aspetto elettrogeosmotico bidimensionale variabile col tempo

ASPETTO ELETTROGEOSMOTICO BIDIMENSIONALE VARIABILE COL TEMPO

di ARNALDO BELLUIGI (*)

R i a s s u n t o - - Fino ad oggi sono apparse solo teorie elettrogeosmotlche transitorie nnidimensionali. Qul risolviamo un problema del genere bidimensionale, con elettrodi verticali cilindrici. Le curve rappresentat ive delle portate d 'acqua catodica q~ a cui perveniamo, denotano diminuzioni abbastauza rapide fino ai tempi dell 'ordine dei << tempi .elettrodici z ~, (t ~ z), portate che poi diminuiscono in modo molto lento. Si riscontrano qul pi~ estesi ~ pianerottoli >~ q~ che non quelli delle monodimensionalita (t ~ ~/9). Inol- tre, col crescere dei rapporti distanze eteropolari-raggi catodici, o col diminuire dei raggi catodici, tall portate (che si compongono dei contributi dei singoli anodi) s ' incremen- tano nel modo diagrammato.

S u m m a r y - - Till now only mono-dimensional transient electro-geoosmotical theo- ries have been published. In this paper a solution is given for a problem of bi-dimen- siona] type, with vert ical cylindrical electrodes. The plots which represent the amo- unts of cathodic water qz show quite rapid lowerings as far as to reach t ime dura- tions of the order of <~ electrodic times T ~ (t = z) volumes which, after, diminish very slowly. In this case more extended q~ <c lobbies ~ are found than those in mono-dimensional case (t = z/9). Fur thermore increasing the ratios heteropolar spacings - - cathodic radii, or diminishing t h e c a t h o d l c radii, water discharges (which result from the contribution of the single anods) increase as plotted in the diagrams.

N e l l ' E l e t t r o g e o s m o s i non s taz ionar ia che qui si considera , ass imi l iamo gli e l e t t rod i a sot t i l i cavi meta l l i c i ci l indrici ver t ica l i , aven t i d iamet r i t rascurab i l i ri- spe t to alle loro reciproche d is tanze (Fig. 1).

P e r rendere il p rob lema b id imens iona le , (fino ad oggi sono apparse solo teor ie non s taz ionar ie monodimensional i ) , suppo~iamo che i p rede t t i e le t t rod i fi l iformi para l le l i ver t ica l i abbiano una lunghezza indefinita. Q~testo presuppos to rende la teor ia appl icabi le a p p r o s s i m a t i v a m e n t e alia zona e le t t rodica .

Non ~ necessar io procedere poi al ia convers ione della spazial i th indefi~fita ad una semi spazial i th (conforme alia superficie ter res t re) , in quan to come si vedrh appresso, le ~ ' andezze elct t ro-f is iche calcola te si r i fer i ranno a va lor i mf i ta r i di lunghezze e le t t rodiche.

(*) Is t i tu to di Fisica Terrestre dell 'Universi ta di P e r u g i a .

- - 183 - -

Si assuma allora un sistema di riferimento cartesiano (x, y, z) con tale configu- razione polare ad elettrodi paralleli all'asse z. I1 dispositivo qui consta, per sempli- cith (v. Fig. 1) di un unico catodo che coincide coll'asse z, e di pifi anodi paralleli che intersecano il piano orizzontale (x, y) - - superficie del suolo - - nei pnnti arbi-

Fig. 1

i

I J I r

oi(-) x >

///~'. "'"~--I ~-~.-.-I ~- ...... -+~,~,o~)

~'Z I 1

trari (a~, b0, [ak, b~). Sin: r il vettore distanza di un punto generico P (x,y) dal catodo (pesto alForigine delle coordinate),

r = I r l =~r 2 + y ~

re sia Fanalogo vettore ]~is ai singoli anodi, di componenti ( x - ae), ( y - b 0, per cui:

-+ ri = Irel = ~ ( x - - a ~ ) 2 ~ - ( y - b ~ ) 2

distanza del punto generico P (x, y) dagli anodi~

distanza del catodo (poste alForigine) dall'i-esimo anodo;

le~ = ~ ( a ~ - a~) 2 -~- ( b i - b~) 2

distanza dell'i-esimo al k-esimo anodo, d ~ raggio del catodo cilindrico, di ~- raggio dell'i-esimo anodo.

