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Universidade Federal Fluminense

Disciplina:

Aula 4 – Equações Diferenciais

FENÔMENOS DE TRANSPORTE

Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)

Escola de Engenharia


Equação da continuidade

Cinemática

Equação da quantidade de movimento linear

Equação de Euler

Equação de Navier-Stokes

Métodos de solução de problemas com fluidos:

F

u(r)

Solução analítica ou numérica

(CFD – ComputationalFluid Dynamics)

VCGrandezas integrais (volume de controle – VC):

• Vazão• Força • Energia

EQUAÇÕES INTEGRAIS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

MÉTODOS EXPERIMENTAIS

Grandezas infinitesimais (pontual):

• Velocidade: 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)• Tensão: 𝜎 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 , 𝜏 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡

• Modelos reduzidos em laboratório, protótipos ou medições em campo

• Análise dimensional

Disponível em <http://www.canadianautoreview.ca/news/gm-reduced-scale-wind-tunnel.html>. Acesso em 27 mar. 2018.

Eq. da Continuidade

Volume de controle infinitesimal:Volume de controle finito:

Equação Integral: Equação Diferencial:

x

y

z

dz

dx

dy

Conservação da massa:

Eq. Integral:

Eq. Diferencial:

𝑑

𝑑𝑡 𝑉𝐶

𝜌 𝑑V + ∑ ± 𝑚𝑖 = 0

Volume de controle infinitesimal:

𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑V +

+ saída entrada

𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴

= 0

x

y

z

dz

dx

dy

𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥

𝑒+

𝑑 𝑚𝑦𝑠− 𝑑 𝑚𝑦

𝑒+

𝑑 𝑚𝑧𝑠− 𝑑 𝑚𝑧

𝑒


𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑V +


𝑒+


𝑒+


𝑒

= 0 Eq. Diferencial:


x

y

z

dz

dx

dy


𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑V +


𝑒+


𝑒+


𝑒



𝑒= 𝑓 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑓 𝑥

= lim𝛿𝑥→0

𝑓 𝑥 + 𝛿𝑥 − 𝑓 𝑥

𝛿𝑥𝑑𝑥

=𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑥

=𝑓 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑓 𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑥

=𝜕 𝑑 𝑚𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑥 =

𝜕 𝜌𝑉𝑛𝑟𝑑𝐴 𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑥

=𝜕 𝜌 𝑢 𝑑𝑦𝑑𝑧

𝜕𝑥𝑑𝑥 =

𝜕 𝜌 𝑢

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧


𝑑V

=𝜕 𝜌 𝑢

𝜕𝑥𝑑V

x

y

z

dz

dx

dy

𝑓 𝑥

• Em x:

𝑢

𝑓′ 𝑥



=𝜕 𝜌 𝑢

𝜕𝑥𝑑V


𝑒• Em x:

𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑V +


𝑒+


𝑒+


𝑒


x

y

z

dz

dx

dy


Volume de controle infinitesimal: • Em y: 𝑑 𝑚𝑦𝑠− 𝑑 𝑚𝑦

𝑒=

𝜕 𝜌 𝑣

𝜕𝑦𝑑V

=𝜕 𝜌 𝑢

𝜕𝑥𝑑V

• Em z: 𝑑 𝑚𝑧𝑠− 𝑑 𝑚𝑧

𝑒=

𝜕 𝜌 𝑤

𝜕𝑧𝑑V

𝜕 𝜌 𝑢

𝜕𝑥+

𝜕 𝜌 𝑣

𝜕𝑦+

𝜕 𝜌 𝑤

𝜕𝑧𝑑V


𝑒• Em x:

𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑V +


𝑒+


𝑒+


𝑒


x

y

z

dz

dx

dy



→𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑V +

𝜕 𝜌 𝑢

𝜕𝑥+

𝜕 𝜌 𝑣

𝜕𝑦+

𝜕 𝜌 𝑤

𝜕𝑧𝑑V

𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑V +


𝑒+


𝑒+


𝑒


x

y

z

dz

dx

dy


→𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑V +

𝜕 𝜌 𝑢

𝜕𝑥+

𝜕 𝜌 𝑣

𝜕𝑦+

𝜕 𝜌 𝑤

𝜕𝑧𝑑V = 0

→𝜕𝜌

𝜕𝑡+

𝜕 𝜌 𝑢

𝜕𝑥+

𝜕 𝜌 𝑣

𝜕𝑦+

𝜕 𝜌 𝑤

𝜕𝑧= 0

divergente de 𝜌𝑉

𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑V +


𝑒+


𝑒+


𝑒


𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0


Fluido compressível:𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0

Fluido incompressível:𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0

0

→ 𝜌𝛻 ∙ 𝑉 = 0

→ 𝛻 ∙ 𝑉 = 0

divergente nulo(campo solenoidal)


Exemplo:[PETROBRAS – ENG. EQP. JÚNIOR - 2008]

Considerando um escoamento permanente e incompressível, cuja

distribuição de velocidades seja dada pela função 𝑉 = 3𝑥 𝑖 + 𝐶𝑦 𝑗 + 2𝑥 𝑘,

calcule o valor da constante C para que seja atendido o princípio da

continuidade.

