katmanını oluşturmaktadır. Aşağıdaki gibi

bir eğitim veri kümesi verilsin:

, , , , 1,2,..., n

k k k kT x y x R y R k N (7)

burada N eğitim verisinin sayısını ve n giriş vektörünün boyunu

göstermektedir. Bu eğitim verisi aşağıdaki formda bir lineer

regresyon düzlemi ile tahmin edilebilir :

( ) ,f x w x b (8)

burada . , . iç çarpımı göstermektedir. Regresyon

probleminin optimum çözümü aşağıdaki amaç fonksiyonunun

minimumu ile belirlenir:

*

* *

,1 1

*

1

1min ( )( ) ,

2

( ) ( )

N N

i i j j i j

i j

N

i i i i

i

x x

y y

(9)

kısıtlar:

*

*

1

0 1,2,3, , , , , , , , , ,

0 1,2,3, , , , , , , , , ,

( ) 0

i

i

l

i i

i

C i l

C i l

Optimizasyon probleminin bu formu ikincil form olarak

adlandırılmaktadır. Amaç fonksiyonu konveks olduğu için

problemin global çözümü garanti edilmektedir.

Eğitim verilerinin lineer olmayan bir şekilde dağıldığı ve

lineer bir regresyon yüzeyi ile temsil edilemediği durumlarda

lineer olmayan çekirdek fonksiyonları yardımı ile eğitim verileri

lineer regresyonun gerçekleştirilebileceği yüksek boyutlu

öznitelik uzayına haritalanır [11,13-15]. Böylece, lineer

regresyon teknikleri lineer olmayan problemlerin çözümü için

öznitelik uzayında kullanılabilir. Bu çalışmada çekirdek

fonksiyonu olarak Gauss fonksiyonu kullanılmıştır:

2

2

-exp

2K

x yx,y (10)

burada Gauss fonksiyonunun bant genişliğidir. Verilerin

benzerliği çekirdek matrisinde tutulduğu için benzerlik, lineer

olmama ve regresyon performansı çekirdek parametresinin

seçimine bağlıdır.

(.)h

1

1

1

hb

1,nd

(.)h

2

hb

2,nd

(.)h

h

Sb

,S nd

1,1

ow

1,2

ow

1,

o

Sw

1

ob

1

2

3

i

x

x

xx

x

1

1

1,1

hw

,3

h

Sw

,

h

S iw

Giriş Katmanı Gizli Katman Çıkış Katmanı

ˆny

Şekil 1: YSA’nın yapısı


718

Regresyon yüzeyi, destek vektörler ve bunlara karşılık düşen

Lagrange çarpanları ile aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

*( ) ( , ) ,ii i i i

i DV

f x K x x b

(11)

burada

1

1( ( , ))

N

ii i

i i DV

b y K x xN

şeklindedir.

4. YZ Tabanlı Dinamik Model

Şekil 3'de YSA tabanlı dinamik modelin elde edilmesi ile ilgili

genel bir yapı gösterilmektedir.

Bu yapı direk olarak ters dinamik modeli belirtmektedir.

Burada, giriş vektörü her bir ekleme ait konum hız ve ivme

bilgilerinden, çıkış vektörü ise her bir ekleme ait tork

bilgisinden oluşmaktadır. Şekilden de görülebileceği üzere, bu

genel yapı farklı robot sistemlerine kolay bir şekilde

uygulanabilir. Robot dinamik modelinin elde edilmesi için tek

yapılması gereken, robotun kendi çalışma uzayında hareket

ettirilerek şekilde verilen giriş ve çıkış vektörlerine ait bilgilerin

toplanmasıdır.

Eğer çalışma uzayı sınırlandırılabilirse, örneğin belirli bir

düzlem üzerinde tanımlı bir yörüngenin takibi

gerçekleştirilecekse, eğitim sırasında giriş ve çıkış

vektörlerindeki değişken sayıları azaltılarak daha az veri ile

daha iyi bir dinamik model öğrenme gerçekleştirilebilir.

Bir sonraki bölümde 6 serbestlik dereceli endüstriyel robot

kolunun dinamik modeli, Şekil 3’deki genel yapı hem YSA hem

de DVR yöntemlerine uygulanarak, elde edilmiştir. Kolaylık

olması açısından robot kolunun çalışma uzayı sınırlandırılmış,

böylece daha az sayıda giriş ve çıkış verisi kullanılarak daha iyi

bir model elde edilmiştir.

5. Simülasyon Sonuçları

Bu çalışmada kullanılan 6 serbestlik dereceli endüstriyel robot

kolu Şekil 4’de gösterilmektedir.

d

d

d

d

d d

1

2

3

5

64

ly0

lz0

z2

z1l

l

l z3

{Base}

{Tool}

Şekil 4: 6-serbestlik dereceli endüstriyel robot kolu

Bu yapı Stäubli RX160L endüstriyel robot kolundan esinlenerek

elde edilmiş olup, bir çok farklı endüstriyel robot için de geçerli

olan genel bir yapıyı belirtmektedir. YSA ve DVR tabanlı

modeller Matlab kullanılarak elde edilmiştir.

Robot manipülatöründeki olası bütün lineer olmayan

oldukça karmaşık yapıda ki dinamik bağlılıkları ortaya çıkarmak

için, giriş sinyali olarak her bir ekleme rastgele konum, hız ve

ivme sinyalleri uygulanmıştır. Uygulanan bu rastgele sinyallere

ait hareketin gerçekleşebilmesi için gerekli olan tork bilgileri

ters dinamik modelden elde edilmiştir. Uygulanan rastgele

sinyaller tek bir düzlemde hareketin gerçekleşmesini sağlayacak

şekilde sınırlandırılmıştır. Böylece daha az öğrenme verisi

kullanılarak daha iyi öğrenmeler elde edilmiştir. Eğitim süreci

için 500 tane eğitim verisi rastgele seçilmiştir. YSA ve DVR

Modelin genel giriş ve çıkışları Şekil 5’de verilmiştir.

Bütün eğitim verileri Şekil 5’deki modele göre düzenlendiği

zaman, eğitim süreci, regresyon probleminin çözümünü bulma

işlemine dönüşmektedir. Çok giriş çok çıkış (ÇGÇÇ) modeli

elde etmek için 6 tane çok giriş tek çıkış (ÇGTÇ) DVR yapısı

kullanılmıştır. Izgaralama yöntemi kullanılarak ve farklı

değerleri kullanılarak optimum DVR için çekirdek parametreleri

araştırması yapılmıştır. YSA için optimum modeli belirlemek

için Şekil 6 ve 7’de verildiği gibi 30-100 aralığında değişen

nöron sayısına bağlı olarak modelin performansı incelenmiştir.

Bu araştırmanın sonucu olarak gizli katmanda 30 tane nöron

kullanılmasının yeterli olduğu tespit edilmiştir. Bütün linkler

için YSA ve DVR modellerinin sonuçları Şekil 9 ve 10’da

verilmiştir.

Şekil 5: YSA-DVR modeller

Şekil 3: YZ tabanlı ters dinamik model

1( , )inK x x

2( , )inK x x

( , )in mK x x

inx

b

y

1

2

m

Destek

Vektörler

Lagrange

ÇarpanlarıGiriş Vektörü Çekirdek Çıkış

Şekil 2: DVR’nin yapısı


719

5.1. YSA model için Simülasyon Sonuçları

Şekil 6’da tüm linkler için değişen nöron sayısına bağlı olarak

eğitim ve doğrulama hataları verilmiştir. Ortalama eğitim ve

doğrulama hataları Şekil 7’deki gibidir. Şekil 7'den görüldüğü

üzere en düşük eğitim hatası 85 nörona sahip ağ yapısı ile elde

edilmesine rağmen, en düşük doğrulama performansı 30 nörona

sahip ağ yapısı ile elde edilmiştir. Şekil 6 ve 7’den

faydalanılarak YSA model için 30 tane nöronun yeterli olduğu

tespit edilmiştir.

5.2. DVR model için Simülasyon Sonuçları

DVR’de model performansı çekirdek parametrelerine bağlı

olarak değiştiğinden, ve değişen değerleri için en iyi

çekirdek parametresi çifti araştırılmıştır. parametresi 0.001

adım büyüklüğü ile 0.001-0.01 aralığında, parametresi ise 3

adım büyüklüğü ile 3-18 aralığında araştırılmıştır. Örnek olarak

2 için eğitim ve doğrulama hatası yüzeyleri Şekil 8’de

verilmiştir. Bu araştırmanın sonucu olarak doğrulama

performansı dikkate alındığında en iyi model parametreleri:

0.001, 18, 1,...,6 k k k olarak belirlenmiştir.

5.3. YSA ve DVR Model Performanslarının Kıyaslanması

Şekil 9 ve 10’da YSA ve DVR modellerinin çıkışları birlikte

verilmiştir. Model performansındaki değişimi kıyaslamak için aşağıdaki denklem kullanılmıştır:

İyileşme=1

( ) ( )100

( )

NYSA DVR

n YSA

x n x n

x n

(12)

YSA ve DVR modellerinin doğrulama hataları ve (12)

kullanılarak elde edilen performans kıyaslamaları tablo 1 de

verilmiştir. Şekil 9,10 ve Tablo 1’den görüldüğü gibi, bütün

linkler için DVR tabanlı modeller daha iyi performansa

sahiptirler.

Şekil 8: 2 DVR için eğitim ve doğrulama hatası yüzeyleri

Şekil 9: YSA ve DVR model çıkışları

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-DVR1

YSA1

5 10 15 20

0.5

1

2

-DVR2

YSA2

5 10 15 20

0.20.40.6

0.81

3

-DVR3

YSA3

Şekil 7: Nöron sayısına bağlı olarak ortalama eğitim-

doğrulama hatası

30 40 50 60 70 80 90 100-0.1

0

0.1

0.2

etr

Ortalama Eğitim Hatası

etr

emin

30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

Nöron Sayısı

ev

Ortalama Validasyon(Doğrulama) Hatası

e

va

emin

Şekil 6: Nöron sayısına bağlı olarak eğitim-doğrulama hatası

30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

etr

Eğitim Hatası

YSA

1

YSA2

YSA3

YSA4

YSA5

YSA6

30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

Nöron Sayısı

ev

Validasyon(Doğrulama) Hatası

YSA

1

YSA2

YSA3

YSA4

YSA5

YSA6

30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

etr

Eğitim Hatası

YSA

1

YSA2

YSA3

YSA4

YSA5

YSA6

30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

Nöron Sayısı

ev

Validasyon(Doğrulama) Hatası

YSA

1

YSA2

YSA3

YSA4

YSA5

YSA6


720

Şekil 10: YSA ve DVR model çıkışları

Tablo 1: Doğrulama hatası

ve YSA DVR İyileşme(%)

1ve 0.0057 0.0014 75.8747

2ve 0.0068 0.0040 41.5707

3ve 0.0105 0.0044 58.1812

4ve

0.0380 0.0189 50.4199

5ve

0.0376 0.0079 79.0057

6ve 0.0370 0.0193 47.7688

6. Sonuç

Bu çalışmada, oldukça karmaşık ve doğrusal olmayan 6

serbestlik dereceli bir endüstriyel robot kolunun dinamik modeli

YSA ve DVR tabanlı YZ yöntemleri kullanılarak elde edilmiştir.

YZ tabanlı yöntemlerin robot kinematik ve dinamik

modellemesinde ki temel avantajları, tekil nokta probleminden

etkilenmemeleri ve farklı yapıda ki karmaşık robot sistemlerine

basit bir şekilde uygulanabilmeleridir. Uygun ağ yapılarının elde

edilmesi için ızgaralama yöntemi yardımıyla YSA daki nöron

sayısı, DVR deki çekirdek parametreleri araştırılmıştır.

Izgaralama metodu ile elde edilen optimal modellerin

performansları kıyaslanmış ve yerel minimuma takılmadıkları

için DVR tabanlı çözümlerin daha iyi sonuçlar verdiği

gözlemlenmiştir.

Gelecek çalışmalar olarak modellerin performanslarının

iyileştirilmesi için, eğitim algoritması olarak evrimsel temelli

algoritmalarla eğitilen modeller kullanılabilir.

7. Kaynakça

[1] R. A. Hirschfeld, F. Aghazadeh, R. C. Chapleski, "Survey

of robot safety in industry", International Journal of

Human Factors in Manufacturing Vol. 3, Issue 4, pp. 369–

379, October 1993

[2] J. Wallen, "The history of the industrial robot" , Technical

report from Automatic Control at Linköpings universitet,

http://www.control.isy.liu.se/publications

[3] M. W. Spong , S. Hutchinson, M.Vidyasagar “Robot

Modeling and Control” Jhon Wiley & Sons 2006

[4] M. Vukobratovic, D. Surdilovic,"Dynamics and robust

control of robot- environment interaction", World

Scientific Publishing, 2009

[5] T. Yoshikawa, "Force control of robot manipulators",

International conference on Robotics and Automation,

2000, San Francisco

[6] F. Caccavale, P. Chiacchio, S. Chiaverini, B. Siciliano,

“Experiments of Kinematic Control on a Redundant Robot

Manipulator”, Laboratory Robotics and Automation, vol.

8, pp. 25–36, 1996

[7] A.T. Hasan, N. Ismail, A.M.S Hamouda, I. Aris, M.H.

Marhaban, H.M.A.A. Al-Assadi, “Artificial Neural

Network-Based Kinematics Jacobian Solution for Serial

Manipulator Passing through Singular Configurations”,

Advances in Engineering Software, vol.41, pp. 359–367,

2010

[8] J.J. Craig, " Introduction to Robotics: Mechanics and

Control (3rd Edition)", Prentice Hall, 2004

[9] W. Silver, "On the Equivalence of Lagrangian and

Newton—Euler Dynamics for Manipulators,"

International Journal of Robotics Research, Vol. 1, No. 2,

pp. 60—70.

[10] Y. Fujimoto, S. Obata, and A. Kawamura, "Robust Biped

Walking with Force Interaction Control between Foot and

Ground," IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation

(ICRA'98), pp. 2030-2035, Leuven, Belgium, May 1998

[11] S. X. Yang, M. Meng, "An efficient neural network

approach to dynamic robot motion planning", Neural

Networks, Vol. 13, issue 2, 2000 pp. 143-148

[12] H. D. Patiño et al,"Neural Networks for Advanced

Control of Robot Manipulators", IEEE Trans. on Neural

Networks, Vol. 13, No. 2, 2002

[13] K.K. Kumbla, J. Mohammad, "Neural network based

identification of robot dynamics used for neuro-fuzzy

controller ", IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation

, 1997, Albuquerque, NM

[14] Nello Cristianini, John Shawe-Taylor,”An Introduction to

Support Vector Machines and other Kernel based

Learning Methods”, Cambridge University Press,2000

[15] S. İplikçi, , “A comparative study on a novel model-based

PID tuning and control mechanism for nonlinear systems”

International Journal of Robust and Nonlinear Control

Volume:20 pp:1483-1501 Sep 10,2010.

[16] J.A.K. Suykens, ”Nonlinear modeling and support vector

machines” IEEE Instrumentation and Measurement

Technology Conference Budapest, Hungary, May 2001.

[17] A.J. Smola, B. Scholkopf “A tutorial on support vector

regression” Statistics and Computing Volume:14 Issue:3

Pages:199-222, Aug 2004.

[18] E. Sariyildiz, K. Ucak, G. Oke and H. Temeltas”A

Trajectory Tracking Application of Redundant Planar

Robot Arm via Support Vector Machines”, International

Conference on Adaptive and Intelligent Systems, LNCS

2011, Volume:6943/2011, Pages:192-202, September

2011,Austria.

5 10 15 20

0.20.4

0.6

0.8

4

-DVR4

YSA4

5 10 15 20

0.20.40.60.8

1

5

-DVR5

YSA5

5 10 15 20

0.20.4

0.60.8

6

-DVR6

YSA6


721

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/hfm.v3:4/issuetoc

Dinamik Sistemlerin Port-Hamiltonian Modelinin Bond Grafiği

Tekniği ile Oluşturulması

Zeynep Ekicioğlu Küzeci1,Celal Sami Tüfekçi

2

1Makine Mühendisliği Bölümü

Ahi Evran Üniversitesi, Kırşehir [email protected]

2Mekatronik Mühendisliği Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi, İstanbul [email protected]

Özetçe

Bu çalışmada dinamik sistemlerin bond grafiği tekniği ile

port-Hamiltonian esaslı modellenmesinin avantajları ele

alınmıştır. Alt sistem bağlantılarının Dirac yapıları ile

etkileşimi ve bunlar arasındaki güç aktarımı kavramları

üzerinde durulmuştur. Bir asansör sisteminin simgesel

gösteriminden yola çıkılarak, alt sistemlere ayrılmış ve her alt

sistemin bond grafiği oluşturulmasından sonra bunlar uygun

elemanlar ile birleştirilmiştir. Sistemin hareket denklemlerinin

elde edilmesiyle, port-Hamilotnian sistem gösterimi

oluşturulmuş ve benzetim ortamında gerçeklenerek sistem çıkışlarının cevapları alınmıştır.

1. Giriş

Günümüz teknolojileri farklı alanlardaki (mekanik, elektrik,

vb.) sistem bileşenlerinin birlikte çalışması ile değer

kazanmaktadır. Farklı alt sistemlerden, aralarında belirli

bağlantılar sağlanarak bir sistem oluşturulmaktadır. Port-

Hamiltonian teorisi, bir arada kullanılan alt sistemlerin

arasındaki bağlantıya geometrik çerçeveden bakabilmeye ve

alandan bağımsız olarak tüm sistemi modellemeye olanak

sağlar. Sistemlerin port-Hamiltonian tanımlanması; ayrık ya

da yayılı parametreli sistemlerin analiz, kontrol ve benzetimi için sistematik bir bakış açısı sunmaktadır.

Doğrusal olmayan sistemler ve kontrol teorisi geçtiğimiz elli

yıl içinde çok büyük gelişme göstermiş olup, özellikle

geometrik yöntemlerde ilerleme kaydedilmiş ve birçok temel

kontrol probleminin çözümü için genelleştirilebilmiştir.

80’lerde öncelikle doğrusal olmayan dinamik kontrol

sistemlerinin yapısal analizine yoğunlaşılmış, 90’larda ise bu

yöntem kararlılık, dengeleme ve dayanıklı kontrol için analitik

teknikler ile birlikte kullanılmıştır. Örnek olarak geri

adımlama (backstepping) tekniği ve doğrusal olmayan H-

kontrol verilebilir. Ayrıca son dönemlerde pasiflik tabanlı

kontrol teorisi dikkate değer şekilde gelişmektedir. Literatürde

ara bağlantı bakış açısı ile pasiflik tabanlı kontrolün

yorumlandığı çalışmalar mevcuttur [1]. Yapılan son çalışmalar

ile anlaşılmıştır ki doğrusal olmayan kontrolde sistemlerin

modellenmesi çok önem taşımaktadır. Araştırmacılardan

Schaft [1], mekanik, elektronik ve elektromekanik sistemlerin

Euler-Lagrange ve Hamiltonian denklemlerinden, sistemlerin

geometrik olarak tanımlandığı kapı kontrollü Hamiltonian

sistemlere nasıl geçildiği üzerine çalışmalarda bulunmuştur.

Hamiltonian yaklaşımının kökeni analitik mekaniğe

dayanmaktadır, başlangıç noktası ise en az eylem ilkesi (least

action) olarak belirtilmiştir [2]. Bu yöntem, Euler-Lagrange

denklemleri ve Legendre dönüşümü üzerinden ilerletilmiş ve

Hamiltonian hareket denklemleri elde edilmiştir. Günümüzde

Hamiltonian teorisi matematiğin temel taşlarından birisi haline gelmiştir.

Karmaşık ve doğrusal olmayan sistemlerin modellenmesi ve

uygun kontrolcünün tasarlanabilmesi için, sistemlerin küçük

alt sistemler halinde ele alınıp bunların da birbirleri ile

ilişkilerinin belirlenmesi amacıyla birçok çalışma yapılmıştır.

Bu fikrin bir uygulaması da kapı kontrollü Hamiltonian

sistemlerdir (port-Hamiltonian) [3]. Kontrol alanında

sistemlerin port-Hamiltonian modelleri oldukça popüler hale

gelmektedir, bunun iki nedeninden bahsedilmektedir.

Birincisi, bu yöntem ile Euler Lagrange sistemlerini de içine

alan, geniş bir fiziksel sistem sınıfının modellenmesi

mümkündür. Diğer bir neden ise, port-Hamiltonian modeli

direkt olarak enerji, enerji kaybı ve ara bağlantı gibi fiziksel

özellikler ile ilgili olduğundan, port-Hamiltonian sistemleri,

pasif tabanlı kontrol için uygun hale getirmektedir [4]. Pasiflik

tabanlı kontrolün ana fikri ise, sistemin enerji fonksiyonunu

değiştirmek, istenilen denge noktalarına minimum değeri

atamaktır [5]. Enerjiyi şekillendirme ve sönüm ekleme pasiflik

tabanlı kontrolün iki ana aşamasıdır[6]. Enerji şekillendirme

kısmında farklı teknikler denenmiştir; kontrollü Lagrange

yaklaşımı [7,8], ara bağlantı ve sönüm ekleme yöntemi (IDA)

[9], ara bağlantı ile kontrol [10] ve enerji dengelemeli pasiflik

tabanlı kontrol metodu [6] örnek verilebilir. Doğrusal

sistemler için genel modelleme ve tasarım teknikleri mevcut

iken doğrusal olmayan sistemler için sistemi iyi tanımlayıp

kontrol edebilmek amacıyla genel bir teknik geliştirmek gerekmiştir [11].

2. Temel Kavramlar

Fiziksel sistemlerin modellenmesi ve kontrolüne güçlü bir

matematiksel çerçeveden yaklaşan port-Hamiltonian sistem

sınıfının tanımlanmasında güç kapıları (power port) ve bağlantıları (interconnection) kavramları önem arz etmektedir.

Aslında temel nokta enerjidir ve sistemin, iyi tanımlanmış alt

elemanların birbiri ile ilişkisi sonucunda meydana geldiği

kabul edilir. Her bir eleman özel bir enerji davranışı ile ifade


722

edilmektedir. Sistemler arasındaki ilişki; güç kapıları

arasındaki alışveriş ile tanımlanır. Kapılar arasındaki bu

etkileşim ağ yapıları, bond grafiği yada dirac yapıları ile

matematiksel olarak ifade edilmektedir. Basitçe sistemlerin ilişkisi güç alışverişi olarak tanımlanabilir.

Bu bölümde port-Hamiltonian Sistemleri tanımlamakta kullanılan temel taşlardan bahsedilecektir.

2.1. Sistemler ve Bağlantılar

Sistem genel anlamada, giriş ile çıkış arasındaki ilişkiyi

matematiksel olarak ifade eden birimdir. Dinamik bir sistem

tanımlanması için u, x, y sırasıyla giriş, durum ve çıkış belirlenmelidir.

Sistemler arasında bağlantıdan söz edebilmek için ise

aşağıdaki şart sağlanmalıdır. Her sistemi için en az bir tane

sistemi olmalıdır ve ve /veya

sağlanabilmelidir. Yani sistemler arasında bir arabağlantıdan

söz etmek için, bir sistemin girişinin yada çıkışının, en az bir sistemin giriş veya çıkışına bağlı olması gerekmektedir.

2.2. Güç ve Dirac Yapısı

Sistemler arasındaki güç değişimi, sistemler arasındaki

bağlantıyı oluşturmaktadır. Bu nedenle port-Hamiltonian

Sistemlerin temelini oluşturan gücün yeterince anlaşılması,

fiziksel sistemlerin arasındaki ilişkilerin tanımlanması için yararlı olacaktır.

Ƒ linear bir uzay ve sonlu boyuttaki bir sistemdeki akış

değişkenleri f ϵ Ƒ olsun, Ɛ ise bu uzayın duali ve sistemdeki

efor değişkenlerini e ϵ Ɛ kabul edelim. e ve f vektörlerinin

çarpımı gücü verir, yani Ƒ ve Ɛ’nin çarpımının oluşturduğu uzaya güç değişkenleri uzayı denir.

Fiziksel olarak örnek vermek gerekirse, bir elektriksel sistem

düşünüldüğünde Ƒ akım uzayını gösteriyorsa, bunun dual

uzayı Ɛ Ƒ ise voltaj uzayını göstermektedir. ’ de

elektriksel gücü verir. Aynı mantık ile mekanik sistemler için

Ƒ ve Ɛ, sırasıyla, genelleştirilmiş hız ve genelleştirilmiş kuvvet uzayını temsil eder ve çarpımları mekanik gücü verir.

İki sistem arasındaki bağlantı için birinden çıkan güç, diğer

sisteme giriyorsa, güç korunumlu bağlantı denilir. Ortak akış

veya ortak efor bağlantısı sağlayan Dirac yapıları mevcuttur

[12]. Dirac yapısının en önemli özelliği, küçük Hamiltonian

sistemlerin birbirine bu şekilde bağlanması sonucunda oluşan büyük sistemlerin de Hamiltonian özelliği taşımasıdır [3].

2.3. Bond Grafiği ile Fiziksel Modelleme

1959 yılı ve onu takip eden on yıllık süre içerisinde Henry

Paynter bu tekniğin temel konseptini ve notasyonunu

oluşturmuştur [13]. Daha sonraları öğrencileri olan Dean C.

Karnopp ve Ronald C. Rosenberg [14], bond grafiği

benzetimleri yapabilmek için ENPORT adındaki ilk bilgisayar

programını hazırlayarak hayata geçirmişlerdir. Yetmişli yıllara

gelindiğinde ise bu yöntem artık Avrupa’da da tanınmaya

başlamıştır. Son yıllarda birçok üniversitede ya araştırma

konusu olmuş ya da araştırmalarda kullanılan bir yöntem

olarak yayılmaya devam etmiştir, ayrıca endüstrideki kullanımının da artışından bahsedilmektedir [15].

Bond grafiği yöntemi, fiziksel sistemlerin grafiksel olarak

ifade edilmesidir denebilir. Bu yöntemin blok diyagramı ve

sinyal akış diyagramı gibi diğer grafiksel yöntemlere nazaran oldukça fazla artı özellikleri vardır.

Mesela bond grafiği yöntemi farklı fiziksel alanlardaki

sistemlerin modellenmesinde kullanılabilir ki zaten yöntemin

çıkış amacı farklı alt sistemleri, birbirleri arasındaki güç

iletimini gösteren bağlar ile bağlamaktır. Bond grafiği

konsepti ile sistemdeki her elamanın davranışı birleştirilerek,

hesaplanabilir dinamik bir sistem modeli elde edilir. Tablo

1’de farklı alanlardaki değişkenlerin bu yöntemde nelere denk

geldiği açıklanmıştır [16].

Tablo 1: Akış, efor, genelleştirilmiş yer değişimi ve

momentumun farklı alanlardaki karşılığı

Sistem

Alanı f (akış) e (efor)

q (gen.

yer değişimi)

p (gen.

momentum)

Elektroman

yetik

i

(akım)

u

(voltaj) q (şarj)

Λ (manyetik

akı)

Mekanik öteleme

v (hız) F

(kuvvet) x (yer

değişimi) p (momentum)

Mekanik

dönme

w

(açısal hız)

T (tork) θ (açısal

yer. değ.)

h (açısal

momentum)

Hidrolik /

Pnömatik

φ

(debi)

p

(basınç)

V

(hacim)

Г (akış borusu

momentumu)

2.4. Port-Hamiltonian Sistem Nedir?

Port Hamiltonian sistem aslında bir gösterim biçimidir,

temelde Newton yasalarına dayanarak elde edilen sistem

denklemlerinden, Langrange-Euler denklemlerine geçildikten

sonra, Legendre dönüşümü ile Hamiltonian fonksiyonu elde

edilmektedir. Hamiltonian fonksiyonu aslında sistemin enerji

fonksiyonuna denk gelmektedir. Bu Hamiltonian

fonksiyonundan türetilen matris şeklindeki gösterime ise port-

Hamiltonian sistem adı verilmektedir. Ancak sistemin port-

Hamiltonian olarak adlandırılabilmesi için bazı şartları yerine

getirmesi gerekmektedir. Şöyle ki; port-Hamiltonian sistemlerin genel gösterimi aşağıdaki gibidir,

( ( ) ( )) ( ) ( )

( ) ( )T

Hx J x R x x g x u

x

Hy g x x

x

(1)

x ; durum vektörü

u,y ; giriş ve çıkış kapı değişkenleri

H(x) ; sistemin enerji (Hamiltonian) fonksiyonu

g(x) ; enerji akışı ve u, y yi ilişkilendiren matris

R(x) = (R(x)T) (simetrik kayıp matrisi)

ve (skew-symetric, arabağlantı matrisi)

olması şartı ile bu sisteme port-Hamiltonian sistem yapısı

denilebilmektedir.