La corrente energizzante il sistema suolo-polielettrodi sia continua, con gli anodi in parallelo. ~Ientre V Ix, y) denota il potenziale elettrico in un punto generico P (convenzionalmente lo si pone nu!lo al catodO), V-~ indicher~ il potenziale a l l ' ~ , E la differenza di potenziale d.d.p, tra anodo e catodo, j (x, y) la densith di corrente, I la corrente catodica per unith di lunghezza del catodo, I~ la corrcnte anodica per unith di lunghezza delFanodo, c~e ~ L / I il rapporto tra la corrente dell'i-esimo anodo e 1.

Dato che: I =-- E In, ne segue la semplice relazione: ~e -- 1. i=I i=I

Correnti d'attivazione e correnti derivate geoelettrlche - - Prima di passare al- l 'effetto elettrogeosmotico veto e proprio, deriviamo le formule ehe riguardano le correnti elettriche in giuoco.

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Nelle condizioni suesposte la densith di Corrente ~ esprimibile notoriamente C O I l "

- ~ - +

(1) J = T ~ - - - 7 ; + - -

n - 1

-+ 1 (2) j -- grad V

P

p b la resistenza elettrica specifica del terreno, mentre V si ottiene in vlrtfi della legge di Ohm:

V= P-~I Ilgr-- ~ =~lgri}-~ ~ t i = l

Dalla (3) si ricavailo ~ , E, V~ con le eondizioni limiti V = 0 sul catodo, V ~- E sugli anodi.

Posto infatti :

(4) E = pI pI [3" 2--7 (~ q- ~') ; V~ = ~ ,

si pervlene al sistema d'eq~azioni

~lgd~ q- ~ ~ lg l t~ q-~ = l g l ~ , ( i = 1,. ..... n) ] g = l

( 5 )

~=1 l = l

( s ---- somma estesa a tu t t i gli anodi con k ~ i). I1 sistema (5) permette di rieavare le (n -{- 2) grandezze adimensionali ~i, ~, ~',

dai dati strutturali del sistema stesso. Se si ha un unico anode immediatamente s 'ott iene:

(5') % = 1, } = lg-- , l~ f3' = ig /~

r / dove i termini p~/2r:, ,o~/2r:, si possono interpretare quali resistenze ohmiehe, per lmith di lunghezza dell 'anode e per unith di lunghezza del catodo rlspettivamente. A differenza di B e delle ~ , si noti che ~' non dipende n~ dai raggi anodiei, nb dalle distanze interanodiche.

Flusso d'acqua elettrogeosmotica attivata -- Passiamo era alla teoria del flusso d 'acqua catodieo, supponendo che all'inizio la pressione naturale d 'acqua esl- tente nel terreno sia distrlbuita in mode uniforme, e la sua estrazione al catodo a w e n g a a detta pressione cestante.

Trascureremo perci5 la cc pressione critica )), il ehe equivale all'impiego da parte nostra di correnti snfficientemente intense rispetto all'intensit~ critica di correntr (1). Siano inohre:

H (x, y, t), la pressione idrostatica temporale nel punto (x,y) del terreno; H0, la pressione iniziale o naturale dell 'aequa d'impregnazione del suolo;

- - 1 8 5 -

h (x, y , t) = H 0 - - H il decremento nel tempo di tale pressione;

q (x, y , t), il ve t tore densith di flusso idrico natura le nel mezzo terroso; q~, l ' acqua e s t r a t t a al catodo per unith di tempo e di lunghezza, o ,Tor ta ta

uni ta r ia )) catodica ; k, ~, c le usual i cos tant i elet trogeotecniche carat ter is t iche di permeabi l i th

idraulica, elet t r ica, e di consol idamento meccanico.

