aula1 proposicoes e conectivos (1)
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RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO
- LÓGICA PROPOSICIONAL.
• A Lógica é um ramo da Filosofia e da Matemática e estuda os princípios e métodos de argumentação.
• A Lógica tem por objetivo estudar os métodos e princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos;
• A Lógica cuida das regras do bem pensar, se preocupa basicamente com a estrutura do raciocínio.
• A História da Lógica teve início em 384–322 a.C., com o filósofo grego Aristóteles e já com a teoria dos silogismos (certa forma de argumento válido).
• Os fundamentos da Álgebra da Lógica só foram publicados entre 1840 e 1910.
• “Eu sustento que a descoberta da forma dos silogismos é uma das mais belas conquistas da mente humana. É uma espécie de matemática universal, cuja importância não é suficientemente conhecida". (LEIBNIZ)
INTRODUÇÃO
EXEMPLOS DE SILOGISMO
• Toda regra tem exceção. Isto é uma regra. Logo, deveria ter exceção.
• Portanto, nem toda regra tem exceção.
• Deus é amor. O amor é cego. Steve Wonder é cego.
• Logo, Steve Wonder é Deus.
Para pensar: A maçã
• Há 2 pais e 2 filhos em uma sala
com 1 maçã. A maçã está cortada
em 4 partes iguais. Cada 1 deles
comeu 1 fatia da maçã e ainda
restou 1 fatia. Como isso é possível
sem alterar nada das 4 fatias?
PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS
Chama-se PROPOSIÇÃO a todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento completo.
Tecnicamente, uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa, são os chamados valores lógicos de uma proposição.
Exemplos:
1. Dez é menor que sete.
2. Ela é muito talentosa!
3. Existem formas de vida em outros planetas do universo.
A frase 1 é uma proposição pois é falsa.
Na frase 2, “Ela” não está especificada, a frase não é portanto nem verdadeira nem falsa, logo não temos uma proposição.
A frase 3 é uma proposição, embora não saibamos se é verdadeira ou falsa, apenas uma das opções ocorre.
• Costuma-se usar a palavra “proposição” para designar
o significado de uma sentença ou oração declarativa.
• Exemplo: “João ama Maria” é o mesmo que “Maria é
amada por João”.
Mais uma vez…
• Toda proposição é uma frase (mas nem toda frase éuma proposição); uma frase é uma proposição apenasquando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos:
• Frases que não são proposições– Pare!
– Quer uma xícara de café?
– Eu não estou bem certo se esta cor me agrada.
• Frases que são proposições– A lua é o único satélite do planeta terra (V)
– A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F)
– O numero 712 é ímpar (F)
– Raiz quadrada de dois é um número irracional (V)
PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO:
Uma proposição não pode ser VERDADEIRA e FALSA ao
mesmo tempo.
PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO:
Toda proposição ou é VERDADEIRA ou é FALSA, isto é,
verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
...EM RESUMO:
Toda proposição tem um, e somente um, dos valores V
ou F.
PRINCÍPIOS OU AXIOMAS DAS
PROPOSIÇÕES
Proposição SIMPLES é aquela que não possui nenhuma
outra proposição como parte integrante de si mesma.
Representadas pelas letras p, q, r, s,..., minúsculas.
p: 19 é número primo.
q: O triângulo que tem 3 lados diferentes é isósceles.
Proposição COMPOSTA é aquela formada pela
combinação de duas ou mais proposições.
Representadas pelas letras P, Q, R, S..., maiúsculas.
P: 4 é a raiz de 16 e 9 é o cubo de 2.
Q: Mercúrio é um planeta do sistema solar e a lua é o
satélite da terra.
TIPOS DE PROPOSIÇÃO
O valor lógico de uma proposição simples é indicado
por:
V(p) = F ou V(p) = V
ou ainda, se for composta,
V(P) = F ou V(P) = V
O valor lógico de uma proposição composta dependeunicamente dos valores lógicos das proposiçõessimples que a compõem.
