bahan ajar 2

Buku

Kerja 2 Perkalian Titik dan Silang

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Created by: Rahima & Anny

24

PERKALIAN TITIK DAN SILANG

Perkalian Titik

Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca:

titik ).

Untuk lebih jelas, berikut didefinisikan perkalian titik pada bidang:

Secara geometri:

didefinisikan sebagai perkalian antara besarnya vektor-vektor dan

dan cosinus sudut antara keduanya.

.... 2.1

Secara analitik:

Misalkan dan adalah dua vektor pada bidang

dengan sistem koordinat x dan y, maka didefinisikan:

... 2.2

Sedangkan vektor pada bidang dengan sistem koordinat x, y, dan z,

dimana dan , maka didefinisikan:

... 2.3

Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik

URAIAN MATERI

Hasil kali titik dari dua

vektor menghasilkan

skalar

Buku




25

Coba Anda perhatikan gambar berikut!

Apa yang Anda lihat pada gambar tersebut? Pada gambar tampak seorang

anak sedang mendorong meja. Jika meja yang didorongnya bergerak, maka

anak tersebut telah melakukan usaha.

Namun, bagaimana dengan gambar di samping? Tampak pada gambar

tersebut, seseorang sedang mendorong tembok.

Apakah temboknya bergeser? Jika kita manusia biasa

bukan superman, pastinya tembok tersebut tidak

akan bergeser. Karena temboknya tidak bergeser,

maka kita tidak melakukan usaha.

Jadi, usaha adalah energi yang disalurkan gaya ke

sebuah benda sehingga benda tersebut bergerak. Sekarang perhatikan

gambar di bawah ini!

Apa yang dapat Anda lihat dari gambar tersebut?

Gambar tersebut menunjukkan sebuah objek yang diberi gaya . Objek

tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke titik B . Usaha untuk gaya

konstan tersebut dirumuskan sebagai berikut.

, : sudut antara gaya dan

Dengan menggunakan definsi perkalian titik 2.1, maka diperoleh

A B

s

Buku




26

Jadi, usaha merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya dengan

perpindahan .

Perkalian Vektor-vektor Satuan

Dengan menggunakan definisi 2.1, didapatkan:

Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dengan

menggunakan definisi di atas dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di

bawah ini.

Tabel 1. Hasil perkalian titik dari vektor-vektor satuan.

.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Sifat-sifat Perkalian Titik Vektor

Berikut adalah sifat-sifat perkalian titik vektor.

z

y

x

Buku




27

Bukti:

Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh


Karena adalah bilangan real, maka

, , dan

Sehingga


Sifat-sifat perkalian titik:

Misalkan , , dan adalah tiga buah vektor dan adalah bilangan real,

maka berlaku:

hukum komutatif

hukum distributif

Jika , dimana dan adalah vektor-vektor tak nol, maka

(ketaksamaan Schwarz)

Buku




28

Berdasarkan definisi 2.2, maka

Pembuktian iv, v, dan vi dijadikan tugas untuk Anda.

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini

Contoh 1

Buktikan bahwa i i = j j = k k = 1, i j = 0, j k =0, k i = 0. (Gunakan

definisi perkalian titik)

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut

Dari gambar terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang sama

adalah . Sedangkan vektor yang berbeda membentuk sudut .

Berdasarkan definisi vektor, maka

CONTOH SOAL

Buku




29

Contoh 2

Jika A = A1i + A2j + A3k dan B = , maka tunjukkan bahwa

Penyelesaian

Karena dan semua hasil kali titik lainnya nol, maka

Contoh 3

Jika , tentukan

a.

b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B

Penyelesaian

a.

b. Berdasarkan definisi A B = |A||B| cos , dengan adalah sudut yang

dibentuk oleh A dan B. Maka

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong

Latihan 1

Jika dan , carilah:

a.

b.

c.

LATIHAN TERBIMBING

Buku




30

d.

e.

Penyelesaian

a.

b.

c.

d.

maka

e.

Latihan 2

Diketahui dan , carilah sudut yang dibentuk oleh

A dan B

Penyelesaian

Berdasarkan definisi A B = |A||B| cos , dengan adalah sudut yang

dibentuk oleh A dan B. Maka

Latihan 3

Tentukan usaha yang dilakukan oleh seorang anak dengan

untuk memindahkan benda dari titik P(-1, 2, 3) ke Q(5, 6, 7)

Penyelesaian

Buku




31

dari gambar diperoleh bentuk umum usaha

maka,

Latihan 4

Untuk harga a manakah dan saling tegak

lurus?

Penyelesaian

Dua vektor saling tegak lurus jika ... . ... = 0

Sehinggga

... - ... - 4 = 0

(a + ...) (... - ...) = 0

a = ... dan a = ...

Latihan 5

Carilah proyeksi vektor pada vektor

Penyelesaian

Proyeksi A pada B = GH = EF = , b adalah vektor satuan. Maka

P Q

r

F

s

Buku




32

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia

Latihan 1

Hitunglah

(a) ,

(b) ,

(c)

Penyelesaian

Latihan 2

Carilah sudut antara (a) dan , (b)

dan

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




33

Latihan 3

Carilah sudut lancip yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik-titik

(1, -3, 2) dan (3, -5, 1) dengan sumbu koordinat

Penyelesaian

Latihan 4

Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor

dan . Tentukan sudut-sudut dari segitiga ini.

Penyelesaian

Buku




34

Latihan 5

Carilah proyeksi vektor pada garis yang melalui titik-titik (2, 3,-1)

dan (-2, -4, 3)

Penyelesaian

Buku




35

Kunci Jawaban

Latihan 1 : (a) 0, (b) -6, (c) 1

Latihan 2 : (a) , (b)

Latihan 3 :

Latihan 4 :

Latihan 5 : 1

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan

dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Buku




36

Perkalian Silang

Perkalian silang dua vektor dan dituliskan dengan (dibaca silang

).

