[ Correction du Baccalauréat STI2D Examen Blanc \

11 décembre 2012

EXERCICE 1 3 points

Pour tout entier naturel n, on pose un = 3n2 +2n.

1. On conjecture que la limite de la suite un lorsque n tend vers +∞ est +∞ :

limx →+∞

un = +∞.

2. a. À l’aide d’un algorithme on trouve N = 18. On peut vérifier que u17 = 901et u18 = 1008.

b. Les points pour lesquels un > 103 sont représentés par des croix :

1000

2000

3000

4000

5000

5 10 15 20 25 30 35−5

b b b b b b b b b b b b b b b b b b × × ××

××

××

××

××

××

××

××

××

××

3. Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f (x) = 3x2 +2x.

a. f ′(x) = 6x +2.Pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞[, f ′(x) est positive. On déduit que lafonction f est croissante sur [0 ; +∞[.

x

f ′(x)

f (x)

0 +∞

+

00

+∞+∞

b. On remarque tout d’abord que f (n) = 3n2 +2n = un .D’après la question 3.a., la fonction f est croissante sur [0 ; +∞[, doncla suite (un) est également croissante. Et on déduit que pour tout entiernaturel n > 18 on a un > 103.

Exercice 2 3 points

Pour tout entier naturel n on définie la suite vn par :

vn =2

n2 +3

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco

1.n 0 10 50 100 150vn

23

2103 0,000799 0,0001999 8,9 ·10−5

n 200 250 300 350 450vn 5 ·10−5 3 ·10−5 2,2 ·10−5 1,6 ·10−5 9,9 ·10−6

2. a. Soit n un entier naturel, n2 > 0 donc n2 +3 > 3, c’est-à-dire à plus forteraison n2 +3> 0. Donc on déduit 2

n2+3> 0.

Donc pour tout entier naturel n, on a vn > 0

b. Soit n un entier naturel, en utilisant la question précédente on peut écrireque :|vn |6 10−4 est équivalent à vn 6 10−4. Résolvons

vn 6 10−4

⇐⇒2

n2 +36 10−4

⇐⇒n2 +3

2>

1

10−4

Car 2n2+3

est positif d’après la question 1..

vn 6 10−4 ⇐⇒ n2 +3> 2 ·104

⇐⇒ n2> 2 ·104 −3

⇐⇒ n >

√

2 ·104 −3

⇐⇒ n > 141,41

Donc on déduit que l’entier N à partir duquel vN 6 10−4 est N = 142.On vérifie que :v141 = 2

1412+3≃ 1,0058 ·10−4

et v142 = 21422+3

≃ 9,9 ·10−5 .

Exercice 3 2 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = 2x − x ln x.Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : g (x) = 2− ln(3x).

1. f (3e) = 2×3e−3e ln(3e) = 6e−3e (ln3+ ln e) = 6e−3e(ln3+1)−6e−3e ln3−3e= 3e−3e ln 3.Réponse b.

2. Soit x un réel de l’intervalle ]0 ; +∞[ Résolvons l’équation f (x) = 0 :

f (x) = 0

⇐⇒ 2x − x ln x = 0

⇐⇒ x(2− ln x) = 0

⇐⇒ x = 0 ou 2− ln x = 0

⇐⇒ x = 0 ou 2 = ln x

⇐⇒ x = 0 ou ln(e2) = ln x

⇐⇒ x = 0 ou e2 = x

Or 0 ∉]0 ; +∞[, donc l’ensemble des solutions de l’équation est S ={

e2}

ré-ponse b.

Corrigé Examen Blanc 2 11 décembre 2012

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco

3.

limx →+∞

3x =+∞,donc limx →+∞

ln(3x) =+∞.

Donc on déduit limx →+∞

− ln(3x) =−∞,et par somme limx →+∞

(2− ln(3x)) =−∞.

Réponse c.

4. Une primitive de la fonction g sur ]0;+∞[ est la fonction F définie sur ]0;+∞[par F (x)= 3x − x ln(3x) : en effet

F ′(x) = 3−(

ln(3x)+ x3

3x

)

= 3− (ln(3x)+1) = 2− ln(3x)

Réponse b..

EXERCICE 4 4 points

Partie A

Soit la fonction f définie sur [0,5 ; 25] par : f (x) = 8,68× ln x +93,28.