∇ ∙ V = 0

→∂𝑢∂x

+∂𝑣∂y

+∂𝑤∂z

= 0 V = u 𝑖 + v 𝑗 + w 𝑘

→ u = 3xv = Cyw = 2x

V = 3x i + Cy j + 2x k

→ 3 + C + 0 = 0 → C = −3

→∂ 3x∂x

+∂ Cy∂y

+∂ 2x∂z

= 0

Cinemática

x

y x

y translação

x

y rotação

x

ydeformação

angular (distorção)

x

y deformação linear

Partícula Pem (xp, yp, zp)

𝑉𝑝 𝑡

𝑎𝑝 𝑡Campo de velocidade:

𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑖 + 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑗 + 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑘

= 𝑉 𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝, 𝑡

𝑎𝑝 𝑡 =𝑑𝑉𝑝 𝑡

𝑑𝑡=

𝑑𝑉 𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝, 𝑡

𝑑𝑡

=𝑑𝑉𝑝 𝑡

𝑑𝑡

=𝜕𝑉

𝜕𝑥

𝜕𝑥𝑝

𝜕𝑡+

𝜕𝑉

𝜕𝑦

𝜕𝑦𝑝

𝜕𝑡+

𝜕𝑉

𝜕𝑧

𝜕𝑧𝑝

𝜕𝑡+

𝜕𝑉

𝜕𝑡

𝜕𝑡

𝜕𝑡

𝑢 𝑥𝑝, 𝑦𝑝 , 𝑧𝑝, 𝑡

𝑣 𝑥𝑝, 𝑦𝑝 , 𝑧𝑝, 𝑡

𝑤 𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝, 𝑡

1

= 𝑢𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧+

𝜕𝑉

𝜕𝑡 𝑎𝑝 =

𝐷𝑉

𝐷𝑡

aceleração convectiva aceleração localaceleração total

𝑉 = 𝐾𝑥 𝑖 − 𝐾𝑦 𝑗Ex. de campo de velocidade:

Linhas de corrente:

Partícula P

y

x

+1

+1 -1

-1

+2

+2 -2

-2

+3

C = +3 -3

C = -3

𝜕𝑉

𝜕𝑡= 0 → permanente 𝑎𝑝 ≠ 0

𝑎𝑝 =𝐷𝑉

𝐷𝑡= 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧+

𝜕𝑉

𝜕𝑡

0

Escoamento permanente não significa aceleração nula !

