IntroduccinLa perspectiva axonomtrica es un sistema de representacin grfica, consistente en representar elementos geomtricos o volmenes en un plano, mediante proyeccin ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud. La perspectiva axonomtrica cumple dos propiedades importantes que la distinguen de la perspectiva cnica, es decir, que la escala del objeto representado no depende de su distancia al observador y que dos lneas paralelas en la realidad son tambin paralelas en su representacin axonomtrica. Los tres ejes del plano proyectante se dibujan as: el referente a la altura suele ser vertical, y los referentes a longitud y anchura pueden disponerse con cualquier ngulo. Los ejes del plano proyectante guardan entre s 120 en la perspectiva isomtrica, un caso particular de la perspectiva axonomtrica. Si los ejes guardan entre s 90 y 135 se denomina perspectiva caballera. Para que el dibujo se parezca ms a la realidad, se aplica a veces un coeficiente de reduccin en las medidas paralelas a los ejes de anchura y longitud.

Proyeccin axonomtricaLa proyeccin axonomtrica es una proyeccin sobre un plano (Axonomtrico) que tiene una posicin arbitraria en el espacio. Si los rayos son perpendiculares al plano axonomtrico, se trata de una proyeccin axonomtrica ortogonal. Este sistema de proyeccin es muy similar a la manera de observar nosotros los objetos en el espacio, conservndose, sin embargo, todas las propiedades de la proyeccin cilndrica (paralelismo, perpendicularidad). Las proyecciones del plano axonomtrico en el plano horizontal XY determina la recta XY cuya proyeccin es perpendicular al eje Z. en efecto: Ambas rectas (eje Z y XY) son ortogonales, la recta XY esta contenida en el plano axonomtrico y la proyeccin axonomtrica es una proyeccin ortogonal.

Coordenadas y escalasEn axonometra se pueden medir las coordenadas de los puntos sobre los ejes, tomando en cuenta la deformacin correspondiente de estos. (De all se deriva el nombre axonomtrica que en griego significa medida sobre los ejes). Cada eje tiene su escala predeterminada de acuerdo con el plano axonomtrico y su respectiva direccin de los rayos de proyeccin. Todas las lneas paralelas al plano axonomtrico se conservan en esta proyeccin en verdadero tamao. Para determinar las escalas sobre los ejes, rebatimos estos sobre el plano axonomtrico donde se deben proyectar en verdadero tamao.

Para definir la proyeccin axonomtrica basta fijar los ngulos bajo los ejes X, Y, Z, cuya suma debe ser 360 y ninguno puede ser 90. Tambin se puede definir mediante el triangulo axonomtrico.

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Trimetra: los tres ngulos son distintos, las tres escalas son distintas. Bimetra: dos ngulos son iguales y dos escalas tambin son iguales (la escala distinta esta sobre el eje opuesto al ngulo distinto). Isometra (Monometra): los tres ngulos son iguales a 120, las tres escalas son tambin iguales.

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Diversos mtodos para el replanteo de un puntoy

Usando la escala de los ejes previamente determinada y construyendo el paraleleppedo de aristas iguales a las coordenadas correspondientes.

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Usando la escala de los ejes y midiendo sobre rectas paralelas a ellos.

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Usando el rebatimiento del plano horizontal en el plano axonomtrico y replanteando la proyeccin horizontal del punto. De acuerdo con los ejes XR e YR ; determinamos las coordenadas correspondientes a este punto en X e Y, y trazamos las lneas paralelas en estos puntos hasta que se corten en Ah.

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Tambin puede determinarse Ah por la homologia siendo: a) El eje muerto: traza horizontal del plano axonomtrico. b) Los rayos de homologia: direccin del eje Z. c) La pareja conjugada es 00R.

La perspectiva del punto debe estar sobre la lnea de referencia a una altura que se mide a partir de Ah.

Caractersticas de la proyeccin axonomtricaLa proyeccin axonomtrica es una proyeccin cilndrica, ortogonal donde se conserva: Propiedades:y y y

a) El paralelismo y la proporcionalidad, as como los dimetros conjugados de una cnica. b) El plano axonomtrico se proyeccta en su verdadero tamao. c) La recta perpendicular a una recta paralela al plano axonomtrico se proyecta bajo un Angulo recto en ella. d) Una esfera se proyecta como una circunferencia.

