bai giang chmtlt

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤCLIÊN TỤC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘIKHOA XÂY DỰNG

Hà nội, 04/2011

Chương VI: Bài toán phẳng trong hệ tọa độ Đềcác

Chương V: Lý thuyết đàn hồi

Chương IV: Lý thuyết về biến dạng và chuyển vị

Chương III: Lý thuyết về ứng suất

Chương I: Các khái niệm mở đầu

Nội dung môn họcNội dung môn học

Chương II: Khái niệm tenxơ

Chương VII: Bài toán phẳng trong hệ tọa độ cực

Cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG I - CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦUCHƯƠNG I - CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦUCơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG I – CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦUCHƯƠNG I – CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌCCHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC(XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH)(XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH)

Sức Sức bền bền vật vật liệuliệu

Thủy Thủy lựclực

Cơ học Cơ học kết kết cấucấu

……Cơ Cơ học học

MTLTMTLT

1.1 MỞ ĐẦU1.1 MỞ ĐẦU

CƠ HỌC CƠ HỌC MTLTMTLT

Nhằm trang bị cho người học những nguyên lý và qui luật cơ học chung.

Môn học nghiên cứu về chuyển vị, biến dạng và ứng suất xuất hiện trong các vật rắn biến dạng ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển động do tác dụng của các nguyên nhân ngoài.

Phương pháp chung nhất để giải quyết các bài toán cơ học một cách tổng quát.



1.2 CƠ HỌC, CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI, CƠ HỌC BIẾN DẠNG1.2 CƠ HỌC, CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI, CƠ HỌC BIẾN DẠNG

Cơ học vật rắn tuyệt đối

Cơ học

Cơ học biến dạng.


-Lý thuyết Đàn hồi-Lý thuyết dẻo

CHKC

SBVL

-Lý thuyết từ biến- Cơ học phá hủy-Cơ học compisite…

Cơ học Cơ học biến biến dạngdạng

1.3 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC1.3 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC


CHMTLT nghiên cứu các chuyển động vĩ mô của môi trường CHMTLT nghiên cứu các chuyển động vĩ mô của môi trường ở thể rắn, lỏng, khí (còn xét các môi trường đặc biệt khác như ở thể rắn, lỏng, khí (còn xét các môi trường đặc biệt khác như trường điện từ, bức xạ, trọng trường, …)trường điện từ, bức xạ, trọng trường, …)- Lực: lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể- Lực: lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể-Chuyển động: chuyển vị của các phần tử vật chất, biến dạng.Chuyển động: chuyển vị của các phần tử vật chất, biến dạng. CHMTLT trang bị những nguyên lý, qui luật cơ học chung, CHMTLT trang bị những nguyên lý, qui luật cơ học chung, những phương pháp tổng quát nhất để giải quyết các bài toán những phương pháp tổng quát nhất để giải quyết các bài toán cơ học. Trong cơ học môi trường liên tục, vật thể được xem cơ học. Trong cơ học môi trường liên tục, vật thể được xem như môi trường vật chất lấp đầy liên tục một miền nào đấy, như môi trường vật chất lấp đầy liên tục một miền nào đấy, hoặc cả không gian hoặc cả không gian


Cơ học Cơ học MTLTMTLT

Lý thuyết đàn dẻo

Lý thuyết đàn hồi

…

Lý thuyết đàn nhớt

-Nhiệt đàn hồi-Dẻo từ biến-Nhiệt động học-Khí động học- Lý thuyết Plasma


1.4 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI1.4 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

- Nghiên cứu trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất xuất hiện - Nghiên cứu trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất xuất hiện trong VRBD ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển động do tác trong VRBD ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển động do tác dụng của lực ngoài hoặc các nguyên nhân khác.dụng của lực ngoài hoặc các nguyên nhân khác.- Đối tượng nghiên cứu: vật rắn biến dạng và đàn hồi tuyệt - Đối tượng nghiên cứu: vật rắn biến dạng và đàn hồi tuyệt đối (tuân theo định luật thứ nhất của nhiệt động học về sự đối (tuân theo định luật thứ nhất của nhiệt động học về sự bảo toàn năng lượng của hệ cô lập).bảo toàn năng lượng của hệ cô lập).


SỰ KHÁC NHAUXét ứng suất, biến Xét ứng suất, biến

dạng, chuyển vị của dạng, chuyển vị của thanh bằng cách đưa thanh bằng cách đưa vào các giả thiết có vào các giả thiết có tính chất kinh nghiệm tính chất kinh nghiệm nhằm đơn giản hoá nhằm đơn giản hoá cách đặt các bài toán, cách đặt các bài toán, các kết quả nhận được các kết quả nhận được dễ ứng dụng trong thực dễ ứng dụng trong thực tế ( bài toán một tế ( bài toán một chiều).chiều).

Nghiên cứu thanh, Nghiên cứu thanh, tấm, vỏ,..các vật thể tấm, vỏ,..các vật thể có kích thước hai, ba có kích thước hai, ba chiều. Cách đặt vấn đề chiều. Cách đặt vấn đề chặt chẽ và chính xác chặt chẽ và chính xác hơn về mặt toán học. hơn về mặt toán học. Xây dựng các phương Xây dựng các phương pháp tổng quát hơn để pháp tổng quát hơn để giải quyết các bài toán giải quyết các bài toán do lý thuyết đặt ra.do lý thuyết đặt ra.

1.5 SỰ KHÁC NHAU GIỮA LTĐH VÀ MÔN SBVL1.5 SỰ KHÁC NHAU GIỮA LTĐH VÀ MÔN SBVL

SBVL LTĐH


ỨỨng dng dụụngng: cơ sở cho tính toán về độ bền, dao động và ổn định trong : cơ sở cho tính toán về độ bền, dao động và ổn định trong chế tạo máy, trong xây dựng, và các ngành khoa học khác.chế tạo máy, trong xây dựng, và các ngành khoa học khác.Lý thuyLý thuyếết t đđàànn h hồồi tuyi tuyếến tínhn tính: xây dựng trên quan hệ tuyến tính ứng : xây dựng trên quan hệ tuyến tính ứng suất - biến dạng.suất - biến dạng.Lý thuyLý thuyếết t đđàn hàn hồồi phi tuyi phi tuyếếnn: xây dựng trên quan hệ phi tuyến tính : xây dựng trên quan hệ phi tuyến tính ứng suất - biến dạng (phi tuyến vật lý)ứng suất - biến dạng (phi tuyến vật lý)

1.6 CÁC GIẢ THUYẾT MÔN HỌC1.6 CÁC GIẢ THUYẾT MÔN HỌC

-Môi trường vật chất nghiên cứu là môi trường đồng nhất đẳng hướng Môi trường vật chất nghiên cứu là môi trường đồng nhất đẳng hướng và liên tục.và liên tục.Cần chính xác hoá khái niệm điểm, vì nó có thể là điểm không gian, Cần chính xác hoá khái niệm điểm, vì nó có thể là điểm không gian, và cũng có thể là điểm vật chất của môi trường liên tục…và cũng có thể là điểm vật chất của môi trường liên tục…+ Đồng nhất: có tính chất cơ học như nhau tại mọi điểm.+ Đồng nhất: có tính chất cơ học như nhau tại mọi điểm.+ Đẳng hướng: tính chất cơ học tại một điểm là như nhau theo mọi + Đẳng hướng: tính chất cơ học tại một điểm là như nhau theo mọi phương.phương.


Nghiên cứu một phần tử vật chất đại diện cho môi trường. Chọn hệ Nghiên cứu một phần tử vật chất đại diện cho môi trường. Chọn hệ trục toạ độ nghiên cứu một cách tùy ý.trục toạ độ nghiên cứu một cách tùy ý.-Vật liệu làm việc đàn hồi tuyệt đối.Vật liệu làm việc đàn hồi tuyệt đối.- Biến dạng của vật thể là rất nhỏ so với kích thước của vật thể.Biến dạng của vật thể là rất nhỏ so với kích thước của vật thể.

1.7 CÁC KHÁI NIỆM KHÁC1.7 CÁC KHÁI NIỆM KHÁC-Chuyển vị:-Chuyển vị:-Biến dạng:-Biến dạng:-Mật độ khối lượng: -Mật độ khối lượng: Là độ đậm đặc của vật chất trong môi trường Là độ đậm đặc của vật chất trong môi trường + Mật độ trung bình: + Mật độ trung bình:

; ∆m là khối lượng của phân tố có thể tích ∆V; ∆m là khối lượng của phân tố có thể tích ∆V

+ Mật độ vật chất tại một điểm: + Mật độ vật chất tại một điểm:

+ Khối lượng vật chất trong toàn bộ thểtích V:+ Khối lượng vật chất trong toàn bộ thểtích V:

Nếu môi trường có ρ =const: môi trường đồng nhấtNếu môi trường có ρ =const: môi trường đồng nhất.

tbmV

limV

m dmV dV

( )V

m dV


HẾT CHƯƠNG I

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠCHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠ

Đại lượng vô hướng

Đại lượng có hướng

Đại lượng Tenxơ

Đại lượng Đại lượng trong toán học trong toán học

và trong cơ và trong cơ họchọc

Là những đại lượng mà với Là những đại lượng mà với một đơn vị đo đã chọn nó một đơn vị đo đã chọn nó được đặc trưng bằng một được đặc trưng bằng một con số như: nhiệt độ, khối con số như: nhiệt độ, khối lượng, … lượng, … Là đại lượng được đặc Là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo đơn vị trưng bởi giá trị theo đơn vị đo, phương và chiều trong đo, phương và chiều trong không gian xác định, chẳng không gian xác định, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, …của chất điểm, …

Đặc trưng cho một trạng Đặc trưng cho một trạng thái xác định nào đó của thái xác định nào đó của vật thể: trạng thái biến vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, dạng, trạng thái ứng suất, ……

Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó. Các đại lượng ten xơ có đặc lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó. Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô tả chúng.tả chúng.


2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC.2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC.2.1.1 Hệ thống ký hiệu2.1.1 Hệ thống ký hiệu- Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là:- Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là:- Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh i,j, k lấy các giá trị 1, 2, 3. Do - Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh i,j, k lấy các giá trị 1, 2, 3. Do đó:đó:ai biểu thị một trong ba phần tử ai biểu thị một trong ba phần tử aa11 , , aa22 , , aa33

aij biểu thị một trong chín phần tử aij biểu thị một trong chín phần tử aa1111 , , aa1212 , , aa1313 , , aa2121 , , aa2222 , , aa2323 , , aa3131 , , aa3232 , , aa3333

aaIjkIjk biểu thị một trong 27 phần tử biểu thị một trong 27 phần tử aa111111 , , aa112112 ,..., ,..., aa333333

Hệ thống các phần tử như Hệ thống các phần tử như ai ai chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; aaijij là hệ thống hạng hai bao gồm 3 phần tử. là hệ thống hạng hai bao gồm 3 phần tử. Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm 3 phần tử.Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm 3 phần tử.

,...,, ijkiji aaa

2

n

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCơ học môi trường liên tục2.1.2 Quy ước các chỉ số2.1.2 Quy ước các chỉ sốTrong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác.3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác.-Thí dụ: Thí dụ: aaiibbii = = aa11bb11 + + aa22bb22 + + aa33bb33 = = aakkbbkk

Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3.Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3.-Thí dụ, aiThí dụ, ai là hệ thống gồm là hệ thống gồm aa1, 1, aa2, 2, aa3 3 2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng-Một hệ được gọi là đối xứng nếu: Một hệ được gọi là đối xứng nếu: aaiibbjj ==aajjbbii . Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều . Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều chỉ số, chẳng hạn chỉ số, chẳng hạn aaijkijk = = aaikjikj thì hệ thống thì hệ thống aijk đối xứng qua hai chỉ số j, kaijk đối xứng qua hai chỉ số j, k..Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng.Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng.

01

ijvới j=j

với i#j

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCơ học môi trường liên tụcKý hiệu Ký hiệu Levi-Chivita eijk Levi-Chivita eijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như sau:sau:

2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng không2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng khôngTrường vô hướng là một hàm vô hướng ϕ ( Trường vô hướng là một hàm vô hướng ϕ ( xx1 , 1 , xx2 , 2 , xx3 , 3 , t t ) của toạ độ các điểm ) của toạ độ các điểm trong miền không gian trong miền không gian xx1 , 1 , xx2 , 2 , xx3 xác định của hàm và 3 xác định của hàm và t t là tham số thời gian.là tham số thời gian.

Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu đọc là “∇Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu đọc là “∇ nablanabla” ”

Ý nghĩa hình học: gradϕ là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương Ý nghĩa hình học: gradϕ là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình ϕ = trình ϕ = cconst . Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó onst . Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó trên bề mặt sẽ là.trên bề mặt sẽ là.

110

ijkekhi hai chỉ số bất kỳ bằng nhaukhi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị chẵn 1, 2, 3khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị lẻ 1, 2, 3

i

i

ex

ex

ex

ex

grad

3

3

2

2

1

1(2-1)


Trong đó:Trong đó:

Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử LaplaceLaplace” hay ” hay Laplacien Laplacien với:với:

Phương trình: gọi là phương trình điều hòa. Nghiệm của phương Phương trình: gọi là phương trình điều hòa. Nghiệm của phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa. trình điều hòa gọi là hàm điều hòa.

grad

ex

grad

ex

grad

ex

gradgradv

3

3

2

2

1

1

2

3

2

2

2

1

xxx

grad

23

2

22

2

21

22

xxx

02

(2-2)

(2-3)

(2-4)

Phương trình: gọi là phương trình điều hòa kép. Nghiệm của Phương trình: gọi là phương trình điều hòa kép. Nghiệm của phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa kép. phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa kép.

Ví dụ:2-1 Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0); Ví dụ:2-1 Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) cho trước trong hệ tọa độ vuông góc như hình vẽ. B(0,b,0); C(0,0,c) cho trước trong hệ tọa độ vuông góc như hình vẽ.

Bài giải:Bài giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là:Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là:

Suy ra:Suy ra:


0422

1cz

by

ax

cz

by

ax

321111 ec

eb

ea

grad (Hình 2-1)

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCơ học môi trường liên tụcDo vậy:Do vậy:

Trường hợp đặ biệt: a=b=c ( Mặt phẳng nghiêng đều)Trường hợp đặ biệt: a=b=c ( Mặt phẳng nghiêng đều)

222

321

111

111

cba

ec

eb

ea

gradgradv

322222222222221222222e

accbba

abeaccbba

caeaccbba

bcv

1 2 31 1 1v e e e3 3 3

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCơ học môi trường liên tục2.3 VEC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT2.3 VEC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT2.3.1 Các thành phần vectơ2.3.1 Các thành phần vectơGia sư trong không gian thuộc hê truc toa độ Descartes vuông goc (Oxyz) co cac vec tơ đơn vi la cho một vec tơ đăt tai điêm M .Goi cac hinh chiêu cua vec tơ trên cac truc x,y,z tương ưng la ax, ay, az .Ta co thê viêt:

Cac côsin chi phương cua vec tơ ky hiêu la l,m,n.

Ta co:

. . .x y za a i a j a k

y

x

z

aax

az

ay

2 2 2x y za a a a a

cos( , ); cos( , ); cos( , )l i a m j a n k a

2 2 2 1l m n (Hình 2-1)

(2-5)

(2-6)

(2-7)

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠCơ học môi trường liên tục2.3.2 Biên đôi các thành phân cua vec tơ khi xoay hê truc tọa đô:a,Bang cac cosin chỉ phương:Giả sử xoay hệ trục (Oxyz) quanh O trở thành hệ trục mới (Ox’y’z’) có các vec tơ đơn vị tương ứng là: như hình vẽTa có bảng cosin chỉ phương giữa hai hệ trục tọa độ như sau:

, ,i j k

zz'

x x'

y'

y

a

Hinh (1-2)

x y Zx’ l1 m1 n1y’ l2 m2 n2z’ l3 m3 n3

Trong đó , ,i i il m n là cosin góc hợp bởi các trục x’,y’,z’ với trục x,y,z.Từ điều kiện trực giao của các trục này ta có:

Bảng 2-1

(Hình 2-3)


* Đối với hệ trục mới(x’,y’,z’):

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 1

2 2 2

3 3 31 2 1 2 1 2

2 3 2 3 2 3

3 1 3 1 3 1

111

00

0

l m nl m nl m nl l m m n nl l m m n nl l m m n n

* Đối với hệ trục cu (x,y,z):

2 2 21 2 3

2 2 22 2 22 2 2

3 3 31 1 1 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

11

10

00

l l lm m mn n nl m l m l mm n m n m nn l n l n l

(2-8)

(2-9)


b/ Sư thay đôi cua cac thanh phân vec tơ: Gọi ( , ,x y za a a ) là hình chiếu của vec tơ a

trong hệ trục cu (Oxyz);( ' , ' , 'x y za a a ) là hình chiếu của vec tơ a

trong hệ trục mới (Ox’y’z’) thì ta có:

. . .x y za a i a j a k ' . ' ' . ' ' . 'x y za a i a j a k

Theo định nghĩa ta lại có:' . . . . . .,x x x x y x z xa hch a a hch i a hch j a hch k

Hay là: 1 1 1. . .'x x y za a l a m a n Suy ra: 1 1 1

2 2 2

3 3 3

. . .

. . .

. . .

'''

x x y z

y x y z

z x y z

a a l a m a na a l a m a na a l a m a n

Hệ thức biểu diên các hình chiếu của vec tơ a trong hệ

tọa độ cu (Oxyz).

