bab 1 persamaan gerak

BAB I PERSAMAAN GERAK Standar Kompetensi : Menganalisis gejala alam dan keteraturannya dalam cakupan mekanika benda titik. Kompetensi Dasar: Menganalisis gerak lurus, gerak melingkar dan gerak parabola dengan menggunakan vektor. Indikator: Menganalisis besaran perpindahan, kecepatan dan percepatan pada perpaduan gerak lurus dengan menggunakan vektor. Menganalisis besaran kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar dengan menggunakan vektor. Menganalisis besaran perpindahan dan kecepatan pada gerak parabola dengan menggunakan vektor. Menganalisis vektor percepatan tangensial dan percepatan sentripetal pada gerak melingkar. 1. GERAK PADA BIDANG 1.1 Posisi gerak partikel pada suatu bidang Posisi partikel pada sustu bidang dapat dinyatakan dalam vektor satuan i dan j. i adalah vektor satuan dalam arah sumbu X dan j adalah vektor satuan dalam arah sumbu Y. Jadi vektor posisi partikel yang berada pada koordinat (x, y) dapat dinyatakan dengan: r = x i + y jY

Y (x, y)

J 0 i X

r XPosisi sebuah partikel dalam

Vektor-vektor satuan i dan j dalam bidang XOY Arah sumbu X dan sumbu Y

Jika sebuah partikel bergerak pada bidang XOY, pada saat di titik P1 vektor Y posisinya r1 setelah beberapa saat partikel berada di titik P2 vektor posisinya r2, maka partikel mengalami perpindahan sebesar r.y1 P1(x1; y1) r y2 r1 P2(x2 ; y2)

vektor posisi partikel pada saat di titik P1 : r1 = x1 i + y1 j vektor posisi partikel pada ssat di titik P2 : r2 = x2 i + y2 j

r2 Fisika SMA Kelas XI Semester Gasal x1 X x2

1

Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan posisi suatu partikel dalam selang waktu tertentu. Jadi vektor perpindahan dapat dinyatakan dengan: r = r2 r1 = (x2 i + y2 j) - (x1 i + y1 j) = (x2 x1)i (y2 y1)j r = x i + y j Contoh 1. Vektor posisi sebuah partikel yang bergerak pada bidang XY pada saat t = 0 dinyatakan adalah r1 = 3i + 2j dan setelah beberapa saat vektor posisi menjadi r2 = 9i + 10j dengan r dalam meter, tentukan vektor perpindahan, besar perpindahan dan arah perpindahan partikel tersebut: Penyelesaian: vektor posisi r1 = 3i + 2j dan r2 = 9i + 10i Ditanya : vektor r, besar r dan arah r Jawab

r = r2 r1

: vektor perpindahan = (x2 x1)i + (y2 y1)j = (9 3)i + (10 2)j = 6i + 8j Arah perpindahan: tan =

Besar perpindahan r = = = positif 1.2 Kecepatan (x)2 + (y)2 62 + 82 36 + 64 = 10 m

y 8 4 = = x 6 3

= tan-1( 4 ) = 53o 3Jadi arah perpindahan membentuk sudut 53o terhadap sumbu X

Kecepatan rata-rata Kecepatan rata-rata v didefinisikan sebagai hasil bagi antara perpindahan dan selang waktunya. r1 = posisi awal partikel r2 r1 r r2 = posisi akhir partikel v= =

t

t 2 t1

Vektor kecepatan rata-rata dapat dinyatakan sebagai:

v=

x i + y j t v = vxi + v y j

=

x y i + j t tvx = komponen kecepatan rata-rata pada arah sumbu x vy = komponen kecepatan rata-rata pada arah sumbu y2

Fisika SMA Kelas XI Semester Gasal

Kecepatan sesaat Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu t mendekati nol, kecepatan sesaat gerak pada bidang dapat dinyatakan sebagai

v = lim v = limt 0

sehingga kecepatan sesaat dapat dinyatakan sebagai turunan pertama dari fungsi posisi r terhadap waktu t. Secara matematik dapat dituliskan v=

r t 0 t

dr dt

Untuk gerak partikel pada sumbu X dan sumbu Y, kecepatan sesaat: vx = kecepatan rata-rata

dx dt

dan

vy =

dy dt

vx =

x t

dan

vy =

y t

Vektor kecepatan dan besar kecepatan untuk gerak pada bidang adalah; vektor kecepatan sesaat: v= vektor kecepatan rata-rata:

dx dy i+ j = vx + vy j dt dt

v=

x y i+ j = vxi + v y j t t

Besar kecepatan sesaat:

Besar kecepatan rata-rata:

v=

2 2 vx + v y

v = v x2 v y2

Arah kecepatan untuk gerak pada bidang membentuk sudut terhadap sumbu X positif. tan =

vy vx

Contoh 2. Posisi sebuah partikel yang bergerak sedang pada bidang XY dinyatakan oleh r = 3t2 - 2t + 4, dengan t dalam sekon dan r dalam meter. Tentukan a. kecepatan rata-rata partikel untuk t = 1 s sampai dengan t = 3 sekon. b. kecepatan partikel pada saat t = 2 s. Penyelesaian: Diketahui Vektor poisisi r = 3t2 - 2t + 4 Ditanya a. v untuk t1 = 1 s dan t2 = 3 s b. v pada t = 2 s. Jawab: a. untuk t1 = 1 s. r1 = 3t2 - 2t + 4Fisika SMA Kelas XI Semester Gasal 3

r1 = 3. 12 - 2.1 + 4 r1 = 3 - 2 + 4 =5m untuk t2 = 2 s. r1 = 3t2 + 2t 4 r1 = 3. 32 - 2.3 + 4 r1 = 27 - 6 + 4 = 25 m Kecepatan rata-rata

v =

r 25 5 20 = = = 10 m/s. t 3 1 2dihitung dengan menurunkan

b. kecepatan partikel pada t = 2 s persamaan fungsi posisi.

v =

v = 6t - 2

dr d = (3t2 - 2t + 4) dt dt

= 6.2 - 2 = 12 - 2 = 10 m/s. Menentukan posisi dari fungsi kecepatan. Posisi partikel dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan kecepatan v sebagai fungsi waktu t.

v

dr = dt

ro

dr = vo

r

t

(t )

dt

r ro =

vo

t

(t )

dt

r = ro +

vo

t

(t )

dt

ro = posisi awal partikel r = posisi partikel pada saat t sekon

v (t )

= kecepatan sebagai fungsi waktu

Dengan cara yang sama, maka untuk gerak pada sumbu x dan sumbu y, posisi partikel masing-masing dapat dinyatakan sebagai berikut:

x = xo +

v x dto

t

y = yo +

v dty o

t

Contoh 3. Kecepatan sebuah partikel yang sedang bergerak sepanjang sumbu X dinyatakan oleh vx = 4t + 2, dengan t dalam sekon dan v dalam m/s. Jika pada saat t = 0 posisi partikel 4 m, tentukan kecepatan partikel pada t = 2 sekon. Penyelesaian: Persamaan kecepatan pada sumbu-X, vx = 4t + 2 dan posisi awal partikel m Ditanyakan: posisi x pada t = 2 sekon. Jawab : xo = 4

Posisi partikel (x) ditentukan dengan cara mengintegralkan fungsi kecepatan terhadap waktu.

x = xo +

vo

t

(t )

dt4


x=4+ o = 4 + 2t2 + 2t Pada t = 2 s

(4t + 2)dt x = 4 + 2.22 + 2.2=4+8+4 = 16 m

t

1.3

Percepatan

Percepatan rata-rata ( a ) didefinisikan sebagai perubahan kecepatan tiap

selang waktu waktu.

