betonske konstrukcije - prvi deo - 2

Brujić: Betonske konstrukcije u zgradarstvu 59

2. PRORAČUN PREMA GRANIČNIM STANJIMAi

Pravilnik BAB87, poput svih modernih Pravilnika za projektovanje armiranobetonskih eleme-

nata, usvaja koncept graničnih stanja. Kod nas je upravo ovaj, aktuelni, Pravilnik ovim kon-

ceptom zamenio do tada aktuelni – koncept dopuštenih napona. Razlog ovoj promeni je bio

pre svega u nedostacima prethodnog koncepta, koji se pokazao neadekvatnim savremenoj

tehnologiji građenja koja uključuje primenu kvalitetnijih materijala i „smelijih“ konstrukcija.

Ipak, primena koncepta dopuštenih napona je ostala na snazi kod nearmiranih elemenata, a,

u formi neprincipjelnih zaostataka, može se pronaći i kod proračuna pojedinih armiranobe-

tonskih elemenata (na primer kod proračuna proboja punih AB ploča).

Načelno, projektovanjem AB elemenata i konstrukcija prema graničnim stanjima, usvaja se

prihvatljiva verovatnoća da projektovana konstrukcija neće biti nepodobna za primenu tokom

njenog eksploatacionog veka.

Granična stanja se dele u dve velike grupe:

• granična stanja nosivosti, i

• granična stanja upotrebljivosti.

Konstrukcija se smatra nepodobnom za primenu ukoliko je prekoračeno bar jedno od dva

granična stanja. U najvećem broju praktičnih situacija, u inženjerskoj praksi, kritično je gra-

nično stanje nosivosti – loma. Stoga se detaljan proračun i dimenzionisanje elementa/kon-

strukcije sprovodi prema teoriji granične nosivosti, a zatim se daje dokaz, odnosno provera,

ispunjenosti uslova koji su postavljeni graničnim stanjima upotrebljivosti. Ipak, nisu jako retke

situacije kada zadovoljenje graničnih stanja upotrebljivosti može usloviti korekciju rezultata

proračuna prema graničnim stanjima nosivosti.

2.1. GRANIČNA STANJA NOSIVOSTIii

2.1.1. DOSTIZANJE GRANIČNOG STANJA NOSIVOSTI

Stanje granične nosivosti (stanje granične ravnoteže) može biti dostignuto u odnosu na:

• Gubitak ravnoteže jednog dela ili cele konstrukcije, posmatrane kao kruto telo.

• Prelazak konstrukcije u mehanizam.

• Lom kritičnih preseka konstrukcije ili dostizanje izraženih deformacija. Ovo stanje gra-

nične nosivosti može nastupiti pri normalnim naprezanjima momentima i/ili aksijalnim

silama, pri naprezanjima usled delovanja transverzalnih sila, momenata torzije, usled pro-

boja, kao i usled dostizanja graničnog stanja prijanjanja i ankerovanja.

• Granična stanja loma usled zamora.

Dostizanje graničnih stanja loma prijanjanjem i ankerovanjem se izbegava pravilnim projek-

tovanjem i izvođenjem detalja, tj. pridržavanjem konstruktivnih mera pravila za armiranje.

i Kratak pregled (rekapitulacija); prema PBAB87

ii Granična stanja nosivosti vitkih elemenata i lokalni naponi pritiska su obrađeni kasnije, vezano za po-

jedine konstruktivne elemente (stubovi, okvirne konstrukcije).

Betonske konstrukcije u zgradarstvu

60

Zamor materijala je posledica opterećenja koja se ponavljaju u eksploataciji, a manifestuje se

kroz smanjenje čvrstoće materijala u odnosu na onu određenu pri statičkom opterećenju. S

obzirom da je, ovim, zamor karakterističan samo za određene vrste konstrukcija, najčešće se

tretira kao posebno granično stanje. Za najveći broj armiranobetonskih konstrukcija, promene

opterećenja su relativno male, kao i broj ponovljenih opterećenja, pa granično stanje zamora

nije merodavno. Dodatno, beton, kao materijal, nije u velikoj meri osetljiv na zamor. Otud nije

iznenađujuće da se Pravilnikom ne tretira granično stanje loma usled zamora. Ipak, kad se

relativno velika opterećenja ponavljaju mnogo puta, na primer kod mostova, temelja vibrira-

jućih mašina ili kranskih nosača, potrebno je voditi računa o ovom fenomenu korišćenjem

savremenih saznanja, propisa drugih zemalja ili slično.

Granična stanja loma karakterišu stanja pri kojima konstrukcija, ili njen deo (može se odnositi

i na presek), gubi sposobnost da i dalje prihvata uticaje spoljnih dejstava. To su stanja pri

kojima je dostignuto maksimalno (granično) opterećenje – opterećenje pri kojem dolazi do

iscrpljenja nosivosti, loma preseka ili konstrukcije. Sledi da se proračun prema graničnim sta-

njima loma koristi u cilju utvrđivanja kapaciteta nošenja – graničnog opterećenja, i, uopšte, za

određivanje graničnih vrednosti uticaja u preseku. Ovim proračunom utvrđuje se potreban

koeficijent sigurnosti u odnosu na lom preseka. Međutim, kako će to u nastavku biti dato,

granično stanje loma nije definisano u formi krajnjeg eksploatacionog stanja, nego je defini-

sano postavljenim limitima, koji ne moraju da odgovaraju ni jednom eksploatacionom stanju

preopterećene konstrukcije. Zato, proračun prema graničnom stanju nosivosti ne daje nikakve

podatke o eksploatacionom ponašanju konstrukcije/elementa. Ovaj aspekt se dokazuje pro-

računom prema graničnim stanjima upotrebljivosti.

2.1.2. KOMBINOVANJE DEJSTAVA ZA GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI

Načelno, podrazumeva se da se, prilikom projektovanja armiranobetonskih elemenata i kon-

strukcija, razmatraju najnepovoljnije kombinacije dejstavaiii koja mogu istovremeno optereći-

vati konstrukciju. Tako, dejstva koja u razmatranim presecima imaju povoljan efekat (deluju

povoljno) ili ne formiraju merodavnu kombinaciju opterećenja, ili se obračunavaju sa svojim

minimumom (stalna dejstva). Prilikom kombinovanja, (pojedina) dejstva se, za proračun prema

graničnim stanjima loma, uvećavaju parcijalnim koeficijentima sigurnosti, na koji način se o-

bezbeđuje rezerva nosivosti elemenata i konstrukcija. Drugim rečima, uvećavanjem optereće-

nja, elementi i konstrukcije se dimenzionišu na nivo uticaja koji je veći od realnog, čime se

proračunu daje određeni stepen sigurnosti.

Konceptom parcijalnih, naspram globalnih, koeficijenata sigurnosti nastoji se dublje imple-

mentirati probabilistički princip projektovanju – princip prihvatljivih verovatnoća. Različitim

vrednostima parcijalnih koeficijenata uvažava se, sa aspekta verovatnoća:

• činjenica da se pojedine vrste opterećenja mogu proceniti sa različitom pouzdanošću,

• činjenica da je delovanje pojedinih opterećenja manje ili više verovatno,

• činjenicu da su pojedine kombinacije (u smislu istovremenosti delovanja pojedinih dej-

stava) manje ili više verovatne, neke čak i zanemarljivo male verovatnoće pojave.

iii Iako se u Pravilniku navodi da je reč o kombinovanju uticaja od dejstava, imajući na umu da se do u-

ticaja može doći i primenom nelinearnih teorija, te da princip superpozicije ne može uvek biti prime-

njen, opštija je formulacija o kombinovanju dejstava.

2. Proračun prema graničnim stanjima

Poglavlje 2 : strana 3 od 40 61

U ovom smislu, većoj verovatnoći pojave i manjoj pouzdanosti procene odgovaraju i veće

vrednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti. Sa druge strane, od interesa je koncept projek-

tovanja uskladiti i sa stepenom težine posledica eventualnih nezgoda kojima bi se u prese-

cima/elementima dostiglo granično stanje loma. Tako se elementi i konstrukcije koji se mogu

srušiti iznenada, bez nagoveštaja budućeg loma (krti lom), proračunavaju na povećane parci-

jalne koeficijente sigurnosti. Obrnuto, kada se dostizanje stanja loma, pri preopterećenju,

odvija polako i postupno (duktilni lom) uz vidljive nagoveštaje (prsline, veliki ugibi...), tj. kada

postoji vremenski interval u kojem je moguće, reagovati u pravcu evakuacije ljudi i dobara i/ili

podupiranja i rasterećenja elementa/konstrukcije, proračunu (i samoj konstrukciji, time) se

pripisuju manje vrednosti koeficijenata.

Iako se koeficijentima sigurnosti uvećava samo opterećenje, treba naglasiti da je njihov „do-

men“ širi. Savremenim propisima se, naime, uz parcijalne koeficijente za dejstva, propisuju i

parcijalni koeficijenti u odnosu na nosivost materijala (redukcija mehaničkih karakteristika

betona i čelika). Iako, naizgled, Pravilnikom nije predviđeno uvođenje ove vrste sigurnosti,

prilikom definisanja vrednosti pojedinih koeficijenata nastojao se zbirno (putem proizvoda)

obuhvatiti i ovaj aspekt. Utoliko su parcijalni koeficijenti za dejstva u Pravilniku veći od odgo-

varajućih (samo za dejstva) u, na primer, EN1992 ili ACI318.

Kombinacija dejstava, matematički, predstavlja linearnu kombinaciju oblika:

1 1 2 2 ...u ui i u uD D D Dγ γ γ= ⋅ = ⋅ + ⋅ +∑ , ................................................................................. (2.1)

gde su Du i Di - granično dejstvo i pojedina dejstva, a γui - parcijalni koeficijent sigurnosti uz

i-to opterećenje.

Saglasno datoj klasifikaciji dejstava i pravilima za njihova kombinovanja, koja slede u

nastavku, moguće kombinacije dejstava se mogu klasifikovati u četiri grupe:

• kombinacije stalnih i promenljivih dejstava,

• kombinacije koje uključuju jedno „ostalo“ opterećenje,

• seizmičke kombinacije,

• incidentne kombinacije.

2.1.2.1. Kombinacije stalnih i promenljivih dejstava

Ova grupa kombinacija se odlikuje relativno visokom verovatnoćom pojave, kako u smislu

pojedinih dejstava, tako i njihovog istovremenog delovanja.

U osnovnom obliku, kombinacije ove grupe imaju sledeći oblik:

1.6 1.8 za 0.3%

1.9 2.1 za 0u g p a

u g p a

D D D

D D D

εε

= ⋅ + ⋅ ≥

= ⋅ + ⋅ ≤i .................................................................... (2.2)

Indeksi g i p se odnose na stalna i povremena dejstva, respektivno, dok je sa εa obeležena

dilatacija u najviše zategnutoj (ili najmanje pritisnutoj) armaturi. Veće vrednosti parcijalnih

koeficijenata uz povremena opterećenja su posledica manje pouzdanosti njihove procene, a

većim vrednostima koeficijenata za negativne (dilatacije sažimanja) dilatacije armature obu-

hvaćen je aspekt nenajavljenog loma.

i Zavisnost vrednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti od znaka i veličine dilatacije u armaturi se, pre

svega, odnosi na glavnu podužnu armaturu armiranobetonskih elemenata.


62

U zoni dilatacije armature između 0 i 3 promila, parcijalni koeficijenti se menjaju pravilom

linearne interpolacije (Sl. 2/1).

Sl. 2/1. Promena parcijalnih koeficijenata u funkciji dilatacije armature

Izraze (2.2) valja shvatiti kao simboličke: u opštem slučaju broj i stalnih i povremenih optere-

ćenja može biti veći od jednog. Pravilnije bi bilo:

1.6 1.8 za 0.3%

1.9 2.1 za 0

u g p a

u g p a

D D D

D D D

ε

ε

= ⋅ + ⋅ ≥

= ⋅ + ⋅ ≤∑ ∑∑ ∑

.................................................................... (2.3)

Okvir 2/1. Povoljnost delovanja

Na primeru kontinualnog nosača preko tri polja, kratkog srednjeg raspona, datog na slici, lako je

sagledati povoljnost delovanja stalnog opterećenja za presek u sredini srednjeg raspona. Dimenzio-

nisanje ovog preseka podrazumeva analizu situacije u kojoj je zategnuta donja, te u kojoj je zateg-

nuta gornja ivica preseka, budući da postoje kombinacije koje će rezultovati raznostranim momen-

tima.

Za prvu analizu, stalno dejstvo, sa negativnim momentom, deluje povoljno, te ga valja u kombinaciju

uzeti sa minimalnim koeficijentom saglasno dilataciji armature (verovatno 1.0). Za drugu analizu, za-

tegnute gornje ivice, povremeno opterećenje deluje povoljno, zbog čega izostaje iz merodavne kom-

binacije, koja ima (saglasno dilataciji armature) verovatan oblik 1.6 x Dg.

Međutim, pojedina opterećenja, u pojedinim presecima, mogu imati povoljan efekat, mogu

doprinositi smanjenju potrebne količine armature (Okvir 2/1). Tada, ova dejstva treba ili anu-

lirati, ako su povremenog karaktera, ili ih u linearnu kombinaciju uvrstiti sa umanjenim vred-

nostima parcijalnih koeficijenata, ako su stalnog karaktera. Tako će prethodna kombinacija,

za povoljno dejstvo stalnog opterećenja, imati oblik:

1.0 1.8 za 0.3%

1.2 2.1 za 0u g p a

u g p a

D D D

D D D

εε

= ⋅ + ⋅ ≥

= ⋅ + ⋅ ≤ .................................................................... (2.4)

Pri tome, stalna opterećenja različite prirode moraju biti, sa aspekta povoljnosti delovanja,

razmatrana nezavisno. Tako bi, u slučaju dva (g1 i g2) stalna opterećenja različite prirode (na

primer, sopstvena težina i pritisak tla) jedno moglo, u nekom preseku posmatrano, imati

povoljan, a drugo nepovoljan efekat. Kombinacija opterećenja bi tada imala oblik:

1 2

1 2

1.0 1.6 1.8 za 0.3%

1.2 1.8 2.1 za 0u g g p a

u g g p a

D D D D

D D D D

εε

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ ....................................................... (2.5)

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

-2 -1 0 1 2 3 4 5

dilatacija armature

par

cija

lni k

oef

icije

nti

γug

γup



Sa stanovišta izloženog, nije lako pronaći opravdanje za uvećanu vrednost (1.2) parcijalnog

koeficijenta uz stalno opterećenje povoljnog delovanja.

Podrazumeva se da dejstva koja po svojoj prirodi ne mogu delovati istovremeno, ne mogu

istovremeno da čine neku kombinaciju opterećenja (na primer dva opterećenja vetrom suprot-

nih smerova ili opterećenja koja predstavljaju različite položaje istog vozila i slično).

2.1.2.2. Kombinacije koje uključuju jedno „ostalo“ opterećenje

Reč je o kombinacijama, u opštem slučaju, stalnih, povremenih i jednog „ostalog“ opterećenja.

