bab 1 limit - wordpress.com · bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran?...
TRANSCRIPT
![Page 1: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/1.jpg)
Bab 1
LIMIT
![Page 2: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/3.jpg)
Newton, Leibniz, dan Kalkulus
©www.calculusbook.net
![Page 4: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/4.jpg)
1.1 Pengantar Limit
![Page 5: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/5.jpg)
Kenapa Limit Penting?
Misalkan suatu objek selalu bergerak maju, dengan 𝑠(𝑡) adalah posisi pada saat 𝑡.
Kecepatan rata-rata pada selang [1,2] adalah 𝑠 2 −𝑠(1)
2−1.
Kecepatan rata-rata pada selang [1,1.2] adalah 𝑠 1.2 −𝑠(1)
1.2−1.
Kecepatan rata-rata pada selang [1,1.02] adalah 𝑠 1.02 −𝑠(1)
1.02−1.
Seberapa cepat objek tersebut bergerak pada 𝑡 = 1?
Kita harus mempertimbangkan limit dari kecepatan pada selang yang makinlama makin kecil.
![Page 6: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/6.jpg)
Kenapa Limit Penting? (2)
Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran?
Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luaspolygon yang terletak di dalam lingkaran pada saatbanyaknya sisi dari poligon tersebut membesartanpa batas.
![Page 7: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/7.jpg)
Ilustrasi
Pandang 𝑓 𝑥 =𝑥3−1
𝑥−1.
Apa yang terjadi pada 𝑓 𝑥 pada saat 𝑥 mendekati 1?
lim𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1= 3
![Page 8: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/8.jpg)
Pemahaman Intuitif
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿
Definisi. Makna intuitif dari Limitlim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna bahwa pada saat 𝑥 dekat tapi berbeda dengan 𝑐,
maka 𝑓(𝑥) juga dekat ke 𝐿.
![Page 9: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh
1. Tentukan lim𝑥→1
3𝑥 − 6.
2. Tentukan lim𝑥→−2
𝑥2−𝑥−6
𝑥+2.
3. Tentukan lim𝑥→0
sin 𝑥
𝑥.
4. Tentukan lim𝑥→2
𝑥 .
5. Tentukan lim𝑥→0
sin1
𝑥.
![Page 10: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/10.jpg)
Limit Sepihak
Definisi. Limit Kiri dan Limit Kananlim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna bahwa pada saat 𝑥 dekat tapi berada di sebelah kanan 𝑐,
maka 𝑓(𝑥) dekat ke 𝐿.lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝑀 bermakna bahwa pada saat 𝑥 dekat tapi berada di sebelah kiri 𝑐, maka
𝑓(𝑥) dekat ke 𝑀.
Teorema.lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 jika dan hanya jika lim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝐿 dan lim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝐿.
![Page 11: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/11.jpg)
Tentukan Limit Fungsi Berikut
lim𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥)?
lim𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥)?
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)?
𝑓(𝑐)?
![Page 12: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh
1. Pandang 𝑔 𝑥 = ቊ𝑥 − 1, if 𝑥 < 2
5 − 𝑥2, if 𝑥 ≥ 2.
Tentukana. lim
𝑥→2−𝑔(𝑥).
b. lim𝑥→2+
𝑔(𝑥).
c. lim𝑥→2
𝑔(𝑥).
2. Tentukan lim𝑥→3
𝑥 + −𝑥 .
![Page 13: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/13.jpg)
Limit dan Limit Sepihak
![Page 14: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/14.jpg)
1.2 Limit Fungsi
![Page 15: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/15.jpg)
Definisi Formal dari Limitlim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti 𝑓 𝑥 dapat kita buat sedekat mungkin ke 𝐿 diberikan bahwa 𝑥 cukup
dekat ke, namun tidak sama dengan, 𝑐.
Definisi. Limit
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna bahwa untuk setiap 휀 > 0 (betapa pun kecilnya), terdapat 𝛿 > 0
sehingga 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.
![Page 16: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/16.jpg)
Dua Ilustrasi
![Page 17: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/17.jpg)
Melihat Kembali Definisi Limit
0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 → 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 휀
Benar atau salah?
1. 0 < 𝑥 − 2 < 1 → 2𝑥 − 4 < 2.
2. 0 < 𝑥 − 2 < 1 → 2𝑥 − 4 < 5.
3. 0 < 𝑥 − 2 < 1 → 2𝑥 − 4 < 1.5.
