Filtros DigitaisFIR

(Finite Impulse Response)

Prof. Juan Mauricio Villanueva

jmauricio@cear.ufpb.br

www.cear.ufpb.br/juan

1

Filtros FIR (Finite Impulse Response)

• Para um sistema FIR de ordem M

• Com função de transferência

• E resposta ao impulso

1

0

[ ] [ ]M

kk

y n b x n k

1

0

( )M

kk

k

H z b z

2

, 0 1[ ]

0,nb n M

h ncasocontrario

Estrutura FIR: Forma Direta I

1

0

[ ] [ ]M

kk

y n h x n k

3

Projeto de Filtros Digitais FIR

• O projeto de filtros, implica na seleção de uma sequênciafinita que represente a resposta ao impulso de um filtro ideal

• Os filtros FIR sempre são estáveis, e com fase linear (atrasono tempo)

• Métodos comuns para o projeto de filtros FIR:

– Janelas, usando a resposta ao impulso dos filtros ideais

– Amostragem em frequência

– Projeto iterativo baseado em restrições ótimas

4

Projeto de Filtros FIR por Transformada de Fourier

• Para uma resposta ideal de um filtro passa-baixo

5

6

Função de Transferência:

Simetria

Projeto de Filtros FIR por Transformada de Fourier

7

Função de Transferência (simetria):

Projeto de Filtros FIR por Transformada de Fourier

8

Projeto de Filtros FIR por Transformada de Fourier

Exemplo 1

• Calcular os coeficientes do Filtro Passa-Baixo FIR com 3-tap, com frequência de corte 800 Hz e frequência deamostragem 8000 amostras/s

9

8002 2

8000 5

2 1 3

0 (0)

sin sin 0.20 ( )

cc

s

c

c

frad

f

M tap

Para n h

n nPara n h n

n n

10

Exemplo 1

• Resposta em Frequência

11

Exemplo 1

• Em genal, o filtro FIR com coeficientes simétricos têm umaresposta de Fase Linear, dado por

12

Exemplo 1

• Magnitude e Fase

13

Exemplo 1

14

Exemplo 1

15

Exemplo 1fc = 800;fs = 8000;M = 1;tap = 2*M+1;omega = 0:0.001:pi;hertz = omega*fs/(2*pi)moduloH = 20*log10(abs(0.2+0.3742*cos(omega)));for i = 1:length(omega)

if (0.2+0.3742*cos(omega(i)))>0faseH(i) = -M*omega(i);

elseif (0.2+0.3742*cos(omega(i)))<0faseH(i) = -M*omega(i)+pi;

endendfigureplot(hertz,moduloH)axis([0 4000 -80 0]),gridfigureplot(hertz,faseH*180/pi), grid

16

Exemplo 1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Hz

|H| d

B

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Hz

grad

os

• Magnitude e Fase

• Para M = 1 (2M + 1 = 3 tap)

• Para M = 8 (2M + 1 = 17 tap)

17

Exemplo 1

Exemplo 2

• Calcular os coeficientes do Filtro Passa-Faixa FIR com 5-tap, com frequência de corte inferior 2000 Hz, frequênciade corte superior 2400, e frequência de amostragem 8000amostras/s

18

2 1 5

20002 2

8000 2

2400 32 2

8000 5

0( )

sin sin0 2 2

LL

s

HH

s

H L

H L

M tap

frad

f

frad

f

nh n

n nn n

Exemplo 2

• Calculo dos coeficientes:

19

Exemplo 2

• Função de Transferência:

• Resposta em Frequência:

20

2 3 4

2 2 2

2 2 2

2

0.09355 0.01558 0.1 0.01558 0.09355

0.09355 0.01558 0.1 0.01558 0.09355

2cos( )

0.09355( ) 0.1 0.01558( )

j j j j j

j j j j j j

jx jx

j j j j j j

j j

H e e e e e

H e e e e e e

e e x

H e e e e e e

H e e

0.1871cos(2 ) 0.1 0.03116cos( )

• Magnitude e Fase

21

Exemplo 2

2 0.1871cos(2 ) 0.1 0.03116cos( )j jH e e

0.1871cos(2 ) 0.1 0.03116cos( )

2 0.1871cos(2 ) 0.1 0.03116cos( ) 0

2 0.1871cos(2 ) 0.1 0.03116cos( ) 0

j

j

H e

siH e

si

Não é possível exibir esta imagem no momento.