(2-10)


Một cách tương tự ta có thể tìm được các hình chiếu của vec tơ a

trong hệ tọa độ mới (Ox’y’z’) như sau:

൞

𝑎𝑥 = 𝑎𝑥′ .𝑙1′ + 𝑎𝑦′ .𝑚1′ + 𝑎𝑧′ .𝑛1′𝑎𝑦 = 𝑎𝑥′ .𝑙2′ + 𝑎𝑦′ .𝑚2′ + 𝑎𝑧′ .𝑛2′𝑎𝑧 = 𝑎𝑥′ .𝑙3′ + 𝑎𝑦′ .𝑚3′ + 𝑎𝑧′ .𝑛3′

Các cosin chỉ phương , ,i i il m n lập thành một ma trận vuông cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ,ký hiệu là (C):

123

lll

C

123

mmm

123

nnn

(2-11)


Các cosin chỉ phương lập thành một ma trận vuông cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ,ký hiệu là (C’):

Ma trận (C) và (C’) là hai ma trận trực giao.

Khi hệ trục tọa độ O’x1x2x3 quay một góc ngượcchiều kim đồng hồ quanh trục x3 tạo thành hệ trục tọa đồ mới O’x’1x’2x’3 lúc đó Ox3 Ox’3 lúc đấy ma trận biếnĐổi hệ trục tọa độ có dạng:

''' ,, iii nml

TCCC 1'

'3

'3

'3

'2

'2

'2

'1

'1

'1

'

nmlnmlnml

C

0000cossin0sincos

C

(Hình 2-4)


Chú ý: khi biến đổi hệ trục tọa độ thì véctơ a không thay đổi chỉ có các thành phần của ve tơ a thay đổi.

Bài tập chương IIBài 2.1 Xác định hàng cuối của ma trận cấp 3 (3x3) cho dưới đây để được một ma trận biến đổi hệ trục tọa độ:

Bài 2.2 Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ cij:Và véc tơ . Tìm véc các thành phần của vecto tổng trong phép biến đổi hệ trục tọa độ

333231

100

054

53

ccc

21

21

22

22

220

21

21

22

)1,1,2(,3,2,1 cbcba


HẾT CHƯƠNG II

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤTCHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤTCơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT 3.1 ĐỊNH NGHĨA NNôôi li lựực: c: Là độ tăng liên kết giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có Là độ tăng liên kết giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác dụng.ngoại lực tác dụng.

Ứng suất trung bình tại K:

Ứng suất tại điểm K:

APptb

APp Av

0lim

(Hình 3-1)

(3-1)

(3-2)

Cơ học môi trường liên tụcCHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤTCHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

Ta có thể phân ứng suất toàn phần theo 3 phương của hệ trục tọa độ xi.Ta có thể phân ứng suất toàn phần theo 3 phương của hệ trục tọa độ xi.

Thông thường tai lấy 1 trục tọa độ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt thì Thông thường tai lấy 1 trục tọa độ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt thì ứng suất toàn phần là:ứng suất toàn phần là:

Ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào:Ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào: + Tọa độ tại điểm.+ Tọa độ tại điểm. + Phương pháp tuyến của mặt cắt.+ Phương pháp tuyến của mặt cắt.

332211 ... epepepp vvvv

23

22

21 vvvv pppp

vnvvv ppp

22vnvvv ppp

(3-3)

(3-4)


Qui ước chiều dương cua ứng suất khi:Qui ước chiều dương cua ứng suất khi:- Đối với ứng suất pháp : Quy ước là dương nếu hướng theo pháp tuyến ngoài

của mặt cắt- Đối với ứng suất tiếp : Quy ước là dương nếu pháp tuyến của mặt cắt ( chỉ số

thứ 2) hướng theo chiều dương hay chiều âm của trục tương ứng. Ngược lại thì quy ước là âm.

Như vậy trên 3 mặt vuông góc với các trục tọa độ tại điểm M bất kì ta có 9 thành phần ứng suất : 3 thành phần ứng suất pháp x , y , z và 6 thành phần ứng suất tiếp τyz , τzy ,τxy , τyx , τxz ,τzx

Hê thống kí hiêu ứng suâtNgoài cách kí hiệu nêu trên (Bảng A) , người ta cung dùng kí hiệu trong hệ trục x,y,z như sau: Xx = x , Xx = y , Zz = z , Yz = τyz ,….(bảng B) và hệ thống kí hiệu ứng suất với 1 kí tự kèm 2 chỉ số tương ứng với hệ trục (xi) như sau : 11, 22 , 33 , 12 ,…(bảng C )

Bảng A Bảng B Bảng C

𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧൩ 𝑋 𝑌𝑥 𝑍𝑥𝑋𝑦 𝑌𝑦 𝑍𝑦𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝑍𝑧 𝜎11 𝜏21 𝜏31𝜏12 𝜎22 𝜏32𝜏13 𝜏23 𝜎33൩


3.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG

3.2.1. 3.2.1. ĐặĐặt vt vấấn n đề: đề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm:của ngoại lực gồm:Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ f * với hình chiếu lên Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ f * với hình chiếu lên 3 trục toạ độ 3 trục toạ độ xx11 , , xx22 , , xx33 : f* : f*ii ( ( f f **11 , , f f **22 , , f f **33 ). ).Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường độ f với Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường độ f với hình chiếu lên 3 trục tọa độ hình chiếu lên 3 trục tọa độ xx11, , xx22, , xx33 là là ff11, , ff22 , , ff33..- Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt - Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạ độ, nhận được các phân tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại phẳng toạ độ, nhận được các phân tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại 1 - nằm bên trong S) và các phân tố hình tứ diện (phân tố loại 2 - 1 - nằm bên trong S) và các phân tố hình tứ diện (phân tố loại 2 - nằm sát mặt ngoài S) nằm sát mặt ngoài S)

(Hình 3-2)


Tại điểm M(x,y,z) ta lấy 1 phân tố hình hộp có các cạnh là dx,dy,dz. Lực tác dụng lên phân tố gồm:Ngoại lực thể tích có hình chiếu trên các trục tọa độ là : X.dτ, Y.dτ ; Z.dτNội lực là ứng suất trên 6 mặt của phân tố . Các ứng suất này là các hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z) và được biểu diên trên hình.Ở mặt của phân tố vuông góc với trục x đi qua điểm (x+dx; y,z) ta có các ứng suất :

Ở mặt của phân tố vuông góc với trục y đi qua điểm (x; y+ dy,z) ta có các ứng suất

x + ∂x

∂xdx , τyx + ∂τyx

∂xdx ; τzx + ∂τzx

∂xdx

τxy + ∂τxy∂y

dy ; y + ∂y∂y

dy ; τzy + ∂τzy∂y dy


τxz + ∂τxz∂z dz ; τzy + ∂τzy

∂z dz ; z + ∂z∂z

dz

Ở mặt của phân tố vuông góc với trục z đi qua điểm (x; y,z+ dz) ta có các ứng suất :

(Hình 3-3)


X = (x + ∂x∂x

dx )dydz - x dydz+(τxy + ∂τxy∂y

dy )dxdz-τxy dxdz +(τxz + ∂τxz∂z

dz )dxdy-τxzdxdy + Xdxdydz =0

Xét cân bằng phân tố. Chẳng hạn phương trình chiếu lên trục x là:

Sau khi rút gọn và chia cho dτ = dxdydz ta được :

ە��۔��

𝜎𝑥𝜕𝑥��ۓ�� + 𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑦 + 𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑧 + 𝑋= 0(= 𝜌𝜕2𝑢𝜕𝑡 )𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑥 + 𝜕𝜎𝑦𝜕𝑦 + 𝜕𝜏𝑦𝑧𝜕𝑧 + 𝑌= 0(= 𝜌𝜕2𝑣𝜕𝑡 )𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑥 + 𝜕𝜏𝑧𝑦𝜕𝑦 + 𝜕𝜎𝑧𝜕𝑧 + 𝑍= 0(= 𝜌𝜕2𝑤𝜕𝑡 )

Trong trường hợp cân bằng tĩnh : vế phải các phương trình sẽ bằng khôngTrong trường hợp cân bằng động ; vế phải các phương trình sẽ bằng các lượng trong ngoặc . trong đó u,v,w là các thành phần chuyển vị của điểm M theo 3 phương ,y,z,. các phương trình này gọi là phương trình cân bằng Navier-Cauchy

(3-5)


3.2.3. 3.2.3. ĐịĐịnh lunh luậật t đốđối i ứứng cng cuua a ứứng sung suấất tit tiêêpp Ta viết 3 phương trình cân bằng mô men của phân tố, chẳng hạn phương trình mx =0 ta được : mx = (τyz dydz)dx -(τzy dxdy)dz =0Suy ra là : τyz = τzy

Tương tự ta có: Hệ thức trên biểu thị định luật đối ứng của các ứng suất tiếp3.2.4. 3.2.4. ĐĐiiềều kiu kiêên biên theo n biên theo ứứng sung suấất t (điều kiên cân bằng cua phân tố loại 2)(điều kiên cân bằng cua phân tố loại 2)

൝𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑦𝑥 = 𝜏𝑥𝑦𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥

(Hình 3-4)

(3-6)


Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài ν ν với các cosin chỉ phương lvới các cosin chỉ phương lii = cos( = cos(νν, x, xii).).Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng lên Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng lên các trục tọa độ.các trục tọa độ.

Cơ học: Hệ phương trình (3.5) và (3.7) là điều kiện cân bằng của toàn thể môi Cơ học: Hệ phương trình (3.5) và (3.7) là điều kiện cân bằng của toàn thể môi trườngtrườngToán học: Hệ (3.5) là hệ phương trình vi phân với các ẩn số ứng suất, (3.7) là điều Toán học: Hệ (3.5) là hệ phương trình vi phân với các ẩn số ứng suất, (3.7) là điều kiện biên để xác định các hằng số tích phân của phương trình vi phân.kiện biên để xác định các hằng số tích phân của phương trình vi phân.

*3333232131

*2323222121

*1313212111

flllflllflll

3.3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG3.3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNGCân bằng phân tố tứ diện như ở hình 3-4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các Cân bằng phân tố tứ diện như ở hình 3-4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các thành phần ứng suất là pthành phần ứng suất là pν1ν1 , p , pν2ν2 , p , pν3ν3 . Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các . Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các cosin chỉ phương là cosin chỉ phương là lili..

(3-7)


3.3.1.Ứng suất toàn phân

Hay viết dưới dạng ma trận:Hay viết dưới dạng ma trận:

Ứng suất toàn phần: Ứng suất toàn phần:

3333232131

2323222121

11313212111

v

v

v

plllplllplll

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

lll

ppp

v

v

v

23

22

21 vvvv pppp

(Hình 3-5)

(3-8)

(3-9)

(3-10)


3.3.2. Ứng suất pháp và ứng suất tiêp3.3.2. Ứng suất pháp và ứng suất tiêpỨng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần pν1 , pν2 , pν3 lên pháp Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần pν1 , pν2 , pν3 lên pháp tuyến ν:tuyến ν:

Thay (3-8) vào (3-9) ta có:Thay (3-8) vào (3-9) ta có:

Ứng suất tiếp:Ứng suất tiếp:

3.4 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ TEN XƠ ỨNG SUẤT.3.4 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ TEN XƠ ỨNG SUẤT.3.4.1. Trạng thái ứng suất3.4.1. Trạng thái ứng suất- Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất - Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó.trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó.- Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm đang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt.- Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm đang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt.- Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đang xét. Như vậy trạng thái ứng - Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đang xét. Như vậy trạng thái ứng suất đặc trưng cho tình trạng chịu lực tại các điểm khác nhau của môi trường.suất đặc trưng cho tình trạng chịu lực tại các điểm khác nhau của môi trường.

332211 ... lplplp vvvvv

1331322321122

3332

2222

111 ......2... llpllpllplplplpvv 22vvvv pp

(3-9)

(3-10)

(3-11)


3.4.2. 3.4.2. ỨỨng sung suấất khi bit khi biêên n đôđôi hi hê ê trtruuc toc toạ đôạ đô..Hệ trục xHệ trục xii xoay quanh gốc tọa độ trở thành hệ trục x xoay quanh gốc tọa độ trở thành hệ trục xii’, các cosin chỉ phương của ’, các cosin chỉ phương của góc giữ trục mới xgóc giữ trục mới xii’ và trục cu x’ và trục cu xii là c là cijij, ứng suất , ứng suất ’’ijij trong hệ tọa độ mới là x trong hệ tọa độ mới là xii’ :’ : ’’ijij== c cikik c cjljl kl kl (3-12)(3-12)3.4.3. Tenx3.4.3. Tenxơ ứơ ứng sung suấấttTrạng thái ứng suất đặc trưng bởi 9 thành phần ứng suất Trạng thái ứng suất đặc trưng bởi 9 thành phần ứng suất σσijij trên các mặt cắt vuông trên các mặt cắt vuông góc với các trục toạ độ là một ten xơ hạng hai và gọi là ten xơ ứng suất.góc với các trục toạ độ là một ten xơ hạng hai và gọi là ten xơ ứng suất.

3.4.4. Tenx3.4.4. Tenxơ ơ llêêch ch ứứng sung suấất và tenxt và tenxơ ơ ccââu u ứứng sung suấất.t.

TTσσ== D Dσσ++ TTσ0σ0 Với: DVới: Dσ làσ là tenxơ lệch ứng suất và tenxơ lệch ứng suất và TTσ0σ0 tenxơ cầu ứng suất. tenxơ cầu ứng suất.

333231

232221

131211

T (3-13)

(3-14)


- Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất.- Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất.

tb

tb

tb

D

333231

232221

131211

tb

tb

tb

T

000000

σσtbtb = (= (σσ1111++σσ2222++σσ3333 ) ) /3 /3 gọi là ứng suất pháp trung bình .gọi là ứng suất pháp trung bình .Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng suất chỉ gây nên biến đổi hình dáng.suất chỉ gây nên biến đổi hình dáng.

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤTCHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT

(3-15)

(3-16)


3.5 PHƯƠNG CHÍNH, MẶT CHÍNH, ỨNG SUẤT CHÍNH- Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0.- Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0.- Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính- Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính- Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính- Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chínhGiả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất Giả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất chính là σ. Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pνcó chính là σ. Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pνcó phương trùng với pháp tuyến ν và có giá trị bằng σ , do đó hình chiếu pphương trùng với pháp tuyến ν và có giá trị bằng σ , do đó hình chiếu pνiνi trên các trên các trục của ứng suất toàn phần sẽ là:trục của ứng suất toàn phần sẽ là:

Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng.Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng.

Mặt khác: l2+ m2+n2 =1

ቐ

ሺ𝜎𝑥 − 𝜎ሻ.𝑙 + 𝜏𝑥𝑦.𝑚+ 𝜏𝑥𝑧.𝑛 = 0𝜏𝑦𝑥.𝑙 +൫𝜎𝑦 − 𝜎൯.𝑚+ 𝜏𝑦𝑥.𝑛 = 0𝜏𝑧𝑥.𝑙 + 𝜏𝑥𝑧.𝑚+ሺ𝜎𝑧 − 𝜎ሻ.𝑛 = 0

Pxv = l; pyv = m ; pzv =n


(3-17)

(3-18)


Điều kiện để (3.18) không có nghiệm tầm thường là:Điều kiện để (3.18) không có nghiệm tầm thường là:

khai triển (2.19) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính là :3 - I12 +I2 -I3=0

Trong đó :

ȁ!𝐷ȁ!= อ𝜎𝑥 − 𝜎 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 − 𝜎 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧 − 𝜎 อ= 0

I1 = (x + y + z )

𝐼2 = ቚ𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦ቚ+ቚ

𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧ቚ+ቚ𝜎𝑥 𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑧 𝜎𝑧ቚ

𝐼3 = อ𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧อ


(3-19)

(3-20)

(3-21)


Phương trình (3.20) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước Phương trình (3.20) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước σσ1 1 > > σ σ 22

> > σσ33 . Lần lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.17), . Lần lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.17), kết hợp với phương trình (3.18) ta nhận được các cosin chỉ phương của các ứng kết hợp với phương trình (3.18) ta nhận được các cosin chỉ phương của các ứng suất chính tương ứng. Chẳng hạn để tìm phương chính tương ứng với ứng suất suất chính tương ứng. Chẳng hạn để tìm phương chính tương ứng với ứng suất chính chính σσ11 ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau: ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau:

ቐ

ሺ𝜎𝑥 − 𝜎1ሻ.𝑙 + 𝜏𝑥𝑦.𝑚+ 𝜏𝑥𝑧.𝑛 = 0𝜏𝑦𝑥.𝑙 +൫𝜎𝑦 − 𝜎1൯.𝑚+ 𝜏𝑦𝑥.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1

Giải hệ (3-22) đối với l,m,n ta được các giá trị : l1 , m1 , n1 . đây là cô sin chỉ phương của phương chính thứ 1 tương ứng với ứng suất chinh 1

Chú ý :*Người ta đã chứng minh được rằng 3 mặt chính tại điêm đang xét là vuông góc với nhau.* Ba hàm (S,H,A) không phụ thuộc vào việc lựa chọn trục tọa độ. Người ta gọi 3 hàm này là 3 bất biến của ten xơ ứng suất.

