bab i deret tak hingga dan deret pangkat
DESCRIPTION
fismatTRANSCRIPT
-
download on www.enggar.tk
BAB 1
DERET TAK HINGGA dan DERET PANGKAT
1.1. Pendahuluan
Suatu proses yang terjadi berulang dengan waktu dapat dirumuskan dalam bentuk
deret. Banyak persoalan fisika yang dirumuskan melalui deret, diantaranya
peristiwa peluruhan bahan radio aktif, pencemaran lingkungan karena proses
pengecatan, pertumbuhan bakteri, dan lain-lain.
Bab ini akan membahas tentang notasi deret, sifat konvergen dan divergen dari
suatu deret, uji konvergensi dan divergensi, deret bolak-balik (alternating series),
dan deret pangkat.
Pada akhir bab ini dibahas tentang penjabaran suatu fungsi ke dalam bentuk deret,
dan contoh-contoh deret.
Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat mengenal bentuk deret,
melakukan uji konvergensi dan divergensi pada suatu deret, dan menjabarkan
suatu fungsi ke dalam bentuk deret.
1.2. Definisi dan Notasi
Deret merupakan suatu bilangan yang tersusun di dalam bentuk penjumlahan dari
banyak bilangan (tak hingga). Ada deret yang mempunyai nilai terbatas, dan ada
juga yang mempunyai nilai tak hingga. Bilangan penyusun deret dapat berupa
rumus tertentu (misal deret pangkat), juga ada yang berupa bilangan yang tak
dapat dirumuskan.
Contoh :
4
1
3
1
2
11
Dalam banyak bentuk, deret dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk perulangan
(looping) yang bergantung pada suatu nilai variabel yang membesar ketika
-
download on www.enggar.tk
berulang. Seperti contoh di atas, dapat dilihat penyebut dari bilangan penyusunnya
membesar dengan beda satu, artinya setiap perulangan bilangan penyusunnya
(penyebutnya) ditambah satu. Untuk merumuskan deret di atas dapat digunakan
variabel n yang membesar dengan beda satu, digunakan sebagai penyebut
bilangan penyusun deret, dan operasi penjumlahan digunakan notasi
1n
atau
sigma yang artinya perulangan n dimulai dari satu sampai tak hingga. Perumusan
deret di atas adalah :
4
1
3
1
2
11
n
1
1n
Contoh lain :
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
2
1
1nn
24
1
6
1
2
11
!n
1
1n
n
1
4
1
3
1
2
11
n
1 1n
1n
1n
1.3. Deret Konvergen dan Deret Divergen
Tijau suatu deret berikut :
n432
0n
n
2
1
2
1
2
1
2
11
2
1
-
download on www.enggar.tk
Namakan deret dengan Sn :
n
n2
1
16
1
8
1
4
1
2
11S
Kita kalikan Sn dengan , akan didapat :
1n
n2
1
16
1
8
1
4
1
2
1S
2
1
Jumlahkan Sn dengan (-) Sn, akan didapat :
n
n2
1
16
1
8
1
4
1
2
11S
1n
n2
1
16
1
8
1
4
1
2
1S
2
1
+
1n
n2
11S
2
1
dengan demikian kita dapat menghitung nilai deret di atas :
2
1
2
11
1n
nS
2SlimS nn
Oleh karena nilai S dapat dihitung dan bernilai terbatas, maka deret tersebut
dinamakan deret konvergen. Jika nilai S tidak dapat dihitung atau bernilai tak
hingga maka deretnya dinamakan deret divergen.
-
download on www.enggar.tk
1.4. Uji Deret Konvergen dan Divergen
Suatu deret dapat dikatakan konvergen bila telah diuji dengan beberapa jenis uji
yang dapat memberikan kepastian tentang sifat konvergen. Ada beberapa jenis uji
konvergensi bagi deret, diantaranya :
a. Uji Awal (Preliminary Test)
Uji ini dilakukan pertama kali sebagai uji apakah deret bisa bersifat konvergen
atau bahkan divergen. Melalui uji ini, suatu deret dapat langsung dinyatakan
bersifat divergen, atau deret masih memiliki kemungkinan bersifat konvergen dan
harus dilakukan uji lain untuk mementukan sifat konvergen dari deret tersebut.
0a lim nn , ada kemungkinan deret konvergen
0a lim nn , deret pasti divergen
Tinjau suatu deret berikut :
(i).