![Page 18: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/18.jpg)
Melihat Kembali Definisi Limit (2)
Terdapat 𝛿 > 0 sehingga0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 → 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 휀
Carilah sehingga
1. 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 2𝑥 − 4 < 2.
2. 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 2𝑥 − 4 < 1.
3. 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 2𝑥 − 4 < 0.1.
4. 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 2𝑥 − 4 < 0.01.
![Page 19: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/19.jpg)
Melihat Kembali Definisi Limit (3)
Untuk setiap 휀 > 0,
terdapat 𝛿 > 0 sehingga0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 → 0 < 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 휀
Tentukan sehingga
0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 0 < 2𝑥 − 4 < 휀.
![Page 20: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/20.jpg)
Contoh
1. Tunjukkan bahwa lim𝑥→1
3𝑥 − 6 = −3.
2. Tunjukkan bahwa lim𝑥→−2
𝑥2−𝑥−6
𝑥+2= −5.
3. Tunjukkan bahwa lim𝑥→2
𝑥2 = 4.
4. Tunjukkan bahwa lim𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘.
5. Tunjukkan bahwa lim𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐.
![Page 21: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/21.jpg)
Cauchy, Weierstrass, dan Limit
![Page 22: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/22.jpg)
Definisi Limit Sepihak
Definisi. Limit Kananlim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna bahwa untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sehingga
0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.
![Page 23: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/23.jpg)
1.3 Teorema Limit
![Page 24: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/24.jpg)
Sifat Limit
Teorema A juga berlaku untuklimit sepihak.
Contoh.
1. Tentukan lim𝑥→−1
𝑥2+4
𝑥−2.
2. Jika lim𝑥→2
𝑓 𝑥 = 4 dan lim𝑥→2
𝑔 𝑥 = 8, tentukan
lim𝑥→2
𝑓2(𝑥) ⋅3𝑔 𝑥 .
![Page 25: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/25.jpg)
Limit Fungsi Polinom dan Rasional
Jika 𝑓 adalah fungsi polinom atau rasional, makalim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)
jika 𝑓(𝑐) ada.
Contoh.
1. Tentukan lim𝑥→1
𝑥2+3𝑥−10
𝑥2+𝑥−6.
2. Tentukan lim𝑥→1+
𝑥−1
𝑥2−1.
3. Tentukan lim𝑥→1
𝑥−1
𝑥−1.
4. Tentukan lim𝑥→0
𝑥
𝑥.
![Page 26: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/26.jpg)
Teorema Apit
Misalkan 𝑓, 𝑔, dan ℎ adalah fungsi yang memenuhi 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)untuk setiap 𝑥 di sekitar 𝑐, kecuali mungkin di 𝑐. Jika lim
𝑥→𝑐𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑐ℎ 𝑥 =𝐿 maka lim
𝑥→𝑐𝑔 𝑥 =𝐿.
Contoh.Jika 3𝑥 − 7 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑥2 − 3𝑥 + 2, hitunglah lim
𝑥→3𝑓 𝑥 .
![Page 27: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/27.jpg)
1.4 Limit yang MelibatkanFungsi Trigonometri
![Page 28: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/28.jpg)
Limit Fungsi TrigonometriTeorema. Limit Fungsi Trigonometri
Untuk setiap bilangan real 𝑐 di domain fungsi,
Teorema. Limit Trigonometri khusus
Contoh. Tentukan limit berikut.
1. lim𝑥→0
sin 3𝑥
𝑥.
2. lim𝑡→0
1−cos 𝑡
sin 𝑡.
3. limℎ→0
sin 4ℎ
tan ℎ.
1. lim𝑡→𝑐
sin 𝑡 = sin 𝑐 2. lim𝑡→𝑐
cos 𝑡 = cos 𝑐
3. lim𝑡→𝑐
tan 𝑡 = tan 𝑐 4. lim𝑡→𝑐
cot 𝑡 = cot 𝑐
5. lim𝑡→𝑐
sec 𝑡 = sec 𝑐 6. lim𝑡→𝑐
csc 𝑡 = csc 𝑐
1. lim𝑡→0
sin 𝑡
𝑡= 1 2. lim
𝑡→0
1−cos 𝑡
𝑡= 0
![Page 29: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/29.jpg)
1.5 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga
![Page 30: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/31.jpg)
Limit di Tak Hingga
Pandang 𝑔 𝑥 =𝑥
1+𝑥2.