(3-22)

Cơ học môi trường liên tụcVD 3-1- Tim cac ưng suất chính va phương chính cua trang thai ưng suất cho bởi tenxo

𝑇𝜎 = ൭4 2 12 0 21 2 4൱ (KN/cm2)

Bai giai:

Tính cac hê số I1, I2 , I3

ە��۔��

ۓ��

𝐼1=𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧𝐼2 = ቚ𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦ቚ+ቚ

𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧ቚ+ቚ𝜎𝑥 𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑧 𝜎𝑧ቚ

𝐼3=อ𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧อ

Xac đinh cac ưng suất chính

Phương trinh xac đin ưng suất chính la:

3 - 82 + 7 + 24 = 0 (a)



Nghiêm cua (a) la :

1 = 6,275 kN/cm2 ; 2 = 3,0kN/cm2 ; 3 = 1,275 kN/cm2

Xac đinh cac phương cua ưng suất chính

Phương trinh thư nhất ( tương ưng với 1 = 6,275 kN/cm2)

Thay 1 vao hai phương trinh đầu cua (3-17) va kêt hợp với (3-18) ta co :

൝ሺ4− 6,275ሻ.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 +ሺ0− 6,275ሻ.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1

hay

൝−2,275.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 − 6,275.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1


Cơ học môi trường liên tụcGiai hê phương trinh (b) ta được :

l1 = ± 0,645 ; m1 = ± 0,411 ; n1 = ± 0,645

Phương chính thư hai ( tương ưng với 2 = 3,0 kN/cm2)

Thay 2 vao hai phương trinh đầu cua (3-17) va kêt hợp với (3-18) ta co :

൝ሺ4− 3ሻ.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 +ሺ0− 3ሻ.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1

hay

൝1.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 − 3.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1

Giai hê phương trinh (b) ta được :

l2 = ± 0,707 ; m2 = ± 0,000 ; n2 = ± 0,707



Ví du 2-2: Cho ten xơ ưng suất 𝑇𝜎 = ቌ2𝑥2 2𝑥𝑦 𝑧32𝑥𝑦 0 −2𝑧𝑧3 −2𝑧 𝑦2 ቍ (kN /cm2)

Hãy tính ưng suất tai điêm P(2,2,1) trên măt cắt cho bởi phương trinh: 2x-y+2z =4

Bai giai :

Tai điêm P ten xơ ưng suất sẽ la : 𝑇𝜎 = ൭8 8 18 0 −21 −2 4 ൱ (kN /cm2)

Cac cô sin chi phương cua phap tuyên v tai điêm P trên măt phẳng cho bởi phương trinh 2x-y+2z =4 sẽ la

Phương chính thư 3 tương ưng với 3 = -1,275 kN/cm2

Thay 3 vao hai phương trinh đầu cua (2.11) va kêt hợp với (2.12) ta co :

൝ሺ4+ 1,275 ሻ.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 +ሺ0+ 1,275 ሻ.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1 hay ൝

5,275.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 + 1,275.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1 (b)

Giai hê phương trinh (b) ta được : l3= ± 0,291 ; m3 = ± 0,911 ; n3 =± 0,291


Cac thanh phần ưng suất cua ưng suất toan phần pv viêt dưới dang ma trận la

ቌ

𝑃𝑥𝑦𝑃𝑦𝑧𝑃𝑧𝑥ቍ= ൭8 8 18 0 −21 −2 4 ൱

ۉ��

ۈ��ۇ��

23−1323 ی��

ۋ��=ۊ�� ቌ

10344ቍ(kN/cm2)

Ứng suất toan phần sẽ la:

pv = pxv2+p2

yv+p2zv = (10/3)2+42+42 = 6,566 kN/cm2

Ứng suất phap sẽ la:

v = pxvl + pyv m + pzvn= (10/3).(2/3) + 4.(-1/3) + 4 (2/3) = 32/9 = 3,556 kN/cm2

Ứng suất tiêp sẽ la

τv = p2v-2

v = (6,566)2-(3,566)2 = 5,52 kN/cm2


l = 222+(-1)2+22 = 23 ; m = -1

22+(-1)2+22 = - 13 ; n= 222+(-1)2+22 = 23

Cơ học môi trường liên tụcVí du 3-3

Cho ten xơ ưng suất

𝑇𝜎 = ൭4 2 12 0 21 2 4൱ (kN /cm2)

Viêt ten xơ lêch cua ưng suất va tim cac gia tri chính ,phương chính cua ten xơ lêch

Bai giai

Ứng suất trung binh la : tb = 13 (4+0+4) = 83 = 2,67 (kN/cm2)

Ten xơ lêch ưng suất la

𝐷𝜎 = ൭4− 2,67 2 12 0− 2,67 21 2 4− 2,67൱= ൭

1,33 2 12 −2,67 21 2 1,33൱

ە��۔��

ۓ��

𝐼1=𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 = 0𝐼2 = ቚ𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦ቚ+ቚ

𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧ቚ+ቚ𝜎𝑥 𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑧 𝜎𝑧ቚ = −14,33

𝐼3=อ𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧อ= −4,513


Cơ học môi trường liên tụcPhương trinh xac đinh cac gia tri chính la: 3 -S.2 +H. -A =0

Hay la: 3 - 14,33. +4,513 =0

Giai phương trinh nhận được ta co 3 gia tri chính la:

3,933 kN/cm2 ; 0,315 kN/cm2 ; -3,618 kN/cm2

Xac đinh cac phương chính cua ten xơ độ lêch

Phương chính tương ưng với gia tri 3,933 tim được từ phương trinh

൝ሺ1,33− 3,933 ሻ.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 +ሺ−2,67− 3,933 ሻ.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1

hay ൝−2,603.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 − 6,603.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1


Cơ học môi trường liên tụcNghiêm cua phương trinh nay la : ±0,577; ± 0,392; ± 0,717

Phương chính tương ưng với gia tri 0,315 tim được từ phương trinh :

൝ሺ1,33− 0,315 ሻ.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 +ሺ−2,67− 0,315 ሻ.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1

hay

൝1,015.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 − 2,985.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1

Nghiêm cua hê phương trinh nay la: -0,705; ±0,003; ±0,709;

Phương chính tương ưng với gia tri -3,618 tim được từ phương trinh

൝ሺ1,33+ 3,618 ሻ.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 +ሺ−2,67+ 3,618 ሻ.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1



hay ൝4,948.𝑙 + 2.𝑚+ 1.𝑛 = 02.𝑙 + 0,948.𝑚+ 2.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1

Nghiêm cua hê phương trinh nay la: -0,399; 0,900; -0,171;

3.6 Ứng suất tiêp cực trịVị trí mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tuyến nghiêng góc 45 Vị trí mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tuyến nghiêng góc 45 so với các trục ứng suất chính.so với các trục ứng suất chính.

;2

;2

;2

133max

322max

211max



Bài 3.1 Tìm các ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất Bài 3.1 Tìm các ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất cho bởi tenxơ:cho bởi tenxơ:

)/(421202124

2cmkNT

Bài 3.2 Cho tenxơ ứng suất Bài 3.2 Cho tenxơ ứng suất

)/(2

20222

2

23

32

cmkNyzz

zxyzxyx

T

Hãy tính ứng suất tại điểm P(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình: Hãy tính ứng suất tại điểm P(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình: 2x-y+2z=42x-y+2z=4

Bài tập chương III


Bài 3.3 Cho tenxơ ứng suất:Bài 3.3 Cho tenxơ ứng suất:)/(

421202124

2cmkNT

1- Viết tenxơ lệch của ứng suất và tìm các giá trị chính, phương chính của 1- Viết tenxơ lệch của ứng suất và tìm các giá trị chính, phương chính của tenxơ lệchtenxơ lệch

2- Tìm ứng suất tiếp lớn nhất.2- Tìm ứng suất tiếp lớn nhất.

Bài 3.4 Cho tenxơ ứng suất tại điểm O của vật thể đàn hồi:Bài 3.4 Cho tenxơ ứng suất tại điểm O của vật thể đàn hồi:

)/(132312224

2cmkNT

Hãy xác định ứng suất tiếp cực trị và ứng suất trên mặt nghiêng đều Hãy xác định ứng suất tiếp cực trị và ứng suất trên mặt nghiêng đều với các phương chính tại điểm Ovới các phương chính tại điểm O


q=y

A

Ox

y

yB

Bài 3.5Bài 3.5Trên hình vẽ biểu diên mặt cắt ngang Trên hình vẽ biểu diên mặt cắt ngang của thân đê (AOB) chịu tác dụng của áp của thân đê (AOB) chịu tác dụng của áp lực nước trên bờ OBlực nước trên bờ OB

1- Hãy viết các điều kiện biên biết:1- Hãy viết các điều kiện biên biết:

2- Giả sử tính được ứng suất trong thân đề là:2- Giả sử tính được ứng suất trong thân đề là:

0

2

2

23

zyyzzxxzz

yxxy

y

x

xtg

yptg

xtgtg

py

Hãy thử xem với điều kiện nào thì hệ ứng suất trên thỏa mãn các phương trình Hãy thử xem với điều kiện nào thì hệ ứng suất trên thỏa mãn các phương trình cân bằng. Tìm tải trọng tác dụng nên các bờ OA, OB.cân bằng. Tìm tải trọng tác dụng nên các bờ OA, OB.


HẾT CHƯƠNG III

Cơ học môi trường liên tụcCHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNGCHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG

CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG4.1. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ

Xet một vật thê đan hôi (S). Tai thơi điêm ban đầu t=t0, vật thê chưa chiu lưc co hinh dang nao đo. Gia sư lấy điêm M bất ki (S), trong hê truc (Oxyz) co toa độ la: M(x,y,z). Dưới tac dung cua ngoai lưc vật (S) bi biên dang . Điêm M chuyên đên vi trí mới la M 1(x’,y’,z’). Ta goi vec tơ MM1 la vec tơ chuyên vi cua điêm M khi biên dang (Hinh 4-1)

Cac thanh phần hinh chiêu cua vec tơ MM1 lên cac truc toa độ x,y,z tương ưng la u,v,w.

൝𝑢 = 𝑥′ − 𝑥𝑣 = 𝑦′ − 𝑦𝑤= 𝑧′ − 𝑧 (4.1)

Hình 4-1

X

Y

Z

M

M'

uv

w


Cac thanh phần u,v,w goi la nhưng thanh phần dich chuyên cua vec tơ MM 1 va chung la ham cua cac toa độ x,y,z. Ta co:

ቐ𝑢 = 𝑓1(𝑥,𝑦,𝑧)𝑣 = 𝑓2(𝑥,𝑦,𝑧)𝑤= 𝑓3(𝑥,𝑦,𝑧) (4.2)

Goi la chuyên vi toan phần cua điêm M thi no được xac đinh theo biêu thưc sau :

zyxFwvu ,,222 (4.3)

Định nghĩa: Sư thay đổi vi trí cua cac phần tư vật chất trong môi trương khi môi trương chuyên từ trang thai nay sang trang thai khac goi la chuyên vi. Co mấy dang chuyên vi?

Co 2 dang: - Chuyên vi cưng: môi trương chuyên động như vật thê cưng sang trang thai mới, khoang cach giưa cac phần tư vật chất không thay đổi .

- Chuyên vi gây biên dang: khoang cach giưa cac phần tư vật chất thay đổi

=> chi nghiên cưu chuyên vi gây biên dang


4.2 Quan hệ vi phân giữa vị trí và biến dạng bé

Phân tố MNPQ với cac canh ban đầu la dx va dy sau biên dang trở thanh phân tố M1,N1 ,P1 ,Q1. Điêm M (x,y)co chuyên vi theo phương cac truc toa độ x,y tương ưng la: u(x,y); v(x,y).

Điêm N (x+dx,y+dy) co cac chuyên vi tương ưng la :

dxxvyxvdx

xuyxu

),(;),( dx;

Biên dang dai tỷ đối theo cac phương x,y tương ưng la yx ;

Biên dang goc trong măt phẳng (x,y) la xy . Từ hinh

vẽ ta co: xy =+β;

Với gia thiêt biên dang be ta co thê coi rằng:

│ ,x │<< 1;│ ,y │<<1,││<<1;│β│<<1;

~ tg ~ sin;cos~ 1; β ~ tgβ ~ sinβ ; cosβ~ 1 ;

P

M

M

N

1

P1 N1

V

U

x

xy0

udx

dy

v

xO

y

M

P

P

N

N

NP

M1 2

2 11

u+ dxux

v+ dxvx

u+ dyuy

v+ dyvy

H×nh 3-3

H×nh 3-4


Theo đinh nghĩa ta co MN

MNNMx

11 (a) Trong đo :MN=dx; 21

2111 cos

NMNMNM

(b)

Từ hinh vẽ (3-4) ta thấy : dxxuudx

xuudxMN

1 (c)

Thay vao (b),(c) ta được: xu

MNMNNM

MNMNNM

x 2111 (d)

Tương tư ta nhận được: yv

MPMPPM

x

21 (e)

Goc quay cua canh MN sẽ la: ~ tg xv

dxxu

dxxv

dxxu

vdxxvv

NMNN

1121

21 .

(g)

Trong biêu thưc (g) ta đã bỏ qua lượng vô cùng be│ ,x │=│ xu

│<<1 so với đơn

vi . Bằng cach thưc tương tư ta cũng nhận được : β ~ tgβ = yu


Suy ra biên dang goc ,xy trong măt phẳng (x,y) sẽ la:

)44(

2;

2;

2;

xw

zu

zw

yw

zv

yv

xv

yu

xu

zxzxz

yzyzy

xyxyx

4.3 Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị.

Đê co được đầy đu chuyên động cua phân tố trong mỗi măt phẳng toa độ,ta xet thêm sư thay đổi phương cua cac đương cheo phân tố goi la cac chuyên động quay.Ta xet goc quay cua đương cheo phân tố hinh hộp quay quanh cac truc toa độ x,y,z với gia thiêt la: 0 zyx . Co 3 thanh phần chuyên động quay kí hiêu tương ưng la :

312312 ,,

Xet hinh chiêu cua phân tố trên măt phẳng (x,y).Goc quay cua đương cheo phân tố quay truc z bằng goc quay cua đương cheo MQ trong măt phẳng (x,y)quanh điêm


M .Khi canh MN quay một goc nhỏ như đã kí hiêu ở muc trên thi đương cheo MQ

quay một goc ngược chiều kim đông hô la 21 ; khi canh MP quay một goc nhỏ β thi

đương cheo MQ quay một goc thuận chiều kim đông hô la 22 .

Hình 4-3

Goc quay cua đương cheo MQ trong măt phẳng (x,y) quanh điêm M sẽ bằng tổng đai số cua hai goc quay thanh phần la ,1 va ,2 :

yu

xv

222112


Một cach tương tư ta cũng nhận được cac biêu thưc goc quay cua đương cheo phân tố trong 2 măt phẳng còn lai .Viêt gộp lai ta được:

j

i

i

jij x

uxu

xw

zu

zv

yw

yu

xv

21

212121

31

23

12

Ví dụ 4-1: Cho trương hợp chuyên vi: u=ayz ; v=azx ; w=axy. Trong đo a=const. Hãy tính cac biên dang dai va biên dang goc tai điêm M(1,1,1).

Bai giai : Theo công thưc (4-4) ta co :

*Cac biên dang dai: x = ∂u

∂x =0 , y = ∂v

∂y =0 , z = ∂w

∂z =0


*Cac biên dang goc: xy = ∂v

∂x + ∂u∂y =az +az=2az;

yz = ∂w

∂y + ∂v∂z =ax +ax =2ax;

zx = ∂u

∂z + ∂w∂x =ay +ay=2ay;

Tai điêm M (1,1,1)cac biên dang sẽ la: x =

y = z =0;

xy = yz =

zx =2a;

Chu y: Cac công thưc (4_4) va (4_5) cho thấy cac ham biên dang x, y,

z , x ,

y , z

va goc quay cưng x ,

y , z được biêu diễn tuyên tính qua đao ham riêng bậc nhât cua

cac ham chuyên vi u,v,w.Cac đao ham riêng nay được viêt dưới dang ma trận la:

ۉ��

ۈ��ۇ��

𝜕𝑢𝜕𝑥 𝜕𝑢𝜕𝑦 𝜕𝑢𝜕𝑧𝜕𝑣𝜕𝑥 𝜕𝑣𝜕𝑦 𝜕𝑣𝜕𝑧𝜕𝑤𝜕𝑥 𝜕𝑤𝜕𝑦 𝜕𝑤𝜕𝑧ی��

ۋ��ۊ��

(4-6)


Về măt toan hoc ta co thê biêu diễn ma trận (3_6) dưới dang tổng cua hai ma trận như sau:

ۉ��

ۈ��ۈ��ۇ��

𝜀𝑥 12𝛾𝑥𝑦 12𝛾𝑥𝑧12𝛾𝑦𝑥 𝜀𝑦 12𝛾𝑦𝑧12𝛾𝑧𝑥 12𝛾𝑧𝑦 𝜀𝑧 ی��

ۋ��ۋ��=ۊ��

ۉ��

ۈ��ۈ��ۈ��ۇ��

𝜕𝑢𝜕𝑥 𝜕𝑢𝜕𝑦 𝜕𝑢𝜕𝑧𝜕𝑣𝜕𝑥 𝜕𝑣𝜕𝑦 𝜕𝑣𝜕𝑧𝜕𝑤𝜕𝑥 𝜕𝑤𝜕𝑦 𝜕𝑤𝜕𝑧ی��

ۋ��ۋ��ۋ��൭+ۊ��

0 𝜔12 −𝜔31−𝜔12 0 −𝜔23𝜔31 𝜔23 0 ൱

Ma trận ở vê trai la ma trận đối xưng biêu thi biên dang thuần tuy .Ma trận thư hai ở vê phai biêu thi sư quay cưng (không biên dang).


4.4 Khái niệm về tenxơ biến dạng bé:

Ta xet đoan thẳng vô cùng be MN = ds nằm theo phương υ nao đo co cac côsin trong hê truc toa độ (x,y,z) la (l,m,n) . Ở trang thai ban đầu toa độ cac điêm M va N tương ưng la : M ( x,y,z); N ( x+ dx, y+dy; z+dz).