y

𝛿𝛼

𝛿𝛽𝛿𝜑

𝛿𝑥

𝛿𝑦

𝑢𝑥𝛿𝑡𝑢𝑥+𝛿𝑥𝛿𝑡

𝛿𝑥 + 𝑢𝑥+𝛿𝑥 − 𝑢𝑥

𝛿𝑢𝑥

𝛿𝑡 = 𝛿𝑥 +𝜕𝑢

𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑡

𝛿𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥𝛿𝑥

x

𝛿𝑡

Rotação: 𝛿𝜑𝑥𝑦 =𝛿𝛼 − 𝛿𝛽

2

y

𝛿𝛼

𝛿𝛽𝛿𝜑

𝛿𝑥

𝛿𝑦

x

𝛿𝑡

𝑣𝑥𝛿𝑡

𝑣𝑥+𝛿𝑥𝛿𝑡

𝑣𝑥+𝛿𝑥 − 𝑣𝑥

𝛿𝑣𝑥

𝛿𝑡 =

𝜕𝑣

𝜕𝑥𝛿𝑥

𝜕𝑣


𝛿𝑥 +𝜕𝑢



2

y

𝛿𝛼

𝛿𝛽𝛿𝜑

𝛿𝑥

𝛿𝑦

x

𝛿𝑡

𝛿𝑥 +𝜕𝑢


𝜕𝑣


𝛿𝑦 +𝜕𝑣

𝜕𝑦𝛿𝑦𝛿𝑡

𝜕𝑢


𝛿𝛼 = atan

𝜕𝑣𝜕𝑥

𝛿𝑥𝛿𝑡

𝛿𝑥 +𝜕𝑢𝜕𝑥

𝛿𝑥𝛿𝑡 0

=𝜕𝑣

𝜕𝑥𝛿𝑡

𝑑𝛼

𝑑𝑡= lim

𝛿𝑡→0

𝛿𝛼

𝛿𝑡=

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝑑𝛽

𝑑𝑡= lim

𝛿𝑡→0

𝛿𝛽

𝛿𝑡=

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜔𝑧 =𝑑𝜑𝑥𝑦

𝑑𝑡=

1

2

𝑑𝛼

𝑑𝑡−

𝑑𝛽

𝑑𝑡=

1

2

𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜔𝑥 =𝑑𝜑𝑦𝑧

𝑑𝑡=

1

2

𝜕𝑤

𝜕𝑦−

𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜔𝑦 =𝑑𝜑𝑧𝑥

𝑑𝑡=

1

2

𝜕𝑢

𝜕𝑧−

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜔 = 𝜔𝑥 𝑖 + 𝜔𝑦 𝑗 + 𝜔𝑧 𝑘 =

1

2𝛻 × 𝑉

vorticidade

se escoamento irrotacional:

𝛻 × 𝑉 = 0


2

y

𝛿𝛼

𝛿𝛽𝛿𝜑

𝛿𝑥

𝛿𝑦

x

𝛿𝑡

𝛿𝑥 +𝜕𝑢


𝜕𝑣


𝛿𝑦 +𝜕𝑣


𝜕𝑢


𝛿𝛼 = atan

𝜕𝑣𝜕𝑥

𝛿𝑥𝛿𝑡

𝛿𝑥 +𝜕𝑢𝜕𝑥

𝛿𝑥𝛿𝑡 0

=𝜕𝑣

𝜕𝑥𝛿𝑡

𝑑𝛼

𝑑𝑡= lim

𝛿𝑡→0

𝛿𝛼

𝛿𝑡=

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝑑𝛽

𝑑𝑡= lim

𝛿𝑡→0

𝛿𝛽

𝛿𝑡=

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝜃𝑡

𝜃𝑡+𝛿𝑡

Distorção: (deformação angular)

𝛿𝜃𝑥𝑦 = 𝛿𝛼 + 𝛿𝛽

휀𝑥𝑦 =𝑑𝜃𝑥𝑦

𝑑𝑡

𝑑𝛼

𝑑𝑡+

𝑑𝛽

𝑑𝑡

=𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦

휀𝑦𝑧 =𝑑𝜃𝑦𝑧

𝑑𝑡=

𝜕𝑤

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑧

휀𝑧𝑥 =𝑑𝜃𝑧𝑥

𝑑𝑡=

𝜕𝑢

𝜕𝑧+

𝜕𝑤

𝜕𝑥

taxa de cisalhamento

⇒𝑑𝜃𝑖𝑗

𝑑𝑡=

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖+

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗

→𝑑𝜃𝑥𝑦

𝑑𝑡=

휀𝑥𝑦

y

𝛿𝑥

𝛿𝑦

x

𝛿𝑡

𝛿𝑥 +𝜕𝑢


𝛿𝑥 𝛿𝑒𝑥

𝛿𝑒𝑥 =𝜕𝑢


→ 휀𝑥𝑥 =𝑑𝑒𝑥

𝑑𝑥

휀𝑥𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑥

=𝜕𝑢

𝜕𝑥𝛿𝑡

휀𝑦𝑦 =𝜕𝑣

𝜕𝑦

→ 휀𝑥𝑥 =𝑑휀𝑥

𝑑𝑡=

𝜕𝑢

𝜕𝑥

휀𝑧𝑧 =𝜕𝑤

𝜕𝑧

Taxa de deformação linear:

Taxa de dilatação volumétrica :

𝛿𝑥 + 𝑑𝑒𝑥 ∙ 𝛿𝑦 + 𝑑𝑒𝑦 ∙ 𝛿𝑧 + 𝑑𝑒𝑧

1

𝛿𝑉

𝑑 𝛿𝑉

𝑑𝑡=

𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 + 𝛿𝑥𝛿𝑦𝑑𝑒𝑧 + 𝛿𝑥𝛿𝑧𝑑𝑒𝑦 + 𝛿𝑦𝛿𝑧𝑑𝑒𝑥

