aula 08 - projeto de filtros fir

UFRN DCA

Processamento Digital de Sinais

Aula 08

Projeto de Filtros FIR

Prof. Felipe Silveira

Sumrio Filtros Digitais Tcnicas de Projeto Filtros FIR Projeto de Filtros FIR: Mtodo da Janela Funes Janela Efeito Espectral das Janelas Projeto de um FPB Projeto de Filtro FIR por Janela de Kaiser Projeto de Filtro FIR por Amostragem em

Freqncia

Filtros Digitais

O filtros estudados aqui so SLITs que possuem a propriedade de modificar freqncias especficas de um sinal

Quanto ao seu comportamento no domnio da freqncia, os filtros podem ser classificados como: Passa-baixa, passa-alta, passa-faixa, rejeita-faixa

Filtros Digitais

Os Filtros Digitais podem ser classificados ainda como: Filtros Recursivos (ou de Resposta ao Impulso Infinita)

Funo de transferncia na forma racional polinomial

Filtros No-Recursivos (ou de Resposta ao Impulso Finita) Funo de transferncia na forma polinomial

H(z) = B(z) = bkzkk=0

M

H(z) = B(z)A(z) =bkzk

k=0

M

1+ akzkk=1

N

Tcnicas de Projeto

As principais tcnicas de projeto de filtros digitais FIR e IIR esto listadas abaixo: Filtros FIR

Mtodo das funes-janela Mtodo por amostragem na freqncia

Filtros IIR Mtodo da transformao bilinear Mtodo da invarincia ao impulso

Tcnicas de Projeto

Em geral, o projeto de filtros digitais envolve cinco passos: Especificao Clculo dos coeficientes Realizao Anlise dos efeitos de quantizao Implementao

Especificao Filtro passa-baixa:

Filtros FIR Os filtros FIR so caracterizados pela seguinte

funo de transferncia:

Os filtros FIR tm a vantagem de serem sempre estveis e de poder ter fase linear.

H(z) = h[n]zkk=0

M

Projeto de Filtros FIR: Mtodo da Janela

Nessa tcnica, deseja-se determinar os coeficientes do filtro, h[n], tal que: A resposta H(ej) fornea uma boa aproximao para

uma resposta em frequncia desejada Hd(ej).

Uma medida da qualidade dessa aproximao pode ser o Erro Mdio Quadrtico entre as duas respostas.

E = 12 |Hd (ej ) H(e j ) |2 d

Pelo Teorema de Parseval:

Os coeficientes so obtidos pela minimizao da energia do erro atravs do uso de uma janela retangular, definida por:

Tal que:

Projeto de Filtros FIR: Mtodo da Janela

w[n] =1, 0 n M0, c. c.

E = 12 |Hd (ej ) H(e j ) |2 d

= | hd [n] h[n] |2n=

h[n] = w[n]hd [n]

Funes-Janela

Existem vrios tipos de janela diferentes, sendo as mais comuns: Retangular, triangular, Hamming, Hanning e

Blackman

Funes-Janela

Efeito Espectral das Janelas

Dois importantes parmetros de projeto so o comprimento e o formato da janela w[n].

Para compreender como esses parmetros influenciam o projeto observe que

Logo, no domnio da frequncia:


Os grficos abaixo exibem a operao de convoluo entre Hd() e W().


Analisando os grficos percebemos que: A largura do lbulo principal de W() afeta a largura da

faixa de transio de H().

Os lbulos laterais de W() provocam ondulaes na banda de passagem e na banda de corte do filtro H().

A banda de corte do filtro H() diferente de zero devido aos lbulos laterais de W().

Resposta em Freqncia de Funes-Janela

Algoritmo do Mtodo da Funo-Janela

O algoritmo segue os seguintes passos: Passo 1: Calcular a resposta ao impulso desejada, a

partir da DTFT inversa da resposta em freqncia desejada;

Passo 2: Escolher um tipo janela e o seu comprimento; Passo 3: Aplicar a janela selecionada:

Passo 4: Se necessrio, realizar um deslocamento no tempo para garantir a causalidade do sistema.

Projeto de um Filtro Passa-Baixa

Projetar um filtro passa-baixa com as seguintes especificaes:


Consideraes sobre Magnitude e Fase: A magnitude constante (= K) na banda de passagem; A fase linear

A fase linear causada pelo atraso das amostras na resposta ao impulso do filtro.

Em um primeiro momento iremos desconsiderar esse atraso, ou seja, .

O atraso ser includo no estgio final do projeto.


