bab 2 matematika limit dan kontinuitas

7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas

1/42

Bab I Limit dan Kontinuitas | 48

MATEMATIKA TERAPAN II

BAB II

LIMIT DAN KONTINUITAS


2/42


PENDAHULUAN

Deskripsi Isi

Materi dalam bab II mencakup Pengantar limit dan kontinuitas dan diikutidengan penerapan masing-masing konsep dalam bidang teknik mesin

Cakupan materi limit dan kontinuitas mengacu pada standar kompetensi dan kompetensi

dasar yang telah dirumuskan dalam standar Isi, khususnya yang menunjang tercapainya

tujuan. Limit dan kontinuitas sebagai landasan mempelajari konsep kalkulus. Dengan

demikian isi materi yang termuat di sini adalah sebagai berikut.

1. Pengertian limit membahas difinisi limit, notasi limit dan nilai limit suatu fungsi.

Limit fungsi aljabar, membahas bentuk tertentu dan tak tentu. Teorema limit,

membahas teorema limit utama dan teorema limit tak hingga. Limit fungsi

trigonometri membahas fungsi trigonometri variabelnya mendekati sudut tertentu

dan mendekati nol.

2. Kontinuitas, membahas definisi kontinu dan diskontinu

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep limit fungsi dan kontinuitas dalam pemecahan masalah

keteknikan

Kompetensi Dasar

Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga

Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu dari fungsi

aljabar dan trigonometri

Megidentifikasi kontinuitas suatu fungsi

Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari limit dan kontinuitas adalah mahasiswa harus

sudah operasi pada bilangan real, trigonometri, persamaan dan pertidaksanaan,

dan fungsi beserta grafik fungsi


3/42


Indikator Hasil Belajar

Spesifikasi hasil belajar, mahasiswa dapat:

1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik

tersebut

2.

Menjelaskan arti limit fungsi di tak hingga melalui grafik dan perhitungan.

3.

Menggunakan sifat-sifat limit dalam menghitung nilai limit

4. Menentukan nilai limit dari bentuk tak tentu limit fungsi

5.

Menghitung Limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit

6.

Mengidintifikasi kontinuitas suatu fungsi

Kerangka isi MateriLimit dan

Kontinuitas

Pengertian LimitFungsiNotasi Limit

Sifat Limit Fungsi Bentuk Tak

Menghitung limitfungsi aljabar dantrigonometri denganmenggunakan sifat-sifat limit.

Macam-macam bentuktak tentuMenghitung nilai limit taktentu.Menghitung bentuk tak

KontinuitasFun si

Mem ela ar

Terdiri atas

Terdiri atasTerdiri atas

dipergunakan dipergunakan

Mengidentifikasikontinuitas suatufungsi


4/42


Uraian Materi Limit Dan Kontinuitas

1.1. Pengertian Limit

Istilah limit dalam bahasa Inggris berarti mendekati. Sesuai dengan kata mendekati, jika

dikatakan bahwa x mendekati 4 artinya x hanya mendekati nilai 4, tetapi tidak pernah

bernilai 4.

Kita mempunyai fungsi y = f(x) dan sebuah titik c. Agar variabel bebas dapat bergerak

menuju titik tetap c , kondisinya adalah disekitar c harus terdapat tak hingga banyaknya

titik dari daerah asal f. Dalam kontek ini kondisi yang paling sederhana adalah daerah

asal fungsi f berbentuk interval terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri.

Pada gabar berikut menunjukkan sebuah fungsi f yang terdifinisi pada I {c} di mana I

adalah interval terbuka yang memuat titik c.

0

Gambar 2.1 Grafik Fungsi y = f(x)

Perhatikan bahwa jika x dekat dengan c, dan x c. maka f(x) dekat dengan L. Situasi

dapat ditulis jika x mendekati c, maka f(x) mendekati L". Fungsi f(x) dikatakan

memiliki harga limit sama dengan L = f(c) ketika x mendekati c. Keadaan ini ditulis:

Lcfxfxfcxcx

)()(lim)(lim

y = f(x)

x c x

L =f(c)

f(c)-

f(c)+

X

Y


5/42


Misalkan

Diketahui sebuah fungsi f(x) = x2 + 3, apa yang terjadi dengan nilai f(x) jika nilai x

didekati dari kiri dan kanan menuju nilai 4 tetapi x 4?

Perhatikan nilai fungsi pada Tabel 2.1

Tabel 2.1 Nilai Fungsi f(x) = x

2

+ 3

x didekatidari arah

kananf(x)

x didekatidari arah

kirif(x)

3.5 15.25 4.1 19.81

3.90 18.21 4.05 19.4025

3.999 18.992001 4.001 19.008001

3.999990 18.99992 4.0001 19.00080001

Terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 4, maka f(x) mendekati 19. Artinya,

apabia dihitung f(4) = 42+ 3 = 19. Dikatakan bahwa limit f(x), pada saat x mendekati 4

sama dengan 19, ditulis: 19)(lim4

xfx

Selanjutnya perhatikan fungsi f(x) berikut

2

4)(

2

x

xxf

Fungsi tersebut tidak terefinisi di x = 2, karena pada titik ini f(x) berbentuk 0/0, tetapi

bila x mendekati 2 tetapi x 2.

