bÀi giang ppt _dai hoc

Bài giảng: Toán chuyên ñề 2 –HK3 Năm 2010-2011 Th.s ðỗ Hoài Vũ

1

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

I. GIỚI THI ỆU CHUNG

Phương pháp tính là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp

giải các bài toán (chủ yếu là gần ñúng) bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho

kết quả cũng dưới dạng số.

Ngày nay phần lớn các công việc tính toán ñều ñược thực hiện trên máy tính. Tuy vậy

thực tế chứng tỏ rằng việc áp dụng các thuật toán và phương pháp tính toán khác nhau có thể

cho tốc ñộ tính toán và ñộ chính xác rất khác nhau. Lấy ví dụ ñơn giản như tính ñịnh thức

của ma trận chẳng hạn, nếu tính trực tiếp theo ñịnh nghĩa thì việc tính ñịnh thức của một ma

trận vuông cấp 25 cũng mất hàng triệu năm (ngay cả với máy tính hiện ñại nhất hiện nay);

trong khi ñó nếu sử dụng phương pháp khử Gauss thì kết quả nhận ñược gần như tức thời.

Như vậy, phương pháp tính là công cụ không thể thiếu trong các công việc cần thực

hiện nhiều tính toán với tốc ñộ tính toán nhanh và ñộ chính xác cao như vật lý, ñiện tử viễn

thông, công nghệ thông tin....

Phương pháp tính ñược nghiên cứu từ rất lâu và cho ñến nay những thành tựu ñạt

ñược là một khối lượng kiến thức ñồ sộ ñược in trong nhiều tài liệu sách, báo... Tuy nhiên,

môn học "Phương pháp tính" chỉ nhằm cung cấp những kiến thức căn bản nhất về phương

pháp tính. Với lượng kiến thức này sinh viên có thể áp dụng vào giải quyết những bài toán

thông thường trong thực tế và có khả năng tự tìm hiểu ñể nâng cao kiến thức cho mình khi

gặp các vấn ñề phức tạp hơn.

Trong phương pháp tính chúng ta thường quan tâm ñến hai vấn ñề:

• Phương pháp ñể giải bài toán.

• Mối liên hệ giữa lời giải số gần ñúng và lời giải ñúng, hay sai số của lời giải.

II. M ỤC ðÍCH

Môn học phương pháp tính cung cấp cho sinh viên kiến thức căn bản nhất về một số

phương pháp giải gần ñúng trên dữ liệu số với mục ñích

• Tạo cơ sở ñể học tốt và nghiên cứu các nghành khoa học kỹ thuật.

• Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư duy logic, phương pháp

nghiên cứu thực nghiệm và xây dựng thế giới quan khoa học và tác phong khoa học cần

thiết cho người kỹ sư tương lai.


2

III. PH ẠM VI NGHIÊN C ỨU

Nghiên cứu một số phương pháp cơ bản nhất của phương pháp tính, ñược ứng dụng

nhiều trong thực tế như các phương pháp tính trong ñại số tuyến tính, bài toán nội suy, tìm

nghiệm gần ñúng các phương trình phi tuyến, tính gần ñúng ñạo hàm và tích phân, giải gần

ñúng một số dạng của phương trình vi phân... Tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng của các

phương pháp trong thực tế.

IV. PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP:

ðể học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn ñề sau:

1. Kiến thức chuẩn bị:

• Sinh viên phải có kiến thức cơ bản về toán học cao cấp.

• Thành thạo sử dụng máy tính cầm tay (sẽ ñược giảng viên hướng dẫn trên lớp)

2. Tài liệu và dụng cụ học tập:

• Giáo trình Phương pháp tính của trường ðHCN Tp HCM.

• Máy tinh cầm tay (Casio 570 MS, ES hoặc Vinacal 570 MS)

Nếu cần sinh viên nên tham khảo thêm:

• Giải tích số. Phạm Kỳ Anh, nhà xuất bản ñại học Quốc Gia Hà Nội, 1966.

• Phương pháp tính. Tạ Văn ðỉnh, Nhà xuất bản Giáo dục - 1995.

• Phương Pháp tính. Dương Thuỳ Vỹ, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2001.

3. Tham gia ñầy ñủ các buổi hướng dẫn học tập:

Thông qua các buổi hướng dẫn học tập, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm ñược nội

dung tổng thể của môn học và giải ñáp thắc mắc, ñồng thời sinh viên cũng có thể trao ñổi,

thảo luận với những sinh viên khác về nội dung bài học.

4. Chủ ñộng liên hệ với bạn học và giảng viên:

Cách ñơn giản nhất là tham dự các diễn dàn học tập trên mạng Internet, qua ñó có thể

trao ñổi trực tiếp các vấn ñề vướng mắc với giảng viên hoặc các bạn học khác ñang online.

ðịa chỉ email ñể trao ñổi với giảng viên : [email protected]

5. Tự ghi chép lại những ý chính:

Việc ghi chép lại những ý chính là một hoạt ñộng tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho

thấy nó giúp ích rất nhiều cho việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu.

6. Học ñi ñôi với hành

Học lý thuyết ñến ñâu thực hành làm bài tập ngay ñến ñó ñể hiểu và nắm chắc lý thuyết.


3

CHƯƠNG 1

SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ

MỤC ðÍCH, YÊU CẦU

Sau khi nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên:

1. Hiểu ñược sai số tuyệt ñối và sai số tương ñối.

2. Nắm ñược cách viết số xấp xỉ.

3. Nắm ñược các qui tắc tính sai số.

4. Hiểu và biết cách ñánh giá sai số tính toán và sai số phương pháp .

1.1. ðẶT VẤN ðỀ

Trong kỹ thuật giá trị các thông số chúng ta tiếp cận nói chung không phải là giá trị

ñúng (vì nó là kết quả của các phép ño và thí nghiệm). Như vậy chúng ta ñã sử dụng giá trị

gần ñúng thay cho giá trị ñúng, việc này nẩy sinh nhiều vấn ñề phức tạp vì giá trị ñúng chỉ có

một nhưng giá trị gần ñúng thì rất nhiều. ðể có cơ sở khoa học trong việc sử dụng các số

gần ñúng người ta ñưa ra khái niệm sai số ñể ño ñộ chênh lệch giữa các giá trị ñúng và giá

trị gần ñúng.

Chú ý rằng khi sử dụng số gần ñúng thay cho một số ñúng nào ñó người ta luôn phải

dùng ñồng thời hai ñại lượng ñó là : giá trị gần ñúng và sai số. Hai ñại lượng này có vai trò

như nhau.

1.2. SAI SỐ TUYỆT ðỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ðỐI

1.2.1. Sai số tuyệt ñối

Xét ñại lượng ñúng A và ñại lượng gần ñúng của nó là a. Ta nói a xấp xỉ A và viết a ≈ A.

Trị tuyệt ñối ∆ = |a-A| ñược gọi là sai số tuyệt ñối của a (khi dùng a ñể xấp xỉ A).

Trong thực tế ta không biết ñược số ñúng A, do ñó nói chung sai số tuyệt ñối không tính

ñược. Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt ñối của a bằng số ∆a > 0 sao cho

|a - A| ≤ ∆a

Số dương ∆a ñược gọi là sai số tuyệt ñối giới hạn của a.

Chú ý: Nếu ∆a là sai số tuyệt ñối giới hạn của a thì mọi số thực lớn hơn ∆a ñều là sai số tuyệt

ñối giới hạn của a nhưng nếu sai số tuyệt ñối giới hạn quá lớn so với sai số tuyệt ñối thì nó

không còn có ý nghĩa về phương diện sai số nữa. Trong những ñiều kiện cụ thể người ta cố

gắng chọn ∆a là số dương bé nhất.


4

1.2.2. Sai số tương ñối

Gọi ∆ là sai số tuyệt ñối của a khi dùng a ñể xấp xỉ A, khi ñó ñại lượng

Aδ ∆=

ñược gọi là sai số tương ñối của a. Tuy nhiên một lần nữa ta thấy rằng A thường không biết,

vì vậy người ta ñịnh nghĩa ñại lượng

aa a

δ ∆=

là sai số tương ñối giới hạn của a. ðôi khi người ta biểu diễn sai số tương ñối dưới dạng %.

Ví dụ . với a =10, ∆a = 0.05, khi ñó ta có

0.050.5%

10aδ = = .

Vì trong thực tế chúng ta chỉ có thể thao tác với các sai số giới hạn, do ñó người ta thường

gọi một cách ñơn giản ∆a là sai số tuyệt ñối, aδ

là sai số tương ñối.

1.2.3. Chú thích:

Sai số tuyệt ñối không nói lên ñầy ñủ "chất lượng" của một số xấp xỉ, “chất lượng” ấy còn

ñược phản ánh qua sai số tương ñối.

1.3. CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ

1.3.1. Chữ số có nghĩa

Một số viết dưới dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số từ chữ

số khác không ñầu tiên tính từ trái ñến chữ số cuối cùng khác không phía bên phải là các

chữ số có nghĩa. Chẳng hạn số 2.740 có 3 chữ số có nghĩa, số 0.02078 có 4 chữ số có nghĩa.

1.3.2. Chữ số ñáng tin

Mọi số thập phân ñều có dạng

{ }0 11 0 1( 10 10 10 10 10 ) , 0,1,...,9

nn m

n m s ss m

a α α α α α α α− −− −

=−= ± + + + + + + = ± ∈∑… … .

Giả sử a là xấp xỉ của số A với sai số tuyệt ñối là ∆a.

Nếu ∆a ≤ 0.5 ×10

s thì ta nói rằng chữ số αs

là ñáng tin (như vậy các chữ số có nghĩa

bên trái αs ñều là ñáng tin).

Nếu ∆a > 0.5 ×10

s thì ta nói rằng chữ số αs

là ñáng nghi (như vậy các chữ số bên phải

αs ñều là ñáng nghi).

Ví dụ. Cho số xấp xỉ a = 4.67329 hãy xác ñịnh các chữ số ñáng tin và các chữ số ñáng ngờ

khi ∆a = 0.004726 hoặc ∆a= 0.005726.


5

Giải

Ta có ∆a = 0.004726 ≤ 0.5 ×10-2

do ñó các chữ số ñáng tin là: 4,6,7; các chữ số ñáng ngờ là

3,2, 9.

Khi ∆a= 0.005726 ta có ∆a ≤ 0.5 ×10

-1 do ñó các chữ số ñáng tin là: 4,6; các chữ số ñáng

ngờ là 7, 3, 2, 9.

1.3.3. Cách viết số xấp xỉ

a. Kèm theo sai số

Nếu ∆a là sai số tuyệt ñối giới hạn của a khi xấp xỉ A thì ta quy ước viết:

A = a ± ∆a

với ý nghĩa

a – ∆a ≤ A ≤ a + ∆a

Hoặc A = a(1 ± aδ )

b. Mọi chữ số có nghĩa ñều ñáng tin

Cách thứ hai là viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa ñều ñáng tin; có nghĩa là sai số tuyệt

ñối giới hạn không lớn hơn một nửa ñơn vị ở hàng cuối cùng.