a =

v t

=

v 2 v1 t 2 t1

dengan v2 kecepatan partikel pada saat t = t2 dan v1

kecepatan partikel pada saat t = t1 Untuk gerak pada sumbu x dan sumbu y komponen kecepatan ( a x ) dan ( a y ) dapat ditulis

ax =

sehingga vektor kecepatan rata-rata grak partikel pada bidang dapat dinyatakan dengan

v x t

dan

ay =

v y t

a = axi + a y jbesar perepatan rata-rata adalah :

a = a x2 + a y2terhadap

arah percepatan rata-rata dinyatakan dengan membentuk sudut sumbu X positif. tan =

ay ax

Percepatan sesaat adalah percepatan rata-rata dalam selang waktu yang sangat

singkat ( t mendekati nol). Percepatan rata-rata merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan v terhadap waktu t.

a=

dv dt

karena

v=

dr , dt

maka percepatan sesaat dapat dinyatakan sebagai turunan kedua dari fungsi posisi:

a=

d 2r dt 2

untuk gerak pada sumbu X dan sumbu Y percepatannya dapat dinyatakan sebagai berikut:Fisika SMA Kelas XI Semester Gasal 5

ax =

d 2x dt 2

dan

ay =

d2y dt 2

Contoh 4. Posisi sebuah partikel yang bergerak pada arah sumbu-x diberikan oleh x = t3 + 2 t2 + 5t, dengan t dalam sekon dan x dalam cm. Tentukan: a. Persamaan percepatan partikel. b. Percepatan awal partikel. c. Percepatan partikel pada t = 3 sekon. d. Penyelesaian: Diketahui : persamaan posisi x = t3 + 2 t2 + 5t Ditanyakan : a. a(t) b. ao c. a pada t = 3 sekon. Jawab : a. Percepatan merupakan turunan kedua dari fungsi posisi, maka untuk mempermudah dicari fungsai kecepatan terhadap waktu terlebih dulu

dx d (t 3 + 2t 2 + 5t ) = = 3t2 + 4t + 5 dt dt 2 dv d (3t + 4t + 5) a= = dt dtv= a(t) = 6t + 4 b. percepatan awal partikel adalah percepatan pada t = 0 a(t=0) = 6 . 0 + 4 = 4 m/s2 c. Percepatan pada t = 3 sekon: a(t=2) = 6. 22 + 4 = 28 m/s2 Menentukan kecepatan dari fungsi percepatan

a

dv = dt

vo

dv = ao

v

t

(t )

dt

v vo =

ao

t

(t )

dt

v = v o a ( t ) dt v o = kecepatan awal sebagi fungsi waktu v = kecepatan saat t sekon a (t ) = percepatan sebagai fungsi waktuuntuk gerak pada sumbu x dan sumbu y, dapat dinyatakan dengan kecepatan partikel masing-masing

v x a vox + a ( t ) dt =

Grafik a(t)

v y = v oy + a ( t ) dt

Gambar disamping adalah grafik fungsi percepatan terhadap waktu.Fisika SMA Kelas XI Semester Gasal 6

0

t

t

Luas daerah dibawah grafik a(t) atau daerah yang di arsir sama dengan nilai

a dt0

t

Contoh 5. Sebuah benda bergerak pada sumbu-X dengan percepatan yang bergantung pada waktu sebagai a = -1,2 t, t dalam sekon dan a dalam 2 m/s . Jika pada t = 0 sekon kecepatan benda 3,6 m/s dan posisi benda 5 m, berapa kecepatan dan posisi benda pada t = 2 sekon. Penyelesaian: Percepatan benda pada saat t sekon, a = - 1,2 t m/s2 dan kecepatan awal benda, v o = 3,6 m/s dan posisi awal benda xo = 5 m ditanyakan: kecepatan benda pada t = 2 sekon.

v pada saat t = 2 sekon dapat ditentukan dengan Jawab : kecepatan mengintegralkan fungsi percepatan. (1,2t)dt v = 3,6 + v = 3,6 - 0,6 t2 v = 3,6 - 0,6 . 22 pada t = 2 s v = v o + a ( t ) dt

= 3,6 2,4 = 1,2 m/s Posisi benda pada saat t = sekon ditentukan dengan mengintegralkan fungsi kecepatan yang telah diperoleh:

x = xo +

vo t

t

(t )

dt2

x=5+ o x = 5 + 3,6t 0,2t 3 pada t = 2 s

(3,6 0,6t )dt

x = 5 + 3,6 . 2 0,2 . 23 = 5 + 7,2 1,6 = 10,6 m Jadi pada t = 2 sekon kecepatan benda 1,2 m/s dan posisinya 10,6 m

TUGAS 11. Vektor posisi sebuah partikel pada saat t dinyatakn oleh r = 6t i + (10t 4t2) j.

Tentukan besar dan arah perpindahan partikel untuk selang waktu antara: (a) t = 0 s dan t = 2 s (b) t = 1 s dan t = 3 sFisika SMA Kelas XI Semester Gasal 7

Jawab : ................................................................................................................. ................................................................................................................... ...................................................................................................................2. Sebuah partikel sedang bergerak dalam lintasan lurus dengan vektor posisi x =

4t2 2t + 8, t dalam sekon dan x dalam meter. Tentukan kecepatan rata-rata partikel untuk selang waktu antara: (a) t = 0 dan t = 2 s (b) t = 1 dan t = 3 s. Jawab : ................................................................................................................. ................................................................................................................... ...................................................................................................................

3. Posisi sebuah partikel yang sedang bergerak pada bidang XOY diberikan oleh r

= (3t2 2t) i t3 j, t dalam sekon dan r dalam meter. Tentukan vektor kecepatan, besar dan arah kecepatan partikel pada t = 2 sekon. Jawab : ................................................................................................................. ................................................................................................................... ...................................................................................................................

4. Koordinat-koordinat x dan y dari sebuah partikel yang sedang bergerak

dinyatakan oleh x = 4 + 3t + t2 dan y = 6 + 4t + 0,5 t2; t dalam sekon, x dan y dalam meter. Tentukan: (a) vektor posisi dan vektor kecepatan pada saat t sekon. (b) vektor posisi dan kecepatan partikel pada t = 2 s, (c) kapan komponen kecepatan pada arah horizontal dan vertikal besarnya sama. Jawab : ................................................................................................................. ................................................................................................................... ...................................................................................................................

5. Sebuah parikel bergerak pada lintasan lurus dengan kecepatan sebagai fungsi

waktu diberikan oleh v = 3t2 18t + 15, t dalam sekon dan v dalam m/s. Tentukan perpindahan dan jarak yang ditempuh partikel untuk selang waktu antara t = 1 s dan t = 3 s. Jawab : ................................................................................................................. ................................................................................................................... ...................................................................................................................

6. Sebuah partikel sedang bergerak spanjang sumbu-X.

Kecepatan partikel dinyatakan sebagai fungsi waktu diberikan oleh v = 5 + 10 t, dengan t dalam sekon dan v dalam m/s. Posisi partikel pada t = 0 adalah 15 m. Tentukan: a. posisi sebagai fungsi waktu, b. posisi partikel pada t = 2 sekon, c. kecepatan partikel pada t = 2 sekon. Jawab : ................................................................................................................. ...................................................................................................................


8

...................................................................................................................7. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan pada saat t

sekon dinyatakan oleh v = (15 2t) m/s. Pada saat t = 3 sekon posisi benda berada pada jarak 40 meter dari titik asal. Tentukan posisi benda pada saat t = 4 sekon. Jawab : ................................................................................................................. ................................................................................................................... ...................................................................................................................8. Sebuah benda bergerak dengan percepatan yang bergantung pada waktu

sebagai a = - 2,4 t, t dalam sekon dan a dalam m/s2. Kecepatan pada t = 0 sekon 4,8 m/s. Berapa besar perpindahan benda ketika: (a) kecepatannya 3,6 m/s. (b) benda berhenti. Jawab : ................................................................................................................. ................................................................................................................... ...................................................................................................................