VALOR DE UMA PROPOSIÇÃO
É possível construir proposições a partir de
proposições já existentes. Este processo é
conhecido por Composição de
Proposições. Suponha que tenhamos duas
proposições,
A = "Maria tem 23 anos"
B = "Maria é menor"
COMPOSIÇÃO DE PROPOSIÇÕES
"Maria não tem 23 anos" (não(A))
"Maria não é menor“ (não(B))
"Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B)
"Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B)
"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)
"Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B)
"Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B))
"Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B))
Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A B)
Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) B)
"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)
"Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor“ (C não(B))
COMPOSIÇÃO DE PROPOSIÇÕES
"Maria não tem 23 anos" (nãoA)
"Maria não é menor“ (não(B))
"Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B)
"Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B)
"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)
"Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B)
"Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B))
"Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B))
Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B)
Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) => B)
"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)
"Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor"(C <=> não(B))
Note que, para compor proposições usou-se os símbolos
não (negação), e (conjunção), ou (disjunção),
(implicação) e, finalmente, (equivalência).
São os chamados conectivos lógicos.
Note, também, que usou-se um símbolo para representar
uma proposição: C representa a proposição Maria tem 18
anos.
Assim, não(B) representa Maria não é menor, uma vez
que B representa Maria é menor.
COMPOSIÇÃO DE PROPOSIÇÕES
Palavras usadas para formar novas proposições a
partir de outras. Com eles formamos proposições
compostas.
P: O sol é uma estrela e Júpiter é um planeta.
Q: Hélio é Engenheiro ou Advogado.
R: Dia 01 de agosto não é feriado.
S: Se sua nota for superior a 60, então você seráaprovado.
T: O aluno fará nova prova se e somente se puderjustificar sua falta.
CONECTIVOS – voltando ao assunto
• De forma simplificada podemos perceber que
estas palavras (conectivos), são representadas
através de letras sentenciais combinadas com
as expressões:
– não negação
– e conjunção
– ou disjunção
– se ... então implicação ou
condicional
– se e somente se bi-implicação,
equivalência ou bicondicional
• Essas expressões são chamadas de
operadores ou conectivos lógicos.
CONECTIVOS – voltando ao assunto
• Para facilitar o reconhecimento ecomparação, cada operador lógico érepresentado por um símbolo:
– não : ~ ou ┐
– e: Λ ou &
– ou: ν
– se ... então:
– se e somente se:
CONECTIVOS – Formalização
De modo resumido podemos dizer que:
• A partir de uma proposição podemos
construir uma outra correspondente com a
sua negação;
• Com duas proposições ou mais, podemos
formar:– Conjunções: a Λ b (lê-se: a e b)
– Disjunções: a ν b (lê-se: a ou b)
– Condicionais: a b (lê-se: se a então b)
– Bicondicionais: a b (lê-se: a se somente se b)
CONECTIVOS – Formalização
A TABELA-VERDADE é um recurso utilizado para
determinar todos os possíveis valores lógicos de uma
proposição composta, a partir de todas as possíveis
atribuições de valores lógicos dados às proposições
simples que a compõem.
O resultado depende do conectivo que gera a
proposição composta. Conectivos diferentes geram
tabelas-verdade diferentes.
O número de linhas de uma tabela-verdade é dado
por 2n, onde “n” é o número de proposições simples.
TABELAS-VERDADE
• Para uma proposição simples:
Ex: São Luís é a capital do Maranhão.
TABELA-VERDADE
p
V
F
• Para duas proposições simples, ligadas por um
conectivo:
Ex: Brasília é a capital do Brasil e Lima é a capital do
Peru.
TABELA-VERDADE
p q valorações
V V VV
V F VF
F V FV
F F FF
p
V
F
q
q
V
F
V
F
p q
V V
V F
F V
F F
TABELA-VERDADE
• Para três proposições simples:
Ex:
João é cantor, músico e
pintor.
TABELA-VERDADE
p q n valorações
V V V VVV
V V F VVF
V F V VFV
V F F VFF
F V V FVV
F V F FVF
F F V FFV
F F F FFF
Conectivos Binários: conectivos que atuam em
duas expressões para gerar uma terceira. Geram
proposições compostas.
Exemplos de conectivos binários são:
• conjunção: “e”
Notações: p q (lê-se p e q)
O valor lógico de uma conjunção será verdadeiro
quando ambas proposições forem verdadeiras, e falso
nos outros casos.
CONECTIVOS LÓGICOS
Tabela-verdade da CONJUNÇÃO:
EXEMPLOS:
“Elefantes são grandes e bolas são redondas.”