3. Uygulama / Örnek

Bu bölümde şekil 1’de görülen asansör sisteminin bond graph

yöntemi kullanılarak, port-Hamiltonian modeli oluşturulması

üzerine çalışılmıştır. Asansör sistemimiz; şebekeden beslenen

bir motor, dişli, kablo tamburu ve asansör kabini ile yükten oluşmaktadır.


723

dişli

kablo tamburu

asansör

motor

güç

kaynağı

Şekil 1: Asansör sisteminin görsel çizimi [17]

Şebeke ideal bir voltaj kaynağı olarak kabul edilmekte,

elektriksel kısım kondansatör, bobin ve dirençten

oluşmaktadır, şekil 1’de açıkça görüldüğü gibi mekanik kısım

ise ikiye ayrılmıştır. Birincisi dönel hareket yaptıran, rulman

ve dişlilerin oluşturduğu mekanik kısım ikincisi ise dönel

hareketin öteleme hareketine çevrildiği tambur, kabin ve

yükten oluşan kısımdır. Kabin sadece kütle şeklinde ifade

edilirken, yük ise I, C ve R elemanları ile modellenmiştir.

Ayrıca yer çekimi kuvvetinin kabin ve yüke etkisi

hesaplamaya dahil edilmiş ve giriş olarak sisteme dahil

edilmiştir. Alt sistemlere ayrılmış tüm bu sistemin

elemanlarının bond grafiği tekniğinde hangi gösterimler ile

ifade edileceği belirlendikten sonra, elemanların arasındaki

bağlantılar incelenmelidir. Ara bağlantılarına göre, bu

elemanlar 0, 1, GY ya da TF bağları ile bağlanmalıdır ve son

olarak sistemin bond grafiği çiziminde sadeleşme yapılabilirse

sistem daha basit halde ifade edilebilmektedir. Şekil 2’de

sistemin, elektriksel ve mekanik alt sistemlere ayrılmış simgesel gösterimi mevcuttur.

güç

kaynağı

elektriksel kısım

mekanik kısım

dönme öteleme

m

(kabin)

C (yük) R (yük)

m (yük)

J

(motor+dişli)

B1

B2

Şekil 2: Sistemin alt sistemlere ayrılmış simgesel

gösterimi [17]

Sistem, şekil 2’den de görüldüğü üzere, elektriksel kısmı,

dönel ve öteleme mekanik kısmı gibi alt sistemlerden

oluşmaktadır. Bond grafiği tekniğinin avantajı olan farklı

enerji alanlarını aynı teknik ile modellemeyebilme sayesinde,

sistemin tamamının modeli çıkarılabilmiştir. Sistemin alt

kısımlarından başlanarak bond grafiği modeli çıkarılabilir.

3.1. Elektriksel Kısım

Elektriksel kısmın bond grafiği şekil 3’de gösterilmiştir.

Motorun elektriksel ayrık elemanlarını oluşturan bağlar,

sistem girişi olan Se ve mekanik dönel sistem arayüzü mantıksal bir çerçevede bağlanmıştır.

0 1

C

Se

R

L

Vin

Iin

Vin

Vin C

I

IL

IL

IL

VL

VR

IL

Vm

Mekanik

dönme alt

sistemi

Şekil 3: Sistemin elektrik kısmının modeli

3.2. Mekanik (Dönel) Kısım

Mekanik (dönel) kısmın bond grafiği şekil 4’de verilmiştir.

Şekil 4’de dişli mekanizması ilk TF ile, halatın sarılı olduğu

tambur ise ikinci TF ile ifade edilmiştir.

1

R

R

TF 1

R

..

N

Sürtünme 2

Sürtünme 1

Motor+ dişli

m

m

J m

m

din

dout

d

d

m1s

2s

d

tin

TF

Mekanik

Öteleme

Alt

Sistemi

Vt

Ft

: -D/2

Elektrik

Alt

Sistemi

Şekil 4: Sistemin mekanik dönme hareketini sağlayan kısmının modeli

3.3. Mekanik (Öteleme) Kısım

Bu alt sistemin bond grafiği çiziminde görülebileceği gibi

(şekil 5) halatın elastikliği de hesaba katılmıştır, aslında

buradaki amaç sistemin iki olan diferansiyel nedenselliğini

(causality) bire düşürmektir. Anlaşılacağı gibi sistemimizin

bond grafiği modelinde tek diferansiyel nedensellik vardır, o

da 2 numaralı bağa bağlı olan C elemanına aittir. Sistemlerde

diferansiyel nedensellik istenmeyen bir durum olduğu için,

bunu elimine etmeye yönelik farklı teknikler kullanılmaktadır,

bu çalışmada gerçeğine uygun olarak halatın esneklik payının

olduğu düşünülmüş ve sistemin diferansiyel nedensellik durumu teke düşürülmüştür.

Farklı alanlara ait olan alt sistemlerin tek tek bond grafiği

modelleri çıkartıldıktan sonra, bunlar birleştirilerek tüm sistem

elde edilmiştir. Alt sistemlerin birleşiminde GY, TF

elemanları kullanılmıştır. Elektrik ve mekanik dönme alt

sistemini birleştiren eleman motordur ve GY ile ifade

edilmektedir, Kt ise motor katsayısını ifade eder. Mekanik

dönme ve öteleme alt sistemleri arasındaki eleman ise halatın

sarıldığı tamburdur, dönel hareketi dikey harekete

çevirmektedir ve TF ile ifade edilmiştir. Şekil 6’da sistemin komple bond grafiği modeli gösterilmektedir.


724

0

Vt

kV

Ft

ipV

1

01

1

Mekanik dönme

alt sistemi

Se

Ft

Ft

kV

kV

kV

kabinm

ipC

yükm

Fy

Vy

Fy

Fy m

V

mV

mV

SeFkg

Fyg

yükC

yükR

Vy

Vy

FC

FR

Fym

Fkm

Şekil 5: Sistemin mekanik öteleme hareketi sağlayan kısmının modeli

0 1

C

Se

R

L

Vin

Iin

Vin

Vin C

I

IL

IL

IL

VL

VR

IL

Vm

1

B1

J

TF 1

B2

m

mJ

m

m

din

dout

d

d

m1B

2B

d

t TF: -D/2

0

Vt

kV

Ft

ipV

1

01

1 Se

Ft

Ft

kV

kV

kV

kabinm

ipC

yükm

Fy

Vy

Fy

Fy m

V

mV

mV

Se

Fkg

Fyg

y ü kC

yükR

Vy

Vy

FC

FR

Fym

Fkm

GY..

Kt

..

N

Şekil 6: Tüm Sistemin Bond graph gösterimi

Burada Se, Sf, I, C, R, TF, GY gibi tanımların farklı alanlarda

farklı elemanlara karşılık geldiğini söylemekte fayda olacaktır.

Tablo 2’de bu sitemi oluşturan alt sistemler için eleman

tanımlamaları verilmiştir.

Tablo 2: Farklı sistemler arasındaki Bond grafiği analojisi

Bond Grafiği

Öteleme Dönme Elektrik

Se Kuvvet Tork Volt

Sf Hız Açısal hız Akım

C Yay Burulma yayı Kapasitör

I Kütle Atalet momenti Bobin

R Damper Dönel damper Direnç

Ayrıca modelleme de kullanılan GY tanımlaması, akımı volta

çevirmek için kullanılan bir gösterim biçimidir, motor örnek

olarak verilebilir. TF ise dönüşüm yapar; transformatör, dişli

ve mekanik kaldıraç örnek verilebilir. Ayrıca ‘0’ noktaları,

ortak efor bağlantısını ifade eder ve bu noktaya bağlı tüm

bağlarda efor değişkeni eşittir, bu noktaya bağlardan gelen

akışların toplamı ise sıfırdır. ‘1’ noktaları için ise ortak akış

bağlantısıdır denilebilir ve bu noktaya gelen tüm eforların toplamı sıfırdır.

Böylece bond grafiği tekniği ile sistemin grafiksel

gösterimi gerçekleştirilmiş olup, artık daha kolay bir şekilde

port-Hamiltonian modele geçilebilmek mümkün kılınmıştır.

Aşağıda port-Hamiltonian modele geçiş aşamaları ve bond

grafiği gösteriminden elde edilen hareket denklemleri verilmektedir.

Motorun girişi Vin olarak belirtilmiştir ve elektiksel

sistemler için volt girişi efor kaynağına (Se) işaret etmektedir.

Motorun elektriksel kısmı kapasitif, enerji harcayan direnç ve

bobin elemanlarından meydana gelmektedir. Elektriksel

voltajı, dönme hareketi için torka çevirme işlemini sistemdeki

motor yapmaktadır ve katsayısı Kt olarak verilmiştir. Dönme

hareketini sağlayan mekanik kısımda motorun ve dişlilerin

kütlelerinin oluşturduğu atalet elemanı ve yatak

sürtünmesinden kaynaklanan direnç elemanı bulunmaktadır.

Dişlilerin yaprığı dönüşüm de TF ile gösterilmiş olup, dönüşüm oranı N ile ifade edilmiştir.

Sistemin bu kısma kadar olan bölümünü tanımlayan hareket

denklemleri, bond graph modelinden yararlanılarak aşağıdaki gibi elde edilmiştir.

( . . ) /L in L t mI V R I K L (2)

2

1 2( . . . . .( / 2). ) /m t L m m tK I B N B N D F J (3)

Motora gelen enerji dönel harekete çevrildikten sonra, dönel

hareket de doğrusal harekete çevrilmiştir ve bu işi sistemdeki

tambur sağlamaktadır, değeri ise –D/2 olarak belirlenmiştir.

Sistemdeki kabini taşıyan halatın elastikiyeti mevcut olup

‘Cip’ olarak gösterilmektedir. Sistemde bu kısımdan sonra iki

tane efor girişinden daha bahsedilmektedir, bunlar da kabinin

ve yükün yerçekimi nedeniyle oluşturduğu kuvvetlerdir. Geri

kalan elemanlar ise kabinin kütlesi, yükün kütlesi ve gösterdiği dirençsel ve kapasitif etkileri simgelemektedir.

Sistemin son kısmını da tanımlayan hareket denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir.

( .( / 2). ) /t m k ipF N D V C (4)

( ( )) /k t kg yük k m kabinV F F R V V m (5)

( ) /c k m yükF V V C (6)

( ( )) /m yg c yük k m yükV F F R V V m (7)

Sistemin hareket denklemleri bulunduktan sonra, bunları port-

Hamiltonian sistem modeli şeklinde denklem 8’de ki gibi

gösterebiliriz. Port-Hamiltonian gösterimi matris şeklinde bir

gösterim şeklidir ve matris Tablo 1’de bahsedilen

genelleştirilmiş moment ve genelleştirilmiş yer değişimi cinsinden yazılmaktadır.

Denklem 8’de asansör sisteminin oluşturulan port-

Hamiltonian modeli verilmiştir, görüldüğü gibi modeldeki J

matrisi olması gerektiği gibi skew-symetric özelliğini

sağlamaktadır, yani ( )TJ J dir. Ayrıca bulunan kayıp

matrisinin de simetriklik özelliğini taşıdığı görülmektedir, (R(x)=(R(x)T).


725

21 2

0 0 0 0 00 0 0 0 0

0 . 0 0 0 00 .( / 2) 0 0 0

0 0 0 0 0 00 .( / 2) 0 1 0 0

0 0 0 00 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

ip

yük

yük

Lt

Jt

C

yük yükkabin

C

yük yükm

p RKp B B NK N D

qN D

R Rp

q

R Rp

1 0 0

0 0 0

0 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 1

L

min

t

kgk

ygC

m

I

VF

FV

FF

V

(8)

J(x) R(x)

Sistemin çıkış matrisi ise 1 numaralı formülde verildiği gibi

hesaplanmıştır, yani g(x) matrisinin transpozesi alınarak elde

edilmiştir. Böylece sistem çıkışı olarak IL, Vk, Vm değişkenleri

belirlenmiştir ki bunlar da sırasıyla bobinden geçen akımı,

kabinin hızını ve yükün hızını ifade etmektedir. Sistemin çıkış matrisi denklem 9’da görülmektedir.

1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

IL

m

Ft

yV

k

Fc

Vm

(9 )

Tablo 4: Simülasyon parametreleri

Parametre Değer Birim

Kaynak gerilimi (Vin) 220 Volt

Kondansatör (C) 0.2 Farad

Bobin (L) 0.5 Henry

Direnç (R) 1 Ohm

Motor Katsayısı (Kt) 0.0274 Nm/Amp

Motor + dişli ataleti (J) 0.00262 Kgm2/s2

Yatak sürtünmesi 1 (B1) 0.1152 Nms

Dişli dönüşüm oranı (N) 1 / 2 -

Yatak sürtünmesi 2 (B2) 0.0001 Nms

Yer çekimi ivmesi (g) 9.81 m/s2

Tambur dönüşümü (-D/2) 0.1 -

Halatın elastikiyeti (Cip) 0.002 N/m

Kabinin kütlesi (mkabin) 36 kg

Yükün kapasitif etkisi (Cyük) 0.002 N/m

Yükün dirençsel etkisi (Ryük) 10 Ns/m

Yükün kütlesi (myük) 18 kg

Bond graph metodu alandan bağımsız bir modelleme dilidir ve

sistemin dinamik davranışını modellemek için enerji ve güç

akışını kullanır. Yani sistemdeki güç akışını efor ve akış değişkenleri cinsinden gösterir, bu özelliklerinden dolayıdır ki

port-Hamiltonian sistem gösterimi için oldukça uygundur.

Port-Hamiltonian sistemler bond grafiği ile gösterildiğinde, alt

sistemler arasındaki ilişkiler grafiksel olarak daha kolay

şekilde anlaşılabilmekte ve bu görsellik kontrol kuralı

oluşturma kısmında büyük yarar sağlamaktadır. Diğer yandan

port-Hamiltonian sistemlerin gösteriminde bond grafiği

yönteminin kullanılmasıyla; enerji şekillendirme, ara bağlantı

ve sönüm atama gibi kontrol stratejileri ortaya çıkmıştır [18].

Ayrıca Modelica programında Bond Graph Kütüphanesi ekleme çalışmaları da yapılmıştır [19].

Bu çalışma kapsamında port-Hamiltonian modeli çıkarılan

sistemin MATLAB/Simulink ortamında modeli kurulmuş ve

sistemin çıkışları elde edilmiştir. Sistemin Simulink modelinde kullanılan benzetim parametreleri Tablo 4’de verildiği gibidir.

Sisteme giriş olarak Vin ile gösterilen kaynak voltajı

verilmektedir, ayrıca yüke ve kabine uygulanan yerçekimi

kuvveti de efor kaynağı yani giriş olarak kabul edilmiştir. Sistemin çıkışları ise Şekil 7’de görülmektedir.

Şekil 7: Sistem çıkışlarının zaman cevapları

4. Sonuçlar

Bu çalışmada fiziksel sistemlerin modellenmesinde alandan

bağımsız olarak kullanılabilen Bond grafiği tekniğinden

bahsedilmiştir. Hangi tür sistem olursa olsun bu tekniğin

kullanılabilmesinin nedeni aslında tüm sistemleri farklı temel

elemanlar altında toplayabilmesinden ve her alanın güç

değişkenlerinin belirlenebilmesinden kaynaklanmaktadır.

Enerji depolayan, sönümleyen, farklı alanlar arası geçiş

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

200

400

zaman (sn.)

akim

(am

p.)

Bobin Akimi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4

-2

0

zaman (sn.)

hiz

(m

/sn.)

Kabin Hizi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4

-2

0

zaman (sn.)

hiz

(m

/sn.)

Yuk Hizi


726

sağlayan, enerji dağıtımı, taşıması sağlayan, enerjinin girdiği

ya da çıktığı elemanlar olarak tüm sistem elmanlarını bu

başlıklar altında toplayıp ortak bir modelleme tekniği meydana

getirmektedir. Yöntem grafiksel bir yöntem olup sistem

elemanları direkt olarak bağlar ile bağlanmıştır ve elemanlar

arasındaki enerji akışı açık olarak görülebilmektedir. Belirli

kurallar dahilinde, sistemin bond grafik çiziminden sistem

hareket denklemleri elde edilir. Daha sonra ise elde edilen

denklemlerden port-Hamiltonian modeli bulunmuştur.

Sistemin modeli simülasyon ortamında kurulmuş ve sistem

çıkışları elde edilmiştir. Port-Hamiltonian modeli ile, doğrusal

olmayan birçok sistemin ifade edilmesi mümkündür, ayrıca bu

sistemlerin kontrolü ve analizi için gerekli bilgileri direkt

olarak enerji fonksiyonları cinsinden ifade edebilmesi

nedeniyle bazı kontrol tekniklerinde tercih edilen bir

modelleme yöntemi olarak karşımıza çıkmaktadır. Gelecek

çalışmalarda bahsedilecek olan pasiflik tabanlı kontrol,

arabağlantılı kontrol gibi yöntemlerin kullanılabilmesi için

sistemin port-Hamiltonian modelinin çıkarılması bir ön hazırlık niteliği taşımaktadır.

Kaynakça

[1] Schaft, A.V.D., “Port-controlled Hamiltonian systems:

towards a theory for control and design of nonlinear

physical systems”, Journal of the Society of Instrument

and Control Engineers of Japan (SICE), Vol. 39,nr. 2, pp. 91- 98, 2000.

[2] Van der Schaft, A., Port-Hamiltonian systems: an

introductory survey, International Congress of Mathematicians, 2006.

[3] K. Yalçın, “Antagonistik Değişken Empedanslı

Eyleyicilerin Kapı Kontrollü Hamiltonian Tabanlı Modellenemsi ve Kontrolü,” Doktora Tezi, İTÜ, 2011.

[4] Castanos, F., Ortega, O., Schaft, A.V.D., Astolfi A.,

“Asymptotic stabilization via control by interconnection

of port-Hamiltonian systems”, Automatica, vol. 45, pp. 1611-1618, 2009.

[5] Garcia-Canseco, E., Jeltsema, D., Ortega, R., Scherpen,

J.M.A., “Power-based control of physical systems”, Automatica, vol:46, ss: 127-132, 2010.

[6] Ortega, R., van der Schaft, A., Mareels, I., Maschke, B.,

“Putting energy back in control”, IEEE Control Systems Magazine, vol. 21, ss. 18-33, 2001.

[7] Auckly, D., Kapitanski, L., White, W., “Control of

nonlinear underactuated systems”, Communications on

Pure Applied Mathematics, vol:53, ss:354-369, 2000.

[8] Bloch, A., Leonhard, N., Marsden, J., “Controlled

Lagrangians and the stabilization of mechanical systems

I: the first matching theorem”, IEEE Transactions on Automatic Control, vol:45, ss: 2253-2270, 2000.

[9] Ortega, R., van der Schaft, A., Maschke, B., Escobar, G.,

“Interconnection and damping assignment passivity-

based control of port-controlled Hamiltonian systems”, Automatica,vol:38, pp:585-596, 2002.

[10] Ortega, R., van der Schaft, A., Maschke, B., Escobar, G.,

“Interconnection and damping assignment passivity

based control of port-controlled Hamiltonian systems”,

Automatica,vol:38, pp:585-596, 2002.

[11] Ortega, R., Loría Perez, J.A., Nicklasson, P.J., and Sira-

Ramirez, H.J., “Passivity-Based Control of Euler-

Lagrange Systems: Mechanical, Electrical and Electromechanical Applications”, Springer-Verlag, 1998.

[12] Machelli, A., “Port Hamiltonian Systems”, Phd Thesis, University of Bologna, 2003.

[13] Paynter, H.M. (1961), Analysis and design of engineering systems, MIT Press, Cambridge, MA.

[14] Rosenberg R.C., Karnopp D.C., (1983), Introduction to

physical system dynamics, McGraw Hill, NewYork, NY.

[15] Duindam, V., Machelli, A., Stramigioli, S., Bruyninckx,

H., “Modeling and Control of Complex Physical Systems”, Springer, 2009.

[16] Breedveld, P. C., “Modeling and Simulation of Dynamic

Systems Using Bond Graphs”, Robotics and Automation,

from Encyclopedia of Life Support Systems (EOLSS),

pp. 128-173, 2008.

[17] Breedveld, P.C., “Port-Based Modeling of Dynamic

Systems in terms of Bongraphs”, 5th Matmod Vienna, 2006.

[18] Mersha, A. Y., “Modeling and Robust Control of an

unmanned aerial vehicle”, Msc Report, University of Twente, 2010.

[19] Broenink, J. F., “Introduction to Physical Systems

Modelling with Bond Graphs”, 2000.


727

Sentetik Jet Sistemlerinin Modellenmesi

Bahadır Coşkun 1

, Celal Sami Tüfekçi 2

Mekatronik Mühendisliği Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi, İstanbul {1bcoskun,

2ctufekci}@yildiz.edu.tr

Özetçe

Bu çalışmada sentetik jetlerin akış etkisinin kritik bir öneme

haiz olduğu sistemlerin literatürde nasıl modellendikleri ve

üzerinde çalışılan sistemlerin çalıştığı ortam şartlarının

laboratuar ortamlarında gerçeğe en yakın şekilde nasıl

oluşturuldukları üzerinde durulmuştur. Literatürde yapılmış

çalışmalar ayrıntılı bir şekilde incelenmiş jet üzerindeki

membranın tahrik frekansinin, jetin yapısal özelliklerinin,

temel geometrik uzunluklarının etkileri tahliye edilen hava

hızı baz alınarak elde edilen optimum tasarımlar

karşılaştırılmıştır. Elde edilmiş bu bilgilerin ışığında sentetik

jet tasarımlarının temel parametrelerini içerecek bi titreşim

modelinin ortaya konulması ve kurulacak deney düzenekleri

ile bu modelin doğrulanması planlanmaktadır.

1. Giriş

Sentetik Jet genel olarak kaviteye bağlı bir diyaframın

hareketiyle bir akışkanın küçük bir kaviteden içeri çekilip

atılmasıyla meydana gelir, bu nedenle sisteme ek bir kütle

eklenmesi söz konusu değildir. Sentetik Jetlerin kullanıldığı

yapılarda iç borulama yada kompleks akışkan paketlenmesinin

önüne geçilmiş olunur.

Sentetik Jetler istenilen sonuçların elde edilebilmesi için

mühendislerin akışı manipüle edebilmesini sağlayan bir çıkış noktasıdır [1].

Sentetik Jetler mikrondan daha küçük ve fonksiyonel

cihazların gelişimine imkan sağlamaktadır, paket küçülse de

daha geniş sıcaklık dağılımı sağlanır [2].

Henüz geliştirme aşamasında bulunan sentetik jetlerin yaygın

olarak elektronik devre parçaları gibi dizayn boşluğunun

limitli olduğu ve soğutma kapasitesinin sistem performansını

önemli ölçüde etkilediği sistemlerde, termoakustik

uygulamarda, ısı enerjisinin mekanik enerjiye mekanik

enerjinin elektrik enerjisine çevrimini konu alan çeşitli enerji

dönüşümü uygulamalarında kullanılmaları öngörülmektedir.

Sentetik jetlerle ilgili yapılan çalışmalardaki temel sıkıntı

literatürde uygulama alanlarına bağlı olarak kurulmuş mevcut

matematik modellerin kullanım alanı dışı farklı bir fiziksel modele cevap verememesidir.

Bunun yanı sıra son yıllarda geliştirilen ve endüstride henüz

yaygın olarak kullanılmaya başlanmamış bir sistem

olmasından ötürü literatürdeki sentetik jet sistemleriyle ilgili

çalışmalar sistem kontrolü ve modellenmesi açısından oldukça kısıtlı kalmıştır.

Ayrıca sentetik jet sistemlerinin sonlu elemanlar programları

kullanılarak deneylerle doğrulanmış nümerik modellerinin

elde edilmesi, sistemlerin geliştirilme aşamsında planlanan

yapısal değişikliklerin sonuçlarına dair daha doğru bir öngörü

yapabilme şansı tanıyarak sürecin daha hızlı ve esnek bir şekilde ilerlemesini sağlayacaktır.

Bu çalışma çerçevesinde sentetik jet mekanizmasının bir

titreşim modeli kurulması planlanmaktadır. Modelin ne kadar

karmaşık olacağına, kabul edilebilir bir çözüm süresine sahip

olmasına ve deneysel verilerle yüksek bir doğruluk

sağlamasına bağlı olarak karar verilecektir. Sonlu elemanlar

modelinin yanında, mekanizmanın ayrık sistem elemanlarıyla

(lumped) ya da sürekli sistemler ile kurulacak analitik bir titreşim modelinin de kurulması planlanmaktadır.

İkinci bölümde sentetik jet modelleri üzerine yapılmış

çalışmalar ayrıntılı bir şekilde irdelenmiş ve karşılaştırılmıştır.

Üçüncü bölüm sentetik jetlerin titreşim karakteristikleri ve

bunların matematik olarak modellenmesi üzerine

odaklanmıştır. Son bölümde de sonuçlar ve tartışmaya yer verilmiştir.

2. Sentetik Jetler

Sentetik Jetler, bir yada daha çok açıklıktan yüksek hızda

akışkan yutup boşaltarak sıfır-net-kütle akışı prensibine göre

çalışmaktadırlar. Şekil (1) de görüldüğü gibi kapalı bir boşluk

içerisinde basınç deşimlerine neden olacak bir yada iki

diyaframdan, bu diyaframları sarıp tahrik edecek piezo-

elektrik materyallerden, havanın içe çekilmesini ve tehliyesini

sağlayan açıklıktan oluşur. Bir akışkan kaynağının olmadığı

durumlarda, AC voltaj kaynağıyla hareket ettirilen

piezoelektrik malzeme sayesinde diyaframda oluşan harmonik

titreşimler kavite içerisinde basınç değişimlerine neden

olurlar. Bu basınç değişimleri de havanın açıklıktan içeri

çekilip tahliye edilmesini sağlar [2].

Böylelikle sistemin tahrik eden elektrik enerjisi membran

üzerinde titreşim enerjisine dönüşmekte buradan da havanın

hareketiyle kinetik enerjiye çevrilmektedir. Bu süreç içerisinde

sürtünmeden dolayı enerjinin bir kısmı kaybolmaktadır.

Ayrıca literatürde yapılan çalışmalar sonucunda sentetik

jetlerin en verimli şekilde çalışabilmesi için membranları

tahrik eden frekansın membranların doğal frekansına eş olması


728

gerektiği böylelikle de membranlarda meydana gelen yer

değişimlerinin en üst değere ulaştığı görülmüştür [3].

(a) Genişleme /Doldurma

(b) Sıkıştırma/Boşlatma

Şekil 1: Sentetik jetlerin çalışma mekanizması [2]

2.1. Matematik Modeller

Li, Sharma ve Arık [2] tarafından termodinamik yasalarına

bağlı analitik bir eşitlik kullanılarak sentetik jet modelinin

tüketilen elektrik ve çıkan hava hızına bağlı olarak optimum

modeli elde edilmiştir. Tüketilen elektrik gücü ve hava akış

gücü analitik bir eşitlikle hesaplanmış ardından kurulan deney

düzeneği ile sentetik jetlerin enerji verimliliği deneysel olarak ölçülmüştür.

Çalışmada çıkartılmış denklem (1)’de; sisteme verilen elektrik

enerjisi , piezoelektrik aktivatörlerin kapasitansında depo

edilen potansiyel enerji strain enerji kinetik enerji ,

havanın hareketinden dolayı meydana gelen kinetik enerji ve

sistemde kaybolan enerji .

(1)

Sistemde her çevrimde , ve ‘nın sabit kalacağı

bilindiğinden, her bir çevrimdeki ortalama değerler üst çizgi

ile ifade eilmek üzere, denklem (2) kurulur.

(2)

Burada enerjinin zamana bağlı ortalaması;

∫

⁄

olmak üzere bir sentetik jet’in enerji çevriminin verimliliği;

(3)

denklem (3)’deki gibi hesaplanır. Burada ortalama akış

gücünü ifade etmektedir. Sentetik jetlerin havanın giriş ve

çıkışı sonucu havaya trasnfer ettiği enerji dolayısı ile havanın çevreye yaptığı net iş ;

(4)

şeklindedir. Burada zamana bağlı basınç değişimi ve

sentetik jette meydana gelen hacim değişimidir. Bu iki

parametre her zaman zıt işaretler alacaklarından eşitlik (5) denklemindeki gibi de ifade edilebilir;

| | | | (5)

Burada A jet açıklığının havaya açılan kısmın alanı olmak üzere, hava hızı, u, bir skaler olarak belirlenerek;

| | (6)

olarak elde edilir. Basınç değişimi ise sıkışma ve genleşme

periyodlarında hava akışı içerisindeki enerji kaybı ihmal

edilerek, hava hızına bağlı (7) denklemi kurulmuş olur.

| |

(7)

Elde edilen (6) ve (7) denklemleri net iş denkleminde, (5), yerlerine yazılarak,

(8)

(8) denklemi elde edilir ve tek bir çevrimdeki ortalama hava

akışı gücünü elde etmek amacıyla denklem integre edilip

zamana bağlı ortalaması alınır.Böylelikle denklem son formunu kazanır.

