40

BAB 6 : GEOMETRI KOORDINAT

Sesi 1

Jarak dan titik tengah antara dua titik

𝑦

𝐵(𝑥2, 𝑦2)

𝐴(𝑥1, 𝑦1)

𝑥

Jarak 𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Titik tengah 𝐴𝐵 = (𝑥1+𝑥2

2,

𝑦1+𝑦2

2)

Contoh 1

Cari jarak di antara titik 𝑃(−6 , −2) dan titik 𝑄(6 , 3).

Penyelesaian

Jarak 𝑃𝑄 = √(6 + 6)2 + (3 + 2)2

= √122 + 52

= √144 + 25

= √169

= 13 unit

Contoh 2

Jarak di antara titik 𝐴(−4 , 2) dan titik 𝐵(2 , 𝑘) ialah 10 unit. Cari nilai-nilai 𝑘.

Penyelesaian

Jarak 𝐴𝐵 = 10

√(2 + 4)2 + (𝑘 − 2)2 = 10

√62 + (𝑘 − 2)2 = 10

62 + (𝑘 − 2)2 = 100

36 + (𝑘 − 2)2 = 100

(𝑘 − 2)2 = 100 − 36

(𝑘 − 2)2 = 64

𝑘 − 2 = ±√64

𝑘 − 2 = ±8

41

⇒ 𝑘 − 2 = 8 atau 𝑘 − 2 = −8

𝑘 = 10 𝑘 = −6

Contoh 3

Cari koordinat titik tengah 𝑀 bagi garis lurus yang menyambungkan titik 𝑃(−7 , 5) dan

𝑄(3 , 1).

Penyelesaian

𝑀 = (−7+3

2 ,

5+1

2)

= (−4

2 ,

6

2)

= (−2 , 3)

Contoh 4

Titik tengah bagi 𝐴(ℎ , −2) dan 𝐵(−6 , 𝑘) ialah (−1 , 3). Cari nilai ℎ dan 𝑘.

Penyelesaian

Titik tengah 𝐴𝐵 = (−1 , 3)

(ℎ−6

2 ,

−2+𝑘

2) = (−1 , 3)

⇒ℎ−6

2=

ℎ − 6 = −2

ℎ =

∴−2+𝑘

2=

−2 + 𝑘 = 6

𝑘 =

42

Sesi 2

Koordinat titik yang membahagikan tembereng garis dengan nisbah 𝒎: 𝒏

𝑦

𝐵(𝑥2, 𝑦2)

𝑛

𝑚

𝑃(𝑥, 𝑦)

𝐴(𝑥1, 𝑦1)

𝑥

Contoh 1

Titik 𝐴(1 , −2), 𝑃 dan 𝐵(4 , 7) terletak pada suatu garis lurus. Jika 𝑃 membahagikan 𝐴𝐵

dengan nisbah 2: 1, cari koordinat 𝑃.

Penyelesaian

𝐵(4,7)

1

𝑃

2

𝐴(1, −2)

𝑃 = (2(4)+1(1)

2+1 ,

2(7)+1(−2)

2+1)

= (8+1

3 ,

14−2

3)

= (9

3 ,

12

3)

= ( , )

Contoh 2

Titik 𝐴(7 , −5), 𝑃(3 , −1) dan 𝐵 terletak pada satu garis lurus. Jika 𝑃 membahagikan 𝐴𝐵

dengan nisbah 2: 3, cari koordinat 𝐵.

𝑃(𝑥 , 𝑦) = (𝑛𝑥1 + 𝑚𝑥2

𝑚 + 𝑛 ,

𝑛𝑦1 + 𝑚𝑦2

𝑚 + 𝑛)

43

Penyelesaian

𝐵(𝑥, 𝑦)

3

𝑃(3, −1)

2

𝐴(7, −5)

Katakan 𝐵(𝑥 , 𝑦)

(3(7)+2𝑥

3+2 ,

3(−5)+2𝑦

3+2) = (3 , −1)

(21+2𝑥

5 ,

−15+2𝑦

5) = (3 , −1)

⇒21+2𝑥

5= 3

21 + 2𝑥 =

2𝑥 = −6

𝑥 =

∴−15+2𝑦

5=

−15 + 2𝑦 = −5

2𝑦 = 10

𝑦 =

⇒ 𝐵(−3 , 5)