“A lua é quadrada e a neve é branca .”
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
CONECTIVOS LÓGICOS
Vamos analisar outra situação:
Exemplo: Considere as proposições
p: João vai ao cinema.
q: Maria não vai viajar.
p q: João vai ao cinema e Maria não vai viajar.
Perceba que esta última proposição somente será
verdadeira se João de fato for ao cinema e se de fato Maria
não for viajar.
Por exemplo, se João for ao cinema e Maria viajar, a
sentença torna-se falsa.
Logo: a proposição composta da conjunção somente será
verdadeira se todas as proposições envolvidas na operação
forem verdadeiras.
CONECTIVOS LÓGICOS
Uma maneira mais fácil de entender a conjunção “e” seria
pensarmos nas sentenças simples como promessas de um pai a
um filho:
“eu te darei uma bola e te darei uma bicicleta”
Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a
promessa é para os dois presentes.
Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a
promessa não terá sido cumprida. Terá sido falsa!
No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes
forem também verdadeiras!
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos,
por meio de um diagrama, a conjunção "p e q" corresponderá à
interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos:
CONECTIVOS LÓGICOS
IMPORTANTE:
A expressão “mas” pode ser utilizada como conectivo da
conjunção quando o conectivo “e” for usado com sentido
adversativo.
Exemplo: Ana vai viajar e Bruno não vai ao cinema.
Esta proposição composta poder ser também representada
como:
“Ana vai viajar, mas Bruno não vai ao cinema”.
CONECTIVOS LÓGICOS
•disjunção : “ou”
Notação: p ν q (lê-se p ou q)
O valor lógico de uma disjunção será verdadeiro
quando pelo menos uma das proposições for
verdadeira, e falso quando ambas forem falso.
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
EXEMPLOS:
“A lua é redonda ou a
neve é branca.”
“Hoje é terça ou
quarta.”
Tabela-verdade da DISJUNÇÃO:
CONECTIVOS LÓGICOS
Vamos analisar outra situação:
Exemplo: Considere as proposições
p: João vai ao cinema.
q: Maria não vai viajar.
p q: João vai ao cinema ou Maria não vai viajar.
Perceba que esta última proposição será verdadeira se
João de fato for ao cinema ou se de fato Maria não for
viajar. Bastando não que necessariamente as duas
ocorram, mas somente uma delas.
Por exemplo, se João for ao cinema e Maria viajar, a
sentença torna-se verdadeira.
Logo: a proposição composta da disjunção será verdadeira
se qualquer uma das proposições envolvidas na operação
for verdadeira.
CONECTIVOS LÓGICOS
Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição
disjuntiva? Claro! Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para
seu filho! Vejamos:
“eu te darei uma bola ou te darei uma bicicleta.”
Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por
apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente
apenas um deles, a promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira!
E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na
cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do
que cumprida.
Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se
cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e nem a
bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por
meio de um diagrama, a disjunção "p ou q" corresponderá à união do
conjunto p com o conjunto q,
CONECTIVOS LÓGICOS
•Disjunção exclusiva : “ou p ou q”
Notação: p v q (lê-se ou p ou q)
O valor lógico de uma disjunção exclusiva será
verdadeiro quando as proposições envolvidas na
operação tiverem valores contrários, ou seja, se uma for
verdadeira e outra for falsa..
p q p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
Tabela-verdade da DISJUNÇÃO EXCLUSIVA:
CONECTIVOS LÓGICOS
Para compreender
melhor, basta fixar
que:
A proposição (p v q) é
verdadeira se e
somente se uma das
proposições p ou q
são verdadeiras. Não
quando ambas são
verdadeiras e muito
menos, ambas falsas.
Disjunção Exclusiva
P Q P v Q
Verdadeiro Verdadeiro F
Verdadeiro Falso V
Falso Verdadeiro V
Falso Falso F
Eduardo é Pernambucano ou Paraibano
q: Eduardo é Pernambucano
p: Eduardo é Paraibano
q v p = ?
Eduardo é ou Pernambucano ou Paraibano
CONECTIVOS LÓGICOS
Temos três casos a considerar sobre a disjunção exclusiva:
1º caso: disjunção exclusiva com o uso de palavras
antônimas.