Côsin chi phương cua đoan thẳng la : l = dxds ; m = dy

ds ; n = dzds (a)

Sau khi biên dang đoan thẳng MN ở vi trí mới la M1N1 với cac toa độ tương ưng la : M1(x+u, y+v, z+w) ; N1(x+dx+u+du, y+dy+v=dv,z+dz+w+dw)

Trong đo cac thanh phần vi phân cua chuyên vi du, dv , dw la:

ە��۔��

𝑑𝑢ۓ�� = 𝜕𝑢𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑢𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕𝑢𝜕𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑣 = 𝜕𝑣𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑣𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕𝑣𝜕𝑧𝑑𝑧𝑑𝑤= 𝜕𝑤𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑤𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕𝑤𝜕𝑧 𝑑𝑧 (b)


Goi chiều dai cua đoan thẳng sau biên dang la ds1 = M1N1 va biên dang tương đối theo

phương υ la v , theo đinh nghĩa ta co : 111

dsds

dsdsds

v

Suy ra la : 2

122

12 121

dsds

dsds

vvv

Ta nhận được hê thưc : 2

221

2

12 12ds

dsdsdsds

vv

(c)

Trong hê thưc (c) nêu bỏ qua vô cùng be bậc 2 ở vê phai (v2 ) ta được :

2

221

2dsdsds

v

(d)

Ta co : ds2 = dx2 + dy2 + dz2

ds12 = (dx+du)2 + (dy+dv)2+(dz+dw)2=(dx2 +dy2+dz2) + 2(dxdu+dydv+dzdw)+(du2

+dv2 + dw2)

Suy ra la :

ds12 - ds2 = 2(dxdu+dydv+dzdw)+(du2 +dv2 + dw2) (e)


Thay (e) vao (d) ta được :

)(

21

2)()(

2

2

2

2

2

2

2

222

2

222

2

221

gdsdw

dsdv

dsdu

dsdzdw

dsdydv

dsdxdu

dsdwdvdudzdwdydvdxdu

dsdsds

v

Thay (b) vao (g) va chu y tới hê thưc (a) ta được :

v =[(∂u∂xl+∂u

∂ym+∂u∂zn)l+(∂v

∂zl +∂v∂xm +∂v

∂yn)m+(∂w∂x l+∂w

∂y m+∂w∂z n)n] + 12[(∂u

∂xl+∂u∂ym+∂u

∂z

n)2 +(∂v∂zl +∂v

∂xm +∂v∂yn)2+ (∂w

∂x l+∂w∂y m+∂w

∂z n)2] (h)

Với gia thiêt biên dang be , đao ham cua cac chuyên vi u, v, w theo cac toa độ x,y,z la be , ta co thê bỏ qua cac số hang chưa tích cac đao ham nay . Khi đo biêu thưc (h)sẽ co dang :

v =∂u∂xl2 +∂v

∂ym2+∂w∂z n2+(∂v

∂x+∂u∂y)lm+(∂w

∂y+∂v∂z)mn+(∂u

∂z+∂w∂x )nl (4-7)


Dưa vao cac liên hê cua Côsi ta viêt lai biêu thưc (4-7) dưới dang :

v = xl2 +ym2 +zn2+2xylm +2yzmn +2zxnl (4.8)

Biêu thưc (4-8) chưng tỏ rằng biên dang theo phương υ bất ki tai một điêm được biêu diễn qua 9 thanh phần biên dang la ( x , y , z, xy ,yz ,zx ,yx ,zy ,xz ). Noi cach khac la khi viêt cac thanh phần cua ma trận biên dang :

ۉ��

ۈ��ۇ��

𝜀𝑥 12𝛾𝑥𝑦 12𝛾𝑥𝑧12 𝛾𝑦𝑥 𝜀𝑦 12𝛾𝑦𝑧12𝛾𝑧𝑥 12𝛾𝑧𝑦 𝜀𝑧 ی��

ۋ��ۊ��

(4.9)

Ta co thê tính được biên dang theo phương υ bất ki .


4.5. Biến dạng chính, phương biến dạng chính

Do co sư tương quan toan hoc giưa tenxơ biên dang va tenxơ ưng suất tai một điêm bất ki cua môi trương , tai điêm nay tôn tai 3 truc chính vuông goc với nhau (tương ưng co 3 măt vuông goc với cac truc chính trên đo không co biên dang goc ). Cac truc chính nay goi la phương biên dang chính 1 , 2 , 3 va quy ước la 1 > 2 > 3 . Cac biên dang chính được xac đinh từ phương trinh bậc 3 tương tư như phương trinh xac đinh cac ưng suất chính (3-20) la :

𝑑𝑒𝑡ۉ��

ۈ��ۇ��

𝜀𝑥 − 𝜀 12𝛾𝑥𝑦 12𝛾𝑥𝑧12𝛾𝑦𝑥 𝜀𝑦 − 𝜀 12𝛾𝑦𝑧12𝛾𝑧𝑥 12𝛾𝑧𝑦 𝜀𝑧 − 𝜀ی��

ۋ��=ۊ�� 0 (4-10)

Khai triên phương trinh (4.10) ta được:

3 - J12 + J2 - J3 = 0 (4.10’)


Trong đo :

ە��۔��

ۓ��

𝐽1=𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧𝐽2 = ተ

𝜀𝑥 12𝛾𝑦𝑥12𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑦ተ+ ተ

𝜀𝑦 12𝛾𝑦𝑧12𝛾𝑧𝑦 𝜀𝑧ተ+ ተ

𝜀𝑥 12𝛾𝑥𝑧12𝛾𝑧𝑥 𝜀𝑧ተ

𝐽3=ተ

ተ𝜀𝑥 12𝛾𝑦𝑥 12𝛾𝑧𝑥12𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑦 12𝛾𝑧𝑦12𝛾𝑥𝑧 12𝛾𝑦𝑧 𝜀𝑧

ተ

ተ

Phương trinh (4-10’) bao giơ cũng tôn tai 3 nghiêm thưc , đo la 3 biên dang chính tương ưng 1 , 2 , 3 .

Ví du 3-2: Cho Tenxơ biên dang

𝑇𝜀 = ൭4 0 10 1 01 0 4൱

Hãy xac đinh cac biên dang chính va phương biên dang chính


Bai giai : *Phương trinh xac đinh biên dang chính la :

3 - J12 + J2 - J3 = 0 (1)

Tính J1 , J2, J3:

ە��۔��

ۓ��

𝐽1=𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 = 9𝐽2 = ተ

𝜀𝑥 12𝛾𝑦𝑥12𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑦ተ+ ተ

𝜀𝑦 12𝛾𝑦𝑧12𝛾𝑧𝑦 𝜀𝑧ተ+ ተ

𝜀𝑥 12𝛾𝑥𝑧12𝛾𝑧𝑥 𝜀𝑧ተ= 23

𝐽3=ተ

ተ𝜀𝑥 12𝛾𝑦𝑥 12𝛾𝑧𝑥12𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑦 12𝛾𝑧𝑦12𝛾𝑥𝑧 12𝛾𝑦𝑧 𝜀𝑧

ተ

ተ= 15

Thay vao phương trinh (1) ta được : 3 - 92 + 23 - 15 = 0 (1’)

Giai phương trinh (1’) đối với ta được :1 =5, 2 =3, 3 =1


*Xac đinh phương trinh biên dang chính :

Thay i vao 2 trong 3 phương trinh :

ە��۔��

ሺ𝜀𝑥ۓ�� − 𝜀𝑖 ሻ.𝑙 + 12𝛾𝑦𝑥.𝑚+ 12𝛾𝑧𝑥.𝑛 = 012𝛾𝑥𝑦.𝑙 +൫𝜀𝑦 − 𝜀𝑖 ൯.𝑚+ 12𝛾𝑧𝑦.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1

- Phương chính thư nhất tương ưng với : 1 = 5: Thay 1 = 5 vao 2 phương trinh đầu cua (2) va kêt hợp với phương trinh (3) ta được hê phương trinh sau :

(4-5)l +0.m +n = 0 -l+n=0

0.l +(1-5)m +0.n =0 Hay -4m =0 (4)

l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1


Giai hê phương trinh (4) ta được : l1=± 22 ; m1=0; n1=± 2

2

-Phương chính thư 2 tương ưng với 2 = 3:

Thay 2 = 3 vao 2 phương trinh đầu cua (2) va kêt hợp với phương trinh (3) ta được hê phương trinh sau:

(4-3)l+0.m+n =0 l+n=0

0.l +(l-3)m+0.n =0 Hay -2m=0 (5)

l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1

Giai hê phương trinh (5) ta được : l2=± 22 ; m2=0; n2=± 2

2

-Phương chính thư 3 tương ưng với 3 = 1 vao 2 phương trinh đầu cua (2) va kêt hợp với phương trinh (3) ta được hê phương trinh sau:

(4-1)l+0.m+n =0 3 l+n=0

0.l +(l-1)m+0.n =0 Hay 0m=0 (6)

l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1

Giai hê phương trinh (6) ta được : 103;0;

101

333 nml


4.6 Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng

Ta co: oTDT

Trong đo:

tbzzyzx

yztbyyx

xzxytbx

D

21

21

21

21

21

21

: Tenxơ lêch biên dang

tb

tb

tb

oT

000000

: Tenxơ cầu biên dang

3zyx

tb

: Biên dang dai trung binh

(4-11)


Như vậy trang thai biên dang được phân tích thanh hai trang thai:

- Trang thai thư nhất tương ưng với tenxơ lêch biên dang D có biên dang thê tích bằng không.

- Trang thai thư hai tương ưng với tenxơ cầu biên dang oT chi bao gôm cac thanh phần biên dang dai theo 3 phương vuông goc nhau không co biên dang goc nên phân tố chi co biên dang thê tích.

Ví du: Cho tenxơ biên dang:

401010104

oT

Hãy xac đinh gia tri chính va phương chính cua tenxơ lêch biên dang.


Bai giai:

Biên dang dai trung binh 33

414

tb :

Tenxơ biên dang lêch D la:

101020101

21

21

21

21

21

21

tbzzyzx

yztbyyx

xzxytbx

D

Phương trinh xac đinh gia tri biên dang chính cua Tenxơ biên dang lêch:

3 - J12 + J2 - J3 = 0 (1)

Tính J1 , J2, J3:


ە��۔��

ۓ��

𝐽1=𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 = 0𝐽2 = ቚ1 00 −2ቚ+ቚ

−2 00 1ቚ+ቚ1 11 1ቚ= −4

𝐽3=

101020101 = 0

Thay vao phương trinh (1) ta được : 3 -4 = 0 (1’)

Giai phương trinh (1’) đối với ta được :1 =2, 2 =0, 3 =-2

*Xac đinh phương trinh biên dang chính :

Thay i vao 2 trong 3 phương trinh :

൞

ሺ𝜀𝑥 − 𝜀𝑖 ሻ.𝑙 + 12𝛾𝑦𝑥.𝑚+ 12𝛾𝑧𝑥.𝑛 = 012𝛾𝑥𝑦.𝑙 +൫𝜀𝑦 − 𝜀𝑖 ൯.𝑚+ 12 𝛾𝑧𝑦.𝑛 = 0𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1 (2)

- Phương chính thư nhất tương ưng với : 1 = 2:

(3)


Thay 1 = 2 vao 2 phương trinh đầu cua (2) va kêt hợp với phương trinh (3) ta được hê phương trinh sau :

(1-2)l +0.m +n = 0 -l+n=0

0.l +(-2-2)m +0.n =0 Hay -4m =0 (4)

l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1


22

333 nml

- Phương chính thư nhất tương ưng với : 2 = 0: Thay 2 = 0 vao 2 phương trinh đầu cua (2) va kêt hợp với phương trinh (3) ta được hê phương trinh sau :

(1-0)l +0.m +n = 0 l+n=0

0.l +(-2-0)m +0.n =0 Hay -2m =0 (5)

l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1



22

333 nml

- Phương chính thư nhất tương ưng với : 3 = -2: Thay 3 =-20 vao 2 phương trinh đầu cua (2) va kêt hợp với phương trinh (3) ta được hê phương trinh sau :

(1+2)l +0.m +n = 0 3l+n=0

0.l +(-2+2)m +0.n =0 Hay 0m =0 (6)

l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1


101

333 nml

Chu y: Hê phương trinh (6) gia tri cua m co thê lấy bất kỳ. Nêu lấy m=1 ta được hê nghiêm tương ưng la: l3=0; m3=1; n3=0



4.7 Các phương trình liên tục

- Xet một điêm trong môi trương liên tuc, ta co chuyên vi được xac đinh la ham cua toa độ điêm đo:

),,(),,(),,(

zyxwwzyxvvzyxuu

Theo phương trinh Navier-Cauchy (4-4) ta co 6 thanh phần biên dang được biêu diễn qua 3 thanh phần chuyên vi (a). Do cac ham chuyên vi la liên tuc, đơn tri nên cac biên dang cũng la ham liên tuc va đơn tri.

Ta co: xyx

vyu

xyxyv

yxu

xyyv

xu xyyx

yx

2

22

3

2

2

2

2

(b)

Tương tư ta co:

xzzx

zyyz

zxxz

yzzy

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(a)

(c)


Theo ba phương trình sau của (4-4) ta lại có:

yxw

zyu

y

xzv

xyw

x

zyu

zxv

z

zx

yz

xy

22

22

22

Công hai phương trình đầu rồi trừ đi cho phương trình thứ 3 ta được

xzzyxv

yxzy

zxv

yxz

yzxyzxy

zxyzxy

23

2

22

2

Tương tự hoán vọ vòng tròn ta có:

zyzyxu

xyzx

yxzyxw

zxyz

xyzzxxy

zxyyzzx

23

23

22

22


Tập hợp cac hê thưc (b), (c), (d), (e) ta được hê phương trinh biêu thi mối liên hê giưa cac biên dang với nhau la:

yzxzyx

yxyyxz

xzyxzy

xzzx

zyyz

yxxy

xyzxyzx

zxyzxyz

yzxyzxy

zxxz

yzzy

xyyx

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Cac phương trinh (4-12) goi la cac phương trinh liên tuc do Saint- Venant tim ra , còn được goi la cac phương trinh tương thích cua biên dang

(4-12)


Chu y:

* Nêu biêt được cac ham chuyên vi thi từ cac phương trinh Cauchy- Navier (4-4) ta tim được cac thanh phần cua biên dang khi đo cac phương trinh liên tuc (4-12) tư thỏa mãn

* Nêu bằng cach nao đo biêt trước cac biên dang , cac phương trinh liên tuc phai được thỏa mãn đông thơi va no co y nghĩa quan trong khi giai quyêt bai toan


Bài 4.1Bài 4.1 Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy. Trong đó a=const. Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy. Trong đó a=const. Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1).Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1).

Bài 4.2Bài 4.2 Cho tenxơ biến dạng: Cho tenxơ biến dạng:

401010104

T

1- Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính.1- Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính.2- Hãy xác định biến dạng chính và phương chính của tenxơ lệch biến 2- Hãy xác định biến dạng chính và phương chính của tenxơ lệch biến dạng.dạng.

Bài tập Chương IV


Bài 4.3 Cho tenxơ biến dạng của môi trường làBài 4.3 Cho tenxơ biến dạng của môi trường là

zxxy

xyyxyyx

T2/

2/2

22

22

1- Các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không?1- Các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không?2- Tính các biến dạng chính tại điểm M(0,1,1)2- Tính các biến dạng chính tại điểm M(0,1,1)

y

z

x

Bài 4.4 Khi khảo sát xoắn của một thanh tròn (như Bài 4.4 Khi khảo sát xoắn của một thanh tròn (như hình vẽ) ta có các dịch chuyển là:hình vẽ) ta có các dịch chuyển là:

)( constkeybxw

fezaxxzvcbzayyzu

1- Hãy xác định hệ số a, b, c, d, e, f, k với điều kiện mặt cắt đầu thanh (z=0) 1- Hãy xác định hệ số a, b, c, d, e, f, k với điều kiện mặt cắt đầu thanh (z=0) ngàm cứng.ngàm cứng.2- Tìm trị số các biến dạng.2- Tìm trị số các biến dạng.3- Thử xem các biến dạng tìm được có thỏa mãn phương trình liên tục 3- Thử xem các biến dạng tìm được có thỏa mãn phương trình liên tục không?không?


HẾT CHƯƠNG IV

Cơ học môi trường liên tụcCHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒICHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

CHƯƠNG V - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒICHƯƠNG V - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Trong các chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên Trong các chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau. Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi hai mặt này có quan hệ với nhau. Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi trường phụ thuộc vào quan hệ đó. Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là trường phụ thuộc vào quan hệ đó. Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường. Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những xét về mặt vật lý của môi trường. Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến và lý thuyết đàn hồi dẻo. tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến và lý thuyết đàn hồi dẻo. Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng :Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng :

x = f1(x = f1(x, x, y, y, z, z, xy, xy, yz, yz, zx);zx);y = f2(y = f2(x, x, y,...y,... ); );z = f3(z = f3(x, x, y,...y,... ); );Txy= f4(Txy= f4(x, x, y,...y,... ); ); (5.1)(5.1)Tyz= f5(Tyz= f5(x, x, y,...y,... ); );Tzx= f6(Tzx= f6(x, x, y,...y,... ); );

Cơ học môi trường liên tục Ths Phạm Văn ĐạtCHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒICHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI


Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính. Do đó (5.1) viết thành : ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính. Do đó (5.1) viết thành : x = a11x = a11x + a12x + a12y + a13y + a13z + a14z + a14xy + a15xy + a15yz + a16yz + a16zx;zx;y = a21y = a21x + a22x + a22y + a23y + a23z + a24z + a24xy + a25xy + a25yz + a26yz + a26zx;zx; ........................ (5.2) (5.2)Tzx = a61Tzx = a61x + a62x + a62y + a63y + a63z + a64z + a64xy + a65xy + a65yz + a66yz + a66zx.zx.Trong đó :Trong đó :- Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu.- Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu.- Trong (5.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi. Ta sẽ chứng minh rằng đối với - Trong (5.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi. Ta sẽ chứng minh rằng đối với vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập với nhau.vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập với nhau.