Contoh 3

Titik 𝐿(𝑝 , 3) membahagikan 𝐾𝑀 dengan nisbah 𝑚: 𝑛. Koordinat 𝐾 dan 𝑀 masing-masing

ialah (−10 , 6) dan (−2 , −6). Cari

a) 𝑚: 𝑛 ,

b) nilai 𝑝

Penyelesaian

𝐾(−10, 6)

𝐿(𝑝, 3)

𝑀(−2, −6)

44

a) (𝑚(−2)+𝑛(−10)

𝑚+𝑛 ,

𝑚(−6)+𝑛(6)

𝑚+𝑛) = (𝑝 , 3)

(−2𝑚−10𝑛

𝑚+𝑛 ,

−6𝑚+6𝑛

𝑚+𝑛) = (𝑝 , 3)

−6𝑚+6𝑛

𝑚+𝑛=

−6𝑚 + 6𝑛 = 3𝑚 + 3𝑛

−6𝑚 − 3𝑚 = 3𝑛 − 6𝑛

−9𝑚 = −3𝑛

𝑚

𝑛=

𝑚

𝑛=

⇒ 𝑚: 𝑛 = ∶

b) 𝑝 =−2𝑚−10𝑛

𝑚+𝑛

=−2(1)−10(3)

1+3

=−2−30

4

=

45

Sesi 3

Luas segitiga

𝑦

𝐴(𝑥1, 𝑦1)

𝐵(𝑥2, 𝑦2)

𝐶(𝑥3, 𝑦3)

𝑥

Luas ∆𝐴𝐵𝐶

=1

2|𝑥1 𝑥2 𝑥3

𝑦1 𝑦2 𝑦3

𝑥1

𝑦1|

=1

2|𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦1 − 𝑦1𝑥2 − 𝑦2𝑥3 − 𝑦3𝑥1|

Contoh 1

Cari luas segitiga 𝑃𝑄𝑅 dengan 𝑃, 𝑄 dan 𝑅 masing-masing ialah (5 , −2), (3 , 4) dan

(−6 , −1).

Penyelesaian

Luas ∆𝑃𝑄𝑅

=1

2|20 + (−3) + 12 − (−6) − (−24) − (−5)|

=1

2|20 − 3 + 12 + 6 + 24 + 5|

=1

2|64|

=1

2( )

= 𝑢𝑛𝑖𝑡2

Contoh 2

Diberi titik (−2 , −1), (2 , 𝑘) dan (10 , 5) adalah segaris, cari nilai 𝑘.

Penyelesaian

1

2|−2 2 10−1 𝑘 5

−2−1

| = 0

1

2|−2𝑘 + 10 + (−10) − (−2) − 10𝑘 − (−10)| = 0

1

2|−2𝑘 + 10 − 10 + 2 − 10𝑘 + 10| = 0

46

1

2|−12𝑘 + 12| = 0

|−12𝑘 + 12| = 0

−12𝑘 + 12 = 0

−12𝑘 = −12

∴ 𝑘 = 1

Contoh 3

Titik-titik (−1 , −3), (5 , 𝑘) dan (−4 , −1) ialah bucu-bucu sebuah segitiga. Diberi luas

segitiga itu ialah 15 𝑢𝑛𝑖𝑡2, cari nilai-nilai 𝑘.

Penyelesaian

1

2|−1 5 −4−3 𝑘 −1

−1−3

| = 15

1

2|−𝑘 + (−5) + 12 − (−15) − (−4𝑘) − 1| = 15

1

2|−𝑘 − 5 + 12 + 15 + 4𝑘 − 1| = 15

1

2| | = 15

|3𝑘 + 21| = 30

⇒ 3𝑘 + 21 = atau 3𝑘 + 21 =

3𝑘 = 3𝑘 =

𝑘 = 𝑘 =

47

Sesi 4

Pintasan-𝒙 dan pintasan-𝒚

𝑦

𝐵(0, 3)

𝐴(2, 0)

𝑥

Pintasan-𝑥 = 2

Pintasan-𝑦 = 3

Kecerunan garis lurus

𝑦

𝑄(𝑥2, 𝑦2)

𝑃(𝑥1, 𝑦1)

𝑥

Kecerunan, 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

Juga, 𝑚 = − (𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛−𝑦

𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛−𝑥)

Contoh 1

Cari kecerunan garis lurus yang menyambungkan titik 𝑅(−5 , 6) dan titik 𝑆(−4 , −2).

