Prof. Me. ARI JR.

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

1. OBJETIVO DO CAPÍTULOO objetivo deste capítulo é estudar a forma pela

qual podemos descrever os dados estatísticos resultantes de variáveis quantitativas, como é o caso das notas obtidas pelos alunos de uma classe, estaturas de um conjunto de pessoas, salários recebidos pelos operários de uma fábrica etc. Desta maneira espera-se que o estudante de estatística possa organizar de maneira adequada os dados coletados de uma população.

2. TABELAS DE FREQUÊNCIA DE DADOS QUANTITATIVOS DISCRETOS.

Iniciamos este tema com a construção de tabelas de freqüência de uma amostra de dados quantitativos discretos que, em geral, medem contagens representadas por números positivos 0, 1, 2, 3, ..., n, por exemplo o número de pessoas atendidas em um determinado período de tempo, o número de transações financeiras realizadas pela internet em um determinado banco, a quantidade de peças defeituosa de um lote de produção, etc. Depois será tratada a construção de uma tabela de distribuição de freqüência com dados contínuos que podem assumir qualquer valor do conjunto de números reais, por exemplo, o peso dos alunos de uma sala do curso primário, vendas diárias de uma empresa, o consumo mensal de energia elétrica, a rentabilidade diária das ações mais negociadas na Bolsa de Valores. Embora essa classificação dados quantitativos pareça fácil, a separação entre discretas e contínuas nem sempre é clara.

2.1. Tabelas de Freqüências Absolutas

A freqüência do valor de uma variável é o número de repetições desse valor.

A tabela de freqüências absolutas de uma variável é uma função formada pelos valores da variável e suas respectivas freqüências; conhecidas também pelo nome de distribuição de freqüências absolutas.

Considere o exemplo abaixo. Construa uma tabela de freqüências absolutas do número de operações fechadas por dia pelo operador B.

Exemplo 1: O gerente do departamento de uma instituição financeira deseja analisar o número diário de operações fechadas nos últimos dois anos por um operador de seu departamento de operações de ações na Bolsa de Valores. Na tabela a seguir foi registrada uma amostra probabilística simples de tamanho 26, extraída das operações diárias fechadas pelo Operador B nos últimos dois anos. O objetivo é obter as possíveis conclusões dos registros dessa tabela.

Observando a tabela acima, que conclusões podemos chegar?

A tabela de freqüências absolutas resume uma série de valores numéricos em uma simples classificação de freqüências muito útil para descrever características importantes do conjunto de dados da amostra. As duas tabelas de freqüências seguintes possibilitam incluir outras características não mostradas pela primeira tabela.

2.2. Tabelas de Freqüências Relativas

A tabela de freqüência dada acima agrupa valores absolutos que permitem chegarmos a conclusões como, em cinco dias da amostra, o Operador B fechou 12 operações. Esse tipo de resultado não permite avaliar, por exemplo, se essa freqüência doze é alta ou baixa, pois nesse resultado não há nenhuma informação sobre o tamanho da amostra. Conseguiremos extrair mais informação da variável se suas freqüências forem expressas como porcentagem do tamanho da amostra.

A freqüência relativa do valor de uma variável é o resultado de dividir sua freqüência absoluta pelo tamanho da amostra.

A tabela de freqüências relativas de uma variável é uma função formada pelos valores da variável e suas respectivas freqüências relativas; conhecidas como distribuição de freqüências relativas.

Continuando com o exemplo 1. Construa a tabela de freqüências relativas da variável número de operações por dia pelo Operador B e, depois analise a tabela.

Um ponto importante que precisa ser ressaltado é que analisando o procedimento para a construção da distribuição de freqüências relativas observamos que essa tabela é realizada com os dados registrados na tabela de freqüências absolutas.2.3. Tabelas de freqüências acumuladas

As distribuições de freqüências absolutas e relativas apresentadas são muito úteis para organizar e resumir os dados das observações em forma de tabela, permitindo detectar as características relevantes dos

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valores da variável amostrada. Em alguns casos, o interesse da análise reside em conhecer os valores da variáveis menores ou maiores que um determinado valor, por exemplo, o número de dias que o Operador B fechou menos do que 15 operações por dia, etc.

A freqüência acumulada do valor de uma variável é a soma das freqüências absolutas ou relativas desde o valor inicial da variável.

A tabela de freqüências acumuladas ou distribuição de freqüências acumuladas de uma variável é uma função formada pelos valores da variável e suas respectivas freqüências acumuladas.

Continuando com o Exemplo1. Construa a tabela de freqüências acumuladas da variável número de operações fechadas por dia pelo Operador B.