Le grandezze q, h, j , siano legate dalla legge di Helmhol tz :

(6) q = k g r a d h + b t j = g r a d l r k - - - - V . P

Per il deeremento di pressione (h) si abb ia :

(7) Ah = c Oh A + at Ox 2

In conformith del l 'assunto degli e le t t rodi ver t ical i sotti l i , si giustifica l ' ipotesi c h e l a depressione (h) debba essere cont inua ovanque, eccezion fa t ta nei punt i in cui si t rovano gli e le t t rodi , soddisfacente al t resi ane condizioni:

(8) h = 0 per t = 0 ;

(9) h = 0 , per r = ~ ;

(10) h = 0 , per r = d ,

condizione ques t 'u l t ima al catodo. Verr~ preeisata qul subito, dopo la (14), la condizione di flusso agli anodi.

Ci avvarremo del metodo della t ras formata di Laplace per risolvere il problema.

Se f ~ la t ras formata di f , la (7), tenuto eonto della (8), si t ras forma nel la:

(11) Ah = csh ,

equazione che deve soddisfare anzi tu t to la condizione a l l ' w :

(12) h -~ 0 per r = ~ ,

deve possedere inoltre singolarith solo sugli elet trodi , sufficientemente tenui per dare ivi luogo ad un flusso finito. Condizioni en t rambe che si possono soddisfare i m p o n e n d o ad h la forma :

= f ( r ) + 2 ]~ ( r d ,

una somma cio~ di funzioni che dipendono solo da (r) e da (r~), ciascuna delle quali soddisfa le (11) e (12).

Tenendo presente che per una funzione che dipende solo da (r) si ha, nel nos t ro assunto :

A f = d2f 1 d f dr 2 + - r dr

si perviene al la :

d~f i , i f (13) dr ~ d r dr csf = O,

1 8 6 - -

per la quale unica soluzione che s 'annulla per r = ~ ~ data (a meno di un fattore

costante), dalta funzione di Kelvin k o (r%/cs--). Si avrh quindi per tt:

(14) h = cok o (r ~ /~) q- )2 cek o (r~ ~r .

Passiamo alia condizione del flusso agli anodi. Se g(r) ~ una funzione di r, il flusso totale del suo gradiente oell'origine,

dato da:

(15) 2= lira rg'(r). r -+0

..).

Nel nostro caso il flusso di q si deve annullare agli anodi, quindi per la (6) si an- nullerh il fiusso del gradiente di ( k h - - ~ V ) e conseguentemente qnello del gra-

diente delia sua t rasformata: (ktt ls ~p 1/) ' ( V n ~ dipenae d a l t e m p ~

trasformata dell'unith b 1/s. Siccome le parti regolari non contribuiscono alia (15), ed avendosi k'o(X ) = - kl(x), essendo K x la funzione di Kelvin d'ord.ine uno, si ginnge, in virtfi delle (14), (3), (15), alle eondJzioni:

' i m [ - - 2 r c k r , ~ c , k ~ ( r e ~ ) - t - a e P ' - I ] = O , ( i = 1 , 2 ....... n) (16) r{--~0 k s _1

Da quest n lnma, ricordando che lira xkl(x ) ~ - l , si t rae: ~--~0

(17) c~ = ~e ~tI/27~ks.

La determinazione di ce finalmente ha luogo dalla condizione (10), che trasformata diventa :

(18) h = 0 al catodo,

o avendosi sul catodo r ~ d, r~ = le, per la (14) si ha:

k0 (le ~/~) ~I ~ ~e k0 (le ~/~) (19) Co = - - - " ce -- - -

~" k0 (d ~/~b~) 2rrk ~ s k 0 (d ~ ) e=l i=1

Avvelandosi delle (17), (19) si ricava finalmente dalla (14) per la fz:

(2o) ~= ~' ~ehe" ~e ~ { ko(/eV~) } 2.~ ' = -~- k~ (ri ~/~) k o (d ~/~) k~ (r ~/~) . i=1

Si noti che se s'indica con (h 0 l 'ant i t rasformata di (/~e) la h assume la forma:

~tI ~ ~xeh~ . (21) h = 27~

Dalle (20) (21), consegue l ' importante risuttato: le hiquindi le h (dimlnuzioni di pressione h) dipendono escluslvamente dal raggio catodico (d), dalla distanza (le) del- l'i-esimo anodo dal catodo, da (r e re).