Untuk x 2, )(22

)2)(2(

2

4)(

2

xgxx

xx

x

xxf

, maka Df= R {1}

X

1

2

0

3

4

Y

1 2 3-1-2

2

42

x

xy


6/42


Gambar 2.2 Grafik Fungsi2

4)(

2

x

xxf

Dari tabel 2.1 berikut terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka f(x)

mendekati 4, maka 4

2

4lim

2

2

x

x

x

Tabel 2.3 Nilai Fungsi2

4)(

2

x

xxf

x didekati dariarah kanan

f(x)x didekati dari

arah kirif(x)

1.5 3.5 2.1 4.1

1.90 3.9 2.05 4.05

1.999 3.999 2.001 4.0011.999990 3.99999 2.0001 4.0001

Dari beberpa uraian di atas diberikat definisi limit sebagai berikut

Definisi:

Limit f(x), x mendekati c sama dengan L, ditulis Lxfcx

)(lim , jika untuk setiap x yang

cukup dekat dengan c, tetapi x c, maka f(x) mendekati L. Secara matematis definisi di

ats dapat ditulis sebagai berikut.

Jika diketahui fungsi f(x), pada saat x mendekati c, tetapi x c, x berada pada interval (c

, c) atau ((c + , c), sehingga fungsi f(x) mendekati nilai L, f(x) berada pada interval

((L , L + ) ) dituliskan: jika 0 0 yang diberikan

(berapakan becilnya),terdapat >0 yang bersesuaian sedemikian sehingga

Lxf )(


7/42


Gambar 2.3 Grafik Lxfcx

)(lim

Bila Lxfcx

)(lim , untuk setiap > 0 dan > 0, sehingga jika 0 0 sembarang dan misalkan 2

1 , maka suntuk

setiap x dalam domain f yang memenuhi 0


8/42


1.2 Teorema Limit

Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut, digunakan

dalam perhitungan limit.

1.

Ketunggalan limit: Jika Lxfcx

)(lim dan Mxfcx

)(lim makaL=M

2. Operasi aljabar pada limit Lxfcx

)(lim dan Mxgcx

)(lim , maka:

a. MLxgLimxfLimxgxfLimcxcxcx

)()())()((

b. MLxgLimxfLimxgxfLimcxcxcx

)()())()((

c. MLxgLimxfLimxgxfLimcxcxcx

.)().())().((

d. 0)(;)(

)(}

)(

)({

xgLimM

M

L

xgLim

xfLim

xg

xfLim

cx

cx

cx

cx

3. Limit fungsi yang sederhana

a. ,kkLimcx

k konstanta

b. cxLimcx

c. qpcqpxLimcx

)( ; p,qkonstanta

d.cx

Limcx

11

e. 22 cxLimcx

f. cxLimcx

4. Limit suku banyak berderajat n

Jika ,..............)( 100 nnn

naxaxaxP maka )()( cPxPLim nn

cx

, c Df=

R

5.

Limit fungsi Rasional (hasil bagi dua Suku banyak)

Jika ;)(

)()(

xP

xPxf

m

n Pn Pm suku banyak, maka )()( cfxfLimcx

cDf Dimana }0)(:{ xPRxD mf


9/42


Contoh

Hitunglah nilai limit berikut

1. )672(lim 22

xxX

Penyelesaian:

0

62.72.2

6limlim7lim2

6limlim7lim2

6lim7lim2lim)672(lim

2

22

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

xxx

xxx

xxxX

xx

xx

xxxx

2.25

32lim

1

x

x

X

Penyelesaian:

Syarat bagian pegian penyebut nilai limitnya tidak sama dengan nol, maka

terlebih dahulu cek nilai limitnya

32)1(5)25(lim1

xX

Karena nilai limit bagian penyebutnya -3 (tidak sama dengan 0), maka limit dari

fungsi tersebut bisa langsung dapat diselesaikan sebagai berikut.

3

1

3

1

2)1(5

3)1(2

)25(lim

)32(lim

25

32lim

1

1

1

x

x

x

x

x

x

X

3.4

23lim

2

2

2

x

xx

X

Penyelesaian:

Teorema 2.d tidak berlaku, karena nilai limit bagian penyebutnya dari fungsi,

yaitu: 042)4(lim 222 xx

Namun kondisi ini bukan berarti nilai limit dari fungsi di atas tidak ada. Pada

kasus-kasus seperti ini, akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2,


10/42


bukan berarti nilai x sama dengan 2. Dengan memanfaatkan sifat-sifat operasi

dasar aljabar, diperoleh bentuk lain dari fungsi di atas sebagai berikut.

)2(

)1(

)2)(2(

)1)(2(

4

232

2

x

x

xx

xx

x

xx

Sehingga

4

1

22

12

2

1lim

4

23lim

22

2

2

x

x

x

xx

XX

4.16

8lim

4

3

2

x

x

X

Penyelesaian:

Untuk x = -2 nilai penyebut x4-16 = (-2)4 -16 = 0, maka teorema 2.d tidak

dipenuhi, maka penyelesaian sejalan dengan contoh 3.

83

888444

8)2(2)2(

4)2(2)2(

)842(

)42(lim

)2()2()2())(2((

))2()2())(2((lim

)2(

)2(lim

16

8lim

23

2

23

2

2

3223

22

2

24

33

24

3

2

xxx

xx

xxxx

xxx

x

x

x

x

X

X

XX

8

3

16

9lim

4

3

2

x

x

X

Pada contoh soal di atas telah digambarkan bagaimana sifat operaso dasar aljabar

digunakan untuk menyelesaiakan persoalan limit, namun tidak semua soal limit dapat

diselesaikan dengan cara seperti itu, misalnya untuk limit fungsi trigonometri. Untuk

jenis fungsi akan dibicarakan pada bagian lain.