U odnosu na prethodnu grupu, manja je verovatnoća pojave kombinacije, kako zbog većeg

broja vrsta opterećenja koja moraju istovremeno dejstvovati, tako i zbog manje verovatnoće i

značajai samih „ostalih“ opterećenja. Time što u kombinaciji može da figuriše samo jedno

„ostalo“ opterećenje, posredno je konstatovano da se sva „ostala“ opterećenja međusobno is-

ključuju, čak i ako su vrlo različite prirode. Dodatno, izostajanje seizmičkih i incidentnih dej-

stava ukazuje na njihovu međusobnu isključivost.

Osnovni oblik, opet simbolički napisano, ove kombinacije je:

1.3 1.5 1.3 za 0.3%

1.5 1.8 1.5 za 0u g p a

u g p a

D D D D

D D D D

εε

∆

∆

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ .................................................................... (2.6)

Indeks ∆ se odnosi na „ostala“ dejstva. U slučaju povoljnog dejstva stalnog dejstva, biće:

1.0 1.5 1.3 za 0.3%

1.2 1.8 1.5 za 0u g p a

u g p a

D D D D

D D D D

εε

∆

∆

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ .................................................................... (2.7)

2.1.2.3. Seizmičke kombinacije

U skladu sa prirodom seizmičkog dejstva i konceptom aseizmičkog projektovanja, seizmičkim

kombinacijama, a u pitanju su, u opštem slučaju, kombinacije stalnih, promenljivih i seizmič-

kih dejstava, odgovaraju nešto niže vrednosti koeficijenata sigurnosti. Pri tome, s obzirom na

kratkotrajnost delovanja zemljotresa, nagoveštaji loma nisu od značaja kakav su imali u pret-

hodnim grupama kombinacija, zbog čega se ovaj aspekt sigurnosti izostavlja.

Za razliku od prethodnih grupa, koeficijent sigurnosti za seizmičku kombinaciju je globalan,

jedinstven i iznosi 1.3. Definisan je Pravilnikom o tehničkim normativima za izgradnju obje-

kata visokogradnje u seizmičkim područjima [60]. Termin „globalan“ znači da se ovim koefi-

cijentom množe sva dejstva, odnosno eksploataciona kombinacija dejstava:

1.3 ( )u g p sD D D D= ⋅ + ± ......................................................................................................... (2.8)

Znak „±“ ispred seizmičkog dejstva ukazuje na njenu punu alternativnost, ili, uticaji u nekom

preseku se za dva suprotna smera seizmičkog dejstva razlikuju samo u znaku. Ovim je, isto-

vremeno, jedan smer seizmičkog dejstva povoljnog, a drugi nepovoljnog delovanja.

Iako je koeficijent sigurnosti globalan, treba ukazati na sledeću nelogičnost: povremeno opte-

rećenje koje deluje povoljno će, logično, biti izostavljeno iz merodavne kombinacije. Moglo bi

i „Ostala“ opterećenja su deformacijskog karaktera i, u statički neodređenim konstrukcijama, izazivaju

smanjene uticaje zbog značajnog pada krutosti sistema usled nelinearnog ponašanja konstrukcije (raz-

voj prslina, plastične zone, realizacija efekata tečenja betona...). Time, u graničnom stanju loma, uticaji

od prinudnih deformacija nemaju isti prirast ni značaj koji imaju za niže nivoe opterećenja.


64

se ovo formulisati i na način da je povremenom opterećenju, tada, dodeljen parcijalni koefici-

jent za povoljno dejstvo (za povremena dejstva on iznosi 0). U skladu sa tim, nije opravdano

nerazmatranje kombinacije opterećenja u kojoj i stalno opterećenje deluje povoljno (inače,

najčešći slučaj). Zato se preporučuje analiziranje i kombinacija opterećenja sledećeg oblika:

1.0 1.3 ( ) ili 1.0 1.3u g p s u g sD D D D D D D= ⋅ + ⋅ ± = ⋅ ± ⋅ , ................................................ (2.9)

pogotovu zbog činjenice da će u većini slučajeva baš ove kombinacije biti merodavne za di-

menzionisanje stubova i/ili zidova za ukrućenje.

Opet treba primetiti međusobnu isključivost seizmičkih, sa jedne i „ostalih“ i incidentnih dej-

stava, sa druge strane. Dodatno, nije predviđeno kombinovanje seizmičkih dejstava i dejstva

vetra, a, u konstrukcijama zgradarstva, korisno opterećenje možei, u seizmičkim kombinaci-

jama, biti obračunato sa polovinom punog intenziteta.

2.1.2.4. Incidentne kombinacije

Poput seizmičkih, incidentne kombinacije čine, u opštem slučaju, stalna, promenljiva i inci-

dentna opterećenja i, takođe, odlikuju se kratkotrajnošću delovanja. S obzirom na verovatnoću

pojave, ovim kombinacijama odgovaraju i najmanje vrednosti parcijalnih koeficijenata sigur-

nosti:

1.1 ( )u g p iD D D D= ⋅ + + . ....................................................................................................... (2.10)

Globalni koeficijent sigurnosti definisan je u Pravilniku o zaštitnim objektima [58].

U skladu sa iznetim kod seizmičkih kombinacija, i ovde od interesa mogu biti, i opravdano ih

je analizirati, i kombinacije kojima se uvažava povoljnost pojedinih delovanja:

1.0 1.1 ( ) ili 1.0 1.1u g p s u g sD D D D D D D= ⋅ + ⋅ ± = ⋅ ± ⋅ . ............................................... (2.11)

2.1.3. GRANIČNA NOSIVOST PRESEKA ZA UTICAJE MOMENATA SAVIJANJA I AKSIJALNIH SILA

2.1.3.1. Pretpostavke proračuna

Proračun armiranobetonskih preseka prema teoriji granične nosivosti – loma, opterećenih mo-

mentima savijanja i aksijalnim silama zasnovan je na tri osnovne pretpostavke:

• Raspodela dilatacija po visini preseka je linearna. Ova pretpostavka predstavlja Bernoulli-

jevu hipotezu po kojoj su podužne dilatacije u betonu i armaturi u tačkama armiranobe-

tonskog preseka proporcionalne odstojanju od neutralne ravni. Brojnim eksperimentalnim

ispitivanjima je potvrđena opravdanost usvajanja ovakvog pojednostavljenja za nivoe

opterećenja koji odgovaraju eksploatacijskim. Posebno je ovo opravdano u pritisnutoj zoni

preseka. U zategnutoj zoni, pojavom i otvaranjem prslina dolazi do proklizavanja između

čelika i betona u okolini prsline, pa se ovde javljaju manja odstupanja od predmetne hi-

poteze. Ipak, posmatrano na delu dužine elementa koji obuhvata nekoliko uzastopnih

prslina, prosečne dilatacije približno odgovaraju usvojenoj pretpostavci. U graničnom sta-

nju loma, usled velikih otvora prslina, s jedne, i plastifikacije pritisnute zone, s druge

strane, pretpostavka o ravnosti preseka nije zadovoljena, ali odstupanja nisu tog reda da

i Proizvoljnost koju ovakva formulacija ostavlja se odnosi na inženjersku procenu opravdanosti reduk-

cije korisnog opterećenja. Za većinu konstrukcija je opravdana pretpostavka da, u trenutku dejstva

zemljotresa, korisna opterećenja, bar u proseku, neće delovati sa više od 50%. Ipak, kod nekih vrsta

objekata (biblioteke, na primer), redukcija korisnog opterećenja nije opravdana.



bi bitno uticala na rezultate proračuna, zbog čega, a i zbog potrebe pojednostavljenja, se

usvaja da pretpostavka ravnosti preseka važi i u graničnom stanju loma armiranobeton-

skog preseka. Za ostvarivanje ove pretpostavke od ključne je važnosti obezbeđenje dobrog

prijanjanja armature i okolnog betona, tj. da je obezbeđena kompatibilnost dilatacija na

spoju.

• Poznata je naponsko-dilatacijska veza za beton. Ovom pretpostavkom se usvaja napon-

sko-deformacijski dijagram za beton (radni ili proračunski dijagram). Pri tome, pretpo-

stavlja se da beton u zategnutoj zoni, u graničnom stanju nosivosti, ne prima napone za-

tezanja. Ili, na račun isprskalosti preseka već za eksploatacioni nivo opterećenja, zanema-

ruje se doprinos betona prijemu zatežućih napona u elementu, a celokupna zatežuća sila

se poverava čeliku za armiranje. Definisanom vezom između napona i dilatacija, za dato

stanje dilatacija (ravno, saglasno pretpostavci ravnih preseka), jednoznačno je određeno

naponsko stanje po visini betonskog preseka.

• Poznata je naponsko-dilatacijska veza za čelik. U proračunu se usvaja bilinearna napon-

sko-dilatacijska veza sa maksimalnim naponom u čeliku jednakim granici razvlačenja če-

lika, pri čemu se zanemaruje doprinos zone očvršćavanja čelika graničnoj nosivostii.

2.1.3.2. Radni (proračunski) dijagrami za beton i čelik za armiranje

Za proračun poprečnih preseka, napregnutih na savijanje i/ili aksijalno opterećenje, AB ele-

menata prema graničnoj nosivosti, Pravilnik BAB87 propisuje naponsko-deformacijski dija-

gram (zavisnost σ(ε) za samo pritisnuti beton u obliku kvadratne parabole i prave (Sl. 2/2a):

( )0.25 4 za 0 0.2%

za 0.2% 0.35%B b b b

bB b

f

f

ε ε εσ

ε ⋅ ⋅ − ⋅ ≤ ≤

= ≤ ≤, .................................................... (2.12)

gde fB predstavlja računsku čvrstoću betona na pritisak pri savijanju. Približno, vrednost ove

čvrstoće se određuje u okolini vrednosti od 70% čvrstoće betonske kocke (fbk), a konkretne

vrednosti su date narednom tabelom (Tabela 2/1).

Tabela 2/1. Računske čvrstoće na pritisak

MB [MPa] 10 15 20 30 40 50 60

fB [MPa] 7.0 10.5 14.0 20.5 25.5 30.0 33.0

Za elemente visine preseka manje od 12cm, računska čvrstoća fB se redukuje za 10%. Ova

redukcija se odnosi i na situacije preseka kod kojih ploča (manje debljine od 12cm) sadejstvuje

u prijemu pritiska.

Maksimalne dilatacije pritisnutog betona su, dakle, 3.5 promila. Za situacije u kojima je ceo

presek pritisnut, ova vrednost se redukuje, kako je pokazano u #2.1.3.3.

Idealizovana, proračunska, veza između napona i dilatacija za čelik za armiranje se usvaja u

formi bilinearnog dijagrama prikazanog na Sl. 2/2b:

za 0 /

za / 1.0%a a a v a

av v a b

E E

E

ε ε σσ

σ σ ε⋅ ≤ ≤

= ≤ ≤, ............................................................................. (2.13)

i Ulaskom čelika (po dilatacijama) u zonu očvršćavanja u elementu bi se razvile ogromne deformacije

praćene velikim ugibima i prslinama. Dodatno, lom preseka se redovno realizuje pre dostizanja zone

očvršćavanja (na dilatacijama u čeliku od 10 do 20 promila) lomom po pritisnutom betonu (droblje-

njem), koji se javlja kao posledica redukcije površine pritisnute zone preseka.


66

gde je sa σv obeležen napon na granici razvlačenja čelika, a Ea je modul elastičnosti čelika.

Maksimalne dilatacije zategnutog ili pritisnutog čelika za armiranje su, dakle, 10 promila.

Treba naglasiti da ova granica ne predstavlja bilo kakav fizički limit čelika za armiranje, nego

je razlog njenog postavljanja pre u uvažavanju činjenice da ovim deformacijama čelika, po

pravilu, odgovaraju i velike deformacije AB elemenata, te drobljenje pritisnute zone preseka

izazvano redukcijom visine pritisnute zone (fusnota i). Istina je da, kako, na primer, iskustvo

novijih tehničkih propisa sugeriše, nije bilo posebne proračunske potrebe za postavljanje li-

mita ovako nisko. S druge strane, ne može se, bar sa stanovišta krajnjeg rezultata (potrebne

količine armature), ni mnogo prigovoriti ovakvom izboru.

Sl. 2/2. Radni dijagrami za beton i čelik

2.1.3.3. Granične dilatacione linije

Konceptom graničnih stanja, granično stanje nosivosti preseka je definisano dilatacijski. Na-

čelno (ima izuzetaka), presek se nalazi u graničnom stanju nosivosti ako je dostignuta bar

jedna od maksimalnih dilatacija za beton ili armaturu. Preciznije, budući da je usvojena pret-

postavka ravnog dilatiranja preseka, može se reći da je presek u graničnom stanju nosivosti

ukoliko je stanje dilatacija takvo da se realizuje neka od (beskonačno mnogo mogućih) dila-

tacionih linija, kako je to prikazano na Sl. 2/3.

Skup graničnih dilatacionih linija je, tako, definisan tačkom A (za koju je dostignuta maksi-

malna dilatacija širenja u armaturi od 10 promila), tačkom B (za koju je dostignuta maksimalna

dilatacija sažimanja u betonu, na gornjoj, pritisnutoj, ivici od 3.5 promila), te tačkom C koja

se nalazi na 3/7 visine preseka mereno od gornje ivice, a u kojoj je dilatacija sažimanja 2

promila. Tačkom C se obezbeđuje, da u situacijama kada je ceo presek pritisnut, maksimalna

dilatacija sažimanjai u betonu mora biti redukovana.

Počev od prve (leve) granične dilatacione linije – konstantna dilatacija širenja po visini preseka

od 10 promila, „lepeza“ pravih koje prolaze kroz tačku A zadovoljava uslov dostizanja maksi-

malne dilatacije u čeliku za armiranje, pa su sve ove prave ujedno i granične dilatacione linije.

Pri tome, dilatacija u betonu, na gornjoj ivici, je, ili na strani širenja, ili sažimanja, ali je samo

za granični slučaj - balansirani lom - dostignuta maksimalna dilatacija sažimanja u betonu od

3.5 promila. Dalje „rotiranje“ dilatacionih linija oko tačke A bi vodilo prekoračenju ove granice,

što nije moguće. Zato, naredni podskup mogućih graničnih dilatacionih linija prolazi kroz

i Iako je kolokvijalno uobičajeno da se dilatacije, poput napona, nazivaju dilatacijama pritiska ili zate-

zanja, valja primetiti da postoje situacije kada dilatacija širenja ne znači i napon zatezanja ili obrnuto.

Zbog toga se u ovom tekstu, za dilatacije, koriste termini sažimanja i širenja.



tačku B, obezbeđujući realizovanje maksimalne dilatacije u betonu. „Lepeza“ mogućih dilata-

cionih linija sada „rotira“ oko tačke B smanjujući dilataciju širenja u čeliku za armiranje. Prva

dilataciona linija koja čini da je ceo presek na strani sažimanja je ona koja na gornjoj, priti-

snutoj, ivici ima dilataciju od 3.5 promila, a na donjoj betonskoj ivici nultu dilataciju. Ova prava

prolazi kroz tačke B i C i poslednja je u podskupu onih koje prolaze kroz B. Nastavak formira

„lepezu“ dilatacionih linija kroz tačku C, sve do uniformnog stanja dilatacija na strani sažima-

nja (dilatacija od 2 promila), što je i poslednja (desna) moguća granična dilataciona linija.

