banahov princip kontrakcije - primene natasagajinov

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

Gajinov Nataa

Banahov prncip kontrakcije-primene i generalizacije-Master rad-

Mentor: Prof. dr Ljiljana Gaji

Novi Sad, Decembar 2010.

Banahov princip-primene i generalizacije

SadrajUvod.2 1. Osnovni pojmovi i definicije..3 2. Banahov princip kontrakcije...9 2.1. Neprekidna zavisnost nepokretne take od parametara.......................19 3. Neke primene Banahove teoreme.........................................................20 4. Neka uoptenja Banahovog proncipa kontrakcije...............................................41 4.1. -kontrakcija........................................................................................41 4.2. Lokalna uniformna (,) kontrakcija....................................................44 4.3. Uoptena kontrakcija............................................................................47 4.4. O n-lokalnim kontrakcijama.................................................................59 4.5 Kvazi kontrakcija..................................................................................55 5. O Stefanu Banahu................................................................................................58 Literatura.................................................................................................................60

1


UvodOvaj rad predstavlja moj zavrni rad na master studijama Prirodno-matematikog fakulteta u Novom Sadu. Funkcionalna analiza je jedna od najvanijih oblasti savremene matematike ije se metode i razultati primenjuju u gotovo svim matematikim disciplinama, u numerikoj i primenjenoj matematici kao i u raznim oblastima fizike i tehnike. Funkcionalna analiza je nastala na prelazu iz devetnaestog u dvadeseti vek kao nadgradnja linearne algebre i podruja klasine analize, kao to su integralne i diferencijalne jednaine, varijacioni raun, razvijanja funkcija u redove itd. U funkcionalnoj analizi prouava se skup funkcija koje imaju odreeno svojstvo, a ne individualna funkcija kako se to ranije radilo. Prvi deo rada sadri osnovne pojmove u vezi sa metrikim i Banahovim prostorima. U drugom delu formulisana je i dokazana Banahova teorema o nepokretnoj taki koja garantuje postojanje i jedinstvanost nepokretne take odreenih preslikavanja iz nekog metrikog prostora u samog sebe i daje konstruktivni metod za pronalaenje nepokretne take. Banahova teorema predstavlja jedan od klasinih rezultata teorije nepokretne take koja zauzima znaajno mesto u matematici. Trei deo govori o primeni Banahove teoreme u dokazu egzistencije i jedinstvenosti reenja za jednaine razliitog tipa. Primenom teoreme daje se i postupak priblinog nalaenja tog reenja poznat kao metod sukcesivnih aproksimacija. etvrti deo sadri neke generalizacije teoreme o nepokretnoj taki u metrikim prostorima. Zahvalila bih se, ovom prilikom, svima koji su na bilo koji nain doprineli izradi ovog rada. Zahvaljujem se akademiku Olgi Hadi na korisnim savetima i primedbama. Posebnu zahvalnost dugujem svom mentoru dr Ljiljani Gaji za profesionalno usmeravanje i pomo pri izradi ovog rada kao i za znanje koje sam stekla radivi sa njom

2


1. Osnovni pojmovi i definicijeMaurice Frechet je 1906. godine uveo klasu metrikih prostora. Metriki prostor je skup na kome je definisan pojam rastojanja dve take (metrike). Pojam granice, po svom istorijskom razvoju, je dugo bio vezan za pojam rastojanja dve take. Zato su gotovo svi klasini prostori snabdeveni definicijom rastojanja dva elementa. Takav je sluaj sa skupom realnih i kompleksnih brojeva, skupom ureenih n-torki, skupom ogranienih realnih funkcija... Na skupu R , realnih brojeva, rastojanje d dve take x i y merili smo apsolutnom vrednou razlike odgovarajuih brojeva

d ( x, y ) = x y .

U

n-

dimenzionalnom Euklidskom prostoru, rastojanje d izmeu taaka

x = ( x1 , x2 ,..., xn ) i

y = ( y1 , y2 ,..., yn ) definiemo sa

d ( x, y ) =

(xi=

n

i

yi )2

U skupu ogranienih funkcija, definisanih nad intervalom (a, b) , definiemo rastojanje izmeu dva elementa f i g kao

d ( f , g ) = sup f ( x ) g ( x ) ,

x (a, b).

Naveli smo samo neke primere rastojanja i interesovae nas koje su njihove najvanije zajednike osobine. Vidimo da je rastojanje u nekom skupu definisano za po dva elementa. Za svaka dva elementa u datom skupu X opredeljujemo jedan broj d ( x, y ) koji nazivamo rastojanjem. U stvari, svakom ureenom paru ( x, y ) opredeljujemo realan broj. Traenje rastojanja je, dakle, operacija preslikavanja skupa X 2 u skup realnih brojeva. U klasi metrikih prostora je kasnije, 1922. godine, Stefan Banach formulisao i dokazao teoremu o nepokretnoj taki za kontraktivna preslikavanja. Ona ima veliki znaaj u matematici i predstavlja klasian rezultat teorije nepokretne take.

Definicija 1.1: Neka je X i d : X X [0, ) tako da vae sledei uslovi:

d ( x, y ) = 0 x = y , Za svako x , y X , d ( x, y ) = d ( y, x) , (simetrinost), Za svako x , y , z X , vai nejednakost d ( x , y ) d ( x , z ) + d ( z , y ), (nejednakost trougla).

3

Banahov princip-primene i generalizacije Tada kaemo da je preslikavanje d metrika na skupu X a broj d ( x , y ) je rastojanje taaka x i y . Par ( X , d ) je metriki prostor. Primer 1.1: ( R n , d p ) je metriki prostor gde za x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) ,y = ( y1 , y 2 ,..., y n ) R n definiemo rastojanje d p ( x , y ) , p 1 , na sledei nain

d p ( x, y ) =

p

xi =1

n

i

yi

p

.

Za p = 1 i n = 1 dibijamo metriki prostor ( R , d1 ) ,d1 ( x , y ) = xi yi .i =1 n

Primer 1.2: Neka je C [a , b] skup neprekidnih realnih funkcija definisanih na intervalu [a, b] R . Za f , g C [a, b] definie se d ( f , g ) na sledei nain:d ( f , g ) = max f ( x ), g ( x ) .x[a ,b ]

Tada je (C [a, b], d ) metriki prostor.

Napomena: C [a , b] i sa metrikom d r , r 1 , definisanom na sledei naind r ( f , g ) = ( f ( x ) g ( x ) dx ) ,r a b 1 r

za sve f , g C [a , b ] ,

je takoe metriki prostor. Primer 1.3: Neka je l prostor ogranienih nizova u R ili C . Ako je za x, y l d ( x , y ) = sup xi yi ,

gde je x = {xi }iN = ( xi ) , y = {yi }iN = ( yi ) , tada je (l , d ) metriki prostor. Definicija 1.2: Neka je ( X , d ) metriki prostor. Otvorena lopta L( x 0 , r ) ( a X , r > 0) sa centrom u x0 i poluprenikom r je svaki skup oblikaL ( x 0 , r ) = { x : x X , d ( x 0 , x ) < r} .

iN

Definicija 1.3: Zatvorena lopta B ( x 0 , r ) ( a X , r > 0) sa centrom u x0 i poluprenikom r je svaki skup oblikaB ( x 0 , r ) = { x : x X , d ( x 0 , x ) r} .

Definicija 1.4: Neka je X i neka familija podskupova skupa X sa sledeim osobinama:4


1. X , , 2. Ako je za sve i I ( I proizvoljan skup) Ai tada je Ai , 3. Ako su A1 , A2 ,..., An ( n je proizvoljan prirodan broj) tada jeiI

A .i

Tada je ureeni par ( X , ) topoloki prostor, a elementi familije su otvoreni skupovi. se zove topologija na prostoru X . Neka je ( X , d ) metriki prostor. Definiemo familiju d podskupova od X na sledei nain: d i O d ako i samo ako vai ( za svako x O )( postoji rx > 0 ) ( L( x , rx ) O ) ). Tvrenje 1.1:Familija d definie topologiju u metrikom prostoru ( X , d ) . Za topologiju = d kaemo da je generisana (indukovana) metrikom d . Definicija 1.5: Za topoloki prostor ( X , ) kaemo da je metrizabilan ako postoji metrika d u skupu X koja definie topologiju . Tvrenje 1.2: Neka je ( X , d ) metriki prostor. Podskup V skupa X je okolina take x0 X ako postoji r > 0 tako da vai L( x 0 , r ) V . Definicija 1.6: U prostoru ( X , ) familijaB ( x 0 ) = {L( x 0 , r ) ; r > 0},

iI

je baza okolina take x 0 X to znai da za svaku okolinu V take x 0 postoji L ( x0 , r ) , r > 0 , tako da je L( x0 , r ) V . U metrikom prostoru ( X , d ) jedna od baza okolina take x 0 X je familija B ( x 0 ) = { L( x 0 ,1 / n ) , n N }, to znai da svaki metriki prostor zadovoljava I Aksiom prebrojivosti. Definicija 1.7: Metrike d i su ekvivalentne ako indukuju istu topologiju. Tvrenje 1.3: Metrike d i su ekvivalentne, ako postoje konstane m , M > 0 takve da vai

