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11. Reobachtungen iibrr cine mite Erirslehungswrise des T o n s , urirl Karsucli c i r i o . I'l,c?or.ie drrselheri ;

. vort J. J. OyyeI , ud. Letiwr d. Yliyrik u. Matliematik am Gymnas. zu Frankfurt a. M.

E i n Viertelstiindchetr westwarts voii Frankfurt a. M., iiahe bei den letzten vor dem Utiterinaintjlor gelegeueo Vitleu uud Giirten, befindet sicli au dcr Stelle, wo die in den vierziger Jalircn volleiidetc Main - Keckar-Eisenbahn auf eiiier besonderen , aufserdem iiur fur Futgaiiger zuglng- lichen, holieii Brucke dcu Flufs iiberschreitet, uiiinittelbar uiiterhalb dieser Br[icke auf dem rechten oder ntirdlichen Ufer ein freier, unbebauter Plutt voii eiii paar tausend Scbritten Laiigc, der in den letzteu Jahren lifters voii Ab- theiluogeii der liier garnisoiiirenden Truppen zu militari- schen Uebungeii beuutzt wird. Dieser Platz wird nach Osten durch eiuen, die Verlhgerung der erwaboten Brlicke bildenden Viaduct, nnch Siideii durch den Flufs, iiach Westeu durch dic uiiter dem Namen des Grindbruiineiis. bekaiiute Schwefelquelle und die sie umgebeiide Bauin- gruppe, und nach Nordeii durcli eiiien voii deui Untermairr- thore iierkommeiiden , in westlicher Riclitung dein Flusse folge~iden, mit Baumen bepflainten W e g begriinzt, ungeflhr wie diefs die beiliegende Fig. 1 Taf. VI veranschaulicht, in welcber der fragliclie Platz init d e f g bezeichuet ist, wah- reud d g den erwdiiiteii Viaduct, dh die Eisenbahiibrilcke uiid p q den F l u b vorstellt.

Als icli iiun im Soinmer des Jalires 1848 odcr 1849 in der Gegend des Ufers d e voruberging, wzhrend gerade eine kleine Trtlypenabtheiluiig auf dem beschriebenen Platze iin Feuer csercirte, vcrnahm icli zu ibeiiiein Stauiieu uach jcdein eiazelireii Schusse, aufser dein dtrrch die Umgebungen hervorgebrachten rnehrfachcii Echo clcs Kiialls, einen gan5 eigenthiimlichen- schrillenden Ton, der kaum fiber eiiie Se- kunde drruerii mochte, aber nicht eiue constaiite Hbhe hatte,

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sondern wahrcnd seines Tonens it1 bestandigem Sinkeii begrirfcii war und zugleicli, iii Bezug auf seine Starkc, ein sehr regelrnGfsigcs Decrescendo zeigte. Der T o n war nicht jedesmal dersclhc, im Ganzen aber von sehr hedeu- tender Hiihe bei verlialtuifsiii8rsi,rr geringer Starke. E r hatte in Folgc des crwfihnten Sinkens etwas eigenthiimlicli Organisches, so zu sagen Articulirtes, so dafs er weiiiger deli durcli cin niusikalisclies Instruinent, als den durch die S t imne eines lebeiiden Wesens hervorgebrachten Tauen glicb: er klang bald mehr wie ein Klagelaut, ein Ton des Bedauerns oder Schmcrzes, bald mehr wie ein hohnisches, l aug gezogeiies # ~ h n a ! ~ , das sicli iiach jedein Schusse von der Gegentl der liriickc her vernchmen liefs. Ich kam sofort auf den naheliegeiiden Gedanken, da f s dieser Tou seine Entstehung irgendwie ciner Re/7esion dcr Schallwel- len an den Bogen oder Brustwehren dcr Briicke verdan- ken inoge, liatte jedoch daiuals nicht Zcit, die Sache wei- ter zu vcrfolgen, und auch n.icht Gelegenheit, die Beob- achtung unter geeigneten IJmst$nden zu wiedcrholen.

Verwandte akustischc Uiitersiichungeii brachten inich indessen vor cinigen Wochen auf den Gegenstand zuruck, iind ich construirte inir nun bei gcnnuerer Betrachtung eine, wie inir scheint, im Ganzen befriedigende und durcli demnachst zu crwabneiide Versuche hestatigte Theorie die- se r eigenthumlichen Gattung von Tolien, fiir welche ich, zur Untersclieidung der nuf anderein W e g e entstandenen, den Nameu

Die erwiihnte Eisenbahnbrficke besteht aus 9 Bogen von je 60’ (Fraiikfurter Wcrkmaafs) Spannweite; die Pfei- ler haben einc Dickc v o n lo’, so daFs der Ahstand der auf der Mitte rler Pfeiler stehendcn Gascandelaber ( oder viel- melir ihrer Axeu ) v o n eiuantler 70’ betrsgt. Aukerdem befindet sicli ain siidiichen Endc der Briicke eiii 30’ breiter Durchlafs fiir Scbiffe, deren Masten die Hahe der Briicke i ibcrstei~en, welcher Uurchlafs drirch zwci stiirkere Pfeiler von je 23 Uickc bcgr%iizt ist. Der siidlichste dicser bei- den Pfeiler steht aber bercits auf dcm Lande uiid tragt

Reflesionstone 8, vorschlagen mochte.

b-,

339

das BrIickenzoll- uud Bahnwarterhauschen. Ein ahnlicher befiudet sicli auch ain nbrdlichen Endc der Brucke, wo der schon erw#hnte Viaduct, uiitcr welcliciii der Weg g f in Forin cines kurzwi Tuniieli hiiidurchfuhrt, auf melireren schmalereri Kogen ruhend, tlic niirdliche Verliingerung der Briicke bis iiacli dem niclit n e i t entfernten Bahnhofe hin ausmacht. Die Brustwelir der Ilriicke hildet, in ihrer gau-, zeii Lange zwischcu den bescliriebencn dursersten dickeren Pfeilerii (und zwar auf beideii Seiten) ein doppeltes, aus seukrechten Eiseiistlben bestehendes Gitter, welches oliue Zweifel dell fraglichen ' T o e erzeiigt. Die vier Gitter sind so gestellt, dafs die je zwei iiufsersteii in einem Abstande ron 6' das fiir F u f s g h g c r bestiinnite Tro t to i r , die zwei inittleren nhcr das doppelte Scliieiieiigeleise der Eisenbahn zwischcn sicli haben. J ede tler 9 Hauptabtlieilungeii dieser Gitter (zw isclieti den genaiinten eisernen Laternenpfatilen) bestelit aus je 12 (die neiintc nur a m 11) Unterabthei- lungen, uiiti jede dieser letztereii BUS je 11 in gleichern Abstande steliendeii eisernen Stgben, so zwar, dafs je 10 derselhen vou gleicher Uicke, dcr je 11 te abcr (d i e Uuter- abtbeilungen begranzende) etwas dicker ist. Es ergiebt sich daraus fur den Ahstand je zweier benachbarten Stabe die Grofse von TL&, oder voii 6,3636.. . Zoll hiesigen Maafses. Die Anaahl der Stabe aber voin n6rdlichcn Endc des Bruckengelduders bis zu dein ersten dickeren Pfeiler am Siideiide hctragt iiacti Obigem in jedein Gitter (8.12 +- 11). 11 = 1177; doc11 ist auch dieser dickere Pfeiler selbst, sowie der Durchlafs, init solchen Pfahlen eiiigefafst, (lie aber aiif Ersterem niclit inehr init jeiien 1177 iii gerader Linie stehen.

Die Entstehung dcs beschriebenen Toues ~ i u n erkllire ich niir folgenderinafsen.

5. 1. Die durch den ScliuCs hervorgebrachte ciufache Schallwelle breitet sich i n bcliannter Weise UUI den Puiikt ihres Ursprungs init gleichmakiger Geschwindigkeit kreis- fiirmig aus iiid errcicht bei dieser Ausbrcitung iiach eiiiein gewissen Zeitintervall das erwahnte, aus gleichweit von ein-

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aiider en t fer 11 t en S t Zi b en best eh en de G i t t e r d es B r ii cli en ~

gel8nders. Der Puiikt desselben , bei welclrein sic zuerst anlangt, wird ohue Zweifel derjenige , seyn, der ihrein IJr- sprunge am Nuchsten liegt, d. Ii. dcrjenige Punkt des Git ters, wo dieses den sich allmalich erweiternden Wellenkreis tangirt, oder, was dasselbe i s t , der E'ufspunkt eines V O I I

dem Orte des Schusses nus arif die gcratle Linie des Gitters gefallten Perpendikels. W i r li8niieii iin vorliegenden Fallc der Einfachheit wegen annehmen , dafs dieser Punkt der Anfang (oder das n8rdliche Ende) des Gitters sey, weil sicli der beschriebene Platz ( d e f g in Fig. 1, Taf. VI) ziem- lich genau unter rechtem Winkel von dein hnfange cler nach SUden gehenden Brucke westwsrts erstrcckt. Es wird daher, unter dieser Voraussetzung, der erste Stab des Git- ters von der entstandenen Schallwelle zuerst getroffen - und, ohne Zweifel, diese voii ihm reflectirt wcrden miissen, in der Weise, dals dicser erste Stab clas Centruin einer neuen, freilicli vie1 schw~cheren Welle bildet, die sich roil ihm ails gleichfalls kreisfGrinig verbreitet und von dein in der Ntihe befindlichen Hi5rer, - ware jener Stab der ein- aige, - als ein schwoaches Echo des Knalls vernominen werden wiirdc. Nun aber wird die urspriingliche, durch den Schuls hervorgebrachte Schallwelle, einen Augenblicli spiiter, in gleicher Weise atich bei dern aweiten Stabe des Gitters anlangen uiid aucli an diesem einc Ihnliche Keflesioii erleiden, also ein ahnliches Echo des Kiialls hervorbringeii, welches aber das Ohr dcs Hiirers in einem so huraen Zeit. intervalle nach jenem ersteii treffen inufs, dafs es von ihm nicht unterschieden werden kann uiid ohne Zweifel, - wHren blofs diese zwei Stlibe vorliandeii, - nur als eine msfsige Versturhung des ersten Eclios ersclieinen wurde. Die unabl8ssig weitcrgchende Verbreituug der urspriing- lichen Schallwelle "aber wird , gleicli darauf a i d bci den1 dritten Stabe anlangend, auch diesen wiederum zu eineui iieuen Wellenceiitruni macheii, aucli a n diesem eiiien Wider- hall erwecken, der das Ohr des H8rers abermals einen un- endlicli kleiiieii Zeittlieil nach den zweiteii treffeii wird. 111

36 1

ganz gleicher Weisc merdeii darin, der Keihe iiacli, aucli der viertc, fiinfte, secliste Stab des Gitters und a11miilich allc iibrigen von der urspriingliclicn Welle des Schusses getroffen werden, jeder derselhen wird durch Keflexion eine iieue cinfaclie Welle liefern, und jede dieser Wellen wird das Olir des Hiirers etuias spiiter t r e h inussell, als die durch den vorhergegangeneii Stab hervorgerufene; - Letz- teres aus dew doppelten Grunde, weil jeder folgende Stab des Gitters TOO der priinitiveii Welle eiiieri Moment spatcr getroffeo wird, also die von ihni ausgcgangene Welle spater ins Daseyn tritt, wid rveil ziigleich aucli diese sp5- tere Welle bis zuin Ohre des Hiirers eineii etwas weitereii W e g zurUckzulegen hat, als die vorhergegangene.

Denn bezeichnet z. B. e in Fig. 2 , Taf. VI den Stand- punkt des Schiefsenden, f den des Hiircnden, g den Aufarig des Gitters gk, - wobei wir, der gernacliteu Voraussetzung zufolge, den Wiukel e g k als eincn rechteiz betrarhten, - uiid h , i, h. drei anfeinander folgende Stebe des Gitters, so siiid e h , ei, e k die Wege , w&he die ursprungliche, von e ausgehende Welle zuriickzulegen hat, bis sic, an den Stliben h, i, k anlaugend, die beschriebenen reflectirten Wellen hervorruft. I)a aber offenbar ek > e i > el& ist, so wird die von k ausgehende reflectirte Welle spzter cnt- stehen, als die von i aasgeheade, uiid diese spater, als die bei h zuriickgeworfeae. Iu gleicher Weise sind k f , i f iind k f die W e g e , welche diese secundaren Wellen vou ihrcin Ursprunge an zuriickzulegen haben, um i n das Ohr des bei f stehendeii HSrers zii gelangeu; uiid da aucli hier wiederum k f > i f > hf seyn iiiufs, so wird die i n k ent- staodene Welle aus doppelteni Gruride iii f spater rer- iiomrneii werdeii, als die in i entstandene, und diese spater als die von h ausgegaagene.

h e i dein geringeu Abstande der Stiibc aber rind der sicli daraus ergebenden noch geringeren Differenz der Wege ek, e i , e h einerseits und der Wege kf, if, hf audererseits,

erglichen init der nornialen Fortpflai~zungsgeschwindigkeit des Schalles iii der Luft, wird es vollkoininen begreiflich

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werdeii, dafs die von deli verschiedciieli Stgbeii ausgegan- geiien Starse odcr Wellen voii dein i t i f hefiadliclien Ohre uicht unterschieden, iiiclit einoeln vernontmeii werden konnen, souderii vicliiielir i n ihin geiiau denselbeti Eindruck hervor- briiigeii iiiusscii, wie einc contiuuirlichc Keilie rasch auf- eiiiniider folgendcr Stofsse, d. 11. wie die coritinuirliclie Wel- leiircilic eiiics nmsikalisch bestimmbareii Tones; so dafs wir in cinem solclieib Gitter in der 'That eiii Mittel habeii, eiuen eiofacheo Schall ( odrr Knall) durch Reflexioii iii eiiieii Ton, iiii eiigcrcii Siiiiie clieses V\-ortes, iiinzuwandeln. Hieriiach tlurfte denii aiich tlcr rorgeschlageiic R'aine Keflexionst6iie cc

als gereclitfcrtigt erscheineti, iii eoferii er nsmlich Tone be- zcicliiieii will, die (a ls solche) erst d w c h Refleziota (eiiies cinfachcn Schalles ) entstanden sind.

