az intelligencia számításelméleti kérdései
TRANSCRIPT
![Page 1: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/1.jpg)
Az intelligencia számításelméleti kérdései
Bolgár Bence
Budapesti Muszaki és Gazdaságtudományi EgyetemMéréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék
2019. szeptember 25.
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 2: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/2.jpg)
Kérdések
Az emberi agy „csak” egy számítógép?
Pontosabban:
Kiszámítható-e, algoritmizálható-e az emberiagy/gondolkodás?
Szimulálható-e hatékonyan, az eroforrás-korlátokat isfigyelembe véve?
Fizikailag (hogyan) realizálható egy gondolkodó gép?
Kell-e hozzá „új” fizika?
Egyáltalán, mit csinálhat az agy?
Bayesi valószínuségelmélet, gépi tanulás, formális logika, statisz-tikai termodinamika, információelmélet, kvantummechanika. . .
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 3: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/3.jpg)
A matematika axiomatizálása
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 4: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/4.jpg)
A matematika axiomatizálása
XIX. század vége: axiomatikus halmazelmélet (Cantor,Dedekind).
XX. század eleje: naiv algoritmus-fogalom (Hilbert mindentmegoldó algoritmusa).
1931: Gödel nemteljességi tételei (problémák azönhivatkozó struktúrákkal).
1930, 1936: a modern algoritmus-fogalom megszületése(Church, Turing).
Most már beszélhetünk kiszámíthatóságról.
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 5: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/5.jpg)
Kiszámíthatóság, eldönthetoség
f : A→ B kiszámítható⇐⇒ ∀x ∈ A-ra f(x) ∈ B kiszámíthatóvalamilyen algoritmussal.
Eldöntési probléma: B = {igaz,hamis}.Példa eldöntheto problémára: SAT, azaz propozicionálislogikai formulák kielégíthetosége.
Félig eldöntheto problémára: megállási probléma.
Eldönthetetlen problémára: kontinuum-hipotézis(ZFC-ben).
Mi az algoritmusok matematikai modellje?
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 6: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/6.jpg)
Turing-gépek
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 7: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/7.jpg)
Formális definíció
Definíció (formális nyelv)
Ábécé: szimbólumok véges halmaza (pl. A = {a1, a2, . . . }).
Legyen A∗ az A elemeibol képzett véges sorozatok halmaza(pl. ε üres szó is megengedett).
Formális nyelv: A∗ egy részhalmaza.
Definíció (Turing-gép)
A Turing-gép olyan M = (Q,Σ,Γ, δ, q0, qi, qn) rendszer, ahol
Q az állapotok véges, nemüres halmaza,
q0, qi, qn ∈ Q a kezdo, elfogadó és elutasító állapot,
Σ és Γ a bemeno jelek és szalagszimbólumok ábécéje úgy,hogy Σ ⊆ Γ és Γ \Σ tartalmaz egy speciális t szimbólumot,
δ : (Q\{qi, qn})×Γ→ Q×Γ×{R, L, S} az átmenetfüggvény.
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 8: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/8.jpg)
Turing-gép által felismert nyelvDefiníció (konfiguráció)
M konfigurációja egy olyan uqv szó, ahol q ∈ Q és u, v ∈ Γ∗ úgy,hogy v 6= ε. M összes konfigurációjának halmaza: CM.
Definíció (konfiguráció-átmenet)
M konfiguráció-átmenete egy `⊆ CM × CM reláció, amelyre hauqav, a ∈ Γ, u, v ∈ Γ∗ egy konfiguráció, akkor
δ(q, a) = (r, b, S)⇐⇒ uqav ` urbv, VAGY
δ(q, a) = (r, b,R)⇐⇒ uqav ` ubrv′, ahol ha v 6= ε akkorv = v′ és v′ = t egyébként, VAGY
δ(q, a) = (r, b, L)⇐⇒ uqav ` u′rcbv, ahol ha u 6= ε akkoru′c = u és u′ = ε valamint c = t egyébként.
