bacalaureat formule matematice

Profesor Mirela-Gabriela Blaga

Elev………………………………………

1

BACALAUREAT FORMULE MATEMATICE

Funcţia de gradul întâi

f : , f(x) = ax + b , a,b , a 0

Dacă a > 0, atunci f este strict crescătoare. Dacă a < 0, atunci f este strict descrescătoare.

Intersecţia graficului f cu axa Ox f(x) = 0 ax + b = 0 x = - punctul A(- ,0)

Intersecţia graficului f cu axa Oy x = 0 şi y = f(0) punctul B(0, b)

Funcţia de gradul al doilea

f : , f(x) = ax2 + bx + c , a,b,c , a 0

Ecuaţia f(x) = 0 are rădăcinile x1,x2 = , dacă .

Vârful parabolei are coordonatele V( ).

Axa de simetrie este dreapta de ecuaţie x = .

minf/maxf =

imaginea funcţiei/mulţimea valorilor funcţiei

forma canonică f(x) = a

Relaţiile lui Viète , unde sunt rădăcinile ecuaţiei ax2 + bx + c = 0

x12 + x22 = S2 – 2P x13 + x23 = S3 – 3PS f(x) = ax2 + bx + c = a(x- )(x- ) = a(

Intersecţia graficului f cu axa Ox f(x) = 0

Intersecţia graficului f cu axa Oy x = 0 şi y = f(0) punctul B(0, c)

f(x) > 0, a > 0, < 0

f(x) 0, a > 0, 0

f(x) 0, a 0, < 0

Semnul funcţiei de gradul al doilea x dacă - -

ax2 + bx + c

>0 semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

=0 semnul lui 0 semnul lui a

<0 semnul lui a


Elev………………………………………

2

Ex. x -3 -1

x2 + 4x + 3 + + 0 - - 0 + +

x 1 3

- x2 + 4x - 3 - - 0 + + 0 - -

x 2

x2 - 4x + 4 + + + 0 + + +

x

x2 + x + 1 + + +

Funcţii Compunerea funcţiilor g: C A şi f: A B este funcţia f g: C B, f g(x) = f(g(x)).

Ex. Fie f, g: , f(x) = 2x + 5 şi g(x)=3x –2. Să se determine f f şi f g.

f f: , f f(x) = f(f(x))=f(2x + 5)=2(2x + 5)+5=4x+15

f g: , f g(x) = f(g(x))=f(3x - 2)=2(3x - 2)+5=6x+1

f(-x) = f(x) funcţie pară f(-x) = - f(x) funcţie impară f(x + T) = f(x) funcţie periodică Funcţia f: A B este injectivă (1) dacă din , f(x1) = f(x2) x1 = x2

f este injectivă (1) dacă din , x1 x2 f(x1) f(x2)

f este injectivă (1) dacă (x) > 0 sau (x) < 0

Funcţia f: A B este surjectivă(2) dacă a.î. f(x) = y

f este surjectivă(2) dacă f(A) = B Din (1) şi (2) f bijectivă f inversabilă

f: A B, f(x) =y, f bijectivă :B A, (y) = x

Progresii

Progresia aritmetică Progresia geometrică formula termenului general an = an-1 + r an = an-1 q, a1,q 0

formula termenului general an = a1 + (n-1)r an = a1qn-1 suma primilor n termeni Sn =

Sn

Sn = a1(1+q+q2+...+qn-1) = a1 ,

q 1

Sn =na1, q=1 numărul termenilor n =

proprietate

proprietate a,b,c 2b = a+c a,b,c b2 = ac

Probabilitatea P= [ 0, 1]


Elev………………………………………

3

Metode de numărare

Numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n.

Ex. Să se determine numărul submulţimilor mulţimii A={0,1,2}. R.

Numărul submulţimilor cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente este Cnk 0 n, n

Ex.1. Să se determine numărul submulţimilor cu două elemente ale mulţimii A={0,1,2}. R. C32 Ex.2. Să se determine numărul elementelor unei mulţimi ştiind că aceasta are exact 45 de submulţimi cu două elemente.

R. Cn2= 45 =45 n(n-1)=90 n(n-1)=10 9 n=10

Numărul funcţiilor f: A B, A, B

nevide, =n , =m este mn.

Ex. Să se determine numărul funcţiilor f: {0,1,2} {5,6,7,8}.

R. , unde 4= şi 3=

Numărul funcţiilor injective f: A B,

=n , =m este Amn .

Ex. Să se determine numărul funcţiilor injective f:{0,1,2} {5,6,7,8}.

R. A43, unde 4= şi 3=

Numărul funcţiilor strict monotone f: A B, =n , =m este Cmn .

Ex. Să se determine numărul funcţiilor strict crescătoare f:{0,1,2} {5,6,7,8}.