Ingat:

))((dan))(( 3223442233 babbaababababababa


11/42


Untuk soal 1 sampai 5, buktikan setiap limit yang diberikan dengan definisi limit.

1. qpaqpxax

)(lim ;p qkonstanta

2. 2)3(lim 22

xxx

3. 22lim axax

4. 8lim 32

xx

5. 211

lim1

xx

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Carilah nilai limit berikut dengan teorema dasar limit

1. 82lim 21

xxx

2.3

5lim

2

3

2

xx

x

x

3.3

27lim

3

3

x

x

x

4.

1

1lim

1

x

x

x

5.)3(

1

3

11lim

3

xxx

6.2

9lim

39

x

x

x

Penyelesaian:

1. 82lim 2

1

xxx

= 12 2.1 + 8 = 7

2.3

5lim

2

3

2

xx

x

x

Cek lebih dahulu nilai limit penyebutnya untuk x mendekati -2


12/42


,013)2(1)2(3lim 221

xxx

Jadi 31

3

3)2()2(

5)2(

3

5lim

2

3

2

3

2

xx

x

x

3.3

27lim

3

3

x

x

x

0333lim3

xx

, maka penyelesaiannya kasus ini sebagai berikut

2793.33)93(lim)3(

)93)(3(lim

3

27lim 22

3

2

3

3

3

xxx

xxx

x

x

xxx

4.1

1lim

1

x

x

x

Nilai penyebutnya: 01lim1

xx

, maka penyelesainya dilakukan sebagai

berikut

2111lim)1(

1)1(lim

1

1

1

)1(lim

1

1lim

1111

xx

xx

x

x

x

x

x

x

xxxx

5.)3(

1

3

11lim

3

xxx

Nilai 0)3(lim3

xx

, penyelesaian kasus ini sebagai berikut

9

1

3.3

1

3

1lim

)3(1

3)3(lim

)3(1

33lim

)3(1

311lim

3

333

x

xxx

xxx

xx

x

xxx

6.2

8lim

38

x

x

x, Nilai 0)2(lim 3

8

x

x, penyelesaian kasus ini sebagai berikut


13/42


1242.22

4828

42lim

2

42)2(

lim

2

2lim

2

8lim

2

32

3

32

3

8

3

32

33

8

3

333

8

38

xx

x

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

1.3 Limit Fungsi Trigonometri

Limit fungsi trigonometri untuk variabel mendekati sudut tertentu misalnya x mendekati

, cara penyelesaiannya langsung disubstitusikan. Apabila penyebutnya memberikan

nilai limit 0, harus diubah bentuknya sedemikian hingga penyebutnya tidak memberikan

nilai limit 0. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat operasi dasar aljabar:

memfaktorkan, menyederhanakan, atau mengalikan.

Contoh

3

1

)1(3

1

180cos3

90sin

)180360cos(3

90sin

)18090.4cos(390sin

)4cos(3

sinlim.1

0

0

00

0

00

0

900

x

x

x

22

1

11

22

122

1

4.2sin1

4cos4sin

2sin1

cossinlim.2

4

x


14/42


Prinsip Apit

Limit fungsi disatu titik sering kali dihitung dengan memanfatkan sifat urutan dari

fungsi pengapitnya di sekitar titik itu. Jika limit fungsi dari pengapitnya mempunyai

nilai yang sama, maka limit fungsinya sama dengan limit fungsi pengapitnya. Perhatikan

situasi pada gambar berikuty

h

f

L

g

0 c x

Gambar 2.4 Prinsip Apit

Teorema (prinsip apit)

Jika disekitar c berlaku:

Lxf

xhLxgxhxfxg

cx

cxcx

)(limmaka

)(lim)(limdan)()()(

Contoh

Kita akan hitungx

xx

1coslim

0dengan menggunakan prinsip apit

Karena disekitar 0 berlaku xx

xx

1

cos0maka,11

cos dengan limit pengapitnya

xxx 00lim00lim

, maka prinsip apit memberikan 0

1coslim

0

xx

xsehingga akibatnya 1.

1. 01

coslim0

x

xx

2. 1sin

lim0

x

x

x

3. 1tan

lim0

x

x

x


15/42


Jadi jika variabel mendekati 0, limit fungsi trigonometri bentuknya diubah ke dalam

bentuk umum sebagai berikut.

1. 01

coslim0

x

xx

2. 1sin

lim0

x

x

x

3. 1sin

lim0

x

x

x

4. 1tan

lim0

x

x

x

5. 1tan

lim0

x

x

x

Contoh

23

23).1(

23.

33sinlim

33.

23sinlim

23sinlim.1

000 xx

xx

xx

xxx

5

1

5

1).1(

5

1.

5tan

5lim

5

5.

5tanlim

5tanlim.2

000

x

x

x

x

x

x

xxx

21.1.2

sinlim.

sinlim.2

sin.

sinlim.2

.sin2

lim

)sin21(1lim

2cos1lim.3

00

0

2

2

0

2

2

0

20

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

2

sin1lim.4

2

x

x

x

Nilai limit penyebutnya adalah 0, maka penyelesaianya dapat dilakukan dengan cara

sebagai berikut


16/42


Misalkan2

xy , maka

2

yx

00.12

1sin.lim

2

12

1sin

lim2

1sin.