• Se realiza o truncamiento da resposta ao impulso ideal h[n] por uma janela w[n]:

[ ] [ ] [ ]wh n h n w n

( ) ( ) ( )wH F H F W F

22

Multiplicação emtempo discreto

Convolução na Frequência

Projeto de Filtros FIR pelo Método de Janelas

• Características das Funções que caracterizam Janelas

23

M n M

[ ] 1w n

[ ] 1n

w nM

[ ] 0.5 0.5 cosn

w nM

[ ] 0.54 0.46 cosn

w nM

2[ ] 0.42 0.5 cos 0.08 cos

n nw n

M M

JANELAS

Boxcar

Blackman

Barlett

Hanning

Hamming

Projeto de Filtros FIR pelo Método de Janelas

• Processo de Projeto:

1. Obter os coeficientes do Filtro FIR utilizando o Método daTransformada de Fourier

2. Multiplicar os Coeficientes do Filtro FIR pela sequência dajanela selecionada

3. Aplicar o atraso à resposta truncada de M amostras

24

Projeto de Filtros FIR pelo Método de Janelas

( ) ( ) ( ) ,....,0,1,....,wh n h n w n n M M

( ) 0,1,..., 2n wb h n M Para n M

( )wh n

Exemplo 3

• Projetar um filtro FIR passa-baixo de 3-tap, com frequênciade corte de 800 Hz e frequência de amostragem 8000amostras/s, utilizando a janela de Hamming.

25

8002 2

8000 5

2 1 3

0 (0)

sin sin 0.20 ( )

cc

s

c

c

frad

f

M tap

Para n h

n nPara n h n

n n

26

Exemplo 3

• Calculo dos coeficientes do filtro FIR

27

Exemplo 3

• Calculo dos coeficientes da Janela de Hamming

28

Exemplo 3

• Multiplicando os coeficientes do filtro FIR com oscoeficientes da Janela de Hamming

29

Exemplo 3

• Atrasando a resposta truncada por M = 1

• Função de Transferência

1 20 1 2( )H z b bz b z

30

Exemplo 3

• Resposta em Frequência

31

Comparação da Resposta em Frequência

32

Especificações de Projeto de Filtros FIR Passa-Baixo Usando a Janela de Hamming

• Especificaciones de la Respuesta en Frecuencia

• Banda de Transición Normalizada

stop pass

s

f ff

f

33

Especificações de Projeto de Filtros FIR Passa-Baixo Usando a Janela de Hamming

• O comprimento do Filtro é dada por

• Ripple na banda passante

• Ripple na banda de parada

• Frequência de Corte

2pass stop

c

f ff

34

Especificações de Projeto de Filtros FIR Passa-Baixo

• Projetar um filtro FIR passa-baixo, utilizando a janelarectangular, com as seguintes especificações:

• Banda de transição normalizada

35

Exemplo 4

8000 /sf amostras seg

• Usando uma janela rectangular, o Ripple na banda passanteé de 0.74 dB e a atenuação na banda de parada é de 21 dB

• A seleção de esta janela satisfaz os requerimentos de ripplena banda passante de 1 dB e atenuação na banda de paradade 20 dB.

36

Exemplo 4

• O comprimento do Filtro é:

• É escolhido um valor maior N=25 para garantir asespecificações do projeto.

• Frequência de Corte

37

Exemplo 4

1850 21502000

2cf Hz

• O comprimento do Filtro 25-tap

• Frequência de Corte fc = 2000 Hz

• Frequência de amostragem fs = 8000 amostras/s

• Janela Rectangular

• Projetar o Filtro FIR passa-baixo usando o método dejanelas

38

Exemplo 4

• Frequência de corte normalizada

39

Exemplo 4

20002 2

8000 2

2 1 25

12

12 12

0 (0)

sin sin 0.50 ( )

cc

s

c

c

frad

f

M tap

M

n

Para n h

n nPara n h n

n n

• Calculo dos coeficientes (M=12)

40

Exemplo 4

(0) 0.5

(1) 0.3183 ( 1)

(2) 0 ( 2)

(3) 0.106 ( 3)

(4) 0 ( 4)

(5) 0.0636 ( 5)

(6) 0 ( 6)

(7) 0.0454 ( 7)

(8) 0 ( 8)

(9) 0.0353 ( 9)

(10) 0 ( 10)

(11) 0.0289 ( 11)

(12) 0 ( 12)

h

h h

h h

h h

h h

h h

h h

h h

h h

h h

h h

h h

h h

fc = 2000;fs = 8000;M= 12;tap = 2*M+1;i=1;for n=-12:12

if n==0h(i)=(pi/2)/pi;

elseh(i)=sin(0.5*pi*n)/(n*pi);

endi= i+1;

endfreqz(h,1,tap,fs)

41

Exemplo 4

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-1500

-1000

-500

0

Frequency (Hz)

Pha

se (

degr

ees)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-60

-40

-20

0

20

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (

dB)