R. C43, unde 4= şi 3=

Numărul funcţiilor bijective f: A A

=n este n!.

Ex. Să se determine numărul funcţiilor bijective f:{0,1,2} {0,1,2}.

R. 3!

Numărul dreptelor determinate de n puncte distincte, oricare trei necoliniare este Cn2.

Ex. Să se determine numărul dreptelor care trec prin 5 puncte distincte, oricare trei necoliniare. R. C52

Numărul diagonalelor unui poligon convex cu n laturi este Cn2– n.

Ex. Să se determine numărul diagonalelor unui poligon convex cu 5 laturi. R. C52-5

Numărul triunghiurilor determinate de n puncte distincte, oricare trei necoliniare este Cn3.

Ex. Să se determine numărul triunghiurilor care se pot forma cu 5 puncte distincte, oricare trei necoliniare. R. C53

Mulţimea numerelor reale

= 1, a

, a , n

de n ori

, a 0

, , n , n 2


Elev………………………………………

4

x x = [x] + {x} , [x] , {x} [ 0, 1) [x] x [x] + 1

[x] parte întreagă Ex. x= 2,7 [x]= 2

x= - 2,7 [x]= -3

x= [x]= 1

{x} parte fracţionară

Ex. x= 2,7 {x}= 0,7

x= - 2,7 {x}= 0,3

x= {x}=

ecuaţia exponenţială ax = b x = loga b, a (0, )\{1}, b>0

ecuaţia logaritmică loga x = b x = ab, a (0, )\{1}, x>0

Proprietăţile logaritmilor

loga 1=0 Ex. log2 1=0 loga a=1 Ex. log5 5=1 loga an=n Ex. log3 9=log3 32=2 ln1=0 lne=1 lg10=1 lg1=0

Ex.

= Ex. =

= Ex. =

= sau = sau = Ex. =

loga x + loga y = loga xy Ex. log2 6 + log2 = log2 6 = log28 = log223 = 3

loga x - loga y = loga Ex. log2 6 – log2 3 = log2 = log22 = 1

Ex.

Combinatorica 0!=1 n!=1 2 ..... n, n

Permutări Pn = n!

Aranjamente Ank = , 0 n

Combinări Cnk = , 0 n

formula combinărilor complementare: Cnk = Cnn-k Binomul lui Newton este (a+b)n =Cn0an + Cn1 an-1b +...+Cnnbn, a,b , n .

Numărul termenilor din dezvoltarea binomială este n+1. formula termenului general/de rang k: Tk+1 = Cnk an-kbk , k =

suma coeficienţilor binomiali: Cn0+ Cn1 +...+Cnn= 2n suma coeficienţilor binomiali ai termenilor de rang impar/par: Cn0+ Cn2 +... = 2n-1 = Cn1+ Cn3 +...


Elev………………………………………

5

Binomul lui Newton Triunghiul lui Pascal (a+b)0 =1 1 1 (a+b)1 =a+b C10 C11 1 1 (a+b)2 =a2+2ab+b2 C20 C21 C22 1 2 1 (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 C30 C31 C32 C33 1 3 3 1

Mulţimea numerelor complexe Forma algebrică a unui număr complex este z = a + ib, a,b . Rez=a, Imz=b, i2= -1

Conjugatul lui z este = a – ib .

Modulul numărului complex z este = .

= , =

Forma trigonometrică a unui număr complex este z = r(cost + isint), unde r = , r 0 şi

t=arctg +k , k= , t [0, 2 ).

Formula lui Moivre: (cost + isint)n= cosnt + isinnt

Puterile lui i: , n

Formule trigonometrice sin2x + cos2x = 1 , x

sin2x = 2sinxcosx cos 2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x –1 = 1 - 2 sin2x sin(- x)= - sinx cos(- x)= cosx tg (- x) = - tgx ctg(- x)= - ctgx sin(x+2k )=sinx , k

cos(x+2k )=cosx

tg (x+k ) =tgx

ctg(x+k )=ctgx

sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa sin(a - b) = sinacosb - sinbcosa cos(a + b) =cosacosb - sinasinb cos(a - b) =cosacosb + sinasinb

sina + sinb=2sin cos

sina - sinb=2cos sin

cosa + cosb=2cos cos

cosa - cosb= - 2sin sin

tg(a+b) =

tg(a - b) =

tg(a+b+c) =

tg 2x =

tg x =

ctg x =

sinx =

cosx =

arcsinx + arccosx =

arctgx + arcctgx =


Elev………………………………………

6

x x sinx cosx tgx ctgx 0 0 0 1 0 -

30

45

1 1

60

90

1 0 - 0

180 0 -1 0 -

Ecuaţii trigonometrice

sinx=a, a x=(-1)karcsina+k , k

cosx=a, a x= arccosa+2k , k

tgx=a, a x=arctga+k , k

ctgx=a, a x=arcctga+k , k

arcsin(- a) = - arcsina arccos(- a) = – arccosa

arctg(- a) = - arctga arcctg(- a) = – arcctga

Dreapta Fie punctele A ( xA , yA ) , B ( xB , yB ).