Uie Eiriweiidiiiig, die inaii inir iiiiigliclierweisc iuacheii kiiiiiitc, dals n;imlicli unser Olir, nach bekniliiteii akustisclieri Griindsatzen, i iur solche Keilieii eiofncher StUfse nls wirk- liche, dcutliche l'iine ernpfinde, die sich in - wenii auch iioch so kleiiieii - &er gleichen Zeitintervalleu folgen, wiihreod hier sclioii nach dew Aiiblickc der Figur diese Zcitinter;alle offeubar nicht gleich scyii kbtiiien: - diese Einwenduiig beseitiwt sich einfach tladurch, dafs iin vvr. liefienden Falle weuigstens j e zwei benachbwte Zeitinter- valle nahetu gleich siiid iiiid deinnach iecht wohl deli Ein- drudk cines Toiles von gewisser tliihe liervorrufen hiinnen, weil ja die Uiigleichlieit eine regelm%fsige, nacb stctigein Gesetzc verlaufeiitle, - dafs aber auch andererseits sclion nach der obcii geschildertea ersteii Beobachtuiig der ver- nvininene Tori allerdings keio constanter, von bestiminter inusikalischer Hiihe, sonderii wahrend seines Tiinens in fort- wYhreiideiii Sinken bcgriffeii ist.

Gerade diese allmuhlig auftreteiide Uiigleichheit der Schwiiiguiigeii , die allerwarts (an jeder eiozclncii Steile des Toiles) a n Gleichheit streift, ist es oline Zweifel, die demselbeii das beschriebene, hschst eigenthiiinliclie Geprsge des Artikulirten oder Orgauischen verleilit, und die e r in der That init den durch inenschliclie oder tbierische Stimm-

?

363

organe erzeugteu Tiioen, z. B. niit den artikulirtcn T6nen der Spmche, gemein lint, - welch letztere ja durch ganz iihnliche Modulationen ( die sich ebcn wegen jener Bieg- samkeit des Tones nie i n S o t e n setzen lassen) nicht blofs Regungen des Gefuhls (Bedauern, Mitleid, Spott etc.), son- dern auch rein logische Verhiiltnisse ( Frage, Affirmatioii und Negation etc.) auszudriicken pflegt.

Beriicksichtigt man hierbei die angegebenen Din~ensionen, iiainentlicli den geringen Abstand der Gitterstabe von ein- ander und die grolse Geschwindigkeit der Schallverbreitung, SO erklart sicli zugleich aufs Befriedigendste die auffallende Hohe des vernou~nienen Tones, die auch dcr iinifangreich- sten Sopranstiinme kauni errcichbar seyn wurde und da- dorcli uin so seltsaioer gegen den sie bervorrufenden Knall des SchieCsgewehrs contrastirt.

So befriedigend inir nu11 auch die angedeutete Theorie erschien, so begnugte icli inich doch nicht init die- ser allgeineinen Aufstellung derselben, soiidern unternahm cs sofort , sic sowohl theoretisch, als ouch? w o mdglich, experimentell noch etwas ins Einzelne zu verfolgen, [im dadurch ihre Zulassigkeit zu priifen.

D a t zuvorderst, falls die aagegebene Vorstellung 0 von der Entstehungsweise jenes Tones die richtige ist, der letztere furtwuhrend im Sinken begriffen seyn miisse, ergiebt sich leicht hei etwas gcnauerer Betracbtung der Fig. 2, T a f . VI. Setzt inan den Abstand eg des Schiefsenden von der Brucke =a, und den Abstand f g des Hurenden = b ; nimmt inail ferner der Einfachheit wegen (wie ich in der Folge immer thun will) als Maarseinheit, l l 3 C h wclcher diese beiden Distanzen ausgedruckt sind, den Abstand h i oder i k je zweier benachbarten Stabe sclbst an, und zahlt man die Stlibe des Gitters (wie i n der Folgc gleiclifalls iininer gcschehen soll) in der Weise , d a k man den am Anfange der Reihe, bei 9, stehentlen den Oten, den folgenden den 1 ten 11. s. w. nennt, so dafs inan die Entfernung des ~ ~ n t e i i m Stabes v o n g selbst = n setzen kanu: so ist, wenii z. B. i diesen nten, und folglich h den (n- l ) ten , k den (n+ l ) -

$. 2.

364

ten Stab vorstellt, die Eiitfernung e i = Vm, e k = \ ' a ' 2 + ( n + l ) 2 , e h = ~ a 2 + ( n - l ) ' , und ebenso

Der W e g also, den der voin Stabe k aus reflectirte Schall voin Aiigenblicke des Schusses an bis zu seinem Horbarwerden in f zuruckzulegen hat, ist ek + k f = l'a? .&(h-g)z + b? + ( n + I )' ; ebenso der W e g des hei i reflectirten: e i + i f= v m + 1/ 6' + n', und endlicli der Weg des bei h reflectirten: e h + h f = r/=(n--I).L + r/ 6' + ( n - I )'. Das Zeitintemall, um welches der in k reflectirte Schall sputer als der in i reflectirte zu deiu Ohre gelangt, wird deinnach bestimmt durch die Differenz der beiden ersten Wege, narnlich durch die Differenz :

_ _ _ ~ _ ~ ~ _ ~ ~-

f i = v 6'' + n 2 , f k = v b'+(n+l) ' , f h = v b2+(n-1)2.

___.

[ 1/ a; 4- ( h + 1,; + vp-+q;-+ 1. j-2 ]

[Val .+ ( n +.1)p - v / a 2 t i 2 ]

-. . __ - [ r n i 2 + v b2 + It 1, die sich aucli so sclireiben 1ZTst:

..___

+ [ 1 / b 2 + ( n + 1 ) 2 - v 6 2 + n 2 ] . . . . (a). Bas Zeitintervall dagegen, uin welches der in i reflectirte Theil der Welle spiiter als der in h reflectirte vernommeii wird, bestiinmt sich durch die Differenz:

.- . - - - - - . . [ va'+Gi + v6- ] -[?'i,< i y +)/ b 2 + ( a - i) '] ,

die sich auch so schreiben laht: [ p%? - V'a' + ( n - I ) ' ]

... _ _ + [ V b 2 + t n 2 - V 6 2 + ( n - 1 ) 2 ] . . . . ( p ) .

Ua nun die voin Schalle zuruckgelegten Wege den dam verwendetea Zeiteii proportional siiid, so wiirde der fragliche Tou iiur daiin ein Ton von coiistariter Iliihe seyii kiiniien, wenn die beiden gcnannteii Wegdilferenzen (a und p ) einander gleich waren. Diescs sirid sie aber offen- bar nicht. Vielinehr ist ohne Zweifel die erstere (cc) gro- [ser als die zweitc (p ) , was sich leicht ergiebt, wenn man

365

die beiden Glieder, aus welchen diese Differenzen bestcticn, einaeln betrachtet und vergleicht.

Schreibt man ndmlich, der Kurze wegen, ___. __

V u statt V a ~ + - ( n + l > ~ V o statt V a2 + n l Vw statt V a* + ( n - 1 > 2

V u’ statt V b2 + ( n + 1 ) 2

1/ o‘ statt 1/ b 2 + n? I/w’ atatt $ bz + ( n - 1 ) ‘ a ,

seyn, weil ndmlich die beidera Glieder des ersteir Ausdrucke, (1/ u - r/ 0) und (1/ u‘ - r/ d), ciuzelii betrachtet , griifser sind, als die entsprechenden Glieder des zweiten, (Vw --1/w) und (vo ’ - vw‘); d. h. meil

uiid ebenso

zwei Ungleicbungeo, deren Kichtigkeit leicht nachzuweisen ist I).

- - . . . . . ._ . .

und ebeiiso:

___ _.

.___-

so mufs (1/ u - 1/ b) +(l/u’ - 1/ o’) > (1/ 0 - Vw) + (Vb’ - 1’w’)

( V 91 - V a ) > ( V 0 - V w ) ,

(]/Id’- 1/0’)> ()’b’- 1 / 2 0 ’ ) ,

1) Sol1 namliclr v u - v v > v v - v w

v u + v w > 2 v v odcr

s e p , so brauclit niir (quadrirt)

eu seyn, oder, wenn man tiir die rationalen Glieder dire urspriiogliclien Wertlie wieder einsetet:

oder

odcr

folglicli

oder [a” + (n+ J . [I a2 + ( n + l )2 J > ( a2+n2)l - 2(a2+n2) + I , oder, wenn man die Klammern heseitigt und die beiderseits iiberein- stimmenden Glieder streiclrt :

woraus sich erg;&, dafs aurli 7.11 Anlhnge der. links strheodc Atrsdriirk

~

ic + w + 2 1’ i iw > 4 0

2( aa+na+ I + V G ) > 4 ( d + n ’ ) ,

(12 + n2+ 1 + I’ G> 2 (a? c nl), )’ f d fC > (aZ+ n2) - 1 ;

u w > [ ( a z + n 2 ) - I]’,

2aa > - 2 2 ;

den gr6lswen Wcrth hatie.

3 66

Nelimen wir beispielsweise g h = 20, also g i = 21, g k = 28, und den Abstand ge (in derselben Einheit ge- messen) = 50 an, so ist in der That

____ ( y3ijqz!F - V j g a t 2 1 ' ) > ( v 501 + 2 1 2 - v w+m, oder (1/2984 -1/2941)>(1/2941 --2900); namlich:

1/2984 = 54,62600 V2941 = 54,23098

also die erste Differenz = 0,39602; und ferner:

1/ 291 I = 54,23098 1/ 2900 = 53,83 165

also die zweite Differenz = 0,:37933. iind deinnach die erste Differenz die grofsere, oder e k- e i > e i - e h ; - ganz dasselbe wurde sich auch fur die h b - staiide von f ergeben, n~inlicfi f k - f i > f i - f h . Die Wegdifferenzca des Schalles (sowohl im Hinwege voii e iincli den1 Gitter, als iin Riickwege von da nacli f ) siud also beim 21 steii uiid 22sten Stabe des Gitters grofser, als beiin 20sten und 21 sten.

Uebrigeiis ist es auch ein auf eleineirtar - geoinetrischeni W e s e leicht zu erweisender Satz, dais zwei Seiten eines Dreiecks zusammen stets grofser sind, als das Doppelte der nach der nlitte der dritten Seite geaogenen Transversalen, ((Ids z. B. i n Fig. 3 Taf. VI a b t b c ) 2 b d ; - denn denkt mati sich z. R. b d urn seine eigene L h g e nach e verlangert, so wird a b c e eiu Parallelogramin, uiid e c t b c , welches = a b + b c , > b e , oder > 2 b d ) . Wenden wir diesen einfachen Satz auf das Dreieck k e h i n so liabeii w i r

e k + e h > e i t e i , otler

e k + e i > e i - e h ,

voriger Figur an,

d. h. die Differenz der Wege von e nach irgend zwei benach- barten Staben des Gitters wird bei jedein folgenden Paarr! grofser, als beim vorhergegangeoeli. Mu11 sind diefs frei- l i d zunaclist n u r die Wege, die der Scliall von seiner Entstehulig in e bis zu seiner Reflexion an den Staben des

367

Gitters zuruckzalegen hat. Uasselbe Gesetz gilt aber, he- greiflicher Wei se , auch fu r die Ruckwege des Schalls h f , i f , h f : auch bei diesen werden also die Differeiizen j c zweier aufeinander folgeuden stets griirser wid griifser mit der wachsenden Entleruung der Stahe roni A l l h g c g des Gitters. Da es nun aber iiiir die Suiiiinen dieser zusaininen- gehbrigen Wegdifferenzen sind, welche das Zeitintervall zwischcn zwei benachbarten Schallreflexen bestilnlnen, so ist auch damit e m i e s m , d a t der i n f Iibrbar wcrdende Ton wshrend seiner ganzen Dauer ununterbrochen tiefer und tiefer werden mufs, - wic diefs denii auch (lie ge schilderte Beobachtuiig bestiitigt hatte.