Sl. 2/3. Granične dilatacione linije

Iako deluje da je dilataciona linija određena s dva parametra (na primer: dilatacija gornje be-

tonske ivice i dilatacija čelika za armiranje), treba primetiti da kako se granične dilatacione

linije menjaju od leve ka desnoj, seku nultu osu uvek u različitoj tački koja se, mereno polo-

žajem neutralne linije, x (na slici je prikazano za situaciju balansiranog loma), monotono po-

mera od negativne beskonačnosti ka pozitivnoj beskonačnosti. Ovim, dva pomenuta parame-

tra nisu nezavisna, ili, granična dilataciona linija je određena samo jednim parametrom, naj-

pogodnije položajem neutralne linije, x.

* * *

Sada, za poznato granično dilataciono stanje preseka, uz prethodno usvojene naponsko-di-

latacijske veze za beton i čelik, određena je i distribucija napona po visini armiranobetonskog

(betonskog i čeličnog) preseka.

2.1.3.4. Dimenzionisanje presekai

U najopštijem slučaju, jednoosno savijani presek je opterećen spoljašnjim graničnim momen-

tom savijanja (čiji se glavni pravac poklapa s pravcem jedne glavne ose preseka) i graničnom

aksijalnom silom, proizvoljnog je oblika poprečnog preseka (simetričan u odnosu na glavnu

osu upravnu na prethodnu) i armiran u dve zone (donjoj i gornjoj). Prema konvenciji, moment

savijanja je pozitivan ukoliko zateže donju ivicu, a aksijalna sila – ukoliko pritiska presek (Sl.

2/4).

Proračunom preseka se, načelno, određuju dimenzije preseka i potrebne količine armature.

Međutim, u praksi se proračun preseka svodi na određivanje potrebnih količina armature za

poznat poprečni presek, budući da je broj nepoznatih opštijeg problema veći od broja uslova

koje je moguće postaviti za njegovo rešavanje.

i U ovom delu se ne daje detaljna rekapitulacija različitih postupaka i alata za dimenzionisanje preseka,

nego tekst ostaje na principjelnom nivou.


68

Jednoj graničnoj dilatacionoj liniji (na primer onoj prikazanoj na Sl. 2/4, definisanoj položajem

neutralne linije, x), saglasno proračunskim naponsko-dilatacijskim dijagramima za beton i

čelik, odgovara jedno naponsko stanje u betonu i armaturama, kako je skicom prikazano.

Integracijom napona u betonu po površini na kojoj deluju moguće je odrediti intenzitet i po-

ložaj rezultantne sile pritiska u betonu, a prostim proizvodom napona u armaturi i površine

armature i sile u donjoj, odnosno gornjoj armaturi. Načelno, iterativnim postupkom se traži

ono x za koje ovako određene unutrašnje sile uravnotežuju spoljašnje.

Sl. 2/4. Stanje dilatacija i napona u preseku

Međutim, treba primetiti da je broj nepoznatih u ovom problemu tri, na primer: položaj neu-

tralne linije i dve količine armature, dok je broj uslova samo dva: ravnoteža momenata savi-

janja i aksijalnih sila (unutrašnjih i spoljašnjih). Zato je neophodno postaviti dodatni uslov.

Mogućnosti su sledeće:

• presek je jednostruko armiran, samo zategnutom armaturom,

• presek je dvostruko armiran, ali se postavlja dilatacioni uslov, i

• presek je dvostruko armiran, ali je poznat odnos količina dve armature.

Uobičajeno kod grednih i pločastih nosača je njihovo jednostruko armiranje, samo zategnutom

armaturom. Prethodni problem se, tada, svodi na dva uslova dovoljna za određivanje dve ne-

poznate (rezultujuće granično dilataciono stanje i potrebnu količinu armature). Istina, direktno

rešenje problema ne postoji, nego su projektanti upućeni na korišćenje proračunskih poma-

gala (tabele s k-koeficijentima) ili na iterativno rešavanje (računarski ili manuelno) variranjem

položaja neutralne linije.

Međutim, u pojedinim situacijama, granični spoljašnji uticaji su takvi da, ili ne mogu biti urav-

noteženi jednostrukim armiranjem, ili to, zbog rasta parcijalnih koeficijenata (pre svega) ili

neiskorišćenosti zategnute armature (napon manji od napona na granici razvlačenja), nije ra-

cionalno. Tada se preseci armiraju dvostruko zadovoljenjem uslova da dilatacije u zategnutoj

armaturi obezbeđuju maksimalni napon u čeliku, i da parcijalni koeficijenti sigurnosti zadrže

minimalnu vrednost. Saglasno pravilima za kombinovanje opterećenja, ovim pristupom se di-

latacija u zategnutoj armaturi limitira na 3 promila, a „višak“ spoljašnjeg opterećenja (koji se

jednostrukim armiranjem sa takvim dilatacionim stanjem ne može primiti) se poverava spregu

sila koje prihvata dodatna armatura u obe zone.

Konačno, često je prilikom dimenzionisanja preseka poznat odnos količina dve armature, kao

što je, na primer, slučaj kod stubova, koji se najčešće armiraju simetrično. Osim toga, kon-



struktivni zahtevi ponekad nalažu usvajanje armature u pritisnutoj zoni u količini koja je ve-

zana za količinu armature u zategnutoj zoni. U ovakvim situacijama, dodatni uslov je, oči-

gledno, odnos količina dve armature. Rešenje problema je, opet, moguće tražiti kroz iterativnu

proceduru, a kao pogodno proračunsko pomagalo, u praksi se koriste interakcioni dijagrami.

Treba naglasiti da, ipak, dimenzionisanje nekog konkretnog poprečnog preseka konkretnog

elementa ne mora biti ovako direktno i određeno. Naime, kao posledica izloženosti konstruk-

cije različitim (po prirodi) i nezavisnim dejstvima, presek se u opštem slučaju analizira na

dejstvo više od jednog para (moment, normalna sila) spoljašnjih uticaja. Svaka kombinacija

opterećenja izaziva drugačije spoljašnje uticaje u preseku, a oni se mogu razlikovati i u znaku.

Tako je moguće da pojedini preseci budu zategnuti na jednoj strani usled uticaja jedne kom-

binacije dejstava, a na drugoj strani usled druge. Siguran (ne i najracionalniji) pristup u ovom

slučaju bi bio onaj koji svaku od armatura određuje u nezavisnim postupcima dimenzionisanja

jednostruko armiranog preseka. Međutim, ovaj pristup zanemaruje prisustvo armature u pri-

tisnutoj zoni i, time, rezultira većom potrebnom količinom od minimuma potrebe. Zato, u

ovakvim situacijama, optimalno rešenje zahteva i iteriranje po odnosu količina dve armature.

Preseci već i grednih nosača, a posebno stubova, su najčešće koso savijani, momentom savi-

janja koji ima projekcije na obe glavne ose preseka. Iako u ovom slučaju broj uslova ravnoteže

raste za jedan (sad ih je tri: ravnoteža momenata u svakom od pravaca i ravnoteža aksijalnih

sila), kao nova nepoznata veličina se javlja ugao savijanja, a raspored armature u preseku se,

takođe, mora opisati dodatnim parametrom/parametrima. Utoliko je problem dimenzionisanja

koso savijanih preseka složenijii.

2.1.4. GRANIČNA NOSIVOST PRESEKA ZA UTICAJE TRANSV. SILA I MOMENATA TORZIJE

2.1.4.1. Glavni naponi zatezanja

Ako na betonski element deluju samo naponi pritiska, onda će se, u stanju granične ravnoteže,

lom dogoditi dostizanjem čvrstoće betona pri pritisku po smičućim ravnima. Međutim, s obzi-

rom na malu čvrstoću betona pri zatezanju, ako je jedan od glavnih napona – napon zatezanja,

lom se, po pravilu, događa iscrpljenjem čvrstoće betona pri zatezanju.

U linijskim AB nosačima uglavnom vlada ravansko stanje napona (naponi se realizuju u ravni,

a jednaki su nuli upravno na ravan). Takođe, i normalni naponi u ravni koji deluju upravno na

osu nosača su mali i, jednostavnosti radi, mogu biti zanemareni ( 0yσ ≈ , uz prethodno 0xσ =

). Time su glavni naponi, saglasno teoriji elastičnosti, određeni s:

( )2 21/2 4 2b bσ σ σ τ= ± + , .................................................................................................. (2.14)

gde je sa σb obeležen normalni napon u pritisnutom betonu (podužnog pravca, z), a sa τ je

obeležen napon smicanja. Međutim, u AB preseku s prslinama, normalni naponi u zategnutoj

zoni ne mogu biti preneti, pa su i oni jednaki nuli, zbog čega ispod neutralne linije, u zeteg-

nutom delu preseka, postoje samo naponi smicanja:

2

1/2σ τ τ= = ± . ..................................................................................................................... (2.15)

i Postupci dimenzionisanja koso savijanih preseka su obrađeni u okviru dela #3.2, koji se odnosi na

stubove.


70

Ili, u toj zoni, glavni naponi su brojno jednaki naponima smicanja. Maksimalne vrednosti smi-

čućih napona, a time i glavnih napona zatezanja, očekuje se u neutralnoj ravni ili na zategnu-

tom delu preseka, tamo gde je presek najmanje širine (bmin).

Za elemente izložene poprečnom opterećenju, ako je T – transverzalna sila u preseku, biće:

2.max maxmin min

i

i

T S T

b J b zσ τ ⋅= = =

⋅ ⋅. ........................................................................................... (2.16)

Ovde je Si statički moment dela površine idealizovanog preseka koji se nalazi dalje od posma-

tranog vlakna u odnosu na neutralnu liniju, a Ji je moment inercije površine idealizovanog

preseka u odnosu na neutralnu liniju. Dati izraz ukazuje na to da se problem određivanja

glavnih napona zatezanja svodi na problem određivanja maksimalnih smičućih napona. Za

posmatrani presek, iz prethodnog izraza je očigledno, napon smicanja je funkcija samo širine

preseka, budući da su transverzalna sila i krak unutrašnjih sila, z, konstantni za presek.

Sl. 2/5. Smičući napon u preseku elementa promenljive visine

U opštem slučaju, element je promenljive visine (Sl. 2/5). Analizom ravnoteže spoljašnjih i

unutrašnjih (graničnih) sila dela nosača dužine dzb, dobija se:

( ) ( ) ( ) ( )1

tan tan tanau mun b u u

b b

M Ty T N

b y z h b y zτ α β β = − + + ⋅ = ⋅ ⋅

, ........................... (2.17)

gde je sa Mau obeležen granični momenat spoljašnjih sila u odnosu na težište zategnute arma-

ture, Tu je granična vrednost transverzalne sile, a pretpostavljeno je da je granična aksijalna

sila, Nu, konstantna na posmatranom delu i da je pozitivna ako je pritiskujuća. Očigledno, za

element nepromenljive visine, izraz postaje (2.16).

U oblasti oslonca (generalno u zoni koncentrisanog opterećenja), uticaj normalnih napona σy

(naponi upravni na podužnu osu grede; zanemareni teorijom savijanja) može biti značajan.

Iako ovo implicira neophodnost njihovog proračunskog obuhvatanja, zbog kompleksnosti

problema, Pravilnikom je predviđeno da njihov uticaj nije neophodno uzimati u obzir pri pro-

računu glavnih napona zatezanja, ako se opterećenje koje deluje na dužini grede određenoj s

(c/2+0.75d) ne uzme u obzir pri određivanju smičućih napona (Sl. 2/6). Ili, smičući naponi se

određuju iz redukovanih vrednosti transverzalnih sila. Konkretno, skicom prikazano, pretpo-

stavlja se da opterećenje qu, na tom delu nosača, direktno „putuje“ u oslonac, lepezasto. Same

konture ove „lepeze“ su određene približnom vrednošću ugla trenja betona od 37⁰

(tan37⁰=0.75).



Okvir 2/2. Smičući napon u gredama promenljive visine

U sledećem primeru se razmatra gredni nosač sa prepustom, promenljive visine i način određivanja

smičućih napona u pojedinim zonama nosača. U presecima grede ne deluje aksijalna sila.

Obratiti pažnju na znak ispred momenta savijanja.

Za elemente izložene momentima torzije, Pravil-

nikom je prihvaćen proračunski model za gra-

nično stanje nosivosti koji se zasniva na istim

postavkama, a koji koristi teoriju tankozidnih šta-

pova zatvorenih profila. Tako se torziono optere-

ćen puni poprečni presek, za granično stanje no-

sivosti, aproksimira svojim obodnim delom – tan-

kozidnim zatvorenim presekom. Zanemarenje u-

nutrašnjeg dela preseka donosi značajno pojed-

nostavljenje proračuna, a bazira na činjenici da je

njegov udeo u torzionoj krutosti relativno mali.

Usled dejstva torzionih momenata u betonu se

javljaju prsline čime se AB element transformiše u

prostornu rešetku u kojoj podužna (torziona)

armatura predstavlja pojasne zategnute štapove,

uzengije (poprečna armatura) predstavljaju zategnute štapove ispune, a pritisnuti delovi be-

tona odvojeni prslinama čine pritisnute štapove rešetke (videti i Sl. 3/34).

Računska debljina zida tankozidnog profila, δ0, se određuje na bazi „minimalne dimenzije

preseka“i dm (načelno, osovinsko rastojanje između podužnih šipki za prijem torzionih uticaja

smeštenih u uglove po kraćoj strani), kako je prikazano na Sl. 2/7:

0 / 8mdδ = . ............................................................................................................................... (2.18)

Na istoj slici je, za različite oblike preseka, prikazana (šrafirana) površina koja spaja težišta

ugaonih podužnih torzionih šipki, Abo. Pritom, kod razuđenih poprečnih preseka, doprinos

i Navodnici iskorišćeni u nedostatku boljeg/preciznijeg termina.

Sl. 2/6. Redukcija transv. sila u zoni oslonca


72

najtanjih delova preseka treba zanemariti ukoliko to vodi manjim vrednostima smičućih na-

pona. Za poprečne preseke nepravilnog oblika može se koristiti zamena ekvivalentnim prese-

kom pravilnog oblika (videti sliku za trougaoni presek ili za presek nepravilnog poligonalnog

oblika).

Sl. 2/7. Određivanje dm za različite oblike poprečnih preseka

Sa ovako određenim geometrijskim veličinama, smičući napon je funkcija još granične vred-

nosti momenta torzije u preseku, Mtu:

0 02tu

nb

M

Aτ

δ=

⋅ ⋅. ........................................................................................................................ (2.19)

Prilikom određivanja glavnih napona zatezanja koriste se granični uticaji transverzalnih sila i

momenata torzije određeni korišćenjem minimalnih vrednosti parcijalnih koeficijenata, onih

koji odgovaraju izduženjima armature od preko 3 promila. Razlog je u činjenici da se granično

stanje loma ovako opterećenih preseka dostiže tečenjem poprečne i podužne armature.