Penyelesaian

𝑚𝑅𝑆 =−2−6

−4−(−5)

=−8

1

= −8

48

Contoh 2

Kecerunan bagi garis yang menyambungkan titik (−2 , 𝑘) dan (1 , 9) ialah 2. Cari nilai 𝑘.

Penyelesaian

𝑚 = 2 9−𝑘

1+2= 2

9−𝑘

3= 2

9 − 𝑘 =

−𝑘 = −3

𝑘 =

Contoh 3

Diberi titik (−1 , −2), (2 , 𝑘) dan (4 , 8) terletak pada satu garis lurus. Cari nilai 𝑘.

Penyelesaian

(4, 8)

(2, 𝑘)

(−1, −2)

𝑚1 =8−(−2)

4−(−1)

=10

5

=

𝑚2 =8−𝑘

4−2

=8−𝑘

2

𝑚1 = 𝑚2

=8−𝑘

2

4 = 8 − 𝑘

−4 = −𝑘

∴ 𝑘 = 4

49

Contoh 4

𝑦

𝐴

𝑥

-5

𝐵

Cari kecerunan garis lurus 𝐴𝐵.

Penyelesaian

𝑚 =−(−5)

−2

=5

−2

= −5

2

-2 0

50

Sesi 5

Persamaan garis lurus

1. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

2. Bentuk pintasan : 𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1, dengan 𝑎 ialah pintasan-𝑥,

𝑏 ialah pintasan-𝑦

3. Bentuk am :

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

Contoh 1

Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (7 , −2) dan mempunyai kecerunan −1

3.

Penyelesaian

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − (−2) = −1

3(𝑥 − 7)

𝑦 + 2 = −1

3𝑥 +

7

3

𝑦 = −1

3𝑥 +

7

3−

6

3

𝑦 = −1

3𝑥 +

1

3

3𝑦 = −𝑥 + 1

Contoh 2

Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (−3 , 5) dan (1 , −7).

Penyelesaian

𝑚 =−7−5

1+3

=−12

4

= −3

𝑦 − 5 = −3(𝑥 + 3)

𝑦 − 5 = −3𝑥 − 9

𝑦 = −3𝑥 − 4

51

Contoh 3

Cari persamaan garis lurus dengan pintasan-𝑥 dan pintasan-𝑦 masing-masing ialah 2 dan −6.

Penyelesaian

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1

𝑥

2+

𝑦

(−6)= 1

𝑥

2−

𝑦

6= 1

Contoh 4

Tukarkan persamaan berikut kepada bentuk am.

a) 𝑦 =2

3𝑥 − 2

b) 𝑥

6+

𝑦

12= 1

Penyelesaian

a) 𝑦 =2

3𝑥 − 2

(× 3) ∶ 3𝑦 = 2𝑥 − 6

0 = 2𝑥 − 3𝑦 − 6

2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0

b) 𝑥

6+

𝑦

12= 1

(× 12) ∶ (12) (𝑥

6) + (12) (

𝑦

12) = (12)(1)

2𝑥 + 𝑦 = 12

2𝑥 + 𝑦 − 12 = 0

52

Sesi 6

Kecerunan dan pintasan garis lurus

Contoh 1

Cari kecerunan dan pintasan-𝑦 bagi yang berikut :

a) 3𝑥 + 4𝑦 = 2

b) 𝑦 − 5 = 2𝑥

Penyelesaian

a) 3𝑥 + 4𝑦 = 2

4𝑦 = −3𝑥 + 2

𝑦 =−3𝑥

4+

2

4

𝑦 =−3𝑥

4+

1

2

⇒ 𝑚 =−3

4

𝑐 =1

2

b) 𝑦 − 5 = 2𝑥

𝑦 = 2𝑥 + 5

⇒ 𝑚 =

𝑐 =

Contoh 2

Tulis persamaan garis lurus berikut dalam bentuk pintasan. Seterusnya, cari pintasan-𝑥,

pintasan-𝑦 dan kecerunan garis lurus tersebut.