∫

⁄

(9)

Ortalama elektrik gücü ise Vm, maksimum volt değeri ve Im,

maksimum akım değerlerine bağlı olmak üzere (10)

denklemindeki gibi ifade edilmiştir.

(10)

Bu denklem bize sentetik jetlere gelen net elektrik gücünü

yada ortalama gücü vermektedir. Böylelikle elde edilen voltaj, akım ve güç grafiği şekil (2)’deki gibidir.

Şekil 2: Zaman bağlı akımın, gerilimin ve gücün değişimi[4]

Deb, Tao, Burkholder ve Smith [4] tarafından nonlineer bir

uyarıcı modeli için lineer parametrik bir hata modeli

oluşturulmuştur. Dinamik bir aircraft modeli kurularak ve

sistemin verimliliği baz alınarak bir ters adaptif kontrol

sistemi uygulanmıştır.

Çalışma çerçevesinde sentetik jet’in oluşturduğu momentum

periyodik diyafram hareketi boyunca sabit kabul edilmiştir.

Sabit hava akım yoğunluğu ve genişlik boyunca akışın kontrol

edilebilirliği şartları altında sistemdeki kanat ucunda meydana

gelen yer değiştirme miktarı (11) denklemindeki gibi

modellenmiştir;

(11)

Burada izin verilen maksimum sapma miktarını,

bilinmeyen fiziksel parametreleri, c yerel kanat genişliğini, f

sisteme gelen voltajın frekansını, serbest akışını ve

işleticinin momentum sabitini ifade etmektedir. terimini

(12)’deki gibi açarsak;


729

(12)

Burada bilinmeyen fiziksel parametreyi, 2 tepe arası

voltaj genliğini ifade etmektedir. Böylelikle sistemdeki kanat

ucunda meydana gelen yer değiştirme miktarı ile sisteme

gelen voltaj arasındaki değişim grafikte gösterilmiştir.

Bilinmeyen parametrelere verilen değerler; ,

, , , f=60Hz ,c=2ft ve . Bu parametreler yerlerine yerleştirildiği zaman denklemin

basitleştirilmiş hali denklem (13) olarak elde edilir ve tahrik gerilimine bağlı değişimi şekil (3)’te gösterilmiştir.

(13)

Şekil 3: Yüzeyde meydana gelen sapmanun tahrik voltajıyla

değişimi[4]

Tang ve Zhong [5] tarafından bir sentetik jetin kavite

içerisindeki akışkandan ayrıştırılmış olarak noktasal kütle

modeli kurulmuştur. Böylelikle jetin akışkanlar mekaniği

yaklaşımı kullanılarak tamamen ayrı bir şekilde yeniden

incelenmesine olanak sağlanmıştır. Daha sonra ortaya

konulmuş bu matematik model CFD simülasyonları ve

deneysel çalışmalarla doğrulanmıştır. Sonuçların sentetik

jetlerin zamana bağlı faz ve genlik değişimlerini yüksek bir

doğrulukla hesapladığı görülmüştür. Sonuç olarak elde edilmiş

modelin sentetik jetlerin pratik uygulamalarında tasarım

başlangıcında amaçlanan maksimum jet hızının yüksek bir

doğrulukla öngörülmesine imkan tanımaktadır.

Şekil 4: Sentetik jet aktivatörünün şeması [5]

Çalışma çerçevesinde şekil (4)’teki gibi tek açıklıklı, etrafı

piezoelektrip malzeme ile sarılı bir diyaframdan oluşan bir sentetik jet modeli kullanılmıştır.

Sistem en uzun geometrik boyutunun akustik dalga boyundan

küçük olduğu varsayımı ile noktasal kütlelerle (lumped

element) modellenecektir modellenecektir. Sistemde bulunan,

akışkan ile dolu kavite, akışkanın dış ortamdan emilip,

boşaltılmasını sağlayan açıklığın ve titreşim hareketi ile

kavitede basınç farklılığını sağlayan diyafram ayrı ayrı ele

alınarak şekil (5)’teki gibi bir eşlenik devre modeli oluşturulmuştur.

Şekil 5: Sentetik jet aktivatörünün, hacimsel hız devresinin

şeması [4]

Burada Q parametreleri hacimsel hızları ifade etmek üzere; QD

diyafram hareketimden kaynaklanan sinüzoidal hacimsel hız

parametresidir. Ve şekilde verilen devre şemsaından da

görüldüğü üzere QC kavitede meydana gelen hız ve Q0

açıklığa gelen hızlara tekabül etmektedir. Kavitenin akustik

empedansı ve açıklığın akustik empedansı olarak

gösterilmiştir. Devre şemasından yola çıkarak denklem (13) kurulmuştur.

(13)

Şekil 6: Sentetik jet aktivatörünün eşlenik modeli [5]

Kavitede depolanan sıkıştırılabilir havadan dolayı sistemde

bulunan potansiyel enerji CAC , akustik elastiklik olarak ifade

edilmektedir. Açıklığın rezistör ve indüktörlerle

modellenmesinin sebebi açıklıktan akan havanın eylemsizlik

ve viskoz kuvvetlere neden olmasından dolayıdır. Açıklıktan

çıkan havanın sahip olduğu kinetik enerjinin bir kısmı viskoz

etkilerden dolayı yok olmaktadır bu nedenle Ral ,efektif lineer

akustik rezistans ve Mal kütlesi tanımlanmıştır. Bununla

beraber açıklık giriş ve çıkışlarında yerel mekanik enerji

kayıpları da vuku bulmaktadır bu kayıplar da nonlineer

akustik rezistans, Ranl ile ifade edilmektedir. Son olarak

akışkanın yarı sonlu bir ortama akmasından dolayı Rarad ve

Marad akustik yayılım rezistansları ve kütleleri de modele

eklenmiştir ve modelin son hali şekil (6) da gösterilmiştir.. Akustik empedansları verilen parametrelere bağlı olarak;


730

(14)

(15)

şeklindeki denklemler (14) ve (15) elde edilir. Bu

denklemlerin bağlı oldukları diğer parametrelerden de

bahsetmek gerekirse; , kavite hacmi; , akışkanın yoğunluğu

ve ; sesin izentropik hızıdır. Bu parametrelere bağlı olarak

akustik kavite compliance, denklem (16)’daki gibi

hesaplanır.

(16)

Daha önce sözü edilen akustik yayılım rezistansı ve

kütlesi ise akışkan yoğunluğu ve izentropik hız’ın

yanında w; titreşim frekansı ve ;açıklık çapına bağlı olarak

denklem (17) ve (18)’den hesaplanır.

(17)

(18)

Açıklık çıkışındaki akışın sürekli linner bir akış olduğu

varsayımı yapılır ve akış tam gelişmiş lineer bir akış gibi

modellenirse; μ, akışkanın dinamik viskozitesi olmak üzere;

(19)

(20)

(19) ve (20) eşitlikleri elde edilir ve düzeltme katsayıları ile

çarpılarak akustik yayılım rezistansı ve kütlesi denklem (21) ve (22) ile hesaplanır.

(21)

(22)

Sistemdeki minör kayıpları ifade eden , ; boyutsuz

kayıp katsayısı olmak üzere;

(23)

Denklem (23)’teki gibi ifade edilir.Böylelikle açıklıktaki hızı

ifade eden için artık verilen denklemdeki bilinmeyenler

hesaplanabilir.

{

[

]}

Nonlineer bu denklemin düzenlenmesiyle 2. Dereceden kompleks bir denklem (25) elde edilir.

(25)

Burada bilinmeyen Ai değerleri (26), (27) ve (28)’deki gibi

hesaplanır.

(26)

[

] (27)

(28)

Akışın sıkıştırılamaz olduğu kabulü ile açıklık çıkışındaki

anlık-mekansal-ortalama hızı diyaframın yer değiştirmesine bağlı anlık-hacim-değişim-miktarı denklem (29) ile bulunur.

(

) (29)

Bu formülde maksimum hızın denklem (30)’daki gibi olduğu görülmektedir.

(

) (30)

Dalganın sinüzoidal bir hız formu için tüm titreşim

çevrimindeki ortalama blowing jet hızı için nihai formül (31) elde edilir.

∫

⁄

(31)

3. Sentetik Jetler ve Titreşim

Sentetik jetlerin analitik olarak titreşim modeli kurulmadan

önce literatürde benzer modeller incelenmiştir. Minzara ve

arkadaşları [6] tarafından kurulan titreşim modelinde ayrık

sistem yaklaşımı kullanılarak ünimorf bir piezoelektrik

membran ve membran’ı titreştiren transdüser ele

alınmaktadır.Sistemi meydana getiren elemanlar ve yapısı

şematik olarak şekilde gösterilmiştir.

Şekil 7: Titreşen piezoelektrik yapının eşlenik modeli. [6]

Sistemi tahrik eden yer değişimine bağlı membran’da

meydana gelen yer değişimini veren hareket denklemi formül

(32)’de gösterildiği gibi kurulmuştur.

(32)

Burada M sistemin kütlesini, D sönüme bağlı enerji kaybını, K

ataletini, piezoelektrik katmanın ataletini, kuvvet

faktörünü, V piezoelektrik katmanda meydana gelen voltajı, u

membranda meydana gelen yer değişimini ve y sistemi tahrik

eden yer değişimini ifade etmektedir. Ayrıca sistemde

meydana gelen gerilim ve yer değişimi (33) formülündeki gibi

bir ilişki kurulmuştur.

(33)

Denklem (32) ve (33)’ün yardımıyla sistemde üretilen güç, P;

diyaframın merkezinde meydana gelen kuvvete, F; bağlı

olarak formül (34)’teki gibi gösterilmiştir.

(34)

Ayrıca daha önce kurulmuş hareket denklemi çözülerek

sistemin farklı zorlanma durumlarında vereceği cevabı bilmek,

yapının kütlesini optimize etmek ve membran’ın titreşim

modelinden yola çıkarak iletilebilirliğini hesaplamak da

mümkündür.

Ayrık sistem yaklaşımı dışında sistemleri devamlı sistem

olarak kabul edip buna göre modellemek de mümkündür.

Şekil 8’de her noktasında homojen olarak gerilmiş bir

membran görülmektedir. Membran x-y düzleminde bir S

eğrisi ile sınırlandırılmıştır. Şekle göre f(x,y,t) z yönünde


731

meydana gelen basınç yükünü, P ise herhangi bir noktada

membranın kalınlığı ile çekme gerilmesinin çarpımına eşit

olan gerilme yoğunluğunu vermektedir. Membran boyunca P

genellikle sabittir. Şekilde gösterildiği gibi dxdy şeklinde bir

birim alan ele alırsak y ve x eksenlerine paralel olarak etkiyen

kuvvetler P dx ve P dy olur.Böylelikle z yönünde etkiyen net

kuvvet denklem (35) ve (36) da verildiği gibidir.

Şekil 8: Homojen gerilim altındaki membran modeli. [7]

(

) (35)

(

) (36)

Böylelikle z yönündeki basınç kuvveti f(x,y,t)dxdy olmakta ve

eylemsizlik kuvveti denklem (37)’deki gibi olmaktadır.

(37)

Burada ρ birim lana düşen kütle miktarını vermektedir.

Böylelikle membranların zorlanmış enine titreşimleri için (38)

deki gibi bir hareket denklemine ulaşılır.

(

)

(38)

Sisteme etkiyen dış kuvvet f(x,y,t)=0 olması durumunda

sistem serbest titreşim yapacağından formülde kısaltma olması

açısından bir c çarpanı (39)’daki gibi tanımlanarak denklem

(40) elde edilir.

(

)

(39)

(

)

(40)

Denklem (38) ve (40) beraber düzenlenirse (41)’deki denklik

elde edilir.

(41)

Ve

(42)

Burada Laplas Operatörü anlamına gelmektedir [7].

4. Sonuçlar

Yapılan çalışma sonucunda literatürde sentetik jet

modellerinin baz alınan belli parametrelere göre nasıl

modellendikleri incelenmiştir. İhtiyaca göre ayrık veya

devamlı titreşim modeli kurulabileceği gibi deney sonuçları ile

modeli doğrulayabilmek açısından akış hızına bağlı bir model

kurmak veya sisteme giren enerjinin hesaplanabileceği bir

model kurmak da mümkündür. Literatürde optimum sentetik

jet geometrisinin elde edilebilmesi amacıyla kurulan

modellerin yanında, mekanizmanın çalıştığı optimum tahrik

frekansı yada sistemden çıkan hava debisinin maksimum

değeri gibi sistemin verimliliğini etkileyen dış parametrelere bağlı modellemeler de yapılmıştır.

İleriki çalışmalarda, geçmiş çalışmalar ışığında sentetik

jetlerin titreşimini etkileyen en kritik parametreler

belirlenecek, bu parametrelere bağlı bir titreşim modeli ortaya

konulacak ve kurulacak deney düzenekleri ile modelin

doğruluğu ispatlanacaktır. Sentetik jet sistemlerinde birçok

fiziksel alan birlikte karşımıza çıktığından bond grafiği tekniği

kullanılarak enerji tabanlı modelleme tekniklerine yer verilecektir.

Kaynakça

[1] M. Chaudhari, G. Verma, B. Puranik, A. Agrawal,

“Frequency response of a synthetic jet cavity”,

Experimental Thermal and Fluid Science 33, 2009, 439-448

[2] R. Li, R. Sharma and M. Arik, “ENERGY

CONVERSION EFFICIENCY OF SYNTHETIC JETS”,

Proc. Of the ASME 2011 Pacific Rim Technical

Conference & Exposition on Packaging and Integration

of Electronic and Photonic Systems, InterPACK2011 July 6-8, 2011, Portland, Oregon, USA

[3] A. Qayoum, V. Gupta, P.K. Panigrahi and K. Muralidhar,

“Influence of amplitude and frequency modulation on

flow created by a synthetic jet actuator”, Sensors and Actuators A: Physical, 2010, 36-50

[4] D. Deb, G. Tao, J. O. Burkholder and D. R. Smith, “An

adaptive Inverse Control Scheme for A Synthetic Jet

Actuator Model”, American Control Conference, June 8-

10, 2005, Portland, OR, USA

[5] H. Tang ve S. Zhong, “Lumped element modelling of

synthetic jet actuators”, Aerospace Science and Technology 13, 2009, 331-339

[6] E. Minaza, D. Vasic, F. Costa ve G. Poulin,

“Piezoelectric diaphram for vibration energy harvesting”, Ultrasonics 44, 2006, 699-703

[7] S. Rao, (2011). Mechanical Vibrations. Prentice Hall 5th

ed.


732

Otonom İş Makinesinde Çoklu CP-DGPS Kullanımı Etkisinin

Benzetim ile Tayini

Önder Halis Bettemir1

1İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yüzüncü Yıl Üniversitesi, Van [email protected]

Özetçe

Otonom iş makinesinde konum ve yön belirleme amacıyla

kullanılacak alıcıların sayısının belirlenmesi amacıyla Monte

Carlo Yöntemi kullanılarak benzetim yapılmıştır. İş

makinesinin belirli bir alanın tesviye işlemini tek geçişle

yaparken üzerinde konum ve yön belirleme amacıyla

yerleştirilmiş 1 ve 2 adet taşıyıcı dalga çözümlü diferansiyel

küresel konum belirleme sistemi (TD-DKKS) alıcısının

yerleştirildiği 2 durum incelenmiştir. Tesviye işlemi sırasında

alıcıların hassasiyetine bağlı hatalar ile arazi yapısından

kaynaklanan iş makinesinin doğrultusunda oluşan değişimler

normal dağılımda oldukları varsayımı ile modellenmiştir.

Benzetim tek ve çift TD-DKKS alıcılı durumlar için 1000’er

kere tekrar edilmiş ve 2 TD-DKKS alıcılı sistemin önemli

ölçüde daha kararlı olduğu ortaya çıkmıştır. Yapılan benzetim

ile otonom sistem tasarımının istenilen hassasiyet

doğrultusunda daha maliyet etkin biçimde yapılabileceği

ortaya konmuştur.

Anahtar Kelimeler: Otonom İş Makinesi, Monte Carlo

Benzetimi, Yapay Zeka.

1. Giriş

Otonom inşaat ve tarım makinesi alanındaki çalışmalarda

konum ve doğrultu belirleme cihazlarının hassasiyetine bağlı

olarak önemli ilerlemeler sağlanmıştır. TD-DKKS tekniği ile

sağlanan hassas konum bilgisi sayesinde otonom kara aracının

konumu ve hareket doğrultusu gerçek zamanlı olarak

bulunabilmektedir. Elde edilen konum ve doğrultu hassasiyeti

her durumda otonom iş makinesinin ihtiyaç duyulan

hassasiyetini karşılayamayabilir. Bu durumda yardımcı

algılayıcılar ve filtreler kullanılarak elde edilen konum ve

doğrultu hassasiyetinin artırılması yoluna gidilir.

Yardımcı algılayıcı olarak lazer, jiroskop, ivmeölçer,

kilometre sayacı ve ilave TD-DKKS alıcıları kullanılıp elde

edilen konum ve doğrultu bilgisi Kalman Filtresi yardımıyla

hassasiyetinin iyileştirilmesi oldukça yaygın olarak uygulanan

bir yöntemdir. İnşaat ve tarım makinelerinin hassasiyetini

arttırmak için günümüze kadar birçok çalışma yapılmıştır.

Elkaim vd. tarım makinesine 4 adet CP-DGPS ve ön

tekerleklerine takometre yerleştirerek oldukça hassas konum

ve doğrultu kontrolü sağlamıştır [1]. Cordesses vd. CP-DGPS

kullanarak doğrusal olmayan kontrol mekanizması ile hassas

tarım makinesi kontrolü gerçekleştirmişlerdir. Hassasiyeti

artırmak için Kalman filtresi uygulanmıştır [2 – 3]. Chateau

vd. CP-DGPS hassasiyetini artırmak için tarım makinesine

lazer vericisi ve algılayıcıları yerleştirmiştir. Tarım

makinesinin çalışması sırasında çıkan tozların lazer

hassasiyetini düşürmemesi için toplanan lazer sinyalini

oluşturulan veri tabanı ile kıyaslayıp bitki ile toz kümesi

ayrımını yapabilen konvolüsyon (convolution) algoritması

geliştirmiştir [4]. Abbott ve Powell DGPS ve jiroskop

algılayıcılarını birlikte kullanıp Kalman Filtresi yardımı ile

konum ve doğrultu hassasiyetini artırmıştır [5]. Nagasaka vd.

pirinç fidelerinin başka alana yüksek hassasiyette dikimini

otonom olarak yönlendiren GPS ve jiroskop tabanlı bir tarım

makinası geliştirdiler [6]. Cordesses vd., Bell vd. ve Cordesses

vd. doğrultu algılayıcısı kullanmadan CP-DGPS tabanlı hassas

tarım makinesi tasarımı için doğrusal olmayan kinematik

denklemlerin yeraldığı kontrol kanunu geliştirdiler [7,8, 10].

Lenain vd. tekerleklerin yetersiz sürtünme kuvveti sonucu

boşta dönerek araç doğrultusunun istem dışı değiştiği

durumlarda tek TD-DKKS alıcısı ile hassas konum ve

doğrultu elde edebilecek doğrusal olmayan kontrol algoritması

geliştirdiler [9].

Literatürde yapılan çalışmalar incelendiğinde hassasiyeti

arttırabilmek için çok yönlü araştırmaların yapıldığı

gözlenmektedir. Hassasiyeti artırmak için eklenen ilave

algılayıcılar direkt olarak otonom makinenin maliyetini

artırmaktadır. Örneğin Cordesses vd. [1] tarafından tarım

makinesine yerleştirilen 4 adet CP-DKKS alıcılarının maliyeti

100.000 TL civarındadır. Bu durumda elde edilen hassasiyet

artışı ile sisteme eklenen maliyet arasında karar vermek

gerekmektedir.

Tasarım süreci içerisinde elde edilmesi hedeflenen

hassasiyeti sağlayabilecek optimum algılayıcı yapılandırmasını

oluşturabilmek için sayısız alternatifin denenmesi

gerekmektedir. Kısıtlı zaman ve kaynaklar göz önüne

alındığında tüm alternatiflerin denenmesinin mümkün

olamayacağı kesindir. Bu nedenle tasarım süreci içerisinde

algılayıcı özellikleri ve otonom makinenin fiziksel

özelliklerinin gerçekçi biçimde modellenebilmesi durumunda

benzetim algoritmaları kullanılır.

Bu çalışmada tesviye işleminde kullanılmak amacı ile

geliştirilen tek TD-DKKS alıcısına sahip otonom iş

makinesinin iki TD-DKKS alıcısı yerleştirilerek elde

edilebilecek konum ve doğrultu hassasiyetinin Monte Carlo

Benzetin Yöntemi kullanılarak tahmini yapılmıştır. Benzetim

ile ikinci konum alıcısının sağlayabileceği hassasiyet artışı

tahmin edilmeye çalışılarak yüksek maliyet ve emek gerektiren

ilave algılayıcı yerleştirilmesinden önce ön fikir elde edilmesi

amaçlanmıştır. Benzetim yönteminde kullanılan aracın fiziksel


733

özellikleri 110M396 kodlu TÜBİTAK hızlı destek projesi

kapsamında geliştirilen küçük ölçekli otonom iş makinesinden

alınmıştır.

2. Yöntem

Benzetimi yapılan iş makinesinin fiziksel özellikleri, tesviye

algoritması ve Monte Carlo Benzetim yöntemi kısaca

anlatılacaktır.

2.1. İnşaat Makinesinin Fiziksel Özellikleri

Geliştirilen küçük ölçekli iş makinesi 25 cm çapında lastik

tekerlekli olup hareketini tüm tekerleklere tahrik sağlayan dört

adet her biri 300 W gücündeki elektrik motorlarından

almaktadır. Kürüme işlemi sırasında zemin ve lastik

tekerleklerin arasındaki statik sürtünme katsayısının 0,14’ten

daha küçük bir düzeyde olması durumunda lastikler boşa

dönmektedir. Zeminle tekerlekler arasındaki düşük sürtünme

katsayısı nedeniyle kürüme sırasında tekerleklerin boşta

dönmesi sonucu iş makinesinin yönü istem dışı

değişebilmektedir.

İş makinesinin bıçak genişliği 90 cm ve hızı ise 1,5 m/s

dir. İş makinesinin dönüşü dönülecek yönle aynı kenardaki

tekerleklerin geri, diğer kenardaki tekerleklerin ileri hareketi

ile sağlanır. Tam dönüş hareketi 16 saniyede tamamlanır. Tam

dönüş hareketinin yapılması için toprak zeminde yapılan

manevra sonucunda dönüş işlemi ± 8o standart hata ile

yapılmaktadır.

Tesviye işlemi sırasında yaklaşık 50 kg malzemeyi

bıçağının önünde sürükleyerek götürebilmektedir.

2.2. Tesviye Algoritması

iş makinesinin uyguladığı tesviye algoritması dikdörtgen yatay

düzlemlerin otonom tesviyesinin yapılabilmesi için

geliştirilmiştir. Algoritma genel olarak iş makinesi operatörleri

tarafından uygulanan tesviye algoritmasının otonom iş

makinesi için basitleştirilmesi ile oluşturulmuştur.

Tesviye işlemi dikdörtgen bölgenin içinin kısa kenarlarına

paralel biçimde taranması ile yapılır. Şekil 1 de gösterildiği

gibi ilk geçiş yapıldıktan sonra dikdörtgenin dışına çıkılarak

dönüş yapılıp kürünen malzemenin üstünden geçerek bir

sonraki tarama işleminin yapılacağı dilime gidilir. Dilimler 10

cm örtüşecek biçimde belirlenir. Geçiş yapıldıktan sonra iş

makinesinin hesaplanmış olan bir sonraki geçişin başlangıç

noktasına en hassas biçimde gelmesi sağlanır.

Şekil 1: Tesviye algoritması.

2.3. Monte Carlo Benzetim Yöntemi

Monte Carlo benzetimi belirli bir olasılık dağılımına göre

rastgele seçilmiş model girdi parametre değerleri ile çıktı

değerlerini hesaplanıp bu işlemin birçok kez tekrarlanması ile

çıktı değerlerindeki belirsizliğin ve girdi değerlerinin bu

belirsizliğe olan etkisinin tahmin edilmesidir. Monte Carlo

analizi beş adımdan oluşmaktadır [11].

İlk aşamada bütün girdi parametrelerinin hangi aralıkta

olacağı ve bu aralıkta nasıl dağılacağı belirlenir. Bu çalışmada

belirsizliği oluşturan girdi parametreleri CP-DGPS

algılayıcılarının ölçüm hataları, tesviye işlemi sırasında zemin

ve tekerlekler arasındaki sürtünme kuvvetinin yeteri kadar

yüksek olmayışı nedeniyle tekerleklerin bazılarının boşa

dönmesi sonucu doğrultuda oluşan sapma, yarım tur dönüş

sonrası oluşan sapma ve kontrol sisteminin belirsizliği olarak

belirlenmiştir.

İkinci aşamada ise olasılık dağılım fonksiyonlarına göre

girdi parametrelerine rastgele değerler atanır. Girdi

parametrelerinin değerlerinin bulunabilmesi için çeşitli

örnekleme yöntemleri mevcuttur. Bu çalışmada rastgele

örnekleme yöntemi seçilmiştir. Bu yöntem girdi

parametrelerinin belirsizliği arasında hiçbir korelasyonun

olmadığı kabullenmesine dayanmaktadır.

Girdi parametrelerinin kendi aralarında korelasyonu

olmaması, bu parametrelerin kross-korelasyonunun birim

matrise eşit olması şartını gerektirir. Bu koşulun

sağlanmasından emin olmak için girdi parametreleri için

oluşturulan S örnek kümesinin Varyans Kovaryans matrisi

hesaplanır. Bu matrisin istenen korelasyon matrisine, D, eşit

olmaması durumunda S kümesinin değerleri yeniden

düzenlenir. Bu düzenleme D varyans-kovaryans matrisinin

Cholesky faktorizasyonuna bağlıdır.

D=PPT (1)

Burada P alt üçgen matrisidir. D matrisi simetrik, pozitif

tanımlı bir matris olduğu için Cholesky faktorizasyonu

yapılabilir. S kümesinin Varyans Kovaryans matrisi, E,

Cholesky faktorizasyonu ile hesaplanır.

E=QQT (2)

Tekrar düzenlenen S matrisi, S* , denklem 3 ile ifade edilir

[11];

S* = S(Q-1)TPT (3)

Üçüncü aşamada rastgele sayılarla elde edilen girdi

parametreleri denklemlerde yerine konur ve bağımlı

değişkenin değeri hesaplanır.

Bağımlı değişken her bir saniyelik zaman adımında tesviye

işlemi sonucunda iş makinesinin hesaplanmış bıçak konumu

ile mevcut durumu arasındaki farkın mutlak değerlerinin

toplamıdır. Fark vektörü Şekil 2’de gösterilmiştir.


734

Şekil 2: Doğrultuda oluşan sapma.

İkinci ve üçüncü aşama belirli sayıda tekrar edilerek

bağımlı değişken değerleri kaydedilir. Bu çalışmada 1000

tekrar yapılmıştır.

Elde edilen değerler dördüncü aşamada belirsizlik analizi

için kullanılır. Belirsizliğin gösteriminin bir yolu standart

sapmasının hesaplanması ile yapılabilir. Yapım süresi ve

maliyeti y olarak gösterildiğinde y değerlerinin ortalaması ve

standart sapmalarının hesaplanış yöntemi eşitlik 4 ve 5 de

belirtilmiştir [11].

m

i

i

m

yyE

1

(4)

1

2

1

m

yEy

yV

m

i

i

(5)

Denklem 4 ve 5 de m yapılan tekrar sayısı, E en olası

değer ve V ise varyanstır.

3. Monte Carlo Benzetimi

Monte Carlo Benzetimi tek TD-DKKS alıcılı iş makinesi ile

çift TD-DKKS alıcılı iş makinesi olmak üzere iki ayrı iş

makinelerinin hassasiyetlerini tahmin etmek için yapılmıştır.

Şekil 3: Tek TD-DKKS algılayıcılı sistem.

Tek TD-DKKS algılayıcılı sisteme sahip olan iş makinesi

var olan bir sistem olup (Şekil 3) ikinci TD-DKKS

algılayıcısının takılması durumunda hassasiyetinin ne ölçüde

artacağı Monte Carlo Benzetimi ile tahmin edilecektir.

Monte Carlo Benzetiminin ilk aşaması olan girdi

parametrelerinin olasılık dağılımının belirlenmesi geliştirilen

iş makinesinin arazi çalışması sırasında elde edilmiş olup

Tablo 1 de gösterilmiştir.

Tablo 1: Hata kaynakları ve büyüklükleri.