𝑑𝑒𝑥𝑑𝑒𝑦

𝑑𝑒𝑥𝑑𝑒𝑧

𝑑𝑒𝑦𝑑𝑒𝑧

≅ 0

𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧1

𝛿𝑉lim𝛿𝑡→0

𝛿𝑉𝑡+𝛿𝑡 − 𝛿𝑉𝑡

𝛿𝑡=

= lim𝛿𝑡→0

𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑒𝑧 + 𝛿𝑥 𝛿𝑧 𝛿𝑒𝑦 + 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝛿𝑒𝑥

𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝛿𝑡

= lim𝛿𝑡→0

𝛿𝑒𝑥

𝛿𝑥𝛿𝑡+

𝛿𝑒𝑦

𝛿𝑦𝛿𝑡+

𝛿𝑒𝑧

𝛿𝑧𝛿𝑡

⇒1

𝛿𝑉

𝑑 𝛿𝑉

𝑑𝑡=

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 𝛻 ∙ 𝑉

se incompressível

→ 𝛻 ∙ 𝑉 = 0

= 휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦 + 휀𝑧𝑧

Exemplo:Dados o campos de velocidade abaixo (S.I.): a) classifique o respectivo escoamento quanto ao regime temporal e dimensionalidade; b) calcule a aceleração no ponto (1,1), quando t=0; c) verifique se são rotacionais; d) e se são incompressíveis (possivelmente).

𝑉 = 𝑥𝑡 + 2𝑦 𝑖 + 3𝑥 − 𝑦𝑡 𝑗

𝑢 𝑣

𝑤 = 0

𝜕𝑉

𝜕𝑡≠ 0

𝜕𝑉

𝜕𝑥≠ 0 𝑒

𝜕𝑉

𝜕𝑦≠ 0,

𝜕𝑉

𝜕𝑧= 0

2D transiente

𝑎 =𝐷𝑉

𝐷𝑡= 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧+

𝜕𝑉

𝜕𝑡

a)

𝑥𝑡 + 2𝑦 𝑡 𝑖 + 3 𝑗 + 3𝑥 − 𝑦𝑡 2 𝑖 − 𝑡 𝑗

𝑥 𝑖 − 𝑦 𝑗

= 6 𝑖 + 𝑗 m/s

b)

c) 𝜔 = 𝜔𝑥 𝑖 + 𝜔𝑦 𝑗 + 𝜔𝑧 𝑘

𝜔𝑧 =1

2

𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦

3 2

=1

2rad/s

d) 𝛻 ∙ 𝑉 =𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝑡 −𝑡

= 0

possivelmente incompressível

Resumo

Translação:

Rotação:

Deformação angular (distorção):

Deformação linear:

▪ Taxa de dilatação volumétrica:

𝑎 =𝐷𝑉

𝐷𝑡= 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧+

𝜕𝑉

𝜕𝑡

𝜔 =1

2𝛻 × 𝑉

𝑑𝜃𝑖𝑗

𝑑𝑡=

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖+

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗

휀𝑖 =𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑖

1

𝛿𝑉

𝑑 𝛿𝑉

𝑑𝑡= 𝛻 ∙ 𝑉

Eq. do Momentum

= 𝑑𝑚𝐷𝑉

𝐷𝑡

Quantidade de movimento linear:

𝐹 =𝑑

𝑑𝑡𝑚 𝑉

Em uma partícula fluida:

𝑑 𝐹 =𝑑

𝑑𝑡𝑑𝑚 𝑉

𝜌 =𝑑𝑚

𝑑V→ 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑V

= 𝜌 𝑑V𝐷𝑉

𝐷𝑡

→ 𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝐷𝑉

𝐷𝑡= 𝜌 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧+

𝜕𝑉

𝜕𝑡

aceleraçãototal

aceleraçãoconvectiva

aceleraçãolocal

𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧

2ª Lei de Newton:

Quantidade de movimento linear: Em uma partícula

fluida:

𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧

Forças de campo

Forças de contato

▪ Forças viscosas

▪ Forças de pressão

𝑑 𝐹𝑔 = 𝑑𝑚 𝑔 = 𝜌 𝑑V 𝑔 →𝑑 𝐹𝑔

𝑑V= 𝜌 𝑔

𝑒𝑚 𝑥: 𝜌𝑔𝑥

𝑒𝑚 𝑦: 𝜌𝑔𝑦

𝑒𝑚 𝑧: 𝜌𝑔𝑧𝜌 =

𝑑𝑚

𝑑V→ 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑V


Forças de campo

Forças de contato



x

y

z

dz

dx

dy

𝜎𝑥𝑥

𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑥𝑧

𝜏𝑦𝑥

𝜎𝑦𝑦

𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑧𝑥

𝜏𝑧𝑦

𝜎𝑧𝑧

𝜎𝑖𝑗

face direção


𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧

𝑑 𝐹𝑔

𝑑V= 𝜌 𝑔

• em x:

𝜎𝑥𝑥𝑥

𝜏𝑦𝑥𝑦

𝜏𝑧𝑥𝑧

x

y

z

dz

dx

dy


Forças de campo

Forças de contato



𝜎𝑥𝑥𝑥+𝑑𝑥

𝜏𝑦𝑥𝑦+𝑑𝑦

𝜏𝑧𝑥𝑧+𝑑𝑧


− 𝜎𝑥𝑥𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑧


− 𝜏𝑧𝑥𝑧

𝑑𝑥𝑑𝑦


− 𝜏𝑦𝑥𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑧


𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧

𝑑 𝐹𝑔

𝑑V= 𝜌 𝑔


Forças de campo

Forças de contato




− 𝜎𝑥𝑥𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑧


− 𝜎𝑧𝑥𝑧

𝑑𝑥𝑑𝑦


− 𝜏𝑦𝑥𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝜏𝑦𝑥 𝑦+𝑑𝑦

− 𝜏𝑦𝑥 𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧

= 𝜎𝑥𝑥 𝑥+𝑑𝑥 − 𝜎𝑥𝑥 𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧

= 𝜏𝑧𝑥 𝑧+𝑑𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 𝑧

𝑑𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦


𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧

• em x:

𝑑 𝐹𝑔

𝑑V= 𝜌 𝑔

𝑑𝐹𝑥 =𝜕𝜎𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧𝑑V

𝑑𝐹𝑥

𝑑V=

𝜕𝜎𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧


Forças de campo

Forças de contato



= 𝜏𝑦𝑥 𝑦+𝑑𝑦

− 𝜏𝑦𝑥 𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧

= 𝜎𝑥𝑥 𝑥+𝑑𝑥 − 𝜎𝑥𝑥 𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧

= 𝜏𝑧𝑥 𝑧+𝑑𝑧 − ߬𝑧𝑥 𝑧

𝑑𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦

= lim𝛿𝑦→0

𝜏𝑦𝑥 𝑦+𝛿𝑦− 𝜏𝑦𝑥 𝑦

𝛿𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧

= lim𝛿𝑥→0

𝜎𝑥𝑥 𝑥+𝛿𝑥 − 𝜎𝑥𝑥 𝑥

𝛿𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

= lim𝛿𝑧→0

𝜏𝑧𝑥 𝑧+𝛿𝑧 − ߬𝑧𝑥 𝑧

𝛿𝑧𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

=𝜕𝜎𝑥𝑥

𝜕𝑥𝑑V

𝜕𝜎𝑥𝑥𝜕𝑥

𝑑V

=𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦𝑑V

=𝜕߬𝑧𝑥

𝜕𝑧𝑑V


𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧

• em x:

𝑑 𝐹𝑔

𝑑V= 𝜌 𝑔


Forças de campo

Forças de contato



𝑑𝐹𝑣𝑥

𝑑V=

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧𝑑𝐹𝑣𝑦

𝑑V=

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧

𝑑𝐹𝑣𝑧

𝑑V=

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧

• em x:

• em y:

• em z:

𝑑 𝐹𝑔

𝑑V= 𝜌 𝑔


𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧


Forças de campo

Forças de contato



𝑑𝐹𝑣𝑥

𝑑V=

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥


𝑑V=

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧

𝑑𝐹𝑣𝑧

𝑑V=

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧

• em x:

• em y:

• em z:

𝑑 𝐹𝑔

𝑑V= 𝜌 𝑔


𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧

x

y

z

dz

dx

dy

𝑝𝑥

𝑝𝑥+𝑑𝑥

• em x:

𝑝𝑥

− 𝑝𝑥+𝑑𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑧 = − 𝑝 𝑥+𝑑𝑥 − 𝑝 𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 =

= − lim𝛿𝑥→0

𝑝 𝑥+𝛿𝑥 − 𝑝 𝑥

𝛿𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑V

𝑑𝐹𝑝𝑥=

𝜕𝑝𝜕𝑥

𝑑V


Forças de campo

Forças de contato



𝑑𝐹𝑣𝑥

𝑑V=

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥


𝑑V=

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧

𝑑𝐹𝑣𝑧

𝑑V=

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧

• em x:

• em y:

• em z:

𝑑 𝐹𝑔

𝑑V= 𝜌 𝑔


𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧

• em x:𝑑𝐹𝑝𝑥

𝑑V= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝐹𝑝𝑦

𝑑V= −

𝜕𝑝

𝜕𝑦• em y:

𝑑𝐹𝑝𝑧

𝑑V= −

𝜕𝑝

𝜕𝑧• em z:


−𝜕𝑝

𝜕𝑥

−𝜕𝑝

𝜕𝑦

−𝜕𝑝

𝜕𝑧

𝜌𝑔𝑥

𝜌𝑔𝑦

𝜌𝑔𝑧

+𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧

+𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧

+𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧

= 𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧

= 𝜌𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧

= 𝜌𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧


𝑑 𝐹

𝑑V= 𝜌

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧


−𝜕𝑝

𝜕𝑥

−𝜕𝑝

𝜕𝑦

−𝜕𝑝

𝜕𝑧

𝜌𝑔𝑥

𝜌𝑔𝑦

𝜌𝑔𝑧

+𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧

+𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧

+𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧

= 𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧

= 𝜌𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧

= 𝜌𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

Equação de Euler

Equação de Euler:

Escoamento invíscido (sem “atrito”)

𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜌𝑔𝑦 −𝜕𝑝

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜌𝑔𝑧 −𝜕𝑝

𝜕𝑧+

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

→ 𝜏𝑖𝑗 = 0

Equação de Euler:

Escoamento invíscido (sem “atrito”)


𝜕𝑥= 𝜌

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦= 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 = 𝜌𝑑𝑉

𝑑𝑡

→ 𝜏𝑖𝑗 = 0

Equação de Euler:

Exemplo: Um campo de escoamento permanente,

incompressível e sem atrito é dado por 𝑉 = 2𝑥𝑦 𝑖 + 𝑦2 𝑗 em

unidades arbitrárias. Seja a massa específica 0 = constante e

despreze a gravidade. Encontre uma expressão para o

gradiente de pressão na direção x.

ρgx−∂p∂x

=ρ∂u∂t+u

∂u∂x+v

∂u∂y

+w∂u∂z

ρgy−∂p∂y

=ρ∂v∂t+u

∂v∂x+v

∂v∂y

+w∂v∂z

ρgz−∂p∂z=ρ

∂w∂t

+u∂w∂x

+v∂w∂y

+w∂w∂z

ρg−∇p = ρdV

dt

Equação de Euler:

Exemplo: Um campo de escoamento permanente,

incompressível e sem atrito é dado por 𝑉 = 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2 𝑗 em

unidades arbitrárias. Seja a massa específica 0 = constante e

despreze a gravidade. Encontre uma expressão para o

gradiente de pressão na direção x.

ρgx−∂p∂x=ρ

∂u∂t+u

∂u∂x+v

∂u∂y

+w∂u∂zρg−∇p = ρ

dV

dt

𝑉 = u 𝑖 + 𝑣 𝑗 + 𝑤 𝑘0

0 0 0

→ −∂p∂x

= ρ0 2xy∂ 2xy∂x

−y2∂ 2xy∂y

2y 2x

= ρ04xy2−2xy2 = 2ρ

0xy2

→∂p∂x

= − 2ρ0xy2

Eq. de Navier-Stokes



𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑧+

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧


𝜏𝑥𝑦 = 𝜇𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜏𝑥𝑧 = 𝜇𝜕𝑤

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜏𝑦𝑧 = 𝜇𝜕𝑤

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜏𝑧𝑧 = 2𝜇𝜕𝑤

𝜕𝑧


𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑧+

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜏 = 𝜇𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑑𝜃

𝑑𝑡 Newton:

𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝜏𝑖𝑗 = 𝜇𝑑𝜃𝑖𝑗

𝑑𝑡

𝑑𝜃𝑖𝑗

𝑑𝑡=

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖+

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗

𝜏𝑖𝑗 = 𝜇𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑥𝑖+

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥𝑗



𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦


𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑥


𝜕𝑦


𝜕𝑧


𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑧+

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧=

𝜕

𝜕𝑥2𝜇

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

• Considerando fluido newtoniano: constante

= 𝜇 2𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦𝜕𝑥+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑧𝜕𝑥+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

𝜕2𝑣

𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2

𝜕2𝑤

𝜕𝑧𝜕𝑥

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2

= 𝜇𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦𝜕𝑥+

𝜕2𝑤

𝜕𝑧𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦𝜇

𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕

𝜕𝑧𝜇

𝜕𝑤

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑧

2𝜇𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜇𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜇𝜕𝑤