3. TABELAS DE FREQUÊNCIAS DADOS QUANTITATIVOS CONTÍNUOS

A construção das tabelas de freqüências do Exemplo 1 foi relativamente fácil, pois dados os dados da variável são quantitativos discretos, que resultam de contagens, com uma quantidade pequena de observações e a maior parte delas repetidas. Entretanto, se os dados da variável forem contínuos, que resultam de medições que podem ter grande precisão, a aplicação do procedimento anterior será trabalhosa e de baixa eficiência, pois poucos, ou até nenhum dos dados poderão apresentar freqüências. Nesse caso, o procedimento adequado para variáveis com valores contínuos é trabalhar com classes de valores. O método começa pela definição da quantidade, dos limites e da amplitude das classes onde serão selecionados os valores da variável.

Na construção da tabela de freqüência, leve em consideração que: Não há uma regra para determinar o número de

classes, apenas orientações práticas para o analista. Por exemplo, para uma amostra de tamanho n, a quantidade de classe k recomendada por ser obtida através de:

, onde k, representa a quantidade de classes, e n o tamanho da amostra (número de elementos de uma amostra)

(chamada de regra de Sturges) Ao trabalhar com classes, a tabela de freqüências

não retém a identidade de cada observação individual, provocando perda de informação. Os valores da variável são transformados em uma nova variável cujos valores são os limites dos intervalos de classes.

3.1. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA: (com intervalos de classe).

a) Classes: São os intervalos de variação da variável. As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = {1, 2, 3,..., k}, onde k é o número total de classes da distribuição.

b) Limites de classe: São os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior da classe ( ) e o maior número, o limite superior da classe (

).Obs.: Os intervalos de classe devem ser escritos, em termos de desta quantidade até menos aquela, empregando, para isso, o símbolo (inclusão de e exclusão de , em alguns casos usa-se somente para facilitar a escrita)

c) Amplitude de um intervalo de classe ( ): É a medida do intervalo que define a classe. Assim:

.

d) Amplitude total da distribuição (AT): É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. Assim:

e) Amplitude amostral (AA): É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra. .

f) Ponto médio de uma classe (xi): É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.

Assim: .

Decidido o número de classes que deve ter a distribuição, resta-nos resolver o problema da determinação da amplitude do intervalo de classe, o que conseguimos dividindo a amplitude total pelo número de classes. Assim temos que:

O exemplo a seguir mostra como proceder para construir tabelas de freqüências absolutas utilizando classes.

As vendas diárias em milhares de uma empresa estão registradas na tabela a seguir. O objetivo é construir a tabela de freqüências absolutas e relativas e as respectivas freqüências acumuladas.

Solução: a) Determinação da quantidade de classes.

b) Determinação da amplitude das classes.

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c) Vamos agora preparar a tabela de seleção.

d) Seleção dos dados e construção das tabelas de freqüências.

Classes Freq.Abs.

Freq.Relativa

Freq.acum. abs.

Freq.acum.

rel.280 310310 340340 370370 400400 430

Total

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) Utilizando as notas obtidas por 50 alunos de uma classe de 7ª série, construa uma tabela de freqüência absoluta, relativa e acumulada e responda:

a) Amplitude amostral.

b) Amplitude da distribuição.

c) O número de classes.

d) O limite inferior da quarta classe.

e) O limite superior da classe de ordem 2.

f) Amplitude do segundo intervalo de classe.

02) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus:

Determine:a) o número de motoristas que não sofreram nenhum

acidente;b) o número de motoristas que sofreram pelo menos 4

acidentes;

c) o número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;

d) o número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes;

e) a percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.

03) Complete a tabela abaixo:

Calcule:a) Quantos alunos têm estatura entre 154 cm,

inclusive, e 158 cm?

b) Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm?

c) Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm?

d) Quantos alunos têm estatura não-inferior a 158 cm?

04) Dada a tabela abaixo referente aos pontos dos 50 alunos em um teste da SEE-MG, faça a distribuição de freqüência preenchendo a tabela.

21,0 21,5 26,2 28,0 22,8 27,4 26,5 26,0 31,6 24,030,0 22,0 23,5 23,0 24,5 25,2 24,6 27,0 32,5 25,028,0 25,5 24,3 25,8 24,0 25,0 25,4 28,2 27,5 27,422,8 25,6 26,2 29,0 27,0 28,0 27,5 28,4 27,0 26,026,6 31,5 29,2 27,8 28,5 31,0 27,2 29,6 29,2 27,4

05) A associação de ex-alunos de uma faculdade patrocina excursões mensais para associados solteiros. Os registros mostram que nos últimos quatro anos essas excursões contaram com

ex-alunos associados. Agrupe esses registros numa tabela de distribuição de frequência com as classes 20 24; 25 29; 30 34; 35 39; 40 44; 45 49; 50 54.

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