Ogni singolo termine nella (2i), rappresenta allora l 'andamento del fenomeno in assenza degli anodi rimanenti, allorquando il sistema composto dal catodo e da

- - 1 8 7 - -

quelFanodo b percorso da una corrente: 1~-----~I (che b la corrente parziale che passa effet t ivamente a t t raverso quel l 'anodoL II fenomeno to ta le ~ perci5 una sovrap- posizione di fenomeni singoli, di cui ognuuo si riferisce ad un par t icolare anodo. Le mutue distanze degli anodi, come anche i loro diametr i , interessano solamente il calcolo della (~i), cio~ la distr ibuzione delle correnti parziali .

Tutto ci~ riveste la sua importanza in quanto (almeno approssimativamente), dovrebbe essere valldo anche ne!ta sltu~zione trldimensionale. !n fa t t i se ~ noto l ' andamento del fenomeno per un singolo anodo, si pub prevedere il suo andamento per pih ar~odi deUo stesse t ipo, premesso che non venga cambia ta la disposizione dei catodi nel caso in cui ve ne fossero pi~ d 'uno.

La distr ibuzione delle correnti , ch'~ l 'unica grandezza che dipende dalla mutua disposizione dei catodi, pub facilmente essere misura ta (oppure calcolata), dato che si t r a t t a di un mero problema di correnti continue.

Le hi non ammet tono una forma semplice, per5 possiamo rica~are il l imite a cui esse tendono per t ~ ~ ' , vale a dire la distribuzione Iimite della pressione d'acqua.

Corny gih s ta to fat to notare il compor tamento de l l ' an t i t r as fo rmata per t -+ 0 dipende solo da quello della t ras formata per s ~ 0. Ora si ha :

(22) k 0 (x) = - - lg x -~ k -~ O (x),

(k ~ una costante la cui determinazione qui non interessa); O(x) esprime al solito una grandezza che t e n d e a zero, con x -+ 0. Appl icando la (22) alla (20') ne der iva :

(23) h~= s 1 { l g r - l g r ~ - l g d ~- lg / i + O ( ~ ) }

dove O (1/lg s) ~ un termine che per s -~ 0 si comporta come (1/lg s); e la cui anti- t r a s fo rmata tende quindi a zero per t -~ ~ . Se si t ien conto che l ' an t i t r a s fo rmata di (1/s) ~ uguale a l l 'unl th si r icava:

(24) h~ ~ lg r - - lg r i - - lg d ~ tg l~ (per t -~ 0o).

Sost i tuendo la (24) nella (21), e cons con la (3), r icordando anche lc definizioni di V~, ,~', rr~ediante la (4) e (5), si perviene al la :

(24') h -~ ~ V (per t -+ 0). pk

Anche la [24') b val ida per sistemi qualsiasi, in c~fi si t rascura la pressione critica. La (24') si pub r icavare a l t res l dalla teoria stazio~aTia, per quanto in qnesta

si tuazione si r ichieda un 'u! ter iore ipotesi (h finita all 'co), che ora viene giustifi- cata . La (24') pe r tan to esprime:

H grado di essiccamento ragglnngibile mediante una data corrente, immessa in un determinato punto del terreno, ~ proporzionale aila differenza di potenziate tra quel punto e il catodo. H masslmo prosciugamento si ha Tdndi sugli anodl, dove u raggiunge il suo v~.Iore masslmo E. Ovunque del resto, si accuser~t una certa disidrata- zione, eccetto che nolle immediate vicinanze del catodo (risuhati questi da no l ed ahri gid conseguiti ahrove, esaminando la situazione unidlmensionale).

Scompare cos~ la distinzione del caso lineare tra zona extranodica e zona

extracatodica. Infatti per grandi distanze si ha (Y -~ V~) e quindi h~ ~ ~" V~. p~

interessante inohre mettere in rilievo che il grado di prosciugamento raggiungibile