distanţa AB =

ecuaţia dreptei AB : = şi panta mAB =

ecuaţia dreptei determinată de un punct A şi o pantă d: = m (

ecuaţia generală a dreptei d: ax + by + c = 0 şi panta m = -

d1 d2 m1 = m2

d1 d2 m1 m2 = -1

M mijloc xM = , yM =

Distanţa de la punctul A (x0 , y0) la dreapta d: ax + by + c = 0 este d(A,d) = .

Centrul de greutate G al triunghiului ABC are coordonatele xG = , yG = .

ABCD paralelogram = , =

A,B,C coliniare AB AC sau a a.î. = a sau = 0

În triunghiul ABC dreptele AA’ , BB’ , CC’ sunt concurente, atunci = 1. (Teorema lui Ceva)

Fie triunghiul ABC şi M, N, P trei puncte coliniare şi distincte, situate pe dreptele AB, BC, CA. Atunci

= 1. (Teorema lui Menelau)


Elev………………………………………

7

Vectori

= x + y modulul vectorului este =

= + , = +

= cos( ) = x1 x2 + y1 y2

sau , coliniari =

x1 x2 + y1 y2 = 0

cos( ) =

= (xB– xA ) + (yB – yA )

= 0

+ = relaţia lui Chasles

= -

mediana dusă din A în triunghiul ABC

+ + = , unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC

Rezolvarea triunghiului

Teorema sinusurilor: = 2R, R-raza cercului circumscris triunghiului ABC

Teorema cosinusului: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA

cos A =

Formule pentru aria triunghiului

S =

S=

S = , unde p =

S= ,

raza cercului înscris în triunghi: r = , unde p =

raza cercului circumscris triunghiului: R =

Teorema medianei: , unde este mediana corespunzătoare unghiului A al ABC

Polinoame

Teorema împărţirii cu rest f : g f = gq + r, grad r < grad g

Teorema restului f : (x-a) r = f(a)

Teorema lui Bézout f (x-a) f(a) = 0


Elev………………………………………

8

Schema lui Horner pentru f = ax3 + bx2 + cx + d împărţit la x -

(ax3+bx2+cx+d) : (x - ) x = şi aplicăm schema

x3 x2 x1 x0

a b c d x1 a x1a+b x1(x1a+b)+c x1[x1(x1a+b)+c ]+d

Ex. Să se afle câtul şi restul la împărţirea lui 2x3 + 3x2 - 4x + 5 prin x – 1. x – 1 = 0 x = 1 aplicăm schema

x3 x2 x1 x0

2 3 - 4 5 1 2 5 1 6 = restul

Câtul este 2x2 + 5x + 1, iar restul este 6. Observaţie. Pentru aflarea restului putem aplica T. Bézout: f( 1 ) = 2 + 3 – 4 + 5 = 6.

ax3 + bx2 + cx + d = 0, a 0, x1,2,3 sunt rădăcinile ecuaţiei

Relaţiile lui Viète

x12 + x22 + x32 = S12 – 2S2 x1 rădăcină a ecuaţiei ax3+bx2+cx+d=0, a 0 ax13+bx12+cx1+d=0

x1 rădăcină a polinomului f f(x1) = 0

Dacă z1,2 sunt rădăcinile ecuaţiei z2+z+1=0, atunci sunt şi rădăcinile ecuaţiei z3-1 =0, pentru că z3-1 = (z-1)(z2+z+1).

Ecuaţia Forma ecuaţiei Mod de rezolvare Ecuaţia binomă xn=z

xn= 1

scriem z=r(cost+isint),r 0, t [0, 2 )

xk = (cos + isin ) , k=

xk = cos + isin , k=

rădăcinile de ordinul n ale unităţii Ecuaţia bipătrată ax4+bx2+c=0 notăm x2=t, obţinem at2+bt+c=0 şi rezolvăm

ecuaţia de gradul al doilea, apoi revenim la notaţie

Ecuaţia reciprocă de grad 3 ax3+bx2+bx+a=0 admite soluţia x1 = - 1, apoi aplicăm schema lui Horner

Ecuaţia reciprocă de grad 4 ax4+bx3+cx2+bx+a=0 împărţim ecuaţia cu x2, x , notăm x+ = t ,

x2+ = t2 – 2, ...

bacalaureat formule matematice

Documents