Ví dụ. Khi viết a = 4.67329 thì ta hiểu lúc này ∆a= 0.5 ×10-5

1.4. CÁC LOẠI SAI SỐ KHI X Ử LÝ BÀI TOÁN K Ỹ THUẬT

Khi giải một bài toán phức tạp người ta thường thay bài toán ñó bằng bài toán ñơn

giản hơn ñể có thể giải ñược bằng tay hoặc bằng máy. Phương pháp thay bài toán phức tạp

bằng một phương pháp ñơn giản tính ñược như vậy gọi là phương pháp gần ñúng. Sai số do

phương pháp gần ñúng tạo ra gọi là sai số phương pháp. Mặc dầu bài toán ñã ở dạng ñơn

giản, nhưng trong quá trình giải ta thường xuyên phải làm tròn các kết quả hoặc xử dụng các

số xấp xỉ , sai số tạo ra trong quá trình này gọi là sai số tính toán. Trong thực tế việc ñánh

giá các loại sai số, nhất là sai số tính toán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện.

Tóm lại khi thực hiện một bài toán bằng phương pháp gần ñúng ta thường gặp

những loại sai số sau ñây:

• Sai số trong việc mô hình hóa bài toán : xuất hiện do việc giả thiết bài toán ñạt ñược một số

ñiều kiện lý tưởng nhằm làm giảm ñộ phức tạp của bài toán.

• Sai số phương pháp : xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần ñúng.

• Sai số của số liệu : xuất hiện do việc ño ñạc và cung cấp giá trị ñầu vào không chính xác.

• Sai số tính toán : xuất hiện do làm tròn số hoăc xử dụng các số xấp xỉ trong quá trình tính


6

toán, quá trình tính càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn.

Những sai số trên ñây tổng hợp lại nhiều khi dẫn ñến những lời giải quá cách xa so

với lời giải ñúng và vì vậy không thể dùng ñược. Chính vì vậy việc tìm ra những thuật toán

hữu hiệu ñể giải các bài toán thực tế là ñiều rất cần thiết.

1.5. SAI SỐ TÍNH TOÁN TH ƯỜNG GẶP

1.5.1. Sai số quy tròn các số xấp xỉ

Khi tính toán với các con số ta thường làm tròn các số theo quy ước:

Nếu chữ số bỏ ñi ñầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một ñơn vị, còn

nếu chữ số bỏ ñi ñầu tiên < 5 thì ñể nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.

Giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt ñối giới hạn là ∆. Giả sử ta quy tròn a thành a' với

sai số quy tròn tuyệt ñối giới hạn là θ, tức là:

| a' - a| ≤ θ.

Khi ñó

|a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + ∆

Vậy có thể lấy θ + ∆ làm sai số tuyệt ñối giới hạn của a'. Như vậy việc quy tròn làm tăng sai

số tuyệt ñối giới hạn.

1.5.2. Sai số khi tính toán trên các số xấp xỉ

Bài toán

Cho u = f(x1, x2,..., xn) . Biết các ñối số x1, x2,..., xn là các số xấp xỉ với các sai số tuyệt ñối

tương ứng là ∆1 , ∆2

, ... ∆n và f là hàm khả vi liên tục theo các ñối số xi.

Hãy xác ñịnh ∆u, uδ .

Giải

Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: 11

nn

u udu dx dx

x x

∂ ∂= + +∂ ∂

…

Từ ñây suy ra 1 11 1

n nn n

u u u uu x x

x x x x

∂ ∂ ∂ ∂∆ ≈ ∆ + + ∆ ≤ ∆ + + ∆∂ ∂ ∂ ∂

… …

Vì vậy có thể chọn : 11

u nn

u u

x x

∂ ∂∆ = ∆ + + ∆∂ ∂

…

ðể tìm uδ ta dùng công thức : uu u

δ ∆=


7

Ví dụ. Cho hàm 2( , , ) .u f x y z x y yz= = + Hãy xác ñịnh giá trị hàm số u, sai số tuyệt ñối và

sai số tương ñối của u biết 0.983, 1.032(1 0.05), 2.114 0.02.x y z= = ± = ±

...................................................Phần ghi chép của sinh viên..................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................


8

BÀI TẬP

Trong các bài tập dưới ñây chúng ta ngầm hiểu sai số tương ñối và sai số tuyệt ñối là sai số

tương ñối giới hạn và sai số tuyệt ñối giới hạn

Bài 1. Khi ño 1 số góc ta ñược các giá trị : a= 21o37’3”; b=1

o10’ . Hãy xác ñịnh sai số tương

ñối của các số xấp xỉ ñó biết rằng sai số tuyệt ñối trong phép ño là 1”.

Bài 2. Hãy xác ñịnh sai số tuyệt ñối của các số xấp xỉ sau ñây cho biết sai số tương ñối của

chúng:

a) a= 13267 ; δa=0,1% b) b=2.32; δ

b=0.7%

Bài 3. Hãy xác ñịnh số các chữ số ñáng tin trong các số a,b với sai số như sau:

a) a= 0,3941; ∆a=0,25.10

-2 b) b=38,2543; ∆

a= 0,27.10

-2

Bài 4. Hãy xác ñịnh số những chữ số ñáng tin trong các số a với sai số tương ñối như sau:

a) a=1,8921; δa=0,1.10

-2 b) a=22,351; δa=0,1

Bài 5. Hãy qui tròn các số dưới ñây( xem là ñúng) với 3 chữ số có nghĩa ñáng tin và xác

ñịnh sai số tuyệt ñối ∆ và sai số tương ñối δ của chúng:

a) a= 2,514 b) 0,16152 c) 0,01204 d) –0,0015281

Bài 6. Hãy xác ñịnh: Giá trị của các hàm số, Sai số tuyệt ñối giới hạn và Sai số tương ñối

giới hạn. Biết giá trị của các ñối số cho với mọi chữ số có nghĩa ñều ñáng tin.

2

sin( )

) ( , , ) ( ), 0.983, 1.032, 2.114.

) ( , , ) , 0.133, 4.732, 3.015.xy

a u f x y z tg x y yz x y z

b u f x y z ze x y z

= = + = = =

= = = = =

Bài 7. Hãy xác ñịnh: Giá trị của các hàm số, sai số tuyệt ñối và sai số tương ñối. Biết giá trị

của các ñối số cho với mọi chữ số có nghĩa ñều ñáng tin.

2) sin( ), 1.113; 0.102; 2.131.

) ln( ) , 0.162; 4.531; 1.91.

a u x yz x y z

b u z xy x y z

= = = =

= = = =

22) 2 , 0.085; 0.055; 2.152.

) (1 ) , 2.918; 1.032; 2.114.

x y

x

c u x y z

d u xyz x y z

+= = = =

= + = = =

Bài 8. Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt ñối, biết rằng ñường kính ño ñược

d = 1,112m và sai số của phép ño là 1 mm.

Bài 9. Hãy xác ñịnh sai số tương ñối giới hạn và sai số tuyệt ñối giới hạn và chữ số ñáng tin

của cạnh hình vuông a. Biết rằng diện tích hình vuông là 216,45 , 0,01.SS cm= ∆ =


9

CHƯƠNG 2

TÍNH GẦN ðÚNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN


Sau khi học xong chương 2, yêu cầu sinh viên:

1. Kiểm tra ñược khoảng cách ly nghiệm

2. Tìm ñược nghiệm gần ñúng và ñánh giá ñược sai số của phương trình phi tuyến.

3. Biết vận dụng các phương pháp trên vào các bài toán thực tế.

2.1. GIỚI THI ỆU CHUNG

2.1.1. ðặt vấn ñề

Khi giải quyết bài toán kỹ thuật chúng ta thường gặp loại yêu cầu :

Xác ñịnh thông số ñầu vào, ñể ñầu ra của một hệ thống nào ñó ñạt một mức cho trước.

yêu cầu này có thể phát biểu bằng ngôn ngữ toán học như sau:

Xác ñịnh giá trị ( , )x a b∈ sao cho ( ) 0f x = , (2.1)

Như chúng ta ñã biết việc giải phương trình (2.1) không ñơn giản (vì không có phương pháp

chung) ngay cả khi ( )f x là ña thức có bậc lớn hơn 3.

Trong kỹ thuật người ta có thể chấp nhận giá trị x∗ (sao cho ( ) 0f x∗ ≈ ) thay cho nghiệm

ñúng α của phương trình nhưng với ñiều kiện ñánh giá ñược sai số tuyệt ñối giữa x∗ và α.

ðiều này cũng hoàn toàn hợp lý bởi thực tế ngay cả khi chúng ta xác ñịnh ñược chính xác

giá trị thông số ñầu vào thì khi qua hệ thống kết quả ñầu ra cũng chỉ ñạt ñược kết quả gần

bằng với yêu cầu.

Giá trị x∗ nói ở trên gọi là nghiệm gần ñúng của phương trình (2.1). Việc ñi tìm giá

trị x∗ và ñánh giá sai số gọi là giải gần ñúng phương trình.

Chú ý: Khi ñánh giá sai số chúng ta cần phải tính

* *x x α∆ = − và ( ) ( ) ( ) ( )* * *f x f x f f xα∆ = − = .

Sai số chung của bài toán ñược tính bởi ( ){ }* *max ;x f x∆ = ∆ ∆ .

Trong bài giảng chỉ tập chung tính * *x x α∆ = − .

2.1.2. Các bước giải gần ñúng phương trình phi tuy ến

Khi giải gần ñúng nghiệm của phương trình (2.1) ta cần tuân thủ các bước sau:

� Bước 1: Kiểm tra (2.1) có nghiệm ñúng duy nhất trên [a,b] (hay [a,b] là khoảng cách ly)

� Bước 2: Dùng các thuật toán ñể tìm giá trị x∗ và ñánh giá sai số


10

2.1.3. Một số ñịnh lý cần thiết trong việc thực hiện giải gần ñúng

ðể thực hiện bước 1, 2 ta dùng ñịnh lý dưới ñây

ðịnh lý1.

Nếu hàm số f(x) liên tục, ñơn ñiệu trên ñoạn [a,b] và f(a)f(b)<0 thì ñoạn [a,b] là một

khoảng cách ly nghiệm của phương trình (2.1).

ðịnh nghĩa2.

Gọi { }0:S x x x C= − ≤ là một lân cận ñóng của 0x R∈ , A là ánh xạ từ S vào S.

Ta nói A là ánh xạ co trên S nếu tồn tại hằng số q < 1 sao cho

, : ( ) ( )x y S A x A y q x y∀ ∈ − ≤ − .

ðịnh lý3.

Giả sử α là nghiệm ñúng của phương trình ( )x A x= và tồn tại lân cận ñóng S của α

sao cho A là ánh xạ co trên S thì α là nghiệm duy nhất của phương trình ( )x A x= trên S và

α có thể thu ñược bằng cách lấy giới hạn của dãy

1 ( ); 0,1,..n nx A x n+ = =

với x0 là một ñiểm nào ñó thuộc S.

ðịnh lý4.

Với hàm f(x) liên tục và khả vi trên ñoạn [a,b], ngoài ra tồn tại m sao cho

0 < m ≤ |f'(x)| với mọi x thuộc [a,b] khi ñó ta có ñánh giá:

( )nn

f xx

mα− ≤ .

2.2. MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM GIÁ TR Ị GẦN ðÚNG NGHIỆM

2.2.1. Phương pháp lặp ñơn

a. Mô tả phương pháp

- Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là [a,b].

