BAB 8 GELOMBANG MEKANIK

GELOMBANG PADA TALI/KAWAT

• Gelombang mekanik dapat menjalar sepanjang tali atau kawat bila direntangkan (diberi tegangan)

• Pada saat gelombang menjalar, setiap bagian tali melakukan gerakan vertikal– Gelombang perpindahan/simpangan– Termasuk gelombang transversal

Sebuah segmen tali yang mengalami perpindahan vertikal

)sin(sin 12 TF

xxx xtg

xtg

12

xxx xx

TF

T

T sin 2

(x)(x + x)

xT sin 1

1

T 2

)( 12 tgtgTF tgsin

TaylorDeret

xxxx xxx

2

2

xx

TF

2

2NewtonHukum

2

2

2

2

txx

xT L

]/[

][

]/[tan

mkgtaliliniermassaRapat

NtalipadaTeganganT

smtalipadagelombangKecepac

L

xx

fxfxxf

)()(

xxxx xxx

2

2

2

2

txamF L

2

22

2

2

2

2

xc

x

T

t L

L

Tc

Contoh Soal 8.1 Suatu gelombang transversal menjalar sepanjang suatu kawat yang mempunyai rapat massa sebesar 20 g/m. Kawat ini mendapat tegangan sebesar 40 N. Amplituda dari gelombang ini adalah 5 mm dan frekuensinya adalah 80 c/s. Nyatakan perpindahan dan kecepatan perpindahan v sebagai fungsi ruang dan waktu.Jawab :

mradk /24,1156,0

22

HzfmkgxNTmxA L 80/102040105 33

mf

c56,0

80

7,44sm

x

Tc

L

/7,441020

403

sradf /503)80(22

)(sin),( txkAtx

)50324,12(cos)503(105),( 3 txxt

txv

)50324,12(cos52,2),( txtxv

mtxxtx )50324,12(sin105),( 3

Contoh Soal 8.2Sebuah osilator mekanik yang dihubungkan dengan ujung sebuah kawat menyebabkan perpindahan transversal dari ujung kawat tersebut bergetar dengan = 0,01 sin (20 t) mTegangan pada kawat adalah 10 N dan kawat tersebut mempunyai rapat massa sebesar 20 g/m. Hitung kecepatan, panjang gelombang, dan frekuensinya.Jawab :

mkgxNTsradm Lo /102010/2001,0 3

mf

c03,7

18,3

361,22

smx

Tc

L

/361,221020

103

Hzf 18,32

20

2

Contoh Soal 8.3Sebuah kawat baja berdiameter 1 mm mendapat tegangan sebesar 10 N. Baja mempunyai rapat massa volume sebesar 7800 kg/m3. Hitung kecepatan dari gelombang transversal yang menjalar sepanjang kawat baja tersebut.Jawab :

smx

Tc

L

/4,4010126,6

103

33 /780010110 mkgmxDNT V

mkgxxSVL /10126,6)10785,0)(7800( 36

26232 10785,0)101(44

mxxDS

Contoh Soal 8.4Sebuah kawat baja berdiameter 0,8 mm digantungkan dari suatu atap rumah. Baja mempunyai rapat massa volume sebesar 7800 kg/m3. Bila sebuah massa sebesar 5 kg digantungkan pada ujung bebas dari kawat tersebut, berapa kecepatan dari gelombang transversal yang menjalar sepanjang kawat baja tersebut ?Jawab :

NmgT 49)8,9(5

mkgxxS

mxxDS

smgkgmmkgmxD

VL

V

/1092,3)10503,0)(7800(

10503,0)108,0(44

/8,95/7800108,0

36

26232

233

smx

Tc

L

/8,1111092,3

493

Contoh Soal 8.5Seorang pemanjat tebing (climber) bermassa 70 kg mengikatkan ujung tali yang diulurkan oleh seorang penolong (rescuer) pada badannya seperti terlihat pada gambar di samping ini. Tali tersebut terdiri dari dua bagian yang berbeda. Tali sebelah atas panjangnya 8 m dengan rapat massa sebesar 200 g/m sedangkan tali sebelah bawah panjangnya 4 m dengan rapat massa sebesar 50 g/m. Pada saat yang bersamaan kedua orang tadi memberikan hentakan pada ujung tali sebagai tanda siap. Tentukan jarak di bawah penolong dimana kedua gelombang ini saling berpapasan.