a) 𝑥 − 𝑦 = 2

b) 𝑦 = 8 − 4𝑥

c) 𝑦 − 2𝑥 = 4

d) 2𝑦 = 5𝑥 + 10

Penyelsaian

a) 𝑥 − 𝑦 = 2

(÷ 2) ∶𝑥

2−

𝑦

2= 1

𝑥

2+

𝑦

(−2)= 1

∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 = 2

𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 = −2

53

𝑚 =−(−2)

2

=2

2

= 1

b) 𝑦 = 8 − 4𝑥

4𝑥 + 𝑦 = 8

(÷ 8):4

8𝑥 +

𝑦

8=

8

8

𝑥

2+

𝑦

8= 1

∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 =

𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 =

𝑚 =

=

c) 𝑦 − 2𝑥 = 4

(÷ 4):𝑦

4−

2

4𝑥 =

4

4

𝑦

4−

𝑥

2= 1

−𝑥

2+

𝑦

4= 1

𝑥

(−2)+

𝑦

4= 1

∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 =

𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 =

𝑚 =

=

d) 2𝑦 = 5𝑥 + 10

−10 = 5𝑥 − 2𝑦

5𝑥 − 2𝑦 = −10

(÷ −10):5

−10𝑥 −

2

−10𝑦 =

−10

−10

𝑥

(−2)+

𝑦

5= 1

∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 = −2

𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 = 5

𝑚 =−5

−2

=5

2

54

Titik persilangan dua garis

Contoh

Cari titik persilangan bagi garis lurus 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 dan 2𝑥 + 𝑦 = 3.

Penyelesaian

𝑥 + 2𝑦 + 3 = 1 1

2𝑥 + 𝑦 = 3 2

Daripada 2 :

2𝑥 + 𝑦 = 3

𝑦 = 3 − 2𝑥 3

Gantikan 3 ke dalam 1 :

⇒ 𝑥 + 2(3 − 2𝑥) + 3 = 0

𝑥 + 6 − 4𝑥 + 3 = 0

−3𝑥 + 9 = 0

−3𝑥 = −9

𝑥 = 3

⇒ 𝑦 = 3 − 2(3)

= 3 − 6

= −3

Titik persilangan ialah ( , )

55

Sesi 7

Garis selari

Garis lurus 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑐1 adalah selari dengan garis lurus 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑐2 jika dan hanya jika

𝑚1 = 𝑚2.

Contoh 1

Tentukan sama ada 𝑥

3+

𝑦

2= 1 dan 9𝑦 + 6𝑥 = 5 selari atau tidak.

Penyelesaian

𝑥

3+

𝑦

2= 1

𝑚1 =−𝑦

𝑥

=−2

3

= −2

3

9𝑦 + 6𝑥 = 5

9𝑦 = −6𝑥 + 5

𝑦 =−6

9𝑥 +

5

9

𝑦 =−2

3𝑥 +

5

9

𝑚2 = −2

3

𝑚1 = 𝑚2

⇒ Selari

Contoh 2

Diberi bahawa garis lurus 2𝑦 + 4𝑥 = 5 adalah selari dengan garis lurus 𝑦 = −𝑘

3𝑥 − 4. Cari

nilai 𝑘.

Penyelesaian

2𝑦 + 4𝑥 = 5

2𝑦 = −4𝑥 + 5

𝑦 =−4

2𝑥 +

5

2

𝑦 = −2𝑥 +5

2

56

𝑚1 = −2

𝑦 =−𝑘

3𝑥 − 4

𝑚2 =−𝑘

3

𝑚1 = 𝑚2

⇒ −2 =−𝑘

3

−6 = −𝑘

𝑘 = 6

Contoh 3

Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (−3 , 6) dan selari dengan garis 2𝑥 − 4𝑦 = 3.

Penyelesaian

2𝑥 − 4𝑦 = 3

2𝑥 − 3 = 4𝑦

4𝑦 = 2𝑥 − 3

𝑦 =1

2𝑥 −

3

4

⇒ 𝑚 =

𝑦 − 6 =1

2(𝑥 + 3)

𝑦 − 6 =1

2𝑥 +

3

2

(× 2): 2𝑦 − 12 = 𝑥 + 3

0 = 𝑥 − 2𝑦 + 15

𝑥 − 2𝑦 + 15 = 0

57

Sesi 8

Garis serenjang

Dua garis lurus dengan kecerunan 𝑚1 dan 𝑚2 adalah berserenjang jika dan hanya jika

𝑚1𝑚2 = −1.

