balonesroyo

M a t e m a t i c a s , p a p i r o fl e x i a y b a l o n e s d e

f u t b o l

p o r

J o s e I g n a c i o R o y o P r i e t o , U n i v e r s i d a d d e l P a s V a s c o - E u s k a l

H e r r i k o U n i b e r t s i t a t e a

1 . I n t r o d u c c i o n

1 . 1 . E l u n i v e r s o e n u n a

h o j a d e p a p e l

L a p a p i r o fl e x i a e s e l a r t e d e

h a c e r fi g u r a s r e c o n o c i b l e s u t i -

l i z a n d o p a p e l p l e g a d o . S e g u n

l a c o r r i e n t e m a s o r t o d o x a

d e l a p a p i r o fl e x i a , t a n s o l o

e s t a p e r m i t i d o p l e g a r e l p a -

p e l , s i n u s a r t i j e r a s n i p e g a -

m e n t o . A d e m a s , s e d e b e r a

u t i l i z a r c o m o p u n t o d e p a r -

t i d a u n u n i c o t r o z o d e p a p e l

c u a d r a d o . A p e s a r d e q u e e s -

t a s n o r m a s p u e d a n p a r e c e r n o s

m u y r e s t r i c t i v a s , l a s p o s i b i l i -

d a d e s q u e n o s o f r e c e l a p a -

p i r o fl e x i a s o n c a s i i n fi n i t a s .

D e m o n i o d e T a z m a n i a , J . I . R o y o

4 5

4 6 4 . M a t e m a t i c a s , p a p i r o fl e x i a y b a l o n e s d e f u t b o l

D e e n t r e l a s fi g u r a s d e p a p i r o fl e x i a m a s c o n o c i d a s c a b e c i t a r a l a p a j a r i t a , e l g o r r o

d e p a p e l , e l b a r q u i t o y d i v e r s a s c l a s e s d e a v i o n e s . P e r o l a p a p i r o fl e x i a v a m a s a l l a d e

l o s j u e g o s e s c o l a r e s y d e l a i c o n o g r a f a p o p u l a r , q u e h a a s o c i a d o h u m o r s t i c a m e n t e

e l p l e g a d o d e p a j a r i t a s d e p a p e l c o n l a i n d o l e n c i a d e l f u n c i o n a r i a d o . E n l a s u l t i m a s

d e c a d a s s e h a n d e s a r r o l l a d o t e c n i c a s a c u a l m a s c o m p l e j a p a r a o b t e n e r m o d e l o s d e

m u c h a s p u n t a s . C o c h e s , b a r c o s , a v i o n e s , m u e b l e s , l e o n e s , p e r r o s , i n s e c t o s c o n

t o d a s s u s p a t a s y a n t e n a s , m a m f e r o s

c o n t o d o t i p o d e c u e r n o s , o r e j a s

y c o l a s , d r a g o n e s , d i n o s a u r i o s , e s -

q u e l e t o s , p u l p o s , p e c e s , c r u s t a c e o s ,

a r a n a s , s e r e s h u m a n o s , m a s c a r a s . . .

S e r e s a n i m a d o s e i n a n i m a d o s , r e a l e s

y f a n t a s t i c o s , s e n c i l l o s y c o n t o d o

l u j o d e d e t a l l e s f o r m a n p a r t e d e l i n -

m e n s o r e p e r t o r i o d e l a p a p i r o fl e x i a

m o d e r n a .

L e o n e s d e D a v i d B r i l l

1 . 2 . U n a r t e m i l e n a r i a

L a p a l a b r a j a p o n e s a p a r a l a p a p i r o fl e x i a e s o r i g a m i . S u

e s c r i t u r a e s t a c o m p u e s t a p o r d o s c a r a c t e r e s . E n e l p r i m e r o ,

e l r a d i c a l d e l a i z q u i e r d a d e r i v a d e l d i b u j o d e u n a m a n o , y

s i g n i fi c a d o b l a r ( o r i ) . E l s e g u n d o d e r i v a d e l d i b u j o d e l a

s e d a , y s i g n i fi c a p a p e l ( k a m i ) .

L a h i s t o r i a d e l a p a p i r o fl e x i a ( v e r [ 6 ] ) c o m i e n z a j u n t o c o n

l a d e l p a p e l , e n C h i n a , a l l a p o r e l s i g l o I o I I , y l l e g a a

J a p o n e n e l s i g l o V I . E n u n p r i n c i p i o , e r a u n d i v e r t i m e n t o d e

l a s c l a s e s a l t a s , p u e s e r a n l a s u n i c a s q u e p o d a n c o n s e g u i r

p a p e l , q u e c o n s t i t u a u n a r t c u l o d e l u j o . C i e r t o s a d o r n o s d e

p a p i r o fl e x i a c o n s i g n i fi c a d o s d i s t i n t o s q u e r e v e l a b a n ,

p o r e j e m p l o , l a c l a s e s o c i a l d e c a d a p e r s o n a , d e m o d o q u e , s e g u n e l d i s t i n t i v o d e

p a p i r o fl e x i a q u e l l e v a s e u n i n d i v i d u o , s e p o d a d i s t i n g u i r s i e r a u n g r a n j e r o , u n

g u e r r e r o s a m u r a i o u n s e g u i d o r d e t a l o t a l m a e s t r o fi l o s o f o .

L a fi g u r a m a s p o p u l a r e n J a p o n e s , s i n d u d a , l a g r u l l a ( z u r u ) , t a l y c o m o l o e s

a q u l a p a j a r i t a . E n J a p o n l a g r u l l a e s s m b o l o d e l a b u e n a s u e r t e ; r e g a l a r u n a g r u l l a

d e o r i g a m i a u n a p e r s o n a e n f e r m a a l a q u e s e v i s i t a e s s i n o n i m o d e d e s e a r l e s a l u d y

4 7

u n a p r o n t a r e c u p e r a c i o n . E n j a p o n e x i s t e l a c r e e n c i a d e q u e q u i e n p l i e g u e m i l

g r u l l a s d e p a p e l v e r a c u m p l i d o c u a l q u i e r d e -

s e o p r o p i o . E s t a a n t i g u a t r a d i c i o n j a p o n e s a

f u e c o n o c i d a a n i v e l m u n d i a l d e b i d o a u n a

t r i s t e a n e c d o t a : u n a n i n a j a p o n e s a e n f e r m o

d e l e u c e m i a , v c t i m a d e l a t a q u e c o n b o m b a s

a t o m i c a s d e l e j e r c i t o d e l o s E E U U s o b r e H i -

r o s h i m a . L a n i n a c o m e n z o a p l e g a r g r u l l a s d e

p a p e l c o n l a e s p e r a n z a d e s a l v a r s u v i d a , p e r o l a

m u e r t e l e s o b r e v i n o a f a l t a d e u n a s d e c e n a s .

G r u l l a s d e p a p e l d e l l i b r o S e m b a z u r u O r i k a t a ( c o m o

p l e g a r m i l g r u l l a s ) , 1 7 9 7

S u s c o m p a n e r o s d e c l a s e p l e -

g a r o n e l r e s t o , y l a e n t e -

r r a r o n c o n l a s m i l g r u l l a s

q u e n o p u d i e r o n s a l v a r l e l a

v i d a . D e s d e e n t o n c e s , l a

g r u l l a h a s i d o c o n s i d e r a d a

t a m b i e n c o m o u n s m b o l o d e

l a p a z m u n d i a l y e l d e s a r m e .

L o s m u s u l m a n e s t a m b i e n p r a c t i c a r o n l a p a p i r o fl e x i a , y s i n o h u b i e r a s i d o p o r

l o s R e y e s C a t o l i c o s y e l C a r d e n a l C i s n e r o s , a b u e n s e g u r o l a t r a d i c i o n d e d o b l a r

p a p e l e n l a p e n n s u l a i b e r i c a h u b i e r a t e n i d o m u c h s i m a m a s r e p e r c u s i o n e n n u e s t r o s

d a s . L a p a j a r i t a ( o p a j a r a p i n t a , l l a m a d a a s p o r q u e c u a n d o e s p l e g a d a c o n u n p a p e l

d e c o l o r e s d i s t i n t o s p o r a m b a s c a r a s a p a r e c e c o n l a c a b e z a d e u n c o l o r d i s t i n t o q u e

e l c u e r p o ) f o r m a p a r t e d e l a c u l t u r a p o p u l a r e s p a n o l a d e s d e , p o r l o m e n o s , e l s i g l o

X V I I . P o d e m o s c o n s i d e r a r c o m o p i o n e r o s d e l a p a p i r o fl e x i a e n e l m u n d o o c c i d e n t a l


a l u n i v e r s a l b i l b a n o M i g u e l

d e U n a m u n o y J u g o e n

E s p a n a , a L e w i s C a r r o l e n

I n g l a t e r r a y a l f a m o s o e s -

c a p i s t a y m a g o H o u d i n i .

E l g e n i a l e s c u l t o r a n a r q u i s t a

o s c e n s e R a m o n A c n h a s i d o

u n o d e l o s q u e h a r e n d i d o

h o m e n a j e a l a p a j a r i t a c o n s u

f a m o s a P a j a r i t a s o b r e c u b o ,

e s c u l t u r a d e p i e d r a q u e p o d e -

m o s a p r e c i a r e n u n p a r q u e d e

H u e s c a .

F i g u r a s c r e a d a s p o r M i g u e l d e U n a m u n o

1 . 3 . E l O r i g a m i m o d e r n o

E l p a t r i a r c a d e l a p a p i r o fl e x i a m o d e r n a e s e l j a p o n e s A k i r a Y o s h i z a w a , u n a

l e y e n d a v i v a d e l o s m a e s t r o s o r i e n t a l e s d e O r i g a m i . E s a Y o s h i z a w a a q u i e n d e b e m o s

A u t o r r e t r a t o d e A k i r a Y o s h i z a w a

l a s i m b o l o g a a c t u a l d e l a s i n s t r u c c i o n e s d e

p l e g a d o d e l o s m o d e l o s ( S i s t e m a Y o s h i z a w a -

R a n d l e t t , 1 9 5 6 ) , l o c u a l h a p e r m i t i d o l a d i f u s i o n

i n t e r n a c i o n a l d e l a s d i s t i n t a s c r e a c i o n e s , a l n o

i m p o r t a r e l i d i o m a e n e l q u e e s t e n e s c r i t o s l o s

d e s a r r o l l o s .