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑧



𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦


𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑥


𝜕𝑦


𝜕𝑧


𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑧+

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧=

𝜕

𝜕𝑥2𝜇

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕

𝜕𝑦𝜇

𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕

𝜕𝑧𝜇

𝜕𝑤

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑧

= 𝜇𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦𝜕𝑥+

𝜕2𝑤

𝜕𝑧𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧

• Considerando fluido incompressível: constante𝛻 ∙ 𝑉

→ 𝛻 ∙ 𝑉 = 0


= 𝜇𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2



𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦


𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑥


𝜕𝑦


𝜕𝑧


𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑧+

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧

• Considerando fluido incompressível: constante → 𝛻 ∙ 𝑉 = 0

= 𝜇𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2


𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧

= 𝜇𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑧2

= 𝜇𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑧2

= 𝜇𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2

= 𝜇𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑧2

= 𝜇𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑧2



𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦


𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑥


𝜕𝑦


𝜕𝑧


𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑧+

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧= 𝜌

𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜕𝜏𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧

• Considerando fluido incompressível: constante → 𝛻 ∙ 𝑉 = 0


𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑧𝑧

𝜕𝑧

𝜇𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2

𝜇𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑧2

𝜇𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑧2



𝜕𝑥+ 𝜇

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑦2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑧2 = 𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧


𝜕𝑦+ 𝜇

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑣

𝜕𝑦2 +𝜕2𝑣

𝜕𝑧2 = 𝜌𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧


𝜕𝑧+ 𝜇

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑤

𝜕𝑦2 +𝜕2𝑤

𝜕𝑧2 = 𝜌𝜕𝑤

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧

• e incompressível: constante

• para fluido newtoniano: constante

𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌𝑑𝑉

𝑑𝑡

Incógnitas:

𝑝, 𝑢, 𝑣 𝑒 𝑤

𝛻2 =

𝜕2

𝜕𝑥2 +𝜕2

𝜕𝑦2 +𝜕2

𝜕𝑧2

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2

𝜕𝜃2 +𝜕2

𝜕𝑥2

com a eq. da continuidade: sistema de 4 incógnitas e 4 equações


Exemplo 1:

Um fluido viscoso de massa específica e

viscosidade dinâmica constantes escorre devido a

gravidade entre duas placas distantes 2h uma da

outra, conforme figura abaixo. O fluxo está totalmente

desenvolvido, com uma única componente de

velocidade w = w(x). Não há gradientes de pressão

aplicados, somente a gravidade. Resolva a equação

de Navier-Stokes para o perfil de velocidade entre as

placas.

z

x

h h

ρgx−∂p∂x

+μ∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2=ρ

∂u∂t+u

∂u∂x+v

∂u∂y

+w∂u∂z

ρgy−∂p∂y

+μ∂2v

∂x2+∂2v

∂y2+∂2v

∂z2=ρ

∂v∂t+u

∂v∂x+v

∂v∂y

+w∂v∂z

ρgz−∂p∂z+μ

∂2w

∂x2+∂2w

∂y2+∂2w

∂z2=ρ

∂w∂t

+u∂w∂x

+v∂w∂y

+w∂w∂z


Exemplo 1:

Um fluido viscoso de massa específica e

viscosidade dinâmica constantes escorre devido a

gravidade entre duas placas distantes 2h uma da

outra, conforme figura abaixo. O fluxo está totalmente

desenvolvido, com uma única componente de

velocidade w = w(x). Não há gradientes de pressão

aplicados, somente a gravidade. Resolva a equação

de Navier-Stokes para o perfil de velocidade entre as

placas.

ρgz−∂p∂z+μ

∂2w

∂x2+∂2w

∂y2+∂2w

∂z2=ρ

∂w∂t

+u∂w∂x

+v∂w∂y

+w∂w∂z

0 0 0 0 0 0 0

ρg + μ∂2w

∂x2= 0 →

∂2w

∂x2= −

ρgμ

= −k →∂w∂x

= −kx + C1 → w x = −k2x2 + C1x + C2

w −h = 0w +h = 0

z

x

h h

→ w x =k2

h2 − x2 → w x =ρg2μ

h2 − x2→ C1= 0

C2= −kh2 2

Equação de Navier-Stokes Exemplo 2: Para um escoamento laminar e permanente de um fluido

incompressível e newtoniano de massa específica e viscosidade , no interior de uma tubulação horizontal de seção circular, com diâmetro D e comprimento L:

a) considerando um gradiente de pressão constante e 𝜕𝑝

𝜕𝑥=

∆𝑝

𝐿= 𝛾

ℎ𝑝

𝐿, calcule o perfil

de distribuição de velocidades;

b) calcule a vazão volumétrica;

c) calcule a velocidade média; e

d) expresse a perda de carga unitária ( ℎ𝑝 𝐿) em função dos demais parâmetros

xr

u(r)

