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eIitoriaI eide

IV.

ENSEANZA DE I,A MATEMATICA

Direccin: Eduardo Bonet

Titulos publicados:

I. La matemdtica moderna en Ia Enseanza Primaria, por Z. p. DieneslI. Los primeros pasos en matemtica., por Z. P. Dienes y E. W. Golding

l. Ittgica y juegos lgicos2. Conjuntos, nmeros y potencias.3. Exploracin del espaco y prctca de Ia medidaIII. DLddctica de la matemtica moderna en la Ensetanza Media, pot

T. J. Fletcher

La geometra- q travs de las transformacones, por Z. P. Dienesy E. W. Goldingl. Topologa. Geometra proyectirla. ! afin2. Geometra eucldiana3. Grupos y coordenadas

Estados y operadores, por Z. P. DienesL Operadores adityos2. Inciacin aI Igebra3. Operadores multiplicatittos

Cmo utilizar los Bloques Muttibase de Z. P. Dienes

Las seis etapas del aprend.izaie en matemtica, por Z. P. Dienes

Fracciones, por Z. P. Dienes

Fichas perforadas, por J. Colomb, M. Glaymann, P. Gagnairey J. SargentCmo utIizat los Bloques Lgicos, por Kothe

La lgica en la escuela, por Glaymann-RosenbloomLas prolabilidades en la escuela, por M. Glaymann y T. Varga

VI.

VII.

VIII.

IX.

x.

XI,

XII.

Siegfried Kothe

COMO TJTILIZARLOS

BLOQUES LOGTCOSDE Z, P. DIENES

Pensar es divertido

EDITORIAL TEIDE BARCELONA

Sin embargo, haca falta un compendio que iniciara de unmodo elemental en el manejo de este material a cuantos no es-'tuvieran famitiarizados con 1.El trabajo de Siegfried Kothe intenta ser precisamente uncompendio de juegos elementales con los Bloques Lgicos aun nivel tan elemental como eI preescolar, sin que sus ideasqueden limitadas necesariamente a este nivel, sino mds bienabiertas a un ulterior desarrollo, Creemos sinceramente que pue-de ser de utilidad, tanto a las pro-f esoras de los jardines de in--fancia, como a todos cuantos por primera yez comiencen a uti-lizar los Bloques.

Insistimos, sin embargo, que solamente una atenta lecturade las obras de Dienes, de todas ellas, dar. una visin realis-ta de las innumerables posibilidades pedaggicas de este mqte-rial estructurado.

Rrclnoo PoNsI JUEGOS PREPARATORIOS

IlI

f

f CONSTRUCCIN LIBRE CON LOS 4S BLOOUES LGICOS

Los nios sienten necesidad de experimentar cada nuevo ju-guete. No es posible descubrir en seguida a qu iuegos vandestinados los 48 bloques. Sin embargo, stos resultan atracti-vos como bloques de construccin. Los nios los agrupan es-pontneamente, construyendo casas y barcos, por ejemplo. A ve-ces las caractersticas de los bloques dificultan la eiecucin dedeterminados proyectos, por lo cual se crean formas fantsti-cas que slo admiten interpretacin una vez terminadas.

Manejando los bloques de esta forma, el nio adquiere libre-mente experiencias que luego tendrn relevancia para los jue-gos dirigidos y planificados. Los bloques redondos ruedan. Losbloques delgados no se tienen en pie. Es posible que las expe-riencias con las propiedades .redondo,, y

"delgadoo lleven alnio a agrupar loi bloques en un plano en vez de construir enaltura. Las representaciones planas (vase fig. 1) permiten crear

!+)AIr

Figura 1

l1l0 JUEGOS PREPARATORIOS JUEGOS PREPARATORIOS

las que luego germinarn los conceptos. Las formas creadas sonconceptuadas como bellas cuando la ordenacin de los bloquesdestaca por su armona y sus contrastes. Reflexionar sobre or-denaciones elegidas por las sensaciones que despiertan puedellevar a descubrir estructuras formales y con ello se practicala matemtica. En efecto, la matemtica moderna se define comoel estudio de las estructuras formales. Los nios que en la cons-truccin libre crean formas de cierta belleza, ya ordenan espon-tneamente los bloques teniendo en cuenta criterios formales.En muchos casos, al principio ser preciso ayudar al nio, crean-do situaciones de juego adecuadas, que le impulsen a realizareste esfuerzo intelectual. Es absolutamente esencial no basarestos juegos en el ambiente natural con sus objetos conocidos,sino crear situaciones nuevas que los nios no experimentarannormalmente sin nuestra intervencin. Reinterpretamos el prin-cipio de realismo a fin de aplicarlo a juegos que deben servirpara la educacin intelectual. Los nios juegan al menos contanto entusiasmo como cuando se entregan a juegos tradicio-nales. El concepto de juego adquiere una nueva faceta. En laintroduccin a la matemtica, los objetivos propuestos exigendesde el principio unos mtodos adaptados a los mismos.

Llama la atencin que los nios en edad preescolar presentencapacidades considerablemente distintas. Los modernos jugue-tes tcnicos raras veces dan lugar a experiencias sobre las quepueda basarse una vida intelectual. La perfeccin de los jugue-tes mecnicos adormece la fantasa. Los juegos que aqu se pro-ponen estn pensados para salvar a tiempo a los nios en edadpreescolar de una pobreza intelectual que luego dificulta el es-tudio de la matemtica. En efecto, al jugar, el pensamiento delos nios permanece muy ligado a su actividad concreta, la cualse desarrolla siguiendo unas rigurosas normas preestablecidas,las reglas del juego. Sin embargo, este pensamiento dirigido lesproporciona experiencias que, ms adelante, les permitirn en-frentarse mejor a las nuevas situaciones que se les planteen.

Existe otro aspecto que ya debe remarcarse aqu. Gracias aljuego planificado con los bloques lgicos, nios que se ven pocoestimulados a hablar y cuya inteligencia, por tanto, no se valoraadecuadamente, tienen oportunidad de demostrar a tiempo sus

mayor nmero de formas. Se han eliminado los problemas deequilibrio y resulta ms fcil llevar a cabo los proyectos de cons-truccin.

Tambin es posible dar libre curso a la fantasa. Las apre-ciaciones estticas sugieren entonces representaciones abstrac-tas (vase frg. 2). Construir formas bonitas estimula a observar

1AFigura 2

y comparar las 11 propiedades (rojo, amarillo, azul, triangular,redondo, cuadrado, rectangular, grueso,l delgado, grande, peque'o). Seis bloques triangulares grandes forman un hexgono. Al-ternando los colores y tambin los dos distintos grosores puedeobtenerse un efecto muy atractivo, incluso desde el punto devista de un adulto. Puede construirse otfo hexgono con seisbloques pequeos, variando la sucesin de los colores.

Para los juegos posteriores tienen suma importancia las figu-ras de fantasa en las que los nios establecen relaciones decolor, forma, tamao y grosor entre los bloques, siguiendo uncriterio puramente esttico sin relacin con otros obietos delmundo que les rodea. En la introduccin a la matemtica esnecesario recurrir a la fantasa infantil de una forma absoluta-mente nueva. No practicamos la matemtica a un nivel abstrac-to; le damos un significado real. Al jugar con los bloques, esdecir, con objetos tangibles, el nio realiza experiencias sobre

1.. En las figuras, los bloques (gruesos> se indican con un sombreado.

12 JUEGOS PREPARATORIOS

verdaderas capacidades intelectuales. No es raro observar que,en la prctica concreta, estos nios llevan a cabo a la perfeccinjuegos complicados, aunque no se hallan en condiciones de ex-presar verbalmente lo que hacen. Tambin es frecuente que lesresulte difcil aprehender correctamente las instrucciones ver-bales. Para estos nios es a veces ms importante observar yparticipar gradualmente que recibir una larga explicacin. Si seles ayuda sin presionarles, pronto pierden la timidez. El xitoen el juego les prepara para la expresin verbal. Puede motivar-les el hecho de descubrir errores en sus compaeros de juego,por ejemplo al sentir la necesidad de comunicar lo que handescubierto. Para la educacin verbal de la que hablamos, sonsituaciones muy favorables los juegos que comunican al nioplena confianza en sus posibilidades. Por consiguiente, cuandose practican juegos en los que deben resolverse problemas nue-vos la intervencin de los adultos puede influir desfavorable-mente sobre ei comportamiento de los nios, si se intenta ayu-darles a base de excesivas explicaciones verbales. De hecho, lospadres atareados no suelen tener la paciencia necesaria paraobservar sin intervenir,,cmo su hijo va resolviendo una tareapropuesta a base de mltiples intentos con sus eventuales erro-rres. Los profesores y jardineras de infancia conocen la impor-tancia pedaggica de la paciencia y del comedimiento cuando setrata de prestar ayuda. Es muy importante aprender a resolver,por los propios medios, un problema planteado. Nuestros jue-gos deben ayudar a los nios a demostrar su independencia in-telectual frente a los adultos, cuya superioridad ya conocen. Eladulto tendr ocasin de observar como la manipulacin de losbloques y el razonamiento sometido a las reglas del juego se vanrectificando mutuamente. Casi siempre es un error preguntar alnio por qu ha hecho tal o'cual cosa. El pensamiento y la ac-cin van aqu muy ligados. En general, en la primera fase de larealizacin, es excesivo exigir al nio que exprese verbalmenteeste

2 DAMOS NOMBRES A LOS BLOQUES

En los juegos colectivos es necesario emplear una denomina-cin uniforme para designar las propiedades de los bloques. Essorprendente cmo los nios dan con las descripciones -adecua-das. u Dame ese bloque flaco tan puntiagudo! S, se bloque ama_rillo, el grande!" Las propiedades del bloque descrito

"n "l "3"*-plo, mencionadas por el nio, son: delgado, triangular, u*uiillo,grande. Unos nombres establecidos para las prop-iedades permi-ten exponer claramente las reglas del juego y que stai seanbien comprendidas. Los nios ya conocn las -paiabras que de-signan las propiedades (caractersticas, atributos) de ls bto-ques, con contadas excepciones (circular, rectangular, triangu-lar). A medida que se van nombrando, se represetarn en u"nacartulina blanca con smbolos adecuados (de 6X6 cm, por ejem-plo). Lo mejor es emplear rotuladores. Las caracteristicas ecolor sirven de base para el primer juego.

Colones

Separamos del conjunto-de los 4g bloques todos los que pre_scntan la caracterstica

JUEGOS PREPARATORIOS

Figura 3 trTtrbloques en la forma indicada. La seal no debe tener ningunade las formas que presentan los bloques. Es necesaria una mani-pulacin concreta. Esta manipulacin va acompaada de aclara-ciones. Formamos un montn. Naturalmente tambin presta-mos atencin al montn que nos queda. En el ejemplo citado losbloques amarillos y azules quedan mezclados. Tambin los sepa-ramos. Junto al montn de bloques azules colocamos la cartu-lina en la que se pinta una seal azul. Ahora quedan los bloquesamarillos.

A partir de aqu iremos numerando todos los juegos. Veamosel resumen del primero:

Juego fClasificamos segn el color

Los 48 bloques forman un montn. Cada uno busca un bloquerojo y lo coloca en el lugar sealado por la cartulina (roja).Qu bloques nos quedan? Es posible que los nios no mencio-nen las caractersticas de color, sino de forma, por ejemplo cua-drado. Entonces se les indica que en el montn de bloques rojostambin aparece la caracterstica citada (cuadrado) y que portanto no es relevante. Los nios realizan un esfuerzo intelectual,separar lo importante de lo irrelevante. Lo que es importante ycaracterstico del montn que nos queda es el color; nos quedantodos los bloques que son amarillos o azules. Una vez lo hayancomprendido se procede a realizar esta clasificacin.