P a r a Y o s h i z a w a , e l O r i g a m i c o n l l e v a u n a

fi l o s o f a d e l a v i d a , y l o a s o c i a c o n c e p t u a l y

v i v e n c i a l m e n t e a l Z e n . Y o s h i z a w a r e z a , m e d i t a ,

e s t u d i a y s i e n t e e n u n s e n t i d o c i e r t a m e n t e r e l i -

g i o s o c a d a a n i m a l , r o s t r o o fi g u r a q u e v a a p l e -

g a r . S e d i c e q u e p a s o v a r i o s a n o s o b s e r v a n d o

a u n c i s n e q u e v i v a e n e l e s t a n q u e d e s u c a s a

h a s t a q u e d e c i d i o p l e g a r l o . S e g u n l a e s c u e l a d e

Y o s h i z a w a , e l p l e g a d o e s u n d i a l o g o e n t r e e l

4 9

a r t i s t a y e l p a p e l , e l c u a l h a y q u e r e a l i z a r l o e n e l a i r e , s o l o c o n l a s m a n o s , y a q u e d e

a p o y a r l o e n l a m e s a , e s t a r a m o s t r a n s m i t i e n d o a l a f u t u r a fi g u r a e l y i n d e l a m e s a e n

l u g a r d e l p r o p i o . E n J a p o n , Y o s h i z a w a e s c o n s i d e r a d o c o m o u n a d i v i n i d a d , y s u s

fi g u r a s r e z u m a n v i d a , t r a n s m i t i e n d o u n a s e n s i b i l i d a d a s o m b r o s a .

L a p a p i r o fl e x i a h a e x p e r i m e n t a d o u n a a u t e n t i c a e x p l o s i o n d e c r e a t i v i d a d e n l a s

t r e s u l t i m a s d e c a d a s , d e b i d o a l a m e j o r c o m u n i c a c i o n d e l o s m o d e l o s , y t a m b i e n a l

d e s a r r o l l o d e t e c n i c a s p a r a r e a l i z a r fi g u r a s c a d a v e z m a s c o m p l e j a s . S e g u n P . E n g e l

( v e r [ 9 ] ) , e n l o s 8 0 p o d e m o s s e n a l a r d o s c o r r i e n t e s e n l a p a p i r o fl e x i a m o d e r n a :

P o r u n l a d o , t e n e m o s l a e s c u e l a j a p o n e s a , d o n d e l a p a p i r o fl e x i a h a s i d o c u l t i -

v a d a p o r a r t i s t a s n o c i e n t fi c o s . L a fi l o s o f a c o n s i s t e a q u e n e x p r e s a r , s u g e r i r ,

c a p t a r l a e s e n c i a d e l o q u e s e q u i e r e r e p r e s e n t a r c o n u n m n i m o d e p l i e g u e s ,

a u n q u e l a fi g u r a r e s u l t a n t e n o s e a a n a t o m i c a m e n t e p e r f e c t a ;

P o r o t r o l a d o , l a e s c u e l a o c c i d e n t a l , d o n d e l a p a p i r o fl e x i a h a s i d o d e s a r r o l l a d a

p o r m a t e m a t i c o s , i n g e n i e r o s , f s i c o s , a r q u i t e c t o s . . . S e p e r s i g u e l a e x a c t i t u d

a n a t o m i c a , e s d e c i r , r e p r e s e n t a r l o s i n s e c t o s c o n t o d a s l a s p a t a s , p e s t a n a s , c u e r -

n o s , a l a s . . . P a r a e l l o s e h a n d e s a r r o l l a d o m u l t i t u d d e m e t o d o s m a t e m a t i c o s .

H o y e n d a n o s e p u e d e h a c e r t a l d i s t i n c i o n , y a q u e j a p o n e s e s c i e n t fi c o s c o m o

T o s h i k u y i M e g u r o , J u n M a e k a w a , I s s e y Y o s h i n o , S e i j i N i s h i k a w a , F u m i a k i K a w a -

h a t a , T o m o k o F u s e , T o s h i k a z u K a w a s a k i y o t r o s m u c h o s , i n t e g r a n t e s d e l g r u p o

O r i g a m i T a n t e i d a n ( D e t e c t i v e s d e l a P a p i r o fl e x i a ) h a n d i s e n a d o m o d e l o s d e i n c r e b l e

c o m p l e j i d a d . E n e s t o s m o m e n t o s , m a s b i e n s e p u e d e d i s t i n g u i r e n t r e l o s q u e u s a n

t e c n i c a s g e o m e t r i c a s d e d i s e n o ( s u m a n d o a l o s a n t e r i o r e s a l o s a m e r i c a n o s J o h n

M o n t r o l l y R o b e r t L a n g , y e l m a d r i l e n o J . A n b a l Vo y e r , e n t r e o t r o s ) , y l o s q u e b u s -

c a n l a e x p r e s i v i d a d e n o t r o s e l e m e n t o s , t a l e s c o m o l a t e x t u r a d e l p a p e l , l a s u a v i d a d

d e l o s d o b l e c e s y l a o b s e r v a c i o n d e l m o d e l o a r e p r e s e n t a r . E s t o s u l t i m o s u t i l i z a n

l a t e c n i c a d e l p a p e l h u m e d e c i d o , d e l a c u a l s o n e s p e c i a l i s t a s A k i r a Y o s h i z a w a , e l

a m e r i c a n o M i c h a e l L a f o s s e , e l f r a n c e s E r i c J o i s e l , e l i t a l i a n o D a v i d D e r u d a s y e l

b r i t a n i c o D a v i d B r i l l .

O t r a r a m a d e l a p a p i r o fl e x i a m o d e r n a e s l a p a p i r o fl e x i a m o d u l a r , e n l a c u a l s e

p l i e g a n v a r i a s p i e z a s s e n c i l l a s i n d e p e n d i e n t e m e n t e p a r a a c a b a r e n c a j a n d o l a s ( s i n

p e g a m e n t o , p o r s u p u e s t o ) c o n e l fi n d e f o r m a r u n m o t i v o c a s i s i e m p r e g e o m e t r i c o .

L o s p i o n e r o s d e e s t a m o d a l i d a d d e o r i g a m i s o n R o b e r t N e a l e y L e w i s S i m o n , ( E E U U ,

d e c a d a d e l o s 6 0 ) , s i b i e n q u i e n m a s h a i m p u l s a d o e s t a m o d a l i d a d e s l a g e n i a l

j a p o n e s a T o m o k o F u s e .


2 . L o s d o b l e c e s d e p a p e l c o n t i e n e n m a t e m a t i c a s

L a m e j o r m a n e r a d e d a r s e c u e n t a d e l a r e l a c i o n e n t r e l a s m a t e m a t i c a s y l a p a -

p i r o fl e x i a e s d e s p l e g a r u n m o d e l o y o b s e r v a r e l c u a d r a d o i n i c i a l : a p a r e c e a n t e

n u e s t r o s o j o s u n c o m p l e j o d e c i c a t r i c e s q u e n o e s s i n o u n g r a f o q u e c u m p l e u n a s

c i e r t a s p r o p i e d a d e s . I n t u i t i v a m e n t e , h a y u n a s m a t e m a t i c a s d e l o r i g a m i f u n c i o -

n a n d o c u a n d o p l e g a m o s u n m o d e l o . E n e s t e t r a b a j o s e n a l a r e m o s t r e s a s p e c t o s

f u n d a m e n t a l e s e n l o s c u a l e s l a m a t e m a t i c a a fl o r a e n l a p a p i r o fl e x i a :

1 ) P a p i r o fl e x i a m o d u l a r : r e p r e s e n t a c i o n d e p o l i e d r o s y fi g u r a s g e o m e t r i c a s ;

2 ) A x i o m a s d e c o n s t r u c t i b i l i d a d : t e o r a d e p u n t o s c o n s t r u c t i b l e s c o n O r i g a m i ,

p a r a l e l a a l a e x i s t e n t e c o n r e g l a y c o m p a s ;

3 ) D i s e n o d e fi g u r a s : m e t o d o s m a t e m a t i c o s p a r a l a c r e a c i o n p a p i r o fl e c t i c a .

E s t a e x p o s i c i o n q u i e r e s e r u n a m i s c e l a n e a d e u n t e m a a t r a c t i v o , p e r o p o c o c o n o -

c i d o , a s c o m o u n a p r u e b a m a s d e q u e l a s m a t e m a t i c a s s o n c u l t u r a .

3 . P a p i r o fl e x i a m o d u l a r y l o s p o l i e d r o s

3 . 1 . P o l i e d r o s

U n p o l i e d r o s e p u e d e d e fi n i r c o m o u n c o n j u n t o c o n e x o d e R

3

f o r m a d o p o r u n

n u m e r o fi n i t o d e p o l g o n o s p l a n o s q u e s e j u n t a n d e u n a m a n e r a r a z o n a b l e . A q u

r a z o n a b l e q u i e r e d e c i r q u e c a d a l a d o d e u n p o l g o n o p e r t e n e c e e x a c t a m e n t e a o t r o

p o l g o n o d e l p o l i e d r o , y d e m a n e r a q u e l o s p o l g o n o s q u e c o n c u r r a n e n c a d a v e r t i c e

f o r m e n u n c i r c u i t o s i m p l e ( p a r a e v i t a r a n o m a l a s t a l e s c o m o e l c a s o d e d o s p i r a m i d e s

u n i d a s p o r e l v e r t i c e ) . L o s p o l g o n o s s o n l l a m a d o s c a r a s , y s u s l a d o s , a r i s t a s . U n

p o l i e d r o e s , p o r l o t a n t o , u n a s u p e r fi c i e c e r r a d a ( n o d i f e r e n c i a b l e , p u e s t i e n e a r i s t a s

5 1

y v e r t i c e s ) , y d i v i d e a l e s p a c i o e n d o s p a r t e s : u n a n o a c o t a d a y o t r a a c o t a d a a l a q u e

l l a m a r e m o s i n t e r i o r . E l c a s o m a s i m p o r t a n t e e s e l d e l o s p o l i e d r o s c o n v e x o s , e n e l

c u a l e l i n t e r i o r e s u n c o n j u n t o c o n v e x o ,

( e s d e c i r , t a l q u e e l p l a n o q u e c o n t i e n e

a u n a c a r a n o p e n e t r a e n e l p o l i e d r o ) , d e

m o d o q u e p o d e m o s d e fi n i r l o e n c o o r d e -

n a d a s c a r t e s i a n a s m e d i a n t e u n s i s t e m a d e

d e s i g u a l d a d e s :

a

i

x + b

i

y + c

i

z d

i

( i = 1 , 2 , . . . , C ) ,

s i e n d o C e l n u m e r o d e c a r a s . E j e m p l o s

d e p o l i e d r o s s o n u n a c a j a d e z a p a t o s , u n a

p i r a m i d e , u n c u b o , u n t e t r a e d r o , . . .

S o l i d o s P l a t o n i c o s

L o s p o l i e d r o s m a s f a m o s o s s o n , s i n d u d a , l o s l l a m a d o s

s o l i d o s p l a t o n i c o s . S e d i c e q u e u n p o l i e d r o c o n v e x o e s

r e g u l a r s i s u s c a r a s s o n p o l g o n o s r e g u l a r e s i d e n t i c o s y

s i e n c a d a v e r t i c e c o n c u r r e e l m i s m o n u m e r o d e a r i s t a s .