2

12

1sin

lim.

2

12

1sin

lim

2

12

1

.2

1sin2

lim2

1sin2

limcos1

lim2sin(1

lim

2

sin1lim

000

2

0

2

0

2

000

2

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

x

x

yyyy

yyyyx

5

3

5

3.1.1

5

3.

5tan

5.lim.

3

3sinlim

5

1.

5tan

5.3.

3

3sinlim

5tan

3sinlim.5

0000

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

xxxx

Rumus-Rumus identitas trigonometri yang dapat digunakan membantu menyelesaikanlimit trigonometri.

1.4 Limit Satu Sisi (Limit Kiri dan Limit Kanan)

Sebelum membahas konsep limit kiri dan dan limit kanan, perhatikan fungsi f beserta

grafiknya pada ilustrasi berikut.

Fungsi

0,1

0,1)(

x

x

x

xxf

Grafiknya

1. sin2x + cos2x = 12. cos 2x = 2 cos2x 1

= 1 2 sin2x= cos2x sin2x

3. sin 2x = 2 sinx cos x4. sec2x - 1 = tan2x

Y

0

-1

1

X


17/42


Gambar 2. 5. Grafik Fungsix

xxf )(

Informasi yang dapat diperoleh dari situasi ini adalah:

1. Nilai f(x) dapat dibuat sembarang dekat ke 1 bila x dibuat dekat ke 0 dari

sebelah kanan .Di sini dikatakan bahwa fungsi f mempunyai limit kanan di

0dengannilai 1, ditulis 1)(lim0

xfx

2. Nilai f(x)dapat dibuat sembarang dekat ke -1 bila x dibuat dekat ke 0 dari

sebelah kiri .Di sini dikatakan bahwa fungsi f mempunyai limit kiri di 0

dengannilai -1, ditulis 1)(lim0 xfx

3. Nilaif(x) tidak mendekati suatu nilai manapun bila mana x dibuat mendekati

0. Dari arah sebelah kiri 0, f(x) mendekati 1, sedangkan dari arah sebelah

kanan 0, f(x) mendekati 1. Karena limitnya dari arah kiri dan arah kanan

berbeda, maka dikatakan bahwax

xxf

xx 00

lim)(lim

tidak ada

Fakta pada ilustrasi di atas merupakan suatu fenumena yang dijadikan model untuk

memperkenalkan konsep limit kiri dan limit kanan dari fungsi fdi c , yang difinisinya

sebagai berikut:

Difinisi:

Misalkan fungsifterdefinisi pada interval (c,b).Limit kananfungsifdi cadalahLditulis

cxLxfLxf

cx

bila)(atau,)(lim

Jika .)(000 Lxfcx

Misalkan fungsifterdefinisi pada interval (a,c). Limit kirifungsifdi cadalahL( ditulis

cxLxfLxf

cxbila)(atau,)(lim

Jika .)(000 Lxfxc


18/42


Secara geometri dapat diperlihatkan untuk siatuasi limit kiri dan limit kanan seprti pada

gambar berikut:

Limit kanan Fungsifdi c

Gambar 2.6a Grafik Limit Kanan Fungsi f(x)

Limit kiri Fungsifdi c

Gambar 2.6b Limit Kiri Fungsi f(x)

Hubungan antara limit fungsi di satu titik dengan limit kiri dan limit kanannya di titik itu

diberikan dalam teorema berikut:

0

xcxa0

f

L

y

f(x

0

0 c x bx

f(x)

L

y

f


19/42


Teorema

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

Teorema ini memenyatakan bahwa limit kiri dan limit kanan fungsif di c dapat dihitung

dengan cara menghitung limit fungsi di c, asalkan limit fungsi tersebut ada.

Contoh

1. 31lim2

)2)(1(lim

2

2lim

22

2

2

x

x

xx

x

xx

xxx

2. 31lim2

)2)(1(lim

2

2lim

22

2

2

x

x

xx

x

xx

xxx

Contoh Soal dan Penyelesainnya

Tentukan limit kiri dan limit kanan dari fungsi nomor 1 sampai dengan 3 berikut

1. Diketahui f(x) adalah fungsi didefinisikan sebagai berikut

0,1

0,0

0,1

)(

x

x

x

xf

2.

0,2

0,)(

x

xxxf

3.

3,0

3,3

3

)(

x

xx

x

xf

4. Tentukan nilai k supayaf(x) berikut mempunyai harga limit

4,5

4,23)(

xkx

xxxf

Penyelasain


20/42


1.

0,1

0,0

0,1

)(

x

x

x

xf

Gambar 2.7 Grafik fungsi

0,1

0,0

0,1

)(

x

x

x

xf

11lim)(lim11

xx

xf

11lim)(lim11

xx

xf

2.

0,2

0,)(

x

xxxf

Gambar 2.8 Grafik Fungsi

0,2

0,)(

x

xxxf

-1

1

0 x

y

y = x


21/42


0lim)(lim00

xxf

xx

0lim)(lim00

xxf

xx

3.

3,0

3,3

3

)(

x

xx

x

xf

11lim)3(

)3(lim)(lim

333

xxx x

xxf

11lim)3(

)3(lim)(lim

333

xxx x

xxf

Limit kiri tidak sama dengan limit kanan,f(x) tidak mempunyai harga limit di x = 3

4.