1 8 8 -

dipende in modo esclusivo dalla tensione applicata, anche se, oceorre qul aggiungere, il prosciugamento limite sia in prat ica difficilmente raggiungibile. In tan to la teoria non b completamente valida per tempi molto grandi r ispetto ai caratterist ici : "~--cl~2: per ccdurate ~ di quest 'ordine di grandezza l 'essiccamento interesserh sovra t tu t to l ' ambi to interelettrodico. Ma anche II g difficile che venga raggiunto un valore molto prossimo al limite (per quanto dello stesso ordine di grandezza), dato che (h) tende molto lentamente al suo limite. Infat t i la presenza di termini dell 'ordine di O/s lg s) nella (23) fa supporre che essi contribuiranno con termini delI'ordine (1/lg t) decrescenti quindi con molta lentezza. II r ~ o n a m e n t o pub venire in prat ica infirmato da una considerazione d 'al t ro genere. Questo lento deerescere ~ cansato dall'afflusso d 'acqua a zone molto distaJati. Ora in realth l 'estensione del terreno eontenente acqua non ~ sempre illimitata. C'b allora d 'a t - tendersi che per tempi multipli dei r162 earatteristici ~ (in cui cio~, secondo la teoria, verrebbero investite le zone molto distanti), le considerazioni preeedenti non si applieano pih, di conseguenza il proseiugamento limite verrh ragginnto.

Quantit~t d'acqua tellurtca estraibile al catodo - - In virt~t delle eonsiderazioni fatte, v. formula (15), la quantith d 'acqua (q~) ~ data da:

(25) q e = 2 ~ l i m r ( ~ OV k a h l , ~-~o p aT ~r/

di cui la t ras formata :

(26)

Poichg :

/ ~V (25') ~ = 2 ~ l i m r [ k v. . |

r-s0 sp ar ~r / "

Come a proposito degli anodi, interessano esclusivamente nella (25') quei termini che sono singolari per r = O. Con cib la (25') diventa, utilizzando le (3) e (20'):

= ~ ,=0 ~-. k0 (d a / ~ ) kl (T C ~ ) 1=1

l imxk l (x )= 1 ; ~ cq = 1, X=O

i = l

la preeedente si scriverh:

(27) ~ =

da cui :

(28)

avendo posto :

1 1 k0 (l~ a / ~ ) (29) q~ = - - ~ - / f - ~ - { 1 k o (d ,VieS) } e~s ds

L

- - 1 8 9 - -

(L denota una re t t a para l le la all 'asse immaginario , a des t ra dell 'origine). La quantit~t d'acqua espulsa si compone perci~, come era Iogico prevedere, di

contributi dei singoli anodi. Ogni @0, ohre da (t), dipender~t solo da (d) e (l+). Trasformeremo ora l ' in tegrale (29) in uno del campo reale. In t rod~eiamo per

ques to le seguenti grandezze adimensional i e no:

d t +:i cl~ (tempo earatterist ieo), 8~ , 01 ~ ' z+

Con queste sosti tuzioni la (29) si t ras forma nel la:

1 f 1 { K~ I :l'd8 L

nn integrale ciob del t ipo:

: . 2 , i - - - +(z)

L

con ~(~)~funzione anal i t ica di (~) in t u t t o il piano complesso, escluso il semiasse negat ivo, che inohre si comporta all ' infinito in maniera tale che il cammino di integrazione si pub deformare verso sinistra. Inohre per la {22) si ha : t~(0) ~ 0.

Se si deforma i l cammino d ' integrazione come in Fig. 2 esso si t rasformerh

G 4 . Fig. 2

nel seguente modo:

' i-':- -~176 +--+ 2 ~ i ~(z) e 2z:i ~ ( s e ) e - - L

1 ~ S _ _i= e_0S 2rri ~ ~ (se ) -i-

s 1 [ d~ oz

+ ~((~.iJ--g- + (r e c~

Con c~ s ' indichi un cerchio di raggio z intorno all 'origine. In v i r th di ~(0) = 0, il 3 o integrale tende a zero con z -~ 0, e la formula precedente d iventa :

,o~ +. .~ (31) ~ ( . ) = 2~i 2zri s [4 (se ) - - t~ (se-'+=)] e

L 0

Per applicare la (31) alia (30) bas ta r ipor tars i alle so t tos tant i espressioni note

- - 1 9 0 - -

dalla teoria delle funzioni di Bessel:

(32) ko (xei~/'2) r:i H~2)(x) ko (xe-i~/~ ~i H~l)(x) 2 ' = - 2 - '

dove He(l), //o(2) denotano le note funzioni di Ilankel. Applicando alla (30), le (31) e (32), la (30) diventa:

2:z~1 ~ ~-ds { H~I)(~v/- ~ H:2)(~v/s- ~ } . (33)