U situacijama zajedničkog dejstva transverzalnih sila i momenata torzije, budući da se na jed-

nom licu nosača poklapaju pravcem, glavni naponi zatezanja (ili smičući naponi) od dva uticaja

se prosto sabiraju:

( ) ( ) ( )n u tu n u n tuT M T Mτ τ τ+ = + . ........................................................................................ (2.20)

2.1.4.2. Prijem glavnih napona zatezanja

Nakon što je određen napon smicanja, upoređuje se sa računskom čvrstoćom betona pri smi-

canju, τr, koja zavisi samo od kvaliteta betona (Tabela 2/2).

Tabela 2/2. Računska čvrstoća betona pri smicanju

MB 15 20 30 40 50 60

τr [MPa] 0.6 0.8 1.1 1.3 1.5 1.6

Poput malopređašnje primedbe, i ovde stoji da je τr, ustvari, glavni napon zatezanja (σ2r) koji

betonski presek može da primi s potrebnom sigurnošću. Uporede li se ove vrednosti s čvrsto-

ćom na zatezanje, primetno je da su vrednosti τr usvojene prilično konzervativno (preko dva



puta su manje). Razlog ovom je u velikoj disperziji čvrstoća pri zatezanju, kao i u činjenici da

se pri ravnom stanju napona, usled različitih znakova glavnih napona, lom betona realno

dostiže pri čvrstoćama manjim od čvrstoće pri zatezanju.

Ukoliko je ispunjen uslov:

n rτ τ≤ , ...................................................................................................................................... (2.21)

nije potrebna proračunska armatura za prijem uticaja od dejstva transverzalnih sila i/ili mo-

menata torzije, nego beton sam može da primi ove uticaje. Sa druge strane, ne dopuštaju se

situacije u kojima je:

5n rτ τ> ⋅ . ................................................................................................................................. (2.22)

Razlog ovakvom uslovu je u potrebi da se (posredno) ograniče glavni naponi pritiska i spreći

lom drobljenjem pritisnutog betona. U zoni između:

5r n rτ τ τ< ≤ ⋅ , ......................................................................................................................... (2.23)

gde glavni napon zatezanje prekoračuje smičuću nosivost betona, neophodno je osigurati e-

lement čelikom za armiranje. Pritom, armaturi se, načelno, poverava deo ukupnog napona koji

nije primljen betonom, a nosivost betona nije fiksna, nego je u funkciji nivoa spoljašnjeg opte-

rećenja. Tako, nosivost betona, τb, linearno opada do nule s rastom smičućeg napona u zoni

između τr i 3τr, dok se usvaja da betoni ne doprinosi prijemu glavnih napona zatezanja ukoliko

je smičući napon veći od τr:

( )0.5 3 za 3

0 za 3 5r n r n r

br n r

τ τ τ τ ττ

τ τ τ ⋅ ⋅ − < ≤ ⋅

= ⋅ < ≤ ⋅. ....................................................................... (2.24)

Deo napona τn (ili kompletan napon) koji beton ne može da primi mora biti prihvaćen arma-

turom. Time, napon koji određuje potrebu za armaturom predstavlja razliku (Sl. 2/8):

a n bτ τ τ= − . ............................................................................................................................. (2.25)

Sl. 2/8. Prijem glavnog napona zatezanja betonom i armaturom (šrafirani deo)

Deo dužine nosača na kojoj je smičući napon veći od nosivosti betona na smicanje se naziva

dužinom osiguranja (na slici obeležen s λ.

Sl. 2/9. Zanemarenje nosivosti betona u zoni oslonaca nosača s vutama

Ukoliko je dijagram τn takav da u zoni oslonca takav da ka osloncu naponi opadaju na vred-

nosti manje od τr, betonu se, ipak, u ovoj zoni ne poveravaju uticaji (Sl. 2/9). Naime, dijagrami


74

ovog oblika su karakteristika greda sa vutama u zoni oslonaca, a kosa prslina formirana na

početku vute se nesmetano (bez obzira na promenu visine) razvija i u zoni vute.

2.1.4.3. Dimenzionisanje

Potrebna površina armature za osiguranje od uticaja transverzalnih sila određuje se iz modela

rešetke prikazane na Sl. 2/10. Rešetku formiraju pojasni zategnuti štapovi (donja zategnuta

armatura), pojasni pritisnuti štapovi (beton uz gornju ivicu), pritisnuti štapovi ispune (betonske

prizme između kosih prslina) i zategnuti štapovi ispune (poprečna armatura) orijentisani

saglasno pravcu usvojene poprečne armature, a u opštem slučaju u nagibu α. Očigledno je

sila u kosoj armaturi funkcija dela transverzalne sile koji se poverava čeliku:

/ sinku ruZ T α= , Ru aT b zτ= ⋅ ⋅ .............................................................................................. (2.26)

Predstavljena po jedinici dužine ova sila, te odgovarajuća potreba za armaturom, iznosi:

( )

cot cot sinku Ru

ku

Z T kNZ

s z mθ α α ′ = = ⋅ + ⋅

,

2

kuak

v

Z cmA

mσ′ ′ =

. ..................................... (2.27)

Ukupna redukovana sila smicanja na dužini osiguranja koja se poverava čeliku (takozvana ho-

rizontalna sila veze) je:

( )/vu RuH T z dx= ∫ ................................................................................................................... (2.28)

Time, izraz za ukupnu potrebu za poprečnom armaturom na dužini osiguranja može da se

napiše u obliku:

( ) ( )1

cot cot sin cot cot sinRu vu

akv v

T HA dx

zσ θ α α σ θ α α= ⋅ =

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅∫ . ............................ (2.29)

Ugao nagiba pritisnutih dijagonala može da

varira u prilično širokim granicama od 25⁰

do 55⁰, a, između ostalog, zavisi i od ukup-

nog armaturnog rasporeda, zbog čega se

može usvajati skoro proizvoljno, budući da

će, na primer, manja potreba za poprečnom

armaturom, rezultovati većom potrebom za

podužnom armaturom. Najčešće se u prak-

tičnim proračunima koristi θ=45⁰.

Ugao nagiba poprečne armature je najčešće

90⁰ (vertikalne uzengije), a sve je ređa upo-

treba kose poprečne armature (kosa

gvožđa).

Na dužini osiguranja (ne i u ostatku dužine

grede) mora biti zadovoljen minimalni pro-

cenat armiranja uzengijama:

min 0.2%uµ = ,

(1)u

uu

m a

b eµ ⋅=

⋅, ............................................................................................... (2.30)

gde je m – sečnost uzengija, eu – razmak između uzengija, b – širina preseka, a (1)ua - površina

preseka jednog profila uzengije.

Sl. 2/10. Model rešetke i odgovarajuća analiza sila



Analizom ravnoteže sila na modelu rešetke, dobija se sledeći izraz za silu zatezanja u zateg-

nutom pojasu rešetke:

( ),

1cot cot

2au r mu

aZ T

zθ α = − ⋅ + ⋅ −

. ................................................................................. (2.31)

Granična sila zatezanja u grednom nosaču je, pak:

u muau

M T aZ

z z

⋅= − = − . .......................................................................................................... (2.32)

Ili, zavisno od izabranih uglova θ i α, postoji razlika ove dve sile, tj. dodatna potreba za po-

dužnom armaturom:

( ), 0.5 cot cotau au r au muZ Z Z T θ α∆ = − = − ⋅ ⋅ − , 1 /a au vA Z σ∆ = ∆ . .................................... (2.33)

Ova armatura se dodaje podužnoj zategnutoj armaturi dobijenoj analizom savijanog preseka.

Alternativa je horizontalno pomeranje linije zatežućih sila, čime se obezbeđuje ova dodatna

potreba za podužnom armaturom (Sl. 2/10, Sl. 3/26).

Za razliku od transverzalnih sila, glavni naponi zatezanja od momenata torzije se prihvataju

isključivo vertikalnim uzengijama (kosa armatura bi na jednom licu bila praktično bez efekta).

Površina potrebne poprečne armature se određuje na sledeći način:

20

,0

tan 2 2

tRu ra uz

b v v

M cmA

A m

τ δθσ σ

⋅′ = ⋅ ≥ ⋅ ⋅ ⋅ , 0 02tRu b bM Aτ δ= ⋅ ⋅ ⋅ . ...................................... (2.34)

Pritom, budući da je vertikalna uzengija u prijemu smičućih napona od smicanja angažovana

celim obimom, ove uzengije se projektuju, u cilju dobrog usidrenja, preklopljenima preko

kraće strane. Takođe, s obzirom na konstatovanu „ekvivalenciju“ s tankozidnim presekom,

samo spoljašnje uzengije, koje prate ceo obim preseka, mogu biti tretirane kao uzengije koje

prihvataju torzione uticaje (time, sečnost u ovom slučaju ne postoji).

Potreba za dodatnom podužnom armaturom se određuje izi:

2

0

cot 2

tua

b v

MA O cm

Aθ

σ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

, ......................................................................................... (2.35)

gde je sa O obeležen obim površine Ab0.

U slučaju zajedničkog dejstva transverzalnih sila i momenata torzije, posebno se (zbog razli-

čitog uticaja na potrebu za armaturom) određuje koji deo smičućeg napona koji se poverava

poprečnoj armaturi se odnosi na transverzalnu silu, a koji na torziju:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

32

n ua u n u b u n u r n

n u tu

TT T T T

T M

ττ τ τ τ τ τ

τ= − = − ⋅ ⋅ ⋅ −

+, ................................. (2.36)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

32

n tua tu n tu b tu n tu r n

n u tu

MM M M M

T M

ττ τ τ τ τ τ

τ= − = − ⋅ ⋅ ⋅ −

+. ...................... (2.37)

Kada je nosač izložen istovremenom dejstvu savijanja i torzije, potrebno je kontrolisati i glavni

napon pritiska, koji, tada, ne sme biti veći od 0.6 fbk. Pritom, glavni napon pritiska se određuje

iz srednjeg normalnog napona u kritičnoj zoni i smičućeg napona od torzije (2.19).

i Primetiti da se, i za uticaje transverzalnih sila, i za uticaje torzije, potreba za dopunskom podužnom

armaturom određuje u odnosu na ukupne uticaje, neredukovane nosivošću betona.


76

2.2. GRANIČNA STANJA UPOTREBLJIVOSTIi

Proračunom prema graničnom stanju nosivosti elementi i konstrukcije su obezbeđeni od

sloma, osigurana im je dovoljna nosivost. Međutim, nije istovremeno obezbeđeno i da se ele-

menti na željeni način ponašaju i u različitim fazama eksploatacije, pri dejstvima znatno ma-

njim od onih koja odgovaraju graničnim stanjima nosivosti. Da bi se i ovo obezbedilo, u

eksploataciji, mora se posebno dokazati da nisu prekoračena ni takozvana granična stanja

upotrebljivosti (često se koristi i granična eksploataciona stanja).

Pod graničnim stanjima upotrebljivosti se podrazumevaju naponsko-deformacijska stanja

konstrukcija ili elemenata pri kojima je, pod dejstvom najnepovoljnijih kombinacija eksploa-

tacionih opterećenja, dostignut neki od konvencionalno utvrđenih kriterijuma o pogodnosti

konstrukcije za upotrebu. Budući da „barataju“ s eksploatacionim, stvarnim, opterećenjima,

primena parcijalnih koeficijenata sigurnosti izostaje.

U praksi se elementi i konstrukcije najčešće prvo dimenzionišu prema graničnim stanjima no-

sivosti, a zatim se kontroliše zadovoljenje uslova upotrebljivosti.

Kriterijumi za granična stanja upotrebljivosti proizilaze iz zahteva funkcionalnosti i trajnosti.

Pravilnikom se određuje da se u domenu graničnih stanja upotrebljivosti AB elementi i kon-

strukcije proračunavaju prema graničnim stanjima prslina i graničnim stanjima deformacija.

Dokazom prema graničnim stanjima prslina se obezbeđuje zaštita armature i betona od ko-

rozije, eventualna nepropustljivost za tečnosti i gasove, izbegavanje nepovoljnih psiholoških

utisaka... Dokaz graničnih stanja deformisanja je primarno u funkciji obezbeđenja funkcio-

nalnosti konstrukcije, posebno obezbeđenja kompatibilnosti deformacija sa opremom, ure-

đajima ili pregradnim zidovima, ispunama..., kao i radi obezbeđenja potrebnih nagiba za

odvodnjavanje i radi izbegavanja nepovoljnih psiholoških i estetskih utisaka...

Kako je već rečeno, u oblasti radnih naprezanja elemenata, efekti vremenskih deformacija

betona (skupljanje, tečenje) mogu biti značajni, zbog čega moraju biti obuhvaćeni proračunom

prilikom dokaza graničnih stanja upotrebljivosti. Kod armiranog betona, vremenske deforma-

cije betona su od još većeg značaja. Naime, armirani beton predstavlja spregu betona i čelika

(svojevrsnu spregnutu konstrukciju), a razlike u reološkom ponašanju dva materijala mogu

voditi značajnim preraspodelama naprezanja, velikim promenama napona i dilatacija u prese-

cima. Usled toga, pri dugotrajnim dejstvima dolazi do povećanja širine prslina, promena kri-

vina i rasta deformacije elementa. Slični fenomeni su od interesa i kod sprezanja betona raz-

ličitih starosti. U statički neodređenim sistemima, vremenske deformacije uzrokuju i promene

statičkih sistema.

Prilikom dokaza graničnih stanja upotrebljivosti, Pravilnikom se upućuje na korišćenje pri-

bližne algebarske veze napona i dilatacija (#1.1.8.5), u nastavku date u inkrementalnom

obliku:

( ) ( ) ( ) ( )*, 0,b b b b slt E t t t tσ ε ε ∆ = ⋅ ∆ − , ( ) ( )

( ) ( )0*

0 01 , ,b

b

E tE t

t t t tχ ϕ=

+ ⋅, .......................... (2.38)

gde su promene napona i dilatacija u betonu u intervalu (t-t0):

( ) ( ) ( )0b b bt t tσ σ σ∆ = − , ( ) ( ) ( )0 0,b b bt t t tε ε ε∆ = − , ....................................................... (2.39)

i Prema PBAB87 [10], [11].



a ,b slε slobodne nesprečene dilatacije betona, usled nesprečenog tečenja pod dejstvom kon-

stantnog napona σb0 i usled nesprečenog skupljanja u intervalu (t-t0). „Slobodne“ treba shvatiti

kao dilatacije koje bi beton imao kad ne bi bilo spoja s čelikom niti bilo kakvih veza na konturi

ili unutar samog elementa koje bi se suprotstavljale dilatiranju betona:

( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 0 0, , ,b sl b st t t t t t tε ε ϕ ε= ⋅ + ................................................................................... (2.40)

Iz (2.38) postaje očiglednije da se korigovanim efektivnim modulom elastičnosti određuje od-

nos promena napona i promena dilatacija usled tečenja i skupljanja.