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Uso: La proyeccin axonomtrica se usa ventajosamente para representar esquemas de instalaciones, piezas mecnicas, edificios, etc. Da una ilusin ms parecida al objeto que la proyeccin oblicua ya que se acerca ms a la manera de mirar (pero a veces es ms laborioso efectuarla. Representacin y visibilidad: Se acostumbra repasar nicamente la proyeccin (perspectiva) aunque la proyeccin horizontal es igualmente indispensable.

Mtodos de construccin en proyeccin axonomtricay

Indirecto: rebatiendo la proyeccin horizontal del objeto y despus fijando los puntos de acuerdo con las alturas respectivas. a) Para determinar la proyeccin horizontal axonomtrica, se determina primero la proyeccin ortogonal (en el sistema de los ejes XR, YR ). b) Se busca por homologia la proyeccin horizontal axonomtrica, siendo: X Y el eje de homologia; los rayos de homologia perpendiculares al eje de homologia XY; una pareja conjugada: O - OR. c) Se determina la proyeccin axonomtrica de acuerdo con las alturas de los puntos. Estas alturas corresponden a la escala del eje Z. OM= Altura de la casa. ON= Altura de la cresta.

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Directo: construyendo el objeto de acuerdo con aquellas lneas que son paralelas a los ejes de proyeccin y de acuerdo con la escala de estos. a) Tetraedro: regular con base horizontal y una arista paralela al eje Y. la altura del tetraedro se determino aparte. b) Cubo con caras paralelas a los planos de proyeccin, o sea, aristas paralelas a los ejes. c) Cubo con seccin principal paralela al plano de proyeccin XZ e YZ, o sea, diagonales de una cara son paralelos a los ejes X e Y.

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d) Octaedro regular: con diagonales paralelas a los ejes de coordenadas. e) Octaedro regular: con seccin principal paralela al plano XZ, o sea, aristas paralelas a los ejes X e Y, y una diagonal paralela al eje Z. Proyectivo: semejante a la proyeccin oblicua, solo que los ejes se proyectan de otra forma.

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PerpendicularidadLa proyeccin axonomtrica de la perpendicular p, formara un Angulo recto con la interseccin PQ entre el plano axonomtrico y el plano dado. La proyeccin horizontal axonomtrica ph estar en el espacio, perpendicular a la traza horizontal XY del plano a; Ser tambin perpendicular al plano vertical que contiene la traza XY y por eso perpendicular a la interseccin PR entre los planos y el axonomtrico.

Rebatimiento en proyeccin axonomtricaPara efectuar el rebatimiento de un plano a en la proyeccin axonomtrica, es necesario girar este plano a hasta que coincida con el plano axonomtrico, siendo el eje de giro la interseccin entre el plano a y el plano axonomtrico. Asumiendo que XYZ es el plano axonomtrico, y que el plano a esta dado por sus trazas = ABC, se observa que la recta H-V es interseccin entre el plano a y el plano axonomtrico. Esta recta es adems el eje de rebatimiento y el eje de homologia. Rayos de rebatimiento (de homologia): los puntos se mueven en planos perpendiculares al eje de rebatimiento, que se proyectan como rectas perpendiculares al eje H-V (por tratarse de proyeccin ortogonal).

Circunferencia en proyeccin axonomtricay

Circunferencia situada en un plano horizontal: Es una elipse con el eje mayor paralelo a la traza horizontal del plano axonomtrico y de longitud igual al dimetro de la circunferencia.

El punto P es un punto de la circunferencia: AP es paralelo a Y y BP es paralelo a X, la demostracin se obtiene por el rebatimiento. Por el procedimiento de los tres puntos se determina el eje menor DE.y

Circunferencia en el plano frontal y lateral: es semejante a la circunferencia en el plano horizontal; el eje mayor de la elipse se proyecta perpendicular al eje X, Y o Z respectivamente (paralelo a la traza del plano axonomtrico), con longitud igual al dimetro de la circunferencia. Casos particulares:

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Isometra: la circunferencia horizontal, frontal o lateral se proyecta como elipse equiltera. Circunferencia en el plano axonomtrico: se proyecta en su verdadero tamao. Circunferencia en un plano cualquiera: la circunferencia se proyecta como una elipse, con el eje mayor igual al dimetro de la circunferencia y paralelo a la traza del plano de la circunferencia en el plano axonomtrico.

