bioestadistica r l

DIAGRAMA DE DISPERSIN

1

Utilcelo cuando necesite mostrar lo que sucede a una variable cuando otra cambia, con la finalidad de probar la teora de que las dos variables se relacionan.

Este tipo de diagramas se usa para probar posibles relaciones entre

causa y efecto; no puede probar que una variable causa la otra, pero

s aclara si existe alguna relacin y la intensidad que pudiera tener la

misma.

La direccin y la unin de la agrupacin le da idea sobre la fuerza de la

relacin entre la variable 1 y la variable 2. Cuanto ms se asemeje a una

lnea recta, ms fuerte ser la relacin entre las variables.

Tipos de Diagramas de Dispersin 3

Clculo de Covarianza y Coeficiente de Correlacin 6

yx

n

yxS

n

yyxxSCov

ii

xy

ii

xyxy

xyCov mediantebien o

Covarianza: Es una medida de lo que se dispersan los valores de una muestra bidimensional tanto del valor medio de la x como del valor medio de la y. Se determina mediante la expresin:

Cuando se trata de una distribucin bidimensional...

La covarianza entre dos variables, Sxy, nos indica si la posible relacin entre dos variables es directa o

inversa.

Directa: Sxy >0 Inversa: Sxy

Coeficiente de Correlacin de Pearson R

Bondad de los ajustes

El coeficiente de correlacin de Pearson, r, nos permite saber si el ajuste de la nube de puntos a la recta de regresin obtenida es

satisfactorio.

Se define como el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones tpicas (raz cuadrada de las varianzas)

yx

xy

yx

xy

yx

xy

SS

S

SS

S

VV

Vr

22

Teniendo en cuenta el valor de la covarianza y las varianzas, se puede evaluar mediante cualquiera de las dos expresiones siguientes:

22

22

yn

yx

n

x

yxn

yx

r

ii

ii

2222

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr

Grado de Correlacin El coeficiente de correlacin, r, presenta valores entre 1 y +1. Cuando r es prximo a 0, no hay correlacin lineal entre las variables. La nube de puntos est muy dispersa o bien no forma una lnea recta. No se

puede trazar una recta de regresin.

Cuando r es cercano a +1, hay una buena correlacin positiva entre las variables segn un modelo lineal y la recta de regresin que se determine

tendr pendiente positiva, ser creciente.

Cuando r es cercano a -1, hay una buena correlacin negativa entre las variables segn un modelo lineal y la recta de regresin que se determine

tendr pendiente negativa: es decreciente.

No hay

correlacin 0r

Correlacin

lineal positiva 1r

Correlacin

lineal negativa 1r

Hay correlacin

no lineal 0r

Coeficiente de Determinacin, R2

Para estimar la bondad de un ajuste frecuentemente se prefiere utilizar el Coeficiente de Determinacin, R2, que es el Coeficiente de

Correlacin elevado al cuadrado.

Se determina mediante cualquiera de las dos expresiones siguientes:

22

22

2

2

yn

yx

n

x

yxn

yx

Rii

ii

2222

2

2

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnR

Su valor oscila entre 0 y +1. Cuando hay una buena correlacin lineal, R2 es muy cercano a +1. Normalmente se acepta para valores de R2 >= 099. Cuando no hay correlacin o bien sta no es lineal, R2 es bajo e incluso cercano a cero

10

Ejemplo 1 Una agencia de coches estudia la

relacin entre el cuenta kilmetros y el precio de venta de coches usados.

Se selecciona una muestra y se registran los datos.

Hallar la lnea de regresin

La Recta de Regresin Lineal

Auto Cuenta Km Precio

1 37388 14636

2 44758 14122

3 45833 14016

4 30862 15590

5 31705 15568

6 34010 14718

Variable Variable

Independiente "x" Dependiente "y"