Hieran kniipft sich nun soglcich iioch cine weitere Folgerung in Bezug auf die Hiihe des fraglichcii Toiles iin Allgemeinen. Da iiknlich fiir eiiie aoch so grorse En t - fernung g k des Stabes k voin Aiifange des Gitters die Differenz ek - e i (nach einer bekannteii Eigcnschaft des Dreiecks) stets kleiner ist, als dic dritte Seite i k , d. 11. in iinserem Falle (de r geinachten Voraussetzring geinafs) < 1, uiid gaiiz dasselbe auch voii der Differenz des Ruckweges ( f k - f i ) gilt, so wird die Summe beider I)iffcrenzen stets < 2 bleibcn miissen : sic wird, trotz ihres uuunterbrochenen Zunehmeiis, die Zahl 2 nie erreichen kiinnen, d. I;. der in f ve rnomineiie Ton wi rd, t ro tz sei lies fort tv I h reii de ii Sink ens, nie unter eine gewisse Griinte Iiinabsinken kiinneii. Und diese Gr loze ist nacb deiii Gesagtcn leiclit zu bcstiinincn. Da n h ~ l i c h das Zeitintervall zweier benaclibarteo, iin l’uiilitef zuin Ohre driiigendcn Stiifsse oder Schallwellen nichts Andc- rcs ist, als diejenige Zeitdaiier, welche der Scliall bei seiner Fortpflanzung i i i der Luft bedarf, tiin dic beschriebene Wegdifferenz [ii;imlich ( e k + k f ) - ( e i + i f ) , oder, was dasselbe ist, ( e k - e i ) -+ ( k f - i f ) ] znriickzuleg-en, und da diese Wcgdifferenz, wie so ebeii gezeigt worden, stets kleiner ist, als der doppelte Abstand je zweier beiiaclibarteu Stabe: so ergieht sich von selbst, dals das Zeitiiitervall zwi- schen zwei benachbarten Stofsen, oder die Schwingungs- dauer des in f vernoinmenen Tones stets hdeiner i s t , als

5. 3.

368 . die Zeit, welche der Schall gebraucheii wzirde, urn diesen doppelten Abslnnd aweier Stcibe zririickaulegen; - oder, was xiederum auf dasselbe hiiiansliiuft: die Wellenlange des Reflexionstones bleibt stets Izleiner als der doppelte Abstand aweier Stiibe.

Wendel l wir diefs iieue Gesetz auf uiisereii vorliegen- den Fall an, so betragt, wie oben erwahnl, bei der Frank- furter Eisenbahnbriicke der bbstand der Stabe des Gittcrs nur 6,3636. , . Zoll, demnach der doppelte Abstaud 12,7272.. . Zoll, und Letzteres wsre also zugleich das fragliche Maxi- mu?n dcr Wellenlange des in f veriioiiiinenen Tons. Nimmt inaii diese LHnge beikiufig = I Pariser Fufs an, (was uii-

gefalir stiininen wird , da iiiiser hiesiges Werkinaafs etwns kleiner ist , als das Pariser), so ware dicfs cin Ton voii 102-5 Scliwingnngcn i n der Sekuiide, also ungcf;ihr das aweigestrichene C, welches iin Violiiischlussel durcli die iin dritten Zwischenrauine stchcnde Note bezeichnet wird. Da dieis aber nur die untere Griinae ist, die der fragliclie Ton nie erreichen uiid der er uberliaupt iiur a n seiiicin Ende wid iiur bei sehr grorser hnzahl der S tabe nahe kommen kann: so erklart sich daraus aufs Befriedigeiidstc die bei der urspriinglichen Beobachtung wahrgenoinmene aurser- ordentliclie Hohe dieser Reflexionstone, so daCs diefs Factiiin selbst bercits der aufgestellten Theorie in gewissem Grade zur Bestatigiing dieiien kann.

Es l ak t sich dasselbe deinnach (fur deli rorlicgendeu Fa l l ) kurz so aIissprecheii: Der vernominene Ton in& auch init scinein tiefsten Ende stets iiiiicrhalb (ode r ober- halb ) der azaeigestrichenen Octave bleiben ; - ein Umstaiid, der , wo iniiglich, durcli wiederholte Beobachtungen zo verificireii war. ( Natiirlich kiiniitc inan, bei Auwetiduug cines minder dichten Gitters , auch beliebige tiefere Tijiie auf gleiclie W e i s e hervorbringeii ).

W a s feriier die Dauer des hcsproclirilen Toiles betrifft, so Iafst sich diese iiach der aufgestellten Theorie 11uii glcichfalls cinigermafsen beurtheileo. Da iiainlich die Dauer einer Schwingtcng stets kleiiicr ist, nls das Zeitinter-

vall,

3. 4.

369

vall, welches der Schall gebraucht, um den doppelteii hb- stand zweier benachbarteii Stabe zuriickzulegen, - welches Zeitinterrall z. B. t Sekunden betragen miige; - und da ferner die Anzahl der Schwingungen der der Gitterstabe entspricht, die wir n nennen wollen: so ergiebt sich fiir die Dauer des Tones selbst eine Griifse, welche jsdenfaZZs ( n t ist. In unserem Falle nun, wo, wie oben gesagt, die Schwingungsdauer t hochstens Sekunde, und die Zahl n der Gitterstabe etma 1200 betrug, ergiebt sich hieraus eine Dauer des Tones von weniger als ;;;; oder ctwa 1,2 Sekunden. Es stixnmt auch diefs hinllnglich geiiau mit der oben mitgetheilten urspriinglichen Beobachtung iiberein.

9. 5. Endlich erklart sich auch noch eine nndere Eigen- scliaft des wahrgenomoienen Tones jetzt sehr einfach: Das oberi beschriebeiie rasche Abnelimen seiner Sturke, jeiies deutliche Decrescendo, welches ohne Zweifel auch eiiieu Beitrag zu dein geschilderteri eigenthiimlicheu Geprage des Articulirten liefert, das den Ton charakterisirt.

Die Starke oder Intensitat eines Toues namlich haogt ja, bei sonst ganz gleicher Entstehungsweise, iiur von dein Grade dcr Ausbreitung ab, deli die erzeugende Wel le his zuni Ohre des Hiirers erreiclit hat, d. h. sie ist proportional dem Quadrate des Abstaiidcs dieses Ohres vom Wellen- centrum. Da uun aber im vorliegendcn Falle einerseits die rcflectirenden Gitterstabe selbst nur VOII einem sehr kleinen, uiid die entfernteren von eineiu stets kleineren Theile der primitiven, einfachen Welle getroffen werden, uiid da sic zugleich andererseits die vom Punkte f ungleich ent- ferirten, uiid fiir jeden folgenden Stofs stets entfernteren Wellencentra bildeii, von deuen diese reflectirtcn, scliou an sic11 80 schr geschw8chten Wellen ausgehen: so wird hieraus gleichzeitig sowohl die an sich so unbedeutende Sturke des Tolles iiberhaupt, ale auch das stete, verhiiltnifsmafsig rasche Abnehmen dieser Starke vollko~nmcn begreiflich und sonach auch i o diesem Piiikte die versuchte Tbeorie den Beob- achtungen entsprechend erscheinen.

PoggcndorPs A n d . Bd. XCIV. 24

370

Das inatheinatische Gesctz dieser Abnahme wiirdc viel- leicht uicht schwer zu entwickeln, aher freilich, beiin Man- gel eines geeigiieten Schallstiirkemessers (nanicntlich fiir die kurze Dauer eiiier Sekunde), wohl schwerlich durch den Vcrsncli nachzuweisen seyn.

Es war nun ferner bereits zu Aafaag, bei der Schilderung des fraglicheii Ph#noniens, die freilich nur ganz allgemein gehaltene Beobachtung crwahiit worden, dafs der vernoinmene Toil nicht immer derselbe, d. h. dafs er bei verschiedenen Schiissen nicht von gleicher Hiihe gewesen, - und es lafst sicli diefs, menu aiidcrs die versuchte Erkla- rung ilire Richtigkeit hat, auch ziiin Voraus nicht andcrs erwarten. Es mufs n8mlich dann offcnbar die Stellung des Horendeu sowohl wie des Schiefsendeo, gegen das reflecti- rende Gitter, und nanientlich die Entfernung Heider voii deinselben, verglichen init deni Abstande der Stsbe, auf die Hshe des entstehenden Tones voii Eiuflufs seyn, Da fiberdiet dcr urspruiigliche, den Ton veranlassende Knall (des Schusses), als ein einfucher, aicht ails einer regelinafsig verlaufenden Wellenfolge 7.usaiiimeiigesetzter Schall, eigent- licli gar keine Tonhohe bat: so wird die Ursaclie der walir- genommeiieil Verschiedenheid dcr T h e sogar i n dein ge- nannten Uinstandc alleitb zu suchen seyn.

Untersuchen wir daher zunlchst eininal die einfachsten der hierbei inoglichen Falle etwas n”h a er.

Vergleicht man z. B. zunachst den Fall, wo der H6rende und der Schicfsende beide in gleicher Entfernung a voni Anfauge der Briicke stehen, init demjrnigen, xvo zwar der Schuf. in dcr Entfernung a erfolgt, der Horer aber am Anfunge der Briicke selbst, iiii Dunkte g (Fig. 4, Taf. VI) sich befindet: so ist die Linie e g (wenn wir den Schiefsen- deli in e annehinen) = a, rind h g (wenn h den zuii4cllst auf g folgenden Stab des Gitters vorstellt) = 1 ; - unter der scbon oheii gernachteii Voraussetzung namlich, d a k wir uns die Entfernung e g durch den Abstaiid der Stabe als Langeueinlieit gemessen denken. Fur den in e , bei dein Schiitzen, stebenden Harer wird sonach tIer erste vernoin-

8. 6.

371

mene Stofs den W e g e g t g e , der zweite den W e g e h + h e zurlickzulcgen liabeii, und es wird also die Wegdifferena der beiden ersten Stsfse = 2 e h - 2 e g = 2 ( e h - e g ) = 2 ( V n 2 i - a ) seyn, und diese Wegdifferenz bestimmt die anfangliche Wellenllnge (und solnit auch die anfaag- liclie HBhe ) des vernommenen Tones. Steht dagegen der Hiirer in g , mahrend der Schiefsende iu e bleibt, so hat der erstc von Jenem vernommene Stofs blofs den W e g eg, der zweite den W e g e h + h g zu macheu, und die ent- syrechende Wegdifferenz ist also = ( e h + h g ) - e g = V a 2 + l + l - a , oder = ( Y a * + I - - ) + I . Ver- gleichen wir beide Wegdifferenzen mi& einander, so ist bekanntlich im Allgeineinen (d. h. init Ausiialiine des bier nicht eullssigen Wcrthes a = 0 ) I' a'2 + 1 < a + 1, dem- nach auch I' a' + 1 -a < I , und folglich

(welches j a die beiden gefundenen Wegdifferenzen wareii), d. 11.: Es ist fur den Aufang des Tones dessen WeZZmlunge kleiner, wenn der Hiirende iii e beim Schiefsenden, als wenn er in g beiin Anfauge des Gitters steht: der Ton wird irn ersten Fnlle hoher beginnen milssen, al.9 im letateren, - was zwar bei der beschriebenen ersten Wahrnebmung des Pha- iioinens nicbt beachtet, aber bei den uuteii zu besprechen- den spsteren verificirt ward.

Dassclbe Resriltat liefert iibrigens auch scbon die ein- fache Betraclitring der Fig. 4 , Taf. VI. Denn da, wie in jedcin Dreiecke, e h - e g < g h , d. h. in unserem Falle < 1 ist, so wird auch 2 ( e h - e g ) < ( e h - e g ) + l , d. b. < ( e h + h g ) - e g seyn inussen: die Wegdiffercnz der beiden ersten S take wird also im ersten Falle, wo der HBrer beiin Schiefsenden in e steht, die kleinere, und somit die Toilhahe die grofsere seyn.

Denkeii wir uus nun ferner, dafs der Harer, wah- relid der Schiefsende bestandig von e aus abfeuert, all- mahhlich von e bis g spaziere, so wird sich schon zum Voraus erwarteii lassen, dafs der zu Anfange von ihm vernommene

___- __

-_-

2(V-i - a ) < ( V + 1 - (I) + 1 ,

tj. 7.