Hata Kaynağı Büyüklüğü

TD-DKKS kaynaklı doğrultu hatası ±10

Lastiklerin boşa dönmesiyle oluşan sapma ±10/ 5m

Yarım dönüş sırasında oluşan hata ±80/ geçiş

Kontrol sisteminin hassasiyeti ±10/ komut

.

Tablo 1 de verilen TD-DKKS kaynaklı doğrultu hatası

ardışık iki konum bilgisi ile elde edilen doğrultunun ortalama

hatası olarak sunulmuştur. İki TD-DKKS algılayıcısının aynı

tesviye bıçağının üzerine aralarında 1,5 metre mesafe olacak

şekilde monte edildiği kabul edilmiştir. Çift TD-DKKS

algılayıcısı içeren sistem ile elde edilen doğrultu hassasiyeti

±0.20 kabul edilmiştir [12].

Tek TD-DKKS alıcısı kullanılması durumunda doğrultu

açısı anlık hesaplanamamakta ancak iş makinesinin 3 metre

ilerlemesinin ardından hesaplanmaktadır. İki TD-DKKS

algılayıcısının kullanılması ile doğrultu anlık olarak elde

edilmektedir. Diğer 3 hata kaynağının büyüklüklerinin aynı

olduğu kabul edilmiştir.

Benzetimi yapılan otonom iş makinesinin doğrultuyu

kontrol eden kapalı-çevrimli Blok Diyagramı Şekil 4’te

gösterilmiştir. Arazi testleri yapılarak İş makinesinin kendi

ekseni etrafında 3600 dönüşü 16 saniyede tamamladığı

belirlenmiştir. Bu bilgi iş makinesinin doğrultusunu

değiştirmek için gereken sürenin hesaplanmasında

kullanılmaktadır. Cihaz üzerine yerleştirilen CP-DGPS alıcısı

ile iş makinesinin konumu hassas olarak ölçülebilmekte ve

ardışık konum ölçümlerinden iş makinesinin doğrultusu elde

edilmektedir. Konum belirleme sinyallerin birden çok yol

izleyerek gelebilmeleri, iyonosferdeki kırılmanın tam olarak

modellenememesi, uydu konumlarının gerçek zamanlı

belirlenmesindeki hatalardan dolayı ± 1~ 3cm hata ile

olabilmektedir. Doğrultu belirleme ise ardışık konumlardan

yapılan ölçümler ile yapıldığı için konum hatalarından

doğrudan etkilenmektedir. Konum hatalarına ek olarak arazi

ve zemin koşulları doğrultuda sapmalara neden olmakta ve

oluşan sapma tek CP-DGPS alıcısının olması durumunda

anında belirlenememektedir. Motor Kontrol Devresi iş

makinesinin yapması gereken ilerleme ve dönüş

manevralarını elektrik motorlarına yaptıran kontrol devresidir.

Devre elemanları arasındaki veri alış-verişi için geçen süre,

kontaktörlerin açıp kapatmasında geçen süre ve elektrik

motorlarının oluşan indüklenme akımı sonucu anında tepki

verememesi komutun verilişi ile uygulanışı arasında faz farkı

yaratan etkenlerin başlıcalarıdır.

Hedeflenen doğrultu

İzlenen rota

(i + 1). zaman

aralığındaki sapma

i. zaman aralığındaki

sapma

İzlenen rota


735

Şekil 4: Geri beslemeli kontrol sisteminin blok diyagramı.

M, Ayar Değişkeni mevcut konum ve doğrultu ile olması

gereken konum ve doğrultuyu karşılaştırıp hangi yönde ne

kadar sürede dönüş manevrası yapılması gerektiğinin

hesaplanmasını sağlar. G2 değişkeni kontrol edilen sistemi

yani iş makinesi tarafından yapılan otonom kürüme işlemine

ait iş programıdır. Geri Besleme Mekanizması iş makinesinin

anlık doğrultusu ile olması gereken doğrultunun sıfır kabul

edilebilir eşik değerin içinde kalmasını sağlamaya yönelik

fark doğrultuyu referans girişine gönderir. Geri besleme eksi

geri beslemedir, çünkü iş makinesinin doğrultusu istenen

yöne getirildiğinde elektrik motorlarına dönüş manevrası için

komut verilmeyecektir.

11

11.5

12

12.5

13

13.5

14

Tek CP-DGPS Alıcısı ile Elde Edilen Hata Dağılım Fonksiyonu

Şekil 4: Tek TD-DKKS alıcılı sistemin Hata Dağılım

Fonksiyonu.

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

İki CP-DGPS Alıcısı ile Elde Edilen Hata Dağılım Fonksiyonu

Şekil 5: İki TD-DKKS alıcılı sistemin Hata Dağılım

Fonksiyonu.

Yapılan benzetim ile tek TD-DKKS alıcısına ve çift TD-

DKKS alıcısına sahip sistemin toplam sapmaları sırası ile

Şekil 5 ve Şekil 6’da verilmiştir. Benzetim sonucu elde edilen

veri setinin ortalama ve standart sapma değerleri metre birimi

olarak Tablo 2’de verilmiştir.

Tablo 2: Yatay doğrultudan sapma büyüklükleri.

2 TD-DKKS

Alıcılı Sistem (m)

1 TD-DKKS

Alıcılı Sistem (m)

Ortalama 2,726 12,415

Standart S 0,052 0,299

Şekil 5, 6 ve Tablo 2’nin incelenmesi ile ikinci alıcının iş

makinesine eklenmesi ile kontrol hassasiyetinin önemli

ölçüde iyileşeceği tahmin edilmiştir. Doğrultudan sapma

miktarının azalmasının yanı sıra iş makinesinin ilerlemesinin

daha kararlı olacağı bir başka değişle daha az salınım yaparak

ilerleyeceği ön görülmüştür. Yapılan benzetim sonucunda

sisteme ikinci TD-DKKS alıcısının eklenmesi ile önemli

hassasiyet ve kararlılık artışının sağlanması beklenmektedir.

4. Tartışma ve Sonuç

Konum ve doğrultu belirleme amacı ile kullanılacak

algılayıcıların maliyet etkin biçimde istenilen hassasiyeti

sağlayabilmesi için doğru konfigürasyonun sağlanması

gerekmektedir. Sınırlı zaman ve mali kaynaklar içerisinde

yürütülen tasarım sürecinde tüm olasılıkların denenmesi

mümkün değildir.

Bu bağlamda farklı algılayıcı alternatiflerinin benzetim yolu

ile faydalarının araştırılıp tahmin edilmesi önemli ölçüde

zaman ve maliyet tasarrufu sağlayacaktır. Yapılan çalışmada

Monte Carlo benzetimi kullanılarak tek TD-DKKS alıcısı ile

çalışan iş makinesine ikinci TD-DKKS alıcısının eklenmesi

sonucu konum ve doğrultu hassasiyetinin ne ölçüde

iyileştirileceği tahmin edildi.

İkinci TD-DKKS alıcısına ek olarak iş makinesine jiroskop

veya çözüm algoritmasına Kalman filtresi eklenmesinin

sağlayabileceği yararlar Monte Carlo Benzetim algoritması ile

tahmin edilebilir ve hassasiyetin daha da arttırılmasının yolları

aranabilir.


736

Benzetim yönteminin sağlıklı biçimde uygulanabilmesi için

girdi parametrelerinin ve dağılımlarının çok hassas biçimde

tayin edilmesi gerekmektedir. Bu çalışmada kullanılan girdi

parametreleri ve dağılımları TÜBİTAK projesi kapsamında

yapımı gerçekleştirilen küçük ölçekli bir iş makinesinin sapma

değerleri baz alınarak belirlenmiştir.

Teşekkür

Bu çalışma TÜBİTAK tarafından 110M396 numaralı hızlı

destek projesi kapsamında desteklenmiştir.

Kaynakça

[1] G. Elkaim, M. O'Connor, T. Bell, ve B. W.& Parkinson,

“System identification and robust control of a farm

vehicle using CDGPS”. In proceedings of ion GPS Cilt:

10, s. 1415-1426). institute of navigation 1997.

[2] L. Cordesses, C. Cariou, P. Martinet, ve C. Thibaud,

“CP-DGPS based combine harvester control without

orientation sensor”, In Proceedings of the 12th

International Technical Meeting of the Satellite Division

of the Institute of Navigation-ION GPS’99 s: 2041-2046,

1999.

[3] L. Cordesses, B. Thuilot, P. Martinet, ve C. Cariou,

“Curved path following of a farm tractor using a CP-

DGPS”. In Proc. of the 6th Intern. Symposium on Robot

Control (Syroco) (s. 13-18), 2000.

[4] T. Chateau, C. Debain, F. Collange, L. Trassoudaine, ve

J. Alizon, "Automatic guidance of agricultural vehicles

using a laser sensor" Computers and Electronics in

Agriculture Cilt:28, No: 3, s: 243-257, 2000.

[5] E. Abbott, ve D. Powell, “Land-vehicle navigation using

GPS”, Proceedings of the IEEE, Cilt: 87, No: 1, s: 145-

162, 1999.

[6] Y. Nagasaka, N. Umeda, Y. Kanetai, K. Taniwaki ve Y.

Sasaki, “Autonomous guidance for rice transplanting

using global positioning and gyroscopes” Computers and

Electronics in Agriculture, Cilt: 43, No: 3, s: 223-234,

2004.

[7] L. Cordesses, P. Martinet, B. Thuilot, ve M. Berducat,

“GPS-based control of a land vehicle”, In Proc.

IAARC/IFAC/IEEE Int. Symp. Automation Robotics

Construction (ISARC)’99 s: 22-24, 1999.

[8] T. Bell, M. O'Connor, V. K. Jones, A. Rekow, G. Elkaim

and B. Parkinson, “Realistic autofarming closed-loop

tractor control over irregular paths using kinematic GPS”,

In: European Conf. on Precision Agriculture. Cilt: 1,

1997.

[9] R. Lenain, B. Thuilot, C. Cariou, ve P. Martinet, “Non-

Linear control for car like mobile robots in presence of

sliding: Application to guidance of farm vehicles using a

single RTK GPS”, In Proc. of the Intern. Conf. on

Robotics and Automation (ICRA), New Orleans (USA),

2004.

[10] L. Cordesses, C. Cariou, ve M. Berducat, “Combine

harvester control using real time kinematic GPS”,

Precision Agriculture, Cilt: 2, No: 2, s: 147-161, 2000.

[11] J.C. Helton, F. J. Davis, ve J. D. Johnson “A Comparison

of uncertainty and sensitivity analysis results obtained

with random and Latin hypercube sampling”, Reliability

Engineering and System Safety, Cilt: 89, s: 305 – 330,

2005.


737

Raylı Sistem Sinyalizasyon Tasarımında Ayrık Olay Sistem

Yaklaşımı ile Arıza Teşhisi

Mustafa Seçkin Durmuş1, Shigemasa Takai

2, Mehmet Turan Söylemez

1

1Kontrol Mühendisliği Bölümü

İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul, Türkiye {durmusmu, soylemezm}@itu.edu.tr

2Elektrik, Elektronik ve Bilişim Mühendisliği

Osaka Üniversitesi, Osaka, Japonya [email protected]

Özetçe

Sabit-blok demiryolu sistemlerinde, demiryolu hatları

girişinde ve sonunda sinyali bulunan alt demiryolu bloklarına

bölünmüştür. Olası çarpışmaların önlenmesi amacıyla bir

demiryolu bloğunda aynı anda tek bir tren hareketine izin

verilmekte ve bir sonraki bloğun meşguliyet bilgisi her blok

girişinde bulunan sinyaller ile makinistlere bildirilmektedir.

Her tren için aynı güvenli frenleme mesafesi kullanılması,

demiryolu hat kapasitesinin etkin olarak kullanılamaması gibi

çeşitli sakıncaları olmasına rağmen sabit-blok sistemler

1800’lü yılların ortalarından bu yana halen kullanılmaktadır.

Bu çalışmada, sabit-blok demiryolu sinyalizasyon

sistemlerinde hata teşhisi Ayrık Olay Sistem (AOS) yaklaşımı

ile gerçekleştirilmiştir. İlk olarak sinyalizasyon sistemi

bileşenleri Petri ağları kullanılarak modellenmiş, sonrasında

sistemin hata teşhis edilebilirliği gösterilmiştir.

1. Giriş

Türk Standartları Enstitüsü (TSE) TS EN 61508-4

standardında, Arızaya geçme (failure) ve Bozulma (fault)

terimlerini sırasıyla, istenen fonksiyonu gerçekleştirmek için

fonksiyonel birimin yeteneğinin sona ermesi ve istenen

fonksiyonu gerçekleştirmek için fonksiyonel bir birimin

yeteneğinde azalmaya veya kayba neden olabilen anormal

durum olarak tanımlanmaktadır [1]. Ayrıca, insan

güvenliğinin sistemin düzgün çalışmasına bağlı olduğu

sistemler veya sistemin arıza durumuna geçmesinin sakıncalı

sonuçlara sebep olacağı sistemler güvenli-kritik (safety-

critical) sistemler olarak nitelendirilmektedir [2], [3]. Bu

tanımlardan yola çıkarak, olası arıza durumlarının çok sayıda

insanın hayatını kaybetmesi ile sonuçlanabileceğinden ötürü

hava trafik kontrol sistemleri, nükleer reaktör kontrol

sistemleri ve demiryolu sinyalizasyon sistemleri güvenli-kritik

sistemler sınıfına dahil edilmektedir [4].

Demiryolu hattının sabit uzunlukta alt bölümlere

(bloklara) ayrıldığı sabit-blok demiryolu sistemlerinde,

blokların uzunluğu izin verilen hız limiti ve hattın eğimi gibi

çeşitli değişkenlere göre belirlenmektedir. Ayrıca, gidilen

yolun durumuna bağlı olarak farklı tiplerde blok giriş

sinyalleri kullanılarak makinistler yönlendirilmektedir [5].

Mühendislik açısından değerlendirildiğinde, sabit-blok

demiryolu sistemleri için kullanılacak olan sinyalizasyon

sistemi tasarımında en önemli husus güvenlik standartlarının

gereksinimlerini, dolayısıyla, istenilen güvenlik bütünlüğü

seviyesini (Safety Integrity Level – SIL) sağlamaktır. Bu

amaçla yazılım geliştirme ve test süreçleri için standartlarca

önerilen teknik ve yöntemler takip edilmektedir [6-9].

Buna ek olarak, kuramsal açıdan değerlendirildiğinde ise,

sabit-blok demiryolu sistemleri yapıların bulunan olay-

güdümlülük, asenkron çalışma ve eş zamanlılık

özelliklerinden ötürü AOS olarak değerlendirilebilmektedir

[10]. Klasik kontrol teorisinde de olduğu gibi bu tip

sistemlerin de bir model (veya birden fazla modelin birleşimi)

ile temsil edilmesi gerekmektedir. Literatürde Grafcet [11],

otomat [12] ve Petri ağları [13] gibi modelleme yöntemleri

sıkça karşımıza çıkmaktadır.

AOS’lerde gerçekleşen olaylar gözlenebilir ve

gözlenemez olarak ayrılmaktadır. Herhangi bir sistem için,

arıza durumuna geçmeye sebep olan gözlenemez olayların

gerçekleştiği bilgisinin sonlu bir gecikme ile ortaya

çıkarılması mümkün ise sistem teşhis edilebilir (diagnosable)

olarak nitelendirilmektedir [14]. Teşhis edici (diagnoser)

sistem modelinin kendisinden elde edilmekte ve sistem

davranışını çevrimiçi olarak gözleyerek arıza teşhisi

gerçekleştirmektedir. Teşhis edicinin durumları arıza bilgisini

içereceğinden arızaların gerçekleşmesi bu durumların

izlenmesiyle belirlenmektedir [15].

AOS ve otomat yaklaşımı kullanarak gerçekleştirilen ilk

çalışmada teşhis edilebilirliğin tanımına ek olarak bir sistemin

teşhis edilebilir olması için gerek ve yeter koşullar

tanımlanmıştır [14], [15]. Otomat yaklaşımına alternatif

olarak [17]’de Petri ağı yaklaşımı kullanılmış ve oluşturulan

modellerde kullanılan geçişlerinin (transitions) tümü

gözlenemez, yerler (places) ise gözlenebilir ve gözlenemez

olarak tanımlanmıştır. [18]’de ise [17]’de yapılan çalışma

genişletilerek bazı geçişlerinde gözlenebildiği durumlar

incelenmiştir. Benzer şekilde, [19]’de [17]’de tanımlanana

yöntem esas alınarak bir sistemin teşhis edilebilirliğinin test

edilmesine yönelik bir çalışma gerçekleştirilmiştir. Petri ağları

yaklaşımı ile arıza teşhisi konusunda daha fazla bilgi [20-

23]’den ulaşılabilmektedir.

Bu çalışmada, sabit-blok demiryolu sinyalizasyon

sistemlerinde arıza teşhisi AOS yaklaşımı ile incelenmiştir.

Öncelikle sinyalizasyon sistemi bileşenleri Petri ağları

kullanılarak modellenmiş, sonrasında teşhis edici tasarlanarak

sistemin teşhis edilebilirliği gösterilmiştir. Sinyalizasyon

sistem tasarımında AOS yaklaşımı kullanılmasının temel

sebebi IEC 61508-3, Tablo B.5 [6] ve EN 50128, Tablo A.16

[7] gibi uluslararası güvenlik standartlarında SIL3 ve SIL4


738

seviyesinde güvenlik-kritik yazılım geliştirme sürecinde

şiddetle tavsiye edilmesidir.

2. Tanımlar

2.1. Petri ağları

Literatürde Petri ağı aşağıdaki beşli ile tanımlanmaktadır [13]:

0, , , ,PN P T F W M (1)

P = {p1, p2, …, pk} sonlu sayıda yerler kümesi,

T = {t1, t2, …, tz} sonlu sayıda geçişler kümesi,

F ⊆ (P T) ∪ (T P) oklar kümesi,

W: F → {1, 2, 3, …} ağırlık fonksiyonu,

M0: P → {0, 1, 2, 3, …} başlangıç işaretlemesi,

P ∩ T = ve P ∪ T ≠ .

Bu tanıma ek olarak, herhangi bir tj geçişi için jI t ve

jO t şeklinde iki küme ile geçişe ait giriş ve çıkış yerler

kümelerinin ifade edilmesi faydalı olacaktır:

: ,

: ,

j i i j

j i j i

I t p P p t F

O t p P t p F

(2)

Herhangi bir M işaretlemesi k elemanlı bir vektör ile ifade

edilebilmektedir (k toplam yer sayısını ifade etmektedir).

iM p n gösterimi ile i. yerin n jetona sahip olduğu ifade

edilmektedir.

Tanım 1 [10]: Herhangi bir tj geçişi kendisine ait her bir

giriş yerinde (pi) W(pi, tj) kadar jeton bulunması durumunda

aktif hale gelmektedir. W(pi, tj), tüm i jp I t için

,i i jM p W p t , pi yerinden tj geçişine yönlenmiş okun

ağırlığını ifade etmektedir. Aktif hale gelen bir geçiş,

ilişkilendirildiği olaya bağlı olarak ateşlenmekte veya

ateşlenmemektedir. Ateşlenme sonucunda tj geçişi, W(pi, tj)

kadar jetonu i jp I t yerinden siler ve W (tj, pi) kadar

jetonu i jp I t yerlerine ekler. Geçiş ateşlenmesi

sonrasında yeni işaretleme olan iM p (3)’de tanımlanan

kurala göre belirlenmektedir.

, ,i i i j j iM p M p W p t W t p (3)

Tanım 2 [13]: Bir Petri ağı öz döngüye sahip değilse saf,

tüm okların ağırlığı 1 ise sıradan olarak adlandırılmaktadır.

Tanım 3 [13]: Herhangi bir My işaretlemesine M0

başlangıç işaretlemesinden, 1 2 yt t t şeklinde sıralı bir

ateşleme ile 0 1 1 2 1y y yM t M t M t M şeklinde

erişilebiliyorsa, My M0’den erişilebilirdir denir. M0

işaretlemesinden erişilebilir tüm işaretlemeler kümesi R(M0)

ile ifade edilmektedir.

Tanım 4 [13]: Bir Petri ağında bulunan yerlerin içerdiği

jeton sayısı m gibi bir sayı ile sınırlandırılmış ise Petri ağı m-

sınırlı olarak tanımlanmaktadır.

Yani, 0 , :k i k iM R M p P M p m . Eğer bir Petri ağı

1-sınırlı ise güvenli olarak tanımlanmaktadır.

Tanım 5 [13], [25]: Bir Petri ağında her 0kM R M

erişilebilir işaretlemede, en az bir geçiş aktif ise kilitlenmesiz

olarak adlandırılmaktadır.

Tanım 6 [17], [18]: Bir Petri ağında bulunan yerler ve

geçişler gözlenebilir ve gözlenemez olarak iki ayrı kümeye

ayrılabilmektedir.

o uoP P P ve

o uoP P (4)

o uoT T T ve

o uoT T (5)

Bu tanıma ek olarak gözlenemez geçişler kümesi içerisinde

arızalı geçişleri ifade eden bir alt küme tanımlamak

mümkündür. n farklı arıza tipi için bu küme

1 2, , ,F nF F F ile ifade edilebilmektedir. Bu tanıma

bağlı olarak gözlenebilen ve gözlenemeyen geçiş ve yerler

Şekil 1’de gösterilmiştir.

1 2

, if n i jF F F F F FT T T T T T i j (6)

Şekil 1: Gözlenebilen ve gözlenemeyen geçiş ve yerlerin

gösterimi.

2.2. Petri ağı Tabanlı Arıza Teşhisi

Bölüm 2.1’deki tanımlarda da belirtildiği gibi gözlenemeyen

yerlerden dolayı bazı işaretlemeler de ayırt edilememektedir.

Eğer herhangi bir i op P yeri için benzer işaretlemeler elde

ediliyorsa, yani 1 2( ) ( )i iM p M p ise, bu durum 1 2M M ile

belirtilmektedir. Teşhis edici tanımına geçmeden önce şu

varsayımların yapılması faydalı olacaktır:

Varsayım 1 [14], [17]: (1) denklemi ile tanımlanan Petri

ağı kilitlenmesizdir.

Varsayım 2 [14], [17]: Gözlenemeyen geçişlere ait

işaretlemelerin sonucunda elde edile işaretlemelerin birbirleri

ile aynı olduğu bir iç çevrim bulunmamaktadır. Yani,

0iM R M ve , 1, 2, ..., i uot i n için,

1 1 2 2 1 , 1,2, , , n n i jM t M t M t M i j n M M

Petri ağı için teşhis edici otomat şu dörtlü ile ifade

edilmektedir [14, 17]:

, , ,d d o d dG Q q (7)

0 x

, 2R M

dQ Q Q

durumlar kümesi,

0ˆ

o oR M T olaylar kümesi,

:d d o dQ Q durum geçiş fonksiyonu,

0 0 ,q M N başlangıç durumunu,

Gözlenemeyen yer ve geçiş

Gözlenebilen yer ve geçiş


739

ifade etmektedir. dQ durum kümesi, Q tüm durumların bir alt

kümesidir 0q ’dan

d durum geçiş fonksiyonu ile

erişilebilirdir. Teşhis edicinin durumları

1 1 2 2, , , , , ,d n nq M l M l M l şeklindedir ve

0iM R M işaretlemeleri ile il etiketlerini

içermektedir. d durum geçiş fonksiyonu ise etiket yayılma

fonksiyonu (the label propagation function) ve aralık

fonksiyonu (the range function) ile tanımlanmaktadır. Etiket

yayılma fonksiyonu, tanımlanan *s T geçişler üzerinden

normal (N) veya arızalı (F) olan durumları etiketlemektedir.

T* kümesi, T kümesinde bulunan elemanların sonlu sayıda

oluşturdukları diziyi ifade etmektedir. Etiket yayılma

fonksiyonu:

*

0:

, ,

, eğer :

: , aksi halde,

i

i

i F F

i i F

LP R M T

LP M l s

N l N F T s

F F l T s

(8)

şeklinde tanımlanmaktadır. Burada iF

T s (benzer şekilde,

iFT s ) *s T gibi bir geçişler dizisinin Fi tipinde arıza

içeren bir geçiş içerdiğini (benzer şekilde, içermediğini) ifade

etmektedir.

Kısaca, eğer geçişler dizisi arızalı bir geçiş içermiyorsa

yeni işaretlemeye normal (N) etiketi atanmaktadır. Eğer

geçişler dizisi arızalı bir geçiş içeriyorsa yeni işaretlemeye

arıza tipini belirten uygun bir etiket atanmaktadır. Aralık

fonksiyonu ise [18]’den farklı olarak;

*, ,

:

, , , ,o

o

oM l q s T M

LR Q Q

LR q M LP M l s

(9)

şeklinde değiştirilebilir. Burada M işaretlemesi, M s M

ile elde edilmektedir. (9)’da verilen * *, oT M T ifadesi

iki farklı durum için tanımlanmaktadır:

1. 0ˆ ,o R M

*

*

,

, eğer

: : , aksi halde,

o

o

uo s o s

T M

M

s T M s s s M M

(10)

Burada sM ve sM işaretlemeleri sM s M , sM s M

ile elde edilmektedir. s ise s’nin tüm ön eklerinin kümesini

ifade etmektedir. (10) denkleminde oM durumu

gözlenebilen işaretlemenin değişimine karşılık gelmektedir.

Bu durumda, * , oT M , gözlenemeyen geçiş *

uos T dizileri

kümesini ifade etmektedir. Bu gözlenemeyen s geçiş dizileri

gerçekleşirken elde edilen ara işaretlemelerin hepsi (en son

elde edilen işaretleme hariç) aynıdır.

2. o oT

* *, : : ,o uo o sT M s T M s s s s M M

(11)

Gözlenebilen bir geçiş o oT ateşlendiğinde, * , oT M ,

o gözlenebilen geçişinden sonra ateşlenen gözlenemeyen

geçiş dizileri kümesini ifade etmektedir. Bu gözlenemeyen

geçiş dizileri gerçekleşirken elde edilen ara işaretlemelerin

hepsi (en son elde edilen işaretleme hariç) aynıdır. Yani,

* , oT M , M işaretlemesi ile uyumlu olası geçiş dizileri

kümesini ifade etmektedir.

Not: Bu çalışmada, [18]’de verilen * , oT M tanımı

aşağıdaki şekilde değiştirilmiştir.

0ˆ

oM R M olması durumunda, dG ’de

bulunan gözlenebilir işaretlemelerin iç çevrim oluşturmasını

engellemek amacıyla [18]’de tanımlanan * , oT M

yerine * , oT M olarak belirlenmiştir.

o oT olması durumunda,

oM olması

imkansız olduğu için bu durum incelenmemiştir.

Son olarak, [17]’de tanımlanan durum geçiş fonksiyonu

:d d o dQ Q aşağıdaki gibi değiştirilmiştir:

1 1

1

, , eğer ,,

tanımsız, aksi halde.

o o

d o

LR q LR qq

(12)

2.3. Teşhis Edilebilirlik

Petri ağı ile modellenmiş bir sistem için eğer arıza tipi

arızanın gerçekleşmesinden sonra sonlu sayıda gözlenebilir

geçişin ateşlenmesiyle her zaman tespit edilebiliyorsa sistem

teşhis edilebilirdir denir [17]. Q ’da bulunun durumları

aşağıdaki gibi sınıflandırmak mümkündür:

1. Herhangi bir ,M l q için eğer iF l ise, q Q

durumu Fi-kesin’dir denir.

2. Eğer iF l ve

iF l şartlarını sağlayan ,M l ve

,M l q gibi durumlar var ise q Q durumu Fi-kesin’dir

denir.

Eğer sistem teşhis edilebilir ise, iF

t T gibi arızalı bir

geçişin ateşlenmesinden sonra teşhis edici sonlu sayıda geçiş

ile Fi-kesin durumuna ulaşmaktadır [17].

Kuram 1 [14], [17]: (7) denkleminde verilen teşhis edici

eğer Fi-belirsiz döngüler içermiyorsa Petri ağı ile modellenmiş

sistem teşhis edilebilirdir denir. Fi-belirsiz döngü hakkında

daha fazla bilgi ve bu kuramın ispatı [14]’de verilmiştir.

3. Sabit-Blok Demiryolu Saha Bileşenleri ve

Sistem İsterleri

Sabit-blok demiryolu sinyalizasyon sistemlerinde temel

bileşenler tüm demiryolu trafiğinin yönlendirildiği Trafik

Kumanda Merkezi, makinistlerin gidecekleri yolun

meşguliyeti hakkında bilginin verildiği yol boyu sinyaller,

trenlerin bir hattan diğerine geçişini sağlayan makaslar ve

trenlerin konumlarının tespit edilmesini sağlayan ray devreleri

(veya aks sayıcılarla ayrılmış bloklar) olarak sıralanabilir.