4,5

4,23)(

xkx

xxxf

kkkxxfxx

204.55lim)(lim44

1424.323lim)(lim44

xxfxx

Agar f(x) mempunyai harga limit, )(lim)(lim44

xfxfxx

( limit kiri sama dengan limit

kanan.

)(lim)(lim44

xfxfxx

20 + k = 14

k = -6

1.5 Beberapa Sifat Penting dari Limit Fungsi.

1.5.1 Limit Nilai Mutlak Fungsi

Jika suatu fungsi mempunyai limit di suatu titik, maka nilai mutlak fungsinya

mempunyai limit di titik itu, tetapi kebalikannya tidak benar lagi


22/42


Teorema:

1. Jika Lf(x)Lxfcxcx

limmaka,)(lim

2. Jika 0(x)limmaka,0)(lim

fxfcxcx

Contoh

3

2

3

2

1)1(2

2)1()1(

12

2lim

12

2 23

1

3

1

x

xx

x

xxLim

xx

1.5.2 Limit Tak Berhingga dan Limit Menuju Tak Berhingga

Untuk mendapat pemahaman tentang limit tak berhingga dan menuju tak berhingga,

terlebih dahulu diperhatikan masalah2

1lim

xx . Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat

dengan 0, nilai-nilai2

1)(

xxf diberikan dalam Tabel 2. 3

Tabel 2.4 Nilai-Nilai2

1)(

xxf

x2

1

x

x 21

x

1 1 -1 1

0.5 4 -0.5 4

0.01 10.000 -0.01 10.000

0.001 1.000.000 -0.001 1.000.000

0.0001 100.000.000 -0.0001 100.000.000

. . .

0.000001 1.000.000.000.000 -0.000001 1.000.000,000,000

Berdasarkan tabel 2.4 terlihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dekat dengan 0, maka

nilai2

1)(

xxf menjadi semakin besar, Bahkan nilai

2

1)(

xxf akan menjadi besar tak

terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kanan maupun dari sisi kiri. Grafik fungsi

2

1)(

xxf dapat diperlihatkan pada gambar 2.2


23/42



1)(

xxf

Dalam kondisi ini, dikatakan bahwa limit f(x), x menuju 0 sama dengan tak berhingga ,

ditulis: 200

1lim)(lim

xxf

xx. Dengan cara sama didapatkan nilai

20

1lim

xx

Berdasarkan kondisi-kondisi tersebut, didapat definisi sebagai berikut.

1.

)(lim xfax

, jika untuk x cukup dekat dengan a, tetapi x a, maka f(x) menjadi

besar tak terbatas ke arah positif.

2.

)(lim xfax

, jika untuk x cukup dekat dengan a, tetapi x a, maka f(x)

menjadi besar tak terbatas ke arah negatif.

Secara matematis, definisi tersebut dapat ditulis sebagai berikut

Limit Tak Berhingga. Kita difinisikan sebagai berikut

Telah dibicarakan pengertian limit untuk x mendekati a, dengan a suatu bilangan

berhingga. Namun dalam berbagai aplikasi sering dipertanyakan bagaimana nilai f(x)

apabila x cukup besar. Sebagai contoh, bagaimana nilai

x

xf1

)( , apabila nilai x cukup

besar. Tabel 2.5 memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x.


24/42


Tabel 2.5 Nilai-Nilai Fungsix

xf1

)(

Berdasarkan nilai pada Tabel 2.5, ternyata semakin besar nilai x pada arah positif, nilai

f(x) semakin kecil dan semakin menuju 0. Kondisi ini dikatakan 01lim xx

. Sejalan

dengan cara di atas, apabila x menuju besar tak terbaras ke arah negetif, nilai f(x)

semakin menuju 0, yaitu: 01

lim xx

Berdasarkan kondisi tersebut dapat diturunkan definisi limit menuju tak berhingga

sebagai berikut.

1. Lxfx

)(lim , jika f(x) terdefinisikan untuk setiap x menuju bilangan cukup

besar pada arah positif dan x menjadi besar tak terbatas pada arah positif, maka

f(x) mendekati L

2. Lxfx

)(lim , jika f(x) terdefinisikan untuk setiap x menuju bilangan cukup

besar pada arah negatif dan x menjadi besar tak terbatas pada arah negatif, maka

f(x) mendekati L

Secara matematis, definisi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

1.

)(lim xfax

jika untuk tiap bilangan positif M, bagaimanapun besarnya,

terdapat suatu bilangan positif sedemikian hingga, sehingga jika 0 ax

xx

1 x

x

1

10 0.10 -10 -0.10100 0.010 -100 -0.01

1.000 0.0010 -1.000 -0.001

10.000 0.00010 -10.000 -0.0001

100.000 0.000010 -100.000 -0.00001

. .

1.000.000 0.0000010-

1.000.000 -0.000001


25/42


maka 0 ax jika Mxf )( , Jikaf(x)> M,

)(lim xfax

; Jikaf(x)


26/42


2.

2

2

11

2lim

1

2lim

xx

x

x

xx

Soal

Hitunglah

1.1

2lim

x

x

x Jwb. 2

2.73

232lim

24

2

xx

xx

x Jwb. 0

3. 32lim

xxx

Jwb. 0

4.5

)12(lim

2

x

x

x Jwb.