Exemplo: João é alto ou baixo.
2º caso: disjunção exclusiva com a indicação de
nacionalidades ou naturalidades.
Exemplo: Alberto é maranhense ou paulista.
3º caso: disjunção exclusiva com o acréscimo da expressão
“mas não ambos”.
Exemplo: Jô Soares é gordo ou inteligente, mas não ambos.
CONECTIVOS LÓGICOS
CUIDADO! Este novo tipo de proposição composta, é bem parecido
com a disjunção, mas com uma pequena diferença. Comparemos as
duas sentenças abaixo:
“Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”
“ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”
A diferença é sutil, mas importante.
Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a
primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá
que a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja.
Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”,
então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se
for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será
dada a bola. Resumindo, se uma for verdade a outra não será.
Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente
excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a
restante será necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, ao
mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo
tempo, falsas.
CONECTIVOS LÓGICOS
Pois bem na segunda sentença acima, o tipo de construção é
uma disjunção exclusiva, e isto se evidencia pela presença dos
dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é
necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos
por meio de um diagrama, a disjunção exclusiva “ou p ou q"
corresponderá à diferença do conjunto p com o conjunto q, ou
à diferença do conjunto q com o conjunto p,
CONECTIVOS LÓGICOS
•condicional : se então
Notação: p q (lê-se se p então q)
O valor lógico de uma condicional será falso quando
“p” for verdadeira e “q” for falsa, e verdadeiro nos
demais casos.
Tabela-verdade da CONDICIONAL:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
EXEMPLOS:
“Se tem fumaça então
tem fogo.”
“Se hoje é domingo
então tem jogo na
televisão.”
CONECTIVOS LÓGICOS
Quando estivermos analisando proposições compostas a
partir do conectivo “se p então q”, é preciso entender que:
1. A primeira proposição (p) é chamada de antecedente,
hipótese ou condição suficiente;
2. A segunda proposição (q) é chamada de consequente ou
condição necessária;
3. A proposição composta resultante da operação
condicional de uma proposição em outra somente será
falsa, se a proposição antecedente for verdadeira e a
consequente for falsa. Em todos os outros casos, a
proposição resultante será verdadeira.
CONECTIVOS LÓGICOS
Exemplos de proposição condicional e suas variações:
“Se João passou de ano, então João passou em
matemática”.
Fique atento para algumas variações frequentes:
“João passará em matemática, se João passar de ano”.
“João passar de ano é condição suficiente para que João
passe em matemática”.
“João passar de ano é condição necessária para que João
passe em matemática”.
João passará de ano somente se João passar em
matemática”.
CONECTIVOS LÓGICOS
Vamos analisar outra situação:
Exemplo: Considere as proposições
p: João passou de ano.
q: João passou em matemática.
p q: Se João passou de ano, então João passou em
Matemática.
Perceba que nesta última proposição, fica evidente que: se
João passou de ano, é por que também passou em
matemática.
E que há apenas um caso em que ela se torna falsa: João
passou de ano, associado com João não passou em
matemática.
Logo: A proposição composta resultante da operação
condicional de uma proposição em outra somente será falsa,
se a proposição antecedente for verdadeira e a consequente
for falsa.
CONECTIVOS LÓGICOS
Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse
tipo de proposição. Convém, para facilitar nosso entendimento,
que trabalhemos com a seguinte sentença.
“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.
Vamos analisar um exemplo mais simples:
“Se nasci em Imperatriz, então sou Maranhense”.
E assim por diante.
Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição
estar incorreta?
Ora, só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte
for verdadeira, e a segunda for falsa.
Ou seja, se é verdade que eu nasci em Imperatriz, então
necessariamente é verdade que eu sou maranhense. Se alguém
disser que é verdadeiro que eu nasci em Imperatriz, e que é
falso que eu sou maranhense, então este conjunto estará todo
falso.
CONECTIVOS LÓGICOS
Percebam que o fato de eu ter nascido em Imperatriz é condição
suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado
necessário que eu seja maranhense. Mirem nessas palavras:
suficiente e necessário.
→ Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Percebam, pois, que se alguém disser que:
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”,
então nós podemos reescrever essa sentença, usando o
formato da condicional. Teremos: “Pedro ser rico é condição
suficiente para Maria ser médica” é igual a: “Se Pedro for rico,
então Maria é médica”.
Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser
médica é condição necessária para que Pedro seja rico”,
também poderemos traduzir isso de outra forma: “Maria ser
médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual
a: “Se Pedro for rico, então Maria é médica”
CONECTIVOS LÓGICOS
O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras
suficiente e necessário para o formato da proposição
condicional já foi bastante exigido em questões de concursos.
Não podemos, pois esquecer disso:
→ Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos,
por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p então
q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p
está contido em q):
CONECTIVOS LÓGICOS
Outros exemplos da proposição condicional:
Exemplo 1: Se 4 é maior que 2, então 10 é menor que 20.
p: 4 é maior que 2
q: 10 é menor que 20
p q
V V Resultado V
Exemplo 2: Se o mês de Maio tem 31 dias, então a Terra é
plana
O mês de Maio tem 31 dias: p
A Terra é plana: q
p q
V F Resultado F
CONECTIVOS LÓGICOS
•bicondicional : se e somente se
Notação: p q (lê-se p se e somente se q)
O valor lógico de uma bicondicional será falso
quando p e q tiverem valores (V ou F) diferentes , e
verdadeiro nos demais casos.
Tabela-verdade da BICONDICIONAL:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
EXEMPLOS:
“José faz aniversário se
e somente se estamos
no mês de abril.”
“Hoje é domingo se e
somente se tem jogo na
televisão.”
CONECTIVOS LÓGICOS
A proposição bicondicional é denominada condição
suficiente e necessária ao mesmo tempo.
Simbolicamente podemos representar a bicondicional a
partir de duas condicionais ligadas pelo conectivo “e”.
p q (p q) (q p)
Exemplo:
“João vai ao cinema, se e somente se, Maria não viajar”.
Perceba que:
1. Maria não viajar é condição suficiente e necessária para
João ir ao cinema.
2. João ir ao cinema é condição suficiente e necessária para
Maria não viajar.
CONECTIVOS LÓGICOS
Outros exemplos de proposição bicondicional:
Exemplo 1: Roma fica na Europa se e somente se a
neve é branca
p: Roma fica na Europa
q: Neve é branca
p q Resultado V
Exemplo 2: Roma fica na Europa se e somente se a
neve é azul
p: Roma fica na Europa
q: Neve é azul
p q Resultado F
CONECTIVOS LÓGICOS
Exemplo 3: Roma fica na África se e somente se a neve
é branca
p: Roma fica na África
q: Neve é branca
p q Resultado F
Exemplo 4: Roma fica na África se e somente se a neve
é azul
p: Roma fica na África
q: Neve é azul
p q Resultado V
CONECTIVOS LÓGICOS
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos,
por meio de um diagrama, a proposição bicondicional "p se e
somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q.
Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente
se q" equivale à proposição composta: “se p então q e se q
então p”, ou seja,
“ p ↔ q “ é a mesma coisa que “ (p → q) e (q → p) “
São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se
q" as seguintes expressões:
CONECTIVOS LÓGICOS
→ A se e só se B.
→ Se A então B e se B então A.
→ A somente se B e B somente se A.
→ A é condição suficiente para B e B é condição
suficiente para A.
→ B é condição necessária para A e A é condição
necessária para B.
→ Todo A é B e todo B é A.
→ Todo A é B e reciprocamente.
Via de regra, em questões de prova, só se vê mesmo a
bicondicional no seu formato tradicional: “p se e somente
se q”.
CONECTIVOS LÓGICOS
Tabela-verdade resumo dos conectivos binários:
CONECTIVOS LÓGICOS
p q p q p q p v q p q p q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
CONECTIVOS LÓGICOS
Conectivo Unário: conectivo o que atua apenas em
uma expressão para gerar uma outra. Um exemplo de
conectivo unário é a:
• negação: é a negação de uma proposição.
Notações:
p’ ou ¬p ou ~p – proposições simples.
A’ ou ¬A ou ~A – proposições compostas.
O valor lógico de uma negação será verdadeiro
quando a proposição for falsa, e será falso quando a
proposição for verdadeira.
Logo “~p” tem valor lógico oposto ao de “p”.