1. a. La fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0,5; 25] est :

f ′(x) =8,68

x.

b. Pour tout réel x de l’intervalle [0,5 ; 25] la fonction dérivée f ′ est positive.

c. On déduit le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25] :

x

f ′(x)

f (x)

0.5 25

+

f (0.5)f (0.5)

f (25)f (25)

2.x 0,5 1 2 5 10 16 25

f (x) 87 93 99 107 113 117 121

3.

90

100

110

120

130

×

A = (14, 116.19)

×

B = (21.76, 120.01)

Corrigé Examen Blanc 3 11 décembre 2012

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco

Partie B

1. a. Le point A représente la réponse 3 du logiciel et à partir du point B laréponse 4.

b. Pour un volume sonore supérieur à 120 décibels la pression supporté estsupérieur à e3,08 ≃ 21,76 bars.

2. D’après la question précédente, la pression que l’oreille de la personne subitsi elle est soumise à une intensité sonore de 120 décibels est d’environ 21,76bar.

Exercice 5 4 points

La fonction g définie sur ]0 ; +∞[, dont la représentation graphique C obtenue surl’écran d’une calculatrice est donnée sur la figure si dessous.

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C

∆

1. Graphiquement, on détermine limx → 0

g (x)=+∞ et limx →+∞

g (x)= 1.

2. Graphiquement on peut donner un tableau de signe de g (x) quand x variedans l’intervalle ]0 ; +∞[:

x

g (x)

0 1 3 +∞

+ 0 − 0 +

.

3. On admet que pour tout x de ]0 ; +∞[,

g (x) =ax2 +bx +c

x2,

où a, b ; c sont trois constantes réels.

a.

limx →+∞

ax2 +bx +c

x2= a.

D’après la question 1. on déduit la valeur de a = 1.

b. Graphiquement on lit g (1) = 0 et g (3) = 0.Dans la suite de l’exercice on admet que la fonction g est de la forme

g (x) =x2 +bx +c

x2.

Corrigé Examen Blanc 4 11 décembre 2012

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco

c.

g (1)=12 +b ×1+c

12= 1+b +c et g (3) =

33 +b ×3+c

32=

9+3b +c

9

On déduit de la question 3.b. le système de deux équations à deux incon-nues suivant :

(S)

1+b +c = 0

9+3b +c

9= 0

d. On résout le système en soustrayant la première ligne à la seconde onobtient :

(S)⇔{

1+b +c = 0

9+3b +c = 0⇔

{

1+b +c = 0

8+2b = 0⇔

{

1+b +c = 0

2b =−8⇔

{

c =−b −1

b =−4⇔

{

c = 3

b =−4

Donc au final, on conclut que :

g (x)=x2 −4x +3

x2

Exercice 6 4 points

Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = 1+ sin (2x).

1. Un primitive F de la fonction f est donnée par :

F (x) = x −1

2cos(2x).

2.

Vm =1

π

(F (π)−F (0))=1

π

(

π−1

2cos(2π)−

(

0−1

2cos 0

))

=1

π

(

π−1

2+

1

2

)

= 1

Vm est appeler la valeur moyenne de la fonction f sur [0 ; π]

3. a. D’après la formule sin2(X ) = 1−cos(2X )2 , on déduit que pour tout x de R,

sin2 (2x) =1−cos (4x)

2.

b.(

f (x))2 = (1+ sin (2x))2 = 1+2sin(2x)+(sin(2x))2 = 1+2sin(2x)+

1−cos (4x)

2

Donc on obtient :(

f (x))2 = 3

2 +2sin(2x)−1

2cos (4x)

c. Une primitive G de(

f (x))2 sur R est donnée par :

G(x) =3

2x +cos(2x)+

1

2·

sin(4x)

4=

3

2x +cos(2x)+

1

8sin(4x).

d.

A =1

π

(G(π)−G(0))

A =1

π

(

3

2π+cos(2π)+

1

8sin(4π)−

(

3

2×0+cos 0+

1

8sin 0

))

A =1

π

(

3

2π+1−1

)

A =3

2

A est la valeur efficace de la fonction f sur [0 ; π].

a =p

A =√

3

2.

Corrigé Examen Blanc 5 11 décembre 2012