1.6 Kontinuitas Sebuah Fungsi

Istilah kontinu digunakan untuk memberikan suatu proses yang berkelanjutan tanpa

perubahan yang mendadak. Perhatikan tiga grafik fungsi yang diperlihatkan pada

gambar 2.10

Gambar 2.10 Tiga Kondisi Grafik Fungsi f(x)

f(x)

c0

x

y

adatidak)(lim xfcx

(a)

adatidak)(lim xfcx

tetapi )()(lim cfxfcx

0

(b)

f(x)

c

x

y

0

(c)

f(x)

c x

y

)()(lim cfxfcx


27/42


Definisi

Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu pada x = c jika:

(i) f(c) terdefinisikan

(ii) ada)(lim xfcx

(iii) f(c)xfcx

)(lim

Sebagai contoh, f(x) = x2 + 1 kontinu di x = 2 karena )f(xfx

25)(lim2

. Sebuah

fungsi f(x)disebut diskontinu atau tidak kontinu pada x = c, jika satu atau lebih syarat

untuk kontinuitas tidak berlaku di titik itu. Sebagai contoh:2

1)(

xxf adalah

diskontinu pada x = 2 karena; f(2) tidak terdifinisi (mempunyai penyebut nol) dan

adatidak)(lim2

xfx

. Fungsi ini kontinu dimana-mana kecuali di titikx = 2

Contoh lainnya,2

4)(

2

x

xxf diskontinu pada x = 2 karena f(2) tidak didefinisikan

(pembilang dan penyebutnya nol). Namun harga 4)(lim2

xfx


4)(

2

x

xxf di Titik x = 2

2

2

4)(

2

x

xxf

g(x)= x+ 2


28/42


Diskontinu ini disebut diskontinu dapat dihapus, karena dengan mendefinisikan kembali

fungsinya menjadi:

2;4

;2;2

4

)(

2

x

xx

x

xf

Grafik fungsi2

4)(

2

x

xxf dan g(x) = x + 2 adalah identik kecuali x = 2 di mana grafik

yang pertama mempunyai lubang. Penghapusan diskontinuitas secara sederhana adalah

mengisi dengan baik lubang yang ada

Kontinuitas f(x) Pada Suatu Interval

Suatu fungsi disebut kontinu pada sutu interval tertutup [c,d], jika dan hanya jika fungsi

tersebut kontinu disetiap titik pada [c,d].

Gambar 2.12 Grafik Fungsi Kontinu

Suatu fungsi disebut kontinu pada sutu interval tertutup [c,d], jika dan hanya jika fungsi

tersebut kontinu disetiap titik pada [c,d].

Gambar 2.13 Grafik Fungsi Tidak Kontinu

Interval [c,d]

y

c d0

f(x)

x

Interval [c,d]

y

c d0

f(x)

x


29/42


Secara grafik f(x) kontinu di x = a, jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat

a tidak terpotong di titik (a,f(a)). Jika fungsi f(x) tidak kontinu di x = a maka dikatakan

f(x) diskontinu pada x = a. Pada gambar 2.12 f(x) kontinu di setiap di dalam [a,b]

kecuali di titik x2, x3, dan x4. Fungsi f(x) diskontinu di titik x2, x3, dan x4. Diskontinu di

x2karena )(lim2 xfx tidak ada, diskontinu di x3karena nilai )(lim3 xfx tidak sama dengan

f(3) meskipun keduanya ada, dan diskontinu di x4karena nilai f(x4) tidak ada

Gambar 2.14 Kontinuitas Fungsi f(x)

Contoh

1. Fungsi f(x) dengan rumus1

1)(

2

x

xxf diskontinu di x = 1, karena f(1) tidak

terdefinisi2. Fungsi f(x) didefinisikan oleh

2;1

2;2

4)(

2

x

xx

x

xh

x1

f(x)

x

x4x3x2a b

y


30/42


Diskontinu di x = 2 karena h(2) = 3, sedangkan .42

4lim)(lim

2

22

x

xxh

xxNamun

fungsi h(x) kontinu di x =1, sebab ).1(32

4lim)(lim

2

11h

x

xxh

xx

3. Fungsi g(x) didefinisikan sebagai berikut

0;1

0;0)(

x

xxg

diskontinu di x = 0, karena )(lim0

xgx

tidak ada

Sifat-Sifat Dasar Fungsi Kontinu

Jika fungsi f dan g kontinu di x = c, dan k sembarang konstanta real, maka fungsi berikut

juga kontinu di x = c

1. Penjumlahan: f + g

2. Pengurangan: f g

3. Perkalian: f.g

4. Perkalian dengan konstanta: k.f

5. Pembagian: 0)(; cgg

f

Sama halnya dengan kasus-kasus nilai limit, kontinuitas juga dikenal istilah kantinu satu

sisi. Kondisi tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut.