5


md ( x , y ) ( x , y ) Md ( x , y ) ,

Na osnovu prethodnog tvrenja metrike na R n date sa

d 2 ( x, y ) =

d

(x ( x , y ) = max {xi =1

n

i

yi ) 2 , y1 , x 2 y 2 ,..., x n y n },

1

d1 ( x , y ) = xi yi gde je x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , y = ( y1 , y 2 ,..., y n ) ,i =1

n

su ekvivalentne jer vaid ( x, y ) d 2 ( x, y ) i d 2 ( x, y ) nd ( x, y ) ,

pa su d i d 2 ekvivalentne. Takoe, zbogd ( x , y ) d1 ( x , y ) i d1 ( x , y ) nd ( x , y ),

sledi da su metrike d i d 1 ekvivalentne. Dakle, sledi da su sve tri metrike d 2 , d i d 1 ekvivalentne. Definicija 1.8: U metrikom prostoru ( X , d ) kaemo da niz {an }nN u X konvergira ka a X , to oznaavamo sa lim an = a , ako je lim d ( an , a ) = 0 , odnosnon n

lim an = an

lim d ( a n , a ) = 0.n

Umesto oznake lim an = a upotrebljava se i oznaka an a , n n

Definicija 1.9: Niz {x n }nN iz X je Koijev ako vae sledei uslov: ( > 0)(n0 ( ) N )(m, n N )( m, n > n0 ( ) d ( x m , x n ) < ). Ekvivalentan uslov uslovu (1) je:( > 0)(n0 ( ) N )(n, p N )( n > n0 ( ) d ( x n+ p , x n ) < ). Tvrenje 1.4:Ako je niz {x n }nN iz X konvergentan on je Koijev. Dokaz: Neka je niz {x n }nN konvergentan to znai da je lim x n = x , odnosnon

(1)

6

Banahov princip-primene i generalizacije ( > 0)(n0 ( ) N )(n N )( n > n0 ( ) d ( x n , x ) < ). Primenjujui (2) za (2)

2

dobijamo da postoji n0 N tako da je

d ( xn , x ) n0 ( ) = n0 ( ) da je 2

za sve n > n0 ( ). 2 2

(3)

d ( xm , xn ) d ( xm , x ) + d ( xn , x ) 0,pa na osnovu Teoreme o suprotnim znacima sledi da postoji x D takvo da je ( x ) = 0 , odnosno, takvo da je f ( x ) = x .

Tvrenje 2.4: Neka je f : D R , D = [a, b] , kontrakcija sa konstantom . Neka je f ( a ), f (b) D i x0 = a, f ( a ) + f (b) < a + b,Tada niz sukcesivnih aproksimacija {xn }nN konvergira ka jedinstvenom reenju z D jednaine f ( x ) = x .

x0 = b,

f ( a ) + f (b) a + b.

14

Banahov princip-primene i generalizacije Dokaz: Treba dokazati f ( x ) a za sve x D , ili f ( x ) b za sve x D . Razmotrimo sluaj

f ( a ) + f (b) a + b.Tada vai Takoe je, za x D ,

f ( a ) + f (b) b a.

f (a) f ( x ) f (a) f ( x ) a x < a x ,i

f (b ) f ( x ) f (b ) f ( x ) b x < b x ,pa je

f ( a ) + f (b) 2 f ( x ) b aodnosno

2 a f ( a ) + f (b ) b + a 2 f ( x ) ,

to daje f ( x ) a za sve x D . Analogno se pokazuje da iz

f ( a ) + f (b ) < a + b ,sledi f ( x ) b za sve x D . Indukcijom emo pokazati da x k D , k = 0,1,2,.... Neka je f ( a ) + f (b) a + b , tj. x0 = b . (Sluaj f ( a ) + f (b) > a + b se razmatra analogno, pri emu se za x0 uzima a ). Po pretpostavci je f (b) b . Tada je x1 = f ( x0 ) x0 i

x2 x1 f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0 x0 x1pa je x 2 x0 . Neka je xi x0 , za i = 0,1,2,..., k , k 2 . Treba dokazati da je xk +1 x0 . Predpostavimo suprotno, tj. da je xk +1 > x0 . Tada je

0 x0 x2 < xk +1 x2 = xk +1 x2

xk x1 2 xk 1 x0 ,

15

Banahov princip-primene i generalizacijei

0 x0 xk 1 < xk +1 xk 1

xk xk 2 ... k 1 x2 x0 = k 1 ( x0 x2 ),te je

x0 x2 < k +1 x2 x0 x0 x2 ,to je kontradikcija. Dokazali smo da vai xk D, k = 0,1,2,.... Kako je f kontrakcija na D , imamo za svako m 1 i k 1 xm+1 xm = f ( xm ) f ( xm1 ) xm xm1 ... m x1 x0

xk +m xk +m1 = f ( xk +m1 ) f ( xk +m2 )

xk +m1 xk +m2 ... m xk xk 1 .Oigledno je

xk +m xk xk +m xk +m1 + xk +m1 xk +m2 + ... + xk +1 xk .Odatle dobijamo

xk +m xk m xk xk 1 + m1 xk xk 1 + ... + xk xk 1 ,odnosno

xk +m xk xk xk 1 j = j =1

m

1 m xk xk 1 . 1

Pa imamo da je

xk +m xk

1

xk xk 1

m x1 x0 . 1

Zbog 0 < 1 za k K ( ) i svako m 1 vai To znai da je niz {xk }kN Koijev, pa prema tome i konvergentan odnosno vai

xk +m xk <

z = lim xk +1 = lim f ( xk ) = f (lim xk ) = f ( z ) .k k k

Odnosno z D je reenje jednaine f ( x ) = x

16

Banahov princip-primene i generalizacijeSluaj Lipicove funkcije za = 1 zauzima posebno mesto u teoriji nepokretne take.

Definicija 2.3: Preslikavanje F metrikog prostora ( X , d ) u samog sebe je neekspanzivno ako je za svako ( x , y ) X zadovoljena nejednakostd ( Fx , Fy ) d ( x , y ) . Neekspanzivno preslikavanje kompletnog metrikog prostora ( X , d ) u samog sebe ne mora imati nepokretnu taku, kao to pokazuje preslikavanje F : x x + a ( a 0 ) , u Banahovom prostoru ( X , ) . Takoe nepokretna taka ukoliko postoji ne

mora biti jedinstvena- to se lako vidi ako se posmatra preslikavanje Fx = x za sve xX .

Tvrenje 2.5: Neka je M ogranien, zatvoren i konveksan podksup Banahovog prostora ( X , ) i F neekspanzivno preslikavanje M u M . Tada za svako > 0 postojix ( ) X tako da je Fx ( ) x ( ) < .

Dokaz: Bez gubitka optosti moe se predpostaviti da je 0 M i M B(0, R ) . Kako je preslikavanje F neekspanzivno, sledi da je za r (0,1) preslikavanje rF kontrakcija te postoji y (r ) tako da jerFy ( r ) = y ( r ) .

Odavde jeFy ( r ) y ( r ) = Fy ( r ) rFy ( r ) = (1 r ) Fy ( r ) (1 r ) R ,

te je x ( ) = y ( r ) za r > 1

R

.

Iz ove teoreme imamo da e preslikavanje F imati nepokretnu taku ako je skup ( I F ) X zatvoren, jer je 0 taka nagomilavanja skupa ( I F ) X sledi egzistencija elementa x X tako da je Fx x = 0 odnosno Fx = x . ak ta vie ni stroga nejednakost nam ne garantuje postojanje nepokretne take za neekspanzivna preslikavanja to emo ilustrovati sledeim primerom.

Primer 2.2: Neka je ( X , d ) metriki prostor i f : X X neprekidno preslikavanje za koje vai: za sve x , y X , x y d ( f ( x ), f ( y )) < d ( x , y ) ,Pokazaemo da preslikavanje f ne mora da ima nepokretnu taku.

17

Banahov princip-primene i generalizacijeNeka je X = [1, ) a d ( x , y ) = x y , za sve x , y [1, ) . Ako je f ( x ) = x +x [1, ) , tada je f : X X i:

1 za sve x

f ( x) f ( y) = x +

1 1 1 y = 1 2 x y , x y

( x, y )

odakle sledi:f (x) f ( y) < x y ,

za sve x y x , y X .

Meutim preslikavanje f nema nepokretnu taku jer iz f ( x ) = x sledi:x=x+ 1 , x

te bi bilo

1 =0. x

Tvrenje 2.6: Neka je ( X , d ) kompaktan metriki prostor i f preslikavanje X u X tako da je:d ( f ( x ), f ( y )) < d ( x , y ) ,

za sve x , y X , x y .

Tada postoji nepokretna taka preslikavanja f .

Dokaz: Iz neprekidnosti preslikvanja f sledi neprekidnost preslikavanjax d ( x , f ( x )) ,xX

(7)

Kako je prostor X po pretpostavci kompaktan preslikavanje definisano u (7) dostie infimum odnosno postoji x 0 X tako da jeinf d ( x , f ( x )) = d ( x 0 , f ( x0 )) ,xX

(8)

Neka je x 0 f ( x 0 ) .d ( f ( x0 ), f ( f ( x0 ))) < d ( x0 , f ( x0 )) , to je u suprotnosti sa (8). Prema tome d ( x0 , f ( x0 )) = 0 , to znai da je x0 nepokretna taka preslikavanja f .