Equação de Navier-Stokes Exemplo 2:


𝜕𝑥=

∆𝑝

𝐿= 𝛾

ℎ𝑝



𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌𝐷𝑉

𝐷𝑡

→ 𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜇

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟

𝜕𝑢

𝜕𝑟+

1

𝑟2

𝜕2𝑢

𝜕𝜃2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 = 𝜌 𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑟+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝜃

→𝜇

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟

𝜕𝑢

𝜕𝑟=

𝜕𝑝

𝜕𝑥=

∆𝑝

𝐿= 𝛾

ℎ𝑝

𝐿

→ 𝑢 𝑟 =ℎ𝑝ρ𝑔

4𝐿𝜇𝑅2 − 𝑟2

→𝜕

𝜕𝑟𝑟

𝜕𝑢

𝜕𝑟= 𝑟

𝛾ℎ𝑝

𝜇𝐿

→ 0

𝑟 𝜕

𝜕𝑟𝑟

𝜕𝑢

𝜕𝑟𝑑𝑟 =

0

𝑟

𝑟𝛾ℎ𝑝

𝜇𝐿𝑑𝑟

→ 𝑟𝜕𝑢

𝜕𝑟=

𝑟2

2

𝛾ℎ𝑝

𝜇𝐿→

𝑟

𝑅 𝜕𝑢

𝜕𝑟𝑑𝑟 =

𝑟

𝑅 𝑟

2

𝛾ℎ𝑝

𝜇𝐿𝑑𝑟

xr

u(r)



𝜕𝑥=

∆𝑝

𝐿= 𝛾

ℎ𝑝





𝑢 𝑟 =ℎ𝑝ρ𝑔


xr

u(r)

𝑄 = 𝐴

𝑉𝑛𝑟 𝑑𝐴 = 𝐴

𝑢 𝑑𝐴 = 0

𝑅 ℎ𝑝ρ𝑔

4𝐿𝜇𝑅2 − 𝑟2 2𝜋𝑟𝑑 𝑟 =

𝜋ℎ𝑝ρ𝑔

2𝐿𝜇 0

𝑅

𝑅2 − 𝑟2 𝑟 𝑑𝑟

=𝜋ℎ𝑝ρ𝑔

2𝐿𝜇 𝑅2

𝑟2

2−

𝑟4

40

𝑅

=𝜋ℎ𝑝ρ𝑔

2𝐿𝜇𝑅2

𝑅2

2−

𝑅4

4=

𝜋ℎ𝑝ρ𝑔

2𝐿𝜇

𝑅4

4→ 𝑄 =

𝜋ℎ𝑝ρ𝑔𝐷4

128 𝐿𝜇

𝑄 = 𝑉𝑚 𝐴 → 𝑉𝑚 =𝑄

𝐴=

4𝑄

𝜋𝐷2

4

=

𝜋ℎ𝑝𝜌𝑔𝐷4

128 𝐿𝜇

𝜋𝐷2

4

→ 𝑉𝑚 =ℎ𝑝ρ𝑔𝐷2

32 𝐿𝜇



𝜕𝑥=

∆𝑝

𝐿= 𝛾

ℎ𝑝





d) expresse a perda de carga unitária ( ℎ𝑝 𝐿) em função dos demais parâmetros

𝑢 𝑟 =ℎ𝑝ρ𝑔


xr

u(r)

𝑄 =𝜋ℎ𝑝ρ𝑔𝐷4

128 𝐿𝜇

𝑉𝑚 =ℎ𝑝ρ𝑔𝐷2

32 𝐿𝜇→

ℎ𝑝

𝐿=

32 𝐿𝜇𝑉𝑚

ρ𝑔𝐷2

Equação da continuidade:

Equação de Euler: (escoamento invíscido)

Equação de Navier-Stokes: (fluido newtoniano e

incompressível)

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0

𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 = 𝜌𝑑𝑉

𝑑𝑡

𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌𝑑𝑉

𝑑𝑡


Equação da continuidade

Cinemática


Equação de Euler


BIBLIOGRAFIA:

WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw-

Hill, 2010.

WHITE, Frank. M. Viscous Fluid Flow. 3ª ed. MacGraw-

Hill, 2006.

FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução à

Mecânica dos Fluídos. 8ª ed. John Wiley and Sons, N.Y.,

Tradução: LTC, 2014.

www.HidroUff.uff.br

aula 4 equações diferenciaishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/...=𝜇 2 2 +...

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