BAB IPENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG Operational research (riset operasi) merupakan penerapan beberapa metode ilmiah yang membantu memecahkan permasalahan rumit yang muncul dalam kehidupan sehari-hari yang kemudian diintepretasikan kedalam permodelan matematis guna mendapatkan informasi solusi yang optimal. Operational research juga banyak digunakan untuk mengambil keputusan yang logis serta dapat dijelaskan secara kuantitatif. Pendekatan khusus ini bertujuan membentuk suatu metode ilmiah dari sistem menggabungkan ukuran-ukuran faktor-faktor seperti kesempatan dan risiko, untuk meramalkan dan membandingkan hasil-hasil dari beberapa keputusan, strategi atau pengawasan. Karena keputusan dalam riset operasi dapat berkaitan dengan biaya relevan, dimana semua biaya yang terkaitan dengan keputusan itu harus dimasukkan, kualitas baik dipengaruhi oleh desain produk atau cara produk dibuat, kehandalan dalam suplai barang dan jasa, kemampuan operasi untuk membuat perubahan dalam desain produk atau kapasitas produksi untuk menyesuaikan diri terhadap perubahan yang terjadi. Hubungan operational research (riset operasi) dengan progam linier secara umum adalah program linier merupakan salah satu teknik menyelesaikan riset operasi, dalam hal ini adalah khusus menyelesaikan masalah-masalah optimasi (memaksimalkan atau memininumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linear. Secara khusus, persoalan program linear merupakan suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel sehingga nilai fungsi tujuan atau objektif yang linear menjadi optimum (memaksimalkan atau meminimumkan) dengan memperhatikan adanya kendala yang ada, yaitu kendala yang harus dinyatakan dalam bentuk ketidaksamaan yang linear. Banyak sekali keputusan utama dihadapi oleh seorang manajer perusahaan untuk mencapai tujuan perusahaan dengan batasan situasi lingkungan operasi. Pembatasan tersebut meliputi sumberdaya misalnya waktu, tenaga kerja, energi, bahan baku, atau uang. Secara umum, tujuan umum perusahaan yang paling sering terjadi adalah sedapat mungkin memaksimalkan laba. Tujuan dari unit organisasi lain yang merupakan bagian dari suatu organisasi biasanya meminimalkan biaya. Saat manajer berusaha untuk menyelesaikan masalah dengan mencari tujuan yang dibatasi oleh batasan tertentu, teknik sains manajemen berupa program linear sering digunakan untuk permasalahan ini. Linear programming sebetulnya sudah lahir pada tahun 1939 oleh seorang ahli matematika Rusia bernama L. V. Kantorovich dengan metode yang terbatas. Akan tetapi, di Rusia ide ini tidak berkembang. Kemudian, pada tahun 1947 seorang ahli matematika dari Amerika Serikat yaitu George B. Dantzig mengembangkan dan menemukan cara memecahkan pemrograman linear tersebut dengan metode simpleks (Siringoringo,2005). Pada saat memimpin Air Force Statistical Control's Combat Analysis Branch di Pentagon. Pada saat Dentzig menganalisis masalah perencanaan Air Force, dia menyadari merumuskan sistem ketidaksamaan linear, hal di atas merupakan awal pemberian nama untuk teknik "program dalam struktur linear", yang belakangan disederhanakan menjadi program linear. Terdapat tiga tahap dalam penggunaan teknik program linear. Pertama, masalah harus dapat diidentifikasi sebagai sesuatu yang dapat diselesaikan dengan program linear. kedua, masalah uang tidak tersturktur harus dapat dirumuskan dalam model matematika, sehingga menjadi terstruktur. Ketiga, model harus diselesaikan dengan teknik matematika yang telah dibuat. Teknik program linear menggambarkan bahwa hubungan fungsi linear dalam model matematika yang penyelesaiannya telah ditetapkan dalam langkah-langkah matematika yang disebut program. Sehingga, program linear merupakan model yang terdiri dari hubungan linear yang menggambarkan keputusan perusahaan dengan suatu tujuan dan batasan sumberdaya. Maka, model program linear terdiri dari variabel keputusan, fungsi tujuan dan batasan-batasan.