- Biến ñổi (2.1) ñược về dạng tương ñương ( )x xϕ= ( hàm ϕ gọi là hàm lặp)

- Chọn 0 2

a bx

+= . Tính các nghiệm xấp xỉ xn +1 theo công thức

1 ( ), 0,1,2,...n nx x nϕ+ = =

- ðánh giá sai số n nx α∆ = − . ðặt { }[ , ]

max '( )x a b

q xϕ∈

= Ta có:

11n n nq

x xq −∆ ≤ −

−


11

b. ðiều kiện hội tụ của phương pháp

ðịnh lý.

Nếu hàm ( )xϕ có ñạo hàm '( )xϕ và thỏa mãn: '( ) 1, [ , ]x q x a bϕ ≤ < ∀ ∈

thì phương pháp lặp hội tụ, tức là: lim nn

x α→∞

=

Chú ý.

Khi sử dụng phương pháp lặp chúng ta sẽ gặp khó khăn trong việc tìm hàm ( )xϕ (vì phải

thỏa ñiều kiện : '( ) 1, [ , ]x q x a bϕ ≤ < ∀ ∈ ). ðể khắc phục ñiều này ta làm theo hướng dẫn

- Nếu '( ) 0, [ , ]f x x a b> ∀ ∈ ta ñặt ( )

( )f x

x xM

ϕ = − với { }[ , ]

max '( )x a b

M f x∈

≥

- Nếu '( ) 0, [ , ]f x x a b< ∀ ∈ ta ñặt ( )

( )f x

x xM

ϕ = + với { }[ , ]

max '( )x a b

M f x∈

≥

- Nếu ( ) 0

[ , ] :'( ) 0

f cc a b

f c

≠∃ ∈ = thì ta thu hẹp ñoạn [ , ]a b thành [ , ]c bε+ hoặc

[ , ]a c ε− với ε là hằng số dương ñủ nhỏ sao cho ñoạn thu hẹp vẫn là ñoạn cách ly

nghiệm.

Chú ý: Với cách ñặt như trên thì

{ }[ , ]

max '( ) 1 1x a b

mq x

Mϕ

∈= = − <

Trong ñó { }[ , ]

min '( )x a b

m f x∈

= .

Ví dụ1. Tìm xấp xỉ nghiệm trên ñoạn [1,2] của phương trình:

3 1 0x x− − =

thỏa yêu cầu sai số 10-1

Giải

ðặt 3( ) 1f x x x= − − suy ra 2'( ) 3 1f x x= − , ''( ) 6f x x=

Ta có

''( ) 0 0 (1,2)

'(1) 2

'(2) 11

f x x

f

f

= ⇔ = ∉ = =

suy ra { }

{ }[1,2]

[1,2]

'( ) 0, [1,2]

max '( ) 11

min '( ) 2

x

x

f x x

f x

m f x

∈

∈

> ∀ ∈ = = =


12

Bước 1: Kiểm tra [1,2] là khoảng cách ly nghiệm

f(x) liên tục trên [1,2],

Ta có (1) (2) 5 0,

'( ) 0, [1,2].

f f

f x x

= − <> ∀ ∈

. Vậy [1,2] là khoảng cách ly nghiệm.

Bước 2: Tính giá trị nghiệm và ñánh giá sai số

Chọn M=11. ðặt 3 3( ) 1 12 1

( )11 11

f x x x x xx x x

Mϕ − − − + += − = − =

Ta có { }[1,2]

9max '( ) 1

11xq xϕ

∈= = < . Vậy hàm ( )xϕ thỏa ñiều kiện của phương pháp lặp.

ðặt 01 2

1.52

x+= = ta tính các giá trị x1, x2… theo công thức lặp dưới ñây

1 0

11 1 0

( ) 1.420455

0.36 101

x x

qx x

q

ϕ

−

= =∆ ≤ − ≈ > −

;

2 1

12 2 1

( ) 1.379947

0.18 101

x x

qx x

q

ϕ

−

= =∆ ≤ − ≈ > −

3 2

13 3 2

( ) 1.357418

0.1 101

x x

qx x

q

ϕ

−

= =∆ ≤ − ≈ > −

;

4 3

2 14 4 3

( ) 1.344351

5.9 10 101

x x

qx x

q

ϕ

− −

= =∆ ≤ − ≈ × < −

Vậy 4 1.34451x = là nghiệm gần ñúng thỏa yêu cầu về sai số.

Ví dụ2. Tìm xấp xỉ nghiệm trên ñoạn [0.5,1] của phương trình: 2 x 3x e 0− =

thỏa yêu cầu sai số 10-2.

Ví dụ3. Giải gần ñúng trên [4,5] của phương trình:

x+1cos 0.148x 0.9062 0

8 π + − =



.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


13

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

...................................................................................................................................................................................................................................


14

2.2.2. Phương pháp Newton-Rapson hay ( phương pháp tiếp tuyến )


- Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là [a,b].

- Chọn x0 thuộc [a,b] sao cho f(x

0) cùng dấu với f’’(x), x (a,b)∀ ∈

- Tính giá trị của nghiệm gần ñúng thứ n+1 theo công thức

nn 1 n

n

f (x )x x ; n=0,1,2...

f '(x )+ = −

- ðánh giá sai số n 1 n 1x+ +∆ = − α .

ðặt

{ } { }x [a,b]x [a,b]

M max f ''(x) , m min f '(x) .∈∈

= =

Ta có

2n 1 n 1 n

Mx x

2m+ +∆ ≤ −


Chú ý phương pháp Newton-Rapson cũng là một dạng của phương pháp lặp với hàm lặp là

( ) f (x)x x

f '(x)ϕ = −

Do vậy muốn phương pháp Newton-Rapson hội tụ thì hàm ( )xϕ phải thỏa ñiều kiện

[ ]2( ) ''( )

'( ) 1; [ , ]'( )

f x f xx x a b

f xϕ = < ∀ ∈

Việc kiểm tra ñiều kiện trên khá vất vả nên trong thực hành người ta thường sử dụng ñiều

kiện ñủ dưới ñây

ðịnh lý.

Giả sử hàm f(x) có f’(x) khác không trên ñoạn [a,b] và f''(x) không ñổi dấu trong

(a,b). Nếu x0 , xn ñược chọn như trong mục a) thì phương pháp Newton-Rapson hội tụ, tức

là: lim nn

x α→∞

=


15

Ví dụ1. Tìm xấp xỉ nghiệm trên ñoạn [-3,-2] của phương trình:

3 23 1 0x x+ − =

thỏa yêu cầu sai số 10-3

Giải

ðặt 3 2( ) 3 1f x x x= + − suy ra 2'( ) 3 6f x x x= + , ''( ) 6 6f x x= + , (3)( ) 6f x =

Xét f’(x)

Ta có

''( ) 0 1 ( 3, 2)

'( 3) 9

'( 2) 0

f x x

f

f

= ⇔ = − ∉ − − − = − =

Vì '( 2) 0f − = nên ta phải thu hẹp [-3,-2] thành [-3,-2.5]

Khi ñó

''( ) 0 1 ( 3, 2.5)

'( 3) 9

'( 2.5) 3.75

f x x

f

f

= ⇔ = − ∉ − − − = − =

suy ra { }

[ 3, 2.5]

'( ) 0, [ 3, 2.5]

min '( ) 3.75 x

f x x

m f x∈ − −

> ∀ ∈ − − = =

Xét f’’(x)

Ta có

(3)( ) 6 0

''( 3) 12

''( 2.5) 9

f x

f

f

= >

− = − − = −

suy ra { }

[ 3, 2.5]

''( ) 0, [ 3, 2.5]

max ''( ) 12x

f x x

M f x∈ − −

< ∀ ∈ − − = =

Bước 1: Kiểm tra [-3,-2.5] là khoảng cách ly nghiệm

Ta có f(x) liên tục trên [-3,-2.5],

( 3) ( 2.5) 1 2.215 0,

'( ) 0, [ 3, 2.5].

f f

f x x

− − = − × <> ∀ ∈ − −

Vậy [-3,-2.5] là khoảng cách ly nghiệm.

Bước 2: Tính giá trị nghiệm và ñánh giá sai số

- ðặt 0 3x = − (Vì ( 3)f − cùng dấu với ''( ), [ 3, 2.5]f x x∀ ∈ − − )

- Tính các giá trị x1, x2… theo công thức lặp

01 0

0

2 31 1 0

( )2.888889

'( )

0.0198 102

f xx x

f x

Mx x

m−

= − = −∆ ≤ − ≈ >

;

12 1

1

2 4 32 2 1

( )2.879452

'( )

1.43 10 102

f xx x

f x

Mx x

m− −

= − = −∆ ≤ − ≈ × <

Vậy 2 2.879452x = − là nghiệm gần ñúng thỏa yêu cầu sai số.


16

Ví dụ2. Cho phương trình: 2ln 1 02

xx− + = . Tìm xấp xỉ nghiệm trên ñoạn [0.2,1] sau 4 lần

lặp. ðánh giá sai số khi nhận giá trị nghiệm ở lần lặp thứ tư là xấp xỉ nghiệm.

Ví dụ3. Giải gần ñúng trên [0,1] của phương trình: 2x cos x 0− π =



.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


17

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


18

BÀI TẬP

Bài 1. Dùng một trong hai phương pháp (Lặp hoặc Newton-Rapson) tìm nghiệm gần ñúng

của phương trình dưới ñây thỏa yêu cầu sai số 10-4

[ ][ ][ ][ ]

[ ]

30

4 20

4 30

0

0

0

1) 1 0; 1;2

2) 3 3 0; 1;2

3) 2 4 0; 2;3

4) 0; 0.2;1

5) +0,5sin ; 0;22

6) 2 0; [0.3;1]x

x x x

x x x

x x x

x tgx x

xx x

x x

π π

−

− − = ∈

− − = ∈

− − = ∈

− = ∈

= ∈

− = ∈

[ ][ ]

2 x0

0

0

30

sin x 40

7) 3x e 0 ; x [0;1]

8) x cos x 0 ; x [0;1]

9) x+ ln x 5 0 ; x [3;5]

10) x x 1 0 ; x 1;2

11) e x 3 0 ; x 1;2

1

− = ∈− = ∈

− = ∈

− + = ∈

− + = ∈

[ ]2x 1 20

x2) tg e x 10 0 ; x 3;4

2−− − + = ∈

Bài 2. Tự tìm khoảng cách ly nghiệm và giải bằng phương pháp lặp ñơn hoặc tiếp tuyến

2

2

1) ( 1)2

2) x =ln(x+1)

3) sinx+cosx=4x

xex − =

2

4) 4 5ln 5

5) sin( lg 2)

6) 2 x

x x

x x x x

x e

− == − + −

= +

Bài 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của các phương trình :

1) x

2e 2x 0− = 2) 21,8x sin(10x) 0− = 3) x2 4x 0− =


19

CHƯƠNG 3

GIẢI GẦN ðÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

MỤC ðÍCH, YÊU CẦU:

Sau khi nghiên cứu chương 3, yêu cầu sinh viên:

1. Nắm ñược các xu hướng xử lý các bài toán ñại số tuyến

2. Hiểu và thực hiện ñược các phương pháp tìm nghiệm nghiệm xấp xỉ của hệ phương

trình tuyến tính.

3. Biết cách ñánh giá sai số của từng phương pháp



Khi xác ñịnh giá trị các thông số trong kỹ thuật ñôi khi chúng ta phải giải hệ thống

phương trình tuyến tính

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮

⋯

(I)

ðể giải hệ trên người ta ñi theo hai hướng sau:

Hướng giải ñúng

Sử dụng các phương pháp giải ñúng ñể tìm ra giá trị chính xác của các nghiệm xj. Một

số phương pháp tiêu biểu như : Cramer, Gauss-Jordan…ðã ñược khảo sát trong môn toán

cao cấp A2, C2.

Hướng giải gần ñúng

Sử dụng các phương pháp giải gần ñúng ñể tìm ra giá trị xấp xỉ của các nghiệm xj.

Một số phương pháp tiêu biểu như : Lặp ñơn, Seidel,…

Nhận xét

Hướng giải ñúng có ưu ñiểm là tìm ra ñược giá trị ñúng của nghiệm trong trường hợp

hệ có nghiệm duy nhất và chỉ ra ñược khi nào hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Tuy

nhiên lại rất khó thực hiện trong trường hợp các hệ số aij , bi là các số thập phân.

Hướng giải gần ñúng có khuyết ñiểm là chỉ tìm ra ñược giá trị gần ñúng của nghiệm

trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất và không chỉ ra ñược khi nào hệ vô nghiệm hoặc có

vô số nghiệm. Tuy nhiên lại tỏ ra hiệu quả trong trường hợp các hệ số aij ,bi là các số thập

phân.


20

Khi mô hình hóa bài toán kỹ thuật bằng hệ phương trình, thường hệ có các hệ số rất

lẻ và chỉ có duy nhất nghiệm nên hướng giải gần ñúng chiếm hầu hết khi giải bài toán kỹ

thuật.

Lưu ý. Các phương pháp giải gần ñúng dưới ñây chỉ giải ñược một số hệ có dạng ñặc biệt

(sẽ ñược chỉ rõ trong từng thuật toán). Nếu không phải là dạng này thì chúng ta phải dùng

hướng giải ñúng ñể xử lý.

3.1.2. Các bước giải gần ñúng hệ phương trình tuyến tính

Khi giải gần ñúng nghiệm của hệ phương trình (I) ta cần tuân thủ các bước sau:

� Bước 1: Kiểm tra (I) có nghiệm ñúng duy nhất

� Bước 2: Dùng các thuật toán ñể tìm giá trị gần ñúng của nghiệm và ñánh giá sai số

3.1.3. Một số khái niệm toán học cần thiết trong việc thực hiện giải gần ñúng

ðể thực hiện bước 1, 2 ta cần nhắc lại và xây dựng một số khái niệm sau

Cho ma trận chữ nhật A cấp m x n:

11 1

1

n

m mn

a a

A

a a

=

⋯

⋮ ⋯ ⋮

⋯

ðịnh nghĩa1. Ta nói chuẩn của ma trận A là một trong các số sau

1 1,.., 1

maxm

ijj n i

A a= =

= ∑ (gọi là chuẩn cột)

1,.., 1

maxn

iji m j

A a∞ = =

= ∑ (gọi là chuẩn hàng)

2

21 1

n m

ijj i

A a= =

= ∑∑ (gọi là chuẩn Euclicd)

Ví dụ. Với

1 0 1

4 2 1

2 2 5

A

− = − − −

ta có 1

2

max{7,4,7} 7

max{2,7,9} 9

1 0 1 16 4 1 4 4 25 56

A

A

A

∞

= = = =

= + + + + + + + + =

Ghi chú: Người ta thường dùng kí hiệu A chung cho ba chuẩn trên .

Trong không gian véc tơ Rn người ta xây dựng khái niệm chuẩn của véc tơ như sau


21

ðịnh nghĩa2

Trong không gian véc tơ Rn cho vecto 1 2( , ,..., )nx x x x= . Ta nói chuẩn của vecto x là một

trong các số sau.

{ }1 1,..,max jj n

x x=

= hoặc 1

n

jj

x x∞=

= ∑ hoặc

2

21

n

jj

x x=

= ∑

Ghi chú : Khái niệm 2x của vecto mang ý nghĩa hình học là ñộ dài của vecto ñó

Tính chất của chuẩn (ñọc giáo trình)

ðịnh lý4 (Về sự duy nhất nghiệm của hệ (I)).

Xét hệ (I) khi m=n . Nếu 11 1

1

0n

n nn

a a

a a

≠⋯

⋮ ⋯ ⋮

⋯

thì hệ (I) có nghiệm duy nhất

3.2. MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM GIÁ TR Ị GẦN ðÚNG NGHIỆM

3.2.1. Phương pháp lặp ñơn


- Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.

- Biến ñổi (I) ñược về dạng

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n n

x x x x

x x x x

x x x x

α α α βα α α β

α α α β

= + + + + = + + + + = + + + +

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮

⋯

(II)

ðặt 1 11 1 1

1

, = , =n

n n nn n

x

x

x

α α βα β

α α β

=

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮

⋯

Khi ñó (II) ñược viết dưới dạng x xα β= +

- Chọn (0)x β= . Tính các xấp xỉ nghiệm ( 1)nx + theo công thức

( 1) ( ) , 0,1,2,...n nx x nα β+ = + =

- ðánh giá sai số ( )11 *n

n x x++∆ = − với x* là nghiệm ñúng của hệ

( 1) ( )1 1

n nn x x

αα

++∆ ≤ −

−


22


ðịnh lý.

Nếu ma trận α có chuẩn bé hơn 1 thì phương pháp lặp ñơn hội tụ.

Ví dụ1. Giải gần ñúng hệ phương trình:

10x 2y 3z 20

2x 20y 5z 40

x 3y 10z 8

− − =− + − = − + =

(I)

Thỏa yêu cầu sau số 10-2

Giải

Bước 1: Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất

Ta có

10 2 3

2 20 5 1862 0

1 3 10

− −− − = ≠

− . Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2: Tính gần ñúng và ñánh giá sai số

Biến ñổi (I) ñược về dạng

x 0x 0.2y 0.3z 2

y 0.1x 0y 0.25z 2

z 0.1x 0.3y 0z 0.8

= + + + = + + + = − + + +

(II)

ðặt

1

2

3

0 0.2 0.3 2

= 0.1 0 0.25 , = 2 ,

0.1 0.3 0 0.8

x

x x

x

α β =

−

Khi ñó (II) ñược viết dưới dạng

x xα β= +

Ta có { } =max 0.5, 0.35, 0.4 0.5 1α ∞ = < . Vậy ma trận α thỏa ñiều kiện hội tụ .

ðặt (0)2

x = = 2

0.8

β

. Ta tính nghiệm xấp xỉ ( 1)nx + , 0,1,2,...n = theo công thức


23

(1) (0)

(1) (0) 21

0 0.2 0.3 2 2 2.64

x + = 0.1 0 0.25 2 2 2.4

0.1 0.3 0 0.8 0.8 1.2

0.50.64 0.64 10

1 1 0.5

x

x x

α β

αα

−∞∞∞

= + =

− ∆ ≤ − ≈ × = >

− −

(2) (1)

(2) (1) 22

2.84

x + = 2.564

1.256

0.2 101

x

x x

α β

αα

−∞∞∞

=

∆ ≤ − ≈ >

−

;

(3) (2)

(3) (2) 23

2.8896

x + = 2.598

1.2852

0.05 101

x

x x

α β

αα

−∞∞∞

=

∆ ≤ − ≈ >

−

(4) (3)

(4) (3) 24

2.90516

x + = 2.61026

1.29044

0.02 101

x

x x

α β

αα

−∞∞∞

=

∆ ≤ − ≈ >

−

;

(5) (4)

(5) (4) 3 25

2.909184

x + = 2.613126

1.292562

4 10 101

x

x x

α β

αα

− −∞∞∞

=

∆ ≤ − ≈ × <

−

Vậy x(5) hay

2.909184

2.613126

1.292562

x

y

z

= = =

là xấp xỉ nghiệm thỏa yêu cầu sai số.

Ví dụ2. Giải gần ñúng hệ phương trình:

19.2x 2.6y 1.2z 20.3

3.7x y 15.3z 4

x 13.5y z 8.3

+ − = + − = − + =

(I)



24

Ví dụ3. Cho hệ phương trình:

x 21.6y 1.2z 2.3

3.7x y 15.3z 7.24

25.7x 3.5y z 8.3

− − = + − = − + =

(I)

Tìm nghiệm gần ñúng của hệ sau 4 bước lặp. ðánh giá sai số khi nhận xấp xỉ nghiệm này.


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


25

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


26

3.2.2. Phương pháp Seidel


- Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.

- Biến ñổi (I) ñược về dạng x xα β= +

- Chọn (0)x β= . Tính các xấp xỉ nghiệm ( 1)kx + theo công thức

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )11 12 1 1 1 11 1 2 1

( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )21 22 2 1 2 22 1 2 1

( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( )1 2 11 2 1

k k k k kn n nn

k k k k kn n nn

k k kk kn n n nn nn n nn

x x x x x

x x x x x

x x x x x

α α α α β

α α α α β

α α α α β

+− −

+ +− −

+ + ++− −

= + + + + + = + + + + + = + + + + +

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ (*)

Nếu phân tích

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

0 0 0

0 0 0 =

0 0 0

= L

n n

n n

n n nn n n nn

α α α α α αα α α α α α

α

α α α α α α

= +

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

+ U

Thì (*) sẽ ñươc viết lại là

( 1) ( 1)( 1) ( ) 1 ( ) ( )k kk k knx Lx Ux x I L Uxβ β+ ++ − = + + ⇔ = − +

(**)

- ðánh giá sai số ( )11 *n

n x x++∆ = − với x* là nghiệm ñúng của hệ

( 1) ( )1 1

n nn

Lx x

α+

+∆ ≤ −−

Chú ý : Theo biểu diễn (**) ta nhận thấy rằng phương pháp Seidel cũng là một dạng của

phương pháp lặp ñơn .


ðịnh lý.

Nếu ma trận α có chuẩn bé hơn 1 thì phương pháp lặp Seidel hội tụ.


27

Ví dụ1. Giải gần ñúng hệ phương trình bằng phương pháp Seidel

10x 2y 3z 20

2x 20y 5z 40

x 3y 10z 8

− − =− + − = − + =

(I)


Giải

Bước 1: Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất

Ta có

10 2 3

2 20 5 1862 0

1 3 10

− −− − = ≠

− . Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2: Tính gần ñúng và ñánh giá sai số (Theo công thức (**))

Biến ñổi (I) ñược về dạng

x 0x 0.2y 0.3z 2

y 0.1x 0y 0.25z 2

z 0.1x 0.3y 0z 0.8

= + + + = + + + = − + + +

(II)

ðặt

0 0.2 0.3 0 0 0 0 0.2 0.3

= 0.1 0 0.25 0.1 0 0 0 0 0.25

0.1 0.3 0 0.1 0.3 0 0 0 0

2

= 2 ,

0.8

L U

x

x y

z

α

β

= +

− −

= +

=

Ta có

3

0.5 1, 0.4

1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0.1 0 0 0.1 1 0

0 0 1 0.1 0.3 0 0.1 0.3 1

L

I L

α ∞ ∞ = < = − = − = −

− −

ðặt (0)2

x = = 2

0.8

β

. Ta tính nghiệm xấp xỉ ( 1)nx + , 0,1,2,...n = theo công thức


28

(1) 1 (0)

(1) (0) 21

2.64

x ( ) + = 2.464

1.2752

0.40.64 0.512 10

1 1 0.5

I L Ux

Lx x

β

α

−

−∞∞∞

= −

∆ ≤ − = × = >

− −

;

(2) 1 (1)

(2) (1) 22

2.87536

x ( ) + = 2.606336

1.294365

0.40.24 0.192 10

1 1 0.5

I L Ux

Lx x

β

α

−

−∞∞∞

= −

∆ ≤ − ≈ × ≈ >

− −

;

(3) 1 (2)

(3) (2) 2 23

2.909577

x ( ) + = 2.614549

1.293407

0.40.034 2.72 10 10

1 1 0.5

I L Ux

Lx x

β

α

−

− −∞∞∞

= −

∆ ≤ − ≈ × ≈ × >

− −

;

(4) 1 (3)

(4) (3) 3 3 24

2.910932

x ( ) + = 2.614445

1.29324

0.41.4 10 1.12 10 10

1 1 0.5

I L Ux

Lx x

β

α

−

− − −∞∞∞

= −

∆ ≤ − ≈ × × ≈ × <

− −

;

Vậy x(4) hay

2.910932

2.614445

1.29324

x

y

z

= = =

là xấp xỉ nghiệm thỏa yêu cầu sai số.