Llegados a este punto quisiramos sealar a los adultos laimportancia de emplear la palabra uo'. El conjunto que nosqueda (conjunto complementario) se compone de bloques queson amarillos o azules. Ningn bloque concreto es amarillo y

t7t6 JUEGOS PREPARATORIOS

irzul: no estn pintados a rayas. El conjunto complementariotlcbe caracterizrse por una propiedad de modo que siempreruecla decirse exactamente si un bloque pertenece a ese conjun-lo o no. Si cierro los ojos y cojo un bloque del conjunto comple-ncntario es posible que me salga un bloque azul, la segunda vez,tro bloque zul y rlo u la tercera uno amarillo. Este es el sig-Irificado de la palabra determina qu bloques pertenecen al con-jrrnto y cules no pertenecen al mismo. cuando el color resultasignifiativo para determinar la composicin del montn, norrestamos atncin a la forma, al grosor ni al tamao' Antes seira designado la caracterstica nno rojoo como uazul o amarillorr.Ms adlante debern perfilarse an ms el lgico y el "o"Itigico. La terminologia coniunto y coniunto complementario, la.:rriplean los nios con facilidad, aunque es una terminologaacllta. Si reunimos el conjunto y el conjunto complementariotcnclremos de nuevo el conjunto referencial o universo con el(lue estamos jugando. Sealaremos siempre todos los elemen-tos que pueden emplearse en cada juego.

Cn fiecuencia el conjunto referencial estar formado por los4g bloques. sin embargo tambin podran ser conjuntos referen-tialcs: 1) todos los nios de la clase; 2) todos los muebles delilula; 3) todos los juguetes de Eva, etc. Tambin en estos casosrueclen formarse, del mismo modo, conjuntos con sus corres-irondientes conjuntos complementarios. Todos los bancos y si-il^, ron un conjunto en el conjunto referencial del segundo ejem-rlo. Los a.maiibs, mesas, etc., pertenecen al conjunto comple-r rrcntario.

t9t8 JUEGOS PREPARATORIOS JUEGOS PREPARATORIOS

Juego 2Formamos una serpiente de colores

Ordenamos los bloques segn se indica en Ia figura 4. Unavez construida

-la figura, se le da el nombre de serpiente y pre_guntamos qu les sugiere la serpiente.

ro

Juego 3

lltta serpiente segn un modelo

Se colocan los bloques segn se indica en la figura 5'

tal-:

I!t

20 JUEGoSli\ trtrrI

JUEGOS PREPARATORIOS 2lPREPARATORIOS

trtrrtrTtr [tr

ntrFigura 7 rtrtemtica las distintas formas de comenzar. El resultado de ladiscusin sera: La cabeza puede tener tres colores distintos.Existen, pues, tres posibilidades? S, pero a continuacin decada cabeza podemos colocar dos colores distintos. Representa-mos las seis posibilidades con las cartulinas de colores, o pin-tamos las correspondientes seales de color.

Al principio no es muy aconsejable discutir el nmero com-pleto de posibilidades. Sin embargo, lo comentamos aqu ya quealgunos nios se plantean espontneamente este problema, sise les estimula de forma adecuada. El problema de todas lasposibilidades distintas slo tendr inters para los dems cuan-do se vuelva a repetir el juego en posterior ocasin.

La problemtica del juego 4 se plantea automticamente alcomparar distintas serpientes con modelo.

Teulos

Despus de prestar particular atencin al color, el tamaodebe pasar a ser el atributo significativo para los juegos. Tene-

rrros 24 bloques grandes. Los separamos. Qu nos queda?-24lrkrques pequenol. Resulta muy sencillo hallar una propiedad,lr' el conJunto y su conjunto complementario. No nos limi-t,,r"*os a emplear las palabras ugrande, y (pequeo", sino quetiunbin colocaremos cartulinas indicadoras. Simbolizaremos last rrractersticas ugrandet y .pequeo" por medio de muecos delllzo simple. Ef mueco pequeo extiende los brazos; quiererrrc lo llven en brazos. El mueco grande tiene los brazostr

trtr

t lrclos.

Figura I WMDibujamos las cartulinas con rotulador negro a {l d: evitar

. rralquier relacin con los colores azul, rojo y amarillo, los cua-Ir's clcsignan otras tres caractersticas distintas.

Juego 5

('l(t.\iIicamos segn el tamaol)odemos pedir que los nios saquen todos los bloques gran-

rlt's y entonces nos quedan los pequeos, o a la inversa' Coloca-rrros las cartulinas indicadoras junto a cada montn' Aqu larr,'1r,lc:in no plantea problema. oNo pequeo> es (grande) y (notiriurclc, es

"Pequeo>.

Juego 6

I tt s(rpiente grande-Pequeatiormamos una serpiente alternando siempre los tamaos'

l,urrbin puede hacers empleando 16 bloques del mismo colorr ()lros conjuntos Parciales.

l.os nioi ya conocen el juego de la serpiente y ste es par-rr( rlrrrmente iencillo con el cambio de tamao. Estos juegos in-

JUEGOS PREPARATORIOS

/Figura I

,|.

troductorios slo tienen por objeto familiarizar a los nios conlos atributos de los bloques. Las reglas del cambio de atributosponen de relieve criterios estructurales que hasta entonces notenan ningn significado para los nios apenas. Debemos te-ner siempre presente que estamos provocando experiencias com-pletamente nuevas, para las que primero debe estimularse lafantasa orientada en un determinado sentido. Esta educacinexige paciencia e intuicin por parte de los profesores. La fan-tasa de los nios viene determinada por experiencias excitantes.No debe extraarnos, por tanto, que al hablar de una serpientese les recuerde experiencias del zoolgico. Por ejemplo, un chico(4 aos, 8 meses) construy con bloques una casa junto a cadaserpiente:

"Aqu vive la serpiente>.En general, el nio vive experiencias matemticas en su am-biente natural. Debemos crearle situaciones de juego que tam-bin den cabida a estas experiencias. El nio aprende a hablarintentando imitar lo que oye. El lenguaje se desarrolla a travsde un largo proceso de diferenciacin que tiene lugar en situa-ciones sociales absolutamente naturales. El desarrollo del pen-samiento matemtico tambin requiere priraero una serie de es-tmulos que provoquen e interesen al nio de forma particular.

Gnosons

Al principio, las caractersticas (grueso> y "delgado no requie-

ren nuevos puntos de vista. Clasificamos (Juego 7) y formamosla , por ello indicaremos las formas comot tntornos.

Ilsta obra no tiene por objeto discutir los conceptos y. expe-r.it,ncias matemticas que comienzan a prefigurarse en el jue.go;.,irr cmbargo, llegados a este punto, un ejemplo. "ot l-"^llt'-tlt,1,'nrostrar-que Iis experiencias adquiridas en el juego permrtencstablccer la base puiu

"" estudio planificado de la matemtica'

l,r rclacin terico-numrica 'par-i*put' aparece de forma, real('n una situacin de juego particular' Y para ello ni tan solo esrr,tcsal'io un conociieto^previo de los nmeros naturales'

l,uesto que en general fbrmamos conjuntos comPuesg ,deun nmero par aeLloques (48,24, 16-, \2)' las serpient.":-o:^ltjrrt'gr.rs 6 y 8 presentan otra pecularidad estructural' SI la caDe-/;r ('s un bloque grueso (granbe), el otro extremo ser un bloque,i. rgra (peque). Esto"ya no sucede si escogemos un.nmerorrl)ar de bloques p*u fo*ur la serpiente' Como es lgico' slo',(' unalizar con exactitud esta relain cuando tambin se ha-

frO^,O rA-Modelo con un nmero Parrle bloques

Figura l1

T_f

7

ooooooo

ooooooo

24 JUEGos pREpARAroRrosble de nmero. Sin embargo, quisiramos hacer notar a los pro-l.:?r.: que las propiedad&-bil-*o;; ya pueden introducirse1 tr3v1!e. Ia serpienre grueso_delgi" o ju ,".p.n,"-g.i;;:;.-queo. Dividimos las serf,ient",

"""o, c-lases. clase l: ra cabzay la cola son disrintas. Cse 2, b;;;;.; y ta cola son iguales. Alformar estas serpientes estamo. pl"p.;ro al nio para algoque es significarivo cuando se rrata i ,rJ_.ro.. Ci; i;';.ro par de bloques. Clase 2.: Nnero i-fu, de bloques.La moderna introduccin a la _ut"?tl.u ,_."i".t..i za porel hecho {" qr. todas las .it"u.io""r-.."_ur".iuhzan d,e formaconcreta. Para ello se emplea .materiJ estructurador: ademsde los obloques leicos, xiste tambiJn mut"riul muy sencillo.Por ejemplo, el con-cepto terico-num.ico , y el rectangular se designe como

"alargado".Pese a su reducido vocabulario, los nios raras veces tienen

rroblemas para encontrar un nombre adecuado para cada cosa.l)t:bemos prestar la debida atencin a esta capacidad de crea-t irin lingstica. Nuestros juegos requieren la utilizacin de pa-lrbras nuevas, que no pertenecen al vocabulario normal del nio.Srrra errneo conservar durante ms tiempo expresiones infan-lilcs. Los nios pequeos emplean los nombres de marca paralt:f crirse a los automviles y otros artculos conocidos, aun cuan-rlo su pronunciacin resulte difcil al principio. En nuestros jue-1os, las formas geomtricas tambin tendrn nombres especia-It's, porque las consideramos importantes. Con este criterio, pue-rlt: tambin emplearse el trmino

"circular, en vez de redondo,si cl profesor lo considera oportuno.

A continuacin debemos mostrar a los nios las formas bsi-r'ls tringulo, cuacirado y rectngulo e invitarles a buscar estasIor-n-ras en el mundo que les rodea. Con el nombre aprendemosr'l concepto a travs de ejemplos y contraejemplos. Una granrrrcrta corredera, que se desliza detrs de otra, demuestra como

r[EET

25

t6

oooooooooooooooo

Figura 12

16

oooooooooooooooo

En la figura, los l botones se han ordenado na vezforman_do un cuadrado y otro-formando ;;;;;"g"lo. por ranto, l noes un nmero primo. 7 es en cambio ,, ,r_".o p;tr";;;;;"con los 7 botones no se puede formar nr un rectngulo ni uncuadrado, segn indica la figura iZ. iOl, es posible ordenarlosen fila' En consecuencia, Ias"fo.r g"-etricas bsicas rectn-gulo y cuadrado tambin p""a." -r.iui-. para visuarizar el con-pepto terico-numrico primo, median-un juego de ordenacin. Figura 13

26 JUEGOS PREPARATORIOSJUEGOS PREPARATORIOS

Juego l2Si se cuenta con suficientes cartulinas indicadoras de forma,

t., 'rosible resolver el problema de hallar el nmero de las dis-trrlos modelos posibles a base de formarlos con las cartulinas\' ( ()rnpararlos entre s. Tambin podra anotarse cada nuevor r otlclo.

Juego 13

,'A quin toca?

Dcbe tenerse en cuenta otra posible variante de los juegosrlt' lzr serpiente, que permite practicar la ordenacin de otranurrrcra. Cuatro nios se sientan alrededor de una mesa.2 Cadanino tiene slo bloques de la misma forma. Un nio coloca lat:rbcza de la serpiente. Se va siguiendo por orden. Cada nio co-Lrcar' un solo bloque. Con una determinada distribucin ent()r'n() a Ia mesa, pueden formarse dos serpientes distintas: tur-rrinclose hacia la derecha, o hacia la izquierda. Por tanto, cuan-rlo crda nio dispone de bloques de la misma forma, el juego 13l)('r'rnite formar dos modelos concretos. Ahora se plantea el pro-lrlt'nra de sucesin anunciado. Se interrumpe el juego. Un quintorriiio, que no participaba en el mismo, debe acercarse a la mesay rlccir cul de los jugadores debe colocar el prximo bloque. Esrlt't'ir que primero es preciso fi.jarse en el modelo de la serpientev cn los bloques de que dispone cada jugador. Despus se tratarlt'clcterminar el orden de sucesin, lo cual profundiza las pri-nr('r'rs experiencias sobre el sentido de giro cuando se va siguien-rlt un crculo. Naturalmente, los cuatro jugadores tambin pres-l:rr atencin al sentido de giro (sentido que siguen los turnos),rt'r'o el quinto nio debe deducir este sentido de giro del ordenrlt' sucesin. El nivel de dificultad es mayor.