Iz (7) sledi

18


2.1. Neprekidna zavisnost nepokretne take od parametaraU primeni esto preslikavanje zavisi od parametra koji pripada nekom skupu pa je od interesa da se ispita kako promena parametra utie na promenu nepokretne take x preslikavanja f . Jedan odgovor na to pitanje dae nam sledea teorema.

Teorema 2.1.1: Neka je ( X , d ) kompletan metriki prostor, M zatvoren podksup od X , ( A, ) topoloki prostor i f : A M M tako da su zadovoljeni sledei uslovi: i. za svako x M preslikavanje f ( , x ) je neprekidno preslikavanje iz A u M; ii. d ( f ( , x ), f ( , y )) d ( x , y ) , za svako ( x , y , ) M M A gde je < 1 i ne zavisi od A.Tada postoji jedno i samo jedno neprekidno preslikavanje x * : A M ( x * = {x ( )} ) tako da je x ( ) = f ( , x ( )) za svako A.

Dokaz: Egzistencija i jedinstvenost preslikavanja x * = x ( ), A , takvog da je x ( ) = f ( , x ( )) za svako A sledi iz Teoreme 2.1. Ostaje da pokaemo neprekidnost preslikavanja x * . Neka je 0 proizvoljan elemenat iz A . Na osnovu Teoreme 2.1. znamo da je x ( ) = lim x n ( ) gde je x n +1 ( ) = f ( , x n ( )) n = 0 ,1,... .n

U Teoremi 2.1 je pokazano da vai nejednakostd ( x ( ), x ( 0 )) d ( x1 ( ), x ( 0 )) 1 d ( f ( , x ( 0 )), f ( a 0 , x ( 0 ))) . = 1 1

Sada iz neprekidnosti preslikavanja f ( , x ) sledi i neprekidnost preslikavanja x * = x ( )

19


3. Neke primene Banahove teoremeTeoremu o nepokretnoj taki moemo primetniti u dokazima teorema o egzistenciji i jedinstvenosti reenja za jednaine razliitog tipa. Primetimo da dokazivanje egzistencije i jedinstvenosti reenja jednaine f ( x ) = x primenom Teoreme o nepokretnoj taki daje i postupak priblinog nalaenja tog reenja poznat kao metod sukcesivnih aproksimacija. Posmatrajmo prvo najjednostavniji sluaj realne funkcije jedne realne promenljive Ako za realnu funkciju f : [a, b] [a, b] postoji postoji realan broj [0,1) tako da vai

f ( x1 ) f ( x 2 ) x1 x 2 ,tada postoji jedinstveno reenje jednaine f ( x ) = x koje se dobija metodom sukcesivnih aproksimacija. Specijalno, ako je funkcija f diferencijabilna nad [a, b] i pri tom vai

f / ( x ) [0, 1) , x ( a , b ) , tada na osnovu Lagranove teoreme vai f ( x1 ) f ( x2 ) = f / ( ) x1 x 2 ,

za neko ( x1 x2 ) [a, b] ,

pa postoji jedinstveno reenje jednaine f ( x ) = x iju priblinu vrednost moemo odrediti metodom sukcesivnih aproksimacija.

Primer 3.1: Pokaimo da je funkcija f ( x ) = (1 sin x )1/ 2 kontrakcija koja preslikava interval [0.4 , 0.8] u samog sebe te ima jedinstvenu nepokretnu taku. Potraiemo prvi izvod funkcije f

f / ( x ) = cos x /(2(1 sin x )1/ 2 ) < 0 ,za x ( , ) funkcija f je opadajua u ovom intervalu. 2 2 Kako je f (0.8) = 0.5532... 0.4 i f (0.4) = 0.782... 0.8 funkcija f preslikava interval [0.4 , 0.8] u samog sebe. Kako je R kompletan prostor, takoe je i zatvoreni interval [0.4 , 0.8] kompletan. Prvi izvod funkcije f nad intervalom [0.4, 0.8] je

f / ( x ) cos0.4 /(2(1 sin 0.8)1/ 2 ) = 0.86624 < 0.87 .

20

Banahov princip-primene i generalizacijeNa osnovu Langraove Teoreme o srednjoj vrednosti vai da je

f ( x) f ( y)

cos0.4 x y 0.87 x y . 2(1 sin 0.8)1/ 2

To znai da je funkcija f kontrakcija sa koeficijentom kontrakcije = 0.87 pa na osnovu Banahove teoreme o nepokretnoj taki postoji jedinstvena nepokretna taka preslikavanja f na datom intervalu. Za polaznu taku moemo uzeti bilo koju taku datog intervala. Ako je x0 = 0.6 tada je x1 = f ( x0 ) = 0.6598 , x2 = f ( x1 ) = 0.6221... Aproksimacije i ocene greaka aproksimacija su date u sledeoj tabeli.

k 0 1 2 3 4 5 6Gde je

xk 0.6 0.65981 0.62211 0.64595 0.63091 0.64041 0.63441

Ak0.40027 0.2523 0.15955 0.10065 0.06358 0.04015

Bk 0.40027 0.34823 0.30296 0.26358 0.22931 0.1995

xk xk 1 , 1 k Bk = x1 x0 . 1 Vrednost Ak naziva se aposteriorna ocena greke, a vrednost Bk apriorna ocenagreke.

Ak =

Primer 3.2: Neka je data jednaina

4x+3

x 1 = 0. x +1

Pokaimo da ova jednaina ima reenje na intervalu [4, 5] . Neka je

f ( x) = 4 x + 3

x 1 , x +1

21


a

( x) = 4 + 3

x 1 , x +1

x [4,5]

Jednaine f ( x ) = 0 i ( x ) = x su ekvivalentne na intervalu [4, 5] . Za ovakvo definisano ispunjen je i uslov ([4, 5]) [4, 5] jer je ( 4) = 4.84... i (5) = 4.87... Kako je

/ ( x) =za x [4, 5] imamo da je

2 33 ( x 1)2 ( x + 1)4

,

/ ( x)

2 15 453

< 0.037... < 1.

Na osnovu Langraove Teoreme o srednjoj vrednosti vai

( x ) ( y ) 0.037 x y .To znai da je funkcija kontrakcija sa koeficijentom kontrakcije = 0.037 . Postupkom sukcesivnih aproksimacija dobijaju se pribline vrednosti reenja posmatrane jednaine. Aproksimacije i ocene greaka aproksimacija su date u sledeoj tabeli

k 0 1 2 3 4 5

xk 4 4.843432665 4.869661833 4.870335391 4.870353983 4.87035307

Ak0.0324 1.008 10 3 2.5879 10 5 7.1433 10 7 3.5079 10 8

Bk 0.03241 1.199 10 3 4.4364 10 5 1.6414 10 6 6.0734 10 8

22


Primer 3.3: Neka je data jednaina f ( x ) = 0 gde je

f ( x) = x 3 + 4x 2 + 4x 1 .Pokaimo da ova jednaina ima priblino reenje na intervalu [0, 0.4] koje odreujemo postupkom sukcesivnih aproksimacija x k +1 = ( x k ) gde je 1 ( x) = . ( x + 2)2 Kako je 1 2 / ( x) = = 0.25 , x [0,0.4] , 3 ( x + 2) 4 moe se uzeti = 0.25 . Aproksimacije i ocene greaka aproksimacija su date u sledeoj tabeli.

k 0 1 2 3 4 5 6

xk 0.4 0.173611 0.211659 0.204439 0.205780 0.205530 0.205577

Ak0.075463 0.012683 0.002407 0.000447 0.000083 0.000016

Bk 0.075463 0.018866 0.004716 0.001179 0.000295 0.000074

Primer 3.4: Posmatrajmo sistem linearnih jednaina po xi , i { 1,2,..., n }.xi aij x j = bi ,j =1 n

za sve i { 1,2,..., n

}

(1)

gde ai , j , bi R, za sve i , j { 1,2,..., n Sistem (1) se moe zapisati u obliku

}.

23

Banahov princip-primene i generalizacije x1 a11 x a 2 21 . . = . . . . . x n a n1 a12 a22 . . . an 2 . . . . . . . . . a1n x1 b1 a 2 n x 2 b2 . . . . + . . . . . . . a nn x n bn

Uvodei oznake: x1 x 2 . X = , . . xn b1 a11 b a 2 21 . . B = , A = . . . . bn a n1 a12 a 22 . . . an2 . . . . . . . . . a1n a2n . . . . a nn

sistem je mogue zapisati u sledeoj formi

X = AX + B .Ako je preslikavanje f : R n R n definisano sa

f ( X ) = AX + B ,tada je reenje sistema (1) istovremeno i nepokretna taka preslikavanja f . Pokaimo da ako vai max aij = < 1,1i n j =1 n

tada preslikavanje f ( X ) = AX + B ima jedinstvenu nepokretnu taku. Neka je metrika na R n data na sledei naind ( X , Y ) = max xi yi ,1i n

gde je

24

Banahov princip-primene i generalizacije x1 y1 x y 2 2 . . X = , Y = . . . . . xn yn

Pokazaemo da jed ( f ( X 1 ), f ( X 2 )) d ( X 1 , X 2 ) ,

za sve X 1 , X 2 R n .