Tabelas-verdade da NEGAÇÃO:
proposição simples proposição composta
Usa-se o vocábulo NÃO antes do verbo para se construir a
negação de proposições simples.
Exemplo: “Alex NÃO é engenheiro.”
Em proposições compostas utiliza-se as expressões
NÃO É VERDADE QUE....
É FALSO QUE...
p ~p
V F
F V
A ~A
V F
F V
CONECTIVOS LÓGICOS
Observação importante:
Às vezes uma proposição contradiz outra, sem que
seja sua negação.
Exemplo: a proposição “O carro de João é preto”,
contradiz, mas não é a negação da proposição “O
carro de João é branco”.
Perceba que a negação da proposição “O carro de
João é branco” seria:
“O carro de João não é branco”.
CONECTIVOS LÓGICOS
• Negação das proposições simples: não p
Notação: ~p ou ¬p (lê-se não p)
Modos de negação de uma proposição simples:
1º modo: Negação formal:
Exemplo:
(p) Arthur vai ao cinema.
(¬p) É falso dizer que, Arthur vai ao cinema.
2º modo: Antepondo-se a expressão “não” ao seu
verbo:
Exemplo:
(p) Paulo é irmão de Pedro.
(¬p) Paulo não é irmão de Pedro.
CONECTIVOS LÓGICOS
3º modo: Retirando-se a expressão “não” antes do
verbo:
Exemplo:
(p) Maria não gosta de ir à praia.
(¬p) Maria gosta de ir à praia.
4º modo: Substituindo-se um dos termos da
proposição por um de seus antônimos:
Exemplo:
(p) João é alto.
(¬p) João é baixo.
CONECTIVOS LÓGICOS
• Negação das proposições compostas:
O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas
questões de concurso. Já sabemos negar uma proposição
simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica?
Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa
proposição.
• Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q)
Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e
q), faremos o seguinte:
1) Negaremos a primeira (~p);
2) Negaremos a segunda (~q);
3) Trocaremos e por ou.
E só!
CONECTIVOS LÓGICOS
Daí, a questão dirá:
“Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”,
e pedirá que encontremos, entre as opções de resposta, aquela
frase que seja logicamente equivalente a esta fornecida.
Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora,
dizer que “não é verdade que...” é nada mais nada menos que
negar o que vem em seguida.
E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção! Daí, como
negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma
explicada acima:
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “João não é médico”
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Pedro não é dentista”
3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte:
“João não é médico ou Pedro não é dentista”.
Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que:
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
CONECTIVOS LÓGICOS
Como fomos chegar à essa conclusão? Ora, por meio da
comparação entre as tabelas-verdade das duas proposições
acima. Vejamos como foi isso. Primeiro, trabalhemos a tabela-
verdade do ~(p ∧ q).
Tudo começa com aquele formato básico, que já é nosso
conhecido:
Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjunção (e).
Teremos:
CONECTIVOS LÓGICOS
Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira.
Ora, já sabemos que com a negativa, o que é verdadeiro vira
falso, e o que é falso vira verdadeiro.
Logo, teremos:
Agora, construamos a tabela-verdade da estrutura ~p v ~q, e
comparemos os resultados.
No início, teremos:
CONECTIVOS LÓGICOS
Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de
q. Para isso, conforme já sabemos, quem for V virará F, e vice-
versa. Teremos:
Agora, passemos à coluna final: ~p v ~q. Aqui nos lembraremos
de como funciona uma disjunção. A disjunção é a estrutura do
ou. Para ser verdadeira, basta que uma das sentenças
também o seja. Daí, teremos:
CONECTIVOS LÓGICOS
Finalmente, comparemos a coluna resultado (em destaque)
desta estrutura (~p ∨ ~q) com aquela que estava guardada da
estrutura ~(p ∧ q). Teremos:
Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p
e q, negaremos p, negaremos q, e trocaremos e por ou.
CONECTIVOS LÓGICOS
• Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q)
Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q),
faremos o seguinte:
1) Negaremos a primeira (~p);
2) Negaremos a segunda (~q);
3) Trocaremos ou por e.
Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é
logicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é
dentista ou Paulo é engenheiro”.
Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou
seja, o que se segue está sendo negado! E o que se segue é uma
estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos
descritos acima, faremos:
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista”
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro”
3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte:
“Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”.