2. En casa pueden jugar el padre, la madre y dos nios.

27puede modificarse la forma. Una formalugar a muchas otras tambin rectansuru.^.^"arun*ular puede darconvertirse en un cuadrado. ---*^'6*''rs, pero tambin puedeCortaremos v dollremr-pup"t, a fin de que quede ms cla_;l ;l],:i:Ho|S""f ' cuaariritJros !#...ta.,guros. Mostramoscen los nios, ..rro .ftlin-gulo'

28 JUEGOS PREPARATORIOSJUEGOS PREPARATORIOS

lrlotue no es rojo ni azul, tiene que ser amarillo." Con tres al-Ir'r'rr:rtivas, se necesitarn dos intentos como mximo para hallarl;r lcspuesta correcta. El juego permite realizar esta experiencia.

Juego 16

,'t| ttt bloque corresponden estas cuatro cartulinas?lJuscar el bloque que corresponde a cuatro cartulinas de-

lclnlinadas es un juego difcil. Por ejemplo: rojo, grande, cua-rlrirtlo, delgado (cuatro cartulinas). A qu bloque nos referimos?

l,)s preciso ordenar los bloques, de modo que no resulte tantlrlcil encontrarlos. Cmo ordenarlos? Por ejemplo, podran.rril:rrse los seis bloques de la misma forma y tamao. As ten-tllt'n.los ocho pilas. Ordenndolos de otra forma tendremos 16ril:rs. Cmo los ordenaremos para ello?[,] que se concentra en el juego advierte pronto que no esrosible escoger las cuatro cartulinas al azar. Es preciso tenerlrr c'Llcnta los grupos de atributos: color, forma, tamao, grosor.N:rlrrralmente no se lo diremos a los nios. Si alguno se equi-vr)('u y escoge, por ejemplo, delgado y grueso al mismo tiemporl,.lrcmos pedirle que busque l mismo ese bloque. Pronto ad-vit'r'tc que los son gruesos o delgados. Pero ningn bloque pre-r,r'rr[ir las dos propiedades a Ia vez, El que escoge cuatro cartuli-rr:rs rdecuadas sin problema est practicando lo que denomina-lttx inclusin. Ordena correctamente los conceptos incluyndo-Ios cn otros ms amplios. Estas irnportantes facultades se consi-'rrt'n dentro del marco de las acciones concretas. Revelan larrurortancia de los juegos con bloques lgicos para despertarunl lorma de pensamiento, que al principio no admite formula-t itin verbal.

29Ctna sroeuE rrENE cuATRo NoMBRES

Juego t4Qu caractersticas tiene este btoque?

Una vez familiarizados con los 11 atributos a travs de losdistintos juegos, pasaremos u o..rpuo, de cada bloque por se_parado. Levantamos "n.

Utoque fii"gJr,"_os: oCmo es esrebJoque?" "iQu propiedades' l"riii"r""J_ riene?> Los nios debencltar cuatro propiedades El que 1engJ7ncutraAes, puede ir ct.m_parando sucesivamete con r rr i-i"linas in-ii", )r,grueso? Es grande?.r.,, Ceefu_or'lu"r" al bloque las cartuli_nas que le corresponden.y dejamr, .'i"a" Ias dems. Los mis_mos nios deben advertii q;;-;;;"*toque viene determinadoexactamente por cuatro atriutos. i.lio, que no comprendenlas palabras -o

"propi.Au"Jo, se inclinan por la rela_cin concreta: A cada bl"q"!-ffiIpona.., cuatro cartulinas.

Juego 1SEl bloque oculto

Ahora no enseamos eI bloque, sino que Io cubrimos con unpao. Lo mejor ., T-"r... "r biJ;;;;";" borsa de tela. Los ni_nos no deben ver absorutameni"-nu]^'cmo podemos saberlas caracrersricas o"r uroquet-ii;;; debe seguir tapado. Losnios pueden tocarlo. OJ-r" ""t#;; as? Es posibte cono_cer el tamao, el erosory tu f"r;;;;o.'"Tru.ro. para determinarel color se permin preguntas de l forma: (es rojo?,. Se res_ponde solamente _o

*no,. Es poslUle.que alguien acierte eIcolor en seguida. Si et primerl;r;;;;.', negativo, quedan dosposibiridades' AI sesundt irt"ri."pr"i"'".ub"r.. er color, tantosi la respuesta es ne"gatiuu .o_o uJilti*. si al segundo inten_to se responde .qul s, ,i;;;;;;;;;;;;" oo. er rercer coror.

"por qu preguntas? E. ;;;:"il;::; esra presunta? si el

JUEGOS PREPARATORIOS

Juego 17Tabla de atributos

Explicaremos que un bloque queda determinado por cuatroatributos. Para ello se construye una tabla, familiarzando a losnios con su lectura. En 11 columnas caben todos los atributosposibles y en cada fila determinaremos cada bloque marcandocuatro cruces. Si quisiramos indicar todos los bloques de estaforma, tendramos que llenar 48 filas. Pero, naturalmente, no lohacemos. Debernos prestar atencin para no equivocarnos. Enla figura 15 se presenta un ejemplo de esta tabla de atributos.El nio coge un bloque y cada vez que identifica un atributo,traza \tna cruz en el lugar correspondiente de la tabla.

Figura 15

Juego l8Cuatro cruces en una lnea: qu bloque es?

En tanto que en el juego 17 el nio observaba el bloque quetena en la mano, a fin de identificar sus atributos y sealarlosluego con cruces en la tabla, ahora le pediremos que haga lo

JUEGOS PREPARATORIOS

rrlrlr'rrio. Las cuatro cruces trazadas en una lnea designanr rrllo atributos. Los nios deben buscar en el montn de blo-,ut's r:l que corresponde a estos atributos.('orno variacin de los dos juegos, pueden colocarse 11 car-lulirrirs indicadoras en una fila y, en vez de trazar cruces, colocarr uirlr'() botones en los lugares correspondientes.

Juego 19

, Alr'ttos de cuatro cruces?

llxistcn situaciones interesantes que pueden provocarse cuan-rlo rro surgen de forma espontnea: Alguien traza slo tres cru-r,'r r c

JUEGOS PREPARATORIOS

Juego 20Elegir cartulinas

No resulta difcil crear variantes de todos los juegos. Colo-camos las 11 cartulinas indicadoras, de forma que no puedanverse los smbolos. Se escoge una cartulina y se anuncia el tri-buto. Los nios deben buscar todos los bloques que presentandicho atributo. Cuando se elijan dos cartulinas pueden surgirproblemas. A lo mejor escogemos precisamente las cartulinasque representan redondo y cuadrado. Esto no vale; no haybloques que sean redondos y cuadrados a la vez. Fcilmenteencontraremos bloques para las cartulinas con los smbolos y

"rojo". El juego requiere mucha atencin. Quinadvierte primero que es imposible que se den simultneamentelas propiedades redondo y cuadrado? Pueden aumentarse lasdificultades, a base de elegir tres o cuatro cartulinas. Ahora setarda ms en or:

"Eso no valelo

Juego 2lDados de atributo

\En u"r de utilizar cartulinas, podemos construir dados. Paraello, pegamos las cartulinas en cubos de madera. El primerocorresponde a los colores (cada color aparece dos veces) Eltamao y el grosor figuran en otros dos dados (cada atributoaparece tres veces). En el cuarto dado pegaremos las formas(quedan dos caras en blanco). Cada nio echa los dados y ob-tiene cuatro atribut

llI

I CREACIN DE UN OBDEN

l)Dlitnp Los BLoeuES srcurENDo uN PLANlltrsta el momento, el orden ha resultado necesario paraItttrr'.r' bloques en el conjunto referen.iul. vu-o. ur,".u u'Jir_

:.1,',i 1..:l ,9tden en.algunos juegos. para empezar repetiremos lauI(t('naclon en pilas.

Juego 22Ittrl('n(tr los bloques formando torres

Si sr: apilan los bloques de la misma forma, grosor y tamao,tr'rl'r'llros en total r6 torres de tres bloques. Ellue ."pu-.o"t.,Ixi('(l(, hrcerlo. pero no es.preciro qrr"^todos l h.g;;. --^-"-Al''rrrros nios incluso intentan rdenar los corores de la,li*rir *anera en todas las torres. una de ras 16 torres- Lstf .r rn;rrla por los tres bloques

_redondos gru"J"r ; g;;r.1,rrrrilrlr'' r:onstruir esta torre de seis ,'uir".u. airtiitus, regri.,lr ,,1( (,sin de colores, tal como ya sabamos por el juego 4. Sin' rrlrirrlo, cn este juego lo primoidial no es la ordenci? "i,t r,l t 1'a.

.

l'.rrubin podramos ordenar los bloques en ocho torres. Co-l,,r,,,()s las torres pequeas de tres blolues sobre las g.u;a.,L t;rrl:r 1'rre tendremos bloques de la irir_u for_;y-;;;;;;.Sr. tr'ta de encontrar el myor nmero " ora"nco;;;;,,il'11.,

'ase de repasar las caiacteristicas generales. Tambin

Juego 23

Ordenar los bloques en una cuadrcula

Los nios toman los bloques- redondos' Deben ordenar de

nuevo es tos bloqu' :, ;:i' .1;; i: : *i:T,' .::" ffi'3ff ffiX1i"i' o* t.pu'udo'

Les f ac ilitamos las t:t.utu ;"i' -1" ".'."t"t. IiJ"",,ioT*L*'T:ll*, jii,.ruru*".TlT"ff :'':'::';

suficiente para dar caDlqa "t 't:i":;:If- =.,'".tra una

mane-drcula tendr t.'*i"tJJu"cil1t qo"i:-l encuentra una

man

ra de ordenar los uilq"J To'"los nios lo intcntan' Com-furu-o. dos ejemPlos'

JUEGOS AVANZADOS

I'ln las figuras 17 y 18 se han ordenado los bloques sobre la, rr,rrlr'cula de la figura 1 de dos maneras distintas. En la figu-r,rll{, lrs bloques rojos no se han ordenado de la misma manerarrrt'los bloques azules y amarillos. Los bloques de la figura 17Irr('\('ntan un orden mucho ms regular. De arriba abajo, cada,,rlunnl est compuesta por bloques del mismo color. En lal,rnn('r'r fila horizontal tenemos los bloques grandes y gruesos.(':rtla fila est formada por bloques del mismo tamao yI'r()\()r'. Los conceptos de fila y columna deben elaborarse del,'rrrr;r grfica. Las filas van de izquierda a derecha, las colum-r,r,, tlt' rrriba abajo. Reseguimos las lneas con el dedo. No selrrllrtluccn los nombres hasta que haya quedado clara la idea.l',rur los nios carece de importancia que eso sea lo que el ma-l,'nri'rlic() denomina matriZ. Los elementos de la matriz son losl.rlrlorues. Este juego de la matriz sirve para aprender lo que',,, r'orrsiderar obien ordenado". Una vez se ha aprendido a dis-lrrrrrril lo importante de lo que no lo es, puede. percibirse lar,',rrlrrliclad de las lneas a simple vista y por apreciacin est-Ir,.r. ('ada columna se compone de bloques del mismo color.l,'rlos los bloques son azules. Aqu todos son rojos. Vamos',rui('n(lo con el dedo todos los bloques de una columna. EnLr li'rrlu 18, aparecen irregularidades en las colurnnas. Todoslrr,, lr,r,trr"r de la primera columna son grandes y los de la'.' t,rn(ll pequeos. Qu atributos son iguales en los bloques,1,'lr lcrcera columna? El tamao es distinto, slo es igual elr rrlor'. Pcro, en las columnas de la izquierda, el color es igual, rr lrs clos primeras y en las dos ltimas filas, formando grupos,l( ( ulltro bloques y no por columnas. Los bloques slo estnI'r, n ()r'clcnados cuando todas las lneas presentan atributos, r,r.,lrultcs. La forma de ordenar bien los bloques que aparece' n lirs clos columnas de la izquierda (fig. 18) podra aplicarse