Ukoliko je Y1 = f ( X 1 ) i Y2 = f ( X 2 ).1 y1 1 y2 . Y1 = , . . 1 yn

y12 2 y2 . Y2 = , . . 2 yn n

1 x1 1 x2 . X 1 = , . . 1 xn

x12 2 x2 . X 2 = , . . 2 xn

vai

yi1 = aij x 1 + bi za sve i { ,2,..., n} , 1 jj =1n

yi2 = aij x 2j + bi za sve i { ,2,..., n} . 1j =1

Odavde je

yi1 yi2 =1 j

aj =1 2 j

n

ij

( x 1j x 2 ) jn

1 za sve i { ,2,..., n} .

max x x aij ,1 j n j =1

Sledi da je

d (Y1 , Y2 ) = max yi1 yi21i n

max aij max x 1j x 2 = d ( X 1 , X 2 ). j1i n j =1 1 j n

n

25

Banahov princip-primene i generalizacijePreslikavanje f je kontrakcija pa preostaje samo primeniti Banahov princip. Da bi smo mogli primeniti Banahovu teoremu o fiksnoj taki na funkciju F : X X kompletnog metrikog prostora ( X , d ) u samog sebe moramo znati da je F kontrakcija u odnosu na metriku d na X . Ako zadana funkcija F nije kontrakcija u odnosu na metriku d ponekad je ipak mogue nai neku drugu metriku u odnosu na koju F postaje kontrakcija to emo ilustrovati sledeim primerom.

Primer 3.5 : Neka F : R 2 R 2 je linearna funkcija definisana na sledei nainy 8x 8 y x + , , F ( x, y ) = + 10 10 10 10

za sve ( x , y ) R 2 .

Neka su metrike d 2 , d1 definisane na sledei naind 2 (( x , y ), ( u, v )) = ( x u ) 2 + ( y v ) 2 ,

d1 (( x , y ), ( u, v )) = x u + y v .

za sve ( x , y ), ( u, v ) R 2 . Funkcija F nije kontrakcija u odnosu na metriku d 2 jer je razmera rastojanja2 4 48 16 6 d 2 ( F (( 0,0 )), F (( 6,2 ))) = + + + = 65 , 5 10 10 10 10 2 2

slika taaka (0,0 ) i ( 6,2 ) i rastojanja tih taakad 2 (( 0,0 ), ( 6,2 )) = 6 2 + 2 2 = 4 125 , 5 2

vei od 1. Sa druge strane u odnosu na metriku d1 funkcija F je kontrakcija sa 9 koeficijentom kontrakcije jer je 10 9 d1 ( F ( x , y ), F ( u, v )) d1 (( x , y ), ( u, v )) . 10 za sve ( x , y ), ( u, v ) R 2 . Dakle svaka metrika d na metrikom prostoru ( X , d ) odreuje klasu K (d ) funkcija F : X X koje su kontrakcije u odnosu na metriku d . Pri tome je oigledno da K ( d ) K ( ) ak i ako su metrike d i ekvivalentne. Ako je X Banahov prostor, norme i su ekvivalentne ako moemo nai pozitivne konstante m i M takve da vai

26

Banahov princip-primene i generalizacijemx x M x ,

za sve x X

Sada je jasno da e bilo koja Lipicova funkcija u odnosu na neku normu biti Lipitcova funkcija i u odnosu na svaku njoj ekvivalentnu normu. Zato je u Banahovim prostorima, za prouavanje Lipitcove funkcije F : X X vrlo esto korisno nai, ako je to mogue, ekvivalentnu normu u odnosu na koju je funkcija F kontrakcija. Takav pristup ilustrovaemo u sledea dva primera

Primer 3.6: Posmatrajmo linearan sistem od n -jednaina sa n -nepoznatih

a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 . ... . an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn .Kao to znamo sistem ima jedinstveno reenje ako i samo ako je determinanta sistema razliita od nule. Postavlja se pitanje kako se moe priblino reiti dati sistem sa odreenom tanou. Posmatrajmo ekvivalentan sistem (2)

x1 = c11x1 + c12 x2 + ... + c1n xn + b1 x2 = c21x1 + c22 x2 + ... + c2n xn + b2 . ... . xn = cn1 x1 + cn 2 x2 + ... + cnn xn + bn .

gde je

cii = 1 aii ,

i = 1,2,..., n ,

cij = aij ,

i j.

Definiimo preslikavanje f : R n R n koje preslikava taku = ( x1 , x 2 ,...x n ) u taku

= ( y1 , y 2 ,... y n ) gde je

27


yi = cij x j + bi .j =1

n

Taka x R je reenje sistema (2) ako i samo ako je fiksna taka preslikavanja f . Postavlja se pitanje kada je funkcija f kontrakcija u datom metrikom prostorun

(Rn , d ) .Neka je: a) Metriki prostor ( R n , d ) , sa d ( x, y ) = max xi yi ,1i n

x, y R n .

d ( ,) = max yi yi1i ni

= max cij ( x j x ) j1i n j =1 n

n

max( cij x j x ) j1i n j =1 k

max x x max cij1 k n k 1i n j =1

n

= max cij d ( , ).1i n j =1

n

Prema tome, ako vai da je

cj =1

n

ij

< 1,

i = 1,2,..., n ,

funkcija f ima jedinstvenu nepokretnu taku tj. na sistem ima jedinstveno reenje. b) Metriki prostor ( R n , d1 ) , gde je d1 ( x, y ) = xi yi , x , y R n .i =1 n

d1 ( , ) = yi yii =1

n

= cij ( xj x ) ji =1 j =1 n n

n

n

cij xj x ji =1 j =1 n n

= cij xj x jj =1 i =1 n

= ( x x j j =1

j

ci =1

n

ij

) = ( x x max cij ) = d1 ( , ). j j j =1 1 j n i =1

n

n

28

Banahov princip-primene i generalizacijeAko je

ci =1

n

ij

< 1,

j = 1,2,..., n ,

preslikavanje f ima jedinstvenu nepokretnu taku. c) Metriki prostor ( R n , d 2 ) , sa d 2 ( x , y ) = Koristiemo Koi-varcovu nejednakost

(xi =1

n

i

yi ) 2 , x , y R n .

a jbj j =1

n

a 2j j =1

n

bj =1

n

2 j

.

Imamo2 d 2 ( , ) = ( yi yi ) 2 i =1 j n

= ( cij ( x x )) j i =1 n j =1 n n

n

n

2

2 ( cij ( x j x ) 2 ) j i =1 n j =1 n j =1 2 2 2 2 = ( cij d 2 ( x , x )) cij d 2 ( , ). i =1 j =1 i =1 j =1 n n

Ako je

ci =1 j =1

n

n

2 ij

0 takvo da je x *j M , za sve j N . Problem emo reavati u prostoru l ogranienih nizova sa normom x = sup xi zax = { x , x ,..., } l* 1 * 2 iN

s obzirom da se za reenje trai da je ogranien niz.

Pre svega potrebno je sistem zapisati u sledeem oblikuxi = cij x j + bi ,j =1

iN .

Za x l oznaimo sa Tx = {i } gde je i = cij x j + bi , za sve i N . Pokazaemo daj =1

Tx l , za sve x l . Kako je xi A ( i N ) sledi da je za sve i N

30


i cij x j + bi Aq + B ,a to znai da {i }l . ta vie moe se pokazati da je T i kontrakcija.j =1

Neka je x1 = {xi1 }, x 2 = {xi2 }, Tx1 = {i1 } i Tx2 = {i2 }. Tada jeTx1 Tx2l

= sup i1 i2 = sup cij ( x1j x 2 ) jiN iN j =1 l

sup(sup x1j x 2 cij ) q sup x1j x 2 = x1 x 2 j jiN jN j =1 jN

.

Kao posledica Banahovog principa kontrakcije sada se dobija egzistencija i jedinstvenost reenja jednaine Tx = x . Reenje ove jednaine u prostoru l je traeno reenje sistema (3).

Primer 3.8: Primenom princiipa kontrakcije reiemo poetni problem dy y ( x0 ) = y0 , = f ( x , y ), dx gde je funkcija f definisana i neprekidna nad pravugaonikom

(4)

[x0 a, x0 + a ] [ y0 b, y0 + b] = P ,Neka je K = max f ( x , y ) . Tada vai sledee tvrenje.( x , y )P

a , b > 0.

Tvrenje 3.1:Predpostavimo da postoji M > 0 tako da jef ( x , y1 ) f ( x , y 2 ) M y1 y 2 ,

za sve ( x , y1 ), ( x , y 2 ) P.

b 1 Tada u intervalu [x 0 h, x0 + h ] gde je h < min a , , postoji jedinstveno reenje K M poetnog problema (4).

Dokaz: Neka je C [x 0 h, x0 + h ] skup svih neprekidnih preslikavanjas : [x 0 h , x 0 + h ] R ,

a A = { s; s C [x 0 h, x 0 + h ], s( x ) y 0 b,

za sve x [x 0 h, x0 + h ] }.

U prostoru C [x 0 h, x0 + h ] defisaemo metriku na sledei nain

31

Banahov princip-primene i generalizacijed ( s, r ) = max s (t ) r (t ) ,

t[ x0 h , x0 + h ]

za sve s, r C [x 0 h, x 0 + h ] .