740

Karayolu ile demiryolu kesişim bölgelerinde hemzemin

geçitler de kullanılmaktadır. Daha ayrıntılı bilgi [5] ve [26]’da

verilmiştir. Örnek bir demiryoluna ait şematik gösterim Şekil

2’de verilmiştir.

Şekil 2: Örnek bir demiryolu bölgesi.

Sabit-blok sinyalizasyon sistemin trenlerin hareketleri

temel olarak kısıtlamalar ve yasaklamalara dayanmaktadır.

Şekil 2’de verilen örnek demiryolu bölgesi için sistem

isterlerinden bazıları şu şekilde sıralanabilir:

Bir ray bloğundan diğerine gidebilmek için (örn.

001DT-2ST) mutlaka rotanın açılması gerekmektedir. Rotanın

açılması tüm güvenlik şartlarının sağlanması (rota üzerindeki

makasların konumları, olası hataların denetlenmesi vb.) ve

rota giriş sinyalinin uygun renk bildirimi (sarı, yeşil vb.)

vermesi anlamına gelmektedir.

Bir ray bloğunda aynı anda tek bir tren hareketine

izin verildiği için rota açılırken ve açıldıktan sonra (yani rota

giriş sinyali rotaya uygun renk bildirimi verdikten sonra) bu

rota ile çakışan diğer rotaların reddedilmesi gerekmektedir.

Rota açılmadan önce, açılırken ve açıldıktan sonra

rota üzerinde bulunan ray devreleri, makas ve sinyallerin

durumları sürekli olarak kontrol edilmektedir. Olası herhangi

bir ekipman hatasında rota açılmamış ise reddedilmekte,

açılmış ise iptal edilmektedir. Rota açıldıktan sonra çakışan

rotalarda sinyal hatası oluşması durumunda ise trenler

durdurulmaktadır.

Tüm bu yasaklamalar ve kısıtlamalar anklaşman

tablosunda [26] belirtilmeli ve geliştirilecek olan

sinyalizasyon sistemi temelde bu tabloyu temel almalıdır.

Anklaşman tablosunda tanımlı koşullara ek olarak

sinyalizasyon sisteminin kullanılacağı işletme koşulları da göz

önünde bulundurulmaktadır. Makasın bulunduğu pozisyondan

diğerine hareketi 5-7s olarak belirlenmiştir. Bu süre sonunda

makas istenilen pozisyona ulaşmamış ise arızalı durum

değerlendirilmelidir. Benzer şekilde, bir sinyal sarı renk

göstermesi gerekirken hiçbir renk bildirimi vermiyorsa bu da

arızalı durum olarak değerlendirilmelidir.

Şekil 2’de verilen demiryolu bölgesi için 001DT-2ST

rotasının açılabilmesi için 55 no’lu makas normal konuma

alınmalıdır. 001DT-1ST veya 2ST-001DT gibi çakışan rotalar

kesinlikle reddedilmelidir. Rotanın açılıp giriş sinyalinin

(001DT-2ST rotasının giriş sinyali 52B’dir) uygun renk

bildirimini vermesi ile tren hareketine devam etmekte ve

trenin 2ST ray bloğuna girip 53T ray bloğundan çıkmasıyla

rota sonlandırılmakta ve elektronik kilitler çözülmektedir.

Burada belirtilen elektronik kilitler, geliştirilen sinyalizasyon

yazılımda rotanın içerdiği saha ekipmanlarına rota

sonlanıncaya kadar başka bir müdahalede bulunulmamasını

sağlamaktadır. Mesela, herhangi bir makas pozisyonu üzerinde

bulunduğu ray bloğunun meşguliyeti geçinceye kadar

değiştirilmemelidir. Buna benzer anklaşman sistemi hakkında

daha detaylı bilgi [27]’de verilmiştir.

4. Demiryolu Saha Bileşenlerinin Modellenmesi

ve Hata Teşhisi Yaklaşımı

Bu bölümde demiryolu saha bileşenlerinin Petri ağı modelleri

anlatılmaktadır. Oluşturulan Petri ağı modelleri sıradan ve

güvenlidir. Şekil 2’de verilen örnek demiryolu bölgesinde

bulunan 1ST-001DT, 2ST-001DT, 001DT-1ST ve 001DT-

2ST rotalarını içeren Petri ağı modeli Şekil 3’de verilmiştir.

•

pidle

p1-3

p3-1

p2-3 p3-2

trr13 trc13ttp13

ttp23

trr23

trc23 trr31

trc31 ttp31

trr32

ttp32

trc32

Şekil 3: Rotalara ait Petri ağı modeli.

Şekil 3’den de görüldüğü üzere çakışan rotaların aynı anda

açılmasını engellemek amacıyla aynı anda bir tek rota

açılmasına izin verilmektedir. Petri ağı modellerinde bulunan

geçiş ve yerlerin açıklamaları bu bölümün sonunda Tablo 1’de

verilmiştir. Makaslara ait Petri ağı modeli Şekil 4’de

gösterilmektedir. Bölüm 2, Şekil 1’den de hatırlanacağı üzere

bazı geçiş ve yerler gözlenememektedir.

p1

p2•

S

p4

t2

t7

p5

N

t8tf1 p3

t6

t3

t4t1

t5tf2

pf1

pf2

Şekil 4: Makasa ait Petri ağı modeli (N-normal, S-sapan).

Makas pozisyonu konum sensörleri ile belirlenmektedir bu

nedenle bu durumu ifade eden yerler gözlenebilen yerler

olarak seçilmişken makasın bir pozisyondan diğerine

hareketini ifade eden durum gözlenemeyen durum olarak

belirlenmiştir. Makas pozisyon değiştirme hareketine

başladığında p2 (veya p1)’de bulunan jeton t3 (veya t1) geçişi

üzerinden gözlenemeyen p3 (veya p4) yerine geçmektedir. Eğer

makas 7s sonunda istenilen pozisyona ulaşmamış ise tf2 (veya

tf1) geçişi ateşlenmekte ve p3 (veya p4)’de bulunan jeton pf2

(veya pf1)’e geçmektedir. Eğer makas 7s dolmadan istenilen

pozsiyona ulaşmış ise p3 (veya p4)’de bulunan jeton t4 (veya

t2) geçişi üzerinden p1 (veya p2)’ye geçmektedir. Sinyallere ait

Petri ağı modeli Şekil 5’de gösterilmektedir.


741

tf3

t9

t10

p6

Y

•

K

p7

t11

aY

•

KS

p8 p9p10

tf4 tf5

t12

t13

t14

t15

t16 t16

b

Şekil 5: Sinyallere ait Petri ağı modeli (a-2’li cüce sinyal, b-

3’lü yüksek sinyal).

Başlangıçta sahada bulunan tüm sinyallerin kırmızı (K)

renk bildirimi verdikleri kabul edilmektedir. Sinyaller, açılan

rotaya bağlı olarak sarı veya yeşil renk bildirimleri

vermektedir. Mesela 2ST-001DT rotası açıldığında giriş

sinyali 52DA yolun durumuna göre sarı (S) veya yeşil (Y) renk

bildirimi vermektedir. Şekil 5’de verilen gözlenemeyen

geçişler tf3, tf4 ve tf5 sinyal arızalarını ifade etmektedir. Sinyal

arızaları, elektromanyetik alanlar veya kısa devrelerden

kaynaklanabilmektedir. Bu arızlar sonucunda sinyal uygun

renk bildirimi verememektedir. Bu nedenle, geliştirilecek olan

sinyalizasyon sistemi bu gibi arızaları yakalayarak sistem

güvenliğini sağlamaktadır.

Son olarak, ray bloklarına ait Petri ağı modelleri Şekil

6’da verilmiştir. Ray bloklarına ait modeller tren hareket

yönünü belirleyebilmek amacıyla iki giriş iki çıkış ve bir yer

kullanarak oluşturulmuştur. Tren ilgili ray bloğu üzerine

geldiğinde, tren hareket yönüne bağlı olarak bir jeton ilgili

yere eklenmektedir. 1ST ray bloğuna trenin girmesiyle p11’e

t17 (veya t20)’nin ateşlenmesi ile bir jeton eklenir. Benzer

şekilde, trenin 1ST ray bloğunu terk etmesiyle p11’de bulunan

jeton (t19 veya t18)’in ateşlenmesi ile silinmektedir.

p11

p12 p14

p13

t17

t18

t19

t20

t21

t22

t23

t24

t25

t26

t27

t28

t29

t30

t31

t32

2ST 1ST

53T 001DT

Şekil 6: Ray bloklarına ait Petri ağı modelleri.

Bu çalışmada verilen Petri ağı modelleri, saha

ekipmanlarının temel çalışma prensiplerini yansıtmakta olup

detaylandırılmamıştır. Oluşturulan bu modeller, [28-30]’de

belirtilen yöntemler ile yazılıma dönüştürülebilmektedir.

Tablo 1: Şekil 3-6’da verilen Petri ağı modellerinin

açıklamaları

Yerler Anlamı Geçişler Anlamı

pidle Açılmış bir rota

yok t1

Makas normali

terk etti

p1-3 2ST-001DT açıldı t2 Makas sapana

geldi

p2-3 1ST-001DT açıldı t3 Makas sapanı terk

etti

p3-1 001DT-1ST açıldı t4 Makas normale

geldi

p3-2 001DT-2ST açıldı t5 7s geçti

p1 Makas normalde t6 Makası normale

gönder

p2 Makas sapanda t7 Makası sapana

gönder

p3 Makas sapandan

normale gidiyor t8 7s geçti

p4 Makas normalden

sapana gidiyor t9 Kırmızı yak

p5 Makas pozisyona

ulaşmadı t10 Yeşil yak

p6 Sinyal kırmızı t11 Sinyal arıza onay

p7 Sinyal yeşil t12 Yeşil yak

p8 Sinyal kırmızı t13 Kırmızı yak

p9 Sinyal yeşil t14 Sarı yak

p10 Sinyal sarı t15 Kırmızı yak

p11 2ST meşgul t16 Sinyal arıza onay

p12 53T meşgul t17 (t20) 2ST’yi meşgul et

p13 1ST meşgul t18 (t19) 2ST’yi boşalt

p14 001DT meşgul t21 (t23) 1ST’yi meşgul et

pf1 Makas sapana

ulaşmadı t22 (t24) 1ST’yi boşalt

pf2 Makas normale

ulaşmadı t25 (t27) 53T’yi meşgul et

Geçişler Anlamı t26 (t28) 53T’yi boşalt

ttp13 2ST-001DT’yi

sonlandır t29 (t31)

001DT’yi meşgul

et

trr13 2ST-001DT’yi aç t30 (t32) 001DT’yi boşalt

trc13 2ST-001DT’yi

iptal et tf1

Makas normalden

sapana giderken

arıza

ttp23 1ST-001DT’yi

sonlandır tf2

Makas sapandan

normale giderken

arıza

trr23 1ST-001DT’yi aç tf3 Arızalı yeşil sinyal

bildirimi

trc23 1ST-001DT’yi

iptal et tf4

Arızalı sarı sinyal

bildirimi

ttp31 001DT-2ST’yi

sonlandır tf5

Arızalı yeşil sinyal

bildirimi

trr31 001DT-2ST’yi aç

trc31 001DT-2ST’yi

iptal et

ttp32 001DT-1ST’yi

sonlandır

trr32 001DT-1ST’yi aç

trc32 001DT-1ST’yi

iptal et

4.2. Arızaların Tanımlanması ve Teşhis Edici Tasarımı

Şekil 2’de verilmiş olan demiryolu bölgesi için olası

arızalardan bazıları şu şekilde tanımlanmıştır:

4.2.1. Alarm Koşulları

Rota açıldıktan sonra rotaya ters (veya çakışan rota)

yönlü sinyallerden herhangi birisinin kırmızıdan farklı bir renk

bildirimi vermemesi gerekmektedir. Mesela, 2ST-001DT

rotası açılmış ve rota giriş sinyali 52DA yeşil bildirim vermiş

olsun. Bu durumda 52B sinyalinin kırmızı bildirim vermesi

gerekmektedir.

Rota açıldıktan sonra rota üzerinde bozulan makasın

pozisyonu ve arıza durumu sürekli kontrol edilmektedir.

Mesela, 001DT-1ST rotası açılmış, 55 makası sapan

pozisyonda ve rota giriş sinyali 52B sarı ren bildirimi vermiş

olsun. 55 nolu makas, rota tren hareketi ile veya iptal ile

sonlanıncaya kadar pozisyonunu korumalıdır. Aksi bir

durumda rota iptal edilerek rotanın giriş sinyalinin kırmızı

bildirim vermesi sağlanmaktadır.


742

4.2.1. Güvenli-durum Koşulları

Açılmış rota üzerinde tren ilerlerken rotaya ters

(veya çakışan rota) yönlü sinyallerden herhangi birisinin giriş

sinyalinden önceki ray bölgesinde tren varken giriş sinyalinin

kırmızıdan farklı bir renk bildirimi vermesi durumunda sistem

güvenli-duruma alınmalıdır. Bu duruma ilişkin örnek Şekil

7’de gösterilmektedir.

52DA

54D

55

YG K

001DT

RY

53T2ST

1ST

52B

Y G

K

Tr2

Tr1

Şekil 7: Güvenli-duruma geçmeyi gerektiren arıza durumu.

Şekil 7’de verilen örnekte tren 1 kendisi için açılmış rota

üzerinde hareket ederken 54D sinyalinde meydana gelen arıza

sonucunda (54D sinyali kırmızı bildirim vermesi gerekirken

yeşil bildirim vermektedir) tren 2 makinisti de harekete

başlayacaktır. Böyle bir durumda tren 2’nin acil olarak

durdurulması gerekmektedir. Trenin acil durumlarda

durdurulması ATS (Automatic Train Stop) sistemleri ile veya

direk makinist ile irtibata geçilerek gerçekleştirilmektedir.

Teşhis edici, [14], [17] and [18]. Sayfa kısıtlamasından

dolayı sadece teşhis edicinin 2ST-001DT rotasına ait kısmı

Şekil 8’de verilmiştir. Bölüm 2.3’de verilen kuram 1’e göre

Şekil 8’de verilen teşhis edici Fi-belirsiz döngüler

içermemektedir ve sistem teşhis edilebilirdir. Aslında bu

durum demiryolu sinyalizasyon sistemleri gibi güvenli-kritik

sistem tasarımı için beklenen bir sonuçtur. Şekil 8’de verilen

teşhis edici de alarm koşulları kesikli çizgiler ile, güvenli-

durum koşulları ise kalın çizgiler ile belirtilmiştir. Diğer

rotalar için de benzer yol izlenerek tüm sisteme ait teşhis edici

oluşturulmaktadır. 2ST-001DT rotası açılırken (rota talebi

kabul edilmiş fakat henüz sinyal açılmamış iken) 55 nolu

makasta bir arıza meydana gelirse (Şekil 2’de bulunan tf2

geçişinin ateşlenmesi), rota açılma işlemi sonlandırılır ve

alarm sinyali ile kumanda merkezi bilgilendirilir. Benzer

şekilde, rota açılırken makas uygun pozisyon geldikten sonra

rota giriş sinyali 52DA’da bir arıza meydana gelirse (tf3 veya

tf4 geçişlerinin ateşlenmesi) yine rota sonlandırılarak alarm

sinyali üretilmektedir.

Şekil 7’de verilen örnekte olduğu gibi bir arıza oluşması

durumunda, yani 2ST-001DT rotasında tren ilerlerken, 1ST’de

bekleyen tren için 54D sinyalinin arıza sonucu kırmızı renk

bildirimi yerine yeşil renk bildirimi vermesi durumunda,

1ST’den harekete başlayan trenin acil olarak durdurulması

gerekmektedir.

Teşhis edici tasarımının en büyük avantajı yazılım

geliştirme için oluşturulan Petri ağı modellerinin

doğruluğunun test edilebilmesine ve arızalar karşısında

sistemin nasıl davranacağının belirlenmesine olanak

sağlamasıdır. Sinyalizasyon yazılımı geliştirilirken göz önünde

bulundurulacak olan arızalar ve bunların zamanında tespiti ile

sistem güvenliği sağlanmaktadır. Eğer sistem teşhis edilebilir

değilse oluşturulan Petri ağı modellerinin yeniden gözden

geçirilmesi gerekmektedir. Bunun yanı sıra oluşturulan Petri

ağı modellerinin karmaşıklığının artması da yazılımda hata

takibini zorlaştırmaktadır. O nedenle oluşturulacak olan

modeller kolay hata takibi için olabildiğince basit ama tüm

güvenlik kriterlerini sağlayacak şekilde oluşturulmalıdır.

5. Sonuçlar

Sabit-blok demiryolu sistemlerinin sahip olduğu

karakteristikler, kullanılacak olan sinyalizasyon sistem

tasarımında AOS yaklaşımına olanak sağlamaktadır.

Demiryolu sinyalizasyon sistemleri güvenli-kritik sistemler

sınıfına dahil olduklarından dolayı olası bir arızasının en kısa

sürede tespit edilmesi ve kazaların önüne geçilmesi büyük

önem teşkil etmektedir. Tüm sistemin güvenliği her an garanti

altında tutulmaktadır. Bu çalışmada, örnek bir demiryolu

sahası için Petri ağı modelleri oluşturulmuş ve teşhis edici

tasarlanmıştır. Teşhis edicinin tasarımı, incelenen demiryolu

sahasının büyümesi ile işlem ve zaman açısından fazla vakit

alabilmekte fakat tasarımcılara oluşturdukları modelleri

doğrulayabilmelerine olanak sağlamaktadır.

1000010100000000, N

1000010100100000, N

1000010100101000, N

1000010001001000, F4

1000010001100000, F4

1000010010100000, F5

1000001100100000, F3

1000010010101000, F5

1000010001101000, F4

1000010010000000, N

1000010010100000, N

1000010010110000, N

1000010100110000, N

1000010100110100, N

1000010100010100, N

1000010100000100, N

1000010010001000, N

1000010010101000, N

1000010010111000, N

1000010100111000, N

1000010100111100, N

1000010100011100, N

1000010100001100, N

1000010100001000, N

1000001010001000, F3

1000001010101000, F3

1000001010111000, F3

1000001100111000, F3

1000001100111100, F3

1000001100011100, F3

1000001100001100, F3

1000001100001000, F3

1000010001000000, F4

1000010010000000, F5

1000001010100000, F3

1000001010000000, F3

1000001010110000, F3

1000001100110000, F3

1000001100110100, F3

1000001100010100, F3

1000001100000100, F3

1000001100000000, F3

2

2

1000001100101000, F3

0010001100001000, F3

0010001100101000, F3

1000010100001000, N

0010010010100000, F5

0010010010001000, F5 0010010010101000, F5

0010010001100000, F4 0010010001101000, F4

0010010100000000, N

0010010010000000, F5

0010010001000000, F4 0010010001001000, F4

0010001100000000, F3

0010001100100000, F3

0000110100000000, F2

0100010100000000, N

0010010100001000, N

0010010100100000, N

0010010100101000, N

0010001100100000, F3

0000110100001000, F2

0010001100101000, F3

0010001100001000, F3

1000010010001000, F5 1000001100001000, F3

P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14Pf1Pf2, N

Alarm Koşulları

Alarm Koşulları

Alarm Conditions

M30

M28

M29

M25

M26

M47

M48

M46

M50

M51

M49

M52

M53

M27

22M21-t

18M21-t

M22

M23 M2422M20-t

18M19-t

M54

M55

12M31-t

M57

M58

M59

M60

M61

M62

M63

18M32-t

26M33-t

13M34-t

30M35-t

20M36-t

29M37-t

33M2-t

25M2-t

23M37-t

22M44-t23M36-t

22M43-t

22M42-t

23M35-t

23M34-t

22M41-t

22M40-t

22M39-t

22M38-t

23M31-t

23M32-t

23M33-t

33M56-t

29M63-t

20M62-t

18M58-t

26M59-t

13M60-t

30M61-t

M56

4M2-t

5M6-t

3M1-t

M7

M9

M8

M0 18M16-t

18M12-t

18M10-t22M11-t 22M12-t

22M14-t

22M15-t18M15-t18M13-t

22M5-t23M3-t

M16

M18

M17

18M5-t

5M65-t

22M18-t

22M17-t18M18-t

23M1-t

22M4-t 19

M1-t

18M3-t

18M39-t

26M40-t

13M41-t

30M42-t

20M43-t

29M44-t

33M45-t

Şekil 8: Teşhis Edici (2ST-001DT rotası için).


743

Teşekkür

Bu çalışma JSPS (Japan Society fort he Promotion of Science)

RONPAKU doktora burs programı tarafından

desteklenmektedir.

Kaynakça

[1] IEC 61508-4, Functional Safety of

Electrical/Electronic/Programmable electronic safety-

related systems, Part 4: Definitions and abbreviations,

2010.

[2] ___, An introduction to Safety Critical Systems, IPL

intelligent business, 2011. Çevrimiçi olarak erişilebilir:

http://www.ipl.com/pdf/p0826.pdf. (19.06.2013).

[3] J.C. Knight, “Safety critical systems: challenges and

directions,” Proceedings of the 24rd International

Conference on Software Engineering, s:547-550, 2002.

[4] G. J. Kuepper, “150 Years of Train-Disasters - Practical

Approaches for Emergency Responders,” 9-1-1

Magazine, September/October sayısı, s:30-33, 1999.

[5] S. Hall, Modern Signalling Handbook, Ian Allan

Publishing, England, 2001.



related systems, Part 3: Software requirements, 2010.

[7] EN 50128, Railway Applications, Communications,

signalling and processing systems, Software for railway

control and protection systems, 2001.

[8] M. T. Söylemez, M. S. Durmuş ve U. Yıldırım,

“Functional safety application on railway systems:

Turkish National Railway Signalization Project,”

Proceedings of the 24th International. Congress on

Condition Monitoring and Diagnostics Engineering

Management, s:1683-1692, 2011.

[9] Ö. Kaymakçı, V. G. Anık ve İ. Üstoğlu, “A Local

Modular Supervisory Controller for a Real Signalling

System,” The 5th IET International System Safety

Conference, s:1-6, 2010.

[10] C. G. Cassandras ve S. Lafortune, Introduction to

Discrete Event Systems, Kluwer Academic Publishers,

1999.

[11] R. David, “Grafcet: A Powerful Tool for Specification of

Logic Controllers,” IEEE Trans. on Control Systems

Technology, Cilt: 3, No: 3, s:253-269, 1995.

[12] P. J. Ramadge ve W. M. Wonham, “The Control of

Discrete Event Systems,” Proc. of IEEE, Cilt:77, No:1,

s:81-89, 1989.

[13] T. Murata, “Petri Nets: Properties, Analysis and

Applications,” Proc. of IEEE, Cilt:77, No:4, s:541-580,

1989.

[14] Meera Sampath, R. Sengupta, S. Lafortune, K.

Sinnamohideen ve D. Teneketzis, “Diagnosability of

Discrete Event Systems,” IEEE Trans. on Automatic

Control, Cilt:40, No:9, s:1555-1575, 1995.

[15] Meera Sampath, R. Sengupta, S. Lafortune, K.

Sinnamohideen ve D. Teneketzis, “Failure Diagnosis

using Discrete-Event Models”, IEEE Trans. on Control

Systems Technology, Vol. 4, No. 2, pp. 105-124, 1996.

[16] Meera Sampath, S. Lafortune ve D. Teneketzis, “Active

Diagnosis of Discrete Event Systems,” IEEE Trans. on

Automatic Control, Cilt: 43, No: 7, s:908-929, 1998.

[17] T. Ushio, I. Onishi ve K. Okuda, “Fault Detection Based

on Petri Net models with Faulty Behaviours,” Proc. of

1998 IEEE Int. Conf. on System, Man and Cybernetics,

s:113-118, 1998.

[18] S.-L. Chung, “Diagnosing PN-based Models with Partial

Observable Transitions,” Int. J. Computer Integrated

Manufacturing, Cilt: 18, No: 2-3, s:158-169, 2005.

[19] Y. L. Wen ve M. D. Jeng “Diagnosability of Petri Nets,”

Proc. of 2004 IEEE Int. Conf. on System, Man and

Cybernetics, s: 4891-4896, 2004.

[20] A. Ramirez-Trevino, E. Ruiz-Beltran, I. Rivera-Rangel

ve E. Lopez-Mellado, “Online Fault Diagnosis of

Discrete Event Systems. A Petri Net-Based Approach,”

IEEE Trans. on Automation Science and Engineering,

Cilt: 4, No: 1, s:31-39, 2007.

[21] D. Lefebvre ve C. Delherm, “Diagnosis of DES with

Petri Net Models,” IEEE Trans. on Automation Science

and Engineering, Cilt: 4, No: 1, s:114-118, 2007.

[22] M. P. Cabasino, A. Giua ve C. Seatzu, “Fault Detection

for Discrete Event Systems using Petri Nets with

Unobservable Transitions,” Automatica, Cilt: 46, s:1531-

1539, 2010.

[23] M. P. Cabasino, A. Giua, S. Lafortune ve C. Seatzu, “A

New Approach for Diagnosability Analysis of Petri Nets

Using Verifier Nets,” Automatica, Cilt: 57, No: 12,

s:3104-3117, 2012.



related systems, Part 7: Overview of techniques and

measures, 2010.

[25] Z.W. Li, M.C. Zhou ve N. Q. Wu, “A Survey and

Comparison of Petri-Net Based Deadlock Prevention

Policies for Flexible Manufacturing Systems,” Cilt: 38,

No: 2, s:173-188, 2008.

[26] U. Yıldırım, M. S. Durmuş ve M. T. Söylemez,

“Automatic Generation of the Railway Interlocking

Tables by Using Computer Algebra Toolbox,” Journal

on Automation and Control Engineering, (Accepted for

publication).

[27] C. White, “Interlocking principles,” IET Professional

Development Course on Railway Signalling and Control

Systems, s:65-78, 2010.

[28] M. Uzam ve A. H. Jones, “Discrete Event Control

System Design Using Automation Petri Nets and Their

Ladder Diagram Implementation,” The International

Journal of Advanced Manufacturing Technology, Cilt:14,

No: 10, s:716-728, 1998.

[29] D. Thapa, S. Dangol ve G. N. Wang, “Transformation

from Petri nets Model to Programmable Logic Controller

using One-to-One Mapping Technique,” Proc. of the Int.

Conf. on Computational Intelligence for Modelling,

Control and Automation and Int. Conf. on Intelligent

Agents, Web Technologies and Internet Commerce,

s:228-233, 2005.

G. Frey, “Automatic Implementation of Petri net Based

Control Algorithms on PLC,” American Control

Conference, s:2819-2823, 2000.


744

Elektrohidrolik Abkant Pres Tasarımı - I :

Modelleme ve Benzetim

H. Ulaş Akova1, Hakan Çalışkan

2, Tuna Balkan

3, Bülent E. Platin

4


Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara [email protected]







Özet

Bu çalışmada değişken devirli pompa denetimli özgün bir

abkant pres sistemi incelenmiştir. Sistemin benzetim modeli

oluşturularak dinamik davranışlarının incelenebileceği ve

başarımını geliştirmeye yönelik yeni kontrolcülerin

tasarlanabileceği bir ortam oluşturulması hedeflenmiştir.

Sistemi oluşturan hidrolik, elektrik ve mekanik alt fiziksel

sistemlerin matematiksel modelleri etkileşimli olarak

oluşturulmuştur. Bu amaç ile MATLAB®/Simulink® yazılımı

ile birlikte Stateflow®, SimHydraulics® ve SimMechanics™

kütüphaneleri kullanılmıştır. Sistemin davranışı alt sistemlerin

modellerinin eş zamanlı olarak çözülmesiyle elde edilmiştir.

Son bölümde benzetim modelinin yeterliliği gerçek sistem

üzerinden alınan test sonuçları ile değerlendirilmiştir.

1. Giriş

Sac metal bükümünde kullanılan abkant presler (Şekil 1)

endüstride yaygın olarak kullanılmakladır. Ayrıca abkant pres

üretiminde ülkemiz dünya piyasalarında önemli bir

konumdadır. Abkant pres sistemi üst kalıbı taşıyan hareketli

bir koç tablası ile alt kalıbın üzerine sabitlendiği bir pres

yatağından oluşmaktadır. İki serbestlik derecesine sahip koç

tablası iki yanında bulunan eyleyiciler ile tahrik edilmektedir.

Koç tablasının tahrik edilmesi için farklı çözümler

bulunmaktadır. Örneğin düşük tonajlı bazı preslerde elektro-

mekanik çözümler karşımıza çıkmaktadır[1]. Yüksek tonajlı

geleneksel abkant preslerde ise hidrolik eyleyicilerin konum

kontrolü oransal valfler ile yapılmaktadır. Ancak bilindiği gibi

valf denetimli sistemler düşük enerji verimliliğine sahiptirler.

Enerji verimliliğinin önemli bir ölçüt olduğu günümüz

mühendislik sistemlerinde ise valf kontrollü sistemlerin yerini

pompa kontrollü sistemler almaktadır[2].