;14775

37426

y

x

Kilmetros Precio USS

Xi Yi Xi*Yi Xi Yi

37388 14636 547210768 1397862544 214212496

44758 14122 632072476 2003278564 199430884

45833 14016 642395328 2100663889 196448256

30862 15590 481138580 952463044 243048100

31705 15568 493583440 1005207025 242362624

34010 14718 500559180 1156680100 216619524

Suma 224556 88650 3296959772 8616155166 1312121884

Promedio 37426,00 14775,00 549493295,33 1436025861,00 218686980,67

67,854.475.3))((

),cov(

385.320.35)(

2

2

n

yyxxYX

n

xxs

ii

i

x

Solucin

Solucin manual: Calcular varios estadsticos

06,458.18)426.37)(09840,0(775.14

09840,0385.320.35

67,854.475.3

),cov(2

xByA

s

YXB

x

xxBAy 09840,006,458.18


Modelo Lineal

Parmetros del modelo lineal

Es confiable el modelo ya que R : -0,9409

La Recta de Regresin Lineal Grafico de Dispersin

Ejercicio: 2

En el ejemplo 2, supongamos que el nmero medio de horas-hombre

depende linealmente del tamao del lote:

De los datos tenemos:

11001

n

i

iy 5001

n

i

ix 618001

n

i

ii yx

284001

2

n

i

ix 1346601

2

n

i

iy 10n


0,2501028400

5011010618002

B

10502110 A

B

ii xy 210


20 30 40 50 60 70 80

Tamao del Lote

20

70

120

170

Hora

s -

Hom

bre

Si la cantidad de aditivo 55x , estimamos que la distribucin de probabilidades de Y

tiene una media de HHY 12055210


En el caso del ejemplo de horas hombre el coeficiente de determinacin es:

9956060

136002 ,R

Esto significa que el 99,56% de la variabilidad en la variable de las horas hombre, es

explicada por el tamao del lote, el modelo lineal parece satisfactorio en este caso.


El Coeficiente de Correlacin creado por Karl Pearson alrededor de

1900, describe la fuerza de la relacin entre dos conjuntos de variables en

escala de intervalo o de razn. Se designa con la letra r, y con frecuencia se

le conoce como r de Pearson y coeficiente de correlacin producto-

momento. Puede adoptar cualquier valor de 1.00 a +1.00, inclusive. Un coeficiente de correlacin de 1.00 o bien de +1.00 indica una correlacin perfecta.

COEFICIENTE DE CORRELACIN Medida de la fuerza de la relacin

lineal entre dos variables.

CARACTERSTICAS DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN

1. El coeficiente de correlacin de la muestra se identifica por la letra

minscula r.

2. Muestra la direccin y fuerza de la relacin lineal (recta) entre dos

variables en escala de intervalo o en escala de razn.

3. Vara de 1 hasta +1, inclusive.

4. Un valor cercano a 0 indica que hay poca asociacin entre las variables.

5. Un valor cercano a 1 indica una asociacin directa o positiva entre las

variables.

6. Un valor cercano a 1 indica una asociacin inversa o negativa entre las variables.

COEFICIENTE DE DE DETERMINACIN

Una medida cuyo significado se interpreta con ms facilidad es el

Coeficiente de Determinacin. ste se calcula elevando al cuadrado el

coeficiente de correlacin.

COEFICIENTE DE DETERMINACIN Proporcin de la variacin total en la

variable dependiente Y que se explica, o contabiliza, por la variacin en la

variable dependiente X.

PRINCIPIO DE LOS MNIMOS CUADRADOS

Al emplear la recta de regresin con un mtodo matemtico denominado

Principio de los Mnimos Cuadrados este mtodo elimina el juicio subjetivo.

Este mtodo proporciona lo que comnmente se conoce como recta del

mejor ajuste.

Con este mtodo se determina una ecuacin de regresin al minimizar la

suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores reales

de Y y los valores pronosticados de Y.

Forma general de la ecuacin de regresin lineal Y = A + BX


Como resultado, el procedimiento de los mnimos cuadrados genera una

recta que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales

entre los puntos y la recta.


Dada la siguiente tabla de datos:

Determine:

Modelo de Regresin Lineal

Coeficiente de Correlacin Lineal

Coeficiente de Determinacin

Si un nio tiene 9 aos Cul seria su peso?