,, los 12 bloques en una cuadrcula distinta (fig. l9). Para ellol,,r;16r las dos primeras filas con los bloques rojos. Cada,,rlrrnrnl est formada por bloques del mismo tamao y cadalrl,r ror bloques del mismo color y grosor. Tambin podemosrrrlt'niu- bien los bloques en esta cuadrcula de 2x6, colocandot,rrlos los bloques delgados en la primera columna y todos losI'rr('sos en la segunda. En cada fila tendremos bloques del mis-

37JUEGOS AVANZADOS36

pueden formarse ocho torres de seis- blooues cada una' agrt

nando los de ru *'r''il ;;;; fiu*uno. L dificultad del juego

lour.." al formular''t"t"tili"dos' Deben emplearse los con-

ceptos forma, .ol.r, gllroi"i'",1*nr- Qu es igual? En que

se diferencian? Si ,,o" r". o.n rot ..riutto conceptos' las res-

Duestas resultan i"i"t"ii'' oAqu-ten"o' "l roo y despusel azul, hav una dif";;;;;;';1" "'iu forma se expresan

los nios'

o - ,,i )ooo o )o o

Figura 16 Fgura 17Figura'18

o cooc /oco

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)Figura 20

o oo I

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C os I

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'r-+{4.r*--l'-

38 JUEGOS AVANZADOS

Figura 19 Figura 20 Flgura 21

nro col

JTIEGOS AVA)'IZ.\DOS

I

J I., LG O S \\ ,\\2.\D O S '1140

Ftgura 22 Figura 23

dedicados los iuegos 23 y 24. Ahora se plantea el problema deljuego 25. Una vez establecida la ordenacin, se retiran algunosbloques y se mezclan de nuevo con el conjunto residual. Quinde los nios que no habah visto la ordenacin sabr encontrarde nuevo los bloques en el conjunto residual? Debe ser posibleidentificar la ordenacin por los bloques que queden. Cuantomayor sea el nmero de bloques que queden, ms fcil serhallar los que faltan. El juego 25 es un tpico juego de parejas.Es imposible iugar solo. Siempre tiene que haber uno que co-nozca Ia ordenacin y otro que intente descubrirla combinandoideas. La pesquisa resulta particularmente difcil cuando que-dan muy pocos bloques. En la figura 24, se podra retirar anotro bloque. La primera fila debe completarse con los bloquesazules: 1) grande y grueso, 2) p.equeo y grueso, 3) pequeo ydelgado. En la segunda y tercera filas, vara slo el color de losbloques.

En la figura 25 no se podra retirar ningn bloque ms, delo contrario ya no podra identificarse la ordenacin. Cmo sedescubre sta? Primer paso: Todos los bloques son pequeosy delgados. Los colores son distintos. Tenemos 12 bloques del-gados y pequeos, por tanto nos quedan nueve por colocar.Segundo paso: La colurnna de la derecha debe estar compuesta

Fiqura 24 Figura 25

,lr' [rloques lriangulares. De arriba abajo, la sucesin de colores, ': azul-rojo-amarillo. Cada columna contiene bloques de la

rr isnrr forma.lin la figura 26 tenemos cinco bloques. Faltan 19. Qu pasos

,t,'lrcrnos seguir? 1) El conjunto a ordenar est formado porl,rrlos los bloques delgados. 2) Las tres primeras columnas van,il;tinadas a los bloques grandes, las tres'ltimas a los peque-rros. 3) Cada columna est formada por bloques clel mismo

ffi ffi f, fM&AA \W ffi oo )ffi ffi T I

& Affi offi Tffi T

ffi

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Figura 27Figura 2ti

Ii42 JUEcos AVANZADo

./color. 4) cada fila presenta la siguiente sucesin de corores:rojo - amarillo - azul - amarillo - rojo - azul.Si se hace cl razonamiento entre todos, debern intercam-biarse ideas. Para describir ra situacin cle un bloque en lacuadrcula, cleben emplearse los conceptos: derecha-izquierda,arriba - abajo, centro, fila y columrr, y, posiblemente, los n-meros ordinales.

Cul es la parte de oaribao y la de oabajoo en una hoja dep:qel1 Podemos explicarlo con el dibujo de una cmoda fng. ZZ.Dnde est el cajn de arriba? Luego se pasa a desigar lasituacin en la cuadrcula.

Por ltimo, debemos citar la cuadrcula de x g en la quetienen cabida los 48 bloques. La figura 2g representa una po-sible ordenacin. Tambin es posible ordenar iodos los bloquesen una cuadrcula de 3xl. Con el tiempo, cuando los nioshayan captado el significado preciso de fi y columnas, podre-mos prescindir de las cuadrculas.

xnaaoc t IEtE

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I

Figura 28

Figura 29

JUEGOS AVANZADOS

Juego 26

LrL ordenacin con cartulinas indicadoras

Los bloques deben quedar bien ordenados. Las cartulinasclue determinan las propiedades caactersticas de cada lneaclcben colocarse arriba y a la izquierda. E,n el ejemplo de lal\gura 29 se han ernpleado todos los bloques delgados, pequeos.Iln la figura 30 puede verse la forma de distribuir las cartulinasinclicadoras. Qu nos dice Ia cartulina con la mancha roja?'l'odos los bloques de esta fila son rojos. Qu nos dice la cartu-lini con el crculo? Tcdos los bloques de la ltima columnason redondos.

El juego resulta ms difcil con los bloques de la figura 28,rrrcs cada lnea presenta ms de un atributo comn. La cartu-lir.ra roja no basta para caracterizar la primera fila, es precisoaadir la cartulina que indica el atributo ngrandeo. Cada filat'orr-esponde a un color y un tamao determinados. Qu su-cccle con las columnas? La forma y el grosor permanecen igua-lcs. Comprobemos todos los bloques, de arriba abajo. Qu

43

UEAO trtrutrEtrE

ffiEASfrnAO

nFrqura 30

r-

I

LJUEGOS AVANZADOS

atributos varan? Cules permanecen iguales? Colocamos lascartulinas que indican la correspondiente forma y grosor unasobre otra encabezando las ocho columnas. Encabezaremos laprimera columna de la izquierda con los smbolos que indican y (grUeSO>.

Los nios piensan otras formas de ordenar conjuntos deter-minados de bloques y las simbolizan con las correspondientescartulinas. Se prescinde de las propiedades comuncs a todoslos bloques del conjunto. Por ello, en la figura 30 no sc hanindicado lcs atributos

"delgad

46 JUEGOS AVANZADOS

qSdo_s. Se emplearn dos cajas ms. Se colocan en la segundafila' Los nios sacan todos l-os bloques delgados de una otracaja de la primera flla, segn el tamao. Deipus de haber prac_ticado los juegos de matrices, los nios lograrn o.a"rru.',-,r_g?1d9, los. 48 bloques segn dos principios iimultneos y 1";_bin los simbolizarn con cartufinas 1ng. :3.Los nios deben buscar otras formaJde ordenar ros bloquesen.cajas. Pueden seguir la ordenacin de la figura 31, con scajas, por ejemplo. En ranto que en el juego" 27 sio pai"utilizarse seis bloques, ahora s colocan los ZA. 2 JUEGOS DE NEGACIN

Juego 29

,,Qu caracterstica t'alta?Tomamos un bloque y ya no preguntamos slo cmo es el

lrloque (juego 14), sino tambin cmo no es. Este juego es unavariante del juego 17 en el que las cruces indican los atributos(luc corresponden al bloque y los cuadros en blanco nos indi-can lo que no es. El bloque de la primera fila de la figura 15t's orojo y cuadrado y delgado y grande". Tambin es ono azuly no amarillo y no redondo y no rectangular y no triangulary no grueso y no pequeo". Cuatro propiedades corresponden:rl bloque, y siete no le corresponden

Figura 35

NFigura 34

Debemos introducir un smbolo que indique uno,. Emplea-r'('rlos la letra N colocada delante del smbolo del atributo. Selr'z.ar en negro sobre una cartulina (fig. 3a).

"No rojo", simbolizado como se indica en la figura 35, hacert'ferencia al resto de bloques, que son azules o amarillos.

ll

JUEGOS AVANZADOS

turar: "No pcquco". En realidad, todos esos bloques songranclcs, clc moclo quc no cstarr intcntanclo aclivinar zr cicgas,

sino que su rcspuesta respondcra a una reflexin. El grupoclc nios quc ha scparacio los bloques, grita regoci.jado: uNo!"uMira el bloque que sigue!" stc podra ser, por cjemplo, ama-lillo, cuaclrado, grandc, grueso. Ahora cl nio quc est inten-tando adivinar picnsa: no ha salido ningn bloque triangular;() sea que:

)U JI]EGOS AVANZADOSJuego 32

Juego de tiendas

Los bloques son ahrra piedras preciosas. Un ni etc.Se van apartanclo las picdras dcscartadas. En vez de rechazarel amarillo, el con-rprador podra haber indicado que deseabael color azul. En estc caso, hubiese dicho demasiado, ya que encada juego se trata de que el vendedor haga muchas ofertas.Los nios con facilidad de palabra a veces adornan con granfantasa las respuestas afirmativas y negativas. Una vez recha-zado el amarillo y el rojo, el vendedor ya sabe que slo puedetratarse de una piedra azul. Inmediatamente, pasa a ofrecerpiedras grandes y gruesas. Evidentemente sern azules. Algunoinios hacen la pregunta superflua, antes de seguir adelante.Los pequeos deben adquirir primero la experiencia de quepara determinar una posibilidad entre tres basta preguntar dosveces como mximo. Una vez aceptada la ltima oferta, quedanlos cuatro bloques azules, gruesos y grandes. Es preciso pre-guntar por cada forma por separado.

li.sconder un bloque

El jucgo 32 se basa en una situacin sacada de la vicla coti_tliana. Los nios cstn familiarizados con el lenguaje que se,'rrrplca en las tiendas, segn pueclc apreciarse por las expresio_n('s que apareccn cn el juego. Actualmcnte, se valora cada vezrrris la importancia dc estc tipo de experiencias coticiianas pararrr f ormacin matemtica. Por cllo, convertiremos cl jueg clctit'rrclas cn un

.iucgo formal dc preguntas, Aqu se trata cle cle ter-nrirrlr- cl bloque cscondido con un minimo dc preguntas. Los,i11's debcn aprcndcr primero la estratcgia cle estas preguntas.l:rr cste juego sc ven iibres dc la preocupacin aclicionil quc:"rri)oncn las expresiones emplcadas en las tienclas y sc, mueucnrlt'ntro clel mbito rbservable del conjunto de bloques, en el,uc sio son significativos los 1l atributos pcrceptibles por los:r'ntimientos. Es ac.nscjablc colocar primero toclos los bl,rq.r"s, rr cl suelo. Los nios se sientan formancls bloques. Primcro cstn de cspalcias a los bloques. Un nio;rrarta un bloquc y lo esconde. eu bloque ha cscondicio? puc_ lt rclivinarse la respucsta o buscarla a basc cle ordenar loslrloques. Es in.rportante que los nios juegucn con toda la liber-trril posiblc. Las reglas del juego no cleberan imponerse hastarrrc la situacin crce las circunstancias favorables. Esto se apli-,: a casi todos los juegos. Tiene gracia ver la sorpresa delos nios que estn buscando la rcspuesta a base cle orenar loslrloqucs cuando descubren que sc han esconclido toclos loslrlt>cues pequeos, dclgados y rojos, por ejemplo. La ausenciailr' cSte conjunto parcial caracterstico clesconcierta a algunosr ricls.