B. TUJUAN PENULISAN Agar mahasiswa dapat lebih memahami mengenai pemprograman linear dan aplikasi dari teori pemprograman linear tersebut khususnya dalam hal Fungsi minimisasi biaya. Dan diharapkan pula informasi ini dapat menjadi acuan dalam pembelajaran materi pemprograman linear.

C. RUMUSAN MASALAH Adapun makalah ini disusun dengan rumusan masalah sebagai berikut : 1. Apakah yang dimaksud dengan Linear Programming ? 2. Apa sajakah komponen model dari program linear ? 3. Apa saja yang menjadi asumsi dan syarat dasar program linear ? 4. Apa yang menjadi fungsi dasar dari program linear metode grafik untuk fungsi Minimisasi ? 5. Bagaimana contoh soal dan penyelesaian fungsi minimalisasi biaya ?

BAB II PEMBAHASAN

A. PEMROGRAMAN LINEAR Program linear adalah suatu cara matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengalokasian sumberdaya yang terbatas untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergabung pada sejumlah variabel input. Penerapan program linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, sosial dan lain-lainnya, misalnya periklanan, industri manufaktur (penggunaan tenagakerja kapasitas produksi dan mesin), distribusi dan pengangkutan, dan perbankan (portofolio investasi). Program linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear. Pemrograman linear merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Pemrograman linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Pemrograman linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear. Pemrograman linear meliputi perencanaan aktivitas untuk mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah hasil yang mencapai tujuan terbaik (menurut model matematika) diantara semua kemungkinan alternatif yang ada.

B. FORMULASI MODEL Masalah keputusan yang biasa dihadapi para analis adalah alokasi optimum sumber daya yang langka. Sumber daya dapat berupa modal, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi. Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya ini. Hasil yang diinginkan mungkin ditunjukkan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran seperti profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimasi seperti biaya, waktu dan jarak. Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan diterapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi tiga tahap : 1. Menentukan variabel yang tak diketahui (variabel keputusan) dan menyatakan dalam simbol matematik. 2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan. 3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu. Pembentukan model bukanlah suatu ilmu pengetahuan tetapi lebih bersifat seni dan akan menjadi dimengerti terutama karena praktek.

C. ASUMSI DAN SYARAT DASAR PROGRAM LINEAR Asumsi-asumsi dasar atau Karakteristik Pemrograman Linear adalah sebagai berikut:1. Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, cara ini dapat diperiksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar). 2. Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.3. Sifat aditivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang di antara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat aditivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat aditivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. 4. Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan. 5. Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstan. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu. Sedangkan syarat-syarat yang harus dipenuhi suatu masalah optimasi dengan menggunakan program linier, yaitu :1. Masalah yang bersangkutan dapat diubah dalam bentuk permasalahan matematis;2. Keseluruhan sistem permasalahan harus dapat dipilah menjadi satuan-satuan aktivitas;3. Setiap aktivitas harus dapat ditentukan dengan tepat, baik jenis maupun letaknya dalam model programasi;4. Setiap aktivitas harus dapat dikualifikasikan.

D. MODEL PEMROGRAMAN LINEAR Programisasi linier dapat diselesaikan dengan metode grafik dan metode simpleks. Secara khusus tahapan-tahapan penyelesaian programisasi linier dengan metode grafik dilakukan sebagai berikut :1. Rumuskan permasalahan ke dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala.2. Bentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala dalam persamaan atau pertidaksamaan matematis.3. Gambar fungsi kendala dalam suatu grafik dan arsir daerah yang memenuhi.4. Tentukan daerah yang memenuhi seluruh kendala yang ada (feasible area).5. Beri tanda titik-titik kombinasi yang membatasi feasible area.6. Masukkan titik kombinasi ke dalam fungsi tujuan.7. Pilih titik kombinasi yang sesuai dengan fungsi tujuan masimum/minimum; dimana maksimum untuk nilai terbesar, sedangkan minimum untuk nilai yang terkecil.8. Berikan konklusi/ kesimpulan yang sesuai dengan fungsi tujuan.