2.2.1. OPŠTE PRORAČUNSKE POSTAVKE

Pretpostavlja se da je presek prethodno dimenzionisan saglasno graničnom stanju nosivosti,

da su poznate mehaničke karakteristike materijala i da je usvojena i raspoređena armatura u

preseku. Takođe, poznate su (ili usvojene)vrednosti koeficijenta tečenja betona, dilatacije

skupljanja i koeficijenta starenja: ( )0,t tϕ , ( )0,s t tε i ( )0,t tχ .

Sa poznatim ovim veličinama, prethodno diskutovana algebarska veza omogućava određivanje

napona i ukupnih dilatacija u betonu u posmatranom trenutku vremena t, pri konstantnim

spoljašnjim uticajima u toku vremena, u zavisnosti od dva stanja napona i dilatacija:

• početnih napona i dilatacija, ( )0b tσ i ( )0b tε , u trenutku t0, i

• promena napona i dilatacija, ( )b tσ∆ i ( )b tε∆ , u intervalu vremena (t-t0).

Time, algoritam ima dva koraka: u prvom se sračunavaju trenutni, elastični, naponi i dilatacije

u trenutku opterećenja t0, a u drugom se, polazeći od početnog stanja, određuju promene

napona i dilatacija usled tečenja i skupljanja betona u posmatranom intervalu (t-t0), pri spo-

ljašnjim uticajima koji u tom intervalu ostaju konstantni. Za oba koraka, pretpostavke su:

a) Presek ostaje ravan i nakon deformacije ili, drugim rečima, dilatacije u preseku su li-

nearna funkcija koordinata preseka.

b) Za vezu napona i dilatacija u betonu u toku vremena koristi se algebarska veza linearne

teorije tečenja betona u obliku (1.16) odnosno u inkrementalnom obliku (2.38) U

prvom koraku se ova veza svodi na idealno elastičnu – Hooke-ov zakon:

( ) ( ) ( )0 0 0b b bt E t tσ ε= ⋅ .......................................................................................................... (2.41)

c) Veza između napona i dilatacija u čeliku je idealno elastična, nezavisno od vremena:

( ) ( )a a at E tσ ε= ⋅ .................................................................................................................... (2.42)

d) Spoj betona i armature ostaje nenarušen i u toku vremena – dilatacije u betonu i u

armaturi su na mestu njihovog spoja jednake (kompatibilnost deformisanja).

Iz prve dve pretpostavke zaključujemo:

• Kako su deformisani preseci ravni, to i dijagram napona u betonu (koji je po pretpostavci

linearne teorije tečenja proporcionalan dilatacijama), u toku vremena, ostaje pravolinijski,

kao i u trenutku opterećenja.

• Neutralna linija dilatacija i napona, koje se u trenutku opterećenja poklapaju, se u toku

vremena razdvajaju.

Uz ovakve pretpostavke, i drugi korak se svodi na jednostavnu kvazi-elastičnu analizu.


78

Proračunski model preseka bez prsline se može koristiti sve dok su naponi na najviše zateg-

nutoj ivici preseka manji od čvrstoće betona pri zatezanju savijanjem za beton određene sta-

rosti – fbzs(t). Čvrstoća betona pri aksijalnom zatezanju je definisana članom 51 Pravilnika,

tabelarno (Tabela 2/3).

Tabela 2/3. Srednje vrednosti čvrstoće betona pri aksijalnom zatezanju

fbk [MPa] 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

fbzm [MPa] 1.5 1.8 2.1 2.4 2.65 2.9 3.15 3.4 3.6 3.8

Pri određivanju graničnog stanja pojave prslina, za čvrstoću betona pri aksijalnom zatezanju

usvaja se 70% gornjih vrednosti, dok se za odnos čvrstoće betona pri zatezanju savijanjem i

aksijalnom zatezanju koristi:

0.7bz bzmf f= ⋅ , [ ]4

0.40.6 1.0

mbzs

bz

f

f d= + ≥ ............................................................................ (2.43)

Ako je čvrstoća na zatezanje savijanjem prekoračena, u preseku nastaje prslina, čime je ovo

uslov za pojavu prsline.

2.2.2. NAPONSKO-DILATACIJSKA STANJA PRESEKA ELEMENATA

2.2.2.1. Presek bez prsline

U ovom delu se pretpostavlja da čvrstoća betona na zatezanje pri savijanju neće biti prekora-

čena, te da se u preseku neće realizovati prslina. Analizira se proizvoljan armiranobetonski

poprečni presek s jednom osom simetrije, izložen dejstvu složenog savijanja. Pretpostavlja se

i da se ravan savijanja poklapa s ravni simetrije (ravno složeno savijanje). Presek je orijentisan

tako da je ivica 1 manje pritisnuta ili zategnuta.

Sl. 2/11. Analizirani presek i njegova geometrija i presek „sa svojstvima tečenja“

Razlikujemo betonski presek, armaturni presek i idealizovani presek. Betonski (bruto) presek

se karakteriše površinom Ab, položajem težišta Tb u odnosu na gornju ivicu preseka yb2, mo-

mentom inercije Jb u odnosu na osu koja prolazi kroz Tb. Slično, armaturni se karakteriše

površinom armature Aa, težištem Ta i ya2, momentom inercije u odnosu Ta. Idealizovani presek

je onaj kojim se sprega dva materijala zamenjuje jednim jedinstvenim homogenim zamišlje-

nim presekom. Pri tome, ključan je odnos modula elastičnosti čelika i betona:

( )0/a bn E E t= . ....................................................................................................................... (2.44)

Karakteristike idealizovanog preseka su, sada, Ai, Ti, Ji, yi2.

Na posmatrani presek deluje moment savijanja M i aksijalna sila N, po pravilu u težištu bruto

betonskog preseka, Tb, ili Ni i Mi, kad se redukuju na težište idealizovanog preseka. Neutralne



linije napona i dilatacija se poklapaju, a naponi u betonu i armaturi su (u armaturi su n puta

veći):

( )0i i

b ii i

N Mt y

A Jσ = + ⋅ , ( ) ( )0 0

i ia i b

i i

N Mt n y n t

A Jσ σ

= ⋅ + ⋅ = ⋅

, ....................................... (2.45)

Krivina preseka i dilataciona prava su određene sa:

( ) ( )00

i

b i

Mt

E t Jκ =

⋅, ( ) ( ) ( )0 0 0, b Tb bt y t t yε ε κ= + ⋅ , ........................................................... (2.46)

gde je dilatacija u težištu betonskog preseka:

( ) ( ) ( )0 2 20

1 i iTb i b

b i i

N Mt y y

E t A Jε

= ⋅ + ⋅ −

............................................................................ (2.47)

Ovim su određene početne (u trenutku opterećenja) vrednosti napona u betonu i armaturi, te

početne dilatacije i krivina preseka.

Nakon što je određeno početno stanje napona i dilatacija (t0), analiziraju se promene izazvane

skupljanjem i tečenjem betona u intervalu (t-t0). Pretpostavlja se da u tom periodu spoljašnji

uticaji ostaju nepromenjeni. Pritom poznati su koeficijenti tečenja, skupljanja i starenja. Pri-

ručnikom PBAB daje se postupak koji je predložio W. H. Dilger, a koji se zasniva na korišćenju

svojstava idealizovanog preseka sa korigovanim efektivnim modulom elastičnosti betona („i-

dealizovani presek sa svojstvima tečenja“). Kako je odnos promena napona i promena dilata-

cija definisan korigovanim efektivnim modulom elastičnosti betona (2.38), to je potrebno

odrediti geometrijske karakteristike idealizovanog preseka, sada sa ovim korigovanim modu-

lom, Eb*(t). Biće (superskript * dobijaju sve veličine koje se odnose na presek sa „svojstvima

tečenja“, Sl. 2/11b):

( ) ( ) ( )*0 0*

1 , ,a

b

En n t t t t

E tχ ϕ= = ⋅ + ⋅ , ( )* * 1i b aA A n A= + − ⋅ , ....................................... (2.48)

( ) ( ) ( )*2* *

2 2 *

11

a

i b a b a bi

n AJ J n J A y y

A

− ⋅= + − ⋅ + ⋅ − ⋅ . i ..................................................... (2.49)

Sl. 2/12. Dilatacijsko stanje preseka u t0 i nakon „realizacije“ slobodnog tečenja betona

Na AB presek, u trenutku t0, počinju da deluju spoljašnji uticaji koji ostaju konstantni u vre-

menu. Određeno je naponsko-dilatacijsko stanje za početni trenutak vremena. Na Sl. 2/12a

je prikazano dilatacijsko stanje. Kada bi dilatacije u betonu bile slobodne (kada ne bi bilo spoja

između betona i armature), početne dilatacije bi, pod uticajem početnih napona, bile uvećane

usled tečenja betona i skupljanja. Ovakva „imaginarna“ situacija je prikazana na Sl. 2/12b.

i Sve (*) geometrijske veličine su funkcija vremena, iako se to zapisivanjem izostavlja konstatovati. Ne

zaboravimo, spoljašnji uticaji su sve vreme „vezani“ za težište betonskog preseka.


80

Međutim, kako postoji (pretpostavljena je) stalna kompatibilnost dilatacija betona i čelika na

mestu spoja, to je dodatnim (nepostojećim) uticajima potrebno opteretiti samo armaturni pre-

sek da bi ovaj uslov kompatibilnosti ponovo bio zadovoljen. Na armaturni presek se apliciraju

uticaji Na i Ma, koji armaturi obezbeđuju dilataciju koja odgovara prethodnoj slobodnoj beton-

skoj (Sl. 2/13).

Sl. 2/13. Dodatni uticaji Na i Ma, aplicirani na armaturni presek

Ovi dodatni uticaji se jednostavno određuju. Početna dilatacija na mestu težišta armature je:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 2 2Ta Tb b at t t y yε ε κ= + ⋅ − , ................................................................................... (2.50)

njeno slobodno vremensko uvećanje je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 0 2 2 0 0, , ,bTa sl Tb b a st t t t y y t t t tε ε κ ϕ ε= + ⋅ − ⋅ + , ....................................... (2.51)

a slobodna krivina je:

( ) ( ) ( ), 0 0 0, ,b sl t t t t tκ κ ϕ= ⋅ . ................................................................................................... (2.52)

Sada su dodatni uticaji:

( ), 0,a a a bTb slN E A t tε= ⋅ ⋅ , i ( ), 0,a a a b slM E J t tκ= ⋅ ⋅ . ........................................................ (2.53)

Međutim, prethodnim korakom je aplicirano „nepostojeće“ (fiktivno) opterećenje, čime je „pro-

blem“ izveden iz ravnoteže. Da bi povratili ravnotežu, apliciraćemo negativne vrednosti pret-

hodnih uticaja, N*i i M*i, ali ovog puta na ceo idealizovani presek, u njegovom težištu T*i. Kako

se napadne tačke dodatnih i negativnih dodatnih uticaja ne poklapaju, to neće ni vrednosti

momenata:

*

i aN N= , ( )* *2 2i a a i aM M N y y= + ⋅ − . ............................................................................. (2.54)

Ovi uticaji aplicirani na ceo idealizovani presek smanjiće prethodne, slobodne deformacije (Sl.

2/14a), na rezultujuće (Sl. 2/14b).

Sl. 2/14. Negativni fiktivni uticaji aplicirani na idealizovani presek i rezultujuće dilatacijsko stanje

Rezultujuće stanje dilatacija (i napona) se posmatra kao zbir početnog stanja, slobodnog di-

latiranja i vremenske promene dilatacija, pod uticajem opterećenja (2.54), u slučaju betonskog

preseka, odnosno pod uticajem opterećenja (2.54) i (2.53), za armaturni presek. Promene na-

pona u betonu i armaturi su, dakle:



( )* *

** *i i

b ii i

N Mt y

A Jσ

∆ = − + ⋅

, ( )

* ** *

* *i i a a

a i ai i a a

N M N Mt n y y

A J A Jσ

∆ = − ⋅ + ⋅ + + ⋅

. ............. (2.55)

Promena krivine preseka je:

( ) ( ) ( ) ( )* *

, 0 * * * *, i a i

b slb i a a b i

M M Mt t t

E t J E J E t Jκ κ∆ = − ≡ −

⋅ ⋅ ⋅, ...................................................... (2.56)

a promena dilatacije u težištu betonskog preseka:

( ) ( ) ( )Tb bt t t yε ε κ∆ = ∆ + ∆ , ( ) ( ) ( )* *

*, 0 2 2* *

, i iTb bTb sl i b

i i

N Mt t t y y

A Jε ε

∆ = − + −

, .............. (2.57)

( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 0 0, , ,bTb sl Tb st t t t t t tε ε ϕ ε= ⋅ + . ............................................................................. (2.58)

2.2.2.2. Presek sa prslinom

Analiza naponsko-dilata-

cijskog stanja preseka s

prslinom je znatno kompli-

kovanija od prethodne, čak

i ako se prihvate pretpo-

stavke linearne teorije teče-

nja. No, određena uprošće-

nja su moguća i opravdana.

Naime, iako je nesumnjivo

pokazano da u toku vremena dolazi do značajnog spuštanja neutralne linije dilatacija u pre-

seku, opravdano je (uprošćenja radi) pretpostaviti da se naponski aktivan, pritisnuti, deo pre-

seka, pri konstantnim spoljašnjim uticajima u vremenu, geometrijski ne menja, te da napone

pritiska u betonu i u toku vremena prihvata isti aktivni deo betonskog preseka koji je formiran

u početnom trenutku (Sl. 2/15). Ovom pretpostavkom je omogućeno da se i u presecima s

prslinom uticaji tečenja i skupljanja jednostavno analiziraju idealizacijom takvog preseka sa

korigovanim efektivnim modulom elastičnosti betona, analogno presecima bez prsline.

Poprečni presek, bruto, zadovoljava iste pretpostavke prethodnog. Međutim, činjenica da se

jednim delom visine prostire prslina implicira podelu površine betonskog preseka na aktivni

(šrafiran na Sl. 2/16) i neaktivni deo. Podela je, u skladu s malopre usvojenom pretpostavkom,

definisana položajem (za sada nepoznatim i nerazmatranim) neutralne linije (i napona i dila-

tacija) u početnom trenutku vremena: ( ) ( ) ( )0 0 0x t x t x tε σ= = . Odgovarajuće geometrijske i me-

haničke karakteristike preseka su simbolički obeležene na Sl. 2/16. Superskript II se odnosi

na presek s prslinom.