Dcspus de este juego preparatorio se puede jugar sin tocarlos bloques. Slo se permite preguntar los atribuloJy responder.s" e

52 JUEGOS AVANZADOS

Juego 34Jugar a ca.rreteras

Todos los bloques son casas. Los conjuntos parciales debloques con la misma caracterstica constituyen un pueblo. Elnombre del pueblo viene dado por la propiedad caracterstica.Ahora se unen los pueblos con carreteras (hilos de lana u otromaterial por el estilo).

Flqura 37

En la figura 37 pueden verse posibles trazados de carreteras.Una vez construidas las carreteras, los nios deben poner indi-cadores (cartulinas caraclerizadoras) en los cruces. Naturalmen-

I

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I

I

JUEGOS AVANZADOS

te, nuestros ingenieros de caminos pueden hacer primero planossobre papel. Las posibilidades de estructuracin de carreterasresultan an ms interesantes cuando se trata de unir cuatropueblos (forma). En el caso del grosor y el tamao, slo habrdos pueblos. A veces a los nios se les ocurre ordenar las casasa uno y otro lado de la carretera segn su tamao o grosorOtros nios dividen el pueblo en un pueblo cuadrado pequeoy un pueblo cuadrado grande. No deben ponerse lmites a la fan-tasa. Los pueblos no deben tener calles. Todas las casas estnalineadas junto a la carretera principal.

Juego 35

Buscamos el catnino de las torres

Se construyen 12 torres de cuatro bloques de la misma formay color (fig. 38). Despus se dibuja la red de carreteras en unpapel. Los nios deben colocar las tiras correspondientes (cintaadhesiva, por ejemplo) guindose por el dibujo. Por ltimo co-locan indicadores (cartulinas).

53

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oYolE

Ficlura 38

I54 JUEGos AVANZADoS

oSeala el ca-ino hacia la torre triangular azul., El puntode partida ser siempre la carretera principal. En Ias ramifica-ciones debemos tomar una decisin. Algunos caminos no inle-resan. Describimos la dircccin cscogida (derecha, izquierda,medio). Al mismo tiempo se va siguiendo el camino con eldedo (cochecito de juguete, etc.). Quin se equivoca y ticneque volvcr atrs? Es posibie que algunos nios slo sean capa-ces de seguir el camino con el dedo. Practicaremos la descrip-cin. No resulta fcil distinguir la clerecha de la izquierda.

Construimos luego una reci dc carreteras clistinta para llegara las torres (fig. 39). Ser preciso cambiarias clc sitio. Nc debevariar la sucesin de color y forma clentro de los correspoll-dientcs grupos, scgn sc ve en las figuras 38 y 39. Estas co-rresponclcn a expcriencias sobre la sucesin de colores y fonlasaclquiridas cn los juegos 3 y 11. La red dc caminos se com-plica zrrn ms, si tambin establecen-ros bifurcaciones segncl grosor. Tambin pueclc hacerse ms scncilla, si no se ca-racterizan las torres por el c:olor, sino slo por la forma y elsrosor, por cjemplo.

JUEGOS AVANZADOS

Juego 36

Dnde est escondido eI lesoro?

Los nios construyen las torres y trazan caminos, siguiendoel trazado de las figuras 38 o 39, por ejemplo. Se les cuenta unahistoria de un ladrn que escondi dinero en una de las torres.El ladrn es detenido y debe conducir a un polica hasta la torreclonde est escondido el dinero. El ladrn habla muy poco yslo responde

"s, o . Indicaremos brevemente el dilogo,siguiendo la figura 39:. La torre es de coior rojo? "No!" Ama-rillo?

"S!" E,s una torre redonda?

tJUEGOS AVANZADOS

las preguntas que sigan uno de los siguientes rdenessin: 1) forma, color, tamao, grosor. 2) forma, color,tamao.

Fgura 40

Cmo ser el trazado cuando sea distinta la sucesin de losgrupos de atributos? Si la discusin referida al conjunto totalresulta demasiado difcil, tambin se puede jugar con bloques deuna sola forma o color.

En tanto que en el juego 33 los nios deban buscar una estra-tegia de preguntas adecuada, en este juego 37 se presentan deforma visual los caminos lgicos a seguir para formular las pre-guntas. Con un mnimo de cuatro y un mximo de siete pregun-tas queda determinado un bloque, independientemente de la su-cesin de los grupos de atributos. En la fig. 40, deben pasarsecuatro ramificaciones para llegar a un bloque, es decir, que unbloque viene determinado por cuatro atributos.

Si cada vez que se pregunta por las caractersticas del bloquese recibe una respuesta afirmativa ( + ), tendremos el caso mni-mo: redondo (+), amarillo (*), grande (a), delgado (+). El casomximo constar de siete no (-): cuadrado (-), triangular (-),rectangular (-), rojo (-), azul (-), pequeo (-), grueso (-).Todos los otros casos comprenden las dos clases de respuestas.

de suce-grosor,

JUEGOS AVANZADOS 57

Juego 38Camino hacia la meta

Los 48 bloques son vehculos. stos no pueden seguir el ca-mino que quieran, sino que todo est perfectamente indicado.En la figura 41 puede verse la red de caminos con las cartulinascomo indicadores. Tenemos cuatro metas. A cul llegar cadabloque? En la primera bifurcacin debe tenerse en cuenta si se

Figura 41

trata de un vehculo rojo o no-rojo. La otra distincin se esta-blece entre triangular y no-triangular. por ejemplo, todos loscuadrados rojos llegan a la Meta 2. El rectngulo amarillo llegar la Meta 4. Siempre debe tenerse en cuenta primero el colory ciespus la forma. La mejor es que los nios hagan correr losbloques. En cuanto un bloque ha llegado a la meta, el nio toma()t rO.

La mayora de estos juegos pueden jugarse en el patio de re-cr-co. Se trazan los caminos y se colocan los indicadores. Losnios toman un bloque y van recorriendo ellos mismos los ca-

58 JUEGOS AVANZADOS

Figura 42

Mientras queden bloques, se irn colocando, segn el camino co-rrespondiente.

En los descansos observamos los conjuntos parciales de blo-ques colocados en las metas. En la figura 4l: Meta 1, rojo y trian-gular; Meta 2, rojo y no-triangular; Meta 3, no-rojo y tiiangular;Meta 4, no-rojo y no-triangular.

Esta caracterizacin de los conjuntos parciales resulta de lasealizacin de los caminos que acaban de seguir los bloques.Comprobamos cada uno de los conjuntos parciales. En Ia hgu-

minos. El trayecto puede hacerse ms largo, si se aade unanueva bifurcacin (grueso-no grueso) una vez alcanzadas las me-tas anteriores. En conjunto, el trayecto puede exigir que se to_men cuatro decisiones: 1. color, 2. forma,3. grosor, 4. tamafio.

En la flgura 42 puede verse la red general de caminos. pue_den distribuirse los indicadores de la forma correspondiente.Siempre debe indicarse un color, una forrna, un grosor y un ta_mao. Por ejemplo, en la red de caminos de la figura 42, losvehcu]os tambin podran repartirse de la siguiente forma: pri-mera bifurcacin: delgado-no delgado; segundo grupo de (dos)bifurcaciones: rojo-no-rojo; tercer grupo de (cuatrof bifurcacio-nes: grande-no-grande; cuarto grupo de (ocho) bifurcaciones:redondo-no-redondo. Se van colocando los bloques en la meta.

JUEGOS AVANZADOS

ra 42, en la meta se dan 16 conjuntos parciales. El atributo deun conjunto parcial se obtiene siguiendo el camino comn por elque han pasado todos los bloques del mismo. Adems, cuandolos conjuntos parciales vienen caracterizados por cuatro propie-dades sin negacin, en cada meta hay un solo bloque. (Los ma-temticos tambin hablan de conjunto, aunque ste tenga sciloun elemento.)

Juego 39Otra forma de ordenar los bloques en caias

En este juego se aprende una nueva aplicacin de las coor-denadas. Los juegos de ordenacin permitieron llegar a esta idea.Aqu se aplicar de nuevo para ordenar los bloques en cajas ha-ciendo uso de la negacin de atributos. En la figura 43 tenemoscuatro cajas (cestas, etc.). Las cifras slo indican al profesorcuntos bloques habr en la caja, si se sigue con exactitud elprincipio de ordenacin.

Deben reactivarse las experiencias adquiridas en los Juegos26 al 28. Es necesario que los nios que no comprenden que lasseis cartulinas determinan un orden muy concreto de distribu-cin de los bloques repitan los citados juegos. Cada caracters-tica, as como cada negacin de una caracterstica, hace referen-cia a los bloques de la lnea correspondiente. Las lneas puedenser filas o columnas. En la primera columna de la figura 43 tene-

59

ENEtrtrtrtrFioura 43

l0 JUEGOS AVANZADOS JUEGOS AVANZADOS

neamente en un mismo bloque ciertas combinaciones de atribu-tos (grueso y delgado, no-grueso y no-delgado, rojo y amarillo).El matemtico llama

"conjunto vaco, al conjunto que carecede elementos. Solamente existe un conjunto vaco. El hecho deque aparezcan dos cajas vacas no debe hacer pensar que exis-tan dos. El conjunto no es la caja, es lo que ponemos en ella(nada). Los bloques que son no-amarillos y no-rojos, son azules.Los que son no-amarillos y rojos, son rojos. A veces los nioslo captan con mayor rapidez que los adultos. Perciben lo correc-to con ingenua seguridad. El juego 39 ocupar largo rato a losnios, si se les van escogiendo nuevas combinaciones de cartu-linas.

6lmos dos cajas en las que slo podemos colocar bloques rojos.Pero al mismo tiempo debe tenerse en cuenta que dbemos" se_parar los bloques rojos triangulares de los que no lo son. Estaseparacin de las formas caracterza las filas. Los nios que ten-gan dificultades deben repetir juegos de matrices simpls (jue_go 23), y distribuir luego las cartulinas segn lo requira la"co-rrespondiente matriz (juego 26).

El juego 39 se podra comenzar colocando las cuatro cajas ydirigiendo la discusin hacia las distintas posibilidades de rde-nar en ellas los 48 bloques. La ms inmediata es la clasificacinsegn la forma. Ahora vamos a exigir una ordenacin perfecta-mente determinada:

"Quin adivina cul es, viendo las seis car-tulinas?> Dnde se encuentra la cartulina? Es posible que alreflexionar se advierta que en el juego 3g se sigui ,t.ru oid".ru-cin parecida. Los conjuntos de bloques que aparecen en ambosjuegos son idnticos. Si los nios no estabrecn ra comparacinde forma espontnea, sta puede provocarse practicand^o simul-tneamente los juegos 38 y 39 con distintos gi,lpos de nios.

Despus, los nios buscarn los conjuntos parciales corres_pondientes a dos atributos cualquiera y sus negaciones. Es po-sible que se den casos que permitan realizar un primeru

"*p"_riencia del concepto matemtico d,e coniunto vacio. En la figu_ra 44 pueden verse los resultados de ciertas ordenaciorr.. q.rJ uveces desconciertan a los nios. pero quedan una o ms ajasvacas! Ello es lgico, puesto que nunca podrn darse simult-

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Figura 44

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3 JUEGOS DE TRANSFORMACIN

Los juegos pueden diversificarse an ms al introducir unanueva operacin, que simbolizaremos con una flecha. Plantea-remos a los nios un juego de equipo lleno de atractivo. Estosjuegos no exigen un gran esfuerzo intelectual. Sin embargo.suponen unas formas de relacin social muy concretas que nopresentan otra clase de problemas distintos de los que se plan-tean con un nio.