5.1 Công và thê cua lực đàn hồi- Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z). Các mặt của - Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z). Các mặt của phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,5.1). Ứng với các ứng suất ấy phần phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,5.1). Ứng với các ứng suất ấy phần tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc.tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc.- Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công.- Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công.


dxx

xx

dxxxy

xy

dxxxz

xz

z

x

y

dx

dy

P(x,y+dy,z)

N(x+dx,y,z)Q(x,y,z+dz)

xy

x

xy

5.1.1. Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:5.1.1. Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:- Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : - Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : x và x và x + .dx, có độ x + .dx, có độ dài tương đối dài tương đối x, độ dãn dài tuyệt đối : x, độ dãn dài tuyệt đối : x.dx.x.dx.- Sau thời gian vô cùng bé - Sau thời gian vô cùng bé t, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia: t, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia: x. Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : x. Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : x .dx.x .dx. Số gia của công do Số gia của công do x sinh ra : (x sinh ra : (x.dydz)( x.dydz)( x.dx)x.dx)Tương tự số gia của công Tương tự số gia của công y và y và z sinh ra :z sinh ra :

((y.dxdz)( y.dxdz)( y .dy) y .dy) (a)(a)

((z.dxdy)( z.dxdy)( y .dz).y .dz).


5.1.2. Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra:5.1.2. Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra:- Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là - Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là xy. Sau thời gian xy. Sau thời gian t, t, góc trượt đó có số gia góc trượt đó có số gia xy.xy.- Lực do Txy : Txy.dy.dz.- Lực do Txy : Txy.dy.dz.- Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox : - Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox : (Txy.dydz).dx.(Txy.dydz).dx.- Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx). - Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx). xy.xy.-Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là :Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là :

(Tyz.dzdx.dy). (Tyz.dzdx.dy). xz.xz. (b) (b) (Tzx.dxdy.dz). (Tzx.dxdy.dz). zx.zx.

- Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất - Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất sinh ra (a+b):sinh ra (a+b):T = (T = (x. x. x +x +y. y. y +y +z. z. z +Txyz +Txyxy + Tyzxy + Tyzyz + zxyz + zxzx )dxdydz. (5.3)zx )dxdydz. (5.3)

Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng.Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng.*Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) *Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) A sẽ là :A sẽ là :A = = A = = x. x. x +x +y. y. y +y +z. z. z +Txyz +Txyxy + Tyzxy + Tyzyz + Tzxyz + Tzxzx (5.4)zx (5.4)


* Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được * Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được bảo toàn. Nếu gọi bảo toàn. Nếu gọi WW là thế năng biến dạng đàn hồi tích luy khi vật thể biến là thế năng biến dạng đàn hồi tích luy khi vật thể biến dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A.dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A.Do vậy ta cóDo vậy ta có A = W A = W (5.5)(5.5)

Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (5.5) gọi là có thế .Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (5.5) gọi là có thế .Từ (5.5) Từ (5.5) A = A = WW (5.6)(5.6)Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy

thế năng biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng :thế năng biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng :W = f(W = f(x, x, y, y, z, z, xy, xy, yz, yz, zx).zx).

- Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên - Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên W là 1 vi W là 1 vi phân toàn phần. Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia phân toàn phần. Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :

)75(

zxzx

yzyz

xyxy

zz

yy

xx

WWWWWWW


So sánh (5-4) và (5-7) ta có:

zxzx

yzyz

xyxy

zz

yy

xx

WWW

WWW

;;

;;;

(5-8)

- Từ (5.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất là - Từ (5.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất là các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạng các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạng tương ứng. tương ứng.

5.2 Định luật Hooke tông quát và các hằng số đàn hồi cua vật liêu5.2.1. Dựa vào định lý Green :Từ (5.2) ta có : x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15yz + a16zx


(5-8) ta có: 15

2

aWW

yzxxx

(a)

Từf (5-2) ta có:

zxyzxyzyxyz aaaaaa 565554535251 Từ (5-8) ta có:

51

2

aWW

xyzyzyz

(b)

- Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và - Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta có : a15 = a51.(b) ta có : a15 = a51.- Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (5.2) ta có: aij = aji- Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (5.2) ta có: aij = ajiVậy các hằng số của hệ phương trình (5.2) đối xứng qua đường chéo Vậy các hằng số của hệ phương trình (5.2) đối xứng qua đường chéo chính. Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số.chính. Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số.5.2.2. Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng :- Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt - Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phần tử cung là mặt phẳng đối xứng. Tính chất cơ, lý của phẳng nào đi qua phần tử cung là mặt phẳng đối xứng. Tính chất cơ, lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau. vật liệu theo mọi phương là như nhau.


Do đó các phương trình (5.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ :Do đó các phương trình (5.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ :+Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp +Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp x của phương trình thứ nhất trong hệ x của phương trình thứ nhất trong hệ (5.2) không thay đổi:(5.2) không thay đổi:x = a11x = a11x + a12x + a12y + a13y + a13z + a14z + a14xy + a15xy + a15yz + a16yz + a16zx. (c) zx. (c) Nhưng các biến dạng góc Nhưng các biến dạng góc xy và xy và yz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt yz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt trước đây làm góc vuông nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn lên.trước đây làm góc vuông nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn lên.

x = a11x = a11x + a12x + a12y + a13y + a13z - a14z - a14xy - xy - a15a15yz + a16yz + a16zxzx (d).(d).Đồng nhất (c) và (d) ta có :Đồng nhất (c) và (d) ta có :

Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0.Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0.

015141515

1414

aaaaaa


Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của ba Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của ba phương trình đầu trong hệ phương trình (5.2) đều bằng 0.phương trình đầu trong hệ phương trình (5.2) đều bằng 0. Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương trình (5.2) cung bằng 0 trình (5.2) cung bằng 0 * Hệ phương trình (5.2) trở thành :* Hệ phương trình (5.2) trở thành :

x = a11x = a11x + a12x + a12y + a13y + a13zzy = a21y = a21x + a22x + a22y + a23y + a23zzz = a31z = a31x + a32x + a32y + a33y + a33zz (5.9) (5.9)Tyx = a44Tyx = a44xy + a45xy + a45yz + a46yz + a46zxzxTyz = a54Tyz = a54xy + a55xy + a55yz + a56yz + a56zxzxTzx = a64Tzx = a64xy + a65xy + a65yz + a66yz + a66zxzx

Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận : Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận : - Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc.- Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc. - Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối.- Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối.


Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 5.9) :Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 5.9) : Tyx = a44Tyx = a44xy + a45xy + a45yz + a46yz + a46zxzx (e) (e)Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng yz và yz và zx sẽ đổi dấu: zx sẽ đổi dấu: Tyx Tyx = a44= a44xy - a45xy - a45yz - a46yz - a46zxzx (f) (f)Đồng nhất (e) và (f) ta có : Đồng nhất (e) và (f) ta có :

Do aij = aji Do aij = aji a54 = a64 = 0. a54 = a64 = 0.Tương tự ta có : a56 = a65 = 0.Tương tự ta có : a56 = a65 = 0.

Hệ phương trình (5.9) có thể rút gọn như sau:Hệ phương trình (5.9) có thể rút gọn như sau:x = a11x = a11x + a12x + a12y + a13y + a13zzy = a21y = a21x + a22x + a22y + a23y + a23zzz = a31z = a31x + a32x + a32y + a33y + a33zzTyx = a44Tyx = a44xyxy (5.10) (5.10) Tyz = a55Tyz = a55yzyzTzx = a66Tzx = a66zx zx

Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (5.10), ta có:Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (5.10), ta có:x

yz


z = a31z = a31x + a32x + a32y + a33y + a33zzHoán vị vòng ta có:Hoán vị vòng ta có: x = a31x = a31y + a32y + a32z + a33z + a33x (1)x (1)Phương trình (1) của hệ phương trình (5.10) :Phương trình (1) của hệ phương trình (5.10) :

x = a12x = a12y + a13y + a13z + a11z + a11xxĐồng nhất (5.11) và (1) ta có :Đồng nhất (5.11) và (1) ta có : a31 = a12a31 = a12

a32 = a13a32 = a13a33 = a11a33 = a11

Vì aij = aj i Vì aij = aj i a12 = a21a12 = a21a31 = a13a31 = a13a32 = a23a32 = a23

* Đặt * Đặt a = a11 = a22 = a33a = a11 = a22 = a33b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23

Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (5.10) ta có :Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (5.10) ta có :c = a44 = a55 = a66c = a44 = a55 = a66

Do đó (5.10) có dạng :Do đó (5.10) có dạng : x = ax = ax + b(x + b(y + y + z)z)y = ay = ay + b(y + b(x + x + z)z)z = az = az + b(z + b(x + x + y)y) (5.11) (5.11)Txy = cTxy = cxyxyTyz = cTyz = cyzyzTzx = cTzx = czxzx


*Ta có: *Ta có: = = x + x + y + y + z: là biến dạng thể tích tương đối.z: là biến dạng thể tích tương đối.nênnên x = bx = b + (a - b) + (a - b) xx

y = by = b + (a - b) + (a - b) yy (5.12) (5.12)z = bz = b + (a - b) + (a - b) zz

*Đặt *Đặt b = b = a -b = 2 a -b = 2

x = x = +2 +2xx(5.12) (5.12) y = y = +2 +2yy (5.13)(5.13)

z = z = +2 +2zzThực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có:Thực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có:

c = (a-b)/2 c = (a-b)/2 c = c = TTxyxy= = xyxy

TTyzyz= = yz yz (5.14)(5.14) TTzxzx= = zxzx

Các hệ phương trình (5.13) và (5.14) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của Các hệ phương trình (5.13) và (5.14) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là và và . Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.. Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.


5.3. Môt dạng khác cua định luật hooke tông quát5.3. Môt dạng khác cua định luật hooke tông quát

Ta có: Ta có: xx+ + x x ++xx = 3 = 3 +2+2 trong đó : trong đó : ==xx+ + yy+ + zz Độ biến dạng thể tích Độ biến dạng thể tích tương đối.tương đối.

zyx

23

1(a)

Từ (5-18)

Thay (a) và (b) vào (c) ta có:

22

2 zyzy

zz

yy

(b)

yxxx

yxzyx

zyxyx

zyxx

23

223

)23(2231

(5-15)


;23

1E

Đặt:

Thay (5-16) vào (5-15) ta được

(5-16)

yxxz

xzyy

zyxx

E

E

E

1

1

1

Tương tự ta có (5-17)

2222223

ETừ (5-16) ta có

GEG

E

12

12


Lúc này (5-10) có dạng:

G

G

G

zxzx

yzyz

xyxy

(5-18)

Các hệ phương trình (5.17) và (5.18) được gọi là định luật Hooke tổng quát Các hệ phương trình (5.17) và (5.18) được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng biến dạng theo ứng suất.viết dưới dạng biến dạng theo ứng suất.*Định luật Hooke khối *Định luật Hooke khối

Từ (5.17) ta có :Từ (5.17) ta có :E(E(x + x + y + y + z) = (z) = (x + x + y + y + z) - 2z) - 2((x + x + y + y + z)z) (*)(*)

(*) (*) E E = S (1 - 2 = S (1 - 2)) (5.19)(5.19)Với: Với: = = x + x + y + y + z : Biến dạng thể tích tương đối.z : Biến dạng thể tích tương đối.

S =S =x + x + y + y + z: Hàm ứng suất tổng. z: Hàm ứng suất tổng. Phương trình (5.19) được gọi là Định luật Hooke khối.Phương trình (5.19) được gọi là Định luật Hooke khối.


5.4. Các phương trình cơ bản cua lý thuyêt đàn hồi tuyên tính5.4. Các phương trình cơ bản cua lý thuyêt đàn hồi tuyên tính5.4.1. Các phương trình cơ bản :5.4.1. Các phương trình cơ bản :Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học và vật lý Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm :của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm : - Sáu thành phần - Sáu thành phần ứng suất : ứng suất : x, x, y, y, z, Txy, Tyz, Tzx.z, Txy, Tyz, Tzx.

- Ba thành phần chuyển vị : u, v, w.- Ba thành phần chuyển vị : u, v, w.- Sáu thành phần biến dạng : - Sáu thành phần biến dạng : x, x, y, y, z, z, xy, xy, yz, yz, zx.zx.Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sauĐể xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau

1. Về mặt tĩnh học1. Về mặt tĩnh họca) Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy

ە��۔��

𝜎𝑥𝜕𝑥��ۓ�� + 𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑦 + 𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑧 + 𝑋= 0(= 𝜌𝜕2𝑢𝜕𝑡 )𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑥 + 𝜕𝜎𝑦𝜕𝑦 + 𝜕𝜏𝑦𝑧𝜕𝑧 + 𝑌= 0(= 𝜌𝜕2𝑣𝜕𝑡 )𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑥 + 𝜕𝜏𝑧𝑦𝜕𝑦 + 𝜕𝜎𝑧𝜕𝑧 + 𝑍= 0(= 𝜌𝜕2𝑤𝜕𝑡 )


b) Các điều kiện biên theo ứng suất2) Về mặt hình họca)Hệ phương trình biến dạng Cauchy – Navier

b)Các phương trình liên tục về biến dạng2) Về mặt vật lýa) Biểu diên biến dạng qua ứng suất

x = ∂

u

∂ x

xy = 2 xy = +β = ∂

v

∂ x + ∂

u

∂ y

y = ∂

v

∂ y

yz =2 yz = β + = ∂w

∂y + ∂v∂z

Z = ∂w∂z

zx = 2 zx = + = ∂u∂z

+ ∂w∂x


yxxz

xzyy

zyxx

E

E

E

1

1

1

G

G

G

zxzx

yzyz

xyxy

b) Biểu diên ứng suất qua biến dạng x = x = +2 +2xx

y = y = +2 +2yyz = z = +2 +2zz

TTxyxy= = xyxy TTyzyz= = yzyz

TTzxzx= = zxzx


5.4.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính :5.4.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính :* Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn * Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn

cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính. Những chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính. Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán. Những phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán. Những ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính.ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính.

1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: 1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm Nếu lấy chuyển vị làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm chuyển vị u, v, w.chuyển vị u, v, w.

2. Cách giải bài toán theo ứng suất: 2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm Nếu lấy ứng suất làm các hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất.ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất.

3. Cách giải hỗn hợp: 3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất.và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất.


5.5 Cách giải bài toán lý thuyêt đàn hồi theo chuyển vị Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản : 5.5.1.Về mặt vật lý: Từ định luật Hooke tổng quát : x = + 2Gx Txy = Gxy (a) Tzx = Gzx 5.5.2. Về mặt hình học: Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy : x =

xu

;

yx = yu

xv

; (b)

zx = zu

xw

;

Thay (b) vào (a) ta có : x = + G xu

+ G

xu

Tyx = G

yu

xv

(c)

Tzx = G

zu

xw


5.5.3 Về mặt tĩnh học: Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy :

;)tu(0fx

zTzx

yTyx

xx

2

2

(d)

Thay (c) vào (d) ta có:

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

tu0fx

zuG

zxwG

yuG

yxvG

xuG

xuG

x

(*)tu0fx

zw

yv

xu

xGu

zyxG

x 2

2

2

2

2

2

2

2

Với 2 = 2

2

2

2

2

2

zyx

: Toán tử vi phân Laplace.

zw

yv

xu

=x+y+z = : Biến dạng thể tích tương đối

(*) ( + G)x

+ G2u + fx = 0

2

2

tu

;

Tương tự ( + G)y

+ G2v + fy = 0

2

2

tv

; (5.20)

( + G)z

+ G2w + fz = 0

2

2

tw ;


Hệ (5.20): Hệ phương trình LaMê : Khi thiết lập (5.20) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ giữa ứng suất và biến dạng nên hệ (5.20) vẫn chứa các hằng số LaMê và G. Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học và vật lý. Giải (5.20) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng suất theo định luật Hooke. 5.5.4 Hê quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là hằng số ta có các hệ quả sau: a. Hê quả 1: Đạo hàm các phương trình của hệ (5.20) lần lượt theo các biến x, y, z ta có :

( + G) 2

2

x

+ G2xu

= 0 ;

+ ( + G) 2y

+ G2yv

= 0 ;

( + G) 2z + G2

zw

= 0 .

( + G). 2 + G2 = 0 2 = 0 (5.21)


Do tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cung có : 2S = 0 (5.22) Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng suất tổng là những hàm điều hòa. b. Hê quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.21) : ( + G)

x + G2u +fx = 0 (a)

Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt theo các biến x, y, z ta có :

( + G) 3

3

x

+ G2 2

2

xu

= 0 ;

+ ( + G) 2

3

yx

+ G2 2

2

yu

= 0 ;

( + G) 2

3

zx

+ G2 2

2

zu

= 0 .

( + G). x 2 + G22u = 0 (b)


Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa. c. Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng nghiệm chuyển vị của bài toán đàn hồi. Tất nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần, điều kiện đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình cơ bản đã nêu trên. 5.6 Cách giải bài toán đàn hồi theo ứng suất Chọn các ứng suất x, y, z, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn chính. 5.6.1. Trường hợp các lực thể tích là hằng số: 1. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke y = )(1 zxy

E (*)

Có S = x + y + z

(*) y = SyE

)1(1

Tương tự z = SzE

)1(1 (a)

yz = G1 Tyz =

E)1(2 Tyz


2. Về mặt hình học: Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng :

2

2

2

2

yz

zy

zyyz

2 (b)

Thay (a) vào (b) ta có :

(1 + ) 2

2

zy

- 2

2

zS

+(1 + ) 2

2

yy

- 2

2

yS

= 2(1 + )

zyTyz

2

(1 +)

2

2

2

2

2

2

2

2

zS

yS

yz

zy = 2(1 + )

zyTyz

2

(c)

3. Về mặt tĩnh học: Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học Navier- Cauchy.

0

fx

zTzx

yTyx

xy ; fx

xx

zTzx

yTyx

(1)

0

fy

zTzy

yy

xTxy ; fy

xTxy

yy

zTzy

(2)

0

fzzz

yTyz

xTxz ; fz

xTxz

zz

yTyz

(3)


Lấy đạo hàm bậc nhất (2) và (3) lần lượt theo y và z ta có :

yx

Txyy

yyz

Tzy

2

2

22

zx

Txzz

zzy

Tyz

2

2

22

z

Txy

Txyxzy

yyz

Tzy zz 22

2

2

2

22

2 (4)

Thay (1) vào (4) ta có :

(4)

fxxx

xzz

yy

zyTyz

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2z

zy

yx

xzy

Tyz (d)

Thay (d) vào (c) ta có :

(1 + ) 02

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zS

yS

yz

zzz

yy

xx y

(1 + )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zx

zx

zx

yx

yx

yx

zx

yx

xx

-

2

2

2

2

yS

zS = 0 (**)

+


Trong đó : 2 = 2

2

2

2

2

2

zyx

S = x + y + z.