24 *

372

hb’here Ton nicht irgendwo auf seinein Wege ploldich in den zuletzt veriiommenen tieferen tibergehen, sondern dafs dieser Uebergang ein stetiger, ein allmlhlicher seyn werde, - und diefs bestatigt auch die genauere Betrachtung der Sache. Denn ware z. B. der von e nach g wandernde Htirer in irgend einem zwischenliegenden Punkte f (Fig. 5, Taf. V I ) seines Weges angelangt, so betragt fur ihn nun- mehr die fragliche Wegdiffereiiz der beiden ersten Stiifse ( e h t h f ) - ( e g t g f ) , oder, wie inan aach schreiben kann, ( e h - e g ) + ( h f - g f ) , d. 11. wenn man die Ent- fernung g f = b setzt:

Nun wird aber bekanntermafsen die Differenz 1/ a? + 1 -(I desto unbedeutender, grofser a ist ’), Es wird also hier, wo b < a ist, ohne Zweifel ( V b z + 1 - b ) > ( V a2 + I - a ) seyn, jeder von beiden Ausdriicken aber (wic schon in tj. 6 erwahnt worden) e I . Wir haben also, wenii der Scllufs in e stattfindet, fur die anfangliche Wellenlange des ent- steheuden Reflexionstones, wie dies’er 1) inegehbr t wird . . . ( T / a ~ + 1 - ~ ) + ( ~ u ’ ~ + l - u ) ,

__- (1 / a2 4- 1 - a ) + ( V b2 + 1 - b) .

- __ 2) in f ” . . . ( V a * + l - u ) + ( I j b ~ + l - b ) , 3) in g ” . . . ( V r n - a ) + l Da aber die je ersten Glieder dieser drei Ausdriicke glcich sind, und die je zweiten i n der gegebenen Reihenfolge grorser werden : so ergiebt sich hieraus init Nothwendigkeit, dafs fiir den von g nach e wandernden II6rer der Anfang des vernommenen Tones desto tiefer ausfallen iniisse, jc weiter Jener sich von e entfernt und dem Punkte 9 ge- ntihert haben wird.

Die (an- fiingliche ) Hohe des Reflezionstones ninarnt, bei gleicher Eet- fernung des Schusses von dem Gitter, wit der wachsenden Entfenung des Hb’rers von demselben au; was gleichfalls durch die spater zu erwahnendeu Versuche bestatigt ward.

Wir haben also hiernach das neue Gesetz:

- 1 ) So betrjgt E . B. 1/ 4 + 1 - 2 noch 0,236; 1/ 9 + 1 - 3 our 0,162; v 25 + 1 - 5 nur 0,099; und )‘ 900 -+ 1 - 30 nur noch 0,016 U. s. W.

373

W e r die rein geoinetrische Betraclitung vorzieht, kann iibrigens auch hier dadselbe Ergebnifs bei einem Riickblicke auf unsere vorige Figur ( 5 ) aus dieser ableiten. Denn da eiiierseits h f < h g + g f , oder h f - g f < h g , so ist auch ( e h - e g ) + ( h f - g f ) < ( e h - e g ) + hg , oder, wie man dafiir ebeiiso gut schreiben kann: ( e h + h f ) - ( e g + g f ) < ( e h + h g ) - e g . Erslereu aber, namlich ( e h + h f ) - ( e g t g f ) , ist die anfsngliche Wellenlange des in f ver- nommenen, - uud Letziteres, nainlich ( e h + h g ) - eg , ist die des iu g hbrbar werdeuden Tones: die Wellenlange des letzteren isl also die grofsere, d. h. der Ton selbst der tiefere.

Ebenso iEt andererseits e h ( h f + e f , oder e h - e f q h f , uud folglich auch e h - e f - g f < h f - g f , oder e h - e g ( h f - g f , und demnach auch 2 ( e h - e g ) < ( e h - e g ) + ( h f - g f ) , oder, wie man ebenso gut scbreiben kann: 2 ( e h - e g ) < ( e h + h f ) - ( e y t g f ) . Ersteres aber, iiamlich 2( e h - e g ) , ist offenbar die anfangliche Welleu- lange des in e vernoinmenen, - uud Letateres, namlich ( e h + h f ) - ( e g + e f ) , die Wellenlange des in f hbrbar werdenden Tones: die des lelzteren i s t somit die grofsere, d. h. der Ton selbst der tiefere.

Auf ahnliche Weise liifst sich leicht fiir jeden awischen e und f liegenden Punkt zeigeii, dafs der daselbst vernehm- bare Ton tiefer als der in e, abcr hoher. als der in f ge- hbrtc s e j n miisse, dafs iibethaupt die Tonbbhe, fur den von e nach g wandernden Hdrer, aach einem stetigen Ge- setze abninamt.

Wir haben uns bei ErBrterung der Frage, wel- chen Einflufs die Stellung des HOrenden, d. h. seine Ent- fernung voin Gitter, auf die Hbhe des in sein Ohr drin- genden Reflexionstones iibe, bisher auf die Betracbtung des Anfangs dieses Tones beschrankt. Da aber, wie oben Be- zeigt, die Hbhe desselben wahrend seines Tiinens wechselt, so wird es sich nun zunachst fragcn, ob ein ahnliches Gesetz auch fiir die im Verlaufe des Toues hervortretendeii Wellenl5ngen, z. B. fiir das Ende desselben gilt.

8. 8.

374

Vefgleichen wir auch hier zunacbst, fur eine unverander- liche Entfernung ( e g z a ) des Schiersenden vou der Brucke, die beideii Falle miteinander, wo der Hiirer gleichfalls i n e, und wo er in g (beim Anfauge des Gitters) steht.

Nehinen wir an, der Stab i des Gitters (in Fig. 6, Taf. VI) sey der n te (nach der oben vorausgesetzten Zghlungsweise), uiid k der ( n + 1 ) te, so wird, fiir den ersten der geuann- ten Falle, die Wegdifferenz der beiden letzteu von den Staben i und h. herruhrenden Stiifse = 2 e k - 2 e i oder 2 ( e k - e i ) = 2 [ v m . & T P - - vui.--,] seyn.

Fur den zweiten Fall dagegen, wo zwar der Schiefsende uoch iu e, der HBrer aber iu g steht, wird fur dessen Ohr die Wegdifferenz der beiden letzten Stiifsc = ( e k + k g ) - ( e i+i g ) = ( e k + k i + ig ) - (e i + i g ) = (ek+ k i)- e i seyn, das ist = [m+.l>i + 1 J - 1/ az + n2 oder [ V a' + (a + 1,2 - 1/ a' + n*]+ 1. Vergleicht man diese beiden Wellenl~ugen miteinander, namlich 2 [ az+(n+ 1)' - v m ] und [va'+(n+l)' - v . . G * - ~ r 6 ~ ] + 1 , SO crgiebt sich leicht, d a t letztere'die grofsere, d. h. dafs der Ton in g der tiefere ist, weil nainlich offenbar die Zahl 1 griifser ist , als 1/ a2 + ( n t 1) - l'aT-+-$ , und folglich auch noch, wenn man beide Griifsen uin die letztgenannte aermehrt, die erste Sunime grdfser bleibeii wird, als die letzte ').

- .~

1 ) Dafs wirkliclr 1 > aa + ( n + 1>. - v 7 G ist, beweist sicli Ieiclrt. * Damit n h l i c h diese Uogleiclrheit stattfinde, mub, weno man der Kiirze wegen statt den letzteren Ausdrucks wieder v IC - 1/v sclireibt,

uad beiderseits quadrirt , 1 > I( + u - 2 l /u i seyn , oder

oder

oder

z V t l a > ( U + W ) - l ,

2 (I' + .) > ( u - v y + 1.

412) > ( u + v ) * - 2 ( u + v ) + 1,

Diese lelztere Ungleiehheit findet aber in der 'Tllat statt. Denri da

zc = a2+ ( n + 1)'= a a + n 2 + 2 n + 1

v = a' + n2, und

also u + u = 2 ax -t 2 2 + 278 + 1

375 Uebrigens ergiebt sich dieselbe Ungleicbheit auch ohne

Rechnung schon aus der Bctrachtung der Figur. Denn da e k < k i + e i , oder e k - e i e k i , oder e k - e i e k g - i g ist, so wird auch 2 ( e k - e e i ) < ( e k - e i ) + ( k g - i g ) , oder, wie inan auch schreibea kann, f l ( e k - e i ) < ( e k + k g ) - ( e i t i g ) seyn. Ersteres ist aber die V\7elleiilauge des in e, - Letztcres die des in g liarbar werdeuden Tones. Die letztere wird also die grb[sere, d. 11. der am Anfauge des Gitters selbst ( in g ) vernotnt~~ene Ton wird auch bier der tiefere seyn.

Es ergiebt sich sonach das Gesetz, dafs auf das Ende des Toms (falls inan deii Stab k als den letzten des Git- ters betrachtet), wow g aus gehort, tiefer b y e n w i r d , als von e aus.

5. 9. Gehen wir jetzt (auch fur das Ende des Tones, wie in 9. 7 fur dessen hnfang) zur Vergleichung des nittleren Falles iiber, w o der Hiirer sicli weder in e beim Schiefsenden, iioch in g beim Aufange des Gitters, soudern in eiuem dazwischeii liegendeu Punkte f befindet (Fig. 7, Taf. Vl), so wird sich auch hier die nahe liegcnde Erwar- tung rechtfertigeo, dafs der vernomlncne Ton seiner Hohe iiacli gleichfalls owischen deli i n e und g gehilrten liegeii werde.

Setzen wir namlich arich hier, wie abeu, die Entfcr- iiungcn eg = a urid f g = b, so ist dcr W e g des vorletzten oder n ten Stokes bis zuin Ohre = e i + i f , u~ id der des letzten oder ( n + 1 )ten = e k + k f , demnach die Diffe- renz Beider = ( e k + k f ) - ( e i + i f ) , oder, was dasselbe ist, = ( e k - e i ) + ( k f - i f ) , d . i . :

und

ist, so w i d drr zur Linken bteliende Aosdruck

imd drr reclits stelieode

clemnaeli der erhlerc uni 4a’ grijyser, wornit die obeo beliauptele Un- gleiclilieit (mit AusscliluL cles cinzigen , liier unzul~srigen Werthes von a = 0 ) erwiesen ist.

u -- 2) = 2 I1 + I

2( u + a ) = 4aa + 4ria + 4 n f 2 ,

4 na 4- 4 11 4- 2 , ( U - a) ’ -k 1 =

376 t-

[ 1 / a ? + ( n + i ) 2 - 1 / ~ 2 + n P ] + [V b1 + ( n + i y - ? b 7 + n z ] . Diefs ware soiiach die Vl'cllenlaoge, welche dem in f hor- bar werdenden Tone an seinem Ende (falls namlich der Stab k der letzte ist) zukommt. - Flir den iu e vernoin- tneiien dagegeii hatteii wir in 3. 8 gefundcn:

2[Vca2+(n+ I ) ' - vaat.l-J,

[ . V a ~ ~ + ( n + I ) ' ~ - V a ? t ] + l . iind fur den i n g vernommenen:

-___

Vergleichen wir diese drei Wellenkingen mit eiiiander, SO zeigt sich wf ganz ahnlichc Weise, wie oben, dafs va2 +(n+l)' - I/-a? 4- nz desto kleiner wird, jc griifscr a ist I), daQ also, da b ( a ist, auch [ 1 / a z - l - ( n t I ) 2 - V ~ " ~ ] + [ l / b 2 + ~ n + 1 ) 2 - 1 / b 2 + t l t Z ] grofser segn muFs, als 2 [ i / a i +(n+1)2 - V7u2+n2], dagegen jeden- falls kleiner als [ 1 / ~ ~ + ( n + l ) ~ - 1/a'n"]+l.

Die Wellenl~inge des i n f vernommenen Tones wird also (auch am Ende desselben) ihrer GrsLe nach i n der That zwischen deli Wellenlangeii des in e urid des io 9 gehiirten liegen, d. h.: der Ton mird tiefer seyn, als der in e , aber hiiher, als der i n g rernominene; ganz wie wir dicfs aricli fur deli Anfang des Toiles gefunden.

A u f das namliche ErgebniCs fiihrt ubrigens auch hier schon die blorse geometrische Betrachtung uiiserer Figur. Da namlich cinerseits, nach eiiiein bekannten elementaren Satze , die beideii Diagonalen eines Vierecks zusaininen stets gr6fser sind, als je zwei gegeniiberliegende Seiten desselben, so wird ( k f + e i ) > ( e k t i f ) , folglich auch

- -.

-__ 1) So is1 2 . B. ~'.5z~1~9-.~5'+9'=~125-~10B~11,180~34-

10,29563=0,88471;dagcgen V 6 ' + 1 0 ' - V 6 2 + 9 " = ~ 1 3 6 - ~ i 1 5 =11,66190- 10,81665=0,8~j25;fc:iner 1 !102+101-~10 '+-92 = dcsgleiclien

V 2 T + X i - p'2(1.=9111/500- 1/481=22,36068 - 21,93151 =0,42897, u . . s. w.; also iede folgendr dieser Diflcrenzen blriner, a l s die zunichst ri~~Irt .rgrgai~gcne.

