ATALET MOMENTLERİ

KT 1

ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ

Atalet momenti, kesitlerin geometrisine bağlı olarak hesaplanan büyüklüklerdenbiridir.

Bir alanın ataletatalet momenti,momenti, moment ekseninden itibaren lineer olarak değişenbir yayılı yükün momentini hesaplamak gerektiğinde ortaya çıkar. Bu türden biryüklemenin tipik bir örneği, sıvı içine batırılmış bir levha yüzeyi üzerinde etkiyenbir sıvı basıncıyla oluşur.

Sıvı yüzeyinin altında “y” mesafesinde bulunan bir noktada uygulanan basınç

KT 2

bulunan bir noktada uygulanan basınç veya birim alana düşen kuvvet, γ sıvının özgül ağırlığı olmak üzere,

p= γ y olarak ifade edilir.

Buna göre şekilde gösterilen sıvı içine batırılmış levhanın dA alanı üzerine suyun uyguladığı kuvvetin büyüklüğü:

dF=pdA=( γ.y )dA

Bu kuvvetin levhanın x eksenine göre momenti;

dAyydFdM2γ==

Dolayısıyla tüm basınç dağılımıyla üretilen moment;

∫= dAyM2γ

Buradaki integral, levha alanının x eksenine göre atalet momentini ifade eder;

KT 3

Buradaki integral, levha alanının x eksenine göre atalet momentini ifade eder;

∫= dAyI x

2

Bu formdaki integraller ile, akışkanlar mekaniği, malzeme mekaniği, yapımekaniği ve makine tasarımında sıksık karşılaşıldığı için atalet momentihesabında kullanılan yöntemler önemlidir.

ATALET MOMENTLERİ

Şekilde gösterilen x-y düzlemindeki A alanını gözönüne alalım. dA düzlemsel diferansiyel alanın x ve y eksenlerine göre atalet momentleri;

dAxdI

dAydI

y

x

2

2

=

=

KT 4

İle tanımlanır. Tüm alan için atalet momentleri integralle belirlenir:

y= dA’nın x eksenine uzaklığı

x= dA’nın y eksenine uzaklığı

Alanların ikinci

momenti

momentiataletgöreeksenineydAxI

momentiataletgöreekseninexdAyI

A

y

A

x

⇒=

⇒=

∫

∫

.

.

2

2

KUTUPSAL ATALET MOMENTİ

dA diferansiyel alanın bir O noktasına göre ikinci momenti de formüleedilebilir:

Burada; r= O noktasında dA’ya dik mesafedir. Tüm alan için bu değer;

olarak bulunur.

Buna kutupsal (polar) atalet momenti adı verilir.

dArdJO

2=

yx

A

O IIdArJ +== ∫2

KT 5

Buna kutupsal (polar) atalet momenti adı verilir.

JO ile Ix ve Iy arasındaki bubağıntı, “ r=x2+y2 ” ilişkisindenkaynaklanmaktadır. Ix , Iy ve JO

her zaman pozitif büyüklüklerdir,çünkü uzaklığın karesi ve alanınçarpımı ile bulunmaktadırlar.

Atalet momenti birimi, uzunluğundördüncü kuvvetini içermektedir:m4, mm4 gibi.

ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ

Bir alanın merkezinden geçen bir eksene göre atalet momenti biliniyorsa, paralel eksen teoremini kullanarak bu eksene paralel bir eksene göre atalet momentini belirlemek mümkündür.

Şekilde gösterilen A alanının x eksenine göre atalet momentini bulmaya çalışalım.

dA diferansiyel elemanı x’ geometrik

KT 6

dA diferansiyel elemanı x’ geometrik merkez ekseninden y’ kadar uzaklıktadır.

x ve x’ paralel eksenleri arasındaki sabit uzaklık dy ile gösterilmiştir.

ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ

Bu durumda tanım gereği,

olarak bulunur.dAdyIxd y

2)( +′=

Tüm alan içinse;

KT 7

ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ

Birinci integral, alanın geometrik merkez eksenine göre atalet momentidir.