Poich~ le comuni funzioni di Bessel sono legate a quelle di Hankel mediante:

(1 ) _ ( 2 ) (34) Ho = Jo-~ iYo, 1to = J o - - i Y o ,

la (33) acquista la forma reale, espressa in funzioni di Bessel:

1 ~f ds ]1o (~-~) Jo (8~ V T ) - - Jo ( ~ ) Yo (8i ~r _ols (35) ~ ---- -~-. ,--~_ e

2 - - 2

o Yo ( ~ v / s ) + Jo (~ ~ / T )

La (35) ~ ancora semplificabile se si considera che in base alle premesse ~ ~ un numero molto piccolo. Si pub allora porre:

(36) J0 (8~ ~f~-) = 1, Y0 (3i V/~-) ~ ___1 (Ig s - - ki). 7~

Se ,( = costante d'Eulero-Mascheroni,

1 y ~ = lg - - - - lg

~ 2

l~ vero che le posizioni (34) limitano l'applicabilith della (35) a tempi grandi rispetto a cd 2, ma in genere cd 2 sara dell'ordine di qualche minuto. Inoltre in tu t to questo svolgimento analitico si 6 gia trascurato parecchie volte d rispetto a l~, di conseguenza ~ difficile c h e l a teoria sia corretta per tempi cosl piccoli.

La (36) ~ perei5 coerente con tut te Ie assunzioni finora fatte. Perveniamo cosl definitivamentc alla :

(37) (?~ : 7~Y~ s) -~ O~i-- lgs)Jo(~ s) e _ois (2k~ - - lg s) ~ ~- 7: S

La (37) permette il computo numerlco e grafieo della (?i. Disponendo di tabelle per la r si potr~t determinare la grandezza q, v. (28). II grafico seguente della ~(0~) ~ relativo a tre diversi valori del rapporto (1/8i) ,

rapporto tra ciaseuna distanza interpolare e i l raggio catodico, nell ' intervallo 0 _< 0 _<_ 10, oltre il quale la presente teoria ~ difficilmente accettabile (anzi anehc per questi ordini di grandezza ~ probabile che i valori reali stiano molto al disotto di quelli ealeolati); v. Fig. 3.

Come gih notato per 0 = 0, si ha q~(0) ~-- 1, e inoltre si pub dimostrare che tut te le derivate della q~ s'annullano all'origine. La clual cosa ~ veramente esatta per la (35) che eontiene Jo [~ ~r e yo (8 ~r di eui la (37) ~ una approssimazione per piccoli valori d i g . Per5 la differenza risulta, per i nostri valori di ~ del tut to tra- scurabile, dell ordine di grandezza di e-2Ju cio~: e -1~

1.000 ~o

t 0.875

0.750

0.625

QSO0

1 9 1 - -

0.5 1 15 2 2 4 6 8 ~ 010

Fig. 3

Le curve della Fig. 3 partono da 0 = 0, parallelamente all'asse 0, (con ? = 1). Nei nostri esempi un calcolo preliminare ha dimostrato che fino a 0 -~ 0.05 si ha, praticamente, con la precisione di qualche unit& per mille, che ? = 1. Ci6 ha reso sufficiente il calcolo dell'integrale per 0 >_ 0.1 (fatto importante in quanto per piccoli 0 l 'integrale converge molto lentamente).

il calcolo della (37) ~ stato condotto nella seguente maniera. Anzitut to si sostituita la variabile s con x 2, pervenendo al ia :

- - Yo(x) + (X - - lg x) Jo(x) (37') ?(0) = J - - " e dx = Ik(x) e dx .

o (X - - lg x) 2 -}- "~2/4 x

Successivamente l 'integrale (37') b stato decomposto in tre part i :

M oo

(37") ~ ( O ) = / k ( x ) -~ + / k ( x ) e-OXZdx q - f k ( x ) e -Ox2 e d x .

o or M

I1 30 integrale viene stimato per potere determinate M in maniera da poterlo trascurare. Si ha ancora:

xl , ~J2~176 " ~ ~x2 z (F~_x) 3 I K ( x ) l <_ - - - <-- - - - ~J~ -}- Yo = K (x) ,

]/(X - - lg x) 2 q- ~ - - / 4

[J0(x) + c o ~ K (~ ) = - ~ - ~ Yo~(~)] .