CONECTIVOS LÓGICOS
Na linguagem apropriada, concluiremos que:
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Podemos chegar a esta mesma conclusão por meio de tabelas-
verdade:
Vamos agora analisar a tabela-verdade para a estrutura: ~p ∧ ~q
CONECTIVOS LÓGICOS
Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar “p
ou q”, negaremos p, negaremos q, e trocaremos ou por e.
•Negação de uma Proposição Condicional: ~(p → q)
Esta negativa é a mais cobrada em prova! Como é que se nega
uma condicional?
Da seguinte forma:
1º) Mantém-se a primeira parte; e
2º) Nega-se a segunda.
Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o
guarda-chuva”?
1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e
2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.
Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.
Na linguagem lógica, teremos que:
~(p → q) = p ∧ ~q
CONECTIVOS LÓGICOS
•Negação de uma disjunção exclusiva: ~(p v q)
Observando a tabela-verdade abaixo vamos concluir que temos
duas formas de negar a disjunção exclusiva.
Da tabela-verdade acima podemos dizer que:
CONECTIVOS LÓGICOS
Para entender melhor vamos analisar o exemplo abaixo:
Ex.: A negação da proposição “Ou Maria é rica ou João é rico,
mas não ambos” é dada por:
Representando a proposição “Ou Maria é rica ou João é rico,
mas não ambos” por (A v B) , temos:
¬(A v B): É falso dizer que, ou Maria é rica ou João é rico, mas
não ambos. (Negação formal).
(A↔B): Maria é rica se somente se João é rico.
(A → B) ∧ (B → A): Se Maria é rica, então João é rico e se João
é rico, então Maria é rica.
•Negação da Bicondicional: ¬(A ↔ B)
Já vimos que a negação da disjunção exclusiva é feita com a
bicondicional, portanto a negação da bicondicional será feita com a
disjunção exclusiva, observe a tabela-verdade abaixo:
CONECTIVOS LÓGICOS
Ex.: A negação da proposição “Maria viaja se somente se João
não vai ao cinema”, é dada por:
Primeiro vamos Representar a proposição “Maria viaja se
somente se João não vai ao cinema”, por (A↔B) , temos:
¬(A ↔ B): É falso dizer que Maria viaja se somente se João não vai
ao cinema. (Negação formal)
CONECTIVOS LÓGICOS
Ex.: A negação da proposição “Maria viaja se somente se João
não vai ao cinema”, é dada por:
¬(A ↔ B): É falso dizer que Maria viaja se somente se João não
vai ao cinema. (Negação formal)
(A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A): Maria viaja e João vai ao cinema ou João
não vai ao cinema e Maria não viaja.
(A v B): Ou Maria viaja ou João não vai ao cinema, mas não
ambos.
CONECTIVOS LÓGICOS
OUTROS EXEMPLOS:
Exemplo 1: p: “Vai chover hoje”;
~p: “Não vai chover hoje”;
Exemplo 2: A: Peter é baixo e gordo;
~A: Peter é alto ou magro;
Neste caso entende-se que dizer que Peter não é nem
baixo nem gordo, equivale a dizer que ele é alto ou é
magro.
Exemplo 3: B: Julie detesta manteiga ou adora nata;
~B: Julie adora manteiga e detesta nata;
Neste caso entende-se que dizer que não é verdade que
Julie detesta manteiga ou adora nata, equivale a dizer que
Julie adora manteiga e detesta nata.
CONECTIVOS LÓGICOS
ATIVIDADES PROPOSTAS:
01. Sejam as proposições,
p: Jorge é rico.
q: Carlos é feliz.
Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições:
a) p ν ~q
b) ~p → q
c) q ↔ ~p;
Observações:
• Podemos gerar novas proposições encadeando
proposições, conectivos e parênteses. Seus valores lógicos
serão definidos pela construção de tabelas-verdade.
• É importante lembrar que "ou" pode ter dois sentidos na
linguagem habitual: inclusivo ou disjunção (quando pode
ocorrer uma coisa ou a outra ou ambas) e exclusivo
(quando pode ocorrer apenas uma das coisas).