Prostor C [x0 h, x0 + h ] sa datom metrikom d je kompletan. Skup A je zatvoren podskup od C [x0 h, x0 + h ] . Naime, skup A je zatvorena lopta B ( y0 , b ) u prostoru C [x0 h, x0 + h ] . Preslikavanje F : A A , iju emo nepokretnu taku traiti, definisaemo na sledei nainF ( s )(t ) = y 0 + f ( u, s ( u ))du ,x0 t

t [x 0 h, x0 + h ],

sM .

(5)

Ako je s = F ( s ) , tada je na osnovu (5)s (t ) = y 0 + f ( u, s ( u ))du ,x0 t

t [x 0 h, x0 + h ],

(6)

i iz (6) sledi da jeds i s( x0 ) = y0 . = f (t , s (t )) dt Dakle nepokretna taka s * preslikavanja F je reenje poetnog problema (4). Treba pokazati da je za sve s A , F ( s ) A , i da je F kontrakcija sa koeficijentom kontrakcije = hM . Prema definiciji skupa A , treba da dokaemo nejednakostF ( s )( t ) y 0 b,

za sve t [x 0 h, x 0 + h ].

Iz (5) sledi, na osnovu h L uobiajenu sup-normu osigurava jedinstveno reenje samo na nekom podintervalu intervala [0, T ] , dok smo modifikacijom norme uspeli zakljuiti da jedinstveno reenje postoji na itavom intervalu [0, T ] .

Primer 3.10: Neka je {G ( s, t )} realna funkcija dve realne promenljive s i t koja je neprekidna na skupu A gde je A = { ( s, t ) | s [a , b] , t R}.

34


Za datu funkciju emo predpostaviti da ima parcijalni izvod Gt nad A tako da vai0 < m Gt ( s, t ) M ,

za sve s , t A .

Neka je x = {x ( s )} C [a , b ] . Primenjujui Banahov princim kontrakcije pokazaemo da postoji jedna i samo jedna neprekidna funkcijax * C [a , b ] tako da je G ( s, x * ( s )) = 0 , s [a , b ]

Pokaimo da je funkcija y = Tx definisana sa 2 y(s) = x(s) G ( s , x ( s )), m+M kontrakcija prostora C [a , b ] u samog sebe. Ako je(T ( xi ))( s ) = yi ( s ) ,i = 1,2,.... ,

s [a , b ] .

za svako s [a , b ] ,

Sledi na osnovu Teoreme o srednjoj vrednostiy1 ( s ) y 2 ( s ) = x1 ( s ) x 2 ( s ) = x1 ( s ) x 2 ( s ) 1 2 Gt ( s, ( s ))( x1 ( s ) x 2 ( s )) m+M

2 Gt ( s , ( s )) , m+Ms [a , b ] .

gde je

x1 ( s ) < ( s ) < x 2 ( s ) ,

Dalje je2 2M , Gt ( s, ( s )) m+M m+Ms [a , b ] ,

te je1 2 2M . Gt ( s, ( s )) 1 m+M m+M

35

Banahov princip-primene i generalizacijeSa druge strane je2 2m , Gt ( s, ( s )) m+M m+M

te je1 2 2m . Gt ( s , ( s )) 1 m+M m+M2M > 1 , m+M

Kako je1

jer je m > 0 i1 2m 0 dovodi do kontradikcije. Iz nejednakosti

n ( n 1 ) ,

n = 1,2,... ,

i poluneprekidnosti preslikvanja sledi

lim sup ( t ) ( ) < ,t +

to je kontradikcija. Dakle pokazali smo da je = 0 . 2. Pokazeemo sada da je niz {F n x }nN {0 } Koijev. Predpostavimo suprotno. Tada postoji > 0 i nizovi {mk }kN i {n k }kN prirodnih brojeva tako da su za svako k N zadovoljeni sledei uslovi:

i. mk > nk k ; ii. k = d ( F mk x , F nk x ) ,pri emu je m k najmanji prirodan broj za koji ovi uslovi vae. To znai da jed ( F mk 1 x , F nk x ) < .

(1)

Koristei nejednakost (1) dobijamo

k d ( F m x , F m x ) + d ( F m 1 x , F n x ) m + .k k 1 k k k

(2)

Kako je mk > k sledi mk < k jer je niz

{ n }nN42

opadajui te iz (2) sledi


k k + ,Iz nejednakosti (3) sledi da jelim n = .n

za sve k N .

(3)

Dokazaemo sada da je

k 2 k + ( k ) ,

za sve k N .

(4)

Koristei nejednakost trougla i definiciju niza { k }kN imamo da je

k = d ( F m x , F n x ) d ( F m x , F m +1 x ) + d ( F m +1 x , F n +1 x ) +k k k k k k

d ( F nk +1 x , F nk x ) 2 k + ( d ( F mk x , F nk x )) = 2 k + ( k ),

ime je nejednakost (4) dokazana. A u (4) k na osnovu od gorepoluneprekidnosti preslikavanja i uslova i, sledi

( ) < ,ime smo dobili kontradikciju. Dakle niz {F n x }nN je Koijev niz. 3. Neka jelim F n x = z ,n

tada jez = lim F n +1 x = F ( lim F n x ) = Fz .n n

Pokazaemo sada i jedinstvenost nepokretne take Neka je Fz * = z * i z z * , tada jed ( z, z * ) > 0 ,

te jed ( z * , z ) = d ( Fz * , Fz ) ( d ( z * , z )) < d ( z * , z ) ,

to je kontradikcija.43


4.2 Lokalna uniformna (,) kontrakcijaDefinicija 4.2.1: Prostor ( X , d ) je lanast ako za svake dve take x , y X postoji konano mnogo taaka x0 = x , x1 ,..., x n = y tako da jed ( xi , xi +1 ) < ,i = 0,1,..., n 1 .

Definicija 4.2.2: Preslikavanje f : X X kompletnog metrikog prostora ( X , d ) u smog sebe je lokalna uniformna ( , ) kontrakcija ako vai implikacijad ( x , y ) < d ( fx , fy ) d ( x , y ) ,

za sve x , y X ,

(0,1) .

(5)

Teorema 4.2.1: Ako je F je lokalna uniformna ( , ) kontrakcija lanastog kompletnog metrikog prostora ( X , d ) u samog sebe, tada postoji jedna i samo jedna nepokretna taka preslikavanja F . Dokaz: Ako je preslikavanje F lokalna uniformna ( , ) kontrakcija na - lanastom kompletnom metrikom prostoru pokaimo da vai1) da za svako x X i m N , d ( F m x , F m +1 x ) n m , gde je n = n ( x ) N ; 2) Niz {F n x }nN {0 } je Koijev; 3) Ako je lim F n x = z tada je Fz = z i iz Fz * = z sledi da je z = z .n*

1. Neka je x X i {x 0 , x1 ,..., x n ( x ) } ( x 0 = x , x n ( x ) = Fx ) konaan lanac. To znai da je n = n( x ) , d ( x i , x i +1 ) < , i = 0,1,..., n 1 , tada iz implikacije (5) sledid ( Fx i , Fx i +1 ) d ( x i , x i +1 ) ,

i = 0,1,..., n 1 .

(6)

Kako jed ( x i , x i +1 ) < ,

a [0,1) iz nejednakosti (6) sledid ( Fx i , Fx i +1 ) < ,

i = 0,1,..., n 1 .

44

Banahov princip-primene i generalizacijePrimenom implikacije (5) zakljuujemo da jed ( F ( Fx i ), F ( Fx i +1 )) < d ( Fx i , Fx i +1 ) 2 d ( x i , x i +1 ) < 2 .

Neka je za m N zadovoljena nejednakost:d ( F m xi , F m xi +1 ) m ,

i = 0,1,..., n 1 .

Tada na osnovu uslova 0 < 1d ( F m xi , F m xi +1 ) < ,

i = 0,1,..., n 1 .

te primenom implikacije (5) sledid ( F ( F m xi ), F ( F m xi +1 )) d ( F m xi , F m xi +1 ) m +1 ,

i = 0,1,..., n 1 .

Dakle koristei princip matematike indukcije dokazali smo da je za svako m N zadovoljena nejednakost:d ( F m xi , F m xi +1 ) m ,

i = 0,1,..., n 1 .

Odavde jed ( F m x , F m +1 x ) d ( F m x i , F m x i +1 ) nm ,i =0 n 1

za svako m N .

2. Za svako m N sledi da jed ( F m x , F k x ) d ( F i x , F i +1 x ) i=m k 1

n ( + m

m +1

m + ... + ) n , 1 k 1

za k > m m , k N .

Odavde sledi da je niz {F m x }mN Koijev. 3. Neka je lim F n x = z . Na osnovu neprekidnosti preslikavanja F sledin

Fz = F ( lim F n x ) = lim F n +1 x = z .n n

Ostaje da se pokae jedinstvenost nepokretne take preslikavanja F . Neka je z z * , Fz * = z * i {x 0 , x1 , x 2 ,..., x k 1 , x k }, x k = z * -lanac takav da je

45

Banahov princip-primene i generalizacijed ( x i , x i +1 ) < ,

i = 0,1,..., k 1 ,k 1 i =0

( x0 = z ) .