9. Percepatan partikel yang bergerak pada bidang XOY pada saat t diberikan oleh

a(t) = (4 12t) i 36 t2 j, dengan t dalam sekon dan a dalam m/s2. Pada saat t = 1 sekon partikel berada di titik -3 i - 5 j dan sedang bergerak dengan kecepatan 3 i + 2 j. Tentukan: (a) kecepatan dan posisi awal partikel (b) vektor kecepatan dan vektor posisi partikel pada t = 2 sekon. Jawab : ................................................................................................................. ................................................................................................................... ...................................................................................................................

10. Sebuah partikel yang sedang bergerak dengan kecepatan v = 30 i mengalami

suatu percepatan yang dinyatakan sebagai a = (5 + 2t3) i + (11 t) j. dengan t dalam sekon, a dalam m/s2 dan v dalam m/s. Tentukan kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon. Jawab : ................................................................................................................. ................................................................................................................... ...................................................................................................................

2. MEMADU GERAK 2.1 Memadu gerak lurus beraturan dengan gerak lurus beraturan. Jika suatu benda serentak melakukan dua buah gerak lurus beraturan yang arahnya berbeda (membentuk sudut tertentu), maka resultan perpindahannya tetap merupakan gerak lurus beraturan. Jadi perpaduan antara gerak lurus beraturan dengan gerak lurus beraturan menghasilkan gerak lurus beraturan. Untuk kasus dua buah gerak lurus beraturan yang segaris, besar resultan vektor kecepatan dinyatakan dengan persamaan:

v = v1 + v 2


9

Catatan:

Untuk kasus dua gerak lurus beraturan yang searah, jika arah v1

benrtanda porisit, maka kecepatan v 2 juga bertanda positif. Sedangkan untuk kedua kasus gerak lurus beraturan yang arahnya berlawanan, jika v1 bertanda positif , maka kecepatan v 2 haruslah bertanda negatif. Untuk kasus dua buah gerak lurus beraturan dengan arah vektor kecepatan v1 dan vektor kecepatan v 2 membentuk sudut , maka besar kecepatan resultan gerak

v adalah v =2 v12 + v 2 + 2v1v 2 cos

Contoh 6. Dari tepi sungai yang lebarnya 200 meter, seorang mendayung perahu pada kecepatan 4 m/s dengan arah tegak lurus terhadap arah arus yang kelajuannya 3 m/s. Tentukan: (a) besar kecepatan perahu terhadap pengamat yang diam di tepi sungai. (b) arah gerak perhau terhadap arah arus sungai dilihat oleh pengamat yang diam di tepi sungsai (c) jarak yang ditempuh perahu untuk sampai ke seberang. (d) selang waktu yang diperlukan untuk mencapai ke seberang. Penyelesaian: Acuan yang bergerak adalah arus sungai dan acuan yang diam adalah pengamat yang diam di tepi sungai (misal di titik O). Vektor-vektor kecepatan adalah sebagai ////////////B//////////////////////////C/////////////////// berikut: vpa = kecepatan perahu terhadap arus air (4 m/s) vao = kecepatan arus air terhadap pengamat (3 m/s) vpa vpo vpo = kecepatan perahu terhadap pengamat. Ditanyakan: (a) kecepatan perhau terhadap titik O (vpo) (b) arah perahu tarhadap arah arus ( ) vao (c) karak yang ditempuh perahu (SAC) ////////////A//////////////////////////////////////////////// (d) selang waktu untuk mencapai seberang (tAC) Jawab: (a)2 v po = v 2 + v ao + 2v pa v ao cos pa

= 90 o

cos 90o = 0

=

4 2 + 3 2 = 5 m/s

(b) arah gerak perahu terhadap arah arus membentuk sudut , dapat ditentukan dengan

tan =

v pa v ao

=

4 3

Jadi arah perahu membentuk sudut 53o terhadap arah arus air. (c) Jarak yang ditempuh perahu SAC dapat digunakan perbandingan sinus dalam segitiga ACDFisika SMA Kelas XI Semester Gasal 10

4 = tan 1 ( ) = 53 o 3

sin =

CD AC

sin 53o =

200 AC 200 0,8 = AC

AC =

200 = 250 meter 0,8

Jadi SAC = AC = 250 meter. (d) selang waktu untuk mencapai seberang (t AC) dapat ditentukan dengan persamaangerak lurus ( S = v . t) tAC =

S AC 250 = = 50 sekon v po 5

2.2 Memadu gerak lurus beraturan dengan gerak lurus berubah beraturan yang saling tegak lurus. Jika suatu benda serentah melakukan dua buah gerak lurus beraturan dan gerak lurus berubah berarturan yang arahnya saling tegak lurus, maka resultan perpindahannya merupakan gerak lurus berubah beraturan. Jadi perpaduan antara GLB dengan GLBB akan menghasilkan Gerak Parabola.. Misalkan benda melakukan gerak lurus beraturan pada arah sumbu-X dan melakukan gerak lurus beraubah beraturan pada arah sumbu-Y, maka: Gerak pada arah sumbu-X berlaku persamaan:

x = v.t

Gerak pada arah sumbu-Y berlaku persamaan:

y = vo t + 1 t 2 2 vt = vo + at2.3 Gerak Parabola Gerak parabola merupakan perpaduan antara gerak lurus beraturan (pada arah sumbu X) dengan gerak lurus berubah beraturan (pada arah sumbu Y). Gambar di bawah ini menunjukkan lintasan sebuah benda yang bergerak parabola dengan kecepatan awal v o . Kemiringan arah kecepatan awal terhadap horizontal y (m) dinamakan sudut elevasi ( ).10 6

Y vty vo P(x,y) vtx vt H

Vty = 0

vtx vtx vty vt X A

voy

t (s) 3 5

O (0,0)

vox

Persamaan kedudukan dan kecepatan pada sumbu-X dan sumbu-YFisika SMA Kelas XI Semester Gasal 11

Gerak pada sumbu-X (glb) berlaku : vt = vo = konstan dan Pada saat t sekon : Gerak pada sumbu-Y(glbb) berlaku: Pada saat t sekon :

vtx = vox x = vox . t vt = vo + at dan

S = vo .t

s = vo t +1 2

1 2

at2

vty = voy gt

y = voy t -

gt2

v sumbu-Y v ox : komponen kecepatan awal pada arah ox = v o cos v oy : komponen kecepatan awal pada arah oy = vo sin v sumbu-Y2 2 vtx Kecepatan benda pada saat t sekon: + vty vt =

Titik tertinggi dan jarak terjauh Pada titik tertinggi (titik H) kecepatan pada sumbu-Y sama dengan nol (vy = 0, dan vx = vox). Selang waktu benda untuk mencapai titik tetinggi (titik H) vy = vo sin - gtH v o sin 0 = vo sin - gtH tH = g tH = vo sin g

v o sin Selang waktu untuk mencapai jarak terjauh tA = 2 tH = 2 (waktu benda melayang di udara) gxH = o dengan sin 2

Koordinat titik tertinggi adalah (xH ; yH)

v2 2g

yH =

2 vo sin2 dan 2g

Jadi koordinat titik tertinggi H adalah: H (xH ; yH)