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x = c, jika dan hanya jika memenuhi syarat:

(i) f(a) terdefinisi atau ada

(ii)Limit kanan: adacx

lim

(iii)f(a) = limit kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x = c, jika dan hanya jika memenuhi syarat:

(i) f(a) terdefinisi atau ada

(ii)Limit kiri: adacx

lim

(iii)f(a) = limit kiri


31/42


Berdasarkan kondisi-kondisi yang diterlihatkan di atas, dapat disimpulkan

1. f(x) dikatakan kontinu pada interval tertutup [c,d], jika dan hanya jika:

a. f(x) kontinu di [c,d]

b. kontinu kanan di x = c

c.

kontinu kiri di x = d2. f(x) dikatakan kontinu pada interval [c,d), jika dan hanya jika:

d. f(x) kontinu di [c,d)

e. kontinu kanan di x = c

3. f(x) dikatakan kontinu pada interval tertup (c,d], jika dan hanya jika:

f. f(x) kontinu di (c,d]

g. kontinu kiri di x = c

Contoh

Selidiki kontinuitas dari fungsi 21)( xxf

Penyelesaian:

Sangat jelas terlihat bahwa f(x) tidak kontinu pada (-, -1) dan (1, ) karena f(x) pada

interval tersebut tidak terdefinisi. Untuk nilai a pada -1< a


32/42


1. 4)( 2 xxf pada x = 2

2.)1(

)1)(32()(

x

xxxf di x = 1

3.

3xjika;7

3xjika;)(

2xxf

4.

3xjika;3

1xjika;3)(

x

xxf

5. Tentukan nilai a agar f(x) kontinu pada x = 2, jika f(x) didefinisikan

2xjika;

2xjika;21

)(22xa

x

a

xf

6. Tentukan nilai a dan b agar f(x) kontinu pada (-), jika f(x) didefinisikan

4xjika;2

4x1jika;

1xjika;

)(

x

bax

x

xf

Penyelesaian:

1. 4)( 2 xxf pada x = 3

Gambar 2.15 Grafik Fungsi 4)( 2 xxf pada x = 3

f(3) = 32 4 = 5

54lim)(lim 233

xxf

xx


33/42


)(lim54lim)(lim3

2

33xfxxf

xxx

)3(5)(lim3

fxfx

Jadi fungsi f(x) = x2 4 kontinu di x = 3

2.)1(

)1)(32()(

x

xxxf di x = 1

Gambar 2.16 Grafik Fungsi)1(

)1)(32()(

x

xxxf di x = 1

f(1) = tidak terdefinisi

5)32(lim)1(

)1)(32(lim)(lim

111

x

x

xxxf

xxx

5)32(lim)1(

)1)(32(lim)(lim

111

x

x

xxxf

xxx

)1(5)(lim1

fxfx

Jadi f(x) diskontinu di x = 1 (diskontinu dapat dihapus

3.

3xjika;7

3xjika;)(

2xxf


34/42



3xjika;7

3xjika;)(

2xxf

f(2) = 7

9lim)(lim 233

xxf

xx

9lim)(lim 233

xxf

xx

)3(9lim)(lim 233

fxxfxx

Jadi f(x) diskontinu di x = 3 (diskontinu dapat dihapus)

4.

3xjika;3

1xjika;3)(

x

xxf


35/42



3xjika;3

1xjika;3)(

x

xxf

f(1) = 3 + 1 = 4

213)3(lim)(lim11

xxfxx

)(lim413)3(lim)(lim111

xfxxfxxx

adatidak)(lim1

xfx

Jadi f(x) diskontinu di x = 1 (diskontinu esensial)

5.

2xjika;

2xjika;21

)(22xa

x

a

xf

Agar f(x) kontinu di titik x = 2, maka:

a

aaf

21)(

22222

2242lim)(lim aaxaxf

xx

2

2121lim)(lim

22

a

x

axf

xx


36/42


8a

2

= 1 -2a8a2+2a 1 = 0

(4a -1)(2a + 1) = 0

2

1aatau

4

1a

6.

4xjika;2

4x1jika;

1xjika;

)(

x

bax

x

xf

Di titik x = 1

f(1) = 1

1lim)(lim11

xxf

xx

babaxxfxx

)(lim)(lim11

baxfx

)(lim1

Agar kontinu di x = 1 maka )1()(lim1 fbaxfx

a + b = 1 (1)

Di x = 4, maka f(4) = -2(4) = -8

8)2(lim)(lim44

xxfxx

babaxxfxx

4)(lim)(lim44

Agar kontinu di titik x = 4

baxfx

48)(lim4

)(lim)(lim xfxfaxax

2

214 2

aa

)(lim)(lim)(lim444

xfxfxfxxx


37/42


)4()(lim4

fxfx

-4a + b = -8 ..............(2)

Dari persamaaan (1) dan (2)

a + b = 1

4a + b = -8

------------------ (-)

-3a = 9

a = -3

a + b = 1

-3 + b = 1

b = 4

Jadi agar

4xjika;2

4x1jika;

1xjika;

)(

x

bax

x

xf pada (-)

nilai a = -3 dan b = 4

2.7Rangkumam

Difinisi:

Mengatakan bahwa Lxfcx

)(lim berarti bahwa untuk setiap > 0 yang diberikan

(berapakan becilnya),terdapat >0 yang bersesuaian sedemikian sehingga

Lxf )(


38/42


a. MLxgxfxgxfcxcxcx

)(lim)(lim))()((lim

b. MLxgxfxgxfcxcxcx

)(lim)(lim))()((lim

c. MLxgxfxgxfcxcxcx

.)(lim).(lim))().((lim

d. 0)(lim;)(lim)(lim}

)()({lim

xgM

M

L

xg

xf

xg

xfcx

cx

cx

cx

Limit fungsi yang sederhana

a. ,lim kkcx

k konstanta

b. cxcx

lim

c. qpcqpxcx )(lim ; p,qkonstanta

d.cxcx

11lim

e. 22lim cxcx

f. cxcx

lim

Limit suku banyak berderajat n

Jika ,..............)( 100 nnn

naxaxaxP maka )()( cPxPLim nn

cx

, c Df=

R

Limit fungsi Rasional (hasil bagi dua Suku banyak)