El trabajo en equipo requiere la atencin del profesor encuanto a la formacin de los equipos y su funcionamiento.

Las discusiones son frecuentes,Como es lgico, son importantes las diferencias que surgen

cuando uno o varios, aparentemente, no han observado algunade las reglas del iuego. A los mismos adultos nos cuesta a vecesescuchar con calma el argumento de un interlocutor, para luegoestar de acuerdo o rechazarlo con una serie lgica de contraargu-mentos. Subrayamos la importancia de la posibilidad de.educa-cin social aqu sealada, puesto que pasaremos a exponer jue-gos en los que siempre participan dos nios. Si en una mesasurge desacuerdo, el profesor no debe intervenir de inmediato.Si deseamos ensear a discutir con objetividad, no podemosintervenir a base de imponer calma con una orden, sino que de-bemos encauzar a los contendientes hacia un acuerdo aceptadopor ambos.

JTJEGOS AVANZADOS

Juego 40

Re p ar t imo s e quit at iv ament e

E,n el primer jucgo en equipos de dos cada nio debe tenerel mismo nmero de bloques.l Por qu atributo debemos guiar-nos para reparfirlos? Es posible que los nios den con las res-puestas: oTamao o grosor). Al introducir cada juego, no nos

Ana

Carlos

Fiqura 45

limitaremos a enunciar las reglas, sino que desarrollaremos laproblemtica. Adcms es posiblc comparar la magnitud de losconjuntos. Cada vez que Ana toma un bloque grucso, Carlos tomauno delgado. Esta distribucin es completamente equitativa. Porotra parte, se trata del primer juego de la nueva serie. Los blo-ques deben dejarse formando dos filas, como indica la figura 45.

Si los nios deseasen distribuir conforme al color, repartire-mos los bloques de esta forma: Ana toma todos los bloques ro-jos, Carlos todos ios azules. Los ponemos en fila. Cuando Anacoloca el ltimo bloque rojo, a Carlos tambin Ie queda sloun bloque azul. Qu hacemos con los bloques amarillos? Losdos nios van tomando un bloque cada vez hasta completar lafila. La distribucin es exacta. Es decir que podemos repartirlos bloques con exactitud, ordenndolos de esta forma (exacta-

JUEGOS AVANZADOS

mente uno frente a otro). Para repartir equitativamente no espreciso contar. Naturalmente, lo permitiremos cuando los niosdeseen mostrar su competencia. El que no sepa contar, deter-minar si cada uno tiene el mismo nmero de bloques por mediode la correspondencia biunvoca. As se denomina el conceptomatemtico. oSi tomo los bloques redondos y triangulares y tte quedas con el resto, los dos tendremos la misma cantidad debloques", podra decir Ana. El nmero 24 indica la magnitud delconjunto de bloques que tiene Ana. Carlos se queda con el con-junto diferencia de bloques. Este conjunto tambin presenta lapropiedad 24. Los nmeros son propiedades de los coniuntos.Los bloques del mismo color constituyen un conjunto. Cada unode los tres conjuntos presenta la propiedad 16. Los juegos detransformacin servirn para practicar esta correspondenciabiunvoca. Cada vez cambiaremos el nombre a esta forma deordenar.

Juego 4lReproducir ex,actamente una lila de bloques

El juego 40 est pensado como preparacin para este nuevojuego. En tanto que all hacamos corresponder un bloque conotro, sin tener en cuenta sus atributos, en el juego 41 los blo-ques situados uno frente a otro deben tener tres atributosiguales. Si los repartimos segn el tamao, cada jugador tendr24 bloques. El nico atributo distinto ser el tamao.

Supongamos que Ana y Carlos siguen jugando juntos. Anatiene los bloques grandes y Carlos los pequeos. Un nio va for-mando la fila y el otro la reproduce, despus se invierten los pa-peles. En la figura 46 vemos la fila que Ana ha formado a sugusto. Carlos debe hacer coincidir el color, la forma y el grosor,bloque por bloque. Ana controla que Carlos no se equivoque.Y si Ana no advierte algn error? Todo quedar claro al fina-lizar el juego. Cmo es posible?

Muy pocos nios podrn plantearse mentalmente este pro-blema. Al principio, el esfuerzo resulta excesivo para la mayora.Si el lector no conoce el juego, puede intentar comprobar si est

6564

I^^

1. Generalmente, los"el mismo nmcror. Esle

nios tienen una idea previa de 1o que significaconcepto cleber desarrollarse ahora.

iJUEGOS AVANZADOS

tuacin problemtica aqu discutida. Carlos encuentra un solobloque redondo que es azul pero no es grueso, en el conjuntoresidual. Qu debe hacer? Preguntar a los mayores? Refle-xionar solo? La pregunta clave es: Dnde hay bloques redondosy azules? Sdlo debe comprobarse ese punto. El que vaya com-probando toda la fila bloque por bloque no ha reflexionado bien.Se ha cometido un error en el primer par2 (fr.g.47).

Juego 42Cambio de atributos entre las filas de bloques

Se pasar a practicar juegos de reproduccin en los que setrata de realizar ciertos cambios de atributos. En el juego 41 ladistribucin de los bloques ha determinado el cambio de unsolo atributo. Ahora este cambio de atributo se enunciar ex-presamente como regla del juego. A fln de simbolizar el carnbiorequeriremos cartulinas rotuladas con una flecha. Las figuras 48a, b y c deben interpretarse de la siguiente forma:figura 48 (a) Cuando un jugador coloca un bloque azul, el otro

debe colocar un bloque rojo.figura 48 (b) Cuando se han colocado bloques rojos, en la otra

fila se reproducir con bloques azules.figura 48 (c) Emplearemos menos cartulinas si simbolizamos

de la forma indicada en esta figura.Puesto que no se nos dice nada respecto al color amarillo,

no lo cambiaremos. Pero primero jugaremos slo con los blo-ques no-amarillos (que por tanto son rojos o azules).

2. El pedagogo comprende en qu momentos el nio precisa su ayuda,porque conoce y tiene en cuenta todas estas posibilidades de la educacinde la razn. Pero el que tiene que ocuparse simultneamente de 50 niosse ve desbordado. Los profesores de primer curso slo pueden tener encuenta estos detalles cuando los nios trabajan en equipo. Los juegos conlos bloques lgicos permiten el trabajo en equipos de acuerdo con los dis-tintos grados de capacidad.

JUEGOS AVANZADOSto \a46

en condiciones de anticipar mentalmente todas las posibilidadesdel juego. Resulta sorprendente comprobar la prctica que enello adquieren los nios. La pregunta an sin contestar nos ser-vir de ejemplo para sealar la posibilidad de exigir a los niosesfuerzos de razonamiento de este tipo. La inteligencia del nioslo se desarrolla en los aspectos que reciben un constante es-tmulo. Con mucha paciencia e intuicin tambin estaremos encondiciones de ayudar a los nios que, por el motivo que fuere,hasta entonces no hayan recibido estmulos suficientes.

El juego 4l posee un interesante efecto autorrectificador. Sia Ana le pasa por alto un error de Carlos, en otro punto de lafila ste no lograr encontrar el bloque requerido (del mismocolor, forma y grosor) en el conjunto residual. La reaccin delos adultos cuando los nios identifican un problema pero no lo-gran resolverlo tiene extraordinaria importancia desde el puntode vista pedaggico. Ayudarles a resolverlo slo tiene un valoreducativo cuando lo que se hace es encauzar correctamente laactividad del nio. En la figura 47 tenemos un ejemplo de la si-

67

rFigur

\

ANAOA AO]Il

Figura.47

Carlos ? ._3_ o

\IJUEGOS AVANZADOS

Los repartimos de nuevo entre dos nios segn el grosor oel tamao y prescindimos de los bloques amarillos. Al formarestas filas debe prestarse ms atencin que en el juego 41.

En la figura 49 puede verse una de las formas en que podracomenzar el juego. Se han repartido los bloques segn el gro-sor. Empieza Carlos, y Ana va cambiando los colores segn loindicado, pero al mismo tiempo procura hacer coincidir el ta-mao y la forma. Introducimos variaciones, pidiendo otros cam-bios de color.

AA

Figura 49

Juego 43

Se cambian todos los colores

Aumentamos el grado de dificultad. Deben cambiarse los co-lores de forma cclica. Se iuega con los 48 bloques. Seis cartu-linas (fig. 50) indican lo que se debe hacer. En vez de colocarlos bloques en fila, tambin podemos hacer pilas. Pero siempre

JUEGOS AVANZADOS 69

.Libre eleccin

Eleccinsegun las reglas on[

Ana

oCarlos

otrtrtr

trtrtrtrFigura 48

Fiqura 50 FiEura 5f

debe efectuarse el cambio de color requerido, bloque por blo-c1ue. El que forma la fila puede seleccionar los bloques segnguste. Slo debe controlar que el compaero de juego reproduz-ca la fila correctamente, con los cambios indicados. Si se repar-tcn los bloques segn el grosor, el tamao y la forma deben seriguales. La figura 51 representa el posible desarrollo del juego 43.Naturalmente aqu tambin se corrigen los errores, al faltar blo-ques adecuados a medida que se va desarrollando el juego. Re-sulta algo ms complicado buscar el bloque mal colocado.

Juego 44Se cambian todas las formas

Aqu se cambian todas las formas segn indica la figura 52. Secmplean ocho cartulinas. Repartimos los bloques entre dos juga-

Libreereccin At nEleccinsesn tas restas O I

)

Figura 52 Figura 53

JUEGOS AVANZADOS

dores atenindonos al tamao o el grosor. En la figura 53 se harepartido segn el tamao. Tambin podemos ver el comienzodel juego. Se reproduce el color y grosor.

Juego 45

Jugamos con todas las 'formas, pero slo cambiamosalgunas de ellas

Las cartulinas indican al nio lo que debe hacer. Jugamoscon todos los bloques, repartidos segn el grosor. Slo debe efec-tuarse el cambio que indica la figura 54, es decir, que no hay nadaestablecido en cuanto a los bloques redondos y triangulares. Quhacer? Estas formas no se varan. Por tanto, ahora deben dejarseconstantes algunas formas y cambiar otras. En la figura 55 pue-de verse el comienzo del juego.

Deberan variarse constantemente las reglas de cambio deatributo de los juegos 42 al 45. Para asociar partes de bloques serequiere una concentracin intelectual en las normas formalesde la correspondencia de atributos. La prctica de esta actividadintelectual particular prepara al nio para aplicarla a problemasmatemticos elementales, una disposicin que no puede adqui-rirse por los procedimientos corrientes de enseanza del clculotradicional. Tambin tiene importancia el cultivo de una com-prensin global de los smbolos.

JUEGOS AVANZADOS

Juego 47Algunos bloques estn mal colocados. euin sabe encontrarlos?

Deliberadamente, se colocan algunos bloques en el lugar queno les corresponde, segn las reglas de ordenacin establecids.

Juego 46Ccmbinar yarios cambios de atributos

_En este juego se emplean dos cajas de bloques lgicos. Sicada uno de los dos jugadores dispone de 48 bloques, las exi-gencias del juego pueden ampliarse de modo considerable. Al-lunos nios desean que se vayan aumentando las dificultadesde esta forma. En la figura 5 puede verse el cambio de todos

wfiu uEnlos atributos que se pide. La figura 57 representa el comienzoclel juego. No se puede exigir a todos los nios el esfuerzo deconcentracin que se requiere para tener en cuenta simultnea-nrente el cambio de forma, color, tamao y grosor.Aor

7t70

uEm Ar:)rrEleccin segn las reglas

Fgura 55

Libre eleccin

oqoq=oFlgura

AFiqura

IILibre eleccn

E I eccinsegn las reglas

Figura 54

72 JUEGos AVANZADosLos jugadores permanecen en sus sitios y otro nir se acerca ala mesa a investigar cules son los bloques mal colocados. Lascartulinas indican los cambios de caractersticas que debanefectuarse. El

"detective> comprueba dnde no se ha cambiado.