Esfera en proyeccin axonomtricaLa proyeccin de una esfera es una circunferencia de igual radio a ella. Su proyeccin horizontal es una circunferencia situada en el plano horizontal, de igual tamao que el ecuador y se proyecta como una elipse. En la ilustracin se representa una esfera con:y y

Ecuador: eje mayor AB, eje menor CD. Polos N y S: la distancia NS = dimetro de la esfera, medido con la escala correspondiente al eje Z. Meridianos: deben pasar por los polos. La interseccin EF del plano del meridiano con el plano del ecuador y el eje NS de la esfera, forman dimetros conjugados. Meridiano principal: es paralelo a la interseccin del plano axonomtrico y el plano horizontal. Se proyecta con el eje mayor AB paralelo a la traza horizontal del plano axonomtrico y el eje menor NS. Meridiano de cierta longitud: para poder medir la longitud ? de cierto meridiano, se rebate el Ecuador alrededor del eje que pasa por el centro de la esfera; el ecuador coincidir con el contorno de la esfera y el Angulo ? se puede medir directamente. El meridiano se define por dos dimetros conjugados: uno, que se esta entre los polos y el otro en el plano del ecuador, homologo al Angulo ? rebatido. Paralelos: el lugar geomtrico de los vrtices de los ejes mayores de los paralelos es el meridiano principal. La relacin del semieje mayor y el semieje menor de todos los paralelos de la esfera es igual a la misma relacin en el ecuador.

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Paralelo de cierta latitud: para determinar el paralelo de cierta latitud, se efecta una rotacin de 90 del meridiano perpendicular al plano axonomtrico; vindose as el meridiano en verdadero tamao, coincidiendo con el contorno de la esfera.

Iluminacin y sombra en proyeccin axonomtricaPara hallar las sombras en la proyeccin axonomtrica, se procede de forma muy similar como en la proyeccin oblicua. Casos particulares:y

Iluminacin tcnica en isometra: la proyeccin de los rayos tiene una direccin particular. Observe la ilustracin al lado.

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Sombra de esfera (sombra propia): el eje mayor AB de la elipse corresponde a la sombra propia, es perpendicular a los rayos de luz.

Para obtener un punto adicional P de la circunferencia lmite de la sombra propia, se determina el punto de tangencia entre el ecuador de la esfera y la tangente cuya direccin corresponde a la proyeccin horizontal del rayo de la luz sh. El eje menor CD se obtiene por el procedimiento de tres puntos (de papelito). La sombra arrojada de la esfera se halla buscando la sombra arrojada de los diametres mayor AB y menor CD, que son dimetros conjugados.

ConclusinEl sistema axonomtrico se desarrollo para suplir las desventajas del sistema didrico, es decir, poder visualizar un elemento mecnico de una forma rpida y sin conocimientos previos. Este sistema se subdivide en dos principales, el sistema axonomtrico ortogonal y el sistema axonomtrico oblicuo. La diferencia entre ambos es la direccin de los rayos de proyeccin respecto del plano en el que se proyectan, la cual ser perpendicular o con otro ngulo en cualquiera de ambos casos. El sistema axonomtrico tiene como base de referencia un triedro trirrectngulo. Este triedro est formado por tres planos que son perpendiculares entre s. Para representar un objeto en este sistema, se le ha de situar dentro del espacio que comprende el triedro, con una proyeccin cilndrica sobre el plano de representacin. De esta manera obtendremos una imagen en perspectiva del slido, adems de la representacin de las tres aristas o ejes del triedro.

Bibliografay y

Nicolas Larburu.(1984). Tecnicas del dibujo. Paraninfo. 3 edicion. Harry Osers. Estudio de la Geometria Descriptiva.