Apa yang terjadi dengan fungsi 𝑔 pada saat 𝑥 membesar tanpa batas?
lim𝑥→∞
𝑔(𝑥)
Apa yang terjadi dengan fungsi 𝑔 jika 𝑥mengecil tanpa batas?
lim𝑥→−∞
𝑔(𝑥)
![Page 32: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/32.jpg)
Definisi Limit di Tak HinggaContoh.
1. Tunjukkan bahwa jika 𝑘bilangan bulat positif, maka
lim𝑥→∞
1
𝑥𝑘= 0 dan
lim𝑥→−∞
1
𝑥𝑘= 0.
2. Tentukan lim𝑥→∞
𝑥
1+𝑥2.
3. Tentukan lim𝑥→−∞
𝑥
1−𝑥2.
4. Tentukan lim𝑥→∞
sin 𝑥
𝑥.
Definisi. Limit pada saat 𝑥 → ∞Misalkan fungsi 𝑓 terdefinisi di [𝑐, ∞) untuk suatu 𝑐.lim𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna untuk setiap 휀 > 0 terdapat bilangan 𝑀
sehingga𝑥 > 𝑀 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀
Definisi. Limit pada saat 𝑥 → −∞Misalkan fungsi 𝑓 terdefinisi di (−∞, 𝑐] untuk suatu 𝑐.lim𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna untuk setiap 휀 > 0 terdapat bilangan 𝑀
sehingga𝑥 < 𝑀 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀
![Page 33: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/33.jpg)
Limit Barisan
Jika domain dari fungsi adalah himpunan bilangan asli, maka kita biasanya menulis 𝑎𝑛, bukan 𝑎(𝑛) dan fungsitersebut disebut barisan, yang dinotasikan sebagai 𝑎𝑛 .
Contoh.
Definisikan suatu barisan dengan 𝑎𝑛 =𝑛
𝑛+1.
Apa yang terjadi jika 𝑛 membesar?
Pandang 𝑎1 =1
2, 𝑎2 =
2
3, 𝑎3 =
3
4, ⋯ , 𝑎100 =
100
101, ⋯
Definisi. Limit Barisan
Misalkan 𝑎𝑛 terdefinisi untuk semua bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan 𝑐.
lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 bermakna untuk setiap 휀 > 0 terdapat bilangan 𝑀 sehingga
𝑛 > 𝑀 ⇒ 𝑎𝑛 − 𝐿 < 휀
Contoh.
Tentukan lim𝑛→∞
𝑛+1
𝑛+2.
![Page 34: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/34.jpg)
Limit Tak Hingga
Pandang 𝑔 𝑥 =1
𝑥−2.
Apa yang terjadi pada fungsi 𝑔 pada saat𝑥 semakin dekat ke 2?
lim𝑥→2
𝑔(𝑥)
Definisi. Limit tak hingga
lim𝑥→𝑐+
𝑔(𝑥) = ∞ jika untuk setiap bilangan
positif 𝑀, terdapat 𝛿 > 0 sehingga0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 > 𝑀
![Page 35: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/35.jpg)
Limit Tak Hingga Lainnyalim𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = ∞
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞
Contoh.
1. Tentukan lim𝑥→2+
𝑥+1
𝑥2−5𝑥+6.
2. Tentukan lim𝑥→0−
𝑥
𝑥.
![Page 36: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/36.jpg)
Asimtot
Garis 𝑥 = 𝑐 merupakan asimtot vertikal dari grafik fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) jika salah satu dari empat pernyataan berikut benar:
lim𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = −∞ , lim𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = −∞, lim𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = ∞, atau lim𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = ∞.
Garis 𝑦 = 𝑏 merupakan asimtot horisontal dari grafik fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) jika
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 atau lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑏.
Contoh.
Tentukan semua simtot dari grafik fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 =2𝑥
𝑥−1.
![Page 37: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/37.jpg)
1.6 Kekontinuan Fungsi
![Page 38: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/38.jpg)
Kontinu
Istilah kontinu digunakan untuk mendeskripsikan proses yang berlangsung tanpaperubahan yang mendadak.
Definisi. Kekontinuan pada suatu titik
Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat 𝑐. Fungsi 𝑓dikatakan kontinu di 𝑐 jika
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)
![Page 39: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/39.jpg)
Titik Kediskontinuan yang Dapat Dihilangkan
Contoh.
Misalkan 𝑓 𝑥 =𝑥2−4
𝑥−2, 𝑥 ≠ 2. Bagaimana 𝑓 harus didefinisikan pada
𝑥 = 2 agar 𝑓 kontinu di sana?