Tada jed ( z , z * ) = d ( Fz , Fz * ) = d ( F p x , F p z * ) d ( F p x i , F p x i +1 ) p k .

Kako je < 1 moe se odrediti p tako da je

p k < d ( z , z * ) ,ime smo dobili da jed ( z, z * ) < d ( z, z * ) ,

to je kontradikcija, te je nepokretna taka preslikavanja F je jedinstvena.

46


4.3 Uoptena kontrakcijaDefinicija 4.3.1: Preslikavanje f : X X metrikog prostora ( X , d ) u samog sebe je uoptena kontrakcija ako je d ( fx , fy ) l ( , ) d ( x , y ) , za svako x , y X , d ( x , y ) , gde je l ( , ) funkcija definisana za 0 < < i l ( , ) < 1 . Teorema 4.3.1: Ako je ( X , d ) kompletan metriki prostor i preslikavanje f : X X uoptena kontrakcija, tada postoji jedna i samo jedna nepokretna taka preslikavanja f . Dokaz: Pokazaemo prvo da preslikavanje f preslikava neku loptu {x : d ( x , x 0 ) r )} za svako r > 0 u samu sebe. Predpostavimo suprotno, tj. Da za neko r > 0 i svako x X postoji x1 X tako da je d ( x1 , x ) r i d ( fx1 , x ) > r . r r ili je d ( x1 , x ) > . Sada postoje dve mogunosti: ili je d ( x1 , x ) 2 2 U prvom sluaju izd ( x , fx1 ) d ( x , fx ) + d ( fx1 , fx ) ,

sledid ( fx , x ) d ( x , fx1 ) d ( fx1 , fx ) r r r = . 2 2

U drugom sluaju je te je za svako x Xr d ( x , fx ) r l ( , r ) r 2

r r d ( x , fx ) min , r r l ( , r ) = a > 0 2 2

Odavde sledi da za svako x 0 X vaid ( f k +1 x 0 , f k x 0 ) {l ( a , d ( x 0 , fx 0 ))} d ( x 0 , fx 0 ),k

k = 1,2,...,

te postoji elemenat x X takav da je d ( x , fx ) < a to je kontradikcija. Neka je B1 invarjantna za f lopta radijusa 1. Pokazali smo da postoji lopta B2 B1 1 koja je takoe invarjantna za f . Nastavljajui ovaj postupak, dobiemo radijusa 2 opadajui niz skupova B1 B2 ... iji radijusi tee nuli i f : Bk Bk za svako k N .

47


Poto je X kompletan prostor

Bk je neprazan i jednolan skup. Iz {z} = Bk sledik =1 k =1

da je f ( z ) f ( Bk ) Bk . Sada zbog jedinstvenosti take preseka je f ( z ) = z.k =1 k =1

48


4.4 O n-lokalnim kontrakcijamaDefinicija 4.4.1: Neka je ( X , d ) metriki prostor i f : X X . Kaemo da je f n lokalna kontrakcija ako za svako x X postoji n = n( x ) N tako da je d ( f n x, f n y ) k d ( x, y ) ,za sve x , y X .

za svako y X , gde je k [0,1) i k je nezavisno od x i y .

Teorema 4.4.1.: Neka je ( X , d ) kompletan metriki prostor i F : X X neprekidna n lokalna kontrakcija. Tada postoji jedinstvena nepokretna taka preslikavanja f i za svako z X je

= lim F n z = F .n

Dokaz: Pokaimo sledee:1) Za svako xX i sup{d ( x , F x )} = d ( x ) ;iN

postoji

realan

broj

d ( x)

takav

da

je

2) Niz {x n }nN definisan na sledeix1 = F n ( x0 ) x 0 , x 2 = F n ( x1 ) x1 , ..., x p +1 = F x 0 je proizvoljana elemenat iz X je Koijev; 3) Ako je lim x n = z tada je Fz = z ;nn( x p )

xp,

4) z je jedino reenje jednaine Fx = x i lim F n x 0 = z .n

1. Neka je q = n(x ) . Za svako n > q postoji p , r N i r < q tako da je n = pq + r . Tada jed ( F n x , x ) d ( F n x , F q x ) + d ( F q x , x ) = d ( F pq + r x , F q x ) + d ( F q x , x ) kd ( F ( p 1) q + r x , x ) + d ( F q x , x ) k kd ( F ( p 2 ) q + r x , x ) + d ( F q x , x ) + d ( F q x , x ) k d (F2 ( p2 )q+ r

(

)

x , x ) + (1 + k )d ( F q x , x ).

Ako jeM ( x ) = max d ( x , F i x ) ,1i q

49

Banahov princip-primene i generalizacijetada jed ( F n x , x ) (1 + k + k 2 + ...) M ( x ) = M (x) , 1 k

za sve n > q

odakle sledi da jeM (x) M (x) . d ( x ) = max M ( x ), = 1 k 1 k

2. Pokazaemo sada da je niz {x n }nN Koijev. Za svako n Nd ( x n +1 , x n ) = d ( F n ( xn ) x n , F n ( xn 1 ) x n 1 ) = d ( F n ( xn 1 ) F n ( xn ) x n 1 , F n ( xn 1 ) x n 1 ) kd ( F n ( xn ) x n 1 , x n 1 ) k 2 d ( F n ( xn ) x n 2 , x n 2 ) ... k n d ( F n ( xn ) x0 , x0 ) k n d ( x 0 ),

odakle sledi da jed ( x n+ p , x n ) n + p 1

i=n

k i d ( x0 )

k n d ( x0 ) , 1 k

za svako n N i p N to na osnovu uslova k [0,1) ima za posledicu da je niz {x n }nN Koijev. 3. Kako je ( X , d ) kompletan prostor postoji z X takvo da jelim x n = z .n

Dokazaemo da je Fz = z . Kako jed ( Fx n , x n ) = d ( FF n ( xn 1 ) x n 1 , F n ( xn 1 ) x n 1 ) = d ( F n ( xn 1 ) Fx n 1 , F n ( xn 1 ) x n 1 ) kd ( Fx n 1 , x n 1 ) k 2 d ( Fx n 2 , x n 2 ) ... k n d ( Fx 0 , x 0 ),

za svako n N sledi da jelim d ( Fx n , x n ) = 0 .n

50

Banahov princip-primene i generalizacijePoto je F neprekidno preslikavanje imamo da jelim Fx n = Fz = lim x n = z .n n

4. Predpostavimo da je z * z , Fz * = z * . Iz relacije Fz = z , Fz * = z * slediz = F n( z ) z , F n( z ) z * = z * ,

odakle je:d ( z, z * ) = d ( F n( z ) z, F n( z ) z * ) k d ( z, z * ) .

Kako je k [0,1) sledi da je d ( z , z * ) = 0 odakle je z = z * . Pokazaemo sada da jelim F n x 0 = z .n

Ako jeA = max d ( z , F i x 0 ) ,0i q 1

gde je q = n ( z ) i n = pq + r , r < q tada jed ( F n x 0 , z ) = d ( F pq + r x 0 , F q z ) = d ( F q +( p 1) q + r x 0 , F q z ) ,

odnosno imamo da jed ( F n x 0 , z ) kd ( F ( p 1) q + r x 0 , z ) ... k p d ( F r x 0 , z ) k p A .

(7)

Ako n iz jednakosti n = pq + r sledi i da p te na osnovu nejednakosti (7) sledi da jelim d ( F n x 0 , z ) = 0 ,n

odakle je:lim F n x 0 = z .n

51


Primer 4.4.1: Neka je X = [0,1] i d ( x, y ) = x y . Tada je ( X , d ) kompletan metrikiprostor i vai 1 1 X = n , n1 {0}. 2 n =1 2

Definiimo preslikavanje F : X X na sledei nain:

0, 1 1 n + 2 ( x n1 ) + n , Fx = 2 2 n + 3 1 2 n+1 , Iz ove definicije sledi da

x=0 3n + 5 1 , n1 x n+1 2 ( n + 2) 2 1 3n + 5 x n , n+1 . 2 2 ( n + 2)

1 1 1 1 F : n , n1 n+1 , n , 2 2 2 2poto je funkcija F neopadajua i za x =1 2 n 1

jeF (x) = F ( 1 2n 1

)=

n+2 1 1 1 1 ( n 1 n 1 ) + n = n . n+3 2 2 2 2

a za x =

1 je 2n F (x) = 1 2 n +1

.

Funkcija F je i neprekidna jer za x =

3n + 5 je 2 ( n + 2)n +1

52

Banahov princip-primene i generalizacijen+2 3n + 5 3n + 5 1 1 )= ( n +1 n 1 ) + n n + 3 2 ( n + 2) 2 2 ( n + 2) 2 n + 2 3n + 5 4 n 8 n+2 n+3 1 1 = ( n +1 )+ n = ( n +1 )+ n n + 3 2 (n + 2) n+3 2 2 ( n + 2) 2 1 1 1 = n +1 + n = n +1 . 2 2 2 F (x) = F (n +1

1 1 Ako je x n , n 1 a y proizvoljan elemenat iz [0,1] pokaimo da je 2 2

Fx Fy

n+3 x y , n+4

za svako y X .