Contoh 1

Tentukan sama ada garis 𝑥

3+

𝑦

2= 1 dan 5𝑦 − 3𝑥 = 10 berserenjang atau tidak.

Penyelesaian

𝑥

3+

𝑦

3= 1

⇒ 𝑚1 =−2

3

5𝑦 − 3𝑥 = 10

5𝑦 = 3𝑥 + 10

𝑦 =3

5𝑥 + 2

𝑚2 =3

5

𝑚1𝑚2 =−2

3(

3

5)

=−6

15

= −2

5

⇒ Tidak berserenjang.

Contoh 2

Diberi garis lurus 𝑘

2𝑥 + 𝑦 = 7 berserenjang dengan garis lurus 5𝑥 + 10𝑦 = 3. Cari nilai 𝑘.

Penyelesaian :

𝑘

2𝑥 + 𝑦 = 7

𝑦 = −𝑘

2𝑥 + 7

𝑚1 = −𝑘

2

5𝑥 + 10𝑦 = 3

10𝑦 = −5𝑥 + 3

𝑦 = −5

10𝑥 +

3

10

58

𝑚2 = −5

10

𝑚1𝑚2 = −1

−𝑘

2(−

5

10) = −1

𝑘

4= −1

∴ 𝑘 = −4

Contoh 3

Cari persamaan garis lurus yang melalui (−1 , 2) dan berserenjang dengan garis 3𝑥 − 2𝑦 = 7

Penyelesaian

3𝑥 − 2𝑦 = 7

−2𝑦 = −3𝑥 + 7

𝑦 =3

2𝑥 −

7

2

𝑚1𝑚2 = −1 3

2𝑚2 = −1

𝑚2 = −1 ×2

3

𝑚2 = −2

3

𝑦 − 2 = −2

3(𝑥 + 1)

(× 3) ∶ 3𝑦 − 6 = −2(𝑥 + 1)

3𝑦 − 6 = −2𝑥 − 2

2𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0

Contoh 4

Diberi 𝐴(3 , −6) dan 𝐵(−2 , 4). Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang 𝐴𝐵.

Penyelesaian

𝑚𝐴𝐵 =4+6

−2−3

=10

−5

= −2

−2𝑚2 = −1

𝑚2 =−1

−2

=1

2

59

Titik tengah 𝐴𝐵 = (3−2

2 ,

−6+4

2)

= (1

2 , 1)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 + 1 =1

2(𝑥 −

1

2)

𝑦 + 1 =1

2𝑥 −

1

4

(× 4) ∶ 4𝑦 + 4 = 2𝑥 − 1

4𝑦 = 2𝑥 − 5

𝑦 =1

2𝑥 −

5

4

Sesi 9

Lokus

Contoh 1

Cari persamaan lokus bagi titik 𝑃 yang bergerak supaya jaraknya dari titik 𝐴(2 , 4) sentiasa

2 unit.

Penyelesaian

Katakan 𝑃 ialah (𝑥 , 𝑦),

𝑃𝐴 = 2

√(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 2

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 4

𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 − 4 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 16 = 0

Contoh 2

Titik 𝐴 ialah (0 , 1) dan 𝐵(3 , 4). Titik 𝑃 bergerak dengan keadaan 𝑃𝐴: 𝑃𝐵 = 1: 2. Cari

persamaan lokus titik 𝑃.

60

Penyelesaian

Katakan 𝑃 ialah (𝑥 , 𝑦),

𝑃𝐴: 𝑃𝐵 = 1: 2 𝑃𝐴

𝑃𝐵=

1

2

2𝑃𝐴 = 𝑃𝐵

⇒ 2√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 1)2 = √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2

4[(𝑥)2 + (𝑦 − 1)2] = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2

4(𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16

4𝑥2 + 4𝑦2 − 8𝑦 + 4 = 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 25

3𝑥2 + 3𝑦2 + 6𝑥 − 21 = 0

(÷ 3) ∶ 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 7 = 0