S o r p r e n d e n t e m e n t e , t a n s o l o e x i s t e n c i n c o : e l t e t r a e d r o ,

e l c u b o , e l o c t a e d r o , e l i c o s a e d r o y e l d o d e c a e d r o . E s t e r e -

s u l t a d o s e a t r i b u y e a T e e t e t o ( 4 2 5 - 3 7 9 a . C . ) , d e l a e s c u e l a

d e P l a t o n . E x i s t e n p r u e b a s e l e m e n t a l e s d e e s t e r e s u l t a d o ,

p e r o l a f o r m a e l e g a n t e d e h a c e r l o e s u t i l i z a r l a f a m o s a

f o r m u l a d e E u l e r , d e l a q u e m a s a d e l a n t e h a b l a r e m o s .

P l a t o n e n s u l i b r o T i m e o ( a p . 5 5 - 5 6 ) a t r i b u y e a c a d a

u n o d e e s t o s s o l i d o s u n o d e l o s c u a t r o e l e m e n t o s e n e l

p a s a j e e n e l q u e d e s c r i b e l a c r e a c i o n d e l u n i v e r s o . A s ,

e l t e t r a e d r o e s e l f u e g o , e l o c t a e d r o , e l a i r e , e l c u b o e s l a

t i e r r a y e l i c o s a e d r o , l a s m o l e c u l a s d e a g u a . F i n a l m e n t e ,

r e l a t a c o m o e l C r e a d o r u t i l i z o e l d o d e c a e d r o p a r a f o r m a r

e l u n i v e r s o . E s t a e s l a r a z o n p o r l a c u a l s e l e s c o n o c e

c o m o s o l i d o s p l a t o n i c o s .

L o s p o l i e d r o s s o n e n t e s m a t e m a t i c o s q u e b r o t a n d e l a

f o r m a m a s i n s o s p e c h a d a e n d i s t i n t o s a m b i t o s d e n u e s t r a

v i d a : d e s d e l a s p i r a m i d e s d e E g i p t o h a s t a l o s c u b o s e n l o s

q u e c r i s t a l i z a l a p i r i t a , p a s a n d o p o r l o s b a l o n e s d e f u t b o l .

H a n f a s c i n a d o a l o s m a t e m a t i c o s y l a s m a t e m a t i c a s , q u e

s e h a n d e d i c a d o a s u e s t u d i o d e s d e l a a n t i g u a G r e c i a , y


c o n s t i t u y e n h o y e n d a m o t i v o d e i n v e s t i g a c i o n a c t i v a . E n t r e l o s m u c h o s q u e s e h a n

o c u p a d o d e s u e s t u d i o c a b r a c i t a r a A r q u m e d e s , K e p l e r , D e s c a r t e s , E u l e r , C a u c h y ,

S t e i n i t z , A l e x a n d r o v , W e i l , C o x e t e r , S c h l a f fi y B a n c h o f f , d e j a n d o n o s a m u c h o s p o r

e l c a m i n o . U n a r e f e r e n c i a o b l i g a d a s o b r e p o l i e d r o s e s [ 2 ] .

3 . 2 . P a p i r o fl e x i a m o d u l a r

C o m o h e m o s c o m e n t a d o a n t e s , l a p a p i r o fl e x i a m o d u l a r c o n s i s t e e n h a c e r fi g u r a s

u t i l i z a n d o v a r i o s p a p e l e s q u e d a r a n l u g a r a p i e z a s i n d i v i d u a l e s q u e l l a m a r e m o s

m o d u l o s . C a d a u n o d e e s t o s m o d u l o s p o s e e s o l a p a s y b o l s i l l o s , q u e s e u s a n p a r a

e n s a m b l a r l o s e n t r e s . E s u s u a l r e p r e s e n t a r d e e s t a m a n e r a fi g u r a s g e o m e t r i c a s , y

q u e e l p l e g a d o d e c a d a m o d u l o s e a s e n c i l l o . L o s p o l i e d r o s s o n l a p r i n c i p a l f u e n t e

d e i n s p i r a c i o n d e e s t a m o d a l i d a d , a u n q u e n o l a u n i c a .

A p a r t e d e l v a l o r a r t s t i c o y e s t e t i c o d e l a p a p i r o fl e x i a m o d u l a r , s u i n t e r e s p a r a

c o n l a s m a t e m a t i c a s e s d o b l e :

N o s p e r m i t e l a r e p r e s e n t a c i o n f s i c a d e e n t e s a b s t r a c t o s . E n e s t e s e n t i d o ,

t i e n e e l m i s m o i n t e r e s q u e p u e d e t e n e r u n p r o g r a m a d e o r d e n a d o r q u e d i b u j e

p o l i e d r o s , s i b i e n e s m u c h o m a s r e v e l a d o r t e n e r e n l a m a n o u n i c o s a e d r o ,

p a l p a r l o y g i r a r l o , q u e v e r l o e n u n a p a n t a l l a d o n d e s i m u l a m o s s u g i r o . P a r a e s t e

fi n , h a y t a m b i e n r e c o r t a b l e s y fi g u r a s d e p l a s t i c o , a u n q u e a d e c i r v e r d a d , l a s

p o s i b i l i d a d p r a c t i c a d e r e p r e s e n t a r p o l i e d r o s c o n o r i g a m i s o n m u c h o m a y o r e s

q u e c o n r e c o r t a b l e s .

T a n t o e n e l d i s e n o c o m o e n e l p l e g a d o y e n s a m b l a j e d e l o s m o d u l o s , s e e x p e r i -

m e n t a n d e u n a f o r m a m u y s e n c i l l a l a s p r o p i e d a d e s d e l o s p o l i e d r o s t a l e s c o m o

g r a d o d e u n v e r t i c e , r e g u l a r i d a d y s i m e t r a , y a q u e e n s u d i s e n o i n t e r v i e n e n

d e f o r m a d e c i s i v a l o s c o n c e p t o s d e a r i s t a , n d i c e , c a r a , v e r t i c e , y o t r o s m a s

s o fi s t i c a d o s c o m o d u a l i d a d , c o l o r a b i l i d a d , c a r a c t e r s t i c a d e E u l e r - P o i n c a r e e

i n c l u s o c u r v a t u r a ( e n e l s e n t i d o q u e v e r e m o s m a s a d e l a n t e ) .

E n e s t e a p a r t a d o , v a m o s a v e r d i v e r s o s t i p o s d e m o d u l o s y d e p o l i e d r o s , y

a n a l i z a r e m o s l a e n j u n d i a m a t e m a t i c a q u e a c o m p a n a a s u d i s e n o y s u h e c h u r a . A m e -

d i d a q u e v a m o s v i e n d o m o d e l o s , v e r e m o s c o m o n o s s u r g i r a n c u e s t i o n e s m a t e m a t i c a s

q u e n o s h a r a n a c e r c a m o s a d i v e r s o s r e s u l t a d o s m a t e m a t i c o s s o b r e p o l i e d r o s .

3 . 3 . F a m i l i a s d e m o d u l o s

S e p u e d e h a c e r u n a c l a s i fi c a c i o n d e l o s m o d u l a r e s , fi j a n d o n o s e n l a e s t r u c t u r a

5 3

d e l p o l i e d r o q u e f o r m a n , o m e j o r d i c h o , d e p e n d i e n d o d e e n q u e s e fi j e u n o p a r a

d e s c r i b i r u n p o l i e d r o : l o s v e r t i c e s , l a s a r i s t a s o l a s c a r a s . Q u e e s , a l fi n y a l c a b o ,

u n t e t r a e d r o ? P o d e m o s d e fi n i r l o c o m o c u a t r o v e r t i c e s e q u i d i s t a n t e s , o c o m o s e i s

s e g m e n t o s d i s p u e s t o s d e u n a d e t e r m i n a d a m a n e r a , o c o m o c u a t r o c a r a s t r i a n g u l a r e s .

E n u n a v u e l t a d e t u e r c a s o r p r e n d e n t e , u n c u b o p u e d e d e fi n i r s e c o m o u n t e t r a e d r o

e s t r e l l a d o . T o d o e s t o e s f a c i l d e e x p e r i m e n t a r c o n l a p a p i r o fl e x i a . S e g u n e s t o ,

d i s t i n g u i m o s t r e s t i p o s d e m o d u l o s :

1 ) M o d u l o s b a s a d o s e n l a s a r i s t a s . S u e l e n s e r l o s d e e n s a m b l a j e m a s s o l i d o .

C a d a m o d u l o c o r r e s p o n d e a u n a a r i s t a , l o c u a l h a y q u e t e n e r e n c u e n t a a l a

h o r a d e d i s e n a r l o s . P o r l o g e n e r a l , s u e l e n p r e s e n t a r c a r a s p e r f o r a d a s , q u e n o s

p e r m i t e n v e r e l i n t e r i o r .

2 ) M o d u l o s b a s a d o s e n l a s c a r a s . P a r e c e l o m a s n a t u r a l , p e r o n o s i e m p r e e s l o

m a s f a c i l d e d i s e n a r e n p a p i r o fl e x i a . L o s e m p a l m e s s u e l e n s e r m a s d e b i l e s , l o

c u a l s e d e b e a q u e l a s c a r a s s e j u n t a n e n t r e s d e d o s e n d o s , m i e n t r a s q u e l a s

a r i s t a s s e j u n t a n d e m a s e n m a s e n c a d a v e r t i c e .

3 ) M o d u l o s b a s a d o s e n l o s v e r t i c e s . L o s m a s i m p o r t a n t e s s o n d e t i p o g i r o s c o -

p i o ( v e r [ 1 2 ] ) . M u y v e r s a t i l e s y r e s u l t o n e s . D e n t r o d e e s t e t i p o , s e p u e d e n

c l a s i fi c a r p o r e l g r a d o : l o s q u e a g r u p a n a r i s t a s d e 3 e n 3 , d e 4 e n 4 . . .

3 . 4 . M o d u l o s d e t i p o S o n o b `e

S o n p r o b a b l e m e n t e l o s m o d u l o s m a s p o p u l a r e s y s e d e b e n a l j a p o n e s M i t s u n o b u

S o n o b `e . E s t o s m o d u l o s s e j u n t a n d e 3 e n

3 p a r a f o r m a r u n a p i r a m i d e c o n b a s e u n

t r i a n g u l o e q u i l a t e r o y c o n a n g u l o s r e c t o s

e n e l v e r t i c e . S o n , p o r l o t a n t o , m u y a d e -

c u a d o s p a r a c o n s t r u i r p o l i e d r o s e s t r e l l a -

d o s c u y a s c a r a s s o n t r i a n g u l o s ( i c o s a e d r o

e s t r e l l a d o , o c t a e d r o e s t r e l l a d o . . . ) .