Bu çalışma kapsamında patent aşamasında olan bir

elektrohidrolik abkant pres sisteminin benzetim modeli

oluşturularak, önerilen sistemin başarımı incelenmiştir[3].

Ayrıca yeni kontrolcülerin geliştirilebileceği ve test

edilebileceği bir platform elde edilmiştir.

Oluşturulan abkant pres modeli elektrik, hidrolik ve

mekanik alt sistemlerden oluşmaktadır. Ayrıca sistemin bir

düzen içerisinde çalışmasını sağlayan bir sonlu durum

makinası (SDM) tasarlamıştır. SDM hidrolik sistem içinde

bulunan valflerin bir büküm çevrimi sırasındaki enerjilerine

karar vermektedir. Bunun yanında bir büküm yazılımından

elde edilen konum değerlerine uygun olarak hidrolik eksenler

için hareket yörüngesi üretmektedir. Aynı zamanda SDM’nın

yapısı hareket kontrolcülerinin parametrelerinin büküm

çevrimi içerisinde adaptasyonunu oldukça kolaylaştırmaktadır.

Şekil 1. Abkant Pres


745

2. Elektrohidrolik Abkant Pres Sistemi

Tek bir ekseni tahrik eden hidrolik sistemin genel yapısı

Şekil 2’de gösterilmiştir. Eyleyiciye giden akışkanın debisi

servo motor tahrikli sabit deplasmanlı bir pompanın devri

değiştirilerek ayarlanmaktadır. Devrede gösterilen hız

değiştirme (HD), ön-dolum (OD) ve dekomprasyon (DC)

valflerinin enerjileri bir büküm çevrimi süresince oluşan

durumlara göre ayarlanmaktadır.

Şekil 2. Hidrolik Tahrik Sistemi

Bu durumlar Şekil 3’te koç tablasının izlediği istek konum

grafiğinde gösterilmiştir. Birinci aşama (A) hızlı iniştir. Bu

aşamada koç tablasının potansiyel enerjisi ile hız değişim

noktasına (HDN) kadar iniş yapılır. Bu sırada OD valfi

enerjisiz iken HD valfi enerjilidir. Dolayısı ile eyleyicinin

piston tarafı hidrolik pompaya ve mil tarafı tanka bağlıdır.

Hidrolik pompa motor modunda çalışarak tablayı

indirmektedir. Koç tablası HDN konumuna geldiğinde HD

valfinin enerjisi kesilip, OD valfi enerjilendirilir. Bu sayede

pompa eyleyicinin piston tarafına bağlanmış olur. HDN

noktasında valf konumlarının değişmesi ve koç tablası

üzerindeki eksenlerinin aynı konumda olanmaları beklenir.

İkinci aşama (B) koç tablasının pres noktasına gitmesi ile son

bulur. Bu esnada basınç ayar (BA) valfi karşı denge valfi

olarak çalışmaktadır. Eyleyici mil tarafındaki debi BA valfi

üzerinden tanka tahliye edilmektedir.

Şekil 3. Koç Tablası Konum Grafiği – Valf Enerjileri

Üçüncü aşama (C) bükülen metalin şekil alması için koç

tablasının pres konumuna gelmesi ve burada bekletilmesidir.

Dördüncü aşama (D) piston tarafındaki basıncın DC valfi

açılarak yavaşça azaltılmasıdır. Son aşamada (E) ise OD

valfinin enerjisi kesilir ve eyleyicinin piston tarafı tekrar tank

hattına bağlanır. Bu sayede koç tablası hızlı bir şekilde yukarı

çıkartılmaktadır.

Büküm aşamalarının birbiri ardına bir düzen içersinde

nasıl çalıştırıldığı ve valf enerjilerinin nasıl ayarlandığı SDM

bölümünde kısaca açıklanmaktadır.

Görüldüğü gibi pompanın hidrolik eyleyicinin mil tarafına

veya piston tarafına bağlanmasına göre pompa devri ile koç

tablası konumu arasındaki aktarım fonksiyonu değişmektedir.

Bu durum ikinci kısımda daha ayrıntılı olarak incelenecektir.

3. Abkant Pres Benzetim Modeli

Abkant presin matematiksel modeli hidrolik, mekanik ve

elektrik alt sistemlerden oluşmaktadır. Elektrik alt sistemi

SMSM(Sabit Mıknatıslı Senkron Motor) servo motorlardan ve

sürücülerinden oluşmaktadır. Elektrik alt sistem modeli

konum kontrocüsünden istek hız bilgisini alarak, hidrolik alt

sisteme pompa devrini vermektedir. Hidrolik alt sistem ise

mekanik sistemin hareketini oluşturan kuvveti yaratmaktadır.

Hidrolik ve mekanik alt sistemler SimHydraulics® ve

SimMechanics™ kütüphaneleri kullanılarak oluşturulmuştur.

Electrik alt sistemi ise Simulink® ortamında modellenmiştir.

3.1. Hidrolik Sistem Modeli

SimHydraulics® kütüphanesinde birçok hidrolik

ekipmanın hazır blokları bulunmaktadır. Ayrıca bu

kütüphanede hazır olarak bulunmayan ve farklı işlevlere sahip

hidrolik ekipmanlar SimScape™ kütüphanesi kullanılarak

kullanıcı tarafından rahatlıkla oluşturulabilmektedir.

Bu çalışmada hidrolik eyleyici, BA, OD, HD valfleri ve

hat dinamikleri Simhydraulics® programının kütüphanesinde

bulunan hazır bloklar kullanılarak modellenmiştir. Ancak

hidrolik pompanın modellenmesinde SimScape™

kütüphanesinin blokları kullanılmıştır. Bu sayede pompanın iç

ve dış sızıntıları dikkate alınmıştır. Basınca bağlı pompa iç ve

dış sızıntı katsayıları üretici firmadan alınmıştır. Hidrolik

sistem modelinin genel görünümü Şekil 4’te verilmiştir.

Şekil 4. Hidrolik Sistem Modeli

1 Hydraulics2Mechanics

f(x)=0

wP[rad/s]

Tp [Nm]

qB_CV

qA_CV

In

Out

Pump

B FP

Prismatic -

Translational

Interface

AB

AB

pB[]

pB

pA

_[b

ar]

pA

pB[]

pB

eODsOD

OnDolum Signal

A B

A B

AB

A B

TP

TP

Hydraulic Constant Pressure Source

[q_OD]

[qB_RV]

Goto_qB_RV

[qA_CV]

[qB]

[qB_CV]

[qA]

[pB_out]

[pB]

[pA]

[Tp]

eGDsGD

Geda Signal

[wP]

[eGD]

[eOD]

[eDC]

qB

_R

Vq

Ri

qR

o

qBqBi

qBo

qODqODi

qODo

qAqAi

qAo

SA

B

Decompression

eDCsDC

DecompSignal

Custom Hydraulic

Fluid

AB

C A

R B

ACT IN

POSITIVE

DIRECTION

SA

B

S

A

B

2-Way

Directional

Valve1


746

3.1.1. Hidrolik Eyleyici

Şekil 2’de görüldüğü gibi bu çalışmada tek milli, çift

etkili hidrolik silindirler kullanılmıştır. Koç tablasının hızlı

iniş ve çıkış hareketleri eyleyicinin mil tarafındaki odasınan

alınan veya gönderilen debi ile sağlanmaktadır. Diğer yandan

baskı işlemi eyleyicinin etki alanı geniş olan piston tarafından

sağlanmaktadır.

Programın kütüphanesinde bulunan “Çift – Etkili Hidrolik

Silindir” bloğu arayüzünde eyleyicinin iki odasındaki etki

alanları girilebilmektedir. Ayrıca eyleyicinin odalarındaki

akışkanın sıkıştırılabilirliği blok tarafından dikkate

alınmaktadır.

Blok arayüzünde belirtilebilen bir diğer değer ise silindir

odalarının benzetim başlangıcındaki ilk basınçlarıdır. Büküm

çevrimi başlangıcında hidrolik eyleyicinin piston tarafı OD

valfi üzerinden tanka açık iken mil tarafında koç tablasının

ağırlığından kaynaklı bir ilk basınç bulunmaktadır.

Şekil 4‘te görüldüğü gibi eyleyicinin mil tarafı HD

valfine bağlanmışken, piston tarafı hidrolik pompa ve OD

valfinin bulunduğu hatta bağlanmıştır.

Hidolik silindire etki eden sürtünme kuvveti Stribeck

eğrisi kullanılarak modellenmiştir. Bu amaçla Simscape™

kütüphanesinde bulunan öteleme-sürtünme (Translational

Friction) bloğu kullanılmıştır.

3.1.2. Hidrolik Pompa Modeli

Sistemde içten dişli ve sabit deplasmanlı bir pompa

kullanılmıştır. Simetrik yapıdaki bu pompanın özelliği debi ve

basınç eksenlerinin tanımladığı 4 kadranda da çalışabilir

olmasıdır. Bir başka değişle hidrolik pompa ters yönde

dönebilmekte ve yüksek basınç ve emiş portları yer

değiştirebilmektedir. Bu özellikler nedeni ile pompayı

tanımlayan matematiksel ifade hem pompa hem motor

modunda geçerli olmalıdır. SimHydraulics® kütüphanesinde

bulunan pompa modeli bu pompanın davranışını gerektiği gibi

yansıtamamaktadır. Bu nedenle pompa modeli Şekil 5’te

gösterildiği gibi hidrolik transformatörler ve başvuru tabloları

(look-up table) kullanılarak oluşturulmuştur.

Şekil 5. Hidrolik Pompa Modeli

3.1.3. BA, OD ve HD Valflerinin Modelleri

Basınç ayar (BA) valfinin modellenmesi için hazır

bulunan “Basınç Ayar Valfi” bloğu kullanılmıştır. Valf

açıklığı, Şekil 6’da görüldüğü gibi, valf üzerindeki basınç

düşmesi ile doğrusal olarak değişmektedir. Ancak sürgü

hareketi herhangi bir dinamik içermemektedir. Blok düzgün

ve düzensiz (laminar & turbulent) akışları kritik Reynolds

sayısına bakarak ayırt etmektedir. .

Şekil 6. Basınç Ayar Valfi Modeli

Ön dolum (OD) valfi “2-Yollu Yön Valfi” bloğu ile

modellenmiştir. Valfin sürgüsünün konumunu değiştirebilmek

için “2-Konumlu Valf Eyleyicisi” bloğu kullanılmıştır. Blok

arayüzünden valfin açılma ve kapanma sürelerini belirten

parametreler girilmektedir. Bu parametreler kullanılarak Şekil

7’deki sürgü konumunun zaman grafiği oluşturulmaktadır.

Ancak blok her basınçta aynı açılma ve kapanma sürelerini

kullanmaktadır.

Şekil 7. OD Valfinin Açılıp/Kapanma Modeli

HD valfinin modellenmesi için “2-Yollu Yön Valfi” ve

“Check Valve” blokları paralel olarak kullanılmıştır (Şekil 4).

Ayrıca valf konumunun ayarlanması için OD valfinde olduğu

gibi “2-Konumlu Valf Eyleyicisi” bloğu eklenmiştir. “Check

Valve” bloğu arayüzüne valfin akışkan geçişine izin verdiği en

düşük basınç farkı ve maksimum valf açıklığının sağlandığı

basınç farkı değeri girilmiştir.

3.1.4. Hat Dinamiğinin Modellenmesi

Pompanın iki portu ve eyleyicinin odaları arasındaki

hidrolik iletim hatlarının sistem davranışına olan etkisini

modelleyebilmek için programın “Hidrolik İletim Hattı” bloğu

kullanılmıştır. Blok sürtünme kayıplarını ve akışkan

sıkıştırılabilirliğini modellemektedir. Ancak akışkanın

kütlesinden kaynaklı atalet etkileri blok modeline

eklenmemiştir. Blok arayüzüne iletim hattının uzunluğu,

geometrik şekli, elastikliği ile ilgili bilgiler girilmiştir. Ayrıca

blok Reynolds sayısını hesaplayarak düzgün ve düzensiz

akışları ayırt etmektedir.

3.2. Mekanik Sistem

Bu çalışmada C-çerçeveye sahip bir abkant pres

modellenmiştir. Presi oluşturan çubuklar ve sahip oldukları

kinematik çiftler belirlenerek SimMechanics™ modeline

eklenmiştir.

Büküm çevriminde C açıklığında herhangi bir şekil

değiştirme olmadığı kabul edilerek presin ana çerçevesi

3

q_out

2

q_in

1

wM

C

A

S

C

A

S

Internal Leakage

AB

P

AB

P

AB

P

S

TP

S

TP

S TP

[qP_out]

[qP_in]

qPoqIn

qOut

qPoqOut

qIn

qIn

qO

qo

qi

qo

qi

qT_oqT_i

External Leak Output2

External Leak Output


747

esnemez alınmıştır. Ana çerçeve üzerinde hidrolik

eyleyicilerin konumları belirlenerek modele eklenmiştir.

Hidrolik eyleyicilerin piston ve kovanı arasında 1 öteleme

serbestliğine sahip (P) bir adet kinematik çift bulunmaktadır.

Buradaki kinematik çift “Prismatic-translational interface”

bloğu yardımıyla mekanik sistemi süren hidrolik alt sistem

modeline bağlanmaktadır.

Koç tablası uzayda bir öteleme ve bir dönme serbestlik

derecesine sahiptir. Dönme hareketi hidrolik eyleyicilerin

konumları arasındaki farktan kaynaklanmaktadır. Bu neden

ile hidrolik eyleyicilerin silindirleri ile koç tablası arasında

kütlesiz bağlantı elemanı olan “Revolute - Revolute” bloku

kullanılarak bu serbestlik derecesi modellenmiştir.

SimMechanics™ modelinde kullanılan elemanların

kütleleri, ataletleri, ilk konumlarının ve bağlantı yapıları blok

ara yüzlerine girilmiştir. Mekanik sistem modeli Şekil 8’de

verilmiştir.

Şekil 8. Mekanik Sistem Modeli

3.3. Elektrik Sistemi

Pompa tahriki için sabit mıknatıslı senkron motor (SMSM)

kullanılmıştır. Motorun manyetik devresinin doğrusal olduğu

kabul edilerek q-d eksen takımındaki denklemleri (1) ve

(2)’deki gibi yazılmıştır[4].

(1)

(2)

Motor silindirik rotora sahip olduğu için elektromanyetik

tork değeri (3)’deki gibi bulunur.

( ) (3)

Denklemler [1-3] kullanılarak Şekil 9’da gösterilen

SMSM modeli oluşturulmuştur.

Şekil 9. Motor Modeli

Endüstriyel motor denetleyicisinin genel yapısı Şekil

10’da verilmiştir. Görüldüğü gibi hız ve akım kapalı

çevrimlerinden oluşan ardışık bir kontrol yapısı kullanılmıştır.

Hız ve akım denetleyicisi olarak oransal-integral (PI)

kontrolcü yapısı kullanılmaktadır. Ayrıca oransal kazançlar

sistem değişkenlerine bağlı olarak sürekli uyarlanmaktadır.

Dışta bulunan hız denetleyicisi içte bulunan akım

denetleyicisi için tork isteği oluşturur. Bu değer ikinci

mertebeden bir ayrık zamanlı bir filtreden geçirilerek gerekli

akım miktarı belirlenir ve motor üzerinden ölçülen akım

değerleri ile birlikte akım kontrolcüsü tarafından kullanılır.

Şekil 10. İki Aşamalı Ardışık Motor Denetleyicisi

Akım kontrolcüsü çevrimini q ve d eksen takımlarını

kullarak gerçekleştirmektedir. Burada üretilecek tork q ekseni

akım değeri iq ile doğrudan bağlantılıdır. Diğer yandan elde

edilecek net torku azaltacağı için diğer eksende akım

oluşması ise istenmemektedir, bu nedenler istek id sıfırda

tutulmaktadır. Akım kontrolcüsünün çıktısı motora

uygulanması gereken q ve d ekseni gerilim değerleridir.

İki aşamadan oluşan motor kontrolcüsünün benzetim

modeline endüstriyel kontrolcü içerisinde bulunan ve

doğrusal olmayan, integral sıfırlama, sınırlama ve kazanç

uyarlanması gibi özellikler de eklenmiştir.

4. Sonlu Durum Makinası (SDM)

Koç tablasının bir büküm çevrimi sırasındaki hareketi

Şekil 3’te gösterilmiştir. Daha öncede belirtildiği gibi

buradaki grafik 5 ayrı hareketten oluşmaktadır: hızlı iniş,

baskı, baskıda tutma, dekomprasyon ve hızlı çıkış. Her durum

için bir referans hareket profili oluşturulması ve Şekil 2’de

verilen hidrolik devredeki valf konumlarının harekete uygun

olarak ayarlanması gerekmektedir. Bu nedenle Şekil 11’de

görüldüğü gibi bir sonlu durum makinası

MATLAB®/Stateflow® kullanılarak tasarlanmıştır.

Her durum için gerekli olan konum, hız, ivme, bekleme

gibi bilgileri bir büküm yazılımı tarafından belirlenerek sonlu

durum makinasına aktarılır. Bu bilgiler ilgili durumun aktif

hale gelmesi ile birlikte kullanılarak referans girdi oluşturulur

ve eksen kontrolcüsüne gönderilir. Ayrıca referansın

oluşturulabilmesi için gerekli olan eksen konumu SDM’e geri

besleme olarak gönderilmektedir.

Şekil 11. Sonlu Durum Makinası Şematiği

Aktif olan durum sonlandığında SDM sistemin o anki

bilgilerini alarak bir sonraki durum için gerekli referansı

üretir. Aynı zamanda durumlar arasında geçiş yaparken valf

enerjileri ayarlanır. Ayrıca sadece hızlı iniş durumunda

enerjilendirilen mod değiştirme valfinin sağladığı geri

besleme bilgisi pres durumuna geçişte bir koşul olarak

kullanılmaktadır.

Büküm çevrimi süresince sistemin aktarım fonksiyonu

HD valfinin enerji durumuna bağlı olarak değişmektedir.

i_d[A]

3

i_q[A]

2omgM[rad/s]

1

dM

1/s1/s

1/s

1/Jmot

lmb*np

1.5*lmb*np

npLd

1/Lq

Rs

npLq

Ld-Lq

1/Ld

Rs

v_d[V]

3

v_q [V]

2

Tm[Nm]

1

i_d

i_q

2

Mech2Hyd_Y2

1

Mech2Hyd_Y1

B F

Weld

B F

Revolute-Revolute1

B F

Revolute-Revolute

B

F

Prismatic_Y2

B

F

Prismatic_Y1

CS1 CS2

PressRam

CG

CS1CS2

PressBody

Co

nn

1

Mechanical

Constraint_Y2Co

nn

1

Mechanical

Constraint_Y1

Env

Machine

Environment Ground

CG

CS

1C

S3

Cylinder_Y2

CG

CS

1C

S3

Cylinder_Y1


748

Sistemin bu özelliği nedeniyle kontrolcü parametrelerinin

uyarlanmasını gerekebilmektedir. Tasarlanan SDM’nın yapısı

kontrolcü parametrelerinin uyarlanmasını büyük ölçüde

kolaylaştırmaktadır.

5. Modelin Doğrulanması

MATLAB® ortamında oluşturulan model gerçek sistem

üzerinden alınan veriler ile karşılaştırılarak doğrulanmıştır.

Öncelikle sisteme örnek bir büküm çevriminin konum

yörüngesi (Şekil 3) istek girdi olarak verilmiştir. Abkant pres

sistemi üzerinden hat basınçları, servo motor istek ve gerçek

hızları ile konum yanıtı verileri toplanmıştır. Sonrasında

gerçek sistem üzerinden toplanan servo motor istek hızları

benzetim modeline girilmiştir. Modelin konum, basınç ve

servo motor hız çıktıları gerçek sistem sonuçları ile

karşılaştırılmıştır.

Şekil 12’de model ile gerçek sistemin aynı servo motor

hız isteklerine karşı ürettikleri konum yanıtları

karşılaştırılmıştır. Görüldüğü gibi model ile gerçek sistem

yanıtları birbirine oldukça benzerdir. Eyleyici alanları, pompa

deplasmanı, pompa sızıntısı gibi parametreler servo motor

hızına karşılık konum yanıtında belirleyici durumdadırlar.

Pompa modelinin parametrelerinin üretici firmanın

kataloglarından alınarak modele girilmiştir.

Şekil 12. Konum Yanıtı

Şekil 13’de model ve gerçek sistemin aynı servo motor

hız isteğine karşılık hız yanıtları verilmiştir. Şekilden de

görüldüğü gibi model yanıtı gerçek sistem yanıtını büyük

ölçüde yansıtmaktadır. Servo motor modeline üretici

kataloğundan elde edilen değerler girilmiştir. Servo motor

çıktılarının benzerleğinin ana nedeni model parametrelerinin

doğru olması değildir. Kapalı çevrim sistem çıktılarının

benzer olması beklenen bir sonuçtur. Ancak servo motor ve

sürücülerinde bulunan hıza ve akıma göre kontrolcü kazanç

adaptasyonu, kontrolcü çıktılarının sınırlandırılması gibi

birçok doğrusal olmayan öğede modele eklenmiştir. Bu

sayede Şekil 13’de verilen karşılaştırma servo motor hız

kontrolcüsünün yeterli düzeyde modellendiğini

göstermektedir.

Şekil 13. Servo Motor İstek ve Hız Yanıtı

Şekil 14 ve Şekil 15’de aynı servo motor istek hızlarına

karşı üretilen eyleyici oda basınçları karşılaştırılmıştır. Ayrıca

büküm aşamalarına göre SDM tarafından karar verilen valf

enerjileri gösterilmiştir. Eyleyici oda basınçlarının değerleri

arasında ufak farklılıklar olmasına rağmen, dinamik olarak

davranışları oldukça tutarlıdır. Ancak kuru sürtünme ve yapış-

kay gibi sürtünme etkileri basınç yanıtını bir miktar

bozmaktadır. Sürtünme kuvvetleri pres üzerinde henüz

ölçülememiştir. Bu nedenle kabul edilebilir değerler ile genel

davranış modellenmiştir.

Şekil 14. Eyleyici Mil Tarafı Basınç Yanıtı

Şekil 15. Eyleyici Piston Tarafı Basınç Yanıtı

Sürtünme kuvvetleri dışında basınç dalgalanmalarını

etkileyen bir diğer etmen ise valflerin yön değiştirmesidir.

Yön değiştirme anlarında basınçlar salınım yapmaktadır.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

20

40

60

80

100

120

140

Time [sec]

Positio

n [

mm

]

Position Response Comparision

Reference

Measurement

Model Response

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Time [sec]

Moto

r S

peed [

rpm

]

Y2 Ref

Y2 Act

Y2 Model Response

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

20

40

60

80

100

120

Time, [s]

Pre

ssure

[bar]

Y

1 Measured p

B

Y2 Measured p

B

Model pB

eDC

eGD

eOD

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time, [s]

Pre

ssure

[bar]

Y1 Measured p

A

Y2 Measured p

A

Model pA

3 4 5 6 7 8 9 10

94

96

98

100

102

104

Time [sec]

Position [m

m]


Reference

Measurement

Model Response

10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5

119

119.2

119.4

119.6

119.8

120

120.2

120.4

120.6

Time [sec]

Positio

n [

mm

]


Reference

Measurement

Model Response


749

6. Sonuçlar

Bu çalışma kapsamında değişken devirli pompa denetimli

hidrolik tahrik sistemine sahip bir abkant pres incelenmiştir.

Sistemi oluşturan hidrolik, elektrik ve mekanik alt fiziksel

sistemlerin matematiksel modelleri etkileşimli olarak

oluşturulmuştur. Bunu yanı sıra büküm aşamalarına göre valf

enerjilerine ve uygulanacak kontrolcü yapılarına karar veren

sonlu durum makinası (SDM) tasarlanmıştır.

Fiziksel model parametrelerinin bir çoğu üreticilerin

kataloglarından alınmıştır. Parametre tahmini için henüz ayrı

bir test veya çalışma yapılmamıştır. Buna rağmen model

çıktısı ile gerçek sistem çıktılarının büyük oranda benzerlik

taşıdığı ve presin genel dinamik davranışını yeterli düzeyde

yansıttığı görülmektedir.

Pompa sızıntı katsayıları, hidrolik yağın esneklik modülü,

sürtünme kuvveti gibi etmenler sistem üzerinde sürekli olarak

değişmektedir. Dolayısı ile model ile gerçek sistem arasındaki

benzerliği arttırmak için bu gibi parametrelerin ölçülmesi veya

tahmin edilmesi gerekmektedir. Ancak oluşturulan modelin

amacı presin başarımını geliştirmeye yönelik kontrolcülerin

tasarımına olanak veren ortam oluşturmasıdır. Sürtünme gibi

etmenleri birebir yansıtmak yerine model içinde değerleri

değiştirilerek kontrolcü başarımına etkileri incelenebilir.

Sonuç olarak oluşturulan benzetim modeli sistemin dinamik

davranışının incelenmesi ve/veya yeni kontrol algoritmalarının

geliştirilip denenmesi için yeterli bir düzeyde olduğuna karar

verilmiştir.

Teşekkür

Katkılarından dolayı Demirer Teknolojik Sistemler Ltd.

Şti’ye teşekkür ederiz.

Kaynakça

[1] J. Simons, Redesign of a Press Brake, Technische

Universiteit Eindhoven, DCT 2006.064.

[2] Çalışkan, H., Akova, H. U., Balkan, T., Platin, B. E.

(2013), Electro-Hydraulic Lift System with Single Acting

Actuator, The 8th International Conference on Fluid

Power Transmission and Control, (ICFP 2013),

Hangzhou, China.

[3] Demirer, S., Energy Saving in Hydraulic Bending

Presses, International Patent Application Number:

PCT/TR2010/000091, International Publication Number,

WO2011/021986A1.

[4] Çalışkan, H., Akova, H. U., Balkan, T., Platin, B. E.,

“Elektro-Hidrostatik Tahrikli Bir Hareket Taklitçisinin

Alt Sistemlerinin Ortak Benzetimi” USMOS 2013,

Ankara, Türkiye, s:465-474, 2013.


750

ORTOGONAL ÇEKIRDEK FONKSIYONLU DESTEK VEKTÖRMAKINELERI

Erdem DILMEN1, Selami BEYHAN2, Serdar IPLIKÇI2

1Mekatronik Mühendisligi Bölümü, Teknoloji Fakültesi,Pamukkale Üniversitesi, 20070, Denizli-Türkiye

{edilmen}@pau.edu.tr2Elektrik Elektronik Mühendisligi Bölümü, Mühendislik Fakültesi,

Pamukkale Üniversitesi, 20070, Denizli-Türkiye{sbeyhan}@pau.edu.tr, {iplikci}@pau.edu.tr

ÖzetçeBu çalısmada, destek vektör makinelerinde çekirdek (kernel)fonksiyonu olarak kullanmak üzere Ortogonal Trigonometrikve Kautz fonksiyonları önerilmistir. Önerilen çekirdek fonk-siyonları, Mercer sartlarını saglayan fonksiyonlar olup litera-türde çok kullanılan Gauss çekirdek fonksiyonu ile sınıflan-dırma ve baglanım (regression) uygulamaları için karsılastırıl-mıstır. Sınıflandırma uygulamasında önerilen fonksiyonlar, spi-ral ve banka kredisi verilerini daha az hata ile sınıflandırabil-mistir. Fakat, baglanım uygulamasında Box-Jenkins gas fırınıve gerçek-zamanlı ters sarkaç sistemi verileri kullanıldıgında,Gauss çekirdek fonksiyonu kullanılarak daha iyi baglanım so-nuçları elde edilmistir.

1. GIRISSon yıllarda zeki sistemler sınıflandırma, baglanım, kestirim,sistem tanılama, hata bulma ve kontrol gibi birçok uygulamadabasarılı bir sekilde kullanılmaktadır. En çok kullanılan zeki sis-temler; yapay sinir agları, bulanık sistemler ve destek vektörmakineleri olup bu çalısmada, destek vektör makineleri üze-rinde bir iyilestirme önerilmistir. Sınıflandırma ve baglanımprobleminde kullanılan zeki sistemin sadece hangisi oldugu de-gil nasıl bir yapıda oldugu da büyük önem tasımaktadır. Örne-gin; bulanık sistemlerde kullanılan kural sayısı önemli bir fak-tör iken yapay sinir aglarında seçilen aktivasyon fonksiyonu vegizli katman sayısı büyük önem tasımaktadır. Bu yüzden sis-temin yapısını olusturan diger etkenler de dikkate alınmalıdır.Diger önemli bir etken ise sınıflandırma veya baglanım yapıl-ması istenilen verinin kullanılan zeki sistem yapısı ile ne dereceiliskili oldugudur. Örnegin bazı sistemleri tanılama yaparkenyapay sinir aglarında kullanılan sigmoid ve Gauss aktivasyonfonksiyonları farklı sonuçlar üretmektedir. Genel bir ifade ileGauss fonksiyonun yapısının veri modellemeye daha uygun gö-rünmesi ve daha parametrik olması tüm sistemleri daha iyi ta-nılayacagı anlamına gelmemektedir. Bu yüzden sınıflandırma,baglanım veya sistem tanılama uygulamalarında probleme özelyapının ve yaklasıklama fonksiyonların seçilmesi gerekmekte-dir.