___ _- -__ ___ .. -

'LOO - v' 1YI = 14,14214 - 13,45362 = 0,68852;

3 it ( k f - i f ) > (ek-ei), und also auch ( e k - e i ) + ( R f - i f ) > 2( e k - ei) seyn: d. h. die Wegdifferenz der beiden letzten in f vernuminenen Stbbe wird griifser seyn, als die der in e vernommenen, oder: der in f geliilrte Ton wird der tiefere seyn. - Und da ferner, andererseits, ( k f - i f ) < k i , oder < ( k g - i g , demnach auch (ek-ei) - + ( k f - i f ) < e k - e i ) - i - ( k g - i g ) ist, Letzteres aber die WellenlSnge des in g , und Ersteres die des iii f ver- nehmbaren Tones bezeichoet: so wird dieser der hohere seyn. Er wird also (auch an seiuem Ende) szoischen dem in e und dem iu g gehilrten liegen.

Der ganze Gang dieser Untersuchung zeigt iibrigens, d ine dafs wir in weiteres Detail eii~zugeheti brauchteu, augensclieinlich, dafs uiit dein Niiherriicken des Puuktes f nach g hin die fragliche Wel len l~ugc stets griirser wer- den, - d. h. dafs fur das Ohr dcs von e nach g hin wau- dernden Hllrers auch das Ende des Tones stets tiefer und tiefer klingen wird; eiae Tliatsache, die gleiclifalls, wo iiiilglich, durch den Versuch zu besttitigeu war.

Wir batten im Laufe der letzteren Erilrteruo- gen stets angenommen, dafs der iu k stehende, ( n t l ) te Stab (Fig. 6 und 7 Taf. VI) der letzte des Gitters sey. Doch war von dieser Annahme nirgends ein das Eider- gebuils bedingender Gebrauch gemacht worden. Alle ge- zogenen Schlufsfolgerungen gelten demnach auch danii noch, wenn der Stab k nickt der letzte, sonderii nur in den ver- glichenen Falleu der gleichvielte, ( n + 1 te) ist, und wir kiinnen somit das gefundene Resultat uubedenklich aiif die ganze Dauer des Reflexionstones ausdehnen. Dieser Ton wird also nach seiner ganzen Dauer dcsto tiefer klingen, je weiter sich der Hbrer in der Richtung e g unserer Fi- p e n vom Standpunkte des Schutzen entfernt und dein Anfange des Gitters uahert. Genauer noch liifst sich diefs Gesetz, init Riicksicht auf die verknderliche HBhe jedcs cinzelnen Tones, folgenderinafsen ausdruckeu. Verstehen wir narulich unter deli 1) entsprechendera Stellen ~t zweier sol- cheu Tiine diejenigen einzelneii Stafse oder Welle~, welche

Q. 10.

3 78

in beideu durch denselben Stab des Gitters hervorgebracht werden, so lsfst sich das gefundene Gesetz bestimmter so formulircn: dals der veriionimene Reflexionston an allen entspreclienden StelZen desto tiefer ausfallen musse, j e naher, uiiter iibrigens gleichen Uinstiindeu, der Horer dem reflec- tirendeta Gilter konamt. (Diese letztere Formuliruiig schliefst namlich riiclit aus, dafs irgend ein Theil des i n grofserer Nabe beiin Gitter veruehmharen Tones deuiioch hoher seyn konue, als irgend ein, iiicht entsprechender Theil des in griifserer Ferne gehiil-ten, - was auch in der That reclit wolil inoglicli ist. Eine aiidere Frage wurde aber freilich die seyn , ob jeiie 2) entqwechenden Stellen (C zweier vergli- cbenen Tiiiie auch diejenigen Stelleii seyeii, die voin Be- ginn des Tones an um gleiche Zeitiiitervalle eiitfernt lie- gen; - eiiie Frage, die, wie sich jetzt schoii erratben Iafst, zu serneinen seyn wird.)

Ein ganz ahnliches Gesetz, wie fur die Hohe der fragliclieii Tulle, - eine iilinliclie Abhangigkeit der- selbeu iijlinlich von dem Abstandc des Miircrs vom Gitter -, ergiebt sich (wie wir liier sogleich einschalten wollen) auch fiir die Dauer dieser Tiiue. Da iiainlich diese Dauer offeenbar eiiigeschlossen ist zwischen detn H6rbarwerden dcs ersten und des Zitaten Echo’s oder reflectirteu Stolses, so wird dieselbe folgendernialsen zu bcstinimeii seyn.

Bezeicliueii wir wiederum wit e (Fig. 8 ) den Piinkt, voii w elclrem der ursprungliche Scliall ausgeht, so erfolgt fur den gleiclifalls in e stelieiideii Horer der erste vernehm- bare Stofs, naclidem der Schall deli W e g e g + g e , - und der letate, iiaclidein er den W e g ek + ke zuriickgelegt hat; d. 11. h i d e St6lse werdeii fur das in e hefindlichc Ohr tiin so vie1 Zeiteinlieiteii auseinandcr liegen, als der Schall bei seiner regelm~fsigeii Fortpflanzung in der Luft gebraucht , uin die Differena der beiden genannfen Wege, die Differenz 2 e k - e g nainlich, zuruckzulegen.

Befiudet sich dagegen der Hbrer nicht in e beiiii Schiitzeii, sondern z. B. in f , so hat der erste hier vernehmbare Stofs den W e g e g + g f , der letate den W e g e k + k f zurlick-

8. 11.

279

zulegcn, und die Dauer des ganzeu Toiles wird sonach in Ihnlicher Weise bestimmt werden durch die Wegdifferenz ( e k + k f ) - ( e g t g f ) , odcr, was dasselbe ist, ( e k - g e )

Steht endlich der Hirrer i n g heiin Anfange des Git- ters, so hat der erste veriieliinbare Stofs iiur den W e g e g , der letzte aber den W e g ek -+ kg zuriickzulegen, und die Dauer des ganzeu Tones bestimmt sich iiiinlnehr durch die Differenz ( e k t k g ) - g e , oder, was dasselbe ist, ( e k - g e -I- kg.

Vergleiclieu wir nun diese drei Wegdifferenzen init- einander, iiamlich fiir den Standpuukt:

4- ( k f - g f ) .

e des Hihers . . . ( e k - g e ) + ( e k - g e ) , f ” * . . . ( e k - g e ) + ( k f - g f f ) ,

. g ” )J . . . ( e k - g e ) + k g , so hiingt deren Grbfsenverhaltnifs, weil das erste Glied iri alleri gemeinsam ist, nur rom aweiten Gliede ab, des- sen Ungleichheit in die Augen fallt. Es ist nawlich of- fenbar ( e k - - y e ) < ( k f - g f ) < k g ; - d. h. die fragliclien Wegdifferenzen nehmen au, je nachdem die Entfernuiigeii e g , f g , . . . des Hihers voii dem Gitter kleiner werden. I)a aber diese Wegdiffereiizeii die Dauer des vernoininenen Tones bestimineo, so gilt dasselbe auch von der Letateyen.

Fast noch einfacher ergiebt sicli indessen dasselbe Ge- setz als eine blofse Folgerung des vorigen. Da n#mlich die Tonhohe, sowohl am Anfange, als am Ende, und iiber- haupt an alleii J’ entsprechenden Stellen (I des Tones desto geringer , - oder, was dasselbe hesagt, die Wellenlange desto grofser ausfallt, je inehr sich der Hbrer den1 Gitter iiiihert, und doch die Anaahl der Wellen oder eiiizeliieii Stbfse in allen Fallen dieselbe bleibt, (weil ja an jedem der Gitterstabe eine solche Welle entsteht): S O wird die Dnuer des Toiles iin Allgerneinen der Wellenlange propor- tional, d. h. sie wird desto yriifser seyn iiiiisseii, je liefer der Ton, - und folglich, j e gerilzger die Entfernztng des Hiirers von dem Gitter ist. Auch d i e t Gesetz wiirde durch die spiiteren Versuche bestatigt.

380

5. 12. Keliren wir nun noch einmal zur Betrachtung der Wdlenlange oder resp. Schwingungsgeschwindigkeit der fraglichen Toue zuruck, so lasseu sic11 iiber dieselbe leicht iiocli ein yaar weitere Gesetze ableiten. W i r haben bis- her nur solclie Fglle besprocheu, i u welcbeu der Abstand des Horers von dew Gitter kleiner, oder weuigsteus nicht grufser war, als der des Schiefsenden. Betracbteu wir nun auch den umgekehrten Fall.

Nehmen wir z. B. an, es bezeichne in Fig. 7 Taf. VI iiicht mehr e , sondern f den Urspruug des Knalls, und der Horende befinde sich dagegeu in e. Es wird in die- sen] Falle der durch den Stab i Irervorgerufene Scballre- flex im Gauzen den W e g f i + i e , der beim folgenden Stabe k entsteliende aber den (langeren) W e g f k t k e zuruckgelegt haben, sobald er im Olire des Hbrers au- laugt. Die Differenz dieser Wege , welche auch hier die Welleulange des Tones an der betreffeuden Stelle bezeich- net, wird also = ( f k + k e ) - ( f i t i e ) seyn. Fur den uingekelirten Fall aber, wo der Schbtze in e und der Horer in f stand, war diese Wegdifferenz oder Wel len lhge = ( e k t k f ) - ( e i + i f ) . Da aber beides offenbar das- selbe ist, so ergiebt sic11 das eitifaclie und wichtige (gleich- falls bereits durch den Versuch beststigte) Gesetz: die Tonhohe bleibt ungeandert, wenn der Horende und der Schie- fsende ihre Platze vertauschen.

3. 13. Aus diesem Gesetze crgeben sich nun sofort iloch eioige wichtige Folgerungen.

Es war oben gezeigt worden, dafs, wenu audeis uiisere Tlieorie uberliaupt richtig ist, fur gleichbleibende Eutfer- nungeii des Scliiefseudeu v01n Gitter, jede Anndherung des Z f ~ r e r s gcgcti dasselbe ein Tieferwerden des von ihm ver- iioininenen Toues ( wahreud dessen ganzcr Dauer) zur Folge liaben miisse. Nach dein soebcu gefundenen Ge- setze V O I I d t r Vertauschung beider Orte abcr ergiebt sich daraus sofort dcr weitere Sclilufs, dafs auch, bei gleich- bleibender Entfernung des Horendcn von dein Gitter, jede Annaherung des Schiefsenden gegen dasselbe von e i n m Sin-

38 1

ken des Tones begleilet seyn mq's. (Aucli liiermit zeigtcn sich die epater angestellten Versuche fhereinstimmend.)

Halt man endlich die beiden letzteren Satze zu- sammen, so folgt daraus roi l selbst das weitere Gesctz, dafs der vernommene Ton noch urn so tiefer erklingen niiisse, wenn der Horende und der Schiersende sich gleich- zeitig dein Gitter iiahern. Denii denkt man sich beide Veranderungen successiv vorgenonimen, d. h. staiid z. B. (in Fig. 6, Taf. VI) bei cinein ersten Versuche der Schie- Esende und der Hbrer beisammen in e , und begiebt sich nun Einer von Beiden nacli f , so wird schon diefs nach den angefiihrten Gcsetzen ein Sinken des Tones zur Folge haben; - und schreitet nuninebr auch der Andere von e nach f vor, so wird der daselbst vernoinmene Ton aber- muis tiefer werden: - d. h. die Tonhohe nazcrs, wenn der Schiersende mit dem Horer in der Richtung e g fortschreitet, in noch rascherem Verhallnisse abnehmen, als w e m iiur Einer von Beiden sich dem Gitter nabert.

Dafs iibrigens diese gleichaeitige Abnahme ( der Tonh6hc und der E n t f c r k g des Schiitzen oder Hiirers vom Gitter) eine einfache Proportionalitiit sey , wurde naturlich hier, wie allerwarts, ein sehr voreiliger Schlufs gewesen sryn.

3. 13. Um vielinehr das Ablrangigkeitsgesetz dieser gleichzeitigen Abnahme nicht hlofs iin Allgemeinen beurthei- lea, sondern auch, wo mbglich, experiineiitell verfolgen zu kbiiiien, versuchte ich, die nahere Untersuchung desselben sofort auf den rorliegenden concreten Fall, . d. ti. auf die gegebenen Dimmsionen des Gitters an der bcschriebenen Eisenbahnbrucke zu beziehen, beschrankte niich jedoch da- bei, der Einfachheit wegen, vorerst auf den Anrang des Tones, welche Beschrankung uin so zuliissigcr erschiea, weil, wie bemerkt, die Tonstiirke sofort von jenein Anfaiigc an sehr rasch abnimmt.

Ich dachte mir zu dem Ende auf der Richtung g k des fraglichen Gitters (Fig. 9 , Taf. V I ) eine Senkrechte gw von unbestimlnter Lkinge errichtet, welcbe die fur die Beob- achtungen bestimmte S t a n d h i e vorstellt, uud auf dieser

§. 14.