Chú ý : Chúng ta cũng có thể tính các xấp xỉ nghiệm theo công thức (*)


29

Ví dụ2. Cho hệ phương trình

10x 2y 3z t 20

2x 20y 5z 3t 40

x 3y 10z t 8

x y 2z 10t 10

− − − =− + − + = − + − = − + − + =

(I)

Bằng phương pháp Seidel (dùng công thức *) tìm nghiệm gần ñúng của hệ sau 3 bước lặp.

ðánh giá sai số khi nhận xấp xỉ nghiệm này.


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


30

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


31

BÀI TẬP

Bài1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp ñơn , Seidel với sai số 10-3 .

1) 1,02x 0,05y 0,1z 0,795

0,11x 1,03y 0,05z 0,849

0,11x 0,12y 1,04z 1,398

− − =− + − =− − + =

2)6,1x 2,2y 1,2z 16,55

2,2x 5,5y 1,5z 10,55

1,2x 1,5y 7,2z 16,80

+ + = + − = − + =

3) 1,02x 0,25y 0,30z 0,515

0,41x 1,13y 0,15z 1,555

0,25x 0,14y 1,21z 2,780

− − =− + − =− − + =

4) 4x y z 8

2x 5y 2z 3

x 2y 4z 11

− + = + + = + + =

5)4x y 2z 9

2x 4y z 5

x y 3z 9

+ + = + − = − + − = −

6) 3x y z 1

3x 6y 2z 0

3x 3y 7z 4

− + = + + = + + =

7) 10x y 9

x 10y 2z 7

2y 10z 6

− =− + − = − + =

8) 4x 3y 24

3x 4y z 30

y 4z 24

+ = + − = − + = −

9) 0,42x 5,05y 0,11z 0,215

12,5x 1,02y 0,05z 0,743

0,11x 0,12y 2,09z 1,395

− − = + − =− − + =

10)2,1x 2,2y 7,5z 14,65

5,2x 0,5y 1,5z 20,15

1,6x 4,5y 1,2z 6,18

+ + = + − = − + = −

Bài2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel sai số 10-5 .

1)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1,42x 0,5x 0,1x 0,2x 2,525

0,5x 5,02x 1,15x 0,3x 0,741

0,17x 2,12x 13,5x 0,4x 5,190

0,18x 0,12x 1,05x 20,7x 1,824

− − + = + − − = + + + =− − + − =

2)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

0,42x 5,05x 0,11x 0,1x 0,215

12,5x 1,02x 0,05x 0,5x 0,743

0,11x 0,12x 2,09x 0,4x 1,395

0,11x 0,12x 1,05x 5,2x 2,092

− − + = + − − =− − + + =− − + − =

3)

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

8x x 2x x 2x 24

2x 12x x 2x x 72

x 5x 23x x 3x 46

3x 2x 5x 35x x 70

4x x x 2x 72x 144

− + + + = + − − + =− + + + + = + − − − =

− + + − =

4)

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

25x x 3x 2x x 75

x 17x x 3x 4x 170

3x 2x 35x x 5x 105

4x 5x x 55x 7x 330

x x x 2x 29x 580

− + + + = + − − − =− + + + − = − − + + =

− − + + + =


32

CHƯƠNG 4

ðA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT



1. Hiểu ñược thế nào là bài toán nội suy và hồi quy.

2. Thực hiện ñược các phương pháp nội suy ña thức.

3. Tìm ñược các hàm xấp xỉ theo phương pháp bình phương bé nhất


Khi nghiên cứu các vấn ñề kỹ thuật, kinh tế, xã hội chúng ta thường gặp phải nhu cầu

từ các số liệu rời rạc ñã có của các ñại lượng ñang xét, suy ra mối quan hệ toán học giữa

chúng, sau ñó sử dụng công cụ toán học nghiên cứu các vấn ñề mà ta quan tâm trên các ñại

lượng ñang xét.

Ví dụ. Quan sát hai ñại lượng X , Y ta có bảng số liệu:

x 32 32.9 34 34.5 35 36.6

y 32.4 33 33.1 34.7 35.2 33.6

Có rất nhiều câu hỏi liên quan ñến mối quan hệ giữa X,Y mà nếu không sử dụng công cụ

toán học thì chúng ta không trả lời ñược ví dụ như:

- Khi X tăng thì Y có tăng hay không ?

- Khi nào thì Y ñạt cực ñại?

- Khi X= 36 thì Y là bao nhiêu ?

…

Vấn ñề xây dựng mối quan hệ toán học giữa các ñại lượng có thể phát biểu bằng bài toán

tổng quát sau

Bài toán

Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu

x x0 x1 … xn

y y0 y1 … yn

Tìm mối liên hệ giữa x,y dưới dạng y = f(x) ?.


33

Khi giải bài toán trên ñiều ñầu tiên chúng ta quan tâm là nên chọn dạng hàm f(x) như thế

nào. Các ñịnh lý về xấp xỉ sau ñây của Weierstrass sẽ cho chúng ta gợi ý về dạng hàm f(x).

ðịnh lý Weierstrass 1

Cho f (x) là một hàm thực liên tục xác ñịnh trên ñoạn [a,b]. Khi ñó với mọi ε>0 tồn

tại một ña thức

2 mm 0 1 2 mp (x) a a x a x ... a x= + + + +

với các hệ số thực sao cho với mọi giá trị x thuộc [a,b] ta có

|f(x) – pm(x)|<ε.

ðịnh lý Weierstrass 2

Cho f (x) là một hàm thực liên tục xác ñịnh trên ñoạn [-π,π] và f(-π) = f(π). Khi ñó với

mọi ε>0 tồn tại một ña thức lượng giác

m0

m j jj 1

ap (x) a cos( jx) b sin( jx)

2 = = + + ∑

với các hệ số thực sao cho với mọi giá trị x thuộc [-π,π] ta có

|f(x) – pm(x)|<ε.

Như vậy việc chọn ña thức là thích hợp cho dạng hàm f(x).

Tiếp theo chúng ta sẽ ñi xác ñịnh các hệ số ai, bj trong ña thức pm(x). Việc xác ñịnh các hệ số

thường dựa vào một trong hai dạng yêu cầu:

Dạng 1:

ða thức pm(x) phải ñi qua các ñiểm (xi ,yi). Tức là pm(xi ) = yi với i=0,1,...,n.

Dạng 2:

ða thức pm(x) ñi gần các ñiểm (xi ,yi) theo nghĩa [ ]n

2m i i

i 1

p (x ) y=

−∑ bé nhất.

Người ta gọi ña thức pm(x) xây dựng theo dạng 1 là ña thức nội suy và ñược dùng khi biết

yi = f(xi). ða thức tìm theo dạng 2 gọi là tìm theo phương pháp bình phương bé nhất (hay

còn gọi là bài toán hồi quy hoặc hàm hồi quy) nó ñược dùng khi i iy f (x )≈ .

Chú ý: Khi xây dựng quan hệ giữa y và x theo phương pháp bình phương bé nhất có thể

không phải dạng ña thức.

4.2. ðA THỨC NỘI SUY

4.2.1 ða thức nội suy Lagrange (ñọc giáo trình)


34

4.2.2. ða thức nội suy Newton

Bài toán

Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu

x x0 x1 … xn

y y0 y1 … yn

Trong ñó : x0 < x1 <…< xn . Tìm mối liên hệ giữa x,y dưới dạng

2 nn 0 1 2 ny p (x) a a x a x ... a x= = + + + + .

Thỏa ñiều kiện i n iy p (x )= . Tìm giá trị y khi x = x* với { }*0 1 nx x ,x ,..., x∉ .

Giải

a) Các giá trị xi cách ñều : h = xi+1 - xi

Bước 1. Tính các hiệu hữu hạn tiến ki∆

i i 1 i

k 1 k ki i 1 i

y y

; k=0,1,...n-1.+

++

∆ = −∆ = ∆ − ∆

Bước 2. Lập ña thức nội suy

ða thức nội suy Newton tiến

2 nT 0 0 0n 0 0 0 1 0 n 12 n

p (x) y (x x ) (x x )(x x ) ... (x x ) (x x )h 2!h n!h

−∆ ∆ ∆= + − + − − + + − −⋯

ða thức nội suy Newton lùi

n2L 0n 1 n 2n n n n n 1 n 12 n

p (x) y (x x ) (x x )(x x ) ... (x x ) (x x )h 2!h n!h

− −−

∆∆ ∆= + − + − − + + − −⋯

Bước 3 . Tính y khi x = x*

Nếu x* gần x0 thì T *ny p (x )≈ . Nếu x* gần xn thì L *

ny p (x )≈ .


35

b) Các giá trị xi không cách ñều

Bước 1. Tính các tỉ hiệu hữu hạn tiến i i nf [x ,...x ]+

i 1 ii i 1

i 1 i

i 1 i k i i k 1i i k

i k i

y yf[x , x ]

x x

; i = 0,1...; k = 1,2,...

f [x ,..., x ] f [x ,..., x ]f [x ,..., x ]

x x

++

+

+ + + −+

+

− = − − =

−



Tn 0 0 1 0 0 n 0 n 1p (x) y f[x , x ](x x ) ... f [x ,..., x ](x x ) (x x )−= + − + + − −⋯


Ln n n 1 n n 0 n n 1p (x) y f[x ,x ](x x ) ... f [x ,..., x ](x x ) (x x )−= + − + + − −⋯

Bước 3 . Tính y khi x = x*

Nếu x* gần x0 thì T *ny p (x )≈ . Nếu x* gần xn thì L *

ny p (x )≈ .

Ví dụ1. Cho bảng số liệu

Xây dựng ña thức nội suy Newton tiến, lùi. Tìm y khi x=1.2345 hoặc x = 9.5437

Giải

Bước 1. Tính các hiệu hữu hạn tiến ki∆

n x y i∆ 2

i∆ 3i∆ 4

i∆ 5i∆

0 1 3.2

1 3 3.3 0.1

2 5 1.7 -1.6 -1.7

3 7 2.5 0.8 2.4 4.1

4 9 5.1 2.6 1.8 -0.6 -4.7

5 11 4.3 -0.8 -3.4 -5.2 -4.6 0.1

x 1 3 5 7 9 11

y 3.2 3.3 1.7 2.5 5.1 4.3


36



2 3T 0 0 05 0 0 0 1 0 1 22 3

4 50 0

0 1 2 3 0 1 2 3 44 5

T5 2

p (x) y (x x ) (x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )h 2!h 3!h

(x x )(x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )4!h 5!h

0.1 1.7p (x) = 3.2 + (x 1) (x 1)(x 3)

2 2!2

∆ ∆ ∆= + − + − − + − − −

∆ ∆+ − − − − + − − − − −

− − − − +3

4 5

4.1(x 1)(x 3)(x 5)

3!24.7 0.1

(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7)(x 9)4!2 5!2

− − −

− − − − − + − − − − −


2 3L 34 25 5 5 5 4 5 4 32 3

5401

5 4 3 2 5 4 3 2 14 5

L5 2

p (x) y (x x ) (x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )h 2!h 3!h

(x x )(x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )4!h 5!h

0.8 3.4 5.2p (x)= 4.3 (x 11) (x 11)(x 9)

2 2!2 3!