1 1 1 1 Uzmimo x n , n1 , y n , n1 . 2 2 2 2 1 3n + 5 1. Neka x , y pripadaju istom podintervalu n , n+1 tada imamo da je 2 2 ( n + 2) Fx Fy =1 2n +1

1 2 n+1

= 0.

1 3n + 5 3n + 5 1 2. Predpostavimo da je x n+1 , n1 , y n , n +1 tada imamo 2 2 ( n + 2) 2 ( n + 2) 2 da jeFx Fy =1 1 1 3n + 5 n+2 n+2 n+2 ( x n1 ) + n n +1 = ( ) x n +1 2 2 2 2 ( n + 3) n + 2 n+3 n+3

=

3n + 5 n+2 n+2 n+3 x n +1 xy x y. 2 ( n + 2) n + 3 n+3 n+4

3n + 5 3n + 5 1 1 3. Predpostavimo da je x n+1 , n1 , y n +1 , n 1 . Tada imamo 2 ( n + 2) 2 2 ( n + 2) 2 da je n+2 1 1 n+2 1 1 Fx Fy = ( x n1 ) + n ( y n1 ) n n+3 2 2 n+3 2 2 . n+2 n+3 xy x y. n+3 n+4

53

Banahov princip-primene i generalizacije1 3n + 5 1 3n + 5 4. Neka je x n , n+1 , y 2 n +1 ( n + 2) , 2 n 1 . Tada imamo da je 2 2 ( n + 2) Fx Fy = 1 2n +1

n+2 1 n + 2 3n + 5 1 ( y n 1 ) n = y n+3 2 n + 3 2 n +1 ( n + 2) 2

n+2 n+3 xy x y. n+2 n+4

1 1 Slino se proveravaju i sluajevi y m , m 1 za m < n i m > n . 2 2

1 1 1 1 Kako funkcija F : n , n 1 n+1 , n sledi da 2 2 2 21 1 1 1 F n+ 3 : 2 n+ 2 , 2 n+1 2 n+ 3 , 2 n + 2 . 2 2 2 2

Odatle sledi da jen + 3 + n + 2 n+2 F x F n+ 2 y ... n+4+n+2 2n + 5 2n + 4 n+3 n+3 1 ... xy = x y = x y. 2n + 6 2n + 5 n+4 2n + 6 2 F n+3 x F n +3 y = FF n + 2 x FF n + 2 y

Pokazali smo da je F n kontrakcija za k =

1 i n( x) = n + 3 . Ako je x = 0 tada je 2

n(0) prirodan broj vei od 1 .Nepokretna taka preslikavanja F je 0 . Moe se takoe pokazati da ne postoji n0 N tako da je

F n0 x F n0 y k x y ,

x, y [0,1] , k [0,1] ,

te da se u ovom sluaju ne moe primeniti Tvrenje 2.2.

54


4.5 Kvazi kontrakcijaJedno od znaajnih uoptenja Banahovog principa kontrakcije dao je na poznati matematiar Lj. iri [5] . Definicija 4.5.1: Neka je ( X , d ) metriki prostor i f : X X . Kaemo da je f kvazi kontrakcija ako vaid ( fx , fy ) k max{d ( fx , x ), d ( fy , y ), d ( fx , y ), d ( fy , x ), d ( x , y )},

za svako x , y X , gde je k [0,1) . Teorema 4.5.1: Ako je f je kvazi kontrakcija kompletnog metrikog prostora ( X , d ) u samog sebe, tada postoji jedna i samo jedna nepokretna taka preslikavanja f . Dokaz: Prvo emo pokazati da je niz definisan sa x n+1 = fx n , n N , x0 proizvoljna taka iz X ogranien tako to emo pokazati da jed ( f n x , fx )

1

d ( x , fx ) ,

za sve n N .

(8)

Dokaz emo dati matematikom indukcijom. Za n = 1d ( fx , fx )

1

d ( x , fx ) ,

to je tano. Predpostavimo da je (8) tano za sve m n0 1 i pokaimo da (8) vai za m = n0 2 . Poto je f kvazi kontrakcija, postoji i0 n0 takvo da je

d ( f n0 x, fx) d ( x, f i0 x) .

(9)

I sluaj: Ako je i0 < n0 tada na osnovu (8) i (9) na osnovu induktivne pretpostavke sledi da je d ( f n0 x , fx ) d ( x , f i0 x ) ( d ( x , fx ) + d ( fx , f i0 x )) d ( x , fx ) +

2 d ( x , fx ) = d ( x , fx ), 1 1

pa je (8) tano i ta n = n0 .

55

Banahov princip-primene i generalizacije II sluaj: Neka je i0 = n0 . Tada iz (9) sledid ( f n0 x , fx ) d ( x , f n0 x ) d ( x , fx ) + d ( fx , f n0 x ) ,

te je(1 )d ( f n0 x , fx ) d ( x , fx ),

to znai da (8) vai i u ovom sluaju. Time smo matematikom indukcijom pokazali da (8) vai za sve n N . Pokaimo da jed ( f n x, x ) 1 d ( x , fx ), 1

za sve n N .

(10)

Poto vai (8) primenom nejednakosti trougla imamo da jed ( f n x , x ) d ( f n x , fx ) + d ( fx , x )

1

d ( x , fx ) + d ( fx , x ) =

1 d ( x , fx ), 1

to smo i eleli da dokaemo. Pokaimo sada da je niz {f n x}nN Koijev. Za proizvoljno n koristei (17) vai da jed ( f n x , f n +1 x ) = d ( f ( f n 1 x ), f ( f n x ))

max d ( f n 1 x , f n x ), d ( f n x , f n +1 x ), d ( f n 1 x , f n +1 x ), d ( f n x , f n x )n 1

{ = max {d ( f

}

(11)

x , f n x ), d ( f n 1 x , f n +1 x ) ...

}

n d ( x , fx ). 1

Sada iz (11) primenom nejednakosti trougla dobija se da je za sve m > nd ( f n x , f m x ) d ( f k x , f k +1 x ) k =n m 1

n d ( x , fx ) . (1 ) 2

Poto n (1 ) 2 d ( x , fx ) 0 , kada n , pokazali smo da je {f n x}nN Koijev niz, pa kako je prostro kompletan postoji z takvo da je lim f n x = z .n

Pokaimo da je z nepokretna taka prelikavanja f . Poto je f kvazi kontrakcija vai da jed ( f n x , fz ) max { d ( f n 1 x , z ), d ( f n 1 x , f n x ), d ( z , fz ), d ( f n 1 x , fz ), d ( f n x , z ) }.

56

Banahov princip-primene i generalizacije Koristei neprekidnost metrike kada n ,d ( z , fz ) max {d ( z , z ), d ( z , z ), d ( z , fz ), d ( z , fz ), d ( z , z )} = max {0, d ( z , fz )}.

Zbog < 1 dobija se da je d ( z , fz ) = 0 odnosno fz = z . Ostaje je jo da pokaemo da je z jedinstvena nepokretna taka preslikavanja f . Predpostavimo suprotno, da postoji u X takvo da je fu = u . Tada izd ( z , u ) = d ( fz , fu ) max {d ( z , u ), d ( z , fz ), d ( u, fu ), d ( z , fu ), d ( u, fz )} = max {d ( z , u ),0},

sledi da je u = z to je i trebalo dokazati.Napomena: Neka interesantna uoptenja Banahovog principa kontrakcije moemo pronai i u radovima [4] , [11] i [12 ]

57


5. O Stefanu BanahuStefan Banah je poljski matematiar koji je radio izmeu dva svetska rata. Kao samouki matematiki genije, bio je osniva moderne funkcionalne analize. Meu njegovim najistaknutijim dostignuima je delo teorija linearne operacije iz 1932. godine koja predstavlja prvu monografiju o teoriji linearnih metrikih prostora. Roen je 30. marta 1892. godine u Krakovu. Detinjstvo je proveo sa bakom u Ostrowskom, a kada se razbolela otac ga je preselio u Krakov. Kao dete Banah je upoznao Juliusz Mien, Francuskog intelektualca koji se takoe 1870. godine preselio u Krakov. Mien je poduavao Banaha matematikim vetinama, kao i francuskim jezikom kako bi se kasnije mogao lake sporazumevati sa svojim kolegama. U Krakovu je sa deset godina (1902. godine) upisao IV Gimnaziju gde je bio poznat kao genije. kola je bila specializovana za drutvene nauke kao to su istorija, geografija, ali i jezike poput grkog, latinskog, nemakog. Pored toga nastavio je da izuava i matematiku. Banah i njegov najbolji prijatelj Witold Wikosz reavali su matematike probleme tokom kolskeog odmora i posle kole. Sa 14 godina (1906.) Banah je ve studirao matematiku, a dve godine kasnije to je inio i na vie jezika. Nakon toga, 1910. godine se sa Witold Wikosz preselio u Lww, glavni grad tadanje Galicije, zainteresovan da upie inenjerstvo na tamonoj na politehnikoj akademiji. Ipak, u tome je usled nedostatka novca uspeo tek 1914. godine, a sa samo 22 godine poloio sve ispite na prvom nivou studija. Kada je izbio Prvi svetski rat Banah je nije uestvovao u vojnim operacijama jer je bio levoruk i imao lo vid. Kada je ruska vojska otvorila ofanzivu na Lww, Banah je ponovo preao u Krakov. Tu i u jo nekoliko gradova Galicije proveo je ostatak rata. Radio je kao uitelj u lokalnim kolama i prodavac u jednoj knjiari. Tokom ovog perioda pohaao je i predavanja na Jangelonskom univerzitezu u Krakovu, ali se o ovom periodu njegovog ivota veoma malo zna.. U Krakovu je 1916. godine upoznao profesora Huga Steinhausa jednog od uglednih matematiara toga doba koji je bio fasciniran njegovim znanjem. Ovaj susret je rezultirao dugoronu saradnju i prijateljstvo. Preko Huga Steinhausa Banah je upozna i svoju buduu suprugu uciju Braus. Steinhaus ga je uveo i u akademske krugove, to je znatno ubrzalo njegovo profesionalno usavravanje. Nakon to je to je Poljska povratila nezavisnost (1920. godine) dobio je mesto asistenta na Jangelonskom univerzitetu u Krakovu. Steinhausova podrka mu je pomogla da dobije doktorsku titulu, za koju nije morao da zavrava posebne studije. Njegova doktorska disertacija prihvaena je od strane Univerziteta kralja Jovana II Kazimira u