4
1
3
1
2
11
n
1
1n
0a lim nn , deret belum pasti divergen tetapi memberikan
kemungkinan deret konvergen (walaupun akhirnya
deret divergen). Harus dilakukan uji lain yang dapat
memastikan deret konvergen.
(ii).
4
1
3
1
2
11
n
1
1n
1
n!
11
1 lima lim nnn
, deret pasti divergen
ProfesorCross-Out
-
download on www.enggar.tk
b. Uji Perbandingan dengan Deret Lain (Comparison Test)
Setelah melalui uji awal dan ada kemungkinan deret konvergen, dilakukan uji
perbandingan untuk memastikan deret konvergen.
Suatu deret
1nnb yang telah diketahui bersifat konvergen digunakan untuk
membandingakan (uji perbandingan) deret
1nna , dimana
1nna <
1nnb , deret
1nna konvergen
1nna >
1nnb , digunakan uji lain untuk menentukan
1nna konvergen
atau divergen
Tinjau suatu deret berikut :
Telah diketahui bahwa deret
1nn2
1 merupakan deret yang konvergen ( sebagai
deret
1nnb ). Ada deret lain
1n n!
1yang hendak diuji apakah konvergen atau
divergen.
1nnb =
4n
n
3
1nn
1nn 2
1
2
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
2
1
1nna =
4n
3
1n1n n!
1
n!
1
720
1
120
1
24
1
6
1
2
1
1
1
n!
1
-
download on www.enggar.tk
Dapat dilihat, bahwa :
(i). Untuk nilai n mulai dari 4 ke atas berlaku
4nna <
4nnb
(ii). 8
7
8
1
4
1
2
1b
3
1nn
(iii). 24
19
8
7
6
10
6
1
2
1
1
1a
3
1nn
Dengan demikian :
1nna <
1n
n24
19b
Dari hasil diatas maka deret
1nna =
1n n!
1 dinyatakan bersifat konvergen
c. Uji Integral
an
a1
a2
a3
n
1 2 3 4
Luas persegi panjang yang
diarsir menunjukkan nilai :
a1x1 = a1
Nilai
1nna merupakan
jumlah luas semua persegi
panjang tersebut.
-
download on www.enggar.tk
an
a1
a2
a3
n
1 2 3 4
Terlihat bahwa :
1
n dn a <
1nna
Dengan demikian dapat diambil kesimpulan :
(i). Jika
1
n dn a maka
1nna bersifat divergen
(2). Jika
1
n dn a bernilai berhingga, maka gunakan uji yang lain.
Tinjau suatu deret berikut :
4
1
3
1
2
11
n
1
1n
Lakukan integrasi :
nln limdn n
1dn a
11
n n
Luas daerah di bawah kurva
merupakan hasil integrasi :
1
n dn a
-
download on www.enggar.tk
Karena
1n n
1 >
1
n dn a , dan
1
n dn a , maka
1n n
1 bersifat divergen.
d. Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)
Uji ini sering diterapkan pada deret pangkat.
didefinisikan nilai ratio () :
n
1nn
a
a
nnlim
Penentuan deret konvergen atau divergen adalah :
(i). < 1 , deret konvergen
(ii). = 1 , harus digunakan uji yang lain
(iii). > 1 , deret divergen
Tinjau suatu deret berikut :
24
1
6
1
2
11
!n
1
1n
!n
1an , dan !1n
1a 1n
1n
1
a
a
n
1nn
101n
1limlim nnn
Dengan demikian deret
24
1
6
1
2
11
!n
1
1n
bersifat konvergen.
-
download on www.enggar.tk
Contoh lain :
4
1
3
1
2
11
n
1
1n
n
1an , dan 1n
1a 1n
1n
n
a
a
n
1nn
1
n
11
1limlim nnn
Dengan demikian deret
1n n
1 tidak dapat diuji dengan ratio test, dan harus
digunakan uji lain, yakni uji integral seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.
1.5. Deret Bolak-Balik ( Alternating Series )
Deret bolak-balik ditandai dengan tanda (polaritas) an yang selalu berubah tanda
untuk nilai n yang berikutnya, seperti contoh berikut ini.
n
1
4
1
3
1
2
11
n
1 1n
1n
1n
Untuk mengetahui apakah deret konvergen atau divergen, dilakukan uji
konvergensi sebagai berikut :
(i). 0a lim nn
-
download on www.enggar.tk
(ii). n1n aa
Jika suatu deret bolak-balik memenuhi kedua uji di atas dikatakan sebagai deret
konvergen, sebaliknya jika deret bolak-balik tidak memenuhi salah satu atau
kedua uji di atas dikatakan deret divergen.