Sistem tanılama, kestirim ve sınıflandırma problemlerindefarklı dinamikleri olan sistemler için yapay sinir aglarının per-

formansını iyilestirmek için farklı dinamik yapılar gelistirilmis-tir ve faklı aktivasyon fonksiyonları önerilmistir . Bulanık sis-temlerde ise dinamik yapılar ve farklı üyelik fonksiyonlarınınyanında yapay sinir agları ile kaskat baglanarak daha iyi yakla-sıklama yapan yapılar önerilmistir [1, 2].

Destek vektör makineleri istatiksel ögrenme teorisi altındaVapnik tarafından gelistirilmistir [3, 4, 5]. Destek vektör maki-neleri yapay sinir agları ve bulanık sistemlere göre daha sonragelistirilen bir yapı olsa da özellikle sınıflandırma ve bagla-nım uygulamalarında literatürde önemli bir yer edinmistir. Des-tek vektör makinelerinin sınıflandırma ve baglanım probleminikaresel bir en iyileme (optimization) problemine dönüstürerekçözmesi, optimal ya da global diyebilecegimiz performansta so-nuç vermesini saglamaktadır [6]. Destek vektör makinelerininperformansı ise birçok uygulamada diger yaklasıklama yöntem-lerinden daha iyi oldugu pratik olarak gösterilmistir [7, 8]. Des-tek vektör makineleri dogrusal ve dogrusal olmayan sınıflan-dırma problemi için dogrusal marjin ve dogrusal olmayan mar-jin destek vektör makineleri olarak ayrılmaktadır [9]. Bunun ya-nında baglanım problemi için LS-SVR [10] ve ε-SVR [3] tipleriönerilmistir.

Destek vektör makineleri ile yaklasıklamanın iyilestirilmesiiçin farklı çekirdek fonksiyonları [11] ve farklı egitme algorit-maları önerilmistir [12, 13, 14]. Çekirdek fonksiyonları, girisverileri arasındaki benzerligin bir fonksiyonu olup benzerliginçok oldugu durumda yüksek deger alırken benzerligin az ol-ması durumunda düsük deger alır. Benzerlik ölçütü olarak genelolarak veriler arası Öklid uzaklıgı alınmaktadır. Çekirdek fonk-siyonlarının Mercer sartlarını saglaması gerektiginden sayılarıazdır. Çok kullanılan fonksiyonlar; dogrusal, sigmoidal, poli-nomsal, Gauss ve karakter çekirdek fonksiyonlarıdır [15]. Buçalısmada bilinen çekirdek fonksiyonlarına alternatif olarak or-togonal trigonometrik ve Kautz fonksiyonları sınıflandırma vebaglanım için önerilmis ve benzetimlerde karsılastırılmıstır.

Çalısmanın devamında Bölüm 2’de en küçük kareler des-tek vektör makineleri ile sınıflandırma ve baglanım problem-leri anlatılmaktadır. Ortogonal çekirdek fonksiyonları Altbö-lüm 2.3’de tanıtılmaktadır. Benzetim sonuçları Bölüm 3’de, ça-lısmanın sonuçları ise Bölüm 4’de verilmektedir.


751

2. DESTEK VEKTÖR MAKINELERIBu çalısmada En Küçük Kareler Destek Vektör Makineleri (Le-ast Squares Support Vector Machine: LS-SVM) kullanılmıs-tır. Bu yapının avantajı, global minimumun sadece bir dogru-sal denklem sistemi çözülerek bulunması sayesinde elde edilenhızlı bir çalısma performansıdır [16].

2.1. Sınıflandırma

Bir egitim veri kümesi olarak {xk, yk}Nk=1 için xk ∈ X ⊆ Rn

vektörü n boyutlu giris uzayının k. elemanı ve yk ∈ Y ⊆ Rskaları ise buna karsılık gelen çıktı verisi olsun. Sınıflandırmaçalısmalarında Y ⊆ {+1,−1} olmaktadır. Giris-çıkıs iliskisiasagıda verilmistir.

y(x) = sign[wT θ(x) + b] (1)

Burada w, boyutu m olan nitelik uzayında bir agırılık vektö-rüdür ve m > n olmaktadır. θ(.) : Rn ⇒ Rm, giris uza-yındaki bir vektörü nitelik uzayında bir vektöre dönüstüren birdogrusal olmayan dönüsüm fonksiyonudur ve b ön-gerilim te-rimidir. (1) göz önünde bulunduruldugunda, eger yk = −1 isewT θ(x) + b <= −1 ve yk = +1 ise wT θ(x) + b >= −1

olmalıdır. Sınıflandırma problemi, birincil (primal) uzaydakihali asagıda verilmis olan maliyet fonksiyonunun en azaltılması(minimization) haline dönüsür. Burada ek ile k. girdi verisi içinyapılan sınıflandırma hatası gösterilmektedir ve λ ise ayar pa-rametresidir.

min P=w,b,e

1

2wTw + λ

1

2

N∑k=1

e2k

Kısıtlamalar: yk[wT θ(xk) + b] = 1− ek, k = 1, . . . , N.(2)

(2)’deki maliyet fonskiyonu P’nin mevcut kısıtlamalar altındaen azaltılması için Lagrangian denklemi olusturulup bir kaç dü-zenleme yapıldıktan sonra optimallik kosullarını saglayan birdenklem sistemi elde edilir.[

0 YT

Y Υ + λ−1I

] [b

α

]=

[0~1

](3)

Buradaα, Lagrange katsayılarını gösteren vektördür. Υ ise asa-gıda verilmistir.

Υkl = ykylK(xk, xl) (4)

K(xk, xl) = θ(xk)T θ(xl) (5)

(5)’de K(.,.) fonksiyonu iç çarpım islemi gerçeklestiren bir çe-kirdek fonksiyonudur. Nitelik uzayında bu islem çekirdek fonk-siyonu tarafından yapıldıgı için θ(.) dönüsüm fonksiyonununbilinmesine gerek kalmamaktadır. Kullanılan çekirdek fonksi-yonları Mercer kosullarını saglamak kaydıyla çesitlilik göstere-bilir ve basarım oranı kullanılan veriye göre degismektedir. αve b, (3) denklem sisteminin çözümleri olmak üzere, LS-SVMmodeli çıktısı asagıdaki gibi elde edilir.

y(x) =

N∑k=1

αkK(xk, x) + b (6)

Burada y(x), verilen herhangi bir x girdi vektörüne karsılık LS-SVM modelinin ürettigi çıktıdır. Lagrange katsayılarından ba-zılarının degeri sıfır oldugundan onların model çıktısı üzerine

etkisi yoktur.α vektörü içinde degeri sıfırdan farklı olanların in-dislerinden olusan küme SV olsun, bu durumda xk ∈ X içindenbu indislere karsılık gelenlerin olusturdugu seyreltilmis küme-nin her bir elemanına destek vektörü (Support Vector - SV) de-nir. Böylece, seyreltilmis LS-SVM model çıktısı asagıdaki gibielde edilir.

y(x) =∑k∈SV

αkK(xk, x) + b (7)

2.2. Baglanım

Baglanım problemi de SVM ile çözülebilmektedir. Bölüm 2.1’de belirtilen egitim kümesini ele alalım. Baglanım söz konusuoldugunda, bu egitim kümesindeki çıktılar herhangi bir gerçelskalara esit olabilir; yk ∈ Y ⊆ R. Kullanılan notasyon sınıflan-dırma problemi için olanla aynı kalmak üzere, girdi-çıktı iliskisiasagıdaki gibidir.

y(x) = wT θ(x) + b (8)

Baglanım problemi, birincil uzaydaki hali asagıda verilmis olanmaliyet fonksiyonunun en azaltılması haline dönüsür.

min P=w,b,e

1

2wTw + λ

1

2

N∑k=1

e2k

Kısıtlamalar: yk = wT θ(xk) + b+ ek, k = 1, . . . , N.(9)

(9)’daki maliyet fonskiyonu P’nin mevcut kısıtlamalar altındaen azaltılması için Lagrangian denklemi olusturulup bir kaç dü-zenleme yapıldıktan sonra optimallik kosullarını saglayan birdenklem sistemi elde edilir.[

0 ~1T

~1 Υ + λ−1I

] [b

α

]=

[0

Y

](10)

Buradaα, sınıflandırma probleminde oldugu gibi Lagrange kat-sayılarını gösteren vektördür. Υ ise asagıda verilmistir.

Υkl = K(xk, xl) (11)

(11)’deki K(.,.) fonksiyonu sınıflandırma probleminde denklem(5) ile gösterilen çekirdek fonksiyonudur. α ve b, (10) denk-lem sisteminin çözümleri olmak üzere, LS-SVM modeli çıktısıasagıdaki gibi elde edilir.

y(x) =

N∑k=1

αkK(xk, x) + b (12)

Sınıflandırma probleminde bahsedildigi üzere, sadece destekvektörleri kullanılarak elde edilen seyreltilmis modelin çıktısıise asagıdaki gibidir.

y(x) =∑k∈SV

αkK(xk, x) + b (13)

2.3. Ortogonal Çekirdek Fonksiyonları

Birincil uzayda dogrusal olmayan dagılıma sahip olan verile-rin bir θ(.) dönüsüm fonksiyonu ile daha yüksek boyutlu nitelikuzayında dogrusal bir dagılıma sahip olması mümkündür. Busayede SVM modeli, (1) ve (8)’de oldugu gibi dogrusal bir ifa-deye sahip olabilir. Herhangi bir {a, b} veri çiftini ele alalım.


752

Birincil uzaydan nitelik uzayına dönüsüm yapıldıgında, verilerbirbirlerine çok benziyorsa iç çarpımlarının yüksek, az benzi-yorsa düsük olması beklenir. Eger bu beklenti, K(a, b) gibi birfonksiyon ile karsılanabiliyorsa θ(.) dönüsüm fonksiyonununbilinmesine gerek kalmaz ve K(., .), bir çekirdek fonksiyonuolarak kullanılır. Ancak, K(., .)’nin kesin olarak bir çekirdekfonksiyonu olabilmesi için Mercer sartını da saglaması gerek-mektedir.Mercer sartı:K(., .) fonksiyonu [17] asagıdaki gibi tanımlı ol-sun.

K(a, b) =∑i

θ(a)iθ(b)i (14)

Herhangi bir g(x) fonksiyonu için∫g(a)2da integrali sonlu iken (15)

∫K(a, b)g(a)g(b)dadb ≥ 0 saglanıyorsa (16)

K(., .) fonksiyonu Mercer sartını saglar ve destek vektör maki-neleri için bir çekirdek fonksiyonudur.

Fakat K(., .) her veri kümesinde aynı basarım oranına sa-hip olamayabilir. Bu yüzden, literatürde çesitli çekirdek fonk-siyonları kullanılmaktadır. Eger kullanılan verinin yapısı bilini-yorsa, ona uygun bir çekirdek fonksiyonu seçilebilir ya da olus-turulabilir. Ancak bilinmedigi durumda, veriyi iyi bir sekildegenelleyebilen ve bu yüzden literatürde yaygınca kullanılan Ga-uss çekirdek fonksiyonu kullanılabilir.

K(a, b) = exp

(−0.5

‖a− b‖σ2

)(17)

Burada σ, fonksiyonun genislik parametresidir. Bu çalısmada,kosinüs ve Kautz ortogonal fonksiyonlarının çekirdek fonksi-yonu olarak kullanılması önerilmistir.Ortogonallik: O kümesi ψ1(t), ψ2(t), . . . gibi sonsuz sayıdafonksiyondan olusan bir fonksiyon kümesi olup eger∫

(O)

ψk(t)ψl(t)dt = 0, (k 6= l, k, l = 1, 2, . . .) (18)

sartı saglıyorsa ψ(.) fonksiyon kümesi orthogonaldir [18]. Or-togonal trigonometrik bir fonksiyon olan kosinüs katsıklarının(harmonic) toplamı seklinde olusturulmus çekirdek fonskiyonuasagıda verilmistir.

K(a, b) =

hmax∑k=1

1 + cos (k‖a− b‖) (19)

Burada hmax, kullanılacak en fazla katsık sayısını gösteren pa-rametredir ve nasıl seçilecegi Bölüm 3 girisinde belirtilmistir.Ayrıca, kosinüs fonksiyonu [−1,+1] aralıgında deger alabil-diginden Mercer sartına uyulabilmesi için +1 eklenmistir. Ort-hogonal trigonometrik fonksiyonların, fonksiyon yaklasıklama-daki basarısı ve Fourier serisi içinde bir veriyi farklı katsıkları-nın birlesimi biçiminde ifade edebilmesinden dolayı burada çe-kirdek fonksiyonu olarak kullanılması düsünülmüstür.Ortogonal Kautz fonksiyonları da ortogonal baz aglarında çokkullanılan bir fonksiyon kümesi olup fonksiyon yaklasıklamada

Tablo 1: Sınıflandırma için kullanılan SVM model parametre-leri

Çekirdek fonksiyonu/Veri Çift spiral verisi Kredi basvurusu verisiKosinüs - (λ, hmax) 8.345, 29 983.5698, 94Kautz - (λ, ξ, γ) 1, -0.999, -0.5670 1, -0.999, -0.8789Gauss - (λ, σ) 423.7834, 0.001 32.5623, 13.453

Tablo 2: Baglanım için kullanılan SVM model parametreleriÇekirdek fonksiyonu/Veri Box-Jenkins verisi Ters sarkaç verisiKosinüs - (λ, hmax) 27.8077, 1 261.0357, 2Kautz - (λ, ξ, γ) 500, -0.0010, -0.7502 500, -0.9990, -0.9906Gauss - (λ, σ) 979.4380, 1.25 983.7429, 18.0551

çok tercih edilir [19]. Burada çekirdek fonksiyonu olarak kulla-nılacaktır. Kautz orthogonal fonksiyonları

K(a, b) =[−γz2 + ξ(γ − 1)z + 1]

[z2 + ξ(γ − 1)z − γ](20)

z = ‖a− b‖ (21)

denklemi ile üretilir. ξ ve γ ise Kautz fonksiyonu parametrele-ridir. Mercer sartına uyulabilmesi için uygulamalarda bu para-metrelerin [−1, 0] aralıgında degerler almasına izin verilmistir.

3. SAYISAL BENZETIMLERÇalısmanın bu kısmında, Bölüm 2.3’de belirtilen çekirdek fonk-siyonları kullanılarak ikiser farklı veri kümesi ile sınıflandırmave baglanım uygulamaları yapılmıstır. Bu uygulamalarda kulla-nılacak en uygun SVM modeline dair ilgili parametrelerin se-çimi (kullanılan çekirdek fonksiyonlarına ait parametreler dedahil), sezgisel bir en iyileme algoritması olan Büyük PatlamaBüyük Çöküs (Big-Bang-Big-Crunch - BBBC) [20] ile yapıl-mıstır. Bu parametrelerin degerleri sınıflandırma ve baglanımuygulaması için sırasıyla Tablo 1 ve 2’de verilmistir.

3.1. Sınıflandırma

Sınıflandırma için kullanılan ilk veri kümesi, türetilis denklem-leri (22)-(24)’de verilmis olan çift spiral verisidir.

T =

[t11 t12 . . . t1,N/2 −t11 −t12 . . . −t1,N/2t21 t22 . . . t2,N/2 −t21 −t22 . . . −t2,N/2

]Y = [−1 . . .− 1 + 1 . . .+ 1]1xN

(22)

t1i =π2

+ (i− 1) 2B−1N

π

Tmaxcos

(π

2+ (i− 1)

2B − 1

Nπ

)t2i =

π2

+ (i− 1) 2B−1N

π

Tmaxsin

(π

2+ (i− 1)

2B − 1

Nπ

)(23)

Tmax =π

2+

(N

2− 1

)2B − 1

Nπ (24)

(22)-(24)’de T ile Y sırasıyla çift spiral verisindeki girdi ve çık-tılar olmaktadır. i = 1, . . . , N

2olup N , verideki örnek sayı-


753

sını, B ise verinin orijin etrafındaki dönüs sayısını göstermek-tedir. Çıktıları gösteren Y vektörünün ilk yarısı -1 ve son ya-rısı +1’lerden olusmaktadır. Yapılan sınıflandırma çalısmasında,N = 150, B = 9 alınmıstır. Verinin ilk 105 örneklik kısmıegitim, son 45 örneklik kısmı ise test amaçlı kullanılmıstır. Spi-ral verisinin kosinüs fonksiyonları ile sınıflandırma sonucu Se-kil 1’de gösterilmektedir.

Sınıflandırma için kullanılan ikinci veri kümesi ise [21]internet adresinden indirilebilen kredi basvurusu verisidir. Ja-ponya’da yapılan kredi basvuruları ve sonuçlarına dair bilgi-leri içerir. Bu veri kümesindeki her bir örnek, kredi basvuru-sunda bulunan kisilere ait 15 farklı bilgiyi ve basvurusu kabuledilenler için +, edilmeyenler için ise - isaret bulundurmakta-dır. Bazı bilgiler, ilgili internet adresinde sayı degil harf ola-rak bulunmaktadır. Bunun nedeni, kisilere ait özel bilgilerin ko-runumu ilkesi geregi onların yayınlanmaması adına anlamsızharfler ile yer degistirilmesidir. Bu mantıkla, Ingilizce’de yeralan Latin harfleri (a, . . . , z) ve (aa, bb, cc, dd, ff, gg) kulla-nılmıstır. SVM modelinde kullanılmak üzere bunlar, (a, . . . , z)

için 1’den 26’ya kadar, (aa, bb, cc, dd, ff, gg) için ise 27’den32’ye kadar sayılarla numaralandırılıp anlamlı hale getirilmis-tir. Ayrıca, + isaretleri +1, - isaretleri ise -1 ile yer degistirilmis-tir. Verinin orijinalinde 690 örnek bulunmaktadır ancak bazı ör-neklerde 15 boyuttan birine ya da daha fazlasına dair eksik bilgibulundugundan bu örnekler, sınıflandırmanın saglıksız hale gel-memesi için isleme tabi tutulmamıstır ve kullanılan örnek sayısı653’e indirgenmistir. Sonuç itibariyle, SVM modelinde kullanı-lan nihai veriler asagıdaki gibi olmustur.

[T]15x653

[Y]1x653(25)

Burada T ve Y sırasıyla girdileri ve çıktıları göstermektedir. Buverinin ilk 457 örneklik kısmı egitim, son 196 örneklik kısmı isetest amaçlı kullanılmıstır. Her iki sınıflandırma uygulamasınadair sonuçlar Tablo 3’de sunulmustur.

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

Kosinüs Çekirdek Fonksiyonu−N:150, B:9

Y

Sekil 1: Spiral sınıflandırma (Kosinüs fonk.)

3.2. Baglanım

Baglanım için kullanılan ilk veri kümesi, internetten rahat-lıkla ulasılabilinen ve literatürde baglanım uygulamalarındayaygınca kullanılan Box-Jenkins gaz fırını verisidir. 296 adetgirdi-çıktı örneginden olusmaktadır. Bu veriden bir NARX

Tablo 3: Sınıflandırma test-hata degerleriÇekirdek fonksiyonu Çift spiral verisi Kredi basvurusu verisiKosinüs 0 79Kautz 28 54Gauss 23 60

(Nonlinear Auto-Regressive eXogenous) veri modeli olusturul-mustur.

yk = f(uk−1, . . . , uk−nu , yk−1, . . . , yk−ny ) (26)

Burada uk ile yk sırasıyla k zaman indisi anında sisteme uygu-lanan denetim isareti ve buna karsı düsen çıkıs isaretidir. nu veny ise sırasıyla modelde yer alan geçmis denetim isareti ve çıkısisareti sayılarıdır. Buna ek olarak, dogrusal olmayan f fonksi-yonunun bilinmedigi var sayılır. Uygulamada, nu ve ny deger-leri 5 alınmıs, bu verinin ilk 200 örneklik kısmı egitim, son 96örneklik kısmı ise test amaçlı kullanılmıstır.

Baglanım için kullanılan diger veri kümesi, gerçek zamanlıters sarkaç sisteminden elde edilmistir. Ters sarkaç sistemi [22],yüksek seviyede dogrusal olmayan ve kontrol edilmeden orji-nalinde kararsız bir sistemdir. Sekil 2, ters sarkaç deney setinigöstermektedir ve matematiksel modeli ise alttaki gibi türetil-mistir.

x1(t) =x2(t)

x2(t) =1

(m+M)[F − bx2(t)−mlx4(t)cosx3(t)

+mlx24(t)sinx3(t)]

x3(t) =x4(t)

x4(t) =1

(I +ml2)[mglsinx3(t)−mlx2(t)cosx3(t)− dx4(t)].

(27)Burada, x1 aracın konumunu, x2 aracın açısal hızını, x3 ters

Sekil 2: Ters sarkaç sistemi

sarkacın açısal konumunu ve x4 ise ters sarkacın açısal hızınıgöstermektedir. Kuvveti simgeleyen F ve denetim gerilimi u’yaesit olan asıl denetim isareti arasında, F = kFu

δuδt

gibi biriliski oldugu var sayılmaktadır. kFu, u geriliminin türevi ve Fkuvveti arasındaki kazançtır. Aracın konumu ve denetim isareti,gerçek zaman uygulamasında u(t) ∈ [−2.5V,+2.5V ] Volt veF ∈ [−20,+20] Newton olarak sınırlandırılmıstır. Ters sarkaçsistemi ölçüt bir sistem olup girisi kontrol voltajı çıkısı ise sar-kaç pozisyonu olan bir sistemdir. Bu sistemde kontrol isaretiile pozisyon arasındaki dinamikler belirsizlikler içerdigi için ta-nılama problemini olusturmaktadır. Bu çalısmada bu dinamik-


754

Tablo 4: Baglanım RMSE (Root-mean squarred-error) degerleriÇekirdek fonksiyonu Box-Jenkins verisi Ters sarkaç verisi

(egitim, test) (egitim, test)Kosinüs 0.0215, 0.1351 0.0078, 0.1897Kautz 0.0090, 0.1274 0.0083, 0.3318Gauss 0.0111, 0.1192 0.0352, 0.0727

ler SVM modelleri ile tanılama yapılmıstır. Bu amaçla sistemindinamikleri bilinmedigi varsayılıp nu ve ny degerleri 5 alına-rak denklem (26) gibi bir kara-kutu tanılama yapılmıstır. Gö-rüldügü üzere model çok giris tek çıkıs bir sistemdir. Verininilk 500 örneklik kısmı egitim, son 200 örneklik kısmı ise testamaçlı kullanılmıstır. Her iki baglanım uygulamasına dair so-nuçlar Tablo 4’de sunulmustur. Bu sonuçlar aynı zamanda gör-sel olarak, gaz fırını ve ters sarkaç verisi için sırasıyla sırasıylaSekil 3 ve 4’de sunulmustur. Tablo 4’den görüldügü üzere, Ka-utz çekirdek fonkyionu ters sarkaç verisiyle kullanıldıgında iyibaglanım yapamamıstır. Bu sebeple, Sekil 4’de Kautz çekirdekfonskiyonuna ait olan baglanım çıktısı kötüdür.

Sekil 3: Gaz fırını verisi için baglanım sonuçları

4. SONUÇLARDestek vektör makineleri için Ortogonal Trigonometrik ve Ka-utz çekirdek fonksiyonları önerilerek sınıflandırma ve baglanımproblemine uygulanmıstır. Sınıflandırma uygulamasında, sis-tem verisinin önerilen ortogonal çekirdek fonksiyonları ile ko-laylıkla ayrıklastırılabilen veri oldugu ve bunun sonucunda Ga-uss çekirdek foksiyonuna göre daha az hata ile sınıflandırma ya-pılabildigi gözlenmistir. Özellikle çift spiral verisinde, kosinüsçekirdek fonksiyonu kullanıldgında sıfır hata ile sınıflandırmagibi güzel bir basarım elde edilmistir. Bu sonucu, çift spiral ve-risinin tamamiyle sinüsoidal yapıda olması saglamıstır. Bagla-nım uygulamasında ise önerilen çekirdek fonksiyonları, Box-Jenkins gaz fırını sisteminin tanılamada yaklasık olarak Gaussçekirdek fonksiyonu kadar basarılı iken gerçek-zamanlı ters sar-kaç sistemini tanılamada istenilen basarım elde edilememistir.Baglanım uygulamasında sistemi tanılamak için Gauss fonksi-yonunun daha iyi bir çekirdek fonksiyonu oldugu gözlenmis-

Sekil 4: Ters sarkaç sistemi için baglanım sonuçları

tir. Ayrıca, matematiksel modelinde sinüsoidal terimler içerenveri tipi için kosinüs çekirdek fonksiyonunun, Kautz çekirdekfonksiyonuna göre daha iyi bir sınıflandırma ve baglanım ba-sarımı sundugu gözlenmistir. Sonuç olarak, önerilen ortogonalçekirdek fonksiyonlarının farklı tip sistemlerin sınıflandırma vebaglanım probleminde kullanılabilecegi gösterilmistir.

5. Kaynakça[1] J-SR Jang, C.T. Sun, and E. Mizutani, Neuro Fuzzy and

Soft Computing, Prentice-Hall: U.S.A., 1997.

[2] M.M. Gupta, L. Jin, and N. Homma, Static and dynamicneural networks from fundamentals to advanced theory,John Wiley & Sons Inc., 2003.

[3] V. N. Vapnik, The Nature of Statistical Learning Theory,Springer, 1995.

[4] V. N. Vapnik, Statistical learning theory, Wiley, 1998.

[5] V. N. Vapnik, Nonlinear Modeling Advanced Black BoxTechniques, chapter The Support Vector Method of Func-tion Estimation, pp. 55–85, Kluwer Academic Publishers,1998.

[6] S. Iplikçi, “Destek vektörü makineleri ile dogrusal ol-mayan sistemlerin Çevrimiçi modellenmesi,” in Otoma-tik Kontrol Türk Milli Komitesi Ulusal Toplantısı (TOK),Istanbul, 2005.

[7] N. Cristianini and J. Shawe-Taylor, An Introduction toSupport Vector Machines and Other Kernel-based Lear-ning Methods, Cambridge University Press, 1st edition,2000.

[8] B. Scheulköpf, C. J. C. Burges, and A. J. Smola, Advancesin Kernel Methods: Support Vector Learning, The MITPress, 1999.

[9] A. J. Smola and B. Schölkopf, “A tutorial on support vec-tor regression,” Statistics and Computing, vol. 14, no. 3,pp. 199–222, 2004.

[10] J. A. K. Suykens and Joos V., “Least squares support vec-tor machine classifiers,” Neural Processing Letters, vol.9, no. 3, pp. 293–300, 1999.


755

[11] D. Boolchandani and V. Sahula, “Exploring efficient ker-nel functions for support vector machine based feasibilitymodels for analog circuits,” International Journal of De-sign, Analysis and Tools for Circuits and Systems, vol. 1,no. 1, pp. 1–8, 2011.

[12] E. Osuna, R. Freund, and F. Giros, “An improved trainingalgorithm for support vector machines,” in Neural Net-works for Signal Processing VII. Proceedings of the 1997IEEE Workshop, September 1997, pp. 276–285.

[13] Ioannis T., T. Hofmann, T. Joachims, and Y. Altun, “Sup-port vector machine learning for interdependent and struc-tured output spaces,” in Proceedings of the 21th Interna-tional Conference on Machine Learning, New York, NY,USA, 2004, ICML ’04, pp. 104–111, ACM.

[14] D. Decoste and B. Schölkopf, “Training invariant supportvector machines,” Machine Learning, vol. 46, no. 1-3, pp.161–190, 2002.

[15] K.-R. Müller, S. Mika, G. Ratsch, K. Tsuda, and B. Sc-hölkopf, “An introduction to kernel-based learning algo-rithms,” IEEE Transactions On Neural Networks, vol. 12,no. 2, pp. 181–201, 2001.

[16] S. Iplikçi, “Kaotik dinamiklerin en küçük kareler destekvektör makineleriyle yeniden olusturulması,” in Otoma-tik Kontrol Türk Milli Komitesi Ulusal Toplantısı (TOK),Ankara, 2006.

[17] C. J. C. Burges, “A tutorial on support vector machines forpattern recognition,” Data Mining and Knowledge Disco-very, vol. 2, pp. 121–167, 1998.

[18] A. Haar, “On the theory of orthogonal function systems,”1910.

[19] P. S. C. Heuberger, P. M. J. Van den Hof, and O. H.Bosgra, “A generalized orthonormal basis for linear dy-namical systems,” Automatic Control, IEEE Transactionson, vol. 40, no. 3, pp. 451–465, 1995.