P o d e m o s c o n s i d e r a r q u e e s t o s m o d u l o s

p e r t e n e c e n l a f a m i l i a d e l a s c a r a s , p e r o

n o s o l o l o s p o d e m o s u s a r c o n c a r a s t r i -

a n g u l a r e s : p o d e m o s j u n t a r l o s d e 4 e n 4 ,

o b t e n i e n d o c o m o b a s e u n c u a d r a d o y s o -

b r e e l , l o q u e p o d r a m o s d e n o m i n a r u n a

e s t r e l l a c i o n d e s e g u n d a e s p e c i e ( c u a t r o

p i r a m i d e s c u y a s b a s e s n o c a e n e n u n

I c o s a e d r o e s t r e l l a d o c o n m o d u l o s S o n o b e


p l a n o ) . D e l a m i s m a m a n e r a , j u n t a n d o l o s d e d i v e r s a s m a n e r a s p o d e m o s o b t e n e r

p o l g o n o s c o n e s t r e l l a c i o n e s m u y b a r r o c a s , d o n d e l a s c a r a s a p a r e c e n d e u n a m a n e r a

m a s e s p e c i a l , p e r o c o n s u s e n t i d o a r t s t i c o y e s t r u c t u r a l ( v e r [ 7 ] ) .

3 . 5 . P r o b l e m a s d e C o l o r a c i o n

U n r e t o i n t e r e s a n t e s o b r e e l m o d u l o S o n o b `e c o n s i s t e e n e l e g i r l o s c o l o r e s d e

l o s m o d u l o s d e u n a f o r m a c o h e r e n t e . C u a n d o d e c i m o s c o h e r e n t e , n o s r e f e r i m o s

a q u e s e c u m p l a a l g u n t i p o d e r e g u l a r i d a d , c o m o p o r e j e m p l o , q u e e n c a d a v e r t i c e

n o c o n c u r r a n t r e s c o l o r e s i g u a l e s . S e p u e d e h a c e r u n a c o l o r a c i o n c o h e r e n t e , p o r

e j e m p l o d e l i c o s a e d r o e s t r e l l a d o , t a l y c o m o t e n e m o s e n l a i m a g e n . U n o p u e d e

d i s p o n e r s e a e n c o n t r a r t a l c o l o r a c i o n t o m a n d o s e l o c o m o u n e n t r e t e n i d o p u z z l e , o

d i s e n a r l o d e u n a f o r m a m a s m e d i t a d a , p a r a l o c u a l e s m u y u t i l t r a z a r e l g r a f o d e l

p o l i e d r o q u e u n o q u i e r e c o l o r e a r e i d e n t i fi c a r a h l o s c o l o r e s d e l a s p i e z a s q u e t i e n e

q u e i n s e r t a r . E s f r e c u e n t e e n c o n t r a r f e n o m e n o s t a l e s c o m o q u e p a r a c o l o r e a r u n

i c o s a e d r o c o n m o d u l o s d e a r i s t a s , t i e n e q u e p e n s a r l a c o l o r a c i o n d e u n t r i a c o n t a e d r o

r o m b i c o o l a d e u n i c o s i d o d e c a e d r o .

3 . 6 . C o m p o s i c i o n e s d e p o l i e d r o s

V a m o s a c o n s t r u i r u n o b j e t o m u y v e n e r a d o p o r m a t e m a t i c o s y p a p i r o fl e c t a s . S i

t o m a m o s e n u n d o d e c a e d r o c u a t r o v e r t i c e s e q u i d i s t a n t e s , o b t e n d r e m o s u n t e t r a e d r o .

C i n c o t e t r a e d r o s i n t e r s e c a d o s

C o m o t e n e m o s e x a c t a m e n t e v e i n t e

v e r t i c e s , p o d e m o s i n s e r t a r c i n c o t e t r a e -

d r o s e n e l d o d e c a e d r o . E s t e o b j e t o

s e p u e d e c o n s t r u i r e n p a p i r o fl e x i a , y

c o n s t i t u y e u n c o m p l e j o y e n t r e t e n i d o

r o m p e c a b e z a s ( v e r [ 4 ] ) . P a r a r e -

s o l v e r l o , h a y q u e fi j a r s e e n l a s m i l y

u n a s i m e t r a s d e e s t e o b j e t o . L a c l a v e

p a r a l a c o n s t r u c c i o n c o n s i s t e e n q u e

s i t o m a m o s c u a l e s q u i e r a d o s d e e s t o s

t e t r a e d r o s , u n v e r t i c e d e u n o d e e l l o s

s a l e e x a c t a m e n t e p o r e l m e d i o d e u n a

c a r a d e l o t r o , y l o m i s m o p e r o i n t e r c a m -

b i a n d o l o s p a p e l e s o c u r r e e n l a p a r t e

o p u e s t a . C o n e s t e o b j e t o s e p u e d e v i s u a l i z a r q u e e l g r u p o d e r o t a c i o n e s d e l d o d e -

5 5

c a e d r o e s g r u p o a l t e r n a d o d e c i n c o l e t r a s . E s t o r e s u l t a d e q u e a l g i r a r e l d o d e c a e d r o

e s t a m o s i n t e r c a m b i a n d o l o s c i n c o t e t r a e d r o s e n t r e s .

H a y o t r a s c o m p o s i c i o n e s r e a l i z a b l e s c o n p a p i r o fl e x i a , c o m o l o s c i n c o o c t a e d r o s

q u e h a y i n s e r t a d o s e n u n i c o s i d o d e c a e d r o . E n c a m b i o , l a c o m p o s i c i o n d e c i n c o

c u b o s q u e h a y e n u n d o d e c a e d r o p r e s e n t a u n a d i fi c u l t a d a n a d i d a , p u e s l a s a r i s t a s d e

e s o s c u b o s s e i n t e r s e c a n , y n o p o d r a m o s u s a r l a t e c n i c a d e l o s m o d u l o s t i p o a r i s t a

q u e h e m o s u s a d o p a r a l o s t e t r a e d r o s .

3 . 7 . F u l l e r e n o s

3 . 7 . 1 . E l b a l o n d e f u t b o l

S i m i r a m o s c o n a t e n c i o n u n b a l o n d e f u t b o l , v e r e m o s q u e e s t a f o r m a d o p o r

h e x a g o n o s y p e n t a g o n o s , d e m o d o q u e e n c a d a v e r t i c e s e j u n t a n d o s h e x a g o n o s y

u n p e n t a g o n o . P o d e m o s c o n t a r c o n c u i d a d o y c o m p r o b a r q u e t i e n e 1 2 p e n t a g o n o s .

C o n t a r l o s h e x a g o n o s d e l b a l o n p a r e c e m a s c o m p l i c a d o , p e r o p o d e m o s v a l e r n o s

d e s u e s t r u c t u r a : s i c o n t a m o s p o r c a d a p e n t a g o n o s u s c i n c o h e x a g o n o s a d y a c e n t e s ,

o b t e n e m o s 6 0 h e x a g o n o s , p e r o c a d a u n o d e e s t o s , a l t o c a r a 3 p e n t a g o n o s , l o h e m o s

c o n t a d o 3 v e c e s , d e m o d o q u e e n r e a l i d a d h a y 2 0 h e x a g o n o s . E l b a l o n d e f u t b o l e s u n

p o l i e d r o s e m i r r e g u l a r ( s o n c o m o l o s r e g u l a r e s , p e r o u s a n d o d o s t i p o s d e p o l g o n o s ;

h a y s o l o 1 3 y s e l l a m a n a r q u i m e d i a n o s ) , y s u a u t e n t i c o n o m b r e e s i c o s a e d r o t r u n c a d o .

I c o s a e d r o s t r u n c a d o s m o d u l a r e s , a b a s e d e v e r t i c e s y a r i s t a s .


3 . 7 . 2 . F u l l e r e n o s

U n f u l l e r e n o e s u n p o l i e d r o f o r m a d o p o r p e n t a g o n o s y h e x a g o n o s , d e m o d o q u e

t o d o s l o s v e r t i c e s s o n d e g r a d o 3 . S u n o m b r e e s t a p u e s t o e n h o n o r a l a r q u i t e c t o

R i c h a r d B u c k m i n s t e r F u l l e r ( 1 8 9 5 - 1 9 8 3 ) , q u e c o n s t r u y o u n p a b e l l o n e s f e r i c o f u t u -

r i s t a c o n e s a e s t r u c t u r a e n l a E x p o s i c i o n U n i v e r s a l d e M o n t r e a l d e 1 9 6 7 . M a s t a r d e ,

s e h a l l a m a d o f u l l e r e n o a l a t e r c e r a f o r m a a l o t r o p i c a d e l c a r b o n o ( l a s o t r a s d o s s o n

e l d i a m a n t e y e l g r a fi t o ) , y h a r e s u l t a d o s e r u n a f o r m a e x t r a o r d i n a r i a m e n t e e s t a b l e ,

d e s c u b i e r t a e n 1 9 8 5 y c u y o d e s c u b r i m i e n t o f u e m e r e c e d o r d e u n p r e m i o N o b e l . L a s

m o l e c u l a s d e l f u l l e r e n o u s u a l t i e n e n 6 0 a t o m o s d e C a r b o n o c o l o c a d o s e n l o s v e r t i c e s

d e u n b a l o n d e f u t b o l , p e r o h a y m u c h o s m a s f u l l e r e n o s . P a r a c o n s t r u i r f u l l e r e n o s d e

p a p i r o fl e x i a e s m u y a d e c u a d a l a p i e z a e n z i g - z a g d e T o m H u l l ( v e r [ 4 ] ) , p u e s c a d a

m o d u l o r e p r e s e n t a u n a a r i s t a y l a s a r i s t a s s e j u n t a n d e t r e s e n t r e s ( v e r d i b u j o e n e l

a p a r t a d o 3 . 8 ) .

3 . 7 . 3 . F o r m u l a d e E u l e r

U n a d e l a s p r o p i e d a d e s m a s v a l i o s a s d e l o s p o l i e d r o s e s u n a f o r m u l a a t r i b u i d a a

E u l e r , a u n q u e a n t e r i o r m e n t e D e s c a r t e s h a b a e n c o n t r a d o u n a f o r m u l a e q u i v a l e n t e ,

q u e a p a r e c i o 2 0 0 a n o s d e s p u e s d e s e r e s c r i t a , e n t r e l o s p a p e l e s d e L e i b n i t z . E s e l

s i g u i e n t e y b o n i t o t e o r e m a :

T e o r e m a d e E u l e r : S e a u n p o l i e d r o h o m e o m o r f o a u n a e s f e r a c o n V v e r t i c e s ,

A a r i s t a s y C c a r a s . E n t o n c e s , s e c u m p l e l a f o r m u l a :

V A + C = 2 .