Tinjau suatu deret berikut :
n
1
4
1
3
1
2
11
n
1 1n
1n
1n
(i). 0n
1lima lim nnn
(ii). n
1a,
1n
1a n1n
Terlihat bahwa untuk semua nilai n berlaku n1n aa
Dengan demikian deret
1n
1n
n
1 bersifat konvergen.
1.6. Deret Konvergen Absolut
Suatu deret dikatakan konvergen absolut jika
(i). Deret dalam bentuk deret bolak-balik bersifat konvergen.
(ii). Deret dalam bentuk bukan deret bolak-balik bersifat konvergen
Contoh :
1n
1n
n
1 merupakan deret bolak-balik yang bersifat konvergen.
1n n
1 merupakan deret bukan bolak-balik yang bersifat divergen.
-
download on www.enggar.tk
Dengan demikian deret
1n
1n
n
1 bersifat konvergen saja, bukan konvergen
mutlak. Deret semacam ini dinamakan deret Konvergen Bersyarat
1.7. Deret Pangkat (Power Series)
Deret pangkat tersusun oleh bentuk nx atau nax . Deret pangkat (Power
Series) dirumuskan sebagai berikut :
nn
33
22
0n10
nn xaxaxaxaaxa
Perumusan lain :
nn
22
0n10
nn a)-(xaa)-(xaa)-(xaaa)-(xa
Untuk mengetahui apakah deret pangkat bersifat konvergen atau divergen
dilakukan :
(i). Uji Awal (Preliminary Test)
(ii). Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)
Tinjau suatu deret berikut :
n
n32
0nn
n
2
x
8
x
4
x
2
x1
2
x
(i). Uji Awal
0
2
xlim
2
x lima lim
n
n
nn
n
nnn
jika 12
x
-
download on www.enggar.tk
(ii). Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)
2
x
x
2
2
x
a
a
n
n
1n
1n
n
1nn
Agar konvergen haruslah :
12
xlim nn atau 2x
Untuk x = 2, deret menjadi :
n
n32
0nn
n
2
2
8
2
4
2
2
21
2
2
Deret ini bersifat divergen
Untuk x = -2, deret menjadi
n
n32
0nn
n
2
2
8
2
4
2
2
21
2
2
Deret ini bersifat divergen
Dikatakan bahwa deret
n
n32
0nn
n
2
x
8
x
4
x
2
x1
2
x
bersifat konvergen untuk 2x .
Interval 2,2 dikatakan sebagai Interval Konvergensi bagi deret tersebut.
Tinjau suatu deret lain sebagai berikut :
n
x1
4
x
3
x
2
x x
n
x1 n1n432
0n
n1n
(i). Uji Awal
0
n
xlim
n
x lima lim
n
n
n
nnn
jika 1x
-
download on www.enggar.tk
(ii). Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)
1n
nx
x
n
1
x
a
a
n
1n
n
1nn
n
Agar konvergen haruslah :
1xlim nn
Dikatakan bahwa deret :
n
x1
4
x
3
x
2
x x
n
x1 n1n432
0n
n1n
bersifat konvergen untuk 1x .
Untuk x = 1, deret menjadi :
n
1
4
1
3
1
2
11
n
1 1n
0n
1n
Deret in bersifat konvergen
Untuk x = -1, deret menjadi :
n
1
4
1
3
1
2
11-
n
1-1 1n
0n
n1n
Deret ini bersifat divergen
Interval konvergensi bagi deret tersebut adalah 1 < x 1
Perumusan deret pangkat seperti di atas dapat berubah menjadi deret geometrik
(geometric series) dengan mengambil nilai an yang sama untuk semua nilai n.
nn
33
22
0n10
nn xaxaxaxaaxa ,
an = a, maka
-
download on www.enggar.tk
n32
0n
nnn axaxaxaxaxaS
Untuk mencari nilai Sn dapat dilakukan proses seperti berikut :
1-n32n axaxaxaxaS
n32n axaxaxaxSx
)x(1 a xaaS x1 nnn
x1
)xa(1S
n
n
x1
aS limS nn
1.8. Penjabaran Fungsi ke dalam Bentuk Deret Pangkat
Suatu fungsi dapat dijabarkan ke dalam bentuk deret pangkat, dalam bentuk deret
Taylor.
