binomial dan multinomial

Upload: anisa-septiani

Post on 27-Feb-2018

389 views

Category:

Documents


26 download

TRANSCRIPT

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    1/25

    BINOMIAL danMULTINOMIAL

    Tim Pengantar Matematika

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    2/25

    Segitiga Pascal dan Kombinasi

    Sebetulnya, dapat ditemukan dari perkalian secara langsung. Dengan mudah,

    kita bisa mengekspansikan , , dan selanjutnya seperti di bawah karena

    pangkatnya cukup kecil.

    =

    =

    = =

    = =

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    3/25

    Perhatikan pola dari suku-suku . Pasti selalu dimulai dari suku . (Ini

    sebetulnya merupakan perjanjian saja). Lalu, suku berikutnya, pangkat dari a akan

    berkurang 1, namun pangkat dari b akan naik sebesar 1. Jadi, dapat dideskripsikan

    sebagai berikut.

    = . + . + . + ... + . + . .

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    4/25

    Lalu, untuk menentukan koefisien (c) tiap suku kita dapat menggunakansegitiga Pascal.

    _____________________1

    __________________1______1_____________==> koefisien untuk

    _______________1_____2______1__________==> koefisien untuk

    _____________1____3_____3______1_______==> koefisien untuk

    ___________1___4_____6______4____1_____==> koefisien untuk

    _________1___5____10____10_____5____1___==> koefisien untuk

    ______1____6___15____20_____15____6___1_ ==> koefisien untuk

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    5/25

    Namun, cara di atas hanya dipakai untuk pangkat yang kecil (sedikit).

    Sulit untuk menjabarkan segitiga Pascal untuk baris yang sangat banyak

    (untuk pangkat yang besar). Jadi, kita gunakan kombinasi.Cara untuk mengekspansikan dengan kombinasi inilah

    yang disebut teorema binomial.

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    6/25

    Hubungan kombinasi dengan teorema binomial

    Perhatikan ilustrasi berikut.

    Dalam aljabar, kita tahu bahwa

    = .

    Penjabaran dari merupakan perkalian dari 3 faktor.

    =

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    7/25

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    8/25

    Jika dikalikan menjadi:; ; ; ; ; ; ;

    Jika semua suku-suku diatas dijumlahkan,

    maka hasilnya adalah

    Bilangan 3 yang merupakan koefisien dari

    muncul dari pemilihan adari 2 faktor dan

    bdari 1 faktor sisanya. Hal ini bisa dilakukan

    dalam atau cara. Cara yang sama bisa

    dilakukan untuk memperoleh koefisien yang

    dalam hal ini merupakan pemilihan a dari

    0 faktor dan bdari 3 faktor lainnya yang dapat

    dilakukan dalam atau cara, dan seterusnya.

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    9/25

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    10/25

    TEOREMA BINOMIAL

    Untuk sembarang x dan y dengan n bilangan bulat positif

    1 2 2( ) ... ...1 2

    n n n n n k k nn n n n

    x y x x y x y x y yk n

    1 2 2( 1) ( 1)( 2)...( 1)... ...

    2! !

    n n n n k k nn n n n n n k x nx y x y x y y

    k

    0

    nn k k

    k

    nx y

    k

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    11/25

    Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( )nx y adalah

    n k kn

    x yk

    atau( 1)( 2)...( 1)

    !

    n k kn n n n k x yk

    2(1 ) 1 ... ...1 2

    n k nn n n nx x x x x

    k n

    2( 1) ( 1)( 2)...( 1)1 ... ...2! !

    k nn n n n n n k nx x x x

    k

    0

    n

    k

    k

    nx

    k

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    12/25

    Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1 )nx adalah

    kn

    xk

    atau( 1)( 2)...( 1)

    !

    kn n n n k x

    k

    2

    (1 ) 1 ( ) ( ) ... ( ) ... ( )1 2

    n k nn n n n

    x x x x xk n

    2( 1) ( 1)( 2)...( 1)1 ( ) ( ) ... ( ) ... ( )2! !

    k nn n n n n n k n x x x x

    k

    0

    ( )n

    k

    k

    nx

    k

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    13/25

    Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1 )nx adalah

    ( )kn

    xk

    atau ( 1)( 2)...( 1) ( )

    !k

    n n n n k x

    k

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    14/25

    Untuk sembarang x dan y denganp

    qbilangan pecahan positif

    1 2 32 3

    1 1 2( ) ...