2 vo v2 sin 2 ; o sin2 2g 2g

Tinggi maksimum yang dicapai benda (hm) diperoleh dengan cara mensubstitusikan nilai t untuk mencapai titik tertinggi (tH) ke dalam persamaan2 y = v oy t H 1 gt H 2

v sin 1 vo sin y = ( v o cos ) o g 2 g g 2 v hm = y m o sin 2 2gJarak terjauh

2

Jika titik awal pelemparan adalah O dan benda jatuh di titik A (lihat gambar di atas) maka jarak terjauh sama dengan XOA atau jarak maksimum (Xm) diperoleh dengan mensubstitusikan nilai t maksimum ke dalam persamaan:Fisika SMA Kelas XI Semester Gasal 12

x = vox t A

2v sin X = ( v o cos ) o g

2 v0 Xm = XOA = sin 2 g

Contoh 7. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 80 m/s dan sudut elevasi 30o. Jika percepatan gravitasi ditempat itu g = 10 m/s2, tentukan: a. waktu peluru melayang di udara. b. tinggi maksimum yang dicapai peluru. c. jarak terjauh jatuhnya peluru. Penyelesaian: Keepatan awal peluru, vo = 80 m/s, dan sudut elevasi = 30 o Jawab : a. t m =

vo sin g 2.80 tm = sin 30 o = 16 x0,5 = 8sekon 10 2 vo sin 2 b. h m = 2g hm = 80 2 sin 2 30 o = 320 x 0,25 = 80meter 202 vo sin 2 g

c. X m =

Xm =

80 2 sin 60o = 640 x 1 3 = 320 3meter 2 10

Jarak terjauh / jarak mendatar maksimum Jarak terjauh X bergantung pada nilai sin 2 . Supaya X mencapai maksimum maka nilai sin 2 harus mencapai maksimum. Kita ingat bahwa nilai maksimum fungsi sinus sama dengan satu. Sin 2 = 1 Sin 2 = sin 90o 2 = 90 = 450 Jadi agar benda mencapai jarak yang terjauh, sudut elevasinya harus 45 o

TUGAS 2


13

1. dari tepi sebuah sungai yang lebarnya 300 meter, seorang lelaki mendayung perahunya dengan kecepatan 6 km/jam tegak lurus terhadap arah aliran arus. Jika kelajuan arus pada saat itu 9 km/jam, tentukan: (a) arah gerak perahu terhadap arah arus, (b) jarak yang ditempuh perahu hingga tiba di seberang sungai, (c) waktu yang diperlukan perahu untuk menyeberangi sungai itu, (d) waktu yang diperlukan perahu menyeberangi sungai itu jika airnya tenang. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................2. Sebuah peluru mortar ditembakkan pada sudut elevasi 53o (sin 53o = 0,8)

dengan kelajuan 98 m/s. (g = 9,8 m/s2) a. Berapa lama peluru berada di udara? b. Berapa jarak terjauh peluru sebelum mencapai tanah? c. Berapa ketinggian maksimum yang dicapai peluru. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................

3. Peluru meninggalkan moncong meriam yang diarahkan 45o terhadap tanah

dengan kecepatan 300 m/s. (g = 10 m/s2. Hitunglah: a. tinggi maksimum yang dicapai peluru b. kapan peluru mencapai titik terjauh. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................

4. Sebuah mobil mainan meluncur dari sisi meja yang tingginya 1,25 m dari lantai.

Jika mobil mainan mendarat di lantai pada jarak 6 m dari kaki meja; a. berapa lama diperlukan mobil mainan untuk mendarat? b. Berapa kecepatan mobil meluncur dari sisi meja? c. Berapa kecepatan mobil pada saat menumbuk lantai? Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ................................................................................................................... 5. Sebuah bola dilempar dengan sudut elevasi 45o dan mencapai jarak horizontal 20 meter. Jika g = 9,8 m/s2, tentukan: (a) tinggi maskimum yang dicapai bola, (b) sudut elevasinya agar mencapai jarak horizontal 12 m. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................6. Seorang pemburu ingin menembak burung yang sedang bertengger pada pucuk

pohon yang tingginya 80 meter. Jarak pemburu terhadap pohon itu 100 meter. Bila pemburu mengarahkan senapannya membentuk sudut 45o terhadap arahFisika SMA Kelas XI Semester Gasal 14

mendatar, berapa kecepatan awal peluru supaya burung tersebut terkena tembakan. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................7. Sebuah pesawat terbang menukik ke bawah membentuk sudut 37o terhadap

horizontal, dan saat ketinggian 800 meter di atas tanah sebuah karung pasir dijatuhkan. Bila karung itu tiba di tanah setelah 5 sekon sejak dijatuhkan dan g = 10m/s2, hitunglah: (a) kelajuan pesawat, (b) jarak mendatar jatuhnya karung dari titik tepat di bawah pesawat saat menjatuhkan. (c) komponen-komponen horizontal dan vertical kecepatan sesaat menumbuk tanah. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................8. Sebuah batu yang dilemparkan dengan sudut elevasi 30o, ternyata menumbuk

tembok sebuah gedung yang berada 20 3 meter di depan pelemparan dan 15 meter di atas titik pelemparan. Jika g = 10 m/s2, hitunglah: (a) kelajuan awal batu tersebut, (b) besar dan arah kecepatan batu saat menumbuk tembok. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................9. Seorang anak melempar batu dengan kecepatan 10 m/s pada arah yang

membentuk sudut 37o terhadap arah mendatar (cos 37o = 0,8). Tentukan kecepatan dan kedudukan batu setelah 0,5 s. (g = 10 m/s2) Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................

10. Dengan sudut elevasi berapakah sebutir peluru yang diberi kecepatan awal 300

m/s harus ditembakkan agar mendapat sasaran 4,5 km di depan penembakan? Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ................................................................................................................... 3. GERAK ROTASI 3.1 Posisi Sudut sebuah partikel yang bergerak rotasiFisika SMA Kelas XI Semester Gasal 15

Sudut putar sebuah partikel yang bergerak rotasi dapat dinyatakan dengan putaran, derajat atau radian 1 putaran = 360o = 2 radian 1 radian =

Posisi sudut sebuah partikel yang bergerak rotasi dapat dinyatkan dalam koordinat polar (r, ) lihat gambar di bawah iniY (r , ) r X

180 derajar = 57,3o

Vektor posisi partikel adalah r = x i + y j dengan x = r cos dan y = r sin

r = x2 + y2 tan = y x

Y P1

Sebuah partikel mula-mula berada titik P1 posisi sudutnya o bergerak rotasi pada bidang XY dengan poros sumbu Z, setelah t sekon partikel berada pada titik P2 posisi sudutnya t (seperti gambar di samping ini) sudut

PO t Perpindahan sudut partikel ( ) adalah perubahan posisi o

= t o

3.2

Kecepatan sudut

Seperti halnya kecepatan linier, kecepatan sudut ( ) juga ada kecepatan sudut rata-rata dan kecepatan sudut sesaat. Kecepatan sudut rata-rata ( ) merupakan hasil bagi perpindahan sudut ( ) dengan selang waktu ( t). Kecepatan sdudut rata-rata =

perpindahan sudut selang waktu

2 1 = = t 2 t1 t

dengan adalah kecepatan sudut yang umumnya dinyatakan dalam SI, radian per sekon (rad/s). Satuan kecepatan sudut lain dapat digunakan derajat per sekon atau putaran per menit (rpm = rotation per minute). 1 rpm = Kecepatan sudut sesaat ( ) didefinisikan sebagai perpindahan sudut dalam selang waktu yang sangat singkat, sehingga dinyatakan dengan

2 rad/s 60

=

d dt


16

Jadi kecepatan sudut sesaat merupakan turunan pertama dari posisi sudut sebagai fungsi waktu. Kecepatan sudut merupakan besaran vektor yang z besarnya sama dengan kelajuan sudut dan arahnya dapat ditentukan dengan aturan tangan kanan, yakni jika tangan kanan kita menggenggam, maka keempat jari menunjukkan arah putaran poros benda sedangkan ibu jari arah putaran menunjukkan arah kecepatan sudutnya (lihat gambar). porosy x

Contoh 8. Sebuah titik pada tepi roda berputar menemuh 1200 dalam waktu 2 menit. Tentukan kecepatan sudut rata-rata dalam rad/s. Jawab : Perpindahan sudut = 1200 putaran = 1200 putaran x 2 rad / putaran = 2400 rad. t = 2 menit = 120 s Kecepatan sudut rata-rata ( )

=

2400 = = 20 rad/s 120 s t

Contoh 9. Posisi sudut suatu titik pada sebuah roda dinyatakan sebagai = (3t2 + 4t + 6) rad, dengan t dalam sekon. Tentukan: (a) posisi sudut titik pada t = 1 s dan t = 3 s. (b) kecepatan sudut rata-rata untuk selang waktu t = 0 s sampai t = 3 s (c) kecepatan sudut pada t = 3 s. Penyelesaian: (a) Posisi sudut = (3t2 + 4t + 6) Pada t = 1 s : = (3 . 12 + 4 . 1 + 6) = 3 + 4 + 6 = 13 rad Pada t = 3 s : = (3 . 32 + 4 . 3 + 6) = 27 + 12 + 6 = 45 rad (b) Kecepatan sudut rata-rata untuk selang waktu t = 1 s. sampai t = 3 s.