Jika ;)(

)()(

xP

xPxf

m

n Pn Pm suku banyak, maka )()(lim cfxfcx

cDf Dimana }0)(:{ xPRxD mf

Limit Kiri dan Limit Kanan

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (c,b). Limit kanan fungsi f di c adalah L (

ditulis )bila)(atau,)(lim(

cxLxfLxfcx

Jika .)(000 Lxfcx


39/42


Misalkan fungsifterdefinisi pada interval (a,c). Limit kirifungsifdi cadalahL( ditulis

)bila)(atau,)(lim(

cxLxfLxfcx

Jika .)(000 Lxfxc

Limit Nilai Mutlak

Jika Lf(x)Lxfcxcx

limmaka,)(lim

Jika 0(x)limmaka,0)(lim

fxfcxcx

Teorema apit

Jika disekitar c berlaku:

Lxf

xhLxgxhxfxg

cx

cxcx

)(limmaka

)(lim)(limdan)()()(

Kontinuitas

Sebuah fungsif(x)dikatakan kontinu dix = x0jika:

i. f(x0)terdifinisi.

ii. ada)(lim0

xfxx

iii. )f(xxfLimxx

0)(0

Sebuah fungsif(x)disebut diskontinu atau tidak kontinu padax = x0, jika satu atau lebih

syarat untuk kontinuitas tidak berlaku di titik itu.

2.8 Soal-Soal Untuk Latihan 2

1. Jika ,12)( 2 xxxxf hitunglah )(lim0

xfx

2. Jika4

2)(

2

2

x

xxxf , hitunglah )(lim

2xf

x

Hitunglah nilai limit dari fungsi berikut

3.5

62lim

2

x

x

x


40/42


4.1

2lim

2

1

x

xx

x

5.2

65lim

2

2

x

xx

x

6. 2

8lim

3

2

x

x

x

7.

21 1

2

1

1lim

xxx

8.5

25lim

2

2

x

x

x

9.23

4lim

2

2

2

xx

x

x

10.644lim

2

2

2

xxxx

x

11.2

8lim

2

3

2

xx

x

x -

12.9

1253lim

2

2

3

x

xx

x

13.1

1lim

2

3

1

x

x

x

14.3

3lim

3

x

x

x

15.

4

1

2

1lim

22 xxx

16.1

1lim

1

x

x

x

17.

4

24

x

xxLimx

18.x

x

x

442lim

0

19.2

2

1 1

13lim

x

xx

x

20.xxx

xxx

x 876

553lim

23

23

21. 1426lim 22

xxxxx

22.52

43lim

2

x

x

x

23.x

x x

x

1lim

24.

xx

xx

x 44

44lim

25.3

1

3lim

x

x x

x

26.1

coslim

2 x

xx

x

27.x

x

x 8sin

2sinlim

0

28.20

cos1lim

x

x

x

29.

x

x

x

2tan

lim0

30.

xxx

tan2

lim

2

31.20

4cos2coslim

x

xx

x

32.x

xx

1sin)cos1(lim

0

33.

)1cos(sinlim0 xx

x

34.20

2cos1lim

x

x

x


41/42


35.)2sin(

3tanlim

2x

xx

x

36.x

x

x sin

cos1lim

37.16

312lim

24

x

x

x

38.12

lim2

x

xx

x

39.

Jika:

1,2

1,1)(

2

2

xxx

xxxf

Selidiki apakah fungsi f mempunyai limit dix= 1

40. Tentukan konstanta cagar fungsi

1,

1,3)(

2 xcx

xcxxf

mempunyai limit dix= -141. Selidiki kontinuitas dari funsi berikut di titik x = 2

2,

2,)(

xx

xxxf

42. Tentukan kostanta adan bagar fungsi

2 x,3

21,

11

)(

x

xbax

xx

xf

kontinu padaR

Kunci Jawaban

1. 1

2.2

1

3.3

2

4. -3

5. 1

6. 12

7.2

1

8.

10

9. 4

10.2

11.-4

12.6

13

13.2

3

14. 36

1

15.Tidak ada


42/42

16.2

1

17.4

3

18.-1

19.4

1

20.2

1

21.5

22.2

3

23.e

1

24.1

25.e2

26.

12

27.4

1

28.2

1

29.2

30.-1

31.6

32.0

33.0

34.

235.0

36.0

37.32

3

38.2

1

39.F(x) punya harga limit di x = 1 karena limit kiri sama dengan limit kanan, yaitu 2

40.C = -1

41.Diskontinu pada x = 2

42. a = 4 dan b = 2

2.10 Umpan Balik

Untuk mengetahui tingkat pengusaan anda terhadap materi, gunakan rumus berikut

%100soalJumlah

skorjumlahJumlahPenguasaanTingkat x

Arti tingkat penguasaan yang anda capai:

90% - 100% = baik sekali

76% - 89% = baik

60% - 75% = sedang

< 60% = kurang

Jika anda mencapai tingkat pengusaan minimal 60%, anda dapat meneruskan

kompetensi dasar berikutnya. Tetapi jika anda mencapai tingkat penguasaan kurang dari

60%, anda harus mengulangi materi tersebut terutama yang belum dikuasai.

bab 2 matematika limit dan kontinuitas

Documents