Definíció (M által felismert nyelv)
L(M) azon u ∈ Σ∗ szavak halmaza, amelyekre q0ut `∗ xqiyvalamely x, y ∈ Γ∗, y 6= ε szavakra (`∗ az ` tranzitív lezártja).
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 9: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/9.jpg)
Church–Turing-tézis
It was stated . . . that „a function is effectively calculableif its values can be found by some purely mechanical pro-cess”. We may take this literally, understanding that by apurely mechanical process one which could be carried outby a machine. The development . . . leads to . . . an identi-fication of computability with effective calculability.
Alan Turing, 1938
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 10: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/10.jpg)
Univerzalitás, fizikai univerzalitás
„It is possible to invent a single machine which can be us-ed to compute any computable sequence. If this machineU is supplied with a tape on the beginning of which iswritten the S.D. ["standard description" of an action tab-le] of some computing machine M, then U will computethe same sequence as M.”
Alan Turing, 1936
A cellular automaton is physically universal if it can imp-lement any transformation on any finite region by confi-guring the surrounding cells and letting the CA evolve.
Luke Schaeffer, 2016
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 11: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/11.jpg)
Életjáték
1 Any live cell with fewer than two live neighbours dies, as ifby underpopulation.
2 Any live cell with two or three live neighbours lives on tothe next generation.
3 Any live cell with more than three live neighbours dies, as ifby overpopulation.
4 Any dead cell with exactly three live neighbours becomes alive cell, as if by reproduction.
Az életjáték Turing-teljes.
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 12: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/12.jpg)
110-es szabály
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 13: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/13.jpg)
„Véletlenül” Turing-teljes rendszerek
C++ sablonok (template metaprogramming)
TypeScript típusrendszer
X86 MMU
Minecraft
Dwarf Fortress
Pokemon Yellow
Magic: The Gathering
. . .
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 14: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/14.jpg)
Nyelvosztályok
Definíció (Rekurzívan felsorolható nyelv (RE))
Egy L ⊆ Σ∗ nyelv rekurzívan felsorolható, ha L = L(M) valamelyM-re. Más szóval: félig eldöntheto.
Definíció (Rekurzív nyelv (R))
Egy L ⊆ Σ∗ nyelv rekurzív, ha rekurzívan felsorolható és mindenbemeneten megáll. Más szóval: eldöntheto.
Van olyan nyelv, amely nem rekurzívan felsorolható(eldönthetetlen)?
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 15: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/15.jpg)
Cantor diagonális módszere (vázlat)
Az egyszeruség kedvéért tegyük fel, hogy Σ = {0,1}, és mindenMi Turing-gép muködését tudjuk kódolni egy wi ∈ Σ∗ szóval,érvénytelen kódolás esetén azonnal qn-be megyünk.
Definíció (Diagonális nyelv)
Ld = {wi : i ≥ 1,wi /∈ L(Mi)}.
TételLd /∈ RE.
w1 w2 w3 · · ·M1 1 0 1M2 0 0 1M3 1 0 1...
. . .
(1 =∈,0 =/∈). Mit mond meg az átló komplementere?Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 16: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/16.jpg)
Az univerzális nyelv
Definíció (univerzális nyelv)
Lu = {〈M,w〉 : w ∈ L(M)} („elfogadó gép–bemenet párok”).
TételLu ∈ RE.
Világos: ha az U gép az Lu-t ismeri fel, az pontosan azt jelenti,hogy M elfogadja w-t (U „leszimulálja” M muködését w-n).
TételLu /∈ R.
Ha lenne Lu-t eldönto gép, azzal el tudnánk dönteni Ld-t is.
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 17: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/17.jpg)
A Penrose–Lucas érvelés
Következmény: nincs Lu-t eldönto gép. Azaz nem létezik olyan al-goritmus, amely minden esetben meg tudja mondani, hogy adottbemenetre adott gép megáll-e (∼ Gödel nemteljességi tételei).