smT

c /566,582,0

)8,9)(70(

22

21

2 2/132,11705,0

)8,9)(70(csm

Tc

22 c

dt

m5dc

d10

c

dtt

c

d10

c

d8

c2

4

c

d

ct

2221

2222

2

1

11

Jawab :

Contoh Soal 8.6Sebuah kawat bermassa 60 g sepanjang 3 m yang disambung dengan tali bermassa 80 g sepanjang 1 m direntangkan horisontal dengan tegangan sebesar 12,5 N oleh dua orang A (pada sisi kawat) dan B (pada sisi tali). Pada saat yang hampir bersamaan A dan B memberikan hentakan pada ujung kawat dan tali sehingga terdapat dua buah gelombang yang merambat di dalam kawat dan tali tersebut. Bila A lebih dahulu 20 ms memberikan hentakan tersebut, kapan dan dimana kedua gelombang tersebut berpapasan ?

s/m5,1210x80

5,12Tcs/m25

10x20

5,12Tc

m/kg10x801

10x80m/kg10x20

3

10x60

32L

131L

1

333

2L33

3

1L

Jawab :

1 m3 m

3 - x x

ms110s110,0)75,0(040,0080,0tm75,0080,0

060,0x

060,0x080,0x040,0080,0x040,0140,0tt

x040,0080,025

x

5,12

1t

x040,0140,0)040,0)(x3(020,025

x3020,0t

21

2

1

Pemantulan dan Transmisi Gelombang Tali

- Impedansi Mekanik = Rapat Massa x Kecepatan Gelombang = L c

- Faktor Refleksi R dan Faktor Transmisi T

21

1

0

T

21

21

0

R

ZZ

Z2

A

AT

ZZ

ZZ

A

AR

R = Faktor refleksi

T = Faktor transmisi

Z1, Z2 = Impedansi mekanik tali 1 dan tali 2

Ao = Amplituda gelombang yang datang

AR = Amplituda gelombang yang dipantulkan ke tali 1

AT = Amplituda gelombang yang diteruskan ke tali 2

21

1

0

T

21

21

0

R

ZZ

Z2

A

AT

ZZ

ZZ

A

AR

Z1 < Z2Z1 > Z2

Contoh Soal 8.7Sebuah tali sepanjang 5 m dengan rapat massa sebesar 80 gram/m disambung dengan tali lain yang lebih kecil sepanjang 2 m dengan rapat massa sebesar 20 gram/m. Kedua tali ini direntangkan dengan tegangan sebesar 200 N. Ujung tali yang lebih besar digetarkan oleh suatu osilator mekanik. Bila osilator ini bergetar dengan frekuensi 5 Hz dan amplituda sebesar 10 cm, tentukan :

a). Daya rata-rata dari osilator mekanik.b). Amplituda gelombang yang dipantulkan dan yang diteruskan.

Jawab :

s/kg2)100)(10x20(cZs/m10010x20

200Tc

s/kg4)50)(10x80(cZs/m5010x80

200Tc

322L23

2L2

311L13

1L1

W74,19)10,0()10)(4(2

1c

2

1P).a 222

o2

11Lav

cm16)12(3

4

3

4

24

)4(2

ZZ

Z2T

cm4)12(3

1

3

1

24

24

ZZ

ZZR).b

T21

1

o

T

R21

21

o

R

Pantulan dan transmisi pada ujung terikat dan ujung bebas

• ujung terikat: gelombang pantul mengalami pembalikan fasa 1800

• Ujung bebas gelombang pantul tidak mengalami pembalikan fasa

yd=Asin(kx-t)yp=Asin(-kx- t+1800) ys=2Acostsinkx

yd=Asin(kx-t)

yp=Asin(-kx- t)