=

2 1 45 13 32 = = = = 16 rad/s t 2 t1 t 3 1 2

(c) Kecepatan sudut saat t = 2 s ditentukan dengan cara menurunkan fungsi posisi sudut terhadap waktu

=

d d (3t 2 + 4t + 6) = dt dt

= 6t + 4 Pada t = 2 s : = 6 . 3 + 4 = 22 rad/sFisika SMA Kelas XI Semester Gasal 17

Kecepatan sudut sesaat dapat ditentukan berdasarkan kemiringan garfik - t (lihat gambar)2

1 = tan 1 2 = tan 2

1

t (s)

Seperti halnya pada gerak linier, posisi sudut juga dapat ditentukan dari fungsi kecepatan sudut, yaitu dengan cara mengintegralkan fungsi kecepatan sudut terhadap waktu.

d = dt

d = ( t ) dt

t

o

dt = (t ) dt0

t

t o = ( t ) dto

t

t = o + dengan: o = posisi sudut awal t = posisi sudut pada saat t sekon. (t ) = kecepatan sudut sebagai fungsi waktu

o

t

(t )

dt

Contoh 10. Kecepatan sudut roda pada saat t diberikan oleh = (4,5 rad/s3) t2. Jika pada t = 0 posisi sudut roda pada 2 radian, (a) Tuliskan persamaan posisi sudut sebagai fungsi waktu (b) Hitunglah posisi sudut pada t = 2,0 sekon. Penyelesaian: (a) Persamaan posisi sudut dapat diperoleh dengan mengintegralkan fungsi kecepatan sudut

t = o + (t ) dt

t = 2,0 + 1,5 t3 t = 2,0 + 1,5 t3 t = 2,0 + 1,5 . 23 t = 2,0 + 12 = 14 radian.18

t = o + 4,5t 2 dt

(b) Pada t = 2,0 sekon


3.3 Percepatan sudut ()

Percepatan sudut rata-rata adalah perubahan kecepatan sudut tiap satuan waktu.

=

2 1 = t 2 t1 t

untuk t mendekati nol dinamakan percepatan sudut sesaat. Jadi percepatan sudut sesaar merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut terhadap waktu t dan turunan kedua dari fungsi posisi sudut,

=

d d 2 = dt dt 2

percepatan sudut dinyatakan dengan satuan rad/s2. Contoh 11. Sebuah benda berputar tahadap porosnya dengan persamaan posisi (t ) = 4 2t + 0,8 t3 dengan t dalam sekon sudut yang diberikan oleh dan dalam radian. Tentukan: (a) kecepatan sudut sebagai fungai waktu. (b) Percepatan sudut sebagai fungsi waktu. (c) Percepatan sudut pada t = 4 s. Penyelesaian: (a) Kecepatan sudut adalah turunan pertama dari fungsi posisi sudut

=

d d (4 2t 2 + 0,4t 3 ) = = - 2t + 1,2 t2 dt dt (t ) = - 2t + 1,2 t2 Jadi

(b) Percepatan sudut adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut.

d d (2t + 1,2t 2 ) = = - 2 + 2,4 t dt dt Jadi (t ) = 2 + 2,4t

=

(c) Percepatan sudut pada t = 4 s.

= 2 + 2,4t = -2 + 2,4 . 4 = 7,6 rad/s2Menentukan kecepatan sudut dari fungsi percepatan sudut. Seperti halnya kecepatan linier v, kecepatan sudut juga dapat ditentukan dari fungsi percepatan sudut, yaitu dengan cara mengintegralkan fungsi percepatan sudut terhadap waktu.

d = dtt

d = ( t ) dt dt

t

o

dt = (t ) dto

t

= (t ) dto

t

Fisika t = Kelas XI Semester Gasal SMA o +o

dengan, o = kecepatan sudut awal19

(t )

t = kecepatan sudut akhir (pada saat tsekon)

(t ) = percepatan sudut sebagai fungaiwaktu Contoh 12. Sebuah piringan perputar pada porosnya dengan percepatan sudut yang dinyatakan sebagai = (0,6t 1,2) rad / s 2 . Jika pada saat t = 0 piringan sedang berputar dengan kecepatan sudut 3 rad/s dan piringan pada posisi 4 rad, tentukan: (a) persamaan kecepatan sudut sebagai fungsi waktu (b) posisi sudut pada t = 2 sekon. Penyelesaian: Pada t = 0 s, kecepatan sudut awal o = 3 rad/s dan posisi sudut awal o = 4 rad.(a) persamaan

(t ) ditentukan dengan mengintegralkan fungsi percepatan

sudut:

(t ) = o + (t ) dt (t ) = 3 + (0,6t 1,2)dt

= 3 + 0,3 t2 1,2t

(b) Posisi sudut ditentukan dengan mengintegralkan fungsi kecepatan sudut

(t )

t = o + (t ) dt

t = 4 + 3t + 0,1t 3 0,6t 2

t = o + (3 + 0,3t 2 1,2t )dt

Pada t = 2 sekon

t = 4 + 3 . 2 + 0,1 . 8 0,6 . 4 t = 4 + 6 + 0,8 2,4 = 8,4 radian.

3.4 Kinematika Rotasi

Kinamatika rotasi terhadap poros tetap, yaitu gerak melingkar beraturan dan gerak melingkar berubah beraturan. Gerak melingkar beraturan yaitu gerak rotasi suatu benda dengan kecepatan sudut tetap.

=

d dt

d = dt

Persamaan posisi sudut diperoleh dengan mengintegralkan persamaan tersebut dengan batas awal t = 0 sampai dengan batas akhir t

o

d = dt , bernilai tetap sehingga0

t

o

d = dt = t0

t

(t ) = o + .t

Gerak melingkar berubah beraturan yaitu gerak rotasi suatu benda terhadap poros tetap dengan kecepatan sudut yang berubah-ubah secara teratur. Gerak melingkar berubah beraturan memiliki percepatan sudut tetap.Fisika SMA Kelas XI Semester Gasal 20

=

d dt

d = dt

Kecepatan sudut pada saat t sekon diperoleh dengan mengintegralkan persmaan tersebut dari batas awal t = 0 sampai dengan batas akhir t,

d = ( t ) dt

t

o

dt = o

t

dt = dt0

t

= t

(t ) = o + .t

Dengan mengintegralkan persamaan (t ) dari batas awal t = 0 sampai dengan batas akhit t, diperoleh peramaan posisi sudut sebagai fungsi waktu.

