beleg der vorlesung "simulation dynamischer systeme"

BELEG

SIMULATION

DYNAMISCHER

SYSTEME

Technische Universität Ilmenau

Fachbereich Technische Mechanik

Fach: Simulation Dynamischer Systeme

Thema: gekoppeltes System

Karla Carballo Valderrabano

Studiengang: Mechatronik

Matrikel: 55850

Austauschprogramm: Mexikanische

Jüngingeneure

Ilmenau,

30.06.2016

Beleg Simulation Dynamischer Systeme

Technische Universität Ilmenau Karla Carballo Valderrabano 1

Inhaltsverzeichnis

1. Aufgabe ................................................................................... 2

2. Lösung der Aufgabe .................................................................. 2

2.1 Analyse des Systems ........................................................................... 2

2.2 Parametrisiertes System ..................................................................... 3

2.3 Simulation mit Alaska ......................................................................... 4

2.3.1 Aufbau .................................................................................................................... 4

2.3.2 Ergebnisse der Simulation ..................................................................................... 6

3. Anhang 1 Modellbildung mit Lagrange ..................................... 9



1. Aufgabe Simulieren Sie mit Hilfe von alaska den abgebildeten Mechanismus. Dabei sind folgende

Fragestellungen mit alaska zu untersuchen:

o Parameterisiertes Mehrkörpermodell

o Zeitlicher Verlauf der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten bei

vorgegebener Anfangsauslenkung von Körper 1

Bild 1 Mechanismus der Aufgabe

2. Lösung der Aufgabe

2.1 Analyse des Systems

Dieses System besteht aus einen Kaste und zwei Zylinders. Die Kopplungen zwischen den

Elementen des Systems und dem Fundament werden in der folgenden Tabelle gezeigt.

Komponent 1 Komponent 2 Kopplung

Fundament Kaste Prismatische (geometrisch)

Fundament Kaste Feder 2 und Dämpfer (physikalisch)

Kaste Zylinder 2 Zylindrische (geometrisch)

Zylinder 1 Zylinder 2 Feder 1 (physikalisch)

Fundament Zylinder 1 Zylindrische (geometrisch)

Tabelle 1 Kopplungen des Systems

Aufgrund diesen Kopplungen kann man sagen, dass das System ein Freiheitsgrad von 3 hat.

In diesem Fall gibt es nur planarische Bewegungen, eine von ihnen ist die translatorische

Bewegung in der x-Achse von dem Kaste und die anderen sind die rotatorische Bewegungen



oder Drehungen der Zylinders in dem z-Achse. Deswegen hat man 3 unterschiedliche

Differentialgleichungen, um das System zu beschreiben (siehe Anhang 1).

Man kann 2 unterschiedliche Subsystemen finden. Das erste Subsystem ist der Masse-

Feder-Dämpfer, das eine gedämpfte Schwingung ergeben wird. Das zweite System sind die

gekoppelte Oszillatoren, die die 2 Zylinder mit einem zwischengespannten Feder erzeugt,

sie können zwei Schwingungsmoden haben, aber die Überlagerung dieser Moden ergibt

Schwebung.

Bild 2 Schwingungsmoden der gekoppelten Oszillatoren und ihre Schwebung

Darüber hinaus, man kann folgern, dass die Bewegung des Kastes ein Einfluss in der

Bewegung von der Zylinder2 hat.

2.2 Parametrisiertes System

Für diese Aufgabe wurden die nächsten Dimensionen für jeden Element des Systems

benutzt:

𝑎 = 0.6𝑚

Zylinder 1 und 2 𝐿 = 0.15𝑚

𝑅 = 0.01𝑚

Kaste ℎ = 0.12𝑚

ℎ2 = 0.2𝑚

Feder 1 𝑐1 = 12𝑁 𝑚⁄

𝜆01 = 0.05𝑚

Feder 2



𝑐2 = 8𝑁 𝑚⁄

𝜆02 = 0.05𝑚

Dämpfer 𝑘 = 7 𝑁𝑠/𝑚

In diesem Fall wird es das Aluminium als Material benutzt, dessen Dichte 2700 kg/m3 ist.

Deswegen wurden die Massen des Kastes und der Zylinder:

𝑚1 = 𝑑 × 𝑉1 = 𝑑 × (ℎ)2 × ℎ2 = 2700𝑘𝑔 𝑚3⁄ × (0.12𝑚)2 × 0.2𝑚 = 7.776 𝑘𝑔

𝑚 = 𝑑 × 𝑉 = 𝑑 × 𝜋 × 𝐿 × 𝑟2 = 2700𝑘𝑔 𝑚3⁄ × 𝜋 × 0.15𝑚 × (0.1𝑚)2 = 0.127 𝑘𝑔

2.3 Simulation mit Alaska

2.3.1 Aufbau

In dem folgenden Bild wird der Modellelementen des Systems gezeigt, die in der Simulation

in Alaska benutzt wurden. Die zylindrische Kopplung zwischen dem Fundament und dem

Zylinder 1 wird “RevoluteGroundCylinder1” genannt, der Feder zwischen beiden Zylinders

“FrcSingle1”, die zylindrische Kopplung zwischen dem Zylinder 2 und dem Kaste

“RevoluteCylinder2Box1”, der Feder zusammen mit dem Dämpfer von dem Kaste

“FrcSingle2” und die prismatische Kopplung zwischen dem Fundament und dem Kaste

“PrismaticGroundBox1”.

Bild 3 Modellelemente des Systems



Manche koordinaten Systemen wurden gemacht, um die Kopplungen zu entwickeln. Sie,

der Elemente, in dem sie gemacht wurden, ihre Kopplung, ihre Position und ihre Euler

Winkel können in der folgende Tabelle bemerkt werden.

Name Elemente Kopplung Position Euler Winkel

Frame_G_Cil1 Ground RevoluteGroundCylinder1 (a, 0, 0) (0, PI/2, 0)

Frame_G_Box_Pris Ground PrismaticGroundBox1 (a/4, h/2, 0) (PI/2, PI/2, 0)

Frame_G_Box_D Ground FrcSingle2 (0, h/2, 0) (0, 0, 0)

Frame_G_Cil1 Cylinder1 RevoluteGroundCylinder1 (0, R, L/2) (0, PI/2, 0)

Frame_Cil1_Cil2 Cylinder1 FrcSingle1 (0, 0, 0) (0, 0, 0)

Frame_Cil2_Box Cylinder2 RevoluteCylinder2Box1 (0, -R, L/2) (0, PI/2, 0)

Frame_Cil1_Cil2 Cylinder2 FrcSingle1 (0, 0, 0) (0, 0, 0)

Frame_G_Box_Pris Box1 PrismaticGroundBox1 (0, 0, 0) (0, 0, 0)

Frame_G_Box_D Box1 FrcSingle2 (0, 0, 0) (0, 0, 0)

Frame_Cil2_Box Box1 RevoluteCylinder2Box1 (-h/2, 0, 0) (PI/2, PI/2, 0) Tabelle 2 Koordinaten Systeme

Für die Simulation wurde außerdem eine Auslenkung des Kastes benutzt, diese war:

𝑞1𝑖 = 𝑥1𝑖 = 0.15𝑚

In dem folgenden Bild wird das System gezeigt, wenn es schon in Alaska aufgebaut wurde.

Bild 4 Aufgebautes System



2.3.2 Ergebnisse der Simulation

Generalisierte Koordinaten

Nach einem Gleichsgewichttest, wird das System während 15 Sekunden mit einem

Zeitschritt von 0.05s simuliert. In dem folgenden Bild, wird der Position des Schwerpunktes

von dem Kaste in dem x-Achse gezeigt. Es wird bemerkt, dass die Position des Kastes hat

eine Überschwingung und dann ist es fast stabiliert, wie es gewartet wurde.

Bild 5 Positionen des Kastes des Systems im x-Achse

In dem nächsten Bild kann es nicht nur die Position des Kastes gesehen werde, sonder auch

die Position der Schwepunkten von den Zylinders im x-Achse. Es kann bemerkt worden, dass

die Position des Zylinders 2 eine Schwingung hat, die gegenphasig von der Schwingung der

Position des Zylinders 1 ist, und dass sie eine Schwebung haben.

Bild 6 Positionen der Körper des Systems im x-Achse



Es wurde gewartet, dass das System sich nicht im z-Achse bewegt wurde. In dem nächsten

wird es gezeigt, dass sowohl der Kaste als auch die Zylinders bleiben in den gleichen Position

im z-Achse währrend der Simulation, wie es gewartet wurde.

Bild 7 Positionen der Körper des Systems im z-Achse

In dem Bild 8 wird es gezeigt, die Positionen der Elementen des Systems im y-Achse. Wie es

gewartet wurde, der Kaste bewegt sich nicht in dieser Richtung. Andererseits, haben die

Zylinders wie im x Richtung eine gegenphasig Schwingung.

Bild 8 Positionen der Körper des Systems im y-Achse



Geschwindigkeiten

In den nächsten Bildern kann es bemerkt werden, dass während die Geschwindigkeit des

Kastes eine Überschwingung und dann ein sinusoidal Verhalten hat, die

Winkelgeschwindigkeiten der Zylinders ein sinusoidal Verhalten haben.

Bild 9 Geschwindigkeit des Kastes

Bild 10 Winkelgeschwindigkeit der Zylinders



3. Anhang 1 Modellbildung mit Lagrange a) Verallgemeinerte Koordinaten

a. Freiheitsgrad 𝑛 = (3 × 6) − 5 − 5 − 5 = 3

b. Koordinaten: 𝑞1 = 𝑥1

𝑞2 = 𝜑2

𝑞3 = 𝜑3

b) Ortsvektoren

𝑟1 = 𝑥1𝑒𝑥 = 𝑞1𝑒𝑥

(𝑟1 ) = 𝑞1𝑒𝑥

(𝑟1 ) 2 = 𝑞1

2

𝑟2 = (𝑥1 + (𝐿 2)⁄ cos𝜑2)𝑒𝑥 − ((𝐿 2)⁄ sin𝜑2)𝑒𝑦

= (𝑞1 + (𝐿 2)⁄ cos𝑞2)𝑒𝑥 − ((𝐿 2)⁄ sin𝑞2)𝑒𝑦

(𝑟2 ) = (𝑞1 − (𝐿 2)⁄ sin𝑞2 𝑞2)𝑒𝑥 − ((𝐿 2)⁄ cos 𝑞2 𝑞2)𝑒𝑦

(𝑟2 ) 2 = 𝑞1

2 − 𝐿𝑞1𝑞2 sin 𝑞2 + (𝐿2 4)𝑞22⁄

𝑟3 = (𝑎 + (𝐿 2)⁄ cos𝜑3)𝑒𝑥 − ((𝐿 2)⁄ sin𝜑3)𝑒𝑦

= (𝑎 + (𝐿 2)⁄ cos 𝑞3)𝑒𝑥 − ((𝐿 2)⁄ sin 𝑞3)𝑒𝑦

𝜔2 = 𝜑2 = 𝑞2

𝜔3 = 𝜑3 = 𝑞3

c) Massenträgheitsmomente

𝐽2 =𝑚

2𝑅2

𝐽3 =𝑚

2𝑅2

d) Kinetische Energie



𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3

𝑇1 = 𝑇1𝑡𝑟𝑎𝑠 =𝑚1

2(𝑟1 )

2 =𝑚1

2𝑞1

2

𝑇2 = 𝑇2𝑡𝑟𝑎𝑠 + 𝑇2𝑟𝑜𝑡 =𝑚

2(𝑟2 )

2 +𝐽

2𝜔2

2 =𝑚

2[𝑞1

2 − 𝐿𝑞1𝑞2 sin 𝑞2 + (𝐿2 4)𝑞22⁄ ] +

𝑚

4𝑅2𝑞2

2

𝑇3 = 𝑇2𝑟𝑜𝑡 =𝐽32

𝜔32 =

𝑚

4𝑅2𝑞3

2

𝑇 =𝑚1

2𝑞1

2 +𝑚

2[𝑞1

2 − 𝐿𝑞1𝑞2 sin𝑞2 + (𝐿2 4)𝑞22⁄ ] +

𝑚

4𝑅2𝑞2

2 +𝑚

4𝑅2𝑞3

2

e) Potentielle Energie

𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈𝑐1 + 𝑈𝑐2

𝑈1 = 0

𝑈2 = 𝑚𝑔𝑟2𝑦 = −𝑚𝑔𝐿

2sin 𝑞2

𝑈3 = 𝑚𝑔𝑟3𝑦 = −𝑚𝑔𝐿

2sin 𝑞3

𝑈𝑐1 =𝑐12

(𝑥1 − 𝜆01)2 =

𝑐12

(𝑞1 − 𝜆01)2

𝑈𝑐2 =𝑐12

(|𝜆2| − 𝜆02)2

𝜆2 = 𝑟3 − 𝑟2 = ((𝑎 + (𝐿 2)⁄ cos𝑞3)𝑒𝑥 − ((𝐿 2)⁄ sin𝑞3)𝑒𝑦 )

− ((𝑞1 + (𝐿 2)⁄ cos 𝑞2)𝑒𝑥 − ((𝐿 2)⁄ sin 𝑞2)𝑒𝑦 )

= (𝑎 − 𝑞1 + (𝐿 2)⁄ [cos 𝑞3 − cos 𝑞2])𝑒𝑥 − ((𝐿 2)⁄ [sin 𝑞3 − sin𝑞2])𝑒𝑦

|𝜆2| = √(𝑎 − 𝑞1 + (𝐿 2)⁄ [cos𝑞3 − cos𝑞2])2 + ((𝐿 2)⁄ [sin𝑞3 − sin𝑞2])

2

= √𝑎2 + 𝑞12 +

𝐿2

2+ 2𝑎𝑞1 + (𝑎𝐿 − 𝑞1𝐿 −

𝐿2

2) (cos 𝑞3 − cos𝑞2)

𝑈𝑐2 =𝑐2

2(√𝑎2 + 𝑞1

2 +𝐿2

2+ 2𝑎𝑞1 + (𝑎𝐿 − 𝑞1𝐿 −

𝐿2

2) (cos 𝑞3 − cos 𝑞2) − 𝜆02)

2



𝑈 = −𝑚𝑔𝐿

2sin𝑞2 −

𝑚𝑔𝐿

2sin 𝑞3 +

𝑐12

(𝑞1 − 𝜆01)2

+𝑐2

2(√𝑎2 + 𝑞1

2 +𝐿2

2+ 2𝑎𝑞1 + (𝑎𝐿 − 𝑞1𝐿 −

𝐿2

2) (cos 𝑞3 − cos 𝑞2) − 𝜆02)

2

f) Lagrange Funktion

𝐿 = 𝑇 − 𝑈

𝐿 =𝑚 + 𝑚1

2𝑞1

2 −𝑚𝐿

2𝑞1𝑞2 sin 𝑞2 +

𝑚𝐿2 + 2𝑚𝑅2

8𝑞2

2 +𝑚𝑅2

4𝑞3

2

+𝑚𝑔𝐿

2(sin𝑞2 − sin 𝑞3) −

𝑐12

(𝑞1 − 𝜆01)2 −

𝑐2

2(|𝜆2| − 𝜆02)

2

g) Bewegungsdifferentialgleichungen

a. Ableitungen

Mit

𝜆2′ = 𝑎2 + 𝑞12 +

𝐿2

2+ 2𝑎𝑞1 + (𝑎𝐿 − 𝑞1𝐿 −

𝐿2

2) (cos 𝑞3 − cos 𝑞2)

𝜕1𝐿 = (𝑚 + 𝑚1)𝑞1 −𝑚𝐿

2𝑞2 sin 𝑞2

(𝜕1𝐿) = (𝑚 + 𝑚1)𝑞1 −𝑚𝐿

2(𝑞2 sin 𝑞2 + 𝑞2

2 cos𝑞2)

𝜕1𝐿 = −𝑐1(𝑞1 − 𝜆01) −𝑐2

2(√𝜆2′ − 𝜆02)(𝜆2′)

−12⁄ (2𝑞1 + 2𝑎 − 𝐿(cos𝑞3 − cos𝑞2))

𝜕2𝐿 = −𝑚𝐿

2𝑞1 sin 𝑞2 +


4𝑞2

(𝜕2𝐿) = −𝑚𝐿

2𝑞1 sin𝑞2 −

𝑚𝐿

2𝑞1𝑞2 cos 𝑞2 +


4𝑞2

𝜕2𝐿 = −𝑚𝐿

2𝑞1𝑞2 cos 𝑞2 +

𝑚𝑔𝐿

2cos 𝑞2 −

𝑐2

2(√𝜆2′ − 𝜆02)(𝜆2′)

−12⁄ ((𝑎𝐿 − 𝑞1𝐿 −

𝐿2

2) sin𝑞2)

𝜕3𝐿 =𝑚𝑅2

2𝑞3

(𝜕3𝐿) =

𝑚𝑅2

2𝑞3



𝜕3𝐿 = −𝑚𝑔𝐿

2cos 𝑞3 +

𝑐2

2(√𝜆2′ − 𝜆02)(𝜆2′)

−12⁄ ((𝑎𝐿 − 𝑞1𝐿 −

𝐿2

2) sin𝑞3)

b. Dämpfung

𝐷 =𝑘

2𝑞1

2

−𝜕1𝐷 = −𝑘𝑞1

c. Differentialgleichungen

(𝑚 + 𝑚1)𝑞1 −𝑚𝐿

2(𝑞2 sin𝑞2 + 𝑞2

2 cos 𝑞2) + 𝑐1(𝑞1 − 𝜆01)

+𝑐2

2(√𝜆2′ − 𝜆02)(𝜆2′)

−12⁄ (2𝑞1 + 2𝑎 − 𝐿(cos 𝑞3 − cos 𝑞2)) = 𝐹 − 𝑘𝑞1

(1)

−𝑚𝐿

2𝑞1 sin𝑞2 +


4𝑞2 −

𝑚𝑔𝐿

2cos 𝑞2 +

𝑐2

2(√𝜆2′ − 𝜆02)(𝜆2′)

−12⁄ ((𝑎𝐿 − 𝑞1𝐿 −

𝐿2

2) sin 𝑞2) = 0 (2)

𝑚𝑅2

2𝑞3 +

𝑚𝑔𝐿

2cos 𝑞3 −

𝑐2

2(√𝜆2′ − 𝜆02)(𝜆2′)

−12⁄ ((𝑎𝐿 − 𝑞1𝐿 −

𝐿2

2) sin𝑞3) = 0 (3)

beleg der vorlesung "simulation dynamischer systeme"

Engineering