Juego 48

tQuin descubre las reglas del cambio de atributos?

Deberan aprovecharse todas las oportunidades de invertirel desarrollo de los juegos. En los juegos 42-46, ello permite es-timular enormemente la agilidad intelectual. Si se juega en va-rias mesas a la vez, podremos comparar las dos filas de bloquesentre las que se ha establecido la correspondencia, y las reglasde transformacin simbolizadas por las cartulinas que los mis-mos nios van variando. Despus de comprobar con ayuda delos nios que no se hayan cometido errores, retiraremos las car-tulinas sin tocar las filas de bloques. Los nios cambian de mesae intentan descubrir por observacin las reglas de corresponden-cia adecuadas para cada ordenacin de bloques.

Los pequeos siguen diversos procedimientos. No todos losnios son capaces de resolver este enigma. Si alguno preguntaqu debe hacer para descubrir las reglas de correspondencia, eiloindica que an no le hemos dado la preparacin deseada pararesolver problemas. La independencia intelectual se manifiestaprecisamente en la utilizacin de todas las experiencias anterio-res que permiten resolver el enigma. Supongamos que los blo-ques se encuentran dispuestos como muestra la figura 58. Al

TT^AA\

Fiqura 58

JUEcos AVANZADOS 73azul le corresponde el amarillo, al amarillo el rojo y al rojo elazul; un vistazo a tres pares de bloques ya permite advertirlode inmediato. Se escoge un par de bloques al azar (por ejemplo,el primer par de bloques redondos). Entre los pares restantesslo prestaremos atencin a aquellos en los que se ha cambiadocl color de amarillo a rojo. Por tanto, no nos interesa el segundopar, mientras que el tercero nos resuelve el problema planteado.Falta comprobar si el ciclo se cierra pasando de rojo a azul. Estopuede verificarse en el quinto par, por ejemplo.

No debemos esperar que los nios ya empleen esta estrate-gia en los primeros intentos de resolver el problema. Es resulta-do de un proceso de aprendizaje. El profesor no debe

\lJUEGOS AVANZADOS JUEGOS AVANZADOS

Juego 50

A qtn le toca jugar ahora?Tres nios se sientan alrededor de una mesa y tienen ante s

bloques dc un mismo color. El cuarto nio no debe ver comolos nios van colocando los bloques por turno, formando unaserpiente de colorcs. Se interrumpe el juego y el cuarto niodcbe decir, primero, a quin le toca jugar y luego caminar entorno a la mesa, siguiendo la direccin de los turnos del juego.Por tanto, existen dos direcciones de giro, segn puede experi-nlcntarsc en el jucgo 50, despus de la primera experiencia ad-quirida en el juego 13.

En qu direccin se mueven las manecillas de un reloj? Po-ncrnos un reloj sobre la mesa y observamos el sentido de giro.El que lo identifique debe correr alrededor de la mesa en esa di-rcccin. El juego 50 requiere que se establezca la relacin conc[ sentido de las manecillas del reloj. Si corremos en el sentidotlc las manecillas clel reloj, levantaremos los brazos. Los brazos

75

Figura 59

correspondencia. Sabemos cr-rl es ia fila de Ana y cul la de Car-los. Pero quin ha colocado los bloques primero y quin los haido colocando luego? Podramos preguntrselo a Carlos, perono lo quiere decir. No existe, con estos datos, una respuesta ab-soluta. No podemos decir si ha sido Carlos o ha sido Ana quienha empezado. Pero puede darse una respuesta condicional, quedescubren algunos nios al cabo de cierto tiempo. Si ha comen-zado Ana, el azul se cambia por el rojo, pero si ha comenzadoCarlos, se cambiar el rojo por el azul. Al enunciarlos, se vansealando los bloques o se colocan las correspondientes cartu-linas de colores y las flechas. La utilizacin de la frase de la for-ma *si... entonces...> presllpone la comprensin de una relacinlgica, que denominamos implicacin Es perfectamente posibleque los nios descubran esta relacin de forma espontnea, apartir de las experiencias adquiridas en los juegos. Tal vez alprincipio no empleen esas palabras, pero pronto las adoptan,puesto que la relacin lgica les es familiar. La manipulacin delos bloques lgicos eleva el nivel de razonamiento y ello exigea su vez expresiones lingsticas diferenciadas. La forma grana-tical osi... entonces...o sirve para descubrir los dos cambios decolores posibles que corresponden al supuesto

"ha comenzadoAnao o oha comenzado Carlos". Este complicado problema sepondr al alcance de muchos nios a travs de juegos ms sen-cillos. Tambin puede descubrirse el concepto geomtrico dc sen-tido de giro que interviene aqu, el cual adems ya apareca enel juego 13. Repetiremos otros juegos de este tipo y los relaciona-remos con el movimiento de las manecillas de un reloj.

os^AVu^t'\r/o

Figura 60 Figura 61

\l76 JUEGos AVANZADosdeben evocar las manecillas. Si correlos en sentido conrrarit-ral de las manecillas del reloj, mantendremos los brazos cados.

Hasta aqu, hemos aplicado las rcglas de transformacin ala correspondencia entre pares de bloques; ahorr se transforma-rn figuras completas, o sea, un grupo cle bloques. Con ello seaclquieren experiencias bsicas de geometra, que podrn utili-zarse ms adelante.

Juego 51El juego de las locontotoras

Con seis bloques azules formamos una locomotora, segnmuestra la figura 62. Ahora se pide el cambio dc color. Tenre_

HtrtrEHtrtrnFigura 62

mos dos locomotc-ras, una roja, otra amarilla, en las que coin-cide la forma, tamao y grosor de todos los bloques. Obe ini_carse el cambio de color por medio de cartulinas.

Puede variarse el juego, partiendo de otras figuras. puedentransformarse, por ejemplo, las formas obtenidas en la figur.a l.

Juego 52Cornparatnos las locontotoras

Si adems del color se vara el grosor, las transformacionestampoco tienen gran importancia. No debemos olvidarnos de in-dicar con cartulinas las reglas de cambio de atributos. Cuandose vara el tamao, la locomotora transformada tiene una forma

JUEGOS AVANZADOS 17curiosa (fig. 63). La chimenea est flotando en el aire. Las ruedasson ms grandes que el cuerpo de la locomotora.

Es posible que se establezcan ciertas asociaciones. En las fe-rias hay unos curiosos espejos, que transforman al observadorde una forma muy divertida. Se trata de valiosas experienciasprimarias, que ms adelante se estudiarn sistemticmente e'clase de geometra. Entonces se dir, por ejemplo, que ola elipsees la figura afn al crculo".

)

wEu l\tooFigura 63

En el juego 52 deben compararse, sobre todo, distintas loco-motoras transformadas, entre s y con la locomotora original. Setrata de identificar a travs de ello el cambio de atributos y sim-bolizarlo con cartulinas. Tambin se pregunta cmo podrn in_vertirse las transformaciones. Una sola caja de bloques lgicosno permite dar rienda suelta a la fantasa, ya que no es posiblecfectuar todas las transformaciones previstas. por ello es pre-ciso emplear dos cajas. Evidentemente, en vez de la locomotorapuede transformarse cualquier otra figura simple. Los nios in-teligentes suelen llevar el juego hasta el lmite de mxima difi-r:ultad, pidiendo que se cambien varios atributos al mismo tiem-po. La figura 4 muestra una transformacin clifcil. Convertirlr locomotora roja de la figura 64, que ya no puede identificarsecomo tal, en Ia locomotora amarilla de la figura 2 es una tarearnuy atractiva. Si tenemos las dos figuras, pueden obtenerse lasrcglas de cambio de atributos a base de comparar los bloquesque ocupan los mismos lugares correspondientes en dichas fi-guras.

JUEGOS AVANZADOS

rEt

HT#..::?rFiqura 64

Juego 53

Adivinanza de figuras

El juego se inicia igual que los anteriores. Se construye unafigura y se piden determinados cambios de atributos, simboliza-dos con cartulinas. Una vez realizada la transformacin, se re-tira la figura que sirvi de punto de partida' Los nios de otramesa deben descubrir la figura originaria con ayuda de las car-tulinas indicadoras y de la figura transformada. La problemti-ca resulta muy estimulante para nios inteligentes. Tomemos lafigura roja y las cartulinas de la figura 64.La figura que se buscaes la locomotora azuI. En este juego slo debe prestarse particu-lar atencin al cambio de color. La forma, el grosor y tamaodeben variarse segn indican las cartulinas, que aparece inverti-do en la cartulina. La forma, el grosor y tamao deben variarsesegn indican las cartulinas, ya que las flechas de doble sentidoy la transformacin inversa coincide en la direccin. Estas figu-ras curiosas y las cartulinas indicadoras que sirven de clave pararesolver el acertijo dan lugar a gran variedad de ejercicios, quelos nios realizarn con agrado.

4 JUEGOS DE DIFERENCIACIN

En este grupo de juegos debe prestarse atencin al nmerode atributos diferentes de los bloques. En los juegos de transfor-macin, los cambios de atributo se practicaron con otra finali-dad. Comenzaremos con un juego que primero debe poner derelieve la identidad de atributos.

Juego 54

Quin tiene bloques de la misma't'orma (color, tamao, grosor)?El que dirige el juego toma unbloque y pregunta a los dems,

cada uno cen un bloque en la mano formando un crculo:uQuin tiene un bloque de la misma forma?, Los nios quelos tienen los dejan en el suelo y toman nuevos bloques del cn-.junto residual. Los dems deben esperar a poder dejar los suyoscuando se formulen las correspondientes preguntas. El que altcrminar tenga ms bloques en el suelo pasa a dirigir el juego.En caso de empate, debe resolverse de un modo u otro. (euintiene ms bloques gruesos?, por ejemplo.) El juego se complicacuando deben coincidir simultneamente'dos o tres caracters-ticas. Podra darse el caso de que nadie tuviese bloques del mis-mo color, grosor y tamao, puesto que de los 48 bloques slohay tres ms que correspondan a estas caractersticas. Tal vezan se encuentren en el conjunto residual.

w.ITJEGOS AVANZADOS

Juego 55

Avanzar LLn paso por cada caracterstica distinta

I80

Este juego resulta apropiado para todo un grupo de nios enuna habitacin grande o, mejor an, al aire libre. Cada nio tomaun bloque y tocios se colocan perfectamente alineados' Es acon-sejable selar el lugar de partida con una raya o unacuerda' Elqe dirige el juegcl se queda con el conjunto residual de bloques'Muestra un bloque y enuncia los cuatro atributos. (Por ejem-plb: amarillo, redondo, pequeo, grueso). Cada nio puede avan-iut un paso por cada atributo distinto que presente su bloque'Por ejemplo: El primer nio dice: nUn paso por la forma y otropor el co1ot,, pues su bloque es azul y triangular y pequeo^y^g.rr"to. Le toc al segundo nio. Determina el nmero de dife-iencias y al dar cada paso enuncia el grupo de atributos (con-cepto gneral). As sucesivamente con todos los nios' Todosavanzan c1e uno a cuatro pasos. Por qu ningn nio se quedaen el mismo lugar? Siempre que sea posible deberan plantearsepreguntas de este tipo. Posible discusin: 1) Ningn bloque esitl.o a los dems. 2) Esto no sucede si jugamos con dos cajasde bloques, etc. Por qu ningn nio puede avanzar ms decuatro pasos?

Gan el que llcga primero a la taya que seala la meta' Losnios esperan con gran inters la aparicin de cada nuevo blo-que. Lei permitiravanzar mucho o poco? Esta incgnita esti-mula la atencin.