(**) (1 + ) 02

2

2

2

2

2

2

22

yS

zS

zS

ySx

- (1 + )2x + 2

2

2

2

zS

yS

+ 02

2

2

2

2

2

2

2

yS

zS

zS

yS

- (1 + )2x + 2

2

2

2

yS

xS

+ 2

2

2

2

xS

zS

= 0.

(1 + )2x + SxS 22

2

= 0

Theo Hệ quả (1) ta có 2S = 0

(1 + )2x + 2

2

xS

= 0

(1 + )2y + 2

2

yS

= 0 (5.24)

(1 + )2z + 2

2

zS

= 0


(1 + )2Txy + yxS

2= 0

(1 + )2Tyz + zyS

2= 0 (5.25)

(1 + )2Tzx + zxS

2= 0

Hệ phương trình (5.24) và (5.25) là phương trình để giải bài toán đàn hồi theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường. Giải (5.24) và (5.25) có được các ứng suất sau đó tìm các biến dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy. Hệ (5.24) và (5.25) gọi là hệ phương trình Beltrmi 5.6.2 Khi lực thể tích không phải là hằng số: ta cung nhận được các phương trình tương tự nhưng có vế phải khác 0 :

2x + xx

zfz

yfy

xfx

xS

21)1(1

2

2

;

2y + yy

zfz

yfy

xfx

yS

21)1(1

2

2

; (5.26)

2z + zz

zfz

yfy

xfx

zS

21)1(1

2

2

;


(5.26) : Phương trình Beltrami-Michell. * Hệ quả 3 : Trường hợp fx, fy, fz = const. Từ phương trình (5.24) Beltrmi, ta cung suy ra được 1 hệ quả về tính chất của các n0 ứng suất Xét phương trình (1) của hệ phương trình (5.24) :

(1 + ) 2x + 2

2

xS

= 0 (1)

Lấy đạo hàm bậc 2 phương trình (1) lần lượt theo x,y,z ta có :

(1 + )2 2

2

xx

+ 4

4

xS

= 0

+ (1 + )2 2

2

yx

+ 22

4

yxS

= 0

(1 + )2 2

2

zx

+ 22

4

zxS

= 0

(1 + ) 22x + 2

2

xS

2S = 0 Theo hệ quả 1 2S = 0

Ta có : 22x = 0. Tương tự ta có : 4ij = 0. ij gồm có (x, y, z, Txy, Tyz, Tzx).


Ứng suất là những hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa). Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng cung là những hàm điều hoà kép. Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng của bài toán đàn hồi tuyến tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm điều hòa kép: 4ij = 0 ; 4ui = 0 ; 4ij = 0. (5.27) 5.7. Các phương pháp giải 1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các phương trình Lamê (5.20) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.24) và (5.25) hay Beltrami Michell (5.26) khi giải theo ứng suất với các điều kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện. 2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.22) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được.


3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp ngược. 4. Nguyên lý Saint-Venant : Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh, tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ứng suất phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực. Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng. Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm đặt lực thì trạng thái ứng suất, biến dạng của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác dụng của lực”.


Ví dụ : F : Diện tích mặt cắt ngang. 5.8. Định lý duy nhất nghiêm cua bài toán lý thuyêt đàn hồi Một vấn đề đặt ra là nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có duy nhất không. Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị đã cho ta chỉ nhận được một hệ ứng suất hay chuyển duy nhất hay ta nhận được vài hệ nghiệm khác nhau với cùng điều kiện đã cho. * Nếu nhận được một vài hệ nghiệm thì nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi đã cho là đa trị. * Định lý duy nhất về nghiệm : Nếu thừa nhận về trạng thái tự nhiên của vật và đinh luật độc lập tác dụng của lực thì nghiệm bài toán lý thuyết đàn hồi là duy nhất. Thực vậy xét bài toán cơ bản thứ nhất của lý thuyết đàn hồi. Dưới tác dụng của lực bề mặt

xf , yf ,

zf . Lực thể tích fx, fy, fz đã cho. Giả thiết ta nhận được 2 hệ nghiệm ứng suất khác nhau.


x, y, z, Txy, Tyz, Tzx

x*, y

*, z*, Txy

*, Tyz*, Tzx

*

Cả hai hệ ứng suất này đều phải thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh học của Cauchy và điều kiện biên tĩnh học.

0

x

zxyxx fz

Ty

Tx

0****

x

zxyxx fz

Ty

Tx

(a)

...

xf = x.l + Tyx.m + Tzx.n

xf = x.l + Tyx.m + Tzx.n (b) ... Tương tự viết cho các phương trình còn lại. Trừ các phương trình tương ứng cho nhau, ta nhận được hệ phương trình và điều kiện mới. Ví dụ viết cho phương trình thứ nhất ta có :

yx

xx

)( (Txy – Tyx) +

z (Tzx - Tzx)= 0

(x - x).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = 0 (c)


zy

5.9 Ví du giải bài toán xoắn thuân túy lăng tru Xét thanh thẳng, mặt cắt ngang không đổi, chịu xoắn thuần tuý (h-1) 1) Hệ các phương trình cơ bán Sử dụng phương pháp nửa ngược Saint- Venant giả thiết:

0 xyzyx a) Các phương trình cân bằng Navier

0

0

0

yx

z

z

zyzx

zy

zx

y

x

zxM M


b) Điều kiện biên - Trên mặt pháp tuyến (l,m,0)

0.. ml xyxz - Trên các mặt cắt ngang ở hai đầu thanh (z=o, z=l)

Fxyxz

F Fxyxz

MdFxy

dFdF

)

0

c) Các liên hệ Cauchy, định luật hooke

0

0

0

zwyvxu

z

y

x

021

021

021

zu

xw

yw

zv

xv

yu

zx

yz

xy

d) Phương trình Beltrami - Michell 02 yz và 02 zx


y

M

r

x

y

x

u

v t

2) Chuyển vị và góc xoắn của thanh

),(..

yxwwxzvyzu

Trong đó là một hằng số Chuyển vị theo phương bán kính r:

0sincos ryxz

rxyzvuur

Chuyển vị theo phương vuông góc với bán kính r (u):

rzrxxz

ryyzvuut cossin

3) Sử dụng hàm Prandl để giải bài toán xoắn nếu đặt :

yxz

và

xyz

Ta có:

02 x

và 02 y

Suy ra phương trình xác định hàm Prandtl 2 =C


Hằng số C được xác định như sau:

xwyG

xw

zuE

yxz

12

Suy ra

yxwG

y

2

2

2

yxwG

x

2

2

2

Ta có:

Gyx

22

2

2

22

Suy ra: C= G2 4) Một số trường hợp đặc biệt * Thanh có mặt cắt ngang hình elip Phương trình chu vi:

12

2

2

2

by

ax

Chọn hàm Prandtl có dạng

1

2 2

2

2

2

by

axA

từ 2 =C suy ra

Cba

A

22

112

hay 22

22

babaCA


Suy ra hàm Prandtl

22

2222

121

babaC

by

ax

Các ứng suất trên mặt cắt sẽ là:

yba

aCyxz 22

2

x

baaC

xyz 22

2

hằng số C được xác định từ điều kiện cân bằng

FFyzxz ba

baCdFby

ax

babCadFxyM 22

33

2

2

2

2

22

22

2

Suy ra

33

222ba

baMC

; y

baM

xz 3

2

; xba

Myz 3

2

ứng suất lớn nhất tại hai đầu của bán trục ngắn và bằng

2max2

baM

Góc xoắn tỉ đối là:

33

22

2 baGbaM

GC

Trị số 22

33

baMbaG

được gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt ngang

hình elip * nếu mặt cắt là hình tròn : a=b=d/2


Bài 5.1 Tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính cho tenxơ ứng suất:Bài 5.1 Tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính cho tenxơ ứng suất:

)/(401

032124

2cmkNT

Cho biết: Cho biết: 25,0);/(10.2 24 cmkNE

Hãy xác định:Hãy xác định:1- Biến dạng dài theo phương v(2,-1,3) .1- Biến dạng dài theo phương v(2,-1,3) .2- Biến dạng chính và phương các biến dạng chính.2- Biến dạng chính và phương các biến dạng chính.

Bài 5.2 Cho tenxơ biến dạng tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tínhBài 5.2 Cho tenxơ biến dạng tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính

210.201033032

T

Cho biết: Cho biết: 25,0);/(10.2 24 cmkNE

Bài tập Chương V


Hãy xác định:Hãy xác định:1- Phương chính và các ứng suất chính.1- Phương chính và các ứng suất chính.2- ứng suất tiếp lớn nhất.2- ứng suất tiếp lớn nhất.

Bài 5.3 Cho các chuyển vị:Bài 5.3 Cho các chuyển vị:

axzw

axyv

ayxxu

;;

2)( 222

Tìm các biến dạng và chứng tỏ chúng thỏa mãn phương trình liên tục.Tìm các biến dạng và chứng tỏ chúng thỏa mãn phương trình liên tục.

Oh

z

Mo

x

y

x

bBài 5.4 Cho dầm conson mặt Bài 5.4 Cho dầm conson mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh) cắt ngang hình chữ nhật (bxh) chịu uốn bởi mômen Mo như chịu uốn bởi mômen Mo như hình vẽ. hình vẽ.

nằm trong mặt nằm trong mặt phẳng (xoz). Giả sử các ứng phẳng (xoz). Giả sử các ứng suất trong dầm là: suất trong dầm là: 0;/;0 zxyzxyzyx aEx

Hãy tìm các biến dạng và chuyển vị.Hãy tìm các biến dạng và chuyển vị.

aEJM yo /


HẾT CHƯƠNG V

Cơ học môi trường liên tụcCHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTESCHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES

CHƯƠNG 6 – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.1. HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG I. Khái niêm : Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy). Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng. Bài toán phẳng chia ra 2 loại : 1. Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy. 2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy. Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt toán học. Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với bài toán không gian.


z

y

x

z

y

II. Bài toán ứng suất phẳng : Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ. Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng theo bề dày. Do đó điều kiện của bài toán sẽ là : z = Txz = Tyz = 0 (a) Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên : z 0 (b) Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng. Ân số của bài toán gồm có:


Các ứng suất : x, y, Txy. Các biến dạng : x, y, xy, z 0. Theo định luật Hooke, từ (a) ta có : xz =yz = 0 ; y =

E1 (y - x)

x = E1 (x - y) ; z =-

E

(x + y) (c)

xy = GTxy =

E)1(2 Txy

Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là x, y, Txy với E, là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu. III. Bài toán biên dạng phẳng : Khi tính những vật thể hình lăng tru, có chiều dài lớn chịu tải trọng

không đôi theo chiều dài, ví du đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hâm... ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn

vị.


z

1

y

zx

1

Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng như biểu diên trên hình vẽ sau : Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực pháp tuyến theo phương z. Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong trường hợp đang xét sẽ là : z = xz = yz = 0 (d) và z 0 (e) Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng. Ẩn số của bài toán gồm có: Các ứng suất : x, y, Txy, z0 Các biến dạng : x, y, xy. Theo định luật Hooke, từ (d) ta có : - Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0


- Còn ứng suất pháp z sẽ được tìm từ biểu thức z = 0 z = )(1 yxx

E = 0

Vậy y = (x + y). Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là : x = )(1 zyx

E = )(1 yxy

E

x =

)1

1 2

yxE

Tương tự y =

)1

1 2

xyE

(*)

xy = E

)1(2 Txy

Đặt E1 = 21

E ; 1 =

1 (g)

(*) x = 1

1E

(x - 1y) ;

y = 1

1E

(y - 1x) ; (f)

xy = E

)1(2 Txy = 1

1)1(2E

Txy


IV. So sánh và kêt luận chung : 1. Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến dạng là như nhau : x, y, Txy, x, y, xy. Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diên qua các ẩn số chính. 2. Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn toàn tương tự như nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ : - Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E, còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, 1 theo cách đặt (g). 3. Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài toán hoàn toàn như nhau. 6.2. Các phương trình cơ bản trong bài toán phẳng 1. Về mặt tĩnh học : Phương trình cân bằng Cauchy :

y

Tyxxx

+ fx = 0

yy

xTxy

+ fy = 0 (6.1)


2. Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy : x =

xu

;

y = yv

; (6.2)

xy = xu

+

yv

.

Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục của biến dạng, trong bài toán phẳng điều kiện này chỉ còn 1 phương trình :

yxxy

xy

yx

2

2

2

2

2

(6.3)

3. Về mặt vật lý : Phương trình định luật Hooke. a. Biểu thức biến dạng qua ứng suất : x =

E1 (x - y)

y = E1 (y - x) (6.4)

xy = E

)1(2 Txy


b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng : x = 21

E (x+ y)

y = 21

E (y+ x) (6.5)

Txy = )1(2 E xy

Nếu giải bài toán biến dạng phẳng, chỉ cần thay E, bằng E1, 1. Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa 8 ẩn số là ba ứng suất, ba biến dạng và hai chuyển vị là một hệ khép kín, cho phép ta giải được bài toán. 4. Các điều kiên biên : a. Điều kiên biên tĩnh học : xl + Tyxm =

xf Txyl + ym =

yf (6.6) b. Điều kiên biên đông học : Trên bề mặt S của vật thể cho trước các chuyển vị uo , vo hay các đạo hàm của các chuyển vị theo các biến số tọa độ. Nghiệm chuyển vị của bài toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo .


6.3. Phép giả bài toán theo ứng suất – hàm ứng suất Airy I. Phép giải theo ứng suất : - Chọn ẩn số chính là các ứng suất : x, y, Txy. Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1) .

y

Tyxxx

= - fx

yy

xTxy

= - fy

Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất (6.8)

y

Tyxxx

= 0

yy

xTxy

= 0 (6.8)

và nghiệm riêng của phương trình (6.9)

y

Tyxxx

= - fx

yy

xTxy

= - fy (6.9)


- Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó phụ thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích. Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là : * x = 0 ; y = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số.

* x = 22ax + bx ; y = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0

* x = 0 ; y = -a 63y ; Txy = 2

2axy khi fx = axy , fy = 0.

II. Hàm ứng suất Airy : Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy. Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8):

0

)8.6(0

yy

xTxy

yTyx

xx


Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa

p và q phải có quan hệ : xq

yp

.

- Phương trình thứ (1) của hệ (6.8) y

Tyxxx

Tức (x.dy - Txy.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó. Nên ta có quan hệ x =

yA

; Tyx = -

xA

(a)

Tương tự, phương trình thứ 2 : x

Txyyy

(y.dx - Txy.dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó : Ta có quan hệ : y =

xB

; Txy = -

yB

(b)

So sánh (a) và (b) ta có : xA

=

yB

(c)

(A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm (x,y) nào đó : Ta có quan hệ : A =

y ; B =

x (d)


Thay (d) vào (a) và (b) ta có:

x = 2

2

y

; y = 2

2

x

; Txy = - yx

2

(6.10)

Hàm (x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng suất. III. Phương trình hàm ứng suất Airy : - Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học, và vật lý của môi trường. Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng.

(1 + )2x + 2

2

xS

= 0

+ (1 + )2y + 2

2

yS

= 0

(1 + )2z + 2

2

zS

= 0

(1+)2S +2S = 0 2S = 0 Với S = x+ y+ z. Vì trong bài toán ứng suất phẳng z=0 nên S= x + y


Trong bài toán biến dạng phẳng : S= x + y + z = x + y +(x + y) =(1+)(x + y). Nên trong bài toán đàn hồi phẳng ta đều có : 2S = 2(x + y) = 0 (6.11) (6.11) : Phương trình LêVy. Thay các ứng suất bởi hàm thay (6.10) vào (6.11) ta có :

02

2

2

2

2

2

2

2

xyyx

0

yyx2

x 4

4

22

4

4

4

(6.12)

2(2) = 4 = 0 (6.13) Phương trình (6.13) : phương trình trùng điều hòa. Hàm = (x,y) : là hàm trùng điều hòa . Kết luận : - Bài toán đàn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương trình (6.12) sau đó tìm các ứng suất theo (6.10). + Nếu fx, fy 0 Cộng thêm các nghiệm riêng. - Theo (6.10) : Việc thêm hay bớt hàm một lượng A+ Bx+Cy thì các ứng suất không thay đổi.


- Các hệ số tích phân được xác định theo điều kiện biên tĩnh học :

xfm

yxl

y..

2

2

2

yfmx

lyx

.. 2

22 (6.14)

Nếu (6.13) đủ để xác định các hằng số tích phân thì các ứng suất theo (6.10); (6.12) & (6.14) hoàn toàn không liên quan đến các hệ số đàn hồi của vật liệu. Những bài toán như thế là bài toán có liên kết bên ngoài tĩnh định. Định lý LeVy-Michell : Trong biểu thức đàn hồi phẳng tĩnh định, chịu các ngoại lực tác động trên biên thì sự phân bố ứng suất không phụ thuộc vào các hằng số đàn hồi và như nhau đối với tổng cả các vật liệu. 6.4. Điều kiên biên cua hàm ứng suất Airy. Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất rút lại thành việc giải phường trình trùng điều hòa (6.12). Nghiệm của phương trình này là hàm ứng suất phải thỏa mãn điều kiện biên.

ymTxylfTxyml.xf

y

x (6.15)

Xét trường hợp fx = fy = 0


Xét trường hợp fx = fy = 0 Thay (6.10) vào (6.11) ta có

myx

ly

fx

2

2

2

.

mx

lyx

fy 2

22

.