∆∆ ∆= + − + − − + − − −

∆∆+ − − − − + − − − − −

− − − − − −3

4 5

(x 11)(x 9)(x 7)2

4.6 0.1 (x 11)(x 9)(x 7)(x 5) (x 11)(x 9)(x 7)(x 5)(x 3)

4!2 5!2

− − −

− − − − − + − − − − −

Bước 3 . Tính y

Khi x = 1.2345. Vì x gần x0 nên ta có T5y p (1.2345)≈ =

Khi x = 9.5437. Vì x gần x5 nên ta có L5y p (9.5437)≈ =

Ví dụ2. Cho bảng số liệu

Xây dựng ña thức nội suy Newton tiến, lùi. Tìm y khi x=2.6375 hoặc x = 8.5722

Giải

x 1 2 5 7 8 10

y 3 2 1 4 5 1


37

Bước 1. Tính các tỉ hiệu hữu hạn tiến



T5

1 1p (x) = 3 (x 1) + (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 5)

6 3011 13

(x 1)(x 2)(x 5)(x 7) (x 1)(x 2)(x 5)(x 7)(x 8)630 15120

− − − − + − − −

− − − − − + − − − − −


L5

1p (x)= 1 2(x 10) (x 10)(x 8) (x 10)(x 8)(x 7)

67 13

(x 10)(x 8)(x 7)(x 5) (x 10)(x 8)(x 7)(x 5)(x 2)720 15120

− − − − − − − − −

− − − − − + − − − − −

Bước 3. Tính y

Khi x = 2.6375. Vì x gần x0 nên ta có T5y p (2.6375)≈

Khi x = 8.5722. Vì x gần x5 nên ta có L5y p (8.5722)≈

4.3. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

Bài toán . Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu

x x1 x2 … xn

y y1 y2 … yn

Trong ñó : x1 < x2 <…< xn . Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng

a) 1y p (x) a bx≈ = + b) 22y p (x) a bx cx≈ = + + c) y q(x) a bcos x csin x≈ = + +

Thỏa ñiều kiện [ ]n

2i i

i 1

p(x ) y=

−∑ bé nhất .

n x y TH1 TH2 TH3 TH4 TH5

0 1 3

1 2 2 -1

2 5 1 -1/3 1/6

3 7 4 3/2 11/30 1/30

4 8 5 1 -1/6 -4/45 -11/630

5 10 1 -2 -1 -1/6 -7/720 13/15120


38

Giải

a) ðặt: [ ] ( )n n

2 2i i i i

i 1 i 1

F(a,b) p(x ) y a bx y= =

= − = + −∑ ∑ .

Yêu cầu bài toán tương ñương: Tìm a,b sao cho F(a,b) ñạt cực tiểu.

Theo lý thuyết hàm 2 biến ñể F(a,b) ñạt cực tiểu a, b phải thỏa hệ:

( )

( )

n'a i i

i 1

n'b i i i

i 1

F (a,b) 2 a bx y 0

F (a,b) 2 x a bx y 0

=

=

= + − =

= + − =

∑

∑

n n

i ii 1 i 1

n n n2

i i i ii 1 i 1 i 1

an b x y

a x b x x y

= =

= = =

+ =

⇔ + =

∑ ∑

∑ ∑ ∑

b) ðặt: [ ] ( )n n

2 2i i i i i

i 1 i 1

F(a,b,c) p(x ) y a bx cx y= =

= − = + + −∑ ∑ .

Yêu cầu bài toán tương ñương: Tìm a, b, c sao cho F(a,b,c) ñạt cực tiểu.

Theo lý thuyết hàm 3 biến ñể F(a,b,c) ñạt cực tiểu a, b, c phải thỏa hệ

( )

( )

( )

n' 2a i i i

i 1

n' 2b i i i i

i 1

n' 2 2c i i i i

i 1

F (a,b,c) 2 a bx cx y 0

F (a,b,c) 2 x a bx cx y 0

F (a,b,c) 2 x a bx cx y 0

=

=

=

= + + − =

= + + − = = + + − =

∑

∑

∑

n n n2

i i ii 1 i 1 i 1

n n n n2 3

i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

n n n n2 3 4 2i i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1

an b x c x y

a x b x c x x y

a x b x c x x y

= = =

= = = =

= = = =

+ + =

⇔ + + = + + =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

c) ðặt: [ ] ( )n n

2 2i i i i i

i 1 i 1

F(a,b,c) p(x ) y a bcos x csin x y= =

= − = + + −∑ ∑

Yêu cầu bài toán tương ñương: Tìm a, b, c sao cho F(a,b,c) ñạt cực tiểu.

Theo lý thuyết hàm 3 biến ñể F(a,b,c) ñạt cực tiểu a, b, c phải thỏa hệ

n n n

i i ii 1 i 1 i 1

n n n n2

i i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

n n n n2

i i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

an b cos x c sin x y

a cos x b cos x c cos x sin x y cos x

a sin x b cos x sin x c sin x y sin x

= = =

= = = =

= = = =

+ + =

+ + = + + =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑


39

Chú ý. ðể xác ñịnh dạng hàm người thường biểu diễn các cặp ñiểm (xi,yi) lên mặt phẳng

tọa ñộ Oxy, sau ñó nối các ñiểm xem ñường nối có hình dạng nào và chọn dạng hàm theo

gợi ý sau:

- Nếu là ñường thẳng (hoặc gần thẳng) chọn dạng a) .

- Nếu là ñường cong Parabol chọn dạng b).

- Nếu là ñường tuần hoàn chọn dạng c)

Ví dụ1. Quan sát hai ñại lượng x, y ta ñược bảng số liệu

Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng y a bx= + .

Giải. y 1.603588 0.554593x= +


Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng 2y a bx cx= + + .

Giải. 2y 1.385703 3.55484x 0.528606x= − + −


Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng y a bcos x csin x= + + .


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

x 1 2.3 3.1 4 4.2 5.5 6

y 2 3.2 3.1 3.8 4 5 4.6

x 1 2.3 3.1 3.4 4.1 5 5.6

y 2 3.2 3.1 6.8 4 3.5 1.6

x 0 1.05 1.57 3.14 6.28

y 2 3.2 3 0 2


40

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


41

Chú ý.

Khi yêu cầu xây dựng các hàm không phải dạng a), b), c) chúng ta có thể dùng một

trong hai cách sau :

Cách 1. Dùng phép ñổi biến ñể ñưa về các dạng a), b), c).

Cách 2. Dùng ñiều kiện [ ]n

2i i

i 1

p(x ) y=

−∑ bé nhất ñể xác ñịnh các hệ số.


Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng

a) by ax , a 0= > . b) bxy ae , a 0= > . c) ln x

1y 1; a,b 0

ab= − > .

d) 2x

32x x

ey

ae be c=

+ +. e)

b c ln x

1y 1; a 0

ax += − > f)

32b

y a c tan xcos x

= + +


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

x 1 2.3 3.1 4 4.2 5.5 6

y 2 3.2 3.1 3.8 4 5 4.6


42

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


43


Tìm mối liên hệ giữa x, y dưới dạng

a) xy a x be= + + . b) c

y a bln xx

= + + . .


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

x 1 2 3 4

y 2 3.2 3.1 3.8


44

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.........................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.........................................................................................

..…...........................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

...............................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

................................................................................................…………………………………………

………………………………………………


45

BÀI TẬP

Bài1. Cho các mốc nội suy sau :

x 0 3 4 5 7

f(x) -1 3 2 1 4

1) Viết ña thức Newton tiến, tính f(2.5) 2) Viết ña thức Newton lùi, tính f(6.82)

Bài 2. Cho các mốc nội suy cách ñều :

x 1 2 3 4 5

f(x) 2 -1 1 0 3

1) Viết ña thức Newton tiến và tính (1,5)f 2) Viết ña thức Newton lùi và tính (4,5)f

Bài 3. Từ bảng số liệu ñã cho, bằng pp bình phương bé nhất tìm hàm ñã chỉ ra

1) lny a x bx c= + + . Biết 2) cosy a bx c x= + + . Biết 3) 2( sin )y ax b x x= + + . Biết 4) 2( 2) cosy a x b x= + + . Biết

5) ( 1) ln( 1)xy a e b x= − + + . Biết

Bài 4. Cho bảng dữ liệu

Bằng phép ñổi biến số thích hợp rồi dùng phương pháp bình phương nhỏ nhất tìm các hàm

( )

22

2

232

1 ax bx ca) y . b) y . c) y ax b.

ax b x1 a

d) y . e)y b ax . f) y= b tan x c1 a bx cos x

+ += = = ++

= = + + ++ +

x 1 2 3 y 5 7.7 10

x 1 2 3 y 4.6 3.7 4

x 1 2 3 4 y 3.8 8.9 15 22.2

x 1 2 3 4 y 5 4.3 7 15

x 0 1 3 y 0 5.5 42.3

x 1 1,5 2 2,4 3

y 6,62 3,94 2,17 1,35 0,89


46

CHƯƠNG 5

TÍNH GẦN ðÚNG TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH



1. Hiểu ñược thế nào là bài toán tính gần ñúng tích phân xác ñịnh.

2. Thực hiện ñược các phương pháp tính gần ñúng tích phân xác ñịnh, qua ñó biết cách

tính giá trị gần ñúng tích phấn xác ñịnh của một hàm bất kỳ.

3. Biết cách áp dụng các phương pháp tính gần ñúng trên vào việc giải các bài toán

ngoài thực tế.

4. Biết cách ñánh giá sai số của từng phương pháp.


Quá trình tính giá trị các thông số kỹ thuật hoặc giá trị các ñại lượng kinh tế ñôi khi

phải tính tích phân

b

a

I f (x)dx= ∫

ðể tính ñúng tích phân I ta chỉ có công thức Newton-Leibniz nhưng công thức này sẽ gặp

khó khăn khi hàm f(x) có nguyên hàm phức tạp khó tìm hoặc không có nguyên hàm hoặc

cho bởi bảng giá trị rời rạc (ñiều này rất dễ gặp trong kỹ thuật, kinh tế…).

Trong thực tế người ta giảm bớt khó khăn khi tính I bằng cách sử dụng các phương

pháp tính gần ñúng ñể tìm giá trị xấp xỉ của I rồi dùng nó thay cho giá trị ñúng nhưng với

ñiều kiện ñánh giá ñược sai số tuyệt ñối.

ða số các phương pháp tính gần ñúng ñều theo các bước sau

Bước 1: Chia ñoạn [a,b] thành n ñoạn nhỏ bằng nhau [ ]i i 1x , x ; i=0,...,n-1+ .