58

Banahov princip-primene i generalizacije Lww. Objavljena je 1922. godine i sadrala osnovne ideje o funkcionalnoj analizi, koja je ubrzo postala potpuno nova grana matematike. Od 1922. godine bio asistent profesora Antoni omnicki na politehnikoj akademiji, a od 1927. godine dobio i mesto profesora. Godine 1924. postao je i lan Poljske akademije nauka. U isto vreme Banah je bio i na elu katedre za matematiku Univerziteta u Lww . Mladi i talentovani Banah saraivao je sa puno matematiara. Njihova neformalana okuplanja kasnije su prerasla u Lww kolu matematike. Nekoliko godina kasnije poinje objavljivanje asopisa Matematika analiza posveena pre svega Banahovoj oblasti interesovanja-funkcionalnoj analizi. Nakon poetka II Svetskog rata, Lww je bio pod sovjetskom okupacijom skoro dve godine. Banah je od 1939. godine bio dopisni lan Akademije nauka u Ukrajini i u dobrim odnosima sa sovjetskim matematiarima. Da bi zadrao svoje mesto na univerzitetu i nastavio akademske aktivnosti morao uiti ukrajinski jezik. Nakon preuzimanja Lww 1941. godine u operaciji Barabarossa svi univerziteti bili su zatvoreni. Banah je zajendo sa svojim kolegama i sinom bio zaposlen kod profesora Rudolfa Weigla na Institutu za istraivanje bolesti tifusa. Na ovom Institutu bili su angaovani mnogi nezaposlene univerzitetski profesori i njihovi saradnici, a time zatitieni od sluajnog hapenja i deportacije u nacistike koncetracione logore. Nakon to je Crvena armija povratila Lww Banah se vratio na Univerzitet i pomogao njegovom ponovnom osnivanju u posleratnom periodu. S obzirom sa su Sovjeti iseljsavali Poljake sa nekadanjih poljskih teritorija, Banah je otpoeo pripreme za naputanje grada i ponovnu selidbu u Krakov, gde mu je bilo obeano mesto na Jangelosnkom univerzitetu. Bio je i kandidat za ministra obrazovanaj u Poljskoj. Kada mu je 1945. godine diagnosticiran kancer plua, lekari su mu savetovali da da ostane u Lww. Umro je 31. avgusta 1945. godine u 53. godini ivota. Njegova sahrana prerasla je u patriotske demostracije Poljaka koji su ostali u Lww.

59


Literatura

1. Dragoslav Herceg, Nataa Kreji, Numerika analiza za informatiare, Prirodnomatematiki fakultet, Novi Sad, 2006 2. Ilija Kovaevi, Neboja Ralevi, Funkcionalna analiza, Fakultet tehnikih nauka, 1997. 3. Iva Krikovi, Nepokretna taka u R , diplomski rad, Prirodno-matematiki fakultet, Novi Sad, 2010. 4. Ljiljana Gaji, Zagorka Lozanov-Crvenkovi, A fixed point result for mappings with contractive iterate at a point in G-metric spaces, Filomat, (prihvaen za tampu) 5. Ljubomir iri, A generalization of Banachs contraction principle, Proceedings of the American Mathematical Society, volume 45, number 2, 1974. 6. Olga Hadi, Osnovi teorije nepokretne take, Prirodno-matematiki fakultet, Novi Sad, 1978. 7. Olga Hadi, Zbirka reenih zadataka iz funkcionalne analize, Prirodno-matematiki fakultet, Novi Sad, 1980. 8. Olga Hadi, Stevan Pilipovi, Uvod u funkcionalnu analizu, Prirodno-matematiki fakultet, Novi Sad, 1996. 9. S. Park, A unified approach to fixed points of contractive maps, Journal of the Korean Mathematical Society, volume 16, number 2, 1980. 10. V. M. Sehgal, A fixed point theorem for mapping with a contractive iterate, Proceedings of the American Mathematical Society, 1969. 11. Z. Mustafa and B.Sims, Fixed point theorems for contractive mapping in complete Gmetric spaces, Fixed Point Theory and Applications, Vol. 2009. 12. Z. Mustafa, W. Shatanawi and M. Bataineh, Existence of Fixed Point Results in Gmetric Spaces, Inter. J.Math.Sciences, Vol. 2009.

60


BIOGRAFIJARoena sam u Novom Sadu 03.04.1986. Zavrila sam osnovnu kolu Vuk Karadi u Novom Sadu 2001. godine a nakon toga i srednju ekonomsku kolu Svetozar Mileti 2005. godine u Novom Sadu. Od oktobra 2005. godine sam redovan student Prirodno matematikog fakulteta u Novom Sadu, departman za matematiku i informatiku, na smeru matematika finansija. U septembru 2009. godine zavrila sam osnovne studije sa prosenom ocenom 9.36. Iste godine na istom fakultetu upisala sam master studije primenjene matematike. Zakljuno sa junskim ispitnim rokom 2010.godine uspeno sam poloila sve predviene ispite master studija sa prosenom ocenom 9.43.

61

Banahov princip-primene i generalizacijeUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTET KLJUNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA Redni broj: RBR Identifikacioni broj: IBR Tip dokumentacije: Monografska dokumentacija TD Tip zapisa: Tekstualni tampani materijal TZ Vrsta rada:Master rad VR Autor: Nataa Gajinov AU Mentor: Prof. dr Ljiljana Gaji MN Naslov rada: Spektralna teorija operatora MR Jezik publikacije: Srpski (latinica) JP Jezik izvoda: srpski/engleski JI Zemlja publikovanja: Srbija ZP Ue geografsko podruje: Vojvodina UGP Godina: 2010. GO Izdava: Autorski reprint IZ Mesto i adresa: Novi Sad, Departman za matematiku i informatiku, PMF, Trg Dositeja Obradovia 4 MA Fiziki opis rada: 5 glava, 6 poglavlja, 59 strana FO Nauna oblast: Matematika NO Nauna disciplina: Funkcionalna analiza ND Kljune rei: kontrakcija, nepokretna taka, kompletni metriki prostor, kontrakcija, lokalna uniformna ( , ) kontrakcija, uoptena kontrakcija, n lokalna kontrakcija, kvazi kontrakcija. PO UDK: uva se: U biblioteci Departmana za matematiku i informatiku U Vana napomena:

62

Banahov princip-primene i generalizacijeVN Izvod: IZ Tema ovog rada je Banahov princip kontrakcije-primene i generalizacije. Prvi deo rada sadri osnovne pojmove u vezi sa metrikim i Banahovim prostorima. U drugom delu formulisana je i dokazana Banahova teorema o nepokretnoj taki koja garantuje postojanje i jedinstvanost nepokretne take odreenih preslikavanja iz nekog metrikog prostora u samog sebe i daje konstruktivni metod za pronalaenje nepokretne take. Banahova teorema predstavlja jedan od klasinih rezultata teorije nepokretne take koja zauzima znaajno mesto u matematici. Treo deo govori o primeni Banahove teoreme u dokazu egzistencije i jedinstvenosti reenja za jednaine razliitog tipa. Primenom teoreme daje se i postupak priblinog nalaenja tog reenja poznat kao metod sukcesivnih aproksimacija. etvrti deo sadri neke generalizacije teoreme o nepokretnoj taki u metrikim prostorima. Datum prihvatanja teme od strane NN vea: 15.10.2010. DP Datum odbrane:. DO lanovi komisije: KO Predsednik: Akademik prof. dr Olga Hadi, redovni profesor Prirodno-matematikog fakulteta u Novom Sadu. lan: Prof. dr Ljiljana Gaji, redovni profesor Prirodno-matematikog fakulteta u Novom Sadu, mentor, lan: Prof. dr Zagorka Lozanov-Crvenkovi, redovni profesor Prirodno-matematikog fakulteta u Novom Sadu. lan: Prof. dr Sanja Rapaji, vanredni profesor Prirodno-matematikog fakulteta u Novom Sadu.

63

banahov princip kontrakcije - primene natasagajinov

Documents