Selain itu, diketahui terdapat dua fungsi dalam program linear metode grafik, yaitu fungsi maksimisasi dan fungsi minimisasi. Dalam kesempatan kali ini kita akan membahas secara langsung mengenai fungsi minimisasi. Bentuk umum fungsi minimisasi yakni sebagai berikut :

Optimasi fungsi harus terpenuhi dalam fungsi-fungsi linier. Tujuan fungsi dapat berbentuk persamaan atau pertidaksamaan sebagai fungsi kendala sehingga harus berdasarkan kendala.

...

dimana, dan j = 1 ,2 ,3 , , n . Jadi, fungsi minimisasi dapat dituliskan secara umum sebagai berikut,

terhadap, dimana, dan j = 1 ,2 ,3 , , m.

Berikut contoh kasus untuk fungsi minimalisasi :Kasus I.Toko laris menyediakan 2 merek pupuk. Standard & Super. Tiap jenis mengandung campuran bahan Nitrogen & Fosfat dalam jumlah tertentu. Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16Kg & 24Kg Nitrogen dan Fosfat lahannya. Harga pupuk Standar & Super 3000 & 6000. Petani tersebut ingin mengetahui berapa masing-masing sak jenis pupuk yang harus dibeli agar total harga pupuk mencapai nilai minimum (harga paling murah) agar kebutuhan pupuk lahannya dapat terpenuhi.Penyelesain Kasus 1 :Diketahui, Kendala I = 2 X1 + 4 X2 = 16Kendala II = 4 X1 + 3 X2 = 24Zmin = 3000(X1) + 6000 (X2)Jawaban, Menyetarakan Variabel tiap kasus2 X1 + 4 X2 = 16(2) => 4 X1 + 8 X2 = 324 X1 + 3 X2 = 24(1) => 4 X1 + 3 X2 = 24 5 X2 = 8 X2 = 8/5 = 1,6 Memasukkan ke kendala I :2 X1 + 4 (1,6) = 162 X1 + 6,4 = 162 X1 = 16 6,42 X1 = 9,6X1 = 9,6/2 = 4,8 Mencari Nilai fungsi MinimisasiZmin = 3000(X1) + 6000 (X2)= 3000(4,8) + 6000 (1,6)= 14.400 + 9.600= 24.000Jadi dapat disimpulkan bahwa Petani tersebut harus membeli total harga pupuk mencapai nilai yang minimum (harga paling murah) sebesar 24.000.

Kasus II :Prolab adalah suatu jenis makanan ternak yang dibuat dari kombinasi gandum dan jagung. Gandum mengandung 20% protein, 50% tepung, dan 20% serat kasar, sementara jagung mengandung 20%protein, 25% tepung dan 30%serat kasar. Resep untuk pakan ternak Prolab memerlukan paling tidak 170%protein, 300%tepung dan 250%serat kasar. Harga gandum sebesar Rp. 5000 per Kg dan harga jagung Rp. 6000 per Kg. Jika akan memproduksi 1000 Kg pakan ternak itu, berapa kilogram jagung dan gandum masing-masing yang harus disediakan untuk meminimumkan biaya pengeluaran ?.Jenis makanan ternakProteinTepungSerat KasarHargaVar

Gandum20%50%20%Rp. 5000X1

Jagung20%25%30%Rp. 6000X1

Minimum170%300%250%

Penyelesaian Kasus II :Diketahui,X1 = GandumX2 = Jagungdan Kendala1. 2. 3. dan Fungsi Tujuannya,Zmin =

Jawaban :1. 2.