Bước 2: Trên từng ñoạn nhỏ [ ]i i 1x ,x + xây dựng ña thức nội suy bậc m imp (x) của f (x) .

Bước 3: Tính i 1

i

xn 1* i

i i mi 0 x

I I ; I p (x)dx+−

== =∑ ∫ . Kết luận *I I≈ .

Bước 4: ðánh giá sai số *I I∆ = − .


47

5.2. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH GẦN ðÚNG

5.2.1. Công thức hình thang

- Giả sử f(x) có ñạo hàm cấp 2 liên tục trên [a,b]

- Chia ñoạn [a,b] thành n ñoạn con bằng nhau

- ðặt 0x a= tính: i 1 i

i i

b ah

n

x x h; i = 0,1,...,n-1.

y f (x ); i = 0,1,...,n. +

− = = + =

- Tính * 0 n1 n 1

y yI h y ... y

2 −+ = + + +

. Kết luận *I I≈ .

- ðánh giá sai số : 2

* (b a)hI I f ''(c) ; c [a,b].

12

−∆ = − ≤ ∈ .

Nhận xét : Giá trị h càng nhỏ thì sai số càng bé.

Chú ý : Trong thực hành

- Nếu ñạo hàm cấp 2 của f(x) tính ñược thì sai số ñánh giá theo công thức

2(b a)hM

12

−∆ ≤ với x [a,b]

M max f ''(x)∈

≥

- Nếu ñạo hàm cấp 2 của f(x) không tính ñược hoặc quá phức tạp thì sai

số ñánh giá theo công thức

* *n 2n

1I I

3∆ ≤ −

với *hI , *

2hI lần lượt là giá trị *I ñược tính khi chia ñoạn [a,b] thành n và

2n ñoạn có chiều dài bằng nhau.


48

Ví dụ1. Tính gần ñúng 2

1x

0

I e dx= ∫ .

ðánh giá sai số. Biết chia ñạn [0.1] thành 10 ñoạn có chiều dài bằng nhau

Giải

- Lập bảng số liệu với h= 0.1

- Tính giá trị

* 0 101 9

y yI h y ... y = 1.467175

2

+ = + + +

- ðánh giá sai số

Ta có

2 2 2x x x 2y e y ' 2xe y '' 2e (1 2x )= ⇒ = ⇒ = +

suy ra x [0,1]max y''(x) 6e∈

= .

Vậy 2(1 0)0.1

6e 0.01412

−∆ ≤ =

Ví dụ2. Tính gần ñúng 2

6

I ln(cos x sin x)dx

π

π= +∫ .

ðánh giá sai số. Biết chia ñoạn ,6 2

π π

thành 12 ñoạn có chiều dài bằng nhau

Ví dụ3. Cho tích phân 2

1

ln(1 )xI e dx= +∫

Nếu dùng phương pháp hình thang thì cần chia ñoạn [1,2] thành ít nhất mấy ñoạn có chiều dài bằng nhau ñể sai số khi tính gần ñúng I không quá 10-3.


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

i ix

2ix

iy e=

0 0 0y 1=

1 0.1 1y 1.01005=

2 0.2 2y 1.040811=

3 0.3 3y 1.094174=

4 0.4 4y 1.173511=

5 0.5 5y 1.284025=

6 0.6 6y 1.433329=

7 0.7 7y 1.632316=

8 0.8 8y 1.896481=

9 0.9 9y 2.247908=

10 1 10y 2.718282=


49

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


50

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


51

5.2.2. Công thức Simpson tổng quát (Simpson 1/3)

- Giả sử f(x) có ñạo hàm cấp 4 liên tục trên [a,b]

- Chia ñoạn [a,b] thành n =2m ñoạn con bằng nhau

- ðặt 0x a= tính: i 1 i

i i

b ah

n

x x h; i = 0,1,...,n-1.

y f (x ); i = 0,1,...,n. +

− = = + =

- Tính [ ]*0 2m 1 2m 1 2 2m 2

hI y y 4(y ... y ) 2(y ... y )

3 − −= + + + + + + + .

- Kết luận *I I≈ .

- ðánh giá sai số

4* (4)(b a)h

I I f (c) ; c [a,b].180

−∆ = − ≤ ∈ .

Nhận xét : Giá trị h càng nhỏ thì sai số càng bé.

Chú ý : Trong thực hành

- Nếu ñạo hàm cấp 4 của f(x) tính ñược thì sai số ñánh giá theo công thức

4(b a)hM

180

−∆ ≤ với (4)

x [a,b]M max f (x)

∈≥

- Nếu ñạo hàm cấp 4 của f(x) không tính ñược hoặc quá phức tạp thì sai

số ñánh giá theo công thức

* *2m 4m

1I I

15∆ ≤ −

với *2mI , *

4mI lần lượt là giá trị *I ñược tính khi chia ñoạn [a,b] thành 2m

và 4m ñoạn có chiều dài bằng nhau.


52

Ví dụ1. Tính gần ñúng

21

x

0

I e dx= ∫ .

ðánh giá sai số. Biết chia ñạn [0.1] thành 10 ñoạn có chiều dài bằng nhau

Giải

Lập bảng số liệu với h= 0.1

- Tính [ ]*0 10 1 9 2 8

hI y y 4(y ... y ) 2(y ... y ) = 1.462652

3= + + + + + + +

- ðánh giá sai số *I I∆ = −

Với mọi x thuộc [0,1] ta có : 2xy e e= ≤

2x

(3)

(4) (3)

y ' 2xe 2xy 2e

y '' 2(y xy ') 6e

y 2(2y ' xy '') 20e

y 2(3y '' xy ) 76e

= = ≤ = + ≤

⇒ = + ≤

= + ≤

.

Vậy x [0,1]max y''(x) 76e M∈

≤ ≡ . Kết luận : 4

4(1 0) 0.176e 1.148 10

180−− ×∆ ≤ × = ×

i ix

2ix

iy e=

0 0 0y 1=

1 0.1 /////////////////////// 1y 1.01005=

2 0.2 2y 1.040811= ///////////////////////

3 0.3 /////////////////////// 3y 1.094174= 4 0.4 4y 1.173511= ///////////////////////

5 0.5 ////////////////////// 5y 1.284025=

6 0.6 6y 1.433329= ///////////////////////

7 0.7 /////////////////////// 7y 1.632316= 8 0.8 8y 1.896481= ///////////////////////

9 0.9 /////////////////////// 9y 2.247908=

10 1 10y 2.718282=


53

Ví dụ2. Tính gần ñúng

2x

0

I cos(e 1)dx

π

= +∫ .

Không ñánh giá sai số. Biết chia ñoạn 0,2

π

thành 10 ñoạn có chiều dài bằng nhau

Ví dụ3.

Cho tích phân

1

0

I ln(1 x 1)dx= + +∫

Hỏi phải chia ñoạn [0,1] thành mấy ñoạn con bằng nhau ñể khi tính gần ñúng I bằng công

thức simpson bảo ñảm ñược sai số tuyệt ñối < 3.10-4


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


54

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


55

BÀI TẬP

Bài1. Tính các tích phân sau bằng công thức hình thang với n = 10.

I= 0

1dx

x cosx

π

+∫ ; J= ( )1

0

xdx

ln 2 x+∫ ; K= ( )1 2

0

x dx

sin 1 x+∫ ; L= 1

11 x

0

tgxdx

e +∫ ;

M= ( )1 2

0

sin x dx

ln 2 x+∫ ; N= ( )1 x

0

e dx

sin 1 x+∫ ; G= 1

x0

x arcsin xdx

2 1+∫ ; H= 1 2x

0

edx

1 cos3x+∫.

Bài2. Giải lại bài 1 bằng cách sử dụng công thức Simpson 1/3 với n = 10.

Bài3.

Khi tính gần ñúng 3,1 3

2,1

xI dx

x 1=

−∫ bằng công thức simpson 1/3, cần chia ñoạn [2,1;3,1]

thành bao nhiêu ñoạn bằng nhau ñể ñạt ñược sai số nhỏ hơn 10-4. Bài4.

Khi tính gần ñúng 1 2

0

x 1I dx

x 2

+=+∫ bằng công thức simpson 1/3, cần chia ñoạn [0;1]

thành bao nhiêu ñoạn bằng nhau ñể ñạt ñược sai số nhỏ hơn 0,75.10-4.


56

CHƯƠNG 6

GIẢI GẦN ðÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN



1. Hiểu ñược vai trò và tầm quan trọng của bài toán giải gần ñúng phương trình vi phân.

2. Thực hiện ñược các phương pháp tìm nghiệm gần ñúng của phương trình vi phân.

3. Biết cách áp dụng các phương pháp trên vào việc giải quyết các bài toán thực tế.

4. ðánh giá ñược sai số của từng phương pháp.



Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật dẫn về việc tìm giá trị của hàm y=y(x) khi x=x*.

Biết y là nghiệm riêng của phương trình vi phân thường:

( )( , , ',..., ) 0; [ , ]nF x y y y x a b= ∈ thỏa ñiều kiện ñầu

0

1

( 1)1

( )

'( )

( )nn

y a y

y a y

y a y−−

= = =

⋮.

Giải quyết bài toán trên có hai nhóm phương pháp

Phương pháp tìm giá trị thông qua nghiệm chính xác:

Bằng cách dựa vào cách tính tích phân trực tiếp, xác ñịnh ñược dạng tổng quát của

nghiệm rồi dựa vào ñiều kiện ban ñầu ñể xác ñịnh nghiệm riêng, sau ñó thay giá trị x* vào

nghiệm riêng ñể tìm ra giá trị y.

Phương pháp tìm giá trị gần ñúng :

Sử dụng xấp xỉ hàm bằng công thức khai triển Taylor sau ñó dùng phương pháp tính

gần ñúng tích phân ñể tính gần ñúng giá trị y.

Nhận xét

Hướng giải ñúng có ưu ñiểm là tìm ra ñược giá trị ñúng của y. Tuy nhiên lại rất khó

thực hiện bởi không có phương pháp tìm nghiệm riêng tổng quát cho mọi bài toán

Hướng giải gần ñúng có khuyết ñiểm là chỉ tìm ra ñược giá trị gần ñúng của nghiệm

trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất. Tuy nhiên phương pháp này có thể áp dụng cho

một lớp phương trình vi phân rộng hơn rất nhiều so với phương pháp trực tiếp, do ñó ñược

dùng nhiều trong thực tế.


57

Trong chương này ta nghiên cứu cách tính gần ñúng và ñánh giá sai số giá trị hàm y

thỏa bài toán ñơn giản nhất của phương trình vi phân là bài toán Cauchy ñối với phương

trình vi phân cấp 1

Bài toán

Cho hàm y=y(x) thỏa

0

' ( , ); [ , ].

( )

y f x yx a b

y a y

=∈ =

(6.1)

Tìm giá trị gần ñúng của y khi ix x= thỏa 0

1

,; 0,1,.., 1 .n

i i

x a x bi n

x x h+

= == − = +

ðánh giá sai số.

Giải

Khi giải bài toán trên ta cần tuân thủ các bước sau:

� Bước 1: Kiểm tra (6.1) có nghiệm ñúng duy nhất trên [a,b]

� Bước 2: Dùng các thuật toán ñể tìm giá trị xấp xỉ iy của ( )iy x và ñánh giá sai số

( )i i iy y x∆ = −

6.1.2. Một số ñịnh lý cần thiết trong việc thực hiện giải gần ñúng

ðể thực hiện bước 1, 2 người ta thường dùng các ñịnh lý dưới ñây

ðịnh lý1.

