Qual o subespaço gerado pelo vetor

(1,0,0) , ou seja, (1,0,0) ?

1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

é um conjunto de Geradores para 3R

3, ,x y z R

, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1x y z x y z

Porque todo vetor

Pode ser escrito da forma:

3 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1R

Assim, escrevemos:

1 2

(2,3) 2 (1,0) 3 (0,1)e e

)0,1(1)0,1(

)0,1(5)0,5(

1e

1(1,0) e Vetor canônico, gerador da reta horizontal

2(0,1) e Vetor canônico, gerador da reta vertical

( 0, 3) 3 (0,1)

(0,2) 2 (0,2)

2e

1 2,e e

21,ee2R

pois 2),( Rba

)1,0()0,1(),( baba

)0,2(,, 212 eeR pois 2),( Rba

)0,2.(0)1,0()0,1(),( baba

)0,1(1 e

)1,0(2 e( , )a b

E por que estes 2 conjuntos têm quantidades diferentes de geradores, se são geradores

do mesmo espaço?

Os elementos chamados geradores ou sistemas de geradores de podem ser um conjunto L.I ou L.D.

V

21,ee2R 21,ee Conj. L.I

)0,2(,, 212 eeR )0,2(,, 21 ee Conj. L.D

Dependência e não dependência Linear

o xu

vvu

y o x

u

v

y

v u

xo

uv

y

u v

Depende de eu v

Um ponto representa o vetor nulo.

Vetor qualquer Um único vetor diferente do vetor nulo é sempre L.I

Dois vetores são L.D quando um é múltiplo por um escalar do outro

uv

(1,0)u (2,0)v 2v u

o xu

vvu

yTrês vetores no plano são sempre L.D, ou seja, um terceiro vetor sempre pode ser escrito como comb. Linear dos outros dois.

Um conj. que contém um subconj. L.D é L.D.

. .

(1,0), (2,0) , (0,3)elementosdeum conj L D

De um conjunto L.D podemos extrair um subconjunto. L.I

Se um conjunto é L.I, todos os seus subconjuntos são L.I

Um conjunto que possui o vetor nulo é sempre L.D.

- conjunto ordenado:

- formado por um conjunto de vetores L.I.- gera V.

Proposição: De um conjunto de geradores de um espaço ou subespaço vetorial V é sempre possível extrair uma base.

Processo prático para determinar umabase de um subespaço do . n

Consiste em escalonar a matriz cujas linhassão os vetores geradores do subespaço.As linhas que não “zerarem” correspondem aos vetores geradores que forem LI.

1,1 , 1,0 , 0, 1W

Determinar uma base para o seguinte subespaço do espaço do :

2R

1 1

1 0

0 1

A

2 2 1L L L ��������������

1 1

0 1

0 1

2 2L L ��������������

1 1

0 1

0 1

1 1 2

3 3 2

L L L

L L L

��������������

��������������

1 0

0 1

0 0

Portanto, os vetores (1,1) e (1,0) (correspondentes às linhas que não se anularam na matriz escalonada) formam a base para W.

1,1 , (0,1)

( )

B

BASE

Dimensão

Proposição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer base de V tem o mesmo número de elementos (cardinalidade).

A este número de elementos dá-se o nome de Dimensão de V.

Portanto, se V é finitamente gerado, podemos dizer que ele tem

dimensão finita.

Resultados importantes

Seja V um espaço de dimensão finita n. Então: Qualquer conjunto com mais de n elementos em V é LD. Qualquer conjunto L.I de V pode ser completado para formar uma base de V.

Qualquer conjunto L.I de V tem no máximo n elementos. Qualquer conjunto L.I com n elementos é uma base de V.

Dimensão da Soma de 2 Subespaços

dim dimdim U W U W dim U W

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e U, W subespaços de V. Então

Determine um conjunto de geradores, a base e a dimensão para os seguintes subespaços:

3

3

) ( , , ) ; 0

) ( , , ) ; 2 0

)

)

a U x y z R x y z

b V x y z R x y

c U V

d U V

Assim: (1,1,0) , (1,0,1)U

0x y z

( , , )x y z V

Ou seja, x y z Assim, um genérico vetor de U é da forma:

( , , )y z y z

(1,1,0) (1,0,1)y z

U=[(1,1,0),(1,0,1)].