İkinci integral, sıfırdır. Çünkü, x’ ekseni alanın geometrik merkezinden geçer,

Üçüncü integral, toplam alanı verdiğinden

∫ ∫ =′=′⇒=′ 00 dAydAyy

∫∫ =⇒= AddAdAdA yy

A

22

Bu durumda,Steiner teoremi

KT 8

222

yxyx AdIAddAyI +=+′= ′∫x’ eksenine paralel diğer bir eksen Ağırlık merkezinden geçen x’

eksenine göre atalet momenti

dik uzaklık

Steiner teoremi

Benzer ifade y ekseni (Iy) için yazılabilir:

2

xyy AdII += ′

Ağırlık merkezinden geçen y’ eksenine göre atalet momenti

Toplam alan

y ekseninin y’ eksenine olan dik uzaklığı

Steiner teoremi

KT 9

x’ ve y’ eksenleri, ağırlık merkezinden (C noktasından) geçmektedir.

Sonuç; verilen bir alanın herhangi bir eksene göre atalet momenti ( veya );o alanın ağırlık merkezinden geçen ve bu eksenlere paralel olan eksene göreatalet momenti ile ( veya ), eksenler arasındaki dik uzaklığın karesinin alanile çarpımının toplamına eşittir. Buna paralel eksenler teoremi ya da SteinerTeoremi denir.

yIxI

yIxI

NOT: Steiner teoremi, yalnız ve yalnız ağırlık merkezinden geçen eksentakımına göre kaydırmada kullanılır. Yani, ağırlık merkezinden geçen eksenden

KT 10

takımına göre kaydırmada kullanılır. Yani, ağırlık merkezinden geçen eksendenfarklı bir eksene göre kaydırma yapıldığında yukarıdaki bağıntılar geçerlideğildir. Çünkü ağırlık merkezi dışındaki herhangi bir noktada statik moment"sıfır" değildir. Formülasyon bu durumda değişir.

O noktasından geçen x-y düzlemine dik eksene göre polar atalet momenti:

2

222

'

AdJJo

ddd

IIJ

C

xy

yxC

+=

+=

+= ′

Alan merkezine göre

Ağırlık merkezinden O noktasına olan dik uzaklık

olduğuna göre ve

ise,

KT 11

Alan merkezine göre polar atalet momenti

noktasına olan dik uzaklık

Toplam alan

Bu üç denklemin her biri (Ix, Iy, Jo), bir alanın bir eksene atalet momentinin,alanın geometrik merkezinden geçen paralel bir eksene göre atalet momenti ile,alanın eksenler arasındaki uzaklığın karesiyle çarpımının, toplamına eşitolduğunu ifade eder.

Alan Atalet Momentinin İntegralle Bulunması

KT 12

• Eğer eğri y=f(x) şeklinde tanımlanabiliyorsa, sonlu uzunlukta (x veya y) ama diferansiyel genişlikte (dx veya dy) bir dikdörtgen eleman seçerek hesap yapılabilir.

•dA alanına sahip diferansiyel eleman, eğriyi bir (x,y) noktasında kesecek şekilde seçilmelidir.

1.durum:

Elemanın uzunluğu eksenlere paralel seçilebilir. Dikkat edilirse, diferansiyel dikdörtgen elemanlar, x-eksenine göre atalet momenti bulunurken x-eksenine paralel, y eksenine göre atalet momenti bulunurken ise y-eksenine paralel

KT 13

paralel, y eksenine göre atalet momenti bulunurken ise y-eksenine paralel seçilmiştir. Bu durumda aşağıdaki formüller kullanılabilir:

ydxdAxdydA

dAxIvedAyI yx

==

== ∫∫22

2.durum:

Elemanın uzunluğu eksene dik seçilirse, moment kolu x ve/veya y seçilen dikdörtgen için sabit olmamaktadır. Bu durumda, paralel eksenler teoremi kullanılmalıdır.

KT 14

kullanılmalıdır.