Titik kediskontinuan 𝑐 disebut dapat dihilangkan jika fungsi dapatdidefinisikan ulang pada 𝑐 sehingga fungsi tersebut menjadi kontinu. Jika tidak, titik kediskontinuan disebut tidak dapat dihilangkan.
![Page 40: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/40.jpg)
Kekontinuan Beberapa Fungsi
• Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real.
• Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real yang ada di domainnya.
• Fungsi harga mutlak kontinu di setiap bilangan real.
• Jika 𝑛 ganjil, fungsi akar ke-𝑛 kontinu di setiap bilangan real, jika 𝑛genap, fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan real positif.
• Fungsi sinus dan cosinus kontinu di setiap bilangan real.
• Fungsi tangen, cotangen, secan, dan cosecan kontinu di setiapbilangan real yang ada di domainnya.
![Page 41: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/41.jpg)
Kekontinuan terhadap Operasi pada Fungsi
Jika 𝑓 dan 𝑔 kontinu di 𝑐, demikian juga dengan 𝑘𝑓, 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓 ∙ 𝑔,
𝑓/𝑔 (dengan syarat 𝑔(𝑐) ≠ 0), 𝑓𝑛, 𝑛 𝑓 (dengan syarat 𝑓(𝑐) > 0 jika 𝑛genap).
Contoh.
1. Di manakah fungsi 𝐹 𝑥 =3 𝑥 −𝑥2
𝑥+3 𝑥kontinu?
2. Tentukan semua titik ketidakkontinuan dari 𝑓 𝑥 =sin 𝑥
𝑥 1−𝑥. Apakah
titik-titik tersebut dapat dihilangkan?
![Page 42: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/42.jpg)
Kekontinuan Fungsi Komposisi
Teorema.
Jika lim𝑥→𝑐
𝑔 𝑥 = 𝐿 dan jika 𝑓 kontinu di 𝐿, maka
lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑔 𝑥) = 𝑓(lim𝑥→𝑐
𝑔 𝑥 ) = 𝑓(𝐿) .
Jika 𝑔 kontinu di 𝑐 dan 𝑓 kontinu di 𝑔(𝑐), maka fungsi komposisi 𝑓°𝑔kontinu di 𝑐.
Contoh.
Tunjukkan bahwa ℎ 𝑥 = sin𝑥4−3𝑥+1
𝑥2−𝑥−6kontinu di semua titik kecuali 3
dan −2.
![Page 43: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/43.jpg)
Kekontinuan pada SelangDefinisi. Kekontinuan pada selang
Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu kanan di 𝑎 jikalim𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) dan kontinu kiri di 𝑏 jika
lim𝑥→𝑏−
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏).
Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada selang buka jika𝑓 kontinu di semua titik dalam selang tersebut.
Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada selang tutup di [𝑎, 𝑏]jika 𝑓 kontinu pada (𝑎, 𝑏), kontinu kanan di 𝑎, dan kontinu kiri di 𝑏.
Contoh.
![Page 44: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/44.jpg)
Contoh
1. Tentukan kekontinuan fungsi yang grafiknya digambarkan sebagai berikut.
2. Apakah selang terbesar sehingga 𝑔 𝑥 = 4 − 𝑥2 kontinu?
3. Tentukan bilangan 𝑎 dan 𝑏 sehingga fungsi berikut kontinu di mana-mana.
𝑓 𝑥 = ቐ𝑥 + 2 𝑥 < 1𝑎𝑥 + 𝑏 1 ≤ 𝑥 < 2𝑥2 𝑥 ≥ 2
![Page 45: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/45.jpg)
Teorema Nilai Antara
Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [𝑎, 𝑏] dan 𝑊 adalahsuatu bilangan di antara 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏). Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏] maka terdapatpaling tidak satu bilangan 𝑐 di antara 𝑎 dan 𝑏 sehingga 𝑓(𝑐) = 𝑊.
![Page 46: Bab 1 LIMIT - WordPress.com · Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062415/6046d386789d6a727d1ff784/html5/thumbnails/46.jpg)
Contoh
1. Gunakan Teorema Nilai Antara untuk menunjukkan bahwa 𝑥 −cos 𝑥 = 0 memiliki solusi di antara 𝑥 = 0 dan 𝑥 =
𝜋
2.
2. Gunakan Teorema Nilai Antara untuk menunjukkan bahwa pada suatu cincin kawat berbentuk lingkaran selalu terdapat dua titikberseberangan dengan suhu yang sama.