Tegyük fel, hogy van egy Mn gépünk, amely néhány számításrólmeg tudja mondani, hogy megáll-e.
w1 w2 w3 · · · wn
M1 1 � �M2 0 0 1M3 1 0 �...
. . .Mn ?
Mi lehet ott?
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 18: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/18.jpg)
A Penrose–Lucas érvelés
w1 w2 w3 · · · wn
M1 1 � �M2 0 0 1M3 1 0 �...
. . .Mn �
Azaz MI tudjuk, hogy a gép nem fog megállni, de o nem!(különben nem �-t adna)
Jobbak volnánk bármilyen algoritmusnál? (új fizika kell?netán kvantumgravitáció? mikrotubulusok?)
„Rejtett” feltételezés: konzisztencia! (ebben az esetbentényleg bizonyíthatnánk, hogy a számítás nem áll meg, amiellentmondásra vezetne a fentiek alapján)
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 19: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/19.jpg)
Orch-OR (Penrose & Hameroff)
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 20: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/20.jpg)
Hiperszámítás
Kvantumszámítógépek (Google „Quantum supremacy”)
Malament–Hogarth gépek
. . .
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 21: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/21.jpg)
Turing-teszt
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 22: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/22.jpg)
„Helyettesítheto”-e az agy?
A Turing-teszt véges ideje alatt véges mennyiséguinformáció áramlik.
Építsünk egy gigantikus (de véges, így kiszámítható)lookup-táblát az összes lehetséges beszélgetésre adottpontig!
Történet Válaszh1 f(h1)h2 f(h2)...
...Lehet-e jobbat csinálni egy exponenciális méretulookup-táblánál?
Ha nem: az emberi agy nem szimulálható a gyakorlatban.
Nem is a kiszámíthatóság, sokkal inkább a komplexitás fontos!
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 23: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/23.jpg)
Komplexitáselmélet
DefinícióLegyen f : N→ N, valamint jelölje TIME(f(n)) azon nyelvekhalmazát, amelyek O(f(n)) idoigényu Turing-géppeleldönthetok. Hasonlóképpen jelölje NTIME(f(n)) azon nyelvekhalmazát, amelyek O(f(n)) idoigényu nemdeterminisztikusTuring-géppel eldönthetok.
Definíció
P =⋃k≥1
TIME(nk),
NP =⋃k≥1
NTIME(nk).
Utóbbira egy alternatív definíció: azon nyelvek halmaza,amelyek polinom idoben ellenorizhetok.
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 24: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/24.jpg)
P vs NP
P-beli problémák:LNKOLineáris programozásGráf-elérhetoségMinimális feszítofaLCS
NP-beli problémák:SATSudokuUtazó ügynökPrím-faktorizációHátizsák-pakolás
P = NP? P 6= NP?
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 25: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/25.jpg)
Hogyan muködik a matematikus?
I turned my attention to the study of some arithmeticalquestions apparently without much success and without asuspicion of any connection with my preceding researches.Disgusted with my failure, I went to spend a few days atthe seaside and thought of something else. One morning,walking on the bluff, the idea came to me, with just thesame characteristics of brevity, suddenness and immediatecertainty, that the arithmetic transformations of indefini-te ternary quadratic forms were identical with those ofnon-Euclidian geometry.
Henri Poincaré, 1904
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 26: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/26.jpg)
Matematikai kreativitás és gondolkodás
Tanulmányok:
The Foundations of Science: Science and Hypothesis, theValue of Science, Science and Method. (Poincaré)
The Mathematician’s Mind: The Psychology of Invention inthe Mathematical Field. (Hadamard)
A gondolkodás iskolája. (Pólya)
Automatizálható-e a matematikai (vagy egyéb) kreativitás?
Ha P = NP: bárki, aki ellenorizni tud bizonyításokat,megalkotni is tudja? (Hilbert álma).
Ha P 6= NP: jó heurisztikák szükségessége (Gödel: létezik-eadott hossznál rövidebb bizonyítás?).