'

382

von g aus @ich grofse Strecken g e = ee, = V W . . . . ab . geschnitten. Icli naliin ferner, wn leicht ansfulirbare Mes- sungcn zii hnhen, jcden dieser Abschiiitte gleich einer der 9 Hauptabtheiluozgen des beschriebenen Bruckengelanders, d. h. = 132 Stnbtlistnnzea, oder = 70' hiesigen Maafses an, wah- rend h den ')erstens (auf g folgenden) Stab, also g h den Abstnnd je zweier benachbarten Stabe vorstellte. Der Eiii- fnclilieit wegrn wurde auch hier der letztere Ahstand ( g h ) als Einheit dcs Lsugeninaafscs betraclitet, so dafs denigemafs g e = 132, gv = 2 . 132 = 264, gw = 3.132 = 396 . . . , gesetzt ward.

So lange es sicli nun nicht uin absolufe Tonhohen, son- dern nnr a m Vcrgleicliung derselben, d. 11. urn ZntemalZe handelt, (die jn iiberdiefs ohne Vergleich lcichter zu veri- ficireii sintl, nls jene), ergiebt sich noch cine weitcre Ver- einfachung dadurch, dafs iiian als Zeiteinheit nicht, wie bei sonstigeii akustischen Untersuchungen , etwa die Sekunde, sondcrn geradehin dasjenige Zeitintervall anuimmt, welches der Schall bei nortnaler Fortpfianaung in der Luft gebraucht, urn die' angenommene Lungeneinheit ( in unserein Falle deii Abstaud g h ) suriickdegen. Man hat dadurch den Vortheil, dafs inan diesetbe Zaht, die irgend cine raumlichc Lsnge hezeichnet , geradezu aucli fur die Zeitdauer gebraiichen kann, wahrend welcher der Schall diesc Lziige zurijcklegt ; dafs also z. B. in iiiiserem Falle jeder fur die raumtiche Wellenlange eines Tones gcfuiidene Ausdruck auch zugleich fur dessen Schininguagsdauer gelten kanii , (wlhrend die Reductiou des Letztereti auf Sekunden u. s. R., wo sie er- fordert wcrden sollte, keine Schwierigkeit hat).

Neiint inail iiuu z. B., wie wir euch bisher getban, den Abstand des Schiekenden von der Eiscnbahnbriicke a, (ge- inesscn nach der erwahnten J,iingeneinheit g h), und ehenso den des Horenden b, so ist, wie schoii oben gezeigt, die Wellenlunge (also untcr den gemachten Voraussetzungen auch die Schmingungsdauer) fur deii Anfang des Tones ausgedruckt durch die Formel :

( V a2+1 --a) + ( V bZ+l-bb),

383

wofiir mir der Kurze w e g e ~ ~ sclireiben wollen: 5 + y. (Vergl. oben 8. 7) .

Zuni Behufc einer vorlaufigen Beurtheilung des Gesetzcs, iiach welchem der Toil init der Zunahme von a oder b (oder von Reiden) hillier wird, berechnete ich nriii eine Anzahl von Wertlien der Griifseri 2 und y, und zwar i n s Resondere ( zulii Zwecke einer experitnentelleii Controle derselben) fur die einzelneii Abschnittspunkte e, v, 20, . . . . der Standliiiie in Fig 9 Taf. VI. Bezeichne ich der Kurze wegeii den Abstand g e ( = e v = v w . . .) init dein Buch- stabcn d, (so dafs d=132), so wirtl z. Iz. fur a=d, x= 1/ 132a + 1 - 132=0,0033, fur a = 2 d , z = \ ’ d . 1 3 P t I - 2 . 1 3 2 = 0,0019 mid so fort, iiach folgender Zusamnien- stellung:

-

riir n (oiler b ) = I wild .r (o i ler y ) = 1

d I 0,0038 2 d i

6 d 1 0,0007

0,0019 0,oo 14

i 0,0010 0,0008

3 1 i 4 d 5 1

‘ i d ! O,U006 8 d I 0,000.5 9 d 0,0005

10 d I 0,0004

Es wurden sich schon hieraus einige specielle Folge- rungen ziehen lasscn. Z. n. fur a= b = d wiirde die WellenlYnge des fragliclien Tones = 2.0,0038 = 0,0076; fur a = b = 2d wiirde sie = 2 . 0,0019 = 0,003S, d. 11. bei doppelter Eiitferiiung des Horenden und Schiefsenden von dem Gitter murde der Ton eine g a m e Octase hoher be- giiiiieii ti. s. w. Ebenso niiifste der Ton fur a = b = 7 d die nuchst hiihere Quinte des fur a = b = 5 d vernoininenen seyu. Wurde ferner z. B. a = 3 d, und b = 4 d, so wiirde die Wellenlange m + y = 0,0014 + 0,0010 = 0,0024, da- gegen fiir a = 5 d , und b = 10d wurde m + y = 0,0008 + 0,0004 = 0,0012, demnach halb so grofs, als im vorigcn

384

Fallc, also die hbhere Octave des dort vernominenen Tones,

Es wiirde uberhaupt leicht seyn, cine kleine Tabelle zusamlnenzustellen, aus welcher sich das Interval1 der in swei beziebigen Fallen entstehenden Tone, so zu sagen, ablesen, oder wenigstens sofort beurtheilen liefse. Man brauchte namlicli nur ein Viereck iiach Art der pythago- reischcu Tafel (des *Einmaleins~~) etwa in 100 Felder zu theileir, dann z. B. von der linken oberen Ecke an soivolil die liorizontalen, als die verticalen Columnen der Keilic iiacli mit d, 2 d , 3d, . . . .* bis 10d zu bezeichnen, und i n jedes der 100 Felder die Summe dejenigen awei Werthe fur x (oder y) einzutragen, welche den Bezeichnungen der liorizontalen und der verticalen Columne, zu der das Feld geliort, cntspricht: so liatte man ein Schema, aus wel- cliein sich die Wellenlunge des Reflexio~istones fur beliebige Werthe von a und b (zwischen d und loo?) ablesen, und sonach, durch Vergleichung dcrselben, das Interoall fur je zwei FlilIe leicfit beurtheilen liefse.

Diefs Schema wurde, wenn man der Abkiirzung wegen iiur die vierteii Decimalen obiger Werthc als Einheit.cn cintrligt, etwa folgendes seyrr-:

u. s. w.

~

48 29 24 20 18

76 ' 57

i 46 I 27

57 38

48 ' 29

45 2G 44 25 43 21 43 24 43 23

52 1 33 i! 1 ii 22 21 18 ' 17 I6 ' 15

I 52

1: 33 28 21 22 21

1

4 4 1 4 3 1 43 25 24 24

16 15 15 14 ' 13 13 13 12 12 12 I 1 11 1 1 10 10 11 10 10 1 0 9 9 8

20 I 19 19

4d 1 5 1 1 Gd

4 F 23 18 14 12 11 10 9 9

Befande sich z. B. der Schiefsende in der Eiitferniing d (= 70') und der Hqrende in der Eutfernung 4 d (= 280') vom Anfange des Gitters, so zeigt unsere Tabelle in der ersten, resp. 4ten Coluinne die Zahl 48, d. i. 0,0048 als die nach Stabdistanzen gemessene anfaagliche Wel l en lhge

des

383

des Tones. W S r e dagegen der Scliiefseiide uin 4 d ( = 280’ ) und der Miirende iiur uin 3 d ( ~ 2 1 0 ‘ ) vom Gitter entfernt, so zeigt die Tabelle die Zahl 24, - also cineu Ton, des- sen Wellenlijnge nur die Halfte der vorigen betriige, und der sonach die hilhere Octave bildete.

Die Uebereinstimmung der j e 8 ten und 9 ten Columne dieses Scheuias, sowie auch das gleichinafsige Abnehineii der Zahlen voii der 5 tell bis zur 8 ten, sirid iibrigens offen- bar nur scheinbar, uud liabeii ihren Gruiid i i i der Uuzuver- liissigkeit dcr letzteii I)crimalen, iiberhaupt in der Uiige- iiauigkeit der zu Griinde gelegten (inittelst siebenstelliger Logarithineii bereclirieten) W e r t h e voii 2 und y.

W i l l maii genauere und zuverl~ssigere Resultate, so mird man a m lhqueinsten die zu Grunde zu Jegenderi Wer t l ie fiir 2 und y dadurrh finden, dafs man die aus- zuziehendeii Wurzeli i (v’ u2 + I - a oder vb” + 1 - b ) als Kettenbriiche entwickelt. Da namlich, wie’ scboii obeii beinerkt, z. 13. ru2 + 1 - a , (uiitcr der Veraussetzuiig

___

a > 0) , < 1 wird, so hat mail .2: = 2. , \vo a

__ - = ____--- 1 - - 1.’ u ‘1 + 1 + u = 2 a + ( Y ’ - u ’ + l - u ) I’TTX - a

I - - 2 a + - a

ist, so dafs 2 = 1 2 a + I

2n+ I T i +

init deni constanten Quotienten 2 u wird, und als ersten Ja2+ l

Naherungswcrtb A, als .zweiten 4 a Z + 1 ‘ 2 a als dtitten 8a3+4a

u. s. w. giebt. Man kanii sich aber in unserem Falle fiig- licli init dem ersten begnugeo, der zwar etwas zu grot , desseii Abweichung vom wahren W e r t h e aber, nach be-

lianiiten Gesetzen, < 2a.(4a2+ij ’ seyii inufs. DieL giebt,

I’oggendorfl’s Xnnal. Dd. XCIV. 25

3%

selbst fur den kleinsten Wcrtlr v w a, dcr bci Uerccbnuiig obiger Tabcllc vorkomiiit, iiiiinlich fur a= 132, ciiie Ab-

weichang von weniger als i6.(4.ii7i4-+ also von weni-

g e l als 0,000000055 . . . ., die deninacl~, da sie iin scldimnt- sten Falle (iiiinilich fur a = b = d ) nur hi)chste~~s wit 2 inultiplicirt vorkoinnit, unbedenklich zu vcrnachlassigcn ist.

Auf diese Wcise crhiilt uian z. B. fur n = d = 132,

Val-+ l - u a z G 4 - -0,00376787, wiihreiid der durcli wirk-

lichcs Ausziehen der Wiirzel gcfuiidciie W erth 0,00378763 liefcrt; also bis in die siebente L)ccimale genau.

Die uiiserer kleinen Tabelle zu Gruiidc zu legciiclei) Werthe frir z oder y gestaltell sich dann folgeiitlcnnafscli :

1

Fur a ( t d w b ) = 1 w i l d ( x odcr y ) =

d 2 d 3 d 4 d 5 d Gd

8 d ‘Jd

10 n

‘ i d

0,0037878 0,0018959 0,00126‘26 0,0009469 U,OOUi5i6 0,0006313 0,000541 I 0.0004535

0,0003788 0,000.1209

iiiicl zwar siiiniiitlicii bis aiif die lctztc Ueciuuale geiiau. Uic obige Tabelle fur die aufianglichc Wellcii l~ngc der ver- iioiimeiicii Tiiiic wiirde sicli dariiach Icicht airf dciiselben Grail der Genauigkeit uiiiwandeln lasscn.

Uer Haiiptaortheil dicscr zweitcu llictliodc bestelit obey I orfeubar darin, dafs, wctiii inail wirklicli 1’ a’l i- 1 - a = -

‘La

uiitl 1’ b I- I - b= - annimint, cliesc tyertbe riir x uiid

y deli rcciproken Wertheii dcr zugehiirigcn llistanzen a uiid b direct proportional werden. L)a iiuu die Summen dieser Wcrthe die WeZZenEungen ausdrucken, so haben w i r dainit ein neiies Gesett gefunden: das eiiifache Gcsetz nani- licli, dnfs, uiiter deli geuiacbterr Besclir0nliuogeii ( a und b 5 132 >, bis auf die siebenle Deciinale genau, die anhog-

1 2b

--

367

lichen Werthc der beiden, die gesuchte V\’cllenl~ingc Z I I -

saminensctzeuden Theile den aziyehiirigeii Abstiinden a rind b verkehrt proportional sind. Ein Gesetz, welclies die Beurtlieilung der eiiizelnen ini)glichcn Coinhinatioacn nnge- inein erleichtert.