Sehingga dapat dicari, Titik AX1 = 12,5X2 = 0Masukkan nilai X1 dan X2 ke Zmin , yakni : Zmin = = = 68500 Titik B (Pertemuan kendala 3 dan kendala 2) [*5] [*2] - = 650 = 650/100 = 6,5dan saat disubtitusikan diperoleh, 50 = 300 162,5 = 137,5 = 137,5/50 = 2,75Kemudian memasukkan nilai ke Zmin Zmin = = = 13750 + 39000 = 52750 Titik CX1 = 0X2 = 12Masukkan nilai X1 dan X2 ke Zmin , yakni : Zmin = = = 72000 Adapun penyelesaian dengan POM-QM For Windows padah masalah diatas yakni 1. Buka program POM-QM For Windows dan Klik module lalu pilih Linier Programming.

2. Klik File dan Pilih New untuk membuka lembar kerja baru.

3. Maka akan muncul jendela Create data set for Program Linier isikan dan centang Minimize pada jendela Objective, kemudian klik Ok.

4. Setelah itu akan muncul tabel berikut, yang juga dapat diisi sesuai dengan variabel pada masalah yang ingin diselesaikan diatas,

5. Selanjutnya Klik Solve untuk membuat program mulai menghitung,

6. Dan akan diperoleh Hasil sebagai berikut,

7. Dan grafiknya yakni sebagai berikut,

Jadi kesimpulannya bahwa Jagung dan Gandum masing-masing harus disediakan guna meminimumkan biaya jadi biaya minimum tersebut adalah sebesar 57.750.

BAB IIIPENUTUPA. KESIMPULANDari pembasan dalam makalah singkat ini dapat ditarik beberapa kesimpulan, yakni sebagai berikut : Program linear adalah suatu cara matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengalokasian sumberdaya yang terbatas untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergabung pada sejumlah variabel input. Yang termasuk dalam komponen model program linear adalah variable keputusan, fungsi tujuan, dan batasan model. Dalam program linier terdapat beberapa asumsi yakni :a. Sifat linearitasb. Sifat proporsional c. Sifat aditivitasd. Sifat divisibilitas e. Sifat Kepastian Terdapat dua fungsi dalam program linear metode grafik, yaitu fungsi maksimisasi dan fungsi minimisasi. Fungsi minimisasi lebih menekankan kepada minimalisasi biaya.

B. SARANAdapun saran yang penting menjadi bahan pertimbangan yakni mengenai referensi buku yang digunakan dalam menyusun makalah ini. Karena minimnya penggunaan referensi, maka kedepannya diharapkan diadakan pengembangan berkelanjutan untuk membahas lebih mendalam mengenai topik ini.

DAFTAR PUSTAKA

Siringoringo, Hotniar. Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005.http://e-je.blogspot.com/2009/02/program-linier.html (Diakses pada tanggal 2 April 2011) http://eprints.undip.ac.id/5784/1/PEMROGRAMAN_LINEAR_-_ATIK _MAWARNI.pdf (Diakses pada tanggal 3 April 2011)http://id.wikipedia.org/wiki/Pemrograman_linear (Diakses pada tanggal 2 April 2011)http://ko2smath06.wordpress.com/2011/03/11/pemrograman-linear/ (Diakses pada tanggal 2 April 2011)http://mm.ustjogja.ac.id/download/HANDOUT2.ppt (Diakses pada tanggal 3 April 2011) http://niiqziie.blogspot.com/2011/02/linear-programming.html (Diakses pada tanggal 3 april 2011) http://parjono.wordpress.com/2007/09/04/rumus-matematika-program-linear/ (Diakses pada tanggal 2 April 2011)http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/14095/1/10E00234.pdf (Diakses pada tanggal 2 April 2011)http://rosihan.lecture.ub.ac.id/files/2009/07/risetoperasi-2-linear-programming-metode-grafik.ppt (Diakses pada tanggal 2 April 2011)http://www.belajar-matematika.com/ringkasan_SMA/BAB%20XVII%20Program%20Linear.pdf (Diakses pada tanggal 3 April 2011)http://www.aguschandra.com/search/tujuan-pemanfaatan-program-linear/ (Diakses pada tanggal 2 April 2011)http://yayan-industri.blogspot.com/2009/12/pemrograman-linier.html (Diakses pada tanggal 2 April 2011)

1 | Programisasi Linier : Fungsi Minimisasi