La K(x) ~ una funzione deerescente di x, ed ~ praticamente uguale all 'unith

1 9 2

per M suffieientemente grandi. Si ha quindi :

-0x2 2 3 1 -ox2 ~ 1 K (M) xe (x)~ a~ _< .~ K(x)~ a x < ~ ~/M~

M M M

dx

Qr - 0 M 2

M

~ e l 1 ~ integrale della t37"), K ( x ) diventa infinita per x -* 0 (per quanto l ' integrale eonverga). Per evl tare cib bas ta osservare che in virt~l dei not i sviluppi in serie della funzione di Bessel si ha :

1 Ig (1/~) K(x) -- + O(x),

x ( X - - l g x) ~ -4-~2/4

dove 0 (x) b un termine che tende a zero pifl r ap idamente di x. Basra quindi scri- vere il 1 ~ termine delia (3) nella forma:

f c (39) K(x) e ex = k, (x) e x [ ( k - - lg x) * + r~*/41

(39') C -~ lg x [ ( k - - lg x) 2 ,q- ~2[4] " 0

L'espressione sotto il segno d ' in tegrale si mant iene finita, e permet te quindi l 'appl icazione di metodi numerici . Rimane solamente il ealcolo delia eostante C, che si fa in maniera elementare, osservando ehe l 'espressione sotto il segno d ' in tegrale nella (5') b la der iva ta di

2 - - artg [r~/2 (), - - lg x)] ,

per cui si deduce immedia tamen te :

2 1 r~ (40) C = - - - lg aretg .

Nei ealcoli degli iutegral i abbiamo usato il metodo di Simpson, e si sono fat t i i eontroll i caleolando l ' in tegrale anehe eo] , passo doppio )). I n questo modo, ~ noto, che si ha la precisione d 'una decimale in pih di quelle coincidenti nei due casi.

Na tura lmente l ' in tegrale pi~t preciso, di cui si considera eiob esa t ta la pr ima eifra non coincideme, b l ' in tegrale ealcolato col <~ passo >~ sempliee.

I1 lo integrale della (37") ~ s ta to ealeolato mediante le (39), (40), scegliendo = 0.4 e il passo 0.02. Nel secondo si ~ Scelto M = 5.2, e come passo 0.04 fino a

1.2 e 0.2 da 1.2 in poi. ~,%lla tabel la seguente sono raccolt i i valori mediante i quali souo s tate trac-

ciate le curve nei t re casi: 1/& = 10, 30, 50.

1 9 3 - -

P e r comodi t~ del l e t to re r i a s sumiamo le formule d ' imp iego :

0.4 1-2 5-2

/ / / / ~(0) : K ( x ) e ex . . . . . . + ..... + .....

0 0 0 . 4 1 . 2

f -~% In (1/~) dx + C ; K(x) e z2~ dx = k, (x) e - - [(k - - In x) ~ + =2/41 x

0 0

- ~ - Yo(x) + (k - - In x) Jo(x) 2 1 ; K ( x ) = [ ( X ~ l n x) ~ + ~ 2 / 4 1 . x C - - l n aretg ; ~ 2 ( X ~ l n ~)

1

1

10

30

50

1 - - : 10, 30, 50; k = l n - - - - l n ~ ; In Y 0.1159315156;

2 2 = 0.40

C

2.4185166126 0.6452833756

3.5171289013 0.7372906603

4.0279545250 0.7661111826

R ( ~ o ~ )

2 . e

M~O

0.~ j '-~ passo scelto 0 - 0.02 - 0.04 - 0.06 ..... 0.40 (21 elementi) 0

1,2

j ' ~ passo scelto 0.40 - 0.44 - 0.48 ..... 1.20 (21 elementi)

0-4

f passo seelto 1.2 - 1.4 - 1.6 ..... 5.20 (21 elementi)

1.2

M : 5.1

Come si vede da l conf fon to dei va lo r i ca lcola t i con ~( passo ~) semphce e doppio, i p r imi hanno una precis ione super iore alle qua t t r o eifre dec imal i (in effet t i sono 5). L ' u l t i m a co lonna r a p p r e s e n t a l ' e r rore p roven i en t e da l t r a scu ra re l ' u l t i m o in tegra le ~e l la (3).