5. 16. Aus diesein Gesetze, oder auch schon aus genauerer Bctrachtung der Tabelle 8. 15, ergebcn sich bereits inehrcrc weitere Folgerungen.

a ) Weiin der Hiirer stets beim Schiersenden blcibt, so ist die Tonliiihe direct proportional der Entfernung Beider aom Anfange des Gitters. (nenri die Tonhirhe i s t ja , wie die Anfangsgriinde der Akustik lehren, der Wellenlange eines Tones, - uiid diesc selbst wicderum, nach ohigem Gesetze, dcin Abstande Toin

Gitter umgekehrt proportional). Entfernen sicli also Beide urn das Doypelte vow Gitter, so wird der Tori rim eine Octaae, - entferiien sie sich iiiir urn die Halfte ihres vorigen Ahstandes, so mird er um eine Quinte hbher werden inussen u. s. w.

b ) Bleibt der Hiirer a n seinem Orte, w%hrend der Schie- €scndc sic11 entfernt, so nimvrt die Tonliiilie in einem langsameren Verhliltnisse zu, a h diesc Entfcrnuiig; - (man kilnnte vermuthen, im Verhiiltnisse der Quadrat- wurzeln dergelben, iiainentlich weiiu m a n die eiiifache Entfernuiig i n obiger Tabcllc mit der vierfachcn ver- gleicht ; bei dcr Iieunfachen dagegen trifft es nirlrt zu. Das Gcnauere hieruber soglcich).

c ) Dasselbc inufs naturlich (in Folge des in 5. 12 erwie- senen Gesetzes) aiicli stattfinden, wenn der Schie- fsende seinen Platz behauptet, und hlofs . der Hiirende sich iillni~hlich eiitfernt oder nlihert.

( I > Stchcri IIcide (Wirer riiitl Scliiitze) z. 1). i n der Eot- fernaiig 3 d , so mird derselbe Ton (von der Wellen- Iliiigc 2 . 0,0012626 = 0,0025252) zumVorschein koni- 11ie11, nls wenii z. n. 8er Eine um 2 d uiid der Anderc uni Gd voii dcni Aiifarigc des Gitters entfcrrit ist,

So z. B. :

Feriier

!I. s. w. 25 *

c

388

D a indessen die grorsen Zahlen der zu Eudc des 8. 15 erwahnteii Tabelle deren Ueberschnulichkeit beeintrlchtigeli und namentlich dus Vergleichen dcr einzeliien FIillc er- schwercn, so wird es zu diesein Zwccke vortheilbafter s eyn? die betreffenden Wer the voii x + y (uiiter der gc-

inacliten Voraussetzung x = - iind y = - ) allgetnein zu

berechuen. Nehinen wir z. B. a = itad und b =1 n d an ( w o m und ?L > I seyn sol le~i) , so liaben wir fiir die zil- gehorige aiifangliche Wellenlange des vernomiiicucii Tones

1 1 2 a 26

1 1 m+ ti , oder = - -- 5 + y = 2yd -+ 2 n d 2 ?it n d ' (i Diefs giebt z. B. fur a = 4 d uiid b = 2d , x + y = - 162

3 8 1 = G ; oder f i i r . a = 6 d und b = 2 d , a+y=-- -- 2 4 d - 3 d u. s. w.

Eine feruere Vereiufachuug ergiebt sicli iibrigens, w(:iiii

wir statt der Wellenlaiigen sofort die Tonhiihen selbst, d. i. die Scliwinguogszahlei~ einfiilireii. Da iibmlich Letztere den Welleiiliiiigeii umgekebrt proportional siiid, so kouueii wir daiin ohne Wei te rcs die Umkehrungen odcr reciproben W e r t h c obiger Bruche (d. h., allgernein ausgedruckt, den

U7er th -__ = FnTd) in unsere Tabellc aufiiehmen uiid

dabei uberdiefs, weil PS sich ja zunsclist blofs urn Verglei- chung der eiiizelnen W e r t h e handelt, der Kurze wegen den geineinsamen Factor d weglassen. ( Ehenso kiinnte iintiir- lich anch der geineiiischaftliclie Factor 2 im Zihler jeuer Bruclic megbleiben, was jcdoch iiicht im Interesse der Ueherscliaoliclikeit liegt).

Auf diese Weise finden wir denn fiir die nnfiinglichen Totrhohen selbst folgende ( ihncn proportionale) Wer tbe :

1 x + y ?I1 +?l

Fiira= 1 d 1 2 d 5 d - P

7 I 5

6 T i 6 0

3 5

u o a: a o

6 1 7 d 1 8 d 10d - I n

TT 1: 6 0

2 0

1 3

1 4 0 T i &!!

I e o +§ 10

Warum diejenigen Briiche, die in einer und derselben, von Hechts obeti nach Liuks uiiteu laufenden, Zahlenreilie dieser Tabelle stehen , slmintlich einerlei Nenner haben miissen, ( 2 . B. die diagonale Rcihe den Neniier 11, die voin drittcn Felde reihts ausgeheude den Nenner -13 u. s. w.), ergiebt sich, nebst den iibrigen aritliinetischen Eigeuschaften der Tabclle, lcicht aus der angegebenen Construction der

Briiche, d. h. aus deren gemeinsalner Grundforln .z?!!!! * - fur rn = n z. B., d. h. fur a = b, liefert Letztere die Forin

_- -m; daher die Werthe der von der linken oberen 2 1n2

2 m Ecke ausgehenden Diagonale die Reihe der gauzen Zah- len 1 bis 10 bilden inussen. Begicbt sich also z. B. der Horer nait dein Schiefsenden (oder Beide iu einer Person) der Reihe nach in, die doppelte, dreifache, vierfache . . . . Eutfernung von dem Gitter, so werdcii die vernommenen T6ne (wenigstens dereu hnfange) die Reihe der sogenatin- ten 3) naturlichen Tonleiter 1, bildeii , 2. B. die Reihe :

m+n'

t Die dritte und vierte Stufe dieser Reihe werdeu abcr

auch z. B. dann zii Geh6r kommen, wenn sich einer von

340

Bcitlen in die doppelte, rcsp. cli-eifuche, und der Andere beide Male i n die sechsfuche urspriingliche Entferiiung begiebt u. s. w. Ebenso ergiebt sich eine Anzahl vou ziem- lich einfachcn Tonverli~iltnissen unmittelbar aus dem An- hlick der lctzten Tabelle. So wcisen z. R. die in der obcrsten Zcile vorkomiiienden Briiche ;, $, :., 4 sofort die ihnen entsprcchenden Intervnlle der Quarte, Quinte, kleinen uiid grofsen Sexte u. s. w. nach, wenn wir sic nfm- lich tnit dem tiefsten vorkominendeti Tone vergleichen, des- sen Schwiagungszahl hicr = 1 gesetzt ist.

Urn nun aber auch die Verglcichung dcr verschiedencn Tiine anter sich (nicht blofs mit janein ersten oder tief- sten) iioch weiter zn erlcichtern, kann inan die sammt- lichen i n dcr Tahelle eiitlialtenen Bruche auf insglichst kleine, i h n e ~ proportionale ganze Zahlen reduciren, d. h. man iniifste diese Briiclic auf gleicheo Nenner bringen und daiin diesen weglasseu. I)a sie indessen sSmintlich die

Form %!!- habcn, wo m sowohl, als M , von 1 bis 10

wachscu kann, so rniifste der kleinste gemeinschaftliche Nenner die samintlichen eiufachen Factoreu der Zahlen von 1 bis 20 enthalteii, und wiirde daher eine sehr grofse (nffmlich 9 zifferige) Zahl werden, ein Umstand, der auch die zugehorigcn Zahlcr wicderum i n so grofsc Zahlen ver- ~vandeln w&de, daCs die vergleichende Uebersicht iiicht erleiclitert, s o n d e r ~ ~ uocli erschwert ware.

Lasscn wir dahe;, nu1 zu kleineren Zahlen zu gelaiigen uiid weiiigsteiis eiiie Anzahl iiberschaulicher, etwa durch den Versuch zu verificirender Resultate zu erhaltcri, alle diejenigeii Felder uiiscrer letzten Tnbelle , deren Nenner durch verhaltnilstnZfsig grofse Primfactoren der Ueberschau- lichkcit vorzugsweise hinderlicli werden, giindich unbeachtet, so kijnnen wir RUS dcin zu bildcndeu Producte cor Allem die Factoren 19, 17, 13 und 11, vielleicht auch noch den Factor 7, sowie den dritten der Factoren 2, und deri zwei- ten der Factoren 3, weglassen. Thun wir dieb, so erhalteii wir aus den ubrig hlcibciiden Factoren 2 . 2 . 3 . 5 die als

nc +ti

391

beclueme Eiiitheiluiigszahl seit Jahrtauseiideii bcriiliuitc rind vielfach aiigewaiidtc Zalil 60, init welcher sainmtliche Bruchc unserer Tabellc zii inultiplicireii wsren.

Dick licfcrt deiin folgende i n der That iiberscbaulicbere Z iisa in in ens t el 1 ling von Ver t i ji 1 t ii i fsza h lcii fii r die nu faagliche Hiilie der fraglichen Tone:

196 270 332 3 8 6 43’2 4 i 2 5 0 8 510 5 6 9

200 2 i i 3 4 3 400 450 4 Q 4 633 5 6 9 600

Uic kleiiier gedruckten Zahlcn sind nur annbheruiigs- wcise richtig. Es siiid diejenigen, welche sich in Folge dcr erwZlinten Auslassung der Factoren 19, 17 u. s. IV. eigeutlich niclit durch gaiizc Zalilen ausdriicken lassen. Da sie sich indesse~i nicht uin cine halbe Einhcit voii den richtigen Werthen entferncn, so infigen sic immerhin zri einer ann~licrndcn Benrtheilung der l>etreffenden 1nterval.le brauchbar seyn, und sind eben deshalb iuit aufgenoinmen wordeii.

Aus dieser Tabelle ergiebt sich nun cine NIenge einfacher Tonverhiiltnisse, die, durch den Versuch hestitigt, cine wcsentliche Stiitze unserer Theorie bilden wiirdea.

Dcr Kiirze wegen wollen wir jedocb vorerst noch eine besondere Bezeichiiung einfuhren. Befiiidet sicli nainlich in eiiiern Falle dcr Schiefsende in dcr Entfernung a = md, uiid der Horeiide iu der Entfer~iung B = n d (oder umge- liehrt, was ja dcnselben Ton liefert), in einem m e i t e n Falle der Eioe in der Entferiiuog a’= r d , und der Andere i n der Entfernung b’= sd: so wollen wir die Vergbichicng diescr bcitleii Fglle, resp. das baderaall der beiden zuiii

8. 17.

392

Vorscliein kommeuden ‘I’iine , durch dns Sylnbol !”2! he - zeichneii, (\velches also ltcineii Bruch vorstellt). So Z- B.

so11 3) der Fall t-; tt die Vergleichuug derjenigen beideii Tijne bezcichnen, welche entstehea, wenii einmnZ die Ent- fernungen des Schiefseuden und Hi)reiiden voin Gitter resp. 2 d und 4d, das anderemal resp. 3 d und 6 d betragen, also derjenigen Tone, welclieii in obiger Tabelle die Zahlen 160 uud 240 entsprechen, und deren Interval1 sonach, da diese Zalileu sich wie 2.3 verhalten, cine reine Quinte scyn mu r d e.

Nacli dieser Bezeichnungsweise finden wir deun zum Beispiel, zur Bestiitiguug des zu Ende von 9. 15 aufge-

stellten Gesetzes, dafs die Falle i;4, =, i.3 u. s. w.

reine Octaoen, die Falle ’&, ‘&, reiiie Quiuten, die

r.9

‘) 4 3 . 6

a a 3 . 3 4 . 4

3 3 G G FYlle reine Quarten, die Falle 5-4 8 ’ 8 roEse

Terzeu, die Falle :- uiid rake Sexten, dafs feriier

5.5 eine kleine Terz, - cine kleine Sexte, -- ernen 6 . 6 8 . 8 9 . 9

groken uiid

4 . 4 ’ 8 . 8 5 . 5 9 i o y o g 3 . 3 6 . 6 0 . 5 10.10 g

5 . 5 8 . 8 .

9 . 9 einen kleinen gaiizeu Ton liefert.

Eiu meiteres Gesetz iiber diese Intervalle, welches sich liier sofort ergiebt, ist aber folgendes. Auch wenii die Entfernungen des Morendeii und Scbiefsendeii vom Gitter nicht eiuauder gleich sind, sonderii iiur proportional bleibea, so bleibt deunoch das Iiitervall dasselbe, welches durch das Verh&ltni[s jener Eutfernringen bezeichnet wird. Oder, bestiinmter gesagt: Auch wenii nicht (wie in obigen Fallen) m = n und r = s , sondern die vier Grofsen rn, 78, r, s nur

proportional sind, liefert der Fall E1-Y-F das durch den Bruch

f- ( = f ) bezeichnete Internall. So liefern z. B. auch die r . 8

2 . 3 2 . 4 2 . 5 3 . 4 3 . 5 4 . 6 ’ 4 . 8 ’ 4 . 1 0 ’ 6 3 ’ 6.10 FYlle - ~ - u. s. w. reine Octavea,

393

2 4 2 . 6 4 6 3 . 6 3 . 6 3 . 9 6 . 9 5.10

ancli die Falle -4, -, -:- reine Quinten, aucli - eine 4 8 5 . 1 0

groke Sexte, auch

4. 18. Besonders leicht durcli den Versuch zu con. trolireii wiirde aber offenbar die viillige Uebereinstimmung des Tones in zwei verschiedenen Fallen seyii, von der wir aucli (abgesehen von dem in 3. 12 ausgesprochenen Gesetze)

2 . 6 3 . 6 i n unserer Tabelle Beispiele finden; so die Falle ~ - 3 . 3 ’ 1 . 4

u. s. w. Die Bedingung fur die Entstehuug eines solchen U ~ ~ i s o n o ergiebt sicli aus Obigeni leicht. Da n h l i c h uuter den gernachten Voraussetzungen die anfangliclie Wellen-

1 12ng.e des entstebenden Tones (vergl. 9. l 5 ) , 5 + y = - 2 a

+a ist, so liegt jene Bedingung fur den Fall ?!-f in der

Gleichung :

eine p o k e Terz, u. s. w.

1 r . 8

oder

mnr ( m + n ) r - nin woraus sich s = ergiebt.

2 6 So habeu wir z. B. fur den Fall 3k, wenn er eiu 2 . 6 . 3 Unisono liefern soll, s = =3; oder fur den Fall 8 . 3 - 2 . 6

4.5 unter derselben Bedingung, x = = 6 , wel- 3.X 8 . 3 - 4 . 4 ches die beiden schou obeu beispielsweise erwahnten F3lle sind. - Ferner liefert z. B. 7.2 fur den Fall eines Uni- sonos 2 = 5,94, also fast = 6, und in der That zeigt auch schon unsere letzte Tabelle fur die Entfernungeu 9 d , 5 d einerseits und 7 d, 6 d andererseits naheau gleiche Tonhohen (namlich die Zablen 386 und 388), die h6cIist wahrschein- lich vom Unisono nicbt zu unterscheiden sind. Noch etwas genauere ( wenn auch nicht absolute) Gleichklange liefern

auf ahnliche Weise die F#lle -, A- u. s. w.

4 . 4 . 3

9 . 5

6 1 0 3 9 7 . 8 4.5

39 1

9. 19. Abcr aucli die ubrigcn Iiitcrvalle koii~mc~t, d s c r dcn bereits iii 3. 17 angefiilirteii Fiillen, iii unserer Tabelle itoch lnehrfach vor. So tinden wir z. I). reiiic Quinten i u

den Fallen 2 (und folglich, nacli deln in 9. 17 ausge-

sprochcncu Gesetze, auclt 2 { s , -9 u. s. w.), (und folg-

1 1 1 . 3

2 2 3 . 3 I . 2 , . 2

2 . 4 3 . 6 4 . 8 1 . 1 2 8 2 . 1 0 4 . 5 4 . 4 ’ 6,s’ b . 8 u ’ s w*)y 2 3 ($dr 5 . j ’ $.lo’

licb auch - -

I 8 2 . 5 2 .6 feriier annaihernd reine Quintcn in h, m, 4.5, ’.’ 6.10 ’ 3 . 4 4 . 8 u. 8. w. 4.5’ 7.9

Als allgemcine Formel fur die Aufsuchung dieses Inter- valls erhalteu wir aus der nacli dein Obigeii von sclbst verstindlichen Bediogung

1 1 3 1 1 -+;= m 2. ( T + T ) die Formel:

welche z. B. fur m = n = r die specielle Formel s = 3m liefert, die sich leicht in eine Regel ubersetzen Iafst uiid

in den oben zuerst genaniiten E’iillcu ( durch Beispiele belegt ist.

Reine Quarten finden sicli aufser deli scbun vorgekom- menen, wie unsere Tabelle auswcist, irocb in den Fiillcu

1 . 1 2 . 2 I .3’ 2 . 6

u. s. w.)

u. s. w., voii deiieii sicb z. B. gain bewilders die 2.6. 3 . 5 3-33’ 5.5 drei letzten zur Verificirung durch den Versucb eignen wurden, weil namlich bei ihnen der Hiirer (oder der Schie- fsende) seinen P h t s nicht ziu oerlussen braucht. Annabenid

1 2 3 . 8 reiiie Quarten findeu sicli aufserdem nocli in F8, 5.7,

4.5 u. 8. w. (zusatnmen in inindesteus 14 Fallen). Fur die 5 . 7 Aufsuchung derselben ergiebt sich aus der Bedingunwgs- gleicliuag

395

in ahnlicher Weisc, wie oben bei deli Quinten, die Forinel: 41nnr

3r (01 + n ) - 4 inn S = u. s. w.

Die bisher reiche Auswahl wir die Geduld

angefiihrten Falle bieten bereits eiiie so von Beispielen einfaclier Intervalle, dafs

des Lesers nicht durcb Aufzalilung anderer ermudeii wolleii. Nur das allgemeine Gesctz fur beliebige Intervalle m8ge noch angefuhrt werden. Bezeiclinet man nlinlich das fragliche Interval1 durch das Verhaltnifs p : q, wo p die Schwlngungszahl des fur die Entfernungen rn und 12, - und q diejenige des ffir die Entfernungeii r uud s liiirbar werdenden Tones vorstelleii SOH: so ergiebt sicli BUS der leicbt versthdlichen Grundbedingung

die Gleichung: p . r s (m + n) = q . ma (r + s),

melcher Relation also die vier Distauzen na, n, r, s genugen

inussen, wenn das Iutervall zum Vorschein komlnen soll.

Diefs liefert die allgemeine Berechnungsforlael : P

g . m n r pr(nc+n) - q m n ' s =

von welcher die ohen angefiihrten iiur specielle Falle bilden, und inittelst der sich fur jedes verlangte Iutervall und jede drei gegebeueii Entfernungen die vierte berechneu lacst.

Sttindc z. B. in einern Falle dcr H h e r 4 Langeneiu- lieiten, der Schiefsende 6 (oder umgekehrt) vom Anfange des Gitters entfernt, in einem auderen Falle aber der Eine von Beiden 8 Liingeneinbeiteii: - wo iniifste d a m der Andere stelien, daniit der veriioinrne Ton uin eine grorse Sezte haher beginne, als im ersten Falle?

Das Verhaltnifs der grofsen Sexte ist 3 : 5 ; wir haben also in obiger Formel p = 3, q = 5 zu setzeii, wabrend rn=.i, pt=6 uud r = 8 ist. Dick giebt sonach z=

396

- 8, d. 11. der Hilreiide inuk bei deifi ;I. 8 . (4+6) - 5 . 4 . 6 - Schutzen stehen , 8 Liingeneiiilieiteii voii dcin Gitter; was denn auch iiiit iinscrer Tabellc iibcreinstirnmt, nacli welcher

der Fall das Scliwiii~iingsve~haltnifs

Endlich lafst sicli aucli ebcnso leicht eiiie all- geineine Berechouiigsregcl fur das aus oier gegebencn Ab- standen resultirende Znteroall aufstelleii. Dciin, gesetzt

dasselbe sey 2. = x, SO haben wir nach der in 3. 19 be-

sprocheiie~l Grundformcl

5 . 4 6 . 8 - - - -. - - -

288 - 5 gieht. 4 6 8 . 8 4YO - 5

5. 20.

P

p . 1 . s ( ? ~ + n ) = q . n a n ( r + s - ) ,

x . r s ( ? ? a t n ) = m n ( r + s ) , oder

uiid folglicb

cine sehr einfaclie Berechnungsforrnel, die sich auch leicht als eiii neues Gesetz in Wor te kIeiden lieke.

Sollte z. B. das Iiitervall der Falle 4x erinittelt wer-

den, so kiinueii wir, dcm in 5. 17 nusgesprochenen Ge-

setze zufolge , statt dessen in kleiiieren ZaIiIen - setzeii,

2 .10

1 . 5 2 . 2

I . 5 . ( 2 + 2 ) - 5 uiid wir haben soinit s = y = 2 . 2 . ( 1 + 5 ) - F also das Interval1 der kleinen Terz. - Oder es sollte z. B. das In- terval[ gefunden werden, welclies cntstelit, wenn der HO- rer in beidcn Fiillen an demselben Platze bleibt, und zwi- schen sich und das Gitter zwei Schiitzeii so aufstellt, dak die drei Abstande von dem Gitter bis zum ersteii Schiitzea, von diesein zum zweiten uiid voii diesein zum Hilrer ein- under gleich werden. Setzt mau hier cinen dieser Abstande = 1, so haben wir in einfachster Gestalt den Fall 1 . 3

2.3' * 3 ' ( 2 + 3 ) - 2 also das Interval1 der 2 .3 . (1+3) - 8 '

rind sornit x= kleinen Sexte.

Zum Schlusse noch ein Beispiel:

397

Der Hiirer will, stets an derselben Stelle bleibeiid, S Schiitaen so aufstelleii, dafs dieselben, indem sie nach einander abfeuern, die 8 Tiine einer gewohnlichen diatoni- schen Durscale hervorbringen, so zwar, &fs der zuerst Schiefsende diclit beiin Hiirer stehe : in wclclie Eiitfernung inussen die iihrigen gestellt werden?

M'enden wir die ani Schlussc voii tj. 19 aufgestellte

Forinel a11, so haben wir iiacli dcrselbeii "den F a l l L - n

fur die sieben Intervalle ,$ (Sekunde), ; (Terz), Quarte), 4 (Quinte), (Sexte), ;s (Septime) und 4 (Octave) aufzu- loseii. Da aber bier, nach der geiiiachten Voraussetzuiig, rn = n = = 1 ist, so gestaltet sirh jene Forinel eiufu- chcr so:

I 1 1 . x

und liefert deinnach

fur die Sekunde: x = 2 = 1;

)J JJ Quarte: x = = 2 $1 )J Quinte: x:={-= 3 1) IJ Sexte: x=;.= 5 IJ BJ Septiine: x = ' -, -15 -

uiid 3) u Octave: z = $- = Q).

1) JJ Teri : a:=;= 1;

Das Letztere Iieifst demiiach : Es ist iiberhaupt unmog- Zich eiiien zwciteii Scbutzen so weit wegzustelleii, dafs der von dein (an seinein Platze verliarrendcnj- HOrer wahr- genoininene Ton eine ganae Octaoe liiiber klange, als der durcli einen bei ilm stehenden Scliiitzeii hervorgebrachte; (wie deiin diefs auch in der Natur der Saclie liegt und sich sogar schon bei aufincrksainer Betrachtung dcr Fig. 5 Taf. VI VOIA selbst ergiebt ).

Wollte inan den letztercii Vorsucli z. B. nur fur die 6 ersten Tiine der Scale ausfiihren iind dabei die gefiin- deneii Entfernuugen (iiiit Hucksiclit arif die inelirerm~linte Bcdingung der Zulassigkcit uiiserer Forineln uberhaiipt) in gnnaen ZahZen ausdrucken, so kihinte etwa die des er-

398

sten Schiitzcil (und des Hiirers) 105’, und deingcmafs dic der folgenden der Reihc nach 135’, 175’, 210’, 315‘ und 5.25’ roin Gittec betrageu, falls iiiinlich die Stiibe des letz- tcren nicht iiber 1’ vou ciiiander abstelien.

( S c l i l u f s in1 n ~ i c l i s t c i i H e f t )

111. Iinter.~uchungen an Mineralien der Snmrnlurrg ties Hrn. Dr. K r a n t z in Bonn;

oori H. D a u b e r . (Fortsetzung zu Bd. XCII, S. 23T dieser Anrraltm.)

6. p a j s b e r g i t , ein in Ilegleitung von Magncteiscn- stein, Graiiat uiid Chlorit auf Pajsbergs E i s c n p b e zii

Filipstad in Schwedeii vorgekoiniiienes Kicseliiianganerz ist iiach einer schoii im Jalire 1851 veriiffentlichten Aiialyse von I g e l s t r i i m l ) gleich deli iibrigen bisher bekaunt ge- wordencn spsthigen Varietaten dieser Gattung clielniscli nls ein Augit zu betrachteu. Eine krystallographisclie He- stiinmung des durch seine schdne Farbc, vollkoinnienc Durchsichtigkeit, Glaiiz uiid Theilbnrkeit so ausgezeichne- ten Miuerals ist auffallender Weisc bisher uiiterblicben, iiidein man aus den Resultaten der clieinischeii Untersu- chung und der Aiialogie init solchen i\langansilicatcn, a n welcben a t d m der gleichen atoinistischen Zusainmensetzung angeblich a i d die Blatterdurchg%nge des Augit beobaclitct wordeu sirid, als selbst~~erst~ndlicli die Isoinorphie iiiit deiii- selbeii gefolgert zu haben scheint. Wenu man indefs Gelegeiiheit ha t ringsurn ausgebildete Krystallc zu scheri, v i e solclie in einem die obengeo&inten Mineralien durch- setzendea brauiischwarzen aiiiorpheii Eisenoxyclsilicat init- uiiter eiiigewachsen vorkoinmen, so ist es niclit scliwcr ails dem gZnzlichen Rlangel ai l Syminetrir, aus dcr ringlcichen 1) R a m m e l s l c r g Hnntlwiirtrrbtlcl~ tler clrrni. n l i n . V. Suppl. 59. E r d -

mnnri’s J01irii. l i r ~INCI. Cliem. LLV, 190.