Coba lihat gambar di samping ini!

Coba tebak gambar apakah itu?

Ya, kincir air. Tahukah Anda, kecepatan linear

dari kincir air tersebut sama dengan kecepatan

sudut kali jari-jari kincir tersebut.

Perhatikan gambar berikut!

Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan dengan jari-jari r.

Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu adalah dengan sudut

yang dibentuk adalah (dalam radian). Hubungan dan diberikan oleh

. Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar kecepatan linier

diberikan oleh

Besaran

disebut sebagai kecepatan sudut yang arahnya diberikan

oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi, hubungan

antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh

Materi pokok pertemuan ke 4: 2. Perkalian silang

3. Perkalian rangkap tiga

URAIAN MATERI

r s

Gambar . Kecepatan Kincir Air

Buku




37

Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama dengan kecepatan

sudut kali silang vektor kedudukan dari jari-jari lingkaran.

Berikut ini didefinisikan perkalian silang.

Secara geometri

Perkalian silang dari dua vektor dan adalah sebuah vektor

(baca silang ), yang besarnya adalah hasil kali antara besarnya dan

dan sinus sudut antara keduanya.

... 2.6

Dimana adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari

Secara analisis

Misalkan dan , maka perkalian silang

dari dua vektor dan didefinisikan dengan

... 2.7

Dengan menggunakan definisi 2.6, maka diperoleh:

Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan pada bidang dengan

menggunakan definisi dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di bawah ini.

s

z

y

x

Buku




38

Tabel 2. Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan

0

0

0

Sifat-sifat Perkalian Silang Vektor

Berikut sifat-sifat perkalian silang:

Bukti:

Pertama, kita misalkan , , dan

. Maka

ii.

Dengan menggunakan definisi 2.7, diperoleh

Sifat-sifat perkalian silang

Misalkan , , dan adalah vektor-vektor dan adalah bilangan real,

maka berlaku:

a. tidak berlaku hukum komutatif

b. hukum distributif

c. , m skalar

d.

e. Hasil dari sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi

dan

f. Jika dan dan bukan vektor nol, maka

Buku




39

iv.

Berdasarkan definisi perkalian silang 2.7, maka

Pembuktian i, iii, v, dan vi dijadikan tugas untuk Anda.

Perkalian Rangkap Tiga

Perkalian titik dan perkalian silang pada tiga buah vektor dapat

menghasilkan hasil kali yang mempunyai arti dalam bentuk-bentuk berikut,

yaitu , dan .

Berikut sifat-sifat perkalian tripel pada vektor.

Buku




40

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini

Contoh 1

Jika A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, buktikan bahwa

Penyelesaian

CONTOH SOAL

Sifat-sifat perkalian rangkap tiga

Misalkan , , dan adalah vektor-vektor, maka berlaku:

a.

b. Hasil dari merupakan volume

sebuah paralelepipidum dengan , , dan sebagai rusuk-rusuknya

atau negatif dari volume tersebut. Positif atau negatif dari volume

tersebut sesuai dengan apakah , , dan membentuk sistem

tangan kanan atau tidak.

Jika , , dan

, maka

c. tidak berlaku hukum asosiatif

d.

Hasil kali sering disebut hasil kali tripel skalar dan dapat

dinyatakan dengan atau .

Hasil kali disebut hasil kali tripel vektor

Buku




41

Contoh 2

Jika dan . Tentukan (a) (b) Sudut yang

dibentuk oleh a .

Penyelesaian

a

(b) s

s

s

s

s

Jadi sudut antara dan adalah .

Contoh 3

Hitunglah luas jajaran genjang yang sisi-sisinya adalah dan

Penyelesaian

Luas jajaran genjang

s

Buku




42

=

Jadi luas jajar genjang adalah 35.

Contoh 4

Jika a .

Buktikanlah bahwa

Penyelesaian

Contoh 5

Jika a . Tentukan

Penyelesaian

= 28

Contoh 6

Tentukanlah volume paralelepipidum dengan rusuk-rusuknya adalah vektor-

vektor : a .

Buku




43

Penyelesaian

volume paralelepipidum= (tinggi )(luas

jajaran genjang )

Kerjakan latihan berikut dengan melengkapi bagian yang kosong

Latihan 1

Jika dan . Carilah

Penyelesaian

=

Latihan 2

Jika , , dan . Carilah

Penyelesaian

=

LATIHAN TERBIMBING

Buku




44

Latihan 3

Carilah luas segitiga yang titik-titik sudutnya (3,-1,2), (1,-1,-3), dan (4,-3,1)

Penyelesaian

Gambar 12

AB x AC

Luas segitiga ABC = (Luas jajaran genjang)

Latihan 4

Carilah volume paralelepipedum yang sis-sisinya dinyatakan oleh

, , dan .

Penyelesaian

A

B

C

Buku




45

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia

Latihan 1

Hitunglah masing-masing (a)

Penyelesaian

Latihan 2

Jika , , dan Carilah

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




46

Latihan 3

Carilah luas jajar genjang yang memiliki diagonal-diagonal

dan

Penyelesaian

Latihan 4

Sederhanakanlah (A + B) (B + C) x (C + A)

Penyelesaian

Buku




47

Latihan 5

Buktikan bahwa (A x B) (C x D) + (B x C) (A x D) + (C x A) (B x D)

Penyelesaian

Buku




48

Kunci Jawaban

Latihan 1 : (a) , (b)

Latihan 2 :

Latihan 3 :

Latihan 4 : 2A B x C

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan

dari materi ini pada tempat kosong di bawah

bahan ajar 2

Documents