P o d e m o s c o m p r o b a r e s t a f o r m u l a c o n l o s s o l i d o s p l a t o n i c o s , c o n e l b a l o n d e f u t b o l

y c o n l o s p o l i e d r o s e s t r e l l a d o s q u e h e m o s v i s t o a q u . E s t a f o r m u l a t a m b i e n l a

c u m p l e n l o s g r a f o s p l a n o s . D e h e c h o , l a p r o p i e d a d e s t o p o l o g i c a : s i h a c e m o s

c u a l q u i e r t r i a n g u l a c i o n s o b r e u n a e s f e r a o s o b r e u n e s p a c i o h o m e o m o r f o , s e s e g u i r a

c u m p l i e n d o l a f o r m u l a . S e p u e d e a s o c i a r a c a d a e s p a c i o t o p o l o g i c o r a z o n a b l e

u n n u m e r o l l a m a d o c a r a c t e r s t i c a d e E u l e r - P o i n c a r e , q u e s e d e fi n e c o m o l a s u m a

a l t e r n a d a d e s u s n u m e r o s d e B e t t i . E s u n i n v a r i a n t e t o p o l o g i c o i m p o r t a n t s i m o ,

y g e n e r a l i z a l a s u m a a l t e r n a d a q u e a n t e s h e m o s e x p r e s a d o c o m o v e r t i c e s m e n o s

a r i s t a s m a s c a r a s . E n e s t e s e n t i d o , l a f o r m u l a d e E u l e r d i c e n i m a s n i m e n o s q u e

l a c a r a c t e r s t i c a d e E u l e r - P o i n c a r e d e l a e s f e r a e s 2 . C o n l a c a r a c t e r s t i c a d e E u l e r -

P o i n c a r e e s f a c i l p r o b a r , p o r e j e m p l o , e l t e o r e m a d e T e e t e t o s o b r e l o s c i n c o s o l i d o s

p l a t o n i c o s .

5 7

Vo l v i e n d o a n u e s t r o s f u l l e r e n o s , s i l l a m a m o s H a l n u m e r o d e h e x a g o n o s y P

a l n u m e r o d e p e n t a g o n o s , p o d e m o s c a l c u l a r c u a n t o s v e r t i c e s , a r i s t a s y c a r a s h a y .

E x p l c i t a m e n t e ,

V =

5 P + 6 H

3

; A =

5 P + 6 H

2

; C = P + H

S i s u s t i t u i m o s a h o r a e n l a f o r m u l a d e E u l e r , o b t e n e m o s f a c i l m e n t e

5 P + 6 H

3

5 P + 6 H

2

+ ( P + H ) = 2 P = 1 2

y c o n c l u i m o s P = 1 2 , d e m o d o q u e s e a l o g r a n d e q u e s e a e l f u l l e r e n o , l a s

c o n d i c i o n e s q u e l e h e m o s p u e s t o f u e r z a n a q u e h a y a

s i e m p r e 1 2 p e n t a g o n o s , s i b i e n n o h e m o s o b t e n i d o

n i n g u n a c o n d i c i o n s o b r e l o s h e x a g o n o s . D e h e c h o ,

p o d e m o s i n t e r p r e t a r e l d o d e c a e d r o c o m o u n f u l l e r e n o

s i n h e x a g o n o s . U n m e t o d o p a r a g e n e r a r f u l l e r e n o s

e s t r u n c a r u n i c o s a e d r o ( t i e n e 1 2 v e r t i c e s , d e d o n d e

o b t e n e m o s l o s 1 2 p e n t a g o n o s ) y s u b d i v i d i r l a s c a r a s

t r i a n g u l a r e s e n n u e v o s t r i a n g u l i t o s m a s p e q u e n o s .

C a l c u l a n d o e l d u a l d e e s t e g r a f o , o b t e n e m o s u n n u e v o

p o l i e d r o q u e e s u n f u l l e r e n o .

3 . 7 . 4 . E l b a l o n d e l a C h a m p i o n s : u n a

b r o m a ?

V a m o s a p r e s e n t a r , a m o d o d e d i v e r t i m e n t o , u n a s

r e fl e x i o n e s s o b r e u n c o n o c i d o p o l i e d r o q u e s a l e e n l o s

p e r i o d i c o s . C o m o y a h e m o s c o m e n t a d o , l o s b a l o n e s

d e f u t b o l c o m e r c i a l e s e s t a n f o r m a d o s p o r p e n t a g o n o s

y h e x a g o n o s , t o m a n d o f o r m a d e i c o s a e d r o e s t r e l l a d o .

A h o r a b i e n , d e p e n d i e n d o d e c o m o s e c o l o r e e n , p u e d e n

p r e s e n t a r a s p e c t o d e o t r o s p o l i e d r o s . P o r e j e m p l o , e l

b a l o n o fi c i a l d e l a C h a m p i o n s L e a g u e , s i b i e n e s t a

c o n f e c c i o n a d o c o n p i e z a s d e c u e r o p e n t a g o n a l e s y h e x a g o n a l e s , t i e n e d i b u j a d a s

e s t r e l l a s p i t a g o r i c a s ( p e n t a g o n a l e s ) q u e e x c e d e n l o s p e n t a g o n o s , d e m o d o q u e l a

e s t r u c t u r a q u e r e s u l t a d e u n i r l o s v e r t i c e s d e l a s e s t r e l l a s e s l a d e i c o s i d o d e c a e d r o ,

u n p o l i e d r o s e m i r r e g u l a r f o r m a d o p o r t r i a n g u l o s y p e n t a g o n o s . L a m e j o r f o r m a

d e p e n s a r l o e s c o m o u n i c o s a e d r o t r u n c a d o , d o n d e h e m o s t r u n c a d o l o s v e r t i c e s

d e m a s i a d o y h e m o s o b t e n i d o t r i a n g u l o s e n l u g a r d e h e x a g o n o s .


E n c a m b i o , e s c u r i o s o n o t a r q u e , s i b i e n e l b a l o n r e v e l a b o n i t a s r e l a c i o n e s e n t r e

e l i c o s a e d r o t r u n c a d o y e l d o d e c a e d r o , e l l o g o t i p o o fi c i a l d e l a C h a m p i o n s L e a g u e

t i e n e u n a e s t r u c t u r a m u y d i f e r e n t e q u e p o d e m o s

a n a l i z a r c o n n u e s t r o s c o n o c i m i e n t o s s o b r e p o l i e d r o s .

E n e l l o g o t i p o s e v e q u e l a s e s t r e l l a s s e j u n t a n d e 3

e n 3 y d e 4 e n 4 . P u e d e s e r p o s i b l e q u e u n b a l o n

m n i m a m e n t e r e g u l a r c u m p l a e s t o ? U n p r i m e r a n a l i s i s

d e a n g u l o s n o s o b l i g a a d e s e c h a r l a p o s i b i l i d a d d e q u e

s e a n p o l g o n o s r e g u l a r e s , y a q u e s i e n u n v e r t i c e c o n -

c u r r i e r a n u n c u a d r a d o , u n t r i a n g u l o e q u i l a t e r o y d o s

p e n t a g o n o s r e g u l a r e s , o b t e n d r a m o s u n a s u m a d e 3 6 6

g r a d o s , l o c u a l n o e s p o s i b l e e n u n p o l i e d r o c o n v e x o .

N o o b s t a n t e , p o d r a t r a t a r s e d e u n p o l i e d r o c o n c a r a s n o r e g u l a r e s , l o c u a l n o s h a c e

p l a n t e a r n o s e l p r o b l e m a t o p o l o g i c o a c e r c a d e l a e x i s t e n c i a d e t a l b a l o n .

E l p r e s u n t o b a l o n d e l a i m a g e n p r e s e n t a g r a d o 4 e n c a d a v e r t i c e , y a d e m a s ,

c u a l e s q u i e r a d o s p e n t a g o n o s n o c o m p a r t e n a r i s t a s . D a d o u n p o l i e d r o c o n v e x o q u e

c u m p l a e s t o ( u n c h a m p i o n s e d r o ? ) y q u e t e n g a P p e n t a g o n o s , T t r i a n g u l o s y C

c u a d r a d o s , l a f o r m u l a d e E u l e r n o s l l e v a a :

P = 1 2 + 2 C y T = 2 0 + C .

S i C = 0 , e l c h a m p i o n s e d r o d e g e n e r a e n u n i c o s i d o d e c a e d r o . S e p u e d e c o n s t r u i r

e l g r a f o d e u n c h a m p i o n s e d r o c o n 2 c u a d r a d o s , p e r o n o c o l i n d a n c o n e l m i s m o

p e n t a g o n o , t a l y c o m o s e v e e n e l l o g o t i p o . E n e l m i s m o , p o d e m o s o b s e r v a r q u e c o n

u n m i s m o p e n t a g o n o c o m p a r t e n a r i s t a 3 t r i a n g u l o s y 2 c u a d r a d o s . S i i m p o n e m o s

e s t a p o s i b l e r e g u l a r i d a d p a r a t o d o s l o s p e n t a g o n o s , l a f o r m u l a d e E u l e r n o s h a c e

l l e g a r a c o n t r a d i c c i o n .

E n r e s u m e n , d e e x i s t i r u n b a l o n c o m o e l d e l l o g o t i p o , l a d i s p o s i c i o n d e s u s p i e z a s

s e r a t a n i r r e g u l a r q u e h a b r a q u e j u g a r a l f u t b o l c o n u n a p e l o t a b a s t a n t e l e j o s d e s e r

e s f e r i c a . M a l l o g o t i p o e s e s t e , q u e i m p o s i b i l i t a r a l o q u e r e p r e s e n t a .

3 . 8 . T o r o s m o d u l a r e s

U n t o r o e s e l n o m b r e m a t e m a t i c o p o r e l q u e s e c o n o c e a l a s u p e r fi c i e d e u n

fl o t a d o r o u n d o n u t s . V i e n e d e l g r i e g o o , q u e s i g n i fi c a a g u j e r o , p e r f o r a r . V a m o s

a i l u s t r a r e l i n t e r e s m a t e m a t i c o d e l a c o n s t r u c c i o n d e u n t o r o d e p a p i r o fl e x i a c o n u n a

a n e c d o t a p e r s o n a l . L a h i s t o r i a e m p i e z a a l c o n s e g u i r u n a f o t o e n i n t e r n e t d e u n t o r o

5 9

m o d u l a r , d i s e n a d o p o r e l i t a l i a n o R o b e r t o G r e t t e r c o n l a s m i s m a s p i e z a s z i g - z a g d e

H u l l . C o m o c o n l o s f u l l e r e n o s , p o d e m o s c o n t a r c u a n t o s p e n t a g o n o s y h e x a g o n o s

i b a n a s e r n e c e s a r i o s . L a c a r a c t e r s t i c a d e E u l e r - P o i n c a r e d e l t o r o e s 0 , c o n l o c u a l ,

a p l i c a n d o l a f o r m u l a d e E u l e r p a r a t o r o s :

V A + C = 0 ,

y s u s t i t u y e n d o c o n e l n u m e r o H d e h e x a g o n o s y P d e p e n t a g o n o s , o b t e n e m o s :

5 P + 6 H

3

5 P + 6 H

2

+ ( P + H ) = 0 P = 0 ! ! ,

c o n l o q u e l l e g a m o s a q u e n o s e p u e d e c o n s t r u i r u n t o r o c o n h e x a g o n o s y p e n t a g o n o s

d e 3 e n 3 , e s t o e s u n a r e s t r i c c i o n t o p o l o g i c a . S i n e m b a r g o , e n e l t o r o d e l a f o t o

c l a r a m e n t e s e l e a d i v i n a n p e n t a g o n o s e n l a p a r t e e x t e r i o r . E l e r r o r c o n s i s t i o e n

n o h a b e r s e p e r c a t a d o d e q u e , a d e m a s d e p e n t a g o n o s y h e x a g o n o s , e l t o r o p o r l a

p a r t e i n t e r n a t e n a h e p t a g o n o s . T e n i e n d o e s t o e n c u e n t a , l a f o r m u l a d e E u l e r n o s

p r o p o r c i o n a :

5 P + 6 H + 7 H p

3

5 P + 6 H + 7 H p

2

+ ( P + H + H p ) = 0 P = H p ! ,

c o n l o q u e l a c o n d i c i o n e s q u e h a y a e l m i s m o n u m e r o d e h e p t a g o n o s q u e d e

T o r o m o d u l a r

p e n t a g o n o s . C o n e s e d a t o , y c a l c u l a n d o

q u e h u b i e r a 1 0 p e n t a g o n o s e n l a c o m -

p o s i c i o n , e s u n e n t r e t e n i d o r o m p e c a b e z a s

c o n s t r u i r u n t o r o m o d u l a r .