A resposta ao impulso do filtro pode ser obtida a partir da TDFT inversa:

Considerando , ao invs de temos:

Hd (e j ) = K

Hd (e j ) = Ke jl

hLPd [n] =12 Hd (e

j )e jnd

=Kn sin(nC ), n = 0,1,2,...

hLPd [n] =12 Ke

jnd c

c

Exemplo: Filtro FIR Passa-Baixa

Considere a seguinte especificao de projeto: Filtro passa-baixa ideal com ganho K = 1 e freqncia de

corte

Janela Retangular com N = 21 amostras, dada por:

Resultado do Projeto: Filtro no-causal dado por:

hLP [n] = hLPd [n]wR[n] =1n sin

n4

, n = 0,1,2,...,10.

wR[n] =1, se 10 n 100, c. c.

Exemplo: Passa-Baixa No-Causal

Exemplo: Filtro FIR Passa-Baixa

Para se obter um filtro causal passa-baixa, tem-se que atrasar a resposta ao impulso no-causal de M/2, em que M = N-1.

Logo, para o exemplo com N = 21, tem-se:

hLP [n] =1

(n 10) sin(n 10)

4

, n = 0, 1, 2,..., 20.

Exemplo: Passa-Baixa Causal

Exemplo: Resposta em Freqncia

A partir da Transformada de Fourier Discreta no Tempo, temos:

HLP (e j ) = hLP [n]e jnn=0

20

= h[0]+ h[1]e j + h[2]e j2 ++ h[10]e j10 ++ h[20]e j20

= e j10 h[0]e j10 + h[1]e j 9 ++ h[10]++ h[19]e j 9 + h[20]e j10[ ]

= e j10 2h[0]cos(10) + 2h[1]cos(9 ) ++ 2h[9]cos() + h[10][ ]

= G( )e j10

Exemplo: Resposta em Freqncia

Magnitude da Resposta em Freqncia do Filtro:

Parmetros de Funes Janelas

Parmetros de projeto por funes janela de ordem M:

Projeto por Janela de Kaiser

A tcnica de projeto estudada anteriormente s permite controlar a faixa de transio e as ondulaes atravs de uma escolha adequada da ordem M e do tipo de janela.

O projeto por Janela de Kaiser, ao contrrio, possibilita o projeto de filtros FIR que atendem a especificaes prescritas na freqncia Controle de ondulaes Largura da faixa de transio


A janela de Kaiser descrita pela funo:

Em que a funo de Bessel modificada de primeira classe de ordem zero, dada por:

Os parmetros M e so usados para controlar a faixa de transio e as ondulaes.


Janela de Kaiser: Domnio do Tempo (M=20)


Janela de Kaiser: Domnio da Freqncia (M=20)

Janela de Kaiser: Domnio da Freqncia ( = 6)


Algoritmo de Projeto por Kaiser 1. A partir da resposta na freqncia ideal que o

filtro deve aproximar, determine a resposta ao impulso desejada hd[n].

2. Se o filtro passa-baixa ou passa-alta deve-se fazer

Filtros passa-faixa e rejeita-faixa sero discutidos posteriormente.

Algoritmo de Projeto por Kaiser 3. Para satisfazer as especificaes prescritas para

as ondulaes, deve-se usar

4. Calcule em dB a atenuao na faixa de rejeio, usando:

5. Calcule a faixa de transio por

Algoritmo de Projeto por Kaiser

6. Calcule usando:

7. Determine a ordem M do filtro por:

Se usa-se uma janela retangular, ou seja:


8. Com M e determinados, calcula-se a janela de Kaiser usando a equao definida anteriormente.

9. Calcula-se a resposta ao impulso do filtro FIR por:


Se o filtro passa-faixa ou rejeita-faixa, deve-se realizar as seguintes modificaes:

negativa para filtros passa-faixa e positivo para filtros rejeita-faixa.

Determine as freqncias centrais como segue:

Projeto de Filtros FIR por Amostragem em Freqncia A resposta ao impulso de um filtro FIR pode

ser determinada atravs dos seguintes passos: Amostra-se a resposta em freqncia desejada

em N pontos

Tal que

Calcula-se a DFT inversa de para se obter .

Resumo da Aula

Definio de filtros seletivos em freqncia; Classificao dos filtros digitais em FIR e IIR; Estudo do mtodo da funo-janela para o

projeto de filtros FIR; Anlise do efeito espectral das janelas sobre a

resposta em freqncia dos filtros FIR; Projeto de um filtro FIR passa-baixa pelo mtodo

da funo-janela. Projeto por Janela de kaiser Projeto de Filtro FIR por Amostragem em

Freqncia

Bibliografia

Diniz, P. S. et al., Processamento Digital de Sinais: Projeto e Anlise de Sistemas, ed. Bookman, 2004.

Oppenheim, A. V., et al., Discrete-Time Signal Processing, ed. Prentice-Hall, 1998.

Proakis, J., Manolakis, D., Digital Signal Processing, ed. Prentice-Hall, 1996.

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