0n
nn axaf(x)
nn2
210 a)-(xaa)-(xaa)-(xaa
na merupakan konstanta yang harus dicari dengan jalan mendifferensialkan f(x)
beberapa kali dan mengambil nilai x = a.
1-nn2
321 a)-(xnaa)-(x3aa)-(x2aa(x)'f
2-nn2
432 a)-(xa1-nna)-(x3.4aa)-(x2.3a2a(x)''f
nn a12-n1nn(x)f
Jika diambil nilai x = a, akan didapat :
0af(a)
1a(a)'f
2a2(a)''f
-
download on www.enggar.tk
33 a3!2.3a(a)'''f
dan seterusnya hingga didapat
nnn an!a12-n1nn(a)f
Jika disusun kembali, akan didapatkan :
nn2 a)-(x (a)f!n
1a)-(x a''f
!2
1a)-(x a'faff(x)
Jika a = 0, deret Taylor menjadi deret Maclaurin :
nn2 x(0)f!n
1 x0''f
!2
1 x0'f0ff(x)
1.9. Contoh-contoh :
(i). Sin xf(x)
xCos(x)'f
Sin x(x)''f
xCos(x)'''f
Sin x(x)''''f
dan seterusnya, sehingga
!7
x
!5
x
!3
xxSin x
753
(ii). xCosf(x)
-Sin x(x)'f
x-Cos(x)''f
Sin x(x)'''f
xCos(x)''''f
dan seterusnya, sehingga
-
download on www.enggar.tk
!6
x
!4
x
!2
x1Sin x
642
(iii). xef(x)
xe(x)'f
xe(x)''f
xe(x)'''f
xe(x)''''f
dan seterusnya, sehingga
!4
x
!3
x
!2
xx1e
432x
Dengan menggantikan x dengan x2, akan didapat :
!3
x
!2
xx1e
642x- 2
(iv). x1lnf(x)
1x1(x)'f
2x1-(x)''f
3x12(x)'''f
4x1!3-(x)''''f
dan seterusnya, sehingga
4
x
3
x
2
xxx1ln
432
-
download on www.enggar.tk
Dengan mengalikan deret x1ln dengan x
1 akan didapat :
4
x
3
x
2
xx
1x1ln
x
1 432
x
Jika disederhanakan menjadi :
4
x
3
x
2
xx
1x1ln
x
1 432
x
(v). px1f(x)
1px1p(x)'f
2px11-pp(x)''f
3px12p1-pp(x)'''f
4px13p2p1-pp(x)''''f
dan seterusnya, sehingga
!3
x2-p1-pp
!2
x1-pppx1x1
32p
(vi). x1
1x1f(x) 1-
2x1(x)'f
3x12(x)''f
4x13.2(x)'''f
5x14.3.2(x)''''f
dan seterusnya, sehingga
-
download on www.enggar.tk
321- xxx-11
1x1
x
Bentuk ini dinamakan deret Binomial.
(vii). tan xarc0
x| tant arc
p1
dpx
02
Dari contoh no. 6 didapat :
32 xxx-11
1
x
Dengan menggantikan x dengan x2, didapat :
642
2xxx-1
1
1
x
sehingga
dpxxx-1p1
dp tan xarc
x
0
x
0
642
2
0
x|
7
p
5
p
3
p-p
753
7
x
5
x
3
x-x
753
1.10. Rangkuman
(i). Deret dapat dirumuskan dengan notasi seperti contoh berikut :
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
2
1
1nn
-
download on www.enggar.tk
(ii). Jika deret dapat dihitung dan bernilai terbatas, maka deret tersebut dinamakan
deret konvergen. Jika deret tidak dapat dihitung atau bernilai tak hingga maka
deretnya dinamakan deret divergen.