Na posmatrani presek, i dalje, deluje moment savijanja M i aksijalna sila N, u težištu bruto

betonskog preseka, Tb. U prvom koraku mora, iz ravnotežnih uslova, biti određen položaj

neutralne linije rešenjem sledeće jednačine (ea je ekscentricitet aksijalne sile u odnosu na te-

žište armature), koja se za pravougaoni presek svodi na kubnu jednačinu, čije se rešenje može,

na primer, tražiti iterativno:

[ ] ( )2 2( ) 0II IIbx bx a a a a a a a aJ S x e y n A e x n A y e J− ⋅ + − − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + = , .................................. (2.59)

( ) ( )3 22 2

6 63 0a a a a a a a ax e y x n A e x n A y e J

b b+ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + = . .................................... (2.60)

Sl. 2/15. Naponsko-dilatacijska stanja preseka s prslinom


82

Početni naponi i dilatacije se, sada, određuju na isti način kao i kod preseka bez prsline. Na-

poni u betonu i armaturi su dati izrazima (2.45), krivina preseka izrazom (2.46), neutralne

linije napona i dilatacija se poklapaju, a dilataciona prava je određena s:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 2, b Tb b b bt y t t y t x t y yε ε κ κ= + ⋅ = ⋅ − − . ............................................ (2.61)

Uz usvojenu pretpostavku da se aktivni

betonski presek vremenom ne menja,

algoritam određivanja promena napona i

dilatacija s vremenom, kod preseka s

prslinom, je identičan onome datom za

preseke bez prsline. Geometrijske ka-

rakteristike idealizovanog preseka sa

korigovanim efektivnim modulom ela-

stičnosti betona se određuju sa geome-

trijskim karakteristikama bruto pritisnu-

tog dela betonskog preseka, bazirane na odnosu (2.48). Promene početnih napona i dilatacija

su sada određene istim algoritmom koji je predstavljen za presek bez prsline.

2.2.2.3. Superpozicija napona i dilatacija

Ovde će se razmatrati postupci superpozicije napona i dilatacija u slučajevima kada je presek

od trenutka t0 opterećen početnim uticajima M1 i N1, a u trenutku t1>t0 počinju da deluju

dodatni uticaji M2 i N2. I početni i dodatni uticaji se u vremenu ne menjaju. Postupak super-

pozicije bitno zavisi od stanja napona i dilatacija u preseku u trenutku delovanja dodatnih

uticaja (bez ili sa prslinom; stanje I ili stanje II) i od toga da li se dodatnim uticajima menja

prethodno stanje. Tako se razmatraju sledeći slučajevi:

• Slučaj 1 - ni pri početnim ni nakon dodatnih uticaja u preseku se ne javlja prslina,

• Slučaj 2 - pri delovanju početnih uticaja presek je u stanju I, a u trenutku apliciranja do-

datnih uticaja u preseku nastaje prslina i ovaj prelazi u stanje II,

• Slučaj 3 - već pri dejstvu početnih uticaja u preseku nastaje prslina.

Sl. 2/17. Dilataciono stanje preseka u trenutku prvog opterećenja; Dekompresija preseka i preostale

dilatacije i uticaji (u armaturi) nakon dekompresije

U prvom, najjednostavnijem, slučaju, s obzirom na linearnost zakona tečenja, moguća je di-

rektna superpozicija dilatacija usled priraštaja napona u različitim vremenskim tenucima.

Time, moguće je, potpuno nezavisno, odrediti stanje napona i dilatacija za početni par uticaja,

i za dodatni, vodeći računa o odgovarajućim vrednostima modula elastičnosti betona i koefi-

cijenata tečenja i starenja. Ovakva superpozicija je validna i u slučaju različitih znakova po-

četnih i dodatnih uticaja, budući da je pretpostavljeno da je viskoelastična dilatacija tečenja

nezavisna od znaka napona.

Sl. 2/16. Geometrija preseka s prslinom



U drugom slučaju, dodatni uticaji menjaju poprečni presek, pa je direktna superpozicija one-

mogućena. Osim toga, dodatni naponi i dilatacije zavise i od dugotrajnosti delovanja početnih

uticaja (pod čijim je dejstvom presek ostao u stanju I, bez prsline), tj. od istorije opterećenja.

Svakako, prvi korak analize je određivanje stanja napona i dilatacija (u betonu i armaturi) za

trenutak t1, neposredno pre aplikacije dodatnih uticaja (Sl. 2/17a). Presek je u stanju I, a stanje

napona i dilatacija se određuje algoritmom datim za presek bez prsline.

Suština postupka je u fiktivnom rasterećenju preseka u trenutku t1. Pri tome, pod rastereće-

njem se podrazumeva stanje u kojem su naponi samo u betonu (ne i armaturi) jednaki nuli.

Ovim, potrebno je odrediti „kontra-uticaje“, M1i i N1i, koji, delujući u težištu idealizovanog

preseka, u trenutku t1, „poništavaju“ (anuliraju) napone u preseku, Sl. 2/17b (sa σ1b,Ti je obe-

ležen napon u težištu idealizovanog preseka u t1, a sa κ1b,el – elastični deo krivine):

( ) ( ) ( )1 1 1 , 1 1i b Ti iN t t A tσ= , ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 , 1i b i b elM t E t J t tκ= , ( ) ( )

( )1 2 1 1 1 1

1 .1

b bb el

b

t t

d E t

σ σκ

−=

⋅ . (2.62)

Preostali uticaji nakon dekompresije, ∆N1a(t1) i ∆M1a(t1) , deluju samo na armaturni presek, u

njegovom težištu i određuju se kao razlika apliciranih u t0 i rasterećujućih u trenutku t1. Pre-

ostale dilatacije, nakon rasterećenja, se određuju kao razlika prethodnih i elastičnih, dekom-

presionih. Jednake su dilatacijama u armaturi pod dejstvom preostalih uticaja, samo na arma-

turni presek. Na rasterećen presek, u trenutku t1 (neposredno nakon rasterećenja), deluju

ukupni uticaji u preseku, pri kojima, pretpostavljeno je, nastaje prslina u preseku:

1 2N N N= + , 1 2M M M= + . ............................................................................................... (2.63)

Sl. 2/18. Ukupni uticaji i dilatacijsko stanje nakon aplikacije dodatnih uticaja

Idealizovani presek, dakle, posle dekompresije, treba izložiti istovremenom dejstvu dodatnih

uticaja i uticaja koji odgovaraju elastičnoj dekompresiji, ali sa suprotnim znakom (kako bi se

poništili fiktivno uvedeni uticaji). Ili, od ukupnih uticaja treba oduzeti preostale u armaturi, ali

sa suprotnim znakom (Sl. 2/18a):

( ) ( )1 1 1aN t N N t= − ∆ , ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 2a a b aM t M M t N t y y= − ∆ − ∆ ⋅ − . .......................... (2.64)

Naponi u betonu (budući da je prethodno stanje ostavilo beton bez napona) se, sada, određuju

kao elastični naponi od kratkotrajnog dejstva na presek u stanju II. Naponi u armaturi, pak, na

ovaj način određeni, predstavljaju samo promenu napona i moraju biti superponirani sa pre-

ostalim nakon dekompresije:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

1 1 11 1

i i a aIIa i aII II

i i a a

N t M t N t M tt n t y t y

A t J t A Jσ

∆ ∆= ⋅ + ⋅ + + ⋅

. i ......................... (2.65)

i Korišćeni su uticaji (2.64) redukovani na težište idealizovanog preseka sa prslinom: Ni i Mi.


84

Krivina preseka i dilatacija u težištu betonskog preseka su:

( ) ( )( ) ( )

( )1 1 11

1 1

i a

IIb i a a

M t M tt

E t J t E Jκ

∆= +

⋅ ....................................................................................... (2.66)

( ) ( ) ( )1 11 2 2 2 2

1

1 1IIi i a aTb i b a bII II

b i i a a a

N M N Mt y y y y

E t A J E A Jε

∆ ∆ = + − + ⋅ + −

. .................. (2.67)

Ostaje još da se analizira naponsko-dilatacijsko stanje u preseku sa vremenom, u nekom tre-

nutku t,. Prema pretpostavci, uticaji ostaju konstantni. Usled nastavka procesa tečenja i skup-

ljanja, postepeno dolazi do promene superponiranog stanja u trenutku t1.

Sl. 2/19. Stanje nakon dodatnih uticaja

Sl. 2/20. Koeficijent tečenja i dilatacija skupljanja

Za sračunavanje promena napona i dilatacija u intervalu vremena (t-t1), valja primeniti raniji

algoritam za presek s prslinom. Pritom, mora se voditi računa o tome da slobodna dilatacija

tečenja i skupljanja betona ima dve komponente: prvu koja odgovara uticajima „1“, i drugu

koja odgovara dodatnim uticajima. Narednom skicom (Sl. 2/20), dat je kvalitativni prikaz

odgovarajućih koeficijenata tečenja i dilatacija skupljanja betona u intervalima vremena (t1-t0)

i (t-t1), pri dejstvu dodatnih uticaja u trenutku t1. Iako, strogo uzevši, vrednosti koeficijenta

starenja nisu iste, ali se preporučuje primena iste srednje vrednosti:

( ) ( )1 1 0, ,t t t tχ χ= .................................................................................................................... (2.68)

Na način sličan izloženom analizira se i slučaj u kojem je pod dejstvom početnih uticaja presek

bez prsline u trenutku t0, a vremenom u preseku nastaje prslina. U takvom slučaju, mora se

odrediti trenutak tcr, u kojem napon zatezanja u betonu, na zategnutoj ivici preseka, dostiže

čvrstoću betona na zatezanje pri savijanju (trenutak pojave prsline). Ovde valja voditi računa

o vremenskom prirastu ove čvrstoće. Za tako određen trenutak, sračunavaju se naponi i dila-

tacije za stanje I, u trenutku tcr. Zatim se određuju fiktivni rasterećujući uticaji za elastičnu

dekompresiju betonskog preseka, a nakon dekompresije na presek se apliciraju isti ti uticaji

sa suprotnim znakom, za stanje II.

U trećem slučaju, kada se prslina formira već pri početnom opterećenju, postupak je praktično

identičan prethodnom. Jasno, naponi i dilatacije u trenutku t1 se određuju za presek s prsli-

nom. Fiktivni uticaji dekompresije imaju isti fizički smisao (anuliranje napona u betonu), ali

sada do dekompresije dolazi samo na pritisnutom delu betonskog preseka.



2.2.3. PRORAČUN PREMA GRANIČNIM STANJIMA PRSLINA

U armiranobetonskim elementima se prsline pojavljuju kao posledica različitih uzroka i njiho-

vih kombinacija, zbog čega je analiza stanja prslina vrlo složen problem. Osnovni uzrok je,

svakako, mala vrednost čvrstoće na zatezanje betona.

2.2.3.1. Pojava prslina

Prsline se u AB elementima mogu pojaviti već tokom očvršćavanja be tona (plastično sleganje,

plastično skupljanje, hidratacija cementa, sprečeno slobodno dilatiranje...) i kasnije u eksplo-

ataciji. U toku građenja, prsline se mogu pojaviti i tokom očvršćavanja, a dobra receptura,

ugradnja i nega betona su osnovne mere sprečavanja njihove pojave u ovoj fazi.

Posle ugrađivanja betona, prsline se mogu pojaviti usled plastičnog sleganja, što je pojava

karakteristična za veće visine betoniranja – visoke grede, debele ploče, stubovi... Karakteri-

stična mesta pojave ovih prslina su ona gde armatura sprečava slobodno sleganje betona (Sl.

2/21), kao i na mestima nagle promene geometrije (Sl. 2/22).

Sl. 2/21. Prsline usled plastičnog sleganja: iznad šipki, između gusto raspoređenih šipki

Sl. 2/22. Prsline usled plastičnog sleganja usled nagle promene geometrije

Kod AB ploča karakteristične su površinske prsline izazvane plastičnim skupljanjem betona.

Tako se kod ploča betoniranih na tlu, na primer, u uglovima javljaju kose prsline, a u polju

prsline nepravilne orijentacije. Kod kontinualnih ploča (betoniranih u oplati) mogu se pojaviti

i prsline iznad plitko postavljene armature (Sl. 2/23).

Sl. 2/23. Prsline usled plastičnog skupljanja betona

Sl. 2/24. Prsline usled hidratacije cementa


86

Hidratacija cementa je proces u kojem

se oslobađa toplota, zbog čega se, to-

kom očvršćavanja betona, javlja raz-

lika u temperaturama unutrašnjosti

(viša) i površine (niža temperatura)

betonskog elementa. Kako je na Sl.

2/24 pokazano, temperaturna razlika

proizvodi zatežuće napone na površini

elementa, koji su uzrok pojavi površinskih prslina. Naime, čvrstoća betona pri zatezanju je,

tada (tokom intenzivne hidratacije) vrlo niska i može biti manja od ovako izazvanih napona

zatezanja po površini (Sl. 2/25). Ovaj fenomen je posebno karakterističan za elemente velikih

preseka (za masivne elemente), zbog duge putanje odvođenja temperature i, samim tim, zbog

sporog hlađenja. Zato se kod ovakvih elemenata betoniranje sprovodi u blokovima ograničenih

dimenzija, a analiza pojave prslina je kjučni uslov određivanja dimenzija. Ovo je posebno bitno

kod elemenata kod kojih su postavljeni strogi zahtevi po pitanju nepropustljivosti za tečnosti

i/ili gasove, kao što je slučaj kod masivnih hidrotehničkih objekata (brane, posebno) ili reak-

torskih sudova.

Takođe, prilikom izvođenja AB zidova velike dužine,

potrebno je ograničiti dužinu kampada u kojima se

zid betonira. Zbog sprečenog slobodnog dilatiranja

betona usled njegove promene temperature na

mestu spoja s pločom/stopom (betoniranom ranije),

mogu se na donjem delu zida pojaviti vertikalne

prsline, a njihova propagacija ponekad zahvata i

celu visinu zida (Sl. 2/26).

Prsline se tokom eksploatacije u AB elementima, usled spoljašnjih dejstava, javljaju kada na-

poni zatezanja u betonu dostignu čvrstoću betona pri zatezanju. Javljaju se kao globalne ili

kao lokalne. Na Sl. 2/27 prikazani su karakteristični rasporedi globalnih prslina za pojedine

osnovne slučajeve spoljašnjeg opterećenja. Prsline usled čistog zatezanja se, tako, javljaju

celom visinom poprečnog preseka i upravne su na osu elementa (upravne su na pravac glavnih

napona zatezanja). Kod čistog savijanja, prsline se javljaju kao vertikalne u zategnutoj zoni,

opet upravno na glavne napone zatezanja, i pružaju se uvis skoro do neutralne linije. Kada je

element savijan silama (kombinovano dejstvo momenata i transverzalnih sila), prsline se jav-

ljaju u zategnutoj zoni, ali prate trajektorije glavnih napona zatezanja (na njih su upravne).

Tako su u zoni malih intenziteta transverzalnih sila, prsline praktično vertikalne, a sa porastom

transverzalne sile su sve većeg nagiba. Usled torzije, prsline se javljaju po površini, kao „spi-

ralne“, propagirajući se približno pod uglom od 45⁰ u odnosu na osu elementa.

Sl. 2/27. Prsline usled spoljašnjih dejstava

Sl. 2/25. Vremenski prirast čvrstoće betona na zatezanje

Sl. 2/26. Prsline u dugačkom zidu usled

sprečenog temperaturnog dilatiranja



Kod jako armiranih elemenata, u zoni armature uz zategnutu ivicu, pojavljuje se veliki broj

sitnih prslina. Neke od njih se spajaju u zbirne prsline i pružaju se celom visinom zategnute

zone (Sl. 2/28). Ostale ostaju samostalne, samo u zoni armature, kao međuprsline.