(t )

d = dt

d = ( t ) dt

o

d = (0

t

o

+ t )dt

o = o t + 1 t 2 2

(t ) = o + o .t + 1 .t 2 2

Dari dua persamaan tersebut dengan menghilangkan peubah waktu dapat diperoleh persamaan dengan: = percepatan sudut (rad/s2) o = kecepatan sudut awal (rad/s)

(2t ) = o2 + 2 ( o )

(2t ) = o2 + 2 ( )

t = kecepatan sudut padasaat t sekon (rad/s) o = posisi sudut awal (rad) t = posisi sudut pada saat t sekon (rad)Contoh13. Sebuah piringan gerinda listrik sedang berputar degan kecepatan sudut tetap 40 rad/s. Ketika sambungan listrik diputus piringan gerinda mengalami perlambatan sehingga dalam selang waktu 20 s dari mulai litrik diputus piringan berhenti. Tentukan: (a) perlambatan yang dalami piringan (b) banyaknya putaran yang dilakukan piringan selama perlambatan. Penyelesaian: Ketika sambungan listrik diputus, kecepatan sudut konstan piringan dianggap sebagai kecepatan sudut mula-mula ( o = 40 rad/s) dan ketika piringan berhenti kecepatan sudut piringan sebagai kecepatan akhir adalah ( t = 0 rad/s). Ditanyakan: (a) perlambatan ( ) (b) banyaknya putaran Jawab: (a) perlambatan sudut adalah percepatan sudut yang bertanda negatif.

t = o + .t0 = 40 + 20.t 20 t = - 40 t = -2 rad/s2


21

(b) untuk menentukan banyaknya putaran, kita harus menghitung perubahan

sudut ( )

02 = 402 + 2(-2). 4. = 1600 = 400 rad. Banyaknya putaran (n) =

t2 = o2 + 2 ( )

400 200 200 = = = = 63,7 putaran 2 2 3,14

3.5 Hubungan Antara Besaran Rotasi dan Besaran Translasi Pada gerak traslasi, besaran-besaran perpindahan, kecepatan dan percepatan masing-masing disebut dengan perpindahan linier (s), kecepatan linier (v) dan percepatan linier atau percepatan tangensial (a). Sedangkan pada gerak rotasi ketiga besaran tersebut dinamakan perpindahan sudut ( ), kecepatan sudut ( ) dan percepatan sudut ( ) . Hubungan antara besaran linier dan besaran sudut dinyatakan sebagai berikut: Hubungan antara perpindahan linier dan perpindahan sudut =

s r

s = .r

atau

v = sudut Hubungan antara kecepatan linier dan kecepatan r.

at = .r Hubungan antara percepatan linier (tangensial) dan percepatan sudutSelain kedua percepatan tersebut, partikel yang bergerak juga mengalami percepatan sentripetal (as) yang arahnya selalu menuju titik pusat lingkaran (lihat gambar di bawah ini) aT Benda yang bergerak melingkar beraturan memiliki tiga percepatan yatiu percepatan sudut ( ), percepatan sentripetal ( a s ) dan percepatan tangensial ( at ). Resultan a percepatan sentripetal dan percepatan tangensial disebut percepatan total benda.P

as

a = a s + at

TUGAS 3 1. Sebuah piringan berotasi pada 1800 rpm. Nyatakan besaran tersebut dalam rad/s. Jawab : ................................................................................................................Fisika SMA Kelas XI Semester Gasal 22

................................................................................................................... ...............................................................................................................2. Posisi sudut sebuah titik yang sedang berputar pada tepi roda dinyatakan oleh

(a) posisi sudut pada t = 0 dan t = 2 s, (b) kecepatan sudut rata-rata untuk selang waktu dari t = 0 sampai t = 2 s, (c) kecepatan sudut pada t = 2 sekon. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................3. Kecepatan sudut roda pada saat t diberikan oleh

= 4,0 t 3,0 t2 + t3,dengan dalam radian dan t dalam sekon. Tentukan:

= 4t + 3, dengan t dalam sekon dan dalam rad/s. Jika pada saat t = 0, posisi roda pada 2 radian, (a) tuliskan persmaan posisi sudut (t), (b) hitunglah posisi sudut pada t = 2 sekon. Jawab : ................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................

4. Kecepatan sudut sebuah piringan yang berputar pada porosnya dinyatakan

sebagai (t) = (6t2 -2t) rad/s. Tentukan: (a) percepatan sudut sebagai fungsi waktu, (b) percepatan sudut awal (c) percepatan sudut pada t = 3 sekon. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................

5. Sebuah benda bergerak rotasi dengan kecepatan sudut pada saat t sekon

dinyatakan oleh = (15 6t) rad/s. Pada saat t = 3 sekon posisi sudut benda pada 25 radian. Tentukan posisi sudut benda pada saat t = 4 sekon. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................

6. Percepatan sudut sebuah roda yang berotasi pada porosnya dinyatakan sebagai

= 3t2 + 4t, dengan t dalam sekon dan dalam rad/s2. Jika kecepatan sudut

awal roda 5 rad/s, tentukan: (a) persamaan kecepatan sudut sebagai fungsi waktu, (b) kecepatan sudut roda pada saat t = 2 sekon. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................7. Sebuah roda yang mula-mula dalam keadaan diam mencapai kecepatan sudut

18 rad/s dalam waktu 6 sekon. Tentukan: (a) percepatan sudut rodaFisika SMA Kelas XI Semester Gasal 23

(b) besar sudut total yang telah ditempuh selama waktu itu?

Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ................................................................................................................... 8. Segumpal plastisin menempel pada tepi roda sepeda yang berjari-jari 50 cm. Roda diputar dari keadaan diam sehingga dalam waktu 0,5 sekon kecepatan sudut roda 1,5 rad/s, tentukan: (a) kelajuan linier plastisin, (b) Percepatan total plastisin Jawab : ................................................................................................................ ............................................................................................................... ...............................................................................................................9. Sebuah penggulung dalam suatu mesin cetak berputar melalui sudut (t ) , yang

dapat dinyatakan oleh persamaan ( t ) = 2,5t 0,400t , dan t dalam sekon dan dalam radian. Jawab : ................................................................................................................2

............................................................................................................... ...............................................................................................................10. Pelempar cakram sering melakukan pemanasan dengan berdiri dengan kedua

kakinya rata pada tanah dan melempar cakram dengan gerakan memutar badannya . Mulai dari keadan diam, pelempar mempercepat cakram sampai kecepatan sudut akhir 15 rad/s dalam waktu 0,27 s sebelum melepaskannya. Selama percepatan, cakram bergerak pada suatu busur lingkaran dengan jarijari 0,81 m. Tentukan : besar percepatan total sebelum cakram lepas dari tangan pelempar. b. Sudut yang dibentuk percepatan total terhadap arah radial Jawab : ................................................................................................................ ............................................................................................................... ...............................................................................................................


24

SOAL LATIHAN BAB IA. Soal Pilihan Ganda 1. Posisi sebuah partikel yang bergerak dinyatakan dengan persamaan r = 20t + 5t2. Jika r dalam meter dan t dalam sekon maka kecepatan awal partikel adalah... a. 10 m/s d. 40 m/s b. 20 m/s e. 50 m/s c. 30 m/s2. c. 6.

40 m/s2

Kecepatan sebuah benda yang bergerak pada bidang dinyatakan oleh v = 3t2 + 2t. Jika posisi benda pada t = 0, x = 10 meter, maka pisisi benda pada t = 2 sekon adalah a. 10 m d. 22 m b. 18 m e. 25 m c. 20 m Sebuah partikel bergerak dengan vektor posisi: r = (2t2 t)i + (t3 + t)j satuan SI. Besar kecepatan partikel pada t = 1 sekon adalah. a. 1 m/s d. 5 m/s b. 3 m/s e. 7 m/s c. 4 m/s7.

Sebuah mobil bergerak ke timur sejauh 10 kilometer dan berbalik ke arah barat sejauh 10 kilometer. Bila total waktu yang dbutuhkannya 1 jam, maka kecepatan rata-rata dari mobil itu.. a. 20 km/jam d. 5 km/jam b. 15 km/jam e. 0 c. 10 km/jam

8. Posisi suatu benda sebagai fungsi waktu digambarkan pada grafik di bawah ini.y (m) 10 6

3. Sebuah partikel pada t = 0 sekon berada pada koordinat (2, 5) dan pada t = 2 sekon partikel berada pada koordinat (8, 11). Maka vektor perpindahan partikel adalah.. a. 2i + 4j d. 6i + 8j b. 3i + 6j e. 6i + 6j c. 8i + 6j Perpindahan suatu benda yang bergerak dinyatakan oleh r = 4t2i - (3t2 + 4t)j, r dalam meter dan t dalam sekon. Percepatan benda pada t = 2 sekon adalah a. 5 m/s2 d. 12 m/s2 2 b. 8 m/s e. 15 m/s2 c. 10 m/s24.

t (s) 3 5

Kecepatan rata-rata dari t = 3 sekon sampai t = 5 sekon adalah.. a. 0,5 m/s d. 2,0 m/s b. 1,0 m/s e. 2,5 m/s c. 1,5 m/s Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu X dengan kecepatan dinyatakan oleh v = (-2t + 8)i m/s. Jika posisi awal benda xo = -5i meter, maka posisi benda saat bergerak t sekon adalahm a. (-t2 + 8t - 5)i d. (-t2 + 3t )i b. (-t2 + 3t )I e. (t2 - 8t + 5)i9. 25

Perpindahan sebuah partikel dalam waktu t diberikan oleh x = t2(t + 1), x dalam m dan t dalam s. Percepatan partikel setelah bergerak 4 sekon adalah. a. 16 m/s2 d. 56 m/s2 b. 26 m/s2 e. 80 2 m/s5. Fisika SMA Kelas XI Semester Gasal

c.