(6.16)

Theo (H.6.3) ta có :

l = cos(n, x) = cos(900 + ) = - sin = - dsdy

m = cos(n, y) = cos = dsdx

(6.15) dsdy

yfx .2

2

-

dsdx

yx.

2

= -

dsdy

yy.

-

dsdx

yx.

= -

yds

d . (6.17)

dsdy

yxfy .

2

+ dsdx

x.2

2

=

xds

d .

Lấy điểm so bất kỳ trên chu tuyến làm gốc : (6.17) SS

x XdsfAy

0

SSy YdsfB

x

0 (6.18)


Trong đó : A&B : Các hệ số tùy ý, biểu diên giá trị của đạo hàm

00

,SS

xy

của chu vi .

X(S) , Y(S) : Ký hiệu mang ý nghĩa tĩnh học sẽ nói đến dưới đây. Để rõ ràng ta đưa ra sự tương tự như sau : Thay chu vi vật thể khảo sát bằng thanh có cùng dạng và cắt tại điểm S0 (H.6.4). Tại đó ta đặt các lực : A // S0x B // S0y Và ngẫu lực C như hình vẽ Như vậy : X(S) & Y(S) : Chính là tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên đoạn S0S chiếu lên trục x & y. + Nếu chúng ta lấy trục t trục tiếp tuyến ngoài tại điểm S n pháp tuyến ngoại tại điểm S. Thì :

n N(S) (6.19)

st

= Q(S) (6.20)


N(S) : Lực dọc cung tại điểm S của thanh, được xem là dương nếu là lực kéo. Q(S) : Lực cắt tại điểm s của thanh. So sánh quan hệ giữa nội lực là moment uốn và lực cắt trong sức bằng vật liệu:

dsdM Q(s)

dsd Q(s) = M (6.21)

M(s) : Moment của lực đặt trên đoạn S0S của thanh đối với điểm s. Vậy tại điểm trên chu tuyến của vật thể ta có thể xác định giá trị của hàm ứng suất (x,y) và các đạo hàm theo phương pháp tuyến

n tại các điểm ở trên

chu vi theo trọng đã cho dựa vào công thức (6.21) và (6.19) , quá trình ///đó giống như tìm moment uốn S lực dọc gây ra bởi tải trọng cho trước trên chu vi nếu tưởng tượng chu vi đó là ////mà cắt ra tại 1 tải diện bất kỳ. có dạng bất kỳ : Chuỗ Taylor, Furiê, hàm phức,... chuổi đặc biệt. có dạng đa thức.


x

yy

z oP

x

L

2t

2t

6.5. Hàm ứng suất dưới dạng đa thức. Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất thỏa mãn 2 yêu cầu : - Phương trình trùng điều hòa - Điều kiện biên + Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do như hình vẽ 1. Dạng hàm + Theo kết quả ở sức bền vật liệu: x = y

JM

Z

Z .

theo hàm : x = 2

2

y

(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx3 + cx2y + fxy2 + gy3 + hx4 + ix3y + ix2y2 + kxy3 + ly4. (a)

la ham đa thưc bậc 4 đối với x, y


phải thỏa mãn phương trình trùng điều hòa :

4

4

x

+ 22

4

yx

+ 4

4

y

= 0

4

4

x

= h ; 22

4

yx

= j ; 4

4

y

= l.

h + 2j + l = 0 h = j =l = 0 (1)

x = 2

2

x

= 2c + 2fx + 6gy + 6kxy.

y = 2

2

x

= 2c + 6dx + 6ey + 6ixy. (b)

Txy = - yx

2

=-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2

2. Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất : * Biên trên (y = Lxt ,0;2 : Txy = 0 , (c)

y = 0 (d) * Biên dưới (y =- Lxt ,0;2 : Txy = 0 , (e)

y = 0 (f


Từ (c) & (e) ta có : 2a +6dx +2e( 2

t )+6ix( 2t ) = 0

2a + 6dx - 2e 2t - 6ix 2

t = 0 e = i = 0 e = i=f=0 (2)

Từ (d) & (f) ta có : a=d=0 (3)

00233222

0233222

22

22

ftkixtfexb

tkixtfexb

* Biên trái (x = 0, y

2,2

tt ) ta có :

x= 0 (g)

pdFTxy

t

t

2

2

. (h)

Từ (g) c = g = 0 (5) Txy = - (- 4

3kt2 + 3ky2) = 43kt2 - 3ky2


2

2

2

2

2

2

3222

33

43)34

3(

t

t

t

t

t

tkyyktdykyktTxydF

=

32

22

22.43

22.43 tktkttktkt

=

44

382.4

382.4

3 33

3333 ktktktktktkt

= pkt2

3

k = 32tp

(6)

Txy = 22 343 kykt

x = 6kxy y = 0

x = 6.

12

)(62

33 tPxxy

tp

.y

J3 = 123t x = y

JzMz . (6.22)

M3 = Px z : Trục trung hòa


6.6- Hàm ứng suất dưới dạng chuỗi lượng giác. Khi tải trọng biên phân bố không liên tục thì việc dùng hàm ứng suất dưới

dạng đa thức bị hạn chế. Fillonne đề nghị chọn hàm ứng suất dưới dạng chuỗi lượng giác như sau:

1

sin,k

kk xyFyx (6-23) với

lk

k (6-24)

Đặt phương trình (6-23) vào phương trình điều hòa kép ta có.

0sinsin2sin ''24 xFxFxF kIV

kkkkkkk (6-25)

02 4''2 kkkkIV

k FFF (6-26)

Nghiệm tổng quát của phương trình:

yyshCyychCyshCychCyF kkkkk 4321 (6-27)

Các ứng suất tương ứng:

xF kk

kxx sin1

''

; xF kk

kkyy sin1

2

; xF kk

kkxy cos1

'

(6-28)


Trong đó Fk được xác định theo phương trình (6-27)

)()( 4321' ychyyshCychyyshCychCyshCF kkkkkkkkkkk

)(

)(2

4

23

22

21

''

yshyychychC

yshychyshCychCyshCF

kkkkkk

kkkkkkkkkkk

Với các Ci là các hằng số tích phân được xác định theo điều kiện biên. - Dùng nghiệm Fillonne (tấm chữ nhật) biên bên trái và bên phải (khi x=0 và

x=L) thì 0* xf 0* yf

- Ritbier đề nghị lấy hàm ứng suất:

xyFyx kk

k cos)(,1

Điều kiện biên (khi x=0 và x=L) là 0* xf 0* yf

Nghiệm tổng quát: xyQxyFyx kk

kkk

k cos)(sin)(,11


6.7 Giải bài toán phẳng bằng phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp SPHH là một phương pháp số cho phép giải gần đúng các bào toán

phức tạp mà phương pháp giải tích không hiệu dụng. 6.7.1 Đạo hàm và sai phân cấp 1

Giả sử cho một hàm )(x liên tục khả vi

trong đoạn ba, .

x : gọi là bước sai phân có thể đều hoặc không đều.

- Đạo hàm của hàm )(x bằng biểu thức

gần đúng:

xxdxd

oxi

lim

được gọi là sai phân cấp 1.

Có thể định nghĩa sai phân theo cách khác

1 ii sai phân lùi ; ii 1 sai phân tiến; 2/11 ii sai phân trung

tâm Khi đó dạo hàm cấp 1 là:

xxxxzxd iiiiii

i

21111 (6-29)


6.7.2 Đạo hàm và sai phân cấp cao Đại hàm cấp n có thể lấy gần đúng là:

ni

n

in

n

xdxd

Đạo hàm cấp 2,4 tại điểm i:

2

112

12

2

2

2 2xxxdx

d iiiiii

i

Như vậy sai phân cấp 2 112 2 iiii

4

21124

22

4

4 464xxdx

d iiiiii

i

6.7.3 Đạo hàm và sai phân cua hàm 2 biên.

Giả sử cho một hàm ),( yx liên tục khả vi trong miền S, ta chia miền này bằng lưới

với bước lưới là x , y .

(6-30)

(6-31)

(6-32)


Ta có thể viết các đạo hàm tại điểm O như sau:

2

3012

231 2;

2 xxxx O

2

4022

242 2;

2 yyyy O

yxyx

O

48765

2

4

1130194

4 464xx

O

4

12402104

4 464yy

O

22

87654321022

4 24yxyx O

6.7.4 Phương trình lưỡng điều hòa sai phân.

0262

242262

41240210

487654321

41131922

ooo

(6-33)


6.7.4 Phương trình lưỡng điều hòa sai phân.

0262

242262

41240210

487654321

41131922

ooo

Sau khi đơn giản ta được

02820 1211109876543210

Các ứng suất tại điểm O xác định theo công thức:

yxyx

xx

yy

xy

y

x

4

2

2

7586

0

2

2301

0

2

2402

0

2

2

2

6.7.5 Giá trị ),( yx và đạo hàm cua nó trên biên

Để xác định giá trị hàm ),( yx trên biên ta xét một phân tố ds theo biên của tấm có pháp

tuyến v(l,m) chịu tải trọng yx ff , (như hình vẽ)

(6-34)

(6-35)


Ta có:

y

x

fmx

lyx

fmyx

ly

2

22

2

2

2

l=cos(v,x)=-dy/ds m=cos(v,y)=dx/ds Sau khi biến đổi ta có công thức cuối cùng:

B

AB

B

Ay

B

Ax MBFBx

FBy

)(;)(;)(

6.7.6 Giá trị cua hàm ),( yx tại những điểm ngoài biên.

1) Đối với các điểm ở trên của biên chu tuyến

Ta có y

TNBy

2)()()( suy ra: )(2)()( B

yyTN

2) Đối với các điểm ở dưới của biên chu tuyến

Ta có y

NTBy

2)()()( suy ra: )(2)()( B

yyTN

(6-36)

(6-37a)

(6-37b)


3) Đối với các điểm ở bên trái của biên chu tuyến

Ta có x

NTBy

2)()()( suy ra: )(2)()( B

yxTN

4) Đối với các điểm ở bên phải của biên chu tuyến

Ta có x

TNBy

2)()()( suy ra: )(2)()( B

yxTN

* Chú ý: - Trên đây chỉ giới thiệu một dạng lưới đơn giản nhất. Trong nhiều bào toán khác nha, tùy theo hình dạng của vật thể mà người ta có thể dung lưới tam giác, lục giác,… - Để nghiệm của phương pháp sai phân hữu hạn thu được càng chính xác thì người ta chia lưới càng dày. Khi đó số phương trình thu được khá nhiều. Tuy nhien khó khăn này được giải quyết dê dàng bằng máy tính điện tử.

(6-37c)

(6-37d)


Ví du : Xac đinh ưng suất tai điêm K ở giưa tấm lưới hinh vuông chiu tai trong như hinh vẽ bằng phương phap lưới: Bai giai :

Ta chi tấm bởi lưới hinh vuông với bước lưới x = y=a . Do tính chất đối xưng cua bai toan nên ta chi xet một nưa tấm va đanh số nut lưới như hinh vẽ. Chon điêm gốc A trùng với điêm nut 1. Phương trinh sai phân tai điêm nut K la :

20k - 8(1 + 5 +3 ) +2(22 +24)+6 +27 +8 =0(1)

gia tri cua ham va cac đao ham cua no tai nhưng điêm trên biên được ghi lai trong bang

gia tri cua ham tai nhưng điêm ngoai biên

6 = k- 2a∂∂y(1) =k

7 = k + 2a ∂∂x(3) = k + 2qa2

8 = k+ 2a∂∂y(5) = k


Thay cac gia tri nay vao phương trinh (1) ta được :

20k - 8(0 -2.qa2

8+ 3qa2

8 ) +2(-2qa2

8-2qa2

8)+k +(2k+ 2qa2) +k =0

Hay : 24k - qa2 -qa2 + 4qa2 =0

Suy ra la : k = - 112 qa2

~ -0,083qa2

1 2 3 4 5 ∂∂x= Fy

0 qa qa qa 0

∂∂y = -Fx

0 0 0 0 0

= MB 0 - qa2

8 - qa2

8 - qa2

8 -3qa2

8


Ứng suất tại điểm K sẽ là:

qq

a

qaqa

ayK K

x 458,02411

012

28

32)( 2

22

215

2

2

qqa

qaqaqa

axK K

y 083,0121812

282)( 2

222

233

2

2

0)( 22244

2

ayxKxy


6.8 Giải bài toán theo phương pháp phân tử hữu hạnPhương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp số đặc biệt có

hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V. Tuy nhiên, phương pháp PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong miền con Ve (phần tử thứ e) thuộc miền xác định V. Do đó phương pháp này thích hợp với hàng loạt bài toán vật lí và kĩ thuật, trong đó miền cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính vật lí, hình học khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Sự ra đời và phát triển phương pháp PTHH đã đáp ứng những đòi hỏi trong việc giải quyết các bài toán thiết kế các kết cấu phức tạp trong lĩnh vực hàng không, hàng hải, khai thác dầu khí, và trong lĩnh vực xây dựng...

Trong phương pháp PTHH, miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con Ve, gọi là phần tử (PT). Các PT này được nối với nhau tại các điểm định trước thường tại đỉnh PT (thậm trí tại các điểm trên biên PT) gọi là nút. Trong phạm vi mỗi một PT, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn giản được gọi là hàm xấp xỉ. Các hàm xấp xỉ được biểu diên qua các giá trị của hàm và có thể cả các giá trị của đạo hàm của nó tại các điểm nút của PT. Các giá trị này gọi là các bậc tự do của PT và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.


Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lí của hàm xấp xỉ có thể phân tích bài toán theo 3 loại mô hình sau:

1. Mô hình chuyển vị: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm xấp xỉ biểu diên gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong PT.

2. Mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diên gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong PT.

3. Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm xấp xỉ biểu diên gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong PT.

Trong phạm vi của cuốn sách này sẽ chỉ đề cập tới nội dung cơ bản của phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị và ứng dụng của nó vào tính toán hệ thanh phẳng với vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính. Trong phần lý thuyết cơ bản chỉ lấy các ví dụ là các bài toán với hệ thanh phẳng.


Nôi dung phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị

Trong phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị, thành phần chuyển vị được xem là đại lượng cần tìm. Chuyển vị được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn giản gọi là hàm xấp xỉ (hay còn gọi là hàm chuyển vị). Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị gồm các bước sau: 1. Rời rạc hoa miền khao sat

Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve hay còn gọi là các PT có hình dạng hình học thích hợp. Các PT này được coi là liên kết với nhau tại các nút nằm tại đỉnh hay biên của PT. Số nút của PT không lấy tuỳ tiện mà phụ thuộc vào hàm chuyển vị định chọn. 2. Chọn ham chuyển vị

Giả thiết hàm chuyển vị sao cho đơn giản đối với việc tính toán nhưng phải thoả mãn điều kiện hội tụ. Thường chọn dưới dạng hàm đa thức. Biểu diên hàm chuyển vị theo tập hợp giá trị các thành phần chuyển vị và có thể cả đạo hàm của nó tại các nút của PT {}e. Tập hợp các hàm chuyển vị sẽ xây dựng nên một trường chuyển vị xác định một trạng thái chuyển vị duy nhất bên trong PT theo các thành phần chuyển vị nút. Từ trường chuyển vị sẽ xác định một trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất duy nhất bên trong PT theo các giá trị của các thành phần chuyển vị nút của PT.


3. Xây dưng phương trình cân bằng trong từng PT, thiết lập ma trận độ cứng [K]e va vectơ tai trọng nút {F}e cua PTthứ e.

Dựa vào nguyên lí dừng thế năng toàn phần, xây dựng phương trình cân bằng trong từng PT, được biểu diên dưới dạng sau:

e eeK F (6.38)

trong đó: {F}e- vectơ tải trọng nút của PT thứ e xét trong hệ toạ độ riêng (HTĐR);

{}e - vectơ chuyển vị nút của PT thứ e xét trong HTĐR; [K]e - ma trận độ cứng của PT thứ e xét trong HTĐR.

4. Ghép nối cac PT xây dưng phương trình cân bằng cua toan hệ. Trên cơ sở mô hình chuyển vị, ghép nối các PT thu được phương trình cân

bằng của toàn hệ, biểu diên dưới dạng:

K ' ' F' (6.39)

trong đó: {F’}- vectơ tải trọng nút của toàn hệ trong hệ toạ độ chung (HTĐC);

{’} - vectơ chuyển vị nút của toàn hệ trong HTĐC; [K’] - ma trận độ cứng của toàn hệ trong HTĐC.

Khi ghép nối cần lưu ý xếp đúng vị trí của các thành phần trong từng [K]e và {F}e vào [K’] và {F’}. Lúc này sẽ có hiện tượng lặp tại một số nút. Trong hệ phương trình (6.39) đã khử sự trùng lặp.


Để giải được hệ phương trình (6.39), định thức của ma trận [K’] cần phải khác 0 (det [K’] khác 0), tức là phương trình không suy biến. Với bài toán kết cấu, điều này chỉ đạt được khi điều kiện biên được thoả mãn (kết cấu phải bất biến hình). Đó là điều kiện cho trước một số chuyển vị nút nào đó bằng 0 hay bằng một giá trị xác định. Sau khi đưa các điều kiện biên vào, phương trình cân bằng mới được biểu diên như sau:

[K*]{*} ={F*} (6.40) trong đó: {F*}- được xây dựng từ {F’}sau khi loại bỏ các hàng tương ứng với

thành phần chuyển vị bằng 0;

{*}- được xây dựng từ {’}sau khi loại bỏ các thành phần chuyển vị bằng 0; [K*] - được xây dựng từ [K’] sau khi loại bỏ các hàng và cột tương

ứng với thành phần chuyển vị bằng 0. 5. Giai hệ phương trình cân bằng

Với bài toán tuyến tính, việc giải hệ phương trình đại số là không khó. Kết quả tìm được là chuyển vị của các nút.