Önce elemanın kendi geometrik merkezinden geçen yatay bir eksene göre atalet momenti hesaplanmalı, daha sonra paralel eksen teoremi kullanılarak elemanın x veya y eksenine göre atalet momenti belirlenmelidir.

ÖRNEK 55

Şekilde gösterilen dikdörtgen alanın ;

a) Ağırlık merkezinden geçen x’ eksenine göre atalet momentini

b) Dikdörtgenin tabanından geçen xb eksenine göre atalet momentini

KT 15

c) x’-y‘ düzlemine dik olan, ağırlık merkezinden geçen z’ eksenine göre atalet momenti değerini bulunuz.

1.duruma göre:

a) Diferansiyel eleman x’ eksenine paralel seçildiği için tüm eleman x’ eksenine y’ mesafesindedir ve 1. durumdaki denklem kullanılabilir.

KT 16

2.duruma göre:

b) Paralel eksen teoremine göre;

c)

∫∫ ∫+

−

+

−

====2/

2/

32

2/

2/

22

'12

1'')'(''

b

bA

b

b

y hbdxxhhdxxdAxI

KT 17

ÖRNEK 56

Şekilde gösterilen alanın x eksenine göre atalet momentini bulunuz.

İntegrasyon için seçilen diferansiyel alan elemanı, x eksenine paraleldir. Eleman dy kalınlığına sahip ve eğriyi bir (x,y) noktasında kestiği için, alanı

1.durum

KT 18

dA=(100-x)dy’dir.

2.durum

İntegrasyon için seçilen diferansiyel alan elemanı, yeksenine paraleldir. Eleman dx kalınlığına sahiptir ve eğriyibir (x,y) noktasında kesmektedir. Elemanın bütün parçalarıx ekseninden aynı mesafede bulunmamaktadır, bu nedenleelemanın bu eksene göre atalet momentini belirlemek içinparalel eksen teoremi kullanılmalıdır.

2/~

12

1

12

1

3

3

'

yyydxId

yhdxbbhI

x

x

==

===

KT 19

2/12

yyydxId x ==

KOMPOZİT ALANLARIN ATALET MOMENTLERİ

Kompozit alanlar, yarım daire, dikdörtgen ve üçgen gibi bir dizi basit parça veya şekilden oluşur. Bu parçaların her birinin ortak bir eksene göre atalet momenti biliniyor veya belirlenebiliyorsa, kompozit alanın atalet momenti, tüm parçaların atalet momentlerinin cebirsel toplamına eşit olur.

Analizde izlenecek yol:

Parçalar: alan parçalara ayrılır ve her bir parçanın ağırlık merkezlerinden referans eksene olan dik uzaklıklar belirlenir.

KT 20

Paralel eksen teoremi: eğer parçaların merkezlerinden geçen eksenler referans ekseniyle çakışmıyorsa paralel eksen teoremi kullanılmalıdır.( ; :parçaların ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momenti)

Toplam: Tüm alanın referans eksene göre atalet momenti, parçalar için elde edilen sonuçlar toplanarak bulunur. Kompozit alanda boşluk varsa, bu boşluğun atalet momenti toplamdan çıkartılır.

2AdII += I

Basit geometrik şekillerin atalet momentleri

DİKDÖRTGEN (b=h İSE KARE)

hbA .=

y y3

3

bhI x =

3

3hb

I y =

3

12

bhI x =

12

3hb

I y =

KT 21

G h

2

hy =

b

2

bx =

x

x

O

KT 22

Bazı Şekillerin Atalet Momentleri

KT 23

Örnek 3. Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre ataletmomentlerini hesaplayınız.

y 18 cm

4 cm

12 cm

?=xI

?),( =yxG

KT 24

(0,0)x

7 cm 7 cm

4 cm

12 cm

?=yI

Örnek 3. çözümü

x

y

G

y 18 cm

4 cm

cmcmcm

x 9)12*4()4*18(

9*)12*4(9*)4*18(=

+

+=

cmcmcm

y 8.10)12*4()4*18(

6*)12*4(14*)4*18(=

+

+=

G1

(14-10.8) cm

KT 25

(0,0)x

7 cm 7 cm

4 cm

12 cm

yG2

∑=

+=n

i

iiixx AyII1

2).(

2

3

2

3

)68.10(*)12*4(12

12*4)8.1014(*)4*18(

12

4*18−++−+=xI

(10.8-6) cm

42.2515 cmI x =

Örnek 3. çözümü

x

y

G

y 18 cm

4 cm

x

cmx 9=

cmy 8.10=

G11

KT 26

(0,0)x

7 cm 7 cm

4 cm

12 cm

x

G2

∑=

+=n

i

iiiyy AxII1

2).(

2

3

2

3

)99(*)12*4(12

12*4)99(*)4*18(

12

4*18−++−+=yI

42008cmI y =

2

y 18 cm

4 cm

42.2515 cmI x =

G (9, 10.8)

Örnek 3. çözümü

KT 27

(0,0)x

7 cm 7 cm

4 cm

12 cm 42008cmI y =

2.2515 cmI x =

y 15 cm

2 cm

?=xI

?=I

?),( =yxG

Örnek 4. Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre ataletmomentlerini hesaplayınız.

KT 28

(0,0) x2 cm

13 cm

?=yI

y 15 cm

2 cm

13 cm

1

x

y

G

G1

G2

cmx 48.4=

Örnek 4. çözümü

KT 29

(0,0) x2 cm

13 cm

2

G2

cmy 52.10=

cmcmcm

x 48.4)13*2()2*15(

1*)13*2(5.7*)2*15(=

+

+=

cmcmcm

y 52.10)13*2()2*15(

1*)13*2(14*)2*15(=

+

+=

y 15 cm

2 cm

13 cm

1

x

y

G

G1

G2

cmx 48.4=

Örnek 4. çözümü

(14-10.52) cm

(10.52-6.5) cm

KT 30

(0,0) x2 cm

13 cm

2

G2

cmy 52.10=

(10.52-6.5) cm

∑=

+=n

i

iiixx AyII1

2).(

23

23

)5.652.10(*)13*2(12

13*2)52.1014(*)2*15(

12

2*15−++−+=xI

465.1159 cmI x =

Örnek 4. çözümü

y 15 cm

2 cm

13 cm

1

x

y

G

G1

G2

cmx 48.4=

(7.5-4.48) cm

KT 31

(0,0) x2 cm

13 cm

2

G2

cmy 52.10=(4.48-1) cm

∑=

+=n

i

iiiyy AxII1

2).(

23

23

)148.4(*)13*2(12

13*2)48.45.7(*)2*15(

12

2*15−++−+=yI

465.1159 cmI y =

465.1159 cmI y =

465.1159 cmI x =

y 15 cm

2 cm

Örnek 4. çözümü

KT 32

G (4.48, 10.52)

(0,0) x2 cm

13 cm

Örnek 5. Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre ataletmomentlerini hesaplayınız.

y 9 cm

1 cm

?=xI

?),( =yxG

KT 33

(0,0) x4 cm

12 cm ?=yI

1 cm

4 cm1 cm

Örnek 5. çözümü

y 9 cm

1 cm1

x

y

G

G1

cmcmcmcm

x 5.4)1*9()12*1()1*9(

5.4*)1*9(5.4*)12*1(5.4*)1*9(=

++

++=

cmcmcmcm

y 0.7)1*9()12*1()1*9(

5.0*)1*9(7*)12*1(5.13*)1*9(=

++

++=

KT 34

(0,0)x

4 cm

12 cm

1 cm

4 cm1 cm

2

3

xG2

G3

GHer iki eksene göre simetrikolan bu alanda aslında ağırlıkmerkezini hesaplamaya gerekbile yok.