Juego 56

Ser piente de dif erencias

Se forma una serpiente con todos los bloques. Pero los blo-ques consecutivos slo deben presentar una caracterstica dis-tlnta. En la figura 5 puede verse un ejemplo de ello' Entre elprimer y el segundo bloque slo cambia el color (no varan laior*u, l grosor ni el tamao). Entre el segundo y el tercero slo

JUEGOS AVANZADOS 81

AA' aa o )cFigura 65

cambia el tamao (permanecen igual el color, la forma y el gro-sor). Despus va cambiando sucesivamente: el grosor, la forma,el color, el grosor, el color, etc.

De este modo pueden alinearse todos los bloques. Este juegopuede practicarlo un solo nio como rompecabezas. Si juega ungrupo de nios, cada uno coloca un bloque hasta que se acaban.

Cuando este juego se practica individualmente, podemos com-probar que despus de repetirlo varias veces, los nios ya no es-cogen los bloques al azar, sino que encuentran un sistema deordenacin. Puesto que cuatro bloques del mismo color, grosory tamao sIo se diferencian en una caracterstica (la forma),van ordenndolos en grupos de cuatro. Estos planes parciales secoordinan en un plan general, pues al pasar de uno a otro, de-bido al nuevo cambio, se mantiene igual otra caracterstica. En-tre el cuarto y el quinto bloque (figura 6) se mantiene la mismaforma, ya que vara el grosor. Entre el octavo y el noveno y elduodcimo y decimotercer bloque se escoge la misma coordina-cin a fin de poder seguir llevando adelante el plan parcial degrupos de cuatro bloques. La transicin de un color a otro seresliza siguiendo el mismo principio. La actividad experimentalpermite identificar principios que, gracias a la anticipacin rnen-ial de la actividad mnual, permiten poner en prctica una or-denacin planificada desde el principio. Estas estrategias de jue-go descubiertas por los propios nios son fruto de nuestros jrte-gos educativos. De este modo vamos ensendoles a razonar. In-cluso el profesor puede intentar variar la estrategia.

mHaocHnffiman6OAIA Figura 66

IJUEGOS AVANZADOS

Juego 57La serpiente de dit'erencias como juego competitivo

Cada jugador tiene cinco bloques, el resto es el banco. Cadauno, cuando le toca jugar, intenta colocar un bloque en uno uotro extremo de la serpiente. Gana el que se queda primero sinbloques. Fl que dirige el juego controla los bloques iobrantes ydebe darle al menos un bloque al jugador que no ha podidocolocar ninguno de los suyos. A veces es aconsejable pedir msde un bloque. Por ejemplo, para impedir que un compaero dejuego pueda colocar el nico bloque que le queda. Los bloquesdel banco deben estar cubiertos con un trapo, a fin de que pue-dan repartirse sin favoritismos.

Juego 58La serpiente de diferencias se muerd.e la cola

Se forma una serpiente como en el juego 56, variando slouna caracterstica ente los bloques consecutivos, pero ahora losbloques deben formar un circulo. La serpiente se muerde la cola.El hecho de que al final casi siempre resulte necesario intercam-

aoo

I

82 JUEGOS AVANZADOS 83

triar bloques, a fin de cerrar el crculo, convierte el juego en unrompecabezas, puesto que al retirar bloques se rompen las rela-ciones establecidas. En la figura 67 puede verse una serpiente deocho bloques que se muerde la cola. Las dificultades son menorescuando se juega con conjuntos parciales, por lo que es aconse-.jable comenzar con conjuntos pequeos antes de pasar a utili-zar los 48 bloques.

rrA.I

Fiqura 67

Juego 59

Scrpientes con ms de una diferencia

Ahora formamos serpientes que presentan ms de una dife-lcncia entre bloques consecutivos. Escogeremos, por ejemplo,

II84 JUEGOS AVANZADOS

indican las diferencias entre bloques consecutivos. Es aconseja-ble variar los juegos. Los nios deben tambin intentar variartanto las reglas como los juegos.

Juego 60Formar crculos con dos, tres y cucttro dilerencias

De hecho, aqu se pide que las serpientes del juego 59 semuerdan Ia cola. Se trata de una repeticin del juego 58 con ma-yores complicaciones. Este aumento del grado de dificultad debeaprovecharse pedaggicanente. Slo puede jugar al juego 60 elque no cometa errores en el juego 58. Realizar un trabajo msdifcil debe convertirse en motivo de distincin.

Juego 61Formamos un ocho

Las dificultades aumentan de forma considerable cuando setrata de formar un ocho con la condicin de que los bloquesconsecutivos slo presenten una diferencia. Seleccionamos con-juntos parciales, a fin de asegurar una visin de conjunto. porejemplo: 16 bloques de color rojo y azul y forma cuadracla y re-donda. En la figura 69 puede verse el ocho. Sobra un bloque.

E'E

JUEGOS AVANZADOS

Figura 70

A partir del bloque grueso, grande, azul y cuadrado se ha idovrriando un atributo en cuatro direcciones: forma, tamao, co-Ior, grosor (fig. 9). Podra partirse de otro bloque?

Se introducen las correspondientes variaciones. Es posibleIormar ochos dobles? Qu sucede si se realiza la transformacintlcl roio en azul y del azul en rojo? Existen otras transformacio-ncs que se atengan a las condiciones del juego? Sabemos quellrs caractersticas restantes deben permanecer constantes. Elirri'go debe despertar la fantasa, provocando rruchas nuevas pre-1.lrurtas. Esto es lo importante cuando se practican estos juegos'

Juego 62

AltrrLcadabra

l}'r el juego de "Abracadabra, deben buscarse todos los blo-(Jucs que cumplen determinadas condiciones. Estas condiciones

sorr cambios de atributos en relacin a un bloque determinado.l.o presentamos como juego de magia y damos algunos ejemplos:I) Abracadabra que cambie la forma! 2) Abracadabra que cam-Iric cl color y el grosor! 3) Abracadabra que cambie la forma,,'l t'olor, el tamao y el grosor!

Comentemos estos tres casos. Supongamos que en los trest irsos cl bloque de referencia es pequeo, delgado, amarillo, trian-

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,{ffiry r--=m , {&Il_a IA

trFigura 69

-r- r--"

tI8786

gular. Con la primera frmula mgica obtenemos bloques del_gados, pequeos, amarillos y no-triangulares: un cuadiado, unrectngulo y un crculo. Por tanto, slo debe variar el atributoque ordena la frmula mgica, los otros deben permanecer igua_les. La segunda frmula mgica slo nos permite obtener "dosbloques. Se trata de dos tringulos pequeos y gruesos: uno azuly el otro rojo. En el tercer caso obtendremos seis bloques queno son pequeos, ni delgados, ni amarillos, ni triangulares. Cmopueden encontrarse con rapidez? No cabe duda de qtr" l qrevaya comprobando cada uno de los 47 bloques para ver si cum_plen las condiciones, an no ha aprendido a buscar la solucinde un problema de forma planificada._

Podra seguirse ms o menos el siguientc razonamiento: 1) Elbloq'e no puede ser pequeo, por tanto slo deben considerarse24 bloques grandes. 2) Deben separarse de este conjunto los blo_ques delgados, pues la condicin estipula no_delgdo. 3) Ochode los doce bloques restantes son no-amarillos. 4) An nos sobranlos dos tringulos. Quedan seis bloques grandes y grLlesos, tresrojos y tres azules. Tendremos clos bloquis de cadiforma.

Existen 15 frmulas mgicas: cuatio que transforman unatributo, seis que transforman dos atributos, cuatro que trans_forman tres atributos y una que transforma los cuatro trib.rtos.

Los adultos pueden hacer una lista de las 15 frmulas y de_terminar el nmero de bloques que cacra una de ellas peimiteobtener. Este nmero variar enire uno v seis.

Juego 63Juego de domin

, En este juego pueden utilizarse las cuadrculas de los juegos

de ordenacin. No slo se forman filas con los bloques, sin tim-bin columnas. En las filas los bloques consecutivos deben pre_sentar una diferencia, en las columnas dos diferencias. En la figu_ra 7l puede verse una forma de comenzar el juego. eu blo_ques pueden colocarse en los lugares a y b? Es preciso atenersea las reglas del juego. En el lugar a podria ponerse el bloque

JUEGOS AVANZADOS

AffiOA Affi

IFiqura 7'l

pequeo, redondo, rojo y grueso. Entonces, en la fila tendremosires bloques seguidos redondos, gruesos y pequeos, los cualesslo se diferencian por el color. En la columna con este bloqueintercaiado, tenemos el tringulo grande, rojo y grueso que po-see

tI88 JUEGos AVANZADosgn bloque si se observan ambas reglas? Habremos alcanzadoun gran xito pedaggico si los nios plantean problemas de estetipo de forma espontnea. En la figura 72pued.e verse un lugar -rque no puede ser ocupado por ningn bloque bajo las condicio-nes establecidas.

Este rompecabezas puede convertirse en juego competitivopara Lrn grupo de nios. Cada jugador tiene cinco bloques. Losrestantes constituyen el banco. Se van colocando los bloques pororden. El que no puede colocar ninguno, debe coger al menos unodel banco. Los entrega la persona que dirige el juego. Tambinpueden sacar bloques del banco los que pueden colocar alguno.Ello puede resultar conveniente en deterrlinadas situaciones.Gana el que acaba primero sus bloqucs. Puede no colocarse nin-gn bloque aunque ello sea posible para impedir el triunfo deotro jugador.

El nio que juega solo tambin puede desarrollar estrategias.Puede darse el caso de que de pronto comente riendo:

"El jue-go del domin es muy fcil. Puedo colocar todos los bloques enun momento., En la figura 73 puede verse el resultado. Este niohabra aprovechado las experiencias adquiridas en los juegosanteriores. Pensar un plan previo y no empezar a colocar de in-mediato representa un progreso importante dentro del desarro-llo individual del nio. Nuestra educacin de la mente tiene porobjeto inculcar estas capacidades cognoscitivas.

ffiffi^&,ffim ^&, &fOAtl ^a o

JUEGOS AVANZADOS

Juego 64Conquistar bloques

Siempre juegan tres nios. A y B tienen cuatro bloques cadauno. El tercer nio dirige el juego (D) y administra los 40 blo-ques restantes (banco). D coloca un bloque. A y B deben ponercada uno un bloque siguiendo un orden riguroso. El que tienernayor nmero de diferencias respecto al bloque del banco, sequeda con los dos. Si hay empate, los bloques quedan all hastaque los nuevos bloques que van colocando A y B determinen unadiferencia. Gana el que puede conquistar ms bloques. Despusde cada vuelta A y B sacan otros cuatro bloques del banco. Almismo tiempo D devuelve al banco el bloque de refer.encia y es-croge otro.

En la figura 74 tenemos un ejemplo. El bloque de referenciasc encuentra en la columna D. En las columnas A y B tenemosbloques ordenados segn el nrnero de diferencias respecto alcrculo rojo, grande y delgado.

89

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Fgura 73

90 JUEGOS AVANZADOS

1.. prosibilidad. B gana la primera tirada, porque es el nicoque tiene un bloque con cuatro diferencias y puede conquistarcualquiera de los bloques de A. A puede ganar las otras tiradas.Cmo?

2.. posibilidad. lp Tirada: A comienza y coloca el rectnguloazul. B, rectngulo amarillo. Empate! 2."Tirada:. A, crculo gran-de, rojo. B, rectngulo rojo. Empate de nuevo! Los cuatro blo-ques quedan en la mesa. 3.' Tirada: A, crculo pequeo, rojo.B, crculo amarillo. Slo en la cuarta tirada se establece la dife-rencia, pues el cuaclrado pequeo gana al crculo azul. B ganatodos los bloques. Si se compara con la 1.' posibilidad, puedeverse que a B le conviene guardarse el cuadrado pequeo parael final. El juego resulta ms atractivo cuando ambos jugadoresreflexionan e intentan prever tambin los planes del contrario.

Juego 65