Si ~ pos to K ( M ) - - 1, M = 5.2 b sufficiente. I va lo r i col t r a t t i n o (o non se- gnarl) ne l la tabe l la , indicano che l ' e r rore b infer iore ad una un l th della q u a r t a decimale . Come si vede so lamente per 0 = 0.1, l ' e r rore 6 di 2 .8%, in t u t t i gli a l t r i cas i esso ~ infer iore ad u n ' u n i t h del la 4 ~ cifra decimale.

Median te ques t i va lo r i sono s ta te t r acc i a t e le curve del grafico, t enendo pre- sen te il gih accenna to c o m p o r t a m e n t o per 0 = 0. D a t o che per 0 > 2 le cu rve v a r i a n o mol to l e n t a m e n t e , si sono usa te sull 'asse deU'ascisse 2 scale diverse , pe r 0 < 0 ~ , 2 , e p e r : 2 --<0 < i0 .

Le curve, dopo un breve tratto in cui si ha ~ = 1, diminuiscono abbastanza rapi- damente f ino a c h e 0 diventa dell'ordine di grandezza dell'uniter, per pol diminuire in modo molto lento. Si osserva in fa t t i che m e n t r e dal la teor ia r i su l ta che ~(0) -~ 0 per 0 -~ m, per va lo r i de l l 'o rd ine di 10, la ~ non raggiunge n e m m e n o il va lore �89 Questo

- - 1 9 4 -

fat to ~ comprensibile, poich~ per t empi dieci vohe il r162 earat ter is t ieo ~, il fenomeno coinv01ge grandi estensioni ex t ra elet t rodiche, di almeno ( % / ] ~ - - - 3 . 5 ) vol te l ' ampiezza polare.

Si nota ora che col crescere di i / 8 cio~ del r appo r to : l/d, t r a dis tanza interelet- t rodica e raggio catodico la ~ Cresce. Questo, a p r ima vis ta , sembrerebbe parados- sale (in quanto poterebbe a c h e l ' acqua espulsa aument i col diminuire del raggio catodicof, invece ~ chlaro quando si t iene presente che (a meno d 'un fattore) la denota l ' acqua espulsa per una da ta intensitA di corrente. Allora diminuendo il raggio, aumenta Ia resistenza ohmica, e quindi per mantenere una de te rmina ta corrente accorrerh aumentare la tensione, di conseguenza l 'energia fornita, e in definit iva l ' acqua espulsa.

Lo stesso avviene incrementando le ampiezze polari , per quanto in questo caso l 'effet to dev'essere ancora superiore. In fa t t i cosi operando aumenta anche il ~ tempo carat ter is t ico ~, quindi per un da to t empo t il r appor to t/'r = 0 diminuisce. I1 ehe significa ehe ci spost iamo sulle curve verso sinistra, impor tando cib l ' aumen to di ~. Una semplice intcrpretazione fisica del fa t to b la seguente: mantenendo co- s tante l ' intensi th di eorrente I , e a l lontanando reciproeamente gli elet trodi , ohre ad avere pih energia disponibile, per le ragioni det te , il fenomeno interessa una zona pih ampia, e quindi con pih disponibil i th di aequa da espellere.

BIBLIOGRAFIA

(1) BELLUIGI A.: Teoria gerterale detl'Elettrogeosmos ! tridimensionale (!, I I , I I I Parte) ~, Geofisiea pura e applicata, Mitano 39 (1958/1). - - (3) B~LLUICI A.: La non sta- zionariettt deifenomeni elettrogeosmotiei. Geofisica pura e applieata, Milano, 40 (1958/II). __ (z) BELLIZlGI A. : Aspetti diversi applicativi dell'elettrogeosmosl transitoria. Annali di Geofisiea, R0ma, n. 3-4 (1958). - - (4) BELLVlGI A.: Propriet?t fondamentali deU'elettro- geosmosi staziortaria, conseguenze applicative. Geofisica pura e applieata, Milano, vol. 41, (1958/111).

(Ricevuto il 17 Matzo 1959)

aspetto elettrogeosmotico bidimensionale variabile col tempo

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