C o m o v e m o s , l a d i s c u s i o n m a t e m a t i c a

p r e v i a a l d i s e n o e s e x c l u s i v a m e n t e

t o p o l o g i c a ( h e m o s u t i l i z a d o e l g e n e r o d e

l a s u p e r fi c i e q u e q u e r e m o s c o n s e g u i r ) . N o

h e m o s o b t e n i d o u n p o l i e d r o , p u e s s a l t a

a l a v i s t a q u e l a s c a r a s q u e t e n e m o s n o

s o n p l a n a s . N o o b s t a n t e , l a e n j u n d i a d e

e s t e m o d e l o n o e s s o l o t o p o l o g i c a , s i n o

t a m b i e n g e o m e t r i c a .

P o d e m o s fi j a r n o s e n q u e e l t o r o t i e n e

l o s 1 0 p e n t a g o n o s p o r f u e r a y l o s

h e p t a g o n o s p o r d e n t r o . E l t o r o u s u a l c o n

l a m e t r i c a u s u a l , s a b e m o s q u e t i e n e c u r v a -


t u r a p o s i t i v a p o r f u e r a ( s e a s e m e j a a u n b a l o n ) , n e g a t i v a p o r d e n t r o ( s e a s e m e j a a u n a

s i l l a d e m o n t a r ) y c o m o l a c u r v a t u r a e s u n a a p l i c a c i o n c o n t i n u a , s e t i e n e q u e a n u l a

e n t r e m e d i o . D e h e c h o , p o r f u e r a , l o s p e n t a g o n o s e s t a n r o d e a d o s d e h e x a g o n o s , l o

c u a l n o s p u e d e r e c o r d a r a l b a l o n d e f u t b o l . C i e r t a m e n t e , l a c o l o r a c i o n d e l t o r o e s t a

e n f u n c i o n d e l a c u r v a t u r a : r o j a a l l a d o n d e e s p o s i t i v a , m o r a d o d o n d e e s n e g a t i v a , y

a m a r i l l o c u a n d o m a s s e a c e r c a a c e r o .

L a r a z o n p o r l a c u a l n u e s t r o t o r o m o d u l a r a d q u i e r e e s t a c u r v a t u r a n o e s t o p o l o g i c a ,

s i n o g e o m e t r i c a , y d e h e c h o s e d e b e a l a f o r m a q u e t i e n e n l o s m o d u l o s q u e e s t a m o s

e m p a l m a n d o . A l f o r m a r u n h e p t a g o n o c o n l o s m o d u l o s z i g - z a g , v e m o s q u e a d q u i e r e

p o r s s o l o c u r v a t u r a n e g a t i v a , a l p l e g a r u n h e x a g o n o , s e p u e d e p o s a r t r a n q u i l a m e n t e

s o b r e u n a m e s a ( c u r v a t u r a c e r o ) , y a l p l e g a r u n p e n t a g o n o , l a s a r i s t a s a d q u i e r e n

c u r v a t u r a p o s i t i v a . A l a n a l i z a r l o s e m p a l m e s d e l o s m o d u l o s , v e m o s q u e f o r m a n

p i r a m i d e s q u e t i e n e c o m o b a s e u n t r i a n g u l o e q u i l a t e r o , y s e u n e n d e s d e l a m i t a d d e l

l a d o , c o m o s e v e e n e l d i b u j o . S i p o n e m o s s e i s t r i a n g u l o s d e e s a m a n e r a , m o n t a n

p e r f e c t a m e n t e . S i p o n e m o s s o l o c i n c o , n o s f a l t a u n p o c o d e a n g u l o p a r a c o m p l e t a r

2 pi r a d i a n e s . E s o q u e f a l t a s e

p u e d e i n t e r p r e t a r c o m o e l e x -

c e s o d e a n g u l o e n u n p u n t o i n -

t e r i o r d e l p e n t a g o n o , y e s l o

q u e p r o p o r c i o n a l a c u r v a t u r a

p o s i t i v a . C u a n d o p o n e m o s

s i e t e t r i a n g u l o s , e n v e z d e f a l -

t a r , s o b r a a n g u l o , y e s o e s

p o r q u e e n e l i n t e r i o r h a y c u r -

v a t u r a n e g a t i v a .

P e n t a g o n o y h e x a g o n o c o n m o d u l o s z i g - z a g d e H u l l

4 . A x i o m a s d e c o n s t r u c t i b i l i d a d e n O r i g a m i

L a p a p i r o fl e x i a , o m e j o r d i c h o , e l e j e r c i c i o d e d o b l a r p a p e l s e p u e d e u s a r c o n fi n e s

p e d a g o g i c o s p a r a e s t u d i a r e i l u s t r a r l a g e o m e t r a e l e m e n t a l p l a n a . S o b r e e l l o h a y

n u m e r o s o s l i b r o s , s i e n d o u n a e x c e l e n t e r e f e r e n c i a e l d e S u n d a r a R o w [ 1 1 ] , d o n d e

s e p r o p o n e n d i v e r s o s e j e r c i c i o s m e d i a n t e l o s q u e s e r e s u e l v e n p r o b l e m a s r e f e r e n t e s

a c o n i c a s , e c u a c i o n e s p o l i n o m i c a s y t r i g o n o m e t r a u t i l i z a n d o t a n s o l o l o s d o b l e c e s

d e l p a p e l .

L a c l a v e c o n s i s t e e n i n t e r p r e t a r g e o m e t r i c a m e n t e q u e e s t a m o s h a c i e n d o c u a n d o

d o b l a m o s e l p a p e l . P o r e j e m p l o , c u a n d o d o b l a m o s l o s d o s l a d o s q u e c o n c u r r e n e n

6 1

u n a e s q u i n a , u n o s o b r e e l o t r o , e s t a m o s c a l c u l a n d o u n a b i s e c t r i z . C u a n d o l l e v a m o s

u n p u n t o d e l p a p e l s o b r e o t r o y d o b l a m o s , e s t a m o s t r a z a n d o l a m e d i a t r i z d e l s e g m e n t o

q u e d e fi n e n l o s d o s p u n t o s . C o n p a p i r o fl e x i a e s s e n c i l l o d i b u j a r u n m o n t o n d e r e c t a s

t a n g e n t e s a u n a p a r a b o l a d a d a p o r s u f o c o y s u r e c t a d i r e c t o r a , p r o b a r q u e e l a r e a d e

u n t r i a n g u l o e s b a s e p o r a l t u r a p a r t i d o d e d o s , o s u m a r l a s e r i e

1

2

n

, s i n m a s q u e

h a c e r u n o s c u a n t o s d o b l e c e s y p e n s a r s u s i g n i fi c a d o . L a s p o s i b i l i d a d e s p e d a g o g i c a s

d e l p l e g a d o s o n m u c h a s , p e r o n o e n t r a r e m o s e n e l l o , s i n o m a s b i e n e n a n a l i z a r q u e

p u n t o s s o n c o n s t r u c t i b l e s c o n o r i g a m i , d e l a m i s m a m a n e r a e n l a q u e s e e s t u d i a q u e

p u n t o s s o n c o n s t r u c t i b l e s c o n r e g l a y c o m p a s .

E n 1 9 9 5 , D . A u c k l y y J . C l e v e l a n d p u b l i c a r o n u n a n o t a e n e l A m e r i c a n M a t h e -

m a t i c a l M o n t h l y e n l a c u a l p r o b a b a n q u e t o d o p u n t o c o n s t r u c t i b l e c o n p a p i r o fl e x i a

e r a c o n s t r u c t i b l e c o n r e g l a y c o m p a s , p e r o q u e e l i n v e r s o n o e r a c i e r t o . S i n e m b a r g o ,

t a l y c o m o h a c e n o t a r T o m H u l l e n l a m i s m a r e v i s t a ( v e r [ 6 ] ) , h a y u n m e t o d o d e s a r r o -

l l a d o p o r e l j a p o n e s H i s a s h i H a b e e n l a d e c a d a d e l o s 7 0 , m e d i a n t e e l c u a l s e p u e d e

t r i s e c a r c u a l q u i e r a n g u l o d a d o , c o n u n p a r d e p l i e g u e s q u e s o n p e r f e c t a m e n t e r a z o -

n a b l e s e n o r i g a m i , t a l y c o m o v e m o s e n l a fi g u r a . D o n d e e s t a l a c o n t r a d i c c i o n ? L o

q u e o c u r r e e s q u e a l a h o r a d e d e fi n i r l o s n u m e r o s c o n s t r u c t i b l e s c o n p a p i r o fl e x i a ,

h a y q u e r e a l i z a r u n a a x i o m a t i c a d e l o q u e c o n s i d e r a m o s r a z o n a b l e d e o b t e n e r

e n p a p i r o fl e x i a p l e g a n d o . E n l a l i t e r a t u r a d e l a p a p i r o fl e x i a s e p u e d e n e n c o n t r a r

m e t o d o s p a r a t r i s e c a r a n g u l o s , d u p l i c a r c u b o s y d o b l a r h e p t a g o n o s r e g u l a r e s , t o d o s

e l l o s c o n p l i e g u e s s e n c i l l o s .