2)dim( UAssim

(1,1,0) não é múltiplo de (1,0,1)

(1,1,0), (1,0,1)O conjunto é L.I

Logo constitui uma base para o subespaço U

2 0x y

( , , )x y z V

Ou seja,

(2 , , )y y z (2,1,0) (0,0,1)y z

Assim, um genérico vetor de V é da forma:

(2,1,0) , (0,0,1)V

2 .x y e z é qualquer

dim( ) 2V Assim

(2,1,0)não é múltiplo de (0,0,1)

(2,1,0), (0,0,1)O conjunto é L.I

Logo constitui uma base para o subespaço V

(2,1,0) , (0,0,1)V

Um conjunto de geradores para U+V è dado pela uniao dos dois conjuntos, i.e.,:

(1,1,0) , (1,0,1)U

(2,1,0) , (0,0,1)V [(1,1,0) , (1,0,1), (2,1,0), (0,0,1)]U V

Para extrair uma base usaremos o processo prático de determinação de uma base.

1,1,0 , 1,0,1 , 2,1,0 , 0,0,1U W

1 1 0

1 0 1

2 1 0

0 0 1

2 2 1 L L L

3 3 12L L L

2 2L L

1 1 2L L L 1 0 1

0 1 1

0 0 0

0 0 1

3 3 2L L L

1 1 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

1 1 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

1,1,0 , 1,0,1 , 2,1,0 , 0,0,1U W (1,1,0), (1,0,1), (0,0,1)

Constituem uma base para U W1 0 1

0 1 1

0 0 0

0 0 1

Ou ainda

(1,0,1), (0,1, 1), (0,0,1)

(Vetores restantes)

dim( ) 3U V

Precisamos encontrar um conjunto de vetores que satisfaça a ambas as condições:

0

2 0 2

x y z

x y x y

Substituindo na 1ª equação temos:2 0 0y y z y z y z

(2 , , ) (2,1,1)y y y y

(2,1,1)U V dim( ) 1U V

Portanto, utilizando a relação podemos coomprovar a dimensão do espaço soma.

dim 2 2 1 3U V

WUWUWU dimdimdim)dim(

1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

é um conjunto de Geradores para

3 3R

3 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1R e é linearmente independente (L.I)

Logo 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

É uma base de

3R

Como possui 3 elementos, Dim

3R

O vetor pode ser escrito da seguinte forma:

(1, 3,5)u

1(1,0,0) 3(0,1,0) 5(0,0,1)u

Portanto, dizemos que o vetor é uma combinação linear dos vetores

u

(1,0,0) , (0,1,0), (0,0,1)com os escalares 1, -3, 5 (coord. do vetor)

o

Pk

ij

1i

-3j

5k

v

i = 1,0,0

j = 0,1,0

k = 0,0,1

v = 1,-3,5 = 1i - 3j + 5k

, ,i j k

(1, 3,5)v

Se mudássemos a base de referência

As coordenadas dos vetores continuariam a mesma?

, ,i j k

(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ou

Encontre as coordenadas do vetor

1, 3,5v

3V R

Na base ' 1,1,1 , 1,0,1 , 1,0, 1 B

' 1,1,1 , 1,0,1 , 1,0, 1 B

Por definição, às coordenadas de v na base B´ é dado pelos coeficientes a,b e c abaixo:

1, 3,5 1,1,1 1,0,1 1,0, 1a b c

1, 3,5 1,1,1 1,0,1 1,0, 1a b c

1

3

5

a b c

a

a b c

3a

4

8

b c

b c

2 12b 6b

6 4c 2c

As coordenadas de v são -3,6 e -2

A matriz das coordenadas de v na base B´ é '

3

6

2B

v

As coordenadas de dependem da base escolhida e da ordem dos de seus elementos.

vB

ANTON, H.; RORRES, C.: Álgebra Linear com Aplicações. Bookman, 8ª ed. Porto Alegre: RS, 2001.

Bibliografia Básica

CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, HYGINO H.; COSTA, Roberto C. F. Álgebra Linear e Aplicações. Atual, 7ª ed. São Paulo: SP, 2000.

HOFFMAN, K.;KUNZE,R.: Álgebra Linear. LTC editora, 1979