(2t2 + 4t - 5)i

c.

36 m

10.Seekor tupai yang sedang bergerak mempunyai koordinat (3,5 ; 2,2) m pada waktu t = 0 dan koordinat (-4,5 ; 8,2) pada waktu t = 4 s. Besar kecepatan rata-rata untuk selang waktu t = 0 sampai t = 4 sekon adalah a. 2,5 m/s d. 4,0 m/s b. 3,0 m/s e. 5,2 m/s c. 3,5 m/s 11. Kecepatan sebuah partikel pada saat t dinyatakan oleh v = -3 cos 2t. Persamaan percepatan partikel sebagai fungsi waktu dapat dinyatakan dengan.. a. 6 sin 2t d. -3 sin 2t b. -6 sin 2t e. -3 cos 2t c. 3 sin 2t12. Persamaan

15. Percepatan sebuah partikel pada

saat t adalah 6t i 4 j. Mula-mula partikel bergerak dengan kecepatan 2 i. Vektor kecepatan partikel pada saat t adalah. a. (2 + 3t) i 4t j b. (2 3t) i + 4t j c. (2 3t2) i + 4t j d. (2 + 3t2) i 4t j e. (3 + 2t2) i 4t j16. Sebuah

partikel bergerak pada sumbu x dengan percepatan a = 3,5t m/s2. Jika pada saat t =0 kecepatan partikel 2 m/s, maka kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon adalah.. a. 5 m/s d. 11 m/s b. 7 m/s e. 15 m/s c. 9 m/s

vaktor posisi sebuah partikel dinyatakan oleh r = (t3 2t2)i + (3t2)j, dengan r dalam meter dan t dalam sekon, besar percepatan partikel tepat setelah 2 sekon dari awal pengamatan adalah..m/s2(Ebtanas 98) a. 2 d. 8 b. 4 e. 10 c. 613. Sebuah

17. Sebuah

benda bergerak dengan kecepatan yang dinyatakan oleh v = (4t + 10) m/s, dengan t dalam sekon. Bila pada saat t =0 benda berada pada x = 25 m, maka posisi benda pada saat t = 5 sekon adalah.. a. 10 m d. 100 m b. 30 m e. 125 m c. 55 m14. Sebuah

benda bergerak pada bidang xy dengan kecepatan yang dinyatakan oleh v = (12i 16 j ) m/s. Jika benda mengalami percepatan konstan a = ( 2i 4 j ) m/s2, maka perpindahan benda pada saat t = 2 sekon adalah. a. 18 m d. 40 m b. 31 m e. 205 mFisika SMA Kelas XI Semester Gasal 26

partikel bergerak lurus dengan percepatan a = (2 3t 2 ) m/s2 , dengan t dalam sekon. Jika pada saat t = 1 sekon kecepatan partikel 3 m/s dan posisi partikel pada 3 m, maka posisi partikel pada 4 t = 2 sekon adalah. a. 2 m d. 8 m b. 4 m e. 9 m c. 6 m 18.Seorang anak laki-laki menyeberangi sungai yang kecepatan arusnya 0,6 m/s dengan sebuah perahu yang diarahkan tegak lurus terhadap arah arus air dengan kecepatan 0,8 m/s. Kecepatan perahu relatif terhadap tanah adalah a. 0,2 m/s d. 1,4 m/s b. 0,48 m/s e. 2,0 m/s c. 1,0 m/s 19. Sebuah benda yang massanya 0,5 kg bergerak dengan kecepatan 6 m/s. Bila gaya 1 N bekerja tegak lurus terhadap arah gerak benda, maka posisi benda pada t = 3 sekon sejak gaya bekerja adalah .. a. x = 24 m dan y = 9 m b. x = 9 m dan y = 24 m

c. x = 12 m dan y = 18 m d. x = 18 m dan y = 12 m e. x = 24 m dan y = 18 m20. Sebuah rakit menyeberangi sungai

dengan kecepatan v tegak lurus terhadap arah arus. Kecepatan arus sungai 0,3 m/s dan lebar sungai 60 m. Agar rakit mencapai seberang dalam waktu 120 sekon nilai v adalah. a. 0,1 m/s d. 0,5 m/s b. 0,25 m/s e. 0,6 m/s c. 0,4 m/s 21. Ahmad menyeberangi sungai yang lebarnya 450 m dengan sebuah perahu yang kecepatannya 36 km/jam dan diarahkan 30o terhadap arus sungai. Apabila kondisi air tenang, maka waktu yang diperlukan Ahmad untuk menyeberangi sungai adalah a. 10 s d. 45 s b. 30 s e. 90 s c. 36 s 22.Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 meter dan kecepatan arus airnya 4 m/s. bila perahu diarahkan tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s, maka setelah sampai ke seberang perahu telah menempuh lintasan sejauh. a. 180 m d. 320 m b. 240 m e. 360 m c. 300 m23. Sebuah

24.Gerak sebuah peluru yang ditembakkan ditunjukkan oleh grafik di bawah ini. Y (m)

vo 45o 160X (m)

40 m

Besar kecepatan adalah.. a. 15 m/s m/s b. 20 m/s m/s c. 30 m/s

awal

peluru d. e. 40 50

25. Perbandingan tinggi maksimum dan

jarak mendatar maksimum yang dicapai sebuah peluru yang ditembakkan dengan sudut elevasi 30o adalah a. 1 : 3 d. 4 3 : 1 b. 3 : 1 e. 2 : 3 c. 1 : 4 3 26.Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal tertentu. Jarak tembak yang sama akan dihasilkan oleh pasangan sudut a. 300 dan 450 d. 150 dan 0 60 b. 450 dan 600 e. 300 dan 0 75 c. 370 dan 530 27.Sebuah pesawat terbang bergerak mendatar dengan kecepatan 200 m/s pada ketinggian 500 m.Tepat di titik A pesawat melepaskan bom sehingga bom jatuh dititik B. Jarak AB adalah a. 500 m d. 1750 m b. 1000 m e. 2000 m c. 1500 m27

peluru ditembakkan dari pucuk senapan dengan kecepatan tertentu pada bidang datar. Agar peluru mencapai tembakan terjauh senapan harus diarahkan dengan sudut elevasi a. 15o d. 60o b. 30o e. 75o o c. 45


28. Seorang pengendara sepeda motor

hendak menyeberangi sebuah parit yang lebarnya 4 meter. Sisi parit diseberang 15 cm lebih rendah. Jika g = 10 m/s2, maka agar dapat menyeberang dengan selamat, pengendara harus menjalankan sepeda motornya dengan kecepatan minimum sebesar.... a. 10 m/s d. 20 m/s b. 15 m/s e. 23 m/s c. 17 m/s29. Sebuah benda ditembakkan miring

a. 8 : 1 b. 4 : 1 c. 1 : 1

d. 0,25 : 1 e. 0,12 : 1

33. Sebuah peluru ditembakkan dengan

sudut elevasi sedemikian rupa sehingga jarak tembaknya sama dengan 3 kali tinggi maksimumnya. Nilai tangen adalah. a. 1 d. 4 4 3 b.1 2 3 4

e. 2

ke atas dengan sudut elevasi 60o dan mencapai jarak terjauh 10 3 m. Jika g = 10 m/s2 maka kecepatan benda pada saat mencapai titik tertinggi adalah.. m/s a. 5 2 d. 10 2 5 3 c. 10b.