Uticaji (sile u presecima) u elementima su često izazvani temperaturnim promenama: promene

temperature u odnosu na temperaturu građenja, tehnološke promene temperature (hladnjače,

peći, dimnjaci...), varijacije temperature okolne sredine... Ova, deformaciona, opterećenja i-

zazivaju sile u presecima statički neodređenih konstrukcija. Efikasna mera borbe protiv prslina

izazvanih temperaturnim opterećenjima je projektovanje (i izvođenje) termičkih dilatacionih

razdelnica.

Slična temperaturnim su i dejstva skupljanja

betona. Poput deformisanja pod negativnom

temperaturnom promenom, skupljanje be-

tona je fenomen smanjenja zapremine be-

tona. Međutim, skuplja se samo beton, a ne i

armatura, zbog čega uticaji izazvani skuplja-

njem nisu u potpunosti analogni onima od

temperaturnih promena. Tako je skupljanje

betona delimično sprečeno, ne samo vezama

sa drugim elementima, nego i prijanjanjem betona za armaturu. Otud, uticaji izazvani skup-

ljanjem betona e javljaju i u elementima statički određenih konstrukcija. Već je pokazano u

analizi naponsko-dilatacijskih stanja preseka, da tečenje betona ima veoma velik uticaj na

promenu stanja prslina u AB elementima tokom vremena. Otud, tečenje betona ne može biti

izostavljeno iz analize stanja prslina, posebno kad je učešće dugotrajnih opterećenja značajno.

Nejednaka sleganja deformišu konstrukciju.

Ukoliko je ova statički neodređena, u ele-

mentima konstrukcije se realizuju sile u pre-

secima, koje mogu dovesti do pojave prslina

(Sl. 2/29).

Seizmička dejstva jačih intenziteta redovno

izazivaju manja ili veća oštećenja AB eleme-

nata, a prsline koje se javljaju odgovaraju alternativnim uticajima (ukrštene prsline). Konačno,

prsline se u betonskim elementima mogu pojaviti i usled različitih nepredviđenih dejstava i/ili

preopterećenja. Razlog ovim dejstvima može biti neadekvatna eksploatacija, incident...

Imajući na umu niske vrednosti čvrstoća betona na zatezanje, te potrebu racionalnog projek-

tovanja armiranobetonskih elemenata i konstrukcija, treba naglasiti da su prsline u AB ele-

mentima izloženim zatezanju i/ili savijanju praktično neizbežne tokom eksploatacije. Insisti-

ranje na neisprskalim elementima bi imalo za posledicu vrlo neracionalne elemente. Zato, po-

java prslina u AB elementima jeste neizbežna, a cilj je zadržati njihovu širinu u prihvatljivim

granicama (ograničiti širinu prslina).

Prsline u AB elementima su često posledica lokalnih koncentracija napona. Tako, pri apliciranju

koncentrisanih opterećenja velikog intenziteta, kao posledica velikih lokalnih napona pritiska,

u betonu se realizuju zatežući naponi u poprečnom pravcu. Ukoliko poprečni naponi prekorače

čvrstoću na zatezanje, formiraju se prsline paralelne pravcu pritiska. Ova pojava se naziva

Sl. 2/28. Prsline kod jako armiranih elemenata:

čisto zatezanje, čisto savijanje

Sl. 2/29. Prsline u zidu usled nejednakog sleganja


88

cepanjei (Sl. 2/30a), a karakteristični slučaj je onaj koji se javlja na mestu zglobne veze stuba

i temelja. Takođe, usled velikih napona prijanjanja između zategnute armature i okolnog be-

tona, pojaviće se i prsline poduž zategnute armature (Sl. 2/30b). Ovde je reč o fenomenu vrlo

sličnom (praktično istom) prethodnom (cepanju).

Sl. 2/30. Prsline usled cepanja i prsline usled prijanjanja

Osim ovoga, (lokalni) uzrok

pojavi prslina može biti posle-

dica degradacije AB elementa.

Tako, korozija armature (sama

najčešće posledica postojanja

prslina, ali i male debljine

zaštitnog sloja betona ili nje-

gove poroznosti), osim što ugrožava nosivost elementa/konstrukcije, postaje i uzrok progre-

siji postojećih i stvaranju novih (podužnih, u pravcu armature) prslina.

Korodirana armatura se prepoznaje mrljama na površini betona. Ovakva armatura bubri poti-

skujući beton poprečno, što je razlog pojavi podužnih prslina, koje mogu rezultirati i odvalji-

vanjem komada zaštitnog sloja betona (Sl. 2/31). Sada je dodatno otvoren put vlazi i agresiv-

nim supstancama, zbog čega proces progresira. Do korozije armature (samim tim i do njenih

posledica) može da dođe i usled korozije betona, fizičke (dejstvo mraza, na primer) ili hemijske

(hloridi, sulfati, nitrati).

2.2.3.2. Ograničenje širine prsline

U proračunu AB konstrukcije prema graničnim stanjima prslina, dokazuje se da stanje prslina

svih elemenata konstrukcije, usled najnepovoljnije kombinacije dejstava u toku eksploatacije,

ispunjava odgovarajuće kriterijume trajnosti i funkcionalnosti. Na trajnost AB konstrukcije i-

zuzetno značajno utiče zaštita armature od korozije. Načelno, armatura se, unutar betona,

štiti pasivizacijom: pasivni film oksida na površini čelika, koji je hemijski stabilan u visoko-

alkalnoj betonskoj masi, sprečava dalju koroziju armature. Smanjenjem alkalnosti betona,

prodorom spoljašnjih agresivnih supstanci, pasivni film oksida postaje nestabilan. Zaštita biva

narušena, zbog čega dolazi do korozije armature. Osnovni način zaštite armature od korozije

je sprečavanje prodora ovih agresivnih supstanci. Pored zaštitnog sloja betona potrebne deb-

ljine i kompaktnosti, ovo se postiže ograničavanjem širina prslina. Relativno male širine (po

pravilu ispunjene depozitima kalcijuma) i dalje, u velikoj meri, sprečavaju prodor vlažnog vaz-

duha i agresivnih supstanci do armature, tj. ne ugrožavaju trajnost elementa/konstrukcije.

i Dobra analogija bi bila ona koja analizira sečenje sira nožem glatkog sečiva. Pod pritiskom noža verti-

kalno naniže (oštra ivica – mala dodirna površina – velik napon) realizuju se veliki naponi pritiska u

vertikalnom pravcu, a kao njihova posledica naponi zatezanja u poprečnom, horizontalnom. Ovi naponi

zatezanja odvajaju jedno parče sira od drugog.

Sl. 2/31. Prsline usled korozije armature



Takođe, ograničenjem širine prslina se sprečava i korozija betona. Konačno, ograničenje je

potrebno i radi izbegavanja nepovoljnih estetskih i psiholoških utisaka. Tako se, proračunom

prema graničnim stanjima prslina, proračunski dokazuje da karakteristična širina prslina nije

veća od granične vrednosti širine:

( )k ua t a≤ .................................................................................................................................. (2.69)

Najveće vrednosti graničnih širina prslina

definisane su Pravilnikom u funkciji dugo-

trajnosti opterećenja i agresivnosti sredine

(Sl. 2/32). Zahtevom Projektnog zadatka ili

kao posledica tehnološkog projekta, u zavi-

snosti od specifičnih uslova, mogu se usvo-

jiti i oštriji kriterijumi od datih. Date vred-

nosti se odnose na minimalne debljine zaštitnih slojeva. Većim debljinama zaštitnog sloja,

srazmerno odgovaraju i veće maksimalne vrednosti graničnih prslina, ali ne veće više od 150%

vrednosti iz tabele i ne veće od 0.4mm. Najveća vrednost granične širine prslina AB elemenata

u kojima se skladište tečnosti i gasovi iznosi 0.1mm.

2.2.3.3. Širine prslina

Terminom „karakteristična“ ukazuje se na neku vrstu „osrednjavanja“ širina vrlo neujednačenih

stvarnih širina pojedinih prslina. Treba primetiti da je reč o veličini promenljivoj u vremenu

(2.69). Konkretno, pod karakterističnom širinom prslina se smatra vrednost koja je za 70%

veća od srednje širine prslina, prema:

( ) ( )1.7k sa t a t= ⋅ ..................................................................................................................... (2.70)

Razmatra se linijski AB element izložen

složenom savijanju (M i N). Srednja ši-

rina prslina se određuje za idealizo-

vano stanje prslina. Pretpostavlja se:

• Da su sve prsline upravne na osu;

• Da se sve prsline prostiru po celoj

visini zategnute zone;

• Da su sve prsline jednake širine –

srednje širine as;

• Da su prsline ravnomerno raspore-

đene po dužini, tj. da im je jednako

međusobno rastojanje – srednje

rastojanje prslina, lps;

• Da je slika prslina stabilizovana –

vremenom ne nastaju nove, samo

se menja širina (srednja) postoje-

ćih. Ili, razmak prslina se ne menja

u vremenu. Eksperimentalna istra-

živanja potvrđuju postojanje stabi-

lizovane slike prslina.

Sl. 2/33. Idealizovano stabilizovano stanje prslina

Sl. 2/32. Najveće vrednosti graničnih širina prslina


90

Sada je srednja širina prslina definisana relativnim izduženjem armature i razmakom između

prslina, odnosno, kad se uvede i skupljanje betona, i slobodnom dilatacijom skupljanja:

( ) ( ) ( )( )1 , 0,s ps a s R sa t l t t tε ε= ⋅ − + .......................................................................................... (2.71)

Na Sl. 2/34 prikazano je (idealizovano) formiranje prve i druge prsline. U AB elementu, kada

naponi zatezanja dostignu čvrstoću betona na zatezanje, formira se prva prslina, na dnu ele-

menta. U kom će se preseku formirati prva prslina određeno je uslovima lokalnih čvrstoća i/ili

eventualnih koncentracija napona.

Pojavom prsline dolazi do preraspodele

naprezanja, kako je to na levom setu slika

naznačeno (isprekidana linija). U preseku

u kom se pojavila prslina, beton više ne

prima napone zatezanja, zbog čega ih u

potpunosti preuzima armatura. Prenos

zatezanja sa betona na donju armaturu se

vrši preko napona prijanjanja τp. Sa obe

strane prsline, udaljavanjem od nje, na-

poni zatezanja u betonu rastu.

Sledeća prslina može da se pojavi tek u

preseku u kojem je ponovo dostignuta

čvrstoća betona na zatezanje. Time, teo-

rijski, najmanje rastojanje između prslina

odgovara dužini potrebnoj da granična

vrednost rezultante sila prijanjanja

dostigne graničnu vrednost rezultante

sila zatezanja u betonu. Rezultantna sila

prijanjanja je određena osrednjenom čvr-

stoćom prijanjanja, fps, i površinom omo-

tača svih šipki donje zategnute armature,

ukupnog obima ua1. Rezultantna sila za-

tezanja u betonu je određena čvrstoćom

na zatezanje pri savijanju, fbzs, i površine

zategnute zone betona, Abzr. Tako je:

1 ,min 2ps a p bzs bzrf u l k f A′⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ( ),min 2 1/p bzs bzr ps al k f A f u′= ⋅ ⋅ ⋅ . ................................... (2.72)

Koeficijent k’2 zavisi od punoće dijagrama napona zate-

zanja u betonu neposredno pred pojavu prsline. Pred-

stavlja odnos prosečne i maksimalne dilatacije zategnute

zone. Eksperimentalnim ispitivanjima je utvrđeno da se

odnos dve čvrstoće, , može usvojiti jednakim 0.80 za

glatku armaturu GA240/360, odnosno jednakim 0.40 za

rebrastu RA400/500. Odnos površine zategnutog betona

i ukupnog obima šipki se može predstaviti u narednom

obliku, preko prečnika šipki Ø i koeficijenta armiranja za-

tegnute zone:

Sl. 2/34. Formiranje stabilizovane slike prslina

Sl. 2/35. Koeficijent k’2



1

1 1 1 14bzr a bzr

a a a zr

A A A

u u A

φµ

= ⋅ =⋅

⇒ ,min 1 21

pzr

l k kφ

µ= ⋅ ⋅ , 2 2 / 4k k′= . ......................................... (2.73)

Pri tome, prvi faktor je jednak Ø/4 samo u slučaju kad su sve šipke istog prečnika.

Rezultati eksperimentalnih istraživanja su pokazali da srednje rastojanje prslina, lps, zavisi od

efektivne površine zategnutog betona, Abz,ef, na koju se naponi zatezanja u betonu između

susednih prslina stvarno mogu preneti (Sl. 2/36a), a ne od cele površine Abzr. Zamenom u

prethodni izraz, biće:

1 21 ,

psz ef

l k kφ

µ= ⋅ ⋅ ,

11 ,

,

az ef

bz ef

A

Aµ = . ......................................................................................... (2.74)

Dakle, efektivna površina betona je deo površine zategnute zone betona u neposrednoj okolini

šipki donje armature, koji prenosi napone zatezanja između susednih prslina. Zona oko šipke

prečnika Ø je određena pravougaonikom maksimalne širine i visine od 15Ø (Sl. 2/36b).

Sl. 2/36. Efektivna površina zategnutog betona između susednih prslina

Konačno, uočen je i značajan uticaj debljine zaštitnog sloja betona, a0, i međusobnog rasto-

janja šipki, eØ, na srednje rastojanje prslina, zbog čega se, prema preporukama CEB-FIP, izraz

(2.74) proširuje novim sabirkom (maksimalna vrednost za eØ koja može biti uneta u ovaj izraz

je manja od vrednosti 15Ø ili 30cm):

0 1 21 ,

210ps

z ef

el a k kφ φ

µ

= ⋅ + + ⋅ ⋅

. ......................................................................................... (2.75)

Srednja dilatacija zategnute armature, εa1s(t), kao i odgovarajući napon, σa1s(t), ima vrednost

koja se nalazi između najmanje i najveće moguće. Najmanja je ona koja odgovara naponskom

stanju bez prsline, a najveća je ona koja odgovara naponskom stanju sa prslinom:

( ) ( ) ( )1 1 1I IIa a s at t tε ε ε≤ ≤ .......................................................................................................... (2.76)

Gde će se „naći“, između dve krajnosti,

srednja dilatacija armature zavisi od sa-

dejstva betona između prslina u preno-

šenju napona zatezanja Sl. 2/37.

Do pojave prsline sadejstvo betona je

potpuno, pa je srednja dilatacija jednaka

minimalnoj. Sa nastankom, razvojem i ši-

renjem prslina, srednja dilatacija asim-

ptotski teži vrednosti koja odgovara pre-

seku s prslinom (maksimalnoj vrednosti).

Izraz (2.76) se može napisati i u sledećem

obliku:

Sl. 2/37. Srednja dilatacija donje armature


92

( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 I IIa s a at t tε ζ ε ζ ε= − ⋅ + ⋅ . ..................................................................................... (2.77)

Uveden je koeficijent ζ koji, očigledno, zavisi od sadejstva zategnutog betona između prslina.