{*} = [K*]-1{F*} (6.41)


6. Xac định nội lưc, ứng suất, biến dạng Từ kết quả thu được, kết hợp với các điều kiện biên xác định được vectơ

chuyển vị nút của từng PT trong HTĐR. Từ đó xác định được nội lực, cung như biến dạng, ứng suất của điểm bất kì trong PT nhờ các quan hệ đã có trong Cơ học kết cấu và Lí thuyết đàn hồi.


Bài 6.1 Bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia đều bằng a, Bài 6.1 Bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia đều bằng a, Hãy xác định ứng suất tại điểm K của tấm trên hình.Hãy xác định ứng suất tại điểm K của tấm trên hình.

Bài 6.2 Cho tấm hình chữ nhật có bề dày bằng một đơn vị chịu nén bởi áp Bài 6.2 Cho tấm hình chữ nhật có bề dày bằng một đơn vị chịu nén bởi áp lực q như hình vẽ, biết: Chuyển vị thao phương z vuông góc với mặt phẳng lực q như hình vẽ, biết: Chuyển vị thao phương z vuông góc với mặt phẳng tấm bằng không.Các chuyển vị trong mặt phẳng là:tấm bằng không.Các chuyển vị trong mặt phẳng là:

Bài tập Chương VI

yE

qvvxE

qvvu21;1


Y

X

H

qHãy kiểm tra các điều kiện biên của bài toán?Hãy kiểm tra các điều kiện biên của bài toán?

Bài 6.3 Xét tường chắng đất có trọng lượng Bài 6.3 Xét tường chắng đất có trọng lượng riêng p, chịu tác dụng lực như hình vẽ. Hãy xác riêng p, chịu tác dụng lực như hình vẽ. Hãy xác định trạng thái ứng suất trong tường. Chọn hàm định trạng thái ứng suất trong tường. Chọn hàm ứng suất là đa thức bậc ba:ứng suất là đa thức bậc ba:

với a, b, c, d là hằng sốvới a, b, c, d là hằng số

x

y

h

O

qh

3223),( dycxyybxaxyx


HẾT CHƯƠNG VI

Cơ học môi trường liên tụcCHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰCCHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC

CHƯƠNG VII – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

Khi giai bai toan phẳng ly thuyêt đan hôi, trong một số trương hợp dùng toa độ độc cưc sẽ tiên lợi hơn toa độ Descartes, ví du khi nghiên cưu trang thai ưng suất, biên dang trong cac ống day, cac đĩa quay, thanh cong, tai nhưng miền canh lỗ tròn cua tấm… Trong toa độ cưc, vi trí một điêm được xac đinh goc cưc va vectơ ban kính r. 7.1. Các phương trình cơ bản 1. Các phương trình vi phân cân bằng : Gia sư co vật thê chiu lưc song song với măt phẳng. Tai điêm A(r,,z), ta cắt ra 1 phân tố giới han bằng 6 măt. - 2 măt tru đông truc cach nhau một khoang dr. - 2 măt phẳng chưa truc z va tao với nhau một goc d. - 2 măt phẳng song song măt phẳng oxy cach nhau 1 đơn vi


y

x

zr dr

1

od

o

y

x

r

d

drr

rr

drr

rf drrr

r

r

Rr

f

Hinh 7.1 + Ky hiêu: r la truc theo hướng ban kính, la truc đi qua điêm đang xet A(r,,z) va vuông goc với r, ưng suất trên cac măt sẽ được ky hiêu như sau: - Cac măt nhận r lam phap tuyên: + Trên măt đi qua điêm A(r,,z) co cac thanh phần ưng suất: r, Tr. + Trên măt đi qua điêm A(r, + d,z), khai triên theo Taylor co cac thanh

phần ưng suấ:

drr

,

dr

Tr

- fr, f : Lưc thê tích hướng tâm va tiêp tuyên tac dung lên một đơn vi tiêp tuyên.


Xet cân bằng cua phân tố chiu lưc như hinh 7.1 :

0...2

cos.1.)(2

cos.1..

2sin.1.).(

2sin.1..).)((1...0

drdrfddrdddr

ddrdddrddrrdrr

drr

rr

rr

rrr

Vi biên dang be nên 22

sin dd

12

cos d

Sau khi bỏ qua cac nguyên lượng vô cùng be va chia cho r.dr.d ta được:

01

x

r fr

rTrr

r (7.1)

Tương tư chiêu cac lưc lên phương ta được

021

f

Tr

Trr

rr (7.2)

+ Đinh luật đối ưng cua ưng suất tiêp : Tr = Tr (7.3)


x

y

drruu

duu

1

2. Các phương trình hình học: Chuyên vi cua điêm A(r, θ) theo phương r, θ la u, v. Chuyên vi cua điêm B(r+dr, θ) theo 2 phương la:

drruu

va drrvu

Chuyên vi cua điêm C(r, θ+dθ) theo 2 phương la:

duu

va

dvv

Biên dang dai tương đối theo phương r, θ la: εr, εθ Hinh 7.2 * Trước tiên chi xet biên dang do u gây ra khi giư nguyên goc θ. Sau biên dang ABCD trở thanh A’B’C’D’: +Cac biên dang dai tương đối:

ru

dr

drdru)drruu(

ABAB'B'A

r

;

ru

rdrdd)ur(

ABAC'C'A

;

+Biên dang goc: (a)

u

r1

rd

u)duu(EAC '''

1


D

C''

A

C

o

D''

B''

BA''

x

y

MN

v

drrvv

2

* Xet biên dang do chuyên vi v gây ra

khi giư nguyên dr. Sau biên dang ABCD trở thanh A’’B’’C’’D’’:

(Hinh 7.3) + Biên dang dai:

urrd

ddvdvv

ABACCA 1)('''' =

+ Biên dang goc: γ2 = (B’’A’’M – NA’’M) (b)

= rv

rv

rv

dr

vdrrvv

)(

Co số hang (NA”M) =

rv trong γ2 la do sư quay toan phân tố ABCD đối với

điêm 0.


Cộng (a) va (b) ta co được cac quan hê giưa biên dang va chuyên vi trong toa độ cưc:

rv

rvu

r1

vr1

ru

ru

21

r

(7.4)

3. Các phương trình vật lý:

Trong toa độ cưc, co thê co được cac phương trinh cua đinh luật Hooke trong toa độ Descartes bằng cach thay x, y bằng r, θ: a. Biêu thưc biên dang qua ưng xuất: εr =

E1 (σr – μσθ)

εθ= E1 (σθ – μσr) (7.5a)

γrθ = G1 Trθ =

E)1(2 Trθ


b. Biêu thưc ưng suất qua biên dang: σr = 21

E (εr – μεθ)

σθ = 21 E (εθ – μεr) (7.5b)

Trθ = G.γrθ Ở bai toan biên dang phẳng thay E, μ bằng E1, μ1 theo cach đăt: 21 1

EE ;

11

7.2. GIẢI BÀI TOÁN THEO ỨNG SUẤT. - Phương trinh LeVy 2(σx + σy) = 0 la phương trinh giai bai toan phằng theo ưng suất trong hê toa độ Descartes. Ta hãy biêu diễn phương trinh đo trong hê toa độ cưc: 2(σx + σy) = 0 σx + σy = σr + σθ = S

2(σr + σθ) = 0 (7-6) * Liên hê giưa cac thanh phần toa độ Descartes va toa độ cưc:

r2 = x2 + y2 (a) tgθ =

xy (b)


(a) xr

)( 2

= 2rxr

= 2x

xr

=

rx = cosθ

yr

)( 2

= 2ryr

= 2y

yr

=

ry = sinθ

(b) 2

)(

xy

xxy

=

2cos1 .

x

x = - 2x

y rx 2

= - r1 .

ry = -

rsin (c)

yxy

)(=

x1 =

2cos1 .

y

y =

x1 r

x 2

= r1 .

rx =

rcos

* Như vậy, đối với ham f(x,y) bất kỳ, trong toa độ cưc:

xf

=

rf

.

xr

+

f .

r =

rf

.cosθ -

f .

rsin

yf

=

rf

.

yr

+

f .

y =

rf

.sinθ -

f .

rcos

2

2

xf

=

r

rf

rf

sin.cos. cosθ -

rf

rf

sin.cos. .

rsin


2

2

yf

=

r

rf

rf

cos.sin. sinθ -

rf

rf

cos.sin. .

rcos

Sau biên đổi ta nhận được:

2

2

xf

= 2

2

rf

cos2θ -

r

f2

.r

2sin +

f2

2sinr

+rf

r2sin + 2

2

f

2

2sinr

2

2

yf

= 2

2

rf

sin2θ -

r

f2

.r

2sin +

f2

2sinr

+rf

r2cos + 2

2

f

2

2cosr

Lấy tổng hai biêu thưc ta được:

2f = 2

2

xf

+ 2

2

yf

= 2

2

rf

+

r1

rf

+ 2

1r 2

2

f

2 = 2

2

r +

r1

r +

r1

2

2

(7.7)

Thay (7.7) vao (7.6) ta co :

0)(112

2

2

2

rrrrr

(7.8)

Cũng tương tư như trong hê toa độ Descartes trong trương hợp lưc thê tích bằng 0, lấy cac ưng suất thỏa mãn phương trinh cân bằng (7.1), (7.2):


rr1

2

2

21

rr

2

2

(7.9)

rrTr

11

Trong đo: φ(r, θ): La ham ưng suất trong toa độ cưc Thay (7.9) vao (7.8) ta co:

2

2

22

2 11rrrr

2

2

22

2 11

rrrr = 0

2(2φ) = 0 (7.10) (7.10): Phương trinh trùng điều hòa cua bai toan phẳng trong toa độ cưc.

Ví du 1: Cho thanh cong măt cắt ngang hinh chư nhật (bxh): Lấy b=1, chiu tac dung bởi mômen Mo ở 2 măt cắt đầu thanh va nằm trong măt phẳng cong cua thanh như hinh vẽ. Hãy xac đinh trang thai ưng suất trong thanh.

Bai giai :

Đây la trương hợp thanh cong phẳng chiu uốn thuần tuy . Do mômen uốn không đổi theo chiều dai thanh nên ưng suất không phu thuộc vao goc cưc. Ta chon ham ưng suất theo (7-8) , nghĩa la:

(r)= Alnr+ Br2lnr + Cr2 +D

Khi đo cac ưng suất theo (7-9) sẽ la :

CrBrA

drd

CrBrA

drd

rr

2)ln21(

2)ln21(1

22

2

2

a b


(Hình 7-5)


Cac hằng số A,B,C được xac đinh từ điều kiên biên như sau :

* Tai 2 biên cong : r = a r =0

r = b =0 (a)

*Tai 2 đầu thanh : L ưc doc N: N =

dF =

b

a

1.dr = 0 (b)

Mômen uốn M: M=

rdF =

b

a

.1.r.dr = -Mo (c)

Thay (7-13) vao cac điều kiên (a), (b), (c) ta được :

02222

2

2

)()lnln(ln

02)ln21(

02)ln21(

MabCaabbBbaA

CbBbA

CaBaA

(d)


Giai hê phương trinh (d) đối với A, B, C ta được :

A = - 4MoK a2b2ln ba

B = - 2MoK (b2 - a2) (e)

C = MoK [(b2 - a2) +2(b2lnb - a2lna)]

Trong đo : K = (b2 - a2) -4a2b2(lnba)2

Thay cac gia tri cua A, B,C ở (e) vao (7-13) ta được :

0

lnlnln4

lnlnln4

22222

22

222

22

rr

o

or

abraa

brb

ab

rba

KM

raa

brb

ab

rba

KM


1

1

7.3. Tính tác dụng của một lực tập trung vào biên của tấm bán vô hạn đàn hồi (Bài toán PhơLamăng) Gia sư co một môi trương đan hôi được giới han bằng một măt phẳng goi la không gian ban vô han đan hôi. Trên măt phẳng chiu tac dung cua tai trong phân bố đều theo một đương thẳng. Đê giai bai toan ta cắt ra một phân tố giới han bởi hai măt phẳng song song va vuông goc với đương tai trong va cach nhau một đơn vi. (H7.6)

Hinh 7.6


Như vậy ta đã đưa bai toan không gian thanh bai toan phẳng. Trong trương hợp không gian ban vô han giới han bởi 2 măt phẳng song song gần nhau thi được xem la ban vô han đan hôi. Nêu ban mỏng ta coi bai toan nay như bai toan trang thai ưng suất phẳng. Xet ban mỏng vô han đan hôi chiu lưc tập trung tac dung ở biên. Do tính đối xưng qua truc x nên ham ưng suất φ(r, θ) la 1 ham chẵn đối với θ nên σr, σθ la ham chẵn đối với θ. Chon φ(r, θ) = C.r.θsinθ (7.11) C la hằng số phai xac đinh sao cho ham φ(r, θ) thỏa mãn phương trinh trùng điều hòa va điều kiên biên: Theo (6.9) ta co:

rr1

cos212

2

2 rC

rr

02

2

r (7.12)

Trθ = 0 Qua (7.12) cho thấy trên măt phẳng vuông goc với ban kính r chi co ưng suất phap σr. σθ = Trθ = 0. Măt vuông goc với nay cũng không co ưng suất.


Xac đinh hằng số C bằng cach tính tổng hinh chiêu lên truc cac lưc phap tuyên tac dung lên nưa vòng tròn tâm 0.

Σx = 0 0cos).(2

2

rdFP với dF = r.dθ.1 (1 la bề

day cua tấm)

2

2

cos..

rdrP

2

2

.cos..cos2

dr

rC

2

2

2

2

2

22cos12cos2

dCdC

22C

C

2

2

2sin21

PC (7.13)

Thay (7.13) vao (7.12) ta co:

cos2

rP

r

σθ = 0 (7.14) Trθ = 0


x

y

rd

P

o

P

P

Từ (7.14) cho thấy: +Tai điêm đăt lưc P: r = 0 thi σr = ∞. Thưc tê khi chiu lưc tập trung ở điêm đăt lưc co ưng suất cuc bộ rất lớn lam cho khu vưc tai nhưng điêm xung quanh điêm đăt lưc bi chay dẻo. +Ở đây ta không xet khu vưc đo ma chi ap dung nghiêm đã rut ra ở ngoai khu vưc noi trên. + Tính chất nghiêm cua σr: d.cosθ = r

rdcos1

(a)

Từ (7.14) dP

rP

r

2cos2

dP

r 2

(7.15)

Công thưc (7.15) cho thấy ưng suất σr cua tất ca cac điêm cùng một vòng tròn đều như nhau. Vòng tròn đo goi la đương đẳng suất.

Hinh 7.7 Ví du: cấu kiên chiu nen đung tâm


Tính bản trong hệ tọa độ Descartes: Tính bản trong hệ tọa độ Descartes: Ta có:Ta có:

yx

x

y

xyr

y

x

nf*y

f*x

y

x x

yr

P

or

r rx

r

xy

yx

Hình 7.8Hình 7.8

mxnflxnf

xry

rrx

.),sin(..),cos(.

*

*

Ma:

mmlflmlf

xyyxy

ryxxx

......

*

*

2222 .... mlml rryx

Ta co: 222222 ....

1mlml

ml rryxyx

Nhân 2 vế của phương trình với l

Nhân 2 vế của phương trình với m


xry 0

2

222

22222

2222

.

.

.....

..).(.

l

lml

mlmml

mlml

rx

rx

rrxrx

xrxrx

ml

ml

rxy

rry

..

.1 22

22cos

yx

xrxl

;

22sin

yx

yryl

22

22

22

22

22

cos.sin.

sin

cos

yxxyyx

yyx

x

rrx

rrx

rrx

(7-16)


Thay σr = -rP

2 cosθ từ (7.14) vao (7.16) ta co:

σx = -rP

2 cos3θ = -

P2 .

222

3

yx

x

σy = -rP

2 sin2θcosθ = -

P2 .

222

2

yx

xy

(7.17)

Txy = -rP

2 sinθcos2θ = -

P2 .

222

2

yx

yx

Tính chất nghiêm cua (7.17):

xxy 0

xP

x 2max

* Trong trương hợp co nhiều lưc tập trung như hinh vẽ, đê tính ưng suất tai 1 điêm ta co thê ap dung nguyên ly cộng tac dung đê tính.

2x

n

i ii

in

i i

i

yxx

Pir

Pi1

222

3

1

3

)(2cos

2y

n

i ii

iin

i i

ii

yxyx

Pir

Pi1

222

2

1

2

)(2cossin

(7.18)

2

xyT

n

i i

ii

rPi

1

2cossin 2

acyxyx

Pin

i ii

ii 1

222

2

)(


x

o

P

y

x

max

1y2

P1

y

P2 Pn

y

xyyx

1y

n

2y3y

x

1y

Hình - 7.9


BÀI TẬP CHƯƠNG 7

7.1.Hãy xac đinh ưng suất trong nêm co chiều day =1 , goc ở đinh = 2 chiu tac dung cua lưc tập trung P ở đinh lam với truc nêm 1 goc bằng

Chi dẫn : Chon ham ưng suất co dang :

(r, ) = Arsin +Brcos

Trong đo A, B la cac hằng số.

7-2. Hãy xac đinh ưng suất trong nêm như trên hinh nêu co mômen Mo tac dung tai đinh nêm . Chon ham ưng suất dang:

(r,)=Arsin + Brsin2

Trong đo A ,B la cac hằng số.

P

r

y

M

r

y


7-3.Cho nêm chiu lưc như hinh

Hãy xac đinh trang thai ưng suất trong nêm =const.

Lấy ham ưng suất dang :(r, )= r3 (Acos3 + Bsin3 +

Ccos +D sin )

Trong đo A,B,C,D la cac hằng số. HÌNH (7-18)

r

q= r

r


KẾT THÚC MÔN HỌC !KẾT THÚC MÔN HỌC !

bai giang chmtlt

Education