e. 10

3

30. Peluru A dan B ditembakkan dari

senapan yang sama dengan sudut elevasi yang berbeda. Peluru A dengan sudut elevasi 30o dan peluru B dengan sudut 60o. perbandinhan antara tinggi maksimum yang dicapai peluru A dan peluru B adalah a. 1 : 2 d. 1 : 3 1:3 e. 3 : 1 c. 2 : 1 31.Sebuah bola bergerak parabola memiliki kelajuan awal v. Jika jarak terjauh jatuhnya bola sama dengan jarak tempuh sebuah benda yang bergerak jatuh bebas. Agar benda yang bergerak memiliki laju v, maka sudut elevasi bola adalah.. a. 30o d. 75o o b. 45 e. 90o c. 60o 32. Bila sudut antara horizontal dan arah tembak sebuah peluru adalah 45o, maka perbandingan antara jarak tembak dalam arah mendatar dan tinggi maksimum peluru adalah..b. Fisika SMA Kelas XI Semester Gasal 28

c. 34. Koordinat polar sebuah benda yang bergerak rotasi pada saat t sekon dinyatakan (10, 37o). Maka vektor posisi benda itu adalah. a. 5i + 6j d. 6i + 5j b. 4i + 3j e. 8i + 6j c. 6i + 8j 35. Posisi sudut untuk sebuah benda yang bergerak rotasi dinyatakan oleh = 3t + 6 ( dalam radian dan t dalam sekon). Kecepatan sudut rata-rata benda pada 2 sekon pertama adalah.rad/s a. 0 d. 5 b. 1 e. 7 c. 3 36. Posisi sudut benda yang sedang berputar dinyatakan oleh = 2t3 + t2 4t. Kecepatan sudut pada t = 2 sekon adalah.. a. 10 rad/s d. 24 rad/s b. 15 rad/s e. 25 rad/s c. 20 rad/s37. Sebuah

benda bergerak rotasi dengan posisi sudut = 1 t2 + 4t + 2 10 ( dalam radian dan t dalam sekon). Percepatan sudut pada t = 3 sekon adalah.. rad/s2 a. (t + 4) d. 1 b. 6 e. 1 2 c. 4 sumbunya dengan persamaan posisi sudut = 2t + 3 ( dalam radian dan t dalam sekon). Dari persamaan tersebut dapat dinyatakan bahwa:

38. Sebuah benda berotasi mengelilingi

(1) pada saat t = 0, posisi sudut = 3 rad (2) kecepatan sudut benda tetap (3) percepatan sudut benda nol (4) kelajuan linear benda 2 m/s Pernyataan yang benar adalah. (UMPTN ,98) a. 1, 2, 3 d. 4 saja b. 1 dan 3 e. 1, 2, 3, 4 c. 2 dan 439. Percepatan

42. Dari keadaan diam, benda tegar

melakukan gerak rotasi dengan percepatan sudut 15 rad/s2. titik A berada pada benda tersebut berjarak 10 cm dari sumbu putar. Tepat setelah benda berotasi selama 0,4 sekon, A mengalami percepatan total sebesar..(UMPTN 99) a. 1,5 m/s2 d. 3,9 m/s2 b. 2,1 m/s2 e. 5,1 2 m/s c. 3,6 m/s243. Mata bor sebuah bor listrik bergerak

sudut sebuah benda yang bergerak rotasi berikan oleh = (12t2 18t + 20) rad/s2 Jika benda bergerak dari keadaan diam, maka posisi sudut benda pada 2 sekon adalah.. a. 20 rad d. 30 rad b. 25 rad e. 32 rad c. 27 rad

40.Piringan sebuah gerinda listrik sedang berputar dengan kecepatan sudut 20 rad/s. Ketika jaringan listrik diputus, piringan berhenti setelah 10 sekon. Maka besar perlambatannya adalah. a. 1 rad/s2 d. 4 rad/s2 b. 2 rad/s2 e. 5 2 rad/s c. 3 rad/s241. Sebuah benda berotasi mengitari

rotasi dengan percepatan sudut tetap 2,5 rad/s2. Pada saat t = 0 posisi sudut bor = 0 dan kecepatan sudutnya 5 rad/s. Pada saat t = 4 sekon sudut yang ditempuh oleh putaran mata bor dan besar kecepatan sudutnya adalah a. 5 rad dan 15 rad/s b. 10 rad dan 5 rad/s c. 15 rad dan 10 rad/s d. 20 rad dan 15 rad/s e. 40 rad dan 15 rad/s 44.Sebuah benda bergerak melingkar dengan jari-jari R. Kemudian jari-jari lintasannya di ubah menjadi 2 R tetapi energi kinetiknya tetap. Perubahan gaya sentripetal yang terjadi pada benda adalah.. a. 0,25 kali d. 0,50 kali b. 1 kali e. 2 kali c. 4 kali 45. Sebuah benda diikat dengan tali kemudian diputar secara horisontal dengan frekuensi f sehingga tegangan pada tali besarnya T. Bila frekuensi putar diduakalikan, maka besarnya tegangan tali menjadi : a. 4T d. T b. 2T e. T c. T

sebuah poros dengan kecepatan sudut , dapat dinyatakan sebagai = t2 5, dalam rad/s dan t dalam sekon. Percepatan sudut benda pada t = 1 sekon adalahrad/s2 a. 2,0 d. 3,5 b. 2,5 e. 4,0 c. 3,0


29

B. Soal Uraian 46.Koordinat-koordinat x dan y dari sebuah partikel yang bergerak pada bidang xy dinyatakan oleh: 2 x = 4 + 3t + t 2 dan y = 6 + 4t + 0,5t dengan t dalam sekon, x dan y dalam meter. a) tentukan vektor posisi sebagai fungsi waktu b) tentukan vektor kecepatan sebagai fungsi waktu c) posisi dan kecepatan partikel pada t = 2 sekon d) kapan komponen kecepatan pada arah sumbu x dan sumbu y besarnya sama? e) berapa kelajuan partikel pada saat komponen kecepatan seperti pertanyaan (d). Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................47. Percepatan sebuah partikel yang bergerak pada bidang xy dinyatakan oleh

persamaan a = ( 3 + 6t ) i + (12t 4 ) j . (Semua satuan menggunakan SI). Jika pada t = 0 posisi dan kecepatan partikel sama dengan nol, tentukan: a) vektor kecepatan dan vektor posisi partikel; b) besar kecepatan partikel pada t = 2 skon; c) posisi partikel pada saat t = 2 sekon. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................

48. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 100 m/s dan sudut elevasi

450. Jika percepatan gravitasi g = 10 m/s2 tentukan kedudukan peluru saat t = 3 2 sekon. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................

49. Sebuah meriam ditembakkan dari atas gedung bertingkat yang tingginya 80

meter dengan kecepatan awal 50 m/s dan sudut elevasi 370. Jika g = 10 m/s2, tentukan: a) tinggi maksimum yang dicapai peluru b) waktu yang diperlukan peluru untuk mencapai tanah. c) jarak jatuhnya peluru dihitung dari dasar gedung Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................


30

50. Sebuah baling-baling kipas angina sedang berputar dengan 360 rpm. Setelah

sambungan listrik dipurtus baling-baling kipas angin berhenti dalam waktu 5 sekon. Tentukan: a) Kecepatan sudut awal dalam rad/s; b) perlambatannya; c) jumlah putaran yang dilakukan baling-baling dari mulai dimatikan hingga berhenti. Jawab : ................................................................................................................ ................................................................................................................... ...................................................................................................................


31

bab 1 persamaan gerak

Documents