(iii). Uji Deret Konvergen dan Divergen
a. Uji Awal (Preliminary Test)
0a lim nn , ada kemungkinan deret konvergen
0a lim nn , deret pasti divergen
b. Uji Perbandingan dengan Deret Lain (Comparison Test)
Jika
1nnb konvergen, maka
1nna <
1nnb , deret
1nna konvergen
1nna >
1nnb , digunakan uji lain untuk menentukan
1nna konvergen
atau divergen
c. Uji Integral
(1). Jika
1
n dn a maka
1nna bersifat divergen
(2). Jika
1
n dn a bernilai berhingga, maka gunakan uji yang lain
d. Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)
n
1nn
a
a
-
download on www.enggar.tk
nnlim
Penentuan deret konvergen atau divergen adalah :
(1). < 1 , deret konvergen
(2). = 1 , harus digunakan uji yang lain
(3). > 1 , deret divergen
(iv). Deret Bolak-Balik ( Alternating Series )
Deret bolak-balik ditandai dengan tanda (polaritas) an yang selalu berubah
tanda untuk nilai n yang berikutnya, seperti contoh berikut ini.
n
1
4
1
3
1
2
11
n
1 1n
1n
1n
uji konvergensi bagi deret bolak-balik :
1. 0a lim nn
2. n1n aa
Jika kedua uji di atas dipenuhi, dikatakan sebagai deret konvergen, sebaliknya
jika salah satu atau kedua uji di atas tidak dipenuhi, dikatakan deret divergen.
(v). Deret Pangkat (Power Series)
Deret pangkat tersusun oleh bentuk nx atau nax . Deret pangkat (Power
Series) dirumuskan sebagai berikut :
nn
33
22
0n10
nn xaxaxaxaaxa
Perumusan lain :
nn
22
0n10
nn a)-(xaa)-(xaa)-(xaaa)-(xa
uji konvergensi bagi deret pangkat :
(1). Uji Awal (Preliminary Test)
-
download on www.enggar.tk
(2). Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)
(vi). Penjabaran Fungsi ke dalam Bentuk Deret Pangkat
Suatu fungsi dapat dijabarkan ke dalam bentuk deret pangkat, dalam bentuk
deret Taylor.
0n
nn axaf(x)
nn2 a)-(x (a)f!n
1a)-(x a''f
!2
1a)-(x a'faf
Jika a = 0, deret Taylor menjadi deret Maclaurin :
nn2 x(0)f!n
1 x0''f
!2
1 x0'f0ff(x)
1.11. Latihan Soal
(i). Tuliskan anggota dari deret di bawah ini :
a.
1n 1n
n
b.
1nnn 32
1
c.
1n2 1n
1
d.
1n 1)!(n
!n
(ii). Gunakan notasi deret untuk menuliskan deret di bawah ini :
a. 25
1
16
1
9
1
4
1
-
download on www.enggar.tk
b. 13
4
11
3
9
2
7
1
c. 37
36
26
25
17
16
10
9
5
4
2
1
d. 5
1
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
(iii). Gunakan uji konvergensi untuk menentukan deret konvergen atau divergen :
a.
1nnn
n
32
1-
b.
1n25
3n
5n-n
n3
c.
1n34
2
36n7nn
43nn
d.
1n2 3)(n2)(n
1)n(n
(iv). Tentukan interval konvergensi bagi deret berikut :
a.
1n
nn
1)n(n
x1-
b.
1n3/2
2nn
(2n)
x1-
c.
1n
n/2n
nln n
x1-
d.
1n
nn
n
1)(x1-
-
download on www.enggar.tk
e.
1n
nn
n
x1-
f.
1n2
n
1n
x-n
g.
1n
nn
(2n)!
x1-
1.12. Daftar Pustaka
1. Arfken , George , Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, New
Yook , 2 nd ed .,1970.
2. BOAS, Mary L., Mathematical Methods in The Physical Sciences , second
Edition , John Wily and sons, 1983 .
3. Bradbury , Ted clay ., Mathematical Methods with Applications to Problems in
the Physical Sciences , John Wily and Sons, 1984.
4. DAzzo , John J . and Constantne H . Haupis , Feed back Control System Analysis and Synthesis , second Edition , Mc Graw Hill , 1966.
5. Hilde brand , Francis B ., Advanced Calculus for Applications, Prentice Hall, Engle wood Cliffs , 2 nd Ed . 1976.
6. Kaplan , Wilfred , Advanced Calculus , Second Edition , Addison-Wesley,
Publishing Company , 1981.
7. Kreyszig , Erwin ., Advanced Engineering Mathematics, Fourth Edition , John
Wiley and Sons , 1979.
8. Sokolnikoff , 1 . S . , and R . M . Redheffer , Mathematics of Physics and
Modern Engineering , Mc Graw Hill 2 nd ed . , 1966.
9. Wos pakrik , Hans J . , Dasar Dasar Matematika untuk Fisika , ITB , Bandung , 1993 .