Nếu ( , )f x y và ( , )f

x yy

∂∂

liên tục trên miền D chứa (x0,y0) thì tồn tại duy nhất hàm y=y(x)

thỏa (6.1).

Ghi chú : Ngoài ðịnh lý 1 còn rất nhiều ðịnh lý nữa nói về sự tồn tại duy nhất nghiệm

ðịnh lý2.

Cho hàm số f(x) xác ñịnh và có ñạo hàm ñến cấp n+1 tại x0 và lân cận của x0. Giả sử h là

một giá trị sao cho x0 + h cũng thuộc lân cận này. Ta có:

( ) ( 1)2 10 0

0 0 0''( ) ( ) ( )

( ) ( ) '( ) ...2! ! ( 1)!

n nn nf x f x f c

f x h f x hf x h h hn n

+++ = + + + + +

+ .

Trong ñó c là hằng số thuộc (x0 , x

0+h).


58

6.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ðÚNG

6.2.1. Phương pháp Euler cải ti ến

- Kiểm tra bài toán có nghiệm duy nhất.

- ðặt 0 0 0x a, y y(x )= = .

- Tính i 1y + :

(0)i i ii 1

(1) (0)i i i i 1i 1 i 1

(m) (m 1)i i i i 1i 1 i 1

y y hf (x , y )

hy y f (x , y ) f (x , y )

2 ; i = 0,1,...,n-1.

hy y f (x , y ) f (x , y )

2

+

++ +

−++ +

= + = + +

= + +

⋮

Nếu ( ) ( 1)1 1

m mi iy y −+ +− ≤ ∆ thì kết luận ( )

1 1m

i iy y+ += .

Ví dụ1. Cho hàm y=y(x) thỏa hệ

/ 2 ; x [0,1]

(0) 1

y x y

y

= − ∈=

Tìm giá trị xấp xỉ của y(0.1), y(0.2) thỏa yêu cầu sai số 10-3.

Giải

Bước 0: Tóm tắt bài toán

; 2

1 0 2 1

( , )

0.1

f x y x y

h x x x x

= −

= − = − =

Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có

2( , )

( , ) 1

f x y x y

fx y

y

= − ∂ = − ∂

liên tục trên R2. Vậy phương trình có nghiệm riêng duy nhất.

Bước 2: Tính các giá trị y1 = y(0.1) và y2 = y(0.2).

i xi yi

0 x0=0 y0=1

1 x1=0.1 y1=?

2 x2=0.2 y2=?


59

Tính y1

(0) 20 0 0 0 0 01

(1) (0) (0)2 20 0 0 1 0 0 0 11 1 1

( , ) ( ) 1 0.1(0 1) 0.9

( , ) ( , ) 0.9055 2 2

y y hf x y y h x y

h hy y f x y f x y y x y x y

= + = + − = + − =

= + + = + − + − =

(1) (0) 3 -31 1

(2) (1) (1)2 20 0 0 1 0 0 0 11 1 1

5.5 10 >10

( , ) ( , ) 0.905225 2 2

y y

h hy y f x y f x y y x y x y

−⇒ − = ×

= + + = + − + − =

(2) (1) 4 31 1 2.75 10 10y y − −

⇒ − = × <

Vậy 1 0.905225 y = .

Tính y2

(0) 2 21 1 1 1 1 12

(1) (0)1 1 1 22 2

(1) (0)2 2

( , ) ( ) 0.905225 +0.1(0.1 0.905225 )=0.815703

( , ) ( , ) 0.8216792

5.9

y y hf x y y h x y

hy y f x y f x y

y y

= + = + − = −

= + + =

⇒ − = 3 -3

(2) (1)1 1 1 22 2

(2) (1) 4 32 2

8 10 >10

( , ) ( , ) 0.821382

2.99 10 10

hy y f x y f x y

y y

−

− −

×

= + + =

⇒ − = × <

Vậy 2 0.82138 y = .


/ ( )cos ; x [0.5,1]

(0.5) 2

xy y e y

y

= + ∈=

Tìm giá trị xấp xỉ của y(0.55), y(0.58) thỏa yêu cầu sai số 10-3.


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


60

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


61

6.2.2. Phương pháp Runge-Kutta

- Kiểm tra bài toán có nghiệm duy nhất.

- ðặt 0 0 0x a, y y(x )= = . Tính i 1y + theo công thức

(i) (i) (i) (i)1 2 3 4

i 1 ik 2k 2k k

y y6+

+ + += + . Với

( )

(i)i i1

(i)(i) 1

i i2

(i)(i) 2

i i3

(i) (i)i i4 3

k hf (x , y )

khk hf x , y

2 2; i 0,n 1

khk hf x , y

2 2

k hf x h,y k

=

= + + = − = + +

= + +


/ 2 ; x [1,2]

(1) 1

y x y

y

= ∈=

Tìm giá trị xấp xỉ của y(1.1), y(1.12) .

Giải

Bước 0: Tóm tắt bài toán

; 2

1 0 2 1

( , )

0.1 0.02

f x y x y

x x x x

=

− = ≠ − =

Vì khoảng cách giữa các giá trị x không ñều nên ta phải tính hai lần riêng biệt với hai giá trị

h là 0.1 và 0.12

Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có

2

2

( , )

( , )

f x y x y

fx y x

y

=∂ =∂

liên tục trên R2. Vậy phương trình có nghiệm riêng duy nhất.

Bước 2: Tính các giá trị y1 = y(1.1) và y2 = y(1.12).

i xi yi

0 x0=1 y0=1

1 x1=1.1 y1=?

2 x2=1.12 y2=?


62

Tính y1 ( với h=0.1)

(0) 20 0 0 01

2(0) (0)(0) 1 1

0 0 0 02

(0)0 03

( , ) ( ) 0.1

, 0.115763 2 2 2 2

,2

k hf x y h x y

k kh hk hf x y h x y

hk hf x y

= = =

= + + = + + =

= +

( ) ( )

2(0) (0)2 2

0 0

(0) (0) (0)20 0 0 04 3 3

0.116631 2 2 2

, ( ) 0.135112

k khh x y

k hf x h y k h x h y k

+ = + + = = + + = + + =

Vậy (0) (0) (0) (0)1 2 3 4

1 02 2

1.116656

k k k ky y

+ + += + = .

Tính y1 (với h=0.12)

(0) 20 0 0 01

2(0) (0)(0) 1 1

0 0 0 02

((0) 2

0 03

( , ) ( ) 0.12

, 0.1429232 2 2 2

,2

k hf x y h x y

k kh hk hf x y h x y

khk hf x y

= = =

= + + = + + =

= + +

( ) ( )

20) (0)2

0 0

(0) (0) (0)20 0 0 04 3 3

0.144467 2 2 2

, ( ) 0.172274

khh x y

k hf x h y k h x h y k

= + + = = + + = + + =

Vậy (0) (0) (0) (0)1 2 3 4

1 02 2

1.1445096

k k k ky y

+ + += + =


/ ( )sin ; x [0.5,1]

(0.5) 2

xy y e y

y

= + ∈=

Tìm giá trị xấp xỉ của y(0.55), y(0.6) .


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


63

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


64

BÀI TẬP

Bài1:

Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler cải tiến. Cho 410ε −=

/ 2) ; (0) 1a y x y y= − = trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.

/ 2) ; (0) 2b y xy y= − = trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,25.

/ 2) ; (0) 12

yc y x y= − = trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.

/ 2) 2 3 ; (0) 1.5d y xy y= − = trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,125.

2/ 2

) ; (0) 11

x ye y y

xy

−= =+

trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,125.

/ 2 31) 3 ; (0) 2

2f y x x y y= + − = trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,125.

Bài2.

Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Runge-kutta .

/ 2) ; (0) 1a y x y y= − = trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.

/ 2) ; (0) 2b y xy y= − = trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,25.

/2

) ; (0) 11

yc y y

x= − =

+ trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.

/ 2) 1 3 ; (0) 2d y xy y= + = trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,25.

2/) ; (0) 1

1 2x y

e y yxy

−= =+

trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.


65

MỘT SỐ ðỀ ÔN TẬP THI CUỐI KỲ

ðề số 1 Thời gian : 60 Phút (Không dùng tài liệu)

Câu 1 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel qua 2 bước lặp

2 2 10 10

10 2 10

2 20 5 2 20

3 20 5 20

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

− + + = − − + = + − − = + + − =

ðánh giá sai số khi nhận giá trị xấp xỉ nghiệm ở lẩn ở lần lặp thứ hai.

Câu 2 Cho bảng số liệu

x 0 1 3 y 0 5.5 42.3

Từ bảng số liệu trên, bằng phương pháp bình phương bé nhất tìm hàm có dạng:

( 1) ln( 1)xy a e b x= − + +

Câu 3 Cho tích phân 2

1

ln( 2)xI e dx= +∫

a) Tính gần ñúng I bằng phương pháp Simpson 1/3. Biết chia ñoạn [1, 2] thành 10 ñoạn có chiều dài bằng nhau . Không ñánh giá sai số . b) Nếu dùng phương pháp hình thang thì cần chia ñoạn [1,2] thành ít nhất mấy ñoạn có chiều dài bằng nhau ñể sai số khi tính gần ñúng I không quá 10-3. Câu 4

Cho hàm y=y(x) thỏa mãn hệ ' sin( 2 ) ; x [0,1]

(0) 1

y x x y

y

= + ∈ =

a) Dùng phương pháp Euler cải tiến tính giá trị y(0.05) thỏa yêu cầu sai số 10-3. b) Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y(0.08) không ñánh giá sai số .

.……………………………………………………………………………….


66

ðề số 2 Thời gian : 60 Phút (Không dùng tài liệu)

Câu 1 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel qua 2 bước lặp

10 2 10

2 20 5 4 20

2 2 10 10

3 20 3 20

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

− − + = + − − = − + + = + + − =

ðánh giá sai số khi nhận giá trị xấp xỉ nghiệm ở lẩn ở lần lặp thứ hai.

Câu 2 Cho bảng số liệu

x 0 1 3 y -1 2.1 12.2

Từ bảng số liệu trên, bằng phương pháp bình phương bé nhất tìm hàm có dạng:

2( 1) ln( 1)y a x b x= − + +

Câu 3 Cho tích phân 2

1

ln(1 )xI e dx= +∫

a) Tính gần ñúng I bằng phương pháp Simpson 1/3. Biết chia ñoạn [1, 2] thành 10 ñoạn có chiều dài bằng nhau . Không ñánh giá sai số . b) Nếu dùng phương pháp hình thang thì cần chia ñoạn [1,2] thành ít nhất mấy ñoạn

có chiều dài bằng nhau ñể sai số khi tính gần ñúng I không quá 10-3.

Câu 4 Cho hàm y=y(x) thỏa mãn hệ

' cos( 2 ) ; x [0,1]

(0) 1

y x x y

y

= + ∈ =

a) Dùng phương pháp Euler cải tiến tính giá trị y(0.05) thỏa yêu cầu sai số 10-3. b) Dùng phương pháp Runge-Kutta tính giá trị y(0.08) không ñánh giá sai số . .……………………………………………………………………………….


67


.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


68

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


69

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


70

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


71

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................


72

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

bÀi giang ppt _dai hoc

Documents