    2! 3!

    p p p p p

    q q q q q

    p p p p p

    q q q q qpx y x x y x y x y

    q

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    15/25

    Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( )

    p

    qx y adalah

    1 2 ... 1

    !

    p kkq

    p p p p

    kq q q qx y

    k

    2 3

    1 1 2

    (1 ) 1 ...2! 3!

    p

    q

    p p p p p

    q q q q qpx x x xq

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    16/25

    Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1 )

    p

    qx adalah

    1 2 ... 1

    !

    k

    p p p p

    kq q q qx

    k

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    17/25

    Untuk sembarang x dan y dengan pangkat bilangan negative

    1 2 2 3 3( )( 1) ( )( 1)( 2)( ) ( ) ...2! 3!

    n n n n nn n n n nx y x n x y x y x y

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    18/25

    Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( ) nx y adalah

    ( )( 1)( 2)...( 1)!

    kn n n n k xk

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    19/25

    Beberapa bentuk penjabaran binomial yang harus diingat1 2 3(1 ) 1 ... ...kx x x x x 2 2 3

    (1 ) 1 2 3 4 ... ( 1) ...k

    x x x x k x

    3 2 3 ( 1)( 2)(1 ) 1 3 6 10 ... ...

    2!

    kk kx x x x x

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    20/25

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    21/25

    Theorema Multinomial

    Multinomial merupakan perluasan dari Binomial.

    Multinomial adalah jumlahan t buah suku

    berbeda, yaitu x1, x2, , xt.

    Binomial adalah kasus khusus multinomial untuk

    t=2

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    22/25

    Banyaknya suku pada

    TEOREMA MULTINOMIAL

    1 2

    1 21 2 1 2, ,...,

    1 2

    ( ... ) ..., , ...,

    m

    m

    kk kn

    m mk k k

    m

    nx x x x x x

    k k k

    1 2

    1 21 2, ,...,

    1 2

    !...

    ! !... !

    m

    m

    kk k

    mk k k

    m

    nx x x

    k k k

    dengan1 2

    ...m

    k k k n

    n

    1adalah)...( 21

    mn

    xxxn

    m

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    23/25

    Contoh

    1. Uraikan ekspresi di bawah ini dengan menggunakan

    teorema multinomial:

    a. (2x+5y-z)5

    b . (x1+ x2+ x3+ x4+ x5)6

    2. Tentukan koefisien dari dalam ekspresi

    (x1+ x2+ x3+ x4+ x5)10

    4

    5

    3

    43

    2

    1 xxxx

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    24/25

    Latihan:

    1.

    Ekspansikan

    2. Ekspansikan

    3. Ekspansikan

    4. Berapakah suku keenam dari ekspansi

    5. Berapakah suku ke-4 dari ekspansi

    6. Berapakah suku ke-7 dari ekspansi

    7. Berapakah suku yang mengandung dari ekspansi

  • 7/25/2019 Binomial Dan Multinomial

    25/25

    1. Berapakah koefisien suku yang mengandung dari ekspansi

    2.

    Berapakah koefisien suku yang mengandung dalam ekspansi

    3. Tentukan koefisien dari dalam ekspansi

    4. Berapakah koefisien suku dari ekspansi

    5.

    Tentukan koefisien suku yang mengandung dalam ekspansi

    6. Tentukan nilai dari

    7. Jika

    A = banyaknya suku dari ekspansi

    B = banyaknya suku dari ekspansi

    Maka, berapakah selisih A dan B?