y 9 cm

1 cm

12 cm

1

x

y

G2

G1

Örnek 5. çözümü

n

KT 35

(0,0)x

4 cm

12 cm

1 cm

4 cm1 cm

2

3 G3

G

∑=

+=n

i

iiixx AyII1

2).(

23

23

23

)5.00.7(*)1*9(12

1*9)77(*)12*1(

12

12*1)75.13(*)1*9(

12

1*9−++−++−+=xI

4906 cmI x =

y 9 cm

1 cm

12 cm

1

x

y

G2

G1

Örnek 5. çözümü

n

1y

02

=y

KT 36

(0,0)x

4 cm

12 cm

1 cm

4 cm1 cm

2

3 G3

G

∑=

+=n

i

iiixx AyII1

2).(

23

23

23

)5.00.7(*)1*9(12

1*9)77(*)12*1(

12

12*1)75.13(*)1*9(

12

1*9−++−++−+=xI

4906 cmI x =

3y

02

=y

Örnek 5. çözümü

y 9 cm

1 cm

12 cm

1

x

y

G2

G1

G0

2=y

∑ +=n

AxII2

).(

01

=y

KT 37

03

=y

(0,0)x

4 cm

1 cm

4 cm1 cm

2

3 G3

G

∑=

+=i

iiiyy AxII1

2).(

23

23

23

)5.45.4(*)1*9(12

1*9)5.45.4(*)12*1(

12

12*1)5.45.4(*)1*9(

12

1*9−++−++−+=yI

45.122 cmI y =

y 7 cm

2 cm

?=xI

?=I

?),( =yxG

Örnek 6. Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre ataletmomentlerini hesaplayınız.

KT 38

(0,0) x2 cm

8 cm

?=yI

y 7 cm

2 cm1

x

y

G1

G

Örnek 6. çözümü

3.5 cm

cmx 83.4=

KT 39

(0,0) x2 cm

8 cm

2

G2

G

cmcmcm

x 83.4)8*2()2*7(

6*)8*2(5.3*)2*7(=

+

+=

cmcmcm

y 33.6)8*2()2*7(

4*)8*2(9*)2*7(=

+

+=

4 cm6 cm

9 cmcmy 33.6=

y 7 cm

2 cm1

x

y

G1

G

Örnek 6. çözümü

∑=

+=n

i

iiixx AyII1

2).(

cmy 67.2)33.69(1 =−=

cmy 67.1)433.6( =−=

KT 40

(0,0) x2 cm

8 cm

2

G2

G

cmy 33.6=

23

23

)433.6(*)8*2(12

8*2)33.69(*)2*7(

12

2*7−++−+=xI

cmy 67.1)433.6(2 =−=

467.276 cmI x =

y 7 cm

2 cm1

x

y

G1

G

Örnek 6. çözümü

cmx 83.4=

∑=

+=n

i

iiiyy AxII1

2).(

cmx 33.1)5.383.4(1 =−=

KT 41

(0,0) x2 cm

8 cm

2

G2

G

23

23

)83.46(*)8*2(12

8*2)5.383.4(*)2*7(

12

2*7−++−+=yI

cmx 17.1)83.46(2 =−=

417.109 cmI y =

ÖRNEK 57

Şekilde gösterilen kompozit alanın x-eksenine göre atalet momentini hesaplayınız.

Çözüm:

KT 42

Çözüm:

Kompozit alan, yanda gösterildiği gibi, dikdörtgenden daireyi çıkartarak elde edilir. Her iki alanın ağırlık merkezi şekilde gösterilmiştir.

Merkezler x-ekseni ile çakışmamaktadır. Bu nedenle paralel eksen teoremi kullanılmalıdır.

DAİRE

DİKDÖRTGEN

KT 43

TOPLAM

Kompozit alanın x-eksenine göre atalet momenti:

ÖRNEK 58

Şekilde gösterilen kirişin kesit alanının x ve y ağırlık merkezi eksenlerine göre atalet momentlerini belirleyiniz.

KT 44

Kesit, A, B ve D dikdörtgen alanların birleşimi olarak düşünülebilir. Bu alanların ağırlık merkezleri şekilde gösterilmiştir.

A ve D dikdörtgenleri :

KT 45

B dikdörtgeni:

Toplam

Tüm kesitin atalet momentleri için toplama işlemi yapılır.

KT 46