CONECTIVOS LÓGICOS
ATIVIDADES PROPOSTAS:
02. Sejam as proposições,
p: O livro é interessante.
q: O livro é de lógica.
Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições:
a) ~p
b) p ν q
c) p ~q
d) ~(p ν q)
e) q ↔ ~p;
ATIVIDADES PROPOSTAS:
03. Traduzir para a linguagem simbólica, considerando:
p = Josefa é rica
q = Josefa é feliz
r = Josefa é estudante.
a) Josefa é rica ou infeliz.
b) Se Josefa é estudante e rica então é estudante e feliz.
c) Josefa é pobre, mas feliz.
d) Josefa é pobre e infeliz.
e) Josefa é pobre ou rica, mas é infeliz.
f) Se Josefa é pobre então é feliz.
g) Josefa é rica se e somente se não for pobre.
h) Se Josefa é estudante então é rica se e somente se é feliz.
i) Josefa é pobre, infeliz, estudante ou rica.
j) Josefa estuda, mas é feliz se e somente não for pobre.
ATIVIDADES PROPOSTAS:
04. Indicar as proposições simples abaixo por letras minúsculas e
traduzir as sentenças para notação simbólica:
a) Se Janet vencer ou perder, ela estará cansada;
Exemplo: p: Janet vence, q: Janet perde, t: Janet está cansada;
Notação simbólica: (p ν q) → t;
b) Ou vai chover ou vai nevar, mas não ambos;
c) Se os preços subirem, as construções ficarão mais caras, mas
se as construções não forem caras, elas serão muitas;
d) Ou Janet irá vencer ou, se perder, ficará cansada;
e) Se a quantidade de água é suficiente então o crescimento das
plantas é sadio;
ATIVIDADES PROPOSTAS:
05. Escreva fórmulas para as sentenças abaixo utilizando as
seguintes proposições:
p: Paula vai à festa. q: Quincas vai à festa.
r: Ricardo vai à festa. s: Sara vai à festa.
a) Paula não vai.
b) Paula vai, mas Quincas não vai.
c) Se Paula for, então Quincas também irá.
d) Paula irá, se Quincas for.
e) Paula irá se e somente se Quincas for.
f) Nem Paula nem Quincas irão.
g) Paula e Quincas não irão.
h) Paula não irá, se Quincas for.
i) Se Ricardo for, então se Paula não for, Quincas irá.
j) Se nem Ricardo nem Quincas forem, então Paula irá.
ATIVIDADES PROPOSTAS:
05. Escreva fórmulas para as sentenças abaixo utilizando as
seguintes proposições:
p: Paula vai à festa. q: Quincas vai à festa.
r: Ricardo vai à festa. s: Sara vai à festa.
k) Se Ricardo ou Quincas forem, então Paula irá e Sara não irá.
l) Se Sara for, então Ricardo ou Paula irão, e se Sara não for, então
Paula e Quincas irão.
ATIVIDADES PROPOSTAS:
06. Identifique dentre as expressões abaixo, quais são proposições:
a) Sete mais três é igual a dez.
Declaração (afirmativa)
b) Marcone é professor de Contabilidade.
Declaração (afirmativa ou negativa)
c) Maria é linda?
Interrogativa
d) Levante-se.
Imperativa
ATIVIDADES PROPOSTAS:
07. Analise e resolva a situação proposta:
“Dois monges estão perdidos numa mata e estão
passando fome. E só existe uma planta que podem comer.
Mas para comê-la deverá ser fervida durante exatos 30
segundos senão os matara. Mas para marcar o tempo eles
só tem 2 ampulhetas uma que marca 22 e outra de 14
segundos. Como é que conseguirão marcar o tempo?”
ATIVIDADES PROPOSTAS:
08. Achar o erro (absurdo) da demonstração algébrica abaixo:
I. Vamos admitir que certo a seja igual a certo b:
II. Multiplicando ambos os membros da igualdade por a:
III. Diminua b2
de ambos os membros da igualdade:
IV. Fatore ambos os membros da igualdade:
V. Dividindo ambos os membros da igualdade por (a - b), a
expressão resultante será:
VI. Lembrando que a = b, teremos:
VII. Dividindo ambos os membros da igualdade por b, teremos:
a b2a ab
2 2 2a b ab b
a b a b b a b
a b b2b b
2 1