Za potpuno odsustvo sadejstva jednak je 1, za potpuno sadejstvo, jednak je nuli. Načelno,

ovaj koeficijent je kvadratna funkcija odnosa napona u donjoj zategnutoj armaturi za napon-

sko stanje II, neposredno posle pojave prsline i u proizvoljnom trenutku vremena. Saglasno

preporukama CEB-FIP, izraz se modifikuje uvođenjem koeficijenata (Sl. 2/38) zavisnih od ste-

pena prijanjanja i od reoloških karakteristika (dugotrajnosti delovanja):

( )

2

11 2

1 0

1 0.4IIa r

IIa t

σζ β βσ

= − ⋅ ⋅ ≥

............................................................................................ (2.78)

Za slučaj čistog savijanja (ili čistog zatezanja), odnos napona se svodi na odnos momenata

pojave prsline (normalne sile pojave prsline) i dejstvujućeg momenta (dejstvujuće normalne

sile). U ostalim slučajevima (složeno savijanje), izraz daje samo približnu vrednost koeficijenta

ζ, ali, između ostalog i u nedostatku boljih, i dovoljno tačnu za praktične potrebe.

Sl. 2/38. Koeficijenti β

Međutim, za određivanje srednje širine prslina nije merodavna kompletna srednja dilatacija

armature, nego samo njen deo – razlika u odnosu na dilataciju betona (videti (2.71)). Ovo je

drugi sabirak u (2.77):

( ) ( ) ( )11 , 1

IIaII

a s R a ua

tt t a

E

σε ζ ε ζ= ⋅ = ⋅ ≤ ..................................................................................... (2.79)

Sada je izraz za karakterističnu širinu prslina:

( ) ( ) ( )101.7 ,

IIa

k ps sa

ta t l t t

E

σζ ε −

= ⋅ ⋅ ⋅ +

.............................................................................. (2.80)

Superpozicija na nivou karakterističnih širina prslina ne važi. Ili: širina prslina od zbirnog dej-

stva S1+S2 nije jednaka zbiru širina prslina od S1 i S2. Zato karakterističnu širinu prslina treba

sračunati posebno za svaku kombinaciju dejstava.

* * *

U praksi je, načelno, dovoljan dokaz da karakteristična širina prslina nije veća od granične, a

nije neophodno izračunavati samu vrednost širine prslina. Tako, racionalno je uvođenje do-

punskih, grubih (manje tačnih) pretpostavki kojima se kontrola ispunjenosti uslova po karak-

terističnoj širini prslina svodi na relativno jednostavan kriterijum.

Ukoliko se potpuno zanemari sadejstvo zategnutog betona, uticaj skupljanja, kao i ako se

uvede da najveći napon zatezanja u zategnutoj armaturi, za stanje II, nije veći od 1/1.7 granice

razvlačenja, kriterijum postaje:

1ζ = , ( )1 max 1.7II va

σσ− ≈ ⇒ aps u

v

El a

σ≤ ⋅ ................................................................................ (2.81)

Uvedena uprošćenja su na strani sigurnosti, pa je zadovoljenjem ovog kriterijuma sigurno

zadovoljen i osnovni kriterijum (2.69).



2.2.4. PRORAČUN PREMA GRANIČNIM STANJIMA DEFORMACIJA

Proračunom prema graničnim stanjima deformacija se dokazuje da je stanje deformacija svih

elemenata konstrukcije, usled najnepovoljnijih kombinacija eksploatacionih dejstava, takvo da

ispunjava kriterijume funkcionalnosti. Deformacije je potrebno ograničiti iz više razloga:

• Oprema objekta (razne mašine, uređaji...) zahteva relativno nedeformabilnu podlogu za

normalno funkcionisanje;

• Nekonstruktivni elementi, poput zidova ispune, od drugih materijala, su u direktnom kon-

taktu s konstruktivnim elementima, a karakterišu se, redovno, većom krtošću. Ograniče-

njem deformacija postiže se da ne dođe do oštećenja ovih elemenata. Takođe, instalacije

ugrađene u konstruktivne i nekonstruktivne elemente dozvoljavaju samo mala relativna

pomeranja susednih elemenata;

• Velike deformacije mogu da budu uzrok kontra-nagibima pojedinih površina, čime se

ugrožava normalno odvodnjavanje;

• U pojedinim situacijama, poput konzolne gradnje mostova, poznavanje deformacija je,

zbog proračunskih nadvišenja, uslov izvođenja konstrukcije objekta;

• Velike deformacije su i estetski i psihološki neprihvatljive;

• Poznavanje deformacija vodi preciznijem proračunu statički neodređenih konstrukcija.

Na stanje deformacija bitno utiče ponašanje betona u toku vremena, zbog čega se tečenje

betona mora obuhvatiti proračunom za dejstvo dugotrajnih opterećenja. Često i uticaj skup-

ljanja betona može biti značajan.

Načelno, proračunom prema graničnim stanjima deformacija potrebno je dokazati da maksi-

malne deformacije armiranobetonskog elementa, usled najnepovoljnije eksploatacione kom-

binacije dejstava, u bilo kom trenutku vremena, nisu veće od graničnih vrednosti deformacija.

Za element izložen složenom savijanju, dokaz graničnih stanja deformacije se praktično svodi

na dokaz graničnog stanja ugiba. Tako, potrebno je proračunski dokazati da maksimalni ugib,

u proizvoljnom trenutku t, nije veći od granične vrednosti ugiba:

( )max uv t v≤ . ............................................................................................................................. (2.82)

Ugib se, za AB element izložen složenom savijanju,

proračunski najčešće određuje primenom principa

virtuelnog rada, integracijom po dužini elementa

proizvoda srednje krivine i fiktivnog momenta sa-

vijanja, usled jedinične sile koja po položaju,

pravcu i smeru odgovara traženom ugibu. Na Sl.

2/39 je prikazan deo ∆l elementa dužine l, dija-

gram srednje krivine od spoljašnjih dejstava (g i p,

na primer), kao i dijagram fiktivnih momenata sa-

vijanja:

Sl. 2/39. Proračun ugiba

( ) ( )s blv t t M dzκ= ⋅ ⋅∫ . .......................................................................................................... (2.83)

Granične vrednosti ugiba, definisane Pravilnikom, zavise od zahteva funkcionalnosti konstruk-

cije, opreme, a vodeći računa i o estetici i nepovoljnim psihološkim efektima. Najveća vrednost

graničnog ugiba je funkcija raspona elementa, L:

/u uv l k= . ................................................................................................................................. (2.84)


94

Delilac ku zavisi od vrste elementa i od statičkog sistema. Tako, za gredne elemente ima vred-

nost 300, za konzole 150, a za nosače kranskih staza čak 750.

2.2.4.2. Srednja krivina

Karakteristični dijagram zavisnosti

srednje krivine od momenta savijanja,

za AB element izložen čistom savija-

nju, dat je na Sl. 2/40. Za neisprskali

element, dijagram je praktično linea-

ran. Sa pojavom prslina dolazi do kva-

litativne promene stanja napona i dila-

tacija u presecima sa prslinom i njiho-

voj neposrednoj okolini. Tako, sa da-

ljim rastom momenta savijanja dolazi

do bržeg povećanja srednje krivine.

Sl. 2/40. Srednja krivina u funkciji sadejstva betona

Tokom formiranja stabilizovane slike prslina, dijagram je izrazito nelinearan. Za isprskali ele-

ment, dijagram se ponovo približava linearnom, ali manjeg je nagiba od početnog (brži prirast

krivine). Dalje povećanje momenta, preko maksimalnih eksploatacionih vrednosti, dovodi do

izražene plastifikacije armature i loma elementa. Kvantitativno, dijagram je u velikoj meri za-

visan od površine zategnute armature, kako je prikazano paralelnom isprekidanom krivom,

koja odgovara većem procentu armiranja.

Logikom već korišćenom kod prslina, može se konstatovati da je za neisprskali presek srednja

krivina jednaka proračunskoj krivini određenoj za stanje bez prsline, dok je srednja krivina

isprskalog elementa sigurno između najmanje moguće krivine (odgovara stanju I) i najveće

moguće krivine sračunate za stanje s prslinom (bez sadejstva zategnutog betona):

( ) ( ) ( ) ( )1 I IIs t t tκ ζ κ ζ κ= − ⋅ + ⋅ . ........................................................................................ (2.85)

Koeficijent sadejstva zategnutog betona, ζ, ima istu funkciju i značenje (Sl. 2/42) kao što je

pokazano u delu koji se odnosi na dokaz graničnog stanja prslina, (2.78).

Za čisto savijane elemente, početna krivina za naponsko stanje bez i na mestu prsline je:

( ) ( )00

I IM a bI

b i

Mt k

E t Jκ κ= =

⋅, ( ) ( )0

0

II IIM a bII

b i

Mt k

E t Jκ κ= =

⋅ . ........................................... (2.86)

Uvedeni koeficijenti predstavljaju odnose

modula elastičnosti:

I ba I

i

Jk

J= , i

II ba II

i

Jk

J=

.

Srednja početna krivina ima vrednost

između ove dve, definisano koeficijentom

ζ, za isprskali element, odnosno jednaka je

prvoj za neisprskali element (prikazano na

Sl. 2/41). Biće, dakle:

Sl. 2/41. Srednja početna krivina



( ) ( )( ) ( ) ( )

0, 0

0 0

za

1 za

IM r

M s I IIM M r

t M Mt

t t M M

κκ

ζ κ ζ κ ≤= − ⋅ + ⋅ >

. ................................................. (2.87)

Sl. 2/42. Značenje koeficijenta ζ

Krivina u toku vremena može da se predstavi kao zbir početne i prirasta u vremenu. Za na-

ponsko stanje I, odnosno za stanje II, biće:

( ) ( ) ( )0I I IM M Mt t tκ κ κ= + ∆ , ( ) ( ) ( )0

I I IM M Mt t tκ κ κ= + ∆ . ................................................... (2.88)

Promene krivina, za dva stanja (I/II), su:

( ) ( ) ( )/ / / /0 0, , /I II I II I II I II

M a b s st k k t t k t t dϕκ ϕ κ ε∆ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ . ...................................................... (2.89)

Koeficijenti kojima se uvode uticaji tečenja i skupljanja betona su:

( )( )*

/ / / *2 2 2 2/ *

1I II I II I IIa a a i a iI II

i

nk J A y y y y

Jϕ = − + − − , ( )*

/ / *2 2/ *

I II I IIs a a iI II

i

nk A d y y

J= − . .. (2.90)

Sl. 2/43. Srednja krivina u toku vremena (bez i sa uticajima skupljanja)

Istom logikom kao za početni trenutak vremena, može se i za krivinu u trenutku t pisati:

( ) ( )( ) ( ) ( ),

za

1 za

IM r

M s I IIM M r

t M Mt

t t M M

κκ

ζ κ ζ κ ≤= − ⋅ + ⋅ >

. ...................................................... (2.91)

Šest koeficijenata k se redovno daju u obliku dijagrama, na primer u [11].


96

2.2.4.3. Proračun ugiba

Nakon određivanja dijagrama srednje krivine, računski ugib se može odrediti integracijom

prema datom izrazu (2.83), integracijom po dužini elementa proizvoda srednje krivine i fik-

tivnog momenta savijanja od jediničnog opterećenja na mestu i u pravcu traženog ugiba. Ovo

može biti učinjeno numerički, podelom elementa na proizvoljan broj delova, najčešće jednakih

dužina (valja voditi računa i da se uvedu preseci i na mestima skokova u uticajima i ili krivi-

nama). Međutim, obimnost posla u postupku numeričke integracije praktično ga diskvalifikuje

za manuelnu primenu. Zato se, za praksu, daju jednostavni, ali za praksu dovoljno tačni,

postupci određivanja ugiba elementa. „Približnost“ postupaka se sastoji u uvođenju dopunskih

pretpostavki.

Praktična za primenu je takozvana bilinearna metoda, data u Priručniku CEB. Ova metoda ba-

zira na pretpostavci da je, ne uzimajući u obzir uticaj skupljanja betona, ugib bilinearna funk-

cija momenta savijanja. Za neisprskali element, ugib u trenutku t je jednak ugibu koji odgovara

stanju I, sračunatim za proračunski model bez prslina. Vrednost ugiba za isprskali element se

nalazi između najmanje moguće vrednosti ugiba, za stanje I, sračunate za proračunski model

bez prslina, i najveće moguće vrednosti, za stanje II, sračunate za proračunski model preseka

s prslinom:

( ) ( )( ) ( ) ( )

za

1 za

Ir

I IIb b r

v t M Mv t

v t v t M Mζ ζ ≤= − ⋅ + ⋅ >

. ............................................................ (2.92)

Kako je koeficijent ζ promenljiv duž elementa, ovde se koristi njegova konstantna vrednost

ζb. Ova konstantna vrednost se određuje u zavisnosti od momenta savijanja MD i momenta

pojave prslina MrD u kritičnom preseku. Pod kritičnim presekom se podrazumeva onaj u kojem

momenti savijanja dostižu maksimalnu vrednost, a koji se često poklapa sa presekom u kojem

treba sračunati maksimalni ugib.

Sl. 2/44. Ugib elementa izloženog čistom savijanju

Za element izložen čistom savijanju, koeficijent ζb se određuje iz sledećeg izraza koji odgovara

pretpostavci da moment savijanja, M, i moment pojave prslina, Mr, koji duž elementa variraju,

imaju konstantne vrednosti:

1 21 rDb

D

M

Mζ β β= − ⋅ ⋅ , rD DM M M= ⋅ , r rDM M= . ......................................................... (2.93)

Dodatno, i ugibi za naponska stanja I i II, u trenutku t, mogu se, posebno kada količina po-

dužne armature ne varira mnogo poduž elementa, približno odrediti samo iz podataka vezanih

za kritični presek:

( ) ( )( ) ( )0/ / / /0

,1 , sI II I II I II I II

M a b b s bl l

t tv t k k t t M dz k M dz

dϕε

ϕ κ= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ . .................. (2.94)



Integrali u izrazima su lako izračunljivi/prepoznatljivi. Tako prvi predstavlja početni ugib

odgovarajućeg neisprskalog betonskog (ne armiranobetonskog) elementa, dok drugi daje ko-

eficijent zavisan od statičkog sistema:

b b blM dz vκ ⋅ ⋅ =∫ ,

2

8b sl

lM dz δ⋅ = ⋅∫ . .................................................................................. (2.95)

Sada je (za najčešće statičke sisteme i tipove opterećenja, na Sl. 2/45, dati su tabelarno koe-

ficijenti za određivanje ugiba vb i δs):

( ) ( )( ) ( )0/ / / / 20

,1 ,

8sI II I II I II I II

M a b s s

t tv t k k t t v k l

dϕε

ϕ δ= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅

. .......................................... (2.96)

Sl. 2/45. Koeficijenti za proračun ugiba betonskog elementa

Princip superpozicije na ugibe isprskalog elementa ne može biti primenjen, ni za početni tre-

nutak vremena, ni za trenutak vremena t. Zato, ugib treba određivati za odgovarajuće kombi-

nacije dejstava, a ne posebno za pojedinačna.


98

betonske konstrukcije - prvi deo - 2

Documents