[20] O. K. Erol and I. Eksin, “A new optimization method: Bigbang big crunch,” Advances in Engineering Software, vol.37, no. 2, pp. 106 – 111, 2006.

[21] http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Japanese + Credit+ Screening.

[22] Digital Pendulum Control Experiments, 33-936s, Feed-back Intruments ltd., 2006.


756

Biomimetik Bir Robot Balığın Dinamik Model Benzetimi

Deniz Korkmaz1, Z. Hakan Akpolat

2, Servet Soygüder

3, Hasan Alli

3

1Elektronik ve Bilgisayar Eğitimi Bölümü

Fırat Üniversitesi, Elazığ [email protected]

2Mekatronik Mühendisliği Bölümü




Özetçe

Bu çalışmada, hızlı yüzebilme ve ani yön değiştirebilme gibi

özelliklere sahip olan Carangiform türü balıklar incelenmiş ve

bu türe ait bir robot balığın analitik olarak dinamik modeli

elde edilmiştir. Elde edilen bu dinamik model ile

MATLAB/Simulink ortamında benzetim çalışmaları

yapılmıştır. Tasarlanan robot balık, sert bir ön gövde ve esnek

kuyruk yapısı olmak üzere iki bölümden oluşur. Gerçek bir

Carangiform türü balığın hareket kabiliyetini sağlamak için,

esnek kuyruk yapısı 4 adet eklemden oluşmaktadır. Her eklem

bir servo-motor ile tahrik edilmektedir. Benzetim çalışmaları

ile Carangiform türü balıklara ait ileri yön hareket kabiliyeti

taklit edilerek oluşturulan dinamik modelin geçerliliği

gösterilmeye çalışılmıştır.

1. Giriş

Biomimetik sistemlere olan ilginin giderek artması, doğadaki

sistemler ile mühendislik alanları arasındaki teknoloji

transferini daha cazip bir hale getirmektedir. Günümüzde,

tabiattaki canlı formlar örnek alınarak otomasyon sistemleri ve

robot teknolojisi gibi birçok alanda bu bilgilerden

yararlanılmaktadır. Böylece, yüzen bir robottan uçan bir araca

kadar birçok biomimetik çalışma yapılabilmektedir [1-5].

Balıklar sahip oldukları üstün yüzme yetenekleri

sayesinde, su altında oldukça kolay bir şekilde hareket

edebilmektedir. Hareket kabiliyeti, hızlı yüzebilme ve ani yön

değiştirebilme gibi özellikleri ile doğadaki en iyi yüzücülerdir.

Bu özelliklerinden dolayı, birçok bilim adamı balıkların su

altındaki hareketleri üzerine robotik çalışmalara yönelmiştir

[6-13].

Günümüzde, yapay eklemli kuyruk yapısına sahip balık

türü bir su altı robotu, klasik pervaneli bir su altı aracına göre

daha hızlı, çevik, sessiz ve düşük güç tüketimi ile

yüzebilmektedir [6,7]. Balıklar, kuyruklarının ürettikleri tahrik

kuvveti ile hızlı ve yüksek manevra kabiliyetine sahiptir.

Gerçek bir Carangiform türü balık vücut uzunluğunun yüzde

10 ile 30’u oranında bir yarıçap ile hızlı bir şekilde yön

değiştirirken klasik pervaneli bir su altı aracı gövde

uzunluğunun üç katına ait bir yarıçap ile yavaşça yön

değiştirebilmektedir [14]. Bir mühendislik alanı açısından

bakıldığında, balıklar, otonom bir su altı robotu tasarımında

oldukça uygun bir yapıya sahiptir.

1990’lı yıllarda Triantafyllou [14] ve Hirata [15] su altı

robotlarının hidrodinamiğini inceleyerek bu alanda ilk

araştırmaları başlatmıştır. İlk robot balık ise, 1994 yılında MIT

tarafından tasarlanmıştır. RoboTuna olarak isimlendirilen bu

robot balık, su altı canlılarının hareketlerine ait hidrodinamiği

anlayabilmek ve araştırmak için geliştirilmiştir. Benzer bir

şekilde, Draper Laboratuar’ı 1998 yılında insansız bir su altı

aracı olan VCUUV’yi tasarlamıştır. Bu araç, otonom hareket

kabiliyetine sahip ilk su altı robotlarından biridir [6,10,16]. Bu

çalışmalardan sonra araştırmalar farklı özelliklere sahip su altı

robotlarına doğru yönelmiştir. North-Western Üniversitesi

Şekil Hafızalı Alaşımlar (SHA) kullanarak farklı türde bir

robot balık geliştirerek bu alanda yeni bir yaklaşım getirmiştir

[16-19]. Daha sonra Japonya’daki birçok Üniversite, tahrik

elemanı olarak yüksek enerji verimliliği ve sessiz çalışma

özelliğine sahip İyonik İletkenli Polimer Film (ICPF)

aktüatörlerini kullanarak küçük boyda robot balıklar üretmiştir

[18,19]. Yapılan birçok çalışmadan sonra, Essex Üniversitesi

tarafından en iyi hareket kabiliyetine sahip, tuna balığı model

alınarak üretilen G9 (9. Nesil) isimli Carangiform türünde bir

robot balık geliştirilmiştir. Günümüzde, bu robot balık

Londra’daki County Hall Akvaryumu’nda sergilenmektedir

[1,10,16].

Ancak, balıkların sahip olduğu biyolojik özelliklerin

otonom su altı araçlarında taklit edilebilmek için, tasarlanan

mekanik yapıya uygun bir dinamik modelin oluşturulması

gerekmektedir [20,21]. Bunun için, Lagrange, Lagrange-

Euler ve Newton-Euler gibi çözüm yöntemleri ile çeşitli

dinamik benzetim modelleri elde edilmektedir [20-24].

Bu çalışmada, 4–eklemli kuyruk yapısına sahip

Carangiform türü bir balığın hareketleri incelenmiş ve çok

eklemli robotik sistemlerde kullanılan Lagrange (L) yöntemi

ile robot balığın dinamik modeli elde edilmiştir. Dinamik

modelde, robot balık düzlemsel bir eksende hareket


757

etmektedir. Benzetim modeli, Matlab/Simulink ortamında

hazırlanarak 0.001sn örnekleme periyodu ile Runge Kutta’nın

dördüncü derece integrasyon yöntemi kullanılarak

gerçekleştirilmiştir. Benzetim çalışmalarında, Carangiform

türü bir balığın ileri yön hareketi için eklemlerin alması

gereken açı değerleri tasarlanan dinamik modele

uygulanmıştır. Böylece, oluşturulan robot balık modeli ile

gerçek bir Carangiform türü balığın hareketleri elde edilmiştir.

2. Robot Balığın Dinamik Modeli

Balıkların yüzme hareketleri vücutlarının ve/veya

kuyruklarının kıvrılması (BCF) ile gerçekleşir (Şekil 1). Bazı

balıklar ise bu hareketten farklı olarak, orta ve/veya çift

yüzgeçleri (MPF) ile yüzerler [1,11].

Şekil 1: BCF yüzme hareketlerinin sınıflandırılması:

(a) Anguilliform (b) SubCarangiform (c) Carangiform (d)

Thunniform [2].

Bu makalede, hareket türleri açısından etkin manevra

kabiliyeti ve hızlı yüzebilme gibi özelliklere sahip

Carangiform türü bir yüzücü dikkate alınarak bir robot balık

modeli oluşturulmaktadır.

2.1. Robot Balığın Kuyruk Yapısı

Tasarlanan robot balık, sert bir ön gövde ve 4 eklemli esnek

kuyruk olmak üzere iki bölümden oluşmaktadır. Robot balığın

esnek kuyruk yapısı servo-motorlar tarafından tahrik edilen

çok eklemli bir yapıdan oluşmaktadır. Bu çok eklemli yapıda

oluşturulan robot balık, Şekil 2’de verilen enine hareketi ile

tahrik edilmektedir. Bu enine hareket Denklem (1) ile ifade

edilir [1,13]:

ybody(x,t)=(c1x+c2x2)sin(kx+wt) ve k=2π/λ (1)

Burada; ybody kuyruğun enine hareket sinyali, x gerçek eksen

boyunca yer değişim, t zaman, c1 lineer dalga genliği, c2

karesel dalga genliği, k vücut dalga katsayısı, λ kuyruk hareket

sinyalinin dalga uzunluğu, w=2πf kuyruk hareket sinyalinin

açısal hızı ve f kuyruğun çırpınma frekansıdır.

Denklem (1) kuyruğun çırpınma periyoduna göre

zamandan bağımsız bir yapıda örneklenerek aşağıdaki gibi

tekrar yazılabilir [1,13]:

ybody(x,i)=(c1x+c2x2)sin(kx-2πim/Mf)ve im=[0:M-1] (2)

Burada, Mf kuyruk hareketine ait örnek sayısını ifade

etmektedir.

Kuyruk

Yüzgeci

Göğüs

Yüzgeçleri

Ağırlık

Merkezi

Yer Değişim Ekseni

Enine Kuyruk Hareketi

Sinyalinin Genliği

[c1x+c2x2]

Enine Kuyruk Hareketi Sinyali

[c1x+c2x2][sin(kx+wt)]

Sert Ön

Gövde

Esnek Kuyruk Yapısı

Ana

Eksen

Tasarlanan Kuyruk

Hareketi Sinyali

l1l2

l3

l4

Şekil 2: Carangiform türü bir balığın enine hareket pozisyonu.

Şekil 3’de kuyruk hareketinin bir periyoduna ait örneklenmiş

enine kuyruk hareketi sinyali görülmektedir.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Ana eksen boyunca yerdeğişim

ybody(x,i)

Şekil 3: Robot balığın enine kuyruk hareketi pozisyonu.

Benzetim çalışmasında, Mf=18, c1=0.3, c2=0 ve k=13.6 olarak

alınmıştır [2,3].

2.2. Robot Balığın Kinematiği

Her bir eklem bir adet servo-motor ile tahrik edilmektedir.

Servo-motorlar ile oluşturulan kuyruk yapısı, ana eksen

boyunca düzlemsel olarak hareket eden [l1,…,li] ve

(i=1,2,..,N) olan bir dizi bağlantıdan oluşur Burada; li eklem

uzunluk oranını, N eklem sayısını ifade etmektedir. Böylece,

eklemler arasında [l1,…,l4] olmak üzere 4 adet bağlantı oluşur

(Şekil 4). Ayrıca, (xpi-1, y

pi-1) ve (xp

i, ypi) olmak üzere her bir

eklem arasında koordinat çiftleri belirlenmektedir. [1,20].

li-1 eklemi ile li eklemi arasındaki her bir açı ise θi ile

temsil edilir. φi ise i. eklemin yatay x-düzlemine göre

yönlendirme açısıdır. Birbirini takip eden iki eklem arasındaki

bağıl eklem açısı Denklem (3) ile elde edilir:

ϴi= φi - ϴi-1 (3)

Şekil 5’de her bir ekleme etki eden kuvvet ve momentler

gösterilmiştir.


758

θ1

l2

l3

l4

Kuyruk

Yüzgeci

x

y

O

θ2

θ3

θ4

θf

φ2

φ3

φ4

φf

xp0 , y

p0

xp1 , y

p1

xp2 , y

p2

xp3 , y

p3

xp4 , y

p4

x1g, y1

g

x2g, y2

g

x3g, y3

g

x4g, y4

g

l1

Şekil 4: Robot balığın dört eklemli modeli.

(xig, yi

g) fi

f xi-1

f xi+1

(xpi-1, y

pi-1)

(xpi+1, y

pi+1)

Mi

Mi-1

f yi+1

f yi-1

Şekil 5: Robot balığın tek bir eklemine etki eden kuvvet ve

momentler.

Burada, her bir eklemin kütlesi mi, atalet momenti Ii, kütle

merkezleri (xgi yg

i), kuvveti fi, motor momentleri ise Mi ile

temsil edilmektedir.

Robot balığın kinematik modelini oluşturmak için, kuyruk

montajı dört değişken ve bir sabit döner mafsala sahip bir

robot manipülatörü olarak düşünülebilir. Böylece bir robot

manipülatörünü tanımlamak için kullanılan ifadeler, robot

balığa ait kuyruk yapısını ifade etmek için kullanılabilir [21-

23].

Robot manipülatörlerin ileri kinematik modelini elde

etmek için kullanılan yöntemlerden biri Denavit-Hartenberg

(D-H) gösterimidir [24]. Kinematik analiz için, öncelikle

temel ve yerel koordinat merkezleri eklemlerin üzerine

yerleştirilir. O noktasında temel koordinat merkezi ve

mafsalların dönel merkezlerinde yerel koordinat merkezleri

yerleştirilmiştir. Eklemler, yatay düzleme dik olan z-ekseni

etrafında dönmektedir. Böylece Şekil 6’da verilen eksen

dönüşümleri ile D-H dönüşüm tablosu oluşturulur.

z0

y0

x0

Ɵ1

a1

z1

y1

x1

Ɵ2

a2

x2

z2

y2

Ɵ3a3

x3

z3

y3

Ɵ4a4

x4

z4

y4o

Şekil 6: Eksenlerin yerleştirilmesi.

Tablo 1’de D-H dönüşüm tablosu verilmektedir.

Tablo 1: D-H dönüşüm tablosu

Eklem No ϴi di ai αi Değişkenler

1 ϴ1 0 a1 0 ϴ1

2 ϴ2 0 a2 π ϴ2

3 ϴ3 0 a3 0 ϴ3

4 ϴ4 0 a4 0 ϴ4

Böylece, her bir tahrik elemanına ait dönme açıları kolayca

elde edilerek robot balığa uygulanır ve robot balık gerçek bir

Carangiform yüzücü gibi hareket edebilmektedir.

2.3. Robot Balığın Dinamiği

Robot balığın dinamik modelinin elde edilmesi için Lagrange

(L) yaklaşımı kullanılmıştır. Bu yaklaşım sistemin toplam

kinetik ve potansiyel enerjileri ile ifade edilir. L

fonksiyonunun genel ifadesi:

)(),(),( qVqqTqqL (4)

ii

D

ii q

F

q

L

q

L

dt

d

ni ,...,2,1 (5)

Burada, T ve V sırasıyla sistemin toplam kinetik ve potansiyel

enerjilerini temsil etmektedir. FD ise sisteme etki eden dış

kuvvet viskozite kuvvetidir. q eklem açısını ve birinci türevi

ise eklem hızını ifade etmektedir. Ayrıca, τi tork vektörünü

temsil etmektedir. Denklem (5) açık bir şekilde tekrar

yazılırsa:

ii

D

iii q

F

q

V

q

T

q

T

dt

d

(6)

Toplam kinetik enerji her bir eklemin kinetik enerjilerinin

toplamına eşittir ve Denklem (7) ile ifade edilir:

n

i

iiii IvmqqK

1

22

2

1),( (7)

Burada, mi i. eklemin kütlesini, Ii i. eklemin atalet momentini,

vi ve wi ise sırasıyla i. eklemin doğrusal ve açısal hızlarını

temsil etmektedir. Buna göre, i. eklemin atalet momenti;

zz

yy

xx

i

I

I

I

I

00

00

00

(8)

şeklinde tanımlanır. Aynı zamanda, toplam potansiyel enerji

ifadesi aşağıdaki şekilde elde edilir:

n

i

ii ghmqP

1

)( (9)

Burada, g yerçekimi ivmesini temsil etmektedir. Tasarlanan

robot balık düzlemsel x-y eksenlerinde hareket ettiği için

sistemin toplam potansiyel enerjisi z-ekseni yönündedir.

Böylece, yerçekimi ivmesi x-y düzlemine dik yönde oluşur ve


759

sabittir. Sisteme etki eden dış kuvvetler dikkate alınarak,

kinetik ve potansiyel enerjileri temsil eden ifadeler yerine

yazıldığında;

n

j

iiDijk

n

k

n

j

ikjjij qFqGqqqCqq

1 1 1

)()()()(D (10)

ifadesi elde edilir. Burada, D eklemlere ait kütle matrisini, C

coriolis kuvvet matrisini, G matrisi yer çekimi ivmesini, ve FD

etki eden dış kuvvetleri temsil etmektedir. Coriolis matrisi ve

yer çekimi ivmesi sırasıyla Denklem (11) ve (12) ile elde edilir

[24]:

)(2

1)()( qD

qqD

qqC kj

iij

k

ikj

nkji ,,1 (11)

3

1

n

1j

k )(mg)(

k

jkiji qAqG (12)

Robot balığa etki eden dış kuvvet viskozite kuvveti olarak

tanımlanır ve Denklem (13) ile ifade edilir:

aDD SVCF 2

2

1 (13)

Sonuç olarak elde edilen dinamik model;

iD qqFqGqqCqqD ),()(),()( (14)

şeklinde temsil edilir.

3. Robot Balığın Katı Modeli

Şekil 7’de verilen robot balık prototipinde, 4 eklemli kuyruk

yapısı ve bir çift göğüs yüzgecinin oluşturulabilmesi için 5

adet servo-motor kullanılmıştır [3].

Şekil 7: Robot balığın katı modeli.

Tasarlanan robot balık prototipine ait deneysel fotoğraf

görüntüsü Şekil 8’de verilmektedir [1].

Şekil 8: Robot balığın fotoğraf görüntüsü.

Gerçek bir balık hareketinin sağlanabilmesi için, tasarlanan

robot balığın mümkün olduğunca eklem yapısına sahip olması

gerekmektedir [20]. Ancak, 4 eklemli bir kuyruk yapısı

oluşturularak daha basit ve uygulanabilirliği yüksek bir

tasarım sağlanmaktadır.

4. Benzetim Çalışmaları

Benzetim çalışmalarında, robot balığa ait dinamik modelin

durum uzay modeli elde edilmiştir. Bir sistemin açık çevrim

durum uzay modeli Denklem (15) ile temsil edilir.

DuCxy

BuAxx

)0( D (15)

Denetlenecek sistemin durum uzay matrisleri kullanılarak Kp

kazanç değerinin hesaplanması ile durum geri besleme

tasarımı gerçekleştirilir. Böylece, robot balık modeli kararlı bir

hale getirilerek her bir eklem için klasik birer PID Denetleyici

yardımı ile denetimi sağlanır. Şekil 9’da elde edilen dinamik

sistemin PID ile denetimi gösterilmektedir.

B 1/s

A

Kp

C

Cxy

BuAxx

+ ++ -

x xu yPID

Denetleyici+ -

r

Şekil 9: Robot balığın PID denetim blok diyagramı.

Burada, kapalı çevrim denetim sisteminin giriş değişkeni robot

balığın eklemlerine ait momentlerini (Mi), çıkış değişkeni

robot balığın eklemlerine ait açı değerlerini (ϴi) ve referans

giriş değişkeni ise robot balığın eklemlerine ait istenen açı

değerlerini (ϴiref) temsil etmektedir. Kullanılan PID katsayıları

deneme-yanılma yolu ile elde edilmiştir. Benzetimde

kullanılan parametreler Tablo 2’de sunulmaktadır.


760

Tablo 2: Benzetim Parametreleri

Parametreler Değerler

Su yüzey alanı (Sa) 6 m2

Su yoğunluğu (ρ) 1000 kg/m3

Eklemlerin ağırlıkları (m1:m2:m3:m4) 325 gr

Eklem uzunlukları (l1:l2:l3:l4) 10 cm

Lineer dalga genliği (c1) 0.3

Karesel dalga genliği (c2) 0

Kuyruk hareketi örnek sayısı (Mf) 18

Vücut dalga katsatısı (k) 13.6

Şekil 10’da robot balığın ileri yön hareketi için her bir ekleme

ait açı değerleri verilmiştir (f=1Hz). Robot balığın eklemlerine

ait kapalı çevrim denetim cevabı Şekil 11’de verilmektedir.

0 2 4 6 8 10 12 14 16-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

örnek sayısı (im)

Ekle

m a

çı

değerleri (

dere

ce)

teta1

teta2

teta3

teta4

Şekil 10: İleri yön hareketi için eklemlere ait açı değerleri

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-20

-10

0

10

20

Eklem 1

Zaman (sn)

Teta

1 (

Dere

ce)

Sistem Cevabı

Referans Giriş

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-20

0

20

Eklem 2

Zaman (sn)

Teta

2 (

Dere

ce)

Sistem Cevabı

Referans Giriş

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-40

-20

0

20

40Eklem 3

Zaman (sn)

Teta

3 (

Dere

ce)

Sistem Cevabı

Referans Giriş

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-40

-20

0

20

40Eklem 4

Zaman (sn)

Teta

4 (

Dere

ce)

Sistem Cevabı

Referans Giriş

Şekil 11: Robot balığın eklemlerine ait kapalı çevrim cevabı.

Şekil 12’de, kapalı çevrim denetim sisteminin hata sinyalleri

verilmektedir.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

-5

0

5

10Eklem 1

Zaman (sn)

Hata

(D

ere

ce)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

-5

0

5

10Eklem 2

Zaman (sn)

Hata

(D

ere

ce)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

-5

0

5

10Eklem 3

Zaman (sn)

Hata

(D

ere

ce)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

-5

0

5

10Eklem 4

Zaman (sn)

Hata

(D

ere

ce)

Şekil 12: Robot balığın eklemlerine ait hata sinyalleri.

Şekil 11’de görüldüğü gibi, eklemlere ait açı değerlerinin

istenen giriş değerlerine göre denetimi sağlanmıştır. Böylece,

robot balık için oluşturulan dinamik model ile gerçek bir

Carangiform türü balığın ileri yön hareketi elde edilmiştir.

Ayrıca, Şekil 12’de hata sinyallerinin uygun bir şekilde

minimize edildiği görülmektedir.

5. Sonuçlar

Bu çalışmada, Carangiform türü bir robot balığın dinamik

modeli elde edilmiştir. Tasarlanan robot balık, sert ön gövde

ve esnek kuyruk yapısı olmak üzere iki bölümden oluşur.

Esnek kuyruk yapısı, servo-motorlar ile tahrik edilen 4 adet

eklemden oluşmaktadır. Sistemin dinamik modeli Lagrange

fonksiyonu kullanılarak oluşturulmuştur. Elde edilen dinamik

denklemlerin MATLAB/Simulink ortamında durum uzay

modeli oluşturulmuştur. Böylece, tasarlanan robot balık

modeli kararlı hale getirilmiş ve her bir eklem için klasik birer

PID denetleyici kullanılarak benzetim çalışmaları yapılmıştır.

Benzetim çalışmalarında, Carangiform türü bir balığın ileri

yön hareketi için eklem açı değerleri oluşturulan dinamik

modele uygulanmıştır. Benzetim sonuçları irdelendiğinde,

oluşturulan robot balık modeli ile gerçek bir Carangiform türü

balığın ileri yön hareketinin taklit edildiği görülmektedir.

Ayrıca, robot balığın 3 boyutlu eksende hareketi için

dinamik model analizi gelecek çalışmalarda ele alınacaktır.

Teşekkür

Bu çalışma Fırat Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri

Koordinasyon Birimi (FÜBAP) tarafından desteklenmiştir.

Yazarlar, FÜBAP 2095 No’lu proje kapsamında yapılan

çalışmaya verdiği destekten dolayı Fırat Üniversitesi’ne

teşekkür eder.


761

Kaynakça

[1] D. Korkmaz, “Uzaktan Kontrollü Bir Robot Balığın

Tasarımı ve Gerçeklemesi” Yüksek Lisans Tezi, Fırat

Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 2012.

[2] D. Korkmaz, G. Ozmen Koca, Z.H. Akpolat, “Robust

Forward Speed Control of a Robotic Fish”, 6th

International Advanced Technologies Symposium,

Elazig, Turkey, s:33-38, 2011.

[3] D. Korkmaz, U. Budak, C. Bal, G. Ozmen Koca ve H.Z.

Akpolat, “Modeling and Implementation of a Biomimetic

Robotic Fish”, International Symposium on Power

Electronics, Electrical Drives, Automation and Motion,

Sorrento, Italy, s:1187-1192, 2012.

[4] M. Sfakiotakis, D.M. Lane, ve J.B.C. Davies, “Review of

Fish Swimming Modes for Aquatic Locomotion”, IEEE

Journal of Ocean Eng., Cilt: 24, No: 2, s:237-252, 1999.

[5] R. Vepa, Biomimetic Robotics Mechanisms and Control,

Cambridge University Press, New York, 2009.

[6] J. Yu, L. Wang ve M. Tan, “A Framework for

Biomimetic Robot Fish’s Design and Its Realization”,

American Control Conference, Portland, s:1593-1598,

2005.

[7] J. Yu, S. Wang ve M. Tan, “Design of a Free-Swimming

Biomimetic Robot Fish”, IEEE/ASME International

Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, Port

Island, Kobe, Japan, s:95-100, 2003.

[8] J. Yu, M. Tan, S. Wang ve E. Chen, “Development of a

Biomimetic Robotic Fish and Its Control Algorithm”,

IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics-

Part B: Cybernetics, Cilt: 34, No: 4, s:798-1810, 2004.

[9] W. Qiu, J. Liu ve H. Hu, “A Methodology of Modelling

Fish-like Swim Patterns for Robotic Fish”, Proceedings

of IEEE 2007 International Conference on Mechatronics

and Automation, Harbin, China, s:1316-1321 2007.

[10] H. Hu, “Biologically Inspired Design of Autonomous

Robotic Fish at Essex”, Proceedings of the IEEE SMC

UK-RI Chapter Conference on Advances in Cybernetic

Systems, Sheffield, s:1-8, 2006.

[11] J. Liu ve H. Hu, “Biological Inspiration: From

Carangiform Fish to Multi-Joint Robotic Fish”, Journal

of Bionic Engineering, Cilt: 7, No: 1, s:35-48, 2010.

[12] J. Liu, L. Dukes, R. Knight ve H. Hu, “Development of

Fish-Like Swimming Behaviours for An Autonomous

Robotic Fish”, Proceedings of Control, University of

Bath, s:6-9, 2004.

[13] J. Yu, S. Wang ve M. Tan, “A Simplified Propulsive

Model of Biomimetic Robot Fish and Its Realization”,

Robotica, Cilt: 23, s:101-107, 2005.

[14] M.S. Triantafyllou ve G.S. Triantafyllou, “An Efficient

Swimming Machine”, Scientific American, Cilt: 272,

s:64-70, 1995.

[15] K. Hirata, “Design and Manufacturing of a Small Fish

Robot”, Processing of Japan Society for Design

Engineering, No:99, s:29-32.

[16] C. Zhou, Z.Q. Cao, S. Wang ve M. Tan, “A Marsupial

Robotic Fish Team: Design, Motion and Cooperation”,

Science China Press and Springer-Verlag Berlin

Heidelberg, Cilt: 53, No: 11, s:2896-2904, 2010.

[17] C. Zhou, M. Tan, N. Gu, Z. Cao, S. Wang ve L. Wang,

“The Design and Implementation of a Biomimetic Robot

Fish”, International Journal of Advanced Robotic

Systems, Cilt: 5, No: 2, s:185-192, 2008.

[18] Z. Chen, S. Shatara ve X. Tan, “Modeling of Biomimetic

Robotic Fish Propelled by An Ionic Polymer-Metal

Composite Caudal Fin”, IEEE/ASME Transactions on

Mechatronics, s:1-12, 2009.

[19] Z.G. Zhang, N. Yamashita, M. Gondo, A. Yamamoto, ve

T. Higuchi, “Electrostatically Actuated Robotic Fish:

Design and Control for High-Mobility Open-Loop

Swimming”, IEEE Transactions on Robotics, Cilt: 24,

No: 1, s:118-129, 2008.

[20] J. Yu, L. Liu ve M. Tan, “Three-Dimensional Dynamic

Modeling of Robotic Fish: Simulations and

Experiments”, Transactions of the Institute of

Measurement and Control, Cilt: 30, No: 3/4, s:239-258,

2008.

[21] C. Zhou, Z. Cao, S. Wang ve M. Tan, “The Dynamic

Analysis of the Backward Swimming Mode for

Biomimetic Carangiform Robotic Fish”, IEEE/RSJ

International Conference on Intelligent Robots and

Systems, Nice, France, s:3072-3076, 2008.

[22] C. Zhou, M. Tan, Z. Cao, S. Wang, D. Creighton, N. Gu

ve S. Nahavandi, “Kinematic Modeling of a Bio-Inspired

Robotic Fish”, IEEE International Conference on

Robotics and Automation, Pasadena, CA, USA, s:695-

699, 2008.

[23] C. Watts, E. McGookin ve M. Macauley, “Modelling and

Control of A Biomimetic Underwater Vehicle with A

Tendon Drive Propulsion System”, Oceans 2007–

Europe, s:1-6, 2007.

[24] Z. Bingül, S. Küçük, Robot Dinamiği ve Kontrolü,

Birsen Yayınevi, İstanbul, 2008.


762

bolum17-modelleme ve sistem tanılama (sayfa 692-762)

Documents