M e t o d o d e A b e

S e d e b e a l i t a l o - j a p o n e s H u m i a k i H u z i t a l a f o r m u l a c i o n d e l a a x i o m a t i c a m a s

u t i l i z a d a p a r a d e fi n i r l o s p u n t o s c o n s t r u c t i b l e s c o n p a p i r o fl e x i a :

O 1

D a d o s d o s p u n t o s p 1 y p 2 c o n s t r u c t i b l e s ,

p o d e m o s c o n s t r u i r l a l n e a q u e l o s u n e ;


O 2

E l p u n t o d e c o i n c i d e n c i a e n t r e d o s l n e a s

c o n s t r u c t i b l e s e s c o n s t r u c t i b l e ;

O 3

D a d o u n s e g m e n t o d e l i m i t a d o p o r d o s p u n t o s

c o n s t r u c t i b l e s , s u m e d i a t r i z e s c o n s t r u c t i b l e ;

O 4 L a b i s e c t r i z d e l a n g u l o f o r m a d o p o r d o s

l n e a s c o n s t r u c t i b l e s e s c o n s t r u c t i b l e ;

O 5

D a d o s d o s p u n t o s p 1 y p 2 y u n a l n e a l 1 c o n s -

t r u c t i b l e , l a l n e a q u e p a s a p o r p 1 y q u e r e fl e j a a

p 2 s o b r e l 1 e s c o n s t r u c t i b l e ;

O 6 D a d o s d o s p u n t o s p 1 y p 2 c o n s -

t r u c t i b l e s , y d o s l n e a s c o n s -

t r u c t i b l e s l 1 y l 2 , l a l n e a q u e r e fl e j a

a p 1 e n l 1 y a p 2 e n l 2 , s i e s q u e

e x i s t e , e s c o n s t r u c t i b l e .

E r a c o n o c i d o e n t r e l o s g r i e g o s d e s d e t i e m p o s d e A r q u m e d e s q u e s i s e p o d a n h a c e r

d o s m a r c a s e n u n a r e g l a , e n t o n c e s s e p o d a c o n s e g u i r l a t r i s e c c i o n d e l a n g u l o , d e

m o d o q u e d a d o q u e e n u n b o r d e d e l p a p e l s e p u e d e c a l c u l a r 1 / 2 , 1 / 4 , 1 / 8 y a s , n o

e s s o r p r e n d e n t e q u e s e p u e d a n h a c e r c o s a s e n o r i g a m i t a l e s c o m o t r i s e c a r a n g u l o s .

L o s c u a t r o p r i m e r o s a x i o m a s s e p u e d e n a l c a n z a r c o n r e g l a y c o m p a s . E l q u i n t o ,

t a m b i e n , y d e h e c h o , l o s p u n t o s c o n s t r u c t i b l e s c o n r e g l a y c o m p a s s o n e x a c t a m e n t e

l o s m i s m o s q u e l o s c o n s t r u c t i b l e s c o n l o s c i n c o p r i m e r o s a x i o m a s , y q u e e s e q u i v a -

l e n t e a l m e n o r s u b c u e r p o d e l c u e r p o d e l o s n u m e r o s c o m p l e j o s C , c e r r a d o p o r r a c e s

c u a d r a d a s . E l s e x t o a x i o m a e s e q u i v a l e n t e a l a c o n s t r u c c i o n d e u n a t a n g e n t e c o m u n

a d o s p a r a b o l a s , e x a c t a m e n t e a l a s d e fi n i d a s p o r p 1 , l 1 y p 2 , l 2 . S e p u e d e p r o b a r q u e

h a c e r e s t o e s e q u i v a l e n t e a r e s o l v e r u n a e c u a c i o n d e t e r c e r g r a d o .

6 3

E n u n a r t c u l o d e R o g e r A l p e r i n a p a r e c i d o e n e l N e w Y o r k J o u r n a l o f M a t h e m a -

t i c s [ 1 ] , s e h a c e u n a d i s c u s i o n d e l a l c a n c e d e l o s a x i o m a s p r e s e n t a d o s , y s e c a r a c t e r i -

z a n l o s p u n t o s d e o r i g a m i c o m o a q u e l l o s n u m e r o s d e l p l a n o c o m p l e j o C c o n s t r u c -

t i b l e s t r a s l a a p l i c a c i o n fi n i t a d e l o s a x i o m a s O 1 O 6 . E l r e s u l t a d o c e n t r a l e s :

T e o r e m a [ A l p e r i n ] : E l c o n j u n t o O d e l o s p u n t o s l o s p u n t o s c o n s t r u c t i b l e s

c o n o r i g a m i s e p u e d e c a r a c t e r i z a r d e l a s s i g u i e n t e s m a n e r a s :

i ) e l m e n o r s u b c u e r p o d e C c e r r a d o p o r r a c e s c u a d r a d a s , c u b i c a s y c o n j u -

g a c i o n c o m p l e j a ;

i i ) e l c o n j u n t o d e l o s p u n t o s c o n s t r u c t i b l e s p o r i n t e r s e c c i o n d e l n e a s c o n s -

t r u c t i b l e s y c o n i c a s c o n s t r u c t i b l e s ( c o n d i r e c t r i c e s , f o c o s , r a d i o s y e x c e n t r i c i -

d a d e s c o n s t r u c t i b l e s ) .

5 . M e t o d o s m a t e m a t i c o s p a r a d i s e n a r p a p i r o fl e x i a

L o q u e h e m o s v i s t o h a s t a a h o r a n o t i e n e m u c h o q u e v e r , e n u n p r i n c i p i o , c o n

l a s m a r a v i l l o s a s fi g u r a s d e p a p e l c o n t a n t a s p a t a s , a l a s y c u e r n o s q u e p u e b l a n e l

r e p e r t o r i o d e l a p a p i r o fl e x i a . E n e s t e a p a r t a d o , v a m o s a t r a t a r d e e x p l i c a r c o m o l o s

m e j o r e s p l e g a d o r e s d e l m u n d o u s a n l a s m a t e m a t i c a s p a r a s u s d i s e n a r s u s m o d e l o s .

5 . 1 . P r o p i e d a d e s d e l m a p a d e c i c a t r i c e s d e u n a fi g u r a p l a n a

C o m o h e m o s c o m e n t a d o a n t e s , a l d e s p l e g a r u n m o d e l o d e o r i g a m i d e s c u b r i m o s

e n e l c u a d r a d o u n f e n o m e n a l m a p a d e p l i e g u e s , u n g r a f o , a l fi n y a l c a b o , d o n d e s e

m e f o r m a n v a l l e s ( p l i e g u e s d o n d e l a a r i s t a e s t a m a s b a j a q u e e l p a p e l p r o x i m o ) y

m o n t a n a s ( p l i e g u e s d o n d e l a a r i s t a d e l g r a f o e s u n a c u m b r e ) . E l p r o b l e m a q u e n o s

p l a n t e a m o s , e n g e n e r a l , e s :

P r o b l e m a : D a d o u n t r o z o d e p a p e l y u n g r a f o d i b u j a d o e n e l p a p e l d o n d e

c a d a a r i s t a e s u n a m o n t a n a o u n v a l l e , c o m o p o d e m o s s a b e r s i e s e l m a p a d e

c i c a t r i c e s d e u n m o d e l o d e p a p i r o fl e x i a ?

A s p l a n t e a d o , e s t e p r o b l e m a e s m u y d i f c i l , c a s i i n a b o r d a b l e . P o r e s o , t a l y c o m o

s e h a c e e n m a t e m a t i c a s , r e s t r i n g i r e m o s n u e s t r a a t e n c i o n a u n a c l a s e m a s s e n c i l l a ,

l o s m o d e l o s p l a n o s , e s o e s , fi g u r a s d e p a p i r o fl e x i a q u e s e p u e d e n m e t e r e n u n l i b r o

s i n a n a d i r n u e v a s c i c a t r i c e s , o d i c h o d e o t r o m o d o , t a l e s q u e e l a n g u l o d i e d r o e n


c a d a a r i s t a e s m u l t i p l o d e pi . L a g r a n m a y o r a d e m o d e l o s d e p a p i r o fl e x i a c a e e n

e s t a c a t e g o r a .

E l g r a f o d e l m a p a d e c i c a t r i c e s d e u n m o d e l o p l a n o c u m p l e u n a s e r i e d e p r o p i e d a -

d e s , q u e h a n s i d o e s t u d i a d a s p o r d i v e r s o s p l e g a d o r e s , y q u e l i s t a m o s a c o n t i n u a c i o n .

L a s p r u e b a s s o n e l e m e n t a l e s , p e r o n o t r i v i a l e s :

( J u n M a e k a w a ) L a d i f e r e n c i a e n t r e e l n u m e r o d e p l i e g u e s e n m o n t a n a y

e n v a l l e e n u n v e r t i c e e s s i e m p r e 2 .

E l g r a d o d e c a d a v e r t i c e e s p a r .

( T o s h i k u y i M e g u r o ) L a s c a r a s d e u n m a p a d e c i c a t r i c e s s o n 2 - c o l o r e a b l e s .

( K a w a s a k i ) S e a n

1

, . . . ,

2 k

t o d o s l o s a n g u l o s c o n c u r r e n t e s e n u n v e r t i c e ,

c o n t i g u o s c a d a u n o c o n e l s i g u i e n t e . E n t o n c e s , t e n e m o s

1

+

3

+ . . . +

2 k 1

=

2

+

4

+ . . . +

2 k

= pi .

( H u l l ) L a c o n d i c i o n a n t e r i o r e s u n a c o n d i c i o n s u fi c i e n t e .

T . H u l l e n [ 6 ] h a l l a m a s r e s u l t a d o s s o b r e l a s p r o p i e d a d e s q u e t i e n e q u e c u m p l i r

u n g r a f o p a r a c o r r e s p o n d e r a u n m o d e l o p l a n o , y s o b r e l a s p o s i b l e s a s i g n a c i o n e s

v a l l e - m o n t a n a q u e t i e n e u n g r a f o d e t e r m i n a d o .

5 . 2 . M e t o d o d e M e g u r o - K a w a h a t a - L a n g

L o s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s n o s h a b l a n d e p r o p i e d a d e s q u e h a d e t e n e r u n m a p a

d e c i c a t r i c e s p a r a q u e p u e d a c o n v e r t i r s e e n u n m o d e l o p l a n o , p e r o o t r a c u e s t i o n

d i s t i n t a e s , p o r e j e m p l o , s i q u e r e m o s d i s e n a r u n c i e r v o , o u n a l a g a r t i j a , c o m o n o s

l a s p o d e m o s i n g e n i a r . U n m e t o d o e s e l t a n r e c u r r i d o e n s a y o - e r r o r , b a s a d o e n l a

e x p e r i e n c i a , e l c u a l t i e n e s u s l m i t e s , s o b r e t o d o s i q u e r e m o s c o n s e g u i r u n m o d e l o

c o m p l i c a d o c o m o p u e d e s e r u n i n s e c t o . A c o n t i n u a c i o n v a m o s a i n t e n t a r d e s c r i b i r

l a f o r m a l i z a c i o n d e l p r o b l e m a q u e h a n r e a l i z a d o d i v e r s o s p l e g a d o r e s , e n p a r t i c u l a r ,

T o s h i k u y i M e g u r o , F u m i a k i K a w a h a t a y R o b e r t L a n g .

U n a b a s e e s u n a a p r o x i m a c i o n e s q u e m a t i c a a l a fi g u r a q u e q u e r e m o s o b t e n e r . L a

b a s e r e s u l t a d e u n n u m e r o fi n i t o d e p l i e g u e s , e n c u y a f o r m a fi n a l s e p u e d e n o b s e r v a r

l a s s o l a p a s y p u n t a s n e c e s a r i a s , c o n l a s l o n g i t u d e s d e s e a d a s q u e n o s l l e v a r a n a l

m o d e l o q u e q u e r e m o s . U n a v e z o b t e n i d a l a b a s e , n o e s d i f c i l l l e g a r a l m o d e l o , o

p o r l o m e n o s , y a e s u n a c u e s t i o n a r t s t i c a y a b o r d a b l e .