Y 58 42 51 54 40 39 49 56

X 12 8 10 11 7 7 10 14


Y X XY

58 12 696 144 3364

42 8 336 64 1764

51 10 510 100 2601

54 11 594 121 2916

40 7 280 49 1600

39 7 273 49 1521

49 10 490 100 2401

56 14 784 196 3136

Promedios

48,625 9,875 495,375 102,875 2412,875


Diagrama de Dispersin.-

2

2

1

2

2

n

yy

n

SCE

n

i

ii

X Y

12 58 54,57 3,43 11,76

8 42 43,25 -1,25 1,56

10 51 48,91 2,09 4,37

11 54 51,74 2,26 5,11

7 40 40,42 -0,42 0,18

7 39 40,42 -1,42 2,02

10 49 48,91 0,09 0,01

14 56 60,23 -4,23 17,89

SCE 42,90

Varianza

Residual 7,15

Estimacin del modelo de regresin lineal simple.

El mtodo de mnimos cuadrados.

ERROR ESTNDAR DE ESTIMACIN Medida de la dispersin de los valores observados respecto de la recta de regresin.

Si Syx es pequeo, significa que los datos estn relativamente cercanos a

la recta de regresin, y la ecuacin de regresin sirve para predecir Y con

poco error. Si Syx es grande, significa que los datos estn muy dispersos

respecto de la recta de regresin, y la ecuacin de regresin no

proporcionar una estimacin precisa de Y.

2

n

SCES yx

n

i

i yySCT1

2



En esta particin de las sumas, la primera suma se denomina suma de

cuadrados total (SCT), refleja la variacin de los valores de Y con respecto

a la media y .

La segunda suma se denomina, suma de cuadrados de los errores (SCE), y

la tercera suma se denomina suma de cuadrados debido a la regresin

(SCR), refleja la cantidad de variacin de los valores de Y explicada por la

recta de regresin. Si se divide por n, (el tamao de la muestra), entonces,

se dice que la varianza de los y es igual a la varianza no explicada o

residual ms la varianza explicada por la recta de regresin

SCT = SCE + SCR



SCT = SCE + SCR

n

i

n

i

iii

n

i

i yyyyyy1 1

22

1

2



X Y

12 58 54,57 9,38 3,43 5,95 87,98 11,76 35,40

8 42 43,25 -6,62 -1,25 -5,37 43,82 1,56 28,84

10 51 48,91 2,38 2,09 0,29 5,66 4,37 0,08

11 54 51,74 5,38 2,26 3,12 28,94 5,11 9,73

7 40 40,42 -8,62 -0,42 -8,2 74,30 0,18 67,24

7 39 40,42 -9,62 -1,42 -8,2 92,54 2,02 67,24

10 49 48,91 0,38 0,09 0,29 0,14 0,01 0,08

14 56 60,23 7,38 -4,23 11,61 54,46 17,89 134,79

387,88 =42,90 +343,41

387,88 =42,90 +343,41



Ejemplo: En una muestra de 5 obreros de una fbrica se han observado sus

aos de experiencia (X) y el tiempo que tardan en realizar una determinada

tarea (y). Los datos se muestran en la tabla que sigue:

Determine el Modelo de Regresin Lineal

Determine la covarianza y coeficiente de correlacin

Verificar que la variacin total es igual a la variacin no explicada ms la variacin explicada por la regresin de Y en X.

Y X

8 1

9 2

4 3

3 4

3 5



Promedios

Y X XY X2 Y2

8 1 8 1 64

9 2 18 4 81

4 3 12 9 16

3 4 12 16 9

3 5 15 25 9

5,40 3,00 13,00 11,00 35,80



SXY -3,2 SX 1,41421356

RXY -0,87811408 Rxy2 0,77108434 SY 2,57681975

Y= BX A

-1,6 10,2



X Y

1 8 8,6 2,6 -0,6 3,2 6,76 0,36 10,24

2 9 7 3,6 2 1,6 12,96 4,00 2,56

3 4 5,4 -1,4 -1,4 0 1,96 1,96 0,00

4 3 3,8 -2,4 -0,8 -1,6 5,76 0,64 2,56

5 3 2,2 -2,4 0,8 -3,2 5,76 0,64 10,24

33,20 7,60 25,60

bioestadistica r l

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