Ys=-2Acos(kx)sin(t)

Superposisi Gelombang - Tergantung pada amplituda dan beda fasa dari

kedua gelombang

)sin(1 tkxAy

)sin(2 tkxAy

)sin(2 tkxAyT

• Dua gelombang dengan amplitudo dan sudut fasa sama

• Dua gelombang: amplitudo sama, sudut fasa beda

)sin(1 tkxAy

)sin(2 tkxAy)]sin()[sin( tkxtkxAyT

• Dua gelombang: amplitudo berbeda, sudut fasa sama

)sin(11 tkxAy )sin()( 21 tkxAAyT

)sin(22 tkxAy

• Dua gelombang: amplitudo sama, frekuensi sama, bilangan gelombang berbeda

• Dua gelombang: amplitudo sama, frekuensi berbeda, bilangan gelombang sama

• Dua gelombang: amplitudo sama, frekuensi dan bilangan gelombang berbeda

)sin( 11 txkAy

)sin( 22 txkAy )]sin()[sin( 21 txktxkAyT

)cos( 11 tkxAy

)cos( 22 tkxAy )]cos()[cos( 21 tkxtkxAyT

)cos( 111 txkAy

)cos( 222 txkAy )]cos()[cos( 2211 txktxkAyT

Fasor

• Prinsip diagram fasor: menggambarkan fungsi gelombang sebagai suatu vektor

contoh:

Gelombang dinyatakan sebagai vektor dengan panjang A1 dan membentuk sudut 1=kx-t+1 terhadap sumbu horizontal.

)cos( 111 tkxAy 111 Ay

)cos( 222 tkxAy 222 Ay

• Nilai x dan t bisa sembarang, jadi boleh dipilih saat x=0 dan t=0.

• Diagram fasor:

1

A2

AT

A1

2

T

Perhitungan Fasor

)cos(21 TTT tkxAyyy

22yxT AAA

2211 coscos AAAx

2211 sinsin AAAy

x

yT A

Atan

Contoh Soal 8.8Dua buah gelombang masing-masing

y1(x,t)=40cos(10x-100t)y2(x,t)=30cos(10x-100t+600)

Tentukan superposisi dua gelombang tersebut

A1

A2 AR

R

Jawab :

yR(x,t)=ARcos(10x-100t+R)

8,603700

60cos2 2122

21

AAAAAR

oR

2211

2211R

3,2547,0

cosAcosA

sinAsinAtan

Gelombang Superposisi :

Gelombang superposisi akan berbentuk

yR=ARcos(x-100t+R)

Semua persamaan diubah ke dalam bentuk cosinus.

y1=40sin(x-100t)=40cos(x-100t-900)

y2=60cos(x-100t+600)

Contoh Soal 8.9Dua buah gelombang, masing-masing

y1=40sin(x-100t), y1=60cos(x-100t+60) Tentukan gelombang superposisinya

Jawab :

30

)90cos(4060cos60

xA

1240330

)90sin(4060sin60

yA

32

144900

22

yxR AAA

60

600

40

01 2230

12tan

R

-900

Gelombang superposisi: yR=32cos(x-100t+220)

32

10

20

40

Contoh Soal 8.10Tiga buah gelombang masing-masing

y1=40cos(kx-t+60), y2=20cos(kx-t+300) y3=10sin(kx-t+900)

Tentukan persamaan gelombang superposisi

Jawab :

4760cos4030cos200cos10 xA

4560sin4030sin200sin10 yA

01 46tan

x

yR A

A

Superposisi gelombang: yR=65cos(kx-t+460)

Perlayangan gelombang

2

21

)sin( 111 txkAy )sin( 222 txkAy

2222

221121

221121

2211

21212121 cossin2

cossin2

)]sin()[sin(

xtxA

txktxktxktxkA

txktxkAy

kkkk

T

kkk

2

21

Jika 2= , 1-2=, dengan 0, dan k2=k, k1-k2 = k dengan k0 maka :

22sin)cos(2 kT tkxAy

kv f

Kecepatan fasa:

dk

dvg

Kecepatan group:

Gelombang Berdiri - Superposisi gelombang datang dan gelombang pantul pada tali

menghasilkan gelombang berdiri

- Amplituda gelombang di perut maksimum, amplituda gelombang disimpul nol

- Contoh lain gelombang berdiri: getaran dawai gitar, getaran pada pipa organa

)tcos(kxsinA2

)tkxsin(A)tkxsin(Ay

)tkxsin(Ay

)tkxsin(Ay

2

1

Letak simpul :

2,1,0n,nkx0)kxsin(

Tali dengan dua ujung terikat

- Frekuensi resonansi :

3,2,1,0n,n2

cf

n

2

f

cn

2

2

n

Contoh Soal 8.11Sebuah gelombang berdiri dinyatakan dalam persamaan y1=10sin10xcos100t. Tentukan:a. Tempat terjadinya simpulb. Tempat terjadinya perut

Jawab :

a. Terjadi simpul jika sin10x=0, atau 10x=2nx=0,2n , dengan n=0,1,2,3,...

b. Terjadi perut jika sin10x=1 atau 10x=(2n+1)/2 x=(2n+1)/20 , dengan n=0,1,2,3,...

)sin(),( tkxAetxz x

= Faktor Redaman [m-1]

Gelombang Teredam

Resonansi

• Terjadi pada saat frekuensi eksternal yang datang ke sistem mempunyai nilai sama dengan frekuensi alamiah sistem

• Akan terjadi penguatan amplitudo• Contoh: Suatu pipa berisi air yang ketinggian airnya bisa diatur.

Garpu tala digetarkan diujung pipa. Bunyi nyaring akan terdengar pada saat frekuensi garpu tala tepat sama dengan frekuensi partikel-partikel udara yang ada pada kolom udara

Gelombang Seimik

Bila terjadi gempa yang berasal dari dalam bumi, maka terdapat dua jenis gelombang yang menjalar kepermukaan :

• Primary wave, yaitu gelombang yang pertama kali datang dan berupa gelombang longitudinal (kecepatan lebih tinggi)

• Secondary wave, yaitu gelombang yang datang belakangan dan berupa gelombang transversal (kecepatan lebih rendah)

Contoh Soal 7.12Bila terdapat suatu gempa, maka akan terjadi gelombang seismik di dalam bumi. Tidak seperti dalam gas, di dalam tanah yang merupakan suatu padatan dapat terjadi baik gelombang longitudinal (8 km/s) maupun gelombang transversal (4,5 km/s). Gelombang longitudinal sering disebut sebagai gelombang P (Primary) karena sampai ke seismograf terlebih dahulu sedangkan gelombang transversal sering disebut sebagai gelombang S (Secondary) karena datang belakangan. Bila gelombang P sampai ke seismograf 3 menit sebelum gelombang S datang, tentukan jarak antara seismograf dan lokasi gempa. Prinsip yang sama juga digunakan oleh seekor kalajengking untuk mendeteksi lokasi dimana mangsanya berada sehingga ia dengan mudah dapat menangkapnya.

VL = 8 km/s

VT = 4,5 km/s

km4,1851L180)10x2,97(L8000

1

4500

1L

s180)60(38000

L

4500

L

V

L

V

Ltt

V

Lt

V

Lt

6

LTLT

TT

LL

L

Gempa

Seismograf

Jawab:

Contoh Soal 7.13

Seekor kalajengking dengan 8 kakinya berada di atas pasir. Kecepatan gelombang longitudinal di pasir adalah 150 m/s sedangkan kecepatan gelombang transversalnya adalah 50 m/s. Seekor kumbang yang bergerak di atas pasir di sekitarnya, akan menghasilkan kedua jenis gelombang yang dideteksi oleh delapan kaki kalajengking sehingga arah dari posisi kumbang diketahui. Bila kedua gelombang yang dideteksi oleh kaki kalajengking berselang waktu sebesar 4 ms, berapa jarak kumbang dari kalajengking

cm30)ms4(75t75d150

d2

150

d

50

dt