6 5

C o n s i d e r a r e m o s u n t i p o d e b a s e s : a q u e l l a s e n l a s q u e s e p u e d e n d i s t r i b u i r l a s

p u n t a s d e m o d o q u e l a b a s e s e p r o y e c t a o r t o g o n a l m e n t e e n u n g r a f o p l a n o , s i m p l e y

s i n c a r a s , t a l y c o m o v e m o s e n l a fi g u r a . E l p r o b l e m a v a a s e r s a b e r s i d a d o u n g r a f o

d e e s t e t i p o v a m o s a p o d e r e n c o n t r a r u n m a p a d e c i c a t r i c e s q u e m e p r o p o r c i o n e u n a

b a s e q u e s e p r o y e c t e s o b r e e s e g r a f o .

5 . 2 . 1 . M e t o d o M e g u r o -

K a w a h a t a d e l a s h i p e r b o l a s

V a m o s a i l u s t r a r l a r e s p u e s t a q u e

d a n M e g u r o y K a w a h a t a ( v e r [ 8 ]

y [ 1 3 ] ) a l p r o b l e m a a n t e r i o r m e d i -

a n t e e l s i g u i e n t e g r a fi c o . E n p r i m e r

l u g a r , i d e a l i z a m o s n u e s t r o m o d e l o .

L u e g o , c u a n d o t e n e m o s e l g r a f o ,

h e m o s d e d i s t r i b u i r e n e l p a p e l l a s

p u n t a s d e l a b a s e , d e l a s i g u i e n t e

m a n e r a . L u e g o , n o s h e m o s d e fi -

j a r e n l o s i g u i e n t e : c u a n d o q u e r e -

m o s c o n s e g u i r d o s p u n t a s i n d e p e n -

d i e n t e s , e n u n t r i a n g u l o , s e h a c e

d o b l a n d o p o r l a s t r e s b i s e c t r i c e s y

u n a d e l a s a l t u r a s d e s d e e l i n c e n -

t r o . P o r l o t a n t o , a l p e n s a r q u e

t e n e m o s q u e m e t e r a q u e l t e r c e r

v e r t i c e d e u n t r i a n g u l o , h a y q u e

c a l c u l a r e l l u g a r g e o m e t r i c o d e l o s

p o s i b l e s v e r t i c e s t a l q u e e l i n c e n -

t r o c u m p l a l o q u e h a d e c u m p l i r ,

y u n c a l c u l o s e n c i l l o n o s p r o p o r -

c i o n a q u e e s e l u g a r g e o m e t r i c o e s

u n a h i p e r b o l a . E n t o n c e s a l l a d o n d e

s e c o r t e n l a s h i p e r b o l a s , o d o n d e s e

c o r t e n c o n p l i e g u e s o p u n t o s q u e

h a y a m o s i m p u e s t o , c o m o u n a d i a -

g o n a l , p o r e j e m p l o , o b t e n e m o s

M e t o d o d e K a w a h a t a

L u g a r g e o m e t r i c o d e l o s i n c e n t r o s

P l i e g u e o r e j a d e c o n e j o

n u e v o s p u n t o s d e n u e s t r o m a p a d e p l i e g u e s . C o n e s t e m e t o d o p o d e m o s t e n e r u n a

p r i m e r a a p r o x i m a c i o n a l m o d e l o . L u e g o h a b r a q u e r e l l e n a r l o s p l i e g u e s , p a r a l o


q u e h a y o t r o s r a z o n a m i e n t o s g e o m e t r i c o s e l e m e n t a l e s . E l r e s u l t a d o q u e c o n s i g u e

K a w a h a t a c o n e s t e m e t o d o e s f r a n c a m e n t e i m p r e s i o n a n t e .

5 . 2 . 2 . E l T r e e m a k e r d e R . L a n g

E l m e t o d o d e l a r b o l ( g r a f o s i n c a r a s ) d e L a n g e s u n m e t o d o d e s i m i l a r e s t r u c t u r a a l

d e K a w a h a t a . L a n g p e r m i t e q u e l o s v e r t i c e s d e l g r a f o d e l m o d e l o e s t e n t a m b i e n e n e l

i n t e r i o r d e l c u a d r a d o d e p a p e l . V a m o s a i l u s t r a r s u m e t o d o c o n e l s i g u i e n t e e j e m p l o .

P a r a c o n s e g u i r u n p e r r o , d i s e n a u n g r a f o c o n a r i s t a s d e d e t e r m i n a d a l o n g i t u d , y

l a s d i s t r i b u y e e n e l c u a d r a d o i n t e n t a n d o a p r o v e c h a r t o d a l a s u p e r fi c i e d e l c u a d r a d o .

A h o r a c a b e p l a n t e a r s e s i e x i s t i r a u n m a p a d e c i c a t r i c e s c o n t e n i e n d o e s t e a r b o l q u e

n o s l l e v e a l a b a s e d e s e a d a . L a n g h a e n c o n t r a d o u n a c o n d i c i o n n e c e s a r i a y s u fi c i e n t e

p a r a l a e x i s t e n c i a d e u n t a l m a p a d e c i c a t r i c e s , t a l y c o m o s e e n u n c i a e n e l s i g u i e n t e

( v e r [ 1 0 ] ) :

T e o r e m a ( d e l a r b o l d e L a n g ) : S e a u n a r b o l T s i m p l e m e n t e c o n e x o c o n

p u n t o s t e r m i n a l e s P

1

, . . . , P

n

, y s e a n l

i j

l a s d i s t a n c i a s e n t r e P

i

y P

j

m e d i d a s a

l o l a r g o d e l a s a r i s t a s d e l a r b o l . S e a u n c o n j u n t o d e p u n t o s u

i

e n e l c u a d r a d o

u n i d a d . E n t o n c e s , l a c o n d i c i o n n e c e s a r i a y s u fi c i e n t e p a r a q u e e x i s t a u n m a p a

d e c i c a t r i c e s q u e t r a n s f o r m e e l c u a d r a d o e n u n a b a s e c u y a p r o y e c c i o n s e a e l

a r b o l T e s

| u

i

u

j

| l

i j

i , j .

M a s a u n , e n d i c h a b a s e , c a d a p u n t o P

i

e s l a p r o y e c c i o n d e l p u n t o u

i

p a r a t o d o i.

D e l a p r u e b a , q u e n o e s e n a b s o l u t o t r i v i a l , s e d e s p r e n d e u n a m a n e r a d e c o n s t r u i r

u n a l g o r i t m o q u e c a l c u l e e l m a p a d e c i c a t r i c e s d e s e a d o . E l a u t o r h a i m p l e m e n t a d o

e l a l g o r i t m o e n u n p r o g r a m a d e o r d e n a d o r p a r a M a c i n t o s h , e l T r e e m a k e r , d e l i b r e

d i s t r i b u c i o n .

T a n t o d e l m e t o d o d e K a w a h a t a - M e g u r o c o m o d e l d e L a n g , p o r s u p u e s t o , s e

d e r i v a n p r o b l e m a s a d i c i o n a l e s . E l p r i m e r o e s o b t e n e r m e d i a n t e d o b l e c e s l o s a n g u l o s

q u e p r o p o r c i o n a e l m e t o d o . E l s e g u n d o c o n s i s t e e n q u e , a u n o b t e n i e n d o u n m a p a d e

c i c a t r i c e s , e n c o n t r a r u n a s e c u e n c i a d e p l e g a d o q u e n o s l l e v e h a s t a l a fi g u r a d e s e a d a

e s r e a l m e n t e c o m p l e j o . N o t o d o e n p a p i r o fl e x i a s e b a s a e n m e t o d o s m a t e m a t i c o s ;

l a e x p e r i e n c i a y l a c o m p o n e n t e a r t s t i c a n o s e p u e d e n d e j a r d e l a d o . E s t o v i e n e m u y

b i e n r e fl e j a d o e n e l s i g u i e n t e O r i g a g :

6 7

O r i g a g , d e R o b e r t o M o r a s s i

B i b l i o g r a f a

[ 1 ] R . C . A l p e r i n , A m a t h e m a t i c a l T h e o r y o f O r i g a m i C o n s t r u c t i o n s a n d N u m b e r s ,

N e w Y o r k J . M a t h . 6 ( 2 0 0 0 ) 1 1 9 - 1 3 3 .

[ 2 ] H . S . M . C o x e t e r , R e g u l a r P o l y t o p e s , D o v e r , 1 9 7 3 ( 1 . E d i c i o n 1 9 6 7 ) .

[ 3 ] P e t e r E n g e l , F o l d i n g t h e U n i v e r s e , D o v e r , 1 9 9 4 .

[ 4 ] T . H u l l , T o m s O r i g a m i M a t h P a g e ,

h t t p : / / w e b . m e r r y m a c k . e d u / t h u l l / .

[ 5 ] T . H u l l , O n t h e m a t h e m a t i c s o f fl a t o r i g a m i s , C o n g r e s s u s N u m e r a n t i u m 1 0 0

( 1 9 9 4 ) , 2 1 5 - 2 2 4 .

[ 6 ] T . H u l l , A N o t e o n I m p o s s i b l e P a p e r F o l d i n g , A m e r . M a t h . M o n t h l y 1 0 3

( 1 9 9 6 ) , 2 4 0 - 2 4 1 .

[ 7 ] K . K a s a h a r a , T . T a k a h a m a , O r i g a m i f o r t h e C o n n o i s s e u r , E d a f 1 9 9 9 .

[ 8 ] F . K a w a h a t a , O r i g a m i F a n t a s y , G a l l e r y O r i g a m i H o u s e ( T o k i o ) , 1 9 9 5 .

[ 9 ] R . J . L a n g , T h e c o m p l e t e b o o k o f O r i g a m i , D o v e r , 1 9 8 9 .

[ 1 0 ] R . L a n g , T r e e M a k e r 4 . 0 : A P r o g r a m f o r O r i g a m i D e s i g n ,

h t t p : / / o r i g a m i . k v i . n l / p r o g r a m s / T r e e M a k e r / t r m k r 4 0 . p d f .

[ 1 1 ] S . R o w , G e o m e t r i c e x e r c i s e s i n p a p e r f o l d i n g , D o v e r 1 9 6 6 ( 1 . e d i c i o n , 1 9 0 5 ) .

[ 1 2 ] L . S i m o s , R . G u r k e w i t z , B . A r n s t e i n , M o d u l a r O r i g a m i P o l y h e d r a , D o v e r 1 9 9 9 .

[ 1 3 ] J . A . Vo y e r , I n t r o d u c c i

o n a l a c r e a c i

o n ,

h t t p : / / w w w . p a j a r i t a . o r g / a e p / a r t i c u l o s / A R T I C 2 - 3 . P D F .

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