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 27: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/27.jpg)
Feladat
Példa (7. osztályos versenyfeladat)
Bizonyítsuk be, hogy bármely n természetes számnak van olyantöbbszöröse, amely felírható csak 0 és 1 számjegyekkel!
Megoldás
Vegyük az 1, 11, 111, 1111 stb. számok n-nel vett osztásimaradékait. Mivel ebbol legfeljebb n-féle lehet, biztos van köztükkét olyan, amely egyforma maradékot ad. Ezek különbsége csak 0és 1 számjegyeket tartalmaz, valamint osztható n-nel.
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 28: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/28.jpg)
Feladat
Példa (7. osztályos versenyfeladat)
Bizonyítsuk be, hogy bármely n természetes számnak van olyantöbbszöröse, amely felírható csak 0 és 1 számjegyekkel!
Megoldás
Vegyük az 1, 11, 111, 1111 stb. számok n-nel vett osztásimaradékait. Mivel ebbol legfeljebb n-féle lehet, biztos van köztükkét olyan, amely egyforma maradékot ad. Ezek különbsége csak 0és 1 számjegyeket tartalmaz, valamint osztható n-nel.
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 29: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/29.jpg)
Rezolúció
Charlie Firpo a következoket állítja:
Ha alszom és nem kello tapintattal ébresztenek fel, elsírommagam. (A ∧ ¬T ∧ E)→ SA sírással felizgatom magam, és izgalmamban fel kellkelnem. (S→ I) ∧ (I→ K)
Ha felkelek, bal lábbal kelek. K → BHozzuk klóz formára az állításokat, majd bizonyítsuk be nullad-rendu rezolúcióval, hogy ha Charlie nem bal lábbal ébredt, akkorvagy tapintattal ébresztették, vagy nem aludt! (¬B∧E)→ (¬A∨T)
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 30: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/30.jpg)
Rezolúció
Alkatrészek:1 Rezolúciós szabály: (P ∨ Q), (R ∨ ¬Q) P ∨ R.2 Keresési stratégia.
Tétel (Haken, 1985.)
Kelloen nagy n-re a skatulyaelv bármely rezolúciós bizonyítása2O(n) hosszú.
Bizonyítás.
Lásd P. Pudlák (1999): Proofs as games.
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 31: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/31.jpg)
NP-beli problémák polinom-idoben?
Képes lehet az ember ilyesmire?
Láttunk példákat... de általánosságban? (pl.prímfaktorizáció).
„Tradicionális” MI: jó heurisztikák keresése.
Gondolkodik-e a gép? Van-e „elméje”?
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 32: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/32.jpg)
Searle kínai szobája
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 33: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/33.jpg)
Computationalism
In philosophy, the computational theory of mind refersto a family of views that hold that the human mind isan information processing system and that cognition andconsciousness together are a form of computation.
Wikipedia, tegnap este
Implementálhat-e tetszoleges rendszer tetszolegesszámítást?
„Gyenge” visszavezetések
Computational Universe (Schmidhuber, Wolfram és mégsokan mások)
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései
![Page 34: Az intelligencia számításelméleti kérdései](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012423/61774218c85bb2507a22c082/html5/thumbnails/34.jpg)
Források
Roger Penrose (1989). A császár új elméje. AkadémiaiKiadó, Budapest, 1993.
Hameroff–Penrose (1996). Orchestrated reduction ofquantum coherence in brain microtubules: A model forconsciousness. Mathematics and Computers in SimulationVol. 40, Issue 3–4, pp. 453-480.
Etesi–Németi (2002). Non-Turing computations viaMalament-Hogarth space-times. International Journal ofTheoretical Physics Vol. 41, Issue 2, pp. 341–370.
Scott Aaronson (2011). Why Philosophers Should CareAbout Computational Complexity.
Gazdag Zsolt (2015). Bevezetés a számításelméletbe.
Luke Schaeffer (2015). A Physically Universal QuantumCellular Automaton. Automata 2015: 46-58.
Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései